离散数学2012-2-5 20-29-09

2012春课件作业
第一部分集合论
第一章集合的基本概念和运算
1-1 设集合 A ={{1，2}，a，4，3}，下面命题为真是（选择题）[ ] A．2 ∈A； B．1 ∈ A； C．3 ∈A； D．{1，2} ⊆ A。

1-2 A,B,C 为任意集合，则他们的共同子集是（选择题） [ ] A．C； B．A； C．B； D．Ø。

1-3 设 S = {N，Z，Q，R}，判断下列命题是否正确（是非题）
（1） N ⊆ Q，Q ∈S，则 N ⊆ S，［］（2）-1 ∈Z，Z ∈S，则 -1 ∈S 。

［］
1-4 设集合 B = {4，3} ∩Ø， C = {4，3} ∩{ Ø }，D ={ 3，4，Ø }，
E = {x│x ∈R 并且 x2 - 7x + 12 = 0}，
F = { 4，Ø，3，3}，
试问：集合 B 与那个集合之间可用等号表示（选择题） [ ]
A. C;
B. D;
C. E;
D. F.
1-5 用列元法表示下列集合
A = { x│x ∈N 且 3－x 〈 3 } （选择题）
题解与分析：本题以谓词给出集合的表达式。

要求把解析表达式所含的元素列出；有的集合的元素需要通过计算才能得到，如下：
A = { 1，2，3，4，……} 所以选 [ ]
A. N;
B. Z;
C. Q;
D. Z+
第二章二元关系
2-1 给定 X =（3, 2，1），R 是 X 上的二元关系，其表达式如下：
R = {〈x，y〉x，y ∈X 且 x ≤ y } （综合题）
求：(1)domR =?; (2)ranR =?; (3)R 的性质。

2-2 设 R 是正整数集合上的关系，即
R = {〈x，y〉│x，y ∈Z+ 且 x + 3y = 12}，（选择题）
试给出 dom（R 。

R）。

[ ] A. 3； B. {3}； C. 〈3，3〉； D.{〈3，3〉}。

2-3 判断下列映射 f：A→B 中的双射函数。

（选择题） [ ] （1）A = {1，2，3}，B = {4，5}， f = {〈1，4〉〈2，4〉〈3，5〉}。

（2）A = {1，2，3} = B， f = {〈1，1〉〈2，2〉〈3，3〉}。

（3）A = B = R， f = x 。

（4）A = B = N， f = x2。

（5）A = B = N， f = x + 1 。

A.（1）和（2）；
B.（2）和（3）；
C.（3）和（4）；
D.（4）和（5）
2-4 设 A ={1，2，3，4}，A 上的二元关系
R ={〈x，y〉︱（x-y）能被3整除}，则自然映射g：A→A/R使g(1) = [ ] A．｛1,2｝；B．｛1,3｝；C．｛1,4｝；D．｛1｝。

2-5 设A ={1，2，3}，则商集A/I A = [ ] A．｛3｝；B．｛2｝；C．｛1｝；D．｛｛1｝，｛2｝，｛3｝｝。

2-6．设ｆ(x)＝x+1，ｇ(x)＝x-1 都是从实数集合Ｒ到Ｒ的函数，则ｆ。

ｇ＝[ ] A．x+1；B．x-1；C．x；D．x2。

第三章结构代数(群论初步) (3-1)，(3-2)为选择题
3-1 给出集合及二元运算，判断是否代数系统，何种代数系统？
（1）S1 = {1，1/4,1/3,1/2,2，3，4}，二元运算 * 是普通乘法。

（2）S2 = {a1，a2，……，an}，ai ∈R，i = 1，2，……，n ；
二元运算。

定义如下：对于所有 ai，aj ∈S2，都有 ai 。

aj = ai 。

（3）S3 = {0，1}，二元运算 * 是普通乘法。

（1）二元运算*在S1上不封闭．所以，＂S1，*＂不能构成代数系统。

所以选[ ] A．不构成代数系统；B．只是代数系统。

；C．半群；D．群。

（2）由二元运算的定义不难知道，。

在 S2 内是封闭的，所以，〈S2，。

〉构成代数系统；然后看该代数系统的类型：该代数系统只是半群。

所以选[ ] A．不能构成代数系统；B．只是代数系统；C．半群；D．群。

（3）很明显，〈{0，1}，*〉构成代数系统；满足结合律，为半群；1是幺元，为独异点；
而 0 为零元；结论：仅为独异点，而不是群。

所以选[ ] A．不能构成代数系统；B．半群；C．独异点；D．群。

3-2 在自然数集合上，下列那种运算是可结合的［］A．x*y = max(x,y) ；B．x*y = 2x+y ；
C．x*y = x2+y2；D．x*y =︱x-y︱..
3-3 设 Z 为整数集合，在 Z 上定义二元运算。

，对于所有 x，y ∈Z 都有
x 。

y = x + y – 4，
试问〈Z，。

〉能否构成群，为什麽？（综合题）
第二部分图论方法
第四章图（选择题，是非题，填空题）
4-1 10个顶点的简单图G中有4个奇度顶点，G的补图中有r个偶数度顶点。

[ ] A．r =10 ；B．r = 6；C．r = 4；D．r = 9。

4-2 无向图G中有10条边,4个3度顶点,其余顶点度数全是2,共有几个顶点. [ ]
4-3 1条边的图 G 中，所有顶点的度数之和为。

第五章树（5-1），（5-2）为计算题
5-1 握手定理的应用（指无向树）
（1）在一棵树中有7片树叶，3个3 度顶点，其余都是4度顶点，全树几个顶点 [ ] （2）一棵树有两个 4 度顶点，3 个 3 度顶点，其余都是树叶，问有几片叶 [ ]
5-2 一棵树中有 i 个顶点的度数为 i（=2，…k），其余顶点都是树叶，问树叶多少片？
5-3 求最优 2 元树：用 Huffman 算法求带权为 1，2，3，5，7，8 的最优 2 元树 T。

问：权 W（T）= ；树高层。

（填空题）
5-4 以下给出的符号串集合中，那些是前缀码（以下是非题）
B1 = {0，10，110，1111}； [ ] B2 = {1，01，001，000}； [ ] B3 = {a，b，c，aa，ac，aba，abb，abc} [ ] B4 = {1，11，101，001，0011} [ ]
5-5 11 阶无向连通图 G 中有 17 条边，其任一棵生成树 T 中必有6条树枝 [ ] 5-6 二元正则树有奇数个顶点。

[ ]
5-7 通信中 a，b，c，d，e，f,g,h 出现的频率分别为 30%;20%;15%.10%,10%,5%,5%,5%;
求传输他们的最佳前缀码。

（综合题）
1、最优二元树 T；
2、二元树的权 W（T）；
3、每个字母的码字；
第三部分逻辑推理理论
第六章命题逻辑
6-1 判断下列语句是否命题，简单命题或复合命题。

（填空题）（1）2月 17 号新学期开始。

（）命题
（2）离散数学很重要。

（）命题
（3）离散数学难学吗？（）命题
（4）C 语言具有高级语言的简洁性和汇编语言的灵活性。

（）命题
（5）x + 5 > 2 。

（）命题
（6）今天没有下雨，也没有太阳，是阴天。

（）命题
6-2 将下列命题符号化. （填空题）（1）2 是偶素数。

（2）小李不是不聪明，而是不好学。

（3）明天考试英语或考数学。

（兼容或）
6-3 求下列命题公式的主析取范式，并由此指出该公式的类型（等值演算）
（1）﹃（p→q）∧ q <=>
（2）（（p→q）∧ p）→q <=>
（3）（p→q）∧ q <=>
6-4 令p：经一堑；q：长一智。

命题’’只有经一堑，才能长一智’’符号化为[ ] A．p→q；B．q→p；C．p∧q；D．﹁q→﹁p．
6-5p：天气好；q：我去游玩．命题”如果天气好，则我去游玩”符号化为［］A．p→q；B．q→p；C．p∧q；D．﹁q→p
6-6 将下列推理命题符号化，然后用不同方法判断推理结果是否正确。

（综合题）如果今天下雨，则明天不上体育课。

今天下雨了。

所以，明天没有上体育课。

第七章谓词逻辑
7-1 在谓词逻辑中用 0 元谓词将下列命题符号化（填空题）
（1）这台机器不能用。

（2）如果 2 ＞ 3，则 2 ＞ 5。

7-2 设域为整数集合Ｚ＋，命题∀x∀y彐z（x-y = z）的真值为（填空题）7-3 在谓词逻辑中将下列命题符号化（填空题）人固有一死。

《附录》习题符号集
Ø 空集, ∪并, ∩交,⊕对称差,～绝对补,∑累加或主析取范式表达式缩写 , －普通减法, ÷普通除法, ㏑自然对数, ㏒对数，﹃非，∀量词”所有”，”每个”，∨析取联结词，∧合取联结词，彐量词”存在”，”有的”。

2012 年 2 月 10 号.。