概率1-4

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1-4 等可能概型(古典概型)

n! 一共有 n !n ! n !种分法。(n1+n2+„+nk = n ) 1 2 k
n
1
证：从n个不同的元素中取出n1个元素有 n n !( n n )! 种取法；

1 1
n!
(n n1 )! 再从剩下的n-n1个元素中取出n2个元素有 n !(n n n )! 2 1 2
组合分析的两条基本原理
火车2次火车
成都
汽车3次
重庆
成都
汽车
重庆
火车飞机轮船
武汉
共有23=6种方法共有2+3=5种方法 1.加法原理若完成一件事有两种方式，第一种方式有n1种方法，第二种方式有n2种方法，无论通过哪种方法都可以完成这件事，
则完成这件事总共有n1+n2种方法。 2.乘法原理若完成一件事有两个步骤，第一个步骤有n1种方法，
种分法。
例题7
例7 将15名新生随机地平均分配到三个班级中去，这15名新生中
种取法；„
从最后剩下的n-(n1+n2+„+nk-1)个元素中取出nk个元素有
[n (n1 n2 nk 1 )]! 种取法。 nk ![n (n1 n2 nk )]!
按乘法原理，n个不同的元素，分成k组，每组分别有n1,n2,„,nk 个元素,应该有
[n (n1 n2 nk 1 )]! n! (n n1 )! n! n1!(n n1 )! n2!(n n1 n2 )! nk !0! n1!n2! nk !
P ( A) kA 16 4 , n 36 9
kB 4 1 . n 36 9 5 8 P( A B) P( A) P( B) , P(C ) P( B) 1 P( B) 9 9 P( B)

概率论与数理统计课件：1-4 概率论的基本概念补充内容几何概型

几何概型的例子
例1 蒲丰（Buffon）投针问题
平面上画有间隔为d 的等距平行线，
向平面任意投掷一枚长为l (l<d) 一条平行线的
距离，又以表示针与此直线间的交角.
易知样本空间S满足：
0 x d/2; 0 . S形成x-平面上的一个矩形，其面积为：
几何概率的计算公式
随机事件 A 包含的样本点测度 P (A ) = ———————————————
样本空间 S 包含的样本点测度
关于“测度”( measure )的理解 1. “测度” 是一个数学概念，它是我们现实生活中的
“度量” 概念的数学抽象 ( 一种集合函数 ) 。 2. 几何概率里的测度一般取为长度、面积、体积等等。 3. 古典概型中的 “样本点个数” 也是一种测度。
C
D
圆面积的1/4，故所求概率等于
1/4(见图)。
同一问题有三种不同的答案，细究其原因，发现是在
4. 前面课程中对 “概率” 的定义就是一种测度定义。
几何概率的基本性质
从几何概型的概率研究中，我们发现概率有下面三个基本性质：
⑴对于任何事件A,P(A)≥0； ⑵P(S)=1； ⑶若A1 ，A2 ，… 两两互不相容，则
P An P( An ) n1 n1
第一个性质称为概率的非负性，第二个性质称为概率的规范性，第三个性质称为概率的可列可加性。前两个性质与古典概率相同，后一个性质则要求对可列个两两互不相容的事件成立。
B A
N
[解法二] 弦长只跟它与圆心的距离有
关，而与方向无关，因此可以假定它
A
C 1/2 B
垂直于某一直径。当且仅当它与圆心
1/2
的距离小于1/2时，才满足要求，因

1-4 条件概率,全概率公式,贝叶斯公式

且等于它们的总和：出最终结果. 义： n
P (B )

P ( A i B ).
i1
A2
A1
B
A3
A n 1
An
例4 甲、乙两个箱子,甲箱中装有两个白球,一个黑球;乙箱中装有一个白球,两个黑球.现由甲箱中任取一球放入乙箱,再从乙箱中任取一球, 问取到白球的概率是多少? 解以A1表示事件“从甲箱中取出一个白球”, A2表示“从甲箱中取出一个黑球”这一事件, 以B表示“从乙箱中取出一个白球”这一事件, 则: A1 A 2 , A1 A 2 , 则且
1
第 n1 次取出黑球； A n
A n 表示第 n 次取出红球，则 b P ( A1 ) br
1 1
表示第 n 1 1 次取出红球
P ( A 2 | A1 )
bc brc

P ( A n | A1 A 2 A n
1
1 ) 1

b ( n1 1) c b r ( n1 1) c r b r n1 c rc b r ( n1 1) c
P (B A) P ( AB ) P ( A)
因为 P ( A ) 0 . 8 ,
P ( B ) 0 .4 ,
.
( B A , AB B ) P ( AB ) P ( B ),
所以 P ( B A )
P ( AB ) P ( A)

0 .4 0 .8

1 2
.
3. 条件概率的性质
P ( B ) P ( B ) P(B) P(B) P(B) 1
(3) 可列可加性：

1-4概率的公理化定义及性质

因而
P(B A)

P(B)

P( AB)

1 2

1 8

3. 8
A AB B S
三、小结
概率的主要性质 (1) 0 P(A) 1, P(S) 1, P() 0; (2) P( A) 1 P( A); (3) P( A B) P( A) P(B) P( AB); (4) 设 A, B 为两个事件,且 A B,则 P( A) P(B), P( A B) P( A) P(B).
P( A1 A3 ) P( A1 A2 A3 ).
例1 设事件 A, B 的概率分别为1 和 1 , 求在下列 32
三种情况下 P(B A) 的值.
(1) A与B互斥; (2) A B; (3) P( AB) 1 . 8
解 (1)由图示得 P(B A) P(B),
故 P(B A) P(B) 1 .
但反过来，如果P（A）=0，未必有A=Φ 例如：
一个质地均匀的陀螺的圆周上均匀地刻有[0 , 5) 上诸数字，在桌面上旋转它，求当它停下来时，圆周与桌面接触处的刻度为2的概率等于0，但该事件有可能发生。
(2) 若A1, A2, , An是两两互不相容的事件,则有 P( A1 A2 An ) P( A1) P( A2 ) P( An ).
所以 1 P(S) P( A A)
P( A) P( A).
P( A) 1 P( A).
(6) (加法公式) 对于任意两事件 A, B 有 P( A B) P( A) P(B) P( AB).
证明由图可得
A B A (B AB), 且 A (B AB) ,

概率论与数理统计第一章1-4高职高专

A、 B不可能同

A
B
时发生
A1 , A2 ,, An 两两互斥
Ai Aj , i j, i, j 1,2,, n A1 , A2 ,, An , 两两互斥
Ai Aj , i j, i, j 1,2,
7. 事件的对立
AB , A B
习题（P 50-51） 1.
ABC 2% 23% 20% 3% 7% 5% ABC
B
C
ABC 30%
A
2. (1) ABC=A
BC
B A
C
(2)
A
B C
3. 试把相容的事件的和。
表示成n个两两互不
A
B
AB
ABC
C
6. 解：
(1) (2) (3) (4) (5)
第三节
频率定义
频率与概率
频率——对于随机事件A，若在N次试验中出现
—— A 与B 互相对立每次试验 A、 B中
B A
A

有且只有一个发生
称B 为A的对立事件(or逆事件)，记为 B A 注意：“A 与B 互相对立”与 “A 与B 互斥”是不同的概念
8. 完备事件组
若 A1 , A2 ,, An两两互斥，且 Ai
n
则称 A1 , A2 ,, An 为完备事件组或称 A1 , A2 ,, An 为的一个分割
(1) 将3名优秀生分配到三个班级，共有3！种分法，其余12名新生平均分配到三个班级，共有种分法，因此所求概率为
交换 ( B C ) ( AB)C A( BC ) 分配律 ( A B) C ( A C ) ( B C ) A ( BC ) ( A B)( A C )

概率统计1-4

解法二
P A∪ B = P( A B) = P( A) ⋅ P(B A)
(
)
P( A∪B) = 0.988
= 0.08⋅ [1− 0.85] = 0.012
= P( A) ⋅ [1− P(B A)]
1、设A,B是两个随机事件，0 < P(B) 且 AB = A B 则 P( A| B) + P( A| B) = _______ 2、设A,B是任意两个随机事件，0 < P(A) <1 ,0 < P(B) < 1，假设两个事件中只有A发生的概率与只有B发生的概率相等， ,则下列等式未必成立的是（） A： P( A − B) = P(B − A) B：P( A | B) = P(B | A) C： P( A | B) = P(B | A) D： P( A | B) = P( A | B)
例3 盒中装有5个产品, 其中3个一等品，2个二等品, 从中不放回地取产品, 每次1个, 求（1）取两次，两次都取得一等品的概率; （2）取两次，第二次取得一等品的概率; （3）取三次，第三次才取得一等品的概率; （4）取两次，已知第二次取得一等品，求第一次取得的是二等品的概率. 解令 Ai 为第 i 次取到一等品（2） P( A ) = P( A A ∪ A A ) = P( A A ) + P( A A ) 2 1 2 1 2
P(Bi )P( ABi ) P(Bi A) = , i = 0,1 2,3,4 , P( A)
称 P( Bi ) 为先验概率，它是由以往的经验得到的，它是事件 A 的原因称 P(Bi A) i = 0,1,2,3,4 为后验概率，它是得到了信息 — A 发生, 再对导致 A 发生的原因的可能性大小重新加以修正本例中，i 较小时，P(Bi A) ≥ P(Bi ) i 较大时，P(Bi A) ≤ P(Bi )

概率1-4 乘法公式与全概率公式

从中任取1件,记A=“取到正品”,B=“取到甲厂产品”,
试计算P(A),P(B),P(AB),P(B|A),P(A|B).
解: P( A) 70 0.7 100
P(AB) 40 0.4 100
P(B) 60 0.6 100
P(B | A) 40 4 P(A | B) 40 2

90 98

0.0083.
所以, 第三次才取到正品的概率为 0.0083 .
5
1-4 乘法公式与全概率公式
第一章随机事件及其概率
三、全概率公式
设Ω是随机试验E的样本空间,事件组 A1,A2,…,An满足：
(1) Ai Aj (i j);
n
(2)

i 1
Ai

, P( Ai )

才取到正品的概率 .
解设 Ai {第 i 次取到正品}, i 1, 2, 3, A {第三次才取到正品 }, 则 A A1 A2 A3 ,
于是 P( A) P( A1 A2 A3 )
P( A1 ) P( A2 A1 ) P( A3 A1 A2 )

10 100

9 99
解：(1) 设Ai表示取到第i 个工厂产品,i=1,2,3, B表示取到次品, 由题意得:P(A1)=0.5,P(A2)=P(A3)=0.25,
P(B|A1)=0.02,P(B|A2)=0.02,P(B|A3)=0.04。由全概率公式得:
P(B) P(A1B) P(A2B) P(A3B)
发生的条件下事件B发生的概率为
P(BAi ) P( Ai )P(B Ai ),
则
P(B) P(A1)P(B A1) P( A10 )P(B A10 )

《概率论与数理统计》1-4全概公式

365 400 97 146097
146097 20871 7
20871 52 400 71 P B 400 400
方法二利用全概公式
A 表示平年,
则 A, A 构成一划分
B 表示有53个星期天
P A 97 400

1 2 P B | A , P B | A 7 7
125 198
注 : 一定要写清事件, 公式 , 不得只写算式.
p 2500 2000 1500 5% 3% 1% 3.3% X 6000 6000 6000
全概率公式和贝叶斯公式是概率论中的两个重要公式,
有着广泛的应用.若把事件Ai 理解为‘原因’, 而把 B理解为‘结果’ P, 则 B| A 是原因 Ai
为 0.01, 各车间的产品数量分别为2500, 2000, 1500件 . 出厂时 , 三车间的产品完全混合, 现从中任取一产品, 求该产品是次品的概率. 若已知抽到的产品是次品, 求该产品是一车间的概率.
解 : 设 Ai 为取到第 i个车间的产品, B为取到次品由全概率公式得:
P( B) P( Ai ) P( B Ai )
i 1
3
P( A1 ) P( B A1 ) P( A2 ) P( B A2 ) P( A3 ) P( B A3 )
2500 2000 1500 5% 3% 1% 3.3% 6000 6000 6000
由贝叶斯公式得:
P A1 B
P A1 P B A1 P B
P B P BA1 P BA2 P BA3 P A1 P B | A1 P A2 P B | A2 P A3 P B | A3

概率论与数理统计期中试卷(1-4章)附答案及详解

X，23π+=X Y5．设随机变量1X ,2X ,3X 相互独立，1X 在)5,1(-服从均匀分布，)2,0(~22N X，)2(~3Exp X （指数分布），记32132X X X Y +-=，则)(Y E )(Y D6. 设二维正态分布的随机变量)0,3,4,2,1( ),(22-N ~Y X ，且知8413.0)1(=Φ，则-<+)4(Y X P7. 已知随机变量X 的概率密度201()0 a bx x f x⎧+<<=⎨⎩其他, 且41)(=X E ，则a b )(X D 8. 设4.0,36)(,25)(===XY Y D X D ρ，则=+)(Y X D =-)(Y X D 二. （10分）某车间有甲乙两台机床加工同一种零件，甲机床加工的零件数量比乙机床多一倍，甲乙机床加工零件的废品率分别为0.03，0.02. 两机床加工出的零件放在一起. 试求（1）任取一个零件是合格品的概率；（2）任取一个零件经检验是废品，试求它是由乙机床生产的概率.解：设“从放在一起的零件中任取一件发现是甲/乙机床加工的”分别记为事件,A .A再记“从放在一起的零件中任取一件发现是废品”为事件.B 由已知得.02.0)(,03.0)(;31)(,32)(====A B P A B P A P A P …… 3’（1）由全概率公式知027.075202.03103.032)()()()()(≈=⨯+⨯=+=A B P A P A B P A P B P . …… 3’ 故任取一个零件是合格品的概率73()1()0.973.75P B P B =-=≈ …… 1’ （2）由贝叶斯公式知.4102.03103.03202.031)()()()()()()(=⨯+⨯⨯=+=A B P A P A B P A P A B P A P B A P …… 3’三. （10分）设某型号的电子元件的寿命X （单位: 小时）的分布密度为⎪⎩⎪⎨⎧>=其它,01000,1000)(2x x x f各元件在使用中损坏与否相互独立，现在从一大批这种元件中任取5只，求其中至少有一只元件的寿命大于1500小时的概率。

概率1-4

C1C1 C1 C1 9 3 3 9 54 . 9 3 3 9
概率论
54 3 P C 2 . 所以 8 12 2 采取不放回抽样 .
从箱子中任取两件产品 , 每次取一件 , 取法总数为 12 11 .
即样本空间中所含有的基本事件总数为 12 11 . 1 1 事件 A 中所含有的基本事件数为 C9C8 9 8 . 98 6 . 所以 P A 12 11 11 事件 B 中所含有的基本事件数为 C1C1 9 3 . 9 3 9 3 9 所以 P B . 12 11 44
54 2 C5 1 21 1 P A 4 10 9 8 7 . C10 21 4 3 21 4 1 1 1 1 C5 C 2C 2C 2C 2 80 8 2 P B . 4 C10 210 21 1 2 2 1 1 C5 C 2 C4 C 2C 2 120 4 . 3 P C 4 C10 210 7
C 取得一件正品一件次品 ,
的概率 .
概率论
解 1 采取有放回抽样 .
从箱子中任取两件产品 , 每次取一件 , 取法总数为 122.
即样本空间中所含的基本事件数为 122 . 1 1 2 事件 A 中所含有的基本事件数为 C9C9 9 . 92 9 所以 P A 2 . 12 16 C1C1 9 3 . 事件 B 中所含有的基本事件数为 9 3 9 3 3 所以 P B 2 . 16 12 事件 C 中所含有的基本事件数为
i 每一个班级各分到一名优秀生的分法为
12 8 4 12! 3! 3! . 4!4!4! 4 4 4
概率论
12! 3! 4!4!4! 25 . p1 于是所求概率为 15! 97 5!5!5! ii 三名优秀生分到同一个班级的分法为

概率1-4独立性

2 3 2
概率论
请注意：
若将本例中的“有放回”改为”无放回”, 那么各次试验条件就不同了, 此试验就不是伯努利试验 . 此时, 只能用古典概型求解.
C C P(B) 0.00618 C
1 2 95 5 3 100
概率论
伯努利试验对试验结果没有等可能的要求，但有下述要求：（1）每次试验条件相同；（2）每次试验只考虑两个互逆结果 A 或且 P(A)=p ， P ( A) 1
前面我们看到独立与互斥的区别和联系，再请你做个小练习. 设A、B为互斥事件，且P(A)>0,P(B)>0,下面四个结论中，正确的是：
1. P(B|A)>0 3. P(A|B)=0
2. P(A|B)=P(A) 4. P(AB)=P(A)P(B)
设A、B为独立事件，且P(A)>0,P(B)>0,下面四个结论中，正确的是： 1. P(B|A)>0 3. P(A|B)=0 2. P(A|B)=P(A) 4. P(AB)=P(A)P(B)
i 1
n
概率论
定义4 若随机变量序列A1，A2，…， An ，…中任意有限个事件相互独立，则称该随机事件序列相互独立。
概率论
例3 甲、乙、丙三人各射击目标一次，击中与否相互独立，甲、乙、丙射中的概率分别为0.5、0.6、0.8，求下列事件发生的概率，（1）恰有一人击中；（2）至少有一人击中。
概率论
二、多个事件的独立性定义2 设 A1 , A2 , , An 为 n 个事件 , 如果对于任意两个事件Ai ， Aj，有Ai ， Aj独立，即：
P( Ai Aj ) P( Ai )P( Aj )
则称A1 ， A2， … …， An，两两独立。

概率论1-4章练习题答案

《概率论》1-3章练习题答案一、填充题1.若AB =φ,则P(A ∪B)__=___P(B).2．若P(A)=0.5, P(A ∪B)=0.8, 则当A 与B 相互独立时，P(B)=_0.6___, P(A--B)=0.2______.3．已知(),(),(),0,P A a P B b P A B c b ===≠则()____________P A B =。

(a+b-c)/b4．袋中有4个白球，6个黑球。

从袋中不放回任取3个球，并记A 为“取到2个白球和1 个黑球”的事件，则()____________P A =。

0.35．已知41)(=A P ,31)(=AB P ,21)(=B A P ,则=)(B A P 1/3 。

6．有零件8件，其中5件为正品，3件为次品。

从中任取4件，取出的零件中有2件正品2件次品的概率为___________3/7______。

7．设随机事件A ,B 互不相容，且3.0)(=A P ，6.0)(=B P ，则=)(A B P ____4/7____.8．掷两颗骰子，已知两颗骰子点数之和为7，则其中有一颗为1点的概率为_________1/3________。

9．三个人独立破译一个密码，他们能单独译出的概率分别为1/5，1/3，1/4。

此密码被译出的概率为_________0.6________。

二、计算题1．设有两个口袋，甲口袋中有两个白球，一个黑球，乙口袋中有一个白球，两个黑球。

由甲口袋任取一个球放入乙口袋，再从乙口袋中取出一个球，求最后取到白球的概率。

5/122. 某厂卡车运送防“非典”用品下乡，顶层装10个纸箱，其中5箱民用口罩、2箱医用口罩、3箱消毒棉花. 到目的地时发现丢失1箱，不知丢失哪一箱. 现从剩下9箱中任意打开2箱，结果都是民用口罩，求丢失的一箱也是民用口罩的概率.3B ={丢失的一箱为消毒棉花}.3．一个均匀的正四面体, 其第一面染成红色,第二面染成白色 , 第三面染成黑色, 而第四面同时染上红、白、黑三种颜色.现以 A , B, C 分别记投一次四面体出现红, 白, 黑颜色朝下的事件,问 A,B,C 是否相互独立?P(A)=P(B)=P(C)=1/2, P(AB)=P(BC)=P(AC)=1/4,P(ABC)=1/4,不独立4．设每一名机枪射击手击落飞机的概率都是0.2,若10名机枪射击手同时向一架飞机射击,问击落飞机的概率是多少? 解设A={击落飞机},则108.01)(-=A P5．甲乙两厂独立生产同类产品，生产一级品的概率各为p p 12,.某店分别有甲乙两厂的该类产品3件与7件.（1）求它们都是一级品的概率；（2）在这10件中任取一件，求它是一级品的概率;（3）在这10件中任取一件，发现是一级品，求它是甲厂生产的概率.解（1）它们都是一级品的概率是p p 7231；（3）=)|(1A P B。

1-4概率的运算

例5 设甲、乙两射手独立地射击同一目标，他们击中目标的概率分别为0.9和0.8。求一次射击中，目标被击中的概率. 解分别用A，B表示甲、乙击中目标目标被击中，即 A B 又由A与B独立,有 P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB) =P(A)+P(B)-P(A)P(B) =0.9+0.8-0.9×0.8 =0.98 解二 P ( A B ) 独立 1 P ( A) P ( B) 1 0.1 0.2 0.98
P( A | B2 ) 0.04
于是,由全概率公式,有
P ( A) P ( B1 ) P ( A | B1 ) P ( B2 ) P ( A | B2 ) P ( B3 ) P ( A | B3 ) P ( B4 ) P ( A | B4 )
0.15 0.05 0.20 0.04 0.30 0.03 0.35 0.02 0.0315
定理3 若事件A与B独立,则A与B, A与B, A 与B 中的每一对事件都独立. 证
P(AB) P(A) P(AB)
=P(A)-P(A)P(B)
=P(A)(1-P(B))
P(A)P(B)
由定理2知，A与B 独立. 类似可证，其它两对事件独立.
定义3 设 A1 , A2 , , An为n个事件，若对于任意
定义1 在事件B已发生的条件下，事件A发生的概率，称为事件A在给定B下的条件概率，简称为A对B的条件概率，记作P(A|B)，一般设P(B)>0. 而相应地，P(A)称为无条件概率. 注 1. 计算P(A|B)时，B的发生导致了新的样本空间. 2. 可以验证，由此定义出的条件概率仍然满足概率的3条公理，即条件概率也是概率.

1-4古典概率模型

例 : 从1,2,3,4四个不同数中任取三个,求取法总数.
取法:
C
3 4

C
1 4

4
1 2 34 n=4, k =3
二、古典概型（等可能概型）
概率的统计定义并未给出计算方法，重复试验困难、并不现实
1、举例说明
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 袋子中装有10个大小、形状相同的球. 球编号为1－10 。把球搅匀，从中任取一球.取中k号（k=1,2,…,10）的可能性。
k n时称为全排列: Ann n(n 1)(n 2) 2 1 n!
4、重复排列
从n个不同元素中允许重复任取k(1 k n)个排成一列, 取法总数为:
n n n nk
例 : 从1,2,3,4四个不同数中任取三个排列.求排法总数. 1 2 3 4
不重复排法: A43 4 3 2 24

P(
A1
)

P{ x

1}

1 4
,
P( A2 ) P({x 1}
{x 2}
{x

3})

3*
1 4

3 4
.上述做法是否正确?
答 : 不正确.
原因: {x 0} {TTT},
{x 1} {HTT ,THT,TTH},
{x 2} {HHT , HTH ,THH }, {x 3} {HHH }
例10 在1—2000的整数中随机取一数，问取到的整数既不能被6 整除，也不能被8整除的概率. 解: 设A {取到的数能被6整除}, B {取到的数能被8整除}.
A {取到的数不能被6整除}, B {取到的数不能被8整除}.

概率统计1-4.

22
第1题解答
解假设事件A为从第1个箱子取出的是白球, B 为从第2个箱子取出的是白球, A与Ā构成完备事件组, 则
3 2 5 4 P( A) = , P( A) = , P(B | A) = , P(B | A) = 5 5 9 9 则 (B) = P( A)P(B | A) + P( A)P(B | A) P 3 5 2 4 23 = ⋅ + ⋅ = 5 9 5 9 45 P( A)P(B | A) 3 5 23 15 P( A| B) = = ⋅ = 5 9 45 23 P(B) 23
续例7
解：P ( B1 ) = 0.03, P ( B2 ) = 0.97, 且 P ( A B1 ) = 0.99, P ( A B2 ) = 0.05 0.03 × 0.99 故P ( B1 A) = = 0.375 0.03 × 0.99 + 0.97 × 0.05 就是说，即使检出阳性，尚可不必过早下结论一定带菌，实际上这种可能性不到百分之四十。
§1.4全概率公式与贝叶斯公式
全概率公式的基本思想:对于较复杂的事件的概率先把它分解成一些互不相容简单事件的和,通过分别计算这些较简单事件的概率,在利用概率的可加性,得到较复杂事件的概率. 例1:一个袋子内装有10个球.其中有4个白球,6个黑球, 采取不放回抽样,每次任取1个,求第二次取到白球的概率? 分析:由题意,取2次球,只是第二次取到白球,但不知道第一次取到何种球.由于袋中只有2种球:白、黑.因此，第二次取到白球,只有2种情况：第一次取到白球，第二次也取到白球；第一次取到黑球，第二次取到白球。
17
练习
若发报机以0.7和0.3的概率发出信号0和1,由于随机干扰的影响，当发出信号0时，接收机不一定收到0，而是以概率0.8和0.2收到信号0和 1；同样地，当发报机发出信号1时，接收机以概率0.9和0.1收到信号1和0。计算“当发报机收到信号0时，发报机是发出信号0的概率”。

概率1-4概率定义

P AB P AC P AD P BC P BD P CD
P ABC P ABD P BCD P ACD P ABCD
P Ai P Ai P Ai A j P Ai A j Ak 1 i j k n i 1 i 1 1 i j n
P A1 A2 An P A1 P A2 P An .
证因为
A1 A2
P A1 A2
An A1 A2
An
An
所以由可列可加性及性质 1 ,有
An P A1 A2
解 P A B C
P A P B P C P AB P AC P BC P ABC
1 1 1 5 3 0 . 2 4 8 8
性质6：概率的连续性
性质 5 设 A, B 为任意两个事件 , 则
一般加法公式
P A B P A P B P AB
证
而且
所以
A B A B AB
P A B P A P B AB P A P B P AB .
(1) P B A P B P AB
（2）若 A B ,则 P B A P B P A
并且 PB P A .
注：对于任一事件 A , 都有 P A 1 .
性质 4 对于任何事件 A , 有
P A 1 P A .
解 1由于 A、B 互斥 , 所以

概率论1-4

(2)将3名特长生分配在同一个班级的分法共有3种, 对于每一种分法,其余12名新生的分法有 12! 种.
2! 5! 5!
因此3名特长生分配在同一个班级的分法共有
(3 12!) (2! 5! 5!) 种, 因此所求概率为
3 12! p2 2! 5! 5!
15! 6 . 5! 5! 5! 91
P(A B) PA PB 5
9
PC P B 1 PB 8 9
(b)不放回抽样的情况。
P( A) 4 3 2 65 5
P(B) 21 1 6 5 15
由于AB ，得
P(A B) PA PB 7
返回
几何概率问题的提出
在古典概型中利用等可能性的概念，成功地计算了某一类问题的概率；不过，古典概型要求可能场合的总数必须有限。因此历史上有不少人企图把这种做法推广到有无限多结果而又有某种等可能性的场合。这类问题一般可以通过几何方法来求解。
先从几个简单的例子开始。 [例1] 某人午觉醒来，发觉表停了，他打开收音机，想听电台报时，求他等待的时间短于10分钟的概率。 [例2] 在400毫升自来水中有一个大肠杆菌，今从中随机抽出2毫升水样放到显微镜下观察，求发现大肠杆菌的概率。一种相当自然的答案是认为例1所求的概率等于1/6，例2所求的概率等于1/200。在求出这些概率时，我们事实上是利用了几何的方法，并假定了某种等可能性。
第一个性质称为概率的非负性，第二个性质称为概率的规范性，第三个性质称为概率的可列可加性。前两个性质与古典概率相同，后一个性质则要求对可列个两两互不相容的事件成立。
练习
1: 从分别写有数字1，2，…，9的9张卡片中有放回地抽取n次，求n次所抽取的卡片上的数字乘积能被10 整除的概率。

概率的基本性质高中数学课件10-1-4

第十章　§10.1　随机事件与概率10.1.4　概率的基本性质学习目标XUE XI MU BIAO1.理解概率的基本性质.2.掌握利用互斥事件和对立事件的概率公式解决与古典概型有关的问题.内容索引知识梳理题型探究随堂演练课时对点练1知识梳理PART ONE知识点　概率的基本性质性质1　对任意的事件A ，都有P (A )0.性质2　必然事件的概率为，不可能事件的概率为，即P (Ω)＝，P (∅)＝ .性质3　如果事件A 与事件B 互斥，那么P (A ∪B )＝ .性质4　如果事件A 与事件B 互为对立事件，那么P (B )＝，P (A )＝ .性质5　如果A ⊆B ，那么 .性质6　设A ，B 是一个随机试验中的两个事件，我们有P (A ∪B )＝_____ .≥1010P (A )＋P (B )1－P (A )1－P (B )P (A )≤P (B )P (A )＋P (B )－P (A ∩B )思考辨析判断正误SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU1.A ，B 为两个事件，则P (A ＋B )＝P (A )＋P (B ).( )2.若事件A ，B ，C 两两互斥，则P (A )＋P (B )＋P (C )＝1.( )3.事件A ，B 满足P (A )＋P (B )＝1，则A ，B 是对立事件.( )4.如果事件A 与事件B 互斥，那么P (A )＋P (B )≤1.( )×××√2题型探究PART TWO一、互斥事件概率公式的应用例1　(1)抛掷一枚骰子，观察出现的点，设事件A为“出现1点”，B为“出现2点”.已知P(A)＝P(B)＝，求出现1点或2点的概率.是互斥事件，解　设事件C为“出现1点或2点”，因为事件A，B(2)盒子里装有6只红球，4只白球，从中任取3只球.设事件A表示“3只球中有1只红球，2只白球”，事件B表示“3只球中有2只红球，1只白球”.已知P(A)＝，P(B)＝，求这3只球中既有红球又有白球的概率.解　因为A，B是互斥事件，反思感悟运用互斥事件的概率加法公式解题的一般步骤(1)确定各事件彼此互斥.(2)求各事件分别发生的概率，再求其和.注意：(1)是公式使用的前提条件，不符合这点，是不能运用互斥事件的概率加法公式的.跟踪训练1　在某一时期内，一条河流某处的年最高水位在各个范围内的概率如下表：年最高水位[8,10)[10,12)[12,14)[14,16)[16,18)(单位：m)概率0.10.280.380.160.08计算在同一时期内，这条河流这一处的年最高水位(单位：m)在下列范围内的概率：(1)[10,16)；解　记该河流这一处的年最高水位(单位：m)在[8,10)，[10,12)，[12,14)，[14,16)，[16,18)分别为事件A，B，C，D，E，且彼此互斥. P(B∪C∪D)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＝0.28＋0.38＋0.16＝0.82.(2)[8,12)；解　P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.1＋0.28＝0.38.(3)[14,18).解　P(D∪E)＝P(D)＋P(E)＝0.16＋0.08＝0.24.二、对立事件概率公式的应用(1)甲获胜的概率；解　“甲获胜”和“和棋或乙获胜”是对立事件，(2)甲不输的概率.解　方法一　设事件A为“甲不输”，可看成是“甲获胜”“和棋”这两个互斥事件的并事件，方法二　设事件A为“甲不输”，可看成是“乙获胜”的对立事件，反思感悟对立事件也是比较重要的事件，利用对立事件的概率公式求解时，必须准确判断两个事件确实是对立事件时才能应用.跟踪训练2　某战士射击一次，未中靶的概率为0.05，求中靶的概率.解　某战士射击一次，要么中靶，要么未中靶，因此，设某战士射击一次，“中靶”为事件A，则其对立事件B为“未中靶”，于是P(A)＝1－P(B)＝1－0.05＝0.95.所以某战士射击一次，中靶的概率是0.95.三、概率性质的综合应用(1)试分别求得到黑球、黄球、绿球的概率；解　从袋中任取一球，记事件“得到红球”“得到黑球”“得到黄球”“得到绿球”分别为A，B，C，D，(2)从中任取一球，求得到的不是红球也不是绿球的概率.解　事件“得到红球或绿球”可表示为事件A∪D，反思感悟求某些较复杂事件的概率，通常有两种方法：一是将所求事件的概率转化成一些彼此互斥的事件的概率的和；二是先求此事件的对立事件的概率，再用公式求此事件的概率.这两种方法可使复杂事件概率的计算得到简化.跟踪训练3　某公务员去开会，他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别为0.3,0.2,0.1,0.4.(1)求他乘火车或乘飞机去的概率；解　记“他乘火车”为事件A，“他乘轮船”为事件B，“他乘汽车”为事件C，“他乘飞机”为事件D.这四个事件两两不可能同时发生，故它们彼此互斥，所以P(A∪D)＝P(A)＋P(D)＝0.3＋0.4＝0.7.即他乘火车或乘飞机去的概率为0.7.(2)求他不乘轮船去的概率；解　设他不乘轮船去的概率为P，则P＝1－P(B)＝1－0.2＝0.8，所以他不乘轮船去的概率为0.8.(3)如果他乘交通工具的概率为0.5，请问他有可能乘哪种交通工具？解　由于P(A)＋P(B)＝0.3＋0.2＝0.5，P(C)＋P(D)＝0.1＋0.4＝0.5，故他可能乘火车或乘轮船去，也有可能乘汽车或乘飞机去.核心素养之逻辑推理HE XIN SU YANG ZHI LUO JI TUI LI正难则反思想的应用典例　一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1,2,3，这三张卡片除标记的数字外完全相同.随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a，b，c.(1)求“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率；解　由题意知，(a，b，c)的样本空间Ω＝{(1,1,1)，(1,1,2)，(1,1,3)，(1,2,1)，(1,2,2)，(1,2,3)，(1,3,1)，(1,3,2)，(1,3,3)，(2,1,1)，(2,1,2)，(2,1,3)，(2,2,1)，(2,2,2)，(2,2,3)，(2,3,1)，(2,3,2)，(2,3,3)，(3,1,1)，(3,1,2)，(3,1,3)，(3,2,1)，(3,2,2)，(3,2,3)，(3,3,1)，(3,3,2)，(3,3,3)}，共27个样本点.设“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”为事件A，则事件A包含的样本点有(1,1,2)，(1,2,3)，(2,1,3)，共3个.(2)求“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率.解　设“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”为事件B，素养提升当正面考虑所解决的问题比较烦琐复杂时，可以找到所求事件的对立事件，利用对立事件的概率的公式求解.正难则反思想的应用提高了逻辑推理的核心素养.3随堂演练PART THREE1.在一个试验中，若P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝1，事件A与事件B的关系是A.互斥不对立B.对立不互斥√C.互斥且对立D.以上答案都不对123452.口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黑球的概率是√A.0.42B.0.28C.0.3D.0.7解析　∵摸出黑球是摸出红球或摸出白球的对立事件，∴摸出黑球的概率是1－0.42－0.28＝0.3，故选C.3.事件A与事件B的关系如图所示，则A.A⊆BB.A⊇B√C.A与B互斥D.A与B互为对立事件解析　由题图知，事件A与事件B不能同时发生，且A∪B≠Ω，因此A与B互斥不对立，故选C.4.袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球.从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为_____.5.已知射手甲射击一次，命中9环以上(含9环)的概率为0.5，命中8环的概率为0.2，命中7环的概率为0.1，则甲射击一次，命中6环以下(含6环)0.2的概率为______.解析　设“命中9环以上(含9环)”为事件A，“命中8环”为事件B，“命中7环”为事件C，“命中6环以下(含6环)”为事件D，则D与A∪B∪C互为对立事件.因为P(A)＝0.5，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1，且A，B，C三个事件互斥，所以P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.8，所以P(D)＝1－0.8＝0.2.课堂小结KE TANG XIAO JIE1.知识清单：性质1　对任意的事件A，都有P(A)≥0.性质2　必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1，P(∅)＝0.性质3　如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B).性质4　如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B).性质5　如果A⊆B，那么P(A)≤P(B).性质6　设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B).2.方法归纳：转化法、正难则反.3.常见误区：将事件拆分成若干个互斥的事件，易重复和遗漏.4课时对点练PART FOUR基础巩固1.P(A)＝0.1，P(B)＝0.2，则P(A＋B)等于A.0.3B.0.2√C.0.1D.不能确定解析　由于不能确定A与B是否互斥，则P(A＋B)的值不能确定.2.在一次随机试验中，彼此互斥的事件A，B，C，D的概率分别是0.2,0.2,0.3,0.3，则下列说法正确的是A.A＋B与C是互斥事件，也是对立事件B.B＋C与D是互斥事件，也是对立事件C.A＋C与B＋D是互斥事件，但不是对立事件√D.A与B＋C＋D是互斥事件，也是对立事件解析　由于A，B，C，D彼此互斥，且由P(A＋B＋C＋D)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＋P(D)＝1，知A＋B＋C＋D是一个必然事件，故其事件的关系如图所示.由图可知，任何一个事件与其余3个事件的和事件必然是对立事件，任何两个事件的和事件与其余两个事件的和事件也是对立事件，故只有D中的说法正确.3.若事件A和B是互斥事件，且P(A)＝0.1，则P(B)的取值范围是√A.[0,0.9]B.[0.1,0.9]C.(0,0.9]D.[0,1]解析　由于事件A和B是互斥事件，则P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.1＋P(B)，又0≤P(A＋B)≤1，所以0≤0.1＋P(B)≤1，又P(B)≥0，所以0≤P(B)≤0.9，故选A.4.从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A＝“抽到一等品”，事件B ＝“抽到二等品”，事件C＝“抽到三等品”.已知P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1，则事件“抽到的不是一等品”的概率为A.0.20B.0.39√C.0.35D.0.30解析　∵抽到的不是一等品的对立事件是抽到一等品，而P(A)＝0.65，∴抽到的不是一等品的概率是1－0.65＝0.35.5.从一批羽毛球产品中任取一个，其质量小于4.8 g的概率为0.3，质量小于4.85 g的概率为0.32，那么质量在4.8～4.85 g范围内的概率是A.0.62B.0.38√C.0.02D.0.68解析　设“质量小于4.8 g”为事件A，“质量小于4.85 g”为事件B，“质量在4.8～4.85 g”为事件C，则A＋C＝B，且A，C为互斥事件，所以P(B)＝P(A＋C)＝P(A)＋P(C)，则P(C)＝P(B)－P(A)＝0.32－0.3＝0.02.6.某城市2019年的空气质量状况如下表所示：其中污染指数T≤50时，空气质量为优；50<T≤100时，空气质量为良；100<T≤150时，空气质量为轻微污染，该城市2019年空气质量达到良或优的概率为_____.解析　由于空气质量达到良或优为污染指数T≤100，由互斥事件概率的加法公式，7.事件A，B互斥，它们都不发生的概率为，且P(A)＝2P(B)，则P(A)＝_____.又因为P(A)＝2P(B)，9.某饮料公司对一名员工进行测试以便确定其考评级别.公司准备了两种不同的饮料共5杯，其颜色完全相同，并且其中3杯为A饮料，另外2杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从5杯饮料中选出3杯A饮料.若该员工3杯都选对，则评为优秀；若3杯选对2杯，则评为良好；否则评为不合格.假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力.(1)求此人被评为优秀的概率；解　将5杯饮料编号为1,2,3,4,5，编号1,2,3表示A饮料，编号4,5表示B 饮料，则从5杯饮料中选出3杯的样本空间Ω＝{(123)，(124)，(125)，(134)，(135)，(145)，(234)，(235)，(245)，(345)}，共有10个样本点.令D表示此人被评为优秀的事件，E表示此人被评为良好的事件，F 表示此人被评为良好及以上的事件，则。

概率1-4

1-4 等可能概型(古典概型)

概率论与数理统计课件：1-4 概率论的基本概念 补充内容 几何概型

1-4 条件概率,全概率公式,贝叶斯公式

1-4概率的公理化定义及性质

概率论与数理统计第一章1-4高职高专

概率统计1-4

概率1-4 乘法公式与全概率公式

《概率论与数理统计》1-4全概公式

概率论与数理统计期中试卷(1-4章)附答案及详解

概率1-4

概率1-4独立性

概率论1-4章练习题答案

1-4概率的运算

1-4古典概率模型

概率统计1-4.

概率1-4概率定义

概率论1-4

概率的基本性质 高中数学课件10-1-4

概率论与数理统计课件：1-4 概率论的基本概念补充内容几何概型

概率的基本性质高中数学课件10-1-4