2018届苏教版 函数的单调性与最值 单元测试

函数的单调性与最值

一、填空题

1．函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝2，对任意x ∈R ，f ′(x )＞2，则f (x )

＞2x ＋4的解集为________．

解析 令函数g (x )＝f (x )－2x －4，则g ′(x )＝f ′(x )－2＞0，因此，g (x )在R 上是增函数，又因为g (－1)＝f (－1)＋2－4＝2＋2－4＝0.所以，原不等式可化为：g (x )＞g (－1)，由g (x )的单调性，可得x ＞－1.

答案 (－1，＋∞)

2．已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)单调增加，则满足f (2x －1)＜f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫13的x 取值范围是________． 解析 由题意可知|2x －1|＜13，解得13＜x ＜23

. 答案 ⎝ ⎛⎭

⎪⎫13，23 3．函数f (x )(x ∈R)的图象如图所示，则函数g (x )＝f (log a x )(0＜a ＜1)的单调减区间是_______．

解析 ∵0＜a ＜1，∴u ＝log a x 在(0，＋∞)上为减函数，根据复合函数的单调性

及图象知，若f (x )为增函数，则

g (x )为减函数，故0≤log a x ≤12，∴a ≤x ≤1，

∴单调减区间为[a ，1]．

答案 [a ，1]

4．下列函数：①y ＝x 3；②y ＝|x |＋1；③y ＝－x 2＋1；④y ＝

2－|x |.既是偶函数又在(0，＋∞)单调递增的函数序号是________．

解析 y ＝x 3是奇函数，y ＝－x 2＋1与y ＝2

－|x |在(0，＋∞)上是减函数．

答案 ② 5．已知f (x )是定义在(－1,1)上的奇函数，且f (x )在(－1,1)上是减函数，则不等式f (1－x )＋f (1－x 2

)＜0的解集为________．

解析 由f (x )是定义在(－1,1)上的奇函数，

及f (1－x )＋f (1－x 2)＜0，

得f (1－x )＜－f (1－x 2)，

所以f (1－x )＜f (x 2－1)．

又因为f (x )在(－1,1)上是减函数，

所以⎩⎪⎨⎪⎧ －1＜1－x ＜1，－1＜1－x 2＜1，解得0＜x ＜1.

1－x ＞x 2－1.

故原不等式的解集为(0,1)．

答案 (0,1) 6．已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ≤0时，y ＝f (x )是减函数，若|x 1|＜|x 2|，则结论：①f (x 1)－f (x 2)＜0；②f (x 1)－f (x 2)＞0；③f (x 1)＋f (x 2)＜0；④f (x 1)＋f (x 2)＞0中成立的是________(填所有正确的编号)．

解析 由题意，得f (x )在[0，＋∞)上是增函数，且f (x 1)＝f (|x 1|)，f (x 2)＝f (|x 2|)，从而由0≤|x 1|＜|x 2|，得f (|x 1|)＜f (|x 2|)，即f (x 1)＜f (x 2)，f (x 1)－f (x 2)＜0，只能①是正确的．

答案 ①

7．函数f (x )＝log 2(x 2

－1)的单调减区间为________．

答案 (－∞，－1)

8．函数f (x )＝1x －1在[2,3]上的最小值为________，最大值为________． 答案 12

，1 9．若函数f (x )＝|2x ＋a |的单调递增区间是[3，＋∞)，则a ＝________.

解析 ∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋a ，x ≥－a 2，－2x －a ，x <－a 2

， ∴f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－a 2上单调递减，在⎣⎢⎡⎭

⎪⎫－a 2，＋∞上单调递增，∴－a 2＝3，∴a ＝－6. 答案 －6

10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ e －x －2，x ≤0，2ax －1，x ＞0(a 是常数且a ＞0)．对于下列命题：

①函数f (x )的最小值是－1；

②函数f (x )在R 上是单调函数；

③若f (x )＞0在⎣⎢⎡⎭

⎪⎫12，＋∞上恒成立，则a 的取值范围是(1，＋∞)； ④对任意的x 1＜0，x 2＜0且x 1≠x 2，恒有f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫x 1＋x 22＜ f x 1 ＋f x 2 2.

其中正确命题的序号是________(写出所有正确命题的序号)．

解析

根据题意可画出草图，由图象可知，①显然正确；函数f (x )在R 上不是单调函数，故②错误；若f (x )

＞0在⎣⎢⎡⎭

⎪⎫12，＋∞上恒成立，则2a ×12－1＞0，a ＞1，故③正确；由图象可知在(－∞，0)上对任意的x 1＜0，x 2＜0

且x 1≠x 2，恒有f ⎝

⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＜f x 1 ＋f x 2 2成立， 故④正确．

答案 ①③④

二、解答题

11．已知函数f (x )＝1a －1x

(a >0，x >0)． (1)求证：f (x )在(0，＋∞)上是增函数．

(2)若f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域是⎣⎢⎡⎦

⎥⎤12，2，求a 的值． (1)证明 法一 设x 2>x 1>0，则x 2－x 1>0，x 1x 2>0.

因为f (x 2)－f (x 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1x 1＝1x 1－1x 2＝x 2－x 1x 1x 2

>0，所以f (x 2)>f (x 1)， 因此f (x )在(0，＋∞)上是增函数．

法二 因为f (x )＝1a －1x

， 所以f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1x ′＝1x 2>0， 所以f (x )在(0，＋∞)上为增函数．

(2)解 因为f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域是⎣⎢⎡⎦

⎥⎤12，2， 又f (x )在⎣⎢⎡⎦

⎥⎤12，2上单调递增， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12

，f (2)＝2，故a ＝25. 12．已知函数f (x )对于任意x ，y ∈R ，总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，且当x ＞0时，f (x )＜0，f (1)＝－23

. (1)求证：f (x )在R 上是减函数．