高中数学 1.4.3正切函数的性质与图象课件1 新人教A版必修4
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高中数学 1.4.3正切函数的性质与图像课件 新人教A版必修4
第一页，共23页。
自学导引 1．正切函数
y＝tan
x
的定义域是__x|_x_∈__R_，___x≠ ___π2_＋__k_π_，__k_∈__Z．
值域是____R_____．
2．就奇偶性而言，正切函数是_奇___函数．
3．就单调性而言，正切函数在每个开区间_________________
__－__π_2_＋__k_π_，__π2_＋__k_π__，__k_∈__Z__都是_增___函数．
第二页，共23页。
自主探究 函数 f(x)＝Atan(ωx＋φ)(Aω≠0)是否为周期函数？如果是，它 的最小正周期是多少？ 解 ： 由 诱 导 公 式 可 知 ， Atan(ωx ＋ φ ＋ π) ＝ Atan(ωx ＋ φ) ， 即 Atanωx＋ωπ ＋φ＝Atan(ωx＋φ)，也就是 fx＋ωπ ＝f(x)． 可见函数 f(x)＝Atan(ωx＋φ)(Aω≠0)是周期函数，它的最小正 周期为 T＝|ωπ |.
第十一页，共23页。
知识点 2 正切函数性质的应用 【例 2】 (1)利用正切函数的单调性比较 tan－75π与 tan－127π的大小； (2)已知 f(x)＝asin x＋b tan x＋1 满足 fπ5＝7，求 f995π的值． 思路点拨： (1)将两个函数值转化到同一个单调区间内比较； (2)代入函数解析式，再变形求解．
第二十三页，共23页。
第十七页，共23页。
方法点评： 求解正切函数不等式，关键是要熟知正切函数的图象，切不可 只注意－π2，π2这一支图象，而忘记考虑其周期性．
第十八页，共23页。
3．求满足－ 3＜tan x≤1 的 x 的集合． 解：根据正切函数的图象可知，在－π2，π2上，－ 3＜tan x≤1 的 x 的范围是－π3＜x≤π4，而正切函数的周期是 π，故满足－ 3＜ tan x≤1 的 x 的集合是x|kπ－π3＜x≤kπ＋4π，k∈Z.
自学导引 1．正切函数
y＝tan
x
的定义域是__x|_x_∈__R_，___x≠ ___π2_＋__k_π_，__k_∈__Z．
值域是____R_____．
2．就奇偶性而言，正切函数是_奇___函数．
3．就单调性而言，正切函数在每个开区间_________________
__－__π_2_＋__k_π_，__π2_＋__k_π__，__k_∈__Z__都是_增___函数．
第二页，共23页。
自主探究 函数 f(x)＝Atan(ωx＋φ)(Aω≠0)是否为周期函数？如果是，它 的最小正周期是多少？ 解 ： 由 诱 导 公 式 可 知 ， Atan(ωx ＋ φ ＋ π) ＝ Atan(ωx ＋ φ) ， 即 Atanωx＋ωπ ＋φ＝Atan(ωx＋φ)，也就是 fx＋ωπ ＝f(x)． 可见函数 f(x)＝Atan(ωx＋φ)(Aω≠0)是周期函数，它的最小正 周期为 T＝|ωπ |.
第十一页，共23页。
知识点 2 正切函数性质的应用 【例 2】 (1)利用正切函数的单调性比较 tan－75π与 tan－127π的大小； (2)已知 f(x)＝asin x＋b tan x＋1 满足 fπ5＝7，求 f995π的值． 思路点拨： (1)将两个函数值转化到同一个单调区间内比较； (2)代入函数解析式，再变形求解．
第二十三页，共23页。
第十七页，共23页。
方法点评： 求解正切函数不等式，关键是要熟知正切函数的图象，切不可 只注意－π2，π2这一支图象，而忘记考虑其周期性．
第十八页，共23页。
3．求满足－ 3＜tan x≤1 的 x 的集合． 解：根据正切函数的图象可知，在－π2，π2上，－ 3＜tan x≤1 的 x 的范围是－π3＜x≤π4，而正切函数的周期是 π，故满足－ 3＜ tan x≤1 的 x 的集合是x|kπ－π3＜x≤kπ＋4π，k∈Z.
人教A版高中数学必修4课件：1.4.3 正切函数的性质与图象
[小试身手]
1．判断下列命题是否正确. (正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数 y＝Atan(ωx＋φ)的周期公式为 T＝ωπ.( × ) (2)正切函数在 R 上是单调递增函数．( × ) (3)正切函数是奇函数，原点是唯一的一个对称中心．( × )
2．下列说法正确的是( ) A．y＝tan x 是增函数 B．y＝tan x 在第一象限是增函数 C．y＝tan x 在某一区间上是减函数 D．y＝tan x 在区间kπ－π2，kπ＋π2(k∈Z)上是增函数
所以函数的定义域为
{x|x∈R 且 x≠kπ－π4，x≠kπ＋π2，k∈Z}.
3－tan x>0 (2)要使 y＝lg( 3－tan x)有意义，需使x≠kπ＋π2k∈Z ，
所以函数的定义域是xkπ－π2<x<kπ＋π3，k∈Z
.
求函数的定义域注意函数中分母不等于 0，真数大于 0，正切 函数中的 x≠kπ＋π2，k∈Z 等问题．
tan2x＋π2＋π3，所以 fx＋π2＝f(x)，所以周期为 T＝π2. 答案：B
类型一 求函数的定义域
例 1 求下列函数的定义域：
(1)y＝1＋1tan
； x
(2)y＝lg( 3－tan x)．
【解析】
(1)要使函数
y＝1＋1tan
有意义， x
1＋tan x≠0， 需使x≠kπ＋π2k∈Z，
函数 y＝tan x 的图象与性质 解析式
图象
y＝tan x
定义域
值域 周期 奇偶性
单调性
x__x_≠__k_π_＋_2π_，__k_∈__Z__ __R__ __π__
__奇__函_数___
在开区间__k_π_－__π2_，_k_π_＋__2π__，_k_∈__Z_上都是增函数
高中数学 第一章 三角函数 1.4.3 正切函数的性质与图象讲义3 新人教A版必修4
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知识点2 正切函数的图象 观察图形，回答下列问题：
问题1：画正切曲线的关键点和关键线分别是什么？ 问题2：正切曲线是轴对称图形吗？是中心对称图形吗？
【总结提升】
1.正切函数图象的两种作法
(1)几何法：利用单位圆中的正切线作图，该方法较为精确，但画图时
较烦琐. (2)三点两线法：“三点”是指(-
lo g 1 x lo g 1 4，
2
2
tanx 1，
所以0<x< 或3 ≤x≤4.
所以所求定2 义域4 为(0， )∪[ 3， 4].
2
4
2在【.解［(变析0，换】π条由］件ta上、n的改x≠图变0象问，.法x∈)，［将0本，题π］函，数解改得为x“≠0y ， st且ainnxxx≠”试且 画x≠出π此. 函数
4
2
，xk∈kZ，
28
所以所求直线方程为x= k ， k∈Z.
28
2.(变换条件)将本例函数改为“ y
么？
t a n x 1，
tan tan (x
x 1
”，其定义域又是什
)
6
【解析】根据题意，得
ta
n
(
x
) 6
0，
4
解得 x
2
(3)解形如tan x>a的不等式的步骤
【变式训练】函数 y 2log1x tanx 的定义域是______.
2
【解析】x应满足 2 lo g 1 x 0，
2
ta n x 0，
所以 0kxx4， k所2(以k0Z<)， x<
知识点2 正切函数的图象 观察图形，回答下列问题：
问题1：画正切曲线的关键点和关键线分别是什么？ 问题2：正切曲线是轴对称图形吗？是中心对称图形吗？
【总结提升】
1.正切函数图象的两种作法
(1)几何法：利用单位圆中的正切线作图，该方法较为精确，但画图时
较烦琐. (2)三点两线法：“三点”是指(-
lo g 1 x lo g 1 4，
2
2
tanx 1，
所以0<x< 或3 ≤x≤4.
所以所求定2 义域4 为(0， )∪[ 3， 4].
2
4
2在【.解［(变析0，换】π条由］件ta上、n的改x≠图变0象问，.法x∈)，［将0本，题π］函，数解改得为x“≠0y ， st且ainnxxx≠”试且 画x≠出π此. 函数
4
2
，xk∈kZ，
28
所以所求直线方程为x= k ， k∈Z.
28
2.(变换条件)将本例函数改为“ y
么？
t a n x 1，
tan tan (x
x 1
”，其定义域又是什
)
6
【解析】根据题意，得
ta
n
(
x
) 6
0，
4
解得 x
2
(3)解形如tan x>a的不等式的步骤
【变式训练】函数 y 2log1x tanx 的定义域是______.
2
【解析】x应满足 2 lo g 1 x 0，
2
ta n x 0，
所以 0kxx4， k所2(以k0Z<)， x<
高中数学 第1部分 第一章 1.4 1.4.3 正切函数的性质与图像课件 新人教A版必修4
3．函数y＝Atan(ωx＋φ)(A≠0，ω≠0)的最小正周期T＝ π |ω |.
[例 1] 求函数 y＝ tan x＋1＋lg(1－tan x)的定义域．
[思路点拨] 构建关于tan x的不等式组求解．
[精解详析] 由题意得t1a－n txa＋n 1x≥>00，， 即－1≤tan x<1. 在(－π2 ，π2 )内，满足上述不等式的 x 的取值范围是[－π4 ，π4 )． 又 y＝tan x 的周期为π ， 所以所求 x 的范围是 [kπ －π4 ，kπ ＋π4 )，k∈Z. 即为此函数的定义域．
[一点通] 求有关正切函数的定义域时，要首先考虑正切函数 本身的定义域，然后根据函数的特点确定出满足条件的三角不等式 或不等式组．另外，解不等式时要充分利用三角函数的图像或三角 函数线．
1．函数 y＝tan(π4 －x)的定义域是
4
[一点通] 求 y＝Atan(ωx＋φ)的单调区间，可先用诱导
π
π
公式把 ω 化为正值，由 kπ－ 2 ＜ωx＋φ＜kπ＋ 2 求得 x 的
范围即可．比较两个同名函数的大小，应保证两个角在同一
单调区间内．
4．比较tan 2 011°和tan 2 012°的大小． 解：tan 2 011°＝tan(5×360°＋211°)＝tan 211° ＝tan(180°＋31°)＝tan 31°， tan 2 012°＝tan 32°， ∵y＝tan x在0°＜x＜90°时是单调增函数， ∴tan 31°＜tan 32°.故tan 2 011°＜tan 2 012°.
(2)∵tan 2＝tan(2－π )，tan 3＝tan(3－π )， 又∵π2 ＜2＜π ，∴－π2 ＜2－π ＜0. ∵π2 ＜3＜π ，∴－π2 ＜3－π ＜0， 显然－π2 ＜2－π ＜3－π ＜1＜π2 ， 且 y＝tan x 在(－π2 ，π2 )内是增函数， ∴tan(2－π )＜tan(3－π )＜tan 1， 即 tan 2＜tan 3＜tan 1.
[例 1] 求函数 y＝ tan x＋1＋lg(1－tan x)的定义域．
[思路点拨] 构建关于tan x的不等式组求解．
[精解详析] 由题意得t1a－n txa＋n 1x≥>00，， 即－1≤tan x<1. 在(－π2 ，π2 )内，满足上述不等式的 x 的取值范围是[－π4 ，π4 )． 又 y＝tan x 的周期为π ， 所以所求 x 的范围是 [kπ －π4 ，kπ ＋π4 )，k∈Z. 即为此函数的定义域．
[一点通] 求有关正切函数的定义域时，要首先考虑正切函数 本身的定义域，然后根据函数的特点确定出满足条件的三角不等式 或不等式组．另外，解不等式时要充分利用三角函数的图像或三角 函数线．
1．函数 y＝tan(π4 －x)的定义域是
4
[一点通] 求 y＝Atan(ωx＋φ)的单调区间，可先用诱导
π
π
公式把 ω 化为正值，由 kπ－ 2 ＜ωx＋φ＜kπ＋ 2 求得 x 的
范围即可．比较两个同名函数的大小，应保证两个角在同一
单调区间内．
4．比较tan 2 011°和tan 2 012°的大小． 解：tan 2 011°＝tan(5×360°＋211°)＝tan 211° ＝tan(180°＋31°)＝tan 31°， tan 2 012°＝tan 32°， ∵y＝tan x在0°＜x＜90°时是单调增函数， ∴tan 31°＜tan 32°.故tan 2 011°＜tan 2 012°.
(2)∵tan 2＝tan(2－π )，tan 3＝tan(3－π )， 又∵π2 ＜2＜π ，∴－π2 ＜2－π ＜0. ∵π2 ＜3＜π ，∴－π2 ＜3－π ＜0， 显然－π2 ＜2－π ＜3－π ＜1＜π2 ， 且 y＝tan x 在(－π2 ，π2 )内是增函数， ∴tan(2－π )＜tan(3－π )＜tan 1， 即 tan 2＜tan 3＜tan 1.
高一数学人教A版必修4课件：1.4.3 正切函数的性质与图象(1)
π 3 得 2kπ－2<x<2kπ＋2π，k∈Z，
明目标、知重点
预习导学
挑战自我，点点落实
∴函数
1 π y＝tan－2x＋4 的单调递减区间是
π 3 2 k π － ， 2 k π ＋ π ，k∈Z. 2 2
明目标、知重点
预习导学
挑战自我，点点落实
挑战自我，点点落实
且 y＝tan x
∴tan (2－π)<tan (3－π)<tan 1，
即tan 2<tan 3 <tan 1.
明目标、知重点
预习导学
挑战自我，点点落实
规律方法
正切型函数单调性求法与正弦、余弦型函数求法
一样，采用整体代入法，但要注意区间为开区间且只有单调 增区间或单调减区间.利用单调性比较大小要把角转化到同一 单调区间内.
即－1≤tan x<1.
π π － ， 在 满足上述不等式的 2 2 内，
x
π π － ， 的取值范围是 4 4，
明目标、知重点
预习导学
挑战自我，点点落实
又y＝tan x的周期为π，
π π 所以函数的定义域是kπ－4，kπ＋4 (k∈Z).
π π ＝kπ＋2(k∈Z)，x＝kπ－2(k∈Z).
明目标、知重点
预习导学
挑战自我，点点落实
3. 根据相关诱导公式，你能判断正切函数是周期函数吗？其
最小正周期为多少？
答
由诱导公式tan(x＋π)＝tan x，可知正切函数是周期函数，
最小正周期是π.
4.根据相关诱导公式，你能判断正切函数具有奇偶性吗？
故 函 数
y ＝ 3tan
明目标、知重点
预习导学
挑战自我，点点落实
∴函数
1 π y＝tan－2x＋4 的单调递减区间是
π 3 2 k π － ， 2 k π ＋ π ，k∈Z. 2 2
明目标、知重点
预习导学
挑战自我，点点落实
挑战自我，点点落实
且 y＝tan x
∴tan (2－π)<tan (3－π)<tan 1，
即tan 2<tan 3 <tan 1.
明目标、知重点
预习导学
挑战自我，点点落实
规律方法
正切型函数单调性求法与正弦、余弦型函数求法
一样，采用整体代入法，但要注意区间为开区间且只有单调 增区间或单调减区间.利用单调性比较大小要把角转化到同一 单调区间内.
即－1≤tan x<1.
π π － ， 在 满足上述不等式的 2 2 内，
x
π π － ， 的取值范围是 4 4，
明目标、知重点
预习导学
挑战自我，点点落实
又y＝tan x的周期为π，
π π 所以函数的定义域是kπ－4，kπ＋4 (k∈Z).
π π ＝kπ＋2(k∈Z)，x＝kπ－2(k∈Z).
明目标、知重点
预习导学
挑战自我，点点落实
3. 根据相关诱导公式，你能判断正切函数是周期函数吗？其
最小正周期为多少？
答
由诱导公式tan(x＋π)＝tan x，可知正切函数是周期函数，
最小正周期是π.
4.根据相关诱导公式，你能判断正切函数具有奇偶性吗？
故 函 数
y ＝ 3tan
数学(人教A版)必修4课件：1-4-3 正切函数的性质与图象
3π 7π 解得2kπ＋ 4 ≤x≤2kπ＋ 4 ，k∈Z， 5π π ∴当k＝－1时，－ 4 ≤x≤－4.
3π π 3π π ∴原函数在区间－ 4 ，4上的单调减区间为－ 4 ，－4.
第一章
1.4
高中新课程 · 学习指导 · 人教A版 · 数学 · 必修4
新课引入
∴当cosx＝－1时，即x＝2kπ＋π(k∈Z)时，函数取得最大 值．
第一章
1.4
高中新课程 · 学习指导 · 人教A版 · 数学 · 必修4
π 3π π y＝sinx－4在－ 4 ，4上的单调递减区间．
4．求函数
[解析]
π π 3π 由2kπ＋ ≤x－ ≤2kπ＋ ，k∈Z， 2 4 2
kπ [拓展](1)正切函数图象的对称中心是 2 ，0 (k∈Z)，不存
在对称轴． π (2)直线x＝ ＋kπ(k∈Z)称为正切曲线的渐近线，正切曲线 2 无限接近渐近线． π (3)函数y＝Atan(ωx＋φ)＋b的周期是T＝|ω|.
第一章
1.4
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课前自主预习
第一章
1.4
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温故知新 1．下列函数在区间[0，π]上是单调函数的是( A．y＝sinx C．y＝sin2x B．y＝cos2x D．y＝cosx )
[答案]
D
第一章
1.4
高中新课程 · 学习指导 · 人教A版 · 数学 · 必修4
[解析] 递减函数．
结合函数 y＝cosx 的图象可知其在[0，π]上为单调
第一章
1.4
高中新课程 · 学习指导 · 人教A版 · 数学 · 必修4
人教A版数学必修4第一章1.4.3 正切函数的性质和图象课件(共23张PPT)
{x|xk,kZ}
2
R
T=
奇函数
增区间 (k,k)k , Z
x
2 k
2
2
( k2π,0)பைடு நூலகம்
讨论：
§1.4.3正切函数的性质与图像
(1)正切函数是整个定义域上的增函数吗？为什么？
(2)正切函数会不会在某一区间内是减函数？为什么？
A
B
(-π 2+kπ,π 2+在kπ 每一)个，k开区Z间内都是增函数。
利用正切线画出函数 ytaxn，x， 的图像:
2 2
角 的终边 Y
T3
（3，tan3）
A
0
X
3
一:图像 §1.4.3正切函数的性质与图像
利用正切线画出函数 ytaxn，x， 的图像:
2 2 作法: (1) 等分：把单位圆右半圆分成8等份。
(2) 作正切线 (3) 平移
3 8
， 4
，
8
C.
( ,0) 6
D. ( , 0 ) 4
例题分析
§1.4.3正切函数的性质与图像
例1、求函数y= tan2(x) 的定义域、周期
和单调区间
4
例题分析
§1.4.3正切函数的性质与图像
练习、求函数y= 期和单调区间
tan(
2
x
3
)
的定义域、周
例题分析
§1.4.3正切函数的性质与图像
例2、比较下列每组数的大小。
2
正切函数是奇函数.
§1.4.3正切函数的性质与图像
4、能否由正切线的变化规律及正切函数周期性来讨论它的单调性?
§1.4.3正切函数的性质与图像
函数 y sx i,x n 0 ,2图象的几何作法
2
R
T=
奇函数
增区间 (k,k)k , Z
x
2 k
2
2
( k2π,0)பைடு நூலகம்
讨论：
§1.4.3正切函数的性质与图像
(1)正切函数是整个定义域上的增函数吗？为什么？
(2)正切函数会不会在某一区间内是减函数？为什么？
A
B
(-π 2+kπ,π 2+在kπ 每一)个，k开区Z间内都是增函数。
利用正切线画出函数 ytaxn，x， 的图像:
2 2
角 的终边 Y
T3
（3，tan3）
A
0
X
3
一:图像 §1.4.3正切函数的性质与图像
利用正切线画出函数 ytaxn，x， 的图像:
2 2 作法: (1) 等分：把单位圆右半圆分成8等份。
(2) 作正切线 (3) 平移
3 8
， 4
，
8
C.
( ,0) 6
D. ( , 0 ) 4
例题分析
§1.4.3正切函数的性质与图像
例1、求函数y= tan2(x) 的定义域、周期
和单调区间
4
例题分析
§1.4.3正切函数的性质与图像
练习、求函数y= 期和单调区间
tan(
2
x
3
)
的定义域、周
例题分析
§1.4.3正切函数的性质与图像
例2、比较下列每组数的大小。
2
正切函数是奇函数.
§1.4.3正切函数的性质与图像
4、能否由正切线的变化规律及正切函数周期性来讨论它的单调性?
§1.4.3正切函数的性质与图像
函数 y sx i,x n 0 ,2图象的几何作法
高一数学人教A版必修4课件：1.4.3 正切函数的性质与图象
明目标、知重点
例 1 求函数 y＝ tan x＋1＋lg(1－tan x)的定义域.
解
tan x＋1≥0， 由题意得
即－1≤tan x<1.
1－tan x>0，
在－π2，π2内，满足上述不等式的 x 的取值范围是
－π4，π4.又 y＝tan x 的周期为 π， 所以所求 x 的范围是kπ－π4，kπ＋π4 (k∈Z). 即函数的定义域为kπ－π4，kπ＋π4 (k∈Z).
明目标、知重点
思考2 结合正切函数的周期性， 如何画出正切函数在整个定义 域内的图象？ 答 我们作出了正切函数一个周期－π2，π2上的图象，根据正切函 数的周期性,把图象向左、右扩展，得到正切函数 y＝tan x(x∈R,且 x≠π2＋kπ(k∈Z))的图象,我们把它叫做“正切曲线”(如下图所示), 它是被无数条直线 x＝kπ＋π2(k∈Z)所隔开的无数条曲线组成的.
明目标、知重点
【学习力-学习方法】
优秀同龄人的陪伴 让你的青春少走弯路 明目标、知重点
小案例—哪个是你
忙忙叨叨，起早贪黑， 上课认真，笔记认真， 小A 就是成绩不咋地……
好像天天在玩， 上课没事儿还调皮气老师， 笔记有时让人看不懂， 但一考试就挺好…… 小B
明目标、知重点
目 录/contents
∴函数的定义域为x|x∈R，x≠kπ＋π2且x≠kπ－π4，k∈Z.
明目标、知重点
(2)y＝lg( 3－tan x). 解 由 3－tan x>0，得 tan x< 3.
根据三角函数线，得－π2＋kπ<x<π3＋kπ (k∈Z)， ∴函数的定义域是x|－π2＋kπ<x<π3＋kπ，k∈Z.
明目标、知重点
例 1 求函数 y＝ tan x＋1＋lg(1－tan x)的定义域.
解
tan x＋1≥0， 由题意得
即－1≤tan x<1.
1－tan x>0，
在－π2，π2内，满足上述不等式的 x 的取值范围是
－π4，π4.又 y＝tan x 的周期为 π， 所以所求 x 的范围是kπ－π4，kπ＋π4 (k∈Z). 即函数的定义域为kπ－π4，kπ＋π4 (k∈Z).
明目标、知重点
思考2 结合正切函数的周期性， 如何画出正切函数在整个定义 域内的图象？ 答 我们作出了正切函数一个周期－π2，π2上的图象，根据正切函 数的周期性,把图象向左、右扩展，得到正切函数 y＝tan x(x∈R,且 x≠π2＋kπ(k∈Z))的图象,我们把它叫做“正切曲线”(如下图所示), 它是被无数条直线 x＝kπ＋π2(k∈Z)所隔开的无数条曲线组成的.
明目标、知重点
【学习力-学习方法】
优秀同龄人的陪伴 让你的青春少走弯路 明目标、知重点
小案例—哪个是你
忙忙叨叨，起早贪黑， 上课认真，笔记认真， 小A 就是成绩不咋地……
好像天天在玩， 上课没事儿还调皮气老师， 笔记有时让人看不懂， 但一考试就挺好…… 小B
明目标、知重点
目 录/contents
∴函数的定义域为x|x∈R，x≠kπ＋π2且x≠kπ－π4，k∈Z.
明目标、知重点
(2)y＝lg( 3－tan x). 解 由 3－tan x>0，得 tan x< 3.
根据三角函数线，得－π2＋kπ<x<π3＋kπ (k∈Z)， ∴函数的定义域是x|－π2＋kπ<x<π3＋kπ，k∈Z.
明目标、知重点
高中数学人教A版必修4课件：1-4-3正切函数的性质与图象
=
-sin������ =tan -cos������
x,
所以 y=tan x 是一个周期函数.
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I ZHU YU XI
EZUO XUEXI
ANGTANG JIAN
2.填空:(1)正切函数的图象(如图):
(2)正切函数的图象叫做正切曲线. (3)正切函数的图象特征:正切曲线是由被相互平行的直线
π 4
π
; .
的单调递增区间是
.
所以函数的单调递增区间是 ������π- 4 ,������π + 4 (k∈Z).
π 3π
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答案:(1) ������ ������ ≠ 2 + 12 ,������∈Z π 3π (2) ������π- ,������π + (k∈Z)
5π 2������π + 3 ,������∈Z
.
由正切函数的值域可知该函数的值域也是(-∞,+∞). (2)依题意 3-tan x≥0,所以 tan x≤ 3. 结合 y=tan x 的图象可知,在 -2<x≤3,所以函数 y=
π ,������∈Z 3 π π ππ 22
上,满足 tan x≤ 3的角 x 应满足
π
3-tan������的定义域为 ������ ������π- 2 < ������ ≤ ������π +
首页 探究一 探究二 探究三 思维辨析
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高中数学 1.4.3 正切函数的性质与图象课件 新人教A版必修4
正切函数的性质:
定义域：x
x
2
k ,
k
Z
值域： R
周期性：T
奇偶性：奇函数
单调性：
在开区间
2
k
,
2
k
k
Z内递增
在每一个(yī ɡè)开区间内都是单调增函数.能不
能说正切函数在整个定义域上单调递增？
第六页，共11页。
三、例题
例(l2ì、tí求)函研数究y tan π x π 的定义域、
x
R,
x
π
kπ, k
Z
2
y A tan(x )
y tan x T π
T
2、奇偶性
tan( x) tan x, x R, x π kπ, k Z 2
正切(zhèngqiē)函数是
第三页，共11页。
例1、判断下列(xiàliè)函数的奇偶性并求周期：
(1) y tan 3x
解:
y
cos2 x sin2 cos2 x
x
2
tan
x
1
tan 2
x
2
tan
x
2
令t tan x,
x
3
,
4
t
3,1
y t 2 2t 2 (t 1)2 1
第九页，共11页。
四、小结与作业 :
(1)定义域： { x | x k , k Z }
2
(2)周期T π
(3) f ( x) tan x, x R 为奇函数
(4) 单调(dāndiào)性：增区
间：
2
k
,
2
k
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
kZ
高中数学人教A版必修4第一章1.4.3正切函数的性质与图像课件
1.4.2 正切函数的性质与图像
目标： 1.了解正切函数图像的几何画法； 2.掌握正切函数的性质； 3.能对应正切函数的图像和性质解决问题.
重难点：正切函数的图像及性质
探究1：正切函数的性质
思考1：正切函数的定义域是什么？
思考2：根据相关诱导公式，你能判断正切函数是周期函数吗？
探究2：正切函数的图像
目标： 1.了解正切函数图像的几何画法； 2.掌握正切函数的性质； 3.能对应正切函数的图像和性质解决问题.
重、难点：正切函数的图像及性质
正切函数的性质：
1.定义域： 2.值域： 3.单调性： 4.奇偶性：奇函数 5.周期性： 6.对称性：
1
思考：如何画出正切函数在其他区间上的图像？
可以利用正切函数的周期性
探究3：正切函数的图像与性质
观察正切函数的图像，得到正切函数的以下性质：
1.定义域： 2.值域： 3.单调性：
思考：正切函数在整个定义域上是增函数吗？为什么？
观察正切函数的图像，得到正切 函数的以下性质：
1.定义域： 2.值域： 3.单调性： 4.奇偶性：奇函数 5.周期性： 6.对称性：
目标： 1.了解正切函数图像的几何画法； 2.掌握正切函数的性质； 3.能对应正切函数的图像和性质解决问题.
重难点：正切函数的图像及性质
探究1：正切函数的性质
思考1：正切函数的定义域是什么？
思考2：根据相关诱导公式，你能判断正切函数是周期函数吗？
探究2：正切函数的图像
目标： 1.了解正切函数图像的几何画法； 2.掌握正切函数的性质； 3.能对应正切函数的图像和性质解决问题.
重、难点：正切函数的图像及性质
正切函数的性质：
1.定义域： 2.值域： 3.单调性： 4.奇偶性：奇函数 5.周期性： 6.对称性：
1
思考：如何画出正切函数在其他区间上的图像？
可以利用正切函数的周期性
探究3：正切函数的图像与性质
观察正切函数的图像，得到正切函数的以下性质：
1.定义域： 2.值域： 3.单调性：
思考：正切函数在整个定义域上是增函数吗？为什么？
观察正切函数的图像，得到正切 函数的以下性质：
1.定义域： 2.值域： 3.单调性： 4.奇偶性：奇函数 5.周期性： 6.对称性：
高中数学 1.4.3正切函数的性质与图象课件 新人教A版必修4
第十三页，共44页。
【解析】1.因为sin x∈［-1,1］，所以y=tan(sin x)的定义
域为R，值域为［tan(-1),tan 1］.
答案(dá àn)：R ［tan(-1),tan 1］
2.y=(tan x-1)2+2，由于tan x∈R，所以当tan x=1时，函数
取最小值2.
答案(dá àn)：2
x 5由，于φ k 5 .
φ 0，
2 故当k=1时，得
φ
由 3x k 得，k
18
26
2
故3Z函，，数(所hxá以ns函kh数ù)(解5há析，n式skhf为ùZx)，的 定tan(3x
3
).
义域为
3 {x
|
x
2 R且x
k值域5为，Rk.由3Z于}正. 18切函数(hánshù)
y=tan x在区间
心.( )
x k ，k Z.
2
(3)正切曲线(qūxiàn)有无数条对称轴，其对称轴是
()
第五页，共44页。
提示：(1)错误. 正切函数的定义域为 值域为R.
(k , k )，k Z.
2
2
(2)正确(zhè(nkgq, 0u)è(k).点Z)
是其对称中心.
2
(3)错误.正切曲线没有对称轴.
把 4转化到 2 2 上再比较大小.
【解析】选A.
f
1
tan (1
) 4
tan (1
34又)，
1 3 1 ，
2
44 4
所以f(0)>f(-1)>f(1).
第二十五页，共44页。
类型 三 正切函数的奇偶性与周期(zhōuqī)
【解析】1.因为sin x∈［-1,1］，所以y=tan(sin x)的定义
域为R，值域为［tan(-1),tan 1］.
答案(dá àn)：R ［tan(-1),tan 1］
2.y=(tan x-1)2+2，由于tan x∈R，所以当tan x=1时，函数
取最小值2.
答案(dá àn)：2
x 5由，于φ k 5 .
φ 0，
2 故当k=1时，得
φ
由 3x k 得，k
18
26
2
故3Z函，，数(所hxá以ns函kh数ù)(解5há析，n式skhf为ùZx)，的 定tan(3x
3
).
义域为
3 {x
|
x
2 R且x
k值域5为，Rk.由3Z于}正. 18切函数(hánshù)
y=tan x在区间
心.( )
x k ，k Z.
2
(3)正切曲线(qūxiàn)有无数条对称轴，其对称轴是
()
第五页，共44页。
提示：(1)错误. 正切函数的定义域为 值域为R.
(k , k )，k Z.
2
2
(2)正确(zhè(nkgq, 0u)è(k).点Z)
是其对称中心.
2
(3)错误.正切曲线没有对称轴.
把 4转化到 2 2 上再比较大小.
【解析】选A.
f
1
tan (1
) 4
tan (1
34又)，
1 3 1 ，
2
44 4
所以f(0)>f(-1)>f(1).
第二十五页，共44页。
类型 三 正切函数的奇偶性与周期(zhōuqī)
高中数学 第一章 三角函数 1.4 三角函数的图象与性质 1.4.3 正切函数的性质与图像习题课件 新人教A版必修4
(2)y＝|tanx|＝t－antxa，nx，x∈x[∈kπ（，kπkπ－＋π2π，2 ）kπ（]k（∈kZ∈）Z.）.
可作出其图像(如图)，由图像知函数 y＝|tanx|的单调递减区 π
间 为 (k π － 2 ， k π ](k∈Z) ， 单 调 递 增 区 间 为 [k π ， k π ＋ π 2 )(k∈Z)．
π 是[0，＋∞)；单调递增区间是[kπ，kπ＋ 2 )(k∈Z)；周期 T＝
π.
课后巩固
1．函数
y＝ta1nx(－π4
π <x< 4
)的值域是(
)
A．[－1，1]
B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－∞，1]
D．[－1，＋∞)
答案 B
2．函数 y＝tanx＋sinx－|tanx－sinx|在区间(π2 ，3π2 )内的图 像大致是( )
π
⇒kπ－
x≠kπ＋ 2 （k∈Z）
2
<x<kπ＋
3
，
π
π
∴定义域为(kπ－ 2 ，kπ＋ 3 )(k∈Z)，值域为 R.
题型二 正切函数的奇偶性 例 2 判断下列函数的奇偶性： (1)y＝tanx(－π4 ≤x<π4 )； (2)y＝xtan2x＋x4； (3)y＝sinx＋tanx.
【思路分析】 先分别求出各个函数的定义域，看是否关于原点
思考题 4 作出函数 y＝tanx＋|tanx|的图像，并求其定义 域、值域、单调区间及最小正周期．
【解析】 y＝tanx＋|tanx|＝ 2tanx，tanx≥0，且x≠kπ＋π2 ，k∈Z. 0，tanx<0，且x≠kπ＋π2 ，k∈Z.
其图像如图所示，
π
人教A版高中数学必修四课件1.4.3正切函数的性质与图像新.pptx
三、例题研究
2020/4/18
研修班
8
2020/4/18
研修班
9
2020/4/18
研修班
10
(1)定义域：
为奇函数
(4)单调性：增区间：
2020/4/18
研修班
11
2020/4/18Fra bibliotek研修班
12
2020/4/18
研修班
13
空白演示
在此输入您的封面副标题
2020/4/18
研修班
2
一、回顾
请问:研究正弦函数、余弦函数之后 你积累了那些经验？
单位圆技法 诱导公式、函数性质
平移正弦线、余弦线
五点法 描点法
画函数图象
2020/4/18
研修班
3
1、周期性
2、奇偶性
作图
正切函数是奇函数
2020/4/18
研修班
4
例1、判断下列函数的奇偶性并求周期：
(1)
(2)
(3)
(4)
（5）
(偶函数，T = p )
2020/4/18
研修班
5
利用正切线画出函数在的图象
2020/4/18
研修班
6
定义域： 值域：
周期性： 奇偶性：奇函数
单调性：在开区间内递增
在每一个开区间内都是单调增函数.能不能说 20正20/4/1切8 函数在整个定研义修班域上单调递增？ 7
推荐-高中数学人教A版必修4课件1.4.3 正切函数的性质与图象(1)
M 目标导航 UBIAODAOHANG
Z重难聚 H焦ONGNAN JVJIAO
D典例透析 IANLI TOUXI
题型一 题型二 题型三 题型四 题型五
【变式训练 1】
函数 y=tan
π 4
-������
的定义域是(
)
A.
������
������
≠
π 4
B.
������
������
≠
-
π 4
C.
������
D典例透析 IANLI TOUXI
题型一 题型二 题型三 题型四 题型五
题型三
求周期
【例 3】 求下列函数的最小正周期:
(1)y=-tan
π 3
������
+
3 5
;
(2)y=|tan x|.
分析:(1)利用
T=
π |������|
求解;(2)画出函数图象利用图象求解.
M 目标导航 UBIAODAOHANG
-
1 3
������
+
π 6
的周期是___.
(2)已知函数 y=tan
������������
+
π 3
的周期是 6π, 则������ = ___.
解析:(1)函数的周期为 T=
π -13
= 3π.
(2)由
T=
π |������|
,
得6π=
π |������|
,
∴
|������|
=
1 6
,
������
.
再见
2019/11/23
������
≠
������π
相关主题
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想一想：结合正切函数的周期性, 如何画出正切函数在整 个定义域内的图象？
正切函数的图象（正切曲线）是被互相平行的直线所 隔开的无穷多支相同形状的曲线组成的。
想一想：正切函数在整个定义域内是增函数吗？ 正切函数会不会在某一区间内是减函数？
小结：
１、正切函数的性质和图象
２、数形结合的思想方法 作业：
高中数学必修4 1.4.3 正切函数的性质与图象
正切函数的定义： ta n y k,kZ
x
2
正切函数的几何意义： tanAT
有向线段AT——正切线
y
α的终边
T
1 •P(x, y)
O
A（1,0）x
知识探究（一）：正切函数的性质
思考1：正切函数的解析式：__y___t_a_nｘ ___ 定义域是 _{x_x__2__k_,_k __Z} 用区间表示为 __( _ _ 2 _ _k _ __ _ _k _ ___ _
思考2：正切函数是周期函数吗？最小正周期 T=_______
正切函数是周期函数，周期是 k（ k Z， k0)
思考3：正切函数具有奇偶性吗？
正切函数是奇函数
思考4：当角x在 (
2
,) 2
内增加时，正切值发生什
么变化?正切函数的单调性如何？
正切函数在开区间
(kk 2
内都是增函数
思考5：当x小于 2 当x大于
且无限接近 且无限接近
2
时, 正切值如何变化？ 时正切值又如何变化？
正切函数有2 没有最大最小值2 ？它的值域是____R___
正切函数y=tanx的性质：
定义域 值域
{xxk,kZ}
2
R
周期性
T=
奇偶性
奇函数
单调性 增区 (k间 ,k)k Z
22
讨论与探究一：
正切函数的性质对我们作出它的图象有哪些启发呢？
1、课本第46页习题 6、7、8、9 2、（选作）由周期函数定义推导出函数
y ta x n ( )( , 0 ) 的最小正周期
感谢亲观看此幻灯片，此课件部分内容来源于网络， 如有侵权请及时联系我们删除，谢谢配合！
你能想象出它的图象的样子吗？
知识探究（二）：正切函数的图象
利用正切线画出函数 作法: (1) 等分：
ytaxn， x2，2
的图象:
(2) 作正切线
(3) 平移
(4) 连线
三
2
点
两
线
o
3 0 3
法
2 848
84 8 2
- 2
想一想：如何快速画出正切函数 y=tanx x2，2 的简图