15概率统计

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中考数学专题15 概率统计问题(含解析)

专题15 概率统计问题中考压轴题中概率统计问题，有些难度的题目主要是概率问题。

1.四张质地、大小相同的卡片上，分别画上如下图所示的四个图形，在看不到图形的情况下从中任意抽出一张，则抽出的卡片既不是轴对称图形也不是中心对称图形的概率为【】A. 12B.14C.34D.1【答案】B。

【考点】概率，轴对称图形也不是中心对称图形的判断。

2.向一个图案如下图所示的正六边形靶子上随意抛一枚飞镖，则飞镖插不落在阴影区域的概率为【】A.231π- B.16C.331- D.232π-【答案】D。

【考点】正六边形的性质，等边三角形的判定和性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，扇形的计算，几何概率。

【分析】如图，设正六边形的边长为a，则正六边形可由六个与△ABO全等的等边三角形组成，△ABO的边长也为a，高BH=3a，面积为23a。

正六边形的面积为233a。

故选D。

3.如图，某商场设立了一个可以自由转动的转盘，并规定：顾客购物10元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品．下表是活动进行中的一组统计数据：（1）计算并完成表格：（2）请估计，当n很大时，频率将会接近多少？（3）假如你去转动转盘一次，你获得铅笔的概率是多少？【答案】（1）0.68，0.74，0.68，0.69，0.705，0.701；（2）接近0.7；（3）0.7【解析】考点：本题考查的是利用频率估计概率点评：解答此类题目需掌握大量反复试验下频率稳定值即概率．解本题的关键是根据红球的频率得到相应的等量关系．4.如图是9×7的正方形点阵，其水平方向和竖起直方向的两格点间的长度都为1个单位，以这些点为顶点的三角形称为格点三角形．请通过画图分析、探究回答下列问题：(1)请在图中画出以AB为边且面积为2的一个网格三角形；(2)任取该网格中能与A、B构成三角形的一点M，求以A、B、M为顶点的三角形的面积为2的概率；(3)任取该网格中能与A、B构成三角形的一点M，求以A、B、M为顶点的三角形为直角三角形的概率. 【答案】（1）图形略，共12个三角形；（2）；(3).【解析】本题考查的是概率公式121236375614==-121236375614==-BA（2）由分析可知：只要M 不再AB 上或者AB 的延长线上，ABM 都可以构成三角形，共有9×7-7=63-7=56个，5. 有三张正面分别写有数字﹣2，﹣1，1的卡片，它们的背面完全相同，将这三张卡片北背面朝上洗匀后随机抽取一张，以其正面的数字作为x 的值，不放回卡片洗匀，再从余下的两张卡片中随机抽取一张，以其正面的数字作为y 的值，两次结果记为（x ，y ）。

(完整版)近三年高考数学分值分布

5
向量的分解
5
立体几何，三视图，距离
5
抛物线，向量
5
函数，零点
5
数学文化，统计概率
5
双曲线，弦长
5
立体几何
5
线性规划
5
数列
5
排列组合
5
函数最值
5
解三角形
12
立体几何
12
椭圆，直线方程
12
统计概率期望
12
函数与导数，单调性
12
参数与极坐标普通方程，交点
10
立体几何分值：22分
三角函数分值：一大12 数列分值：两小15分概率统计：一大三小27分
2018年高考数学题序
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
20
21
22
总结：
高考动态：删掉程序框图，删掉积分，删掉二选一，弱化逻辑关联词，加入三视图，弱化线性规划，弱化排列组合，
内容
分值
复数的模
5
不等式，补集
5
统计
5
数列
5
函数的切线与奇偶性
圆锥曲线：一大两小22分向量：一小5分
2017年高考数学题序内容
1 不等式，集合 2 概率 3 复数 4 数列 5 函数的奇偶性，单调性 6 二项式定理 7 三视图，面积 8 程序框图，数列 9 三角函数平移 10 抛物线 11 比较大小 12 数列 13 向量的模 14 线性规划 15 双曲线离心率 16 立体几何，最值 17 解三角形 18 立体几何 19 统计，正态分布
12
18 立体几何
12
19 抛物线与直线

概率与统计的计算方法

概率与统计的计算方法概率与统计是一门数理学科，研究随机现象的规律以及通过观察数据来做出合理推断的方法。

在现代科学与技术领域中广泛应用，例如金融、医学、工程和社会科学等。

在概率与统计的学习中，计算方法是非常关键的一部分。

本文将介绍一些常见的概率与统计计算方法，包括概率计算、均值与方差计算、假设检验等。

一、概率计算方法概率是描述随机事件发生可能性的数值。

在概率计算中，常用的方法有计数法、公式法和条件概率法。

1. 计数法：通过对事件的所有可能结果进行计数，从而得到事件发生的概率。

例如，计算抛一枚骰子得到1的概率，可列出骰子的所有可能结果{1, 2, 3, 4, 5, 6}，计数结果为1，所以概率为1/6。

2. 公式法：根据事件的性质和条件，使用概率公式来计算概率。

常见的公式包括加法法则、乘法法则和贝叶斯公式等。

例如，计算两次抛硬币都是正面的概率，使用乘法法则，假设事件A为第一次抛硬币正面，事件B为第二次抛硬币正面，根据乘法法则，P(A∩B) = P(A) *P(B|A) = 1/2 * 1/2 = 1/4。

3. 条件概率法：考虑到已知条件，计算事件发生的概率。

例如，计算在已知第一次抛硬币正面的情况下，第二次抛硬币也是正面的概率，使用条件概率法，假设事件A为第一次抛硬币正面，事件B为第二次抛硬币正面，根据条件概率定义，P(B|A) = P(A∩B) / P(A)，代入已知条件和前面计算的结果，得到P(B|A) = 1/4 / 1/2 = 1/2。

二、均值与方差的计算方法均值和方差是描述数据分布特征的重要指标。

在统计学中，常用的计算方法有样本均值计算、样本方差计算和标准差计算等。

1. 样本均值计算：对一组数据进行求和，然后除以数据的数量，得到均值。

例如，计算一组数据{1, 2, 3, 4, 5}的均值，求和得到15，数据数量为5，所以均值为15/5 = 3。

2. 样本方差计算：计算每个数据值与均值的差的平方和的平均值。

《统计与概率》教案15篇

《统计与概率》教案15篇《统计与概率》教案1设计说明1、重视提出启发性的问题，引导学生主动探究。

在教学时，首先帮助学生归纳整理统计的相关知识，然后提出一系列富有启发性的问题，让学生自己去思考，去探究，使学生的思维一直处于活跃状态，把学习的主动权真正交给学生。

2、重视对统计表的观察和分析。

在复习统计知识时，引导学生观察复式统计表，发现有价值的信息，从而正确地解决问题。

同时引导学生通过观察，发现复式统计表的优点，让学生感受到不同形式的统计表的使用条件，从而联系实际恰当地选择统计表。

课前准备教师准备PPT课件学生准备复式统计表教学过程⊙导入复习这节课我们一起复习复式统计表这部分知识。

（板书课题）⊙整理复习复式统计表的相关知识1、复式统计表的优点和使用条件。

师：谁能说说在什么情况下可以使用复式统计表？复式统计表和单式统计表相比有哪些优点？学生小组讨论后汇报：（1）在反映两个（或多个）统计内容的数据时可以使用复式统计表。

（2）复式统计表可以更加清晰、明了地反映数据的情况以及两个（或多个）数据变化的差异，为统计工作带来了很大的益处和帮助。

2、复习复式统计表的制作。

（1）引导学生回顾复式统计表的结构。

课件展示一个复式统计表，学生观察后汇报：复式统计表一般包括：标题、日期、表格（表头、横栏、纵栏、数据）。

（2）回顾绘制复式统计表的方法。

学生以小组为单位交流，然后师生共同回顾绘制复式统计表的方法：①确定统计表的名称，填写制表日期。

②确定统计表的行数和列数。

③制作表头，填写表头中各栏类别。

④填写数据并核对。

3、出示教材110页3题。

（1）学生独立解决前两个问题，汇报结果。

（2）引导学生提出其他数学问题，并解决。

设计意图：引导学生回顾有关复式统计表的知识，让学生构建知识网络，把所学知识系统化、条理化，充分体会复式统计表的使用条件和优点，培养学生的统计能力。

⊙联系实际，强化提高1、三年级一班同学1分钟仰卧起坐成绩如下。

概率论15区间估计与假设检验

，X , S 2分别是样本均值和样本方差，
则有
X
S
X S
~
t n 1
n 1
n
（2）方差 2 的区间估计
10 已知
1
2
n
(Xi
i1
)2
~ 2(n)
2的置信度为1α的置信区间是
n (Xi )2
n (Xi )2
i1
2
(n)
2
,
i 1
12
2
(n)
20 未知
(n 1)S2
解该问题是方差未知, 对正态总体均值进行估计.
(X t (n 1) S
2
n
,
X t (n 1) S
2
) n
x 3056.67 s* 375.31 n 12 t0.025 (11) 2.201
所求区间估计为(2812.21, 3295.13).
设 X1, X 2,, X n 是总体X ~ N , 2 的样本
即 X 0 0
Z 是衡量H0 真伪的标准 . 2
n
如例1中, 0.005 Z 1.96 n 6
2
0 1 x 19.503 0 20
x 0 0
0.7351.96
n
故认为机床生产正常，即该天加工的零件直径
平均是20mm.
综述假设检验方法的基本思想是:由样本出发,在 H 0 为真的前提下通过对被检参数的点估计量,结合统计量的分布,构造统计量(枢轴函数),由此结合实际,并利用上α分位点确定小概率事件,便得检验
其中例1为参数检验,例2为非参数检验.
二假设检验的基本思想
例1 用机床加工圆形零件，正常情况下零件的直径X服从正态分布N(20,1)(单位：mm), 某日开工后为检查机床是否正常,随机抽取6个,测得直径分别为

14-15（一）概率统计（多概率）复习资料

14-15（⼀）概率统计（多概率）复习资料14-15（⼀）概率统计(多概率)复习资料⼀、填空题（'105'2=?）1. 古典概型（第⼀章）例：（1）2013-2014期末A ⼀1：掷两枚质地均匀的骰⼦，则点数之和为4的概率P = 1/12 .（2）2012-2013期末A ⼆1：袋中有3⽩1红共4只质量、⼤⼩相同的球，甲先任取⼀球，观察后放回；然后⼄再任取⼀球，则⼆⼈取相同颜⾊球的概率为（① 1016）（3）检2⼀1,2,3⼆.检4⼆2.2. 分布列和概率密度（第⼆章）例：（1）2012-2013期末A ⼀4：若随机变量X 的概率密度为 (),()x f x ae x -=-∞<<+∞，则=a 0.5 ；(0)P X == 0 .(2) 检5⼀3: 若随机变量X 的概率密度为 41,0()40,0x e x f x x -?>?=??≤?，则(4)P X ≤= ；(48)P X <<= .（3）检4⼀⼆1，3.检5⼀⼆.检7⼀⼆.检8⼀4.3. 数学期望与⽅差（第三章）例：（1）2013-2014期末A ⼀3,4：3.若随机变量X 服从泊松分布)(λP ，已知=)(X E 1,则λ= 1 , (2)D X = 4 .4.已知两个相互独⽴随机变量)9.0,10(~B X ，)1(~e Y ,则=-)2(Y X E 7 ，()D X Y -= 1.9 .（2）2012-2013期末A ⼀3,5：3. 若随机变量X 的概率函数为1.03.03.02.01.043210p X ，则()3P X >= 0.1 ；()E X = 2.1 .5. 若相互独⽴的随机变量X 与Y 满⾜1)(=X D ，4)(=Y D ，则=-)2(Y X D 8 .（3）检8⼀1,2,3,5,⼆三1.检11⼀1.检13⼀2.4. 协⽅差（第三章）例：（1）2013-2014期末A ⼀5：若~N(0,1),Y ~N(0,1)X ，相关系数41),(-=Y X R ，则(,)cov X Y =-1/4 ；=+)2(Y X D 4 . （2）检9⼆2：随机变量X 与Y 相互独⽴是0),cov(=Y X 的（充分）条件.（3）检9⼀2,3,⼆2.检11⼆3.5. 未知参数的矩估计（第六章）例：（1）检15⼀1：设总体~(6,)X B p ,n X X X ,,,21 为来⾃总体X 的样本，则未知参数p 的矩估计量为．（2）检15三2：设连续总体X 的概率密度函数为1,01( )0,x x f x θθθ-?<<=??；其他其中0θ>.n X X X ,,,21 为来⾃总体X 的样本，求未知参数θ的矩估计量.⼆、选择题（'155'3=?）1. 随机变量的分布函数（第⼆章）例：（1）2013-2014期末A ⼆3：若随机变量X 的分布函数为)(x F ，则以下结论⼀定正确的是（ A ）.（2012-2013期末A ⼆2类似）A ．()()()P a X b F b F a <≤=-；B ．()()()P a X b F b F a <<=-；C ． ()()()P a X b F b F a <<≠-；D ． ()0P X a ==（2）检4⼆1：设随机变量X 的分布列为01230.10.30.40.2X p ,)(x F 为其分布函数，则)2(F = ( ③ ) ① 0.2 ② 0.4 ③ 0.8 ④ 1（3）检7⼆1：设X 的分布函数为)(x F ，则随机变量函数13+=X Y 的分布函数为①① 1()3y F -；② )13(+y F ；③ 1)(3+y F ；④ 31)(31-y F 2. 相关系数（第三章）例：（1）2012-2013期末A ⼆3：若随机变量X 与Y ⽅差存在，且满⾜1Y X =-，则相关系数=),(Y X R （②）① 1；② -1；③ 0.5；④ -0.5.3. 正态分布（第四章）例：（1）检11⼆1,2：1. 设随机变量2(,)X N µσ，则随σ的增⼤，概率{}P X µσ-<应（③）.①单调增⼤；②单调减少；③保持不变；④增减不定.2. 设随机变量X 的概率密度为2(3) 4()x f x e +-=则服从标准正态分布的随机变量是（②）.① 32X +；②；③ 32X -；④. 4. 统计量的分布（第五章）例：（1）2013-2014期末A ⼆2：设随机变量~(2)X t ，则2X 服从__B _．A ．()22χB ．()1,2FC ．()2,2FD ．()2,1F（2）2012-2013期末A ⼆5：设总体2~(,)X N µσ，X 为该总体的样本均值，则()P X µ>__④__．①14< ② 14= ③ 12> ④ 12= （3）检14⼀⼆（尤其注意⼀1⼆2）.5. 待定例：有可能是条件概率和概率乘法公式；随机变量函数的分布；连续性随机变量概率密度；切⽐雪夫不等式；中⼼极限定理；最⼤似然估计；估计量的⽆偏性等（1）2013-2014期末A ⼀6：设123,,X X X 为来⾃总体X 的样本，123()X X X µθ=++是总体均值µ的⽆偏估计量，则θ= 1/3 ．（2）检5⼆1,检10全部,检12⼆,检15⼆.三⾄九（或⼗）、计算与证明题（'75）1. 条件概率和概率乘法公式。

第15讲概率统计解答压轴题(原卷版)

第15讲概率统计解答压轴题1．（2021·安徽皖北协作区联考）“博弈”原指下棋，出自我国《论语·阳货》篇，现在多指一种决策行为，即一些个人､团队或组织，在一定规则约束下，同时或先后，一次或多次，在各自允许选择的策略下进行选择和实施，并从中各自取得相应结果或收益的过程．生活中有很多游戏都蕴含着博弈，比如现在有两个人玩“亮”硬币的游戏，甲､乙约定若同时亮出正面，则甲付给乙3元，若同时亮出反面，则甲付给乙1元，若亮出结果是一正一反，则乙付给甲2元．（1）若两人各自随机“亮”出正反面，求乙收益的期望．（2）∵各自“亮”出正反面，而不是抛出正反面，∴可以控制“亮”出正面或反面的频率(假设进行多次游戏，频率可以代替概率)，因此双方就面临竞争策略的博弈．甲､乙可以根据对手出正面的概率调整自己出正面的概率，进而增加自己赢得收益的期望，以收益的期望为决策依据，甲､乙各自应该如何选择“亮”出正面的概率，才能让结果对自己最有利？并分析游戏规则是否公平．2．（2021·甘肃兰州模拟（理））2020年1月15日教育部制定出台了《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见》（也称“强基计划”），《意见》宣布：2020年起不再组织开展高校自主招生工作，改为实行强基计划．强基计划上要选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生．据悉强基计划的校考由试点高校自主命题，校考过程中通过笔试后才能进入面试环节．已知甲、乙两所大学的笔试环节都设有三门考试科目且每门科目是否通过相互独立．若某考生报考甲大学，每门科目通过的概率均为，该考生报考乙大学，每门科目通过的概率依次为，其中．（1）若，分别求出该考生报考甲、乙两所大学在笔试环节恰好通过一门科目的概率；（2）强基计划规定每名考生只能报考一所试点高校，若以笔试过程中通过科目数的数学期望为依据作出决策，当该考生更希望通过乙大学的笔试时，求的范围．3．（2021·湖北十一校三月联考）高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落的过程中与层层小木块碰撞，且等可能向左或向右滚下，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内．如图1所示的高尔顿板有7层小木块，小球从通道口落下，第一次与第2层中间的小木块碰撞，以的概率向左或向右滚下，依次经过6次与小木块碰撞，最后掉入编号为1，2，…，7的球槽内．例如小球要掉入3号球槽，则在6次碰撞中有2次向右4次向左滚下．121263m ，,01m <<23m =m 12（1）如图1，进行一次高尔顿板试验，求小球落入5号球槽的概率；（2）小红､小明同学在研究了高尔顿板后，利用高尔顿板来到社团文化节上进行盈利性“抽奖”活动．小红使用图1所示的高尔顿板，付费6元可以玩一次游戏，小球掉入m 号球槽得到的奖金为元，其中．小明改进了高尔顿板(如图2)，首先将小木块减少成5层，然后使小球在下落的过程中与小木块碰撞时，有的概率向左，的概率向右滚下，最后掉入编号为1，2，……，5的球槽内，改进高尔顿板后只需付费4元就可以玩一次游戏，小球掉入n 号球槽得到的奖金为元，其中．两位同学的高尔顿板游戏火爆进行，很多同学参加了游戏，你觉得小红和小明同学谁的盈利多？请说明理由．ξ|164|m ξ=-1323η2(4)n η=-4．（2021·湖北七市三月联考）某电子公司新开发一电子产品，该电子产品的一个系统G 有2n ﹣1个电子元件组成，各个电子元件能正常工作的概率均为p ，且每个电子元件能否正常工作相互独立．若系统中有超过一半的电子元件正常工作，则系统G 可以正常工作，否则就需维修．（1）当时，若该电子产品由3个系统G 组成，每个系统的维修所需费用为500元，设为该电子产品需要维修的系统所需的总费用，求的分布列与数学期望；（2）为提高系统G 正常工作的概率，在系统内增加两个功能完全一样的电子元件，每个新元件正常工作的概率均为p ，且新增元件后有超过一半的电子元件正常工作，则系统C 可以正常工作，问p 满足什么条件时，可以提高整个系统G 的正常工作概率？5．（2021·江西九校三月联考（理））已知正三角形，某同学从点开始，用擦骰子的方法移动棋子，规定：①每掷一次骰子，把一枚棋子从三角形的一个顶点移动到另一个顶点；②棋子移动的方向由掷12,2n p ==ξξABC A骰子决定，若掷出骰子的点数大于3，则按逆时针方向移动：若掷出骰子的点数不大于3，则按顺时针方向移动．设掷骰子次时，棋子移动到，，处的概率分别为：，，，例如：掷骰子一次时，棋子移动到，，处的概率分别为，，（1）掷骰子三次时，求棋子分别移动到，，处的概率，，；（2）记，，，其中，，求．6．（2021·河南适应性测试（文））直播带货是扶贫助农的一种新模式，这种模式是利用主流媒体的公信力，聚合销售主播的力量助力打通农产品产销链条，切实助力贫困地区农民脱贫增收．某贫困地区有统计数据显示，2020年该地利用网络直播形式销售农产品的销售主播年龄等级分布如图1所示，一周内使用直播销售的频率分布扇形图如图2所示．若将销售主播按照年龄分为“年轻人”（岁~岁）和“非年轻人”（岁及以下或者岁及以上）两类，将一周内使用的次数为次或次以上的称为“经常使用直播销售用户”，使用次数为次或不足次的称为“不常使用直播销售用户”，则“经常使用直播销售用户”中有是“年轻人”．n A B C ()n P A ()n P B ()n P C A B C ()10P A =()112P B =()112P C =A B C ()3P A ()3P B ()3P C ()n n P A a =()n n P B b =()n n P C c =1n n n a b c ++=n n b c =8a 20391940665556（1）现对该地相关居民进行“经常使用网络直播销售与年龄关系”的调查，采用随机抽样的方法，抽取一个容量为的样本，请你根据图表中的数据，完成列联表，并根据列联表判断是否有的把握认为经常使用网络直播销售与年龄有关？使用直播销售情况与年龄列联表（2）某投资公司在2021年年初准备将万元投资到“销售该地区农产品”的项目上，现有两种销售方案供选择：方案一：线下销售．根据市场调研，利用传统的线下销售，到年底可能获利，可能亏损，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为；方案二：线上直播销售．根据市场调研，利用线上直播销售，到年底可能获利，可能亏损，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为．针对以上两种销售方案，请你从期望和方差的角度为投资公司选择一个合理的方案，并说明理由．参考数据：独立性检验临界值表20022 85%100030%15%711,10510，50%30%33151010，，其中，．7．（2021·江苏南通期末考试）甲、乙两人组成“虎队”代表班级参加学校体育节的篮球投篮比赛活动，每轮活动由甲、乙两人各投篮一次，在一轮活动中，如果两人都投中，则“虎队”得3分；如果只有一个人投中，则“虎队”得1分；如果两人都没投中，则“虎队”得0分．已知甲每轮投中的概率是，乙每轮投中的概率是；每轮活动中甲、乙投中与否互不影响．各轮结果亦互不影响．（1）假设“虎队”参加两轮活动，求：“虎队”至少投中3个的概率；（2）①设“虎队”两轮得分之和为，求的分布列；②设“虎队”轮得分之和为，求的期望值．（参考公式）8．（2021·湖南长沙长郡中学月考）某省从2021年开始将全面推行新高考制度，新高考“”中的“2”要求考生从政治、化学、生物、地理四门中选两科，按照等级赋分计入高考成绩，等级赋分规则如下：从2021年夏季高考开始，高考政治、化学、生物、地理四门等级考试科目的考生原始成绩从高到低划分为五个等级，确定各等级人数所占比例分别为，，，，，等级考试科目成绩计入考生总成绩时，将至等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法分别转换到、、、、五个分数区间，得到考生的等级分，等级转换分满分为100分．具体转换分数区间如下表：)20k 22(),()()()()n ad bc K n a b c d a b c d a c b d -==+++++++3423X X n n X n X ()E X Y EX EY +=+312++,,,,A B C D E 15%35%35%13%2%A E []86,100[]71,85[]56,70[]41,55[]30,40而等比例转换法是通过公式计算：其中，分别表示原始分区间的最低分和最高分，、分别表示等级分区间的最低分和最高分，表示原始分，表示转换分，当原始分为，时，等级分分别为、假设小南的化学考试成绩信息如下表：设小南转换后的等级成绩为，根据公式得：，∴（四舍五入取整），小南最终化学成绩为77分．已知某年级学生有100人选了化学，以半期考试成绩为原始成绩转换本年级的化学等级成绩，其中化学成绩获得等级的学生原始成绩统计如下表：（1）从化学成绩获得等级的学生中任取2名，求恰好有1名同学的等级成绩不小于96分的概率；（2）从化学成绩获得等级的学生中任取5名，设5名学生中等级成绩不小于96分人数为，求的分布列和期望．9．（2021·河南漯河期末考试（文））某地区为贯彻习近平总书记关于“绿水青山就是金山银山”的精神，鼓励农户利用荒坡种植果树．某农户考察三种不同的果树苗、、，经引种试验后发现，引种树苗的自然成活率为0．8，引种树苗、的自然成活率均为．（1）任取树苗、、各一棵，估计自然成活的棵数为，求的分布列及；2211Y Y T TY Y T T --=--1Y 2Y 1T 2T Y T 1Y 2Y 1T 2T T 756971T =--76.677T =≈A A A ξξA B C A B C (0.70.9)p p ≤≤A B C X X ()E X（2）将（1）中的取得最大值时的值作为种树苗自然成活的概率．该农户决定引种棵种树苗，引种后没有自然成活的树苗中有的树苗可经过人工栽培技术处理，处理后成活的概率为0．8，其余的树苗不能成活．①求一棵种树苗最终成活的概率；②若每棵树苗引种最终成活后可获利300元，不成活的每棵亏损50元，该农户为了获利不低于20万元，问至少引种种树苗多少棵？10．（2021·湖南常德一中月考）某客户准备在家中安装一套净水系统，该系统为三级过滤，使用寿命为十年．如图所示，两个一级过滤器采用并联安装，二级过滤器与三级过滤器为串联安装．其中每一级过滤都由核心部件滤芯来实现，在使用过程中，一级滤芯和二级滤芯都需要不定期更换（每个滤芯是否需要更换相互独立），三级滤芯无需更换，若客户在安装净水系统的同时购买滤芯，则一级滤芯每个80元，二级滤芯每个160元．若客户在使用过程中单独购买滤芯，则一级滤芯每个200元，二级滤芯每个400元，现需决策安装净水系统的同时购滤芯的数量，为此参考了根据100套该款净水系统在十年使用期内更换滤芯的相关数据制成的图表，其中图是根据200个一级过滤器更换的滤芯个数制成的柱状图，表是根据100个二级过滤器更换的滤芯个数制成的频数分布表：二级滤芯更换频数分布表：以200个一级过滤器更换滤芯的频率代替1个一级过滤器更换滤芯发生的概率，以100个二级过滤器更换滤芯的频率代替1个二级过滤器更换滤芯发生的概率．()E X p B n B 75%B B（1）求一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数恰好为30的概率；（2）记表示该客户的净水系统在使用期内需要更换的一级滤芯总数，求的分布列及数学期望；（3）记，分别表示该客户在安装净水系统的同时购买的一级滤芯和二级滤芯的个数．若，且，以该客户的净水系统在使用期内购买各级滤芯所需总费用的期望值为决策依据，试确定，的值．11．（2021·黑龙江鹤岗一中月考（理））甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立．（1）求甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率；（2）记为比赛决出胜负时的总局数，求的分布列和均值（数学期望）．12．（2021·东北三省四市二模）在迎来中国共产党成立100周年的重要时刻，我国脱贫攻坚战取得全面胜利，创造了又一个彪炳史册的人间奇迹习近平总书记指出：“脱贫摘帽不是终点，而是新生活､新奋斗的起点．”某农户计划于2021年初开始种植某新型农作物．已知该农作物每年每亩的种植成本为2000元，根据前期各方面调查发现，该农作物的市场价格和亩产量均具有随机性，且两者互不影响，其具体情况如下X X m n 28m n +={}5,6n ∈m n 2313X X表：（1）设2021年该农户种植该农作物一亩的纯收入为元，求的分布列；（2）若该农户从2021年开始，连续三年种植该农作物，假设三年内各方面条件基本不变，求这三年中该农户种植该农作物一亩至少有两年的纯收入不少于30000元的概率．13．（2021·湖南长沙一中高三月考）公元1651年，法国一位著名的统计学家德梅赫(Demere )向另一位著名的数学家帕斯卡(B ．Pascal )提请了一个问题，帕斯卡和费马(Fermat )示讨论了这个问题，后来惠更斯(C ．Huygens )也加入了讨论，这三位当时全欧洲乃至全世界最优秀的科学家都给出了正确的解答．该问题如下：设两名赌徒约定谁先赢局，谁便赢得全部赌注元．每局甲赢的概率为，乙赢的概率为，且每局赌博相互独立．在甲赢了局，乙赢了局时，赌博意外终止．赌注该怎么分才合理？这三位数学家给出的答案是：如果出现无人先赢局则赌博意外终止的情况，甲､乙便按照赌博再继续进行下去各自赢得全部赌注的概率之比分配赌注．（1）甲､乙赌博意外终止，若，则甲应分得多少赌注？（2）记事件为“赌博继续进行下去乙赢得全部赌注”，试求当时赌博继续进行下去甲赢得全部赌注的概率，并判断当时，事件是否为小概率事件，并说明理由．规定：若随机事件发生的概率小于，则称该随机事件为小概率事件．X X ()1,k k k *∈Na (01)p p <<1p -()m m k <()n n k <k :P P 甲乙2243,4,2,1,3a k m n p =====A 4,2,1k m n ===()f p 45pA 0.0514．（2021·内蒙古赤峰月考（理））甲､乙､丙三人，为了研究某地区高中男生的体重(单位：)与身高(单位：)是否存在较好的线性关系，他们随机调查了6名高中男生身高和体重的数据，得到如下表格：根据表中数据计算得到关于的线性回归方程对应的直线的斜率为．（1）求关于的线性回归方程；（2）从该地区大量高中男生中随机抽出位男生，他们身高(单位：)的数据绘制成如图的茎叶图． ①估计体重超过的频率，②视频率为概率，从该地区大量高中男生中随机选出人，记这人中体重超过的人数为，求的分布列及其数学期望(用（1）中的回归方程估测这位男生的体重)．15．（2021·江西八校4月联考（理））4月30日是全国交通安全反思日，学校将举行交通安全知识竞赛，第一轮选拔共设有，，，四个问题，规则如下：①每位参加者计分器的初始分均为10分，答对问题，，，分别加1分，2分，3分，6分，答错任一题减2分；②每回答一题，计分器显示累计分数，当累计分数小于8分时，答题结束，淘汰出局；当累计分数大于或等于14分时，答题结束，进入下一轮；当答完四题，若累计分数仍不足14分时，答题结束，淘汰出局，若累计分数大于或等于14分y kg x cm y x 0.89y x ˆˆˆybx a =+10cm 60kg p 2260kg X X 10A B C D A B C D时，答题结束，进入下一轮；③每位参加者按问题，，，顺序作答，直至答题结束．假设甲同学对问题，，，回答正确的概率依次为，，，，且各题回答正确与否相互之间没有影响．（1）求甲同学能进入下一轮的概率；（2）用表示甲同学本轮答题结束时答题的个数，求的分布列和数学期望．16．（2021·吉林吉林市三模（理））年是决胜全面建成小康社会、决战脱贫攻坚之年，面对新冠肺炎疫情和严重洪涝灾害的考验．党中央坚定如期完成脱贫攻坚目标决心不动摇，全党全社会戮力同心真抓实干，取得了积极成效．某贫困县为了响应国家精准扶贫的号召，特地承包了一块土地，已知土地的使用面积与相应的管理时间的关系如下表所示：并调查了某村名村民参与管理的意愿，得到的部分数据如下表所示；（1）做出散点图，判断土地使用面积与管理时间是否线性相关；并根据相关系数说明相关关系的强弱．(若，认为两个变量有很强的线性相关性，值精确到) ．（2）若以该村的村民的性别与参与管理意风的情况估计贫困县的情况，且每位村民参与管理的意互不影响，则从该贫困县村民中任取人，记取到不愿意参与管理的女性村民的人数为，求的分布列及数学期望．A B C D A B C D 35121314ξξ()E ξ2020x y 300x y r 0.75r ≥r 0.0013X X参考公式：参考数据：17．（2021·湖南岳阳一模）某商城玩具柜台元旦期间促销，购买甲、乙系列的盲盒，并且集齐所有的产品就可以赠送元旦礼品．而每个甲系列盲盒可以开出玩偶，，中的一个，每个乙系列盲盒可以开出玩偶，中的一个．（1）记事件：一次性购买个甲系列盲盒后集齐，，玩偶；事件：一次性购买个乙系列盲盒后集齐，玩偶；求概率及；（2）礼品店限量出售甲、乙两个系列的盲盒，每个消费者每天只有一次购买机会，且购买时，只能选择其中一个系列的一个盲盒．通过统计发现：第一次购买盲盒的消费者购买甲系列的概率为，购买乙系列的概率为；而前一次购买甲系列的消费者下一次购买甲系列的概率为，购买乙系列的概率为；前一次购买乙系列的消费者下一次购买甲系列的概率为，购买乙系列的概率为；如此往复，记某人第次购买甲系列的概率为． ①；②若每天购买盲盒的人数约为100，且这100人都已购买过很多次这两个系列的盲盒，试估计该礼品店每天应准备甲、乙两个系列的盲盒各多少个．18．（2021·山东临沂模拟）下围棋既锻炼思维又愉悦身心，有益培养人的耐心和细心，舒缓大脑并让其得到充分休息．现某学校象棋社团为丰富学生的课余生活，举行象棋大赛，要求每班选派一名象棋爱好者参()nix x r -=∑()216,22.7y y y=-=≈∑1A 2A 3A 1B 2B n E n 1A 2A 3A n F n 1B 2B ()6P E ()5P F 154514341212n n Q n Q赛．现某班有位象棋爱好者，经商议决定采取单循环方式进行比赛，(规则采用“中国数目法”，没有和棋．)即每人进行轮比赛，最后靠积分选出第一名去参加校级比赛．积分规则如下(每轮比赛采取局胜制，比赛结束时，取胜者可能会出现．三种赛式)．轮过后，积分榜上的前两名分别为甲和乙，甲累计积分分，乙累计积分分．第轮甲和丙比赛，设每局比赛甲取胜的概率均为，丙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立．（1）①在第轮比赛中，甲所得积分为，求的分布列； ②求第轮结束后，甲的累计积分的期望；（2）已知第轮乙得分，判断甲能否提前一轮获得累计积分第一，结束比赛．(“提前一轮”即比赛进行轮就结束，最后一轮即第轮无论乙得分结果如何，甲累计积分最多)?若能，求出相应的概率；若不能，请说明理由．19．（2021·江苏常州一模）某地发现6名疑似病人中有1人感染病毒，需要通过血清检测确定该感染人员，血清检测结果呈阳性的即为感染人员，呈阴性表示没感染．拟采用两种方案检测：方案甲：将这6名疑似病人血清逐个检测，直到能确定感染人员为止；方案乙：将这6名疑似病人随机分成2组，每组3人．先将其中一组的血清混在一起检测，若结果为阳性，则表示感染人员在该组中，然后再对该组中每份血清逐个检测，直到能确定感染人员为止；若结果为阴性，则对另一组中每份血清逐个检测，直到能确定感染人员为止，（1）求这两种方案检测次数相同的概率；（2）如果每次检测的费用相同，请预测哪种方案检测总费用较少？并说明理由．1211533:0,3:1,3:29262210231310X X 10Y 103101120．（2021·华大新高考联盟3月质检（理））在某媒体上有这样一句话：买车一时爽，一直养车一直爽，讲的是盲目买车的人最终会成为一个不折不扣的车奴；其实，买车之后的花费主要由加油费、车费、保险费、保养费、维修费等几部分构成；为了了解新车车主5年以来的花费，打破年轻人买车的恐惧感，研究人员在2016年对A 地区购买新车的400名车主进行跟踪调查，并将他们5年以来的新车花费统计如下表所示：（1）求这400名车主5年新车花费的平均数以及方差（同一区间的花费用区间的中点值替代）；（2）以频率估计概率，假设A 地区2016年共有100000名新车车主，若所有车主5年内新车花费可视为服从正态分布，，分别为（1）中的平均数以及方差，试估计2016年新车车主5年以来新车花费在[5．2，13．6）的人数；（3）以频率估计概率，若从2016年A 地区所有的新车车主中随机抽取4人，记花费在的人数为，求的分布列以及数学期望．；若随机变量服从正态分布，则，，．21．（2021·辽宁铁岭一模）某学校共有1000名学生参加知识竞赛，其中男生400人，为了解该校学生在知识竞赛中的情况，采取分层抽样随机抽取了100名学生进行调查，分数分布在分之间，根据调查的结果绘制的学生分数频率分布直方图如图所示：ξ()2,N μσμ2σx 2s []9,15X X 1.4≈ξ()2,N μσ()0.6826P μσξμσ-<<+=()22P μσξμσ-<<+0.9544=()330.9974P μσξμσ-<<+=450950~将分数不低于750分的学生称为“高分选手”．（1）求的值，并估计该校学生分数的平均数、中位数和众数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）现采用分层抽样的方式从分数落在，内的两组学生中抽取10人，再从这10人中随机抽取3人，记被抽取的3名学生中属于“高分选手”的学生人数为随机变量，求的分布列及数学期望；（3）若样本中属于“高分选手”的女生有10人，完成下列列联表，并判断是否有％的把握认为该校学生属于“高分选手”与“性别”有关？（参考公式：，期中）a [)550,650[)750,850X X 22⨯97.5()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++n a b c d =+++22．（2021·中学生标准化测试3月测试（理））袋中有大小完全相同的7个白球，3个黑球．（1）若甲一次性抽取4个球，求甲至多抽到一个黑球的概率；（2）若乙共抽取4次，每次抽取1个球，记录好球的颜色后再放回袋子中，等待下次抽取，且规定抽到白球得10分，抽到黑球得20分，求乙总得分的分布列和数学期望．23．（2021·山西省高三一模（理））已知6只小白鼠中有且仅有2只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的小白鼠．血液化验呈阳性即为患病，阴性为不患病，现将6只小白鼠随机排序并化验血液，每次测1只，且得到前一只小白鼠的血液化验结果之后才化验下一只小白鼠的血液，直到能确定哪两只小白鼠患病为止，并用X 表示化验总次数．（1）在第一只小白鼠验血结果为阳性的条件下，求的概率；（2）求X 的分布列与数学期望．24．（2021东北三省市四联考（理））2020年爆发人群广泛感染的新型冠状病毒是一种可以借助飞沫和接触传播的变异病毒．某市防疫部门为尽快筛查出新冠病毒感染者，将高风险地区及重点人群按照单样检测，中风险地区可以按照混样检测，低风险地区可以按照混样检测．单样检测即为逐份检测，混样检测是将份或份样本分别取样后混合在一起检测．若检测结果为阴性，则全为阴性，若检测结果为阳性，就要同时对这几份样本进行单独逐一检测，假设在接受核酸检测样本中，每份样本的检测结果是阳性还是阴性都是相互独立的，且中风险地区每份样本是阳性结果的概率均为．（1）现有该市中风险地区的份核酸检测样本要进行混样检测，求检测总次数为次的概率．（2）现有该市中风险地区的份核酸检测样本，已随机平均分为三组，要采用混样检测，设检测总次数为，求的分布列和数学期望．X 3X =1:15:110:1510()01p p <<A 55:16B 155:1X X。

高中数学概率统计

高中数学概率统计
概率统计是数学中的一个重要分支，它研究随机现象和事件发
生的可能性。

在高中阶段，学生需要通过研究概率统计来理解和应
用概率的基本概念和计算方法。

概率是指某个事件发生的可能性大小。

在数学中，概率可以通
过计算来得出。

常见的计算方法包括频率概率和几何概率。

学生需
要学会根据给定的条件计算概率，包括单个事件和多个事件的概率
计算。

在概率统计中，还有一些重要的概念需要学生掌握。

例如，样
本空间是指随机事件所有可能结果的集合；事件是样本空间的子集，表示满足特定条件的结果集合；试验是指对随机现象进行观察和记
录的过程。

高中数学概率统计还涉及到一些常见的概率分布，如二项分布、均匀分布和正态分布。

学生需要理解这些分布的特点和应用场景，
以及如何计算和图示化概率分布。

通过研究高中数学概率统计，学生可以提高他们的数据分析和问题解决能力。

他们能够在实际生活中应用概率统计的知识，例如在投资、保险和赌博等方面做出理性的决策。

总之，高中数学概率统计是一门重要的数学课程，它帮助学生理解和应用概率的基本概念和计算方法，提高他们的数学思维和问题解决能力。

概率统计的8种计算方法专题讲解

概率统计的8种计算方法专题讲解在概率统计中，有许多种计算方法可以帮助我们分析和解释数据。

本文将介绍其中8种常用的计算方法，并提供简要解释和示例。

1. 均值（Mean）均值是一组数据的平均数。

计算均值的方法是将所有数据相加，然后除以数据的数量。

示例：假设我们有一组数据：[3, 5, 8, 12, 15]，我们可以将这些数据相加得到43，然后除以数据的数量5，得到均值为8.6。

2. 中位数（Median）中位数是一组数据中的中间值。

计算中位数的方法是将数据按照大小排序，然后找到中间位置的数。

示例：假设我们有一组数据：[3, 5, 8, 12, 15]，我们将这些数据排序为[3, 5, 8, 12, 15]，可以看到中间位置的数为8，因此中位数为8。

3. 众数（Mode）众数是一组数据中出现最频繁的数。

如果一组数据没有出现频次最高的数，则称该组数据没有众数。

示例：假设我们有一组数据：[3, 5, 8, 8, 12, 15]，其中8出现了两次，其他数只出现了一次，因此8是该组数据的众数。

4. 方差（Variance）方差度量了一组数据的离散程度。

计算方差的方法是将每个数据点与均值的差的平方相加，然后除以数据的数量。

示例：假设我们有一组数据：[3, 5, 8, 12, 15]，我们计算均值为8.6。

我们将每个数据点与均值的差的平方相加得到76.4，然后除以数据的数量5，得到方差为15.28。

5. 标准差（Standard Deviation）标准差是方差的平方根。

标准差度量了数据的离散程度，数值越大表示数据越分散。

示例：假设我们有一组数据：[3, 5, 8, 12, 15]，计算方差为15.28。

我们将方差的平方根计算得到标准差为3.91。

6. 相关系数（Correlation Coefficient）相关系数度量了两组数据之间的线性关系的强度和方向。

相关系数的取值范围为-1到1，数值越接近1表示正相关关系，数值越接近-1表示负相关关系，数值接近0表示无线性关系。

第15章概率与统计初步

第十五章概率与统计初步第57讲概率初步（一）一、填空题1.[2021年普陀二模]某学校从4名男生、3名女生中选出2名担任招生宣讲员，则在这2名宣讲员中男、女生各1人的概率为________（结果用最简分数表示）.2.在平面直角坐标系中，从6个点：A（0，0），B（2，0），C（1，1），D（0，2），E（2，2），F（3，3）中任取3个，这3点能构成三角形的概率是________（结果用分数表示）.3.若甲、乙两位同学随机地从6门课程中选修3门，则两人选修的课程中恰有1门相同的概率为________.4.甲、乙、丙三位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率是________.5.[2021年金山二模]一个不透明的袋中装有5个白球、4个红球（9个球除颜色外其余完全相同），经充分混合后，从袋中随机摸出3球，则摸出的3球中至少有一个是白球的概率为________（用分数作答）.6.从集合A={1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}中任取两个数，欲使取到的一个数大于k，另一个数小于k（其中k∈A）的概率是25，则k=________.7.已知7个实数1，-2，4，a，b，c，d依次构成等比数列，若从这7个数中任取2个，则它们的和为正数的概率为________.二、选择题8.投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为m和n，则复数()()i im n n m+-为实数的概率为（）A.13B.14C.16D.1129.在集合{1，2，3，4，5}中任取一个偶数a和一个奇数b构成以原点为起点的向量a=（a，b）.从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形.记所有作成的平行四边形的个数为n，其中面积不超过4的平行四边形的个数为m，则mn=（）A.415B.13C.25D.23三、解答题10.同时掷两颗骰子，计算：（1）一共有多少种不同的结果？（2）其中向上的点数之和是5的结果有多少种？（3）向上的点数之和是5的概率是多少？11.甲、乙二人用4张扑克牌（分别是红桃2，红桃3，红桃4，方片4）玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张.（1）设（i，j）分别表示甲、乙抽到的牌的数字，写出甲、乙二人抽到的牌的所有情况；（2）若甲抽到红桃3，则乙抽出的牌面数字比3大的概率是多少？（3）甲、乙约定：若甲抽到的牌面数字比乙大，则甲胜，否则，乙胜.你认为此游戏是否公平，说明你的理由.12.甲、乙两人参加知识竞答，共有10个不同的题目，其中选择题6个，判断题4个，甲、乙两人依次各抽一题.（1）求甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率；（2）求甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率.走近高考[2021年上海高考]已知花博会有四个不同的场馆A，B，C，D，甲、乙两人每人选2个去参观，则他们的选择中，恰有一个场馆相同的概率为________.第58讲概率初步（二）一、填空题1.先后抛掷硬币三次，则至少一次正面朝上的概率是________.2.甲、乙两人各进行一次射击，假设两人击中目标的概率分别是0.6和0.7，且射击结果相互独立，则甲、乙至多一人击中目标的概率为________.3.袋中有5个白球、3个黑球，从中任意摸出4个，那么至少摸出1个黑球的概率是________.4.[2021年青浦二模]若从一副52张的扑克牌（去掉大王、小王）中随机抽取1张，放回后再抽取1张，则两张牌都是K的概率为________（结果用最简分数表示）.5.甲、乙两人下棋，两人和棋的概率为12，乙获胜的概率为13，则乙不输的概率为________，乙输的概率为________，甲获胜的概率为________.6.[2021年黄浦二模]已知随机事件A和B相互独立，若()0.36P AB=，()0.6P A=（A表示事件A的对立事件），则()P B=________.7.现有10个不同的产品，其中4个次品、6个正品.现每次取其中一个进行测试，直到4个次品全测完为止，若最后一个次品恰好在第五次测试时被发现，则该情况出现的概率是________.二、选择题8.设M，N为两个随机事件，如果M，N为互斥事件，那么（）A.M N不一定是必然事件B.M N一定是必然事件C.M与N一定为互斥事件D.M与N一定不为互斥事件9.甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获得冠军，乙队需要再赢两局才能获得冠军.若两队每局获胜的概率相同，则甲队获得冠军的概率为（）A.12B.35C.23D.34三、解答题10.加工某种零件需经过四道工序设第一、二、三、四道工序的合格率分别为1920，1819，1718，1617，且各道工序互不影响.（1）求该种零件的合格率；（2）从该种零件中任取3件，求至少取到一件合格品的概率.11.如图，沿途中路径由点B到点D，且只能向右或向上走，随机的选取一种走法.（1）求经过M点的概率；（2）求经过M点，也经过N点的概率；（3）求既不经过M点，也不经过N点的概率.12.某课程考核分理论与实验两部分进行，每部分考核成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考核都是“合格”，则该课程考核“合格”，若甲、乙、丙三人在理论考核中合格的概率分别为0.9，0.8，0.7；在实验考核中合格的概率分别为0.8，0.7，0.9，所有考核是否合格相互之间没有影响.（1）求甲、乙、丙三人在理论考核中至少有两人合格的概率；（2）求这三个人该课程考核都合格的概率（结果保留三位小数）.走近高考甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球.约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球三次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为13，乙每次投篮投中的概率为12，且各次投篮互不影响.（1）求乙获胜的概率；（2）求投篮结束时乙只投了2个球的概率.第59讲统计一、填空题1.在一次考试中，从高一某班50人中随机抽取10个同学的数学成绩如下：68，89，80，87，80，86，91，85，66，78，则全班同学的数学考试成绩平均分估计为________.2.设一组样本数据1x ，2x ，…，x n 的方差为0.01，则数据10x 1，10x 2，…，10x n 的方差为________.3.某高校一年级有900名学生，其中女生400名，按男女比例用分层抽样的方法，从该年级学生中抽取一个容量为45的样本，则应抽取的男生人数为________.4.某校共有教师200人，男学生800人，女学生600人，现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为n 的样本，已知从男学生中抽取的人数为100人，那么n =________.5.[2021年静安二模]某高科技公司所有雇员的工资情况如表所示.年薪（万元）135 95 80 70 60 52 40 31 人数112134112该公司雇员年薪的标准差约为________万元.6.某电子商务公司对10000名网络购物者2021年度的消费情况进行统计，发现消费金额（单位：万元）都在区间[0.3，0.9]内，其频率分布直方图如图示.（1）直方图中的a =________.（2）在这些购物者中，消费金额在区间[0.5，0.9]内的购物者的人数为________. 二、选择题7.我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（） A.134石 B.169石 C.338石 D.1365石8.我国新冠肺炎疫情进入常态化，各地有序推进复工复产，如图是某地连续11天复工复产的指数折线图，则下列说法正确的是（）A.这11天复工指数和复产指数均逐日增加B.这11天期间，复产指数增量大于复工指数的增量C.第3天至第11天复工复产指数均超过80%D.第9天至第11天复产指数增量小于复工指数的增量三、解答题9.某赛季甲、乙两名运动员在若干场比赛中的得分情况如下. 甲：18，20，21，22，23，25，28，29，30，30，32，34；乙：8，13，14，16，23，26，28，33，38，39，48. （1）分别计算甲、乙两人每场得分的平均数；（2）分别计算甲、乙两人每场得分的中位数；（3）分别计算甲、乙两人得分的标准差，并回答谁的成绩比较稳定.10.已知一组数据1x ，2x ，…，x 10的方差是2，并且()()()2221210333120x x x -+-++-=，求这组数据的平均数. 走近高考[2020年上海高考]已知1，2，a ，b 的中位数为3，平均数为4，则ab =________.第60讲概率初步（续）一、填空题1.已知()0.5P A =，()0.3P B =，()0.2P BA =，则()|PB A =________，()|P A B =________.2.已知一种节能灯使用寿命超过10000h 的概率为0.95，而使用寿命超过12000h 的概率为0.9，则已经使用了10000h 的这种节能灯，使用寿命能超过12000h 的概率为________.3.已知随机变量X的分布列为12340.20.30.4a⎛⎫⎪⎝⎭，则a的值为________.4.投篮测试中，每人投10次，已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，X表示投中的次数，则()E X=________.5.从一个放有大小与质地相同的3个黑球、2个白球的袋子里摸出2个球并放入另外一个空袋子里，再从后一个袋子里摸出1个球，则该球是黑色的概率为________.6.某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每件产品为不合格品的概率都为0.1，且各件产品是否为不合格品相互独立.已知每件产品的成本为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用.这一箱产品的成本与赔偿费用的和记为X，则()E X=________.二、选择题7.已知114p<<，随机变量X的分布列为220121p p p p⎛⎫⎪--⎝⎭，则下列结论正确的是（）A.()2P X=的值最大 B.()()01P X p X=>=C.E（X）随着p的增大而减小D.E（X）随着p的增大而增大8.假设某市场供应的智能手机中，市场占有率和优质率的信息如表：品牌甲乙其他市场占有率50% 30% 20% 优质率80% 90% 70%在该市场中任意买一部手机，用A1，A2，A3分别表示买到的智能手机为甲品牌、乙品牌、其他品牌，B表示可买到的优质品，则下列不正确的是（）A.()10.50P A= B.()2|0.90P B A=C.()30.70P B A= D.()0.81P B=三、解答题9.分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10:10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立.在某局双方10:10平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束.（1）求P（X=2）；（2）求事件“X=4且甲获胜”的概率.10.某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理.（1）若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：枝，n∈N）的函数解析式；（2）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：日需求量n 14 15 16 17 18 19 20 频数10 20 16 16 15 13 10以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.①若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润（单位：元），求X的分布列，数学期望及方差；②若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由.走近高考某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分.已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.（1）若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列；（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.第61讲统计分析一、填空题1.若对具有线性相关关系的两个变量建立的回归方程为0.960 3.134y x =-+，则当50x =时，y 的估计值为________.2.某产品的广告费投入与销售额的统计数据如表所示广告费x /万元 2 3 4 5 销售费y /万元26394954则y 关于x 的线性回归方程为________.3.经市场调查，某款热销品的销售量y （万件）与广告费用x （万元）之间满足回归直线方程ˆ 3.5y bx=+.若样本点中心为（45，35），则当销售量为52.5万件时，可估计投入的广告费用为________万元.4.以模型kx y ce =去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设ln z y =，其变换后得到线性回归方程0.34z x =+，则c =________.5.有人发现，多看手机容易使人近视，如表是调查机构对此现象的调查数据（单位：人）：看手机程度视力合计近视不近视少看 20 38 58 多看 68 42 110 合计8880168 则________（填“有”或“没有”）99.9%的把握认为近视与多看手机有关系，210.82()80.001P χ≥≈.6.给出下列四种说法：①将一组数据中的每个数都加上或减去同一个常数后，均值与方差都不变；②在一组样本数据（x 1，y 1），（x 2，y 2），…，（x n ，y n ）（n ≥2，1x ，2x ，…，x n 不全相等）的散点图中，若所有样本点（x i ，y i ）（i=1，2，…，n ）都在直线112y x =-+上，则这组样本数据的线性相关系数为12-;③回归直线ˆˆy bxa =+必经过点(),x y ； ④在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，由独立性检验知，有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，我们说若有100人吸烟，那么其中有99人患肺病. 其中错误结论的编号是________. 二、选择题7.某校高三1班48名物理方向的学生在一次质量检测中，语文成绩、数学成绩与六科总成绩在全年级中的排名情况如图所示，“☆”表示的是该班甲、乙、丙三位同学对应的点，从这次考试的成绩看，下列结论不正确的是（）A.该班六科总成绩排名前6的同学语文成绩比数学成绩排名更好B.在语文和数学两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的科目是语文C.数学成绩与六科总成绩的相关性比语文成绩与六科总成绩的相关性更强D.在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其六科总成绩名次靠前的学生是甲8.根据分类变量x 与y 的观察数据，计算得到2 2.974χ=，依据表中给出的2χ独立性检验中的小概率值和相应的临界值，做出下列判断，正确的是（） P （2k χ≥）0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 k2.7063.8416.6357.87910.828A.有95%的把握认为变量x 与y 独立B.有95%的把握认为变量x 与y 独立C.变量x 与y 独立，这个结论犯错误的概率不超过10%D.变量x 与y 不独立，这个结论犯错误的概率不超过10% 三、解答题9.某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x （单位：千元）对年销售量y （单位：t ）和年利润z （单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费x i 和年销售量y i（i=1，2，…，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.（1）根据散点图判断，y a bx=+y关于年宣传费x的=+与y c回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）？（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；（3）已知这种产品的年利润z与x，y的关系为之0.2=-.根据（2）的结果回答下列问题：z y x①年宣传费49x=时，年销售量及年利润的预报值是多少？②年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？走近高考为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的PM2.5和SO2浓度（单位：μg/m3），得下表：PM2.5[0，50] （50，150] （150，475]SO2[0，35] 32 18 4（35，75] 6 8 12（75，115] 3 7 10（1）估计事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且SO2浓度不超过150”的概率；（2）根据所给数据，完成下面的2×2列联表：PM2.5[0，150] （150，475]SO2[0，75]（75，115]（3）根据（2）中的列联表，判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO2浓度有关？附：()()()()()22n ad bca b c d a c b dχ-=++++()2P kχ≥0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828。

高中数学概率统计经典例题

高中数学概率统计经典例题高中数学概率统计经典例题可以涵盖各种不同的概率问题，包括随机事件、概率的定义、条件概率、贝叶斯公式、独立事件等。

以下是一些示例:1. 某公司发行了 200 张彩票，其中 100 张为一等奖，每张彩票的价格为 1 元，另有 100 张为二等奖，每张彩票的价格为 2 元。

假设彩民购买了一张彩票，请问中奖的概率是多少？答案：中奖的概率为 1/100 + 1/200 = 3/50。

2. 某次考试中，有 20 道选择题，每道选择题的难度相等，正确答案的概率为 1/4。

请问答对 4 道或 5 道选择题的概率是多少？答案：答对 4 道或 5 道选择题的概率为 (1/4)×(1/4)×(1/4)×(1/4) + (1/4)×(1/4)×(1/4)×(1/4) = 1/64。

3. 某只股票的售价为 10 元，预计在未来的 1 个月内会上涨10%,也就是说，股价将会上涨 1 元。

请问购买 100 股股票，总投资金额为多少元？答案：总投资金额为 100×(1+1)=1100 元。

4. 某次比赛共有 20 名参赛者，其中 15 名是男性，5 名是女性。

请问男性参赛者中获得第一名的概率是多少？答案：男性参赛者中获得第一名的概率为 15/20=3/4。

5. 某次考试中，有 20 道选择题，每道选择题的难度相等，正确答案的概率为 1/4。

请问答对 3 道或 4 道选择题的概率是多少？答案：答对 3 道或 4 道选择题的概率为 (1/4)×(1/4)×(1/4)×(1/4) + (1/4)×(1/4)×(1/4)×(1/4) = 1/64。

这些示例展示了概率统计在解决实际问题中的重要性。

在高中数学中，概率统计是一个重要的学科，可以帮助人们更好地理解世界，解决实际问题。

2015年高考-概率与统计试题(有详细答案)详解

2015年高考-概率与统计试题1.（15北京理科）A，B两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下：A组：10，11，12，13，14，15，16B组：12，13，15，16，17，14，a假设所有病人的康复时间互相独立，从A，B两组随机各选1人，A组选出的人记为甲，B组选出的人记为乙．(Ⅰ) 求甲的康复时间不少于14天的概率；(Ⅱ) 如果25a=，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；(Ⅲ) 当a为何值时，A，B两组病人康复时间的方差相等？（结论不要求证明）【答案】（1）37，（2）1049，（3）11a=或182.（15北京文科）某校老年、中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本的老年教师人数为（）A．90 B．100 C．180 D．300类别人数老年教师900中年教师1800青年教师1600合计4300【答案】C【解析】试题分析：由题意，总体中青年教师与老年教师比例为1600169009=；设样本中老年教师的人数为x，由分层抽样的性质可得总体与样本中青年教师与老年教师的比例相等，即320169x=，解得180x=.考点：分层抽样.3.（15北京文科）某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况．加油时间加油量（升）加油时的累计里程（千米）2015年5月1日12350002015年5月15日4835600注：“累计里程“指汽车从出厂开始累计行驶的路程，在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为（）A．6升 B．8升 C．10升D．12升【答案】B【解析】试题分析：因为第一次邮箱加满，所以第二次的加油量即为该段时间内的耗油量，故耗油量48V=升. 而这段时间内行驶的里程数3560035000600S=-=千米. 所以这段时间内，该车每100千米平均耗油量为481008600⨯=升，故选B.考点：平均耗油量.4.（15北京文科）高三年级267位学生参加期末考试，某班37位学生的语文成绩，数学成绩与总成绩在全年级中的排名情况如下图所示，甲、乙、丙为该班三位学生．从这次考试成绩看，①在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是； ②在语文和数学两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的科目是．【答案】乙、数学【解析】试题分析：①由图可知，甲的语文成绩排名比总成绩排名靠后；而乙的语文成绩排名比总成绩排名靠前，故填乙.②由图可知，比丙的数学成绩排名还靠后的人比较多；而总成绩的排名中比丙排名靠后的人数比较少，所以丙的数学成绩的排名更靠前，故填数学. 考点：散点图.5.（15北京文科）某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买．甲乙丙丁100 √ × √ √ 217 × √ × √ 200√ √ √ × 300√ × √ × 85√ × × × 98×√××（Ⅰ）估计顾客同时购买乙和丙的概率；（Ⅱ）估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3中商品的概率；（Ⅲ）如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中那种商品的可能性最大？【答案】（1）0.2；（2）0.3；（3）同时购买丙的可能性最大.商品顾客人数【解析】试题分析：本题主要考查统计表、概率等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，由统计表读出顾客同时购买乙和丙的人数200，计算出概率；第二问，先由统计表读出顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3中商品的人数100+200，再计算概率；第三问，由统计表读出顾客同时购买甲和乙的人数为200，顾客同时购买甲和丙的人数为100+200+300，顾客同时购买甲和丁的人数为100，分别计算出概率，再通过比较大小得出结论.试题解析：（Ⅰ）从统计表可以看出，在这1000位顾客中，有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为2000.21000=. （Ⅱ）从统计表可以看出，在在这1000位顾客中，有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品.所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为1002000.31000+=.（Ⅲ）与（Ⅰ）同理，可得：顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为2000.21000=，顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为1002003000.61000++=，顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为1000.11000=，所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大. 考点：统计表、概率.6.（15年广东理科）已知随机变量X 服从二项分布(),n p B ，若()30E X =，()D 20X =，则p = ．【答案】13．【解析】依题可得()30E X np ==且()()120D X np p =-=，解得13p =，故应填入13．【考点定位】本题考查二项分布的性质，属于容易题． 7.（15年广东理科）某工厂36名工人的年龄数据如下表。

概率论复习(部分答案)

试卷一（2012年6月5日）一、选择题1.设A 、B 为仸意两个事件，则()()A B A B ++表示 (D)A ．D(XY)=D(X)D(Y) B.D(X+Y)=D(X)+D(Y) C.X 与Y 独立 D.X 与Y 不独立解答：D(X+Y)=COV(X+Y ,X+Y)=COV(X,X)+2COV(X,Y)+COV(Y ,Y) =D(X)+D(Y).3.若A 与B 互为对立事件，则下式成立的是(B)A. P(AB)= 0B. P(AB)=P(A)P(B)C. P(AB)=P(A)+P(B)D. P(AB)=1 解答：由于A 与B 互为对立事件，故二者始终不同时成立。

4. 设事件A 满足0<P(A)<1，事件B 满足P(B)>0，且(/)(/)P B A P B A =，则必有(B)成立。

A ．(/)(/)P A B P A B = B. (/)(/)P A B P A B ≠ C. ()()()P AB P A P B = D. ()()()P AB P A P B ≠ 解答：若独立，则由P(AB)=P(A)P(B) 得P(B|A)=P(AB)/P(A)=[P(A)P(B)]/P(A)=P(B) P(B|A*)=P(A*B)/P(A*)=P(A*)P(B)/P(A*)=P(B) 故P(B|A)=P(B|A*)若P(B|A)=P(B|A*) 则P(AB)/P(A)=P(A*B)/P(A*)=[P(B)-P(AB)]/[1-P(A)] 即P(A)P(B)-P(A)P(AB)=P(AB)-P(A)P(AB) P(AB)=P(A)P(B) 故A 与B 相互独立5. 常数b=(C)时，,1,2, (1)k bp k k k ==+，为离散型随机变量的概率分布。

A ．2 B. 1 C. 0.5 D. 3 解答：要求总和为1,因为Pk=b/k(k+1)=b/k-b/(k+1) 所以P1+P2+...=b/1-b/2+b/2-b/3+.=1 因为b/(k+1)趋近于0,所以b=16. 广义平稳白噪声的相关函数为R(τ)=δ(τ),则其均值和方差分别为( )。

浙江省湖州市高考数学真题分类汇编专题15：概率与统计(综合题)

浙江省湖州市高考数学真题分类汇编专题15：概率与统计（综合题）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、解答题 (共11题；共90分)1. （10分） (2015高二下·太平期中) 在二项式（﹣）12的展开式中．（Ⅰ）求展开式中含x3项的系数；（Ⅱ）如果第3k项和第k+2项的二项式系数相等，试求k的值．2. （10分）若X～N（μ，σ），则P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）=0.9544，P （μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）=0.9974．在2010年黄冈中学理科实验班招生考试中，有5000人参加考试，考生的数学成绩服X～N（90，100）．（Ⅰ）在5000名考生中，数学分数在（100，120）之间的考生约有多少人；（Ⅱ）若对数学分数从高到低的前114名考生予以录取，问录取分数线为多少？3. （5分）(2016·河北模拟) 雾霾影响人们的身体健康，越来越多的人开始关心如何少产生雾霾，春节前夕，某市健康协会为了了解公众对“适当甚至不燃放烟花爆竹”的态度，随机采访了50人，将凋查情况进行整理后制成下表：年龄（岁）[15，25）[25，35）[35，45）[45，55）[55，65）[65，75]频数510151055赞成人数4612733（1）以赞同人数的频率为概率，若再随机采访3人，求至少有1人持赞同态度的概率；（2）若从年龄在[15，25），[25，35）的被调查者中各随机选取两人进行追踪调查，记选中的4人中不赞同“适当甚至不燃放烟花爆竹”的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．4. （5分）(2017·宁化模拟) 我们国家正处于老龄化社会中，老有所依也是政府的民生工程．某市共有户籍人口400万，其中老人（年龄60岁及以上）人数约有66万，为了解老人们的健康状况，政府从老人中随机抽取600人并委托医疗机构免费为他们进行健康评估，健康状况共分为不能自理、不健康尚能自理、基本健康、健康四个等级，并以80岁为界限分成两个群体进行统计，样本分布被制作成如图表：（1）若采取分层抽样的方法再从样本中的不能自理的老人中抽取16人进一步了解他们的生活状况，则两个群体中各应抽取多少人？（2）估算该市80岁及以上长者占全市户籍人口的百分比；（3）据统计该市大约有五分之一的户籍老人无固定收入，政府计划为这部分老人每月发放生活补贴，标准如下：①80岁及以上长者每人每月发放生活补贴200元；②80岁以下老人每人每月发放生活补贴120元；③不能自理的老人每人每月额外发放生活补贴100 元．试估计政府执行此计划的年度预算．5. （10分）某班进行个人投篮比赛，受污损的下表记录了在规定时间内投进n个球的人数分布情况：进球数n 0 1 2 3 4 5投进n个球的人数 1 2 7 2同时，已知进球3个或3个以上的人平均每人投进3.5个球，进球4个或4个以下人平均每人投进2.5个球．那么投进3个球和4个球的各有多少人？6. （10分） (2018高二上·宾阳月考) 某产品的三个质量指标分别为x，y，z，用综合指标S＝x＋y＋z评价该产品的等级．若S≤4, 则该产品为一等品．先从一批该产品中，随机抽取10件产品作为样本，其质量指标列表如下：产品编号A1A2A3A4A5质量指标(1,1,2)(2,1,1)(2,2,2)(1,1,1)(1,2,1)(x, y, z)产品编号A6A7A8A9A10质量指标(1,2,2)(2,1,1)(2,2,1)(1,1,1)(2,1,2)(x, y, z)（1）利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率；（2）在该样本的一等品中，随机抽取2件产品，(ⅰ) 用产品编号列出所有可能的结果；(ⅱ) 设事件B为“在取出的2件产品中，每件产品的综合指标S都等于4”，求事件B发生的概率．7. （10分） (2017高二下·眉山期中) 某旅游公司为甲，乙两个旅游团提供四条不同的旅游线路，每个旅游团可任选其中一条旅游线路．（1）求甲、乙两个旅游团所选旅游线路不同的概率；（2）某天上午9时至10时，甲，乙两个旅游团都到同一个著名景点游览，20分钟后游览结束即离去．求两个旅游团在该著名景点相遇的概率．8. （5分） (2018高二下·晋江期末) 某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为（1）求频率分布直方图中的值；（2）估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；（3）从评分在的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在的概率.9. （5分） (2016高一下·郑州期末) 某高校在2012年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组：第1组[75，80），第2组[80，85），第3组[85，90），第4组[90，95），第5组[95，100]得到的频率分布直方图如图所示．（1）分别求第3，4，5组的频率；（2）若该校决定在笔试成绩高的第3，4，5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3，4，5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试？（3）在（2）的前提下，学校决定在这6名学生中随机抽取2名学生接受甲考官的面试，求第4组至少有一名学生被甲考官面试的概率．10. （10分）(2017·东莞模拟) 鹰潭市龙虎山花语世界位于中国第八处世界自然遗产，世界地质公元、国家自然文化双遗产地、国家AAAAA级旅游景区﹣﹣龙虎山主景区排衙峰下，是一座独具现代园艺风格的花卉公园，园内汇集了3000余种花卉苗木，一年四季姹紫嫣红花香四溢．花园景观融合法、英、意、美、日、中六大经典园林风格，景观设计唯美新颖．玫瑰花园、香草花溪、台地花海、植物迷宫、儿童乐园等景点错落有致，交相呼应又自成一体，是世界园艺景观的大展示．该景区自2015年春建成试运行以来，每天游人如织，郁金香、向日葵、虞美人等赏花旺季日入园人数最高达万人．某学校社团为了解进园旅客的具体情形以及采集旅客对园区的建议，特别在2017年4月1日赏花旺季对进园游客进行取样调查，从当日12000名游客中抽取100人进行统计分析，结果如下：（表一）年龄频数频率男女[0，10）100.155[10，20）①②③④[20，30）250.251213[30，40）200.21010[40，50）100.164[50，60）100.137[60，70）50.0514[70，80）30.0312[80，90）20.0202合计100 1.004555（1）完成表格一中的空位①﹣④，并在答题卡中补全频率分布直方图，并估计2017年4月1日当日接待游客中30岁以下人数．（2）完成表格二，并问你能否有97.5%的把握认为在观花游客中“年龄达到50岁以上”与“性别”相关？50岁以上50岁以下合计男生女生合计P（K2≥k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828（参考公式：k2= ，其中n=a+b+c+d）（3）按分层抽样（分50岁以上与50以下两层）抽取被调查的100位游客中的10人作为幸运游客免费领取龙虎山内部景区门票，再从这10人中选取2人接受电视台采访，设这2人中年龄在50岁以上（含）的人数为ξ，求ξ的分布列及数学期望．11. （10分）(2017·菏泽模拟) 中学阶段是学生身体发育最重要的阶段，长时间熬夜学习严重影响学生的身体健康，某校为了解甲、乙两班学生每周自我熬夜学习的总时长（单位：时间），分别从这两个班中随机抽取6名同学进步调查，将他们最近一周自我熬夜学习的总时长作为样本数据，绘制成茎叶图如图所示（图中的茎表示十位数字，叶表示个位数字）．如果学生平均每周自我熬夜学习的总时长超过22小时，则称为“过度熬夜”．（1）请根据样本数据，分别估计甲，乙两班的学生平均每周自我熬夜学习时长的平均值；（2）从甲班的样本数据中有放回地抽取2个数据，求恰有1个数据为“过度熬夜”的概率；（3）从甲班、乙班的样本中各随机抽取2名学生的数据，记“过度熬夜”的学生人数为X，写出X的分布列和数学期望E（X）．参考答案一、解答题 (共11题；共90分)1-1、2-1、3-1、3-2、4-1、4-2、4-3、5-1、6-1、6-2、7-1、7-2、8-1、8-2、8-3、9-1、9-2、9-3、10-1、10-2、10-3、11-1、11-2、11-3、。

概率与统计(选择、填空题)(文科专用)(解析版)-五年(18-22)高考数学真题分项汇编(全国通用)

专题15概率与统计（选择题、填空题）（文科专用）1．【2022年全国甲卷】某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图：则（）A．讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%B．讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%C．讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差D．讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差【答案】B【解析】【分析】由图表信息，结合中位数、平均数、标准差、极差的概念，逐项判断即可得解.【详解】讲座前中位数为70%+75%2>70%,所以A错；讲座后问卷答题的正确率只有一个是80%,4个85%,剩下全部大于等于90%,所以讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%,所以B对；讲座前问卷答题的正确率更加分散,所以讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座后正确率的标准差,所以C错；讲座后问卷答题的正确率的极差为100%−80%=20%，讲座前问卷答题的正确率的极差为95%−60%=35%>20%,所以D错.故选:B.2．【2022年全国甲卷】从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为（）A．15B．13C．25D．23【答案】C【解析】【分析】先列举出所有情况，再从中挑出数字之积是4的倍数的情况，由古典概型求概率即可.【详解】从6张卡片中无放回抽取2张，共有1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,2,3,2,4,2,5,2,6,3,4,3,5,3,6,4,5,4,6,5,615种情况，其中数字之积为4的倍数的有1,4,2,4,2,6,3,4,4,5,4,66种情况，故概率为615=25.故选：C.3．【2022年全国乙卷】分别统计了甲、乙两位同学16周的各周课外体育运动时长（单位：h），得如下茎叶图：则下列结论中错误的是（）A．甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为7.4B．乙同学周课外体育运动时长的样本平均数大于8C．甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.4D．乙同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.6【答案】C【解析】【分析】结合茎叶图、中位数、平均数、古典概型等知识确定正确答案.【详解】对于A选项，甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为7.3+7.52=7.4，A选项结论正确.对于B选项，乙同学课外体育运动时长的样本平均数为：6.3+7.4+7.6+8.1+8.2+8.2+8.5+8.6+8.6+8.6+8.6+9.0+9.2+9.3+9.8+10.116=8.50625>8，B选项结论正确.对于C选项，甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值616=0.375<0.4，C选项结论错误.对于D选项，乙同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值1316=0.8125>0.6，D选项结论正确.故选：C4．【2021年甲卷文科】为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（）A．该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%B．该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%C．估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元D．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间【答案】C【解析】【分析】根据直方图的意义直接计算相应范围内的频率，即可判定ABD,以各组的中间值作为代表乘以相应的频率，然后求和即得到样本的平均数的估计值，也就是总体平均值的估计值，计算后即可判定C.【详解】因为频率直方图中的组距为1，所以各组的直方图的高度等于频率.样本频率直方图中的频率即可作为总体的相应比率的估计值.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户的比率估计值为0.020.040.066%+==,故A 正确；该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计值为0.040.0230.1010%+⨯==,故B 正确；该地农户家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的比例估计值为0.100.140.2020.6464%50%++⨯==>,故D 正确；该地农户家庭年收入的平均值的估计值为30.0240.0450.1060.1470.2080.2090.10100.10110.04120.02130.02140.02⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯(万元)，超过6.5万元，故C 错误.综上，给出结论中不正确的是C.故选：C.【点睛】本题考查利用样本频率直方图估计总体频率和平均值，属基础题，样本的频率可作为总体的频率的估计值，样本的平均值的估计值是各组的中间值乘以其相应频率然后求和所得值，可以作为总体的平均值的估计值.注意各组的频率等于⨯频率组距组距.5．【2021年甲卷文科】将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（）A ．0.3B ．0.5C ．0.6D ．0.8【答案】C 【解析】【分析】利用古典概型的概率公式可求概率.【详解】解：将3个1和2个0随机排成一行，可以是：00111,01011,01101,01110,10011,10101,10110,11001,11010,11100，共10种排法，其中2个0不相邻的排列方法为：01011,01101,01110,10101,10110,11010，共6种方法，故2个0不相邻的概率为6=0.610，故选：C.6．【2021年乙卷文科】在区间10,2⎛⎤⎥⎝⎦随机取1个数，则取到的数小于13的概率为（）A ．34B ．23C ．13D ．16【答案】B【分析】根据几何概型的概率公式即可求出.【详解】设Ω=“区间10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭随机取1个数”，对应集合为：102x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭，区间长度为12，A =“取到的数小于13”，对应集合为：103x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭，区间长度为13，所以()()()10231302l A P A l -===Ω-．故选：B ．【点睛】本题解题关键是明确事件“取到的数小于13”对应的范围，再根据几何概型的概率公式即可准确求出．7．【2020年新课标1卷文科】设O 为正方形ABCD 的中心，在O ，A ，B ，C ，D 中任取3点，则取到的3点共线的概率为（）A ．15B ．25C ．12D ．45【答案】A 【解析】【分析】列出从5个点选3个点的所有情况，再列出3点共线的情况，用古典概型的概率计算公式运算即可.【详解】如图，从O A B C D ,,,,5个点中任取3个有{,,},{,,},{,,},{,,}O A B O A C O A D O B C {,,},{,,},{,,},{,,}O B D O C D A B C A B D {,,},{,,}A C D B C D 共10种不同取法，3点共线只有{,,}A O C 与{,,}B O D 共2种情况，由古典概型的概率计算公式知，取到3点共线的概率为21105=.【点晴】本题主要考查古典概型的概率计算问题，采用列举法，考查学生数学运算能力，是一道容易题.8．【2020年新课标3卷文科】设一组样本数据x 1，x 2，…，xn 的方差为0.01，则数据10x 1，10x 2，…，10xn 的方差为（）A ．0.01B ．0.1C ．1D ．10【答案】C 【解析】【分析】根据新数据与原数据关系确定方差关系，即得结果.【详解】因为数据(1,2,,)i ax b i n +=L ，的方差是数据(1,2,,)i x i n =L ，的方差的2a 倍，所以所求数据方差为2100.01=1⨯故选：C 【点睛】本题考查方差，考查基本分析求解能力，属基础题.9．【2019年新课标1卷文科】某学校为了解1000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验，若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是A ．8号学生B ．200号学生C ．616号学生D ．815号学生【答案】C 【解析】【分析】等差数列的性质．渗透了数据分析素养．使用统计思想，逐个选项判断得出答案．【详解】详解：由已知将1000名学生分成100个组，每组10名学生，用系统抽样，46号学生被抽到，所以第一组抽到6号，且每组抽到的学生号构成等差数列{}n a ，公差10d =，所以610n a n =+()n *∈N ，若8610n =+，则15n =，不合题意；若200610n =+，则19.4n =，不合题意；若616610n =+，则61n =，符合题意；若815610n =+，则80.9n =，不合题意．故选C ．【点睛】本题主要考查系统抽样.10．【2019年新课标2卷文科】生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标，若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为A ．23B ．35C ．25D ．15【答案】B 【解析】【分析】本题首先用列举法写出所有基本事件，从中确定符合条件的基本事件数，应用古典概率的计算公式求解．【详解】设其中做过测试的3只兔子为,,a b c ，剩余的2只为,A B ，则从这5只中任取3只的所有取法有{,,},{,,},{,,},{,,},{,,},{,,}a b c a b A a b B a c A a c B a A B ，{,c,},{,c,},{b,,},{c,,}b A b B A B A B 共10种．其中恰有2只做过测试的取法有{,,},{,,},{,,},{,,},a b A a b B a c A a c B {,c,},{,c,}b A b B 共6种，所以恰有2只做过测试的概率为63105=，选B ．【点睛】本题主要考查古典概率的求解，题目较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．应用列举法写出所有基本事件过程中易于出现遗漏或重复，将兔子标注字母，利用“树图法”，可最大限度的避免出错．11．【2019年新课标3卷文科】两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是A ．16B ．14C ．13D ．12【答案】D 【解析】男女生人数相同可利用整体发分析出两位女生相邻的概率，进而得解.【详解】两位男同学和两位女同学排成一列，因为男生和女生人数相等，两位女生相邻与不相邻的排法种数相同，所以两位女生相邻与不相邻的概率均是12．故选D ．【点睛】本题考查常见背景中的古典概型，渗透了数学建模和数学运算素养．采取等同法，利用等价转化的思想解题．12．【2018年新课标2卷文科】从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为A ．0.6B ．0.5C ．0.4D ．0.3【答案】D 【解析】【详解】分析：分别求出事件“2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务”的总可能及事件“选中的2人都是女同学”的总可能，代入概率公式可求得概率.详解：设2名男同学为12,A A ，3名女同学为123,,B B B ，从以上5名同学中任选2人总共有12111213212223121323,,,,,,,,,A A A B A B A B A B A B A B B B B B B B 共10种可能，选中的2人都是女同学的情况共有121323,,B B B B B B 共三种可能则选中的2人都是女同学的概率为30.310P ==，故选D.点睛：应用古典概型求某事件的步骤：第一步，判断本试验的结果是否为等可能事件，设出事件A ；第二步，分别求出基本事件的总数n 与所求事件A 中所包含的基本事件个数m ；第三步，利用公式()mP A n=求出事件A 的概率.13．【2018年新课标3卷文科】若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为A ．0.3B ．0.4C ．0.6D ．0.7【答案】B 【解析】【详解】分析：由公式()()()()P A B P A P B P AB ⋃=++计算可得详解：设事件A 为只用现金支付，事件B 为只用非现金支付，则()()()()P A B P A P B P AB 1⋃=++=因为()()P A 0.45,P AB 0.15==所以()P B 0.4=，故选B.点睛：本题主要考查事件的基本关系和概率的计算，属于基础题．14．【2022年全国乙卷】从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为____________．【答案】310##0.3【解析】【分析】根据古典概型计算即可【详解】从5名同学中随机选3名的方法数为C 53=10甲、乙都入选的方法数为C 31=3，所以甲、乙都入选的概率=310故答案为：31015．【2018年新课标3卷文科】某公司有大量客户，且不同龄段客户对其服务的评价有较大差异．为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最合适的抽样方法是________．【答案】分层抽样.【解析】【详解】分析：由题可知满足分层抽样特点详解：由于从不同龄段客户中抽取，故采用分层抽样故答案为分层抽样．点睛：本题主要考查简单随机抽样，属于基础题．。

专题15 概率与统计专项高考真题(带答案及解析)

专题15概率与统计（解答题）1．【2021·全国高考真题（理）】某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：旧设备9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7新设备10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为x 和y ，样本方差分别记为21s 和22s ．（1）求x ，y ，21s ，22s ；（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果y x -≥不认为有显著提高）．【答案】（1）221210,10.3,0.036,0.04x y s s ====；（2）新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高.【分析】（1）根据平均数和方差的计算方法，计算出平均数和方差.（2）根据题目所给判断依据，结合（1）的结论进行判断.【详解】（1）9.810.31010.29.99.81010.110.29.71010x +++++++++==，10.110.410.11010.110.310.610.510.410.510.310y +++++++++==，22222222210.20.300.20.10.200.10.20.30.03610s +++++++++==，222222222220.20.10.20.30.200.30.20.10.20.0410s +++++++++==.（2）依题意，0.320.15y x -==⨯=，=，y x -≥，所以新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高.2．【2021·北京高考真题】为加快新冠肺炎检测效率，某检测机构采取“k 合1检测法”，即将k 个人的拭子样本合并检测，若为阴性，则可以确定所有样本都是阴性的；若为阳性，则还需要对本组的每个人再做检测．现有100人，已知其中2人感染病毒．（1）①若采用“10合1检测法”，且两名患者在同一组，求总检测次数；②已知10人分成一组，分10组，两名感染患者在同一组的概率为111，定义随机变量X 为总检测次数，求检测次数X 的分布列和数学期望E (X )；（2）若采用“5合1检测法”，检测次数Y 的期望为E (Y )，试比较E (X )和E (Y )的大小(直接写出结果)．【答案】（1）①20次；②分布列见解析；期望为32011；（2）()()E Y E X >．【分析】（1）①由题设条件还原情境，即可得解；②求出X 的取值情况，求出各情况下的概率，进而可得分布列，再由期望的公式即可得解；（2）求出两名感染者在一组的概率，进而求出()E Y ，即可得解.【详解】（1）①对每组进行检测，需要10次；再对结果为阳性的组每个人进行检测，需要10次；所以总检测次数为20次；②由题意，X 可以取20，30，()12011P X ==，()1103011111P X ==-=，则X 的分布列:X2030P1111011所以()1103202030111111E X =⨯+⨯=；（2）由题意，Y 可以取25，30，两名感染者在同一组的概率为232981510020499C C P C ==，不在同一组的概率为19599P =，则()()49529502530=999999E Y E X =⨯+⨯>.3．【2021·全国高考真题】某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A ，B 两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A 类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B 类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分，己知小明能正确回答A 类问题的概率为0.8，能正确回答B 类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.（1）若小明先回答A 类问题，记X 为小明的累计得分，求X 的分布列；（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.【答案】（1）见解析；（2）B 类．【分析】（1）通过题意分析出小明累计得分X 的所有可能取值，逐一求概率列分布列即可．（2）与（1）类似，找出先回答B 类问题的数学期望，比较两个期望的大小即可．【详解】（1）由题可知，X 的所有可能取值为0，20，100．()010.80.2P X ==-=；()()200.810.60.32P X ==-=；()1000.80.60.48P X ==⨯=．所以X 的分布列为X020100P0.20.320.48（2）由（1）知，()00.2200.321000.4854.4E X =⨯+⨯+⨯=．若小明先回答B 问题，记Y 为小明的累计得分，则Y 的所有可能取值为0，80，100．()010.60.4P Y ==-=；()()800.610.80.12P Y ==-=；()1000.80.60.48P X ==⨯=．所以()00.4800.121000.4857.6E Y =⨯+⨯+⨯=．因为54.457.6<，所以小明应选择先回答B 类问题．4．【2021·全国高考真题】一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代……，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X 表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，()(0,1,2,3)i P X i p i ===．（1）已知01230.4,0.3,0.2,0.1p p p p ====，求()E X ；（2）设p 表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p 是关于x 的方程：230123p p x p x p x x +++=的一个最小正实根，求证：当()1E X ≤时，1p =，当()1E X >时，1p <；（3）根据你的理解说明（2）问结论的实际含义．【答案】（1）1；（2）见解析；（3）见解析.【分析】（1）利用公式计算可得()E X .（2）利用导数讨论函数的单调性，结合()10f =及极值点的范围可得()f x 的最小正零点.（3）利用期望的意义及根的范围可得相应的理解说明.【详解】（1）()00.410.320.230.11E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.（2）设()()3232101f x p x p x p x p =++-+，因为32101p p p p +++=，故()()32322030f x p x p x p p p x p =+-+++，若()1E X ≤，则123231p p p ++≤，故2302p p p +≤.()()23220332f x p x p x p p p '=+-++，因为()()20300f p p p '=-++<，()230120f p p p '=+-≤，故()f x '有两个不同零点12,x x ，且1201x x <<≤，且()()12,,x x x ∈-∞⋃+∞时，()0f x '>；()12,x x x ∈时，()0f x '<；故()f x 在()1,x -∞，()2,x +∞上为增函数，在()12,x x 上为减函数，若21x =，因为()f x 在()2,x +∞为增函数且()10f =，而当()20,x x ∈时，因为()f x 在()12,x x 上为减函数，故()()()210f x f x f >==，故1为230123p p x p x p x x +++=的一个最小正实根，若21>x ，因为()10f =且在()20,x 上为减函数，故1为230123p p x p x p x x +++=的一个最小正实根，综上，若()1E X ≤，则1p =.若()1E X >，则123231p p p ++>，故2302p p p +>.此时()()20300f p p p '=-++<，()230120f p p p '=+->，故()f x '有两个不同零点34,x x ，且3401x x <<<，且()()34,,x x x ∈-∞+∞ 时，()0f x '>；()34,x x x ∈时，()0f x '<；故()f x 在()3,x -∞，()4,x +∞上为增函数，在()34,x x 上为减函数，而()10f =，故()40f x <，又()000f p =>，故()f x 在()40,x 存在一个零点p ，且1p <.所以p 为230123p p x p x p x x +++=的一个最小正实根，此时1p <，故当()1E X >时，1p <.（3）意义：每一个该种微生物繁殖后代的平均数不超过1，则若干代必然灭绝，若繁殖后代的平均数超过1，则若干代后被灭绝的概率小于1.5．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为12，（1）求甲连胜四场的概率；（2）求需要进行第五场比赛的概率；（3）求丙最终获胜的概率.【解析】（1）甲连胜四场的概率为116．（2）根据赛制，至少需要进行四场比赛，至多需要进行五场比赛．比赛四场结束，共有三种情况：甲连胜四场的概率为116；乙连胜四场的概率为116；丙上场后连胜三场的概率为18．所以需要进行第五场比赛的概率为11131161684---=．（3）丙最终获胜，有两种情况：比赛四场结束且丙最终获胜的概率为18．比赛五场结束且丙最终获胜，则从第二场开始的四场比赛按照丙的胜、负、轮空结果有三种情况：胜胜负胜，胜负空胜，负空胜胜，概率分别为116，18，18．因此丙最终获胜的概率为111178168816+++=．6．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加．为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据(x i ，y i )(i=1，2，…，20)，其中x i 和y i 分别表示第i 个样区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野生动物的数量，并计算得20160i ix==∑，2011200i iy==∑，2021)8(0ii x x =-=∑，2021)9000(i iy y =-=∑，201)()800(i i i y y x x =--=∑．（1）求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数）；（2）求样本(x i ，y i )(i=1，2，…，20)的相关系数（精确到0.01）；（3）根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大．为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由．附：相关系数)((iinx y r x y --=∑1.414≈．【解析】（1）由已知得样本平均数20160120i iy y===∑，从而该地区这种野生动物数量的估计值为60×200=12000．（2）样本(,)i i x y (1,2,,20)i =的相关系数20220.943(iix y y x r --=∑．（3）分层抽样：根据植物覆盖面积的大小对地块分层，再对200个地块进行分层抽样．理由如下：由（2）知各样区的这种野生动物数量与植物覆盖面积有很强的正相关．由于各地块间植物覆盖面积差异很大，从而各地块间这种野生动物数量差异也很大，采用分层抽样的方法较好地保持了样本结构与总体结构的一致性，提高了样本的代表性，从而可以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计．7．【2020年高考全国III 卷理数】某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：锻炼人次锻炼人次空气质量等级[0，200]（200，400]（400，600]1（优）216252（良）510123（轻度污染）6784（中度污染）72（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？人次≤400人次>400空气质量好空气质量不好附：K 2=()()()()2) n ad bc a b c d a c b d -++++，P （K 2≥k ）0.0500.0100.001k 3.841 6.63510.828．【解析】（1）由所给数据，该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率的估计值如下表：空气质量等级1234概率的估计值0.430.270.210.09（2）一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值为1(100203003550045)350100⨯+⨯+⨯=．（3）根据所给数据，可得22⨯列联表：人次≤400人次>400空气质量好3337空气质量不好228根据列联表得22100(3382237) 5.82055457030K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯．由于5.820 3.841>，故有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关．8．【2020年高考山东】为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的PM 2.5和2SO 浓度（单位：3μg/m ），得下表：2SO [0,50](50,150](150,475]PM 2.5[0,35]32184(35,75]6812(75,115]3710（1）估计事件“该市一天空气中PM 2.5浓度不超过75，且2SO 浓度不超过150”的概率；（2）根据所给数据，完成下面的22⨯列联表：2SO PM 2.5[0,150](150,475][0,75](75,115]（3）根据（2）中的列联表，判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM 2.5浓度与2SO 浓度有关？附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，2()P K k ≥0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【解析】（1）根据抽查数据，该市100天的空气中PM2.5浓度不超过75，且2SO 浓度不超过150的天数为32186864+++=,因此,该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且2SO 浓度不超过150的概率的估计值为640.64100=．（2）根据抽查数据，可得22⨯列联表：2SO PM 2.5[0,150](150,475][0,75]6416(75,115]1010（3）根据（2）的列联表得22100(64101610)7.48480207426K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯．由于7.484 6.635>，故有99%的把握认为该市一天空气中PM 2.5浓度与2SO 浓度有关．9.【2020年高考北京】某校为举办甲、乙两项不同活动，分别设计了相应的活动方案：方案一、方案二．为了解该校学生对活动方案是否支持，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表：男生女生支持不支持支持不支持方案一200人400人300人100人方案二350人250人150人250人假设所有学生对活动方案是否支持相互独立．（Ⅰ）分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率；（Ⅱ）从该校全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人中恰有2人支持方案一的概率；（Ⅲ）将该校学生支持方案的概率估计值记为0p ，假设该校年级有500名男生和300名女生，除一年级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为1p ，试比较0p 与1p 的大小．（结论不要求证明）【解析】（Ⅰ）该校男生支持方案一的概率为2001200+4003=，该校女生支持方案一的概率为3003300+1004=；（Ⅱ）3人中恰有2人支持方案一分两种情况，（1）仅有两个男生支持方案一，（2）仅有一个男生支持方案一，一个女生支持方案一，所以3人中恰有2人支持方案一概率为：2121311313((1)()3433436C -+-=;（Ⅲ）01p p <【点睛】本题考查利用频率估计概率、独立事件概率乘法公式，考查基本分析求解能力，属基础题.10．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A ，B 两组，每组100只，其中A 组小鼠给服甲离子溶液，B 组小鼠给服乙离子溶液，每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比．根据试验数据分别得到如下直方图：记C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P（C）的估计值为0.70．（1）求乙离子残留百分比直方图中a，b的值；（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）．【答案】（1）a=0.35，b=0.10；（2）甲、乙离子残留百分比的平均值的估计值分别为4.05，6.00．【解析】（1）由已知得0.70=a+0.20+0.15，故a=0.35．b=1–0.05–0.15–0.70=0.10．（2）甲离子残留百分比的平均值的估计值为2×0.15+3×0.20+4×0.30+5×0.20+6×0.10+7×0.05=4.05．乙离子残留百分比的平均值的估计值为3×0.05+4×0.10+5×0.15+6×0.35+7×0.20+8×0.15=6.00．11．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10:10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束．甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立．在某局双方10:10平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束．（1）求P（X=2）；（2）求事件“X=4且甲获胜”的概率．【答案】（1）0.5；（2）0.1．【解析】（1）X=2就是10∶10平后，两人又打了2个球该局比赛结束，则这2个球均由甲得分，或者均由乙得分．因此P（X=2）=0.5×0.4+（1–0.5）×（1–0.4）=0.5．（2）X =4且甲获胜，就是10∶10平后，两人又打了4个球该局比赛结束，且这4个球的得分情况为：前两球是甲、乙各得1分，后两球均为甲得分．因此所求概率为[0.5×（1–0.4）+（1–0.5）×0.4]×0.5×0.4=0.1．12．【2019年高考天津卷理数】设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为23．假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立．（1）用X 表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量X 的分布列和数学期望；（2）设M 为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件M 发生的概率．【答案】（1）分布列见解析，()2E X =；（2）20243．【分析】本小题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望，互斥事件和相互独立事件的概率计算公式等基础知识．考查运用概率知识解决简单实际问题的能力．满分13分．【解析】（1）因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7：30之前到校的概率均为23，故2~(3,)3X B ，从而3321()C ()(),0,1,2,333k k k P X k k -===．所以，随机变量X 的分布列为X0123P 1272949827随机变量X 的数学期望2()323E X =⨯=．（2）设乙同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数为Y ，则2~(3,)3Y B ，且{3,1}{2,0}M X Y X Y ===== ．由题意知事件{3,1}X Y ==与{2,0}X Y ==互斥，且事件{3}X =与{1}Y =，事件{2}X =与{0}Y =均相互独立，从而由（1）知()({3,1}{2,0})P M P X Y X Y ===== (3,1)(2,0)P X Y P X Y ===+==(3)(1)(2)(0)P X P Y P X P Y ===+==824120279927243=⨯+⨯=．13．【2019年高考北京卷理数】改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A ，B 两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中A ，B 两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A 和仅使用B 的学生的支付金额分布情况如下：（1）从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A ，B 两种支付方式都使用的概率；（2）从样本仅使用A 和仅使用B 的学生中各随机抽取1人，以X 表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，求X 的分布列和数学期望；（3）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用A 的学生中，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2000元．根据抽查结果，能否认为样本仅使用A 的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由．【答案】（1）0.4；（2）分布列见解析，E （X ）=1；（3）见解析．【解析】（1）由题意知，样本中仅使用A 的学生有18+9+3=30人，仅使用B 的学生有10+14+1=25人，A ，B 两种支付方式都不使用的学生有5人．故样本中A ，B 两种支付方式都使用的学生有100−30−25−5=40人．所以从全校学生中随机抽取1人，该学生上个月A ，B 两种支付方式都使用的概率估计为400.4100=．（2）X 的所有可能值为0，1，2．记事件C 为“从样本仅使用A 的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于1000元”，事件D 为“从样本仅使用B 的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于1000元”．由题设知，事件C ，D 相互独立，且93141()0.4,()0.63025P C P D ++====．所以(2)()()()0.24P X P CD P C P D ====，(1)()P X P CD CD ==()()()()P C P D P C P D =+0.4(10.6)(10.4)0.6=⨯-+-⨯0.52=，(0)()()()0.24P X P CD P C P D ====．所以X 的分布列为X012P 0.240.520.24故X 的数学期望()00.2410.5220.241E X =⨯+⨯+⨯=．（3）记事件E 为“从样本仅使用A 的学生中随机抽查3人，他们本月的支付金额都大于2000元”．假设样本仅使用A 的学生中，本月支付金额大于2000元的人数没有变化，则由上个月的样本数据得33011()C 4060P E ==．答案示例1：可以认为有变化．理由如下：P （E ）比较小，概率比较小的事件一般不容易发生．一旦发生，就有理由认为本月的支付金额大于2000元的人数发生了变化，所以可以认为有变化．答案示例2：无法确定有没有变化．理由如下：事件E 是随机事件，P （E ）比较小，一般不容易发生，但还是有可能发生的，所以无法确定有没有变化．14．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得1-分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得1-分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X ．（1）求X 的分布列；（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，(0,1,,8)i p i = 表示“甲药的累计得分为i 时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则00p =，81p =，11i i i i p ap bp cp -+=++(1,2,,7)i = ，其中(1)a P X ==-，(0)b P X ==，(1)c P X ==．假设0.5α=，0.8β=．(i)证明：1{}i i p p +-(0,1,2,,7)i = 为等比数列；(ii)求4p ，并根据4p 的值解释这种试验方案的合理性．【答案】（1）分布列见解析；（2）(i)证明见解析，(ii)45 127p =，解释见解析．【解析】X 的所有可能取值为1,0,1-．(1)(1)P X αβ=-=-，(0)(1)(1)P X αβαβ==+--，(1)(1)P X αβ==-，所以X 的分布列为X1-01P (1)αβ-(1)(1)αβαβ+--(1)αβ-（2）（i ）由（1）得0.4,0.5,0.1a b c ===．因此110.40.5 0.1i i i i p p p p -+=++，故110.1()0.4()i i i i p p p p +--=-，即114()i i i i p p p p +--=-．又因为1010p p p -=≠，所以1{}(0,1,2,,7)i i p p i +-= 为公比为4，首项为1p 的等比数列．（ii ）由（i ）可得88776100p p p p p p p p =-+-++-+ 877610()()()p p p p p p =-+-++-81413p -=．由于8=1p ，故18341p =-，所以44433221101( 411()327)(5())p p p p p p p p p p -=-+-+-+=-=．4p 表示最终认为甲药更有效的概率，由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为410.0039257p =≈，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种试验方案合理．。

概率论与数理统计_15_均匀分布

这时，可以认为随机变量 X 在区间a， b上取值是等可能的．
P{c X c l}

c l c
c l
c
f ( x)dx
X a l 0 l X b x
1 l dx . ba ba
均匀分布的累积分布函数（CDF）
若随机变量 X 服从区间
a ， b 上的均匀分布，
1 y2 x 1 y2 其它
即当 1 y 1 时，X 在 Y y下的条件分布是区间

1 y2 ,
1 y 2 上的均匀分布．

均匀分布的期望与方差
1 /( b a ), a x b f ( x) 。 0, 其它

EX

1 ab xf ( x )dx x dx ba 2
上的均匀分布，试求条件密度函数 f X Y x y ．
练习3解答
2 2 X Y 设二维随机变量，服从圆域：x y 1
上的均匀分布，试求条件密度函数 f X Y x y ．
解：
二维随机变量 X ， Y 的联合密度函数为 1 f x， y p 0 x y 1
2
则
P A P 4 4 4 2 0
2

P 1或 2 1 6 1 1 dx dx 9 9 3 2 2 4 2 9 9 3
P 1 2 0
练习3
2 2 X Y 设二维随机变量，服从圆域：x y 1
1 y 1 其它
y
x2 y2 1
x
由此得，当 1 y 1时，fY y > 0
练习3解答（续2）

高中概率统计内容设置的国际比较基于15个国家数学课程标准的研究

高中概率统计内容设置的国际比较基于15个国家数学课程标准的研究一、本文概述本文旨在通过深入研究15个国家的数学课程标准，对高中概率统计内容设置进行国际比较。

概率统计作为数学学科的重要组成部分，在培养学生的逻辑思维、数据分析能力和科学决策能力等方面具有重要作用。

通过对不同国家课程标准的对比分析，我们可以了解各国在高中概率统计教育方面的异同点，为我国高中数学教育改革提供借鉴和参考。

本文将首先介绍概率统计在高中数学教育中的地位和作用，阐述进行国际比较的必要性和意义。

接着，将详细介绍所选取的15个国家数学课程标准中概率统计内容的设置情况，包括课程内容、教学目标、教学要求等方面的比较。

在此基础上，本文将对各国概率统计教育特点进行总结归纳，并探讨其背后的教育理念和教育制度等因素。

通过国际比较，本文将揭示各国在高中概率统计教育方面的优势和不足，为我国高中数学教育改革提供启示。

本文还将提出针对性的建议，以期提高我国高中数学教育中概率统计的教学质量，更好地培养学生的数学素养和科学精神。

最终，本文期望为高中数学教育的国际交流与合作提供有益的参考，推动全球范围内高中数学教育的共同发展。

二、研究方法与数据来源本研究旨在对比和分析15个国家的高中数学课程标准中概率统计内容的设置。

为达到这一目的，我们采用了多种研究方法，并从多个渠道搜集了数据。

文献研究法：我们对15个国家的数学课程标准进行了详细的文献研究。

通过查阅各国教育部或相关教育机构发布的官方文件，我们获取了关于概率统计内容设置的具体信息，包括教学目标、课程内容、学时分配等。

内容分析法：在收集到各国数学课程标准的相关数据后，我们进行了内容分析。

通过对比不同国家的课程内容，我们分析了概率统计在不同国家高中数学课程中的地位、比重以及具体内容的选择和呈现方式。

比较分析法：在内容分析的基础上，我们进一步进行了比较分析。

通过比较不同国家在概率统计内容设置上的异同，我们探讨了这些差异可能受到的教育理念、文化传统和社会需求等因素的影响。

概率统计练习题(职高)

概率统计练习题(职高)
题目一
某班级有30名学生，其中15名是男生，15名是女生。

从这个班级中随机抽取两名学生，求抽到一男一女的概率。

解答一
首先，我们计算从30名学生中抽出一男一女的组合数。

男生有15名，女生也有15名，所以一共有15 * 15 = 225 种组合。

接下来，我们计算从30名学生中抽出两名学生的总组合数。

由于我们忽略了学生之间的区别，所以总组合数为C(30, 2)。

最后，我们用抽到一男一女的组合数除以总组合数，即可得到概率：
P(抽到一男一女) = 225 / C(30, 2)
题目二
一批产品中有100个，其中有10个次品。

从这批产品中随机抽取5个，求抽到至少一个次品的概率。

解答二
首先，我们计算不抽到任何次品的组合数。

由于产品总数为100个，其中没有次品的数量为90个，所以不抽到任何次品的组合数为C(90, 5)。

接下来，我们计算总组合数。

由于产品总数为100个，所以总组合数为C(100, 5)。

最后，我们用不抽到任何次品的组合数减去总组合数，再用1减去结果，即可得到概率：
P(抽到至少一个次品) = 1 - C(90, 5) / C(100, 5)
以上是关于概率统计的两个练题。

希望对职高学生的研究有所帮助！。