第27讲：与圆有关的角
圆中有关的角
年 级 初三 学 科 数学 编稿老师 田一鹏 课程标题 圆中有关的角一校 张琦锋二校林卉审核孙永涛一、考点突破1. 掌握和圆有关的角：圆心角、圆周角、圆内角、圆外角、弦切角的定义及其度量。
2. 掌握圆内接四边形的性质定理。
3. 了解弧、弦、圆心角、圆周角之间的关系，并能运用这些关系解决有关问题。
二、重难点提示重点：弧、弦、圆心角、圆周角之间的关系。
难点：圆周角定理的应用和分类讨论的思想在解题中的应用。
一、圆中有关的角⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩圆心角圆周角圆中有关的角圆内角圆外角弦切角1. 圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。
OCB把整个圆周等分成360份，每一等份弧是1°的弧，圆心角的度数和它所对的弧的度数相等。
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等，那么它们相对应的其余各组量都相等。
2. 圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。
OBCA一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，同弧或等弧所对的圆周角相等；反之也成立。
直径所对的圆周角是直角。
BCAO3. 圆内角：顶点在圆内（两边自然和圆相交）的角叫圆内角。
P OBA圆内角的度数等于它所对的弧的度数与它的对顶角所对的弧的度数的和的一半。
DPB COA4. 圆外角：顶点在圆外，并且两边都和圆相交（或相切）的角叫圆外角。
DPBCAO圆外角的度数等于它所夹的两弧度数的差（较大弧的度数减去较小弧的度数）的一半。
5. 弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。
弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。
推论①弦切角等于它所夹的弧所对的圆心角的一半。
推论②如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等。
二、圆的内接四边形如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，那么这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆。
角与圆的关系
已知：如图直线ABP和CDP是自点P 引的⊙O的两条割线 求证：PA·PB=PC·PD
证明：连接AD、BC∵∠A和∠C都 对弧BD ∴由圆周角定理，得 ∠A=∠C 又∵∠P=∠P ∴△ADP∽△CBP （如果一个三角 形的两个角与另一个三角形的两个
角对应相等，那么这两个三角形相 似。）
对等角）
∵∠BOD、∠COD分别是△AOB、△AOC
的外角
∴∠BOD=∠BAD+∠ABO=2∠BAD(三角 形的外角等于两个不相邻两个内角的和）
图2
∠COD=∠CAD+）
∴∠BOC=∠BOD+∠COD=2(∠BAD+
∠CAD)=2∠BAC
情况3：
角与圆的关系
顶点在圆内，由两 条弦在圆内相交所 成的角叫圆内角
顶点在圆周上，并 且两边都和圆相交 的角叫圆周角
顶点在圆外，由 圆的两条割线组 成的角叫圆外角
如右图，已知在⊙O中，弦AB、CD 交于点P。
连OA、OB、OC、OD和BC。 在⊙O中，∠BCD= 12∠BOD（圆周角 定理）； 同理，∠ABC= 12∠AOC。 ∵∠APC是△PCB的外角，
即A、O、B在同一直线上时：
∵OA、OC是半径
图1
解：∴OA=OC
∴∠BAC=∠ACO（等边对等角）
∵∠BOC是△AOC的外角
∴∠BOC=∠BAC+∠ACO=2∠BAC
情况2：
如图2, 当圆心O在∠BAC的内部时：
连接AO，并延长AO交⊙O于D
∵OA、OB、OC是半径
解：∴OA=OB=OC
∴∠BAD=∠ABO，∠CAD=∠ACO（等边
的外角等于两个不相邻两个内角的和）
与圆相关的角
与圆相关的角
一、圆心角：顶点在圆心的角.
我们知道，一个周角是360︒. 把圆周分成360份，每一份叫做1︒的弧. 因此，n ︒的圆心角对的弧是n ︒的弧；反之，n ︒的弧所对的圆心角的度数是n ︒. 从而有 圆心角定理 圆心角的度数等于它所对的弧的度数.
如图，在O 中，AOB AB ∠=.
二、圆周角：顶点在圆周上，并且两边都与圆相交的角.
圆周角定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
如图，在O 中，11
22
CAD COD CD ∠=∠=.
三、圆内角：顶点在圆内的角.
圆内角定理 圆内角的度数等于它及其对顶角所对的弧的度数之和的一半.
如图，在O 中，()
1
2
AEB ADB CAD AB CD ∠=∠+∠=
+. 四、圆外角：顶点在圆外，并且两边都与圆相交的角.
圆外角定理 圆外角的度数等于它所夹的弧的度数之差的一半.
如图，在O 中，()
1
2
AEB ADB CAD AB CD ∠=∠-∠=
-. 五、弦切角：顶点在圆上，一边与圆相交、一边与圆相切的角. 弦切角定理 弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角.
如图，在O 中，1
2
CBD BAD BD ∠=∠=。
与圆有关的角
专题19 与圆有关的角阅读与思考与圆有关的角主要有圆心角、圆周角、弦切角.特别的，直径所对的圆周角是直角.圆内接四边形提供相等的角、互补的角，在理解与圆有关的角的概念时，要注意角的顶点与圆的位置关系、角的两边与圆的位置关系.角在解题中经常发挥重要的作用，是证明角平分线、两线平行、两线垂直，判定全等三角形、相似三角形的主要条件，而圆的特点又使角的互相转化具备了灵活多变的优越条件，是解题中最活跃的元素.熟悉以下基本图形和以上基本结论.例题与求解【例1】如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝2，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E，则△CDE的面积为___________. （海南省竞赛题）DE CBAODMOBAC例1题图例2题图解题思路：作DF⊥BC于F，需求出CE，DF的长.由AB为⊙O的直径作出相关辅助线.【例2】如图，△ABC内接于⊙O，M是»BC的中点，AM交BC于点D，若AD＝3，DM＝1，则MB 的长是（）A．4 B．2 C．3 D． 3解题思路：图中隐含许多相等的角，利用比例线段计算.【例3】如图1，⊙O 中AB 是直径，C 是⊙O 上一点，∠ABC ＝45°，等腰直角三角形DCE 中， ∠DCE 是直角，点D 在线段AC 上. (1) 证明：B ，C ，E 三点共线；(2) 若M 是线段BE 的中点，N 是线段AD 的中点，证明：MN ＝2OM ； (3) 将△DCE 绕点C 逆时针旋转α(0°＜α＜90°)后，记为△D 1CE 1(如图2).若M 1是线段BE 1的中点，N 1是线段AD 1的中点，M 1N 1＝2OM 1是否成立？若是，请证明；若不是，说明理由.解题思路：对于(2)，充分利用条件中的多个中点，探寻线段之间的数量关系与位置关系.【例4】如图所示，ABCD 为⊙O 的内接四边形，E 是BD 上的一点， ∠BAE ＝∠DAC . 求证：(1)△ABE ∽△ACD ；(2) AB ·DC ＋AD ·BC ＝AC ·BD . （陕西省竞赛试题） 解题思路：由(1)可类比猜想，为(2)非常规问题的证明铺平道路.【例5】如图1，已知⊙M 与x 轴交于点A ，D ，与y 轴正半轴交于点B ，C 是⊙M 上一点，且A （－2,0），B （0，4），AB ＝BC .(1) 求圆心M 的坐标；(2) 求四边形ABCD 的面积；(3) 如图2，过C 点作弦CF 交BD 于点E ，当BC ＝BE 时，求CF 的长. 解题思路：作出基本辅助线（如连接BM 或AC ），这是解(1)、(2)的基础；对于(3)，由BC ＝BE ，得∠BEC ＝∠BCE ，连接AC ，将与圆无关的∠BEC 转化为与圆有关角，导出CF 平分∠ACD ，这是解题的关键.xy xyEC D MBA O CDMB A OFCOO E DM 1E 1D 1A BN MABC N 1图1图2OABCD E【例6】如图，AB ，AC ，AD 是⊙O 中的三条弦，点E 在AD 上，且AB ＝AC ＝AE . 求证：(1) ∠CAD ＝2∠DBE ；(2) AD 2－AB 2＝BD ·DC . （浙江省竞赛试题）解题思路：对于（2），AD 2－AB 2＝(AD ＋AB )(AD －AB )＝ (AD ＋AE )(AD －AE )＝ (AD ＋AE ) ·DE ，需证(AD ＋AE ) ·DE ＝BD ·DC ，从构造相似三角形入手.OE ABDC能力训练A 级1.如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，∠BAC ＝30°，点P 在线段OB 上运动.设∠ACP ＝x ，则x 的取值范围是________.2.如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，F 是CG 的中点，延长AF 交⊙O 于E ，CF ＝2，AF ＝3，则EF 的长为________.x第3题图第2题图第1题图P BF DC O AOBOBAC PG E AD C3.如图，AB ，CD 是⊙O 的两条弦，它们相交于点P .连接AD ，BD ，已知AD ＝BD ＝4，PC ＝6，那么CD 的长为________.4.如图，圆内接四边形ABCD 中的两条对角线相交于点P ，已知AB ＝BC ，CD ＝12BD ＝1.设AD ＝x ，用x 的代数式表示P A 与PC 的积：P A ·PC ＝__________. （宁波市中考试题）5.如图，ADBC 是⊙O 的内接四边形，AB 为直径，BC ＝8，AC ＝6，CD 平分∠ACB ，则AD ＝( )A ．50B ．32C ．5 2D ．4 2OABC DOABDCG O BACED第4题图 第5题图 第6题图6.如图，在△ABC 中，AD 是高，△ABC 的外接圆直径AE 交BC 边于点G ，有下列四个结论：①AD 2A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个（哈尔滨市中考试题）7.如图，正△ABC 内接于⊙O ，P 是劣弧»BC上任意一点，P A 与BC 交于点E ，有如下结论：①P A ＝PB ＋PC ；②111AP PB PC=+；③P A ·PE ＝PB ·PC .其中正确结论的个数是( ) （天津市中考试题） A ．3个 B ．2个 C ．1个 D ．0个8. 如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，延长AD ，BC 交于点M ，延长AB ，DC 交于点N ，∠M ＝20°，∠N ＝40°，则∠A 的大小为（ ）A ．35°B ．60°C ．65°D ．70°EO A BC PC B DOMNAE OABCD第7题图 第8题图 第9题图9. 如图，已知⊙O 的内接四边形ABCD 中，AD ＝CD ，AC 交BD 于点E .求证：(1)AD DEBD AD=； (2) AD ·CD －AE ·EC ＝DE 2； （扬州市中考试题）10. 如图，已知四边形ABCD 外接圆⊙O 的半径为5，对角线AC 与BD 交于点E ，且AB 2＝AE •AC ，BD ＝8，求△ABD 的面积. （黑龙江省中考试题）E O CBAD11. 如图，已知⊙O 的内接△ABC 中，AB ＋AC ＝12，AD ⊥BC 于D ，AD ＝3. 设⊙O 的半径为y ，AB 的长为x .(1) 求y 与x 之间的函数关系式；(2) 当AB 的长等于多少时，⊙O 的面积最大？并求出⊙O 的最大面积. （南京市中考试题）OBDAC12. 如图，已知半圆⊙O 的直径AB ＝4，将一个三角板的直角顶点固定在圆心O 上.当三角板绕着O 点转动时，三角板的两条直角边与半圆周分别交于C ，D 两点，连接AD ，BC 交于点E .(1) 求证：△ACE ∽△BDE ； (2) 求证：BD ＝DE ；(3) 设BD ＝x ，求△AEC 的面积y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围.（广东省中考试题）E DABCB 级1.如图，△ABC 内接于直径为d 的圆，设BC ＝a ，AC ＝b ，那么△ABC 的高CD ＝__________.2.如图，在平面直角坐标系中，△OCB 的外接圆与y 轴相交于点A （0，2），∠OCB ＝60°，∠COB ＝45°，则OC ＝__________.OA BCD xyABOCBAOCD第1题图 第2题图 第3题图3.如图，AB 为⊙O 的直径，CD ⊥AB ，设∠COD ＝α，则2sin 2AB ADg ＝________.（江苏省竞赛试题）AB ＝b ，则AC ＝___________. （“东亚杯”竞赛试题）5.如图，ABCD 是一个以AD 为直径的圆内接四边形，AB ＝5，PC ＝4，分别延长AB 和DC ，它们相交于点P ，若∠APD ＝60°，则⊙O 的面积为（ ）A ．25πB ．16πC ．15πD ．13π 6. 如图，AB ＝AC ＝AD ，若∠DAC 是∠CAB 的k 倍（k 为正数），那么∠DBC 是∠BDC 的（ ） A ．k 倍 B ．2k 倍 C ．3k 倍 D ．以上答案都不对OBACDOPBADCABDC第4题图 第5题图 第6题图7. 如图，AD 是Rt △ABC 斜边BC 上的高，AB ＝AC ，过A ，D 两点的圆与AB ，AC 分别相交于E ，F ，弦EF 与AD 相交于点G ，则图中与△GDE 相似的三角形的个数为( )A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个8．如图，AB 为⊙O 的直径，AC 交⊙O 于点E ，BC 交⊙O 于点D ，CD ＝BD ，∠C ＝70°，现给出以下四个结论：①∠A ＝45°；②AC ＝AB ；③»»AE BE；④CE ·AB ＝2BD 2.其中正确结论的序号是( ) A ．①② B ．②③ C ．②④ D ．③④（苏州市中考试题）GDFE BCAD EOC ABOA BCD E第7题图 第8题图 第9题图9. 如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，BC 为⊙O 的直径，E 为DC 边上一点，若AE ∥BC , AE ＝EC ＝7，AB ＝6.(1) 求AD 的长；(2) 求BE 的长. （绍兴市竞赛题）10.如图1，已知M （12， 32），以M 为圆心，MO 为半径的⊙M 分别交x 轴，y 轴于B ，A .(1) 求A ，B 两点的坐标;(2) C 是»AO 上一点，若BC ＝3，试判断四边形ACOM 是何种特殊四边形，并说明理由; (3) 如图2，在(2)的条件下，P 是»AB 上一动点，连接P A ，PB ，PC .当P 在»AB 上运动时， 求证：PA+POPC的值是定值.xy xyAO A BOM MC PBC11.如图，四边形ABCD 为正方形，⊙O 过正方形的顶点A 和对角线的交点P ，分别交AB ，AD 于点F ，E .(1) 求证：DE ＝AF ； (2) 若⊙O 的半径为32，AB ＝2＋1，求AEED的值. （江苏省竞赛题）PEF BCDA O。
与圆有关的角
与圆有关的角主讲：黄冈中学高级教师 汤长安 一周强化 一、一周知识概述 (一)圆周角 1、顶点在圆上，两条边都和圆相交的角叫做圆周角． 2、圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． 3、圆周角定理的推论： 推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等． 推论 2：半圆(或直径)所对的圆周角等于 90° ；90° 的圆周角所对的弦是直径． 4、圆内接四边形的性质定理：圆内接四边形的对角互补． 推论：圆内接四边形的任何一个外角等于它的内对角． (二)弦切角 1、弦切角：顶点在圆上，一条边和圆相交，另一条边和圆相切的角叫做弦切角． 2、弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角． 二、重点难点疑点突破 1、对圆周角的理解定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．突破：①如图，∠AOB 与∠ACB 是 的度数等于 的度数一半．对的圆心角与圆周角，故有：，∠AOB=2∠ACB，∠ACB1②定理的作用是勾通圆心角，圆周角之间的数量关系．③定理的证明． (1)为什么要分情况证明？ 应不应分情况，主要看各种情况的证明方法是否相同，相同，不分情况；不同，则必须分情况，而且分情况要分得 正确，不能重复或遗漏．而圆周角定理的证明，分三种情况，它们的证法都不相同，故要分情况证明． (2)如何分类讨论？ 以圆上任意一点为顶点的圆周角，虽然有无数多个，但它们与圆心的位置关系，归纳起来有三种情况： ①圆心在角的一边上；②圆心在角的内部；③圆心在角的外部． (3)如何证明定理？ 先证明第一种情况，再用第一种情况证明第二、三种情况． 2、对圆周角定理的两个推论的理解 (1)推论 1：①是圆中证角相等最常用的方法之一．②若将推论 1 中的“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”结论就不成立了． 因为一条弦所对的圆周角有两种可能，一般情况不相等(如图中的∠1 与∠2)．③推论 1 中“相等的圆周角所对的弧也相等”的前提条件是“在同圆或等圆中”， 离开这个前提条件， 结论不成立(如图 中的 )．2(2)推论 2 应用广泛，一般地，如果题目中有直径时，往往作出直径上的圆周角——直角；如果需要直角或证明垂直 时，也往往作出直径即可解决问题，推论也是证明弦是直径常用的办法． 3、对圆的内接四边形定理的理解 (1)“内对角”是圆内接四边形的专用名词，是指与四边形的一个外角相邻的内角的对角． (2)定理的另一个含义是对角和相等(都为 180° )． (3)定理是证明与圆有关的两角相等或互补关系的重要依据． (4)使用定理时，要注意观察图形，不要弄错四边形的外角和它的内对角的位置． 4、对弦切角的理解 ①弦切角所夹的弧是构成弦切角的弦所对的夹在弦切角内部的一条弧． ②弦切角定理的证明可以仿照圆周角定理的证明，也分三种情况，第一种情况是特殊情况，其它两种是一般情况， 可通过作辅助线转化为第一种情况． ③弦切角可以是锐角、钝角、直角，一条切线和过切点的弦形成两个弦切角． ④弦切角=它所夹弧对的圆周角=所夹弧对的圆心角的一半=所夹弧的度数一半． 三、解题方法技巧点拨 1、圆心角、圆周角和弧之间的换算 例 1、已知：如图，AB 为⊙O 的直径，弦 CD 交 AB 于 P，且∠APD=60° ，∠COB=30° ，则∠ABD=________度．分析：要求圆周角∠ABD，可求同弧所对的圆心角∠AOD 的度数，而∠AOD=∠ODC＋∠APD，故只须求∠ODC，3而∠ODC=∠C=∠OPD－∠COB=30° ，故∠AOD 可求． 解：连结 OD．∵∠C=∠APD－∠COB，∠APD=60° ，∠COB=30° ．∴∠C=60° －30° =30° ． ∵OC=OD，∴∠ODC=∠C=30° ，∴∠AOD=∠APD＋∠ODC=60° ＋30° =90° ，例 2、如图，△ABC 中，AB=AC，∠A=80° ，以 AB 为直径的半圆交 AC 于 D，交 BC 于 E．求的度数．分析：只需求出所对圆周角的度数就可以了，为此可连结 AE，构造圆周角∠BAE、∠DAE．点评：(1)辅助线 AE，构造了“直径上的圆周角是直角”的基本图形，因此在关于直径的问题中，常添辅助线使之构 成直角三角形． (2)本题还有副产品 BE=EC，你注意了吗？该副产品有时很有用． 2、圆内角、圆外角、圆周角、弧之间的运算题 圆内角：角的顶点在圆内的角叫做圆内角． 圆外角：角的顶点在圆外，并且两边都和圆相交的角．4例 3、如图，圆的弦 AB、CD 延长线交于 P 点，AD、BC 交于 Q 点，∠P=28° ，∠AQC=92° ，求 cos∠ABC 的值．分析：圆内角和圆外角都是通过圆周角建立联系，故圆内角∠AOC 与圆外角∠P 可通过圆周角∠ABC(∠ADC)与 ∠A(∠C)建立起联系。
第27讲 与圆有关的位置关系(课件)中考数学一轮复习(全国通用)
1. 点和圆的位置关系
已知⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，则：
位置关系
图形
半径的关系，反过来已知点到圆心的距离与半径的关系，可
以确定该点与圆的位置关系．
定义
性质及判定
点在圆的外部
d > r 点P在圆外
点在圆周上
d = r 点P在圆上
点在圆的内部
内切
内含
O2
d
性质及判定
无
> + ⇔两圆外离
1个切点
= + ⇔两圆外切
两个交点
− < < + ⇔两圆相交
1个切点
= − ⇔两圆内切
R
r
O1
O2
d
r
相交
公共点个数
O1
R
d
O2
rd R
O1 O2
R
r d
O1 O2
无
0 ≤ < − ⇔两圆内含
∴圆A与圆C外切，圆B与圆C相交，圆A与圆B外离，
故选：D．
）
考点二 切线的性质与判定
1.切线的性质与判定
定义
线和圆只有一个公共点时，这条直线叫圆的切线，这个公共点叫做切点．
圆的切线垂直于过切点的半径．（实际上过切点的半径也可理解为过切点的直径或经过切点与圆心的直线．）
解题方法：当题目已知一条直线切圆于某一点时，通常作的辅助线是连接切点与圆心（这是圆中作辅助线的一
∴不能判定BC是⊙A切线；
故选：D．
）
考点二 切线的性质与判定
题型02 利用切线的性质求线段长
九年数学下册第二十七章圆.1圆的认识4圆周角__圆周角和直径的关系课件新版华东师大版0301283
知1－讲
总结
知1－讲
题中条件有直径，因此可作辅助线，构造直径所对的 圆周角〔直角〕是常用的作辅助线的方法，而题中有 条件AB=AC，因此可根据等腰三角形“三线合一〞 性质证明BD=CD.
知1－练
1 如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，假设∠A＝ 30°，那么∠B的度数为( ) A．15° B．30° C．45° D．60°
知1－讲
例2 如下图，AB 是⊙ O 的直径，BD 是⊙ O 的弦，延 长BD 到点C，使AC=AB. 求证：BD=CD.
知1－讲
导引：紧扣“直径所对的圆周角是直角〞结合等腰三角形“三 线合一〞性质求解.
证明：如下图，连结AD. ∵ AB 是⊙ O 的直径， ∴∠ ADB=90°，即AD ⊥ BC. 又∵ AC=AB，∴ BD=CD.
总结
知2－讲
圆中求角常见的作辅助线的方法： 1. 有直径，通常作直径所对的圆周角，从而得出两 直线互相垂直，简记为见直径作直角 . 2. 有90°的圆周角，通常作直径，简记为有直角作 直径.
1 以下结论正确的选项是( ) A．直径所对的角是直角 B．90°的圆心角所对的弦是直径 C．同一条弦所对的圆周角相等 D．半圆所对的圆周角是直角
(2)在解决圆的有关问题时，常常利用圆周角定理及其推 论进行两种转化：一是利用同弧所对的圆周角相等，进 行角与角之间的转化，二是将圆周角相等的问题转化为 弦相等或线段相等的问题.
所以
∠ ACB= ∠ OCA + ∠ OCB = 1
80 2
=90°.
因此，不管点C在⊙O上何处〔除点A、B外〕，
∠ ACB总等于90°，即：
半圆或直径所对的圆周角都相等,都等于90° (直角).
九年级数学下册第27章圆27.1圆的认识3圆周角教学初中九年级下册数学
(1)∠BOC= 70 º，理由(lǐyóu)
是 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 ;
(2)∠BDC= 35º，理由是
同弧所对的圆周角相等.
(xiāngděng)
第十八页，共四十四页。
2.如图，点A、B、C、D在同一个圆上，AC、BD为四边形
ABCD的对角线.
(1)完成下列(xiàliè)填空： ∠1= ∠4. ∠2= ∠8. ∠3= ∠6. ∠5= ∠.7
解：设∠A，∠B，∠C的度数分别(fēnbié)对于2x，3x，6x，
∵四边形ABCD内接于圆，
∴ ∠A+ ∠C=∠B+∠D=180°， ∵2x+6x=180°， ∴ x=22.5°. ∴ ∠A=45°， ∠B=67.5°， ∠C =135°，
∠D=180°-67.5°=112.5°.
第三十三页，共四十四页。
第27章 圆
27.1 圆的认识(rèn shi)
3. 圆周角
导入新课
讲授( jiǎngshòu)新 课
当堂(dānɡ tánɡ)练 习
课堂小结
第一页，共四十四页。
学习(xuéxí)目 标
1.理解圆周角的概念(gàiniàn)，会叙述并证明圆周角定理. 2.理解圆周角与圆心角的关系并能运用圆周角定理解决简 单的几何问题.（重点、难点） 3.理解掌握圆周角定理的推论及其证明过程和运用.（难点）
第三十六页，共四十四页。
4.如图，四边形ABCD内接于⊙O,如果
(rúguǒ)∠BOD=130°,则∠BCD的度数是
（ C）
B
A 115° B 130°
C 65° D 50°
P 5.如图，等边三角形ABC内接于⊙O，
第一轮 第27课 与圆有关的概念及性质
知识要点
核心例题
中考实践
3. (2017· 大连)如图， 在⊙O 中， 弦 AB＝8 cm， OC⊥AB， 垂足为 C，
5 OC＝3 cm，则⊙O 的半径为________cm.
知识要点
核心例题
中考实践
4. 弧、弦、圆心角的关系 (1)定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对 的弦也相等． (2)推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦 中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也分别相等．
核心例题
中考实践
2. 圆的对称性 (1)圆是轴对称图形，其对称轴是过圆心的任意一条直线． (2)圆是中心对称图形，对称中心是圆心．
知识要点
核心例题
中考实践
2. (1)下列图形中对称轴最多的是( D ) A. 等边三角形 C. 正方形 B. 线段 D. 圆
(2)等边三角形、矩形、菱形和圆四种图形中，既是轴对称图形，
知识要点 核心例题 中考实践
对应练习 1. 如图，在⊙O 中， (1)半径有：________. OA，OB
AB (2)直径有：________. AC (3)弦有：________________.
︵ ︵ BAC ， (4)劣弧BC对应的优弧是________ 它们刚好拼成一个完整的圆.
知识要点
知识要点 核心例题 中考实践
∴BE＝5 1 OA＝OE＝ CE＝5 2 ∵AH⊥BC ∴BE∥OA OA OD OD 5 ∴ ＝ 即 ＝ BE DE 8 5－OD 25 ∴OD＝ 13
知识要点 核心例题 中考实践
90 ∴CD＝ 13 ∵BE∥OA，OC＝OE 1 ∴OH＝ BE＝4 2 1 CH＝ BC＝3 2 ∴AH＝9 ∴AC＝3 10
和圆有关的角.ppt
选择:
A
(1) 如图, 四边形ABCD内接于⊙O,若∠BCD=100°, 则
∠BOD=( )
B
(A) 100° (B) 160° (C) 80° 120°
B(D)
O
D
C
(2) 如图,⊙O的弦AB、CD相交于点E，已知∠C=60°，
D
∠AED=65°，则∠D的度数是
( C)
(A) 40° (B) 45° (C) 55° (D) 65°
AB
O
C
练一练
1. 如图,A，B，C是⊙O上三点，AD是 ⊙O切线，A是切点， ∠AOB是 ______ 角， ∠ACB是_______角， ∠BAD是 _____角.
2. 三者关系是_____________________________.
C
O
A
B
D
3、（1）若圆的弦长等于圆的半径，则此 弦所对的圆周角是__________度.
对的弦相等,所对的弦的弦心距相等.
推论:
在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弦或两 条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对
基
的其余各组量都分别相等。
本
定义： 顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角。
知
识 圆 定理：一条弦所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
周
1、同弧或等弦所对的圆周角相等；同圆或
角
等圆中，相等的圆周角所对的弦也相等。
A
O
EB
C
填空:
(1) 如图，AB是⊙O的弦, AD是 ⊙O的切线,C为弧AB上任一点, ∠ACB=108°,则∠BAD=___7_2_°__.
B C
O
A
D
(2) 如图, A是⊙O直径CB的延长线上
九年级数学下册 第27章 圆 27.1 圆的认识 27.1.3 圆周角课件
3．[2017·广州]如图所示，在⊙O 中，AB 是直径，CD 是弦，AB⊥CD，垂 足为 E，连结 CO，AD，∠BAD＝20°，则下列说法中正确的是( D )
A．AD＝2OB B．CE＝EO C．∠OCE＝40° D．∠BOC＝2∠BAD
12/11/2021
4．[2018·淮安]如图，点A，B，C都在⊙O上．若∠AOC＝140°，则∠B的度 数是( C )
12/11/2021
9．如图所示，AB为⊙O的直径，AB＝AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于 点E，∠BAC＝45°.
(1)求∠EBC的度数； (2)求证：BD＝CD.
12/11/2021
(1)解：∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°. 又∵∠BAC＝45°，∴∠ABE＝45°. 又∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝67.5°. ∴∠EBC＝22.5°. (2)证明：如图，连结AD. ∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°， ∴AD⊥BC. 又∵AB＝AC，∴BD＝CD.
A．84° B．60° C．36° D．24°
12/11/2021
3．[2018·南充]如图，BC是⊙O的直径，A是⊙O上的一点，∠OAC＝32°， 则∠B的度数是( A )
A．58° B．60° C．64° D．68°
12/11/2021
4．[2018·广东]同圆中，已知弧AB所对的圆心角是100°，则弧AB所对的圆 周角是_5_0_°__.
A．70° B．80° C．110° D．140°
12/11/2021
5．[2018·盐城]如图，AB为⊙O的直径，CD为⊙O的弦，∠ADC＝35°，则 ∠CAB的度数为( C )
A．35° B．45° C．55° D．65°
华师大版九年级数学下册第二十七章《圆的认识(圆周角2)》优课件
内容小结：
(1)一个概念（圆周角）
(2)一个定理：一条弧所对的圆周角等于
该弦所对的圆心角的一半；
(3)二个推论： 同圆内，同弧或等弧所对的圆周角
相等；相等的圆周角所对的弧相等。 半圆或直径所对的圆周角是直角；
90°的圆周角所对的弦是直径。
练习二：如图，P是△ABC的外接圆上的一
∠APC=∠CPB=60°。求证：△ABC是等
三 求证：B⌒D=D⌒E
A
证明：连结AD.
∵AB是圆的直径，点D在圆上， ∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BC，
B
E DC
∵AB=AC，
∴AD平分顶角∠BAC，即∠BAD=∠CAD，
∴ ⌒BD= ⌒DE （同圆或等圆中，相等的圆周角 所对弧相等）。
•1、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2022年2月13日星期日2022/2/132022/2/132022/2/13 •2、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2022年2月2022/2/132022/2/132022/2/132/13/2022 •3、提出一个问题往往比解决一个更重要。因为解决问题也许仅是一个数学上或实验上的技能而已，而提出新的问题，却需要有创造性的想像力，而且标志着 科学的真正进步。2022/2/132022/2/13February 13, 2022
O
因此∠C=∠BAC
而∠BOC=∠BAC+∠C
B
C 所以∠BAC= 1 ∠BOC
2
（2）圆心在∠BAC的内部.
作直径AD. 由于∠BAD= 12∠BOD
A ∠DAC= 12∠DOC，
O 所以∠BAD+∠DAC=
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Ｂ Ｏ ４。
Ｄ． ０ ７。
２ 如图 ５ＡＢ是ｏ０的直径 ， Ｄ是 Ｏ０的弦 ， ． ， Ｃ 连 结 Ａ 、 Ｄ， Ｃ Ａ 若￣Ｃ Ｂ ５， Ａ ＝３￣则 ＡＤ Ｃ的度数为
—
．
—
（ ０ ８， 原 ） ２０ 太
图９
图 １ Ｏ
数 学ｚ Ｇ Ｉ Ｘ Ｌ Ｅ Ｕ ￣ ＥＫ
７ 如图 １， Ｂ Ｃ、 ． ０Ａ、 、 Ｄ为ｏ０的四等分点， 动点 Ｐ从 圆心 Ｏ出发， （— Ｌ 一０路线作匀速运动． 沿 ）Ｃ Ｌ 设运动 时间为 ￡ｓ， （） ）一． 度）则下列图象中表示 Ｙ与 ｔ Ｂ ） ， ， （
‘ ．
‘ Ｅ／ Ｍ／Ｂ Ａ ／Ｏ ／ Ｆ，
？
．
图 １ １
一、
图 １ ２
Ｍ Ｅ— Ｍ Ｆ．
０
９ 已知 ： ． 如图 １ ， 是 ＡＢ 的中点 ， ２Ｍ 过点 Ｍ 的弦
Ｍ Ｎ 交 ＡＢ 于点 ｃ， ④ ０的 半 径 为 ４ｃ Ｍ Ｎ＝ ４ 设 ｍ， ｃ （ ） 圆心 ０ 到 弦 ＭＮ 的 距 离 ； ２ 求 ＡＣ 的 ｍ＋ １求 （） Ｍ 度数． （０ ８ 南通 ） ２０ ，
１。 Ｂ Ｏ ， ＡＣ＝６ 。则 Ｂ Ｃ一 （ ０， Ｅ
Ａ． ５ ３。
Ｃ． Ｏ ６。
１ 如 图 ４ 在 ｏ０ 中 ， ． ， ＺＡＯ 的 度 数 为 ｍ ， 是 Ｂ Ｃ
， 、
） ．
Ａ Ｂ上一点 ， Ｅ是 ＡＢ上不 同的两 点 （ 与 Ａ、 Ｃ Ｄ、 不 Ｂ 两点重合）则 Ｄ＋ Ｅ的度数为 （ ， ） ．
５ ’． ．
４
． 一
④Ｅ Ａ
５如 图 ８ Ｎ Ｎ ￣ ｂ Ｎ Ａ ， Ｎ
．
５
，
￣ ［ＡＣ＝ ２ ５ １ ．．
．
。 ． ＡＢ一
一
．
９。又 Ａ 一４所 以 Ｏ —Ｏ 一 一２ ｇ故选 Ａ ０， Ｂ ， Ａ Ｂ ，． ／ ．
蠹
。
置变 化的分类龇
有 、Ｑ 点它 所 示 Ａ 、三 ，们 表 的 Ｐ
数 赢 学
／ 一 ， ＼ ／ ＼ ＼
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图 ９
图 １ Ｏ
ＡＥ ＿ Ｄ， 足 是 Ｅ， Ｆ上 Ｃ 垂 足 是 Ｆ， 证 ： Ｅ＝ ＪＣ 垂 Ｂ Ｄ， 求 Ｃ
ＤＦ 小 明同学是这样证 明的： ．
证 明 ： ‘） Ｃ ‘Ｃ ． Ｍ上 Ｄ，
０
Ａ
Ⅳ
．
Ｃ —ＭＤ． Ｍ
．
Ｍ Ｅ— ＣＭ — Ｍ Ｆ— Ｍ Ｄ．
即 （ — ＤＦ．
第２ ７讲
与 圆有 关 的角
争 妲 缉． 叁 ． ／
鸯
１ 顶 点 在 ． 点 在 圆周 角 ． 的 角 叫 圆 心 角． 顶 ， 且 两 边 都 和 圆相 交 的 角 叫 并
争
． 眨
Ｅ
例 １ 如图 １ 示 ， 所 ＡＢ是 ④０ 的 直 径 ， 与 Ｂ 交 于 点 Ｃ， ＡＥ Ｄ ＡＤ ，
彻 一 Ａ √ ２ ２
．
） ．
Ｂ Ｏ ４。 Ｄ． ５ ２。
（０ ７ 嘉 兴 ） ２０ ， 女
内 于 ０ Ｃ一 。 ／， ＼ 接 ｏ， ， ／、 ＼ ／
４５
衅
径
ｃ
Ｂ４ Ｉ
Ａ
＼
图３
／ ／
解法点拨 ：
典题中 ， 根据 同弧所 对 的圆周角 相等 ， 设法把 已 知条件转化 到直 角三 角形 中． ａ Ｂ－ ｔｎ ｔｎ － ａ ／ＡＤＣ＝
Ｄ —Ｅ
一
８
，
则 图中与 ＢＣ Ｅ相 等的 角
） ．
Ｂ ３个 ． Ｉ． ） ５个
２ 圆周角定 理 ： ． 一条弧所对 的圆周角等于它所 对 圆心角 的一半． ３ 圆周角 的度数等 于它所对弧 的度数 的 ． ．
有（
Ａ． ２个
图１
（ ０ ８， 照 ） ２０ 日
Ｃ４ ． 个
４ 在 同圆或等 圆中， ． 同弧或 等弧所对 的圆周角相 等； 直径所对 的圆周角是直 角 ；Ｏ圆周角所对 的弦是 ９。
直径．
分析 首 先 有 对 顶 角 ； 合 条 件 有 直 角 ， 结 从
Ｂ Ｅ的余 角 （ ｃ Ａ） Ｃ Ｂ 去找相 关 角 Ｄ ＡＢ， 由半径
Ｂ Ｅ 并 不 是 圆 周 角 ，于 是 通 过 Ｒ Ｃ ｔ△Ｃ Ｂ， Ｅ Ｒｔ Ｄ 找互余 角． 实 考查 了直 径所对 圆周 角 是 Ａ ＡＢ 其 直角 、 同圆中等弦 （ ） 弧 所对圆心 角相等等知识．
Ａ Ｂ
Ａ
Ｂ
例 ２ （ 题 ） 如 图 ２ＡＢ是 典 ， Ｑ Ｏ的 直 径 ， Ｄ 是 圆 上 的 两 点 （ Ｃ 不 与 Ａ、 重 合 ） Ｂ ，已 知 Ｂ 一 ２ Ｃ ， Ｄ
） ． （ ０ ８ 盐城 ） ２０ ，
一 的
一 与位 圆置 有关 关系
之 间 函数关 系最 恰 当的是 （
图 ｉ １
图 １ ２
９ 如 图 １ ， 知 ＡＢ 是 ④ ０ 的 直 径 ， Ｃ 为 弦 ， ． ２已 Ｂ
Ａ． ＆ Ｃ．
￣ＡＢ Ｃ＝３ 。过圆心 ０作 ＯＤ上Ｂ ０． Ｃ交弧 Ｂ Ｃ于点 Ｄ，
。
、
易钱 ： ＮＮＮ
Ａ Ｏ １。
Ｂ Ｏ ２。 Ｄ． ０ ４。 （０ ８ 绍 兴 ） ２０ ，
．
ｊ
Ｃ ３。 ． Ｏ
６ 如图 ９ Ａ、 ｃ、 四点 均在 一 圆弧上 ， ／ ． ， Ｂ、 Ｄ ＢＣ ／
一
、
基 础 训 练
，
ＡＤ， 且直线 ＡＢ与直线 Ｃ 相交于 Ｅ 点． Ｄ 若 ＢＣ Ａ
．
由
相等可得￣ＡＤ 结合 ＡＤ＝Ｄ 可得 所对 圆心角都 Ｏ； Ｅ， 相等 ， 于是 Ｅ ＤＯ， ＤＥ ０都是 与 Ｂ Ｅ相 等 的角． Ｃ 故选 Ｄ －
常见考点
圆周角 、 圆心角之 间关 系及应用 ， 直
径与圆周角关系应用．
点评
圆中找等角常用同弧所对圆周角 ， 本题 但
鸹 呲 中 直通车 考
图４
网５
３ 如 图 ６ 已 知 Ｃ 是 （ Ｏ 的 直 径 ， 点 Ｄ 的 弦 ． ， Ｄ ９ 过
ＤＥ平行于半径 Ｏ 若 Ｄ 的度数 是 ５ 。则 Ｃ的 Ａ， Ｏ，
度数是 （
图 ２
八 ５。 Ｏ Ｃ Ｏ ３。
ｔＺ Ｄ一 则 Ｂ ——． ａ ＡＣ 导， Ａ 一 ｎ
例
Ａ ＡＢＣ 接