lllx10动量定理(Hong)---华南理工大学理论力学课件

研究轮，受力分析、运动分析。
n Fn = maC ∑
n − FOx = maC
A
Ox
F
O
a
n C
C
B
Q
t Ft = maC ∑
ω
α
F
t C
Oy
− FOy + Q = ma
a
t C
得： F = − ma n = − mRω 2 Ox C
t FOy = Q − maC = Q − mRα
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质心运动守恒定律
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质点系动量守恒定律
质点系动量守恒 -若作用于质点系的外力的主矢恒等于零，则质点系的 动量保持不变。 r r r re dp p 2 = p 1 = 恒矢量 若 = ∑ Fi ≡ 0 dt 质点系动量沿坐标轴守恒 -若作用于质点系的外力的主矢在某一坐标轴上的投影 恒等于零，则质点系的动量在该轴上的投影保持不变。
Fy min = (m1 + m2 ) g − m2ω 2 e
m1 + m2 ω> g时，Fy min < 0, m2 e 离地跳起。
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习题 10-4 图示均质杆AB，长为l，直立在光滑水平 面上。求它从铅垂位置无初速度倒下时，端点A相 对图示坐标系的轨迹。
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•动量定理解题步骤
•根据题意，恰当选取研究对象（质点或质点系）； •作研究对象的受力图，只画外力。判定系统动量或质心
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( e)
质点系动量定理的投影形式
微分形式
dp x = dt
∑
F
(e) x
,
dp y dt
=
∑
F y( e ) ,
dp z = dt
∑F
(e) z
积分形式
( ( p2 x − p1x = ∑ I xe) , p2 y − p1 y = ∑ I ye) , p2 z − p1z = ∑ I z(e)
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质点系的动量定理
微分形式 -质点系动量的增量等于作用于质点系上的外力的元冲量 的矢量和。 -质点系动量对时间的一阶导数等于作用于质点系上的外 力的矢量和。 由质点的动量定理
d (mi vi ) = Fi dt + Fi dt
(i ) (e)
d (mi vi ) = ∑ Fi (i ) dt + ∑ Fi ( e ) dt ∑
− rω 2 m1 aCx = &&C = x ( + m2 ) cos ωt m1 + m2 2
代入质心运动定理，得
Fx = F − rω 2 ( m1 + m2 ) cos ωt 2
M
最大水平约束力
Fx max
2 m1 = F + rω ( + m2 ) 2
Fy
FN 1
FND
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⋅ 练习 均质圆轮重Q，半径R，求：O处的约束力
B
C
C2
B2
A
A2
x
Δx1 Δx2
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解:设细杆下落到水平位置时，物块的水平位移为 Δx1，细杆质心 的水平位移为Δx2 。由几何关系，
L Δx 2 = Δx1 + 2 (1)
∑Fx(e)=0，且系统初始静止，水平方向位移守恒
∑ m Δx
i
i
= 0,
B
C
m1 Δx1 + m 2 Δx 2 = 0,
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质点的动量定理
微分形式 -质点动量的增量等于作用于质点上的力的元冲量。 r r r r d r dv (mv ) = F Q ma = m =F dt dt
r r d (m v ) = F ⋅ dt
积分形式 -在某一时间间隔内，质点动量的变化等于作用于质点 的力在此段时间内的冲量。
r r r I = m v2 − m v1
A
K
r VA
C r
V
C
r r p = mv Qr = v g
C
C
（方向如图）
Q
r p
B
r V
7
B
ϕ
•重为W的轮作纯滚动，角速度ω。求轮的动量。
ω
O
r r p = mv
r p
O
R
vo
W
r W = Rωi g
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均质圆轮重Q，半径R，求：动量p
A
B
O
Q
C
ω
Q
O
ω
ε
v
C
Q p = mvC = Rω g
( )
质心运动守恒 -若作用于质点系的外力的主矢恒等于零，则质心作匀 速直线运动。若开始静止，则质心位置始终保持不变。 re r r v C = 恒矢量 若 m a C = ∑ Fi ≡ 0 r r 若 vC = 0 rC = 恒矢量 质心运动沿坐标轴守恒 -若作用于质点系的外力的主矢在某一坐标轴上的投影 恒等于零，则质心速度在该轴上的投影保持不变；若 开始时速度投影为零，则质心在该轴坐标保持不变。
r F
(i) i
m
i
r F
(e) i
dp = ∑ Fi ( e ) dt = ∑ dI ie ,
或 dp = ∑ Fi ( e ) dt
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质点系的动量定理
积分形式 -在某一时间间隔内，质点系动量的增量等于在这段时 间内作用于质点系上的外力冲量的矢量和。
dp = ∑ dI ,
e i
r r p − p =∑I
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r p=?
•求：系统的总动量。
vA
v
E
A
r
ω
O
E v W
C
l C
2W
ϕ
B
vB
W
W 2W W p = vE + vC + vB g g g
vB = vC = v A = 2vE = rω
7W rω p= 2g
（
10
）
•求：系统的总动量。
v ω
O
E
v
E
A
v
C
C
W A
2W
ω AB
B
W
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•动量与冲量
导出定理 描述质心运动状态 变化规律；
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质心运动定理工程应用
指定落点该如何 爆破？
定向爆破
-质心抛射运动； -质心轨迹可求； -预估大部分石块落点。
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质心运动定理的投影式
直角坐标形式 自然坐标形式
(e) x
maCy = ∑ Fy( e ) maCz = ∑ F
(e) z
maCx = ∑ F
dv ma = m = ∑ Ft ( e ) dt 2 vC n ma C = m = ∑ F n( e )
§10–1 动量与冲量 §10–2 动量定理 §10–3 质心运动定理
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本章要求、重点与难点
本章要求
熟练计算质点系动量、力的冲量、质心坐标、vC、aC； 熟练应用动量定理、质心运动定理及其守恒定律计算。
本章重点
质点系的动量； 质点系的动量定理及其应用； 质心运动定理及其应用。
本章难点
应用动量定理和质心运动定理求解复 杂的质点系动力学问题。
-质点系质心的运动，可以视为一个质点的运动，设想该 质点集中了整个质点系的质量及其所受的外力。 •内力不影响质心的运动，只有外力才能改变质心运动。
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质心运动定理与牛顿第二定律的区别 • 牛顿第二定律 • 质心运动定理
r r m a = ∑ Fi
基本公理 描述质点运动状态 变化规律；
r (e) r m a c = ∑ Fi
-质点系的动量等于质心速度与其全部质量的乘积 。
r r p = ∑m v
i
i
(1)
r r mrC = ∑ mi ri (2)
（2）式两端对时间t求一阶导
r r mvC = ∑ mi vi (3)
r r p = mv
C
• 质点系的动量可以描述质心的运动→整体动力学参量
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r r 已知杆长l，重Q，倾角ϕ，VA；求：杆的动量p
Fxe = 0, 且初始静止，xc守恒。 ∑
设xC1 = a
xC 2 = m1 (a − s ) + m2 (a + e sin ϕ − s ) m1 + m2
•水平方向质心运动守恒
xC1 = xC 2 , 得
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xC1 = xC 2
m2 s= e sin ϕ m1 + m2
Fy = (m1 + m2 ) g + m2ω 2 e cos ωt
(2)
A
A2
C2
B2
联立（1）和（2） m2 L Δx1 = − (←) 2( m1 + 动量定理
§10–1 动量与冲量 §10–2 动量定理 §10–3 质心运动定理
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质心
-质点系（或物体）的质量中心。当作用力合力通过该点 时，物体只作平移而不发生转动。 • 质心位置反映质点系质量分布的特征。 •质心坐标公式
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•动量与冲量
•动量
质点的动量
r -质点质量与速度的乘积称为质点的动量，记为 mv 。
-动量是矢量，方向与质点速度方向一致；绝对量； -单位：kg·m/s
质点系的动量 -是质点系内各质点动量的矢量和，记为p 。 -质点系的动量等于质心速度与其全部质量的乘积 。
r r = ∑m v p
i
i
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质点系的动量计算
dp x 若 = dt
∑
F xe ≡ 0
p
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2x
=
p
1x
= 恒量
• 内力虽不能改变质点系的动量，但可改变各质点动量。