第六章 定积分及其应用 6-6
同济大学高等数学上册第六章定积分的应用
同济大学高等数学上册第六章定积分的应用定积分作为高等数学中的一个重要概念，广泛应用于各个领域，其在实际生活中的应用也是非常广泛的。
本文将以同济大学高等数学上册第六章定积分的应用为题，从不同的角度来探讨定积分在实际问题中的应用。
第一节：定积分在物理学中的应用在物理学中，定积分的应用是非常广泛的。
比如，在力学中，我们可以通过定积分来求解物体的质心、转动惯量等问题；在热力学中，可以通过定积分来计算热力学过程中的功和热量等；在电磁学中，可以通过定积分来计算电荷分布下的电场强度等。
定积分在物理学中的应用，不仅帮助我们更好地理解物理定律，还帮助我们解决实际问题。
第二节：定积分在经济学中的应用经济学是一个与人们日常生活息息相关的学科，而定积分在经济学中的应用也是非常显著的。
比如，在计算人均收入时，可以通过定积分来计算人均消费的总和；在计算流动性时，可以通过定积分来计算资产的变化量。
通过使用定积分的方法，经济学家可以更加精确地分析经济问题，并作出合理的决策。
第三节：定积分在生物学中的应用生物学是一个研究生命现象和生命规律的学科，而定积分在生物学中的应用也是非常广泛的。
比如，在遗传学中，可以通过定积分来计算染色体的长度；在生态学中，可以通过定积分来计算种群的增长率。
通过使用定积分的方法，生物学家可以更加准确地研究生物现象，并深入理解生命的奥秘。
第四节：定积分在工程学中的应用工程学是一个应用数学知识解决实际问题的学科，而定积分在工程学中的应用也是非常重要的。
比如，在土木工程中，可以通过定积分来计算曲线的长度、曲面的面积等；在电气工程中，可以通过定积分来计算电路中的功率、电量等。
通过使用定积分的方法，工程师可以更好地设计和分析工程问题。
总结：通过对同济大学高等数学上册第六章定积分的应用进行探讨，我们发现定积分在物理学、经济学、生物学和工程学等领域中的应用非常广泛。
定积分作为数学中的一个重要概念，不仅可以帮助我们更好地理解各个学科，还能够解决实际问题。
高等数学讲义第六章定积分及其应用
oa
x x i1 i i
b
x
编辑ppt
2
定义:设函数f (x)在[a,b]上有界，如果不任[a对 ,b]怎样
划分成n个小区间，也不任在 小各 区间[xi1, xi ](i 1,2,,n)
上点i 怎样取法，只要当0时( maxxi)和式
i
n
f (i )xi 趋于一个确定的极限I，值那么称此极限值为
a
编辑b ppt
a
4
3 abk(fx)dxkabf(x)d x k 为（ 常数） 4 a b (f(x) g (x)d ) x a bf(x)d x a bg (x)dx
5设acb则
b
c
b
a f(x)dxa f(x)dxc f(x)dx
6 如果x[a,b]有 f (x) g(x)
则
b
存在一 ,使 点得 abf(x)dxf()(ba) (ab)
定积分中值定理的几何意义： 在[a,b]内至少有一点，使得以[a,b]为底，f ()为高的 矩形面积，等于以[a,b]为底的曲边梯形的面积。
y
o
a
b
x
编辑ppt
6
例1. 用定义计算定积分 12 xdx
例2.设f (x),g(x)在[a,b]连续,g(x)保号,证明：
在[a,b]上至少存在一 ，点 使得
b
a
f
(x)g(x)d
x
f
()abg(x)d
x
成立。
编辑ppt
7
§2. 微积分基本公式
由定积分的定义来计算定积分的值是很困难的， 是否存在更为简便的方法呢？
先引入变上限函数及其求导定理
设 f(x)在 [a,b]上连续 f(x)在 ， [a,x]那 (x [a 么 ,b]上 )
第6章定积分 - 精品课程网
2、 直径为 20cm，高为 80cm 的圆柱体内充满压强为 10N/ cm2 的蒸气，设温度保持不变，要
使蒸气体积缩小一半，问需要作多少功？
3、 有一等腰梯形闸门，它的两条底边各长 10m 和 6m,高为 20m,较长的底边与水面相齐，计 算闸门的一侧所受的水压力。
⎩x,
当x ∈[0,1)时，求 Φ(x) =
x
f (t)dt 在[0，2]上的表达式，并讨论
当x ∈[1,2]时.
0
Φ(x) 在（0，2）内的连续性。
∫ ∫ 8、 设 f(x) 在 [a,b] 上 连 续 且 f(x)>0,F(x)=
x
f (t)dt +
x
dt
, x ∈[a,b]. 证 明 ：
a
b f (t)
∫b) π sin 2 kxdx = π . −π
∫ 5、设 k 及 l 为正整数，且 k ≠ l,证明 π cos kx sin lxdx = 0. −π
∫ 6、设 f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导且 f ′(x) ≤ 0, F (x) = 1
x
f (t)dt. 证明在(a,b)
x−a a
4、 设有一长度为 L，线密度为 ρ 的均匀细直棒，在与棒的一端垂直距离为 a 单位处有一质
量为 m 的质点 M，试求这 的物体从地球表面升高到 h 处所作的功是W = k mMh 其中 k R(R + h).
是引力常数，M 是地球的质量，R 是地球的半径；
积。
2、 证明：由平面图形 0 ≤ a ≤ x ≤ b,0 ≤ y ≤ f (x) 绕 y 轴旋转所成的旋转体的体积为：
∫ V = 2π
第六章 定积分及其应用
称为定积分的换元公式. 称为定积分的换元公式
定理2.4 设u(x),v(x)在区间 在区间[a,b]上有连续导数，则 上有连续导数， 定理 在区间 上有连续导数
∫ u( x) v′( x) dx = u( x)v( x)
a
b
b a
− ∫ u ′( x ) v ( x ) dx.
a
b
称为定积分的分部积分公式. 称为定积分的分部积分公式 例2 计算下列定积分
注: (1)定积分仅与被积函数及积分区间有关 , 而与积分变量 定积分仅与被积函数及积分区间有关 用什么字母表示无关.即 用什么字母表示无关 即
∫
b
a
f ( x ) d x = ∫ f (t ) d t = ∫ f (u ) d u.
a a
b
b
(2)定积分的几何意义 定积分的几何意义: 定积分的几何意义
A=∫
b
1
1 1 dx = − 2 x x
1
1 = 1− . b
b
性质2 被积函数中的常数因子可以提到积分号的前面，即 性质 被积函数中的常数因子可以提到积分号的前面，
∫
b
a
k f ( x ) dx = k ∫ f ( x ) dx
a
b
性质3 如果积分区间[a,b]被分点 分成区间 被分点c分成区间 性质 如果积分区间 被分点 分成区间[a,c]和[c,b],则 和 则
s ≈ ∑ v(ξ i ) ∆ t , (λ = max ∆ t i ).
i =1 1≤ i ≤ n n
（2）近似求和： ）近似求和： （3）取极限： ）取极限：
s = lim ∑ v (ξ i ) ∆ t i
微积分第2版-朱文莉第6章 定积分及其应用习题详解
第六章 定积分及其应用习题 6.1 (A)1、 利用定积分的定义计算积分baxdx ⎰；解 将区间[]b a ,n 等分, 则每个小区间的长度均为nab x i -=∆，取每个小区间的左端点为i ξ，则)1,...,2,1,0(,-=-+=n i i nab a i ξ， 所以⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++++-+-=--+=∆=∑∑-=-=)1...210(1)()()(110n n a b na n a b n a b i n a b a x f S n i n i i i n ξ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⋅-+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⋅-+-=)11(2)(2)1()(2n a b a a b n n n a b a a b 两边取极限，得)(21)2)(()11(2)(lim lim 22a b a b a a b n a b a a b S n n n -=-+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⋅-+-=∞→∞→ 所以221()2baxdx b a =-⎰.2、利用定积分的几何意义，证明下列等式。
(1)4π=⎰； (2)322cos 0xdx ππ-=⎰；(3)22sin 0xdx ππ-=⎰；(4)12π-=⎰。
证明 (1) 因为圆122=+y x 在第一象限的方程为21x y -=，所以根据定积分的几何意义知0⎰为圆在第一象限的面积，故4π=⎰.(2) 因为当ππ232≤≤-x 时，曲线x y cos =在x 轴的上方和下方的曲边梯形的面积相等，所以根据定积分的几何意义知322cos 0xdx ππ-=⎰.(3) 因为当22ππ≤≤-x 时，曲线x y sin =在x 轴上方和下方的曲边梯形的面积相等，所以根据定积分的几何意义知22sin 0xdx ππ-=⎰.(4) 因为圆122=+y x 在x 轴上方的方程为21x y -=，所以根据定积分的几何意义知1-⎰为圆在第一二象限的面积，故12π-=⎰.(B)1、利用定积分定义计算由抛物线21y x =+，两直线()x a x b b a ==>，及横轴所围成的图形的面积。
第6章定积分及其应用解析
xi xi xi1，(i 1,2,)，在各小区间上任取
一点i （i xi ），作乘积 f (i )xi (i 1,2,)
n
并作和S f (i )xi ，
i 1
记||T|| max{x1, x2 , , xn } ，如果不论对[a, b]
怎样的分法，也不论在小区间[ xi1 , xi ]上
积 表
分 变
黎曼积分
达 式
量
[a , b] 上不可积 .
n
若
lim
T 0 i1
f (i )xi
不存在，则称
f (x) 在
注意:
1o. 定积分是积分和的极限，其结果是一个数，
它只与被积函数 f 和积分区间[a, b] 有关，而与
所用的积分变量的记号无关 .
即
b
b
b
f ( x)dx f (t)dt f (u)du .
例如，求由曲线y x 2 ,直线y 0, x 0, x 1所围
平面图形的面积。
公元前二百 多年前的阿 基米德就已 会用此法求 出许多不规 则图形的面 积
Aera=?
阿基米德
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
播放
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
a
a
a
2o. 当 T 0, 分点个数n ;但反之不然.
3o. 若 f 在 [a, b]的某一个积分和的极限不存在 ，
或若 f 在 [a, b] 的某两个积分和的极限都存在但 极限值 不相等，则 f ( x) 在[ a , b ] 上不可积.
4o . 如果 f ( x) 在 [a, b] 上可积 ， 则
济南大学高等数学C(一)5定积分及其应用-疑难解答
第六章 定积分及其应用习题6-1 定积分的概念下列定积分：利用定积分的定义计算.1⎰21;)1(-dx x[]等分个分点，把区间中插入在闭区间解：n n 12,1.10-- ,211210=<<<<<=--n n x x x x x.3)1(2Δn n x i =--= ).,,2,1(31n i i nx i =+-=[]，所以因为中取右端点为在每个区间x x f i nx ξx x i i i i =+-==-)(.31,.210.3)31(ΔΔ)(111∑∑∑===⋅+-==ni i n i i i n i i ni n x ξx ξf .2)1(939393Δ)(212121+⋅+-=+-=+-=∑∑∑===n n n i n i n x ξf n i ni i ni i 即{})Δ(232)1(93lim Δ)(lim .31210210n i i n i ni i λx max λn n n x ξf xdx ≤≤∞→=→-==⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋅+-==∑⎰其中⎰10.)2(dx e x[]等分个分点，把区间中插入在闭区间解：n n 11,0.10-,101210=<<<<<=-n n x x x x x.1Δn x i = ).,,2,1(0n i ni n i x i ==+=[]，所以因为中取右端点为在每个区间x i i i i e x f ni x ξx x ===-)(.,.210.1ΔΔ)(111∑∑∑===⋅==ni ni i n i ξi n i i ne x e x ξf i.1)1(1)(1Δ)(111211--⋅=++++=-=∑n nnn nn nni ni i e e e ne e e e nx ξf 即{})Δ(11)1(1lim Δ)(lim .311110100n i i n nn i ni i λxx max λe e e e n x ξf dx e ≤≤∞→=→=-=--⋅==∑⎰其中，说明下列等式：利用定积分的几何意义.2;12110⎰=x xd ）（ ;412102⎰=-πx d x ）（⎰-=ππx sinxd ；）（03 ⎰⎰-=2022.24πππx cosxd x cosxd ）（角形的面积，故表示如图所示的直角三）解：（⎰1021x xd.x xd 12121210=⋅⋅=⎰ ⎰-1024112圆的面积，故表示如图所示）（x d x.414111022⎰=⋅⋅=-ππx d x ⎰-ππx x sinxd 轴上方为正面积，的面积，其中表示如图所示阴影部分）（3轴下方为负面积，故x ⎰-=ππx sinxd .0⎰-2224ππx cosxd 倍，面积的的面积，它是第一象限表示如图所示阴影部分）（⎰⎰-=2022.2πππx cosxd x cosxd 故习题6-2 定积分的性质积分的大小：比较下列各题中的两个.2;,110421021dx x I dx x I ⎰⎰==）（ ;,221422121dx x I dx x I ⎰⎰==）（;)(ln ,ln 34332431dx x I dx x I ⎰⎰==）（ ;)1ln(,4102101dx x I dx x I ⎰⎰+==）（.)1(,5102101dx x I dx e I x ⎰⎰+==）（ ，只有有限个成立的解：)"(",10)1(42x x x x =≥∴≤≤ ,,42是连续函数又x x .,21104102I I dx x dx x >>⎰⎰即故是连续函数，，又只有有限个成立的4242,)"(",21)2(x x x x x x =≤∴≤≤ .,21214212I I dx x dx x <<⎰⎰即故是连续函数，，又33)(ln ,ln )(ln ln ,1ln ,43)3(x x x x x x <∴>∴≤≤ .,)(ln ln 2143343I I dx x dx x <<⎰⎰即故.,)1ln(),10()1ln(,0)0()()(10),10(111)(,)1ln()()4(211010I I dx x dx x x x x f x f x f x x xx f x x x f ><+∴≤<<+=<≤≤<<-+='-+=⎰⎰即即单调递减，故时，故当则设.,1,)1(,0)5(21I I e x x x n l x x >∴<+∴<+>时[]，证明：上连续在及设)(,)()(3b a b a x g x f .< [].0)(,0)(,0)(,)1(>≡/≥⎰ba dx x f x f x fb a 则且上，若在[][].0)(,,0)(,0)(,)2(≡=≥⎰x f b a dx x f x f b a ba 上，则在且上，若在[][]).()(,,)()(),()(,)3(x g x f b a dx x g dx x f x g x f b a ba ba ≡=≤⎰⎰上，在则且上，若在[]⎰≥∴≥ba dx x f x fb a ,0)(,0)(,)1(上，在证明：，假设⎰=ba dx x f 0)(上，知在由],[)2(b a ，0)(≡x f 矛盾，这与0)(≡/x f .0)(⎰>∴ba dx x f ，假设反证法0)())(2(≡/x f ，则至少存在一点],[b a ξ∈，使得0)(≠ξf ，0)(≥x f ，0)(>∴ξf []上连续，在b a x f ,)( 的区间包含ξ∴，],[],[21b a c c ⊆ ，可设0)(>x f ],[21c c x ∈，易知：⎰>210)(c c dx x f ， ，，而⎰⎰≥≥120)(0)(c abc dx x f dx x f ⎰⎰⎰⎰>++=∴ba c a c c bc dx x f dx x f dx x f dx x f 1212.0)()()()(矛盾，这与⎰=ba dx x f 0)([].0)(,≡∴x f b a 上，假设不成立，即在，令)()()()3(x f x g x F -=，],[)()(b a x x g x f ∈≤ .0)(≥∴x F，且⎰⎰⎰=-=b a b a ba dx x f dx x g dx x F 0)()()( ,0)()2(≡x F 知由).()(x f x g ≡即习题6-3 微积分的基本公式计算下列各导数：.1;11302dt t dx d x ⎰+）（ ;112422dt t dx d x x ⎰+）（ ⎰x x dt t πdx d cos sin 2)cos()3( ;1331162223x x x x +=⋅+=）（）原式解：（⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+=⎰⎰420022112x x t dt t dt dx d ）原式（ ⎰⎰+-+=24020211x x t dt dx d t dt dx d x x x x 2)(114)(1122324⋅+-⋅+= ;1214483xx x x +-+= []⎰⎰-=x x dt t πdt t πdxd cos 0sin 022)cos()cos()3(原式 ⎰⎰-=x x dt t πdxd dt t πdx d sin 02cos 02)cos()cos( [][]x x πx x πcos )(sin cos )sin ()(cos cos 22--= [][].cos )(sin cos sin )(cos cos 22x x πx x π--= 计算下列各积分：.2a ax x dx x x 02302|)21()3(1-=-⎰）（2321a a -=821|)3131()1(221334212=-=+-⎰x x dx x x ）（ 67|)2132()()1(30122301211-=+=+=+⎰⎰x x dx x x dx x x ）（⎰⎰⎰-+=ππππdx x nxdx si dx x 2020)sin (sin 11）（4|cos |cos 20=+-=πππx x 617|31|)21()(122131022010212=+=+=⎰⎰⎰x x dx x xdx dx x f ）（ :3求下列极限.;lim )1(02x dt e x t x ⎰→ .sin )sin (lim )2(0320220⎰⎰→x x x dtt t dt t;11lim )1(002===→e ex x 原式解： 320220320220sin 2lim sin sin sin 2lim )2(xx x dt t xx x dt t xx xx ⋅⋅=⋅=⎰⎰→→原式3020sin 2lim xdtt xx ⎰→=.323sin 2lim 22==→x x x .)(0cos 500dxdyx y y dt t dt e .xyt的导数所确定的隐函数求由方程==+⎰⎰求导，得对解：原方程左、右两边x0cos =+x dx dy e y .1sin cos cos -=-=∴x x e x dx dy y.)(602的极值求函数⎰-=xt dt te x f .2)(x xex f -='解： ，令02=-x xe0=x 得极值点 01)0(>=''f .f x f x 0)0()(0==∴有极小值时函数[]()，证明函数内可导且上连续，在在设0)(,,)(.7<'x f b a b a x f ().0)(,)(1)(<'-=⎰x F b a dt t f ax x F xa内的一阶导数在 2)()())(()(a x dtt f a x x f x F xa ---='⎰证明：)()())(())((2x ξa a x a x ξf a x x f ≤≤----= )())(()()(x ηξax ξx ηf a x ξf x f <<--'=--=，0,0,0)(>->-<'a x ξx ηf .0)(<'∴x F习题6-4 定积分的换元积分法计算下列定积分：.1;02121)3cos()3sin()1(33=-=+-=+⎰πππππx dx πx 解：;16921)49(81)49()49(41)49()2(122123123=+-=++=+-----⎰⎰x x d x x dx ;31cos 31cos cos cos sin )3(203202202=-=-=⎰⎰πππφφd φφd φφ;2)2sin 4121(22cos 1sin )cos 1()4(000202πθθθd θθd θθd θππππ=-=-==-⎰⎰⎰;232)2(31)2(2212)5(202322202202=--=---=-⎰⎰x x d x dx x x;1)6(2102dx x x -⎰,cos ),20(sin tdt dx πt t x =≤≤=令.164sin 41812141241cos cos cos 20202202202202πt t dtt os4c dt t sin tdt t sin tdt t t sin πππππ=-=-===⋅⋅=⎰⎰⎰⎰）（）（原式;45)7(11⎰--xxdx;2,45,452dt tdx t x t x -=-==-则令;61)53(8185)2(45133131322=-=-=--=⎰⎰t t dt t dt t tt 原式;1)8(41⎰+xdx,2,,2tdt dx t x t x ===则令;23ln 22)1ln (2)111(212212121-=+-=+-=+=⎰⎰t t dt t t tdt 原式;2121)]21([)(21)9(11021010222---=-=--=⎰⎰--e e t d e dt te tt t;212ln 2)ln 1(2)ln 1()ln 1(ln 1ln ln 1)10(212121212121-+=+=++=+=+⎰⎰⎰-x x d x xxd x x dx .41arctan )2arctan(1)2(54)11(12122122πx x dx x x dx ==+=++=++------⎰⎰ ;32)31(31)sin 3sin 31(21)cos 3(cos 212cos cos )12(222222=--=+=+=---⎰⎰ππππππx x dx x x xdx x .34)(cos 32)(cos 32cos cos cos cos sin cos )sin (cos sin cos )cos 1(cos cos cos )13(202302232002200222222223=-=-=⋅+-==-⋅=-------⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ππππππππππππx x xd x x d x xdx x dx x x dxx x dx x x dx x x .22sin 2sin 2cos 2cos 2cos 2cos 22cos 1)14(2202200020=-=-===+⎰⎰⎰⎰⎰πππππππππx x dx x dx x dxx dx x dx x 列定积分：利用函数奇偶性计算下.2;1arcsin 1212122dx xx ⎰--）（）（.12sin )2(552432dx x x x x ⎰-++ 为偶函数，故）（解：221arcsin )()1(xx x f -=;324arcsin 32arcsin 21arcsin 232103210221022πx x arcsin d x dx xx ===-=⎰⎰）（）（）（原式.012sin )()2(2432=++=为奇函数，故原式x x x x x f 证明下列各题：.3;)0(11)1(11212⎰⎰>+=+xx x xdx x dx ;)1()1()2(1010dx x x dx x x mnnm⎰⎰-=-.cos 2cos )3(2010010dx x dx x ππ⎰⎰=右边；左边令证明：=+=+=+-=-==⎰⎰⎰xx x x dx t dt t dt t dt t dx t x 1121121122211111,1,1)1( 右边；左边，则令=-=-=--=-=-==-⎰⎰⎰dx x x dt t t dt t t dt dx t x t x nmnmnm101001)1()1()()1(,,11)2(,cos cos cos )3(2102010010xdx xdx xdx ππππ⎰⎰⎰+=则令,,dt dx t πx -=-=,cos cos )(cos cos 201020100210210xdx tdt dt t xdx πππππ⎰⎰⎰⎰==-= .cos 2cos cos cos 201020102010010xdx xdx xdx xdx ππππ⎰⎰⎰⎰=+=故习题6-5 定积分的分部积分法计算下列定积分：.1);1(414121121ln 21)21(ln ln )2(21221212121+=-=⋅-==⎰⎰⎰e xe dx x x x x x xd xdx x e e e ee;2sin 2)cos (cos )cos (sin )3(2020202020πx πdx x x x x xd xdx x πππππ-=+-=---=-=⎰⎰⎰;2ln 33cos ln 33cos cos 133cos sin 33tan tan tan sec cos )4(303030303030302302-=+=+=-=-===⎰⎰⎰⎰⎰⎰πx πx d x πdx x x πdx x x x x d x dx x x dx xx ππππππππ;ln )5(41dx xx ⎰,2,2tdt dx t x t x ===，则令;42ln 8)22ln 4(2)214ln 2(2)ln ln (2ln 22ln 212221212212212-=-=⋅⋅-=-===⎰⎰⎰⎰dt t tt t d t t t dt t tdt t t 原式.214)arctan (218)111(2181121arctan 21)21()6(10102102210210210-=--=+--=+⋅-==⎰⎰⎰⎰πx x πdx x πdx x x x x x arctamxd xarctamxdx ).2(51cos ,2cos 5cos 42)2cos cos (2)cos (22sin sin sin cos )7(202202202202202202202202202202-=∴-=--=⋅-+=--=⋅-==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ππx ππxπx ππx πxππxππx πxπxπxe xdx e e xdx e xdxe e dx e x x e e x d e e dxe x x e x d e xdx e 故;)sin(ln )8(1⎰edx x,,dt e dx e x t x ln t t ===，则令,sin 11cos 1sin )sin cos (1sin cos 1sin cos sin sin sin )sin(ln 101010101110101dt e t e e dt e t t e e tde e dt e t t e tde dt e t dx x t tt t tttte⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⋅-+-=⋅+-=-=⋅-==⋅=.21)1cos 1(sin sin )sin(ln ,1)1cos 1(sin sin 210110+-=⋅=+-=⋅∴⎰⎰⎰e dt e t dx x e dt e t tet 故.12ln 23ln 31ln ln )1ln()9(32323221--=⋅-==+⎰⎰⎰dt t t t t tdt dx x ;sin )10(20dx x π⎰,2,2tdt dx t x t x ===，则令.2sin 22cos 2cos 2)cos (22sin 00000πtπdt t t t t d t dt t t πππππ=+=+-=-=⋅=⎰⎰⎰原式.22)1(111ln ln ln )ln (ln )11(1111111111e e e e e dxx x dx x x dx x dx x dx x eeeee e e e -=--+-+-=-++-=+-=⎰⎰⎰⎰⎰利用递推公式计算：.2.)1()2(;sin )1(299102990100100dx x J xdx x J π⎰⎰-==.212,)12(2)12()12(sin )12(sin )12(sin cos ]cos )12([sin cos sincos )cos (sin sin ,sin )1()1(22)1(222)1(2020220120120120120122022----------=∴-=---=---+=-++-=-===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰m m m m mm πmπm πm 2-2m πm πm πm πm m πm m J mm J J m mJ J m J m xdxx m xdx x m xdx x dxx x sin m x x x x x x x xd x xdx sin x x J xdx x J 故则设解：.2196959897100999897100991009910011000482492492502100J J J J J J ⋅⋅⋅⋅==⋅==-==⨯⨯⨯⨯ 故.224969810013959799,22100200πJ πxdx J π⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅===⎰ 故而.224969810013959799sin )sin ()(sin ,sin ]2,0[,cos )2(10020990299πdt t dt t t J tdt dx πt t x ππ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅==-=-=∈=⎰⎰ ，则令习题6-6 广义积分算广义积分的值：收敛性，如果收敛，计判别下列各广义积分的.1;4141)4(41)3(040404=-=--=∞+-∞+-∞+-⎰⎰xx xex d e dx e.21sin ,1sin 2,sin 1]sin sin [1sin 1cos 1cos cos )cos (sin )4(00000000000==∴-=+-=-=-=-+-=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∞+-∞+-∞+-∞+-∞+-∞+-∞+-+∞-+∞-+∞-+∞-dx x e dx x e dx x e dx x e x e x d e dx x e dxx e xe x d e dx x e xxxx xxxx xxx 故.)2(2)2arctan(1)2(54)5(22πππx x dx x x dx =--=+=++=++∞+∞-∞+∞-∞+∞-⎰⎰ .1]1)1([lim 1)1(21lim 1)6(21210221102=+--=---=---→→⎰⎰b x x d dx x x b b b ;1()7(203⎰-）x dx .1(1,1,1111,,11203103013103013113113发散）都发散，原式，则令⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-∴+==-=-=-==-----x dx dt t dt t dt tdt t dt t dt t dt dx t x t x.1)8(21⎰-x xdx.38)3(2)1(22)1(,2,1,1110310210222=+=+=+==+==-=-⎰⎰t t dt t dt t t t tdt dx t x t x t x 原式，则令 )1()(ln 111ln ln )(ln )(ln 212≠+⋅-==-∞+⎰⎰⎰k C x k x x d x x dx k k x x dxk .k k k k 解：取得最小值？为何值时，这广义积分当发散？为何值时，这广义积分收敛？当为何值时，广义积分当时，当1=k ⎰x x dx ln C x xxd +==⎰ln ln ln ln⎪⎩⎪⎨⎧≠⋅-==∴∞+-+∞∞+⎰1|)(ln 1111|ln ln )(ln 2122k x k k x x x dx k k时，当1)1(=k .，原广义积分发散原式+∞= 时，当1)2(<k .,|)(ln 1121发散原式+∞=-=∞+-k x k=>时，原式当1)3(k .,)2(ln 111|)(ln 111121收敛-∞+--=⋅-k k k x k 时，当1>k 则记,)2ln 1(11)(1--=k k k f12)2(ln 1)1(1)(---='k k k f )2ln 1ln()2ln 1(111--+k k ).2ln ln 11()2(ln 1)1(11+---=-k k k ，令0)(='k f ，1>k 从而,0)2ln 1(111≠-∴-k k,02ln ln 11=+-k ,2ln ln 11-=k 即.值为唯一驻点此k时，当2ln ln 11->k 时，即02ln ln 11<+-k .0)(>'k f时，当2ln ln 11-<k .0)(该驻点是极小值点，∴<'k f时，即当1>k .)(),1(处的极小值就是最小值故唯一驻点没有边界值进行比较，时，在此区间上k f k ∞+∈习题6-7 定积分的几何应用形的面积：求由下列各曲线所围图.1 ).0(ln ,ln ,0,ln )7(;1,,)6(;2,1)5(;(8,2)4(;2,3)3(;,0,)2(;,)1(2222>>===========+==-======-a b b y a y x x y x e y e y x x y xy x y x y x y x y e y x e y x y x y x x x 与两部分都要计算）.61)()1(10⎰=-=dx x x S 面积解：.1)()2(10⎰=-=dx e e S x 面积 .332)23(),6,3(),2,1(32)3(1322⎰-=--=--⇒⎩⎨⎧-==dx x x S B A x y x y 面积.342)218()4(22221⎰+=--=-πdx x x S 阴影部分的面积 .346)34282-=+-=πππS （另一部分的面积.2ln 23)1()5(21⎰-=-=dx x x S 面积.21)()6(10⎰-+=-=-ee dx e e S xx 面积.)0(,ln )7(ln ln ⎰-=-==⇒=ba yy a b dy e S e x x y 面积转的旋转体的体积：围平面图形绕指定轴旋求下列各题中的曲线所.2轴；轴绕y x x y x y ,,2,0,)1(3=== 轴；绕y y x x y ,,)2(22== 轴；绕x y x ,16)5()3(22=-+ ).0(,)4(222>>==+a b b x a y x 绕,7128)()1(2203πdx x πV x ==⎰解：,33y x x y =⇒=dy y πdy πV y ⎰⎰⋅-⋅=8023802)(2.56459632πππ=-=,)2(2y x x y =⇒=.10352)()(1022102πππdy y πdy y πV y =-=⋅-⋅=⎰⎰,165,165:16)5()3(222122x y x y y x --=-+==-+得由dx y y πdx y πdx y πV x )(22442144224421-=⋅-⋅=⎰⎰⎰---.160162102442πdx x π=-⋅=⎰-,,,:)4(22222122222y a b R y a b R y a x a y x --=-+=-±==+设得由dy R πdy R πV aa aa b ⎰⎰---=2221dy R R πaa )(2221-=⎰-dy y a b πaa 2222-⋅⋅=⎰-b a π222=.3列各题中立体的体积的立体体积公式计算下用平行截面面积为已知..)1(的正劈锥体为高底圆直径的线段为顶，的圆为底，平行且等于以半径为H R .)()2(的球缺的球体中高为半径为R H H R <.)20(1)3(2222的平面所截的劈形立体轴且与底面夹角的椭圆柱体被通过底面为椭圆πααx b y a x <<≤+ 截面的面积为：解：)1( [],,,221)(2222R R x x R h h x R x A -∈-=-⋅=：故此正劈锥体的体积为.21)(222h R πdx x R h dx x A V R R R R ⎰⎰--=-==截面的面积为：)2( [],,),()(22R H R y y R πy A -∈-=故球缺的体积为：).31()(222H R H πy d y R πV RH R -=-=⎰- 截面的面积为：)3( [],,,tan 1121)(2222ααx αax b a x b x A -∈-⋅-=故劈形立体的体积为： .tan 32tan )1(21)(2222αab dx αa x b dx x A V a a a a ⎰⎰--=-==习题6-8 定积分的经济应用.1000257)(1，求总成本函数，固定成本为已知边际成本为xx C .+=' .5071000)257(1000)()0()(00⎰⎰++=++='+=x x x x dx xdx x C C x C 解：.30202100)(.3应追加的成本数时，增加到，求当产量由已知边际成本==-='x x x x C：解：应追加的成本数为.500)2100()(30203020=-='⎰⎰dx x dx x C.0260)(430)(.4）（设固定成本为，求最大利润，边际收益为已知边际成本x x R x x C -='+=').0(230230)430()(22固定成本为解：x x C x x dx x x C +=++=+=⎰.60)260()(2C x x dx x x R +-=-=⎰,60)(,0,0)0(2x x x R C R -=∴=∴=,33023060)()()(222x x x x x x x C x R x L -=---=-=∴ ,06)(,5,0630)(<-=''==-='x L x x x L .75)5(5=-=L x 利润为时，有最大利润，最大故当 支出增加多少？费亿元时，购买冰箱的消亿元增加至，当居民收入由的函数，的变化率是居民总收入消费支出某地区居民购买冰箱的942001)()(.5xx W x x W =').(10012001)(9494亿解：=='⎰⎰dx xdx x W .1001亿增加故购买冰箱的消费支出.20)3(20)2()1(.10100106价值万元时，求收益的资本当应满足的方程）；万元时，求内部利率（当本？为何值时，公司不会亏元收入年后报废，公司每年可备使用万元购买某设备，该设（连续复利）贷款某公司按利率==b b b b %.年后的总收益：：年后这笔贷款的本利和解：10,10010010)1(101.0e e =⨯),1(101001)10(1.0⎰---=e eb dt e b t ),1(101001--=e eb e 若公司不亏本，则.1101--=eb 则 ，则设内部利率为ρ)2(),1(202010010100ρtρe ρdt e ---==⎰.1510ρe ρ--=即投入资金的现值收益流现值资本价值-=)3( 100201001.0-=⎰-dt e t.20010010020020011---=--=e e总习题六计算下列极限：.1.1lim 11lim )1(11111e edt e x xx x t x ==-→→⎰ .111)(1lim 21121)(lim .1)(lim )(,1)(lim )2(2220=⋅=+=⋅+==++∞→+∞→+∞→+∞→⎰x f xx xx x f t f t f x dt t f x x t xx 原式连续且其中计算下列积分：.2.22ln 2ln 2cos 1sin ,2ln )cos 1ln(cos 1)cos 1(cos 1sin ,2ln 22tan 2tan 2tan 22sec 2sec 22cos 2cos 1,cos 1sin cos 1cos 1sin )1(2020202020202020220220220202020ππdx x x x x x x d dx x x πdx x x x x d x x dx x dx x x dx x x dx x x dx x x dx x x dx x x x ππππππππππππππ=+-=++=+-=++-=+-=-=====++++=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰故而而 ;42)2(22⎰-+xdx.122tan 22sec 2122cos 212)cos 111(cos 1cos cos 22cos 2,cos 2]2,0[,sin 220202202202020-=-=-=-=+-=+=+==∈=⎰⎰⎰⎰⎰πt πdt t πdtt πdt t t tdt t tdt tdt dx πt t x ππππππ原式，则令).12(2)sin cos ()cos (sin )cos (sin )sin (cos cos sin )cos (sin cos sin 2cos sin 2sin 1)3(2440244020202202220-=--++=-+-=-=-=-+=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰ππππππππππx x x x dx x x dx x x dx x x dxx x dx x x x x dx x .22)tan 2arctan(211)tan 2(tan 2211tan 2tan 1tan 2sec 1tan 21tan sin 2cos cos sin sin 1)4(202022022022222202222202πx x x d x x d dx x x dx x x x x xdx x x dx πππππππ==+=+=+=++=++=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 且说明理由：指出下列计算中的错误4..01lim 1)3(;01,11)2(;2]1[arctan )1(1)1(1)1(4343112112111211112112=+=+=+∴+-=+-=-=+-=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-+∞→∞∞---=----b bb tx xdx x x dx x x dx t dt x dx πx x x d x dx.0)1(2x x 以，故不能分子分母同除可以取为第一步到第二步错，因解：.2)4(4arctan 111112πππx x dx =--==+⎰--正确的做法： .x tx 0,1)2(就取不到因为这样不能令=.)3(是没有关系的限设法错误，因为它们第二步中定积分的上下解下列几何问题：.5；轴旋转的旋转体的体积所围图形绕求由y y x x y 0,4,)1(23===；轴旋转的旋转体的体积绕求圆盘y y x 1)2()2(22≤+- .940,1,,.0]1,0[)0,0()3(22积最小轴旋转而成的旋转体体，且使图形绕为所围图形的面积与直线的值，使抛物线试确定时，，且当过原点设抛物线x y x c bx ax y c b a y x c bx ax y ==++=≥∈++=应取何值？所围图形面积最小时，与抛物线）点，当直线过（已知直线b a x y b ax y b ax y ,1,0)4(2=+=+=.7512128)(4)1(80348023280212πdy y ππdy y πdy πV V V =-=⋅-⋅=-=⎰⎰⎰解：故旋转体的体积为，得由],1,1[121)2()2(222-∈-±==+-y y x y x.418124)12()12(211211221122112πdy y πdyy πdy y πdy y πV =-=-⋅=----+=⎰⎰⎰⎰----,896,94)(,0)3(1022=+=++==⎰b a dx bx ax bx ax y c 故，故由已知轴旋转体的体积绕x ),235()(22102abb a πdx bx ax πV ++=+=⎰)],98(12131)98(1801[),98(61222b b b b πV b a -++-=∴-=.0,35,2,0151,2,0]152151[22满足条件时，故当故=-==>⋅===-=c a b πdb V d b b πdb dV ）（即由已知11)4(=+=b ax y ，即它所围面积，则两交点的横坐标为与抛物线设直线⎰-+=<=+=21)1()(,1221212x x dx x ax A x x x x x y ax y ),(31)()(23132122122x x x x x x a A ---+-=,01122=--⇒⎩⎨⎧=+=ax x xy ax y 是此方程的两根，有设21,x x ,1,2121-==+x x a x x ,44)(2)(221212212122212+=-+=-+=-a x x x x x x x x x x ,4))(()(,4212122122212+=-+=-+=-a a x x x x x x a x x 又 .)4(64)1(314421),1(4]))[((232222222221212123132+=++-+++=++=-+-=-a a a a a a A a a x x x x x x x x 故.1,0480,0,0)4(18212=====+=b a A a a a a dadA ，故有最小值时，故当则令解下列经济应用问题：.6？台的平均利润各为多少台与后台时，前售出台电视机的总利润售出试求的边际利润为已知某商场销售电视机需求出满足的方程）万元，求内部利率（只年，每年收益厂投产期万元扩建一个工厂，该某企业投资少？单位时，总成本减少多单位减少到由问当产量成本已知生产某产品的边际303060.2.401),20(10250)()3(.2020232)2(312,30183)()1(2.x xx L x x x x C ≥-='+-='.11120232)2(.756)30183()()1(202001232123ρtρeρ.6dt e ρdx x x dx x C C --⎰⎰⎰-===+-='=，解得：，则设内部利润为减少的成本解：,20250)10250()(.1)3(2C x x dx x x L +-=-=⎰,20250)(,0,0)0(2x x x L C L -=∴=∴=.9920)40(40=L 台电视机的总利润为：售出,5.24830745530)30(,7455)30(.2===L L ,5.24530)30()60(,7365)30()60(,14820)60(=-=-=L L L L L.5..5245302483060台的平均利润为，后台的平均利润为台时，前故售出（注：本资料素材和资料部分来自网络，仅供参考。
南理工高等数学上第6章定积分应用
电场强度与电势
公式
电场强度 $E = k int rho(x) frac{x-x'}{|x-x'|^2} dx$，电势 $V = -k int frac{1}{|x-x'|} dx$。
解释
电场强度和电势的定积分计算方式与引力场类似，分别得 到电荷分布产生的电场和电势的分布情况。
例子
若电荷分布为 $rho(x) = q delta(x)$，则某点 $x'$ 处的电场强度为 $E = k q frac{x'}{|x'|^2}$，电势为 $V = -k q ln|x'|$。
平面图形面积的计算是定积分 应用的一个重要方面，可以用 于解决实际问题中的各种面积 计算问题。
体积
体积可以通过定积分计算，首先需要确定立体图形的边界曲面，然后选取 微元并计算每个微元的体积。
在计算过程中，需要考虑到立体图形的形状和大小，以及微元的选取和计 算方法。
体积的计算是定积分应用的一个重要方面，可以用于解决实际问题中的各 种体积计算问题。
应力与变定义
应力是指物体受到的力与面积的比值，而应变则表示 物体形状的改变程度。
应力与应变的关系
通过定积分，可以计算出物体在受力作用下的应力分 布和应变情况，为结构分析和设计提供依据。
应力与应变的应用
在机械工程、土木工程和材料科学等领域，应力与应 变的分析是确保结构安全和稳定的关键环节。
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南理工高等数学上第6章定积 分应用
目
CONTENCT
录
• 定积分的概念与性质 • 定积分的应用 • 定积分在经济学中的应用 • 定积分在物理中的应用 • 定积分在工程中的应用
01
定积分的概念与性质
定积分及其应用概要精品PPT课件
若当 0 时, Sn 有确定的极限值 I, 且 I 与区间[a, b]的
分法和 i 的取法无关, 则称函数ƒ(x)在区间[a, b]上可积,
并称此极限值I为ƒ(x)在区间[a, b]上的定积分, 记为
b
f (x)dx
b
a
n
即
a
f (x)dx I
lim 0 i1
f (i )xi
其中ƒ(x)为被积函数, ƒ(x)d x称为被积表达式, x 称为积分
则该窄矩形的面积 f (i )xi
近似等于 Si , 即
f (i )xi Si
III.求和、取极限
为了从近似过度到精确, 将所有的窄矩形的面积相加,
n
n
就得曲边梯形的面积的近似值, 即 S Si f (i )xi
i 1
i 1
记各小区间的最大长度为 max{x1, x2 , , xn}
当分点数n无限增大且各小区间的最大长度 m1iaxn {xi } 0
从而可用下述方法和步骤来求曲边梯形的面积:
I.化整为零(或分割)——任意划分
(如右图)用分点
y
y=ƒ(x)
a x0 x1 x2 xn1 xn b
将区间[a,b]任意地划分为n个小区间
[x0 , x1 ],[x1, x2 ], ,[xn1, xn ],
x2
o a x0 x1
xi1 xi xi
来说是一个变量, 其最大值与最小值之差较大; 但从区间
[a, b]的一个局部(小区间)来看, 它也是一个变量;
但因ƒ(x)连续, 从而当Δ x →0时, Δy→0, y
故可将此区间的高近似看为一个常量,
y=ƒ(x)
A
C
B
定积分及其应用
设f（x）≥0，则由曲线y=f（x）、直线x=a、x=b以及x轴所围成的
曲边梯形的面积等于以区间［a，b］的长度为底、以f（ξ ）为高的 矩形的面积（见图6-3）．
图 6-3
6.1 定积分的概念与性质
【例6-4】 不计算定积分，比较下列各组积分值的大小. 解 （1）因为当x∈［1，2］时，lnx≤lnx2，由定积分的上述性质得 （2）因为当x∈0，π4时，sinx≤cosx，同样由定积分的上述性质得
第二步 取近似. 把每小段［ti-1，ti］上的运动视为匀速，任取时刻ξ i∈［ti-1，ti］，做乘
积v（ξ i）Δ ti，显然这小段时间所走路程Δ si可近似表示为 Δ si≈v（ξ i）Δ ti,i=1,2,…,n
第三步 求和. 把n个小段时间上的路程相加，就得到总路程s的近似值，即
第四步 取极限. 记 ，则 （6-2）
6.1 定积分的概念与性质
由定积分的定义，前面两个实例可分别表述为：
由曲线y=f（x）（≥0），直线x=a，x=b和x轴围成的曲边梯形面积为 以速度v（t）（≥0）做变速直线运动的物体，从时刻T1到T2通过的路程为
下面我们不加证明地给出函数f（x）在区间［a，b］上可积的两个充分条件. 定理6.1 若函数f（x）在区间［a，b］上连续，则f
分∫xaf(x)dx存在,此时x既表示积分上限,又表示积分变
量.因定积分与积分变量无关,为避免混淆,把积分变量x 改写成t,于是上面的定积分可以写成∫xaf(t)dt.
显然,当x在区间a,b上任意变动时,对应于每一个x值,积
分∫xaf(t)dt.都有一个确定的数值与之对应,所以在区间 a,b上定义了一个关于上限x的函数,记作Φx,即
6.1 定积分的概念与性质
(整理)微积分第六章定积分的应用
第六章 定积分的应用本章将应用第五章学过的定积分理论来分析和解决一些几何、物理中的问题，其目的不仅在于建立这些几何、物理的公式，而且更重要的还在于介绍运用元素法将一个量表达为定积分的分析方法。
一、教学目标与基本要求：使学生掌握定积分计算基本技巧；使学生用所学的定积分的微元法（元素法）去解决各种领域中的一些实际问题；掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、变力作功、引力、压力及函数的平均值等）二、本章教学内容的重点难点：找出未知量的元素（微元）的方法。
用元素法建立这些几何、物理的公式解决实际问题。
运用元素法将一个量表达为定积分的分析方法§6.1定积分的微小元素法一、内容要点1、复习曲边梯形的面积计算方法，定积分的定义面积A ⎰∑=∆==→bani i i dx x f x f )()(lim 1ξλ面积元素dA =dx x f )(2、计算面积的元素法步骤： （1）画出图形；（2）将这个图形分割成n 个部分，这n 个部分的近似于矩形或者扇形；（3）计算出面积元素；（4）在面积元素前面添加积分号，确定上、下限。
二、教学要求与注意点掌握用元素法解决一个实际问题所需要的条件。
用元素法解决一个实际问题的步骤。
§6.2 定积分在几何中的应用一、内容要点1、在直角坐标系下计算平面图形的面积方法一面积元素dA =dx x x )]()([12ϕϕ-，面积A =x x x bad )]()([12ϕϕ-⎰第一步：在D 边界方程中解出y 的两个表达式)(1x y ϕ=，)(2x y ϕ=. 第二步：在剩下的边界方程中找出x 的两个常数值a x =，b x =；不够时由)(1x ϕ)(2x ϕ=解出，b x a ≤≤，)()(21x y x ϕϕ≤≤，面积S =x x x bad )]()([12ϕϕ-⎰方法二面积元素dA =dy y y )]()([12ϕϕ-，面积A =y y y dcd )]()([12ϕϕ-⎰第一步：在D 边界方程中解出x 的两个表达式)(1y x ϕ=，)(2y x ϕ=.第二步：在剩下的边界方程中找出y 的两个常数值c y =，d y =；不够时由)(1y ϕ)(2y ϕ=解出，d y c ≤≤，)()(21y x y ϕϕ≤≤，面积S =y y y d cd )]()([12ϕϕ-⎰例1 求22-=x y ，12+=x y 围成的面积解⎪⎩⎪⎨⎧+=-=1222x y x y ，1222+=-x x ，1-=x ，3=x 。
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1 a − x
2
2
dx
(a
> 0).
解
∫
dx a -x
2
= lim+
ε→0
∫
a −ε 0
dx a2 − x2
x a −ε = lim+ [arcsin ]0 ε →0 a a−ε = lim arcsin ε → 0+ a π . = 2
例5 解
讨论
∫
1 − 1
1 d x 的收敛性. 2 x
∫
1 −1
例１ 解
计算
∫
+ ∞ 0
te
− t
d t
∫
+∞ 0
te
−t
d t = lim
−t b 0
b→ +∞
∫
b
b 0
te
−t
dt
lim = b → +∞ {[ − te
] + ∫ 0 e − t dt }
lim = b → +∞ ( − be
→ +∞
−b
− e −b + 1)
= 1 .
若广义积分收敛可以直接用“=”. 若广义积分收敛可以直接用“
∫
0
cd dx x +∞ dx = ∫ 2 +∫ 2 0 x c x x2
换元法中， 换元法中，广义积分化成常义积分就按照 常义积分做， 常义积分做，但仍要注意判断有无无穷间 断点。 断点。
思考题
计算 ∫0 x ln xdx
m n 1
(m > −1, n ∈ N ).
思考题解答
利 递 公 求 义分 用 推 式 广 积
1 1
I n = ∫ x ln xdx = lim ∫ x ln xdx +
m n m n 0
ε →0
ε
1 ε m +1 n n m n −1 ln ε − = lim − ∫ε x ln xdx + ε →0 m +1 m +1
n =− I n −1 m +1
n(n − 1) n! n −1 ( ) ∴ In = 2 I n− 2 = ⋯ = − 1 n −1 I 1 (m + 1) (m + 1)
例2 计算 ∫− ∞ sin xdx.
解 ∵ sin xdx = cos a − 1
a
0
∫
0
a → −∞ a
0
lim
∫
0
sin xdx = lim [cos a − 1]
a → −∞
不存在
∴ ∫− ∞ sin xdx 发散.
例3 解
计算
+∞ −∞
∫
+∞
−∞
1 dx . 2 1+ x
1 ∫ −∞ 1 + x 2 d x +
1 + + 1 2
c
b
f (x)dx
2
无界函数的积分又称作第二类广义积分 无界点常称 第二类广义积分, 第二类广义积分 为瑕点 奇点 . 瑕点(奇点 瑕点 奇点) 说明: 说明 若被积函数在积分区间上仅存在有限个第一类 间断点, 则本质上是常义积分, 而不是广义积分. 例如,
例4
计算
a 0
∫
a 0 2
收敛 ; 否则称广义积分发散。
若f (x)∈C(−∞, +∞ , 则定义 )
lim ∫a f (x)dx +b→+∞∫c f (x)dx a→ ∞ − lim
( c 为任意取定的常数 ) 只要有一个极限不存在 , 就称 发散 .
c b
无穷区间上的广义积分也称为第一类广义积分 第一类广义积分. 第一类广义积分 说明: 说明 上述定义中若出现 ∞−∞, 并非不定型 , 它表明该广义积分发散 .
第六节 广义积分
一、无穷限的广义积分 二、无界函数的广义积分 三、小结
一、无穷限的广义积分
b> ) 定义1. 定义 设 f (x)∈C[a, +∞ , 取 a, 若
b→ +∞
lim
存在 , 则称此极限为 f (x) 的无穷区间上的广义积分 记作 广义积分, 广义积分
这时称广义积分 若 f (x)∈C(−∞, b], 则定义
二、无界函数的广义积分
引例:曲线 引例 与 x 轴, y 轴和直线 所围成的
开口曲边梯形的面积可记作
y
1 y= y= x
其含义可理解为
A= lim ∫
ε→0+
1d x
ε→0+ ε
x
= lim 2 x 1
ε→0+
A
0ε
ε
= lim 2(1− ε 2. 定义 设 f (x)∈C(a, b], 而在点 a 的右邻域内无界, 若极限 存在 , 则称此极限为函
+∞
∫a
+∞
x 1 dx = = p x 1 − p a
1− p
+∞
a1− p , p−1
+∞ ,
p < 1;
p > 1;
广义积分收敛； ∴当p > 1时，广义积分收敛； 当p ≤ 1时，广义积分发散.
y
y
常 义 积 分
o
a
⑴
b
x
o
a
⑵
b
x
广 义 积 分
y
y
o
a
b
x
I1 = ∫ x ln xdx = −
m 0
1
1
( m + 1)
2
n! . ∴ I n = (− 1) n+1 (m + 1)
n
练 习 题
若收敛计算其值： 一、判别下列广义积分 的收敛性 , 若收敛计算其值： +∞ +∞ 1 −4 x 1. ∫0 e dx; 2. ∫1 3 dx; x 2 2 dx xdx 3. ∫0 ; 4. ∫1 ; 3 (1 − x ) x −1
函数表示下列积分， 二、用 Γ − 函数表示下列积分，并 指出这些积分的 收敛范围： 收敛范围： 1.
∫0
+∞
e
− xn
dx ( n > 0 );
1 p 2. ∫ (ln ) dx . 0 x
1
练习题答案 收敛； 发散； 发散； 收敛； 一、1. 收敛； 2. 发散； 3. 发散； 4. 收敛；
1 1 二、 1. Γ( ), n > 0; n n 2. Γ( p + 1), p > −1.
数 f (x) 在 (a , b] 上的广义积分, 记作
这时称广义积分 就称广义积分
收敛 ; 如果上述极限不存在, 发散 .
类似地 , 若 f (x)∈C[a, b), 而在 b 的左邻域内无界, 则定义
而在点 c 的 邻域内无界 , 则定义
∫a f (x)dx +∫c f (x)dx c−ε b = lim ∫ f (x)dx+ lim ∫ ε→ a 0 0 ε → c+ε
0
∫
1 dx = 2 1+ x
∫
+∞ 0
1 dx 2 1+ x
= lim
→ −∞
a→ −∞
∫
0 a
dx + lim 2 b→ +∞ 1+ x
→ +∞
∫
b 0
dx 1 + x2
lim lim = a → −∞ ( − arctan a ) + b → +∞ arctan b
= −(−
π
2
)+
π
2
=π.
dx = 2 x
∫
0 −1
dx + 2 x
∫
1 0
dx x2
其中
∫
1
0
1 dx 1 dx = lim ∫ 2 2 ε → 0+ ε x x
1 1 1 = lim [ − ]ε = lim ( −1 + ) ε → 0+ ε → 0+ x ε = +∞
故广义积分发散.
1 dx(a > 0 ). 例6 计算 ∫a xp 解 当p = 1时 +∞ +∞ 1 +∞ 1 dx = ∫a dx = ln x a = +∞; ∫a p x x 当p ≠ 1时
o
a
x
三、小结
广义积分的定义及计算 注意
与定积分的区别与联系； 与定积分的区别与联系；
+∞
作业 P242 1(6),(8), (11), (13); 2; P245 1(3), (5), (7), (10); 2(2); P252 1(2), (4), (6), (7); 2
有时题目可能含两类广义积分，要会处理 有时题目可能含两类广义积分， 如