北京市朝阳区2020学年高一数学下学期期末考试试题(含解析)

北京市朝阳区2020学年度第二学期期末质量检测
高一年级数学学科试卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1.直线 倾斜角的大小是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
把直线方程化成斜截式，根据斜率等于倾斜角的正切求解.
【详解】直线 化成斜截式为 ，
故选D.
【点睛】本题考查空间线面的位置关系，结合定理与举例判断.
6.从某小学随机抽取100名学生，将他们的身高数据（单位：厘米）按 ， ， ， ， 分组，绘制成频率分布直方图（如图）．从身高在 ， ， 三组内的学生中，用分层抽样的方法抽取18人参加一项活动，则从身高在 内的学生中选取的人数应为（ ）
（Ⅰ）求 的长；
（Ⅱ）求 的值；
（Ⅲ）判断 是否为锐角三角形，并说明理由.
【答案】（Ⅰ）AB=4,AC= ；（Ⅱ） ；（Ⅲ）见解析
【解析】
【分析】
（Ⅰ）先根据三角形面积公式求 ，再根据余弦定理求 ；（Ⅱ）根据正弦定理求解；（Ⅲ）根据勾股定理及三边关系判断
【详解】（Ⅰ）由 ，得 .
因为 是 的中点，所以 .在 中，
故选A.
【点睛】本题考查频率分布直方图与分层抽样，属于基础题.
7.如图，设A，B两点在河的两岸，某测量者在A同侧的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50米，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，则A，B两点的距离为（ ）
A. 50 米B. 50 米C. 25 米D. 米
【答案】A
【解析】
【分析】
先根据三角形内角和求 ，再根据正弦定理 求解.
科目
方案人数
物理
化学
生物
政治
历史
地理
一
220
√
√
√
二
200
√
√
√
三
180
√
√
√
四
175
√
√
√
五
135
√
√
√
六
90
√
√
√
（Ⅰ）在这1000名学生中，从选修物理的学生中随机选取1人，求该学生选修政治的概率；
（Ⅱ）在这1000名学生中，从选择方案一、二、三的学生中各选取2名学生，如果在这6名学生中随机选取2名，求这2名学生除选修物理以外另外两门选课中有相同科目的概率；
A. 3B.4C. 5D. 6
【答案】A
【解析】
【分析】
先求 ， ， 三组频率，再求各组频数，最后根据分层抽样总体与各层抽样比例相同求解.
【详解】各组频率等于各组矩形的面积，所以，
身高在 ， ， 的频率分别为0.3，0.2，0.1，
身高在 ， ， 的频数分别为30，20，10，Biblioteka Baidu
分层抽样的比例为 .
所以，身高在 内的学生中选取的人数为 .
凸多面体
顶点数
棱数
面数
三棱柱
6
9
5
四棱柱
8
12
6
五棱锥
6
10
6
六棱锥
7
12
7
根据上表所体现的数量关系可得有12个顶点，8个面的扭曲棱柱的棱数是（ ）
A. 14B.16C. 18D. 20
【答案】C
【解析】
【分析】
分析顶点数,棱数与面数的规律，根据规律求解.
【详解】易知同一凸多面体顶点数,棱数与面数的规律为：
【详解】在 中 ，
则
由正弦定理得 ，
所以 m.
故选A.
【点睛】本题考查解三角形的实际应用，正弦定理余弦定理是常用方法，注意增根的排除.
8.如图，在正方体 中， 是棱 上的动点．下列说法正确的是（ ）
A.对任意动点 在平面 内不存在与平面 平行的直线
B.对任意动点 在平面 内存在与平面 垂直的直线
C.当点 从 运动到 的过程中，二面角 的大小不变
【详解】（Ⅰ）设事件 为“在这 名学生中，
从选修物理的学生中随机选取1人，该学生选修政治”.
在这 名学生中，选修物理的学生人数为 ，
其中选修政治的学生人数为 ，所以 .
故在这 名学生中，从选修物理的学生中随机选取1人，
该学生选修政治的概率为 .
（Ⅱ）设这六名学生分别为A1,A2,B1,B2,C1,C2，
其中A1,A2选择方案一，B1,B2选择方案二，
C1,C2选择方案三.从这6名学生中随机选取2名，
所有可能的选取方式为：
A1A2，A1B1，A1B2，A1C1，A1C2，A2B1，A2B2，A2C1，A2C2，
B1B2，B1C1，B1C2，B2C1，B2C2，C1C2，共有 种选取方式.
记事件 为“这2名学生除选修物理以外另外两门选课中有相同科目”.
3.已知直线 ， ，若 ，则实数 的值是（ ）
A. B. C. D. 或
【答案】B
【解析】
【分析】
根据直线垂直斜率之积为1求解.
【详解】因为 ，
所以 ，
解得 .
故选B.
【点睛】本题考查直线垂直的斜率关系，注意斜率不存在的情况.
4.在正方体 中， 分别是棱 的中点，则异面直线 和 所成角的大小是（ ）
从上述数据估计该市选课偏理的学生人数多.
A.若 ，则 B.若 ，则
C.若 ，则 D.若 ，则
【答案】D
【解析】
【分析】
分析条件的特殊情况，结合定理举例推翻错误选项即可.
【详解】当直线 是相交且垂直，确定的平面与 平行时， ，故A错误；
当 相交，直线 与交线平行时， ，故B错误；
当直线 在面 内，且 ，直线 垂直 的交线时， ，故C错误；
垂直与同一直线的两个平面平行，故D正确.
则直线 必须与圆相交于图中阴影部分.
又 ，
所以 的取值范围是 ；
当直线位于 时，
划分成的三个部分中有两部分的面积相等.
【点睛】本题考查直线和圆的位置关系的应用，直线的斜率，结合图形是此题的关键.
三、解答题：本大题共4小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
17.如图，在 中， 是 的中点， ， ， 的面积为 .
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
平移 到 ，平移 到 ，则 与 所求的角即为所求的角.
【详解】如图所示，
∵ 分别是棱 的中点
∴ ∥
又∵ ∥ ，
∴
∴ 和 所成的角为 .
故选D.
【点睛】本题考查异面直线所成的角，常用方法：1、平移直线到相交；2、向量法.
5.已知 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
【答案】①② ③（答案不唯一，或②③ ①）
【解析】
【分析】
假设其中两个论断为条件，其余为结论，再根据线面关系的定理推断命题是否正确.
【详解】①②为条件，③为结论，证明如下：
若 ， ，则 内有一条直线 与 平行，
若 ，则 内必有两条相交直线 与 垂直，
所以直线 与直线 垂直，
所以 ，所以 .
【点睛】本题考查空间线面关系的证明，此题也可举例推翻错误命题.
由余弦定理得 .
故 .
（Ⅱ）在 中，由正弦定理， .
所以 .
（Ⅲ） 是锐角三角形.因为在 中， .
所以 是最大边，故 是最大角.且 .
所以 为锐角.所以 为锐角三角形.
【点睛】本题考查正弦定理余弦定理在解三角形中的综合应用.判断三角形的形状也可用余弦定理求最大角的余弦值判断.
18.某市从高二年级随机选取1000名学生，统计他们选修物理、化学、生物、政治、历史和地理六门课程（前3门为理科课程，后3门为文科课程）的情况，得到如下统计表，其中“√”表示选课，“空白”表示未选．
【详解】由茎叶图可知，30名学生的最高成绩是96分，
因为甲班的成绩集中在（60，80）分，
乙班的成绩集中在（70，80）分，
故乙班的平均成绩较高。
【点睛】本题主要考查对茎叶图的理解.平均成绩决定于数据的集中区域与集中程度.
12.在 中，已知 ，则 _______．
【答案】3
【解析】
【分析】
根据余弦定理 求解.
【详解】二次函数 对称轴为 ，
因为对称轴 为线段 的中垂线，
所以圆心在直线 上，故①正确；
因为二次函数与 轴有两点不同交点，
所以 ，即 ，故②错误；
不妨设 在 的左边，则 ，
设圆方程为 ，则
，解得，
，
因为 ，所以 即 ，故③错误；
由上得圆方程为 ，
即 ，恒过点 ，故④正确.
故选D.
【点睛】本题考查直线与圆的应用，关键在于结合图形用待定系数法求圆方程，曲线方程恒过定点问题要分离方程参数求解.
④存在定点 ，使得圆 恒过点 .
A.①②③B.①③④C.②③D.①④
【答案】D
【解析】
【分析】
根据圆的的性质得圆心横坐标为1；根据二次函数的性质与二次函数与 轴有两个焦点可得 的取值范围；假设圆方程为 ，用待定系数法求解，根据二次函数的性质和 的取值范围求圆半径的取值范围，再根据圆方程的判断是否过定点.
在 种选取方式中，这2名学生除选修物理以外另外两门选课中
有相同科目的选取方式有A1A2，B1B2，C1C2，B1C1，B1C2，B2C1，
B2C2，A1C1，A1C2，A2C1，A2C2，共11种，因此 .
（Ⅲ）在选取的1000名学生中，
选修至少两门理科课程的人数为 人，频率为 .
选修至少两门文科课程的人数为 人，频率为 .
根据点到直线距离公式与圆的垂径定理求解.
【详解】圆 的圆心为 ，半径为 ，
圆心 到直线 的距离： ，
由 得 ，
解得 .
【点睛】本题考查直线与圆的应用.此题也可联立圆与直线方程，消元后用弦长公式求解.
15.已知 是两个不同平面，直线 ，给出下面三个论断：
① ② ③
以其中两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题_______.
【详解】由余弦定理得：
即
解得 或 （舍去）
【点睛】本题考查解三角形，正弦定理余弦定理是常用方法，注意增根的排除.
13.某几何体是由一个正方体去掉一个三棱柱所得，其三视图如图所示.如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积是___
【答案】6
【解析】
【分析】
先作出几何体图形，再根据几何体的体积等于正方体的体积减去三棱柱的体积计算.
D.当点 从 运动到 的过程中，点 到平面 的距离逐渐变大
【答案】C
【解析】
【分析】
不论 是在 任意位置，平面 即平面 ，再求解.
【详解】因为 在平面 内，且平行平面 ，故A错误；
平面 即平面 ，又平面 与平面 斜相交，
所以在平面 内不存在与平面 垂直的直线，故B错误；
平面 即平面 ，平面 与平面 是确定平面，
（Ⅲ）利用表中数据估计该市选课偏文（即选修至少两门文科课程）的学生人数多还是偏理（即选修至少两门理科课程）的学生人数多，并说明理由.
【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ） ；（Ⅲ）该市选课偏理的学生人数多
【解析】
【分析】
（Ⅰ）根据古典概型公式求解；（Ⅱ）列出所有的情况，根据古典概型公式求解；（Ⅲ）根据样本频率估计概率判断.
所以二面角不改变，故C正确；
平面 即平面 ，点 到平面 的距离为定值，故D错误.
故选C.
【点睛】本题考查空间线面关系，属于综合题.本题的关键在于平面 的确定.
9.2020年科学家在研究皮肤细胞时发现了一种特殊的凸多面体,称之为“扭曲棱柱”.对于空间中的凸多面体,数学家欧拉发现了它的顶点数,棱数与面数存在一定的数量关系.
因为 ，所以 .
故选B.
【点睛】本题考查直线的斜截式方程和基本性质，属于基础题.
2.在 中， ， ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据正弦定理 求解.
【详解】由正弦定理可得 ，
又
.
故选A.
【点睛】本题考查解三角形，正弦定理余弦定理是常用方法.注意增根的排除，大边对大角是常用排除方法.
【详解】几何体如图所示：
去掉的三棱柱的高为2，底面面积是正方体底面积的 ，
所以三棱柱的体积：
所以几何体的体积：
【点睛】本题考查三视图与几何体的体积.关键是作出几何体的图形，方法：先作出正方体的图形，再根据三视图“切”去多余部分.
14.已知直线 与圆 交于 两点，若 ，则 ____.
【答案】
【解析】
分析】
16.已知两条直线 , 将圆 及其内部划分成三个部分,则 的取值范围是_______；若划分成的三个部分中有两部分的面积相等,则 的取值有_______种可能.
【答案】(1). (2).3
【解析】
【分析】
易知直线 过定点 ，再结合图形求解.
【详解】依题意得直线 过定点 ，如图：
若两直线将圆分成三个部分，
棱数＝顶点数＋面数－2，
所以，12个顶点，8个面的扭曲棱柱的棱数＝12＋8－2＝18.
故选C.
【点睛】本题考查逻辑推理，从特殊到一般总结出规律.
10.已知二次函数 交 轴于 两点( 不重合)，交 轴于 点.圆 过 三点.下列说法正确的是（ ）
①圆心 在直线 上；
② 的取值范围是 ；
③圆 半径的最小值为 ；
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．
11.某学校甲、乙两个班各15名学生参加环保知识竞赛，成绩的茎叶图如下：
则这30名学生的最高成绩是_______；由图中数据可得_______班的平均成绩较高．
【答案】(1).96(2).乙
【解析】
【分析】
最高成绩位的“茎”最大的“叶”上的最大数，再分析两个班的成绩主要集中在哪些“茎”上，比较这些“茎”的大小即可得出结果.