方差分析原理
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方差分析_精品文档方差分析（Analysis of Variance，简称ANOVA）是一种用于比较两个或更多个群体均值是否存在显著差异的统计方法。
它是一种非参数统计方法，适用于正态分布的数据，可以帮助我们理解不同因素对于观测变量的影响程度以及它们之间是否存在交互作用。
方差分析的基本原理是将总体方差拆分为组内方差和组间方差。
组间方差表示了不同群体之间的差异，组内方差则表示了同一群体内的个体差异。
通过比较组间方差与组内方差的大小，判断不同群体均值是否存在显著差异。
方差分析可以分为单因素方差分析和多因素方差分析。
单因素方差分析主要用于比较一个因素（或处理）对观测变量的影响，例如比较不同药物对于治疗效果的影响；而多因素方差分析则可以同时考虑多个因素的影响，并探究它们之间是否存在交互作用。
方差分析的基本步骤如下：1.建立假设：根据实际问题，建立相应的原假设（H0）和备择假设（H1）。
原假设通常是认为各组均值相等，备择假设则是认为各组均值不全相等。
2.收集数据：根据实验设计，对不同处理组进行观测，获取相应的数据。
3.计算统计量：计算组间方差和组内方差，进行方差分析，得到统计量（F值）。
4.判断显著性：根据计算出的F值和自由度，查找F分布表，计算出P值（显著性水平）。
5.做出结论：根据P值，结合原假设和备择假设，判断不同群体均值是否存在显著差异。
方差分析的优点在于可以同时比较多个群体均值，减少了多次独立t 检验的错误率。
此外，方差分析也可以用于研究不同因素的交互作用，帮助我们更全面地理解数据。
然而，方差分析也有一些限制。
首先，方差分析要求数据满足正态分布假设，如果数据不满足正态分布，则结果可能不准确。
其次，方差分析对样本量要求较高，特别是对于多因素方差分析，需要足够的样本量才能得到可靠的结果。
最后，方差分析只能告诉我们群体均值是否存在显著差异，而不能确定具体差异的大小，这需要通过其他统计方法进行进一步分析。
方差分析原理
方差分析原理方差分析（Analysis of Variance，简称ANOVA）是一种统计方法，用于比较两个或多个样本均值之间的差异。
它能够帮助我们确定多个样本的均值是否存在显著差异，并进一步了解差异来自于哪些因素。
本文将介绍方差分析的原理和应用。
一、方差分析的背景在实际问题中，我们常常需要比较不同样本的均值，以了解它们之间是否存在差异。
例如，我们想要知道不同药物对治疗某种疾病的疗效是否有差别，或者不同教学方法对学生成绩是否有影响等。
这时候，我们需要用到方差分析这个统计工具。
二、方差分析的基本原理方差分析的基本原理是通过比较组内变异（Within-group variation）与组间变异（Between-group variation）的大小来判断多个样本的均值是否存在显著差异。
组内变异指的是同一组内个体（观察值）之间的差异，也可以看作是测量误差或个体内部差异。
组间变异指的是不同组之间的差异，也可以理解为组与组之间的差别。
我们的目标是判断组间变异是否显著大于组内变异。
统计学家通过构建方差分析的假设检验来实现这一目标。
假设检验的零假设（null hypothesis）是所有样本的均值相等，备择假设（alternative hypothesis）则是至少存在一个样本的均值与其他样本不同。
三、方差分析的步骤进行方差分析时，一般需要按照以下步骤进行：1. 提出假设：定义零假设和备择假设。
2. 选择显著性水平：通常为0.05，表示我们要找到的结论是在5%的显著水平下成立。
3. 收集数据：需要收集多个组别的数据，并记录下来。
4. 计算方差：通过计算组内变异和组间变异。
5. 计算F统计量：F统计量用于判断组间变异是否显著大于组内变异，可以通过计算组间均方与组内均方之比得到。
6. 判断：根据F统计量与给定显著性水平的临界值进行比较，如果F统计量大于临界值，则拒绝零假设，表示至少存在一个样本均值与其他不同。
7. 进行事后分析（post hoc analysis）：如果方差分析的结果是显著的，我们可以进行事后分析，以确定具体哪些组别之间存在差异。
方差分析原理
方差分析原理方差分析原理是一种统计方法，用于比较两个或多个总体均值是否存在显著差异。
它基于样本方差的大小来推断总体方差是否相等，从而判断总体均值是否存在差异。
方差分析可以应用于多个因素的比较，并且可以探究因素之间的交互作用。
在进行方差分析时，首先需要选取一个因变量和一个或多个自变量。
因变量是我们想要比较的关键指标，而自变量是我们所感兴趣的因素。
例如，在研究药物的有效性时，因变量可以是病人的治疗效果，而自变量可以是不同的药物剂量。
然后，我们需要将样本数据按照自变量分组，计算每组的均值和方差。
根据均值和方差的差异，我们可以计算出组内和组间的方差。
组内方差反映了组内样本之间的差异程度，而组间方差反映了不同组别之间的差异程度。
接下来，我们需要计算F值，它是组间方差和组内方差之比。
如果组间方差显著大于组内方差，说明不同组间的差异程度较大，即不同自变量的水平对因变量有着显著的影响。
最后，我们可以使用统计软件进行方差分析的假设检验，以确定F值是否显著。
如果F值显著小于设定的显著性水平（通常为0.05），则我们可以拒绝原假设，即认为不同组别之间的均值存在显著差异。
需要注意的是，方差分析的结果只能说明组别之间的差异是否显著，不能确定具体哪些组别之间存在差异。
如果方差分析结果显著，我们可以进一步进行事后的多重比较，来确定具体哪些组别之间存在差异。
总之，方差分析是一种用于比较两个或多个总体均值是否存在差异的统计方法。
它可以应用于多个因素的比较，并且可以探究因素之间的交互作用。
通过计算F值和进行假设检验，我们可以判断不同组别之间的均值是否存在显著差异。
方差分析的原理及应用
方差分析的原理及应用1. 方差分析的原理方差分析（Analysis of Variance，简称ANOVA）是一种常用的统计分析方法，用于比较两个或多个组之间的均值差异是否显著。
其原理基于以下几个假设：1.独立性假设：样本观测值是相互独立的。
2.正态性假设：样本观测值符合正态分布。
3.方差齐性假设：各组样本的方差相等。
方差分析基于总方差的分解，将总方差分为组内方差和组间方差，通过计算统计量F值来判断组间误差是否显著大于组内误差，从而得出结论。
2. 方差分析的应用方差分析可以用于不同领域的研究，以下为几个常见的应用场景：2.1. 实验设计分析方差分析可以用于实验设计的分析，通过比较不同处理组之间的均值差异，判断不同处理对结果的影响是否显著。
例如，在农业研究中，我们可以使用方差分析来比较不同农药处理对农作物产量的影响。
•农药处理组A的平均产量为X1•农药处理组B的平均产量为X2•农药处理组C的平均产量为X32.2. 组间差异比较方差分析可以用于不同组之间差异的比较。
例如，在医学研究中，我们可以使用方差分析来比较不同疗法组的疗效差异。
•疗法组A的平均疗效为Y1•疗法组B的平均疗效为Y2•疗法组C的平均疗效为Y32.3. 控制变量分析方差分析还可以用于控制变量的分析。
在实验设计中，我们常常需要控制其他因素对实验结果的影响，方差分析可以帮助我们分析这些控制变量的效果。
例如，在教育研究中，我们可以使用方差分析来控制学生背景因素对学业成绩的影响。
•学生背景因素A对学习成绩的影响•学生背景因素B对学习成绩的影响•学生背景因素C对学习成绩的影响3. 方差分析的步骤进行方差分析时，通常需要进行以下步骤：1.收集样本数据：获取不同组的观测值，确保满足方差分析的假设条件。
2.计算平均值：计算每个组的观测值的平均值。
3.计算总平方和：计算每个组与总体均值之间的平方和。
4.计算组间平方和：计算不同组之间的平均值与总体均值之间的平方和。
方差分析
Minimum Maximum 125.30 143.10 143.80 162.70 182.80 198.60 212.30 225.80 125.30 225.80
给出了四种饲料分组的样本含量N、平均数Mean、标准差 Std Deviation、
标准误 Std Error、95％的置信区间、最小值和最大值 ；
对照组 10.28 31.35 31.23
去卵巢组 10.01 8.28 6.12
雌激素组 28.88 12.77 27.56
随机误差，例如测量误差造成的差异，称为组 内差异。用变量在各组的均值与该组内变量值 之偏(离均)差平方和的总和表示。记作SS组内。 实验条件, 即不同的处理造成的差异，称为组 间差异。用变量在各组的均值与总均值之偏 (离均)差平方和的总和表示。记作SS组间。 SS组间、SS组内除以各自的自由度得到其均方 值即组间均方和组内均方。
3.1 因素与处理
因素(Factor)是影响因变量变化的客观条件；例如影 响农作物产量的因素有气温、降雨量、日照时间等； 处理(Treatments)是影响因变量变化的人为条件。也 可以称为因素。如研究不同肥料对不同种系农作物产 量的影响时农作物的不同种系可称为因素，所施肥料 可视为不同的处理。 一般情况下Factors与Treatments在方差分析中可作 相同理解。在要求进行方差分析的数据文件中均作为 分类变量出现。即它们的值只有有限个取值。即使是 气温、降雨量等平常看作是连续变量的，在方差分析 中如果作为影响产量的因素进行研究，就应该将其数 值用分组定义水平的方法事先变为具有有限个取值的 离散变量
N A B C D Total 5 5 5 4 19
方差分析的原理
方差分析的原理方差分析（ANOVA）是一种统计方法，用于比较三个或三个以上组的均值是否相等。
它是一种用于检验组间差异是否显著的方法，通常用于实验设计和数据分析中。
方差分析的原理基于对组间差异和组内差异的分解，通过比较组间变异和组内变异的大小来判断组间均值是否有显著差异。
方差分析的原理可以通过以下步骤来解释，首先，假设我们有多个组，每个组都有一定的样本量和均值。
我们想要知道这些组的均值是否有显著差异。
方差分析的原理就是通过计算组间变异和组内变异来判断这一点。
具体来说，方差分析的原理包括以下几个步骤：1. 计算组内变异，首先，我们计算每个组内观察值与该组均值的偏差平方和。
这个偏差平方和反映了每个组内观察值与该组均值之间的差异程度。
2. 计算组间变异，然后，我们计算每个组均值与总体均值的偏差平方和。
这个偏差平方和反映了每个组均值与总体均值之间的差异程度。
3. 比较组间变异和组内变异，接下来，我们比较组间变异和组内变异的大小。
如果组间变异显著大于组内变异，说明组间均值存在显著差异；反之，如果组间变异远小于组内变异，说明组间均值之间没有显著差异。
4. 判断显著性，最后，我们通过F检验或t检验来判断组间均值是否有显著差异。
如果F值或t值大于一定的临界值，我们就可以拒绝原假设，认为组间均值存在显著差异；反之，如果F值或t值小于临界值，我们就不能拒绝原假设，认为组间均值之间没有显著差异。
方差分析的原理是基于对组间差异和组内差异的分解，通过比较组间变异和组内变异的大小来判断组间均值是否有显著差异。
它是一种常用的统计方法，可以帮助研究者判断不同组之间的差异是否显著，对于实验设计和数据分析具有重要意义。
通过深入理解方差分析的原理，我们可以更好地应用这一方法，从而更准确地进行数据分析和实验设计。
方差分析的基本原理是什么
方差分析的基本原理是什么方差分析（Analysis of Variance，简称ANOVA）是一种统计方法，用于比较两个或多个组之间均值差异的显著性。
它是通过分析数据中的变异性来推断组别之间的差异是否显著。
一、方差分析的基本原理方差分析的基本原理是基于总体的变异情况来推断不同组别的均值是否有显著性差异。
下面将从总体方差、组内方差和组间方差三个方面来介绍方差分析的基本原理。
1. 总体方差总体方差是指所有个体（观察值）与总体均值之间的方差。
方差的大小代表了数据的离散程度，即数据的变异性。
方差越大，个体之间的差异越大；方差越小，个体之间的差异越小。
2. 组内方差组内方差是指组内个体与各组均值之间的方差。
组内方差表示每个组内个体之间的差异程度，反映了组内个体之间的相似性。
组内方差越小，说明组内个体趋于相似，组别间的差异越显著。
3. 组间方差组间方差是指各组均值与总体均值之间的差异。
组间方差表示了不同组别之间的差异程度，用于判断组别间均值的差异是否显著。
组间方差越大，说明各组均值之间的差异越显著。
二、方差分析的假设条件在进行方差分析之前，需要满足以下几个假设条件：1. 正态性假设：不同组别的数据应当满足正态分布，即服从正态分布。
2. 方差齐性假设：方差分析是基于方差比的推断，要求不同组别的方差是相等的。
3. 独立性假设：不同组别之间的观测值应当是相互独立的。
以上三个假设条件是进行方差分析的前提，若不满足其中一个或多个假设条件，就需要采取相应的分析方法进行调整或转换。
三、方差分析的步骤方差分析通常包括以下几个步骤：1. 建立假设在进行方差分析之前，需要明确研究目标并建立相应的假设，包括原假设（H0：组别之间的均值没有显著差异）和备择假设（H1：组别之间的均值有显著差异）。
2. 计算统计量通过计算组内方差和组间方差之间的比值，得到F统计量。
F值越大，说明组间的差异越显著，存在显著差异的可能性越大。
3. 判断显著性水平根据设定的显著性水平（通常为0.05），比较计算得到的F值与临界F值。
第5章 方差分析
F检验
若实际计算的F值大于 F 0 . 0 5 ( d f , d f ) ，则 F 值在 α=0.05的水平上显著，我们以95% 的可靠性推断 2 2 St代表的处理间方差大于Se 代表的处理内方差。
1 2
这种用F值出现概率的大小推断两个总体方差 是否相等的方法称为 F检验。
F检验时，是将由试验资料所算得的F值与根 ,F 据df1=dft 和df2=dfe查表所得的临界F值F 相比较作出统计推断的。
1 1
k
n
x ) n (x i x )
2 2 1
k
(x
1 1
k
n
xi )
2
上式可简写成：SST=SSt+SSe 分别表示总 平方和，处理间平方和，处理内平方和。 即：总平方和=处理间平方和+处理内平
方和。
C=T2/kn：
SST
x C
2
1 2 SS t Ti C n SS e SS T SS t
P ( F F ) 1 F ( F )
F
f (F )d F
F表列出的是不同df1和df2下， P(F≥Fα)=0.05和P(F≥Fα)=0.01时的F值， 即右尾概率α=0.05和α=0.01时的临界F 值，一般记作F0.05(df1,df2), F0.01(df1,df2) 。
所以 d f T d f t d f e 综合以上各式得：
df T kn 1 df t k 1 df e df T df t
均方差，均方(mean square，MS)
变异程度除与离均差平方和的大小有关外， 还与其自由度有关，由于各部分自由度不相等， 因此各部分离均差平方和不能直接比较，须将 各部分离均差平方和除以相应自由度，其比值 称为均方差，简称均方 (mean square ， MS )。组 间均方和组内均方的计算公式为 :
统计学方差分析
统计学方差分析方差分析（ANOVA）是统计学中一种用于比较多个样本平均值之间差异的方法。
它能够确定因素（或者称之为自变量）对因变量的影响是否显著。
在进行方差分析时，常常使用F检验来判断不同组之间的平均值是否存在显著差异。
方差分析常被用于实验设计和自然观察研究中，特别是在多个因素同时影响因变量的情况下。
方差分析基于总体的假设，即总体的均值相等。
方差分析的目的是确定是否存在一个或多个因素对于因变量的影响。
这些因素可以是分类因素（例如不同的治疗组）或者连续因素（例如不同的剂量水平）。
方差分析通过计算组内变异和组间变异之间的比率来判断这种影响是否显著。
方差分析的基本原理是将组内变异（即观测值之间的差异）与组间变异（即组均值之间的差异）进行比较。
如果组间变异大于组内变异，那么可以推断存在一个或多个因素对于因变量的影响。
通过计算F统计量（组间均方与组内均方之比），可以判断这种影响是否显著。
方差分析有几个基本假设需要满足。
首先，观测值必须是互相独立的。
其次，观测值必须是正态分布的。
最后，方差必须是均匀的，也就是方差齐性假设。
方差分析可以分为单因素方差分析和多因素方差分析。
单因素方差分析适用于只有一个因素对因变量的影响进行研究的情况。
多因素方差分析适用于有多个因素同时对因变量进行影响的情况。
在多因素方差分析中，可以考虑因素之间的交互作用。
方差分析还可以通过进行事后多重比较来进一步研究组之间的差异。
常用的事后比较方法包括LSD（最小显著差异）方法、Tukey HSD（Tukey honestly significant difference）方法和Bonferroni校正方法等。
方差分析在实际应用中具有广泛的应用。
例如，在医学研究中，可以使用方差分析来比较不同治疗组的效果；在工程设计中，可以使用方差分析来确定不同因素对产品质量的影响；在社会科学研究中，可以使用方差分析来研究不同教育程度对工资的影响等等。
方差分析是统计学中重要的一种方法，能够帮助我们了解不同因素对因变量的影响程度。
第八讲-方差分析
x2 ij
j 1i 1
xij
N
k
2
SS B n j X j X t
i 1
2
k
j 1
nj
2
( xij)
i 1
nj
k nj
j 1i 1
xij
N
SSW SST SSB
2
nj
x k nj
x n j1 i1
k
2
ij j 1
ij i 1
j
3、确定自由度
df k 1 B
df N k W
二、（单因素）随机区组实验设计
1、模型
处理1
处理2 ……
区组1 被试1 x11 被试1 x21 ……
区组2 被试2 x12 被试2 x22 ……
处理k
被试1 xk1
被试2
xk
2
……… ……… ……
区组a 被试a x1a 被试a x2a ……
……
被试a xka
■注：每个区组内被试分配方式可以是以下 三种
T1
T2
8
39
20
26
12
31
14
45
10
40
T3
T4
17
32
工创问 具造题
21 20
23 28
教 程
丰 富 教
性 思 维
解 决 模
17
25
程教式 程教
20
29
程
T1: T2: T3: T4:CoRT
变异来源 自由度 平方和
处理 误差
总
3
1553.7
16 378.80
19 1932.55
均方
方差分析的原理及依据
方差分析的原理及依据
方差分析是一种统计学方法，用于比较两个或多个组的平均值是否有显著差异。
方差分析的原理及依据是基于正态分布的假设，即每个组的数据符合正态分布，并且组间、组内的方差相等。
方差分析的原理：
方差分析的原理是通过比较组间方差与组内方差来判断不同组别之间是否有显著差异。
其中组间方差是指各组样本均值与总均值之间的差异，而组内方差则是指各样本值与对应组样本均值之间的差异。
在正态分布假设下，这两种方差是服从F分布的，因此可以通过计算组间方差与组内方差的比值F值，来确定不同组别之间是否有显著差异。
方差分析的依据：
方差分析的依据主要是基于以下假设：
1. 各组的数据是独立的。
2. 各组的数据符合正态分布。
3. 各组的方差相等。
基于这些假设，方差分析可以推导出各组均值之间的差异是否为随机变异的结果。
如果差异不是由随机变异引起的，而是由于不同组别之间确实存在差异，那么这些差异就是有意义的，需要对其进行进一步分析。
通过方差分析，可以找出不同组别之间的差异，并确定哪些因素对组别之间的差异产生了影响。
例如，在生产过程中，通过分析不同生产批次之间的质量差异，可以找出影响质量的因素，并进一步进行改进。
在医学研究中，通过比较不同药物治疗组之间的效果，可以找出哪种药物最为有效，并为临床应用提供依据。
总之，方差分析作为一种统计学方法，在各个领域都具有重要的应用价值。
通过对不同组别之间的差异进行分析，可以为相关领域的决策和实践提供有力的支持。
方差分析的统计原理
方差分析的统计原理
方差分析是一种用于比较三个或多个总体均值是否具有显著差异的统计方法。
在进行方差分析时，我们假设所比较的各组数据是来自于正态分布总体的简单随机样本。
方差分析的基本原理是比较组间差异与组内差异的大小。
组间差异反映不同组别之间的均值差异，而组内差异反映各组内观察值与各组均值之间的差异。
具体而言，方差分析通过计算组间的均方（组间平方和除以自由度）与组内的均方（组内平方和除以自由度）来进行比较。
如果组间均方较大，且组内均方较小，就说明组间差异较显著，即存在组别之间的均值差异。
利用F检验可以判断组间均方
和组内均方是否具有显著差异。
在进行方差分析时，需要检验一些假设，包括总体均值相等的原假设和各组之间均值相等的原假设。
通过计算方差分析所得到的F值与临界F值进行比较，可以判断是否拒绝原假设。
方差分析可以应用于许多实际问题，例如比较不同药物治疗组的效果、不同教学方法对学生成绩的影响等。
方差分析的主要优点是可以同时比较多个组别的差异，适用于研究多因素对结果的影响。
而且，方差分析结果也可以提供各组均值之间的比较信息，进一步帮助我们理解差异的来源和性质。
方差分析原理
方差分析原理方差分析（ANOVA）是一种统计学方法，用于比较三个或三个以上组的平均值是否存在显著差异。
它是通过比较组内变异和组间变异的大小来判断组间差异是否显著。
方差分析可以用于不同实验设计和数据类型，是许多统计分析的基础。
首先，我们来了解一下方差分析的基本原理。
方差分析的核心思想是将总体的方差分解为组内变异和组间变异两部分。
组内变异是指同一组内个体之间的差异，而组间变异是指不同组之间的差异。
通过比较组内变异和组间变异的大小，我们可以判断组间差异是否显著。
在进行方差分析时，我们需要计算F值来判断组间差异是否显著。
F值是组间均方与组内均方的比值，它反映了组间变异与组内变异的相对大小。
当F值大于1时，表示组间差异较大，我们可以拒绝原假设，认为组间差异显著。
方差分析有不同的类型，包括单因素方差分析、双因素方差分析和多因素方差分析。
在单因素方差分析中，我们只考虑一个自变量对因变量的影响；在双因素方差分析中，我们考虑两个自变量对因变量的影响；而在多因素方差分析中，我们考虑多个自变量对因变量的影响。
除了了解方差分析的基本原理，我们还需要注意方差分析的假设条件。
方差分析的假设包括正态性假设、方差齐性假设和独立性假设。
正态性假设是指因变量在各组内呈正态分布；方差齐性假设是指各组的方差相等；独立性假设是指各组之间相互独立。
在进行方差分析前，我们需要对这些假设进行检验，以确保分析结果的可靠性。
在实际应用中，方差分析常常与其他统计方法结合使用，如回归分析、协方差分析等。
通过综合运用不同的统计方法，我们可以更全面地分析数据，得出更可靠的结论。
总之，方差分析是一种重要的统计方法，它可以用于比较多个组的平均值是否存在显著差异。
通过了解方差分析的基本原理、假设条件和应用范围，我们可以更好地应用这一方法，从而更准确地分析数据，得出科学的结论。
第九章 方差分析506312261
第九章 方差分析第一节 方差分析的基本原理及步骤一、方差分析的基本原理假设从一个实验中抽取了9名被试的学习成绩，如表9-1所示。
随后又抽取了9名被试的学习成绩，如表9-2所示。
你能从这些数据发现什么问题吗？首先，从数据可知，不仅组与组之间存在不同，而且同一组内部也存在着不同。
前者称组间变异，后者称组内变异。
其次，从组间变异看，表9-1组间变异大于表9-2。
表9-1 第1次抽取结果表9-2 第2次抽取结果 方法 学生实验成绩 Xt X方法 学生实验成绩 Xt XA 6 5 7 6A 1 7 4 4B 11 9 10 10 7B 6 2 8 6 5C5465C3655再次，从看组内变异看，表9-1比 9-2差异小。
综上所述，表10-1组间变异较大而组内变异较小，表10-2组间变异较小而组内变异较大，组间变异大小与组内变异大小并非正比关系。
这表明，若组间变异与组内变异的比率越大，各组平均数的差异越大。
因此，通过组间变异和组内变异比率大小来推论几个相应平均数差异显著性的思想就是方差分析的逻辑依据或基本原理。
所以说，方差分析是将实验中的总变异分解为组间变异和组内变异，并通过组间变异和组内变异比率的比较来确定影响实验结果因素的数学方法，其实质是以方差来表示变异的程度。
总变异组间变异实验条件随机误差组内变异个体差异随机误差实验误差图10-1 总变异的分解图二、方差分析的基本过程（一）综合虚无假设与部分虚无假设方差分析主要处理多于两个的平均数之间的差异检验问题，需要检验的虚无假设就是“任何一对平均数”之间是否有显著性差异。
综合虚无假设：样本所归属的所有总体的平均数都相等 备择假设：至少有两个总体的平均数不相等（二）方差的可分解性总变异 = 组间变异 + 组内变异变异（V ariance ，用V 表示）即方差（S 2），又称均方差或均方（M ean S quare ，MS ），其公式为()df SS n X X MS V S =--=∑1),(22或或其中，分子为离均差平方和，简称平方和，记为SS ；分母为自由度，记为df ，所以总变异及各变异源记为w b t MS MS MS +=总变异的数学意义是每一原始分数（X ）与总平均数（t X ）的离差，记为()tX X -组间变异的数学意义是每一组的平均数（i X ）与总平均数的离差，记为()t iX X-组内变异的数学意义是每一组内部的原始分数与其组平均数（i X ）的离差，记为()iX X -（二）总变异的分解及各部分的计算 1．平方和的分解与计算 1）平方和的定义式根据变异的可加性，任何一个原始分数都有()()()i t itX X X XX X -+-=-对容量为n 的某一小组而言，则有()()()[]∑∑-+-=-i t it X X X XX X为了使平方和不为0，须做代数的处理，即有()()()[]22∑∑-+-=-i t itX X X XX X对k 组页言，则有()()()[]∑∑∑∑-+-=-22ititX X X X X X()()()()∑∑∑∑∑∑-+--+-=222iititiX X X X X X X X ∵ ()()0=--∑∑i t iX X X X∴ ()∑∑-2tX X ()()∑∑∑∑-+-=22itiX X X X即 总平方和 = 组间平方和 + 组内平方和 或 w b t SS SS SS += 2）平方和的计算式()()nX XX X 222∑∑∑-=-总平方和：()()∑∑∑∑∑∑∑-=-=nX X X X SS t t 222组间平方和：()()()∑∑∑∑∑∑∑-=-=n X n X X X SS tib222组内平方和：()∑∑-=2i wX X SS ()∑∑-=2i w X X SS b tSS SS-=例9-1：要探讨噪音对解决数学问题的影响。
方差分析的理论原理
方差分析的理论原理方差分析是一种常用的统计方法，用于分析两个或多个样本均值之间是否存在显著性差异。
它是利用样本方差来判断总体方差是否相同，以此来判断不同样本的均值差异是否显著。
本文将介绍方差分析的理论原理，包括方差分析的基本原理、模型假设、方差分析的类型及其应用等方面。
一、方差分析的基本原理方差分析是将总体方差分解为各因素贡献的方差之和，以此来确定不同因素对总体方差的影响程度。
在方差分析中，主要涉及到两个重要的概念：一个是因素(factor)，也就是我们要研究的变量，例如药物剂量、不同教育水平等；另一个是水平(level)，也就是这个变量的不同取值，例如药物剂量的高、中、低三个水平，不同教育水平的小学、初中、高中等水平。
通过计算不同因素水平组合的总体方差，我们可以评估不同因素对总体方差的贡献程度，以此来确定因素之间的差异是否显著。
二、方差分析的模型假设方差分析的模型假设包括以下几个方面：1. 观测值之间是相互独立的。
2. 每个样本都是从正态分布的总体中得到的。
3. 各组之间的方差相等，也就是方差齐性假设。
4. 每个组的误差方差是相等的。
基于这些假设，我们可以利用方差分析来判断不同因素和水平之间的差异是否显著。
三、方差分析的类型及其应用方差分析可以分为单因素方差分析和多因素方差分析，在单因素方差分析中，只涉及一个因素的影响；而在多因素方差分析中，则涉及到多个因素的影响。
下面分别介绍一下两种类型的方差分析及其应用场景：1. 单因素方差分析单因素方差分析是最简单、最基础的一种方差分析方法，并且应用较为广泛。
其主要应用于以下场景：（1）比较两种或多种产品的质量水平差异（2）研究不同药物或治疗方法对某一疾病的治疗效果差异（3）分析不同学习条件下学生的学习成绩差异2. 多因素方差分析多因素方差分析是单因素方差分析的延伸和扩展，主要应用于以下场景：（1）研究不同药物剂量、不同时间点、不同疗程及不同年龄、性别等因素对某一疾病治疗效果差异的影响（2）分析不同学习材料、不同授课方式、不同学期、不同教育水平等因素对学生的学习成绩差异的影响（3）比较不同行业、不同地区、不同规模公司之间的经营成果和发展状态的差异总之，方差分析是一种基础、常用的统计方法，既可以用于单因素的差异分析，也可以用于多个因素之间的复杂分析。
方差分析的基本原理
自由度
方差
处理内
总变异
第一节 方差分析的基本原理
6. F测验：F = St2/Se2 7. 平均数的多重比较:
最小显著差数法（LSD法）
6.
最小显著极差法（LSR法）
第一节 方差分析的基本原理
➢ 最小显著差数法
(1)先计算出达到差异显著的最小差数，记为LSDα；
(2)再用两个处理平均数的差值绝对值 x1 - x2 与LSDα比较。
4.88 6.79 5%
27.9
25.8
24.1
5.03 7.06 1%
第一节 方差分析的基本原理
例5.3： p
2
LSR0.05 0.304 LSR0.01 0.412
Xi 14.48 13.76 13.64 13.12 12.52 10.66
3
4
5
6
0.319 0.328 0.335 0.341
的标上b，直至某个与之差异显著的平均数，标上c； (5)如此重复，直至最小的一个平均数有了标记字母为止； (6)各个平均数之间，凡有一个相同字母的即为差异不显著，凡是具有不同
标记字母的则为差异显著。
第一节 方差分析的基本原理
例5.2： p 2 3
4
LSR0.05
4.65
LSR0.01
6.52
Xi
30.9
X=21
第一节 方差分析的基本原理
1. 分析变因：总变异 = 处理间变异 + 误差变异 2. 平方和的分解：SST = SSt + SSe 3. 自由度的分解：dfT = dft + dfe 4. 求各项的均方值：ST2、St2、Se2 5. 列变量分析表：
第一节 方差分析的基本原理
论方差分析的原理及应用
论方差分析的原理及应用方差分析（Analysis of Variance，ANOVA）是一种用于比较两个或多个组之间差异的统计方法，它通过比较组间变异与组内变异的大小来判断不同组之间的均值是否存在显著差异。
其原理和应用如下：1. 原理：方差分析的基本原理是将总变异分解为组间变异和组内变异。
组间变异是指不同组之间由于不同处理所导致的差异，而组内变异则是指同一组内由于个体差异或随机误差所导致的差异。
通过比较组间变异与组内变异的大小，可以判断组之间的均值是否有显著差异。
具体而言，方差分析通过计算F值来判断差异是否显著，F值越大说明差异越显著。
2. 应用：方差分析广泛应用于实验设计与分析、质量控制与品质改进、行业比较、社会科学研究等领域。
以下列举几个常见的应用场景：（1）实验设计与分析：在实验设计中，可以使用方差分析比较不同处理组的均值差异，以确定不同处理对实验结果的影响。
例如，药物疗效实验可以使用方差分析来比较不同药物组的治疗效果。
（2）质量控制与品质改进：方差分析可以用于比较不同生产批次、不同工厂或不同操作者之间的品质差异。
通过该方法可以确定是否存在显著差异，并进行改进措施。
（3）行业比较：在市场调查和企业竞争分析中，可以使用方差分析比较不同行业或不同企业之间的关键指标的差异情况。
这有助于了解行业趋势和发现优秀的企业经营模式。
（4）社会科学研究：方差分析可以用于比较不同组群之间的差异，如教育背景对收入的影响、不同地区对人口流动的影响等。
该方法可以帮助研究者理解社会现象，提供决策支持。
总之，方差分析是一种常用的统计方法，通过比较组间变异与组内变异的大小来判断不同组之间的均值是否存在显著差异。
它在实验设计与分析、质量控制与品质改进、行业比较、社会科学研究等领域都有重要的应用价值，帮助人们深入了解数据背后的差异及原因，并提供决策支持。
方差分析原理【精选文档】
第六章方差分析第一节方差分析的基本原理上章介绍了1个或两个样本平均数的假设测验方法.本章将介绍k（k≥3)个样本平均数的假设测验方法，即方差分析(analysis of variance).方差分析就是将总变异剖分为各个变异来源的相应部分,从而发现各变异原因在总变异中相对重要程度的一种统计分析方法。
其中，扣除了各种试验原因所引起的变异后的剩余变异提供了试验误差的无偏估计，作为假设测验的依据。
因而，方差分析象上章的t测验一样也是通过将试验处理的表面效应与其误差的比较来进行统计推断的，只不过这里采用均方来度量试验处理产生的变异和误差引起的变异而已。
方差分析是科学的试验设计和分析中的一个十分重要的工具。
本章将在介绍方差分析基本原理和方法的基础上进一步介绍数学模型和基本假定。
一、自由度和平方和的分解方差是平方和除以自由度的商。
要将一个试验资料的总变异分解为各个变异来源的相应变异,首先必须将总自由度和总平方和分解为各个变异来源的相应部分.因此，自由度和平方和的分解是方差分析的第一步。
下面先从简单的类型说起。
设有k组数据，每组皆具n个观察值,则该资料共有nk个观察值,其数据分组如表6。
1.表6.1 每组具n个观察值的k组数据的符号表组别观察值(，i=1，2，…,k；j=1，2,…,n) 总和平均均方1 ……2 …………i…………k……在表6.1中，总变异是nk个观察值的变异，故其自由度,而其平方和则为：（6·1)（6·1）中的C称为矫正数：（6·2)这里，可通过总变异的恒等变换来阐明总变异的构成。
对于第i组的变异,有总变异为第1，2，…,k组的变异相加，利用上式总变异（6·1)可以剖分为:（6·3）即总平方和=组内(误差)平方和+处理平方和组间变异由k个的变异引起，故其自由度,组间平方和为:(6·4)组内变异为各组内观察值与组平均数的变异,故每组具有自由度和平方和；而资料共有组，故组内自由度，组内平方和为：（6·5）因此,得到表6.1类型资料的自由度分解式为：(6·6）总自由度DF T=组间自由度DF t+组内自由度DF e求得各变异来源的自由度和平方和后，进而可得:(6·7)若假定组间平均数差异不显著(或处理无效)时，(6·7)中与是的两个独立估值,均方用表示，也用表示，两者可以互换。
方差分析原理及应用
组内
78.750 28 2.813
总
268.875 31
F.01(3,28)=4.57
现在是16页\一共有162页\编辑于星期四
2.单因素完全随机区组实验设计
基本原理
研究问题:一个当要研究文章的生
a1 a2 a3 a4
字密度对学生阅读理解的影响。考 组1 3 4 8 9
24
虑到学生智力会对阅读理解产生影 组2 6 6 9 8
导言
方差分析是20世纪20年代英国统计学家发明的，用于两个 及0.9两56个=0以.73上5）样。本由均于数各差种别因的素显的著影性响检，验研（究C4所2=6得，的数据 呈现波动状，造成波动的原因可分成两类，一是不可控 的随机因素，另一是研究中施加的对结果形成影响的可 控因素。方差分析的基本思想是：通过分析研究中不同来
是否等与于A×B） 6.协方差（在一般方差分析中,要求除研究因素之外其他条件保
持不变.如作身高体重关系研究时要消除性别和年级的影响） 7.重复测验（同一文化的不同群体彼此不独立,采用重复测验的方差分析）
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1.单因素完全随机实验设计
实验设计模式
1.当实验研究的自变量只有一个刺激变量（或由刺激
n
xij
xt
2
n
xij
xj
xj
xt
2
i1
i1
n
2n
2
n
n
2
xij xt xij xj 2xj xt xij xj xj xt
i1
i1
i1
i1
现在是5页\一共有162页\编辑于星期四
方差分析的基本原理
n
因 为 xij x j 0 i 1
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7
处理内平方和的数学模型
• 处理内平方和 SSe，反映各个处理内的变异 • 处理内的变异，应该属于是误差
• 也称：误差平方和。
SSe x xi
i 1 j 1
k
n
2
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8
处理间平方和的数学模型
• 处理间平方和 SSt，反映各个处理间的平均数 与总平均数之间的变异
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3
方差分析的由来
• 在1923年，由英国人R. A. Fisher提出 • 把试验看成是一个整体
• 通过分解试验整体的总变异
• 把试验中所有的变异分别进行估计
• 以区分：处理变异、试验误差、随机误差
• 再将试验的真实变异进行两两比较 • 以掌握整体试验发生变异状况。
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4
方差分析的数据模型
重复（增重）g 319 248 221 270 279 257 236 308 318 268 273 290 284 279 249 245 359 262 258 286
合计 1559 1314 1237 1399 5509
平均 311.8 262.8 247.4 279.8 275.45
总合计
j 1
n
x x
i 1
k
2
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10
总自由度的分解数学模型
• 总自由度： dfT = kn – 1 • 处理间自由度： dft = k – 1
• 处理内自由度： dfe = k ( n – 1 ) • 总自由度 = 处理间自由度 + 处理内自由度
• dfT = dft + dfe
方差分析原理
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2
t 检验不适用了
• 如果，试验只在两个处理之间进行差异比较 • 那么，用 t 检验就够用了
• 如果，试验要在两个以上处理之间进行比较
• 那么，用 t 检验的工作量就很大
• 还有，各个处理间的差异不能够得到体现
• 每次 t 试验的标准误不相同，增大了试验误差 • 自由度不够，容易犯α(alpha)错误。
• 处理1 观1 观2 观3 观n • 处理3 观1 观2 观3 观n
• 处理k • 统计数
合计1
合计2
平均1
平均2
合计3
合计k
平均3
平均k
总合计 总平均
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14
方差分析表的格式
变异来源
处理间 t
SS
df
MS
F
F0.05
F0.01
处理内 e 总变异 T
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15
例1：不同施肥法的盆栽试验
处理
• 包含有 n 次重复的处理间变异。
SSt n xi x
i 1
k
2
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9
总平方和的分解数学模型
• 总平方和 SST，反映整个试验的总变异状况
• 既有处理内的变异，也有处理间的变异
• 总平方和 = 处理间平方和 + 误差平方和
• SST = SSt + SSe
• 数学模型为。
SST
5
试验数据规模
• 有 k 个试验处理。i = 1…… k，如：3个新品种 • 有 n 次重复。j = 1…… n，如：某一处理5次重复
• 有 k 个合计，k 个平均数，k 个离差平方和
• 有一个总计，一个总平均，一个总平方和。
xi
x
j 1
n
n
x
x
j 1 i 1
n
k
nk
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6
处理 观测值 合计 平均
A1
A2 A3 ……
11
21 31 ……
12
22 32 ……
13
23 33 ……
1j
2j 3j ……
1n
2n 3n ……
ΣA1
ΣA2 ΣA3 ……
A1
A2 A3
Ai
Ak 合计
i1
k1 //
i2
k2 //
i3
k3 //
ij
kj //
in
kn //
ΣAi
ΣAk ΣA
Ai
Ak
x
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• 说明：试验处理无效应，差异是随机误差
• 如果：处理间与处理内的差异达显著水平
• 说明：试验处理存在效应，差异是真实的
• 但是：F 检验的不足在于 • 不能显示出真实差异存在的具体位置。
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20
书面作业
• 教材：142页，第11题
• 要求：写在作业本上，未完，还要继续分析。
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课间休息
总平均数的数学模型
• 总计：∑A，包含所有的观测值
• 总平均：包含有：总平均 + 试验差异
• 试验差异：包含有：处理效应 + 试验误差
• 如：观测值、试验误差，相互独立，正态分布
• 那么，数学模型： • 总平均 = 总平均 + 处理效应 + 试验误差 • 由于总平均是对总体平均的估计值 • 那么，观测值也包含：处理效应 + 试验误差。
K1浓氨肥 K2淡氨肥 K3碳铵肥 K4尿素肥
重复（产量）kg 24 27 31 32 21 30 24 28 33 22 28 21 25 33 16 26 26 30 28 21
合计 108 98 114 126 80 526
平均 27.0 24.5 28.5 31.5 20.0 26.3
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18
例2：方差分析表
变异来源 处理间 t 处理内 e SS 11435.35 8551.60 df 3 16 MS 3811.783 534.475 F 7.132 ** F0.05 3.24 F0.01 5.29
总变异T
19986.95
19
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F 检验的不足之处
• F 检验只能确定处理间与处理内之间的差异 • 如果：处理间与处理内的差异不显著
K5对照肥
总合计
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例1：方差分析表
变异来源 处理间 t 处理内 e 总变异T SS 301.2 101.0 402.2 df 4 15 19 MS18 ** 3.06
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例2：不同鱼饲料效果试验
处理
A1饲料 A2饲料 A3饲料 A4饲料
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总方差的分解数学模型
• 总方差（总均方）MST = SST / dfT • 处理间方差：MSt = SSt / dft
• 处理内方差：MSe = SSe / dfe
• 注意：
• MST ≠ MSt + MSe
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F 检验
• 目的：检验处理间的差异是否真实 • 用处理间的方差：MSt = SSt / dft
2013年4月27日
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• 与处理内的方差：MSe = SSe / dfe 进行比较
• 而：MSt / MSe ~ F (df1,df2)
• 用 F 值出现的概率，推断处理间的方差(MSt) 是否与误差方差(MSe)是同一总体
• Ho：之间的差异是随机误差。
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方差分析数据表的格式
• 处理间 • 处理2 观1 处理内(重复) 观2 观3 观n 统计数