流体力学7[1].2 流体微团运动分析

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工程流体力学讲义

工程流体力学讲义

强制涡
r r0
ω
复合涡
自由涡
1.速度分布
前面已讨论过涡核内外的速度分布:
涡内:
与半径成正比如图
。由于
Hale Waihona Puke 这部分流体有旋。涡外:
与半径r成反比。
在时
当 不变 处 的 为常数
2、压力分布: 自由涡:由于是无旋流动,在自由涡中 任取一点与无穷远处写伯努利方程:
忽略位能



代入
在自由涡中 p与r 成平方关系,(抛物线)
3.点源的压力分布 在源上任取一点与无穷远处写能量方程
将 , 代入

p
P与r成抛物线正比。r
p;r p
r r0
三、点涡
点涡:无限长的直 线涡束所形成的平 面流动。除涡线本 身有旋外涡线外的 流体绕涡线做等速 圆周运动且无旋。
这种流动也称纯环流。若设点涡的强度

则在半径r处由点涡所诱导的速
度为 而
例2:求有间断面的平行流的速度环量 Γ=?
4
3
b
1L 2
u1 u2
例3:龙卷风的速度分布为 时

试根据 stokes law 来判断是否为有 旋流动。
如图,当
,流体以ω象刚体一样转
动,称风眼或强迫涡(涡核)。

区域,流体绕涡核转动,流体
质点的运动轨迹是圆但本身并没有旋转
称之为自由涡或势涡。
强制涡
y
d
c
vu
a
b
c’ d’
Δα
b’
a’ Δβ
定义:单位时间内ab、cd转过的平均角度
称角变形速度,用 θ表示。 由定义有:

流体运动学(课件)

流体运动学(课件)

由于流线不会相交,根据流管的定 义可以知道,在各个时刻,流体质点不 可能通过流管壁流出或流入,只能在流 管内部或沿流管表面流动。
因此,流管仿佛就是一条实际的管 道,其周界可以视为像固壁一样,日常 生活中的自来水管的内表面就是流管的 实例之一。
图3-13 流管
3.2流体运动的若干基本概念
2. 流束
流管内所有流体质点所形成的流动称为流束,如图3-14所示。流 束可大可小,根据流管的性质,流束中任何流体质点均不能离开流束。 恒定流中流束的形状和位置均不随时间而发生变化。
3.2流体运动的若干基本概念
3.2. 6.2非均匀流
流场中,在给定的某一时刻,各点流速都随位置而变化的流动称 为非均匀流,如图3-21所示。 非均匀流具有以下性质:
1)流线弯曲或者不平行。 2)各点都有位变加速度,位变加速度不为零。 3)过流断面不是一平面,其大小和形状沿流程改变。 4)各过流断面上点速度分布情况不完全相同,断面平均流速沿程 变化。
3.2流体运动的若干基本概念
控制体是指相对于某个坐标系来说,有流体流过的固定不变的空 间区域。
换句话说,控制体是流场中划定的空间,其形状、位置固定不变, 流体可不受影响地通过。
站在系统的角度观察和描述流体的运动及物理量的变化是拉格朗 日方法的特征,而站在控制体的角度观察和描述流体的运动及物理量 的变化是欧拉方法的特征。
图3-1 拉格朗日法
3.1流体运动的描述方法
同理,流体质点的其他物理量如密度ρ、压强p等也可以用拉格朗p=p(a,b,c,t)。
从上面的分析可以看到:拉格朗日法实质上是应用理论力学中的 质点运动学方法来研究流体的运动。
它的优点是:物理概念清晰,直观性强,理论上可以求出每个流 体质点的运动轨迹及其运动参数在运动过程中的变化。

流体力学第二章 流体运动学基础

流体力学第二章 流体运动学基础

整理课件
5
2.1.1拉格朗日方法
流体力学第二章
✓ 拉格朗日方法是着眼于流体质点来描述流体的运动状态. 如何区别流体的质点呢?
➢ 质点标识----通常是用某时刻各质点的空间坐标(a,b,c) 来表征它们。
➢ 某时刻一般取运动刚开始的时间.以初始时刻流体质点 的坐标作为区分不同流体质点的标志.
拉格朗日方法的一般表达:
流体力学第二章
第二章
流体运动学基础
2021/6/29
整理课件
1
第二章 流体运动学基础
流体力学第二章
✓ 流体运动学是运用几何的方法来研究流体的运动,通常不 考虑力和质量等因素的影响。
✓ 流体运动学是用几何学的观点来研究流体的运动规律,是 流体力学的一个组成部分。
✓ 本章的学习目标:
➢ 掌握描述流动的两种方法(拉格朗日法及欧拉法), 结合迹线,流线,流管,流体线等显示流动特性的曲 线研究流动特性。
Vr
Vr r
V r
Vr
Vz
Vr z
V
2
r
ddVt
V t
Vr
V r
V r
V
Vz
V z
VrV r
dVz
dt
Vz t
Vr
Vz r
V r
Vz
Vz
Vz z
可得平面极坐标中加速度的表达式
Vz 0
ddVtr
Vr t
Vr
Vr r
V r
Vr
V
2
r
dV dt
V t
Vr
V r
V r
V
VrV r
2021/6/29
整理课件
2
流体力学第二章

不可压缩粘性流体动力学基础_OK

不可压缩粘性流体动力学基础_OK

uz y
u y z
zx
xz
1 ux 2 z
uz x
(7—3)
14
江汉大学化环学院
流体力学与流体机械
综上所述,可写出表示流体微团运动的基本形式如下:
表示平移的平移速度:u x、u、y u。z
表示线变形的线变形速度(又称线变率):
x
u x x
y
u y y
z
u z y
表示角变形的角变形速度(又称角变率):
一、流体微团(Material Elements of Fluid) 流体微团是由大量的流体质点所组成的一个微小质团,它
具有微小的体积,是研究流体运动的一个基本单元。
4
江汉大学化环学院
流体力学与流体机械
流体微团的尺度在微观上足够大,大到能包含大量的 分子,使得在统计平均后能得到其物理量的确定值,质 点的尺度在宏观上又足够小,远小于所研究问题的特征 尺度,使得其平均物理量可看成是均匀的;而且可以把 流体微团看成是几何上的一个点。
dx dy dz
x y z
21
江汉大学化环学院
流体力学与流体机械
在给定瞬时,在漩涡场中任取一个不是涡线的封闭曲线, 通过这条曲线上每一点作一根涡线,这些涡线就构成一个管 状曲面,称为涡管(Vortex Tube);涡管中充满着作旋涡运 动的流体,称为涡束,或称为元涡(Vortex Filament)。 涡通量(Vortex Flux)或旋涡强度(Intensity of Vorticity),以 J表示。元涡的涡通量为微元涡的断面积和速度涡量(简称涡 量)的乘积,即
y
ux d yd t y
D
C
C
uy
u y y
dy

流体微团运动的分析

流体微团运动的分析


根据
是否为零,流体力学将流动划分为有旋流动和无旋流动。
如果在流场中的每一点处,流体微团的旋转角速度
均为零,即
则称这样的流场处处无旋,相应的流动为无旋流动。反之为有旋流动。 四.角变形速率 流体微团的任意相互垂直的两条线段之间的夹角随时间的变化速度 称为直角变形速率。 三维空间可得到三个正交方向的角变形速率分量为
三 .旋转角速度 将过 A 点的任意两条正交微元流体线在 xy 平面运动的旋转角速度的平均值 定义为 A 点流体旋转角速度在垂直该平面方向的分量,用 转角速度为 表示。AB 线的旋
同理可得 AD 线旋转角速度为
所以
推广到三维空间即可得到 x 和 y 方向的旋转角速度分量
x

y
从而得整个流体微团的旋转角速度
1.正四边形微团 ABCD 在经历了 (略,请参考书中证明过程) 。 2.微团运动过程分解
时间后将变成斜平行四边形 A’ B’ C’ D’
1) 平移:正四边形流体微团作为一个整体平移到新的位置。由表 1 可见流 体微团上各点均含与 A 点相同的速度 移一个微元距离 ,微团将以公有速度 在 时间内平
。参见图 a。
2) 转动:正四边形象刚体一样旋转。参见图 b。 3) 角变形:过 A 点的两条正交流体线之间的角度变化,与此相应的是正四 边形形状的变化。参见图 c。 4) 线变形:过 A 点的两条正交流体线伸长或压缩,与此相应的是面积增大 或缩小。参见图 d。 综上可见,平移运动只改变四边形的位置而不改变其形状、大小 和方向。而后三种运动形式会使四边形的形状、大小或方向发生变化。
五.线变形速度 一般将单位时间单位长度流体线的伸长量定义为线变形速度。不难证明,
流体微团沿三个正交方向的线变形速度分别为

流体微团运动的分析

流体微团运动的分析

平移
转动
线变形
角变形
平面流动
平移
转动
线变形 角变形
瞬时t边长为dx,dy,dz的平行六面体流体微团
y dy z
Vy1
Vy M1 Vx1
Vz
Vz1
M Vx
dx dz
x
Vy

Vy y
dy
Vx

Vx y
dy
dy
y Vy
Vx dx
x
Vy

Vy x
dx

Vy y
dy
Vx

Vx x
dx

dt 2 x y
由此可知:z

1 (vy 2 x

vx y
)
Vx dxdt
C’
x
D
C
D’
E’
dy d1
da
E
Vy dxdt
B’ x
d2
A
dx
B
代表流体微团绕过A点并平行于z轴的轴 线旋转的平均角速度。
同理得另外两个量的物理意义,三个方向有:
(1) z

1 ( vy 2 x
t 2
欧拉和伯努利积分
欧拉方程是非线性的,很难求得普遍条件下
的精确解,只能求得某些特定条件下的解析解。
有如下假设条件: (1)不可压缩流体:ρ = const.
所以有:1
p x

x
(
p

)
(2)质量力具有势函数:X U , Y U , Z U
x
y
z
(3)若运动无旋则存在速度势函数φ ,满足
其矢量形式

xi

流体微团运动分析完整版文档

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(rotation)
——
角速度ωx
ωy
ωz
移动(move) —— 线速度 Vx Vy Vz
w(x,y,z)
第四节 二维平面流动的流函数
流体: 具有流动性,极易变形。 沿z轴流体微团的旋转角速度分量:
在一般情况下,流体微团的运动可分解为三部分: F点速度:u(x,y,z)
移动(move) —— 线速度 Vx Vy Vz
沿z轴流体微团的旋转角速度分量:
则流体微团只发生角变形 第一节 流体微团的运动分析 第四节 二维平面流动的流函数 基本有势流动及其叠加
wc ww xdxw ydyw zdz
C点速度:
u u u
uc
u dx dy dz x y z
vcv x vdx y vdy v zdz
w w w wc wxdxydyzdz
C点速度:
则流体微团只发生旋转,不发生角变形 基本有势流动及其叠加 第四节 二维平面流动的流函数
u u u
uc
u dx dy dz x y z
第一节 流体微团的运动分析
v v v 第一节 流体微团的运动分析 vv dx dy dz 三个方向的线变形速率之和所反映的实质是流体c微团体积在单位时间的相对变化,称为流体微团的体积膨胀速率。 x y z 矩形ABCD各角点具有相同的速度分量u、v。
第四章 不可压缩流体的有旋流动和二维无旋流动
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 第六节
流体微团运动分析 有旋流动和无旋流动 无旋流动的速度势函数 二维平面流动的流函数 基本的平面有势流动 平面势流的叠加流动
第四章 不可压缩流体的有旋流动和二维无旋流动
本章内容: 有旋流动的基本概念及基本性质 二维平面势流理论

流体力学第七章不可压缩流体动力学基础

流体力学第七章不可压缩流体动力学基础

流体力学第七章不可压缩流体动力学基础(总21页)--本页仅作为文档封面,使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--第七章不可压缩流体动力学基础在前面的章节中,我们学习了理想流体和粘性流体的流动分析,按照水力学的观点,求得平均量。

但是,很多问题需要求得更加详细的信息,如流速、压强等流动参数在二个或三个坐标轴方向上的分布情况。

本章的内容介绍流体运动的基本规律、基本方程、定解条件和解决流体问题的基本方法。

第一节流体微团的运动分析运动方式:①移动或单纯的位移(平移)②旋转③线性变形④角变形。

位移和旋转可以完全比拟于刚体运动,至于线性变形和脚变形有时统称为变形运动则是基于液体的易流动性而特有的运动形式,在刚体是没有的。

在直角坐标系中取微小立方体进行研究。

一、平移:如果图(a )所示的基体各角点的质点速度向量完全相同时,则构成了液体基体的单纯位移,其移动速度为z y x u u u 、、。

基体在运动中可能沿直线也可能沿曲线运动,但其方位与形状都和原来一样(立方基体各边的长度保持不变)。

二、线变形:从图(b )中可以看出,由于沿y 轴的速度分量,B 点和C 点都比A 点和D 点大了dy yu y ∂∂,而yu y ∂∂就代表1=dy 时液体基体运动时,在单位时间内沿y 轴方向的伸长率。

x u x ∂∂,yu y ∂∂,z u z ∂∂ 三、角变形(角变形速度)ddd DCABCDBAdt yu dy dt dy y u d x x ∂∂=⋅∂∂=α dt x udx dt dx x u d yy∂∂=⋅∂∂=β θβθα+=-d d 2βαθd d -=∴ 角变形: ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂=+=-=x u y u d d d y x z 212βαθαθ ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂=x u z uz x y 21θ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂=y u z u z y x 21θ 四、旋转(旋转角速度) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂=-=y u x u x y z 21θω ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂=z u y u y z x 21ω 即, ⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂=x u z u z x y 21ωzyxu u u z y x k ji ∂∂∂∂∂∂=21ω 那么,代入欧拉加速度表达式,得:z x x x x x x z y y z z y y y y y y y x z z x x z z z z z z z y x x y y x x y du u u u u u u u dt t xu u u u u u u u dt t y u u uu u u u u dt t z αθθωωαθθωωαθθωω∂∂⎫==++++-⎪∂∂⎪∂∂∂⎪==++++-⎬∂∂⎪⎪∂∂∂==++++-⎪∂∂⎭各项含义: (1) 平移速度(2)线变形运动所引起的速度增量 (3)(4)角变形运动所引起的速度增量 (5)(6)微团的旋转运动所产生的速度增量流体微团的运动可分解为平移运动,旋转运动,线变形运动和角变形运动之和。

流体力学与传热:第三节 流体微团的运动分析

流体力学与传热:第三节 流体微团的运动分析

dz
wc
w
w x
dx
w dy y
w dz z
C点速度:
u u u
uc u x dx y dy z dz
vc
v
v x
dx
v y
dy
v z
dz
w w w wc w x dx y dy z dz
1 v dy 1 w dz
2 x
2 x
1 u dx 1 w dz
2 y
2 y
1 u dx 1 v dy
j ( xyx yyy zyz) k ( xzx yzy zzz)
在进一步简化上述表达式之前,先介绍二阶张量的概念,以及它的 简单运算规则。
向量 a 是由三个标量所组成,它的组成形式为:
a1
a
a2
e1a1
e2a2
e3a3
ei ai
a3
二阶张量是这样一种量,它是由三个向量所组成,它的组成形式:
而应变率张量为:
E
xx yx
xy yy
xz yz
=i
x
j y
kz
zx zy zz
i (i xx +j xy +k xz ) j (i yx +j yy +k yz ) k (i zx +j zy +k zz )
则可得:
dr E i ( xxx yxy zxz) j ( xyx yyy zyz) k ( xzx yzy zzz) jidx jei
w y
v z
dz
1 2
u z
w x
dx
C点速度:
uc
u
u dx x
1 2

流体微团运动分析

流体微团运动分析

---陆士嘉
有旋流动的最大特征是,流场中充满着绕自身旋转 的流体微团,于是形成了一个用角速度 或() 表示的涡量场。 前面用流线、流管、流速和流量等表示速度场。仿 此也可用涡线、涡管、涡束和涡通量表示涡量场。
30
涡线:是指涡量场(角速度场)中的瞬时光滑曲线,该 曲线上任一点的切点方向与该点的涡量(或旋转角速度) 的方向相重合。 涡管:是指涡量场中 取一封闭曲线(其本身 不是涡线,且不能两次 通过同一条涡线),该 曲线上每一点所在的涡 线所构成的管状表面。 涡束:是指涡管中的涡线簇。
31
涡通量 :
速度环量:流场中取一封闭曲线 l ,流速沿该曲线 的线积分称为速度环量: 。 斯托克斯(Stokes)定理 :沿封闭曲线l的速度环量等 于通过该曲线所围曲面面积A的涡通量。
涡通量与速度环量都可以表征流体的有旋性,但涡通量 不能直接测得,而用速度环量则较容易 ;考察速度环量 的方向时,认为被封闭曲线所围绕的面积正法线方向与 绕行正方向遵循右手定则 。
10
xy yx
1 v u 2 x y
流体微团运动分析 一.速度分解定理 二.流体微团的平面运动分析 三.有旋、无旋流动
11
1、平移
u u0 xx dx yx dy z dy v v dy dx dx 0 yy xy z
22
• 1857 年起,他担任海德堡大学生理学教授。他利用共鸣器 (称亥姆霍兹共鸣器)分离并加强声音的谐音。 1863年出版了 他的巨著《音调的生理基础》。 • 1868 年亥姆霍兹转向物理学电磁作用理论研究,于 1871 年任 柏林大学物理学教授。由于他一系列讲演,麦克斯韦的电磁理 论才引起注意,并导致他的学生赫兹在电磁波研究中取得巨大 成就。他还研究过化学过程中的热力学,他从克劳修斯的方程 中导出了早于吉布斯提出的方程。此方程后来被称为吉布斯-亥 姆霍兹方程。

流体力学第7章不可压缩理想流体的平面运动(简化版)

流体力学第7章不可压缩理想流体的平面运动(简化版)

AB AB dvx x lim t 0 xt dx
把εx叫做线段AB在x轴的线变形速度。
6
对于三维问题则有
v y vx vz x , y , z x y z
下标x,y,z表示变形发生的方向。 对于不可压缩流体,在变形过程中,体积不 发生改变,则有
dy
A
o
dx vx
II
流线
x
在虚线AB上取一微元弧段dl,显然,vxdy是经 dl从区I进入区II的流量, vydx是经dl从II区 进入I 区的流量,那么经dl从I区进入II区的净流量为
33
dq vx dy v y dx
对虚线积分可得到两条流线之间的总流量
q dq vx dy v y dx d B A
15

例:如图一维剪切流动中,流体速度分布为
v x cy, v y 0
其中c为常数。判断流动是否无旋? v0 y x vx
16
由判断条件
1 v y v x 1 z ( ) c0 2 x y 2
故运动是有旋的。
17
例:图示为流体质点绕某一圆心的旋转运动。已知 流体速度分布为
工程上有许多问题可简化为理想流体的
无旋流动问题,如流体机械内的流动。利 用无旋流动的特性,可建立线性运动方程 来求解流体的速度分布,从而避开求解欧 拉方程的困难。
20
7.3.1速度势函数
对于无旋流动,速度的旋度为零,即
v 2 0
此时流体质点都要满足以下条件
v x v y v z v x v y v z , , y x x z z y
39
练习
试求下面不可压缩流场的流函数及速度势:

流体微团运动的分析

流体微团运动的分析

流体微团运动的分析一.流体微团的概念在连续性介质模型中,流体质点是宏观上充分小,可视为只有质量而无体积的“点”,流体微团则是由大量流体质点所组成的具有一定体积的微小流体团。

二.流体微团运动分析现以二元流动情形为例进行分析。

假设流体在平面运动。

于时刻t,在流场中任意选取一个方形平面流体微团ABCD,轴向边长分别为dx、dy,设顶点A坐标为(x,y),流速分量为u ,v。

利用泰勒级数展开且仅保留一阶小量,可得微团各顶点的速度分量,1.正四边形微团ABCD在经历了时间后将变成斜平行四边形A’B’C’D’(略,请参考书中证明过程)。

2.微团运动过程分解1) 平移:正四边形流体微团作为一个整体平移到新的位置。

由表1可见流体微团上各点均含与A点相同的速度,微团将以公有速度在时间内平移一个微元距离。

参见图a。

2) 转动:正四边形象刚体一样旋转。

参见图b。

3) 角变形:过A点的两条正交流体线之间的角度变化,与此相应的是正四边形形状的变化。

参见图c。

4) 线变形:过A点的两条正交流体线伸长或压缩,与此相应的是面积增大或缩小。

参见图d。

综上可见,平移运动只改变四边形的位置而不改变其形状、大小和方向。

而后三种运动形式会使四边形的形状、大小或方向发生变化。

三.旋转角速度将过A点的任意两条正交微元流体线在xy平面运动的旋转角速度的平均值定义为A点流体旋转角速度在垂直该平面方向的分量,用表示。

AB线的旋转角速度为同理可得AD 线旋转角速度为所以推广到三维空间即可得到x 和y 方向的旋转角速度分量和从而得整个流体微团的旋转角速度为根据是否为零,流体力学将流动划分为有旋流动和无旋流动。

如果在流场中的每一点处,流体微团的旋转角速度 均为零,即xωyω则称这样的流场处处无旋,相应的流动为无旋流动。

反之为有旋流动。

四.角变形速率流体微团的任意相互垂直的两条线段之间的夹角随时间的变化速度称为直角变形速率。

三维空间可得到三个正交方向的角变形速率分量为五.线变形速度一般将单位时间单位长度流体线的伸长量定义为线变形速度。

流体力学(热能)第5章 不可压缩流体动力学基础讲解

流体力学(热能)第5章 不可压缩流体动力学基础讲解

的下标表示发生角变形的所在平面的法线方向。
三、亥姆霍兹速度分解定理 (了解)
设流体微团内某点M0(x,y,z),速度为ux0 、u y0 、uz0 ,
则邻边M0的另一点M (x+dx,y+dy,z+dz)的速度为
ux ux0 dux uy uy0 duy
uz uz0 duz
了。
四、 N-S方程
把(7-5-1)式和(7-5-6)式代入(7-4-1)式,消去应力
ux
对不可压缩流体有 x
uy y

uz z
0
代入得
X

1

p x

(
2u x x 2

2u x y 2

2u x z 2
)

dux dt
Y

1

p y

(
2u y x 2
3 xx
yy
zz
(7-5-4)
(3)
p


1 3
(
pxx

pyy

pzz )

pt

2 3
( ux
x

u y y

uz z
)
(7-5-5)
式中, pxx 、 pyy 、 pzz表示法向应力,
p 表示压强,
pt 表示理想流体压强。
代入(7-5-4)
(4)
p xx


p

2
u x x
(2)
ur

2r
cos 2

1 r
u 2r sin 2
解: ur

工程流体力学第七章理想流体二元不可压缩流动

工程流体力学第七章理想流体二元不可压缩流动

二、与时间无关的非牛顿流体
三、与时间有关的非牛顿流体
四、本构方程
xy
1 2
(1
2 )
1 2
( uy x
ux y
)
3、旋转角速度
若偏转角不等 d d 变形前后角分线AC的指向变化,表 示该微团旋转。
旋转角速度:夹角的分角线的旋转角速度定义为绕z轴的旋 转角速度。(相互垂直的两边的旋转角速度的平均值)
z
1 2
(1
2)
1 ( uy 2 x
ux y
)
x y
例题
第七章 理想流体二元 不可压缩流动
主要内容
➢流体微团运动的分析,势流、涡流 ➢平面势流(势函数和流函数;简单不可 压平面有势流动) ➢势流的迭加原理 ➢绕流的升力和阻力
§7-1 流体微团运动的分析,势流和涡流
一、概论
2、由于绕流流场的研究涉及到流体微团的运动状况及变形特点,故 要从一般流体微团运动出发,区别有旋和无旋性质。
2、角变形率 C’
B和A,C和D在y方向的位移量不等, 发生偏移。
y方向的速度差
uBy
uAy
u y x
dx
uCy
uDy
u y y
dx
(ux
ux y
dy)dt
B’ y
d
B
C A’ d D’
A
D
uxdt
AD→A’D’单位时间的转角或旋转角速度为ω1
x
1
d dt
ux y
同理
2Leabharlann d dtuy x角变形率:单位时间的角变形之半。
平动
线变形
角变形
转动
流体微团运动形式
1、线变形率

流体微团运动分析

流体微团运动分析

旋度:定义为旋转角速度 的两倍,记为 。 2 V 1)如果 V 0 在流动中处处成立,流动称为 有旋流动。这表明流体微团在流动过程中具 有一定的旋转角速度。 2)如果 V 0 在流场中处处成立,流动称为无 旋流动。这表明流体微团没有角速度,在空 间作纯粹的平移运动。 3)二维无旋流动条件:
Байду номын сангаас
§ 2.5.2 角速度、旋度和角变形率
用速度场量化分析流体微团的旋转和变形运动
§ 2.5.3 流函数、速度位
§ 2.5.1 迹线、流线
迹线:流体微团在流 场中的运动轨迹。
分析速度场给定的非定常流动 ,并取一个流过该流场的流体 微团A,如图2-6a所示。微团 A经过点1,跟踪微团A的运动 轨迹,如图2-6a中虚线所示。 微团A的轨迹就定义为微团A 的迹线。现在跟踪另外一个微 团B,如图2-6b所示。
d y dy x dx
u v 0 x y
故有
u y
v x
函数 称为流函数, c 为一条流线。
速度位 对无旋流动: V 0 0 如果是个 标量函数,那么: 对比上面两方程,有: V 于是对于无旋流动,存在一个标量函数 , 使得 的梯度等于速度,称 为速度位。


§ 2.5.2 角速度、旋度和角变形率
流场中的流体微团 , 当它沿着流线做平移运 动的同时,还可能有旋转、变形运动。
微团旋转和变形量取决于速度场,本节 的目的就是用速度场量化分析微元的旋转和变 形运动。
分析用图
考虑xy平面内的二维流动。取流场中的一个 微元体。假设在时刻 t ,流体微元是矩形。其 在t t 时刻的位置和形状如下图。AB和AC分别 旋转的角位移是 1和 2 。

流体力学中的拉格朗日方程

流体力学中的拉格朗日方程

流体力学中的拉格朗日方程流体力学是研究流体运动及其力学性质的学科,广泛应用于航空航天、水利水电等领域。

而拉格朗日方程则是用来描述流体力学中运动的一种数学工具。

本文将介绍流体力学中的拉格朗日方程,包括其基本原理、具体形式以及应用领域。

一、拉格朗日方程的基本原理拉格朗日方程是以法国数学家拉格朗日的名字命名的,主要用于描述具有多个自由度的物体的运动。

在流体力学中,拉格朗日方程用来描述流体中各个微团的运动轨迹。

其基本原理可以概括为以下几点:1.质点假设:拉格朗日方程将流体近似看作由许多微小的质点组成,每个微团在运动过程中都保持自身形状不变。

2.微团运动:拉格朗日方程描述了每个微团在三维空间中的位置随时间的变化,以及微团内部的质量、动量等性质的变化。

3.流体守恒定律:拉格朗日方程还考虑了流体力学中的守恒定律,如质量守恒、动量守恒和能量守恒等。

二、拉格朗日方程的具体形式拉格朗日方程可以通过应用欧拉方程和质点动力学方程推导得到,其具体形式与流体的性质和运动情况有关。

以下是一些常见的拉格朗日方程形式:1.质点的运动方程:对于质点的流体,拉格朗日方程可以写作:\[ \frac{{\partial \rho}}{{\partial t}} + \nabla \cdot (\rho \mathbf{v}) = 0 \]其中,$\rho$代表质点的密度,$\mathbf{v}$表示质点的速度矢量。

2.动量方程:动量方程描述了流体微团的动量随时间的变化,可以表示为:\[ \rho \left( \frac{{\partial \mathbf{v}}}{{\partial t}} + \mathbf{v}\cdot \nabla \mathbf{v} \right) = - \nabla p + \rho \mathbf{g} + \mathbf{f} \]其中,$p$代表流体的压强,$\mathbf{g}$表示重力加速度矢量,$\mathbf{f}$表示外力矢量。

流体力学2.4 流体微团的运动分析

流体力学2.4 流体微团的运动分析

流体力学第二章2.4 流体微团的运动分析
2.4 流体微团的运动分析
流体力学第二章 流体微团与流体质点是两个不同的概念。

在连续介质的概念中流体质点是可以忽略线性尺度效应(如膨胀、变形、
转动等)的最小单元,而流体微团则是由大量流体质点所
组成的具有线性尺度效应的微小的流体团。

任何一个刚体的运动都可以分解为平动和转动之和。

对于流体来说,还多了一个变形运动。

刚体的运动是由于平移和绕某瞬时轴的转动两部分组成。

流体微团的运动,一般除了平移、转动外,还要发生变形(角变形和线变形)
x
x
y y
(a )刚体
(b )流体
平移
转动
线变形角变形
流体微元的运动分析
刚体——平移、旋转
流体——平移、旋转、变形(线变形、角变形)
角变形
线变形
平移
旋转
流体力学第二章
原来正交的微元六面体在Δt 时间间隔后将变成斜平行微元六面体。

如图所示。

2.4.1 流体微团运动的几何分析
v
v xdt
u
ydt
逆时针方向的转角为正顺时针方向的转角为负
平分线的旋转角速度
11v u。

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∂vx ∂x δvx δv = ∂vy y ∂x δvz ∂v z ∂x
∂vx ∂y ∂vy ∂y ∂vz ∂y
∂vx ∂z δx ε γ γ 0 &x &z &y ∂vy & & & δy = γ z ε y γ x + ωz ∂z δz γ y γ x εz - y ∂vz & & & ω ∂z
∂vx ∂vx ∂vx vx + δy vx + δx + δy ∂x ∂y ∂y ∂vy ∂vy ∂vy c d vy + δy vy + δx + δy ∂y ∂x ∂y δy d1
c1
vy
a
δx
b
vy +
∂vy ∂x
δx
b1 a1
vx
(a) t时刻 t时刻
∂vx vx + δx ∂x
(b)
t+ t+△t时刻
1 ∂vx ∂vz ωy = − 2 ∂z ∂x
1 ∂vz ∂vy 也有类似的意义。 也有类似的意义。 ωx = − 2 ∂y ∂z
v 它们三者一起组成了角速度矢量 ω,且有 v v 1 ω = rotV 2
存在不在质点连线方向的速度梯 度是产生旋转和角变形的原因
dx dy = ⇒x2 + y2 = c (流线是同心圆族) 解:流线方程: − ky kx
线变形:
& & εx = ε y = 0
(无线变形) 角变形:
& γz =0
(无角变形) 1 ωz = (k + k) = k 旋转角速度: 2 (逆时针的旋转) 刚体旋转流动
例3:速度场vr=0 ,vθ=b/r(b为常数),流线是以原点为中 心的同心圆,此流场是有旋流动还是无旋流动? 解:用直角坐标:vx = −vθ sin θ = − b y = − 2by
1.7.2 流体微团运动分析 为了方便分析,考虑一些流体的特殊运动。 时刻 时刻, 为了方便分析,考虑一些流体的特殊运动。t时刻,选 正六面体微团, 正六面体微团,如下图
z
δz a δx b x δy c d y
O
δx = δy = δz
研究其一侧面abcd, 研究其一侧面abcd,若a点速度为vx、vy,则 abcd 点速度为v
v 表示流体相对体积膨胀率为0, 如果 ∇⋅V = 0 ,表示流体相对体积膨胀率为 ,流体是不 可压缩流体。 可压缩流体。
2.角变形分析(角变形速度) 2.角变形分析(角变形速度) 角变形分析
∂v x δy∆t ∂y
∂vx ∂vy 考虑应变率张量中只有 和 ≠0 ∂y ∂x
经过dt时刻, 将运动到a 经过dt时刻,abcd 将运动到a1b1c1d1, dt时刻 产生了角变形, bad的减少量为 产生了角变形,∠bad的减少量为

v v v v δV = E⋅δr +ω×δr & & & εx γ z γ y 其中 E = γ ε γ &z &y &x γ y γ x εz & & &
流体的应变率张量或变形速率张 对称的; 量,对称的;

r r r ω = ωxi +ωy j +ωzk v
第7章 理想流体多维流动基础
7.2 流体微团运动分析
刚体运动可分解成:平动和转动 刚体运动可分解成: 流体运动:除平动、 流体运动:除平动、转动外还有变形
本节将复杂的流体微团运动进行分解, 本节将复杂的流体微团运动进行分解,以突出问题的物理 意义,到达简化求解的目的。 意义,到达简化求解的目的。
x
根据矩阵运算法则
∂vx ∂x ∂vy ∂x ∂v z ∂x
∂vx ∂y ∂vy ∂y ∂vz ∂y
∂vx ∂vx & = εx 2 ∂z ∂x 2 ∂y ∂x ∂x ∂z ∂vy 1 ∂vy ∂vx ∂vy 1 ∂vy ∂vz & = = γ ∂x + ∂y = γ z ∂y = ε y 2 ∂z + ∂y &x & ∂z 2 ∂vz ∂vz & 1 ∂vz + ∂vx = γ 1 ∂vz + ∂vy = γ & y ∂z 2 ∂x ∂z 2 ∂y ∂z &x ∂z= εz
在时刻t的流场中取一点 在时刻 的流场中取一点 M0 (r) = M0 (x, y, z) 邻域中的任意 M 一点 (r +δr) = M(x +δx, y +δy, z +δz) ,设M0点的速度为 v 由泰勒展开,邻点M的速度 V0 由泰勒展开,邻点 的速度 V0+δV v v v z v v ∂V v v M ∂V ∂V V(M) =V0 + δx + δy + δz =V0 +δV δr ∂x ∂y ∂z V0 M0 r v 显然, 点相对于M 显然, V 是M点相对于 0点的相对速度 点相对于 δ v v v O y v ∂V ∂V ∂V δV = δx + δy + δz ∂x ∂y ∂z
1.线变形分析(相对伸长速度) 首先设只有应变率张量中的 d d1 c c1 ∂vx ∂vx vx + δx ≠ 0, vx = vx (x)其它均为 , 其它均为0, vx ∂x ∂x 经过dt时刻,abcd 将运动到a1b1c1d1,如 经过 时刻, 将运动到 如 时刻 左图,ab边的相对伸长率 左图 边的相对伸长率
∂v y ∂x
δx∆t
(δα +δβ)
∂vy ∂x δα ≈ tan(δα) = = ∆t δx ∂x ∂vx δy∆t ∂vx ∂y δβ ≈ tan(δβ) = = ∆t δy ∂y
∂vy
δx∆t
平均角变形(剪切) 平均角变形(剪切)变形率为
1 1 ∂vx ∂vy lim (δα +δβ) / ∆t = 直角变形速率之半 ∂y + ∂x = γ z & ∆t→ 2 0 2 1 ∂vy ∂vz 1 ∂vx ∂vz & γx = & γy = + ∂z + ∂y 意义类似。 意义类似。 2 2 ∂z ∂x
y v θ vx
θ
vy r p
rr x + y2 bx bx vy = vθ cosθ = = 2 r r x + y2
o
1 ∂vy ∂vx x ωz = 2 ∂x − ∂y = 0
是无旋流(流体微元平动)
小结:流动作有旋运动或无旋运动仅取决于每个流体 微元本身是否旋转,与整个流体运动和流体微 元运动的轨迹无关。
1 ∂vy ∂vx k & γz = ∂x + ∂y = 2 (有角变形) 2
∂v 旋转角速度: ωz = 1 y − ∂vx = − k (顺时针方向为负) ∂x ∂y 2 2
y
o
x
例2:平面流场vx=-ky,vy= kx (k为大于0的常数),分析 流场运动特征
& &z =yγ 1 ∂v = γ y 1 ∂vx ∂v ∂vz x + +
1 ∂vx ∂vy 1 ∂vx ∂vz = ω 0 对称 = ∂y − ∂x − z∂z − ∂x ωy 2 2 1 ∂vy ∂vx = ω 1 ∂vy ∂vz − + z 0 ∂x − ∂y ∂z − ∂y= ωx 2 2 −ωy 1 ∂vz ∂vx =1 ∂vz ∂vy 0 − = ∂y − ∂z ωx 2 ∂x ∂z 2 反对称
有旋流动和无旋流动
ω≠0 ω =0
∂vz ∂vy = ∂y ∂z∂x ∂y
v v
1.有旋流动 2.无旋流动
即: ωx = 0
ωy = 0
ωz = 0
例1:平面流场vx=ky,vy=0(k为大于0的常数),分析流场 运动特征 解: 流线是平行与x轴的直线族 ∂vy ∂vx & εy = = 0 (无线变形) & εx = =0 线变形: ∂y ∂x 角变形:
a
∂vx δx∆t −vx∆t vx + ∂vx a1b − ab bb − aa1 ∂x 1 1 & = = = = εx ab⋅ ∆t ab⋅ ∆t δx⋅ ∆t ∂x ∂v 因此, x表示线段 δx 的相对伸长率(相对伸长速度) ∂x ∂vy ∂vz 同理 ε = & εz = &y 分别表示y、z方向线段的相对伸长率 ∂z ∂y
2γ +δα +δβ ≈
∂vy ∂vx 从而 δθ = (δα −δβ) / 2 ≈ ∂x − ∂y ∆t / 2 1 ∂vy ∂vx 转动角速度为 ωz = lim δθ / ∆t = ∂x − ∂y ∆t→ 0 2
2
表示流体微团以( 表示流体微团以(x,y,z)为瞬心,绕平行于z轴的转轴旋 为瞬心,绕平行于z 转的角速度
是流体的转动角速度矢量
v v v V(M) =V0 +δV v v v v =V0 (M0 ) + E⋅δr +ω×δr
与M0点相同的平动速度 点转动在M点引起的速度 绕M0点转动在 点引起的速度
流体变形在 点引起的速度 流体变形在M点引起的速度 这就是亥姆霍兹速度分解定理。 这就是亥姆霍兹速度分解定理。
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