随机事件的概率
随机事件的概率(古典概型、简单的几何概型、抽样方法)
所以该学校阅读过《西游记》的学生人数为70人， 则该学校阅读过《西游记》的学生人数与
该学校学生总数比值的估计值为：70 0.7．故选C． 100
7.(2018西安八校联考)某班对八校联考成绩进行分析,利用随机 数表法抽取样本时,先将60个同学按01,02,03,…,60进行编号, 然后从随机数表第9行第5列的数开始向右读,则选出的第6个 个体是 ( )
(红,黄),(红,蓝),(红,绿),(红,紫),共4种,
故所求概率P 4 2. 10 5
3.(2018新课标Ⅲ卷)若某群体中的成员只用现金支付的概率为
0.45,既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15,则不用现金支
第1节 随机事件的概率（古典概型、简单的几何概型、抽样方法）
付的概率为 ( ) 第三组取的数为(10号)36,第四组取的数为(14号)43,
A .2 3
B .3 5
C .2 5
D .1 5
【答案】 B 【解析】由题意，通过列举可知从这5只兔子中随机取出3只的 所有情况数为10， 恰有2只测量过该指标的所有情况数为6．
所以P 6 3．故选B. 10 5
9.(2019新课标Ⅲ卷,文)两位男同学和两位女同学随机排成一列，
则两位女同学相邻的概率是
表第9行第5列的数开始向右读,则选出的第6个个体是 ( )
4.取一根长度为5m的绳子,拉直后在任意位置剪断,那么所得两
段绳子的长度都不小于2m的概率是
()
A .1 5
B .1 3
C .1 4
D .1 2
【 答 案 】 A 【 解 析 】 记 两 段 绳 子 的 长 度 都 不 小 于 2m为 事 件 A, 则 只 能 在 中 间 1m的 绳 子 上 剪 断 ,所 得 两 段 绳 子 的 长 度 才 都 不 小 于 2m,
随机事件的概率
随机事件的概率在日常生活中，有很多随机事件，比如掷硬币的结果、抽彩票的概率、汽车事故的发生率等等。
我们常常会用到概率这个概念来描述这些随机事件的可能性。
那么，什么是概率？如何计算概率？本文将就此问题展开讨论。
一、概率的定义与性质概率是一个描述随机事件发生可能性的数值，它一般用0到1之间的小数来表示。
0表示事件不可能发生，1表示事件必然发生，其他值则表示事件发生的可能性大小。
例如，掷骰子得到1的概率是1/6，抽中特等奖的概率可能是几百万分之一。
概率有以下几个性质：1.非负性：任何事件的概率都是非负数，即P(A)≥0。
2.规范性：必然事件的概率为1，即P(S)=1。
3.可列可加性：对于任意两个不相交的事件A和B，有P(A∪B)=P(A)+P(B)。
二、概率的计算方法在实际应用中，概率的计算方法非常丰富，下面简单介绍几种常用的方法：1.古典概型如果一个随机试验有n个互不相同的基本事件，每个基本事件发生的可能性相等，且每个事件与试验的其他事件相互独立，那么这个试验就是一个古典概型。
例如，掷一枚硬币，得到正面或反面的概率都是1/2；从一副有5张红牌和5张黑牌的牌组中随机抽取一张牌，得到红牌或黑牌的概率都是1/2。
对于古典概型，可以采用排列组合的方法进行计算。
例如，从n个不同的元素中任选r个元素的方案数为C(n,r)，也称为组合数。
因此，在n个互不相同的元素中选取r个元素的概率为：P(r)=C(n,r)/C(n,1)+C(n,2)+…+C(n,n)2.几何概率几何概率是指利用几何形状来求解概率的方法。
例如，将一个点均匀地撒在正方形区域中，落在某个子区域内的概率就是这个子区域的面积与正方形面积之比。
对于N个互不相同的点，如果每个点落在某个子区域内的可能性相等，且每个点与试验的其他点相互独立，那么这个试验就是一个几何概型。
3.条件概率条件概率指的是在已知某一事件发生的情况下，另一事件发生的概率。
例如，如果一个桶里有4个红球和3个蓝球，从中任取一个球，如果已知这个球是红球，那么再抽到红球的概率是多少？这个问题可以用条件概率来解答。
高一数学必修课件随机事件的概率
主要在于样本点发生的可能性是否相等。在古典概型中，每个样本点发 生的可能性相等；而在几何概型中，样本点发生的可能性与其几何度量 成比例。
02
条件概率与独立性
Chapter
条件概率定义及计算
1 2 3
条件概率的定义
在事件A发生的条件下，事件B发生的概率，记 作P(B|A)。
样本空间
在一定条件下，并不总是出现，或者 并不总是以确定的方式出现的现象。
随机现象所有基本结果组成的集合。
随机事件
随机现象的某些基本结果组成的集合 。
概率定义及性质
概率定义
非负性
对于给定的随机事件A，如果随着试验次数 的增加，事件A发生的频率f_n(A)稳定于某 个常数p，则称p为事件A的概率，记为 P(A)=p。
的盈利能力和偿付能力。
赔款计算
在保险事故发生时，依据保险合 同和精算原理，计算应赔付的金
额。
THANKS
感谢观看
协方差和相关系数简介
协方差性质
若两个随机变量的变化趋势一致，则协方差为正；若变化趋势相反，则协方差为 负；若变化趋势无关，则协方差为0。
协方差和相关系数简介
独立随机变量的协方差为0。
相关系数定义：相关系数是协方差与两个随机变量标准差乘积的比值，用于消除量纲影响，更准确地反映两个随机变量的线 性相关程度。
对于任何事件A，有P(A)≥0。
规范性
可加性
对于必然事件S，有P(S)=1。
对于任意两个互斥事件A和B，有 P(A∪B)=P(A)+P(B)。
古典概型与几何概型
01
古典概型
如果每个样本点发生的可能性相等，则称这种概率模型为古典概率模型
2随机事件的概率
二、概率的公理化定义
定义3: 设E是随机试验, S是它的样本空间, 对于
E的每一件事件A赋予一个实数, 记为P(A), 若P(A)满 足下列三个条件:
1. 非负性: 对每一个事件A, 有P( A) 0; 2. 完备性: P(S ) 1;
一般情况给出下面定义
定义
设区域G的长度(或面积、体积)为D, 质点可以等可能地落 在G中的任何一点. 设事件A=“质点落在G内一个长度(或 面积、体积)为d的区域g内”，则A的概率为
【例6】(会面问题) 甲乙两人约定上午7点到8点在某地会面. 先到者等候另一 人20分钟，过后就可离去. 试求两人能会面的概率？
P(“点数<3”)=2/6=1/3
【例1】号码锁上有6个拨盘，每个拨盘上有0~9共十个数 字，当这6个拨盘上的数字组成原确定打开号码锁的6位数 时(第一位可以是0)，锁才能打开，如果不知道号码锁的 号码，一次就能把锁打开的概率是多少？
【例2】设一口袋中有m件产品，其中有k件正品，m-k件次品. 现从中任意取出n（n<=m）件产品，问其中恰有j (j<=k)件 正品的概率？ 定理2.1 古典概率具有下列性质
(1) 0 p( A) 1;
(2) (3) 如果事件A与B互斥，则
特别的，P(A)+P( )=P(U)=1, 即 P(A)=1-P( )
【例3】将一枚均匀硬币抛三次. (1) 设事件A为“恰有一次出现正面”，求P(A); (2) 设事件B为“至多一次出现正面”，求P(B); (3) 设事件C为“至少一次出现正面”，求P(C).
定义
(1) 样本空间中的样本点个数有限：
随机事件的概率
随机事件的概率导言：随机事件是指在一定条件下，由于种种因素的不确定性而发生的事件。
生活中的许多事情都是随机事件，无法预测和控制。
我们对于随机事件的发生与否往往抱有一定的期望或预测，这就引出了随机事件的概率。
一、什么是概率？概率（probability）是现代数学中研究事件发生的一种数学方法。
概率既是一种数学工具，同时也是描述随机现象出现“规律”的一种观念。
概率的大小通常用数字来表示，范围在0到1之间，概率越大，表示事件发生的可能性越大。
二、概率的计算方法1. 古典概率：古典概率也叫“理论概率”，它是指当各种结果发生的机会是等可能的时候，可以根据有限的样本空间中可能结果的数目比来计算。
例如投掷均匀的骰子，每一个面都有相同的机会出现，那么每一个面出现的概率就是1/6。
2. 频率概率：频率概率也叫“实验概率”，它是指在实际的重复试验中，事件发生的次数与总的试验次数的比例。
例如，我们可以通过多次投掷骰子的实验来计算每个面出现的概率，通过实验的结果来估计概率。
3. 主观概率：主观概率也叫“人为概率”，它是指个人根据经验、直觉和一些可能的关联性来估计事件发生的概率。
这种概率是主观的，因为它依赖于个人的判断和看法。
三、随机事件的应用随机事件的概率在现实生活中有着广泛的应用，下面举几个例子进行阐述：1. 赌场中的赌博：在赌场中，很多赌博游戏都基于随机事件的概率来决定输赢。
例如，在轮盘赌中，赌徒根据小球停在哪一个数字上来下注，而小球停留在哪个数字上是完全由随机事件决定的。
赌徒可以根据每个数字出现的概率来决定下注的策略。
2. 保险业的风险评估：在保险业中，概率是一个非常重要的概念。
保险公司需要根据客户的信息以及历史数据来评估风险，并计算出合理的保险费用。
例如，在车险中，保险公司需要根据客户的驾驶记录和车辆信息来评估客户发生车祸的概率，并根据概率来决定保险费用的高低。
3. 股票市场：在股票市场中，投资者根据股票的历史数据和一些基本面分析来预测股票的未来涨跌。
概率论随机事件公式
概率论随机事件公式
概率论是研究随机事件的一门学科，它主要研究其中一事件发生的可能性。
在概率论中，我们使用一些公式来计算随机事件的概率。
接下来，我将详细介绍一些常见的概率公式。
1.事件的概率公式：对于一个随机事件A，它的概率（记为P(A)）可以通过以下公式计算：
P(A)=N(A)/N(S)
其中，N(A)表示事件A发生的次数，N(S)表示样本空间中所有可能事件发生的次数。
2.互斥事件的概率公式：如果事件A和事件B是互斥的（即它们不能同时发生），那么它们的概率可以通过以下公式计算：
P(A或B)=P(A)+P(B)
这是因为互斥事件的概率是可以累加的。
3.非互斥事件的概率公式：如果事件A和事件B不是互斥的，那么它们的概率可以通过以下公式计算：
P(A或B)=P(A)+P(B)-P(A和B)
这个公式被称为加法法则，并且可以使用类似的方法扩展到更多的事件上。
4.条件概率公式：条件概率是指在事件B已经发生的条件下，事件A 发生的概率。
它可以通过以下公式计算：
P(A，B)=P(A和B)/P(B)
其中，P(A和B)表示事件A和B同时发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。
5.乘法法则：乘法法则是计算多个事件同时发生的概率的方法。
对于两个事件A和B，它们同时发生的概率可以通过以下公式计算：P(A和B)=P(A)*P(B，A)
其中，P(A)表示事件A发生的概率，P(B，A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率。
以上是概率论中一些常见的随机事件公式。
通过使用这些公式，我们可以计算出事件发生的概率，从而更好地理解和应用概率论的知识。
随机事件的概率
6 1 （3）所求的概率为P(B)= 216 36
答：在3次抛掷 中，向上的数之和为10的概率是
1 36
2.某人有5把钥匙，但忘记开房门的是哪能一把，逐把试开，
问：⒈恰好第三次打开房门锁的概率是多少？⒉三次内打 开房门锁的概率是多少？⒊如5把内有2把房门钥匙，三次 内打开的概率是多少？ 〔答：⒈ 1/5 ⒉ 3/5 ⒊ 9/10 〕 小结：求随机事件的概率时，首先对于在试验中出现的结果 的可能性认为是相等的；其次是通过一个比值的计算来确 定随机事件的概率，并不需要通过大量重复试验，因此， 从方法上来说这一节所提到的方法，要比上一节所提到方 法简便得多，并且具有实用价值。
（3）由于正方体玩具是均匀的，所以36种结果是 等可能出现的,记“向上的数之和是5”为A事件，则
4 1 P ( A) 36 9
答：抛掷 玩具2次，向上的数之和为5的概率是1/9。
练 1
习
一个均匀的正方体玩具的各个面上分别标以数1、2、3、 4、5、6。将这个玩具先后抛掷3次，计算：（1）一共有 多少种不同的结果？（2）其中向上的数之和是5的结果有 多少种？（3）向上的数之和是5的概率是多少？ 解：（1）将正方体玩具抛掷一次，它落地时向上的数有6种 结果，根据分步计数原理，先后将这种玩具掷 3次 一共有6×6×6=216 种不同的结果 答：先后抛掷 正方体玩具3次， 一共有216种不同的结果。 （2）在上面所有结果中，向上的数之和为5的结果有 (1,2,2,).(2,1,2),(2,2,1);(3,1,1),(1,3,1),(1,1,3)这6种,
6 5· 4·
7 6
8 7
9 8
10 9 8
11 10 9 8 7 6
12 11
九年级数学随机事件的概率
保险产品设计
保险公司使用概率统计数据来设 计保险产品，例如寿险、健康险 或投资型保险，以满足不同客户
的需求。
赔付决策
保险公司使用概率模型和统计数 据来决定是否赔付索赔，以及赔
付的金额。
赌博中的概率应用
概率计算
01
赌博者使用概率计算来预测游戏的结果，例如在轮盘赌中预测
球落入的数字，或在扑克中计算对手手中的牌。
应用
当需要计算两个独立事件 同时发生的概率时，可以 使用此公式。
04
概率的应用实例
抛硬币实验
定义
抛硬币实验是一个典型的 随机事件，其结果只有正 面和反面两种可能。
概率
正面朝上的概率是50%， 反面朝上的概率也是50%。
实验结果
抛硬币实验的结果是不确 定的，每次抛硬币都是独 立的，不受之前结果的影 响。
应用
当需要计算某个事件发生的概 率时，可以先求出其对立事件 的概率，再利用此公式计算。
独立事件的概率乘法公式
01
02
03
定义
独立事件是指一个事件的 发生不受另一个事件是否 发生的影响，即$P(A cap B) = P(A) times P(B)$。
公式
$P(A cap B) = P(A) times P(B|A)$。
法律决策
律师和法官使用概率证据来评估案件的胜算，例 如评估证人证词的可信度或判断犯罪嫌疑人的罪 责。
市场预测
经济学家和企业家使用概率模型来预测市场趋势， 例如股票价格、市场需求或经济增长。
06
总结与回顾
本章重点回顾
随机事件的定义
随机事件是在一定条件下可能发生也可能不发生 的事件。
概率的基本性质
随机事件的概率
随机事件的概率一、知识概述1、随机事件的概率（1）必然事件、不可能事件、随机事件的概念必然事件：在一定条件下必然要发生的事件．不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件．随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件．（2）概率的定义及其理解事件A的概率的定义：在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A 为事件A出现的频数，称事件A出现的比例为事件A出现的出现的次数nA频率．在大量重复进行同一试验时，事件A发生的频率总是接近于某个常数，在它附近≤n，0≤≤1，摆动，这时就把这个常数叫做事件A的概率，记作P(A)，由定义知，0≤nA0≤P(A)≤1．显然，必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0．注：①注意频率与概率的区别：频率总是在P（A）附近摆动，当n越大时，摆动幅度越小．②0≤P(A)≤1，不可能事件的概率为0，必然事件概率为1，随机事件的概率大于0而小于1．③大量重复进行同一试验时，随机事件呈现出规律性．2、概率的基本性质事件Ｂ包含事件A：一般地，对于事件A与事件B，如果事件A发生，则事件B 一定发生，记作（或）．并事件：某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，记作．交事件：某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，记作．互斥事件：若为不可能事件，那么称事件A与事件B互斥，如果事件A与事件B互斥，那么．对立事件：若为不可能事件，为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件，事件A的对立事件通常用表示．3、古典概型古典概型需要满足的两个条件：①所有基本事件有限个；②每个基本事件发生的可能性都相等．如果一次试验的等可能的基本事件的个数为n，则每一个基本事件发生的概率都是，如果某个事件A包含了其中的m个等可能的基本事件，则事件A发生的概率为．4、几何概型如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．在几何概型中，事件A的概率的计算公式如下：．二、重难点知识归纳重点：1、了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，正确理解概率的意义．2、理解古典概型及其概率计算公式．3、体会随机模拟中的统计思想：用样本估计总体．难点：1、理解频率与概率的关系.2、设计和运用模拟方法近似计算概率．3、把求未知量的问题转化为几何概型求概率的问题．三、典型例题剖析例1、（1）计算表中优等品的各个频率？（2）该厂生产的电视机优等品的概率是多少？分析：（1）将值逐个代入公式进行计算.（2）观察各频率能否与一常数接近，且在它附近摆动.解答：（1）各次优等品的频率分别为0.8，0.92，0.96，0.95，0.954.（2）由以上数据可得优等品的概率为0.95.例2、将骰子先后抛掷2次，计算：（1）一共有多少种不同的结果？（2）其中向上的数之和是5的结果有多少种？（3）向上的数之和是5的概率是多少？分析：有些等可能事件的概率问题中，有时在求m时，不采取分析的方法，而是结合图形采取枚举的方法，即数出事件A发生的结果数，当n较小时，这种求事件概率的方法是常用的.解答：将抛掷2次的所有结果数一一列举出来，如下表所示上表可知，将骰子先后抛掷2次，一共有36种不同的结果，其中向上的数之和是5的结果有（1，4），（2，3），（3，2），（4，1）共4种，由于骰子是均匀的，将它抛掷2次的所有36种结果是等可能出现的，故向上的数之和是5的概率是.例3、如图，在等腰直角三角形ABC中，在斜边AB上任取一点M，求AM<AC的概率？分析：点M随机的落在线段AB上，故线段AB为构成试验的全部结果所构成的区域长度，当点M位于如图的内时AM<AC，故线段即为构成事件A的区域长度．解：在AB上截取=AC ，于是．答：AM<AC的概率为．例4、袋中装有红、黄、白3种颜色的球各1只，从中每次任取1只，有放回地抽取3次，求：（1）3只全是红球的概率．（2）3只颜色全相同的概率．（3）3只颜色不全相同的概率．分析：有放回地抽3次的所有不同结果总数为33，3只全是红球是其中的1种结果，同样3只颜色全相同是其中3种结果：全红、全黄、全白，用求等可能事件的概率方式可以求它们的概率．“3种颜色不全相同”包含的类型较多，而其对立事件为“三种颜色全相同”却比较简单，所以用对立事件的概率方式求解．解析：有放回地抽取3次，所有不同的抽取结果总数为27，3只全是红球的概率为，3只颜色全相同的概率为，“3只颜色不全相同”的对立事件为“三只颜色全相同”，故“3只颜色不全相同”的概率为.例5、在50件产品中，有35件一级品，15件二级品．从中任取5件，设“取得的产品都是一级品”为事件A，试问：表示什么事件？解析：事件表示“取得的产品不都是一级品”或“取得的产品中至少有1件不是一级品”．首先，“取得的产品都是一级品”发生了，“取得的产品不都是一级品”这个事件就不发生，它们是互斥的；其次，“取得的产品都是一级品”和“取得的产品不都是一级品”必然有一个发生．所以“取得的产品不都是一级品”这一事件表示．。
随机事件的概率简介
随机事件的概率简介概率是数学中一个非常重要的概念，它用来描述随机事件发生的可能性大小。
在我们日常生活中，随机事件无处不在，比如抛硬币的结果、掷骰子的点数、抽奖的中奖概率等等。
本文将简要介绍随机事件的概率以及相关概念。
一、基本概念1. 随机事件随机事件指的是在一次试验中，可能发生也可能不发生的结果。
比如抛掷一枚硬币出现正面，就是一个随机事件。
2. 样本空间样本空间是指试验所有可能结果的集合。
以抛硬币为例，样本空间就是{正面，反面}。
3. 事件事件是样本空间的一个子集，表示我们关注的一些结果。
以抛硬币为例，出现正面就是一个事件。
二、概率的定义概率可以通过频率和古典概型来定义。
1. 频率定义频率定义是通过实验结果的频率来计算概率。
当试验次数趋于无穷大时，事件发生的频率将逐渐接近概率。
比如抛硬币，当我们大量重复抛掷硬币，并记录正面朝上的次数，我们就可以得到近似的概率。
2. 古典概型古典概型也称为等可能概型。
它适用于所有的试验结果等可能且有限的情况。
比如抛硬币，正反两面出现的概率都是1/2。
三、概率的性质概率具有以下几个性质：1. 非负性概率值始终大于等于0。
对于任何事件A，P(A) ≥ 0。
2. 规范性对于样本空间Ω，必然发生的概率为1。
即P(Ω) = 1。
3. 加法性对于两个互斥事件A和B，它们的概率之和等于它们分别的概率之和。
即P(A∪B) = P(A) + P(B)。
四、概率的计算方法概率的计算可以通过以下方法进行：1. 经典概型法当试验结果等可能且有限时，可以使用经典概型法计算概率。
比如抛硬币，正反两面的概率均为1/2。
2. 频率法当试验次数无限大时，可以通过频率法计算概率。
即记录实验结果的频率，当试验次数很大时，事件发生的频率接近概率。
3. 条件概率条件概率是指在已知某一事件发生的条件下，另一个事件发生的概率。
条件概率可以表示为P(A|B)，读作“在事件B发生的条件下，事件A发生的概率”。
4. 乘法定理乘法定理用于计算多个事件同时发生的概率。
随机事件的概率
随机事件的概率吴运兴1．随机事件及其概率(1) 必然事件：在一定的条件下必然发生的事件叫做必然事件．(2) 不可能事件：在一定的条件下不可能发生的事件叫做不可能事件．(3) 随机事件：在一定的条件下，也可能发生也可能不发生的事件叫做随机事件．(4) 随机事件的概率：一般地，在大量重复进行同一试验时，事件A 发生的频率nm 总是接近于某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件，这时就把这个常数叫做事件A 的概率，记作()P A ．(5) 概率从数量上反映了一个事件发生的可能性的大小，它的取值范围是0()1P A ≤≤，必然事件的概率是1，不可能事件的概率是0．2．等可能性事件的概率(1) 基本事件：一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件．(2) 等可能性事件的概率：如果一次试验由n 个基本事件组成，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率是1n．如果某个事件A 包含的结果有m 个，那么事件A 的概率：()P A =m n例1．1) 一个盒子装有5个白球3个黑球，这些球除颜色外，完全相同，从中任意取出两个球，求取出的两个球都是白球的概率；(2) 箱中有某种产品a 个正品，b 个次品，现有放回地从箱中随机地连续抽取3次，每次1次，求取出的全是正品的概率是（ ）A ．33ba aC C + B ．33baa A A + C ．33)(b a a + D ．33baa A C -(3) 某班有50名学生，其中15人选修A 课程，另外35人选修B 课程，从班级中任选两名学生，他们是选修不同课程的学生的概率是多少？解：（1）从袋内8个球中任取两个球共有2828=C 种不同结果，从5个白球中取出2个白球有1025=C 种不同结果，则取出的两球都是白球的概率为1452810)(==A P （2）33)(b a a + （3）73250135115=⋅=C C C P 变式训练1. 盒中有1个黑球9个白球，它们除颜色不同外，其它没什么差别，现由10人依次摸出1个球，高第1人摸出的是黑球的概率为P 1，第10人摸出是黑球的概率为P 10，则 （ ）A ．110101P P =B ．11091P P =C ．P 10＝0 D ．P 10＝P 1解：D例2. 甲、乙两袋装有大小相同的红球和白球，甲袋装有2个红球，2个白球；乙袋装有2个红球，n 个白球，两甲、乙两袋中各任取2个球.(1) 若n ＝3，求取到的4个球全是红球的概率；(2) 若取到4个球中至少有2个红球的概率为43，求n.解：（1）记“取到的4个球全是红球”为事件60110161)(.25222422=⋅=⋅=C C C C A P A .（2）记“取到的4个球至多有1个红球”为事件B ，“取到的4个球只有1个红球”为事件B 1，“取到的4个球全是白球”为事件B 2，由题意，得)(.41431)(1B P B P =-=22112422222241212++⋅++⋅⋅=n n n n n C C C C C C C C C C )1)(2(322++=n n n )1)(2(6)1()(22224222++-=⋅=+n n n n C C C C B P n n所以)1)(2(32)()()(221++=+=n n n B P B P B P 41)1)(2(6)1(=++-+n n n n ，化简，得7n 2－11n －6＝0，解得n ＝2，或73-=n （舍去），故n ＝2.变式训练2：在一个口袋中装有5个白球和3个黑球，这些球除颜色外完全相同．从中摸出3个球，至少摸到2个黑球的概率等于 （ ）A ．72B ．83C ．73D ．289解：A例3. 袋中装着标有数字1,2,3,4,5的小球各2个，从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球取出的可能性都相等，用ξ表示取出的3个小球上的最大数字，求：(1) 取出3个小球上的数字互不相同的概率；(2) 计分介于20分到40分之间的概率.解：（1）“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A ，则32)(31012121235=⋅⋅⋅=C C C C C A P （2）“一次取球所得计分介于20分到40分之间”的事件记为C ，则P(C)＝P(“ξ＝3”或“ξ＝4”)＝P(“ξ＝3”)＋P(“ξ＝4”)＝3013103152=+变式训练3：从数字1，2，3，4，5中任取3个，组成没有重复数字的三位数，计算：① 这个三位数字是5的倍数的概率；②这个三位数是奇数的概率；③这个三位数大于400的概率.解：⑴15⑵35⑶25例4. 在一次口试中，要从20道题中随机抽出6道题进行回答，答对了其中的5道就获得优秀，答对其中的4道就可获得及格．某考生会回答20道题中的8道题，试求：（1）他获得优秀的概率是多少？（2）他获得及格与及格以上的概率有多大？解：从20道题中随机抽出6道题的结果数，即是从20个元素中任取6个元素的组合数620C ．由于是随机抽取，故这些结果出现的可能性都相等．(1)记“他答对5道题”为事件1A ，由分析过程已知在这620C 种结果中，他答对5题的结果有6518812700C C C +=种，故事件1A 的概率为()162070035.1938P A C ==(2)记“他至少答对4道题”为事件2A ，由分析知他答对4道题的可能结果为6514288128125320C C C C C ++=种，故事件2A 的概率为：()26205320751P A C ==答：他获得优秀的概率为351938，获得及格以上的概率为7.51变式训练4：有5个指定的席位，坐在这5个席位上的人都不知道指定的号码，当这5个人随机地在这5个席位上就坐时.(1) 求5个人中恰有3人坐在指定的席位上的概率；(2) 若在这5个人侍在指定位置上的概率不小于61，则至多有几个人坐在自己指定的席位上？解：（1）121)(5535==A C A P （2）由于3人坐在指定位置的概率121<61，故可考虑2人坐在指定位置上的概率，设5人中有2人坐在指定位置上为事件B ，则612)(5525==A CB P ，又由于坐在指定位置上的人越多其概率越少，而要求概率不小于61，则要求坐在指定位置上的人越少越好，故符合题中条件时，至多2人坐在指定席位上．1．实际生活中所遇到的事件包括必然事件、不可能事件及随机事件．随机事件在现实世界中是广泛存在的．在一次试验中，事件是否发生虽然带有偶然性，当在大量重复试验下，它的发生呈现出一定的规律性，即事件发生的频率总是接近于某个常数，这个常数就叫做这个事件的概率．2．如果一次试验中共有n 种等可能出现的结果，其中事件A 包含的结果有m 种，那么事件A 的概率().m P A n=从集合的角度看，一次试验中等可能出现的所有结果组成一个集合I ，其中事件A 包含的结果组成I 的一个子集A ，因此()()().Card A mP A Card I n==从排列、组合的角度看，m 、n 实际上是某些事件的排列数或组合数．因此这种“古典概率”的问题，几乎使有关排列组合的计算与概率的计算成为一回事．3．利用等可能性的概率公式，关键在于寻找基本事件数和有利事件数．。
随机事件的概率
随机事件的概率知识要点：1．必然事件:在一定的条件下必然要发生的事件。
2．不可能事件:在一定的条件下不可能发生的事件。
3．随机事件:在一定的条件下可能发生也可能不发生的事件。
4．随机事件的概率:一般地,在大量重复进行同一试验时,事件A发生的频率总是接近于某个常数,在它附近摆动,这时就把这个常数叫做事件A的概率,记作P(A)。
注意:0≤P(A)≤1。
5．基本事件:一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件。
6．等可能性事件的概率:如果一次试验由n个基本事件组成,而且所有结果出现的可能性都相等,那么每一个基本事件的概率都是,如果某个事件A包含的结果有m个,那么事件A的概率:P(A)= 。
理解随机事件及其概率的意义;理解等可能性事件的概率的意义；会用计数方法和排列组合基本公式计算一些等可能性事件的概念。
典型题目:例1．条件:将一枚五角硬币和壹角硬币同时向上抛,落在有弹性的桌面上(有国徽那一面叫做正面)。
事件A:伍角的正面朝上,壹角的正面朝上；事件B:伍角的正面朝上,壹角的反面朝上；事件C:伍角的正面朝上或反面朝上；事件D:壹角的正面朝上同时反面朝上。
判断事件A、B、C、D是什么事件。
解:可以断定:A和B是随机事件,C是必然事件,D是不可能事件。
例2．指出下列事件是必然事件,不可能事件,还是随机事件:（1）当x≥10时,lgx≥1；（2）数列{a n}是单调递增数列,a2003>a2004；（3）sinα>sinβ时,α<β。
解:（1）根据对数函数y=lgx在（0,+∞）上是增函数及lg10=1,知当x≥10时,lgx≥1是成立的,所以,（1）是必然事件。
（2）因为数列{a n}是单调递增数列,所以对任意的n∈N*,都有a n<a n+1成立,所以，a2003>a2004不可能成立，所以,（2）是不可能事件。
（3）如图（2）,sinα>sinβ时:①取β=β1,这时sinα>sinβ1, α>β1, α<β不成立；②取β=β2, 这时sinα>sinβ2, α<β2, α<β成立。
随机事件的概率
随机事件的概率概率理论是一门研究随机事件发生的可能性的数学学科。
通过计算和统计，我们可以了解随机事件发生的概率。
在这篇文章中，我们将探讨随机事件的概念、概率的定义和计算方法，以及一些实际问题中与概率相关的应用。
一、随机事件的概念随机事件是指在一次试验中可能出现的各种结果。
每个结果都有一定的概率发生。
例如，掷骰子时，1到6的点数出现的概率都是相等的，并且总和为1。
我们用事件的符号表示随机事件。
例如，事件A表示掷骰子出现点数为2的结果。
事件B表示掷骰子出现点数为偶数的结果。
事件的发生取决于试验的结果。
如果一个事件发生了，我们称之为该事件发生。
二、概率的定义概率是描述事件发生可能性大小的数值。
概率的取值范围是0到1之间，0表示不可能发生，1表示肯定会发生。
在数学中，我们用P(A)表示事件A的概率。
例如，P(A)表示掷骰子出现点数为2的概率。
概率的计算需要考虑事件发生的可能性和总体样本空间的大小。
三、概率的计算方法1. 经典概率经典概率是指在一次试验中，每个事件发生的可能性相等的情况下，计算事件发生概率的方法。
假设一个袋子里有红、蓝、绿三种颜色的球，每种球的数量相等。
从袋子中随机抽取一球，事件A表示抽到红球的结果。
由于每种颜色出现的概率相等，所以P(A) = 1/3。
2. 统计概率统计概率是通过实验和统计数据来计算事件发生概率的方法。
例如，我们抛硬币的实验中，事件A表示出现正面的结果。
通过大量的实验数据，我们可以统计出正面出现的次数与总实验次数的比值，从而得到事件A的概率。
3. 条件概率条件概率是指在已知一定条件下，某个事件发生的概率。
条件概率用P(A|B)表示，读作在事件B发生的条件下事件A发生的概率。
例如，事件A表示抛一次硬币出现正面的结果，事件B表示抛一次硬币出现的是铜币。
我们知道铜币的一面是正面，因此在已知抛出的是铜币的情况下，事件A发生的概率为1。
四、概率的应用1. 游戏与赌博概率理论在游戏和赌博中扮演着重要的角色。
第一讲：随机事件的概率
B.a=105 D.a=210
4 p= 21
4 p= 21
5 p= 21
例5、某人有５把钥匙，但忘记了开房门的那 、某人有５把钥匙， 一把，于是他逐把不重复地试开， 一把，于是他逐把不重复地试开，问： (1)恰好第三次打开房门锁的概率是多少？ 恰好第三次打开房门锁的概率是多少？ 恰好第三次打开房门锁的概率是多少 （２）三次内打开的概率是多少？ 三次内打开的概率是多少？ 如果５把内有２把房门钥匙， （３）如果５把内有２把房门钥匙，那么三次 内打开的概率是多少？ 内打开的概率是多少？
1 C. 336
1 D. 420
例3、在袋里装有30个小球，其中彩球有： 在袋里装有30个小球，其中彩球有： 30个小球 n个红色、5个蓝色、10个黄色、其余为白色。 个红色、 个蓝色、10个黄色、其余为白色。 个黄色 ：（1 如果已经从中取定了5个黄球和3 求：（1）如果已经从中取定了5个黄球和3个 篮球，并将他们编上不同的号码后排成一排， 篮球，并将他们编上不同的号码后排成一排， 那么使蓝色小球互不相邻的排法有多少种？ 那么使蓝色小球互不相邻的排法有多少种？ 如果从袋里取出3个相同颜色彩球（ （2）如果从袋里取出3个相同颜色彩球（无白 13 色）的概率是 406 且 n ≥ 2 ，计算红球有几个？ 计算红球有几个？ （3）根据（2）得结论，计算从袋中任取3个 根据（ 得结论，计算从袋中任取3 小球，至少有一个是红球的概率？ 小球，至少有一个是红球的概率？
（2）判断是否正确：“若某疾病的死亡率是 ）判断是否正确： 90℅，一地区已有 人患此病死亡，则第 人患此病死亡， ，一地区已有9人患此病死亡 10个病人必能成活。” 个病人必能成活。 个病人必能成活 (3) 判断是否正确 某次摸彩的彩票共有 判断是否正确:“某次摸彩的彩票共有 某次摸彩的彩票共有10 万张，中大奖的概率是10万分子 万分子1， 万张，中大奖的概率是 万分子 ，若已有 9万9千张彩票已被摸出而且没有大奖，某 千张彩票已被摸出而且没有大奖， 万 千张彩票已被摸出而且没有大奖 人包下剩下的1千张彩票 千张彩票， 人包下剩下的 千张彩票，那么此人必能中 大奖。 大奖。”
概率
概率（1）随机事件的概率：一般地，在大量重复进行同一试验时，事件A 发生的频率mn 总是接近某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A 的概率，记作()P A ．0()1P A ≤≤（2）等可能性事件：如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每个基本事件的概率都是1n ，这种事件叫等可能性事件等可能性事件的概率：如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果都是等可能的，如果事件A 包含m 个结果，那么事件A 的概率()mP A n =（3）互斥事件的概念:不可能同时发生的个事件叫做互斥事件 A 、B 互斥，即事件A 、B 不可能同时发生， P(A+B)=P （A ）+ P(B)一般地：如果事件12,,,n A A A 中的任何两个都是互斥的，那么就说事件12,,,n A A A 彼此互斥对立事件的概念:事件Ａ和事件B 必有一个发生的互斥事件 A 、B 对立，即事件A 、B 不可能同时发生，但A 、B 中必然有一个发生这时P(A •B)=０,P(A+B)=P （A ）+ P(B)＝１一般地,()()A P A p -=1（4）相互独立事件：事件A （或B ）是否发生对事件B （或A ）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件若A 与B 是相互独立事件，则A 与B ，A 与B ，A 与B 也相互独立互斥事件与相互独立事件的区别：两事件互斥是指同一次试验中两事件不能同时发生，两事件相互独立是指不同试验下，二者互不影响；两个相互独立事件不一定互斥，即可能同时发生，而互斥事件不可能同时发生相互独立事件同时发生的概率：()()()P A B P A P B ⋅=⋅。
事件12,,,n A A A 相互独立，1212()()()()n n P A A A P A P A P A ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅（5）独立重复试验的定义：在同样条件下进行的各次之间相互独立的一种试验独立重复试验的概率公式：如果在一次试验中某事件发生的概率是p,那么在n 次独立重复试验中这个事恰好发生K 次的概率kn k k n n P P C k P --=)1()(表示事件A在n 次独立重复试验中恰好发生了k 次的概率一、等可能事件的概率例1甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到A B C D ，，，四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者．（Ⅰ）求甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率； （Ⅱ）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率．例2一个口袋中装有大小相同的2个红球,3个黑球和4个白球,从口袋中一次摸出一个球,摸出的球不再放回.（Ⅰ）连续摸球2次,求第一次摸出黑球,第二次摸出白球的概率； （Ⅱ）如果摸出红球,则停止摸球,求摸球次数不超过3次的概率． ；例3一个袋中装有大小相同的黑球、白球和红球。
什么是随机事件的概率
什么是随机事件的概率概率是数学中一个重要的概念，用于描述事件发生的可能性。
在概率论中，随机事件是指在一定条件下可能会发生的事件，其结果不确定且具有随机性。
而随机事件的概率则是用于衡量事件发生的可能性大小。
本文将介绍随机事件的概率及其相关概念。
一、概率的基本概念概率是描述随机事件发生可能性大小的一个数值。
通常用P(A)表示事件A发生的概率，其中A是一个随机事件。
概率的取值范围在0到1之间，表示事件不可能发生到事件一定会发生之间的可能性。
二、随机事件的样本空间和事件域在研究随机事件的概率时，首先要确定事件的样本空间和事件域。
样本空间是指所有可能结果的集合，用Ω表示。
事件域是指由样本空间中的子集组成的集合，表示所有可观察的事件。
三、事件的互斥与独立在研究多个事件发生的概率时，我们需要考虑事件之间的关系。
如果两个事件不能同时发生，即一个事件的发生排除了另一个事件的发生，这两个事件称为互斥事件。
如果两个事件的发生与否相互独立，即一个事件的发生与另一个事件的发生无关，这两个事件称为独立事件。
四、概率的计算方法根据不同的情况，概率可以通过不同的计算方法得出。
常见的计算概率的方法有以下几种：1. 古典概率：适用于所有可能结果等可能的情况。
概率等于事件发生的有利结果数除以总的可能结果数。
2. 几何概率：适用于连续随机变量的情况。
概率等于事件所占的区域面积除以总的可能区域面积。
3. 统计概率：基于大量实验数据统计得出的概率估计。
概率等于事件发生的频次除以总的实验次数。
4. 条件概率：在已知某一事件发生的条件下，另一个事件发生的概率。
条件概率等于两个事件同时发生的概率除以已知事件发生的概率。
五、概率的性质概率具有以下几个重要的性质：1. 非负性：概率是非负数，即概率值大于等于0。
2. 正则性：样本空间的概率为1，即P(Ω) = 1。
3. 加法性：对于互斥事件，它们的概率可以相加求和。
4. 频率稳定性：在大量重复试验中，事件发生的频率趋于事件的概率。
随机事件的概率
第一节 随机事件的概率一.基本知识概要：1.随机事件：在一定的条件下可能发生也可能不发生的事件，其概率10≤≤P2.如果是必然要发生的事件，则叫必然事件，其概率P=1；3.如果是不可能发生的事件，则叫不可能事件，其概率P=0。
4.事件的概率：在进行n 次重复同一试验中事件A 发生了m 次，随着试验次数的增大，事件A 发生的频率m/n 总是接近于某一常数P ，则P 就叫事件A 发生的概率。
5.基本事件：一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件。
6.等可能事件：在一次实验中，所有可能的结果有n 个，则叫事件A 包含有n 个基本事件，如果每个基本事件发生的概率都是等可能的，则叫等可能事件，所以每个基本事件发生的概率是n1。
如果事件A 包含了其中的m 个基本事件，则事件A 发生的概率P （A ）=nm 。
7.概率的计算：事件A 发生的概率P （A ）=种数所有事件发生的可能总发生的可能种数事件A =)()(I card A card （其中I为所有基本事件的集合，A 为事件A 所含基本事件的集合）。
二、例题： 例1、（1）给出下列四个命题：①“当R x ∈时，1cos sin ≤+x x ”是必然事件；②“当R x ∈时，1cos sin ≤+x x ”是不可能事件；③“当R x ∈时，2cos sin <+x x ”是随机事件；④“当R x ∈时，2cos sin <+x x ”是必然事件；其中正确的命题个数是：A ． 0；B 1；C 2；D 3（2）判断是否正确：“若某疾病的死亡率是90℅，一地区已有9人患此病死亡，则第10个病人必能成活。
”(3) 判断是否正确:“某次摸彩的彩票共有10万张，中大奖的概率是10万分子1，若已有9万9千张彩票已被摸出而且没有大奖，某人包下剩下的1千张彩票，那么此人必能中大奖。
” （4解：（1）B ；（2）否；（3）是；（4）0.8.[思维点拔]：正确理解概率辩证的概念，它既不是机械的也不是虚无缥缈的． 例2、用数字1，2，3，4，5组成五位数，求其中恰有4个相同数字的概率。
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随机事件的概率常州市第八中学王晨阳教学目标: 1使学生了解实际生活中的随机现象;并能用概率的知识初步解释这些随机现象;2使学生理解频率,概率的含义;3使学生理解频率和概率的区别和联系.4了解偶然性寓于必然性之中的辨证唯物主义思想。
教学重点和难点:1随机现象的定义;2如何用频率来理解概率及频率和概率的关系.教学过程引入一看几个生活中的例子：1如果长虹生产的彩电的合格率为99%,而康家生产的彩电的合格率为90%,你更愿意买那一家的彩电?2今天天气预报说:明天的降雨的可能性为80%,那你明天一定带伞出门吗?如果说:今天的降雨的可能性为20%,你就一定不带伞出门吗?3商店有一批某商品，它的次品率为10%，你买10件该商品，一定会买到次品吗？在我们所生活的世界里,充满了不确定性.因此我们就试图通过猜测事件的真相和未来来掌握这种不确定性.概率这门学科就应运而生了.（生活已经先于教材将概率推到了我们面前）我们希望在决策之前，对有些事件的发生或不发生或发生的可能性是多少有个估计和推算。
这对我们能否完成某一任务有一定的了解。
从而增强在工作中的主动性，减少在工作中的盲目性，使工作能达到预想的最好结果。
二对比一下下列3个事件，它们分别有什么特点。
1抛一枚硬币，下落2抛一枚硬币，正面朝上3抛一枚硬币，同时出现正面和反面⑴按什么标准来比较的？从结果能否预知的角度出发去比较的⑵请你试着举几个与它们有相同特点的例子。
⑶导入对现象的分类。
从这一标准出发可以对社会现象、自然现象进行分类二新课(一)基本概念大千世界,所遇到的现象不外乎两类.一类是确定性现象,如在标准大气压下,水加热到100摄氏度时沸腾,是确定会发生的现象;又如,从地球上看,太阳每天从东方升起.另一类是随机发生的不确定的现象,如适当的条件下,种子的发芽,掷一枚硬币出现反面等等.这种不确定的现象叫做随机现象.确定性现象容易被人所掌握，随机现象由于它的不确定性，因此成为人们研究的重点概率论是一门从数量这一侧面研究随机现象规律性的数学学科。
随机现象: 在相同的条件下,重复同样的试验或观测(今后把”观测”也看作试验而不加区分),其试验结果却不确定,以至于在试验之前无法预料哪一个结果会出现的现象.随机现象在一定条件下具有多种可能发生的结果。
随机现象的结果是随机的，某一结果可能发生也可能不发生。
我们把一定条件下的现象的结果称之为一个事件。
（1）根据结果是否具有确定性可以对事件进行分类在一定条件下必然要发生的事件，叫做必然事件；在一定条件下不可能发生的事件，叫做不可能事件；在一定条件下可能发生也可能不发生的事件，叫做随机事件。
随机事件是随机现象的结果例题：下列事件中，必然事件的是；不可能事件的是；随机事件是。
1开枪，击中目标2在一副扑克牌中，抽出一张是红心53常温下，铁融化4把纸扔进火炉里，纸烧成灰烬。
5 某人分娩，生下一女儿6校对印刷厂送来的清样，每一万字中有错、漏字10个。
（2）如何用数学符号标记事件习惯上常将必然事件记作U；不可能事件记作V（或 ）、随机事件记作A、B等例：事件“抛一枚硬币，正面朝上”可记为： A={ 抛一枚硬币，正面朝上} 或 A=“抛一枚硬币，正面朝上”用语言叙述即：用A 表示抛一枚硬币，正面朝上。
(3)事件间的辨证关系在一种前提下的随机事件,在另一种前提下可能成为必然事件.在一种前提下的必然事件,在另一种前提下可能不出现例一个标准大气压下，把水加热到100＂o C，水沸腾前提换成“1.2个标准大气压下，把水加热到100＂o C”，“水沸腾”就不可能出现。
所以，我们要注意关注事件发生的前提——“在一定条件下”例题：北宋年间的荻青与侬智高的较量.大将荻青奉旨征讨侬智高.但敌我的悬殊很大,胜败没有把握.他便设坛拜神,拿出一百枚铜钱,说“如果这一百枚铜钱的钱面全部朝上,则这次将会大获全胜”。
士兵们很是惶恐,力劝荻青不可如此,凭大家的经验可知,这是几乎不可能发生的.但是荻青不听劝阻,毅然投下一百枚铜钱,让大家惊奇的是,一百枚铜钱的钱面全部朝上,这大大鼓舞了将士们的士气,在兵力相差很大的条件下,击退了侬智高的部队.2 随机事件频率的稳定性、概率频率：在相同条件下，重复进行n实验，事件A发生的次数为n A，则称比值n A/n为事件A 发生的频率(1)投掷硬币试验人们知道:掷一枚硬币,事先无法预知哪一面向上.但是出现正面和反面的机会是相等的.在进行大量的投掷试验时,正面和反面出现的次数”差不多”,从历史上看,这经历了很长一个时期.相差得多与不多是相对于试验的次数而言的.上表告诉我们:当试验的次数增加时,正面向上的频率,即正面出现的次数k 与总的试验次数n 之比n k 都在21的左右.这表明: ① 频率是随机的,事先无法确定的.② 频率又”稳定”在一个常数的附近.频率偏离这个常数很大的可能性虽然存在,但是试验的次数n 越大,频率偏离这个常数的可能性越小.也就是说: 随机事件的每一次观察结果都是偶然的,但是多次观察某个随机现象可以知道,在大量的偶然事件中存在着规律性的东西. 即在大量重复进行同一试验时，事件A 发生的频率总是接近于某个常数，在它附近摆动，这个常数叫做事件A 的概率。
（或称几率 旧称或然率）简言之：频率的稳定值p 称为随机事件A 发生的概率记为P （A ）=p例如1/2就是投掷一枚硬币”出现正面”这一随机事件的概率.而且大数定理说: 当试验的次数很大时,随机事件A 出现的频率,稳定地在某个数值P 附近摆动.这个稳定值P ,叫做随机事件A 的概率,并记为21)(=A P 很明显, )(A P 是0和1之间的一个数,即1)(0<<A P 如果把必然事件和不可能事件看成是随机事件的两种极端情形，则1)(0≤≤A P例如 ： 1、 A =“从地球上看太阳从西边升起”. 显然事件A 为不可能事件 0)(=A P2、 若B={地球绕着太阳转}，则1)(=B P两者的区别与联系区别 频率反映事件发生的频繁程度，具有随机性，不能脱离具体的实验而言概率是客观的、确定性的、不依赖于实验次数的理论值，它是一个客观常数，反映了事件的属性。
联系频率是概率的近似值概率是频率的稳定值频率的稳定性,可以从人类的生育中得到生动的例子男女出生率.一般人或许认为:生男生女的可能性是相等的,因而推测出男婴和女婴的出生数的比因当是1:1,可事实并非如此.公元1814年,法国数学家拉普拉斯(Laplace 1794---1827)在他的新作<<概率的哲学探讨>>一书中,记载了一下有趣的统计.他根据伦敦,彼得堡,柏林和全法国的统计资料,得出了几乎完全一致的男婴和女婴出生数的比值是22:21,即在全体出生婴儿中,男婴占51.16%,女婴占48.84%.可奇怪的是,当他统计1745---1784整整四十年间巴黎男婴出生率时,却得到了另一个比是25:24,男婴占51.02%,与前者相差0.14%.对于这千分之一点四的微小差异!拉普拉斯对此感到困惑不解,他深信自然规律,他觉得这千分之一点四的后面,一定有深刻的因素.于是,他深入进行调查研究,终于发现:当时巴黎人”重女轻男”,有抛弃男婴的陋俗,以至于歪曲了出生率的真相,经过修正,巴黎的男女婴的出生比率依然是22:21.随机现象的两个特征(1)结果的随机性即在相同的条件下做重复的试验时,如果试验的结果不止一个,则在试验前无法预料哪一种结果将发生.（2）频率的稳定性即大量重复试验时,任意结果(事件) A出现的频率尽管是随机的, 却”稳定”在某一个常数附近,试验的次数越多,频率与这一常数的偏差大的可能性越小.这一常数就成为该事件的概率.在大量重复试验的前提下，偶然性因素的干扰越来越微弱，本质的属性体现得越来越强烈。
概率趣谈1 为什么说“1个数学家=10个师”？第二次世界大战结束后，美国将大量德国数学家、物理学家“抓”到美国，并且宣称：1名优秀数学家的作用等于10个师的兵力。
为什么美国会有这样的想法呢？1943年以前，在大西洋上为运输船队护航的英美舰队常常受到德国潜艇的袭击，包括坦克、火炮、汽油、枪支弹药等大量军用物资还未送到前线将士手中，就沉入海底。
当时，英美两国又不可能增派大量的护航舰只，怎么办？美国海军将领请教了几位数学家，数学家们运用概率论分析后发现，舰队与敌潜艇可能相遇，也可能不相遇，是一个随机事件，它具有一定的规律。
一定数量的船（如100艘）编队规模越小，编次就越多（如每次20艘，就要有5个编次）；编次越多，与敌人相遇的概率就越大。
比如5位同学放学后都回自己家里，老师要找1位同学的话，随便去哪家就行。
但若这5位同学都在其中某一家的话，老师要找几家才能找到，一次找到的可能性只有20％。
美国海军接受了数学家的建议，命令船队在指定海域集合，再集体通过危险海域，然后各自驶向预定港口。
结果，使原来被击沉25％的概率降低为1％，大大减少了损失，保证了物资的及时供应。
2 概率与1布丰曾经做过一个投针试验.他在一张纸上画了很多条距离相等的平行直线,他将小针随意地投在纸上,他一共投了2212次,结果与平行直线相交的共有704次.总数2212与相交数704的比值为3.142.布丰得到地更一般的结果是: 如果纸上两平行线间的距离为d,小针的长为l ,投针次数为n ,所投的针中与平行线相交的次数为m ,那么当n 相当大时有:dmln 2⨯≈π. 后来有许多人步布丰的后尘,用同样的方法计算π值.其中最为神奇的是意大利数学家拉兹瑞尼(Lazzerini ).他在1901年宣称进行了多次投针试验得到了π的值为3.1415929.这与π的精确值相比,一直到小数点后七位才出现不同!用如此巧妙的方法,求到如此高精确的π值,这真实天工造物!2 π中数字出现的稳定性π是一个无限不循环小数， 在π的小数点后的位置上,各个数码出现的概率应当均为1/10. (法格逊猜想) 。
随着计算机的发展,人们对π的前一百万位小数中各数码出现的频率进行了统计,得到的结果与法格逊猜想非常吻合.练习巩固1 掷一枚骰子出现点数5的事件的是 事件，同时掷两枚骰子，点数之和是12的事件是 事件，点数之和小于2或大于12的事件是 事件，点数之差为5点的事件是 事件，点数之差为6点的事件是 事件。
2 给出下列事件：⑴若a 2+b 2=0,a 、b ∈R 则a=b=0；⑵sinx+cosx=3,x ∈R ；⑶sinx+cosx=0.8,x ∈R ；⑷若x ∈R 且x ≠0,则x>x1；⑸a n =30-6n(n ∈N +)为正数 其中是必然事件的是 ；不可能事件的是 ； 随机事件是 。
3 请你比较一下频率和概率两个概念的区别与联系作业布置：1 课后思考题——用概率的知识揭穿赌局有20张扑克牌,10张黑色,10张红色。