高考数学总复习考点专练43 文新人教A版

合集下载

人教版 43高考总复习数学PPT课件

3．向量数量积的坐标运算与度量公式
(1)两个向量的数量积等于它们对应坐标乘积的和，即若a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则a·b＝ a1b1＋a2b2 ；
(2)设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则a⊥b⇔ a1b1＋a2b2＝0 ；
第四模块平面向量、数系的扩充与复数的引入
数学
高考总复习人教A版 ·(理)
A. 13
13 B. 5
()
65 C. 5
D复数的引入
数学
高考总复习人教A版 ·(理)
解析：|a|cosθ＝|a||aa|·|bb|＝
2×－－44＋2＋37×2 7＝
13 ＝ 65
65 5.
答案：C
第四模块平面向量、数系的扩充与复数的引入
数学
高考总复习人教A版 ·(理)
3．若b＝(1,1)，a·b＝2，(a－b)2＝3，则|a|＝________.
第四模块平面向量、数系的扩充与复数的引入
数学
高考总复习人教A版 ·(理)
4．已知|a|＝1，|b|＝，且a⊥(a－b)，则向量a与b的夹角是________．
数学
高考总复习人教A版 ·(理)
第四模块平面向量、数系的扩充与复数的引入
数学
高考总复习人教A版 ·(理)
总体概述
标题添加
点击此处输入相关文本内容
点击此处输入相关文本内容
标题添加
点击此处输入相关文本内容
点击此处输入相关文本内容
第四模块平面向量、数系的扩充与复数的引入
数学
高考总复习人教A版 ·(理)
直面高考
1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义． 2．了解平面向量的数量积与向量投影的关系． 3．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量考数量积的运算．纲 4．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数要量积判断两个平面向量的垂直关系．求 5．会用向量方法解决某些简单的平面几何问题． 6．会用向量方法解决某些简单的力学问题与其他一些实际问题．

(福建专用)2021高考数学一轮复习课时规范练43空间几何中的向量方法理新人教A版

课时标准练43 空间几何中的向量方法一、根底稳固组1.假设平面α,β的法向量分别为n1=(2,-3,5),n2=(-3,1,-4),那么()A.α∥βB.α⊥βC.α,β2.平面α的一个法向量为n=(1,-,0),那么y轴与平面α所成的角的大小为()A. B. C. D.3.两平行平面α,β分别经过坐标原点O和点A(2,1,1),且两平面的一个法向量n=(-1,0,1),那么两平面间的距离是()A. B. C.4.向量m,n分别是直线l和平面α的方向向量和法向量,假设cos<m,n>=-,那么l与α所成的角为()A.30°B.60°C.120°D.150°5.如图,过正方形ABCD的顶点A,作PA⊥平面ABCD.假设PA=BA,那么平面ABP和平面CDP所成的二面角的大小是()A.30°B.45°C.60°D.90°6.(2021广东珠海质检)设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长是2,那么点D1到平面A1BD的距离是()A. B. C. D.7.如图,在正四棱锥S-ABCD中,O为顶点在底面上的射影,P为侧棱SD的中点,且SO=OD,那么直线BC 与平面PAC所成的角为.〚导学号21500564〛8.如图,在三棱锥P-ABC中,AB=AC,D为BC的中点,PO⊥平面ABC,垂足O落在线段AD上.BC=8,PO=4,AO=3,OD=2.(1)证明:AP⊥BC;(2)假设点M是线段AP上一点,且AM=3.试证明平面AMC⊥平面BMC.9.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=AB=BC=3,AC=2,D是AC的中点.(1)求证:B1C∥平面A1BD;(2)求点B1到平面A1BD的距离.〚导学号21500565〛二、综合提升组10.在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,∠BAC=90°,D,E,F分别是棱AB,BC,CP的中点,AB=AC=1,PA=2,那么直线PA与平面DEF所成角的正弦值为()A. B.C. D.11.直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=90°,AC=1,CB=,侧棱AA1=1,侧面AA1B1B的两条对角线交于点D,那么平面B1BD与平面CBD所成的二面角的余弦值为()A.-B.-C. D.12.(2021广东广州模拟)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,BC=AA1=1.那么D1C1与平面A1BC1所成角的正弦值为.13.(2021山东青岛模拟,理17)如图,在多面体ABC-A1B1C1中,四边形A1ABB1是正方形,AB=AC,BC=AB,B1C1 BC,二面角A1-AB-C是直二面角.求证:(1)A1B1⊥平面AA1C;(2)AB1∥平面A1C1C.14.如下图,四棱锥S-ABCD的底面是正方形,每条侧棱的长都是底面边长的倍,P为侧棱SD上的点.(1)求证:AC⊥SD.(2)假设SD⊥平面PAC,侧棱SC上是否存在一点E,使得BE∥平面PAC?假设存在,求SE∶EC的值;假设不存在,试说明理由.三、创新应用组15.(2021宁夏中卫二模,理18)如图,菱形ABCD与直角梯形ABEF所在的平面互相垂直,其中BE∥AF,AB ⊥AF,AB=BE=AF=2,∠CBA=.(1)求证:AF⊥BC;(2)线段AB上是否存在一点G,使得直线FG与平面DEF所成的角的正弦值为,假设存在,求AG的长;假设不存在,说明理由.〚导学号21500566〛16.(2021山西吕梁二模,理18)在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是直角梯形,其中AD∥BC,AB⊥AD,AB=AD=BC,BE=BC.(1)求证:DE⊥平面PAC;(2)假设直线PE与平面PAC所成角的正弦值为,求二面角A-PC-D的平面角的余弦值.〚导学号21500567〛课时标准练43空间几何中的向量方法1.C因为cos<n1,n2>=0且cos<n1,n2>≠±1,所以α,β相交但不垂直.2.B可知y轴的方向向量为m=(0,1,0),设y轴与平面α所成的角为θ,那么sin θ=|cos<m,n>|.∵cos<m,n>==-,∴sin θ=,∴θ=3.B两平面的一个单位法向量n0=,故两平面间的距离d=|n0|=4.A因为cos<m,n>=-,所以l与α所成角θ满足sin θ=|cos<m,n>|=,又,所以θ=30°.5.B(方法一)建立如图1所示的空间直角坐标系,不难求出平面APB与平面PCD的法向量分别为n1=(0,1,0),n2=(0,1,1),故平面ABP与平面CDP所成二面角的余弦值为,故所求的二面角的大小是45°.(方法二)将其补成正方体.如图2,不难发现平面ABP和平面CDP所成的二面角就是平面ABQP 和平面CDPQ所成的二面角,其大小为45°.6.D建立如下图的空间直角坐标系,那么D1(0,0,2),A1(2,0,2),D(0,0,0),B(2,2,0),=(2,0,0),=(2,0,2),=(2,2,0).设平面A1BD的法向量为n=(x,y,z), 那么令x=1,那么n=(1,-1,-1),∴点D1到平面A1BD的距离是d=7.30°如下图,以O为原点建立空间直角坐标系.设OD=SO=OA=OB=OC=a,那么A(a,0,0),B(0,a,0),C(-a,0,0),P那么=(2a,0,0),=(a,a,0).设平面PAC的法向量为n,可求得n=(0,1,1),那么cos<,n>=∴<,n>=60°,∴直线BC与平面PAC所成角为90°-60°=30°.8.证明 (1)如下图,以O为坐标原点,以射线OP为z轴的正半轴建立空间直角坐标系.那么O(0,0,0),A(0,-3,0),B(4,2,0),C(-4,2,0),P(0,0,4).于是=(0,3,4),=(-8,0,0),=(0,3,4)·(-8,0,0)=0,,即AP⊥BC.(2)由(1)知|AP|=5,又|AM|=3,且点M在线段AP上,,又=(-4,-5,0),,那么=(0,3,4)=0,,即AP⊥BM,又根据(1)的结论知AP⊥BC,∴AP⊥平面BMC,于是AM⊥平面BMC.又AM⊂平面AMC,故平面AMC⊥平面BCM.9.(1)证明连接AB1交A1B于点E,连接DE.可知E为AB1的中点,D是AC的中点,∴DE∥B1C.又DE⊂平面A1BD,B1C⊄平面A1BD,∴B1C∥平面A1BD.(2)解建立如下图的空间直角坐标系,那么B1(0,2,3),B(0,2,0),A1(-1,0,3),=(0,2,3),=(0,2,0),=(-1,0,3).设平面A1BD的法向量为n=(x,y,z),∴n=(3,0,1).故所求距离为d=10.C以A为原点,AB,AC,AP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立如下图的空间直角坐标系,由AB=AC=1,PA=2,得A(0,0,0),B(1,0,0),C(0,1,0),P(0,0,2),D,E,F,=(0,0,-2),设平面DEF的法向量为n=(x,y,z),那么由得取z=1,那么n=(2,0,1),设PA与平面DEF所成的角为θ,那么sin θ=,∴PA与平面DEF所成角的正弦值为11.A建立如下图的空间直角坐标系,那么C(0,0,0),B(,0,0),A(0,1,0),B1(,0,1),D=(,0,0),=(-,1,0),=(0,0,1).设平面CBD和平面B1BD的法向量分别为n1,n2,可得n1=(0,1,-1),n2=(1,,0),所以cos<n1,n2>=,又平面B1BD与平面CBD所成的二面角的平面角与<n1,n2>互补,故平面B1BD与平面CBD所成的二面角的余弦值为-12建立如下图的空间直角坐标系,由于AB=2,BC=AA1=1,所以A1(1,0,1),B(1,2,0),C1(0,2,1),D1(0,0,1).所以=(-1,2,0),=(-1,0,1),=(0,2,0),设平面A1BC1的法向量为n=(x,y,z),那么有令x=2,那么y=1,z=2,那么n=(2,1,2).又设D1C1与平面A1BC1所成的角为θ,那么sin θ=|cos< ,n>|=13.证明∵二面角A1-AB-C是直二面角,四边形A1ABB1为正方形,∴AA1⊥平面BAC.又AB=AC,BC=AB,∴∠CAB=90°,即CA⊥AB,∴AB,AC,AA1两两互相垂直.建立如下图的空间直角坐标系,不妨设AB=2,那么A(0,0,0),B1(0,2,2),A1(0,0,2),C(2,0,0),C1(1,1,2).(1)=(0,2,0),=(0,0,-2),=(2,0,0),设平面AA1C的一个法向量n=(x,y,z),那么取y=1,那么n=(0,1,0)=2n,即n.∴A1B1⊥平面AA1C.(2)易知=(0,2,2),=(1,1,0),=(2,0,-2),设平面A1C1C的法向量m=(x1,y1,z1),那么令x1=1,那么y1=-1,z1=1,即m=(1,-1,1).m=0×1+2×(-1)+2×1=0,m.又AB1⊄平面A1C1C,∴AB1∥平面A1C1C.14.(1)证明连接BD,设AC交BD于点O,连接SO,那么AC⊥BD,由题意知SO⊥平面ABCD.以O为坐标原点,的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向,建立空间直角坐标系如图.设底面边长为a,那么高SO=a,于是S,D,C, 那么=0.故OC⊥SD.从而AC⊥SD.(2)解棱SC上存在一点E使BE∥平面PAC.理由如下:由条件知是平面PAC的一个法向量,且0,-a,设=t,那么+t,由=0,解得t=∴当SE∶EC=2∶1时,又BE⊄平面PAC,故BE∥平面PAC.15.(1)证明∵菱形ABCD与直角梯形ABEF所在的平面互相垂直,AB⊥AF,∴AF⊥平面ABCD,∵BC⊂平面ABCD,∴AF⊥BC.(2)解取AB的中点O,连接CO,那么CO⊥AB,∵平面ABCD⊥平面ABEF,∴CO⊥平面ABEF.建立如下图的空间直角坐标系,那么D(-2,0,),F(-1,4,0),E(1,2,0),=(1,4,-),=(-2,2,0),设平面DEF的法向量为n=(x,y,z),那么即取n=,设G(λ,0,0),λ∈[-1,1],那么=(-λ-1,4,0).∵直线FG与平面DEF所成的角的正弦值为,,∴λ=-1∈[-1,1],∴AG=0,直线FG与平面DEF所成的角的正弦值为16.(1)证明以A为原点,AB为x轴,AD为y轴,AP为z轴,建立空间直角坐标系,如下图.不妨设AB=AD=BC=2,那么D(0,2,0),E(2,1,0),A(0,0,0),C(2,4,0),=(2,-1,0),=(2,4,0),=4-4+0=0,∴DE⊥AC.∵PA⊥平面ABCD,DE⊂平面ABCD,∴DE⊥PA.∵PA∩AC=A,∴DE⊥平面PAC.(2)解设P(0,0,t)(t>0),=(0,0,t),=(2,4,0),=(2,1,-t),设平面PAC的法向量n=(x,y,z),那么取x=2,得n=(2,-1,0), ∵直线PE与平面PAC所成角的正弦值为,,解得t=1或t=-1(舍),∴P(0,0,1),=(2,4,-1),=(0,2,-1),设平面PCD的法向量m=(a,b,c),那么取b=1,得m=(-1,1,2),设二面角A-PC-D的平面角为θ, 那么cos θ=二面角A-PC-D的平面角的余弦值为。

2025届高考数学一轮总复习第3章函数与基本初等函数第1节函数的概念及其表示新人教A版

解析因为f(x)=
故选D.
C.5
D.4
- + 1, < 0,
2=4,
所以f(-1)=-(-1)+1=2,所以f(f(-1))=f(2)=2
选择恰当的方法.
3.通过具体实例,了解简单的分段函数,并能简单应用.
目录索引
1 强基础固本增分
知识梳理
1.函数的概念
一般地,设A,B是非空的实数集
,如果对于集合A中
的任意一个数x ,按照某种确定的对应关系f,在集合B
概念
中都有唯一确定的数y和它对应,那么就称f:A→B为
从集合A到集合B的一个函数
2 0232,相当于1个x值对应两个y值,不符合函数定义,即A错误;对于B选项,
取x=0和x=π,有f(g(0))=f(0)=0,f(g(π))=f(0)=π2,不符合函数定义,所以B
错误;对于 C 选项,若 f(2x-1)=x
+1
+1 2
+1 2
,令 t=2x-1,得 x= ,则 f(t)=( ) ,即 f(x)=( ) ,
选BCD.
考点二函数的定义域
例 2(1)(2024·江西赣州模拟)若函数 f(x-1)的定义域为[-2,3],则函数
f(2x-4)
g(x)= x ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ -4
的定义域为( B )
1
A.[2,3]
1
B.[2,2)∪(2,3]
C.[-1,2)∪(2,4]
D.[-6,2)∪(2,4]
解析函数 f(x-1)的定义域为[-2,3],所以由-2≤x≤3,得-3≤x-1≤2,故 f(x)的定
√
.
+ 1 > 0,

新人教版高三数学专题总复习Word完整版.doc

新人教版高三数学专题总复习Word完整版2018年高考数学复习专题专题一集合、逻辑与不等式集合概念及其基本理论，是近代数学最基本的内容之一，集合的语言、思想、观点渗透于中学数学内容的各个分支．有关简易逻辑的常识与原理始终贯穿于数学的分析、推理与计算之中，学习关于逻辑的有关知识，可以使我们对数学的有关概念理解更透彻，表达更准确．不等式是高中数学的重点内容之一，是工具性很强的一部分内容，解不等式、不等式的性质等都有很重要的应用．关注本专题内容在其他各专题中的应用是学习这一专题内容时要注意的．§1－1 集合【知识要点】1．集合中的元素具有确定性、互异性、无序性．2．集合常用的两种表示方法：列举法和描述法，另外还有大写字母表示法，图示法(韦恩图)，一些数集也可以用区间的形式表示．3．两类不同的关系：(1)从属关系——元素与集合间的关系；(2)包含关系——两个集合间的关系(相等是包含关系的特殊情况)．4．集合的三种运算：交集、并集、补集．【复习要求】1．对于给定的集合能认识它表示什么集合．在中学常见的集合有两类：数集和点集．2．能正确区分和表示元素与集合，集合与集合两类不同的关系．3．掌握集合的交、并、补运算．能使用韦恩图表达集合的关系及运算．4．把集合作为工具正确地表示函数的定义域、值域、方程与不等式的解集等．【例题分析】例1 给出下列六个关系：(1)0∈N* (2)0{－1，1} (3)∈{0}∉∅(4){0} (5){0}∈{0，1} (6){0}{0}∅∉⊆其中正确的关系是______．解答：(2)(4)(6)【评析】1．熟悉集合的常用符号：不含任何元素的集合叫做空集，记作；N 表示自然数集；N＋或N*表示正整数集；Z表示整数集；Q表示有理数集；R表示实数集．∅2．明确元素与集合的关系及符号表示：如果a是集合A的元素，记作：a∈A；如果a不是集合A的元素，记作：aA．∉3．明确集合与集合的关系及符号表示：如果集合A 中任意一个元素都是集合B 的元素，那么集合A 叫做集合B 的子集．记作：AB 或BA ．⊆⊇如果集合A 是集合B 的子集，且B 中至少有一个元素不属于A ，那么，集合A 叫做集合B 的真子集．AB 或BA ．4．子集的性质：①任何集合都是它本身的子集：AA ；⊆②空集是任何集合的子集：A ；∅⊆提示：空集是任何非空集合的真子集．③传递性：如果AB ，BC ，则AC ；如果AB ，BC ，则AC ．⊆⊆⊆例2 已知全集U ＝{小于10的正整数}，其子集A ，B 满足条件(UA)∩(UB)＝{1，9}，A ∩B ＝{2}，B ∩(UA)＝{4，6，8}．求集合A ，B ．解：根据已知条件，得到如图1－1所示的韦恩图，图1－1于是，韦恩图中的阴影部分应填数字3，5，7．故A ＝{2，3，5，7}，B ＝{2，4，6，8}．【评析】1、明确集合之间的运算对于两个给定的集合A 、B ，由既属于A 又属于B 的所有元素构成的集合叫做A 、B 的交集．记作：A ∩B ．对于两个给定的集合A 、B ，把它们所有的元素并在一起构成的集合叫做A 、B 的并集．记作：A ∪B ．如果集合A 是全集U 的一个子集，由U 中不属于A 的所有元素构成的集合叫做A 在U 中的补集．记作UA ．2、集合的交、并、补运算事实上是较为复杂的“且”、“或”、“非”的逻辑关系运算，而韦恩图可以将这种复杂的逻辑关系直观化，是解决集合运算问题的一个很好的工具，要习惯使用它解决问题，要有意识的利用它解决问题．例3 设集合M ＝{x ｜－1≤x ＜2}，N ＝{x ｜x ＜a}．若M ∩N ＝，则实数a 的取值范围是______．∅答：(－∞，－1]．【评析】本题可以通过数轴进行分析，要特别注意当a 变化时是否能够取到区间端点的值．象韦恩图一样，数轴同样是解决集合运算问题的一个非常好的工具．例4 设a ，b ∈R ，集合，则b －a ＝______．},,0{},,1{b ab a b a =+【分析】因为，所以a ＋b ＝0或a ＝0(舍去，否则没有意义)，},,0{},,1{b a ba b a =+a b 所以，a ＋b ＝0，＝－1，所以－1∈{1，a ＋b ，a}，a ＝－1，ab 结合a ＋b ＝0，b ＝1，所以b －a ＝2．练习1－1一、选择题1．给出下列关系：①；②Q ；③｜－3｜N*；④．其中正确命题的个数是( )R ∈212∉∉Q ∈-|3|(A)1 (B)2 (C)3 (D)42．下列各式中，A 与B 表示同一集合的是( )(A)A ＝{(1，2)}，B ＝{(2，1)} (B)A ＝{1，2}，B ＝{2，1}(C)A ＝{0}，B ＝ (D)A ＝{y ｜y ＝x2＋1}，B ＝{x ｜y ＝x2＋1}∅3．已知M ＝{(x ，y)｜x ＞0且y ＞0}，N ＝{(x ，y)｜xy ＞0}，则M ，N 的关系是( )(A)MN (B)NM (C)M ＝N (D)M ∩N ＝∅4．已知全集U ＝N ，集合A ＝{x ｜x ＝2n ，n ∈N}，B ＝{x ｜x ＝4n ，n ∈N}，则下式中正确的关系是( )(A)U ＝A ∪B (B)U ＝(UA)∪B (C)U ＝A ∪(UB) (D)U ＝(UA)∪(UB)二、填空题5．已知集合A ＝{x ｜x ＜－1或2≤x ＜3}，B ＝{x ｜－2≤x ＜4}，则A ∪B ＝______．6．设M ＝{1，2}，N ＝{1，2，3}，P ＝{c ｜c ＝a ＋b ，a ∈M ，b ∈N}，则集合P 中元素的个数为______．7．设全集U ＝R ，A ＝{x ｜x ≤－3或x ≥2}，B ＝{x ｜－1＜x ＜5}，则(UA)∩B ＝______.8．设集合S ＝{a0，a1，a2，a3}，在S 上定义运算为：aiaj ＝ak ，其中k 为i ＋j 被4除的余数，i ，j ＝0，1，2，3．则a2a3＝______；满足关系式(xx)a2＝a0的x(x ∈S)的个数为______．⊕⊕⊕⊕⊕三、解答题9．设集合A ＝{1，2}，B ＝{1，2，3}，C ＝{2，3，4}，求(A ∩B)∪C ．10．设全集U ＝{小于10的自然数}，集合A ，B 满足A ∩B ＝{2}，(UA)∩B ＝{4，6，8}，(UA)∩(UB)＝{1，9}，求集合A 和B ．11．已知集合A ＝{x ｜－2≤x ≤4}，B ＝{x ｜x ＞a}，①A ∩B ≠，求实数a 的取值范围；∅②A ∩B ≠A ，求实数a 的取值范围；③A ∩B ≠，且A ∩B ≠A ，求实数a 的取值范围．∅§1－2 常用逻辑用语【知识要点】1．命题是可以判断真假的语句．2．逻辑联结词有“或”“且”“非”．不含逻辑联结词的命题叫简单命题，由简单命题和逻辑联结词构成的命题叫做复合命题．可以利用真值表判断复合命题的真假．3．命题的四种形式原命题：若p 则q ．逆命题：若q 则p ．否命题：若p ，则q ．逆否命题：若q ，则p ．注意区别“命题的否定”与“否命题”这两个不同的概念．原命题与逆否命题、逆命题与否命题是等价关系．⌝⌝⌝⌝4．充要条件如果pq ，则p 叫做q 的充分条件，q 叫做p 的必要条件．⇒如果pq 且qp ，即qp 则p 叫做q 的充要条件，同时，q 也叫做p 的充要条件．⇒⇒⇔5．全称量词与存在量词【复习要求】1．理解命题的概念．了解“若p，则q”形式的命题的逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．理解必要条件、充分条件与充要条件的意义．2．了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义．3．理解全称量词与存在量词的意义．能正确地对含有一个量词的命题进行否定．【例题分析】例1 分别写出由下列命题构成的“p∨q”“p∧q”“p”形式的复合命题，并判断它们的真假．⌝(1)p：0∈N，q：1N；∉(2)p：平行四边形的对角线相等，q：平行四边形的对角线相互平分．解：(1)p∨q：0∈N，或1N；∉p∧q：0∈N，且1N；p：0N．∉⌝∉因为p真，q假，所以p∨q为真，p∧q为假，p为假．⌝(2)p∨q：平行四边形的对角线相等或相互平分．p∧q：平行四边形的对角线相等且相互平分．⌝p：存在平行四边形对角线不相等．因为p假，q真，所以p∨q为真，p∧q为假，p为真．⌝【评析】判断复合命题的真假可以借助真值表．例2 分别写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断其真假．(1)若a2＋b2＝0，则ab＝0；(2)若A∩B＝A，则AB．解：(1)逆命题：若ab＝0，则a2＋b2＝0；是假命题．否命题：若a2＋b2≠0，则ab≠0；是假命题．逆否命题：若ab≠0，则a2＋b2≠0；是真命题．(2)逆命题：若AB，则A∩B＝A；是真命题．否命题：若A∩B≠A，则A不是B的真子集；是真命题．逆否命题：若A不是B的真子集，则A∩B≠A．是假命题．评述：原命题与逆否命题互为逆否命题，同真同假；逆命题与逆否命题也是互为逆否命题．例3 指出下列语句中，p是q的什么条件，q是p的什么条件．(1)p：(x－2)(x－3)＝0；q：x＝2；(2)p：a≥2；q：a≠0．【分析】由定义知，若pq且qp，则p是q的充分不必要条件；⇒若pq且qp，则p是q的必要不充分条件；⇒若pq且qp，p与q互为充要条件．⇒⇒于是可得(1)中p是q的必要不充分条件；q是p的充分不必要条件．(2)中p是q的充分不必要条件；q是p的必要不充分条件．【评析】判断充分条件和必要条件，首先要搞清楚哪个是条件哪个是结论，剩下的问题就是判断p与q之间谁能推出谁了．例4 设集合M＝{x｜x＞2}，N＝{x｜x＜3}，那么“x∈M或x∈N”是“x∈M ∩N”的( )(A)充分非必要条件(B)必要非充分条件(C)充要条件(D)非充分条件也非必要条件解：条件p：x∈M或x∈N，即为x∈R；条件q：x∈M∩N，即为{x∈R｜2＜x ＜3}．又R{x∈R｜2＜x＜3}，且{x∈R｜2＜x＜3}R，所以p是q的必要非充分条件，选B．⊆【评析】当条件p和q以集合的形式表现时，可用下面的方法判断充分性与必要性：设满足条件p的元素构成集合A，满足条件q的元素构成集合B，若AB 且BA，则p是q的充分非必要条件；若AB且BA，则p是q的必要非充分条件；若A＝B，则p与q互为充要条件．⊆⊆例5 命题“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是( )(A)不存在x∈R，x3－x2＋1≤0，(B)存在x∈R，x3－x2＋1≤0(C)存在x∈R，x3－x2＋1＞0 (D)对任意的x∈R，x3－x2＋1＞0【分析】这是一个全称命题，它的否定是一个特称命题．其否定为“存在x ∈R，x3－x2＋1＞0．”答：选C．【评析】注意全(特)称命题的否定是将全称量词改为存在量词(或将存在量词改为全称量词)，并把结论否定．练习1－2一、选择题1．下列四个命题中的真命题为( )(A)x∈Z，1＜4x＜3 (B)x∈Z，3x－1＝0∃∃(C)x∈R，x2－1＝0 (D)x∈R，x2＋2x＋2＞0∀∀2．如果“p或q”与“非p”都是真命题，那么( )(A)q一定是真命题(B)q不一定是真命题(C)p不一定是假命题(D)p与q的真假相同3．已知a为正数，则“a＞b”是“b为负数”的( )(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件4．“A是B的子集”可以用下列数学语言表达：“若对任意的x∈Ax∈B，则称AB”．那么“A不是B的子集”可用数学语言表达为( )⇒⊆(A)若x∈A但xB，则称A不是B的子集∀∉(B)若x∈A但xB，则称A不是B的子集∃∉(C)若xA但x∈B，则称A不是B的子集∃∉(D)若xA但x∈B，则称A不是B的子集∀∉二、填空题5．“p 是真命题”是“p ∨q 是假命题的”__________________条件．⌝6．命题“若x ＜－1，则｜x ｜＞1”的逆否命题为_________．7．已知集合A ，B 是全集U 的子集，则“AB ”是“UBUA ”的______条件．⊆⊆8．设A 、B 为两个集合，下列四个命题：①AB 对任意x ∈A ，有xB ②ABA ∩B ＝⇔∉⇔∅③ABAB ④AB 存在x ∈A ，使得xB ⇔⇔∉ 其中真命题的序号是______．(把符合要求的命题序号都填上)三、解答题9．判断下列命题是全称命题还是特称命题并判断其真假：(1)指数函数都是单调函数；(2)至少有一个整数，它既能被2整除又能被5整除；(3)x ∈{x ｜x ∈Z}，log2x ＞0；∃ (4).041,2≥+-∈∀x x x R 10．已知实数a ，b ∈R ．试写出命题：“a2＋b2＝0，则ab ＝0”的逆命题，否命题，逆否命题，并判断四个命题的真假，说明判断的理由．§1－3 不等式(含推理与证明)【知识要点】1．不等式的性质．(1)如果a ＞b ，那么b ＜a ；(2)如果a ＞b ，且b ＞c ，那么a ＞c ；(3)如果a ＞b ，那么a ＋c ＞b ＋c(如果a ＋c ＞b ，那么a ＞b －c)；(4)如果a ＞b ，c ＞d ，那么a ＋c ＞b ＋d ；(5)如果a ＞b ，c ＞0，那么ac ＞bc ；如果a ＞b ，c ＜0，那么ac ＜bc ；(6)如果a ＞b ＞0，c ＞d ＞0，那么ac ＞bd ；(7)如果a ＞b ＞0，那么an ＞bn(n ∈N ＋，n ＞1)；(8)如果a ＞b ＞0，那么；)1,N (>∈>+n x b a n n2．进行不等式关系判断时常用到的实数的性质：若a ∈R ，则．)R (0.0||;02+∈≥≥≥a a a a3．会解一元一次不等式，一元二次不等式，简单的分式不等式、绝对值不等式．简单的含参数的不等式．4．均值定理：如果a 、b ∈R ＋，那么当且仅当a ＝b 时，式中等号成立．.2ab b a ≥+ 其他常用的基本不等式：如果a 、b ∈R ，那么a2＋b2≥2ab ，(a －b)2≥0．如果a 、b 同号，那么.2≥+b a a b5．合情推理之归纳推理与类比推理；演绎推理；综合法、分析法与反证法．【复习要求】1．运用不等式的性质解决以下几类问题：(1)根据给定的条件，判断给出的不等式能否成立；(2)利用不等式的性质，实数的性质以及函数的有关性质判断实数值的大小关系；(3)利用不等式的性质等判断不等式变换中条件与结论间的充分必要关系．2．熟练掌握一元一次不等式，一元二次不等式、简单的分式不等式、绝对值不等式的解法．并会解简单的含参数的不等式．3．了解合情推理和演绎推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理．了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理．能较为灵活的运用综合法、分析法与反证法证明数学问题．熟练运用比较法比较数与式之间的大小关系．比较法：常有“作差比较法”和“作商比较法”；综合法：从已知推导致结果的思维方法；分析法：从结果追溯到产生这一结果的原因的思维方法；反证法：由证明pq 转向证明qr …t ，而t 与假设矛盾，或与某个真命题矛盾，从而判定q 为假，进而推出q 为真的方法，叫做反证法．⇒⌝⇒⇒⇒⌝一般来讲，由分析法得到的证明思路往往用综合法的方式来书写．【例题分析】例1 若a ＞b ＞c ，则一定成立的不等式是( )A ．a ｜c ｜＞b ｜c ｜B ．ab ＞acC ．a －｜c ｜＞b －｜c ｜D ．cb a 111<< 【分析】关于选项A ．当c ＝0时，a ｜c ｜＞b ｜c ｜不成立．关于选项B ．当a ＜0时，ab ＞ac 不成立．关于选项C ．因为a ＞b ，根据不等式的性质a －｜c ｜＞b －｜c ｜，正确．关于选项D ．当a ＞b ＞0＞c 时，不成立．所以，选C ．c b a 111<< 例2 a ，b ∈R ，下列命题中的真命题是( )A ．若a ＞b ，则｜a ｜＞｜b ｜B ．若a ＞b ，则b a 11<C ．若a ＞b ，则a3＞b3D ．若a ＞b ，则1>b a 【分析】关于选项A ．当a ＝－1，b ＝－2时，｜a ｜＞｜b ｜不成立．关于选项B ．当a ＞0，b ＜0时，不成立．ba 11< 关于选项C ．因为a ＞b ，根据不等式的性质a3＞b3，正确．关于选项D ．当b ＜0时，不成立．所以，选C ．1>b a【评析】判断不等关系的正误，其一要掌握判断的依据，依据相关的理论判断，切忌仅凭感觉进行判断；其二要掌握判断的方法．判断不等式的理论依据参看本节的知识要点，另外，后面专题讲到的函数的相关知识尤其是函数的单调性也是解决不等式问题的非常重要的方法．判断一个不等式是正确的，就应该给出一个合理的证明(或说明)，就像例1、例2对正确的选项判断那样．判断一个不等式是不正确的，应举出反例．例3 解下列不等式：(1)x2－x －1＞0；(2)x2－3x ＋2＞0；(3)2x2－3x ＋1≤0；(4)(5)｜2x －1｜＜3；(6);021>--x x .1212≤--x x 解：(1)方程x2－x －1＝0的两个根是结合函数y ＝x2－x －1的图象，可得不等式x2－x －1＞0的解集为251,21±=x x }.251251|{+>-<x x x 或 (2)不等式x2－3x ＋2＞0等价于(x －1)(x －2)＞0，易知方程(x －1)(x －2)＝0的两个根为x1＝1，x2＝2，结合函数y ＝x2－3x ＋2的图象，可得不等式x2－3x ＋2＞0的解集为{x ｜x ＜1或x ＞2}．(3)不等式2x2－3x ＋1≤0等价于(2x －1)(x －1)≤0，以下同(2)的解法，可得不等式的解集为}.121|{≤≤x x(4)等价于(x －1)(x －2)＞0，以下同(2)的解法，可得不等式的解集为{x ｜x ＜1或x ＞2}．021>--x x (5)不等式｜2x －1｜＜3等价于－3＜2x －1＜3，所以－2＜2x ＜4，即－1＜x ＜2，所以不等式｜2x －1｜＜3的解集为{x ｜－1≤x ＜2}．(6)不等式可以整理为1212≤--x x ,021≤-+x x ,021≤-+x x 等价于以下同(4)的解法，可得不等式的解集为{x ｜－1≤x ＜2}．.021021=-+<-+x x x x 或【评析】一元一次不等式、一元二次不等式的解法要熟练掌握．其他不等式的解法适当掌握．1．利用不等式的性质可以解一元一次不等式．2．解一元二次不等式要注意函数、方程、不等式三者之间的联系，通过研究与一元二次不等式相对应的一元二次方程的根的情况、进而结合相应的二次函数的图象就可以解决一元二次不等式解集的问题了．所以，解一元二次不等式的步骤为：计算二次不等式相应的方程的判别式；求出相应的一元二次方程的根(或根据判别式说明无根)；画出相应的二次函数的简图；根据简图写出二次不等式的解集．3、不等式与(x －a)(x －b)＞0同解；不等式与(x －a)(x －b)＜0同解；0>--bx a x 0<--b x a x 4*、不等式｜f(x)｜＜c 与－c ＜f(x)＜c 同解；不等式｜f(x)｜＞c 与“f(x)＞c 或f(x)＜－c ”同解．在解简单的分式不等式时要注意细节，例如(5)题关于“≤”号的处理．例4 解下列关于x 的不等式；(1)ax ＋3＜2；(2)x2－6ax ＋5a2≤0．解：(1)由ax ＋3＜2得ax ＜－1，当a ＝0时，不等式解集为；∅当a ＞0时，不等式解集为；}1|{ax x -<当a ＜0时，不等式解集为．}1|{a x x -> (2)x2－6ax ＋5a2≤0等价于不等式(x －a)(x －5a)≤0，当a ＝0时，不等式解集为{x ｜x ＝0}；当a ＞0时，不等式解集为{x ｜a ≤x ≤5a}；当a ＜0时，不等式解集为{x ｜5a ≤x ≤a}．【评析】含参数的不等式的解法与不含参数的不等式的解法、步骤是完全一致的．要注意的是，当进行到某一步骤具有不确定性时，需要进行分类讨论．如(2)的解决过程中，当解出方程(x －a)(x －5a)＝0的两根为x1＝a ，x2＝5a 之后，需要画出二次函数y ＝x2－6ax ＋5a2的草图，这时两根a 与5a 的大小不定，需要讨论，当分a ＝0，a ＞0，a ＜0三种情况之后，就可以在各自情况下确定a 与5a 的大小，画出二次函数y ＝x2－6ax ＋5a2的草图写出解集了．例5 已知a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，m ＜0．求证：⋅->-db mc a m 证明：方法一(作差比较)由已知b －a ＜0，c －d ＜0，又m ＜0，所以m[(b －a)＋(c －d)]＞0，因为a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，所以a －c ＞0，b －d ＞0，所以，所以0))(()]()[(>---+-d b c a d c a b m ⋅->->---db mc a md b m c a m 即,0 方法二因为c ＜d ＜0，所以c －d ＜0，又a ＞b ＞0，所以a －b ＞0，所以a －b ＞c －d ，所以a －c ＞b －d ＞0，所以，又因为m ＜0，所以d b c a -<-11⋅->-db mc a m 例6 已知a ＋b ＋c ＝0，a ＞b ＞c ，求证：(1)a ＞0；(2).2->a c证明：(1)假设a ≤0，因为a ＞b ＞c ，所以b ＜0，c ＜0．所以a ＋b ＋c ＜0，与a ＋b ＋c ＝0矛盾．(2)因为b ＝－a －c ，a ＞b ，所以，所以2a ＞－c ，又a ＞0，所以，所以a c ->2.2->a c 例7 已知a ，b ，c ∈(0，1)，求证：(1－a)b ，(1－b)c ，(1－c)a 中至少有一个不大于.41 证明：假设(1－a)b ，(1－b)c ，(1－c)a 均大于，41 即,41)1(,41)1(,41)1(>->->-a c c b b a 因为a ，b ，c ∈(0，1)，所以1－a ，1－b ，1－c ∈(0，1)，所以，同理(1－b)＋c ＞1，(1－c)＋a ＞1，1)1(2)1(>-≥+-b a b a所以(1－a)＋b ＋(1－b)＋c ＋(1－c)＋a ＞3，即0＞0，矛盾．所以(1－a)b ，(1－b)c ，(1－c)a 中至少有一个不大于．41 【评析】证明常用的方法有比较法、综合法、分析法与反证法等．证明不等式也是如此．1、例5中的方法一所用到的比较法从思维、书写的角度都较为容易，也相对易于把握，要熟练掌握．2、例5中的方法二所用到的综合法是一般证明题常用的方法，其书写方法简明、易读，但要注意的是，这样的题的思路常常是分析法．比如，例5中的方法二的思路我们可以认为是这样得到的：欲证只需证明m(b －d)＞m(a －c)(因为b －d ＞0，a －c ＞0)，即只需证明b －d ＜a －c ，即只需证明a －b ＞c －d ，,db mc a m ->- 而由已知a －b ＞0，c －d ＜0，所以可以循着这个思路按照相反的顺序书写．所以，在很多情况下，分析法更是思考问题的方法，而综合法更是一种书写方法．3、适合用反证法证明的常见的命题一般是非常显而易见的问题(如例6(1))、否定式的命题、存在性的命题、含至多至少等字样的命题(如例7)等等．证明的步骤一般是：(1)假设结论的反面是正确的；(2)推出矛盾的结论；(3)得出原来命题正确的结论．例8 根据图中图形及相应点的个数找规律，第8个图形相应的点数为______．【分析】第一个图有1行，每行有1＋2个点；第二个图有2行，每行有2＋2个点；第三个图有3行，每行有3＋2个点；……第八个图有8行，每行有8＋2个点，所以共有8×10＝80个点．答：80．练习1－3一、选择题1．若则下列各式正确的是( )011>>b a (A)a ＞b(B)a ＜b (C)a2＞b2 (D)2211b a < 2．已知a ，b 为非零实数，且a ＜b ，则下列命题成立的是( ) (A)a2＜b2 (B)a2b ＜ab2 (C) (D)b a ab 2211<b a a b < 3．已知A ＝{x ｜｜x ｜＜a}，B ＝{x ｜x ＞1}，且A ∩B ＝，则a 的取值范围是( )∅(A){a ｜a ≤1} (B){a ｜0≤a ≤1} (C){a ｜a ＜1} (D){a ｜0＜a ＜1}4．设集合M ＝{1，2，3，4，5，6}，S1，S2，…，Sk 都是M 的含有两个元素的子集，且满足：对任意的Si ＝{ai ，bi}、Sj ＝{aj ，bj}(i ≠j ，i ，j ∈{1，2，3，…，k})都有，(min{x ，y}表示两个数x ，y 中的较小者)，则k 的最大值是( )},min{},min{j j j j i i i i a b b a a bb a =/ (A)10 (B)11 (C)12 (D)13二、填空题5．已知数列{an}的第一项a1＝1，且，请计算出这个数列的前几项，并据此归纳出这个数列的通项公式an ＝______．),3,2,1(11 =+=+n a aa n n n6．不等式x2－5x ＋6＜0的解集为____________．7．设集合A ＝{x ∈R ｜｜x ｜＜4}，B ＝{x ∈R ｜x2－4x ＋3＞0}，则集合{x ∈R ｜x ∈A ，且xA ∩B}＝____________．∉8．设a ∈R 且a ≠0，给出下面4个式子：①a3＋1；②a2－2a ＋2；③；④a a 1+⋅+221aa 其中恒大于1的是______．(写出所有满足条件式子的序号)三、解答题9．解下列不等式：(1)2x2＋x ＞0；(2)x2＋3x ＋1＜0；(3)；(4)｜2－x ｜＜3；(5).032<-x x 21>-x x 10．已知a ＋b ＋c ＝0，求证：ab ＋bc ＋ca ≤0．11．解下列关于x 的不等式：(1)x2－2ax －3a2＜0；(2)ax2－x ＞0；习题1一、选择题1．命题“若x 是正数，则x ＝｜x ｜”的否命题是( )(A)若x 是正数，则x ≠｜x ｜ (B)若x 不是正数，则x ＝｜x ｜(C)若x 是负数，则x ≠｜x ｜ (D)若x 不是正数，则x ≠｜x ｜2．若集合M 、N 、P 是全集U 的子集，则图中阴影部分表示的集合是( )(A)(M ∩N)∪P (B)(M ∩N)∩P(C)(M ∩N)∪(UP) (D)(M ∩N)∩(UP)3．“”是“对任意的正数”的( )81=a 12,≥+xa x x(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件4．已知集合P ＝{1，4，9，16，25，…}，若定义运算“&”满足：“若a ∈P ，b ∈P ，则a&b ∈P ”，则运算“&”可以是( )(A)加法 (B)减法 (C)乘法 (D)除法5．已知a ，b ，c 满足c ＜b ＜a ，且ac ＜0，那么下列选项中不一定成立的是( )(A)ab ＞ac (B)c(b －a)＜0 (C)cb2＜ab2 (D)ac(a －c)＜0二、填空题6．若全集U ＝{0，1，2，3}且UA ＝{2}，则集合A ＝______．7．命题“x ∈A ，但xA ∪B ”的否定是____________．∃∉8．已知A ＝{－2，－1，0，1}，B ＝{y ｜y ＝｜x ｜，x ∈A}，则B ＝____________．9．已知集合A ＝{x ｜x2－3x ＋2＜0}，B ＝{x ｜x ＜a}，若AB ，则实数a 的取值范围是____________．10．设a ，b 是两个实数，给出下列条件：①a ＋b ＞1；②a ＋b ＝2；③a ＋b ＞2；④a2＋b2＞2；⑤ab ＞1，其中能推出“a ，b 中至少有一个大于1”的条件是______．(写出所有正确条件的序号)三、解答题11．解不等式.21<x12．若0＜a ＜b 且a ＋b ＝1．(1)求b 的取值范围；(2)试判断b 与a2＋b2的大小．13．设a ≠b ，解关于x 的不等式：a2x ＋b2(1－x)≥[ax ＋b(1－x)]2．14．设数集A 满足条件：①AR ；②0A 且1A ；③若a ∈A ，则⊆∉∉.11A a ∈- (1)若2∈A ，则A 中至少有多少个元素；(2)证明：A 中不可能只有一个元素．专题一集合、逻辑与不等式参考答案练习1－1一、选择题1．B 2．B 3．A 4．C提示：4．集合A 表示非负偶数集，集合B 表示能被4整除的自然数集，所以{正奇数}(UB)，从而U ＝A ∪(UB)．二、填空题5．{x ｜x ＜4} 6．4个 7．{x ｜－1＜x ＜2} 8．a1；2个(x 为a1或a3)．三、解答题9．(A ∩B)∪C ＝{1，2，3，4}10．分析：画如图所示的韦恩图：得A ＝{0，2，3，5，7}，B ＝{2，4，6，8}．11．答：①a ＜4；②a ≥－2；③－2≤a ＜4提示：画数轴分析，注意a 可否取到“临界值”．练习1－2一、选择题1．D 2．A 3．B 4．B二、填空题5．必要不充分条件 6．若｜x ｜≤1，则x ≥－1 7．充要条件 8．④ 提示：8．因为AB ，即对任意x ∈A ，有x ∈B ．根据逻辑知识知，AB ，即为④．⊆ 另外，也可以通过文氏图来判断．三、解答题9．答：(1)全称命题，真命题．(2)特称命题，真命题．(3)特称命题，真命题；(4)全称命题，真命题．10．略解：答：逆命题：若ab ＝0，则a2＋b2＝0；是假命题；例如a ＝0，b ＝1否命题：若a2＋b2≠0，则ab ≠0；是假命题；例如a ＝0，b ＝1逆否命题：若ab ≠0，则a2＋b2≠0；是真命题；因为若a2＋b2＝0，则a ＝b ＝0，所以ab ＝0，即原命题是真命题，所以其逆否命题为真命题．练习1－3一、选择题1．B 2．C 3．A 4．B二、填空题5． 6．{x ｜2＜x ＜3} 7．{x ∈R ｜1≤x ≤3｜ 8．④n1 三、解答题9．答：(1)；(2)；}210|{-<>x x x 或}253253|{+-<<--x x (3)；(4){x ｜－1＜x ＜5}；(5)．}230|{<<x x }310|{<<x x 10．证明：ab ＋bc ＋ca ＝b(a ＋c)＋ac ＝－(a ＋c)(a ＋c)＋ac ＝－a2－ac －c2所以ab ＋bc ＋ca ≤0．11．解：(1)原不等式(x ＋a)(x －3a)＜0．⇔分三种情况讨论：①当a ＜0时，解集为{x ｜3a ＜x ＜－a}；②当a ＝0时，原不等式x2＜0，解集为；⇔∅③当a ＞0时，解集为{x ｜－a ＜x ＜3a}．(2)不等式ax2－x ＞0x(ax －1)＞0．⇔分三种情况讨论：①当a ＝0时，原不等式－x ＞0，解集为{x ｜x ＜0}；⇔②当a ＞0时，x(ax －1)＞0x(x －)＞0，解集为；⇔a 1}10|{ax x x ><或 ③当a ＜0时，x(ax －1)＞0x(x －)＜0，解集为．⇔a 1}01|{<<x a x 习题1一、选择题1．D 2．D 3．A 4．C 5．C提示：5．A 正确．B 不正确．D ．正确．当b ≠0时，C 正确；当b ＝0时，C 不正确，∴C 不一定成立．二、填空题6．{0，1，3} 7．x ∈A ，x ∈A ∪B 8．{0，1，2} 9．{a ｜a ≥2} 10．③．∀ 提示：10、均可用举反例的方式说明①②④⑤不正确．对于③：若a 、b 均小于等于1．即，a ≤1，b ≤1，则a ＋b ≤2，与a ＋b ＞2矛盾，所以③正确．三、解答题11．解：不等式即21<x ,021,021<-<-xx x 所以，此不等式等价于x(2x －1)＞0，解得x ＜0或，012>-x x 21>x 所以，原不等式的解集为{x ｜x ＜0或}．21>x 12．解：(1)由a ＋b ＝1得a ＝1－b ，因为0＜a ＜b ，所以1－b ＞0且1－b ＜b ，所以.121<<b(2)a2＋b2－b ＝(1－b)2＋b2－b ＝2b2－3b ＋1＝⋅--81)43(22b 因为，所以121<<b ,081)43(22<--b即a2＋b2＜b ．13．解：原不等式化为(a2－b2)x ＋b2≥(a －b)2x2＋2b(a －b)x ＋b2，移项整理，得(a －b)2(x2－x)≤0．因为a ≠b ，故(a －b)2＞0，所以x2－x ≤0．故不等式的解集为{x ｜0≤x ≤1}．14．解：(1)若2∈A ，则.22111,21)1(11,1211A A A ∈=-∴∈=--∴∈-=- ∴A 中至少有－1，，2三个元素．21 (2)假设A 中只有一个元素，设这个元素为a ，由已知，则．即a2－a ＋1＝0，此方程无解，这与A 中有一个元素a 矛盾，所以A 中不可能只有一个元素．A a∈-11a a -=11专题二函数函数是中学数学中的重点内容，是描述变量之间依赖关系的重要数学模型．本章内容有两条主线：一是对函数性质作一般性的研究，二是研究几种具体的基本初等函数——一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数．研究函数的问题主要围绕以下几个方面：函数的概念，函数的图象与性质，函数的有关应用等．§2－1 函数【知识要点】要了解映射的概念，映射是学习、研究函数的基础，对函数概念、函数性质的深刻理解在很多情况下要借助映射这一概念．1、设A，B是两个非空集合，如果按照某种对应法则f，对A中的任意一个元素x，在B中有一个且仅有一个元素y与x对应，则称f是集合A到集合B的映射．记作f：A→B，其中x叫原象，y叫象．2、设集合A是一个非空的数集，对A中的任意数x，按照确定的法则f，都有唯一确定的数y与它对应，则这种映射叫做集合A上的一个函数．记作y＝f(x)，x∈A．其中x叫做自变量，自变量取值的范围(数集A)叫做这个函数的定义域．所有函数值构成的集合{y｜y＝f(x)，x∈A}叫做这个函数的值域．函数的值域由定义域与对应法则完全确定．3、函数是一种特殊的映射．其定义域和值域都是非空的数集，值域中的每一个元素都有原象．构成函数的三要素：定义域，值域和对应法则．其中定义域和对应法则是核心．【复习要求】1．了解映射的意义，对于给出对应关系的映射会求映射中指定元素的象与原象．2．能根据函数三要素判断两个函数是否为同一函数．3．掌握函数的三种表示法(列表法、图象法和解析法)，理解函数符号f(x)(对应法则)，能依据一定的条件求出函数的对应法则．4．理解定义域在三要素的地位，并会求定义域．【例题分析】例1 设集合A和B都是自然数集合N．映射f：A→B把集合A中的元素x映射到集合B中的元素2x＋x，则在映射f作用下，2的象是______；20的原象是______．【分析】由已知，在映射f作用下x的象为2x＋x．所以，2的象是22＋2＝6；设象20的原象为x，则x的象为20，即2x＋x＝20．由于x∈N，2x＋x随着x的增大而增大，又可以发现24＋4＝20，所以20的原象是4．例2 设函数则f(1)＝______；若f(0)＋f(a)＝－2，则a的所有可能值为______．⎩⎨⎧>++-≤-=,0,22,0,1)(2x x x x x x f 【分析】从映射的角度看，函数就是映射，函数解析式就是映射的法则．所以f(1)＝3．又f(0)＝－1，所以f(a)＝－1，当a ≤0时，由a －1＝－1得a ＝0；当a ＞0时，由－a2＋2a ＋2＝－1，即a2－2a －3＝0得a ＝3或a ＝－1(舍)．综上，a ＝0或a ＝3．例3 下列四组函数中，表示同一函数的是( )(A) (B)22)(,t y x y ==2|,|t y x y ==(C) (D)1,112+=--=x y x x y x x y x y 2,== 【分析】(A)(C)(D)中两个函数的定义域均不同，所以不是同一函数．(B)中两个函数的定义域相同，化简后为y ＝｜x ｜及y ＝｜t ｜，法则也相同，所以选(B)．【评析】判断两个函数是否为同一函数，就是要看两个函数的定义域与法则是否完全相同．一般有两个步骤：(1)在不对解析式进行变形的情况下求定义域，看定义域是否一致．(2)对解析式进行合理变形的情况下，看法则是否一致．例4 求下列函数的定义域(1)(2);11--=x y ;3212-+=x x y (3) (4);)1()3lg(0-+-=x xx y ;2|2|12---=x x y 解：(1)由｜x －1｜－1≥0，得｜x －1｜≥1，所以x －1≥1或x －1≤－1，所以x ≥2或x ≤0．所以，所求函数的定义域为{x ｜x ≥2或x ≤0}．。

2024年高考总复习优化设计一轮用书数学配人教A版(适用于新教材)课时规范练42

课时规范练42《素养分级练》P375基础巩固组1.(2023·江西上饶六校联考)若经过点P (-1,-2)的直线与圆x 2+y 2=5相切,则该直线在y 轴上的截距为( ) A.52B.5C.-52D.-5答案:C解析:∵(-1)2+(-2)2=5,∴点P 在圆上.设圆心为O ,则k OP =-2-1=2,则过点P 的切线的斜率k=-12, ∴切线方程为y+2=-12(x+1),令x=0,得y=-52.2.点G 在圆(x+2)2+y 2=2上运动,直线x-y-3=0分别与x 轴、y 轴交于M ,N 两点,则△MNG 面积的最大值是( ) A.10 B.232C.92D.212答案:D解析:易知点M (3,0),N (0,-3),则|MN|=√32+32=3√2.圆(x+2)2+y 2=2的圆心坐标为(-2,0),半径为√2,圆心到直线x-y-3=0的距离为√2=5√22,所以,点G 到直线x-y-3=0的距离的最大值为5√22+√2=7√22,所以,△MNG 面积的最大值是12×3√2×7√22=212. 3.(多选)已知直线l :x+y-√2=0与圆C :(x-1)2+(y+1)2=4,则( ) A.直线l 与圆C 相离 B.直线l 与圆C 相交C.圆C 上到直线l 的距离为1的点共有2个D.圆C 上到直线l 的距离为1的点共有3个答案:BD解析:由圆C :(x-1)2+(y+1)2=4,可知其圆心坐标为(1,-1),半径为2,圆心(1,-1)到直线l :x+y-√2=0的距离d=√2|√12+12=1,故B,D 正确,A,C 错误.故选BD .4.(2023·河北石家庄模拟)已知圆C :x 2+y 2+2ay=0(a>0)截直线√3x-y=0所得的弦长为2√3,则圆C 与圆C':(x-1)2+(y+1)2=1的位置关系是 ( )A.相离B.外切C.相交D.内切答案:C解析:圆C 的圆心为(0,-a ),半径为a ,其圆心到直线√3x-y=0的距离为√3+1=a 2,则2√a 2-(a 2) 2=√3a=2√3,解得a=2.所以C :x 2+(y+2)2=4,C 的圆心为(0,-2),半径为2.又C'的圆心为(1,-1),半径为1,|CC'|=√(0-1)2+(-2+1)2=√2,故可得2-1<|CC'|<2+1,所以两圆的位置关系是相交.5.已知圆O :x 2+y 2=1,点A (0,-2),B (a ,2),从点A 观察点B ,要使视线不被圆O 挡住,则实数a 的取值范围是( ) A.(-∞,-2)∪(2,+∞) B.-∞,-4√33∪4√33,+∞ C.-∞,2√33∪2√33,+∞D.-4√33,4√33答案:B解析:易知点B (a ,2)在直线y=2上.过点A (0,-2)作圆的切线,设切线的斜率为k ,则切线方程为y=kx-2,即kx-y-2=0,由d=|0-0-2|√1+k 2=1,得k=±√3,则切线方程为y=±√3x-2.切线和直线y=2的交点坐标分别为-4√33,2,4√33,2.故从点A 观察点B ,要使视线不被圆O 挡住,则实数a 的取值范围是-∞,-4√33∪4√33,+∞.6.(2022·山东聊城二模)已知点P 在圆O :x 2+y 2=4上,点A (-3,0),B (0,4),满足AP ⊥BP 的点P 的个数为( ) A.3 B.2 C.1 D.0答案:B解析:设点P (x ,y ), 则x 2+y 2=4,且AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x+3,y ),BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x ,y-4).由AP ⊥BP ,得AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =x (x+3)+y (y-4)=x 2+y 2+3x-4y=0,即x+322+(y-2)2=254,故点P 的轨迹为一个圆心为-32,2,半径为52的圆.则两圆的圆心距为52,半径和为52+2=92,半径差为52-2=12,有12<52<92,所以两圆相交,满足AP⊥BP的点P有2个.7.(2023·山东胜利一中模拟)已知圆C:x2+y2-4x=0,过点M(1,1)的直线截圆所得的弦长的最小值为.答案:2√2解析:圆C的标准方程为(x-2)2+y2=4,圆心为C(2,0),半径为r=2,|CM|=√(2-1)2+(0-1)2=√2,与CM垂直的弦的弦长为l=2√r2-|CM|2=2√4-2=2√2,即为所求弦长的最小值.8.过P(-2,-3)作圆(x-4)2+(y-2)2=9的两条切线,切点为A,B,则过A,B两点的直线方程为.答案:6x+5y-25=0解析:圆(x-4)2+(y-2)2=9的圆心为C(4,2),半径为3,以线段PC为直径的圆的方程为(x-1)2+y+122=614,将两圆的方程相减得公共弦AB的方程为6x+5y-25=0.综合提升组9.(2023·浙江杭州学军中学高三月考)已知在某滨海城市A附近的海面出现台风活动,据监测,目前台风中心位于城市A的东偏南60°方向,距城市A 300 km的海面点P处,并以20 km/h的速度向西偏北30°方向移动.已知该台风影响的范围是以台风中心为圆心的圆形区域,半径为100√3 km,则城市A受台风影响的时间为()A.5 hB.5√3 hC.52√3 h D.4 h答案:B解析:如图,AP=300 km,∠APB=30°,台风中心沿PB方向以20 km/h的速度移动,台风中心距离城市A的最短距离为AB=AP sin 30°=300×12=150(km).又以台风中心为圆心的圆形区域,半径为100√3 km,则台风中心在以城市A为圆心,半径为100√3 km的圆内时,城市A受台风影响.以城市A为圆心,半径为100√3 km的圆截直线PB所得弦长为2√(100√3)2-1502=100√3(km),则城市A受台风影响的时间为100√320=5√3(h).10.(2023·河南安阳模拟)已知圆C :(x-2)2+(y-6)2=4,M 为直线l :x-y+8=0上一个动点,过点M 作圆C 的两条切线,切点分别为A ,B ,则当四边形CAMB 周长取最小值时,四边形CAMB 的外接圆的方程为( ) A.(x-7)2+(y-1)2=4 B.(x-1)2+(y-7)2=4 C.(x-7)2+(y-1)2=2 D.(x-1)2+(y-7)2=2 答案:D解析:圆C :(x-2)2+(y-6)2=4的圆心C (2,6),半径r=2, 点C 到直线l 的距离d=√12+(-1)=2√2.依题意,CA ⊥AM ,四边形CAMB 的周长为2|CA|+2|AM|=4+2√|CM |2-|CA |2≥4+2√d 2-4=4+2√(2√2)2-4=8,当且仅当CM ⊥l 时,等号成立,此时直线CM :x+y-8=0. 由{x -y +8=0,x +y -8=0,得点M (0,8). 四边形CAMB 的外接圆圆心为线段CM 的中点(1,7),半径为√2,方程为(x-1)2+(y-7)2=2. 11.(2022·山东烟台三模)已知动点P 到点A (1,0)的距离是到点B (1,3)的距离的2倍,记点P 的轨迹为C ,直线y=kx+1交C 于M ,N 两点,Q (1,4).若△QMN 的面积为2,则实数k 的值为 . 答案:-7或1解析:设P (x ,y ),则有√(x -1)2+y 2=2√(x -1)2+(y -3)2,整理得(x-1)2+(y-4)2=4,即点P 的轨迹C 为以(1,4)为圆心,以2为半径的圆. 点Q (1,4)到直线y=kx+1的距离为√1+k 2=√1+k 2,直线y=kx+1交C 于M ,N 两点,则|MN|=2√4-(√1+k2) 2,则△QMN 的面积S=12×2√4-(√1+k2) 2 √1+k 2=2,解得k=-7或k=1.创新应用组12.(2022·新高考Ⅰ,14)写出与圆x 2+y 2=1 和(x-3)2+(y-4)2=16都相切的一条直线的方程: .答案:x=-1或y=-34x+54,或y=724x-2524解析:在平面直角坐标系中,画出圆x 2+y 2=1和圆(x-3)2+(y-4)2=16.设点O (0,0),O 1(3,4),由图得两圆外切,则☉O 与☉O 1有两条外公切线和一条内公切线,易得其中一条外公切线l 的方程为x=-1.由图可知,内公切线l 1与另一条外公切线l 2的斜率均存在.∵l 1与直线OO 1垂直,直线OO 1的斜率k OO 1=43,∴直线l 1的斜率k l 1=-34,直线OO 1的方程为y=43x. 可设直线l 1的方程为y=-34x+b (b>0). 又圆心O 到直线l 1的距离d 1=√(-4)2+1=1,解得b=54(负值舍去).故内公切线l 1的方程为y=-34x+54.由{y =43x ,x =-1,得直线l 与直线OO 1的交点为A (-1,-43). 则可设直线l 2的方程为y+43=k (x+1). 又圆心O 到直线l 2的距离d 2=|k -43|√k 2+1=1,解得k=724,故直线l 2的方程为y=724x-2524.由上可知,与圆x 2+y 2=1和(x-3)2+(y-4)2=16都相切的直线的方程为x=-1,或y=-34x+54,或y=724x-2524.。

2024年高考总复习优化设计一轮用书数学配人教A版(适用于新教材)课时规范练40

课时规范练40《素养分级练》P374基础巩固组1.(2023·山东青岛模拟)设集合A={(x ,y )|y=2x-3},B={(x ,y )|4x-2y+5=0},则A ∩B= ( )A.⌀B.{(118,14)} C.{(18,-114)} D.{(-18,-134)} 答案:A解析:由直线4x-2y+5=0,得y=2x+52.因为直线y=2x+52与直线y=2x-3的斜率相等,截距不相等,所以两直线相互平行,故A ∩B=⌀. 2.(2023·江苏无锡高三检测)在平面直角坐标系xOy 中,点(0,4)关于直线x-y+1=0的对称点为( ) A.(-1,2) B.(2,-1) C.(1,3) D.(3,1)答案:D解析:设点(0,4)关于直线x-y+1=0的对称点是(a ,b ),则{a 2-b+42+1=0,b -4a=-1,解得{a =3,b =1.3.(多选)(2023·山东青岛高三开学考试)已知直线l 1:4x-3y+4=0,l 2:(m+2)x-(m+1)y+2m+5=0(m ∈R ),则( )A.直线l 2过定点(-3,-1)B.当m=1时,l 1⊥l 2C.当m=2时,l 1∥l 2D.当l 1∥l 2时,两直线l 1,l 2之间的距离为1 答案:ACD解析:对于A,l 2:(m+2)x-(m+1)y+2m+5=0(m ∈R )变形为m (x-y+2)+2x-y+5=0,令{x -y +2=0,2x -y +5=0,则{x =-3,y =-1,因此直线l 2过定点(-3,-1),故A 正确;对于B,当m=1时,l 1:4x-3y+4=0,l 2:3x-2y+7=0,4×3+(-3)×(-2)≠0,故两直线不垂直,故B 错误;对于C,当m=2时,l 1:4x-3y+4=0,l 2:4x-3y+9=0,44=-3-3≠94,故两直线平行,故C 正确;对于D,当l 1∥l 2时,则满足m+24=-(m+1)-3≠2m+54⇒m=2,此时l 1:4x-3y+4=0,l 2:4x-3y+9=0,则两直线间的距离为√42+(-3)=1,故D 正确.故选ACD .4.已知A (4,0),B (0,4),从点P (2,0)射出的光线经直线AB 反射后,再射到直线OB 上,最后经直线OB 反射后又回到P 点,则光线所经过的路程是( ) A.3√3 B.6 C.2√10 D.2√5答案:C解析:由题意直线AB 的方程为x+y=4,设P 关于直线AB 的对称点Q (a ,b ),则{ba -2=1,a+22+b2=4,解得{a =4,b =2,即Q (4,2).又P 关于y 轴的对称点为T (-2,0),所以光线所经过的路程为|QT|=√(-2-4)2+(0-2)2=2√10.5.(2023·福建福州高三检测)若直线ax+2y+1=0与直线x cos 2π3+y-1=0互相垂直,则a= . 答案:4解析:由题意得a2·cos 2π3=-1,解得a=4.6.已知直线l 过点P (-1,2),且点A (2,3),B (-4,5)到直线l 的距离相等,则直线l 的方程为 . 答案:x+3y-5=0或x=-1解析:(方法1)当直线l 的斜率存在时,设直线l 的方程为y-2=k (x+1),即kx-y+k+2=0.由题意知√k 2+1=√k 2+1,即|3k-1|=|-3k-3|,解得k=-13,所以直线l 的方程为y-2=-13(x+1),即x+3y-5=0.当直线l 的斜率不存在时,直线l 的方程为x=-1,符合题意.故所求直线l 的方程为x+3y-5=0或x=-1.(方法2)当AB ∥l 时,直线l 的斜率k=k AB =-13,则直线l 的方程为y-2=-13(x+1),即x+3y-5=0.当直线l 过AB 的中点(-1,4)时,直线l 的方程为x=-1.故所求直线l 的方程为x+3y-5=0或x=-1.综合提升组7.(2023·湖北武汉模拟)某菱形的一组对边所在的直线方程分别为x+2y+1=0和x+2y+3=0,另一组对边所在的直线方程分别为3x-4y+c 1=0和3x-4y+c 2=0,则|c 1-c 2|=( ) A.2√3 B.2√5 C.2 D.4答案:B解析:设直线x+2y+1=0与直线3x-4y+c 2=0的交点为A ,联立{x +2y +1=0,3x -4y +c 2=0,解得{x =-c 2+25,y =c 2-310,故A -c 2+25,c 2-310.同理,设直线x+2y+1=0与直线3x-4y+c 1=0的交点为B ,则B -c 1+25,c 1-310,设直线x+2y+3=0与直线3x-4y+c 1=0的交点为C ,则C -c 1+65,c 1-910,设直线x+2y+3=0与直线3x-4y+c 2=0的交点为D ,则D -c 2+65,c 2-910.由菱形的性质可知AC ⊥BD ,且AC ,BD 的斜率均存在,所以k AC ·k BD =-1,则c 2-310-c 1-910-c 2+25+c 1+65·c 1-310-c 2-910-c 1+25+c 2+65=-1,即36-(c 2-c 1)24[16-(c 2-c 1)2]=-1,解得|c 1-c 2|=2√5.8.(2023·河北大名高三检测)已知点P (-2,2),直线l :(λ+2)x-(λ+1)y-4λ-6=0,则点P 到直线l 的距离的取值范围为 . 答案:[0,4√2)解析:把直线l :(λ+2)x-(λ+1)y-4λ-6=0化为(2x-y-6)+λ(x-y-4)=0,联立{2x -y -6=0,x -y -4=0,解得{x =2,y =-2,即直线l 过定点M (2,-2).又k PM =-2-22-(-2)=-1,且λ+2λ+1×(-1)≠-1,所以直线PM 与l 不垂直,所以点P 到直线l 的距离的最大值小于|PM|=√(2+2)2+(-2-2)2=4√2,即点P 到直线l 的距离的取值范围为[0,4√2).9.(2023·四川成都七中高三检测)已知△ABC 的顶点B (5,1),AB 边上的高所在的直线方程为x-2y-5=0.(1)求直线AB 的方程.(2)在①②两个条件中任选一个,补充在下面问题中,并解答. ①角A 的平分线所在直线方程为x+2y-13=0; ②BC 边上的中线所在的直线方程为2x-y-5=0.,求直线AC 的方程.解:(1)因为AB 边上的高所在的直线方程为x-2y-5=0,所以直线AB 的斜率为k=-2. 又因为△ABC 的顶点B (5,1),所以直线AB 的方程为y-1=-2(x-5),即2x+y-11=0.(2)若选①:角A 的平分线所在直线方程为x+2y-13=0, 由{2x +y -11=0,x +2y -13=0,解得{x =3,y =5,所以点A (3,5).设点B 关于x+2y-13=0的对称点B'(x 0,y 0),则{y 0-1x 0-5×(-12)=-1,x 0+52+2×y 0+12-13=0,解得{x 0=375,y 0=295,所以B'375,295.又点B'375,295在直线AC 上,所以k AC =5-2953-375=211.所以直线AC 的方程为y-5=211(x-3),即2x-11y+49=0. 若选②:BC 边上的中线所在的直线方程为2x-y-5=0, 由{2x +y -11=0,2x -y -5=0,解得{x =4,y =3,所以点A (4,3).设点C (x 1,y 1),则BC 的中点在直线2x-y-5=0上,所以2×5+x 12−1+y 12-5=0,即2x 1-y 1-1=0,所以点C 在直线2x-y-1=0上.又点C 在直线x-2y-5=0上,由{x -2y -5=0,2x -y -1=0,解得{x =-1,y =-3,即C (-1,-3),所以k AC =-3-3-1-4=65.所以直线AC 的方程为y-3=65(x-4),即6x-5y-9=0.创新应用组10.数学家欧拉在1765年提出定理:三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上,这条直线被后人称之为三角形的欧拉线.已知△ABC 的顶点A (2,0),B (0,4),C (-4,0),则其欧拉线方程为 . 答案:x-y+2=0解析:设△ABC 的重心为G ,垂心为H ,由重心坐标公式得x=2+0+(-4)3=-23,y=0+4+03=43,所以G -23,43.由题,△ABC 的边AC 上的高线所在直线方程为x=0,直线BC :y=x+4,A (2,0),所以△ABC 的边BC上的高线所在直线方程为y=-x+2,联立{x =0,y =-x +2⇒H (0,2).所以欧拉线GH 的方程为y-2=2-430-(-23)x ,即x-y+2=0.。

【走向高考】(2013春季发行)高三数学第一轮总复习 4-3三角函数的图象与性质新人教A版

4-3三角函数的图象与性质基础巩固强化1.(文)(2011·大纲全国卷理)设函数f (x )＝cos ωx (ω>0)，将y ＝f (x )的图象向右平移π3个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于( ) A.13 B ．3 C ．6 D ．9[答案] C[解析] 由题意知，π3＝2πω·k (k ∈Z )，∴ω＝6k ，令k ＝1，∴ω＝6.(理)(2012·浙江诸暨质检)函数f (x )＝sin2x ＋3cos2x 的图象可以由函数y ＝2sin2x 的图象经哪种平移得到( )A ．向左平移π12个单位B ．向左平移π6个单位C ．向右平移π12个单位D ．向右平移π6个单位[答案] B[解析] ∵f (x )＝sin2x ＋3cos2x ＝2sin(2x ＋π3＝2sin2(x ＋π6)，∴f (x )的图象可以由函数y ＝2sin2x 向左平移π6个单位得到，故应选B.2．(文)(2012·福建文，8)函数f (x )＝sin(x －π4)的图象的一条对称轴是( ) A ．x ＝π4B ．x ＝π2 C ．x ＝－π4D ．x ＝－π2[答案] C[解析] 本题考查了正弦型函数图象的对称轴问题．函数f (x )＝sin(x －π4)的图象的对称轴是 x －π4＝k π＋π2，k ∈Z ，即x ＝k π＋3π4，k ∈Z . 当k ＝－1时，x ＝－π＋3π4＝－π4.[点评] 正弦(余弦)型函数图象的对称轴过图象的最高点或最低点． (理)(2011·海淀模拟)函数f (x )＝sin(2x ＋π3)图象的对称轴方程可以为( ) A ．x ＝π12 B ．x ＝5π12 C ．x ＝π3D ．x ＝π6[答案] A [解析] 令2x ＋π3＝k π＋π2得x ＝k π2＋π12，k ∈Z ，令k ＝0得x ＝π12，故选A.[点评] f (x )＝sin(2x ＋π3)的图象的对称轴过最高点将选项代入检验，∵2×π12＋π3＝π2，∴选A. 3．(文)(2011·唐山模拟)函数y ＝sin(2x ＋π6)的一个递减区间为( ) A ．(π6，2π3) B ．(－π3，π6) C ．(－π2，π2) D ．(π2，3π2)[答案] A [解析] 由2k π＋π2≤2x ＋π6≤2k π＋3π2得， k π＋π6≤x ≤k π＋2π3(k ∈Z )，令k ＝0得，π6≤x ≤2π3，故选A.(理)(2012·新课标全国理，9)已知ω>0，函数f (x )＝sin(ωx ＋π4)在(π2，π)上单调递减，则ω的取值范围是( )A ．[12，54]B ．[12，34]C ．(0，12]D ．(0,2][答案] A[解析] 本题考查了三角函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质及间接法解题．ω＝2⇒ωx ＋π4∈[5π4，9π4]不合题意，排除D ，ω＝1⇒(ωx ＋π4)∈[3π4，5π4]合题意，排除B ，C.4．(2011·大连模拟)已知函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间[－π3，π4]上的最小值是－2，则ω的最小值为( )A.23 B.32 C ．2 D ．3[答案] B[解析] ∵f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间[－π3，π4]上的最小值为－2，∴T 4≤π3，即π2ω≤π3， ∴ω≥32，即ω的最小值为32.5．(文)(2011·吉林一中月考)函数y ＝sin(ωx ＋φ)(x ∈R ，ω>0,0≤φ<2π)的部分图象如图，则( )A ．ω＝π2，φ＝π4 B ．ω＝π3，φ＝π6 C ．ω＝π4，φ＝π4 D ．ω＝π4，φ＝5π4[答案] C[解析] ∵T 4＝3－1＝2，∴T ＝8，∴ω＝2πT ＝π4.令π4×1＋φ＝π2，得φ＝π4，∴选C. (理)函数y ＝xsin xx ∈(－π，0)∪(0，π)的图象可能是下列图象中的( )[答案] C[解析] 依题意，函数y ＝xsin x，x ∈(－π，0)∪(0，π)为偶函数，排除A ，当x ∈(0，π)时，直线y ＝x 的图象在y ＝sin x 上方，所以y ＝xsin x>1，故选C.6．(文)(2011·课标全国文)设函数f (x )＝sin(2x ＋π4)＋cos(2x ＋π4)，则( ) A ．y ＝f (x )在(0，π2)单调递增，其图象关于直线x ＝π4对称 B ．y ＝f (x )在(0，π2)单调递增，其图象关于直线x ＝π2对称 C ．y ＝f (x )在(0，π2)单调递减，其图象关于直线x ＝π4对称 D ．y ＝f (x )在(0，π2)单调递减，其图象关于直线x ＝π2对称 [答案] D[解析] f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝2cos2x . 则函数在⎝⎛⎫0，π2单调递减，其图象关于直线x ＝π2对称． (理)(2011·河南五校联考)给出下列命题：①函数y ＝cos(23x ＋π2)是奇函数；②存在实数α，使得sin α＋cos α＝32；③若α、β是第一象限角且α<β，则tan α<tan β；④x ＝π8y ＝sin(2x ＋5π4)的一条对称轴方程；⑤函数y ＝sin(2x ＋π3)的图象关于点(π12，0)成中心对称图形．其中正确命题的序号为( ) A ．①③ B ．②④ C ．①④ D ．④⑤[答案] C[解析] ①y ＝cos(23x ＋π2)⇒y ＝－sin 23x 是奇函数；②由sin α＋cos α＝2sin(α＋π4)的最大值为2<32，所以不存在实数α，使得sin α＋cos α＝32；③α，β是第一象限角且α<β.例如：45°<30°＋360°，但tan45°>tan(30°＋360°)，即tan α<tan β不成立； ④把x ＝π8代入y ＝sin(2x ＋5π4)得y ＝sin 3π2＝－1，所以x ＝π8是函数y ＝sin(2x ＋5π4)的一条对称轴； ⑤把x ＝π12代入y ＝sin(2x ＋π3)得y ＝sin π2＝1，所以点(π12，0)不是函数y ＝sin(2x ＋π3)的对称中心．综上所述，只有①④正确．[点评] 作为选择题，判断①成立后排除B 、D ，再判断③(或④)即可下结论． 7．(文)函数y ＝cos x 的定义域为[a ，b ]，值域为[－12，1]，则b －a 的最小值为________．[答案]2π3[解析] cos x ＝－12时，x ＝2k π＋2π3或x ＝2k π＋4π3，k ∈Z ，cos x ＝1时，x ＝2k π，k ∈Z .由图象观察知，b －a 的最小值为2π3.(理)(2011·江苏南通一模)函数f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx (x ∈R )，又f (α)＝－2，f (β)＝0，且|α－β|的最小值等于π2，则正数ω的值为________．[答案] 1[解析] f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx ＝2sin(ωx ＋π3)，由f (α)＝－2，f (β)＝0，且|α－β|的最小值等于π2可知，T 4＝π2，T ＝2π，所以ω＝1.8．已知关于x 的方程2sin 2x －3sin2x ＋m －1＝0在x ∈(π2，π)上有两个不同的实数根，则m 的取值范围是________．[答案] －2<m <－1[解析] m ＝1－2sin 2x ＋3sin2x ＝cos2x ＋3sin2x ＝2sin(2x ＋π6)， ∵x ∈(π2，π)时，原方程有两个不同的实数根， ∴直线y ＝m 与曲线y ＝2sin(2x ＋π6)，x ∈(π2，π)有两个不同的交点，∴－2<m <－1.9．(2011·济南调研)设函数y ＝2sin(2x ＋π3)的图象关于点P (x 0,0)成中心对称，若x 0∈[－π2，0]，则x 0＝________. [答案] －π6[解析] ∵函数y ＝2sin(2x ＋π3)的对称中心是函数图象与x 轴的交点，∴2sin(2x 0＋π3)＝0， ∵x 0∈[－π2，0]∴x 0＝－π6.10．(文)(2011·北京文)已知函数f(x)＝4cos x sin(x＋π6)－1.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间[－π6，π4]上的最大值和最小值．[解析] (1)因为f(x)＝4cos x sin(x＋π6)－1＝4cos x(32sin x＋12cos x)－1＝3sin2x＋2cos2x－1＝3sin2x＋cos2x＝2sin(2x＋π6 )．所以f(x)的最小正周期为π.(2)因为－π6≤x≤π4，所以－π6≤2x＋π6≤2π3.于是，当2x＋π6＝π2，即x＝π6时，f(x)取得最大值2；当2x＋π6＝－π6，即x＝－π6时，f(x)取得最小值－1.(理)(2011·天津南开中学月考)已知a＝(sin x，－cos x)，b＝(cos x，3cos x)，函数f(x)＝a·b＋32.(1)求f(x)的最小正周期，并求其图象对称中心的坐标；(2)当0≤x≤π2时，求函数f(x)的值域．[解析] (1)f(x)＝sin x cos x－3cos2x＋3 2＝12sin2x－32(cos2x＋1)＋32＝12sin2x－32cos2x＝sin(2x－π3)，所以f(x)的最小正周期为π.令sin(2x－π3)＝0，得2x－π3＝kπ，∴x＝kπ2＋π6，k∈Z.故所求对称中心的坐标为(kπ2＋π6，0)(k∈Z)．(2)∵0≤x ≤π2，∴－π3≤2x －π3≤2π3. ∴－32x －π3)≤1，即f (x )的值域为[－32，1]. 能力拓展提升11.(文)(2011·苏州模拟)函数y ＝sin x ·|cos x sin xx <π)的图象大致是( )[答案] B[解析] y ＝sin x ·|cos xsin x|＝⎩⎪⎨⎪⎧cos x ，0<x <π20，x ＝π2－cos x ，π2<x <π.(理)(2011·辽宁文)已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)，y ＝f (x )的部分图象如图，则f (π24)＝( )A．2＋ 3 B. 3C.33D．2－ 3[答案] B[解析] 由图可知：T＝2×(38π－π8)＝π2，∴ω＝πT＝2，又∵图象过点(38π，0)，∴A·tan(2×38π＋φ)＝A·tan(34π＋φ)＝0，∴φ＝π4.又∵图象还过点(0,1)，∴A tan(2×0＋π4＝A＝1，∴f(x)＝tan(2x＋π4 )，∴f(π24)＝tan(2×π24＋π4)＝tan(π12＋π4)＝tanπ3＝ 3.12．(文)为了使函数y＝cosωx(ω>0)在区间[0,1]上至多出现50次最小值，则ω的最大值是( )A ．98π B.1972C ．99πD ．100π[答案] C[解析] 由题意至多出现50次最小值即至多需用4912个周期，∴992·2πω≥1，∴ω≤99π，故选C.(理)有一种波，其波形为函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2的图象，若在区间[0，t ](t >0)上至少有2个波谷(图象的最低点)，则正整数t 的最小值是( )A ．5B ．6C ．7D ．8 [答案] C[解析] ∵y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2x 的图象在[0，t ]上至少有2个波谷，函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2x 的周期T＝4，∴t ≥74T ＝7，故选C.13．(文)(2011·南昌调研)设函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，φ∈(－π2，π2))的最小正周期为π，且其图象关于直线x ＝π12对称，则在下面四个结论中：①图象关于点(π4，0)对称； ②图象关于点(π3，0)对称； ③在[0，π6上是增函数； ④在[－π6，0]上是增函数中，所有正确结论的编号为________． [答案] ②④[解析] 由最小正周期为π得，2πω＝π，∴ω＝2；再由图象关于直线x ＝π12对称，∴2×π12＋φ＝π2，∴φ＝π3， ∴f (x )＝sin(2x ＋π3)，当x ＝π4时，f (π4)＝12≠0，故①错；当x ＝π3时，f (π3)＝0，故②正确；由2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2 (k ∈Z )得，k π－5π12≤x ≤k π＋π12，令k ＝0得，－5π12≤x ≤π12，故③错，④正确，∴正确结论为②④.(理)(2011·南京模拟)已知函数f (x )＝x sin x ，现有下列命题：①函数f (x )是偶函数；②函数f (x )的最小正周期是2π；③点(π，0)是函数f (x )的图象的一个对称中心；④函数f (x )在区间[0，π2]上单调递增，在区间[－π2，0]上单调递减．其中真命题是________(写出所有真命题的序号)． [答案] ①④[解析] ∵y ＝x 与y ＝sin x 均为奇函数，∴f (x )为偶函数，故①真；∵f (π2)＝π2，f (π2＋2π)＝π2＋2π≠π2， ∴②假；∵f (π2)＝π2，f (3π2)＝－3π2，π2＋3π2＝2π，π2＋(－3π2)≠0，∴③假；设0≤x 1<x 2≤π2，则f x 1f x 2＝x 1x 2·sin x 1sin x 2<1，∴f (x 1)<f (x 2)(f (x 2)>0)，∴f (x )在[0，π2]上为增函数，又∵f (x )为偶函数，∴f (x )在[－π2，0]上为减函数，∴④真． 14．函数f (x )＝2a cos 2x ＋b sin x cos x 满足：f (0)＝2，f (π3)＝12＋32.(1)求函数f (x )的最大值和最小值；(2)若α、β∈(0，π)，f (α)＝f (β)，且α≠β，求tan(α＋β)的值．[解析] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧f 0＝2，f π3＝12＋32，得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝2，12a ＋34b ＝12＋32.解得a ＝1，b ＝2，∴f (x )＝sin2x ＋cos2x ＋1＝2sin(2x ＋π4)＋1， ∵－1≤sin(2x ＋π4)≤1， ∴f (x )max ＝2＋1，f (x )min ＝1－ 2. (2)由f (α)＝f (β)得，sin(2α＋π4＝sin(2β＋π4)．∵2α＋π4、2β＋π4∈(π4，9π4)，且α≠β， ∴2α＋π4＝π－(2β＋π4)或2α＋π4＝3π－(2β＋π4)， ∴α＋β＝π4或α＋β＝5π4，故tan(α＋β)＝1. 15．(文)(2011·长沙一中月考)已知f (x )＝sin x ＋sin(π2－x )． (1)若α∈[0，π]，且sin2α＝13，求f (α)的值；(2)若x ∈[0，π]，求f (x )的单调递增区间． [解析] (1)由题设知f (α)＝sin α＋cos α. ∵sin2α＝13＝2sin α·cos α>0，α∈[0，π]，∴α∈(0，π2)，sin α＋cos α>0. 由(sin α＋cos α)2＝1＋2sin α·cos α＝43，得sin α＋cos α＝233，∴f (α)＝233. (2)由(1)知f (x )＝2sin(x ＋π4)，又0≤x ≤π， ∴f (x )的单调递增区间为[0，π4]． (理)在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，向量m ＝(b,2a －c )，n ＝(cos B ，cos C )，且m ∥n .(1)求角B 的大小；(2)设f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx －B 2＋sin ωx (ω>0)，且f (x )的最小正周期为π，求f (x )在区间[0，π2]上的最大值和最小值． [解析] (1)由m ∥n 得，b cos C ＝(2a －c )cos B ， ∴b cos C ＋c cos B ＝2a cos B .由正弦定理得，sin B cos C ＋sin C cos B ＝2sin A cos B ，即sin(B ＋C )＝2sin A cos B .又B ＋C ＝π－A ，∴sin A ＝2sin A cos B .又sin A ≠0，∴cos B ＝12.又B ∈(0，π)，∴B ＝π3.(2)由题知f (x )＝cos(ωx －π6)＋sin ωx ＝32cos ωx ＋32sin ωx ＝3sin(ωx ＋π6)，由已知得2πω＝π，∴ω＝2，f (x )＝3sin(2x ＋π6)，当x ∈[0，π2]时，(2x ＋π6)∈[π6，7π6]， sin(2x ＋π6∈[－12，1]．因此，当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，f (x )取得最大值 3. 当2x ＋π6＝7π6，即x ＝π2时，f (x )取得最小值－32. 16．(文)(2011·福建四地六校联考)已知函数f (x )＝－1＋23sin x cos x ＋2cos 2x . (1)求f (x )的单调递减区间；(2)求f (x )图象上与原点最近的对称中心的坐标；(3)若角α，β的终边不共线，且f (α)＝f (β)，求tan(α＋β)的值． [解析] f (x )＝3sin2x ＋cos2x ＝2sin(2x ＋π6， (1)由2k π＋π2≤2x ＋π6≤2k π＋3π2k ∈Z ) 得k π＋π6≤x ≤k π＋2π3(k ∈Z )， ∴f (x )的单调减区间为[k π＋π6，k π＋2π3](k ∈Z )． (2)由sin(2x ＋π6＝0得2x ＋π6＝k π(k ∈Z )，即x ＝k π2－π12(k ∈Z )， ∴f (x )图象上与原点最近的对称中心坐标是(－π12，0)． (3)由f (α)＝f (β)得： 2sin(2α＋π6)＝2sin(2β＋π6)，又∵角α与β的终边不共线， ∴(2α＋π6＋(2β＋π6)＝2k π＋π(k ∈Z )，即α＋β＝k π＋π3(k ∈Z )，∴tan(α＋β)＝ 3. (理)(2011·浙江文)已知函数f (x )＝A sin(π3＋φ)，x ∈R ，A >0,0<φ<π2.y ＝f (x )的部分图象如图所示，P 、Q 分别为该图象的最高点和最低点，点P 的坐标为(1，A )．(1)求f (x )的最小正周期及φ的值；(2)若点R 的坐标为(1,0)，∠PRQ ＝2π3，求A 的值．[解析] (1)由题意得，T ＝2ππ3＝6，因为P (1，A )在y ＝A sin(π3x ＋φ)的图象上，所以sin(π3＋φ)＝1. 又因为0<φ<π2，所以φ＝π6. (2)设点Q 的坐标为(x 0，－A )，由题意可知π3x 0＋π6＝3π2，得x 0＝4，所以Q (4，－A )．连接PQ ，在△PRQ 中，∠PRQ ＝23π，由余弦定理得，cos ∠PRQ ＝RP 2＋RQ 2－PQ 22RP ·RQ ＝A 2＋9＋A 2－9＋4A 22A ·9＋A 2＝－12，解得A 2＝3 又A >0，所以A ＝ 3.1．(2012·河北郑口中学模拟)已知函数f (x )＝A sin(x ＋φ)(A >0，－π2<φ<0)在x ＝5π6处取得最大值，则f (x )在[－π，0]上的单调增区间是( )A ．[－π，－5π6] B ．[－5π6，－π6] C ．[－π3，0] D ．[－π6，0] [答案] D[解析] ∵f (x )＝A sin(x ＋φ)在x ＝5π6处取得最大值，A >0，－π2<φ<0，∴φ＝－π3，∴f (x )＝A sin(x －π3)，由2k π－π2≤x －π3≤2k π＋π2(k ∈Z )得2k π－π6≤x ≤2k π＋5π6，令k ＝0得－π6≤x ≤0，故选D.2．(2011·长沙二模)若将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω>0)的图象向右平移π4个单位长度后，与函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3的图象重合，则ω的最小值为( ) A ．1 B ．2 C.112D.233[答案] D[解析] y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝⎛⎭⎫x －π4＋π4＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3，∴π4－π4ω＋2k π＝π3，∴ω＝8k －13(k ∈Z )，又∵ω>0，∴ωmin ＝233.3．(2011·北京大兴区模拟)已知函数f (x )＝3sinπxR图象上相邻的一个最大值点与一个最小值点恰好都在圆x 2＋y 2＝R 2上，则f (x )的最小正周期为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 [答案] D[解析] f (x )的周期T ＝2ππR＝2R ，f (x )的最大值是3，结合图形分析知R >3，则2R >23>3，只有2R ＝4这一种可能，故选D.4．(2012·河北保定模拟)已知向量a ＝(cos θ，sin θ)与b ＝(cos θ，－sin θ)互相垂直，且θ为锐角，则函数f (x )＝sin(2x －θ)的图象的一条对称轴是直线( )A ．x ＝πB ．x ＝7π8 C ．x ＝π4D ．x ＝π2[答案] B[解析] a ·b ＝cos 2θ－sin 2θ＝cos2θ＝0， ∵θ为锐角，∴θ＝π4，∴f (x )＝sin(2x －π4)．由2x －π4＝k π＋π2得，x ＝k π2＋3π8令k ＝1得x ＝7π8 B.5.(2011·北京西城模拟)函数y ＝sin(πx ＋φ)(φ>0)的部分图象如图所示，设P 是图象的最高点，A ，B 是图象与x 轴的交点，则tan ∠APB ＝( )A ．10B ．8 C.87 D.47[答案] B[分析] 利用正弦函数的周期、最值等性质求解．[解析] 如图，过P 作PC ⊥x 轴，垂足为C ，设∠APC ＝α，∠BPC ＝β，∴∠APB ＝α＋β，y ＝sin(πx ＋φ)，T ＝2ππ＝2，tan α＝AC PC ＝121＝12，tan β＝BC PC ＝321＝32，则tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan α·tan β＝12＋321－12×32＝8，∴选B.6．对任意x 1，x 2∈⎝⎛⎭⎫0，π2，x 2>x 1，y 1＝1＋sin x 1x 1，y 2＝1＋sin x 2x 2，则( ) A ．y 1＝y 2 B ．y 1>y 2 C ．y 1<y 2D ．y 1，y 2的大小关系不能确定 [答案] B[解析] 取函数y ＝1＋sin x ，则1＋sin x 1x 1的几何意义为过原点及点(x 1,1＋sin x 1)的直线斜率，1＋sin x 2x 2的几何意义为过原点及点(x 2,1＋sin x 2)的直线斜率，由x 1<x 2，观察函数y ＝1＋sin x 的图象可得y 1>y 2.选B.7．(2011·菏泽模拟)对于函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，sin x ≤cos xcos x ，sin x >cos x ，给出下列四个命题：①该函数是以π为最小正周期的周期函数；②当且仅当x ＝π＋k π(k ∈Z )时，该函数取得最小值是－1； ③该函数的图象关于直线x ＝5π4＋2k π(k ∈Z )对称； ④当且仅当2k π<x <π2＋2k π(k ∈Z )时，0<f (x )≤22其中正确命题的序号是________(请将所有正确命题的序号都填上) [答案] ③④[解析] 画出函数f (x )的图象，易知③④正确． 8．已知函数f (x )＝3sin(2x －π6)＋2sin 2(x －π12)(x ∈R )． (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求使函数f (x )取得最大值的x 的集合． [解析] (1)f (x )＝3sin(2x －π6)＋1－cos2(x －π12)＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤32sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6－12cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋1 ＝2sin(2x －π3)＋1. 所以最小正周期为T ＝π.(2)当f (x )取最大值时，只要sin(2x －π3＝1，得出x ＝k π＋5π12(k ∈Z )，∴x 值的集合为{x |x ＝k π＋5π12，k ∈Z }． [点评] 差异分析是解答数学问题的有效方法．诸如：化复杂为简单，异角化同角，异名化同名，高次化低次，化为一个角的同名三角函数的形式等等．。

人教版42高考总复习数学

第四模块平面向量、数系的扩充与复数的引入
数学
高考总复习人教A版 · (理)
第四模块平面向量、数系的扩充与复数的引入
数学
高考总复习人教A版 · (理)
答案: (2,4) (－3,9) (－5,5)
第四模块平面向量、数系的扩充与复数的引入
数学
高考总复习人教A版 · (理)
第四模块平面向量、数系的扩充与复数的引入
第四模块平面向量、数系的扩充与复数的引入
数学
高考总复习人教A版 · (理)
第四模块平面向量、数系的扩充与复数的引入
数学
高考总复习人教A版 · (理)
第四模块平面向量、数系的扩充与复数的引入
数学
高考总复习人教A版 · (理)
求交点坐标问题就是共线向量的应用.
第四模块平面向量、数系的扩充与复数的引入
即一个) 向量的坐标等于
y1)
该向量终点的坐标减去始点的坐标 .
(3)平面向量共线的坐标表示
设a＝(x , 1
y ), 1
b＝(x , 2
y ), 2
其中b≠0,
则a与b共线⇔
a＝λb⇔ x1y2－x2y.1＝0
第四模块平面向量、数系的扩充与复数的引入
数学
高考总复习人教A版 · (理)
若a＝(x , y ), b＝(x , y ), 则a∥b的充要条件能不
v＝2(1,2)－(x,1)＝(2－x,3)，
又因为u∥v，所以3(2x＋1)－4(2－x)＝0，即10x＝5，解得x .
＝
第四模块平面向量、数系的扩充与复数的引入
数学
高考总复习人教A版 · (理)
【例3】如右图所示, 已知点 A(4,0), B(4,4), C(2,6), 求AC和 OB交点P的坐标.

高考数学总复习第2节证明不等式的基本方法课时演练新人教A版选修45

【优化指导】2013高考数学总复习第选修4-5 第2节证明不等式的基本方法课时演练新人教A 版一、选择题1．设P ＝ 2，Q ＝ 7－3，R ＝ 6－2，则P 、Q 、R 的大小顺序是( ) A ．P ＞Q ＞R B ．P ＞R ＞Q C ．Q ＞P ＞RD ．Q ＞R ＞P解析：∵2＋2＝22＞6，∴2＞6－2，即P ＞R ；又∵6＋3＞7＋2， ∴6－2＞7－3，即R ＞Q ；故有P ＞R ＞Q .故应选B. 答案：B2．已知a ＞2，b ＞2，则a ＋b 与ab 的大小关系是( ) A ．a ＋b ＞ab B ．a ＋b <ab C ．a ＋b ≥abD ．a ＋b ≤ab 解析：法一：∵a ＞2，b ＞2，∴a －1＞1，b －1＞1， ∴(a －1)(b －1)＞1，即ab －a －b ＞0，∴ab ＞a ＋b ，故选B. 法二：∵a ＞2，b ＞2，∴0<1a <12，0<1b <12，∴0<1a ＋1b <1，即0<a ＋bab<1，∴0<a ＋b <ab ，故选B. 答案：B3．若实数x ，y 适合不等式xy ＞1，x ＋y ≥－2，则( ) A ．x ＞0，y ＞0 B ．x <0，y <0 C ．x ＞0，y <0D ．x <0，y ＞0解析：x ，y 异号时，显然与xy ＞1矛盾，所以可排除C 、D. 假设x <0，y <0，则x <1y.∴x ＋y <y ＋1y≤－2与x ＋y ≥－2矛盾，故假设不成立．又xy ≠0，∴x ＞0，y ＞0. 答案：A4．设M ＝1210＋1210＋1＋1210＋2＋…＋1211－1，则( )A ．M ＝1B ．M <1C ．M ＞1D ．M 与1大小关系不定解析：∵210＋1＞210，210＋2＞210，…，211－1＞210，∴M ＝1210＋1210＋1＋1210＋2＋…＋1211－1＝1210＋1210＋1＋…＋1210＋210－1 <1210＋1210＋…＋1210＝1. 210个答案：B5．设f (x )是定义在正整数集上的函数，且f (x )满足：“当f (k )≥k 2成立时，总可推出f (k ＋1)≥(k ＋1)2成立”．那么，下列命题总成立的是( )A ．若f (1)<1成立，则f (10)<100成立B ．若f (2)<4成立，则f (1)≥1成立C ．若f (3)≥9成立，则当k ≥1时，均有f (k )≥k 2成立 D ．若f (4)≥25成立，则当k ≥4时，均有f (k )≥k 2成立解析：由数学归纳法原理可得若f (3)≥9成立，则当k ≥4时，均有f (k )≥k 2成立，即A 不正确；若f (5)≥25成立，则f (k )≥k 2成立，即B 不正确；若f (7)<49成立，则当k ≤6时，均有f (k )<k 2成立，即C 不正确；若f (4)≥25成立，则当k ≥4时，均有f (k )≥k 2成立，故应选D. 答案：D6．(2012黄冈模拟)若不等式tt 2＋9≤a ≤t ＋2t 2在t ∈(0，2]上恒成立，则a 的取值范围是( )A ．[16，1]B ．[213，1]C ．[16，413]D ．[16，22]解析：由已知⎩⎨⎧a ≥1t ＋9t，a ≤1t ＋2（1t ）2对任意t ∈(0，2]恒成立，于是只要当t ∈(0，2]时，⎩⎨⎧a ≥（1t ＋9t）max ，a ≤[1t ＋2（1t ）2]min，记f (t )＝t ＋9t ，g (t )＝1t ＋2(1t )2，可知两者都在(0，2]上单调递减，f (t )min ＝f (2)＝132，g (t )min ＝g (2)＝1，所以a ∈[213，1]，选B.答案：B 二、填空题7．某品牌彩电厂家为了打开市场，促进销售，准备对其生产的某种型号的彩电降价销售，现有四种降价方案：(1)先降价a %，再降价b %； (2)先降价b %，再降价a %； (3)先降价a ＋b2%，再降价a ＋b2%；(4)一次性降价(a ＋b )%.其中a ＞0，b ＞0，a ≠b ，上述四个方案中，降价幅度最小的是________．解析：设降价前彩电的价格为1，降价后的彩电价格依次为x 1、x 2、x 3、x 4，则x 1＝(1－a %)(1－b %)＝1－(a ＋b )%＋a %·b %， x 2＝(1－b %)(1－a %)＝x 1， x 3＝(1－a ＋b2%)(1－a ＋b2%)＝1－(a ＋b )%＋14[(a ＋b )%]2，x 4＝1－(a ＋b )%<1－(a ＋b )%＋a %·b %＝x 1＝x 2， x 3－x 1＝(a %＋b %2)2－a %·b %＞0，∴x 3＞x 1＝x 2＞x 4. 答案：方案(3)8．(金榜预测)若a ＞0，b ＞0，给出下列四个不等式： ①a ＋b ＋1ab≥22；②(a ＋b )(1a ＋1b)≥4；③a 2＋b 2ab≥a ＋b ；④a ＋1a ＋4≥－2a .其中正确的不等式有________．(只填序号) 解析：∵a ＞0，b ＞0， ∴①a ＋b ＋1ab ≥2ab ＋1ab ≥2·2ab ·1ab＝22；②(a ＋b )(1a ＋1b)≥4ab1ab＝4；③∵a 2＋b 22≥a ＋b2，∴a 2＋b 2≥（a ＋b ）22＝(a ＋b )a ＋b2≥(a ＋b )ab ，∴a 2＋b 2ab≥a ＋b .④a ＋1a ＋4＝(a ＋4)＋1a ＋4－4≥2 （a ＋4）·1a ＋4－4＝2－4＝－2，当且仅当a ＋4＝1a ＋4，即(a ＋4)2＝1时等号成立，而a ＞0，∴(a ＋4)2≠1.∴等号不能取得．答案：①②③9．(安徽高考)若a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝2，则下列不等式对一切满足条件的a ，b 恒成立的是________(写出所有正确命题的编号)．①ab ≤1；② a ＋b ≤2；③a 2＋b 2≥2；④a 3＋b 3≥3；⑤1a ＋1b≥2.解析：①ab ≤(a ＋b2)2＝1，成立．②欲证a ＋b ≤2，即证a ＋b ＋2ab ≤2，即2ab ≤0，显然不成立． ③欲证a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ≥2，即证4－2ab ≥2，即ab ≤1，由①知成立．④a 3＋b 3＝(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)≥3⇔a 2－ab ＋b 2≥32⇔(a ＋b )2－3ab ≥32⇔4－32≥3ab ⇔ab ≤56，由①知，ab ≤56不恒成立．⑤欲证1a ＋1b ≥2，即证a ＋b ab≥2，即ab ≤1，由①知成立．答案：①③⑤ 三、解答题10．设a ，b ，c 均为正数，且a 2＋b 2＝c 2，求证：当n ≥3且n ∈N *时，a n ＋b n <c n. 证明：(1)当n ＝3时，由已知可知，0<a <c ，0<b <c ，所以a 3＋b 3＝a ·a 2＋b ·b 2<c (a 2＋b 2)＝c 3. 故原不等式成立．(2)假设当n ＝k (k ≥3，k ∈N *)时，a k ＋b k <c k. 则当n ＝k ＋1时，a k ＋1＋b k ＋1＝a ·a k ＋b ·b k <c (a k ＋b k )<c ·c k ＝c k ＋1.故当n ＝k ＋1时，不等式也成立．综合(1)(2)知，原不等式对n ≥3且n ∈N *恒成立．11．(2011安徽高考)(1)设x ≥1，y ≥1，证明x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1y＋xy ；(2)设1<a ≤b ≤c ，证明l og a b ＋log b c ＋log c a ≤log b a ＋log c b ＋log a c . 解：(1)由于x ≥1，y ≥1，所以x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1y＋xy ⇔xy (x ＋y )＋1≤y ＋x ＋(xy )2.将上式中的右式减左式，得[y ＋x ＋(xy )2]－[xy (x ＋y )＋1]＝[(xy )2－1]－[xy (x ＋y )－(x ＋y )]＝(xy ＋1)(xy －1)－(x ＋y )(xy －1)＝(xy －1)(xy －x －y ＋1)＝(xy －1)(x －1)(y －1)．既然x ≥1，y ≥1，所以(xy －1)(x －1)(y －1)≥0，从而所要证明的不等式成立． (2)设log a b ＝x ，log b c ＝y ，由对数的换底公式得log c a ＝1xy ，log b a ＝1x ，log c b ＝1y，log a c ＝xy .于是，所要证明的不等式即为x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1y＋xy ，其中x ＝log a b ≥1，y ＝log b c ≥1. 故由(1)可知所要证明的不等式成立．12．对于n 个正数a 1，a 2，a 3，…，a n ，用数学归纳法证明(a 1＋a 2＋…＋a n )(1a 1＋1a 2＋…＋1a n)≥n 2.证明：(1)当n ＝1时，a 1·1a 1≥12，不等式成立．(2)假设n ＝k 时，不等式成立，即 (a 1＋a 2＋…＋a k )(1a 1＋1a 2＋…＋1a k)≥k 2.则n ＝k ＋1时(a1＋a2＋…＋a k＋a k＋1)(1a1＋1a2＋…＋1a k＋1a k＋1)＝(a1＋a2＋…＋a k)(1a1＋1a2＋…＋1a k)＋1a k＋1(a1＋a2＋…＋a k)＋a k＋1(1a1＋1a2＋…＋1a k)＋1≥k2＋1＋2＝1a k＋1（a1＋a2＋…＋a k）·a k＋1（1a1＋1a2＋…＋1a k）≥k2＋1＋2k2＝(k＋1)2，∴n＝k＋1时，不等式成立．由(1)(2)可知，对一切n∈N，原不等式成立．。

高考数学总复习考点专练43文新人教A版

一、选择题1．(2012 年长春模拟 ) 已知点(1 ，－ 1)， ( －1,1)，则以线段AB 为直径的圆的方程是A B()A．x2＋y2＝ 2B．x2＋y2＝ 2C．x2＋y2＝ 1D．x2＋y2＝ 4分析： AB的中点坐标为：(0,0)，|| ＝ [1 －－1 ]2＋－1－12＝ 22，AB∴圆的方程为： x2＋ y2＝2.答案： A2．圆心在y轴上，半径为 1，且过点 (1,2)的圆的方程为 ()A．x2＋ ( y－ 2) 2＝ 1B．x2＋ ( y＋ 2) 2＝1C．( x－ 1) 2＋ ( y－ 3) 2＝ 1D．x2＋ ( y－ 3) 2＝1分析：设圆心坐标为 (0 ，b) ，则由题意知0－ 12＋ b－22＝ 1，解得b＝ 2，故圆的方程为 x2＋( y－2)2＝1.答案： A3．若曲线C：x2＋y2＋ 2ax－ 4ay＋ 5a2－ 4＝ 0 上全部的点均在第二象限内，则 a 的取值范围为 ()A．( －∞，－ 2)B．( －∞，－ 1)C．(1 ，＋∞ )D．(2 ，＋∞)分析：曲线C 的方程能够化为 (＋)2＋ (－ 2 ) 2＝ 4，则该方程表示圆心为( －a,2 )，半x a y a a径等于 2 的圆．由于圆上的点均在第二象限，因此a>2.答案： D4．(2012 年广州二模 ) 动点A在圆x2＋y2＝ 1 上挪动时，它与定点B(3,0)连线的中点的轨迹方程是 ()A．( x＋ 3) 2＋y2＝ 4B．( x－ 3) 2＋y2＝1C．(2x － 3)2＋4 2＝1D．(x＋3) 2＋y2＝1 y22分析：设中点 M( x， y)，则动点 A(2 x－3,2 y)，∵A 在圆 x2＋ y2＝1上，∴(2 x－ 3) 2＋ (2 y) 2＝ 1，即 (2 x－ 3) 2＋4y2＝ 1，应选 C.答案： C5．已知圆的方程为x2＋ y2－6x－8y＝0，设该圆中过点M(3,5)的最长弦、最短弦分别为AC、 BD，则以点 A、 B、 C、D为极点的四边形ABCD的面积为()A ．106 B ．20 6 C ．306D ．40 6分析：将圆的方程化成标准形式得( x － 3) 2＋ ( y － 4) 2＝ 25，因此圆心为 P (3,4) ，半径 r ＝5. 而 | MP |＝3－ 32＋ 4－ 52＝1<5，因此点 M (3,5) 在圆内，故当过点 M 的弦经过圆心时最长，此时 | AC | ＝ 2r ＝ 10，当弦 BD 与 MP 垂直时，弦 BD 的长度最小，此时 | BD | ＝ 2r 2－ | MP | 22 21 1＝ 2 5 － 1 ＝4 6. 又由于 AC ⊥ BD ，因此四边形 ABCD 的面积为 S ＝ 2| AC | ×|BD | ＝ 2×10×4 6＝ 20 6.答案： B6．已知圆 C 1： ( x ＋ 1) 2＋ ( y － 1) 2＝ 1，圆 C 2 与圆 C 1 对于直线 x － y － 1＝ 0 对称，则圆 C 2 的方程为 ()A ．( x ＋ 2) 2＋ ( y － 2) 2＝ 1B ．( x － 2) 2＋ ( y ＋ 2) 2＝ 1C ． ( x ＋ 2) 2＋ ( y ＋ 2) 2＝ 1D ．( x － 2) 2＋ ( y － 2) 2＝ 1分析：设 C 2( a ，b ) ，则 C 2( a ， b ) 与 C 1( － 1,1) 对于直线 x － y － 1＝0 对称，由a － 1b ＋ 1－ 1＝02－a ＝ 22b － 1得，b ＝－ 2a ＋ 1＝－ 1故圆 C 2 的方程为 ( x － 2) 2＋( y ＋ 2) 2＝ 1.答案： B二、填空题7．(2011 年辽宁 ) 已知圆C 经过 (5,1) ， (1,3) 两点，圆心在 x 轴上，则 C 的方程为AB________．分析：线段 AB 的中垂线方程为 2x － y － 4＝ 0，与 x 轴的交点 (2,0)即为圆心 C 的坐标，所以半径为 | | ＝ 10，因此圆C 的方程为 ( －2) 2＋y 2＝ 10.CBx答案： ( x －2) 2＋ y 2＝ 108．已知圆心在x 轴上，半径为2的圆位于 y 轴左边，且与直线 x ＋＝ 0 相切，则圆OOy的方程是 ________________ ．分析：设圆心为 ( a, 0)( a<0) ，则|a|＝2，解得a＝－ 2，故圆O的方程为 ( x＋ 2) 2＋y2＝22.答案： ( x＋2) 2＋y2＝ 29．(2012 年大同调研 ) 直线＋by ＝ 1过点 (， ) ，则以坐标原点O为圆心，长为半ax A b a OA 径的圆的面积的最小值是 ________________ ．1222分析：直线过点 A( b，a)，∴ ab＝2，圆面积 S＝πr＝π( a ＋ b )≥2πab＝π.答案：π三、解答题10．依据以下条件求圆的方程：(1)经过点 P(1,1)和坐标原点，而且圆心在直线2x＋ 3y＋ 1＝ 0 上；(2)圆心在直线 y＝－4x 上，且与直线 l ： x＋ y－1＝0相切于点 P(3，－2)；(3)过三点 A(1,12)，B(7,10)，C(－9,2)．解： (1) 设圆的标准方程为( x－a) 2＋ ( y－b) 2＝r2，由题意列出方程组a2＋ b2＝ r 2a＝4－ 12＋－ 12＝r2，解之得＝－ 3a b b2a＋ 3b＋ 1＝0r 2＝25∴圆的标准方程是 ( x－ 4) 2＋ ( y＋3) 2＝ 25.(2) 法一：设圆的标准方程为( x－a) 2＋ ( y－b) 2＝r2，b＝－4a则有3－a2＋－ 2－b2＝ r 2，| a＋b－ 1|＝r2解得 a＝1，b＝－4，r ＝2 2.∴圆的方程为 ( x－ 1) 2＋ ( y＋ 4) 2＝8.法二：过切点且与x＋y－1＝0垂直的直线为y＋2＝ x－3，与 y＝－4x 联立可求得圆心为(1，－4)．∴半径 r ＝1－ 32＋－ 4＋22＝ 22，∴所求圆的方程为( x－ 1) 2＋ ( y＋4) 2＝ 8.(3)法一：设圆的一般方程为x2＋ y2＋ Dx＋ Ey＋ F＝0，1＋ 144＋D＋ 12E＋F＝ 0，则 49＋ 100＋ 7D＋ 10E＋F＝ 0，81＋ 4－ 9D＋ 2E＋F＝0.解得 D＝－2， E＝－4， F＝－95.∴所求圆的方程为x2＋ y2－2x－4y－95＝0.法二：由 A(1,12)， B( 7,10)，1得 A、 B 的中点坐标为(4,11)， k AB＝－3，则 AB的中垂线方程为3x－y－ 1＝ 0.同理得 AC的中垂线方程为 x＋y－3＝0.3x－y－ 1＝ 0x＝1联立，得，x＋ y－3＝0y＝2即圆心坐标为 (1,2) ，半径r＝1－ 12＋2－ 122＝ 10.∴所求圆的方程为 ( x－ 1) 2＋ ( y－2)2＝ 100.11． (2012年东城区综合练习) 如右图所示，圆O1和圆 O2的半径长都等于1， | O1O2| ＝ 4.过动点 P分别作圆 O1，圆 O2的切线 PM， PN( M，N 为切点)，使得| PM|＝2| PN|. 试成立平面直角坐标系，并求动点P 的轨迹方程．解：以 O1O2的中点 O为原点， O1O2所在的直线为x 轴，成立如下图的平面直角坐标系，则 O1(－2,0)， O2(2,0)．由已知 | PM|＝2| PN| ，得| PM|2＝ 2| PN| 2.由于两圆的半径长均为1，因此 | PO1| 2－ 1＝ 2(| PO2| 2－ 1) ．设 P( x， y)，则( x＋2)2＋y2－1＝2[ ( x－2)2＋ y2－1]，化简，得 ( x－ 6) 2＋y2＝ 33，因此所求轨迹方程为( x－ 6) 2＋y2＝ 33.12．如图，在平面直角坐标系xOy 中， A( a, 0)( a>0)， B(0， a)， C(－4,0)， D(0,4)，设△AOB的外接圆圆心为 E.(1)若⊙ E 与直线 CD相切，务实数 a 的值．(2) 设点P在⊙E上，使△PCD的面积等于 12 的点P有且只有三个，试问这样的⊙ E 能否存在？若存在，求出⊙ E 的标准方程；若不存在，说明原因．a a2解： (1) 直线CD方程为y＝x＋ 4，圆心E( 2，2) ，半径r＝2a.a a| 2－2＋4|2由题意得2＝2 a，解得 a＝4.(2) ∵| CD| ＝－224 ＋4＝4 2，∴当△ PCD面积为12时，点 P 到直线 CD的距离为 3 2.又圆心E 到直线距离为 2 2( 定值 ) ，要使△的面积等于12 的点P有且只有三个，CD PCD需⊙E 的半径2a2，解得＝ 10，此时，⊙E的标准方程为 (x2y2＝ 5－5) ＋(－ 5) ＝50.2a[ 热门展望 ]13． (2012 年山东滨州质检 )(1) 已知圆x2＋y2＋ 2x－ 4y＋a＝0对于直线 y＝2x＋ b 成轴对称，则 a－ b 的取值范围是______．(2)已知圆 O的方程为 x2＋ y2＝4， P 是圆 O上的一个动点，若 OP的垂直均分线老是被平面地区 | x| ＋ | y| ≥a覆盖，则实数 a 的取值范围是________．分析： (1) 圆的方程变成 ( x＋ 1) 2＋ ( y－ 2) 2＝5－a，∴其圆心为 ( － 1,2) ，且 5－a>0，即a<5.又圆对于直线y＝2x＋b 成轴对称，∴2＝－ 2＋b，∴b＝ 4. ∴a－b＝a－ 4 <1.(2)知足题意的平面地区为如图中的正方形外面，故a≤1.答案： (1)( －∞， 1)(2) a≤1。

【2020最新】数学高考(人教A版文科)一轮复习考点规范练：43

教学资料范本【2020最新】数学高考（人教A版文科）一轮复习考点规范练：43编辑：__________________时间：__________________基础巩固1.圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,则a=( )C.D.2B.-A.-2.已知实数x,y满足(x+5)2+(y-12)2=122,则x2+y2的最小值为( )D.C.A.2B.13.已知三点A(1,0),B(0,),C(2,),则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为( )C.D.B.A.4.点P(4,-2)与圆x2+y2=4上任一点连线的中点的轨迹方程是( )B.(x-2)2+(y+1)2=4A.(x-2)2+(y+1)2=1D.(x+2)2+(y-1)2=1C.(x+4)2+(y-2)2=45.(20xx广东深圳五校联考)已知直线l:x+my+4=0,若曲线x2+y2+2x-6y+1=0上存在两点P,Q关于直线l对称,则m的值为( )C.1D.-1B.-2A.26.如图,已知圆C与x轴相切于点T(1,0),与y轴正半轴交于两点A,B(B在A的上方),且|AB|=2.(1)圆C的标准方程为;(2)圆C在点B处的切线在x轴上的截距为.7.在平面直角坐标系xOy中,以点(1,0)为圆心且与直线mx-y-2m-1=0(m∈R)相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为.8.(20xx北京东××区调研)当方程x2+y2+kx+2y+k2=0所表示的圆的面积取最大值时,直线y=(k-1)x+2的倾斜角α= .9.已知圆C的圆心在x轴的正半轴上,点M(0,)在圆C上,且圆心到直线2x-y=0的距离为,则圆C的方程为.10.已知圆C的圆心在直线y=-4x上,且与直线l:x+y-1=0相切于点P(3,-2),求圆C的方程.11.在平面直角坐标系xOy中,已知圆P在x轴上截得线段长为2,在y轴上截得线段长为2.(1)求圆心P的轨迹方程;(2)若点P到直线y=x的距离为,求圆P的方程.能力提升12.已知圆C1:(x-2)2+(y-3)2=1,圆C2:(x-3)2+(y-4)2=9,M,N分别是圆C1,C2上的动点,P为x轴上的动点,则|PM|+|PN|的最小值为( )A.5-4B.-1D.C.6-213.已知a∈R,方程a2x2+(a+2)y2+4x+8y+5a=0表示圆,则圆心坐标是,半径是.14.(20xx河北邯郸一模)已知圆M与y轴相切,圆心在直线y=x上,并且在x轴上截得的弦长为2,则圆M的标准方程为.15.在以O为原点的平面直角坐标系中,点A(4,-3)为△OAB的直角顶点,已知|AB|=2|OA|,且点B的纵坐标大于0.(1)求的坐标;(2)求圆x2-6x+y2+2y=0关于直线OB对称的圆的方程.高考预测16.已知平面区域恰好被面积最小的圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2及其内部所覆盖,则圆C的方程为. 答案：1.A 解析:因为圆的方程可化为(x-1)2+(y-4)2=4,所以圆心坐标为(1,4).由点到直线的距离公式,得d==1,解得a=-,故选A.2.B 解析:设P(x,y),则点P在圆(x+5)2+(y-12)2=122上,则圆心C(-5,12),半径r=12,x2+y2=[]2=|OP|2,又|OP|的最小值是|OC|-r=13-12=1,所以x2+y2的最小值为1.3.B 解析:由题意知,△ABC外接圆的圆心是直线x=1与线段AB垂直平分线的交点P,而线段AB垂直平分线的方程为y-,它与x=1联立得圆心P坐标为,则|OP|=.4.A 解析:设圆上任一点为Q(x0,y0),PQ的中点为M(x,y),则解得因为点Q在圆x2+y2=4上,所以=4,即(2x-4)2+(2y+2)2=4,化简得(x-2)2+(y+1)2=1.5.D解析:曲线x2+y2+2x-6y+1=0是圆(x+1)2+(y-3)2=9,若圆(x+1)2+(y-3)2=9上存在两点P,Q关于直线l对称,则直线l:x+my+4=0过圆心(-1,3),所以-1+3m+4=0,解得m=-1,故选D.6.(1)(x-1)2+(y-)2=2 (2)-1-解析:(1)由题意可设圆心C坐标为(1,b),取AB中点为P,连接CP,CB,则△BPC为直角三角形,得|BC|=r==b,故圆C的标准方程为(x-1)2+(y-)2=2.(2)由(1)得,C(1,),B(0,+1),则kBC=-1.圆C在点B处的切线方程为y=x++1,令y=0,得x=--1,即切线在x轴上的截距为-1-.7.(x-1)2+y2=2 解析:因为直线mx-y-2m-1=0恒过定点(2,-1),所以圆心(1,0)到直线mx-y-2m-1=0的最大距离为d=,所以半径最大时为r=,所以半径最大的圆的标准方程为(x-1)2+y2=2.8. 解析:由题意知,圆的半径r=≤1.当半径r取最大值时,圆的面积最大,此时k=0,r=1,所以直线方程为y=-x+2,则有tan α=-1,又α∈[0,π),故α=.9.(x-2)2+y2=9 解析:设圆心C的坐标为(a,0)(a>0),则,即a=2.又点M(0,)在圆C上,则圆C的半径r==3.故圆C的方程为(x-2)2+y2=9.10.解:(方法一)如图,设圆心C(x0,-4x0),依题意得=1,则x0=1,即圆心C的坐标为(1,-4),半径r=2,故圆C的方程为(x-1)2+(y+4)2=8.(方法二)设所求圆C的方程为(x-x0)2+(y-y0)2=r2,根据已知条件得解得因此所求圆C的方程为(x-1)2+(y+4)2=8.11.解:(1)设P(x,y),圆P的半径为r.由题设y2+2=r2,x2+3=r2,从而y2+2=x2+3.故P点的轨迹方程为y2-x2=1.(2)设P(x0,y0),由已知得.又P在双曲线y2-x2=1上,从而得由此时,圆P的半径r=.由此时,圆P的半径r=.故圆P的方程为x2+(y+1)2=3或x2+(y-1)2=3.12.A 解析:圆C1,C2的图象如图所示.设P是x轴上任意一点,则|PM|的最小值为|PC1|-1,同理|PN|的最小值为|PC2|-3,则|PM|+|PN|的最小值为|PC1|+|PC2|-4.作C1关于x轴的对称点C1'(2,-3),连接C1'C2,与x轴交于点P,连接PC1,可知|PC1|+|PC2|的最小值为|C1'C2|,则|PM|+|PN|的最小值为5-4,故选A.13.(-2,-4) 5 解析:由题意,可得a2=a+2,解得a=-1或a=2.当a=-1时,方程为x2+y2+4x+8y-5=0,即(x+2)2+(y+4)2=25,故圆心为(-2,-4),半径为5;当a=2时,方程为4x2+4y2+4x+8y+10=0,即+(y+1)2=-不表示圆.14.(x-2)2+(y-1)2=4或(x+2)2+(y+1)2=4 解析:设圆M的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,由题意可得解得所以圆M的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=4或(x+2)2+(y+1)2=4. 15.解:(1)设=(x,y),由|AB|=2|OA|,=0,得解得若=(-6,-8),则yB=-11与yB>0矛盾.∴舍去,即=(6,8).(2)圆x2-6x+y2+2y=0,即(x-3)2+(y+1)2=()2,其圆心为C(3,-1),半径r=.∵=(4,-3)+(6,8)=(10,5),∴直线OB的方程为y=x.设圆心C(3,-1)关于直线y=x的对称点的坐标为(a,b),则解得故所求的圆的方程为(x-1)2+(y-3)2=10.16.(x-2)2+(y-1)2=5解析:由题意知,此平面区域表示的是以O(0,0),P(4,0),Q(0,2)所构成的三角形及其内部,所以覆盖它且面积最小的圆是其外接圆.因为△OPQ为直角三角形,所以圆心为斜边PQ的中点(2,1),半径r=,所以圆C的方程为(x-2)2+(y-1)2=5.。

高考数学总复习考点专练42文新人教A版

一、选择题1．(2012 年茂名模拟 ) 直线l过点(－1,2)且与直线2x－3y＋ 4＝ 0 垂直，则l 的方程是()A．3x＋ 2y－1＝ 0B．2x－ 3y＋5＝ 0C．3 ＋2y ＋7＝ 0D．2x－ 3y＋8＝ 0x分析：由直线 l 与直线2x－3y＋4＝0垂直，可知直线l 的斜率是－3，由点斜式可得直23线 l的方程为 y－2＝－2( x＋ 1)，即 3x＋ 2y－1＝ 0.答案： A2．(2012 年浙江 ) 设a∈ R，则“a＝1”是“直线l 1： ax＋2y－1＝0与直线 l 2： x＋2y＋4＝ 0平行”的 ()A．充足不用要条件B．必需不充足条件C．充足必需条件D．既不充足也不用要条件a 2－ 1分析：若 a＝1，则直线 l 1为 x＋2y－1＝0，所以 l 1∥ l2，反之，若l1∥l 2，则1＝2≠4，所以 a＝1，应选C.答案： C3．过点A(1,2) 且与原点距离最大的直线方程为()A．x＋ 2y－5＝ 0B．2x＋y－ 4＝ 0C．x＋ 3y－7＝ 0D．3x＋y－ 5＝ 0分析：所求直线过点A 且与垂直时知足条件，此时k OA＝2，故所求直线的斜率为－1，OA21所以直线方程为y－2＝－2( x－1)，即 x＋2y－5＝0.答案： A4．A、B是x轴上两点，点P的横坐标为2，且 | PA| ＝ | PB| ，若直线PA的方程为x－ y＋1＝ 0，则直线PB的方程为 ()A．2x－y－1＝ 0B．x＋y－ 5＝0C．2x＋y－7＝ 0D．2y－x－ 4＝ 0分析：由题意得 ( －1,0)、 (2,3)、 (5,0) ，A P B由两点式，得 PB方程为 x＋ y－5＝0.答案： B1：kx－ y＝k－1与直线 l： ky－ x＝2k 的交点在() 5．当 0<k<2时，直线 l12A．第一象限B．第二象限 C ．第三象限D．第四象限kx －y ＝ k － 1，k 2k － 11分析：解方程组 ky － x ＝ 2k .得两直线的交点坐标为k － 1，k － 1 ，由于 0<k <2，k2k － 1所以 k －1<0， k －1 >0，所以交点在第二象限．答案： B6．已知直线 l 1：y ＝ 2x ＋ 3 ，直线 l 2 与 l 1 对于直线 y ＝－ x 对称，则直线 l 2 的斜率为 ()1 1A. 2 B ．－ 2 C ．2D ．－ 213分析： ∵ l 2、 l 1 对于 y ＝－ x 对称，∴ l 2 的方程为－ x ＝－ 2y ＋ 3，即 y ＝2x ＋ 2，∴ l 2 的斜1 率为.2答案： A 二、填空题7．已知直线 l ：ax ＋3y － 1＝ 0 与直线 l ：2x ＋ ( a － 1) y ＋ 1＝ 0 垂直，则实数 a ＝ ________.123分析：由两直线垂直的条件得 2a ＋ 3( a －1) ＝ 0，解得 a ＝ 5.答案：35213c ＋ 2 8 ．若两平行直线3x － 2y － 1＝ 0,6 x ＋ ay ＋ c ＝ 0 之间的距离为13 ，则 a 的值为________．3 － 2－ 1分析：由题意得，6＝ a ≠ c ，∴ a ＝－ 4， c ≠－ 2，c则 6x ＋ ay ＋c ＝ 0 可化为 3x － 2y ＋ 2＝ 0，| c ＋ 1|22由两平行线间的距离，得 13 .＝1313解得 c ＝ 2 或－ 6，所以 c ＋ 2a ＝± 1.答案： ±19．(2012 年武汉调研 ) 数学家欧拉在 1765 年提出定理：三角形的外心、重心、垂心，依次位于同向来线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线后代称之为三角形的欧拉线．已知△ ABC 的极点 A (2,0) ，B (0,4) ，若其欧拉线方程为：x － y ＋ 2＝ 0，则顶点 C 的坐标是 ________．13分析： AB 的中点坐标为 (1,2) ，线段 AB 的垂直均分线方程为y ＝ 2x ＋2，将其与欧拉线方程联立，解得外心 ( －1,1) ．设 C ( a ， b ) ，则重心2＋a ，4＋ b，332＋ a4＋ b222 2有 3 ＋ 2＝ 3 与 ( a ＋ 1) ＋ ( b －1) ＝ (2 ＋1) ＋ (0 －1) ＝10，a ＝－ 4， a ＝0，联立方程得 b ＝ 0，或b ＝4 ( 不合题意，舍去 ) ．即 C ( －4,0) ．答案： ( － 4,0)三、解答题10．求过直线 l 1： x －2y ＋ 3＝0 与直线 l 2： 2x ＋ 3y －8＝ 0 的交点，且到点P (0,4) 的距离为 2 的直线方程．x －2y ＋ 3＝ 0，x ＝ 1，解：由＋3 － 8＝0，解得＝ 2，2 xyy∴l 1，l 2 交点为 (1,2) ．设所求直线方程为y －2＝ k ( x －1) ，即 kx － y ＋ 2－k ＝ 0，∵P (0,4) 到直线距离为 2，| － 2－k |4∴2＝1＋ k 2 解得： k ＝ 0 或 k ＝ 3.∴直线方程为 y ＝ 2 或 4x － 3y ＋2＝ 0.11．已知直线 l 经过直线 2x ＋y － 5＝ 0 与 x － 2y ＝0 的交点，(1) 点 A (5,0) 到 l 的距离为 3，求 l 的方程；(2) 求点 A (5,0) 到 l 的距离的最大值．解： (1) 经过两已知直线交点的直线系方程为(2 x ＋ y － 5) ＋ λ( x － 2y ) ＝ 0，即(2 ＋ λ ) x ＋ (1 － 2λ) y － 5＝ 0，|10 ＋ 5λ－ 5|∴2＋ λ2＋ 1－ 2λ2＝3.即 2λ2－ 5λ＋ 2＝ 0，∴λ＝ 2 或1 2.∴l 方程为x＝2或 4－ 3y－ 5＝0.x2x＋y－5＝0，解得交点 P(2,1)P 作任向来线l ，设 d 为点 A 到 l(2) 由，如图，过x－2y＝0，的距离，则d≤|PA|(当 l ⊥ PA时等号建立)．∴d max＝| PA|＝10.12． (1) 求点A(3,2)对于点B(－3,4)的对称点C的坐标；(2)求直线 3x－y－ 4＝0 对于点P(2 ，－ 1) 对称的直线l的方程；(3)求点 A(2,2)对于直线2x－4y＋9＝0的对称点的坐标．3＋x2＝－ 3，x＝－9，解： (1) 设C( x，y) ，由中点坐标公式得，解得故所求2＋y y＝6，2＝ 4，的对称点的坐标为C(－9,6)．(2) 设直线l上任一点为 ( x，y) ，它对于点P(2，－1)的对称点(4－ x，－2－y)在直线3x －y－4＝0上，∴3(4 －x) －( － 2－y) － 4＝ 0.∴3x－y－ 10＝ 0.∴所求直线l 的方程为3 －－10＝ 0.x y(3) 设B( a，b) 是A(2,2)对于直线2x－ 4y＋ 9＝ 0 的对称点，依据直线AB与已知直线垂直，1 － 22·a－2＝－ 1，且线段 AB的中点在已知直线2x－ 4y＋ 9＝ 0 上，则有2·a＋2－ 4·b＋2＋ 9＝ 0，22＝ 1，a解得b＝4.∴所求的对称点的坐标为(1,4) ．[ 热门展望 ]13． (1)(2012年河北质检)如图，直角坐标平面内的正六边形ABCDEF的中心在原点，边长为 a，AB平行于 x 轴，直线l ：y＝ kx＋t ( k 为常数)与正六边形交于M、 N两点，记△ OMN 的面积为，则对于函数＝(t ) 的奇偶性的判断正确的是()S S fA．必定是奇函数B．必定是偶函数C．既不是奇函数，也不是偶函数D．奇偶性与k 相关(2) 一条光芒经过点P(2,3)射在直线x＋y＋1＝0上，反射后，经过点A( 1,1)，则光芒的入射线和反射线所在的直线方程分别为________．分析： (1) 设M点对于原点的对称点为M′， N点对于原点的对称点为N′，易知点M′、N′在正六边形的边上．当直线l在某一个确立的地点时，对应有一个t值，那么易得直线M′ N′的斜率仍为k，对应的直线M′N′在 y 轴上的截距为－t ，明显△ OMN的面积等于△OM′ N′的面积，所以函数 S＝ f ( t )必定是偶函数，选 B.(2) 入射光芒所在的直线和反射光芒所在的直线对于直线x＋y＋1＝0对称，设点P 对于直线 x＋ y＋1＝0的对称点的坐标为Q( x0， y0)，所以 PQ的中点在直线x＋ y＋1＝0上，且 PQy0－3x0－2×－1＝－1，所在直线与直线x＋ y＋1＝0垂直，所以＋ 2解得 Q(－4，－3)，x y ＋3002＋2＋1＝0，∵反射光芒经过A、 Q两点，∴反射光芒所在直线的方程为4x－ 5y＋ 1＝0.x＋ y＋1＝0，2，－1.由得反射点 R －34x－ 5y＋ 1＝ 0，3入射光芒经过P、 R两点，∴入射光芒所在直线的方程为5x－ 4y＋ 2＝0.故填 5x－ 4y＋ 2＝ 0；4x－ 5y＋1＝ 0.答案： (1)B(2)5 x－4y＋ 2＝ 0； 4x－ 5y＋ 1＝ 0。

2025届高考数学一轮总复习第4章一元函数的导数及其应用第1节导数概念及其意义导数运算新人教A版

A.2x+y+1=0
B.2x-y+1=0
C.2x+y-1=0
D.2x-y-1=0
解析由于直线x-2y=0的斜率为
切点为P(x0,y0),所以
1
,因此所求切线的斜率应为-2,又y'=ex-3,设
2
0
e-3=-2,解得x
0=0,此时y0=1,故所求切线方程为
y-1=-2(x-0),即2x+y-1=0.故选C.
此当t=t0+1=2时,液体上升高度的瞬时变化率为22+2×2=8 cm/s.故选C.
考点二导数运算
例2(1)(多选题)(2024·吉林长春模拟)下列求导运算中,不正确的是( BCD )
A.(e2x)'=2e2x
B.(lg
C.(
1
x)'=x
1
x)'=2

D.(sin4 cos
x

x)'=cos4 cos
一般应用和综合应用,一般应用主要涉及利用导数研究函数的单调性、极
值、最值,以客观题或解答题的形式出现,难度中等,综合应用则以解答题
呈现,考查利用导数解决不等式证明、不等式恒成立、函数零点、双变量
等问题,难度较大,多为压轴题,分值12分左右.
2.高考中的导数考题,通常与参数处理相关,涉及代数推理、数学运算以
f'(x)=
2
(+)
a=
1
.
,由题意得 f'(1)=
e·
2
(1+)
=
e
,解得
4
2 研考点精准突破
考点一导数概念
(4 + )-(4)

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

考点专练(四十三)一、选择题1．(2012年长春模拟)已知点A (1，－1)，B (－1,1)，则以线段AB 为直径的圆的方程是 A ．x 2＋y 2＝2 B ．x 2＋y 2＝ 2 C ．x 2＋y 2＝1D ．x 2＋y 2＝4解析：AB 的中点坐标为：(0,0)， |AB |＝[1－－1]2＋－1－12＝22，∴圆的方程为：x 2＋y 2＝2. 答案：A2．圆心在y 轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为 ( )A ．x 2＋(y －2)2＝1 B ．x 2＋(y ＋2)2＝1 C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1D ．x 2＋(y －3)2＝1解析：设圆心坐标为(0，b )，则由题意知0－12＋b －22＝1，解得b ＝2，故圆的方程为x 2＋(y －2)2＝1.答案：A3．若曲线C ：x 2＋y 2＋2ax －4ay ＋5a 2－4＝0上所有的点均在第二象限内，则a 的取值范围为( )A ．(－∞，－2)B ．(－∞，－1)C ．(1，＋∞)D ．(2，＋∞)解析：曲线C 的方程可以化为(x ＋a )2＋(y －2a )2＝4，则该方程表示圆心为(－a,2a )，半径等于2的圆．因为圆上的点均在第二象限，所以a >2. 答案：D4．(2012年广州二模)动点A 在圆x 2＋y 2＝1上移动时，它与定点B (3,0)连线的中点的轨迹方程是( )A ．(x ＋3)2＋y 2＝4 B ．(x －3)2＋y 2＝1 C ．(2x －3)2＋4y 2＝1D ．(x ＋32)2＋y 2＝12解析：设中点M (x ，y )，则动点A (2x －3,2y )， ∵A 在圆x 2＋y 2＝1上，∴(2x －3)2＋(2y )2＝1，即(2x －3)2＋4y 2＝1，故选C. 答案：C5．已知圆的方程为x 2＋y 2－6x －8y ＝0，设该圆中过点M (3,5)的最长弦、最短弦分别为AC 、BD ，则以点A 、B 、C 、D 为顶点的四边形ABCD 的面积为( )A ．10 6B ．20 6C ．30 6D ．40 6解析：将圆的方程化成标准形式得(x －3)2＋(y －4)2＝25，所以圆心为P (3,4)，半径r ＝5.而|MP |＝3－32＋4－52＝1<5，所以点M (3,5)在圆内，故当过点M 的弦经过圆心时最长，此时|AC |＝2r ＝10，当弦BD 与MP 垂直时，弦BD 的长度最小，此时|BD |＝2r 2－|MP |2＝252－12＝4 6.又因为AC ⊥BD ，所以四边形ABCD 的面积为S ＝12|AC |×|BD |＝12×10×46＝20 6.答案：B6．已知圆C 1：(x ＋1)2＋(y －1)2＝1，圆C 2与圆C 1关于直线x －y －1＝0对称，则圆C 2的方程为( )A ．(x ＋2)2＋(y －2)2＝1 B ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝1 C ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝1D ．(x －2)2＋(y －2)2＝1解析：设C 2(a ，b )，则C 2(a ，b )与C 1(－1,1)关于直线x －y －1＝0对称，由⎩⎪⎨⎪⎧a －12－b ＋12－1＝0b －1a ＋1＝－1得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝－2，故圆C 2的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝1. 答案：B 二、填空题7．(2011年辽宁)已知圆C 经过A (5,1)，B (1,3)两点，圆心在x 轴上，则C 的方程为________．解析：线段AB 的中垂线方程为2x －y －4＝0，与x 轴的交点(2,0)即为圆心C 的坐标，所以半径为|CB |＝10，所以圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝10.答案：(x －2)2＋y 2＝108．已知圆心在x 轴上，半径为2的圆O 位于y 轴左侧，且与直线x ＋y ＝0相切，则圆O 的方程是________________．解析：设圆心为(a,0)(a <0)，则|a |2＝2，解得a ＝－2，故圆O 的方程为(x ＋2)2＋y 2＝2.答案：(x ＋2)2＋y 2＝29．(2012年大同调研)直线ax ＋by ＝1过点A (b ，a )，则以坐标原点O 为圆心，OA 长为半径的圆的面积的最小值是________________．解析：直线过点A (b ，a )，∴ab ＝12，圆面积S ＝πr 2＝π(a 2＋b 2)≥2πab ＝π.答案：π 三、解答题10．根据下列条件求圆的方程：(1)经过点P (1,1)和坐标原点，并且圆心在直线2x ＋3y ＋1＝0上；(2)圆心在直线y ＝－4x 上，且与直线l ：x ＋y －1＝0相切于点P (3，－2)； (3)过三点A (1,12)，B (7,10)，C (－9,2)．解：(1)设圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，由题意列出方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝r 2a －12＋b －12＝r 2，2a ＋3b ＋1＝0解之得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4b ＝－3r 2＝25∴圆的标准方程是(x －4)2＋(y ＋3)2＝25.(2)法一：设圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，则有⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－4a3－a 2＋－2－b 2＝r 2，|a ＋b －1|2＝r解得a ＝1，b ＝－4，r ＝2 2. ∴圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8.法二：过切点且与x ＋y －1＝0垂直的直线为y ＋2＝x －3，与y ＝－4x 联立可求得圆心为(1，－4)．∴半径r ＝1－32＋－4＋22＝22，∴所求圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8.(3)法一：设圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧1＋144＋D ＋12E ＋F ＝0，49＋100＋7D ＋10E ＋F ＝0，81＋4－9D ＋2E ＋F ＝0.解得D ＝－2，E ＝－4，F ＝－95.∴所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －4y －95＝0. 法二：由A (1,12)，B (7,10)，得A 、B 的中点坐标为(4,11)，k AB ＝－13，则AB 的中垂线方程为3x －y －1＝0. 同理得AC 的中垂线方程为x ＋y －3＝0.联立⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －1＝0x ＋y －3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝2，即圆心坐标为(1,2)，半径r ＝1－12＋2－122＝10.∴所求圆的方程为(x －1)2＋(y －2)2＝100.11．(2012年东城区综合练习)如右图所示，圆O 1和圆O 2的半径长都等于1，|O 1O 2|＝4.过动点P 分别作圆O 1，圆O 2的切线PM ，PN (M ，N 为切点)，使得|PM |＝2|PN |.试建立平面直角坐标系，并求动点P 的轨迹方程．解：以O 1O 2的中点O 为原点，O 1O 2所在的直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则O 1(－2,0)，O 2(2,0)．由已知|PM |＝2|PN |，得|PM |2＝2|PN |2.因为两圆的半径长均为1，所以|PO 1|2－1＝2(|PO 2|2－1)．设P (x ，y )，则(x ＋2)2＋y 2－1＝2[(x －2)2＋y 2－1]，化简，得(x －6)2＋y 2＝33，所以所求轨迹方程为(x －6)2＋y 2＝33.12．如图，在平面直角坐标系xOy 中，A (a,0)(a >0)，B (0，a )，C (－4,0)，D (0,4)，设△AOB 的外接圆圆心为E .(1)若⊙E 与直线CD 相切，求实数a 的值．(2)设点P 在⊙E 上，使△PCD 的面积等于12的点P 有且只有三个，试问这样的⊙E 是否存在？若存在，求出⊙E 的标准方程；若不存在，说明理由．解：(1)直线CD 方程为y ＝x ＋4，圆心E (a 2，a 2)，半径r ＝22a .由题意得|a 2－a2＋4|2＝22a ，解得a ＝4.(2)∵|CD |＝－42＋42＝42，∴当△PCD 面积为12时，点P 到直线CD 的距离为3 2.又圆心E 到直线CD 距离为22(定值)，要使△PCD 的面积等于12的点P 有且只有三个，需⊙E 的半径2a 2＝52，解得a ＝10，此时，⊙E 的标准方程为(x －5)2＋(y －5)2＝50. [热点预测]13．(2012年山东滨州质检)(1)已知圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋a ＝0关于直线y ＝2x ＋b 成轴对称，则a －b 的取值范围是______．(2)已知圆O 的方程为x 2＋y 2＝4，P 是圆O 上的一个动点，若OP 的垂直平分线总是被平面区域|x |＋|y |≥a 覆盖，则实数a 的取值范围是________．解析：(1)圆的方程变为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5－a ， ∴其圆心为(－1,2)，且5－a >0，即a <5. 又圆关于直线y ＝2x ＋b 成轴对称， ∴2＝－2＋b ，∴b ＝4.∴a －b ＝a －4<1.(2)满足题意的平面区域为如图中的正方形外部，故a ≤1.答案：(1)(－∞，1) (2)a ≤1。