第4章 线性规划在工商管理中的应用
管理运筹学期末复习资料【韩伯棠】
运筹学（Operational Research）复习资料第一章绪论一、名词解释1.运筹学：运筹学是应用分析、试验、量化的方法，对经济管理系统中的人力、物力、财力等资源进行统筹安排，为决策者提供有依据的最优方案，以实现最有效的管理。
二、选择题1.运筹学的主要分支包括（ABDE ）A图论B线性规划C非线性规划D整数规划E目标规划2. 最早运用运筹学理论的是（ A ）A . 二次世界大战期间，英国军事部门将运筹学运用到军事战略部署B . 美国最早将运筹学运用到农业和人口规划问题上C . 二次世界大战期间，英国政府将运筹学运用到政府制定计划D . 50年代，运筹学运用到研究人口，能源，粮食，第三世界经济发展等问题上第二章线性规划的图解法一、选择题/填空题1.线性规划标准式的特点：（1）目标函数最大化（2）约束条件为等式（3 决策变量为非负（4 ) 右端常数项为非负2. 在一定范围内，约束条件右边常数项增加一个单位：（1）如果对偶价格大于0，则其最优目标函数值得到改进，即求最大值时，最优目标函数值变得更大，求最小值时最优目标函数值变得更小。
（2）如果对偶价格小于0，则其最优目标函数值变坏，即求最大值时，最优目标函数值变小了；求最小值时，最优目标函数值变大了。
（3）如果对偶价格等于0，则其最优目标函数值不变。
3.LP模型（线性规划模型）三要素：（1）决策变量（2）约束条件（3）目标函数4. 数学模型中，“s·t”表示约束条件。
5. 将线性规划模型化成标准形式时，“≤”的约束条件要在不等式左端加上松弛变量。
6. 将线性规划模型化成标准形式时，“≥”的约束条件要在不等式左端减去剩余变量。
7．下列图形中阴影部分构成的集合是凸集的是A【解析】：如何判断是凸集？凸集：两点之间连线在图内凹集：两点之间连线在图外8. 线性规划问题有可行解且凸多边形无界，这时CA没有无界解 B 没有可行解 C 有无界解 D 有有限最优解9. 对于线性规划问题，下列说法正确的是（ D ）A. 线性规划问题可能没有可行解B. 在图解法上，线性规划问题的可行解区域都是“凸”区域C. 线性规划问题如有最优解，则最优解可在可行解区域顶点上到达D. 上述说法都正确第三章线性规划问题的计算机求解一、名词解释1.相差值：相应的决策变量的目标系数需要改进的数量，使得决策变量为正值。
线性规划在工商管理中的应用
线性规划的定义
01
线性规划是一种优化方法，用于解决线性约束条件下的优化问题
02
线性规划的目标是找到一组决策变量，使得目标函数达到最优值
03
线性规划的约束条件包括线性不等式约束和线性等式约束
04
线性规划的决策变量可以是连续的，也可以是离散的，但目标函数必须是线性的
线性规划的适用范围
01 线性规划适用于解决线性 目标函数和线性约束条件 的优化问题
线性规划在库存管理中的应用：通过优化库存 管理，降低库存成本，提高库存周转率
线性规划在供应链管理中的应用：通过优化供 应链管理，降低供应链成本，提高供应链效率
线性规划在销售预测中的应用：通过优化销售 预测，提高销售预测准确性，降低销售风险
运输与配送优化
D
线性规划在运输与配送优化中的实际应用案例
C 线性规划在运输与配送优化中的求解方法
粒子群优化算法： 模拟鸟群飞行，实 现全局优化
模拟退火算法：模 拟金属退火过程， 实现全局优化
启发式优化算法： 根据问题特点，实 现局部优化
跨学科的融合与创新
01
线性规划与其他 学科的融合：如 经济学、统计学、
计算机科学等
02
创新方法：如遗 传算法、模拟退 火算法、神经网
络等
03
应用领域：如供 应链管理、人力 资源管理、财务
某投资公司风险评估案例
背景：某投资公 司需要对其投资 项目进行风险评 估，以确定投资 策略
目标：通过线性 规划方法，评估 投资项目的风险 和收益
模型构建：建立 线性规划模型， 包括投资项目、 风险因素、收益 因素等变量
求解：通过求解 线性规划模型， 得到最优投资策 略
结果：根据求解 结果，确定投资 项目的风险和收 益，为投资决策 提供依据
[讲解]运筹学应用例题
![[讲解]运筹学应用例题](https://img.taocdn.com/s3/m/b6f6113a182e453610661ed9ad51f01dc28157b8.png)
线性规划在工商管理中的应用一、人力资源分配的问题例1某昼夜服务的公交线路每天各时间段内所需司机和乘务人员人数如下表所示：设司机和乘务人员分别在各时间段开始时上班；并连续工作8小时，问该公交线路应怎样安排司机和乘务人员，既能满足工作需要，又使配备司机和乘务人员的人数最少？例2 一家中型的百货商场对售货员的需求经过统计分析如下表所示：为了保证售货员充分休息，要求售货员每周工作五天，休息两天，并要求休息的两天是连续的，问应该如何安排售货员的休息日期，既能满足工作需要，又使配备的售货员的人数最少？二、生产计划问题例3 某公司面临一个是外包协作还是自行生产的问题。
该公司有甲、乙、丙三种产品，这三种产品都要经过铸造、机械加工和装配三道工序。
甲、乙两种产品的铸件可以外包协作，亦可以自行生产，但产品丙必须由本厂铸造才能保证质量。
有关情况如下表所示，公司中可利用的总工时为：铸造8000小时，机械加工12000小时和装配10000小时。
为了获得最大利润，甲、乙、丙三种产品各应生产多少件？甲、乙两种产品的铸件有多少由本公司铸造？有多少为外包协作？三、套裁下料问题例4 某工厂要做100套钢架，每套钢架需要长度分别为2.9米、2.1米、和1.5米的圆钢各一根。
已知原料每根长7.4米，问应如何下料，可使所用原料最省？四、配料问题例5某工厂要用三种原料1、2、3混合调配出三种不同规格的产品甲、乙、丙，产品的规格要求、产品的单价、每天能供应的原材料数量及原材料单价如下表所示：问该厂应如何安排生产，才能使利润最大？五、投资问题例6某部门现有资金200万元，今后五年内考虑给以下的项目投资：项目A：从第一年到第五年每年年初都可以投资，当年末能收回本利110%；项目B：从第一年到第四年每年年初都可以投资，次年末能收回本利125%，但规定每年最大投资额不能超过30万元；项目C：第三年初需要投资，到第五年末能收回本利140%，但规定每年最大投资额不能超过80万元；项目D：第二年初需要投资，到第五年末能收回本利155%，但规定每年最大投资额不能超过100万元。
线性规划在工商管理中的应用
线性规划在工商管理中的应用
一、引言
线性规划是一种数学优化方法，可以帮助在给定约束条件下找到最优解，其在工商管理中有着广泛的应用。
本文将探讨线性规划在工商管理中的具体应用情况。
二、供应链管理中的线性规划应用
供应链管理是工商管理中一个重要的领域，线性规划可以帮助优化供应链中的货物流动和库存管理。
通过优化运输路线和库存水平，企业可以降低成本，提高效率。
三、生产计划中的线性规划应用
线性规划可以帮助企业制定最优生产计划，平衡生产能力和市场需求之间的关系。
通过合理安排生产资源和生产顺序，企业可以实现生产成本最小化和生产效率最大化。
四、营销策略中的线性规划应用
在制定营销策略时，线性规划可以帮助企业确定最优的销售推广方式和渠道选择，以最大化收益。
通过考虑市场需求和销售成本等因素，企业可以制定更具有效果的营销策略。
五、人力资源管理中的线性规划应用
线性规划在人力资源管理中也有着重要的应用，例如员工排班和资源分配等方面。
通过线性规划方法，企业可以合理安排员工工作时间和工作任务，以提高员工效率和满足企业需求。
六、财务管理中的线性规划应用
在财务管理中，线性规划可以帮助企业进行财务规划和资金管理。
通过优化投资组合和资金分配，企业可以实现财务风险的最小化和资金利用效率的最大化。
结论
综上所述，线性规划在工商管理中有着广泛的应用，可以帮助企业优化决策和提高经营效率。
在实际运营中，企业可以结合线性规划方法，制定更科学合理的管理策略，从而实现经济效益的最大化。
管理运筹学知识
0 c1 100 • 假设产品甲的利润 50 元不变，即 c1 = 50 ，代到式（*）并整理得
50 c2 +
• 假若产品甲、乙的利润均改变，则可直接用式（*）来判断。
• 假设产品甲、乙的利润分别为60元、55元，则
- 2 - (60 / 55) - 1
那麽，最优解为 z = x1 + x2 和 z = 2 x1 + x2 的交点 x1 = 100，x2 = 200 。
• 工商企业对运筹学应用和需求是很大的 • 在工商企业推广运筹学方面有大量的工作要做
8
§4如何学习运筹学
• MBA学员学习运筹学要把重点放在结合实际的应用上，不要 被一些概念、理论的困难吓倒，要用好计算机这个强有力的工 具。
• MBA学员学习运筹学要充分发挥自己实践经验丰富和理论联系实际 能力强的优势。
*** 设备维修、更新，项目选择、评价，工程优化设计与管理等
5
运筹学方法使用情况(美1983)
70 60 50 40 30 20 10
0
从不使用 有时使用 经常使用
6
统计 计算机模拟
网络计划 线性规划
排队论 非线性规划
动态规划 对策论
运筹学方法在中国使用情况(随机抽样)
90 80 70 60 50 40 30 20 10
第4章 线性规划在工商管理中的应用
35
25 单价（元/kg） 65 25 35
解：设 xij 表示第 i 种(甲、乙、丙)产品中原料j 的 含量。这样我们建立数学模型时，要考虑： 对于甲: x11 , x12 , x13； x12≤0.25(x11+x12+x13) 22 x11≥0.5(x11+x12+x13) ,
马飞雄 / GDUFS
铸造工时(小时/件) 机加工工时(小时/件) 装配工时(小时/件) 自产铸件成本(元/件) 外协铸件成本(元/件) 机加工成本(元/件) 装配成本(元/件) 产品售价(元/件)
甲 5 6 3 3 5 2 3 23
乙 10 4 2 5 6 1 2 18
丙 7 8 2 4 -3 2 16
3
25 单价 每天最多供应量 (元/kg) 100 65 100 25 60 35 21 马飞雄 / GDUFS
产品名称 甲
乙
丙 原材料名称 1 2 3
规格要求 原材料1不少于50% 原材料2不超过25% 原材料1不少于25% 原材料2不超过50% 不限 每天最多供应量 100 100 60
单价（元/kg） 50
丙产品的单位利润为： 16 －（4+3+2）= 7 元/件 可得到xi（i=1, 2, 3, 4, 5）的单位利润分别为15, 10, 7, 13, 9（元）。 10
马飞雄 / GDUFS
铸造工时(小时 /件)/件) 铸造工时 (小时 机加工工时(小时 /件) /件) 机加工工时 (小时 装配工时(小时 /件)/件) 装配工时 (小时 自产铸件成本(元/件) 自产铸件成本 (元/件) 外协铸件成本(元/件) 外协铸件成本(元/件) 机加工成本(元/件) 机加工成本 ( 元 /件 ) 装配成本(元/件) 装配成本 (/元 产品售价(元 件)/件) 产品售价(元/件)
《管理运筹学》第4版课后习题解析(韩伯棠)
3x1 x2 s1 6 x1 2 x2 s2 10 7 x1 6 x2 4 x1 , x2 , s1 , s2 ≥ 0
（3）标准形式
2 x2 2 x2 0 s1 0 s2 min f x1
5 x2 s1 70 3x1 5 x2 5 x2 5 x2 50 2 x1 2 x2 2 x2 s2 30 3x1 , x2 , x2 , s1 , s2 ≥ 0 x1
4．解： 标准形式
max z 10 x1 5 x2 0 s1 0 s2
3x1 4 x2 s1 9 5 x1 2 x2 s2 8 x1 , x2 , s1 , s2 ≥ 0
松弛变量（0，0） 最优解为 x1 =1，x2=3/2。 5．解： 标准形式
min f 11x1 8 x2 0 s1 0 s2 0 s3
8
《管理运筹学》第四版课后习题解析
韩伯棠
第 3 章 线性规划问题的计算机求解
1．解： ⑴甲、乙两种柜的日产量是分别是 4 和 8，这时最大利润是 2720 ⑵每多生产一件乙柜，可以使总利润提高 13.333 元 ⑶常数项的上下限是指常数项在指定的范围内变化时， 与其对应的约束条件的对偶价格不变。 比如油漆时间变为 100，因为 100 在 40 和 160 之间，所以其对偶价格不变仍为 13.333 ⑷不变，因为还在 120 和 480 之间。 2．解： ⑴不是，因为上面得到的最优解不为整数解，而本题需要的是整数解 ⑵最优解为 (4，8) 3 ．解： ⑴农用车有 12 辆剩余 ⑵大于 300 ⑶每增加一辆大卡车，总运费降低 192 元 4．解： 计算机得出的解不为整数解，平移取点得整数最优解为(10，8) 5．解： 圆桌和衣柜的生产件数分别是 350 和 100 件，这时最大利润是 3100 元 相差值为 0 代表，不需要对相应的目标系数进行改进就可以生产该产品。 最优解不变，因为 C1 允许增加量 20-6=14；C2 允许减少量为 10-3=7，所有允许增加百分比 和允许减少百分比之和（7.5-6）/14+（10-9）/7〈100%，所以最优解不变。 6．解： （1） x1 150 ， x2 70 ；目标函数最优值 103 000。 （2）1、3 车间的加工工时数已使用完；2、4 车间的加工工时数没用完；没用完的加工工时 数为 2 车间 330 小时，4 车间 15 小时。 （3）50，0，200，0。 含义：1 车间每增加 1 工时，总利润增加 50 元；3 车间每增加 1 工时，总利润增加 200 元； 2 车间与 4 车间每增加一个工时，总利润不增加。 （4）3 车间，因为增加的利润最大。 （5）在 400 到正无穷的范围内变化，最优产品的组合不变。 （6）不变，因为在 0,500 的范围内。 （7）所谓的上限和下限值指当约束条件的右边值在给定范围内变化时，约束条件 1 的右边 值在 200,440 变化，对偶价格仍为 50（同理解释其他约束条件） 。 （8）总利润增加了 100×50=5 000，最优产品组合不变。 （9）不能，因为对偶价格发生变化。
运筹学第四章
第 5 次课 2学时本次课教学重点：建立数学模型本次课教学难点：建立数学模型本次课教学内容：第四章线性规划在工商管理中的应用第一节人力资源分配的问题例1．某昼夜服务的公交线路每天各时间段内所需司机和乘务人员数如下：设司机和乘务人员分别在各时间段一开始时上班，并连续工作八小时，问该公交线路怎样安排司机和乘务人员，既能满足工作需要，又配备最少司机和乘务人员?解：设x i( i = 1,2,…,7)表示星期一至日开始休息的人数,这样我们建立如下的数学模型。
目标函数：Min x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7约束条件：s.t. x1 + x2 + x3 + x4 + x5≥28x2 + x3 + x4 + x5 + x6≥15x3 + x4 + x5 + x6 + x7≥24x4 + x5 + x6 + x7 + x1≥25x5 + x6 + x7 + x1 + x2≥19x6 + x7 + x1 + x2 + x3≥31x7 + x1 + x2 + x3 + x4≥28x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7≥0例2．一家中型的百货商场，它对售货员的需求经过统计分析如下表所示。
为了保证售货人员充分休息，售货人员每周工作5天，休息两天，并要求休息的两天是连续的。
问应该如何安排售货人员的作息，既满足工作需要，又使配备的售货人员的人数最少？解：设x i ( i = 1,2,…,7)表示星期一至日开始休息的人数,这样我们建立如下的数学模型。
目标函数：Min x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7约束条件：s.t. x1 + x2 + x3 + x4 + x5 ≥28x2 + x3 + x4 + x5 + x6 ≥15x3 + x4 + x5 + x6 + x7 ≥24x4 + x5 + x6 + x7 + x1 ≥25x5 + x6 + x7 + x1 + x2 ≥19x6 + x7 + x1 + x2 + x3 ≥31x7 + x1 + x2 + x3 + x4 ≥28x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7 ≥0第二节生产计划的问题例3．某公司面临一个是外包协作还是自行生产的问题。
管理运筹学4线性规划在工商管理中的应用
contents
目录
• 线性规划的概述 • 线性规划在工商管理中的应用 • 线性规划的求解方法 • 线性规划的案例分析
01 线性规划的概述
线性规划的定义
线性规划是运筹学的一个重要分支， 它通过建立数学模型，求解线性目标 函数在一定约束条件下的最优解。
线性规划广泛应用于生产计划、物资 管理、运输优化、金融投资等领域。
线性规划在生产计划中应用广泛，通过合理安排生产任务和资源，降低生产成 本，提高生产效率。例如，某制造企业使用线性规划模型优化其生产线上的任 务分配，以最小化生产成本并最大化产量。
资源分配优化案例
总结词
资源分配优化
详细描述
线性规划可以帮助企业合理分配资源，实现资源利用的最大化。例如，某航空公 司使用线性规划模型优化其航班和机组人员的调度，以最小化运营成本并最大化 航班收益。
资金分配
线性规划可以用于资金分配，根据不同项目的投资回报率和风险， 合理分配资金，实现投资效益的最大化。
运输问题
1 2 3
货物运输
线性规划可以用于优化货物运输方案，根据货物 的目的地、运输成本和运输时间，选择最佳的运 输方式和路线。
人员运输
线性规划可以用于优化人员运输方案，根据人员 的出行需求、运输成本和时间，选择最佳的交通 工具和路线。
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感谢您的观看
生产成本控制
线性规划可以用于控制生产成本， 通过优化生产过程中的资源消耗 和成本投入，实现生产成本的最
小化。
资源分配问题
人力分配
线性规划可以用于合理分配人力资源，根据不同任务的需求和人 员的技能，优化人员配置，提高工作效率。
管理运筹学第二版 课后习题答案 (韩伯棠主编) 高教版
第2 章线性规划的图解法1、解：x26A1O01BC36x1a.可行域为 OABC。
b.等值线为图中虚线所示。
c.由图可知，最优解为 B 点，最优解：x1 =1215x2 =，最优目标函数值：7769。
72、解：a x210.60.1O0.10.6x1有唯一解x1 = 0.2x 2 = 0.6函数值为3.6b c d e 无可行解无界解无可行解无穷多解20x1 =923f 有唯一解函数值为83x2 =33、解：a 标准形式：max f = 3x1 + 2 x 2 + 0s1 + 0 s 2 + 0s 39 x1 + 2 x 2 + s1 = 303x1 + 2 x 2 + s 2 = 132 x1 + 2 x 2 + s3 = 9x1 , x 2 , s1 , s 2 , s3 ≥ 0b 标准形式：max f = −4 x1 − 6 x3 − 0s1 − 0s23x1 − x 2 − s1 = 6x1 + 2 x 2 + s 2 = 107 x1 − 6 x 2 = 4x1 , x 2 , s1 , s 2 ≥ 0c 标准形式：max f = − x1' + 2 x2 − 2 x2 − 0s1 − 0s2'''− 3x1 + 5 x 2 − 5 x 2' + s1 = 70''2 x1' − 5 x 2 + 5 x 2' = 50''3x1' + 2 x 2 − 2 x 2' − s 2 = 30''x1' , x 2 , x 2' , s1 , s 2 ≥ 0''4 、解：标准形式：max z = 10 x1 + 5 x 2 + 0 s1 + 0 s 23x1 + 4 x 2 + s1 = 95 x1 + 2 x 2 + s 2 = 8x1 , x 2 , s1 , s 2 ≥ 0s1 = 2, s2 = 0标准形式：min f = 11x1 + 8 x 2 + 0s1 + 0s 2 + 0s310 x1 + 2 x 2 − s1 = 203x1 + 3x 2 − s 2 = 184 x1 + 9 x 2 − s3 = 36x1 , x 2 , s1 , s 2 , s3 ≥ 0 s1 = 0, s2 = 0, s3 = 136 、解：b 1 ≤ c1 ≤ 3c 2 ≤ c2 ≤ 6d x1 = 6x2 = 4x 2 = 16 − 2 x1e x1 ∈[4,8]f 变化。
运筹学钱颂迪答案
运筹学钱颂迪答案【篇一： 803 运筹学】class=txt>运筹学考试大纲一、考试性质运筹学是我校航空运输管理学院硕士生入学考试的综合考试科目之一，它是我校为招收交通运输规划与管理学科硕士研究生而实施的水平考试，其评价标准是普通高等院校优秀本科毕业生能够达到的及格以上水平，以保证被录取者较好地掌握了必备的专业基础知识。
本门课程主要考试内容包括：线性规划及其对偶理论、运输问题、目标规划、整数规划、动态规划、图与网络分析，注重考察考生是否已经掌握运筹学最基本的理论知识与方法。
二、考试形式与试卷结构1.答卷方式：闭卷、笔试2.答卷时间： 180 分钟3.题型比例：满分 150 分，基本概念 20% ，计算及证明题 80%三、考查要点1.线性规划及对偶理论：单纯形法，改进单纯形法。
线性规划的对偶理论，对偶单纯形法，灵敏度分析；2.运输问题：运输问题的数学模型；用表上作业法求解运输问题；产销不平衡的运输问题及其求解方法；3.目标规划：目标规划的数学模型，目标规划的图解法与单纯形法；4.整数规划：0－1 型整数规划，分支定界解法，割平面解法，指派问题；5.动态规划：动态规划的基本概念和基本方法，动态规划的最优性原理与最优性定理，动态规划与静态规划的关系，动态规划的应用；6.图与网络分析：图与树的基本概念，最短路问题，网络最大流问题，最小费用最大流问题，中国邮路问题，网络计划。
四、主要参考书目1、郭耀煌，李军 .运筹学原理与方法. 成都：西南交通大学出版社，2004 ；2 、钱颂迪主编. 运筹学（修订版）. 北京：清华大学出版社，1991 。
【篇二：运筹学大纲(13 、 14 级使用)2014.9 】（理论课程）开课系（部）：数理教研部课程编号：380020 、 381703课程类型：专业必修课或学科必修课总学时： 48 或 32学分：3或2适用专业：信息管理与信息系统、投资学、工业工程、工程管理、经济统计学、物流管理开课学期： 3 或 4 或 5先修课程：高等数学、线性代数一、课程简述本课程是以经济活动方面的问题以及解决这类问题的原理和方法作为研究的对象，把经济活动中的问题归结为对应的某种数学模型，运用数学知识等工具求得最合理的工作方案。
第四章线性规划在工商管理中的应用
了星期六开始休息和星期日开始休息的人外都应该上
班，即有x1+x2+x3+x4+x5≥28，
目标函数: min x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7
约束条件: x1 x2 x3 x4 x5 28
喂！请问数学模型？
x2 x3 x4 x5 x6 15
为了保证售货人员充分休息，售货人员每周工作五 天，休息两天，并要求休息的两天是连续的，问应该 如何安排售货人员的作息，既满足了工作需要，又使 配备的售货人员的人数最少?
解：设x1为星期一开始休息的人数，x2为星期二开始休 息的人数，…，x7为星期日开始休息的人数。目标是要求 售货人员的总数最少。因为每个售货员都工作五天，休息
1
广西大学
王中昭 制作
2
0
0.3
0
2.25
3
4000
0
从对偶价格栏可知铸造每工时的对偶价格为0.3元，
机加工每工时的对偶价格为2.25元，装配每工时的对偶
价格为零元。这样如果有人以低于铸造和机加工的对偶
价格来提供铸造及机加工的工时则可以购入来获取差价
（例如外协铸造工时价格低于0.3元，则外协铸造合算)。
两天，所以只要计算出连续休息两天的售货员人数，也就
计算出了售货员的总数。把连续休息两天的售货员按照开
始休息的时间分成7类，各类的人数分别为X1，X2，…X7，
即有目标函数: min X1+X2+X3+X4+X5+X6+X7
6
模型：
广西大学 再按照每天所需售货员的人数写出约束条件，例如
王中昭
制星作 期日需要28人，我们知道商场中的全体售货员中除
运筹学应用例题
线性规划在工商管理中的应用一、人力资源分配的问题例1某昼夜服务的公交线路每天各时间段内所需司机和乘务人员人数如下表所示：设司机和乘务人员分别在各时间段开始时上班；并连续工作8小时，问该公交线路应怎样安排司机和乘务人员，既能满足工作需要，又使配备司机和乘务人员的人数最少？例2 一家中型的百货商场对售货员的需求经过统计分析如下表所示：为了保证售货员充分休息，要求售货员每周工作五天，休息两天，并要求休息的两天是连续的，问应该如何安排售货员的休息日期，既能满足工作需要，又使配备的售货员的人数最少？二、生产计划问题例3 某公司面临一个是外包协作还是自行生产的问题。
该公司有甲、乙、丙三种产品，这三种产品都要经过铸造、机械加工和装配三道工序。
甲、乙两种产品的铸件可以外包协作，亦可以自行生产，但产品丙必须由本厂铸造才能保证质量。
有关情况如下表所示，公司中可利用的总工时为：铸造8000小时，机械加工12000小时和装配10000小时。
为了获得最大利润，甲、乙、丙三种产品各应生产多少件？甲、乙两种产品的铸件有多少由本公司铸造？有多少为外包协作？三、套裁下料问题例4 某工厂要做100套钢架，每套钢架需要长度分别为2.9米、2.1米、和1.5米的圆钢各一根。
已知原料每根长7.4米，问应如何下料，可使所用原料最省？四、配料问题例5某工厂要用三种原料1、2、3混合调配出三种不同规格的产品甲、乙、丙，产品的规格要求、产品的单价、每天能供应的原材料数量及原材料单价如下表所示：问该厂应如何安排生产，才能使利润最大？五、投资问题例6 某部门现有资金200万元，今后五年内考虑给以下的项目投资：项目A ：从第一年到第五年每年年初都可以投资，当年末能收回本利110%； 项目B ：从第一年到第四年每年年初都可以投资，次年末能收回本利125%，但规定每年最大投资额不能超过30万元；项目C ：第三年初需要投资，到第五年末能收回本利140%，但规定每年最大投资额不能超过80万元；项目D ：第二年初需要投资，到第五年末能收回本利155%，但规定每年最大投资额不能超过100万元。
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套裁下料问题
解： 共可设计下列5 种下料方案，见下表
2.9 m 2.1 m 1.5 m 合计 剩余料头
方案 1 方案 2 方案 3 方案 4 方案 5 1 2 0 1 0 0 0 2 2 1 3 1 2 0 3 7.4 7.3 7.2 7.1 6.6 0 0.1 0.2 0.3 0.8
设 x1,x2,x3,x4,x5 分别为上面 5 种方案下料的原材料根数。这样我们 建立如下的数学模型。 目标函数： Min 约束条件： s.t.
所需售货员人数 28 15 24 25 19 31 28
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§1 人力资源分配的问题
解：设 xi ( i = 1,2,…,7)表示星期一至日开始休息 的人数,这样我们建立如下的数学模型。 x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 目标函数： Min 约束条件：s.t. x1 + x2 + x3 + x4 + x5 ≥ 28 x2 + x3 + x4 + x5 + x6 ≥ 15 x3 + x4 + x5 + x6 + x7 ≥ 24 x4 + x5 + x6 + x7 + x1 ≥ 25 x5 + x6 + x7 + x1 + x2 ≥ 19 x6 + x7 + x1 + x2 + x3 ≥ 31 x7 + x1 + x2 + x3 + x4 ≥ 28 x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7 ≥ 0
约束条件： 约束条件： 从第1个表中有：
x11≥0.5(x11+x12+x13) x12≤0.25(x11+x12+x13) x21≥0.25(x21+x22+x23) x22≤0.5(x21+x22+x23)
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§4 配料问题
从第2个表中，生产甲乙丙的原材料不能超过原 材料的供应限额，故有 (x11+x21+x31)≤100 (x12+x22+x32)≤100 (x13+x23+x33)≤60 通过整理，得到以下模型：
x111+ x112- x121- x122- x123 = 0 （Ⅰ产品在A、B工序加工的数量相等） x211+ x212- x221 x312
- x322 = 0 （Ⅱ产品在A、B工序加工的数量相等） = 0 （Ⅲ产品在A、B工序加工的数量相等）
xijk ≥ 0 , i = 1,2,3; j = 1,2; k = 1,2,3
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§4 配料问题
例6．（续）
目标函数：Max z = -15x11+25x12+15x13-30x21+10x22-40x31-10x33 约束条件： s.t. 0.5 x11-0.5 x12 -0.5 x13 ≥ 0 （原材料1不少于50%） -0.25x11+0.75x12 -0.25x13 ≤ 0 （原材料2不超过25%） 0.75x21-0.25x22 -0.25x23 ≥ 0 （原材料1不少于25%） -0.5 x21+0.5 x22 -0.5 x23 ≤ 0 （原材料2不超过50%）
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§2 生产计划的问题
解：设 xijk 表示第 i 种产品，在第 j 种工序上的第 k 种设备上加工的 数量。建立如下的数学模型: s.t. 5x111 + 10x211 7x112 + 6x121 + 4x122 7x123 8x221 ≤ 6000 （ 设备 A1 ） （ 设备 A2 ） （ 设备 B1 ） （ 设备 B2 ） （ 设备 B3 ） 9x212 + 12x312 ≤ 10000 ≤ 4000 + 11x322 ≤ 7000 ≤ 4000
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§2 生产计划的问题
解：设 x1,x2,x3 分别为三道工序都由本公司加工的甲、乙、丙三种 产品的件数，x4,x5 分别为由外协铸造再由本公司加工和装配的甲、乙两 种产品的件数。 求 xi 的利润：利润 = 售价 - 各成本之和 产品甲全部自制的利润 产品甲铸造外协，其余自制的利润 产品乙全部自制的利润 产品乙铸造外协，其余自制的利润 产品丙的利润 =23-(3+2+3)=15 =23-(5+2+3)=13 =18-(5+1+2)=10 =18-(6+1+2)=9 =16-(4+3+2)=7
x1 + x2 + x3 + x1 + 2x2 + 2x3 + 3x1 + x2 + 2x3 x1,x2,x3,x4,x5 ≥
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x4 + x5 x4 ≥ 100 2x4 + x5 ≥ 100 + 3x5 ≥ 100
0
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§3 套裁下料问题
• 用“管理运筹学”软件计算得出最优下料方案：按方案1下 料30根；按方案2下料10根；按方案4下料50根。 即 x1=30; x2=10； x3=0； x4=50； x5=0； 只需90根原材料就可制造出100套钢架。 • 注意：在建立此类型数学模型时，约束条件用大于等于号 比用等于号要好。因为有时在套用一些下料方案时可能会 多出一根某种规格的圆钢，但它可能是最优方案。如果用 等于号，这一方案就不是可行解了。
可得到 xi （i = 1,2,3,4,5） 的利润分别为 15、10、7、13、9 元。
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§2 生产计划的问题
通过以上分析,可建立如下的数学模型:
目标函数： 约束条件：
Max
15x1 + 10x2 + 7x3 + 13x4 + 9x5 4x2 + 8x3 + 6x4 + 4x5 ≤ 12000 2x2 + 2x3 + 3x4 + 2x5 ≤ 10000
第四章 线性规划在工商管理中的应用
• §1 • §2 • §3 • §4 • §5 人力资源分配的问题 生产计划的问题 套裁下料问题 配料问题 投资问题
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§1 人力资源分配的问题
例1．某昼夜服务的公交线路每天各时间段内所需司机 和乘务人员数如下：
班次 1 2 3 4 5 6 时间 6：00 —— 10：00 10：00 —— 14：00 14：00 —— 18：00 18：00 —— 22：00 22：00 —— 2：00 2：00 —— 6：00 所需人数 60 70 60 50 20 30
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§4 配料问题
• 利润=总收入-总成本=甲乙丙三种产品的销售单价*产品数量-甲乙丙使 用的原料单价*原料数量，故有 目标函数
Max 50（x11+x12+x13）+35（x21+x22+x23）+25（x31+x32+x33）65（x11+x21+x31）-25（x12+x22+x32）-35（x13+x23+x33） = -15x11+25x12+15x13-30x21+10x22-40x31-10x33
设司机和乘务人员分别在各时间段一开始时上班，并 连续工作八小时，问该公交线路怎样安排司机和乘务人员， 既能满足工作需要，又配备最少司机和乘务人员?
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§1 人力资源分配的问题
解：设 xi 表示第i班次时开始上班的司机和乘务人员数, 这样我们建立如下的数学模型。
x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 约束条件：s.t. x1 + x6 ≥ 60 x1 + x2 ≥ 70 x2 + x3 ≥ 60 x3 + x4 ≥ 50 x4 + x5 ≥ 20 x5 + x6 ≥ 30 x1,x2,x3,x4,x5,x6 ≥ 0
经整理可得：
Max0.75x111+0.7753x112+1.15x211+1.3611x212+1.9148x312-0.375x1210.5x221-0.4475x122-1.2304x322-0.35x123
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我们也可以只设一个下标的决策变量
设备 A1 A2 B1 B2 B3 原料（元/件） 售价（元/件） 产品单件工时 Ⅰ Ⅱ Ⅲ 5 10 7 9 12 6 8 4 11 7 0.25 0.35 0.50 1.25 2.00 2.80 设备的 有效台时 6000 10000 4000 7000 4000 满负荷时的 设备费用 300 321 250 783 200
5x1 + 10x2 + 7x3 ≤ 8000 6x1 + 3x1 +
x1,x2,x3,x4,x5 ≥ 0
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§2 生产计划的问题
例4．永久机械厂生产Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三种产品，均要经过A、B两 道工序加工。设有两种规格的设备A1、A2能完成 A 工序； 有三种规格的设备B1、B2、B3能完成 B 工序。Ⅰ可在A、B 的任何规格的设备上加工；Ⅱ 可在任意规格的A设备上加 工，但对B工序，只能在B1设备上加工；Ⅲ只能在A2与B2设 备上加工。数据如表。问：为使该厂获得最大利润，应如 何制定产品加工方案？