【人教A版数学】必修二第七章 7.1.2

【新人教版】数学必修二第七单元7.1.2 复数的几何意义学习目标 1.理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系.2.掌握实轴、虚轴、模、共轭复数等概念.3.掌握用向量的模来表示复数的模的方法.知识点一复平面思考有些同学说：实轴上的点表示实数，虚轴上的点表示虚数，这句话对吗？答案不正确.实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，原点对应的有序实数对为(0,0)，它所确定的复数是z＝0＋0i＝0，表示的是实数.知识点二复数的几何意义1.复数z＝a＋b i(a，b∈R)复平面内的点Z(a，b).→.2.复数z＝a＋b i(a，b∈R)平面向量OZ知识点三复数的模→的模叫做复数z＝a＋b i(a，b∈R)的模或绝对值. 1.定义：向量OZ2.记法：复数z＝a＋b i的模记为|z|或|a＋b i|.3.公式：|z|＝|a＋b i|＝a2＋b2.知识点四 共轭复数1.定义：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0的两个共轭复数也叫共轭虚数.2.表示：z 的共轭复数用z 表示，即若z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i.1.复平面内的点与复数是一一对应的.( √ )2.复数的模一定是正实数.( × )3.若|z 1|＝|z 2|，则z 1＝z 2.( × )4.两个复数互为共轭复数，则它们的模相等.( √ )一、复数与复平面内的点的关系例1 已知复数z ＝(a 2－1)＋(2a －1)i ，其中a ∈R .当复数z 在复平面内对应的点Z 满足下列条件时，求a 的值(或取值范围). (1)在实轴上； (2)在第三象限.解 (1)若z 对应的点Z 在实轴上，则有 2a －1＝0，解得a ＝12.(2)若z 对应的点Z 在第三象限，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1<0，2a －1<0，解得－1<a <12. 故a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12. 反思感悟 利用复数与点的对应关系解题的步骤(1)找对应关系：复数的几何表示法即复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )可以用复平面内的点Z (a ，b )来表示，是解决此类问题的根据.(2)列出方程：此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程(组)或不等式(组)求解.跟踪训练1 在复平面内，若复数z ＝(m 2－m －2)＋(m 2－3m ＋2)i(m ∈R )的对应点在虚轴上和实轴负半轴上，分别求复数z . 解 若复数z 的对应点在虚轴上，则m 2－m －2＝0， 所以m ＝－1或m ＝2，所以z ＝6i 或z ＝0. 若复数z 的对应点在实轴负半轴上，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2－m －2<0，m 2－3m ＋2＝0，所以m ＝1，所以z ＝－2. 二、复数与复平面内的向量的关系例2 (1)已知M (1,3)，N (4，－1)，P (0,2)，Q (－4,0)，O 为复平面的原点，试写出OM→，ON →，OP →，OQ →所表示的复数； (2)已知复数1，－1＋2i ，－3i,6－7i ，在复平面内画出这些复数对应的向量；(3)在复平面内的长方形ABCD 的四个顶点中，点A ，B ，C 对应的复数分别是2＋3i,3＋2i ，－2－3i ，求点D 对应的复数. 解 (1)OM→表示的复数为1＋3i ； ON→表示的复数为4－i ； OP→表示的复数为2i ； OQ→表示的复数为－4. (2)设复数1对应的向量为OA→，其中A (1,0)； 复数－1＋2i 对应的向量为OB→，其中B (－1,2)；复数－3i 对应的向量为OC→，其中C (0，－3)； 复数6－7i 对应的向量为OD →，其中D (6，－7). 如图所示.(3)记O 为复平面的原点，由题意得OA →＝(2,3)，OB →＝(3,2)，OC →＝(－2，－3).设OD→＝(x ，y )，则AD →＝(x －2，y －3)，BC →＝(－5，－5). 由题意知，AD→＝BC →， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ x －2＝－5，y －3＝－5，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝－2，故点D 对应的复数为－3－2i.反思感悟 复数与平面向量的对应关系(1)根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点在原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数.反之复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数对应的向量. (2)解决复数与平面向量一一对应的问题时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化. 跟踪训练2 已知平面直角坐标系中O 是原点，向量OA →，OB →对应的复数分别为2－3i ，－3＋2i ，那么向量BA →对应的复数是( ) A.－5＋5i B.5－5i C.5＋5iD.－5－5i答案 B解析 向量OA →，OB →对应的复数分别记作z 1＝2－3i ，z 2＝－3＋2i ，根据复数与复平面内的点一一对应，可得向量OA →＝(2，－3)，OB →＝(－3,2).由向量减法的坐标运算可得向量BA →＝OA →－OB →＝(2＋3，－3－2)＝(5，－5)，根据复数与复平面内的点一一对应，可得向量BA →对应的复数是5－5i. 三、复数的模及其应用例3 (1)设(1＋i)x ＝1＋y i ，其中x ，y 是实数，则|x ＋y i|等于( ) A.1 B. 2 C. 3 D.2 答案 B解析 因为(1＋i)x ＝x ＋x i ＝1＋y i ， 所以x ＝y ＝1，|x ＋y i|＝|1＋i|＝12＋12＝ 2. (2)已知复数z 满足z ＋|z |＝2＋8i ，求复数z . 解 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则|z |＝a 2＋b 2， 代入方程得a ＋b i ＋a 2＋b 2＝2＋8i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋a 2＋b 2＝2，b ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－15，b ＝8.∴z ＝－15＋8i.反思感悟 复数模的计算(1)计算复数的模时，应先确定复数的实部和虚部，再利用模长公式计算.虽然两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小. (2)设出复数的代数形式，利用模的定义转化为实数问题求解. 跟踪训练3 (1)已知z 1＝5＋3i ，z 2＝5＋4i ，下列选项中正确的是( ) A.z 1>z 2B.z 1<z 2C.|z1|>|z2|D.|z1|<|z2|答案 D解析|z1|＝|5＋3i|＝52＋32＝34，|z2|＝|5＋4i|＝52＋42＝41.因为34<41，所以|z1|<|z2|.(2)已知0<a<3，复数z＝a＋i(i是虚数单位)，则|z|的取值范围是()A.(1，10)B.(1，3)C.(1,3)D.(1,10)答案 A解析0<a<3，复数z＝a＋i(i是虚数单位)，则|z|＝a2＋1∈(1，10).复数模的几何意义典例设z∈C，且满足下列条件，在复平面内，复数z对应的点Z 的集合是什么图形？(1)|z|<3；(2)|z|＝2.解(1)设z＝x＋y i(x，y∈R)，则|z|＝x2＋y2.由题意知x2＋y2<3，x2＋y2<9.所以复数z对应的点Z的集合是以原点O为圆心，3为半径的圆面，不包括边界.(2)根据模的几何意义，|z|＝2表示复数z对应的点到原点的距离为2. 所以满足|z|＝2的点Z的集合为以原点为圆心，2为半径的圆.[素养提升]复数模的几何意义可以延伸为|z|表示复数z对应的点Z 与原点之间的距离，从而可以用数形结合解决有关的问题，考查直观想象素养.1.复数z＝－1－2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案 C解析z＝－1－2i对应点Z(－1，－2)，位于第三象限.2.(多选)已知复数z＝(m－3)＋(m－1)i的模等于2，则实数m的值可以为()A.1B.2C.3D.4答案AC解析依题意可得(m－3)2＋(m－1)2＝2，解得m＝1或3.3.已知z＝m－1＋(m＋2)i在复平面内对应的点在第二象限，则实数m 的取值范围是()A.(－1,2)B.(－2,1)C.(1，＋∞)D.(－∞，－2)答案 B解析∵z＝m－1＋(m＋2)i在复平面内对应的点在第二象限，∴m－1<0，m＋2>0，解得－2<m<1，则实数m的取值范围是(－2,1).4.设复数z＝i，则z的共轭复数为______.答案－i1.知识清单：(1)复数与复平面内的点、向量之间的对应关系. (2)复数的模及几何意义. (3)共轭复数.2.方法归纳：待定系数法、数形结合.3.常见误区：虚数不能比较大小，虚数的模可以比较大小；|z －(a ＋b i)|表示复平面内的点到点(a ，b )的距离.1.已知复数z 1＝2＋i ，z 2＝－i ，则|z 1||z 2|等于( )A.55B.15 C. 5 D.5 答案 C解析 依题意|z 1|＝22＋12＝5，|z 2|＝(－1)2＝1，所以|z 1||z 2|＝ 5.2.向量OZ 1→对应的复数是5－4i ，向量OZ 2→对应的复数是－5＋4i ，则OZ 1→＋OZ 2→对应的复数是( ) A.－10＋8i B.10－8i C.0 D.10＋8i答案 C解析 由复数的几何意义， 可得OZ 1→＝(5，－4)，OZ 2→＝(－5,4)， 所以OZ 1→＋OZ 2→＝(5，－4)＋(－5,4)＝(0,0)， 所以OZ 1→＋OZ 2→对应的复数为0.3.在复平面内，复数6＋5i ，－2＋3i 对应的点分别为A ，B ，若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是( ) A.4＋8i B.8＋2i C.2＋4i D.4＋i答案 C解析 因为复数6＋5i ，－2＋3i 对应的点分别为A ，B ， 所以A (6,5)，B (－2,3)， 又C 为线段AB 的中点，所以C (2,4)，所以点C 对应的复数是2＋4i.4.已知复数z ＝a ＋3i(a ∈R )在复平面内对应的点位于第二象限，且|z |＝2，则复数z 等于( ) A.－1＋3iB.1＋3iC.－1＋3i 或1＋3iD.－2＋3i 答案 A解析 因为z 在复平面内对应的点位于第二象限， 所以a <0，由|z |＝2知，a 2＋(3)2＝2，解得a ＝±1， 故a ＝－1，所以z ＝－1＋3i.5.(多选)设z ＝(2m 2＋2m －1)＋(m 2－2m ＋2)i(m ∈R )，则下列结论中错误的是( )A.z 在复平面内对应的点在第一象限B.z 一定不是纯虚数C.z 在复平面内对应的点在实轴上方D.z 一定是实数 答案 ABD解析 2m 2＋2m －1＝2⎝⎛⎭⎪⎫m ＋122－32，m 2－2m ＋2＝(m －1)2＋1>0，则z在复平面内对应的点一定在实轴上方.6.复数z ＝x －2＋(3－x )i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数x 的取值范围是________. 答案 (3，＋∞)解析 ∵复数z 在复平面内对应的点在第四象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －2>0，3－x <0，解得x >3. 7.若复数z ＝(m －2)＋(m ＋1)i 为纯虚数(i 为虚数单位)，其中m ∈R ，则|z |＝________. 答案 3解析 复数z ＝(m －2)＋(m ＋1)i 为纯虚数(i 为虚数单位)， 所以m －2＝0且m ＋1≠0，解得m ＝2，所以z ＝3i ， 所以|z |＝3.8.复数4＋3i 与－2－5i 分别表示向量OA →与OB →，则向量AB →表示的复数是________. 答案 －6－8i解析 因为复数4＋3i 与－2－5i 分别表示向量OA →与OB →， 所以OA→＝(4,3)，OB →＝(－2，－5)， 又AB→＝OB →－OA →＝(－2，－5)－(4,3)＝(－6，－8)， 所以向量AB→表示的复数是－6－8i. 9.在复平面内，O 是原点，向量OA→对应的复数为2＋i. (1)如果点A 关于实轴的对称点为点B ，求向量OB→对应的复数； (2)如果(1)中的点B 关于虚轴的对称点为点C ，求点C 对应的复数. 解 (1)设向量OB →对应的复数为z 1＝x 1＋y 1i(x 1，y 1∈R )，则点B 的坐标为(x 1，y 1)，由题意可知，点A 的坐标为(2,1).根据对称性可知，x 1＝2，y 1＝－1，故z 1＝2－i.(2)设点C 对应的复数为z 2＝x 2＋y 2i(x 2，y 2∈R )，则点C 的坐标为(x 2，y 2)，由对称性可知，x 2＝－2，y 2＝－1，故z 2＝－2－i.10.设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，若1≤|z |≤2，判断复数w ＝x ＋y ＋(x －y )i 的对应点的集合表示什么图形，并求其面积.解 |w |＝(x ＋y )2＋(x －y )2＝2(x 2＋y 2)＝2|z |，而1≤|z |≤2，故2≤|w |≤2.所以w 对应点的集合是以原点为圆心，半径为2和2的圆所夹圆环内点的集合(含内外圆周)，其面积S ＝π[22－(2)2]＝2π.11.已知a 为实数，若复数z ＝(a 2－3a －4)＋(a －4)i 为纯虚数，则复数a －a i 在复平面内对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 答案 B解析 若复数z ＝(a 2－3a －4)＋(a －4)i 是纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－3a －4＝0，a －4≠0，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4或a ＝－1，a ≠4，即a ＝－1， 则复数a －a i ＝－1＋i 对应的点为(－1,1)，位于第二象限.12.在复平面内，把复数3－3i 对应的向量按顺时针方向旋转π3，所得向量对应的复数是( ) A.2 3B.－23iC.3－3iD.3＋3i 答案 B解析 复数对应的点为(3，－3)，对应的向量按顺时针方向旋转π3，则对应的点为(0，－23)，所得向量对应的复数为－23i.13.设A ，B 为锐角三角形的两个内角，则复数z ＝(cos B －tan A )＋itan B 对应的点位于复平面的( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 答案 B解析 因为A ，B 为锐角三角形的两个内角，所以A ＋B >π2，即A >π2－B ，sin A >cos B ，cos B －tan A ＝cos B －sin A cos A <cos B －sin A <0，又tanB >0，所以点(cos B －tan A ，tan B )在第二象限，故选B.14.若复数3－5i,1－i 和－2＋a i 在复平面上对应的点在同一条直线上，则实数a 的值为________.答案 5解析 由点(3，－5)，(1，－1)，(－2，a )共线可知a ＝5.15.已知复数z 满足|z |2－3|z |＋2＝0，则复数z 对应点的轨迹是( )A.一个圆B.两个圆C.两点D.线段答案 B解析 由|z |2－3|z |＋2＝0，得(|z |－1)·(|z |－2)＝0，所以|z |＝1或|z |＝2.由复数模的几何意义知，z 对应点的轨迹是两个圆.16.已知O 为坐标原点，OZ 1→对应的复数为－3＋4i ，OZ 2→对应的复数为2a ＋i(a ∈R ).若OZ 1→与OZ 2→共线，求a 的值. 解 因为OZ 1→对应的复数为－3＋4i ， OZ 2→对应的复数为2a ＋i ， 所以OZ 1→＝(－3,4)，OZ 2→＝(2a,1). 因为OZ 1→与OZ 2→共线，所以存在实数k 使OZ 2→＝kOZ 1→， 即(2a,1)＝k (－3,4)＝(－3k,4k )，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝－3k ，1＝4k ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝14，a ＝－38.即a 的值为－38.。