12.5.1 提公因式法 大赛获奖教学课件
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《提公因式法》课件
解析
• 类型一解析 • 题目一解析：将原式进行因式分解，得到(x+2)^2=0，解得x=-2。 • 题目二解析：将原式进行因式分解，得到(x+2)(x-2)=x^2-4，直接开平方得到x^2-4=0，解得x=±2。 • 题目三解析：将原式进行因式分解，得到(x+3)(x-3)=x^2-9，直接开平方得到x^2-9=0，解得x=±3。 • 类型二解析 • 题目四解析：将原式进行因式分解，得到(x+4)(x-1)+(x+1)(x-4)=3x^2-8x-3，直接开平方得到3x^2-8x-
提公因式的性质
唯一性
对于一个多项式，如果存在公因式，那么这个公因式是唯一 的。
不可约性
如果一个多项式的公因式是可以约掉的，那么约掉后剩下的 多项式一定还有其他的公因式。
提公因式的应用
分解因式
通过提公因式法，我们可以将一个多项式分解成两个或多个因式的乘积，以 便于进行进一步的数学运算。
解决实际问题
3=0，解得x=(8±√(64+4×3×8))/6=(4±2√13)/3。 • 题目五解析：将原式进行因式分解，得到(x+2)(x-5)-(x-1)(x-6)=4x^2-19x+10，直接开平方得到4x^2-
19x+10=0，解得x=(19±√(19^2-4×4×10))/8=(19±√371)/8。
提公因式法在实际问题中也有广泛的应用，比如在解决一些简单的数学建模 问题时，可以通过提公因式法简化计算。
02
提公因式法的理论基础
域的扩张
定义
域扩张是将一个域中的元素映射到另一个域中，使得映射保持域中元素的加法、 乘法等运算
常见的域扩张
整数到多项式、多项式到复数、实数到复数
提公因式法 (优质课)获奖课件
例2 把2a(b＋c)－3(b＋c)因式公解． 分析：可引导学生对该多项式的每项因式的特点进行仔 细观察，从而发现把b＋c看作一个“整体”时公因式就是b ＋c，再用提公因式法进行分解． 例3 计算：0.84×12＋12×0.6－0.44×12. 让学生观察并分析怎样计算更简单． 思考：说说例1、例2和例3的公因式有什么不同？
11．2 与三角形有关的角
11．2.2 三角形的外角
1．了解三角形的外角． 2．知道三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的 和． 3．学会运用简单的说理来计算三角形相关的角．
重点 三角形外角的性质． 难点 运用三角形外角性质进行有关计算时能准确地推 理．
一、复习引入 什么是三角形的内角？它是由什么组成的？ 三角形内角和定理的内容是什么？ 教师提出问题，学生举手回答问题． 二、探究新知 1．探究三角形外角的概念． 教师布置学生自学教材第14页最后一段话的内容，然后完 成以下问题： (1)举例说明什么是三角形的外角．(上黑板画图说明) (2)如图，∠ADB，∠BPC，∠BDC，∠DPC分别是哪个三 角形的外角？
六、布置作业 1．教材第119页习题14.3第1题． 2．备选题：(1)下列提公因式法分解因式是否正确，为什 么？若不正确，请写出正确答案． ①－25a2x2－20a3x2＝－5ax(5x－4ax)； ②2a(x－y)3－3b(y－x)2＝(x－y)2[2a(x－y)＋3b]．
(2)用提公因式法分解因式． ①a2b－ab2；
2．探究三角形外角的性质． 老师布置学生自学教材第15页思考的内容，然后同学间 进行交流、讨论，归纳三角形的外角有什么性质，并提出 以下问题： 你能否用证明的方法说明你所归纳的性质？ 学生归纳得出三角形外角的性质： 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和
提公因式法 课件
(2)尝试将它们分别写成两 个(1)16 25 x2
(2)4a2 1 b2 9
(1)16 25 x2
42 (5x)2
=(4+5x)(4-5x)
(2)4a2 1 b2 9
(2a)2 (1 b)2 3
(2a 1 b)(2a 1 b)
把一个多项式化为几个整式的乘积的形 式,这就是因式分解.
公因式的概念：
多项式ab+bc的各项都含有相同的因式b， 我们把多项式各项都含有的相同因式，叫 做这个多项式各项的公因式。
例如： b是多项式ab+bc各项的公因式。 b是多项式mb²+nb-b各项的公因式。 x是多项式3x²+x各项的公因式。
提公因式法：
(x 5y)(x 5y) ( y 3z)( y 3z)
回顾与思考:
上面运用了那个乘法公式 平方差公式：
(a b)(a b) a 2 b2
事实上把这个公式反过来 就得到: a2 b2 (a b)(a b)
(1) 多项式x2 25和9x 2 y 2 他们有什么
共同特征?
(x2 4 y2 )(x2 4 y2 )
例2 分解因式： (4x 1)2 (3x 1)2
9(a 2b)2 4(a 2b)2
若 x2 y2 44, x y 11, 求 x y 的值
3
3
例2 :把下列各式分解因式
(1)4(m n)2 (m n)2
(2)3x3 12 x
(1)4(m n)2 (m n)2
2(m n)2 (m n)2
2(m n) (m n)2(m n) (m n)
=(2m+2n+m-n)(2m+2n-m+n) =(3m+n)(m+3n)
(2)4a2 1 b2 9
(1)16 25 x2
42 (5x)2
=(4+5x)(4-5x)
(2)4a2 1 b2 9
(2a)2 (1 b)2 3
(2a 1 b)(2a 1 b)
把一个多项式化为几个整式的乘积的形 式,这就是因式分解.
公因式的概念：
多项式ab+bc的各项都含有相同的因式b， 我们把多项式各项都含有的相同因式，叫 做这个多项式各项的公因式。
例如： b是多项式ab+bc各项的公因式。 b是多项式mb²+nb-b各项的公因式。 x是多项式3x²+x各项的公因式。
提公因式法：
(x 5y)(x 5y) ( y 3z)( y 3z)
回顾与思考:
上面运用了那个乘法公式 平方差公式：
(a b)(a b) a 2 b2
事实上把这个公式反过来 就得到: a2 b2 (a b)(a b)
(1) 多项式x2 25和9x 2 y 2 他们有什么
共同特征?
(x2 4 y2 )(x2 4 y2 )
例2 分解因式： (4x 1)2 (3x 1)2
9(a 2b)2 4(a 2b)2
若 x2 y2 44, x y 11, 求 x y 的值
3
3
例2 :把下列各式分解因式
(1)4(m n)2 (m n)2
(2)3x3 12 x
(1)4(m n)2 (m n)2
2(m n)2 (m n)2
2(m n) (m n)2(m n) (m n)
=(2m+2n+m-n)(2m+2n-m+n) =(3m+n)(m+3n)
全国优质课一等奖人教版初中八年级上册数学《提公因式法》公开课课件
正确找出多项式的公因式的步骤：
1.定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数.
2.定字母：字母取多项式各项中都有的相同的字母.
3.定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母的最低次数.
一看系数
二看字母
三看指数
最大公约数
相同字母
最低指数
例2.(1)多项式153 3 + 52 − 202 3 中各项的公因式是（ C ）
A．4xm-1yn-1
B．2xm-1yn-1
C．2xmyn
D．4xmyn
ma+mb+mc= m(a+b+c)
公因式
提公因式法
如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，将多项式写成公
因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.
例3.把8a3b2 + 12ab3c分解因式.
故选：A．
1．42 3 与2 4 的公因式为（ C ）
A．
B．2
C．2 3
D．2
2．多项式2( + )3 −62 ( + )的公因式是（ C ）
A．22 ( + )2
B．6( + )
C．2( + )
D．−2
3．多项式2xmyn-1﹣4xm-1yn（m，n均为大于1的整数）各项的公因式是（ B ）
法的右边是多项式的形式．
下列各式从左边到右边的变形是因式分解的是（ D ）
A． 2 − 2 + 1 = ( − 2) + 1
B．12 4 4 = 3 3 ⋅ 4 2
C．( + 2)( − 2) = 2 − 4
D． 2 − 6 &式有何共同特点？
优质课比赛获奖课件提公因式法
探究新知
2.请用简便的方法计算下列式子：
(1). 3.8x5+5.3x5+1.9x5 (2).20052-2004x2005
解: (1). 3.8x5+5.3x5+1.9x5=(3.8+5.3+1.9)x5=11x5=55 3.8 5 5.3 5 1.9 5 3.8 5.3 1.9 5
a m+b b m +c c m=( =( a + b + c ) m
整体思想是数学中一种重要而且常用的思想方法
好礼等你拿
小亮解的有误吗？试说明理由，并 给出正解
把3x2 - 6xy+x分解因式
解：原式 =x(3x-6y)
错误
当多项式的某一项和公 因式相同时，提公因式 后剩余的项是1。
=x(3x-6y+1)
正确解：原式=3x x-6y x+1 x
注意：某项提出莫漏1
知识储备
例2.用提公因式法将下列各式分解因式
（1）7x2 - 21x 解：原式= 7x x -3x
用提公因式法分解因式的步骤 第一步，找出公因式； 第二步，提取公因式,(即将多 项式化为几个因式的乘积)
知识储备
（2） 8a b -12ab c+ab
解:原式=ab (8a2b-12b2c)
2 2 3 2 3
( a b) x .
m 2 a b a ( m 2 ) b ( 2 m ) 把 分解因式后得________
先分解因式,再求解： 已知a+b=5,ab=3,求a2b+ab2的值. 解 a 2b ab2 ab(a b)
：
3 5 15
获奖公开课提公因式法1.ppt
⑵ 2πR＋2πr
⑶ ma＋mb
⑷ cx－cy＋cz
公共特点：各式中的多各项项都式含各有一项个都相同含的有因数的或因式 相同因式(或公共因式 ) 叫做这个多项式各项 的公因式。
小组探究过关武器：
（1）确定下列各多项式中的公因式？
1) a c+ b c
c
2)3 x2 +9xy
3x
3) a2 b – 2a b2 + ab
宝库金匙
1、什么叫公因式、提公因式法？ 2、确定公因式的方法：
1)定系数 2)定字母 3)定指数
3、用提公因式法分解因式的步骤：
第一步，找出公因式； 第二步，提公因式；
第
步，把多项式化成两个因式乘积的形式。
4、用提公因式法分解因式应注意的问题：
（1）公因式要提尽； （2）小心漏项（如：1）; （3）首项为负与众不同。
a m+b m +cc m=( a + b + c ) m
= m( a + b + c ) (2). 上20例05中2-2,0多05项x2式00的4=各20项05含(20有05公-2因00式4)=,将20乘05
逆法使运a上2分多 分用运例配项 解－,算把各律式 因简相式a逆化 式便同含运b成的a.的有用2两方你因相=＝,个法能把a数同a因叫用×这写的(式做字个a在数积提母a公括,－将的公表因号乘b形因示式外法)式式吗提面分.法?出这,可配.来种使律,
作业
• 课本P48-49 随堂练习：1,2题 习题2.2：1,2题
祝同学们： 天天快乐， 学业有成。
盐道街中学实验学校
探究新知
情景一:做一做
下列各式能分解成哪两些个因因式式积积 的的 形形 式式? ?
⑶ ma＋mb
⑷ cx－cy＋cz
公共特点：各式中的多各项项都式含各有一项个都相同含的有因数的或因式 相同因式(或公共因式 ) 叫做这个多项式各项 的公因式。
小组探究过关武器：
（1）确定下列各多项式中的公因式？
1) a c+ b c
c
2)3 x2 +9xy
3x
3) a2 b – 2a b2 + ab
宝库金匙
1、什么叫公因式、提公因式法？ 2、确定公因式的方法：
1)定系数 2)定字母 3)定指数
3、用提公因式法分解因式的步骤：
第一步，找出公因式； 第二步，提公因式；
第
步，把多项式化成两个因式乘积的形式。
4、用提公因式法分解因式应注意的问题：
（1）公因式要提尽； （2）小心漏项（如：1）; （3）首项为负与众不同。
a m+b m +cc m=( a + b + c ) m
= m( a + b + c ) (2). 上20例05中2-2,0多05项x2式00的4=各20项05含(20有05公-2因00式4)=,将20乘05
逆法使运a上2分多 分用运例配项 解－,算把各律式 因简相式a逆化 式便同含运b成的a.的有用2两方你因相=＝,个法能把a数同a因叫用×这写的(式做字个a在数积提母a公括,－将的公表因号乘b形因示式外法)式式吗提面分.法?出这,可配.来种使律,
作业
• 课本P48-49 随堂练习：1,2题 习题2.2：1,2题
祝同学们： 天天快乐， 学业有成。
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探究新知
情景一:做一做
下列各式能分解成哪两些个因因式式积积 的的 形形 式式? ?
提公因式法公开课课件
例题精讲
例1： 把 8a3b2 12ab3c分解因式
提公因式法步骤： 一 找； 二 提.
如何检验因式分解是否正确？
举一反三： (1)ax ay
(2)3mx 6my
（3）8m2n 2mn
（4）12 xyz 9x2 y2
例2 把 2a(b+c) -3(b+c)分解因式.
分析:( b+c)是这个式子的公因式,可以直接 提出.
整式的乘法
计算下列各式:
x(x+1)= x2 + x ； (x+1)(x－1)= x2－1 .
根据上面的运算，你能把下列
多项式写成整式的乘积的形式:
(1)x2+x=___x_(_x_+_1_)___; (2)x2 – 1=__(x_+_1_)_(_x-_1_)_ .
知识要 点1
把一个多项式化成了几个整式 的积的形式，像这样的式子变形 叫做这个多项式的因式分解，也 叫做把这个多项式分解因式．
多项式 ①ax+ay+a
公因式 a
②3mx-6nx2
3x
③4a2b+10ab2 2ab
④x4y3+x3y3
x3y3
⑤ (m n)2 2(m n) （(m+n)）
注：多项式的公因式可以是一个单 项式，也可以是一个多项式。
3ab+9b2 =3b(a+3b)
如果多项式的各项有公因式，可以 把这个公因式提取出来，将多项式写 成公因式与另一个因式的乘积的形式， 这种分解因式的方法叫做提公因式法.
解:2a(b+c) – 3(b+c)
=(b+c)(2a-3).
因式分解第课时提公因式法(优质课)获奖课件
[归纳总结] 在计算求值时， 若式子各项还有公因数， 先 提取公因数再计算，可使运算简便.
13.5.2 线段垂直平分线
13.5.2 线段垂直平分线
探 究 新 知
活动1 知识准备
等腰三角形 ABC 中，底边 BC 上的高为 AD. 4cm ； (1)已知 BC＝8 cm，则 CD＝____ 40°． (2)已知∠BAC＝80°，则∠BAD＝____
12.5.1 因式分解及提公因式法
探究问题二
运用提公式法因式分解
例 2 分解因式：(1)m3n＋mn3＋mn； (2)－20x2y－15xy2＋5xy. (3)(m＋2n)2－(m＋2n)． 解：(1)原式＝mn(m2＋n2＋1)． (2)原式＝－5xy(4x＋3y－1)． (3)原式＝(m＋2n)(m＋2n－1)．
12.5.1 因式分解及提公因式法
新 知 梳 理
► 知识点一 因式分解
概念：把一个___ _化为几个_ 多项式 ___的形式，叫做多项 整式的积 式的因式分解． ► 知识点二 提公因式法
相同的因式 __提 定义：把一个多项式的各项都含有 的__ ．．．．． 出来， 将多项式写成因式的积的形式， 这种因式分解的方法， 叫做提公因式法．
12.5.1 因式分解及例 3 利用因式分解计算：21×3.14＋62×3.14＋1.7×31.4.
[解析] 可将 1.7×31.4 转化为 17×3.14，这样每一项都含 有 3.14，把 3.14 作为公因式提出．
解：21×3.14＋62×3.14＋1.7×31.4 ＝21×3.14＋62×3.14＋17×3.14 ＝3.14×(21＋62＋17)＝3.14×100 ＝314.
12.5.1 因式分解及提公因式法
13.5.2 线段垂直平分线
13.5.2 线段垂直平分线
探 究 新 知
活动1 知识准备
等腰三角形 ABC 中，底边 BC 上的高为 AD. 4cm ； (1)已知 BC＝8 cm，则 CD＝____ 40°． (2)已知∠BAC＝80°，则∠BAD＝____
12.5.1 因式分解及提公因式法
探究问题二
运用提公式法因式分解
例 2 分解因式：(1)m3n＋mn3＋mn； (2)－20x2y－15xy2＋5xy. (3)(m＋2n)2－(m＋2n)． 解：(1)原式＝mn(m2＋n2＋1)． (2)原式＝－5xy(4x＋3y－1)． (3)原式＝(m＋2n)(m＋2n－1)．
12.5.1 因式分解及提公因式法
新 知 梳 理
► 知识点一 因式分解
概念：把一个___ _化为几个_ 多项式 ___的形式，叫做多项 整式的积 式的因式分解． ► 知识点二 提公因式法
相同的因式 __提 定义：把一个多项式的各项都含有 的__ ．．．．． 出来， 将多项式写成因式的积的形式， 这种因式分解的方法， 叫做提公因式法．
12.5.1 因式分解及例 3 利用因式分解计算：21×3.14＋62×3.14＋1.7×31.4.
[解析] 可将 1.7×31.4 转化为 17×3.14，这样每一项都含 有 3.14，把 3.14 作为公因式提出．
解：21×3.14＋62×3.14＋1.7×31.4 ＝21×3.14＋62×3.14＋17×3.14 ＝3.14×(21＋62＋17)＝3.14×100 ＝314.
12.5.1 因式分解及提公因式法
《提公因式法》课件 2022年人教版省一等奖PPT
探究：
1.只给一个条件〔一组对应边相等或一组对应角相等〕。
①只给一条边：
②只给一个角：
60°
60°
60°
2.给出两个条件：
①一边一内角：
30° ②两内角：
30° 50° ③两边：
2cm 4cmຫໍສະໝຸດ 30°30°可以发现按这
些条件画的三
30°
50° 角形都不能保
证一定全等。
2cm 4cm
先任意画出一个△ABC再画一个△DEF，使AB=DE,BC=EF,AC=DF. 把画好的△ABC剪下来，放到△DEF上，它们全等吗？
a 公因式 找公因式的方法：
②3mx-6nx2 ③4a2b+10ab2 ④x4y3+x3y3
3x
2ab x3y3
①系数取各系数 的最大公约数； ②字母取各项的 相同字母，而且 各字母的指数取
⑤12x2yz-9x3y2 3x2y 次数最低的。
例2：把8a3b2+12ab3c分解因式 .
分析:先找出各项的公因式,然后再分解. 公因式： 4ab2
解：要证明△ABC ≌△ FDE， 还应该有AB=DF这个条件
∵ DB是AB与DF的公共局部， 且AD=BF
∴ AD+DB=BF+DB
即 AB=DF
如图，AB=AC，AE=AD，BD=CE， A 求证：△AEB ≌ △ ADC。
证明：∵BD=CE
B
∴ BD-ED=CE-ED，
ED C
即BE=CD。
解： 4a2〔x+7〕－3〔x+7〕 = 〔x+7〕〔 4a2 －3〕
当a=－5，x=3时， 原式=〔3+7〕〔4×〔－5〕2－3〕
同课异构省一等奖《提公因式法课件》教案 (省一等奖)
提公因式法教学目标知识与能力1、理解因式分解与整式乘法的区别；过程与方法2、懂得寻找公因式，正确运用提公因式法因式分解；态度与情感3、培养学生善于类比归纳，合作交流的良好品质。
重点运用提公因式法因式分解难点如何确定公因式以及提出公因式后的另外一个因式教学手段方法类比归纳法教学过程教师活动学生活动说明或设计意图一、复习与回忆1、整式的乘法：计算以下各式:x(x+1)=(x+1)(x－1)=x(x+1)= x2 + x(x+1)(x－1)= x2－1回忆旧知二、观察、探究与归纳请把以下多项式写成整式乘积的形式.(1)X2+x=x(x+1)(2)x2-1=(x+1)(x-1)把一个多项式化成几个整式积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解〔或分解因式〕.三、类比与比拟1、想一想：因式分解与整式乘法有何关系?2、什么叫做公因式？3、什么叫做提公因式法？因式分解与整式乘法是互逆过程探索新知(x+y)(x－y)x2－y2因式分解=-=+1)2()1(22xxx整式乘四、试一试找出以下式子中的公因式：4a3，8a2b2，-30a2bc(2) 2x3y4， -10x2y3，2x2y2(3) 4x(y-x)2，6x (x-y)2(4) 3a(x-y)， 9b(y-x)(5) a2b n, 2ab n+2〔1〕 2a2b〔2〕2x2y2〔3〕 2x (x-y)2〔4〕 3 (x-y)〔5〕 ab n加深对公因式的理解五、例题讲解例1：分解因式 8a3b2+12ab3c解：多项式8a3b2+12ab3c的公因式是4ab28a3b2+12ab3c＝4ab2(2a2+3bc)归纳：提公因式法的一般步骤：1、确定应提取的公因式；2、用公因式去除这个多项式，所得的商作为另一个因式；3、把多项式写成两个因式的积的形式。
想一想另一个因式2a2+3bc是如何得到的？例2：把a〔x－3〕+2b〔x－3〕分解因式.分析：这个多项式整体而言可分为两大项，即a(x－3)与2b(x－3)，每项中都含有〔x－3〕,因此可以把(x－3)作为公因式提出来.【解析】a〔x－3〕+2b〔x－3〕=(x－3)(a+2b).公因式可以是单项式，也可以是数或多项式六、随堂检测 1、把以下多项式因式分解：(1) 4ab-2a 2b;(2) -3ab+6abx-9aby(3) - 24m 2x+16n 2x;(4) a n b 2-2a nb.〔1〕2ab(2-a)〔2〕-3ab(1-2x+3y)〔3〕-8x(3m 2-2n 2)〔4〕a nb(b-2)七、拓展与提高2+2004能被2005整除吗?八、课堂小结用提公因式法分解因式应注意的问题：〔1〕公因式要提尽； 〔2〕小心别漏掉“1“； 〔3〕多项式的首项取正号；〔4〕公因式是多项式时，要注意符号问题。
课件《提公因式法》优秀课件完美版_人教版1
反馈延伸
已知a+b=5，ab=4， 求ab2+a2b-a-b的值.
解： ab2+a2b-a-b =ab(b+a)-(a+b) =(a+b)(ab-1) =5×(4-1) =15
练习:把下列各式分解因式: (1) 12xyz9x2y2
(2) ax ay a
(3)1m 432m 12n27m 2 4 4 x 2 y 9 2 z 2 1 x2 4 z 2 y 7 x 3 y3z
(5) 2 a (yz) 3 b (zy) (6) 6p(a2b2)4q(a2b2)
项．
探究一
Ⅰ.以下多项式由哪些项组成？
分解成两个整式的积的形式的方法，
m am bmc 例1:把下列各式进行分解因式:
(3)(x-3)2= 2、确定公因式的方法： 如何确定一个多项式各项的公因式？
Ⅱ.这些项有什么共同特点？ ——提公因式法
这些项有什么共同特点？ 把公因式提出后，将一个多项式
(3)(x-3)2= 定系数：各项系数的最大公约数
ma (3) (5a－1)2=25a2－10a+1 ；
解： ab2+a2b-a-b 判断下列各式哪些是整式乘法?哪些是因式分解 以下多项式由哪些项组成？
mb
mc
这些项有什么共同特点？
“多项式（和） →乘积的形式”，在判断一个式子是否是因式分解时，利用这一方法，可以粗略地判断出选项． 求ab2+a2b-a-b的值.
(3) x2-6x+9=________
确定公因式的方法：
解： ab2+a2b-a-b
都含有因式 7 xyz 2
定系数
定字母
定指数
《提公因式法 》课件 2022年人教版省一等奖PPT
6.把(a+b－c)(a－b+c)+(b－a+c)(b－a－c)分解因式
【解析】原式=〔a+b－c)(a－b+c)－(b－a+c)(a－b+c) =〔a－b+c)［(a+b－c)－(b－a+c)］
=〔a－b+c)(a+b－c－b+a－c〕 =〔a－b+c)(2a－2c〕 =2〔a－b+c)(a－c〕
解：要证明△ABC ≌△ FDE， 还应该有AB=DF这个条件
∵ DB是AB与DF的公共局部， 且AD=BF
∴ AD+DB=BF+DB
即 AB=DF
如图，AB=AC，AE=AD，BD=CE， A 求证：△AEB ≌ △ ADC。
证明：∵BD=CE
B
∴ BD-ED=CE-ED，
ED C
即BE=CD。
=a〔x－y〕－b〔x－y〕 =〔x－y〕〔a－b〕
2.6〔m－n〕3－12〔n－m〕2
【解析】6〔m－n〕3－12〔n－m〕2 =6〔m－n〕3－12［－〔m－n〕］2 =6〔m－n〕3－12〔m－n〕2 =6〔m－n〕2〔m－n－2〕.
1.填空
请在以下各式等号右边的括号前填入“+〞或“－〞号，
D A
E
F
B
C
三边对应相等的两个三角形全等〔可 以简写为“边边边〞或“SSS〞〕。
A
用 数学语言表述：
在△ABC和△ DEF中
AB=DE
B
C
D
BC=EF
CA=FD
∴ △ABC ≌△ DEF〔SSS〕 E
F
判断两个三角形全等的推理过程，叫做证明三角形 全等。
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最后不是积的运算
② 24x2y=3x ·8xy 因式分解的对象是多项式，而不是单项式
③ x2-1=(x+1)(x-1) ④ (2x+1)2=4x2+4x+1
是整式乘法
⑤ x2+x=x2(1+ 1 ) 每个因式必须是整式
x
⑥ 2x+4y+6z=2(x+2y+3z)
二 因式分解之基本方法—提公因式法
这个多项式有什么特点？
学习目标
1.理解和掌握用尺规作：经过一已知点作已知直线的垂线 及已知线段的垂直平分线.（重点）
2. 已知底边及底边上的高，能够利用直尺和圆规作出等腰 三角形.（重点）
3.在利用尺规作图的过程中，培养学生动手操作能力与探 索精神．
导入新课
复习引入
1.回顾已经学过的基本作图有哪几种？ 基本作图： （1）作一条线段等于已知线段； （2）作一个角等于已知角； （3）作已知角的平分线.
3
a a2 2(m+n) 3mn -2xy
例2 把下列各式分解因式：
(1) 8a3b2 + 12ab3c； (2) 2a(b+c) - 3(b+c). 分析：提公因式法步骤（分两步） 第一步:找出公因式； 第二步:提取公因式 ，即将多项式化为两个因式的乘积. 注意：公因式既可以是一个单项式的形式，也可以是一个多项式 的形式. 整体思想是数学中一种重要而且常用的思想方法.
pa+ pb +pc = p ( a+b+c )
正确找出多项式各项公因式的关键是：
1.定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数. 2.定字母： 字母取多项式各项中都含有的相同的字母. 3.定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母最低次幂.
找一找: 下列各多项式的公因式是什么？
(1) 3x+6y (2)ab-2ac (3) a 2 - a 3 (4)4 (m+n) 2 +2(m+n) (5)9 m 2n-6mn (6)-6 x 2 y-8 xy 2
公共汽车站，使两个小区到车站的路程一样长，该公共汽车 站应建在什么地方？
分析：增设的公共汽车站要
满足到两个小区的路程一样
长，应在线段AB的垂直平 分线上，又要在公路边上，
A 所以找到AB的垂直平分线 与公路的交点便是.
B 公共汽车站
当堂练习
1.如图，点P在∠O的一边上，试过点P作∠O两边的垂线.
P
pa+pb+pc
相同因式p
多项式中各项都含有的相同因式，叫做这个多项式的 公因式.
典例精析
例1 找 3x 2 – 6 xy 的公因式.
3
系数：最大 公约数
x1
字母：相 同的字母
指数：相同字 母的最低次幂
所以公因式是3x.
知识要点
提公因式法 一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公
因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积 的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.
相等）.
A
C B
∴CD垂直平分线段AB(等腰三角形的“三线
合一”).
D
探究讨论
通过上面的作图，你还能发现什么？你会作任意 一个三角形的三条中线吗？
通过作图，知道直线ＣＤ与线段ＡＢ的交点就是ＡＢ
的中点，因此我们可以用这种方法作出线段ＡＢ的中点， 从而可以作出任意一个三角形的的三条中线
典例精析
例2 如图，A，B是路边两个新建小区，要在公路边增设一个
想一想：整式乘法与因式分解有什么关系？
是互为相反的变形，即
因式分解
x2-1
(x+1)(x-1)
整式乘法
x2-1 = (x+1)(x-1)
等式的特征：左边是多项式，右边 是几个整式的乘积
辨一辨： 在下列等式中，从左到右的变形是因式分解的有 不是的，请说明原因.
③ ⑥，
① am+bm+c=m(a+b)+c
错误
当多项式的某一项和公因式相同时， 提公因式后剩余的项是1.
正确解：原式=3x·x-6y·x+1·x =x(3x-6y+1).
注意：某项提出莫漏1.
小华的解法有误吗？ 把 - x2+xy-xz分解因式.
解：原式= - x(x+y-z).
错误
提出负号时括号里的 项没变号
正确解：原式= - (x2-xy+xz) =- x(x-y+z)
(第 1 题)
2.如图，作△ABC边BC上的高. （第 2 题）
3.四等分已知线段AB．
Ａ
Ｂ
4.作△ABC 的三边的垂直平分线
（第 2 题）
5. 如图，八（1）班与八（2）班两个班的学生分别在M，N两处
参加植树劳动，现要在道路AB、AC的交叉区域内设一个茶水供
应点P，使P到两条道路的距离相等，且PM=PN，请你用折纸的 方法找出P点并说明理由.
讲授新课
一 因式分解
把下列多项式写成乘积的形式
(1) ma+mb+mc=( m )( a+b+c )
(2) x2 -1 =( x+1 )( x-1 )
(3) a2 +2ab+b2 =( a+b )2
都是多项式化为几 个整式的积的形式
定义： 把一个多项式化为几个整式的积的形式,像这样的式子变形
叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.
学习目标
1.理解因式分解的意义和概念及其与整式乘法的区别和联系. （重点） 2.理解并掌握提公因式法并能熟练地运用提公因式法分解因 式.（难点）
导入新课
复习引入
运用前面所学的知识填空： (1) m(a+b+c)= ma+mb+mc ； (2) (x+1)(x-1)= x2 -1 ； (3) (a+b)2 = a2 +2ab+b2 .
课堂小结
定义
am+bm+mc=m(a+b+c)
确定公因式的方法：三定，即
提公因式法
定系数；定字母；定指数
因式方 法 分解
分两步： 第一步找公因式；第二步提公因式
公 式 法 （下节课学习）
注意
1.分解因式是一种恒等变形； 2.公因式：要提尽； 3.不要漏项； 4.提负号，要注意变号
课后作业
见《学练优》本课时练习
1.经过已知直线上一点作已知直线的垂线
已知直线AB和AB上一点C，试按下列步骤用直尺
和圆规准确地经过点C作出直线AB的垂线.
如图，由于点C在直线AB上，因此所求作 的垂线正好是平角ACB的平分线所在的直线. A
CB
第一步：作平角ACB的平分线CD；
D
第二步：反向延长射线CD.直线外一点作已知直线的垂线.
2.点与直线的位置关系有几种情况？
（1）点在直线上；（2）点在直线外.
3.经过一已知点作已知直线的垂线有可以分为几种情况？ 两种.
讲授新课
一 经过一已知点作已知直线的垂线
基本作图4. 经过一已知点作已知直线的垂线 可分为两种情况来讨论： 1.经过已知直线上一点作已知直线的垂线. 2.经过已知直线外一点作已知直线的垂线.
B
相交于点C和点D；
第二步：作直线CD.
D
直线CD就是所要求作的线段AB
的垂直平分线．
想一想：为什么CD是线段AB的垂直平分线呢？你能给出证明吗？
证明：如图，连结CA、CB、DA、DB.
∵AC=BC，ＡD=BD，CD=CD，
∴△ACD≌△BCD(S.S.S.).
∴∠ACD=∠BCD（全等三角形的对应角
注意：首项有负常提负.
当堂练习
1.把下列各式分解因式：
(1)8 m2n+2mn；
2mn(4m+1)；
(2)12xyz-9x2y2；
3xy(4z-3xy)；
(3)p(a2 + b2 )- q(a2 + b2 )； (a2+b2)(p-q)；
(4) -x3y3-x2y2-xy.
-xy(x2y2+xy+1).
解：（1） 8a3b2 + 12ab3c =4ab2 ·2a2+4ab2 ·3bc =4ab2(2a2+3bc)；
另一个因式将是2a2b+3b2c,
如果提出公因式 4ab,另一个因式是 否还有公因式？
它还有公因式是b.
（2） 2a(b+c)-3(b+c) =(b+c)(2a-3).
如何检查因 式分解是否 正确？
B
PM
N A
C
课堂小结
经过一已知 点作已知直 线的垂线
经过已知直线上一点作已知直线 的垂线，实质是作一个平角的平分线， 并将角的平分线反向延长.
经过已知直线外一点作已知直 线的垂线，实质是作以直线外这一 点为顶点，底在直线上的等腰三角 形的顶角的平分线.
作已知线段的垂直平分线理论依据 是：判定三角形全等的“边边边”
=259 1 = 259;
（2） 992＋99.
解：原式= 99 × 99 + 99 = 99 ×(99+1)
=9900.
4.计算（-2）101+（-2）100 解：原式=（-2）100 ×（-2+1）
=2100 ×（-1） =-2100.
5.已知: 2x+y=4,xy=3,求代数式2x2y+xy2的值. 解：2x2y+xy2=xy(2x+y)=3 ×4=12.