九年级培优训练：一元二次方程的应用

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九年级数学上册一元二次方程(培优篇)(Word版含解析)

九年级数学上册一元二次方程（培优篇）（Word版含解析）一、初三数学一元二次方程易错题压轴题（难）1．阅读与应用：阅读1：a，b为实数，且a＞0，b＞0，因为()2≥0，所以a﹣2+b≥0，从而a+b≥2(当a＝b时取等号)．阅读2：若函数y＝x+(m＞0，x＞0，m为常数)，由阅读1结论可知：x+≥2，所以当x＝，即x＝时，函数y＝x+的最小值为2．阅读理解上述内容，解答下列问题：问题1：已知一个矩形的面积为4，其中一边长为x，则另一边长为，周长为2(x+)，求当x＝时，周长的最小值为；问题2：汽车的经济时速是汽车最省油的行驶速度，某种汽车在每小时70～110公里之间行驶时(含70公里和110公里)，每公里耗油()L．若该汽车以每小时x公里的速度匀速行驶，1h的耗油量为yL．(1)求y关于x的函数关系式(写出自变量x的取值范围)；(2)求该汽车的经济时速及经济时速的百公里耗油量．【答案】问题1：2，8；问题2：(1)y=；(2)10.【解析】【分析】（1）利用题中的不等式得到x+=4，从而得到x=2时，周长的最小值为8；（2）根据耗油总量=每公里的耗油量×行驶的速度列出函数关系式即可，经济时速就是耗油量最小的形式速度．【详解】(1)∵x+≥2＝4，∴当x＝时，2(x+)有最小值8．即x＝2时，周长的最小值为8；故答案是：2；8；问题2：，当且仅当，即x ＝90时，“＝”成立，所以，当x ＝90时，函数取得最小值9，此时，百公里耗油量为，所以，该汽车的经济时速为每小时90公里，经济时速的百公里耗油量为10L ．【点睛】本题考查了配方法及反比例函数的应用，最值问题，解题的关键是读懂题目提供的材料，易错点是了解“耗油总量=每公里的耗油量×行驶的速度”，难度中等偏上．2．已知关于x 的一元二次方程kx 2﹣2（k +1）x +k ﹣1＝0有两个不相等的实数根x 1，x 2．（1）求k 的取值范围；（2）是否存在实数k ，使1211x x -＝1成立？若存在，请求出k 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）k ＞﹣13且k ≠0；（2）存在，7213,k =±详见解析【解析】【分析】（1）根据一元二次方程的根的判别式，建立关于k 的不等式，求得k 的取值范围．（2）利用根与系数的关系，根据21121211,x x x x x x --=即可求出k 的值，看是否满足（1）中k 的取值范围，从而确定k 的值是否存在．【详解】解：（1）由题意知，k ≠0且△＝b 2﹣4ac ＞0∴b 2﹣4ac ＝[﹣2（k +1）]2﹣4k （k ﹣1）＞0，即4k 2+8k +4﹣4k 2+4k ＞0，∴12k ＞﹣4解得：k ＞13-且k ≠0（2）存在，且7213.k =±理由如下： ∵12122(1)1,,k k x x x x k k+-+== 又有211212111,x x x x x x --== 2112,x x x x ∴-=22222121122,x x x x x x ∴-+=22121212()4(),x x x x x x ∴+-=2222441()(),k k k k k k+--∴-= 22(22)(44)(1),k k k k ∴+--=-21430,k k ∴--=1,14,3,a b c ==-=-24208,b ac ∴∆=-=144137213.k ±∴==± k ＞13-且k ≠0， 172130.21,3-≈--＞ 17213.3+-＞ ∴满足条件的k 值存在，且7213.k =± ．【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，掌握以上知识是解题的关键．3．如图，在平面直角坐标系中，O 为原点，点A （0，8），点B （m ，0），且m ＞0.把△AOB 绕点A 逆时针旋转90°，得△ACD ，点O ，B 旋转后的对应点为C ，D ，（1）点C 的坐标为；（2）①设△BCD 的面积为S ，用含m 的式子表示S ，并写出m 的取值范围；②当S=6时，求点B 的坐标（直接写出结果即可）.【答案】（1）C （8，8）；（2）①S=0.5m 2﹣4m （m ＞8），或S=﹣0.5m 2+4m （0＜m ＜8）；②点B 的坐标为（7，0）或（2，0）或（6，0）.【解析】【分析】（1）由旋转的性质得出AC ＝AO ＝8，∠OAC ＝90°，得出C （8，8）即可；（2）①由旋转的性质得出DC ＝OB ＝m ，∠ACD ＝∠AOB ＝90°，∠OAC ＝90°，得出∠ACE ＝90°，证出四边形OACE 是矩形，得出DE ⊥x 轴，OE ＝AC ＝8，分三种情况：a 、当点B 在线段OE 的延长线上时，得出BE ＝OB−OE ＝m−8，由三角形的面积公式得出S ＝0.5m 2−4m （m ＞8）即可；b 、当点B 在线段OE 上（点B 不与O ，E 重合）时，BE ＝OE−OB ＝8−m ，由三角形的面积公式得出S＝−0.5m2＋4m（0＜m＜8）即可；c、当点B与E重合时，即m＝8，△BCD不存在；②当S＝6，m＞8时，得出0.5m2−4m＝6，解方程求出m即可；当S＝6，0＜m＜8时，得出−0.5m2＋4m＝6，解方程求出m即可．【详解】（1）∵点A（0，8），∴AO=8，∵△AOB绕点A逆时针旋转90°得△ACD，∴AC=AO=8，∠OAC=90°，∴C（8，8），故答案为（8，8）；（2）①延长DC交x轴于点E，∵点B（m，0），∴OB=m，∵△AOB绕点A逆时针旋转90°得△ACD，∴DC=OB=m，∠ACD=∠AOB=90°，∠OAC=90°，∴∠ACE=90°，∴四边形OACE是矩形，∴DE⊥x轴，OE=AC=8，分三种情况：a、当点B在线段OE的延长线上时，如图1所示：则BE=OB﹣OE=m﹣8，∴S=0.5DC•BE=0.5m（m﹣8），即S=0.5m2﹣4m（m＞8）；b、当点B在线段OE上（点B不与O，E重合）时，如图2所示：则BE=OE﹣OB=8﹣m，∴S=0.5DC•BE=0.5m（8﹣m），即S=﹣0.5m2+4m（0＜m＜8）；c、当点B与E重合时，即m=8，△BCD不存在；综上所述，S=0.5m2﹣4m（m＞8），或S=﹣0.5m2+4m（0＜m＜8）；②当S=6，m＞8时，0.5m2﹣4m=6，解得：m=4±27（负值舍去），∴m=4+27；当S=6，0＜m＜8时，﹣0.5m2+4m=6，解得：m=2或m=6，∴点B的坐标为（4+27，0）或（2，0）或（6，0）.【点睛】本题是三角形综合题目，考查了坐标与图形性质、旋转的性质、矩形的判定与性质、三角形面积公式、一元二次方程的解法等知识；本题综合性强，有一定难度．4．随着经济收入的不断提高以及汽车业的快速发展，家用汽车已越来越多地进入普通家庭，汽车消费成为新亮点．抽样调查显示，截止2008年底全市汽车拥有量为14.4万辆．已知2006年底全市汽车拥有量为10万辆．（1）求2006年底至2008年底我市汽车拥有量的年平均增长率；（2）为保护城市环境，要求我市到2010年底汽车拥有量不超过15.464万辆，据估计从2008年底起，此后每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的10%，那么每年新增汽车数量最多不超过多少辆？（假定每年新增汽车数量相同）【答案】详见解析【解析】试题分析：（1）主要考查增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率）解决问题；（2）参照增长率问题的一般规律，表示出2010年的汽车拥有量，然后根据关键语列出不等式来判断正确的解．试题解析：（1）设年平均增长率为x，根据题意得：10（1+x）2=14.4，解得x=﹣2.2（不合题意舍去）x=0.2，答：年平均增长率为20%；（2）设每年新增汽车数量最多不超过y万辆，根据题意得：2009年底汽车数量为14.4×90%+y，2010年底汽车数量为（14.4×90%+y）×90%+y，∴（14.4×90%+y）×90%+y≤15.464，∴y≤2．答：每年新增汽车数量最多不超过2万辆．考点：一元二次方程—增长率的问题5．（本题满分10分）如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴、y轴分别交于点A、B，直线CD与x轴、y轴分别交于点C、D，AB与CD相交于点E，线段OA、OC的长是一元二次方程－18x+72=0的两根（OA＞OC），BE=5，tan∠ABO=．（1）求点A，C的坐标；（2）若反比例函数y=的图象经过点E，求k的值；（3）若点P在坐标轴上，在平面内是否存在一点Q，使以点C，E，P，Q为顶点的四边形是矩形？若存在，请写出满足条件的点Q的个数，并直接写出位于x轴下方的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)、A（12，0），C（﹣6，0）；(2)、k=36；(3)、6个；Q1（10，﹣12），Q2（﹣3，6﹣3）.【解析】试题分析：(1)、首先求出方程的解，根据OA＞OC求出两点的坐标；(2)、根据∠ABO的正切值求出OB的长度，根据Rt△AOB得出AB的长度，作EM⊥x轴，根据三角形相似得出点E的坐标，然后求出k的值；(3)、分别以CE为矩形的边，在点C、E处设计直角，垂线与两坐标轴相交，得到点P，进而得到点Q；以CE为矩形对角线，则以CE的中点为圆心做圆，与两坐标轴相交，得到点P，再得点Q.试题解析：（1）由题意，解方程得：x1=6，x2=12．∵OA＞OC，∴OA=12，OC=6．∴A（12，0），C（﹣6，0）；（2）∵tan∠ABO=，∠AOB=90°∴∴OB=16．在Rt△AOB中，由勾股定理，得AB=20∵BE=5，∴AE=15．如图1，作EM⊥x轴于点M，∴EM∥OB．∴△AEM∽△ABO，∴，即：∴EM=12，AM=9，∴OM=12﹣9=3．∴E（3，12）．∴k=36；（3）满足条件的点Q的个数是6，x轴的下方的Q1（10，﹣12），Q2（﹣3，6﹣3）；方法：如下图①分别以CE为矩形的边，在点C、E处设计直角，垂线与两坐标轴相交，得到点P，进而得到点Q；（有三种）②以CE为矩形对角线，则以CE的中点为圆心做圆，与两坐标轴相交，得到点P，再得点Q；（有三种）如图①∵E （3，12），C （﹣6，0），∴CG=9，EG=12， ∴EG 2=CG•GP ， ∴GP=16，∵△CPE 与△PCQ 是中心对称，∴CH=GP=16，QH=FG=12， ∵OC=6， ∴OH=10，∴Q （10，﹣12），如图②作MN ∥x 轴，交EG 于点N ，EH ⊥y 轴于点H ∵E （3，12），C （﹣6，0），∴CG=9，EG=12， ∴CE=15， ∵MN=CG=，可以求得PH=3﹣6，同时可得PH=QR ，HE=CR ∴Q （﹣3，6﹣3），考点：三角形相似的应用、三角函数、一元二次方程.6．某建材销售公司在2019年第一季度销售,A B 两种品牌的建材共126件，A 种品牌的建材售价为每件6000元，B 种品牌的建材售价为每件9000元.（1）若该销售公司在第一季度售完两种建材后总销售额不低于96.6万元，求至多销售A 种品牌的建材多少件？（2）该销售公司决定在2019年第二季度调整价格，将A 种品牌的建材在上一个季度的基础上下调%a ，B 种品牌的建材在上一个季度的基础上上涨%a ；同时，与（1）问中最低销售额的销售量相比，A 种品牌的建材的销售量增加了1%2a ，B 种品牌的建材的销售量减少了2%5a ，结果2019年第二季度的销售额比（1）问中最低销售额增加2%23a ，求a 的值. 【答案】（1）至多销售A 品牌的建材56件;(2)a 的值是30.【解析】【分析】（1）设销售A 品牌的建材x 件，根据售完两种建材后总销售额不低于96.6万元，列不等式求解；（2）根据题意列出方程求解即可.【详解】（1）设销售A 品牌的建材x 件.根据题意，得()60009000126966000x x +-≥，解这个不等式，得56x ≤，答：至多销售A 品牌的建材56件.（2）在（1）中销售额最低时，B 品牌的建材70件，根据题意，得()()()12260001%561%90001%701%6000569000701%2523a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯+++⨯-=⨯+⨯+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令%a y =，整理这个方程，得21030y y -=，解这个方程，得1230,10y y ==， ∴10a =（舍去），230a =，即a 的值是30.【点睛】本题考查了一元二次方程和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列方程组和不等式求解．7．如图直线y ＝kx +k 交x 轴负半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B ，且AB ＝2（1）求k 的值；（2）点P 从A 出发，以每秒1个单位的速度沿射线AB 运动，过点P 作直线AB 的垂线交x 轴于点Q ，连接OP ，设△PQO 的面积为S ，点P 运动时间为t ，求S 与t 的函数关系式，并直接写出t 的取值范围；（3）在（2）的条件下，当P 在AB 的延长线上，若OQ +AB （BQ ﹣OP ），求此时直线PQ 的解析式．【答案】（1）k＝3．（2）当0＜t＜12时，S＝12•OQ•P y＝12（1﹣2t）•3t＝﹣3 2t2+34t．当t＞12时，S＝12OQ•P y＝12（2t﹣1）•3t＝3t2﹣3t．（3）直线PQ的解析式为y＝﹣3x+53．【解析】【分析】（1）求出点B的坐标即可解决问题；（2）分两种情形①当0＜t＜12时，②当t＞12时，根据S＝12OQ•P y，分别求解即可；（3）根据已知条件构建方程求出t，推出点P，Q的坐标即可解决问题．【详解】解：（1）对于直线y＝kx+k，令y＝0，可得x＝﹣1，∴A（﹣1，0），∴OA＝1，∵AB＝2，∴OB＝223AB OA-=∴k＝3．（2）如图，∵tan ∠BAO＝OB OA= ∴∠BAO ＝60°，∵PQ ⊥AB ，∴∠APQ ＝90°，∴∠AQP ＝30°，∴AQ ＝2AP ＝2t ，当0＜t ＜12时，S ＝12•OQ •P y ＝12（1﹣2t）•2t＝﹣2t 2+4t ．当t ＞12时，S ＝12OQ •P y ＝12（2t ﹣1＝2．（3）∵OQ +AB（BQ ﹣OP ），∴2t ﹣1+2∴2t +121t t -+∴4t 2+4t +1＝7t 2﹣7t +7，∴3t 2﹣11t +6＝0，解得t ＝3或23（舍弃）， ∴P（12，2），Q （5，0），设直线PQ 的解析式为y ＝kx+b ，则有12250k b k b ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，解得3k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴直线PQ的解析式为33y x =-+．【点睛】本题属于一次函数综合题，考查了一次函数的性质，三角形的面积，无理方程等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．8．如图，抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴交于点A 和点B （1，0），与y 轴交于点C （0，3），其对称轴l 为x=﹣1．（1）求抛物线的解析式并写出其顶点坐标；（2）若动点P在第二象限内的抛物线上，动点N在对称轴l上．①当PA⊥NA，且PA=NA时，求此时点P的坐标；②当四边形PABC的面积最大时，求四边形PABC面积的最大值及此时点P的坐标．【答案】（1）y=﹣（x+1）2+4，顶点坐标为（﹣1，4）；（2）①点P2﹣1，2）；②P（﹣32，154）【解析】试题分析：（1）将B、C的坐标代入已知的抛物线的解析式，由对称轴为1x=-即可得到抛物线的解析式；（2）①首先求得抛物线与x轴的交点坐标，然后根据已知条件得到PD=OA，从而得到方程求得x的值即可求得点P的坐标；②ΔOBCΔAPDABCP C=PDOS S S S++四边形梯形，表示出来得到二次函数，求得最值即可．试题解析：（1）∵抛物线2y ax bx c=++与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C（0，3），其对称轴l为1x=-，∴{312a b ccba++==-=-，解得：1{23abc=-=-=，∴二次函数的解析式为223y x x=--+=2(1)4x-++，∴顶点坐标为（﹣1，4）；（2）令2230y x x=--+=，解得3x=-或1x=，∴点A（﹣3，0），B（1，0），作PD⊥x轴于点D，∵点P在223y x x=--+上，∴设点P（x，223x x--+），①∵PA⊥NA，且PA=NA，∴△PAD≌△AND，∴OA=PD，即2232y x x=--+=，解得21（舍去）或x=21-，∴点P（21-，2）；②设P(x，y)，则223y x x=--+，∵ΔOBCΔAPDABCP C=PDOS S S S++四边形梯形=12OB•OC+12AD•PD+12(PD+OC)•OD=11131+(3)(3)()222x y y x⨯⨯⨯+++-=333222x y-+=2333(23)222x x x-+--+=239622x x--+=23375()228x-++，∴当x=32-时，ABCP S 四边形最大值=758，当x=32-时，223y x x =--+=154，此时P （32-，154）．考点：1．二次函数综合题；2．二次函数的最值；3．最值问题；4．压轴题．9．如图，正方形ABCD 的四个顶点分别在正方形EFGH 的四条边上，我们称正方形EFGH 是正方形ABCD 的外接正方形．探究一：已知边长为1的正方形ABCD ，是否存在一个外接正方形EFGH ，它的面积是正方形ABCD 面积的2倍？如图，假设存在正方形EFGH ，它的面积是正方形ABCD 的2倍．因为正方形ABCD 的面积为1，则正方形EFGH 的面积为2，所以EF ＝FG ＝GH ＝HE 2EB ＝x ，则BF 2﹣x ，∵Rt △AEB ≌Rt △BFC∴BF ＝AE 2﹣x在Rt △AEB 中，由勾股定理，得x 2+2﹣x ）2＝12解得，x 1＝x 2＝22∴BE ＝BF ，即点B 是EF 的中点．同理，点C ，D ，A 分别是FG ，GH ，HE 的中点．所以，存在一个外接正方形EFGH ，它的面积是正方形ABCD 面积的2倍探究二：已知边长为1的正方形ABCD ，是否存在一个外接正方形EFGH ，它的面积是正方形ABCD 面积的3倍？（仿照上述方法，完成探究过程）探究三：已知边长为1的正方形ABCD ，一个外接正方形EFGH ，它的面积是正方形ABCD面积的4倍？（填“存在”或“不存在”）探究四：已知边长为1的正方形ABCD，是否存在一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的n倍？（n＞2）（仿照上述方法，完成探究过程）【答案】不存在，详见解析【解析】【分析】探究二，根据探究一的解答过程、运用一元二次方程计算即可；探究三，根据探究一的解答过程、运用一元二次方程根的判别式解答；探究四，根据探究一的解答过程、运用一元二次方程根的判别式解答．【详解】探究二：因为正方形ABCD的面积为1，则正方形EFGH的面积为3，所以EF=FG=GH=HE，设EB=x，则BF x，∵Rt△AEB≌Rt△BFC，∴BF=AE﹣x，在Rt△AEB中，由勾股定理，得，x2+x）2=12，整理得x2x+1=0，b2﹣4ac=3﹣4＜0，此方程无解，不存在一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的3倍；探究三：因为正方形ABCD的面积为1，则正方形EFGH的面积为4，所以EF=FG=GH=HE=2，设EB=x，则BF=2﹣x，∵Rt△AEB≌Rt△BFC，∴BF=AE=2﹣x，在Rt△AEB中，由勾股定理，得，x2+（2﹣x）2=12，整理得2x2﹣4x+3=0，b2﹣4ac=16﹣24＜0，此方程无解，不存在一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的3倍，故答案为不存在；探究四：因为正方形ABCD的面积为1，则正方形EFGH的面积为n，所以EF=FG=GH=HE，设EB=x，则BF﹣x，∵Rt△AEB≌Rt△BFC，∴BF=AE﹣x，在Rt△AEB中，由勾股定理，得，x2+﹣x）2=12，整理得2x2﹣+n﹣1=0，b2﹣4ac=8﹣4n＜0，此方程无解，不存在一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的n倍．【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、一元二次方程的解法等知识.读懂探究一的解答过程、正确运用一元二次方程根的判别式是解题的关键．10．如图，某农家拟用已有的长为8m的墙或墙的一部分为一边，其它三边用篱笆围成一个面积为12m2的矩形园子．设园子中平行于墙面的篱笆长为ym（其中y≥4），另两边的篱笆长分别为xm．（1）求y关于x的函数表达式，并求x的取值范围．（2）若仅用现有的11m长的篱笆，且恰好用完，请你帮助设计围制方案．【答案】（1）y＝；1.5≤x≤3；（2）长为8m，宽为1.5m．【解析】【分析】（1）由矩形的面积公式可得出y关于x的函数表达式，结合4≤y≤8可求出x的取值范围；（2）由篱笆的长可得出y＝（11﹣2x）m，利用矩形的面积公式结合矩形园子的面积，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．【详解】（1）∵矩形的面积为12m2，∴y＝．∵4≤y≤8，∴1.5≤x≤3．（2）∵篱笆长11m，∴y＝（11﹣2x）m．依题意，得：xy＝12，即x（11﹣2x）＝12，解得：x1＝1.5，x2＝4（舍去），∴y＝11﹣2x＝8．答：矩形园子的长为8m，宽为1.5m．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及反比例函数的应用，解题的关键是：（1）利用矩形的面积公式，找出y关于x的函数表达式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．。

九年级培优训练：一元二次方程的应用

《一元二次方程的应用》一、学习目标1.能体验用一元二次方程解决实际问题的过程，体会现实世界的数量关系可以用数学模型进行刻画. 2。

能根据问题中的数量关系列出一元二次方程并求解、检验，规范写出解答过程．3。

有意识．．．的注意自己分析和解决问题的方法并提高自身探究的能力．二、学习重点与难点从(实际或数学的）问题情景中建立一元二次方程的数学模型,并掌握解决问题的全过程是重点;其中从问题情景中建立一元二次方程是学习的难点．．;突破难点的关键．．是体会分析问题的方法，找到题目中的基本关系．．．．（它决定题目的性质．．．．．．．．）以及相等关系．．．．．三、学习过程1、传播问题（树枝开叉）例1、有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？2、循环问题又可分为单循环问题，双循环问题和复杂循环问题例2、参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共比赛45场比赛，共有多少个队参加比赛？例3、参加一次足球联赛的每两队之间都进行两次比赛,共比赛90场比赛,共有多少个队参加比赛？3、平均率问题例4、某电脑公司2000年的各项经营收入中，经营电脑配件的收入为600万元，占全年经营总收入的40％,该公司预计2002年经营总收入要达到2160万元，且计划从2000年到2002年，每年经营总收入的年增长率相同，问2001年预计经营总收入为多少万元？推广：（2010年山东聊城)2009年我市实现国民生产总值为1376亿元，计划全市国民生产总值以后三年都以相同的增长率一实现，并且2011年全市国民生产总值要达到1726亿元．（1)求全市国民生产总值的年平均增第率（精确到1％）（2）求2010年至2012年全市三年可实现国民生产总值多少亿元？（精确到1亿元）4、商品销售问题常用关系式：售价—进价=利润一件商品的利润×销售量=总利润单价×销售量=销售额）（a）给出关系式例5、某商店购进一种商品，进价30元．试销中发现这种商品每天的销售量P(件）与每件的销售价X （元）满足关系：P=100—2X销售量P,若商店每天销售这种商品要获得200元的利润，那么每件商品的售价应定为多少元？每天要售出这种商品多少件?（b）一个“+”一个“—"例6某水果批发商场经销一种高档水果,如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克。

九年级数学-一元二次方程的应用：销售问题(重难点培优)

2021-2022学年九年级数学上册尖子生同步培优题典【人教版】专题21.10一元二次方程的应用：销售问题（重难点培优）姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2020•石家庄模拟）某商品的进价为每件40元．当售价为每件60元时，每星期可卖出300件，现需降价处理，为占有市场份额，即在确保盈利的前提下，尽量增加销售量，且经市场调查：每降价1元，每星期可多卖出20件．现在要使利润为6120元，每件商品应降价（）元．A．3B．2.5C．2D．52．（2021•宁波模拟）某商场品牌手机经过5，6月份连续两次降价每部售价由5000元降到3600元．且第一次降价的百分率是第二次的2倍，设第二次降价的百分率为x，根据题意可列方程（）A．5000（1﹣x）（1﹣2x）＝3600B．3600（1﹣x）（1﹣2x）＝5000C．5000（1﹣x）（1−x2）＝3600D．3600（1+x）（1+2x）＝50003．（2021•上城区一模）某商店销售连衣裙，每条盈利40元，每天可以销售20条．商店决定降价销售，经调查，每降价1元，商店每天可多销售2条连衣裙．若想要商店每天盈利1200元，每条连衣裙应降价（）A．5元B．10元C．20元D．10元或20元4．（2020秋•鼓楼区期中）某戏院举办文艺演出，经调研，票价每张30元，1200张门票可以全部售出：票价每增加1元，售出的门票就减少20张，若涨价后，门票总收入达到38500元，设票价每张x元，则可列方程为（）A．x（1200﹣20x）＝38500B．x[1200﹣20（x﹣30）]＝38500C．（x﹣30）（1200﹣20x）＝38500D．（x﹣30）[1200﹣20（x﹣30）]＝385005．（2019•无锡一模）五粮液集团2018年净利润为400亿元，计划2020年净利润为640亿元，设这两年的年净利润平均增长率为x，则可列方程是（）A．400（1+x）＝640B．400（1+x）2＝640C．400（1+x）+400（1+x）2＝640D．400+400（1+x）+400（1+x）2＝6406．（2020秋•仙居县期末）某商场销售一批衬衣，平均每天可售出30件，每件衬衣盈利50元．为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衣降价10元，商场平均每天可多售出20件．若商场平均每天盈利2000元．每件衬衣应降价（）元．A．10B．15C．20D．257．（2019秋•相城区期中）某商品进货价为每件50元，售价每件90元时平均每天可售出20件，经调查发现，如果每件降价2元，那么平均每天可以多出售4件，若每天想盈利1000元，设每件降价x元，可列出方程为（）A．（40﹣x）（20+x）＝1000B．（40﹣x）（20+2x）＝1000C．（40﹣x）（20﹣x）＝1000D．（40﹣x）（20+4x）＝10008．（2018秋•恩施市期末）某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，第1档次（最低档次）的产品一天能生产95件，每件利润6元，每提高一个档次，每件利润增加2元，但一天产量减少5件．若生产的产品一天的总利润为1120元，且同一天所生产的产品为同一档次，则该产品的质量档次是（）A．6B．8C．10D．129．（2019•佳木斯模拟）西菜市场某商户销售冰鲜海产品，平均每天可售出20件，每件盈利40元，期间发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，在每件盈利不少于25元的前提下，要取得每天利润为1200元，每件商品降价（）A．10元B．20元C．10元或20元D．15元10．（2020秋•河池期中）超市经销一种水果，每千克盈利10元，每天销售500千克，经市场调查，若每千克涨价1元，日销售量减少20千克，现超市要保证每天盈利6000元，每千克应涨价（）A．15元或20元B．10元或15元C．10元D．5元或10元二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2021春•萧山区期中）商场某种商品进价为120元/件，售价130元/件时，每天可销售70件；售价单价高于130元时，每涨价1元，日销售量就减少1件．据此，若销售单价为元时，商场每天盈利达1500元．12．（2020秋•秦淮区期末）某商店将进价为30元/件的文化衫以50元/件售出，每天可卖200件，在换季时期，预计单价每降低1元，每天可多卖10件，则销售单价定为多少元时，商店可获利3000元？设销售单价定为x元/件，可列方程为.（方程不需化简）13．（2019秋•雁塔区校级期中）某种衬衫，平均每天销售40件，每件盈利20元，若每件每降价1元，则每天可多销售10件，如果每天盈利为1400元，那么每件应降价元．14．（2020春•婺城区校级月考）某商品的进价为每件40元，当售价为每件60元时，每星期可卖出300件，若每降价1元，每星期可多卖出20件，现要尽量优惠顾客的前提下，同时每星期获利6080元，每件商品应降价元．15．（2019秋•江夏区校级月考）某商品现在出售一件可获利10元，每天可销售20件，若每降价1元可多卖2件，则降价元时每天可获利192元．16．（2019秋•秦淮区期末）一学校为了绿化校园环境，向某园林公司购买了一批树苗．园林公司规定：如果购买树苗不超过60棵，每棵售价为120元；如果购买树苗超过60棵，在一定范围内，每增加1棵，所出售的这批树苗每棵售价降低0.5元．若该校最终向园林公司支付树苗款8800元，设该校共购买了x 棵树苗，则可列出方程．17．（2020春•滨江区期末）超市的一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润12元，为扩大销售，准备适当降价，据测算，每降价1元，每天可多售出20箱，若要使每天销售这种饮料获利1400元，每箱应降价多少元？设每箱降价x元，则可列方程（不用化简）为：．18．（2020秋•鼓楼区期末）某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，商场采取了降价措施．假设在一定范围内，衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件．如果降价后商场销售这批衬衫每天盈利1250元，那么衬衫的单价降了多少元？设衬衫的单价降了x 元，则可列方程为．三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（2020秋•大东区期末）新华商场销售某种商品，每件进货价为40元，市场调研表明：当销售价为80元时，平均每天能售出20件；在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，当销售价每降低1元时，平均每天就能多售出2件．（1）若降价2元，则平均每天销售数量为件；（2）当每件商品定价多少元时，该商场平均每天销售某种商品利润达到1200元？20．（2020秋•朝阳县期末）某工厂生产一批小家电，2018年的出厂价是144元，2019年，2020年连续两年改进技术，降低成本，2020年出厂价调整为100元．（1）这两年出厂价下降的百分比相同，求平均下降率．（2）某商场今年销售这批小家电的售价为140元时，平均每天可销售20台，为了减少库存，商场决定降价销售，经调查发现小家电单价每降低5元，每天可多售出10台，如果每天盈利1250元，单价应降低多少元？21．（2020秋•连南县期末）某超市销售一款洗手液，这款洗手液成本价为每瓶16元，当销售单价定为每瓶20元时，每天可售出60瓶．市场调查反应：销售单价每上涨1元，则每天少售出5瓶．若设这款洗手液的销售单价上涨x元，每天的销售量利润为y元．（1）每天的销售量为瓶，每瓶洗手液的利润是元；（用含x的代数式表示）（2）若这款洗手液的日销售利润y达到300元，则销售单价应上涨多少元？22．（2021•南山区校级一模）某环保公司研发了甲、乙两种智能设备，可将垃圾处理变为新型清洁燃料．某垃圾处理厂从环保公司购入以上两种智能设备若干，已知购买甲型智能设备花费360万元，购买乙型智能设备花费480万元，购买的两种设备数量相同，且两种智能设备的单价和为140万元．（1）求甲、乙两种智能设备单价；（2）垃圾处理厂利用智能设备生产燃料棒，并将产品出售．已知每吨燃料棒的成本为100元．调查发现，若燃料棒售价为每吨200元，平均每天可售出350吨，而当销售价每降低1元，平均每天可多售出5吨．垃圾处理厂想使这种燃料棒的销售利润平均每天达到36080元，且保证售价在每吨200元基础上降价幅度不超过8%，求每吨燃料棒售价应为多少元？23．（2020秋•兴化市期末）为了丰富市民的文化生活，我市某景点开放夜游项目．为吸引游客组团来此夜游，特推出了如下门票收费标准：标准一：如果人数不超过20人，门票价格为60元/人；标准二：如果人数超过20人，每超过1人，门票价格降低2元，但门票价格不低于50元/人．（1）当夜游人数为15人时，人均门票价格为元；当夜游人数为25人时，人均门票价格为元．（2）若某单位支付门票费用共计1232元，则该单位这次共有多少名员工去此景点夜游．24．（2020秋•建平县期末）甲商品的进价为每件20元，商场确定其售价为每件40元．（1）若现在需进行降价促销活动，预备从原来的每件40元进行两次调价，已知该商品现价为每件32.4元．若该商品两次调价的降价率相同，求这个降价率；（2）经调查，该商品每降价0.2元，即可多销售10件．已知甲商品售价40元时每月可销售500件，若该商场希望该商品每月能盈利10000元，且尽可能扩大销售量，则该商品在原售价的基础上应如何调整？。

数学培优竞赛新方法(九年级)-第4讲-一元二次方程的应用

第4讲一元二次方程的应用在人的心灵深处，都有一种根深蒂固的需要,这就是希望自己是一个发现者、研究者、探索者,而在青少年的精神世界中，这种需要特别强烈.——苏霍姆林斯基知识纵横方程是刻画现实问题的有效模型之一，一元二次方程是方程模型的重要代表。

许多数学问题可转化为解一元二次方程、研究一元二次方程根的性质而获解。

一元二次方程的应用有以下几个方面: （1) 求代数式的值；（2）列二次方程解应用题； (3)解相关几何问题。

例题求解【例1】在平面直角坐标系中有点)2,2(-A 、)2,3(B ,C 是坐标轴上一点。

若ABC ∆是直角三角形，则满足条件的点C 的坐标是_________.（山东省竞赛题）思路点拨 C 点可在x 轴也可能在y 轴，又ABC Rt ∆直角顶点未确定，故解本例的关键是分类讨论。

【例2】已知实数x 、y 满足32424=-xx ，324=+yy ,则y x444+的值为（ )。

A ．7B ．2131+ C ．2137+ D ．5 (全国初中数学竞赛题）思路点拨分别解关于x22、y 2的方程。

【例3】在青岛市开展的创城活动中,某居民小区要在一块高墙(墙长15cm)的空地上修建一个矩形花园ABCD ，花园的一边靠墙,另三边用总长为40m 的栅栏围城(如图所示)。

若花园的BC 边长为x(m ）,花园的面积为y(m 2)．（1）求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；(2）满足条件的花园面积能达到200m 2吗?若能，求出此时x 的值，若不能，说明理由; （3）根据（1）中求得的函数关系式，判断当x 取何值时，花园的面积最大，最大面积是多少？（青岛市中考题）【例4】已知：如图①，在Rt△ABC中，∠C=90°,AC=4cm,BC=3cm，点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为1cm/s，点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度2m/s，连接PQ。

人教版九年级上册第21章一元二次方程实际应用专项培优练习(三)(解析版)

第21章一元二次方程实际应用同步专项培优练习基础题训练（一）：限时30分钟1．每年的3月15日是“国际消费者权益日”，许多家居商城都会利用这个契机进行打折促销活动．甲卖家的某款沙发每套成本为5000元，在标价8000元的基础上打9折销售．（1）现在甲卖家欲继续降价吸引买主，问最多降价多少元，才能使利润率不低于20%？（2）据媒体爆料，有一些卖家先提高商品价格后再降价促销，存在欺诈行为．乙卖家也销售相同的沙发，其成本、标价与甲卖家一致，以前每周可售出8套，现乙卖家先将标价提高m%，再大幅降价40m元，使得这款沙发在3月15日那一天卖出的数量就比原来一周卖出的数量增加了m%，这样一天的利润达到了50000元，求m的值．2．某网店准备经销一款儿童玩具，每个进价为35元，经市场预测，包邮单价定为50元时，每周可售出200个，包邮单价每增加1元销售将减少10个，已知每成交一个，店主要承付5元的快递费用，设该店主包邮单价定为x（元）（x＞50），每周获得的利润为y（元）．（1）求该店主包邮单价定为53元时每周获得的利润；（2）求y与x之间的函数关系式；（3）该店主包邮单价定为多少元时，每周获得的利润大？最大值是多少？3．某口罩生产厂生产的口罩1月份平均日产量为20000个，1月底因突然爆发新冠肺炎疫情，市场对口罩需求量大增，为满足市场需求，工厂决定从2月份起扩大产能，3月份平均日产量达到24200个．（1）求口罩日产量的月平均增长率；（2）按照这个增长率，预计4月份平均日产量为多少？4．某商店在2017年至2019年期间销售一种礼盒，2017年，该商店用3500元购进了这种礼盒并且全部售完；2019年这种礼盒的进价比2017年下降了11元/盒，该商店用2400元购进了与2017年相同数量的礼盒也全部售完，礼盒的售价均为60元/盒．（1）2017年这种礼盒的进价是多少元/盒？（2）若该商店每年销售这种礼盒所获利润的年增长率相同问年增长率是多少？5．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm．点P从点A开始沿AB边向终点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向终点C以2cm/s的速度移动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止．点P，Q分别从点A，B同时出发．（1）求出发多少秒时PQ的长度等于5cm；（2）出发秒时，△BPQ中有一个角与∠A相等．基础题训练（二）：限时30分钟6．成都市中心城区“小游园，微绿地”规划已经实施，武侯区某街道有一块矩形空地进入规划试点．如图，已知该矩形空地长为90m，宽为60m，按照规划将预留总面积为4536m2的四个小矩形区域（阴影部分）种植花草，并在花草周围修建三条横向通道和三条纵向通道，各通道的宽度相等．（1）求各通道的宽度；（2）现有一工程队承接了对这4536m2的区域（阴影部分）进行种植花草的绿化任务，该工程队先按照原计划进行施工，在完成了536m2的绿化任务后，将工作效率提高25%，结果提前2天完成任务，求该工程队原计划每天完成多少平方米的绿化任务？7．利客来超市销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低3元，平均每天可多售出6件．（1）若降价6元，则平均每天销售数量为件；（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？8．“疫情”期间，李晨在家制作一种工艺品，并通过网络平台进行线上销售．经过一段时间后发现：当售价是40元/件时，每天可售出该商品60件，且售价每降低1元，就会多售出3件，设该商品的售价为x元/件（20≤x≤40）．（1）请用含售价x（元/件）的代数式表示每天能售出该工艺品的件数；（2）已知每件工艺品需要20元成本，每天销售该工艺品的纯利润为900元．①求该商品的售价；②为了支持“抗疫”行动，李晨决定每销售一件该工艺品便通过网络平台自动向某救助基金会捐款0.5元，求李晨每天通过销售该工艺品捐款的数额．9．3月国际风筝节在婺源县举办，王大伯决定销售一批风筝，经市场调研：蝙蝠型风筝进价每个为10元，当售价每个为12元时，销售量为180个，若售价每提高0.1元，销售量就会减少1个，请回答下列问题：（1）用函数解析式表示蝙蝠型风筝销售量y（个）与售价x（元）之间的函数关系（12≤x≤30）；（2）王大伯为了让利给顾客，并同时获得840元利润，售价应定为多少？10．元旦期间，某超市销售两种不同品牌的苹果，已知1千克甲种苹果和1千克乙种苹果的进价之和为18元．当销售1千克甲种苹果和1千克乙种苹果利润分别为4元和2元时，陈老师购买3千克甲种苹果和4千克乙种苹果共用82元．（1）求甲、乙两种苹果的进价分别是每千克多少元？（2）在（1）的情况下，超市平均每天可售出甲种苹果100千克和乙种苹果140千克，若将这两种苹果的售价各提高1元，则超市每天这两种苹果均少售出10千克，超市决定把这两种苹果的售价提高x元，在不考虑其他因素的条件下，使超市销售这两种苹果共获利960元，求x的值．参考答案1．解：（1）设降价x 元，依题意，得：8000×0.9﹣x ﹣5000≥5000×20%，解得：x ≤1200．答：最多降价1200元，才能使利润率不低于20%．（2）依题意，得：[8000（1+m %）﹣40m ﹣5000]×8（1+m %）＝50000，整理，得：m 2+275m ﹣16250＝0，解得：m 1＝50，m 2＝﹣325（不合题意，舍去）．答：m 的值为50元．2．解：（1）（53﹣35﹣5）×[200﹣（53﹣50）×10]＝13×170＝2210（元）．答：每周获得的利润为2210元；（2）由题意，y ＝（x ﹣35﹣5）[200﹣10（x ﹣50）]即y 与x 之间的函数关系式为：y ＝﹣10x 2+1100x ﹣28000；（3）∵y ＝﹣10x 2+1100x ﹣28000＝﹣10（x ﹣55）2+2250，∵﹣10＜0，∴包邮单价定为55元时，每周获得的利润最大，最大值是2250元．3．解：（1）设口罩日产量的月平均增长率为x ，根据题意，得20000（1+x ）2＝24200解得x 1＝﹣2.1（舍去），x 2＝0.1＝10%，答：口罩日产量的月平均增长率为10%．（2）24200（1+0.1）＝26620（个）．答：预计4月份平均日产量为26620个．4．解：（1）设2017年这种礼盒的进价是x 元/盒，则2019年这种礼盒的进价是（x ﹣11）元/盒，依题意，得：＝，解得：x ＝35，经检验，x ＝35是原方程的解，且符合题意．答：2017年这种礼盒的进价是35元/盒．（2）2017年及2019年购进这种礼盒的数量为3500÷35＝100（盒）．设该商店每年销售这种礼盒所获利润的年增长率为y，依题意，得：（60﹣35）×100（1+y）2＝（60﹣35+11）×100，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．答：该商店每年销售这种礼盒所获利润的年增长率为20%．5．解：（1）设出发t秒时PQ的长度等于5cm，PQ＝5，则PQ2＝25＝BP2+BQ2，即25＝（5﹣t）2+（2t）2，解得：t＝0（舍）或2．故2秒后，PQ的长度为5cm．（2）设出发x秒时，△BPQ中有一个角与∠A相等．∵AB＝5cm，BC＝7cm∴PB＝（5﹣x）cm，BQ＝2xcm当∠BPQ＝∠A时，又∵∠B＝∠B∴△ABC∽△PBQ∴＝∴＝解得：x＝；当∠BQP＝∠A时，又∵∠B＝∠B∴△ABC∽△QBP∴＝∴＝解得：x＝故答案为：或．6．解：（1）设各通道的宽度为x米，根据题意得：（90﹣3x）（60﹣3x）＝4536，解得：x1＝2，x2＝48（不合题意，舍去）．答：各通道的宽度为2米．（2）设该工程队原计划每天完成y平方米的绿化任务，根据题意得：﹣＝2，解得：y＝400，经检验，y＝400是原方程的解，且符合题意．答：该工程队原计划每天完成400平方米的绿化任务．7．解：（1）20+6÷3×6＝32（件）．故答案为：32．（2）设每件商品降价x元，则平均每天的销售数量为（20+）件，依题意，得：（40﹣x）（20+）＝1200，整理，得：x2﹣30x+200＝0，解得：x1＝10，x2＝20．∵40﹣x≥25，解得：x≤15，∴x＝10．答：当每件商品降价10元时，该商店每天销售利润为1200元．8．解：（1）∵该商品的售价为x元/件（20≤x≤40），且当售价是40元/件时，每天可售出该商品60件，且售价每降低1元，就会多售出3件，∴每天能售出该工艺品的件数为60+3（40﹣x）＝（180﹣3x）件．（2）①依题意，得：（x﹣20）（180﹣3x）＝900，整理，得：x2﹣80x+1500＝0，解得：x1＝30，x2＝50（不合题意，舍去）．答：该商品的售价为30元/件．②0.5×（180﹣3×30）＝45（元）．答：李晨每天通过销售该工艺品捐款的数额为45元．9．解：（1）根据题意得：y ＝180﹣，整理得： y ＝300﹣10x （12≤x ≤30），（2）根据题意得：（x ﹣10）（300﹣10x ）＝840，整理得：x 2﹣40x +384＝0，解得：x 1＝16，x 2＝24，为让利给顾客，售价应定16元，答：售价应定16元．10．解：（1）设甲种苹果的进价为a 元/千克，乙种苹果的进价为b 元/千克，根据题意得：，解得：．答：甲种苹果的进价为10元/千克，乙种苹果的进价为8元/千克．（2）根据题意得：（4+x ）（100﹣10x ）+（2+x ）（140﹣10x ）＝960，整理得：x 2﹣9x +14＝0，解得：x 1＝2，x 2＝7，经检验，x 1＝2，x 2＝7均符合题意．答：x 的值为2或7．。

苏科版九年级数学上册第1章一元二次方程实际应用同步培优专项习题(二)

第1章《一元二次方程》实际应用同步培优专项习题（二）1．作为巴渝文化的发源地，重庆在许多领域都首屈一指，而其中最具代表性的，当然还是它的美食，在无数美食中，最具地域特色的，非重庆火锅莫属，近年来，随着重庆市成为网红城市，许多游客到重庆来打卡麻辣鲜香的火锅，同时还会购买火锅底料作为伴手礼．11月，洪崖洞附近一特产店购进A、B两种品牌火锅底料共450袋，其中A品牌底料每袋售价20元，B品牌底料每袋售价30元，11月全部售完这批火锅底料，所得总销售额不低于11500元．（1）A品牌火锅底料最多购进多少袋？（2）为了促进销量，12月，该店开展了优惠活动，A品牌底料的售价比11月的价格优惠a%，B品牌底料的售价比11月的价格优惠a%，结果12月售出的A品牌底料数量比11月总销售额最低时售出的A品牌底料数量增加了a%，售出的B品牌底料数量比11月总销售额最低时售出的B品牌底料数量增加了a%，结果12月的总销售额比11月最低销售额增加了a%，求a的值．2．在“红五月”读书活动中，社区计划筹资16000元购买科普书籍和文艺刊物．（1）计划购买文艺刊物的资金不超过购买科普书籍资金的3倍，那么最多可用多少资金购买文艺刊物？（2）经初步了解，有160户居民自愿参与集资，那么平均每户需集资100元．经筹委会进一步宣传，自愿参加的户数在160户的基础上增加了a%，这样，平均每户的集资款在原有基础上减少了0.8a%，求a的值．3．按照中央精准扶贫的部署，市委、市政府重点扶持贫困户发展特色农业．现某区扶持一贫困户的李子园销售“金脆李”和“黄橙李”两种李子，因为“金脆李”果形奇特、口感佳，售价为30元/斤，“黄橙李”因大面积种植，售价要便宜一些，为20元/斤．（1）7月上旬，该果园一共售出300斤李子，要使销售额不低于7250元，问最多售出“黄橙李”多少斤？（2）为了提高“金脆李”的知名度，政府对“金脆李”进行广告宣传，7月中旬该果园的总销售重量为1500斤，其中售出“黄橙李”1000斤，7月下旬由于李子大量上市，该果园推出优惠方案，“金脆李”每斤降价a%，“黄橙李”售价保持不变，售后统计“金脆李”销售数量在7月中旬的基础上增加了2a%，“黄橙李”数量在7月中旬的基础上减少了a%，若总销售额与7月中旬的总销售额持平，求a的值．4．在2020年底，某农户大面积种植的改良版本地脐橙喜获丰收．故自2021年1月起，该农户通过超市和网络电商两种渠道销售脐橙．已知脐橙超市售价为10元/千克，网络售价为8元/千克．（1）2021年1月上旬脐橙的网络销量比超市销量少850千克，要使销售额不低于40000元，则1月上旬脐橙的超市销量至少为多少千克？（2）在（1）的条件下，2月上旬，受疫情影响，脐橙在超市的售价较1月上旬下降a%，网络售价下降a%，销量也呈下降趋势．因此该农户参加网络扶贫创新接力活动，借助直播，使得脐橙在网上销量比1月上旬最少量增长了a%，但脐橙在超市销量比1月上旬最少量下降了，结果2月上旬脐橙的销售额比1月上旬最低销售额减少了3400元，求a的值．（a＜50）5．2021年的春节，全国多地提倡“就地过年”，以减少大规模的人口流动，为人们安全与健康提供防疫保障．我市两江融渝旅行社考虑到市民春节短期短途出行需求，推出“广阳岛一日游”和“金佛山二日游”两个旅游产品．（1）该旅行社新春除夕至正月初六接待参加“广阳岛一日游”和“金佛山二日游”的游客共1000人，其中选择“金佛山二日游”的游客不超过选择“广阳一日游”游客的，则选择“金佛山二日游”的游客至多有多少人？（2）“广阳岛一日游”和“金佛山二日游”两个旅游产品春节期间售价分别为80元/人和200元/人，随着春节假期结束，为延长上述旅游产品的销售热度，旅行社决定“广阳岛一日游”售价下降3m%，“金佛山二日游”售价下降10%促销数日．由于产品定位精准、游客体验感好、口碑传播，加之受降价刺激，节后降价数日内该旅行社又接待参加上述旅游产品的游客总人数合计700人．其中选择“金佛山二日游”人数占总人数的%，促销期间销售总金额为6.09万元，求m的值．6．三月的万州区小周镇，“三月红桔”红遍长江两岸，三月红桔主题公园每天游客更是络绎不绝．“生态果园”水果商家3月中旬购进了第一批一级“三月红桔”和二级“三月红桔”共300千克，已知一级“三月红桔”进价每千克15元，售价每千克30元，二级“三月红桔”进价每千克5元，售价每千克10元．（1）若这批一级“三月红桔”和二级“三月红桔”全部销售完获利不低于3500元，则一级“三月红桔”至少购进多少千克？（2）第一批“三月红桔”很快售完，于是商家决定购进第二批“三月红桔”，一级“三月红桔”和二级“三月红桔”的进价不变，一级“三月红桔”售价比第一批上涨a%，二级“三月红桔”售价比第一批上涨2a%；销量与（1）中获得最低利润时的销量相比，一级“三月红桔”的销量下降a%，二级“三月红桔”的销量保持不变，结果第二批中已经卖掉的一级“三月红桔”和二级“三月红桔”的销售总额与（1）中的最低销售总额相等，求a的值．7．“早黑宝”葡萄品种是我省农科院研制的优质新品种，在我省被广泛种植，邓州市某葡萄种植基地2017年种植“早黑宝”100亩，到2019年“早黑宝”的种植面积达到196亩．（1）求该基地这两年“早黑宝”种植面积的平均增长率；（2）市场调查发现，当“早黑宝”的售价为20元/千克时，每天能售出200千克，售价每降价1元，每天可多售出50千克，为了推广宣传，基地决定降价促销，同时减少库存，已知该基地“早黑宝”的平均成本价为12元/千克，若使销售“早黑宝”每天获利1750元，则售价应降低多少元？8．知识经验我们知道，如果两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；反之，如果两个因式中任何一个为0，那么它们的积也等于0．即：如果a•b＝0，那么a＝0，或b＝0．知识迁移Ⅰ解方程：（x+1）（x+2）＝0．解：（x+1）（x+2）＝0．∴x+1＝0，或x+2＝0．∴x1＝1，或x2＝﹣2．Ⅱ解方程：x2+6x﹣7＝0．解：x2+6x﹣7＝0．∴x2+2×3x+32﹣32﹣7＝0．∴（x+3）2﹣16＝0∴（x+3）2﹣42＝0．∴（x+3+4）（x+3﹣4）＝0．∴（x+7）（x﹣1）＝0∴x+7＝0，或x﹣1＝0．∴x1＝﹣7，或x2＝1．理解应用（1）解方程：x2﹣10x﹣39＝0．拓展应用（2）如图，有一块长宽分别为80cm，60cm的矩形硬纸板，在它的四个角上分别剪去四个相同的小正方形，然后将四周突出的部分折起来，就可以做成底面积为1500cm2的无盖的长方体盒子．求所剪去的小正方形的边长．9．因粤港澳大湾区和中国特色社会主义先行示范区的双重利好，深圳已成为国内外游客最喜欢的旅游目的地城市之一，深圳著名旅游“网红打卡地”东部华侨城景区在2019年春节长假期间，共接待游客达20万人次，预计在2021年春节长假期间，将接待游客达28.8万人次．（1）求东部华侨城景区2019至2021年春节长假期间接待游客人次的平均增长率．（2）东部华侨城景区一奶茶店销售一款奶茶，每杯成本价为6元，根据销售经验，在旅游旺季，若每杯定价25元，则平均每天可销售300杯，若每杯价格降低1元，则平均每天可多销售30杯，2021年春节期间，店家决定进行降价促销活动，则当每杯售价定为多少元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额？10．“低碳生活，绿色出行”，自行车成为人们喜爱的交通工具，某品牌共享自行车在宁波的投放量自2017年起逐月增加，据统计，该品牌共享自行车1月份投放了640辆，3月份投放了1000辆．（1）若该品牌共享自行车前4个月的投放量的月平均增长率相同，则4月份投放了多少辆？（2）考虑到增强客户体验，该品牌共享自行车准备投入3万元向自行车生产厂商定制一批两种规格比较高档的自行车，之后投放到某高端写字楼区域，已知自行车生产厂商生产A型车的成本价为300元/辆，售价为500元/辆，生产B型车的成本价为700元/辆，售价为1000元/辆．根据定制要求，B型车的数量超过12辆，且A型车的数量不少于B 型车的2倍．自行车生产厂商应如何设计生产方案才能获得最大利润？最大利润是多少？11．如图所示，△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm．（1）点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C 以2cm/s的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒，点P，Q之间的距离为cm？（2）点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C 以2cm/s的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒，使△PBQ的面积等于8cm2？（3）若P点沿射线AB方向从A点出发以1cm/s的速度移动，点Q沿射线CB方向从C点出发以2cm/s的速度移动，P，Q同时出发，几秒后，△PBQ的面积为1cm2？12．某公司推出一款产品，经市场调查发现，该产品的日销售量y（个）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系．关于销售单价、日销售量的几组对应值如下表：销售单价x/元85 95 105 115日销售量y/个175 125 75 m （注：日销售利润＝日销售量×（销售单价﹣成本单价））（1）求y关于x的函数解析式及m的值．（2）该产品的成本单价是80元，当日销售利润达到1875元时，为了让利给顾客，减少库存，求销售产品单价定为多少元？13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝30cm，BC＝21cm，动点P从点C出发，沿CA 方向运动，同时动点Q从点B出发，沿BC方向运动，点P，点Q的运动速度均为1cm/s．当运动时间为多少秒时，两点相距15cm？14．某环保公司研发了甲、乙两种智能设备，可将垃圾处理变为新型清洁燃料．某垃圾处理厂从环保公司购入以上两种智能设备若干，已知购买甲型智能设备花费360万元，购买乙型智能设备花费480万元，购买的两种设备数量相同，且两种智能设备的单价和为140万元．（1）求甲、乙两种智能设备单价；（2）垃圾处理厂利用智能设备生产燃料棒，并将产品出售．已知每吨燃料棒的成本为100元．调查发现，若燃料棒售价为每吨200元，平均每天可售出350吨，而当销售价每降低1元，平均每天可多售出5吨．垃圾处理厂想使这种燃料棒的销售利润平均每天达到36080元，且保证售价在每吨200元基础上降价幅度不超过8%，求每吨燃料棒售价应为多少元？15．今年8月双福国际农贸市场某水果批发商用2.2万元购得“象牙芒”和“红富士苹果”共400箱，其中，“象牙芒”、“红富士”的数量比为5：3．已知每箱“象牙芒”的售价是每箱“红富士”的售价的2倍少10元，预计3月可全部销售完．（1）该批发商想通过本次销售至少盈利8000元，则每箱“象牙芒”至少卖多少元？（总利润＝总销售额﹣总成本）（2）实际销售时，受中央“厉行节约”号召的影响，在保持（1）中最低售价的基础上，“象牙芒”的销售下降了%，售价下降了a%；“红富士”的销售量下降了a%，但售价不变．结果导致“象牙芒”、“红富士”的销售总额相等．求a的值．。

人教版九年级上册第21章一元二次方程实际应用专项培优练习(四)(解析版)

第21章一元二次方程实际应用同步专项培优练习基础题训练（一）：限时30分钟1．2020年，受新冠肺炎疫情影响．口罩紧缺，某网店以每袋8元（一袋十个）的成本价购进了一批口罩，二月份以一袋14元销售了256袋，三、四月该口罩十份畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，四月份的销售量达到400袋．（1）求三、四这两个月销售量的月平均增长率；（2）为回馈客户．该网店决定五月降价促销．经调查发现．在四月份销量的基础上，该口罩每袋降价1元，销售量就增加40袋，当口罩每袋降价多少元时，五月份可获利1920元？2．某地特产槟榔芋深受欢迎，某商场以7元/千克收购了3000千克优质槟榔芋，若现在马上出售，每千克可获得利润3元．根据市场调查发现，近段时间内槟榔芋的售价每天上涨0.2元/千克，为了获得更大利润，商家决定先贮藏一段时间后再出售．根据以往经验，这批槟榔芋的贮藏时间不宜超过100天，在贮藏过程中平均每天损耗约10千克．（1）若商家将这批槟榔芋贮藏x天后一次性出售，请完成下列表格：每千克槟榔芋售价（单位：元）可供出售的槟榔芋重量（单位：千克）现在出售3000x天后出售（2）将这批槟榔芋贮藏多少天后一次性出售最终可获得总利润29000元？3．方方同学在寒假社会调查实践活动中，对某罐头加工厂进行采访，获得了该厂去年的部分生产信息如下：①该厂一月份罐头加工量为a吨；②该厂三月份的加工量比一月份增长了44%；③该厂第一季度共加工罐头182吨；④该厂二月、三月加工量每月按相同的百分率增长；⑤该厂从四月份开始设备整修更新，加工量每月按相同的百分率开始下降；⑥六月份设备整修更新完毕，此月加工量为一月份的2.1倍，与五月份相比增长了46.68吨．利用以上信息求：（1）该厂第一季度加工量的月平均增长率；（2）该厂一月份的加工量a的值；（3）该厂第二季度的总加工量．4．因魔幻等与众不同的城市特质，以及抖音等新媒体的传播，重庆已经成为国内外游客最喜欢的旅游目的地城市之一，在著名“网红打卡地”磁器口，美食无数，一家特色小面店希望在五一长假期间获得好的收益，经过测算知，该小面成本为每碗6元，借鉴以往经验：若每碗卖25元，平均每天将销售300碗，若价格每降低1元，则平均每天可多售30碗．（1）若该小面店每天至少卖出360碗，则每碗小面的售价不超过多少元？（2）为了更好的维护重庆城市形象，店家规定每碗售价不得超过20元，则当每碗售价定为多少元时，店家才能实现每天利润6300元．5．2019年12月以来，湖北省武汉市发现一种新型冠状病毒感染引起的急性呼吸道传染病．感染者的临床表现为：以发热、乏力、干咳为主要表现．约半数患者多在一周后出现呼吸困难，严重者快速进展为急性呼吸窘迫综合征、脓毒症休克、难以纠正的代谢性酸中毒和出凝血功能障碍．国家卫健委已发布1号公告，将新型冠状病毒感染的肺炎纳入传染病防治法规定的乙类传染病，但采取甲类传染病的预防、控制措施，同时将其纳入检疫传染病管理．（1）在“新冠”初期，有2人感染了“新冠”，经过两轮传染后共有288人感染了“新冠”（这两轮感染均未被发现未被隔离），则每轮传染中平均一个人传染了几个人？（2）某小区物管为预防业主感染传播购买A型和B型两种3M口罩，购买A型3M口罩花费了2500元，购买B型3M口罩花费了2000元，且购买A型3M口罩数量是购买B型3M 口罩数量的2倍，已知购买一个B型3M口罩比购买一个A型3M口罩多花3元．则该物业购买A、B两种3M口罩的单价为多少元？（3）由于实际需要，该物业决定再次购买这两种3M口罩，已知此次购进A型和B型两种3M口罩的数量一共为1000个，恰逢市场对这两种3M口罩的售价进行调整，A型3M 口罩售价比第一次购买时提高了20%，B型3M口罩按第一次购买时售价的1.5倍出售，如果此次购买A型和B型这两种3M口罩的总费用不超过7800元，那么此次最多可购买多少个B型3M口罩？基础题训练（二）：限时30分钟6．苹果和梨中含有大量的维生素和微量元素，每天吃点水果，能够补充身体对维生素的需求，使身体更健康．水果超市3月上旬购进苹果和梨共1000千克，进价均为每千克16元，然后梨以30元/千克、苹果以24元/千克的价格很快售完．（1）若超市3月上旬售完所有苹果和梨获利不低于11600元，求购进梨至少多少千克？（2）因气温日趋升高，水果成熟速度快，而梨过熟后口味变淡，宜适时品尝，在进价不变的情况下，该超市3月中旬决定调整价格，将梨的售价在3月上旬的基础上下调m%（降价后售价不低于进价），苹果的售价在3月上旬的基础上上涨m%；同时，与（1）中获利最低时的销售量相比，梨的销售量下降了m%，苹果的销售量上升了25%，结果3月中旬的销售额比（1）中获利最低时的销售额增加了400元，求m的值．7．校园空地上有一面墙，长度为20m，用长为32m的篱笆和这面墙围成一个矩形花圃，如图所示．（1）能围成面积是126m2的矩形花圃吗？若能，请举例说明；若不能，请说明理由．（2）若篱笆再增加4m，围成的矩形花圃面积能达到170m2吗？请说明理由．8．幸福水果店计划用12元/盒的进价购进一款水果礼盒以备销售．（1）据调查，当该种水果礼盒的售价为14元/盒时，月销量为980盒，每盒售价每增长1元，月销量就相应减少30盒，若使水果礼盒的月销量不低于800盒，每盒售价应不高于多少元？（2）在实际销售时，由于天气和运输的原因，每盒水果礼盒的进价提高了25%，而每盒水果礼盒的售价比（1）中最高售价减少了m%，月销量比（1）中最低月销量800盒增加了m%，结果该月水果店销售该水果礼盒的利润达到了4000元，求m的值．9．重庆一中开学初在重百商场第一次购进A、B两种品牌的足球，购买A品牌足球花费了3200元，购买B品牌足球花费了2400元，且购买A品牌足球数量是购买B品牌足球数量的2倍，已知购买一个B品牌足球比购买一个A品牌的足球多花20元．（1）求购买一个A品牌、一个B品牌的足球各需多少元；（2）重庆一中为举办足球联谊赛，决定第二次购进A、B两种品牌足球．恰逢重百商场对两种品牌足球的售价进行调整，A品牌足球售价比第一次购买时提高了a元（a＞0），B品牌足球技第一次购买时售价的9折出售．如果第二次购买A品牌足球的个数比第一次少2a个，第二次购买B品牌足球的个数比第一次多个，则第二次购买A、B两种品牌足球的总费用比第一次少320元，求a的值．10．随着人们生活水平的提高，越来越多的人更注重生活品质．人们喜欢用美丽的鲜花装点屋子，也增添了生活情趣．姜荷花形态出众、开花繁密、花期长，是很好的室内观赏植物，某花市老板发现今年姜荷花很受欢迎，二月份试购了两个品种荷兰红、玉如意，荷兰红每盆的进价比玉如意每盆的进价便宜2元，用3200元购进荷兰红的数量和用3360元购进玉如意的数量相同．（1）荷兰红和玉如意每盆的进价各是多少元？（2）三月份该花市老板决定加大进货量，三月份购进两个品种共1000盆，由于市场需求较大，两个品种进价均涨至上个月玉如意进价，花市老板将荷兰红以每盆80元、玉如意以每盆64元的价格销售．三月份全部售出且总获利为33200元，四月份玉如意花型饱满，在进价维持三月不变的情况下，该老板决定调整价格，将荷兰红的售价在三月份的基础上下调a%（降价后售价不低于进价），玉如意的价格上调a%，同时荷兰红的销量较三月份销量下降了a%，玉如意的销量较三月份销量上升了40%，结果四月份的销售额比三月份增加了3520元，求a的值．参考答案1．解：（1）设三、四这两个月销售量的月平均增长率为x，依题意，得：256（1+x）2＝400，解得：x1＝0.25＝25%，x2＝﹣2.25（不合题意，舍去）．答：三、四这两个月销售量的月平均增长率为25%．（2）设口罩每袋降价y元，则五月份的销售量为（400+40y）袋，依题意，得：（14﹣y﹣8）（400+40y）＝1920，化简，得：y2+4y﹣12＝0，解得：y1＝2，y2＝﹣6（不合题意，舍去）．答：当口罩每袋降价2元时，五月份可获利1920元．2．解：（1）7+3＝10（元），x天后出售的售价为（10+0.2x）元/千克，可供出售的槟榔芋重量为（3000﹣10x）千克．故答案为：10；10+0.2x；3000﹣10x．（2）依题意，得：（10+0.2x）（3000﹣10x）﹣7×3000＝29000，整理，得：x2﹣250x+10000＝0，解得：x1＝50，x2＝200．∵x2＝200＞100，不合题意，舍去，∴x＝50．答：将这批槟榔芋贮藏50天后一次性出售最终可获得总利润29000元．3．解：（1）设该厂第一季度加工量的月平均增长率为x，由题意得：a（1+x）2＝（1+44%）a∴（1+x）2＝1.44∴x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（舍）答：该厂第一季度加工量的月平均增长率为20%．（2）由题意得：a+a（1+x）+a（1+x）2＝182将x＝20%代入得：a+a（1+20%）+a（1+20%）2＝182解得a＝50答：该厂一月份的加工量a的值为50．（3）由题意可知，三月份加工量为：50（1+20%）2＝72 六月份加工量为：50×2.1＝105（吨）五月份加工量为：105﹣46.68＝58.32（吨）设四、五两个月的加工量下降的百分率为y，由题意得：72（1﹣y）2＝58.32解得：y1＝0.1＝10%，y2＝1.9（舍）∴四、五两个月的加工量下降的百分率为10%∴72×（1﹣10%）+58.32+105＝228.12（吨）答：该厂第二季度的总加工量为228.12吨．4．解：（1）设每碗小面的售价为x元，依题意，得：300+30（25﹣x）≥360，解得：x≤23．答：每碗小面的售价不超过23元．（2）设每碗售价定为y元时，店家才能实现每天利润6300元，依题意，得：（y﹣6）[300+30（25﹣y）]＝6300，整理，得：y2﹣41y+420＝0，解得：y1＝20，y2＝21．∵店家规定每碗售价不得超过20元，∴y＝20．答：当每碗售价定为20元时，店家才能实现每天利润6300元．5．解：（1）设每轮传染中平均一个人传染了x人，依题意，得：2+2x+x（2+2x）＝288，解得：x1＝11，x2＝﹣13（不合题意，舍去）．答：每轮传染中平均一个人传染了11人．（2）设该物业购买A种3M口罩的单价为y元，则B种3M口罩的单价为（y+3）元，由题意得，，解得，y＝5，经检验y＝5是原方程的解，则y+3＝8，答：该物业购买A种3M口罩的单价为5元，B种3M口罩的单价为8元；（3）设此次可购买a个B型3M口罩，则购买（1000﹣a个A型3M口罩，由题意可得，5（1+20%）×（1000﹣a）+8×1.5a≤7800，解得，a≤300，答：此次最多可购买300个B型3M口罩．6．解：（1）设购进梨x千克，则购进苹果（1000﹣x）千克，根据题意可得：（30﹣16）x+（24﹣16）（1000﹣x）≥11600，解得：x≥600，答：购进梨至少600千克；（2）3月中旬的销售额＝600×30+400×24+400＝28000，30（1﹣m%）×600（1﹣m%）+24（1+m%）×400（1+25%）＝28000，令m%＝t，整理得：15t2﹣13t+2＝0，解得：t1＝，t2＝，当t＝时，售价＝30×（1﹣）＝10＜16（不合题意舍去）；当t＝时，售价＝30×（1﹣）＝24＞16；当m%＝，解得：m＝20，故m＝20．7．解：（1）假设能，设AB的长度为x米，则BC的长度为（32﹣2x）米，根据题意得：x（32﹣2x）＝126，解得：x1＝7，x2＝9，∴32﹣2x＝18或32﹣2x＝14，∴假设成立，即长为18米、宽为7米或长为14米、宽为9米．（2）假设能，设AB的长度为y米，则BC的长度为（36﹣2y）米，根据题意得：y（36﹣2y）＝170，整理得：y2﹣18y+85＝0．∵△＝（﹣18）2﹣4×1×85＝﹣16＜0，∴该方程无解，∴假设不成立，即若篱笆再增加4m，围成的矩形花圃面积不能达到170m2．8．解：（1）设每盒售价应为x元，依题意，得：980﹣30（x﹣14）≥800，解得：x≤20．答：每盒售价应不高于20元．（2）依题意，得：[20（1﹣m%）﹣12×（1+25%）]×800（1+m%）＝4000，整理，得：m2﹣25m＝0，解得：m1＝25，m2＝0（不合题意，舍去）．答：m的值为25．9．解：（1）设一个A品牌的足球需x元，则一个B品牌的足球需（x+20）元，由题意得＝×2解得：x＝40经检验x＝40是原方程的解，x+20＝60答：一个A品牌的足球需40元，则一个B品牌的足球需60元．（2）依题意得：（40+a）（80﹣2a）+60×0.9（40+）＝2400+3200﹣3202a2﹣27a﹣80＝0（2a+5）（a﹣16）＝0a 1＝﹣2.5（舍去），a2＝16．答：a的值是16．10．解：（1）设荷兰红每盆的进价是x元，则玉如意每盆的进价是（x+2）元，依题意，得：＝，解得：x＝40，经检验，x＝40是原方程的解，且符合题意，∴x+2＝42．答：荷兰红每盆的进价是40元，玉如意每盆的进价是42元．（2）设三月份购进荷兰红m盆，则购进玉如意（1000﹣m）盘，依题意，得：（80﹣42）m+（64﹣42）（1000﹣m）＝33200，解得：m＝700，∴1000﹣m＝300．∵四月份的销售额比三月份增加了3520元，∴80（1﹣a%）×700（1﹣a%）+64（1+a%）×300（1+40%）＝80×700+64×300+3520，整理，得：a2﹣72a+1040＝0，解得：a1＝20，a2＝52．当a＝20时，80（1﹣a%）＝64，∵64＞42，∴符合题意；当a＝52时，80（1﹣a%）＝38.4，∵38.4＜42，∴不符合题意，舍去．答：a的值为20．。

九年级数学下册一元二次方程的应用练习题

九年级数学下册一元二次方程的应用练习题一、选择题1. 一元二次方程x^2 - 4x - 5 = 0的解为：A. x = 1和x = 5B. x = -1和x = 5C. x = -1和x = -5D. x = -1和 x = 12. 某一元二次方程的解为x = 3和x = -2，则该方程的表达式可能是：A. x^2 - x - 6 = 0B. x^2 + x - 6 = 0C. x^2 + x + 6 = 0D. x^2 - x + 6 = 03. 解一元二次方程x^2 + 6x + 9 = 0，得到的解是：A. x = 3B. x = -3C. x = 6D. x = -6二、填空题1. 一元二次方程x^2 + 5x + 6 = 0的解是________和________。

2. 解方程x^2 + 4x - 5 = 0，得到的解是________和________。

三、综合题1. 已知一家店铺的固定成本为300元，每售出一个产品的成本为4元，售价为8元。

设该店铺每售出x个产品后的利润（P）满足一元二次方程P = -2x^2 + 20x - 268。

求：（1）该店铺售出多少个产品时，利润最大？（2）利润最大时，该店铺的利润是多少？2. 小明投掷一枚硬币，正面朝上记为1，反面朝上记为0。

他连续投掷这枚硬币，直到前两次累计得到的结果是10或者3。

设连续投掷x次后，所得的结果满足一元二次方程x^2 - 9x + 10 = 0。

求小明至少投掷多少次，才能满足条件？四、解答题1. 解一元二次方程x^2 + 6x + 9 = 0。

2. 解一元二次方程5x^2 + 3x - 2 = 0。

以上是九年级数学下册一元二次方程的应用练习题，希望对你的学习有所帮助。

初三数学培优——一元二次方程应用题

一元二次方程应用题数字问题1 两个数的和为8，积为9.75，求这两个数。

2两个连续偶数的积是168,则这两个偶数是__________.3 .一个两位数，个位数字与十位数字之和为5，把个位数字与十位数字对调，所得的两位数与原来的两位数的乘积为736，求原来的两位数。

增长（降低）率问题1，（2009年江苏省）某县2008年农民人均年收入为7 800元，计划到2010年，农民人均年收入达到9 100元．设人均年收入的平均增长率为x，则可列方程．2.（莱芜）某公司在2009年的盈利额为200万元，预计2011年的盈利额将达到242万元，若每年比上一年盈利额增长的百分率相同，那么该公司在2010年的盈利额为____万元．3，（2010年兰州）上海世博会的某纪念品原价168元，连续两次降价a%后售价为128元. 下列所列方程中正确的是A．128)%1(1682=+a B．128)%1(1682=-aC．128)%21(168=-a D．128)%1(1682=-a4．（2009山西省太原市）某种品牌的手机经过四、五月份连续两次降价，每部售价由3200元降到了2500元．设平均每月降价的百分率为x，根据题意列出的方程是．5，(2010台州市)某种商品原价是120元，经两次降价后的价格是100元，求平均每次降价的百分率．设平均每次降价的百分率为x，可列方程为▲．6，某木器厂今年一月份生产课桌500张，因管理不善，2月份的产量减少了10%，从3月份起加强了管理，产量逐月上升，4月份的产量达到了648张，求工厂3月份和4月份的平均增长率。

7，某城市按该市的“九五”国民经济发展规划要求，1997年的社会总产值要比1995年增长21%，求平均每年增长的百分率.8，某超市一月份的营业额为100万元，第一季度的营业额共800万元，如果平均每月增长率为x，则所列方程应为（）9. 小明将勤工俭学挣得的100元钱，按一年定期存入“少儿银行”，到期后取出50元用来购买学习用品，剩下的50元和应得的利息又全部按一年定期存入，若存款的年利率保持不变，这样到期后可得本金和利息共66元，求这种存款的年利率。

培优专题04一元二次方程的实际问题分类-解析版

（
）
A． 50(1 x)2 175
C． 501 x 50(1 x)2 175
【答案】B
B． 50 501 x 50(1 x)2 175
D． 50 50(1 x)2 175
【分析】增长率问题，一般用增长后的量增长前的量(1 增长率) 增长次数，本题可先用 x 表示出二月份的产值，再根据题意表示出三月份的产值，然后将三个月的产值相加，即可列出方程．
【详解】解：二月份的产值为： 501 x，三月份的产值为： 501 x1 x 50(1 x)2 ，故第一季度总产值为： 50 501 x 50(1 x)2 175 ．
故选 B．【点睛】本题考查的是一元二次方程的运用，解此类题目时常常要按顺序列出接下来几个月的产值，再根据题意列出方程即可． 7．（2022·安徽·合肥市五十中学新校八年级期中）某口罩厂八月份的口罩产量为 100 万只，由于市场需求量增加，十月份的产量比八月份增加了 44 万只，设该厂九、十月份的口罩产量的月平均增长率为 x，可列
下，经过两轮传染后共有 25 人感染，那么，每轮传染中平均一个人传染了（
）
A．3 人
B．4 人
C．5 人
D．6 人
【答案】B
【分析】设每轮传染中平均一个人传染了 x 人，则第一轮传染中感染了 x 人，第二轮传染中感染了
x（1+x）人，根据 1 人感染了后经过两轮传染共有 25 人感染，即可得出关于 x 的一元二次方程，解之取其
2．（2022·全国·九年级专题练习）有一人患了流感，经过两轮传染后，共有 225 人患了流感，设每轮传染
中平均每人传染的人数为 x 人，则可列方程（
）
A． x x x 225
B． x x(1 x) 225 C． 1 x x(1 x) 225 D．1 x (1 x)(1 x) 225

一元二次方程的应用—数字与图文问题(专项培优训练)—2023-2024九年级上册(人教版)(解析版)

一元二次方程的应用—数字与图文问题（专项培优训练）试卷满分：100分考试时间：120分钟试卷难度:较难试卷说明：本套试卷结合人教版数学九年级上册同步章节知识点，精选易错，常考，压轴类问题进行专题汇编！题目经典，题型全面，解题模型主要选取热点难点类型！同步复习，考前强化必备！适合成绩中等及偏上的学生拔高冲刺。

一、选择题：本大题共10小题，每小题2分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（本题2分）（2023春·广东梅州·九年级校考开学考试）有一个两位数，个位数字与十位数字之和为8，把它的个位数字与十位数字对调，得到一个新数，新数与原数之积为1855，则原两位数是（）A．35B．53C．62D．35或53【答案】D【分析】设十位数字为x，则个位数字为()8x−，根据新数与原数之积为1855，列出方程，解方程即可．【详解】解：设十位数字为x，则个位数字为()8x−，根据题意得：()() 1081081855x x x x+−−+=⎡⎤⎣⎦，解得：13x=或25x=，∴这个两位数为35或53，故D正确．故选：D．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找出题目中的等量关系列出方程．2．（本题2分）（2022秋·湖北·九年级统考期中）对于任意一个四位数，若千位上的数字与个位上的数字之积是百位上的数字与十位上的数字之和的2倍，则称这个四位数为“共生数”．例如：四位数2156，因为2×6=2×（1+5），所以2156是“共生数”．有一个四位数为“共生数”，它的千位上的数字与个位上的数字相等，百位上的数字比千位上的数字多3，十位上的数字比个位上数字的一半少1，则这个“共生数”四位数的个位数字为（）A．2B．4C．5D．6【答案】B【分析】设个位上的数字为a，由题意可分别表示出十位、百位及千位上的数字，再由“共生数”可得到方程，解方程即可．【详解】设个位上的数字为a，由题意得：十位上的数字为112a−、百位及千位上的数字分别为3a+与a，由此数是“共生数”，则得方程：12312a a a a⎛⎫⋅=++−⎪⎝⎭，解方程得：4a=或1a=−（舍去），即这个“共生数”四位数的个位数字为4．故选：B．【点睛】本题是新定义问题，考查了一元二次方程的应用，理解新定义的含义并正确列出方程是关键．3．（本题2分）（2023·广东广州·模拟预测）某医院内科病房有护士x人，每2人一班，轮流值班，每8小时换班一次，某两人同值一班后，到下次两人再同班，最长需要的天数是70天，则x=（）A．15B．18C．21D．35【答案】C【分析】共x人，每2人一班，轮流值班，则有()12x x−种组合，一天是24小时，8小时1班，24除以8=每天3个班，所以总组合数除以3可得出最长需要的天数，解方程即可得出答案．【详解】解：由已知护士x人，每2人一班，轮流值班，可得共有()12x x−种组合，又已知每8小时换班一次，每天3个班次，所以由题意得：()12x x−÷(24÷8)=70解得：x=21，即有21名护士．故选C．【点睛】本题考查的知识点是整数问题的综合运用，关键是先求出x人，每2人一班有多少种组合，再由每8小时换班一次，某两人同值一班后，到下次两人再同班求出最长需要的天数．【答案】D【分析】本题首先用含x的式子表示某数的一半，继而表示某数的平方的3倍，最后按数量关系列方程即可．【详解】由已知得：x 的一半为12x ，x 的平方的3倍为23x ，则有：211324x x −=．故选：D ．【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，理清题意，按数量关系列式即可． 5．（本题2分）（2023秋·广东惠州·九年级校考阶段练习）修建一个面积为 100 平方米的矩形花园，它的长比宽多 10 米，设宽为 x 米，可列方程为（） A ．()10100x x −=B ．()2210100x x +−=C ．()2210100x x ++=D ．()10100x x += 【答案】D【分析】设宽为x 米，则长为()10x +米，根据矩形花园的面积为100平方米，即可由矩形面积公式得出关于x 的一元二次方程，此题得解．【详解】解：设宽为x 米，则长为()10x +米，依题意得：()10100x x +=．故选：D ．键． 6．（本题2分）（2023·山西运城·山西省运城中学校校考三模）如图，将一张正方形铁皮的四个角同时切去边长为2的四个小正方形，制成一个无盖箱子，若箱子的底面边长为x ，原正方形铁皮的面积为224x x +，则无盖箱子的外表面积为（）A ．1B ．4C ．6D ．9【答案】D 【分析】根据题意，得出原正方形铁皮的边长为4x +，从而得到原正方形铁皮的面积为()24x +，即()22424x x x =++，解得1x =，从而得到无盖箱子的外表面积为142189x +⨯=+=，即可得到答案．【详解】解：正方形铁皮的四个角同时切去边长为2的四个小正方形，制成一个无盖箱子，若箱子的底面边长为x ，∴原正方形铁皮的边长为4x +，∴原正方形铁皮的面积为()24x +，又正方形铁皮的面积为224x x +，∴()22424x x x =++，解得1x =，∴无盖箱子的外表面积为142189x +⨯=+=，故选：D ．【点睛】本题考查方程的实际应用，读懂题意，准确表示出各个边长，根据等量关系列出方程求解是解决问题的关键．A ．有一种围法B ．有两种围法C ．不能围成菜园D ．无法确定有几种围法【答案】A 【分析】设矩形ABCD 的边AC 为x 米，则宽DC 为()402x −米，根据面积建立一元二次方程，解方程即可得到答案．【详解】解：如图所示，设矩形ABCD 的边AC 为x 米，则宽DC 为()402x −米，根据题意得：()402194x x −=，即：2240194x x −+=，解得：110x =，210x =而40218x −≤，∴11x ≥，∴10x =∴只有一种围法，故选：A ．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意建立正确的方程．A ．()2120080604816x x x −+−=B ．()()4030816x x −−=C ．()()402302816x x −−=D ．()8023021200816x x x +−=− 【答案】B【分析】根据要使草坪的面积为2816m ，列一元二次方程，进一步判断即可．【详解】解：可列方程()()402302816x x −−=，故C 选项不符合题意，变形后，可得()2120080604816x x x −+−=或()8023021200816x x x +−=−，故A 选项不符合题意，D 选项不符合题意，()()4030816x x −−=不能得到，故B 选项符合题意，故选：B ．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，理解题意是解题的关键． 9．（本题2分）（2022秋·四川遂宁·九年级统考期末）《九章算术》是我国传统数学中重要的著作之一，奠定了我国传统数学的基本框架其中，方程术是《九章算术》最高的数学成就《九章算术》记载：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几何？”大意：有一扇形状是矩形的门，它的高比宽多6尺8寸，它的对角线长1丈，问它的高与宽各是多少？利用方程思想设矩形门宽为x 尺，则依题意所列方程为（）（1丈10==10尺，1尺10==10寸）A ．222( 6.8)10x x ++=B ．()2226.8100x x +−= C ．()2226.810x x +−=D ．2226.8100x += 【答案】A 【分析】设门宽为x 尺，则门的高度为(8)6.x +尺，利用勾股定理及门的对角线长1丈，即可得出关于x 的方程，此题得解．【详解】解：设门宽为x 尺，则门的高度为(8)6.x +尺，依题意得：222( 6.8)10x x ++=，故选：A ．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，找准等量关系，正确列出方程是解题的关键．10．（本题2分）（2020秋·福建泉州·九年级福建省泉州市培元中学校考期中）一个矩形内放入两个边长分别为3cm 和4cm 的小正方形纸片，按照图①放置，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分（黑色阴影部分）的面积为8cm 2；按照图②放置，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为11cm 2，若把两张正方形纸片按图③放置时，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为（）A．6cm2B．7 cm2C．12cm2D．19 cm2【答案】B【分析】设矩形的长为x cm，宽为y cm，根据矩形的面积公式结合按图①②两种放置时未覆盖部分的面积，即可得出关于x、y的方程组，利用(②-①)÷3可得出x=y+1③，将③代入②中可得出关于y的一元二次方程，解之取其正值，即可得到y值，进而得出x的值，再利用矩形面积公式得出图③摆放位置时未覆盖的面积即可得出答案．【详解】解：设矩形的长为xcm，宽为ycm，依题意，得：()()16348163411xy xxy y⎧=+−+⎪⎨=+−+⎪⎩①②，（②-①）÷3，得：y-x+1=0，∴x=y+1③．将③代入②，得：y（y+1）=16+3（y-4）+11，整理，得：y2-2y-15=0，解得：y1=5，y2=-3（舍去），∴x=6．∴按图③放置时，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为：（x-4）（y-3）+（x-3）（y-4）=2×2+3×1=7．故选：B．【点睛】本题考查了二元一次方程组及一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．二、填空题：本大题共10小题，每小题2分，共20分.11．（本题2分）（2023·全国·九年级假期作业）如图，在宽为20m，长为30m的矩形地面上修建两条同样宽且互相垂直的道路，其余部分作为耕地为2551m．则道路的宽为是．【答案】1米【分析】设道路的宽为x ．由题意可得：()()2030551x x −−=，解方程即可求解．【详解】解：设道路的宽为x ．由题意可得：()()2030551x x −−=，整理得：250490x x −+=，解得：11x =，249x =（不符合题意，舍去）．∴道路的宽为1米．故答案为：1米．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．【答案】8m /8米【分析】设所围矩形与墙垂直的一边长为m x 时，羊圈面积为280m ，此时所围矩形与墙平行的一边长为()2512x +−米，利用矩形的面积计算公式，即可得出关于x 的一元二次方程，解之即可得出x 的值，再结合住房墙的长度为12m ，即可确定所围矩形与墙垂直的一边长的长度．【详解】解：设所围矩形与墙垂直的一边长为m x 时，羊圈面积为280m ，此时所围矩形与墙平行的一边长为()2512x +−米，由题意得：()251280x x +−=，整理得：213400x x −+=，解得：5x =或8x =，当5x =时，2512251251612x +−=+−⨯=>，不符合题意，舍去；当8x =时，2512251281012x +−=+−⨯=<，符合题意，∴当所围矩形与墙垂直的一边长为8m 时，羊圈面积为280m ，故答案为：8m ．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 13．（本题2分）（2023秋·四川绵阳·九年级统考期末）如图，在一块长为22米，宽为17米的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路分别与矩形的一条边平行），剩余部分种上草坪，使草坪面积为300平方米，则道路的宽为米．【答案】2【分析】将同样宽的两条互相垂直的道路平移至矩形地面的最右边与最下面，然后直接列出面积方程求解即可．【详解】设修建的道路宽为x ，则(22)(17)300x x −−=，239374300x x −+=(2)(34)0x x −−=解得2x =或37因为17x <，所以2x =故答案为：2【点睛】此题考查一元二次方程的图形面积问题，解题关键是设出未知数，根据数量关系式直接列方程． 14．（本题2分）（2022秋·广西南宁·九年级校考阶段练习）如图，是由三个边长分别为6，9，x 的正方形所组成的图形，若直线AB 将它分成面积相等的两部分，则x 的值是．【答案】3或6【分析】延长AE BG ，交于点C ，延长AN BH ，交于点D ，可得四边形ADBC 是矩形，依据ABD △与ABC 面积相等，线段AB 将三个正方形分成面积相等的两部分，即可得到四边形CEFG 与四边形DHMN 的面积相等，进而得到x 的值．【详解】解：如图所示，延长AE BG ，交于点C ，延长AN BH ，交于点D ，则四边形ADBC 是矩形，∴ABD △与ABC 面积相等，又∵线段AB 将三个正方形分成面积相等的两部分，∴四边形CEFG 与四边形DHMN 的面积相等，∴6(96)(9)x x ⨯−=−，解得3x =或6，故答案为：3或6．【点睛】此题考查一元二次方程的实际应用，矩形的性质，正方形的性质，题中的辅助线的引入是难点． 15．（本题2分）（2022秋·九年级单元测试）一个两位数，十位上的数字与个位上的数字之和为5，把这个数的个位数字与十位数字对调后，所得的新数与原数的积为736，则原数为．【答案】23或32【分析】可以设原来两位数的十位数字为x ，则个位数字为()5x −，然后可表示出两个两位数，然后根据它们的乘积为736列一元二次方程，然后解方程即可．【详解】解：设原两位数的十位数字为x ，则个位数字为()5x −，依题意得：[][]10(5)10(5)736x x x x +−−+=，整理得：2560x x −+=，解得：12x =，2=3x ，当=2x 时，10(5)102(52)23x x +−=⨯+−=，当=3x 时，10(5)103(53)32x x +−=⨯+−=，∴原两位数为23或32，故答案为：23或32．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意设出合适的未知数列出方程并能够准确解出方程． 16．（本题2分）（2022秋·九年级课时练习）已知一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位上的数字与十位上的数字的平方和比这个两位数小4，设个位上的数字为x ，列出关于x 的方程： .【答案】223200x x −−=【分析】用x 表示出十位上数，即可表示出这个两位数，再根据题目条件列出方程化简即可.【详解】∵个位上的数字为x ，个位上的数字比十位上的数字小4∴十位上的数字为4x +所以这个两位数为()1041140++=+x x x∵个位上的数字与十位上的数字的平方和比这个两位数小4∴()22411404++=+−x x x化简得223200x x −−=故答案为223200x x −−=.【点睛】本题考查一元二次方程的应用——数字问题，解题的关键是正确的表示出这个两位数，从而建立方程. 17．（本题2分）（2021·全国·九年级专题练习）如图是某月的月历表，在此月历表上可以用一个矩形圈出33⨯个位置相邻的数(如6，7，8，13，14，15，20，21，22)．若圈出的9个数中，最大数与最小数的积为192，则这9个数的和为．【答案】144【分析】根据日历上数字规律得出，圈出的9个数，最大数与最小数的差为16，以及利用最大数与最小数的积为192，求出两数，再利用上下对应数字关系得出其他数即可．【详解】根据图象可以得出，圈出的9个数，最大数与最小数的差为16，设最小数为：x ，则最大数为x+16，根据题意得出：x （x+16）=192，解得：x1=8，x2=-24（不合题意舍去），故最小的三个数为：8，9，10，下面一行的数字分别比上面三个数大7，即为：15，16，17，第3行三个数，比上一行三个数分别大7，即为：22，23，24，故这9个数的和为：8+9+10+15+16+17+22+23+24=144．故答案为144.【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用、数字变化规律以及一元二次方程的解法，根据已知得出最大数与最小数的差为16是解题关键．18．（本题2分）（2022秋·全国·九年级专题练习）有一个两位数，个位数字比十位数字大2，且个位数字与十位数字的平方和等于20，这个两位数是．【答案】24【分析】由个位上的数字与十位上的数字的平方和等于20，设未知数代入求得整数解即可．【详解】解：设十位上的数字为x ，的个位上的数字为()2x +，可列方程为()22220x x ++=，解得12x =，24x =−（舍去），24x \+=，10424x ∴+=，故答案为24．【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，掌握题中的等量关系列出方程是本题的解题关键． 19．（本题2分）（2023·全国·九年级专题练习）如图是一块矩形菜地()(),m ,m ABCD AB a AD b ==，面积为()2m s ．现将边AB 增加1m ．（1）如图1，若5a =，边AD 减少1m ，得到的矩形面积不变，则b 的值是．（2）如图2，若边AD 增加2m ，有且只有一个a 的值，使得到的矩形面积为()22m s ，则s 的值是．【答案】 6 6+6【分析】（1）根据面积的不变性，列式计算即可．（2）根据面积，建立分式方程，转化为a 一元二次方程，判别式为零计算即可．【详解】（1）根据题意，得，起始长方形的面积为()2m s ab =，变化后长方形的面积为()()()211m a b +−， ∵5a =，边AD 减少1m ，得到的矩形面积不变，∴()()5115b b +−=，解得6b =，故答案为：6．（2）根据题意，得，起始长方形的面积为()2m s ab =，变化后长方形的面积为()()()212m a b ++， ∴()()212s a b =++，s b a =，∴()212s s a a ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭， ∴221s s a a =++，∴()2220a s a s +−+=，∵有且只有一个a 的值，∴()22Δ4280b ac s s =−=−−=，∴21240s s −+=，解得1266s s =+=−故答案为：6+【点睛】本题考查了图形的面积变化，一元二次方程的应用，正确转化为一元二次方程是解题的关键．将BCP 沿BP 【答案】125或245AD ＞DC 和AD ＜DC 两种情况讨论，当AD ＞DC 时，点F 落在AD 边上，则设CD 的长度为x ．根据翻折的性质，有58PC PF x ==，38DP x =．即在Rt PDF 中，用勾股定理表示出DF ，再在Rt ABF 中，利用勾股定理得2221(3)32x x +−=，解方程即可得解；当AD ＜DC 时，由翻折变换可知四边形BCPF 是正方形，即有PC=BC ，则CD 易求．【详解】解：如图1所示，AD ＞DC 时，当点F 落在AD 边上，则设CD 的长度为x ．由翻折变化可知，58PC PF x ==，5388DP x x x =−=．在Rt PDF 中，由勾股定理得，4182DF x x ===， ∴132AF x =−．根据翻折可知BF=BC ，在Rt ABF 中，由勾股定理得，222AB AF BF +=，即2221(3)32x x +−=，解得125x =，或0x =（舍去）；如图2所示，AD ＜DC 时，当点F 落在AB 边上，由翻折变换可知，四边形BCPF 是正方形， ∴538x =，解得245x =．故CD 的长度为：125或245．故答案为：125或245．【点睛】本题考查了几何图形的翻折、勾股定理、正方形的判定与性质以及一元二次方程的应用等知识，注重分类讨论的思想是解答本题的关键．三、解答题：本大题共8小题，21-22题每小题6分，23-28题每小题8分，共60分．21．（本题6分）（2022秋·江西景德镇·九年级统考期中）有一块长32cm 、宽14cm 的矩形铁皮．(1)如图1，如果在铁皮的四个角裁去四个边长一样的正方形后，将其折成底面积为2280cm 的无盖长方体盒子，求裁去的正方形的边长；(2)由于需要，计划制作一个有盖的长方体盒子，为了合理利用材料，某学生设计了如图2所示的裁剪方案，阴影部分为裁剪下来的边角料，其中左侧的两个阴影部分为正方形，问能否折出底面积为2180cm 的有盖盒子？如果能，请求出盒子的体积；如果不能，请说明理由．【答案】(1)2cm(2)能，3180cm【分析】（1）设截去的小正方形的边长为cm x ，则长方体盒子的底的长为()322cm x −，宽为()142cm x −．根据题意列出方程就可以求出其解．（2）设左边的小正方形的边长为cm x ，根据其底面积为180列出方程，若有解即可能剪裁，否则不能．【详解】（1）设小正方形的边长为x cm ．得： ()()322142280x x −−=，解得：121x =（舍去），22x =．答：裁去的正方形的边长为2cm ．（2）能；设小正方形的边长为y cm ．得：()3221421802y y −⨯−=，解得：122y =（舍去），21y =．体积为()31801180cm ⨯=【点睛】本题是一道几何图形问题，考查了利用矩形的面积公式建立一元二次方程求解的运用．在解答中注意要检验方程的根是否使实际问题有意义．这是在解答时学生容易忽略的问题．22．（本题6分）（2022秋·广东韶关·九年级翁源县龙仙第二中学校考期中）如图，一农户要建一个矩形鸡舍，为了节省材料，鸡舍的一边利用长为12米的墙，另外三边用长为27米的建筑材料围成，为方便进出，在垂直墙的一边留下一个宽1米的门，所围成矩形鸡舍的长、宽分别是多少时，鸡舍面积为90平方米？【答案】鸡舍的边长AB 、BC 分别是9米，10米．【分析】设AB 的长度为x 米，则CD 的长度为()1x −米，BC 的长度为()282x −米，根据矩形的面积公式列方程求解，即可得到答案．【详解】解：设AB 的长度为x 米，则CD 的长度为()1x −米，BC 的长度为()()271282x x x −−−=−米，根据题意得：()28290x x −=，解得：15=x ，29x =，当5x =时，2821812x −=>，不合题意，舍去；当9x =时，28210x −=，即9AB =，10BC =，答：鸡舍的边长AB 、BC 分别是9米，10米．【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，矩形的面积公式，一元二次方程的解法，根据题目的等量关系正确列方程是解题关键．23．（本题8分）（2023春·广东揭阳·九年级统考期末）如图，用篱笆靠墙围成矩形花圃ABCD ，墙可利用的最大长度为15米，花圃一面利用墙，其余三面用篱笆围成，篱笆总长为24米．(1)若围成的花圃面积为40平方米时，求BC 的长；(2)围成的花圃面积能否为75平方米，如果能，请求BC 的长；如果不能，请说明理由．【答案】(1)BC 的长为4米(2)不能围成面积为75平方米的花圃．理由见解析【分析】（1）设BC 的长度为x 米，根据矩形的面积公式，列出方程进行求解即可；（2）根据题意，列出方程，利用判别式进行判断即可．【详解】（1）解：设BC 的长度为x 米，则AB 的长度为242x−米，根据题意得：24402x x −⋅=，整理得：224800x x −+=，解得：124,20x x ==．∵2015>，∴220x =舍去．答：BC 的长为4米．（2）不能围成，理由如下：当24752x x −⋅=时，整理得，2241500x x −+=()22441150240∆=−−⨯⨯=−<∴该方程无实数根， ∴不能围成面积为75平方米的花圃．【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用．找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键． 24．（本题8分）（2023·全国·九年级专题练习）阅读材料，回答下列问题：反序数：有这样一对数，一个数的数字排列完全颠倒过来变成另一个数，简单的说，就是顺序相反的两个数，我们把这样的一对数称为“反序数”，比如：12的反序数是21，456的反序数是654．用方程知识解决问题：若一个两位数，其十位上的数字比个位上的数字大3，这个两位数与其反序数之积为1300，求这个两位数．【答案】52【分析】设这个两位数的个位数字为x ，则十位数字为()3x +，根据这个两位数与其反序数之积为1300，可得出关于x 的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．【详解】解：设这个两位数的个位数字为x ，则十位数字为()3x +，根据题意得：()()1031031300x x x x ++++=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦， ∴()()10301031300x x x x ++++=，即()()11301131300x x ++=，∴212133033901300x x x +++=，∴23100x x +−=解得2x =或5x =−（舍去），∴()()1031023252x x ++=⨯++=，∴这个两位数为52．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．【答案】(1)240b ac −=，不是(2)1mn =(3)121，242，363，484【分析】（1）根据喜鹊数的定义解答即可；（2）根据一元二次方程的定义和根的判别式解答即可；（3）求出m 、n 互为倒数，又2m n +=−得出1m =−，1n =−，求出b a c =+，a c =，结合喜鹊数的定义即可得出答案．【详解】（1）解：∵10010k a b c =++是喜鹊数，∴24b ac =，即240b ac −=；∵2416=，4218⨯⨯=，168≠，∴241不是喜鹊数；故答案为：240b ac −=；不是；（2）∵x m =是一元二次方程20ax bx c ++=的一个根，x n =是一元二次方程20cx bx a ++=的一个根，∴20am bm c ++=，20cn bn a ++=，将20cn bn a ++=两边同除以2n 得：2110a b c n n ⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴将m 、1n 看成是方程20ax bx c ++=的两个根，∵240b ac −=，∴方程20ax bx c ++=有两个相等的实数根， ∴1m n =，即1mn =；故答案为：1mn =；（3）∵2m n +=−，1mn =，∴1m =−，1n =−，∴0a b c −+=，∴b a c =+，∵24b ac =，∴()24+=a c ac ，解得：a c =，∴满足条件的所有k 的值为121，242，363，484；故答案为：121，242，363，484．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是弄清喜鹊数的定义． 26．（本题8分）（2021秋·江苏苏州·九年级统考期中）把黑色三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个黑色三角形，第②个图案中有3个黑色三角形，第③个图案中有6个黑色三角形……按此规律排列下去，解答下列问题：（1）第5个图案中黑色三角形的个数有个．（2）第n 个图案中黑色三角形的个数能是50个吗？如果能，求出n 的值；如果不能，试用一元二次方程的相关知识说明道理．【答案】（1）15；（2）不能，理由见详解．【分析】（1）第5个图案中黑色三角形的个数有（1+2+3+4+5）个；（2）根据图形的变化规律总结出第n 个图形黑色三角的个数为1+12n n （），即可求解．【详解】解：（1）由图形的变化规律知，第5个图案中黑色三角形的个数有：1+2+3+4+5=15，故答案是：15；（2）不能，理由如下：第n 个图案中黑三角的个数为1+2+3+4+...+n=1+12n n （），根据题意，得1+1=502n n （），解得：n =不是整数，不合题意，所以第n 个图案中黑色三角形的个数不能是50个．【点睛】本题主要考查图形的变化规律和一元二次方程的应用，归纳出第n 个图形黑色三角的个数为是1+12n n （）解题的关键．27．（本题8分）（2022秋·全国·九年级专题练习）发现：四个连续的整数的积加上1是一个整数的平方．验证：(1)34561⨯⨯⨯+的结果是哪个数的平方？(2)设四个连续的整数分别为1,,1,2n n n n −++，试证明他们的积加上1是一个整数的平方；延伸：(3)有三个连续的整数，前两个整数的平方和等于第三个数的平方，试求出这三个整数分别是多少．【答案】(1)3×4×5×6＋1的结果是19的平方；(2)见解析；(3)这三个连续的整数分别是3、4、5或-1、0、1【分析】(1)按照有理数的乘法计算出结果，即可判断是19的平方；(2)设出四个连续整数，根据题意得到式子，对式子进行转化，利用完全平方公式得到一个整数的平方；(3)设中间的整数是x ，则另外两个整数分别为x -1、x+1，根据“前两个整数的平方和等于第三个数的平方”，列出方程求解即可．【详解】(1)3×4×5×6＋1=361=192，即3×4×5×6＋1的结果是19的平方；(2)设这四个连续整数依次为：n -1，n ，n+1，n+2，则(n -1)n(n+1)(n+2)+1，=[(n -1)(n+2)][n(n+1)]+1=(n2+n -2)(n2+n)+1=(n2+n)2-2(n2+n)+1=(n2+n -1)2．故四个连续整数的积加上1是一个整数的平方；(3)设中间的整数是x ，则第一个是x -1，第三个是x+1，根据题意得(x -1)2+x2=(x+1)2解之得x1=4，x2=0，则x -1=3，x+1=5，或x -1=-1，x+1=1，x=0，答：这三个整数分别是3、4、5、0、1．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，因式分解的应用；利用完全平方公式得到一个整数的平方是正确解答本题的关键． 28．（本题8分）（2022秋·福建三明·九年级统考期中）有一块长为a 米，宽为b 米的矩形场地，计划在该场地上修筑互相垂直的宽都为2米的纵横小路（阴影部分），余下的场地建成草坪．(1)如图1，在矩形场地上修筑两条的纵横小路．①请写出两条小路的面积之和S =______（用含a 、b 的代数式表示）；②若:2:1a b =，且草坪的总面积为2312m ，求原来矩形场地的长与宽各为多少米？(2)如图2，在矩形场地上修筑多条的纵横小路，其中m 条水平方向的小路，n 条竖直方向的小路（m n ，为常数），若2814a b ==，，且草坪的总面积为120平方米，求m n +的值．【答案】(1)①224a b +−②长为28米，宽为14米(2)8m n +=或10【分析】（1）①②根据两条小路的面积之和=两个长方形的面积−重叠的正方形的面积表示即可；②根据草坪的总面积为2312m ，列一元二次方程，求解即可；（2）根据草坪的总面积为120平方米，列方程求解，再进一步求出符合条件的m 和n 的值，即可求出m n +的值．【详解】（1）解：①根据题意，两条小路的面积之和()224S a b =+−平方米，故答案为：()224a b +−平方米；②根据题意，得()()22312a b −−=，又∵:2:1a b =， 2a b ∴=，∴原方程化为()()222312b b −−=，解得111b =−（不符合题意，舍去），214=b ，228a b ∴==（米），答：原来矩形场地的长为28米，宽为14米；（2）解：根据题意，得()()282142120n m −−=，整理得()()14730n m −−=， m ，n 为正整数，14n ∴−是正整数且是30的约数，7m −是正整数且是30的约数，当145n −=时，76m −=，9n ∴=，1m =，10m n ∴+=；当146n −=时，75m −=，8n ∴=，2m =，10m n ∴+=；当1410n −=时，73m −=，4n ∴=，4m =，8m n ∴+=，综上所述，8m n +=或10．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意并根据题意建立等量关系是解题的关键．。

九年级数学-一元二次方程的应用：面积与几何问题(重难点培优)

2021-2022学年九年级数学上册尖子生同步培优题典【人教版】专题21.12一元二次方程的应用：面积与几何问题（重难点培优）姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2020秋•开封期末）如图，在宽为20米、长为32米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪．要使草坪的面积为540平方米，设道路的宽x米．则可列方程为（）A．32×20﹣32x﹣20x＝540B．（32﹣x）（20﹣x）＝540C．32x+20x＝540D．（32﹣x）（20﹣x）+x2＝5402．（2021•杭州模拟）如图，在长为62米、宽为42米的矩形草地上修同样宽的路，余下部分种植草坪．要使草坪的面积为2400平方米，设道路的宽为x米，则可列方程为（）A．（62﹣x）（42﹣x）＝2400B．（62﹣x）（42﹣x）+x2＝2400C．62×42﹣62x﹣42x＝2400D．62x+42x＝24003．（2020•衡阳）如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为600平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为x米，则根据题意，列方程为（）A．35×20﹣35x﹣20x+2x2＝600C ．（35﹣2x ）（20﹣x ）＝600D ．（35﹣x ）（20﹣2x ）＝6004．（2019秋•江津区期末）如图所示，在一边靠墙（墙足够长）的空地上，修建一个面积为375平方米的矩形临时仓库，仓库一边靠墙，另三边用总长为55米的栅栏围成，若设榣栏AB 的长为x 米，则下列各方程中，符合题意的是（）A ．12x （55﹣x ）＝375B ．12x （55﹣2x ）＝375 C ．x （55﹣2x ）＝375 D ．x （55﹣x ）＝3755．（2019秋•诸城市期末）如图，把长40cm ，宽30cm 的长方形纸板剪掉2个小正方形和2个小长方形（阴影部分即剪掉部分），将剩余的部分折成一个有盖的长方体盒子，设剪掉的小正方形边长为xcm （纸板的厚度忽略不计），若折成长方体盒子的表面积是950cm 2，则x 的值是（）A ．3cmB ．4cmC ．4.8cmD ．5cm6．（2020秋•泗阳县期末）如图，在宽为20米，长为32米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使草坪的面积为540平方米，设道路的宽为x 米，则下列方程正确的是（）A ．32×20﹣20x ﹣30x ＝540B ．32×20﹣20x ﹣30x ﹣x 2＝540C ．（32﹣x ）（20﹣x ）＝5407．（2020秋•济阳区期中）如图，一块长方形绿地的长为100m，宽为50m，在绿地中开辟两条道路后剩余绿地面积为4704m2，则根据题意可列出方程（）A．5000﹣150x＝4704B．5000﹣150x﹣x2＝4704C．5000﹣150x+x22=4704D．（100﹣x）（50﹣x）＝47048．（2019秋•东昌府区期末）如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2．若设道路的宽为xm，则下面所列方程正确的是（）A．32x+2×20x﹣2x2＝570B．32x+2×20x＝32×20﹣570C．（32﹣2x）（20﹣x）＝32×20﹣570D．（32﹣2x）（20﹣x）＝5709．（2020•平顶山模拟）如图所示，把四个长和宽分别为x+2和x的矩形拼接成大正方形．若四个矩形和中间小正方形的面积和为4×35+22，则根据题意能列出的方程是（）A．x2+2x﹣35＝0B．x2+2x+35＝0C．x2+2x﹣4＝0D．x2+2x+4＝010．（2020•秦皇岛一模）如图，某小区在一块长为16m，宽为9m的矩形空地上新修三条宽度相同的小路，其中一条和矩形的一边平行，另外两条和矩形的另一边平行，空地剩下的部分种植花草，使得花草区域占地面积为120m2．设小路的宽度为xm，则下列方程：①（16﹣2x）（9﹣x）＝120；②16×9﹣9×2x﹣（16﹣2x）x＝120；③16×9﹣9×2x﹣16x+x2＝120．其中正确的是（）A．①B．②C．①②D．①②③二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2020秋•兴隆台区期末）如图，在宽为13m，长为24m的矩形场地上修建同样宽的三条小路（横向与纵向垂直），其余部分种草坪，假设草坪面积为264m2，求道路宽为多少？设宽为xm，则列出的方程是．12．（2020秋•来宾期末）如图，在一个长为40m，宽为26m的矩形花园中修建小道（图中阴影部分），其中AB＝CD＝EF＝GH＝xm，每段小道的两边缘平行，剩余的地方种植花草，要使种植花草的面积为864m2，那么x＝m．13．（2020秋•集贤县期末）如图，某单位准备将院内一块长30m，宽20m的长方形花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的地方种植花草，如图，要使种植花草的面积为532m2，设小道进出口的宽度为xm，根据条件，可列出方程：．14．（2020•山西）如图是一张长12cm，宽10cm的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形，剩余部分（阴影部分）可制成底面积是24cm2的有盖的长方体铁盒．则剪去的正方形的边长为cm．15．（2020秋•滨海县期中）如图是一张长6cm，宽5cm的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形（阴影部分），剩余部分可制成底面积是6cm2的有盖的长方体铁盒．则剪去的正方形的边长为cm．16．（2020秋•仪征市期中）如图，把一块长为40cm，宽为30cm的矩形硬纸板的四角剪去四个相同小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为600cm2，设剪去小正方形的边长为xcm，则可列方程为．17．（2020秋•天宁区校级月考）如图，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝6cm，点P从点A出发沿AB以2cm/s的速度向点B运动；同时，点Q从点B出发沿BC以1cm/s的速度向点C运动，点P运动到点B 时，点Q也停止运动；当△PQC的面积等于16cm2时，运动时间为s．18．（2019春•任城区期中）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝5，∠C＝30°．点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D．E运动的时间是t秒（t＞0）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF．则当t＝时，四边形AEFD 的面积是△ABC面积的一半．三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（2020秋•清江浦区期末）如图，有长为23m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为10m）围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，并且预留两个各0.5m的门．如果要围成面积为45m2的花圃，AB的长是多少m？20．（2021春•栖霞区月考）为了提升小区形象，改善业主居住环境，开发商准备对小区进行绿化．利用长度为64m的篱笆和一段小区围墙搭建如图所示的矩形花圃（接口忽略不计），花圃分为三块形状大小相同的矩形，分别用来种植不同的花卉．则花圃的一边AB为多长时，花圃的面积为192m2．21．（2020秋•盐城期末）2020年年末，大丰迈入高铁时代，建设部门打算对高铁站广场前一块长为20m，宽为8m的矩形空地进行绿化，计划在其中间修建两块相同的矩形绿地（图中阴影部分），若它们的面积之和为102m 2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道，问人行通道的宽度是多少米？22．（2020秋•同心县期末）“疫情”期间，某小区准备搭建一个面积为12平方米的矩形临时隔离点ABCD ，如图所示，矩形一边利用一段已有的围墙（可利用的围墙长度仅有5米），另外三边用9米长的建筑材料围成，为方便进出，在与围墙平行的一边要开一扇宽度为1米的小门EF ，求AB 的长度为多少米？23．（2020春•越城区校级月考）如图，在△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝12cm ，BC ＝16cm ．点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以1cm /s 的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以2cm /s 的速度移动，如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动的时间为t 秒．（1）当t 为何值时，△PBQ 的面积等于35cm 2？（2）当t 为何值时，PQ 的长度等于8√2cm ？（3）若点P ，Q 的速度保持不变，点P 在到达点B 后返回点A ，点Q 在到达点C 后返回点B ，一个点停止，另一个点也随之停止．问：当t 为何值时，△PBQ 的面积等于32cm 2？24．（2012秋•武进区期中）如图，△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6cm ，BC ＝8cm ，点P 从点A 出发沿AC 边向点C 以1cm /s 的速度移动，点Q 从点C 出发沿CB 边向点B 以2cm /s 的速度移动；（1）若P ，Q 两点同时出发，几秒后可使△PQC 的面积为8cm 2？（2）若P ，Q 两点同时出发，几秒后PQ 的长度为12√55cm ；（3）△PCQ 的面积能否等于△ABC 面积的一半？若能，求出运动时间；若不能，请说明理由．。

初三(九年级)数学一元二次方程应用题专项练习(带答案)

一元二次方程应用题专项练习题（带答案）一、面积问题m的矩形苗圃，它的长比宽多2 m. 苗圃的长和宽各是多少？01、一个面积为120 2m的矩形？若能，则矩形的长、宽各是多少？02、有一条长为16 m的绳子，你能否用它围出一个面积为15 203、如图，在一块长35 m、宽26 m的矩形地面上，修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一m，道路的宽应为多少？条边平行），剩余部分栽种花草，要使剩余部分的面积为850 204、如图所示，在宽为20m，长为32m的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路，（互相垂直），把耕地分成大小不等的六块试验田，要使试验田的总面积为570m2，道路应为多宽？05、一块四周镶有宽度相等的花边的地毯如图所示，它的长为8 m，宽为5m，那么花边有多宽？m. 如果地毯中央长方形图案的面积为18 206、在一幅长90 cm、宽40 cm的风景画的四周外围镶上一条宽度相同的金色纸边，制成一幅挂图，如果要求风景画的面积是整个挂图面积的72%，那么金色纸边的宽应该是多少？m的长方形，将它的一边剪短5 m，另一边剪短2 m，恰好变成一个正方形，这个正方形的07、有一面积为54 2边长是多少？08、将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形.（1）要使这两个正方形的面积之和等于17 cm2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少?（2）两个正方形的面积之和可能等于12cm2吗? 若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由.09、如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝8 m，BC＝6 m，点P、Q同时由A、B两点出发分别沿AC、BC方向向点C匀速移动（到点C为止），它们的速度都是1 m/s. 经过几秒△PCQ的面积是Rt△ACB面积的一半？二、体积问题dm，求这个木箱的长和宽.10、长方体木箱的高是8 dm，长比宽多5 dm，体积是528 311、将一块正方形铁皮的四角各剪去一个边长为4 cm的小正方形，做成一个无盖的盒子.已知盒子的容积是4003cm，求原铁皮的边长.三、数的问题12、两个数的差等于4，积等于45，求这两个数.13、三个连续整数两两相乘，再求和，结果为242，这三个数分别是多少？14、有五个连续整数，前三个数的平方和等于后两个数的平方和，求这五个数.15、若两个连续整数的积是56,则它们的和是 ( )A. 11B. 15C. -15 D .±1516、一个直角三角形三边的长为三个连续偶数，求这个三角形的三条边长.四、变化率问题（增长或减少）17、某公司前年缴税40万元，今年缴税48.4万元，该公司缴税的年平均增长率为多少？18、某种型号的电脑，原售价7200元/台，经连续两次降价后，现售价为3528元/台，则平均每次降价的百分率为______.19、某超市一月份的营业额为200万元,已知第一季度的总营业额共1000万元, 如果平均每月增长率为x ,则由题意列方程应为( )A. 200(1+x)2=1000B. 200+200×2x=1000C. 200+200×3x=1000D. 200[1+(1+x)+(1+x)2]=100020、某商场今年1月份销售额为100万元，2月份销售额下降了10%，该商场马上采取措施，改进经营管理，使月销售额大幅上升，4月份的销售额达到129.6万元，求3、4月份月销售额的平均增长率.五、利润问题21、某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加赢利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件.若商场平均每天要赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？22、某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克。

9年级培优专题-一元二次方程的应用

专题07 一元二次方程的应用例题与求解【例1】甲、乙两地分别在河的上、下游，每天各有一班船准点以匀速从两地对开，通常它们总在11时于途中相遇，一天乙地的船因故晚发了40分钟，结果两船在上午11时15分在途中相遇，已知甲地开出的船在静水中的速度数值为44千米/时，而乙地开出的船在静水中的速度为水流速度ν千米/时数值的平方，则ν的值为___________.解题思路：利用甲船15分钟所行路程是乙船（40-15）分钟所行路程建立方程.【例2】自然数n 满足()()1616247222222-+--=--n n n n n n ，这样的n 的个数是（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解题思路：运用幂的性质，将问题转化为解方程.【例3】如图，在平面直角坐标系中，直线1+=x y 与343+-=x y 交于点A ，分别交x 轴于点B 和点C ，点D 是直线AC 上的一个动点.（1）求点A ，B ，C 的坐标；（2）当△CBD 为等腰三角形时，求点D 的坐标.解题思路：对于（2），利用“腰相等”建立方程，解题的关键是分类讨论.yx BC AO【例4】如图，已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，点E 在直角边AC 上（点E 与A ，C 两点均不重合）.（1）若点F 在斜边AB 上，且EF 平分Rt △ABC 的周长，设AE ＝x ，试用x 的代数式表示S AEF ∆；（2）若点F 在折线ABC 上移动，试问：是否存在直线EF 将Rt △ABC 的周长和面积同时平分？若存在直线EF ，则求出AE 的长；若不存在直线EF ，请说明理由.解题思路：几何计算问题代数化，通过定量分析回答是否存在这样的直线EF ，将线段的计算转化为解方程.【例5】某公司投资新建了一商场，共有商铺30间，据预测，当每间的年租金定为10万元时，可全部租出. 每间的年租金每增加5000元，少租出商铺1间，该公司要为租出的商铺每间每年交各种费用1万元，未租出的商铺每间每年交各种费用5000元.（1）当每间商铺的年租金定为13万元时，能租出多少间？（2）当每间商铺的年租金定为多少万元时，该公司的年收益（收益＝租金－各种费用）为275万元？解题思路：解题的关键是把复杂的数量关系分解成若干个小问题，再寻找各个小问题间量与量的关系.能力训练A 级1. 某工厂把500万元资金投入新产品生产，第一年获得了一定的利润，在不抽调资金和利润（即将第一年获得的利润也作为生产资金）的前提下，继续生产，第二年的利润率（即所获利润与投入生产资金的比）比第一年的利润率增加了8%.如果第二年的利润为112万元，为求第一年的利润率，可设它为x ，那么所列方程为_______________. （济南市中考试题）2. 如图，在长为10cm 、宽为8cm 的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形，使得留下阴影部分面积是原矩形面积的80%，则所截去的小正方形的边长是_________.3. 有一旅客携带了30千克行李从南京禄口国际机场乘飞机去天津. 按民航规定，旅客最多可免费携带20千克行李，超重部分每千克按飞机票价的1.5%购买行李票，现该旅客买了120元的行李票，则他的飞机票价格应是________.4. 已知实数x 、y 满足3,3243424=+=+y y xx ，则444y x +的值为（） A.7 B.2131+ C.2137+ D. 5 5. 一个跳水运动员从10米高台上跳水，他每一时刻所在的高度（单位：米）与所用时间（单位：秒）的关系式是()()125+--=t t h ，则运动员起跳到入水所用的时间是（）A. －5秒B. 1秒 C . －1秒 D. 2秒6. 某种出租车的收费标准时：起步价7元（即行驶距离不超过3千米都需付7元车费），超过3千米以后，每增加1千米，加收2.4元（不足1千米按1千米计），某人乘这种出租车从甲地到乙地共支付车费19元，设此人从甲地到乙地经过的路程是x 千米，那么x 的最大值是（）A. 11B. 8 C . 7 D.57. 如图，菱形ABCD 的边长为a ，O 是对角线AC 上的一点，且OA ＝a ，OB ＝OC ＝OD ＝1，则a ＝（）A .215+B . 215- C . 1 D .2CA第2题图第7题图8. 我市向民族地区的某县赠送一批计算机，首批270台将于近期起运. 经与某物流公司联系，得知用A型汽车若干辆刚好装完；用B 型汽车不仅可少用1辆，而且有一辆车差30台计算机才装满.（1）已知B 型汽车比A 型汽车每辆车可多装15台，则A ，B 两种型号的汽车各能装计算机多少台？（2）已知A 型汽车的运费是每辆350元，B 型汽车的运费是每辆400元。

一元二次方程根的判别式的应用(基础+培优)

一元二次方程根的判别式的应用(基础+培优训练)一、△的运用1. 若关于x 的一元二次方程(k-1)x 2 +kx +1=0有实数根,则k 的取值范围是( )A. k ≠2B. k> 2C.k<2且k ≠1D.k ≠1的一切实数2. 若关于x 的方程(k-1)x 2 +kx +1=0有实数根,则k 的取值范围是3. 若关于x 的方程(k-1)x 2 +kx +1=0有两个实数根,则k 的取值范围是二、根与系数的关系1. 已知关于x 的一元二次方程0462=++-m x x 有两个实数根21,x x .（1）求m 的取值范围;（2）若21,x x 满足2321+=x x ，求m 的值.2.关于x 的一元二次方程01-32=++m x x 的两个实数根分别是21,x x .（1）求m 的取值范围;（2）若()01022121=+++x x x x ，求m 的值.3.已知关于x 的一元二次方程 x 2- 4x －m 2＝0．（1）求证：该方程有两个不相等的实数根；（2）若该方程的两个实数根x 1，x 2 满足x 1＋2x 2＝9，求m 的值．4.已知关于x的一元二次方程x2-(m-3)x一m2=0.(1)求证:方程总有两个不相等的实数根;(2)设这个方程的两个实数根为x1,x2 ,且|x1|=|x2|一2,求m的值及方程的根.5.已知关于x的方程x2-2mx=-m2+2x的两个实数根x1,x2满足|x1|=x2,求实数m的值.6.已知关于x的一元二次方程 x2-(2k+1)x+k2+k=0.(1)求证:方程有两个不相等的实数根;(2)若△ABC的两边AB.AC的长是方程的两个实数根,第三边BC的长为5,当△ABC是等腰三角形时，求k的值.三、判断二次三项式在实数范围内是否可以分解1.如果关于x的二次三项式k2x2 - (2k +1)x+1在实数范围内总能分解成两个一次因式的积,那么k的取值范围是2.如果二次三项式3x2-4x+2k在实数范围内总能分解成两个一次因式的积，则k的取值范围是3.如果x2- 2(m+1)x+m2+5是一个完全平方式，则m=四、构造一元二次方程，由参数的存在性得出△的正负性1 .在△ABC中,∠B=60°,AC=1.求证AB+ BC≤2.2.如图,正方形ABCD的边长为1,点M,N分别在BC,CD上,△CMN的周长为2,求△AMN的面积的最小值.五、根的判别式的运用1.已知关于x的方程x2+(2m+1)x+m2 +2=0有两个不等的实数根，试判断直线y=(2m-3)x- 4m+7能否通过点A(-2,4),答: （填“能”或“不能”）2.a，b是实数，关于x的方程|x2+ax+b|=2有三个不等的实数根.(1)求证:a2-4b-8=0.(2)若该方程的三个不等的实数根恰为一个三角形三内角的度数,求证:该三角形必有一个内角为60°.(3)若该方程的三个不等的实数根恰为一直角三角形的三边长,求a,b的值.。

21.1 一元二次方程同步培优训练(含答案)数学人教版九年级上册

21.1一元二次方程任务一一元二次方程概念的应用母题1关于x的方程(m-1)x m2+1+2mx-3=0是一元二次方程,则m的值是()A.任意实数B.1C.-1D.±1【关键点拨】变式练1：已知关于x的方程(a-3)x│a-1│+6x-1=0是一元二次方程,则a的值是.任务二一元二次方程根的应用子任务1已知一元二次方程的一个根,求字母的值母题2若关于x的方程x2-kx-12=0的一个根为3,则k的值为.变式练2：关于x的一元二次方程(k+2)x2+6x+k2-4=0有一个根是0,则k的值是.变式练3：已知关于x的一元二次方程x2x-6=0,其中一次项系数被污染了,若这个方程的一个根为-2,则一次项系数为.子任务2求与一元二次方程的根相关的代数式的值的值.母题3已知a是一元二次方程x2-2025x+1=0的一个根,试求a2-2024a+2025a2+1变式练4：已知m是方程x2-x-3=0的一个根,则m2-m+2024的值为.变式练5：若关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0的一个解是x=1,则代数式2025-a-b的值为.任务三根据实际问题列一元二次方程母题4根据问题列方程,并将所列方程化成一元二次方程的一般形式.一根1 m 长的铁丝,怎样用它围成一个面积为0.06 m2的矩形?(列出方程即可,不必解答)变式练6：《九章算术》中记载:今有户不知高、广,竿不知长、短,横之不出四尺,从之不出二尺,邪之适出.问户高、广、邪各几何?这段话翻译后是今有门,不知其高、宽,有竿,不知其长、短.横放,竿比门宽长出4尺;竖放,竿比门高长出2尺;斜放,竿与门对角线恰好相等.问门高、宽、对角线长分别是多少?若设门对角线长为x 尺,则可列方程:.母题5如图,在一块长为22米、宽为17米的矩形地面上,要修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路各与矩形的一条边平行),剩余部分铺上草坪,且使草坪面积为300平方米.若设道路的宽为x米,则根据题意可列出方程:.点拨一将道路平移到大矩形的两边,构造出一个矩形,则草坪的面积等于该矩形的面积.点拨二草坪的面积=大矩形的面积-两条道路所占面积+两条道路重合部分的面积.变式练7：如图,某中学有一块长为30 m、宽为20 m的矩形空地,且计划在这块空地的一半区域种花,小亮同学设计了一个宽度相同的倒“U”形区域,求花带的宽度.设花带的宽度为x m,依题意可列方程:.参考答案母题1 C变式练1-1母题2-1提示:把x=3代入方程x2-kx-12=0,得9-3k-12=0,解得k=-1.变式练2 2变式练3-1提示:设一次项系数为b,则方程为x2+bx-6=0,把x=-2代入方程,得4-2b-6=0,解得b=-1,∴一次项系数为-1.母题3解:∵a是x2-2025x+1=0的一个根,∴a2-2025a+1=0,∴a2+1=2025a,a2=2025a-1,∴a2-2024a+2025a2+1=2025a-1-2024a+20252025a=a-1+1a=a2-a+1a=2025a-1-a+1a=2024.变式练42027变式练52026提示:把x=1代入方程ax2+bx+1=0得a+b+1=0,∴a+b=-1,∴2025-a-b=2025-(a+b)=2025+1=2026.母题4解:设宽为x m,依题意,得x(0.5-x)=0.06,化为一元二次方程的一般形式,得x2-0.5x+0.06=0.变式练6x2=(x-4)2+(x-2)2母题5(22-x)(17-x)=300(或x2-39x+74=0)变式练7(30-2x)(20-x)=30×20×12。

九年级数学培优专题一元二次方程

微专题（1）：一元二次方程的解法及应用
1．解方程：（1）0349432=-+x x （2）08
37433832=-+x x 2．在实数范围内定义一种新运算“△”，其规则为a △b ＝a 2－b 2，根据这个规则：
（1）求4△3的值；（2）求(x ＋2)△5＝0中x 的值．
3．求证：不论m 为任何实数，关于x 的一元二次方程x 2－2mx ＋6m －10＝0总有两个不相等的实数根．
4．关于x 的一元二次方程x 2＋(2k ＋1)x ＋k 2＋1＝0有两个不等实根x 1，x 2.
（1）求实数k 的取值范围；（2）若方程两实根x 1，x 2满足x 1＋x 2＝3－x 1·x 2，求k 的值．
5.已知关于x 的一元二次方程0)12(2
2=+++-k k x k x .
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若等腰三角形ABC 的两边AB ，AC 的长是上述方程的两个根，当BC 为5时，
求k 的值．6．如图，有长为24米的篱笆，一面利用墙(墙的最大可用长度为11米)，围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．
（1）如果要围成面积为45平方米的花圃，那么AD 的长为多少米？
（2）能否围成面积为60平方米的花圃？若能，请求出AD 的长；若不能，请说明理由．
7．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6厘米，BC ＝12厘米，点P 从A 开始沿AB 边向点B 以1厘米/秒的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以2厘米/秒的速度移动，如果P ，Q 分别是从A ，B 同时出发，设时间为x 秒．
（1）经过几秒时，△PBQ 的面积等于8平方厘米？
（2）经过几秒时，△PBQ 的面积等于矩形面积的112？。

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