河北省沧州市第一中学2020年高三数学寒假作业：12

沧州一中寒假作业数学（十二）

一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）

1.已知集合，，若，则实数a的取值范围是

A. B. C. D.

2.复数的共轭复数是

A. B. C. D.

3.下图是2002年8月中国成功主办的国际数学家大会的会标，

是我们古代数学家赵爽为证明勾股定理而绘制的，在我国最

早的数学著作周髀算经中有详细的记载．若图中大正方形

ABCD的边长为5，小正方形的边长为2，现作出小正方形的

内切圆，向大正方形所在区域模拟随机投掷n个点，有m个

点落在中间的圆内，由此可估计的所似值为

A. B. C. D.

4.已知，且，都不为，则“”是“关于x的不等式与

同解”的

A. 充分不必要条件

B. 必要不充分条件

C. 充要条件

D. 既不充分也不必要条件

5.某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是

A. B. C. D.

6.阅读如图所示的程序框图，若输入的，则该算法的功能是

A. 计算数列的前10项和

B. 计算数列的前9项和

C. 计算数列的前10项和

D. 计算数列的前9项和

7.如图是函数图象的一部分，对不同的，

，若，有，则

A. 在上是减函数

B. 在上是减函数

C. 在上是增函数

D. 在上是减函数

8.如图所示，直线l为双曲线C：的一条渐近线，，是双曲线C的

左、右焦点，关于直线l的对称点为，且是以为圆心，以半焦距c为半径的圆上的一点，则双曲线C的离心率为

A. B. C. 2 D. 3

9.已知定义在R上的偶函数其中e为自然对数的底数，记，

，，则a，b，c的大小关系是

A. B. C. D.

10.已知从1开始的连续奇数蛇形排列形成宝塔形数表，第一行为1，第二行为3，5，第三

行为7，9，11，第四行为13，15，17，19，如图所示，在宝塔形数表中位于第i行，第j列的数记为，例如，，，若，则

A. 64

B. 65

C. 71

D. 72

11.已知F为抛物线C：的焦点，E为其准线与x轴的交点，过F的直线交抛物线C

于A，B两点，M为线段AB的中点，且，则

A. 6

B.

C. 8

D. 9

12.已知函数，若存在m，使得关于x的方程

有解，其中e为自然对数的底数则实数a的取值范围是

A. B.

C. D.

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.已知向量，向量，的夹角是，，则等于______．

14.设x，y满足约束条件，则的最小值为______．

15.若的展开式中各项的系数之和为81，且常数项为a，则直线与曲线所

围成的封闭区域面积为______ ．

16.已知点P，A，B，C均在表面积为的球面上，其中平面ABC，，

则三棱锥的体积的最大值为______．

三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）

17.在中，三边a，b，c所对应的角分别是A，B，C，已知a，b，c成等比数列．

若，求角B的值；

若外接圆的面积为，求面积的取值范围．

18.如图：直角梯形ABCD中，，，E，F分别为边AD和BC上的点，

且，，将四边形EFCD沿EF折起成如图的位置，使．

Ⅰ求证：平面DAE；

Ⅱ求四棱锥的体积；

Ⅲ求面CBD与面DAE所成锐二面角的余弦值．

19.为了响应2018年全国文明城市建设的号召，长沙市文明办对长沙市市民进行了一次文

明创建知识的网络问卷调查．每一位市民仅有一次参加机会，通过随机抽样，得到参加问卷调查的1000人的得分满分：100分数据，统计结果如下表所示．

组别

频数2515020025022510050

Ⅰ由频数分布表可以认为，此次问卷调查的得分Z服从正态分布，近似为这1000人得分的平均值同一组数据用该组区间的中点值作为代表，请利用正态分布的知识求；

Ⅱ在Ⅰ的条件下，文明办为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案：

得分不低于的可以获赠2次随机话费，得分低于的可以获赠1次随机话费；

赠送的随机话费单位：元2040

概率

求X的分布列及数学期望．

附：，若，则；

；．

20.已知椭圆E：的离心率，其左、右顶点分别为点A，B，且点A

关于直线对称的点在直线上．

求椭圆E的方程；

若点M在椭圆E上，点N在圆O：上，且M，N都在第一象限，轴，若直线MA，MB与y轴的交点分别为C，D，判断是否为定值，若是定值，求出该定值；若不是定值，说明理由．

21.已知函数．

若，，求函数的最小值；

若，，在上的最小值为1，求的最大值．

22.以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点M的直角

坐标为，若直线l的极坐标方程为，曲线C的参数方程是

为参数．

求直线l和曲线C的普通方程；

设直线l与曲线C交于A，B两点，求．

23.已知函数．

当时，求的解集；

若的解集包含集合，求实数a的取值范围．

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：集合，，

，

．

实数a的取值范围是．

故选：D．

求出集合，，由，能求出实数a的取值范围．

本题考查实数的取值范围的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

2.【答案】C

【解析】解：复数的共轭复数为．

故选：C．

利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．

本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，属于基础题．

3.【答案】D

【解析】【分析】

本题考查了几何概型的概率计算问题，属于基础题．

根据大正方形的面积与小正方形的内切圆面积比求得的值．

【解答】

解：大正方形的边长为5，总面积为25，

小正方形的边长为2，其内切圆的半径为1，面积为，

则，

解得．

故选D．

4.【答案】B

【解析】解：由得，由得，

若不等式条件，则，同号，

若同为正号，则不等式的解集为或，

即，即成立，