上海理工大学2003年高等代数考研试题
2003-数二真题标准答案及解析
2003 年考研数学（二）真题一、 填空题 （本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分 . 把答案填在题中横线上）1（ 1） 若 x0 时， (1 ax 2 ) 41 与 xsin x 是等价无穷小，则 a=.（ 2 ） 设 函 数 y=f(x)由 方 程 xy 2ln x y 4所 确 定 ， 则 曲 线 y=f(x) 在 点 (1,1) 处 的 切 线 方 程是.（ 3）y 2 x 的麦克劳林公式中 x n 项的系数是 __________.（ 4） 设曲线的极坐标方程为e a (a0) ，则该曲线上相应于从0变到2的一段弧与极轴所围成的图形的面积为 __________.（5） 设 为 3 维列向量，T 是T的转置. 若T=.11 11 1 1，则11110 1 （ 6） 设三阶方阵 A,B 满足 A 2 BA B E ，其中 E 为三阶单位矩阵，若 A 02 0 ，则2 0 1B ________.二、选择题 （本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分 . 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（ 1）设 { a n }, { b n }, { c n } 均为非负数列，且lim a n0 , lim b n1 , lim c n,则必有nnn(A) a n b n 对任意 n 成立 .(B) b n c n 对任意 n 成立 .(C)极限 lim a n c n 不存在 .(D) 极限 lim b n c n 不存在 .[]nn3 n（ 2）设 a nn 1x n 1 1 x n dx , 则极限 lim na n 等于2 0 n33 (A)(1 e)21 . (B)(1e 1 ) 2 1 .33(C)(1e 1) 2 1 .(D)(1 e) 2 1.[]（ 3）已知 yx 是微分方程 y y ( x) 的解，则 ( x) 的表达式为ln x xyyy 2y 2（A ）x 2.(B)x2 .x 2x 2(C)y 2 .(D)y 2 .[]（ 4）设函数 f(x) 在 ( , ) 内连续，其导函数的图形如图所示，则f(x) 有(A) 一个极小值点和两个极大值点 . (B) 两个极小值点和一个极大值点 . (C) 两个极小值点和两个极大值点 .(D) 三个极小值点和一个极大值点 .[ ]yOx（5）设 I 1 4 tan xdx , I 2 4 xxdx , 则tan x(A) I 1 I 2 1.(B) 1 I 1 I 2 .(C)I 2I 11.(D)1 I 2I 1 .[]（6）设向量组 I ： 1, 2 ,, r 可由向量组 II ：1,2 , , s 线性表示，则(A) 当 r s 时，向量组 II 必线性相关 . (B)当 r s 时，向量组 II 必线性相关 .(C) 当 rs 时，向量组 I 必线性相关 .(D) 当 r s 时，向量组 I 必线性相关 .[]三 、（本题满分 10 分）ln(1 ax 3 ), x0,x arcsin xx 0,设函数 f (x)6,e ax x 2ax 1 x0,,xx sin4问 a 为何值时， f(x) 在 x=0 处连续； a 为何值时， x=0 是 f(x) 的可去间断点？四 、（本题满分 9 分）x 1 2t2 ,d 2y.设函数 y=y(x) 由参数方程1 2 ln t eu(t 1) 所确定，求du dx 2x 9 y1u五 、（本题满分 9 分）计算不定积分xe arctan xdx.(1 3x 2 )2六 、（本题满分 12 分）设函数 y=y(x) 在 (, ) 内具有二阶导数，且 y0, x x( y) 是 y=y(x) 的反函数 .(1)试将 x=x(y) 所满足的微分方程d 2x ( ysin x)( dx) 30 变换为 y=y(x) 满足的微分方程；dy 2dy (2) 求变换后的微分方程满足初始条件y(0)0, y (0)3的解 .2七 、（本题满分 12 分）讨论曲线 y4 ln x k 与 y4x ln 4 x 的交点个数 .八 、（本题满分 12 分）设位于第一象限的曲线y=f(x) 过点 ( 2 , 1) ，其上任一点P(x,y) 处的法线与 y 轴的交点为 Q ，且线22段 PQ 被 x 轴平分 .(1) 求曲线 y=f(x) 的方程；(2) 已知曲线 y=sinx 在 [ 0, ] 上的弧长为 l ，试用 l 表示曲线 y=f(x) 的弧长 s. 九 、（本题满分 10 分）有一平底容器，其内侧壁是由曲线x ( y)( y 0) 绕 y 轴旋转而成的旋转曲面（如图），容器的底面圆的半径为 2 m.根据设计要求， 当以 3 3 / min的速率向容器内注入液体时，液面的面积将以m 2/ min 的m速率均匀扩大（假设注入液体前，容器内无液体）.(1) 根据 t 时刻液面的面积，写出 t 与 ( y) 之间的关系式；(2) 求曲线 x( y) 的方程 .(注： m 表示长度单位米， min 表示时间单位分 .) 十 、（本题满分 10 分）设函数 f(x) 在闭区间 [a,b] 上连续， 在开区间 (a,b)内可导， 且 f (x) 0.若极限 limf (2xa)存在，证x axa明：(1) 在(a,b)内 f(x)>0;(2)在 (a,b)内存在点b 2 a 22 ，使b；f (x)dxf ( )a，使 f ( )(b2a 2)2 b(3) 在 (a,b) 内存在与 (2)中 相异的点f ( x) dx. a a十一、（本题满分10 分）220若矩阵 A82a相似于对角阵，试确定常数 a 的值；并求可逆矩阵P使P1AP.006十二、（本题满分8 分）已知平面上三条不同直线的方程分别为l1 :ax2by3c0 ，l 2:bx2cy3a0，l 3:cx2ay3b0 .试证这三条直线交于一点的充分必要条件为 a b c 0.2003 年考研数学（二）真题评注一、填空题 （本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分 . 把答案填在题中横线上）1（ 1） 若 x0时， (1ax 2 ) 4 1 与 xsin x 是等价无穷小，则a=-4.1【分析】 根据等价无穷小量的定义，相当于已知lim(1ax 2 ) 41 ，反过来求 a. 注意在计算过程中xxsin x应尽可能地应用无穷小量的等价代换进行化简.11【详解】当 x0 时， (1 ax 2 ) 4 1 ~ax 2 ， x sin x ~ x 2 .42 11 ax 2(141于是，根据题设有ax )lim 41，故 a=-4.lim2ax 0 x sin xx 0 x4（ 2 ） 设 函 数 y=f(x) 由 方 程 xy 2 ln xy 4 所 确 定 ，则 曲 线 y=f(x) 在点 (1,1)处的切线方程是x-y=0 .【分析 】 先求出在点 (1,1)处的导数，然后利用点斜式写出切线方程即可.【详解】等式 xy 2 ln xy 4 两边直接对 x 求导，得y xy2 4y3 y ，x将 x=1,y=1 代入上式，有y (1) 1. 故过点 (1,1)处的切线方程为y 1 1 (x 1) ，即x y 0.【评注】 本题属常规题型，综合考查了隐函数求导与求切线方程两个知识点 .（ 3） y2 x 的麦克劳林公式中 x n 项的系数是( l n2) n .n!【分析 】 本题相当于先求y=f(x) 在点 x=0 处的 n 阶导数值 f (n ) ( 0) ，则麦克劳林公式中 x n 项的系数是f (n) (0).n!【详解】 因为y2 x ln 2 ， y2x (ln 2)2 ，, y ( x)2 x (ln 2)n ，于是有y(n ) (0) ( l n2) nxny ( n) (0)(ln 2)n，故麦克劳林公式中项的系数是n!.n!【评注】 本题属常规题型，在一般教材中都可找到答案.（ 4） 设曲线的极坐标方程为e a (a0) ，则该曲线上相应于从0变到2的一段弧与极轴所围成的图形的面积为1(e4 a1).4a【分析】利用极坐标下的面积计算公式S 12 ( )d即可 . 2【详解】所求面积为S 122()d122ad 2 0 2 0e=1e2a21(e4 a1) .4a4a.【评注】本题考查极坐标下平面图形的面积计算，也可化为参数方程求面积，但计算过程比较复杂111（5）设为3维列向量，T是的转置.若T T=3.1 11，则111【分析】本题的关键是矩阵T1，必可分解为一列乘一行的形式，而行向量一般可选第一的秩为行（或任一非零行），列向量的元素则为各行与选定行的倍数构成.【详解】由T1111111 1 =11 1 1，知 1 ，于是111111T1111 3.1a1【评注】一般地，若 n 阶矩阵 A 的秩为 1，则必有A a2 b1 b2bn .a n101（6）设三阶方阵A,B 满足A2B A B E ，其中E为三阶单位矩阵，若A020 ，则B2 011.2【分析】先化简分解出矩阵B，再取行列式即可.【详解】由A2B A B E知，(A2E)B A E，即(A E)(A E)B A E，易知矩阵 A+E 可逆，于是有(A E)B E.再两边取行列式，得A EB 1，0011因为AE0102.,所以B2002【评注】本题属基本题型，综合考查了矩阵运算与方阵的行列式，此类问题一般都应先化简再计算.二、选择题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分 . 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（ 1）设{ a n}, { b n}, { c n}均为非负数列，且lim a n0 , lim b n 1, lim c n,则必有n n n(A)a n b n对任意n成立.(B)b n c n对任意n成立.(C)极限 lim a n c n不存在.(D) 极限lim b n c n不存在 .[D]n n【分析】本题考查极限概念，极限值与数列前面有限项的大小无关，可立即排除(A),(B) ；而极限lim a n c n是 0型未定式，可能存在也可能不存在，举反例说明即可；极限lim b n c n属 1型，必为无穷n n大量，即不存在 .【详解】用举反例法，取a n 21，c n11,2,) ，则可立即排除(A),(B),(C) ，因此， b n n(n正确选项为 (D).n2【评注】对于不便直接证明的问题，经常可考虑用反例，通过排除法找到正确选项.n（ 2）设a n 3 n 1 x n 11x n dx ,则极限lim na n等于20n33(A)(1e) 2 1 .(B)(1e1) 2 1 .33(C)(1e1) 2 1 .(D)(1e) 21.[B]【分析】先用换元法计算积分，再求极限.【详解】因为3n3a n n 1 x n 11 x n dx=202nnn 11 x n d (1x n ) 013n=(1 x n ) 2n 1 n01{[1 (n3)n] 21} ，n n1n 33可见lim na n=lim {[ 1 ()n] 21}(1 e 1 ) 2 1.n n n1【评注】本题属常规题型，综合考查了定积分计算与求数列的极限两个知识点，但定积分和数列极限的计算均是最基础的问题，一般教材中均可找到其计算方法.（ 3）已知y x是微分方程 y y( x) 的解，则(x) 的表达式为ln x x y y y 2y 2（A ）x2.(B)x 2.22(C)x2 .(D)x2.[ A ] y y【分析】将 y x代入微分方程，再令的中间变量为u，求出(u) 的表达式，进而可计算出 ( x ) .ln x y【详解】将 y x代入微分方程y y( x) ，得ln x x yln x11(ln x)，即(ln x)1.ln 2 x2 ln x ln x令 lnx=u ，有(u)1(x y2.应选 (A). u2 ，故) =x2y【评注】本题巧妙地将微分方程的解与求函数关系结合起来，具有一定的综合性，但问题本身并不复杂，只要仔细计算应该可以找到正确选项.（ 4）设函数f(x)在(, ) 内连续，其导函数的图形如图所示，则f(x) 有(D)一个极小值点和两个极大值点 .(E)两个极小值点和一个极大值点 .(F)两个极小值点和两个极大值点 .(D)三个极小值点和一个极大值点 .[C ]yO x【分析】答案与极值点个数有关，而可能的极值点应是导数为零或导数不存在的点，共 4 个，是极大值点还是极小值可进一步由取极值的第一或第二充分条件判定.【详解】根据导函数的图形可知，一阶导数为零的点有 3 个，而x=0 则是导数不存在的点. 三个一阶导数为零的点左右两侧导数符号不一致，必为极值点，且两个极小值点，一个极大值点；在x=0 左侧一阶导数为正，右侧一阶导数为负，可见x=0 为极大值点，故f(x) 共有两个极小值点和两个极大值点，应选(C).【评注】本题属新题型，类似考题2001 年数学一、二中曾出现过，当时考查的是已知f(x) 的图象去推导 f ( x) 的图象，本题是其逆问题. 完全类似例题在文登学校经济类串讲班上介绍过 .（5）设 I 14tan x dx , I 24xdx , 则xtan x(A) I 1 I 2 1.(B) 1 I 1 I 2 .(C)I 2I 11.(D)1I 2 I 1 .[ B]【分析】 直接计算 I 1,I2 是困难的，可应用不等式tanx>x, x>0.【详解 】 因为当 x>0 时，有 tanx>x ，于是tan x1，x1，从而有I 14 t a nx，dxxtan xx4I 2 4x，dx4tan x可见有I 1I 2且 I 2，可排除 (A),(C),(D) ，故应选 (B).4【评注 】 本题没有必要去证明I 11 ，因为用排除法，(A),(C),(D) 均不正确，剩下的 (B)一定为正确选项 .（6）设向量组 I ： 1 , 2 ,, r 可由向量组 II ：1,2,,s 线性表示，则(A)当 r s 时，向量组 II 必线性相关 .(B) 当 r s 时，向量组 II 必线性相关 . (C) 当 rs 时，向量组 I 必线性相关 .(D)当 rs 时，向量组 I 必线性相关 .[ D ]【分析 】 本题为一般教材上均有的比较两组向量个数的定理：若向量组I ： 1 ,2 ,, r 可由向量组II ： 1,2 ,, s 线性表示， 则当 r s 时，向量组 I 必线性相关 . 或其逆否命题： 若向量组 I ： 1 , 2 ,, r可由向量组 II ： 1 , 2 ,, s 线性表示，且向量组 I 线性无关，则必有 rs . 可见正确选项为 (D). 本题也可通过举反例用排除法找到答案 .1 0101 ,【详解 】 用排除法：如1 ,1,2 ，则12 ，但2 线性无关，10 11 1 ,排除(A) ；1, 2 ,10 ， 则 2 可 由 1线性表示，但 1线性无关，排除 (B)；0 01 , 11 ,1 线性无关，排除 (C). 故正确选项为 (D).1 0 1,21 ，1 可由2 线性表示，但【评注 】 本题将一已知定理改造成选择题，如果考生熟知此定理应该可直接找到答案，若记不清楚，也可通过构造适当的反例找到正确选项.三、（本题满分10 分）ln(1ax 3 ) ,x0,x arcsin xx0,设函数 f (x)6,e ax x 2ax1x0,,x sin x4问 a 为何值时， f(x) 在 x=0 处连续； a 为何值时， x=0 是 f(x) 的可去间断点？【分析】分段函数在分段点 x=0 连续，要求既是左连续又是右连续，即f (00) f (0) f (00).【详解】 f (00)lim f ( x)lim ln(1ax 3 )lim ax 3x 0x0x arcsin x x 0 x arcsin x= lim 3ax 2lim3ax2 12x0x 01x111x23ax 26a.= lim1x 2x02f (00)lim f (x)lim e ax x2ax1x 0x0x sinx4= 4 lim e ax x 22ax1 4 lim ae ax2x a2a 2 4.x 0x x 02x令 f (0 0) f (0 0) ，有 6a2a 2 4 ，得a 1或a 2 .当 a=-1 时，lim f ( x)6f(0)，即 f(x) 在 x=0 处连续 .x0当 a=-2 时，lim f ( x)12 f (0)，因而 x=0 是 f(x) 的可去间断点 .x0【评注】本题为基本题型，考查了极限、连续与间断等多个知识点，其中左右极限的计算有一定难度，在计算过程中应尽量利用无穷小量的等价代换进行简化.四、（本题满分9 分）x12t 2 ,d2y.设函数 y=y(x) 由参数方程 1 2 ln t e u(t1) 所确定，求y dx21udu x9【分析】 本题为参数方程求二阶导数，按参数方程求导的公式进行计算即可. 注意当 x=9 时，可相应地确定参数 t 的取值 .【详解 】由dye 12ln t 22et ， dx4t ，dt 12 ln t t1 2ln tdtdydy 2ete得dt1 2 ln t 2(1,dxdx 4t2 ln t )dt所以d 2 y d dy 1e12 1dx 2dt ( dx )dx=2 (1 2 ln t )2 t 4tdte= 4t 2(1 2ln t) 2.当 x=9 时，由 x1 2t2 及 t>1 得 t=2, 故d 2 yee2 .dx 2x 94t 2 (1 2ln t) 2t216(1 2 ln 2)五 、（本题满分 9 分）xe arctan x计算不定积分(1x 2 )3 dx.2【分析 】 被积函数含有根号1 x2 ，典型地应作代换： x=tant, 或被积函数含有反三角函数arctanx ，同样可考虑作变换： arctanx=t ，即 x=tant.【详解 】 设 xtant ，则xe arctan xdx e t tan t2tdt = tsin tdt.(13 =(1 tan 2 3sec ex 2 ) 2t) 2ttdttt又esin e dcos= ( e t cost e t costdt)=e t cost e t sinte t sin tdt ，故t1 t ( s i n c o s) .e s i nt d t 2 ettCxe arctan x1 e arctan x ( x 1因此3 dx =) C(1 x 2 ) 2 2 1 x 21 x 2(x1)e arctan x=C.2 1 x 2【 评注 】本题也可用分布积分法：xe arctan xx de arctan x3dx =(1x 2 ) 21 x 2xe arctan x e arctan xdx=1 x2 (1 3x 2 ) 2= xe arctan x1 de arctan x1 x 21 x 2xe arctan x e arctan xxe arctan xdx ，=1 x 21 x 23(1 x 2 ) 2移项整理得arctan xdx = (xarctan xxe 31)e C.(1 x 2 ) 22 1 x 2本题的关键是含有反三角函数，作代换 arctan x t 或 tant=x.六 、（本题满分 12 分）设函数 y=y(x) 在 (, ) 内具有二阶导数，且y 0, x x( y) 是 y=y(x) 的反函数 .(1)试将 x=x(y) 所满足的微分方程d 2x ( y sin x)( dx) 30 变换为 y=y(x) 满足的微分方程；dy 2 dy3(2) 求变换后的微分方程满足初始条件y(0) 0, y (0)的解 .2【分析 】 将dx转化为dy 比较简单， dx 11，关键是应注意：dydx dy =dyydxd 2 x d ( dx ) = d ( 1 ) dxdy 2 dy dy dx y dyy1 y = y2y( y )3.然后再代入原方程化简即可.【详解】(1) 由反函数的求导公式知dxdy 1y，于是有d 2 x d dx d 1 dx y 1ydy 2dy (dy)=dx(y)dy=y 2y( y )3.代入原微分方程得y y sin x.(*)(2) 方程 ( * )所对应的齐次方程y y0 的通解为Y C1e x C2 e x .设方程 ( * ) 的特解为y* A cos x B sin x ，代入方程 ( * )，求得A0, B1，故 y*1sin x ，从而y y sin x 的通解是212y Y y*C1 e x C2e x sin x.32由y(0) 0, y (0)，得 C11,C21.故所求初值问题的解为21s i nx.y e x e x2【评注】本题的核心是第一步方程变换 .七、（本题满分 12 分）讨论曲线 y 4 ln x k 与 y4x ln 4 x 的交点个数.【分析】问题等价于讨论方程ln 4 x 4 ln x 4x k 0 有几个不同的实根. 本题相当于一函数作图题，通过单调性、极值的讨论即可确定实根的个数（与x 轴交点的个数） .【详解】设(x)ln 4x 4 ln x4x k ，y则有( x)4(ln 3x1x) .4-kx不难看出， x=1 是(x) 的驻点.O1x当 0x1时，(x)0 ，即( x) 单调减少；当x>1时， ( x)0 ，即(x) 单调增加，故 (1) 4 k 为函数(x) 的最小值.当 k<4，即 4-k>0 时，( x) 0无实根，即两条曲线无交点；当 k=4，即 4-k=0 时，( x) 0有唯一实根，即两条曲线只有一个交点；当k>4，即 4-k<0 时，由于lim( x)lim [ln x(ln 3 x4)4x k ] x 0x 0lim( x)lim [ln x(ln 3 x4)4x k] x x ；，故( x) 0有两个实根，分别位于(0,1)与(1,) 内，即两条曲线有两个交点.【评注】讨论曲线与坐标轴的交点，在构造辅助函数时，应尽量将待分析的参数分离开来，使得求导后不含参数，便于求驻点坐标 .八、（本题满分12 分）设位于第一象限的曲线y=f(x) 过点(2 , 1)，其上任一点P(x,y)处的法线与y轴的交点为Q，且线2 2段 PQ 被 x 轴平分 .(3)求曲线 y=f(x) 的方程；(4)已知曲线 y=sinx 在[ 0,] 上的弧长为l ，试用 l 表示曲线y=f(x) 的弧长 s.【分析】 (1)先求出法线方程与交点坐标Q，再由题设线段PQ 被 x 轴平分，可转化为微分方程，求解此微分方程即可得曲线 y=f(x) 的方程 .(2)将曲线 y=f(x) 化为参数方程，再利用弧长公式bx 2y 2 dt 进行计算即可.sa【详解】 (1)曲线 y=f(x) 在点 P(x,y) 处的法线方程为Y y 1( X x) ，y其中 (X,Y) 为法线上任意一点的坐标. 令 X=0，则Y y x，y故 Q 点的坐标为(0, y x).由题设知y1( y y x )0 ，即 2 ydy xdx0.2y积分得x 2 2 y2 C (C为任意常数).由 y2x21知 C=1，故曲线y=f(x) 的方程为2x22y 2 1.(2) 曲线 y=sinx 在 [0，]上的弧长为l1cos2 xdx 2 2 1 cos2 xdx.00曲线 y=f(x)的参数方程为x c o ts,y0t.2 s i nt,2 2故 s2 sin2 t 1cos2 t dt12 1 sin 2 t dt ，0220令 t u ，则21 s2l =2 2012 1 cos2 udu1 cos2 u ( du)2202l.4【评注】注意只在第一象限考虑曲线y=f(x) 的弧长，所以积分限应从0 到，而不是从0 到2 .2九、（本题满分10 分）有一平底容器，其内侧壁是由曲线x( y)( y0) 绕y轴旋转而成的旋转曲面（如图），容器的底面圆的半径为 2 m.根据设计要求，当以 3 3 / min的速率向容器内注入液体时，m液面的面积将以m2/ min 的速率均匀扩大（假设注入液体前，容器内无液体） .(3)根据 t 时刻液面的面积，写出t 与( y) 之间的关系式；(4)求曲线 x( y) 的方程.(注： m 表示长度单位米，min 表示时间单位分 .)【分析】液面的面积将以m 2 / min 的速率均匀扩大，因此t 时刻液面面积应为：22t ，而液面为圆，其面积可直接计算出来，由此可导出t 与( y) 之间的关系式；又液体的体积可根据旋转体的体积公式用定积分计算，已知t 时刻的液体体积为3t，它们之间也可建立积分关系式，求导后转化为微分方程求解即可 .【详解】 (1)设在 t 时刻，液面的高度为y，则由题设知此时液面的面积为2 ( y)4t ,从而t2 ( y) 4.(2)液面的高度为 y 时，液体的体积为y2 (u)du 3t 3 2 ( y) 12. 0上式两边对y 求导，得2 ( y) 6 ( y) ( y) ，即( y) 6( y).解此微分方程，得y( y)Ce 6，其中C为任意常数，由 (0) 2 知C=2,故所求曲线方程为yx 2e6 .【评注】作为应用题，本题比较好地综合考查了定积分在几何上的应用与微分方程的求解.十、（本题满分10 分）设函数 f(x) 在闭区间 [a,b] 上连续，在开区间 (a,b)内可导，且f (x)0. 若极限lim f (2x a)存在，证x a x a 明：(2)在 (a,b)内 f(x)>0;(3)在 (a,b)内存在点，使b2 a 22；bf ( x)dx f ()a(3)在 (a,b) 内存在与 (2) 中相异的点，使f ()(b 2 a 2 )2bf (x)dx.a a【分析】 (1)由limf (2x a)f(x)>0.(2) 要证的结论显含x a存在知， f(a)=0, 利用单调性即可证明x af(a),f(b) ，应将要证的结论写为拉格朗日中值定理或柯西中值定理的形式进行证明. (3)注意利用 (2)的结论证明即可 .【详解】 (1)因为 lim f (2x a)存在，故 lim f (2 x a) f (a) 0.又 f ( x)0 ，于是f(x)在(a,b)x a x a x a 内单调增加，故f (x) f (a)0, x(a,b).设 F(x)= x2, g(x)xx b) ,则 g ( x) f ( x) 0 ，故 F (x), g( x) 满足柯西中值定理(2) f (t )dt (aa的条件，于是在 (a,b)内存在点，使F (b) F (a)b2 a 2(x 2 )，g (b)g(a)b a xf (t )dt f (t) dt)xf (t )dt(a a a即b 2 a 22.bf ( )f ( x)dx a(3) 因 f ( ) f ( ) f (0) f ( ) f (a) ，在 [ a, ] 上应用拉格朗日中值定理， 知在 (a, ) 内存在一点，使 f ( )f ( )(a) ，从而由 (2) 的结论得b 2 a 22，bf ()( a)f ( x) dxa即有f ( )(b2a 2 )2bf (x)dx.a a【评注 】 证明 (3)，关键是用（ 2）的结论：222bb 2 a22f ( )(ba )af (x) dxb f ( x)dxf( )( a)aaf ( ) f ( )( a)（ 根据 (2) 结论 ）f ( )f (a)f ( )( a) ，可见对 f(x) 在区间 [ a, ] 上应用拉格朗日中值定理即可 .十 一、（本题满分 10 分）2 2 0若矩阵 A8 2 a 相似于对角阵，试确定常数 a 的值；并求可逆矩阵 P 使 P 1AP.0 0 6【分析 】 已知 A 相似于对角矩阵，应先求出 A 的特征值，再根据特征值的重数与线性无关特征向量 的个数相同，转化为特征矩阵的秩，进而确定参数a. 至于求 P ，则是常识问题 .【详解 】 矩阵 A 的特征多项式为2 2 0EA82 a (6)[(2) 216]6= (6)2( 2) ，故 A 的特征值为126, 32.由于 A 相似于对角矩阵 ，故对应1 26 应有两个线性无关的特征向量，即3 r (6E A) 2 ，于是有 r (6E A) 1.42 0 2 1 0 由6EA8 4 a 0 0 a ，0 0知 a=0.于是对应于1 26 的两个线性无关的特征向量可取为110 ，22 .1当 32 时，42 0 2 1 0 2EA8 4 0 0 0 1 ，80 0 02x 1x 2 0,1 解方程组2 的特征向量2 .x 30,得对应于330 11令P0 2 21 0，则 P 可逆，并有 P 1AP.十二 、（本题满分 8 分）已知平面上三条不同直线的方程分别为l 1 : ax 2by 3c 0 ， l 2 : bx 2cy 3a 0 ， l 3 : cx2ay 3b0 .试证这三条直线交于一点的充分必要条件为a b c 0.【分析】 三条直线相交于一点，相当于对应线性方程组有唯一解，进而转化为系数矩阵与增广矩阵的秩均为 2.【详解 】 方法一 ：必要性设三条直线 l 1, l 2 ,l 3 交于一点，则线性方程组ax 2by 3c, bx 2cy 3a,(*)cx 2ay3b,a 2b a 2b 3c有唯一解，故系数矩阵Ab 2c 与增广矩阵 Ab 2c 3a 的秩均为 2，于是 A 0.c 2ac2a3ba 2b 3c由于Ab 2c 3a 6(ab c)[ a 2 b 2c 2abac bc]c2a3b=3(a b c)[( a b) 2 (b c)2(ca) 2 ] ,但根据题设( a b ) 2 ( b ) 2 ( c a ) 2 0 ，故ca b c 0.充分性：由 a b c 0 ，则从必要性的证明可知，A 0，故秩 (A)3.由于a 2b 2(ac 2 ) 2[ ( )b2 ]b 2cba ab=2[( a 1 b) 2 3 b 2 ]0 ，故秩 (A)=2.2 4 于是，秩(A)= 秩 ( A) =2.因此方程组 (*) 有唯一解，即三直线l 1 , l 2 , l 3 交于一点 .方法二 ：必要性x 0设三直线交于一点 ( x 0 , y 0 ) ，则 y 0 为 Ax=0 的非零解，其中1a 2b 3c Ab 2c 3a .c 2a3b于是 A0 .a 2b 3c而Ab 2c 3a 6(a b c)[ a 2 b 2c 2 ab ac bc ]c 2a3b=3( a b)[( a ) 2 ( b c ) 2 ( c a ) 2 ] ,cb 但根据题设( a b ) 2 ( b ) 2 ( c a ) 2 0 ，故ca b c 0.充分性：考虑线性方程组ax2by3c,bx2cy3a,(*)cx2ay3b,将方程组 (*) 的三个方程相加，并由a+b+c=0 可知，方程组 (*) 等价于方程组ax2by3c,(* *)bx2cy3a.a2b2(2)2[()2]因为b2c ac b a a b b=-[ a2 b 2(a b) 2 ] 0 ,故方程组 (* *)有唯一解，所以方程组(*)有唯一解，即三直线l1 ,l 2 , l3交于一点.【评注】本题将三条直线的位置关系转化为方程组的解的判定，而解的判定问题又可转化为矩阵的秩计算，进而转化为行列式的计算，综合考查了多个知识点.。
考研数学二历年真题(2003—2012)题目
2012年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题:1-8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1)曲线221x x y x +=-的渐近线条数 ( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3(2) 设函数2()(1)(2)()x x nx f x e e e n =---，其中n 为正整数,则(0)f '= ( )(A) 1(1)(1)!n n --- (B) (1)(1)!n n -- (C) 1(1)!n n -- (D) (1)!n n -(3) 设1230(1,2,3),n n n a n S a a a a >==++++，则数列{}n S 有界是数列{}n a 收敛的( )(A) 充分必要条件 (B) 充分非必要条件 (C) 必要非充分条件 (D) 非充分也非必要(4) 设2sin d ,(1,2,3),k x k I e x x k π==⎰则有( )(A) 123I I I << (B) 321I I I << (C) 231I I I << (D) 213I I I << (5) 设函数(,f x y ）为可微函数，且对任意的,x y 都有(,)(,)0,0,x y x y x y∂∂><∂∂则使不等式1122(,)(,)f x y f x y >成立的一个充分条件是( )(A) 1212,x x y y >< (B) 1212,x x y y >> (C) 1212,x x y y << (D) 1212,x x y y <> (6) 设区域D 由曲线sin ,,12y x x y π==±=围成，则5(1)d d Dx y x y -=⎰⎰( )(A) π (B) 2 (C) -2 (D) -π(7) 设1100c ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭α,2201c ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭α ,3311c ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭α ,4411c -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭α ,其中1234,,,c c c c 为任意常数，则下列向量组线性相关的为 ( )(A)123,,ααα (B) 124,,ααα (C)134,,ααα (D)234,,ααα(8) 设A 为3阶矩阵，P 为3阶可逆矩阵，且1100010002P AP -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.若()123,,P =ααα，()1223,,Q =+αααα则1Q AQ -= ( )(A) 100020001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (B) 100010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (C) 200010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (D)200020001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭二、填空题：9-14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9) 设()y y x =是由方程21yx y e -+=所确定的隐函数，则202x d y dx== .(10) 22222111lim 12n n n n n n →∞⎛⎫+++= ⎪+++⎝⎭ .(11) 设1ln ,z f x y ⎛⎫=+⎪⎝⎭其中函数()f u 可微，则2z z x y x y ∂∂+=∂∂ . (12) 微分方程()2d 3d 0y x x y y +-=满足条件11x y ==的解为y = .(13) 曲线()20y x x x =+<上曲率为2的点的坐标是 . (14) 设A 为3阶矩阵，=3A ，*A 为A 伴随矩阵，若交换A 的第1行与第2行得矩阵B ，则*BA = .三、解答题：15-23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分 10 分)已知函数()11sin x f x x x+=-，记()0lim x a f x →=，(I)求a 的值;(II)若0x →时，()f x a -与kx 是同阶无穷小，求常数k 的值.(16)(本题满分 10 分)求函数()222,x y f x y xe+-=的极值.(17)(本题满分12分)过(0,1)点作曲线:ln L y x =的切线,切点为A ,又L 与x 轴交于B 点,区域D 由L 与直线AB 围成,求区域D 的面积及D 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积.(18)(本题满分 10 分)计算二重积分d Dxy σ⎰⎰，其中区域D 为曲线()1cos 0r θθπ=+≤≤与极轴围成.(19)(本题满分10分)已知函数()f x 满足方程()()2()0f x f x f x '''+-=及()()2x f x f x e ''+=, (I) 求()f x 的表达式;(II) 求曲线220()()d xy f x f t t =-⎰的拐点.(20)(本题满分10分)证明21ln cos 112x x x x x ++≥+-,(11)x -<<.(21)(本题满分10 分)(I)证明方程1x x x ++=n n-1+()1n >的整数，在区间1,12⎛⎫⎪⎝⎭内有且仅有一个实根；(II)记(I)中的实根为n x ，证明lim n n x →∞存在，并求此极限. (22)(本题满分11 分)设100010001001a a A a a⎛⎫ ⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭，1100β⎛⎫⎪- ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭(I) 计算行列式A ；(II) 当实数a 为何值时，方程组Ax β=有无穷多解，并求其通解.(23)(本题满分11 分)已知1010111001A a a ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭，二次型()()123,,T T f x x x x A A x =的秩为2，(I) 求实数a的值；将f化为标准形.(II) 求正交变换x Qy2011年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题2010年考研数学二真题一填空题(8×4=32分)2009年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（1）函数()3sin x x f x nx-=的可去间断点的个数，则（ ）()A 1.()B 2. ()C 3.()D 无穷多个.（2）当0x →时，()sin f x x ax =-与()()2ln 1g x x bx =-是等价无穷小，则（ ）()A 11,6a b ==-. ()B 11,6a b ==. ()C 11,6a b =-=-. ()D 11,6a b =-=. （3）设函数(),zf x y =的全微分为dz xdx ydy =+，则点()0,0（ ）()A 不是(),f x y 的连续点. ()B 不是(),f x y 的极值点. ()C 是(),f x y 的极大值点. ()D 是(),f x y 的极小值点.（4）设函数(),f x y 连续，则()()222411,,yxydx f x y dy dy f x y dx -+=⎰⎰⎰⎰（ ）()A ()2411,xdx f x y dy -⎰⎰. ()B ()241,xxdx f x y dy -⎰⎰.()C ()2411,ydy f x y dx -⎰⎰.()D .()221,y dy f x y dx ⎰⎰（5）若()f x ''不变号，且曲线()y f x =在点()1,1上的曲率圆为222x y +=，则()f x 在区间()1,2内（ ）()A 有极值点，无零点. ()B 无极值点，有零点.()C 有极值点，有零点. ()D 无极值点，无零点.（6）设函数()y f x =在区间[]1,3-上的图形为：则函数()()0xFx f t dt =⎰的图形为（ ）()A .()B .()C .()D .（7）设A 、B 均为2阶矩阵，**AB，分别为A 、B 的伴随矩阵。
2003级《高等代数》第二学期多项式单元考试卷
2003年研究生入学考试题—线性空间2003－010－5设V 为实数域上由矩阵A的全体实系数多项式组成的空间，其中12210000,(1)00A ωωω⎛⎫ ⎪==-+ ⎪ ⎪⎝⎭，则V 的维数是 。
200300201-4设V 是数域P 上全体数4<的多项式与零多项式组成的线性空间，且332,,1,1x x x x x -++是的一组基，则223x x ++在 这组基下的坐标写成行向量形式为__________.200300306 设,A B 为非零矩阵，且有证明：1)0,1必是,A B 的特征值， 2) 若X 是A 的属于特征值1的特征向量，则也是的属于特征值0的特征向量. 2003014-1-3.按矩阵加法和数与矩阵的乘法运算,下列集合 构成数域P 上线性空间.(A) P 上全体n 阶对称方阵的集合.(B) P 上全体n 阶对角方阵的集合.(C) P 上全体n 阶三角方阵的集合.(D) P 上全体主对角线元素之和等于零的n 阶方阵的集合.2003014-8 A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----511113131,求A 的特征值和相应的特征向量. 2003015 –4.V 为数域P 上的n 为线性空间,n>1,W 为V 的非平凡子空间.证明W 在V 中的补子空间存在但不唯一.2003015 –10. A 为n 阶实矩阵, a bi +为A 的一个复特征值，其中,a b 为实数，0,b i ≠为虚数单位，X Yi +为相应于a bi +的A 的一个特征向量，X ，Y 分别为实n 维列向量.证明X ，Y 线性无关.2003016-6设12,,,n V V V 和W 是向量空间V 的子空间，如果W 包含在12,,,n V V V 的并集中，你们W W 包含在某个i V 中。
200300404已知12342256cos ,sin cos ,sin 1cos ,sin 2ax ax ax ax ax ax f e bx f e bx f xe bx f xe bx f x e bx f x e bx ====== 是六个实函数，它们生成的子空间记作V ，说明微商D 是V 上的一个线性变换，并求D 在基123456,,,,,f f f f f f 下的矩阵。
2003年考研数学真题与答案
= 3(a + b + c)[(a − b)2 + (b − c)2 + (c − a)2 ] ,
但根据题设 (a − b)2 + (b − c)2 + (c − a)2 ≠ 0 ，故 a + b + c = 0.
充分性：由 a + b + c = 0 ，则从必要性的证明可知， A = 0 ，故秩 ( A) < 3.
⎢⎣ 1 −1 1 ⎥⎦
α Tα =
3
.
⎡ 1 −1 1 ⎤ ⎡ 1 ⎤
⎡1⎤
【详解】 由αα T = ⎢⎢−1 1 −1⎥⎥ = ⎢⎢−1⎥⎥[1 −1 1]，知α = ⎢⎢−1⎥⎥ ，于是
⎢⎣ 1 −1 1 ⎥⎦ ⎢⎣ 1 ⎥⎦
⎢⎣ 1 ⎥⎦
⎡1⎤
α Tα = [1 −1 1]⎢⎢−1⎥⎥ = 3.
其中A的逆矩阵为B，则a= -1 .
【详解】 由题设，有
于是有
AB = (E − αα T )(E + 1 αα T ) a
= E − αα T + 1 αα T − 1 αα T ⋅αα T
a
a
= E − αα T + 1 αα T − 1 α (α Tα )α T
a
a
= E − αα T + 1 αα T − 2aαα T a
⎢⎣− 2 − 2 3 ⎥⎦
从而
⎡9 0 0⎤ B + 2E = ⎢⎢− 2 7 − 4⎥⎥ ，
⎢⎣− 2 − 2 5 ⎥⎦
λ−9 0 0 λE − (B + 2E) = 2 λ − 7 4 = (λ − 9)2 (λ − 3) ，
2003考研数学真题+答案
1 x 与 x 轴及直线 x e 所围成的三角形绕直线 x e 旋转所得的圆锥体积 e
1 e 2 ；曲线 y ln x 与 x 轴及直线 x e 所围成的图形绕直线 x e 旋转所得的旋 3
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郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·2003 年数学试题参考解答及评分标准
即汽锤击打 3 次后，可将桩打进地下
1 r r 2 a
n 1
m.
„„ 6 分
(2) 用归纳法：设 xn 1 r ... r
a ,则
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k k „„ 8 分 kxdx ( x2n1 x 2n ) [ x2n1 (1 r r n1 )a 2 ] xn 2 2 2 n1 由于 Wn1 rWn r 2Wn1 r nW ,故得 xn )a2 r n a2 ， 1 (1 r r Wn1
sin x
dx
„„ 6 分 „„ 8 分
(2) 由于 esin x e sin x 2,
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郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·2003 年数学试题参考解答及评分标准
故由(1)得 xe
L
sin y
dy ye sin x dx (e sin x e sin x )dx 2 2
0
„„ 10 分
证法 2
(1) 根据格林公式， 得 xe
L
sin x
sin y
dy ye sin x dx (e sin y e sin x )d „„ 2 分
上海理工大学高数试卷_A1_1
五. （6 分）计算 I n 六. （8 分）设
0 x n e x dx .
xeห้องสมุดไป่ตู้ x , f x 1 , 4 x2
2
x0 2 x0
, 计算1 f x 3dx .
4
七. （8 分）求由抛物线 y 2 x , y x 围成的平面图形的面积，以及此图形绕 x 轴旋转而成
2 2
的立体体积. 八. （6 分）若 f x 在 a, b 上连续，在 a, b 内可导，且 f a f b 0 ， 求证：存在一点 x0 a, b ，使 f x0 f x0 0 .
2
8. 设
f x x a x , x 在x a 处 连续，求f a .
x0
,
f x x 二. （8 分）设 f x 在 , 有连续的二阶导数， f 0 0, g x f 0
上海理工大学
第一学期《高等数学 A》试卷-1
编号 一 二 三 四 五 六 七 八
姓 名
得分 阅卷人 一. 计算下列各题.（48 分） 1. lim (csc x ).
x0
学 号
班 级
任 课 教 师
装 订 线 外 不 要 答 题 ， 装 订 线 内 不 要 写 姓 名 、 学 号 、 班 级 、 任 课 老 师 ， 违 者 试 卷 按
0
1 x
2. .
y ln( x 1 x 2 ) ,求 y 和 y .
y 1 xe y ，求
dy . dx
3.
4.
2
1
x
1 3 x dx .
2
2003--2010高等代数真题
2003年高等代数（综合卷）6.(14)设P 是数域,n n P B A ⨯∈,,E 是n 阶单位矩阵.证明:P b a ∈∀,(1)当bB aA +是可逆矩阵时,bB aA B bB aA B b A bB aA A a -=+-+--1212)()(.(2)当bB aA +,bB aA -都是可逆矩阵时, E bB aA B bB aA B b bB aA A bB aA A a =+--+-----112112)()()()(7.(20)设Ax x '是秩为r 的n 元半正定二次型,(1)证明:存在秩为r 的r n ⨯实矩阵C ,使C C A '=. (2)证明:x E A x )(+'是n 元正定二次型.8.(20)设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2212221212121n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a A是数域P 上的n 阶非零矩阵)1(>n (1)求A 的行列式A 和A 的秩. (2)当022221≠=+++k a a a n 时,证明存在n 阶可逆矩阵T 使⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-001 k AT T . 9.(21)设P 是数域,m n P A ⨯∈,如果m n P X ⨯∈∀规定AX X A :(1)证明A 是数域上线性空间n n P ⨯的线性变换.(2)令},{m n m n O AY P Y Y W ⨯⨯=∈=,证明W 是m n P ⨯的-A 子空间.(3)设秩n r A <=,求W 的维数W dim .2004年 高等代数1.(15)设n a a ,,1 是数域P 上n 个不同的数,解线性方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++=+++----11212111222221212211211n nn n n n n n n n n n n n a x a x a x a a x a x a x a a x a x a x a x x x . 2.(15)设P 是数域,12)(,3++=∈⨯x x x m P A n n 是A 的最小多项式,求—A ,3.(20) 设P 是数域,n n n ij P a A ⨯∈==),,()(1αα ,nn a 的代数余子式0≠nn A ,(1)证明: n αα,,1 线性无关.(2)当0=A 时,求线性方程组O X A =*的基础解系,其中*A 是A 的伴随矩阵4.(30) 设P 是数域,}{1A A P A V n n ='∈=⨯, }{2是上三角矩阵B P B V n n ⨯∈=,(1)证明: 21V V ，都是n n P ⨯的子空间.(2)证明2121,V V P V V P n n n n ⊕≠+=⨯⨯.5.(30)设)(x p 是数域P 上的不可约多项式,α是)(x p 的复根,(1)证明:)(x p 的常数项不等于零.(2)证明:对任意正整数1)),((,=m x x p m (3)设22)(3+-=x x x p ,求51x. 6.(20)设n 元实二次型Ax x x x x f n '=),,,(21 经过正交替换Qy x =(其中Q 是正交矩阵)化为223222132n ny y y y ++++ ，证明: (1)A 的特征值是n ,,2,1 . (2)存在正定矩阵B ,使2B A =7.(20)设A 是数域P 上n 维线形空间V 的线性变换,0)(,0)(1=A ≠A ∈=αααn n V ，,证明:(1))(,),(),(,12αααα-A A A n 是V 的基.(2)设W 是A 的不变子空间,0,,,,121≠∈a P a a a n ,并且存在向量W a a a a n n ∈A ++A +A +=-)()()(12321ααααβ ,则V W =.2005年 高等代数1.(15)设A 是数域P 上的r r ⨯阶矩阵,D 是s s ⨯阶矩阵,A B M C D ⎛⎫= ⎪⎝⎭,并且r A r M r ==)()(,证明:1D CA B -=.2.(15)设A 是数域P 上的m n ⨯矩阵,12,,,t ααα 是齐次方程组0Ax =的线形无关的解,0A β≠,证明12,,,t ββαβαβα+++ 线性无关.3.(30)设P 是数域,1110{()|,0,1,2,,}n n n n i V f x a x a x a x a a P i n --==++++∈= .(1)证明V 关于多项式的加数乘多项式构成数域P 上的线性空间.(2)(),f x V ∀∈规定:()().'(),A f x f x x f x - 证明A 是V 的线性变换.(3)求线性变换A 在基21,,,,n x x x 上的矩阵.4.(20)设A 是n n ⨯阶复矩阵，0,k A =123,,,,r λλλλ 是A 的所有非零的特征值，(1)证明E A -是可逆矩阵，并求1()E A --. (2)求1()E A --的所有特征值.5.(20)设A 是n 阶正定矩阵，B 是n 阶半正定矩阵，（1）证明1A -是n 阶正矩阵；（2）求实的可逆矩阵T ，使得1210000'()00n a a T A B T a -⎛⎫ ⎪ ⎪+= ⎪ ⎪⎝⎭ (0,1,2,,.ia i n >= )是对角矩阵，并说明主对角线上的元素6.(20)设()ij A a =是n 阶矩阵，1()nii i Tr A a ==∑是主对角线上的元素之和，22P ⨯表示数域P 上所有2阶构成的集合，22,A P ⨯∀∈规定:()f A Tr A ，(1)证明f 是线性空间22P ⨯线性函数.(2)1112212210000000,,,00011001E E E E ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭是22P ⨯的一组基.求22P ⨯上的线性函数g ，使得11122122()2,()3,()4,() 1.g E g E g E g E ====-7.(20)设V 是数域P 上的线性变换，A 的最小多项式是2()23,m x x x KerA =--表示A 的核，Im A 表示A的值域，证明：(1)V 中存在一组基，使A 在这基下的矩阵是对角矩阵；(2)(3)Im()Ker A E A E -=+，其中E 是V 的恒等变换； (3)(3)()V Ker A E Ker A E =-⊕+2006年 高等代数1.(14)计算n 阶行列式:213141111222324221222331323334244142434421234n n n n n n n n n n na a a a a a x a a a a a a a a a a a x a a a a a a a x a a a D a a a a a a a a x a a a a a a a a a x a +++=++,其中120n x x x ≠…. 2.(20)设11112122122212(,,),(,,),(,,),n n r r r rn a a a a a a a a a ααα===…………且12,,αααr …线性无关,12(,,,)n b b b β=….证明:12,,,αααβr …线性相关的充分必要条件是:线性方程组111122121122221122000n n n n r r rn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩………的解都是方程11220n n b x b x b x +++=…的解.3.(24)R 是实数域,V 是线性方程组1234513451234512345242470224034440426340x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +-+-=⎧⎪+--=⎪⎨-++-=⎪⎪-++-=⎩的所有解构成的集合.(1)证明:V 是5R （列向量组成的空间）的子空间. (2)求V 的基个维数.(3)求V 的正交补V +的基与维数(5R 的内积(,)'αβαβ=).4.(32)设P 是数域,{()[]|()0()}.V f x P x f x f x n =∈=∂<或121210()n n n n f x a x a x a x a V ----∀=++++∈…，规定11:().n n A f x a x --(1)证明A 是V 的线性变换. (2)求A 在基12,,,,1n n x x x --…下的矩阵.(3)求A 在核10A -（）的基. (4)求A 的所有特征值和特征向量.5.(20)设P 是数域,,,.n n A B P C AB BA BC CB ⨯∈=-=，且 证明：(1)对大于1的自然数k,有1k k k A B B A kB C --=.(2)设()f λ是B 的特征多项式,'()f λ是()f λ的微商,则'()0f B C =.6.(20)R 实数域，n n A R ⨯∈,且A 是对称矩阵. (1)证明A 的伴随矩阵*A 也是实对称矩阵.(2)试问A 与*A 合同的充分必要条件是什么?并证明你的结论.7.(20)设V 是数域P 上的n 维线性空间,n r r εεεεε,,,121 +，，，是V 的基,),,(),(12211n r r V L V εεεεε +==，，，.(1)证明:V 是12,V V 的直和(即12V V V =⊕); (2)设A 是1V 的线性变换,B 是2V 的线性变换,求V 的线性变换C ,使得1V 与2V 的不变子空间，并且C 在1V 与2V 上的限制分别是 12|,|C V A C V B ==2007年 高等代数1.(20)设)(x f 是非零复多项式,用)(x f '记)(x f 的微分(导数)多项式;设)(x d 是)(x f 与)(x f '的最大公因式,设整数1>m .证明:复数c 为)(x f 的m 重根的必要充分条件是c 为)(x d 的1-m 重根.请说明这里为什么要假设1>m ?2.(30)设A 是n m ⨯矩阵,设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n a a 1是线性方程组0=AX 的非零解.证明:(1)如果A 的任何列向量非零,则n a a ,,1 中至少两个非零.(2)如果的A 任何两个列向量线性无关,则n a a ,,1 中至少三个非零.(3)推广(1),(2),你得到什么结论?请证明你的结论.3.(30)对n m ⨯矩阵A ,记A '是A 的转置矩阵.(1)设A 是实矩阵,证明:实线性方程组0=AX 与实线性方程组0)(='X A A 同解.(2)证明:实矩阵A 的秩与A A '矩阵的秩相等.(3)在复数域,上述结论成立吗?为什么?(4)对复数域，你认为应如何修改断言(2)得到一个正确的断言?为什么?4.(20)设A 是实方阵,证明:如果下面三条中的任意两条成立,则另外一条也成立:(1) A 是正交矩阵; (2)A 是对称矩阵; (3) E A =2,其中E 表示单位矩阵.5.(20)已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=a b a b a A 0000的特征根为3,2,1,其中b a ,是实数.求b a ,,并求正交矩阵T 使得AT T '是对角矩阵,其对角线元素依次为3,2,1.6.(30)用C 表示复数域.设A 是n m ⨯复矩阵,设A 的特征多项式)()()(λλλg f A =∆,其中)(λf 与)(λg 互素.在n 维向量空间n C 中,设F 是齐次线性方程组0)(=⋅X A f 的解子空间,G 是齐次线性方程组0)(=⋅X A g 的解子空间,证明: (1) ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧∈⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧∈⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=n n n n n n C c c c c A f G C c c c c A g F 1111)(,)(; (2)G F C n ⊕=.2008年 高等代数1.(20)以下陈述是否正确?正确的请予以证明,不正确的请举反例(例子的正确性要求论证).(1)有理系数多项式)(x f ,如果在有理数域上不可约,则在任何数域上不可约.(2)两个有理系数多项式)(x f 与)(x g ,如果在有理数域上互素,则在任何数域上互素.{定义1 数域F 上的多项式)(x f 称为在上不可约.如果)(x f 次数大于0而且只要F 上的多项式)(x g 是)(x f 的因式,那么,)(x g 要么与)(x f 相伴,要么与1相伴.定义2 数域F 上的多项式)(x f 与)(x g 称为在F 上互素,如果它们在F 上的最大公因式与1相伴. }2.(20) (1)设B A ,都是n 阶方阵，且O AB =.证明:BA 的秩]2/[n ≤.其中]2/[n 表示不超过2/n 的最大整数(2)对于任意正整数n ,都存在n 阶方阵B A ,满足O AB =而BA 的秩]2/[n =.3.(30)令R 表示实数域,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=001000100A .(1)求实矩阵A 的实特征值和实特向量.(2)求3R 中所有的-A 不变子空间(实向量空间3R 的子空间U 称为不变的,如果U Au ∈，U u ∈∀,其中u 写为列向量).4.(30)(1)请叙述什么是实二次型?什么是化实二次型为平方和定理?什么是实二次型的惯性定理?(2)证明实二次型的惯性定理.5.(20)设n 维复向量空间V 的线性变换P 满足P P =2,证明:(1)KerP P V ⊕=Im ,其中P Im 表示P 的像子空间, KerP 表示P 核子空间.(2)像子空间维数trP P =Im dim ,其中trP 表示线性变换P 的迹,即P 的所有特征根(计重数)之和.6. (30)设n 2阶方阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=E E E E A ,其中E 是n 阶单位矩阵, (1)求A 的特征多项式. (2)求A 的极小多项式. (3) 求A 的约尔当标准形.2009年 高等代数1.(20)设n a a ,,1 是n 个复数,x 是复变元.求x 取哪些复数值时下述等式(等式左边是1+n 阶行列式)成立:011112122221221=n n n n n n n a a a x a a a x a a a x2.(20) 设)(x f 是n 次实系数多项式,设)(x f '是)(x f 的导数多项式,证明:(1)如果r 是)(x f 的m 重根,0>m ,则r 是)(x f '的1-m 重根(若r 是)(x f '的零重根,则表示r 不是)(x f '的根).(2)如果)(x f 的根都是实数,则)(x f '的根也都是实数.3.(20)设A 是秩为r 的n m ⨯阶矩阵,B 是非零的1⨯m 阶矩阵,考虑线性方程组B AX =,其中X 是变元n x x ,,1 的列向量.证明:(1)线性方程组B AX =的任意有限个解向量n X X ,,1 的向量组的秩1+-≤r n .(2)若线性方程组B AX =有解,则它有1+-r n 个解向量是线性无关的.4.(30)设C B A ,,都是n 阶方阵,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛O C B A 是分块构成的n 2阶方阵,其中右下块O 表示n 阶零方阵.(1)证明:)()(C rank B rank O C B A rank +≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛,这里)(B rank 表示B 矩阵的秩. (2)举例说明:(1)中的等号和不等号都可能成立.5.(30)设V 是有限维向量空间,设W U ,是V 两个字空间.(1)什么是U 与W 的和子空间W U +,请叙述关于W U +的维数公式.(2)证明关于和子空间的维数公式.6. (30)设A 是阶实矩阵,si r t +=λ是A 的特征根,其中s r ,是实数,i 是虚数单位.(1)证明:)(21A A '+的特征根都是实数,令n μμ≤≤ 1是)(21A A '+的全部特征根. (2)证明: n r μμ≤≤1.(3)你有类似估计s 的办法吗?2010年 高等代数1.(20)设F 是任意数域,][)(x F x p ∈.证明：)(x p 是不可约多项式当且仅当是)(x p 素多项式.2.(20) (1)设A 是n 阶方阵,E 是单位矩阵,0≠k .证明kA A =2当且仅当n kE A rank A rank =-+)()(.(2)证明:任意方阵可以表示为满秩矩阵和幂等矩阵的乘积.3.(20)设R 表示实数域,)(3R M V =表示所有33⨯实矩阵构成的向量空间.对给定的)(3R M A =定义在V 上的线性替换V V T A →：为BA AB B T A -=)(,对任意的)(3R M B =.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=200010000A ,求A T 的特征值和相应的特征子空间;并求此时A T 的极小多项式.4.(30)设有三元实二次型xz z y x z y x f 43),,(222+++=,并设z y x ,,满足1222=++z y x .试求f 的最大值和最小值,并求当z y x ,,取什么值时,f 分别达到最大值和最小值.5.(30)设R 是实数域,])1,0([1C V =是闭区间]1,0[上的连续可微函数的集合. V 在函数的加法和数乘函数的运算下是一个向量空间.(1)证明函数x e x h x x g x x f ===)(,2)(,cos )(在V 中线性无关.(2)任意给定0>n ,在V 中找出1+n 个线性无关的元素,并证明你的结论.(3)对某个m ,是否有V 和m R 同构,如果是,给出证明;如果不是,说明理由.6. (30)(1)设A 和B 均为n 阶复方阵,证明:A 与B 相似当且仅当作为-λ矩阵有A E -λ等价于B E -λ.(2)设B A ，都是3阶幂零矩阵,证明: A 相似于B 当且仅当A 与B 有相同的极小多项式.(3)试说明上述结论(2)对4阶幂零矩阵是否成立,为什么?。
2003-2013数二考研线性代数真题及答案合集
1 0 0 1 0 0 1 0 ， P2 = 0 0 1 ，则 A =（ 得单位矩阵。记 P 1 = 1 0 0 1 0 1 0
（A） P 2 1P （B） P 1 P 2
* −1
）
（C） P2 P 1
（D） P2 P 1
T
−1
（8） 设 A = (α 1 , α 2 , α 3 , α 4 ) 是 4 阶矩阵，A 为 A 的伴随矩阵。 若 (1 ,0,1,0) 是方程组 Ax = 0 的一个基础解系，则 A* x = 0 的基础解系可为（ （A） α 1 , α 3 （B） α 1 , α 2 ） （D） α 2 , α 3 , α 4
．
记
a1 b1 α = a 2 , β = b2 ． a b 3 3
（1）证明二次型 f 对应的矩阵为 2αα + ββ ；
T T
（2）若 α , β 正交且为单位向量，证明 f 在正交变换下的标准形为 2 y1 + y 2 ．
2 2
考研数学二(2003-2013) 线性代数历年真题及答案汇总
2013 7．设Ａ，Ｂ，Ｃ均为 n 阶矩阵，若ＡＢ＝Ｃ，且Ｂ可逆，则 （A）矩阵 C 的行向量组与矩阵 A 的行向量组等价． （B）矩阵 C 的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价． （C）矩阵 C 的行向量组与矩阵 B 的行向量组等价． （D）矩阵 C 的列向量组与矩阵 B 的列向量组等价． ( )
2 −1 . −1 2
(C )
1 −2 . −2 1
（14）设 3 阶矩阵 A 的特征值为 2,3, λ .若行列式 2 A = −48 ，则 λ = ___ . （22） （本题满分 12 分）
高等代数考研真题__第一章_多项式
第一章多项式1、（清华２000—20分）试求7次多项式()f x ，使()1f x +能被4(1)X −整除,而()1f x −能被4(1)X +整除。
2、（南航2001—20分）（1）设x 2−2px+2∣x 4+3x 2+px+q ，求p,q 之值。
（2）设f(x)，g(x)，h(x)∈R[x]，而满足以下等式（x 2+1)h(x)+(x −1)f(x)+(x −2)g(x)=0（x 2+1)h(x)+(x+1)f(x)+(x+2)g(x)=0证明：x 2+1∣f(x)，x 2+1∣g(x)3、（北邮2002—12分）证明：x d −1∣x n −1的充分必要条件是d ∣n （这里里记号d ∣n 表示正整数d 整除正整数n ）。
4、、（北邮2003—15分）设在数域P 上的多项式g 1(x)，g 2(x )，g 3(x )，f(x),已知g 1(x)∣f(x)，g 2(x)∣f(x)，g 3(x)∣f(x)，试问下列命题是否成立，并说明理由：（1）如果g 1(x)，g 2(x)，g 3(x)两两互素，则一定有g 1(x)，g 2(x)，g 3(x)∣f(x)（2）如果g 1(x)，g 2(x)，g 3(x)互素，则一定有g 1(x)g 2(x)g 3(x)∣f(x)5、（北师大2003—25分）一个大于1的整数若和其因子只有1和本身，则称之为素数。
证明P 是素数当且仅当任取正整数a，b 若p∣ab 则p∣a 或p∣b。
6、（大连理工2003—12分）证明：次数>0且首项系数为1的多项式f(x)是某一不可约多项式的方幂主充分必要条件是，对任意的多项式g(x)，h(x)，由f(x)∣g(x)h(x)可以推出f(x)∣g(x)，或者对某一正整数m ，f(x)∣h m (x)。
7、（厦门2004—16分）设f(x)，g(x)是有理数域上的多项式，且f(x)在有理数域上不可约。
若存在数α使得f(α)=g(α)=0，则f(x)∣g(x)。
上海理工大学高等代数试卷9
上海理工大学研究生试题/学年第 1 学期课程名称：高等代数教师签章：年月日教研室主任审查意见：签章：年月日1.编号栏由研究生部填写。
上海理工大学研究生课程试题*/ 学年第 1学期 考试课程 高等代数 学 号 姓 名 得 分一、 已知实二次型323121232221321444444),,(x tx x x x x x x x x x x f +-----=（1）假设),,(321x x x f 是负定二次型，求t 的值；（2）当1-=t 时，试用非退化线性变换化此二次型为标准形并写出所用的线性变换的矩阵. （16分）二、设A 是一个8阶方阵，它的8个不变因子为1，1，1，1，1，1+λ，1+λ，32)3)(2()1(+-+λλλ，求A 的所有的初等因子及A 的若当标准形. （12分）三、设123,,ααα是3维欧氏空间V 的一组基，这组基的度量矩阵为112121216-⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭（1）令12γαα=+，证明γ是一个单位向量； （2）若123k βααα=++与γ正交，求k .（15分）四、已知⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈⎪⎪⎭⎫⎝⎛=R b a b a W ,|001,⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=R c a c a W 11112,|00是22⨯R 的两个子空间， 求2121,W W W W +⋂的一个基和维数. （15分）五、V 为定义在实数域上的函数构成的线性空间，令12{()(),()()},{()(),()()}W f x f x V f x f x W f x f x V f x f x =∈=-=∈=--证明：W 1、W 2皆为V 的子空间，且21W W V ⊕=.（15分）六、设V 是数域P 上的一个三维空间，,,123ξξξ是它的一组基，f 是V 的一个线性函数，已知()1,(2)11321f f ξξξξ+=-=-，()312f ξξ+=-,求()112233f x x x ξξξ++.（12分）*注：考题全部写在框内，不要超出边界。
高等代数考研真题 第一章 多项式
第一章 多项式1、（清华２000—20分）试求7次多项式()f x ，使()1f x +能被4(1)X -整除,而()1f x -能被4(1)X +整除。
2、（南航2001—20分）（1）设x 2-2px+2∣x 4+3x 2+px+q ，求p,q 之值。
（2）设f(x)，g(x)，h(x)∈R[x]，而满足以下等式（x 2+1)h(x)+(x -1) f(x)+ (x -2) g(x)=0（x 2+1)h(x)+(x+1) f(x)+ (x+2) g(x)=0证明：x 2+1∣f(x)，x 2+1∣g(x)3、（北邮2002—12分）证明：x d -1∣x n-1的充分必要条件是d ∣n （这里里记号d ∣n 表示正整数d 整除正整数n ）。
4、、（北邮2003—15分）设在数域P 上的多项式g 1(x)，g 2(x)，g 3(x)，f(x),已知g 1(x)∣f(x)，g 2(x)∣f(x)， g 3(x)∣f(x)，试问下列命题是否成立，并说明理由：（1）如果g 1(x)，g 2(x)， g 3(x)两两互素，则一定有g 1(x)，g 2(x)，g 3(x)∣f(x) （2）如果g 1(x)，g 2(x)， g 3(x)互素，则一定有g 1(x)g 2(x)g 3(x)∣f(x) 5、（北师大2003—25分）一个大于1的整数若和其因子只有1和本身，则称之为素数。
证明P 是素数当且仅当任取正整数a ，b 若p ∣ab 则p ∣a 或p ∣b 。
6、（大连理工2003—12分）证明：次数>0且首项系数为1的多项式f(x)是某一不可约多项式的方幂主充分必要条件是，对任意的多项式g(x)，h(x) ，由f(x)∣g(x) h(x)可以推出f(x)∣g(x)，或者对某一正整数m ，f(x)∣h m(x)。
7、（厦门2004—16分）设f(x)，g(x)是有理数域上的多项式，且f(x)在有理数域上不可约。
高等代数考研试题及答案
高等代数考研试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列矩阵中，哪个不是可逆矩阵？A. [1, 2; 3, 4]B. [2, 0; 0, 1]C. [1, 1; 1, 1]D. [1, -1; 2, 2]2. 设线性变换 \( T: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3 \) 由矩阵 \( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \) 给出，那么 \( T(1, 2, 3) \) 的结果是：A. (3, 5, 3)B. (5, 3, 3)C. (1, 2, 3)D. (2, 3, 1)3. 多项式 \( p(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6 \) 的根的个数是：A. 1B. 2C. 3D. 44. 设 \( V \) 是所有 \( n \) 次多项式的向量空间，\( T: V\rightarrow V \) 是一个线性变换，且 \( T(p(x)) = p'(x) \)。
如果 \( T \) 的特征值为 \( k \)，那么 \( k \) 等于：A. 0B. 1C. -1D. \( n \)5. 下列哪个命题是正确的？A. 每个线性映射都可以用一个矩阵来表示。
B. 矩阵的乘积总是可交换的。
C. 两个相似矩阵必定是同阶矩阵。
D. 行列式的值总是正数或零。
6. 设 \( A \) 是一个 \( n \) 阶方阵，如果 \( A \) 的所有特征值的和等于 \( 0 \)，那么 \( A \) 必定是：A. 正交矩阵B. 对角矩阵C. 零矩阵D. 反对称矩阵7. 如果一个 \( n \) 阶方阵 \( A \) 的所有元素都等于 \( 1 \)，那么 \( A^n \) 的迹（trace）是：A. \( n \)B. \( n^n \)C. \( n! \)D. \( 0 \)8. 对于任意 \( n \) 阶方阵 \( A \)，下列哪个选项是正确的？A. \( \det(A^2) = (\det A)^2 \)B. \( \det(A^T) = \det A \)C. \( \det(A + I) = \det A + 1 \)D. \( \det(A) = \det(A^T) \)9. 设 \( V \) 是一个向量空间，\( T: V \rightarrow V \) 是一个线性变换，如果 \( T \) 的一个特征向量 \( v \) 满足 \( T(v) = \lambda v \)，那么 \( T \) 的逆变换 \( T^{-1} \)（如果存在）将 \( v \) 映射到：A. \( \lambda^{-1} v \)B. \( \frac{1}{\lambda} v \)C. \( v \)D. \( v + \lambda v \)10. 下列哪个矩阵是正交矩阵？A. \( \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \)B. \( \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} \)C. \( \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} \)D. \( \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} \)二、填空题（每题4分，共20分）11. 矩阵 \( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \) 的行列式 \( \det A \) 等于 _______。
2003考研数四真题及解析
2003年全国硕士研究生入学统一考试数学四试题一、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. (1)极限xx x 20)]1ln(1[lim ++→=. (2)dx ex x x⎰--+11)(=.(3)设0a >，，x a x g x f 其他若,10,0,)()(≤≤⎩⎨⎧==而D 表示全平面，则I (4)设,A (A (5)设n A =其中(6)(1)曲线(A)(C)(2)(A)(C)(3)设可微函数(,)f x y 在点),(00y x 取得极小值，则下列结论正确的是()(A)),(0y x f 在0y y =处的导数等于零.(B)),(0y x f 在0y y =处的导数大于零. (C)),(0y x f 在0y y =处的导数小于零.(D)),(0y x f 在0y y =处的导数不存在.(4)设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=001010100B .已知矩阵A 相似于B ，则秩(2)A E -与秩()A E -之和等于() (A)2.(B)3.(C)4.(D)5.(5)对于任意二事件A 和B ()(A)若φ≠AB ，则,A B 一定独立.(B)若φ≠AB ，则,A B 有可能独立. (C)若φ=AB ，则,A B 一定独立.(D)若φ=AB ，则,A B 一定不独立. (6)设随机变量X 和Y 都服从正态分布，且它们不相关，则()(A)X 与Y 一定独立.(B)(X ,Y )服从二维正态分布. (C)X 与Y 未必独立.(D)X +Y 服从一维正态分布. 三、(本题满分8分)设).1,1[,111)(∈-+=x x f 试补充定义(1)f 使得()f x 在]1,1[上连续.四、(设f 求22x g +∂∂五、(六、(设a 七、(设y C 为M 在x ()f x 的表达式.八、(试求(1) t 时的商品剩余量，并确定k 的值；(2) 在时间段[0,]T 上的平均剩余量. 九、(本题满分13分)设有向量组(I)：T )2,0,1(1=α，T )3,1,1(2=α，T a )2,1,1(3+-=α和向量组(II)：Ta )3,2,1(1+=β，T a )6,1,2(2+=β，.)4,1,2(3T a +=β试问：当a 为何值时，向量组(I)与(II)等价？当a 为何值时，向量组(I)与(II)不等价？十、(本题满分13分)设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=a A 11121112可逆，向量⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=11b α是矩阵*A 的一个特征向量，λ是α对应的特征值，其中*A 是矩阵A 的伴随矩阵.试求,a b 和λ的值. 十一、(本题满分13分)设随机变量X 的概率密度为()F X 是X 的分布函数.求随机变量()Y F X =的分布函数.十二、(本题满分13分)称作事件(1) (2) (1)【详解】形式：方法2：ln(1)x +(2)【详解】102x xde -=-⎰112[]xx xe e dx --=--⎰=)21(21--e ． (3)【答案】2a【详解】本题积分区域为全平面，但只有当10,10≤-≤≤≤x y x 时，被积函数才不为零，则二重积分只需在积分区域与被积函数不为零的区域的公共部分商积分即可，因此实际上只需在满足此不等式的区域内积分即可．⎰⎰-=Ddxdy x y g x f I )()(=20101x y x a dxdy ≤≤≤-≤⎰⎰=1120x x a dx dy +⎰⎰1220[(1)]a x x dx a =+-=⎰(4)【答案】⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001010100 【详解】应先化简，从2AB A B =+中确定1)(--E A ．⇒E E B E A 2)2)((=--⇒E E B E A =-⋅-)2(21)(，所以1)(--E A =)2(21E B -=⎥⎥⎤⎢⎢⎡010100． (5)【详解】由题设，有于是有-(6)【详解】cov(,)212XY X Y ρ==⨯=．所以222()()[()]()()E X Y D X Y E X Y D X Y EX EY +=+++=+++ 方法2：由数学期望的线性可加性()()()E aX bY aE X bE Y +=+得：再利用()()()(,)E XY Cov X Y E X E Y =+⋅，得由方差定义的公式，有22()()[()]D X E X E X =-202,=-=同理()2D Y =， 再由相关系数的定义XY ρ=得，cov(,)XY X Y ρ=二、选择题 (1)【答案】()D【分析】按照铅直、水平、斜渐近线三种情况分别考虑：先考虑是否有水平渐近线：lim (),()x f x c c →±∞=为常数，y c =为曲线的一条水平渐近线；若无水平渐近线应进一步考虑是否存在斜渐近线：()()lim,lim [()]x x x x x x yk b f x kx x →∞→∞→+∞→+∞→-∞→-∞==-，y kx b =+为曲线的一条斜渐近线；【详解】2．x 2201lim u u u u →3．故曲线y =(2)由于故应选()A ． (3)【答案】()A【详解】由函数(,)f x y 在点),(00y x 处可微，知函数(,)f x y 在点),(00y x 处的两个偏导数都存在，又由二元函数极值的必要条件即得(,)f x y 在点),(00y x 处的两个偏导数都等于零．从而有 选项()A 正确． (4)【答案】(C)【分析】利用相似矩阵有相同的秩计算，秩(2)A E -与秩()A E -之和等于秩(2)B E -与秩()B E -之和．【详解】因为矩阵A 相似于B ，又1B P AP -=，所以()111222P A E P P AP P EP B E ----=-=-，于是，矩阵(2)A E -与矩阵(2)B E -相似.同理有所以，矩阵A E -与矩阵B E -相似.又因为相似矩阵有相同的秩，而秩(2)B E -=秩3201010102=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---，秩()B E -=秩1101000101=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--， 所以有(5)当P ≠∅．可见，当A AB 若，(D)也不(6)①若X Y 与②若③若(,)X Y 服从二维正态分布，则X Y 与相互独立⇔X Y 与不相关．【详解】只有当(,)X Y 服从二维正态分布时，X Y 与不相关⇔X Y 与独立，本题仅仅已知X Y 与服从正态分布，因此，由它们不相关推不出X Y 与一定独立，排除(A);若X Y 与都服从正态分布且相互独立，则(,)X Y 服从二维正态分布，但题设并不知道,X Y 是否独立，可排除(B);同样要求X Y 与相互独立时，才能推出X Y +服从一维正态分布，可排除(D)．故正确选项为(C)．三【详解】为使函数()f x 在1[,1]2上连续，只需求出函数()f x 在1x =的左极限)(lim 1x f x -→，然后定义(1)f 为此极限值即可．令1u x =-，则当1x -→时，0u +→，所以定义π1)1(=f ，从而有11lim ()(1)x f x f π-→==，()f x 在1x =处连续．又()f x 在)1,21[上连续，所以()f x 在]1,21[上连续． 四【详解】由复合函数[(,),(,)]z f x y x y ϕψ=的求导法则，得 从而所以22g x ∂∂五记A 0⎰=因此=A 六0，得唯一驻点求(t 当e e 时，l n l n a <e11-=为七【分析】梯形OCMA 的面积可直接用梯形面积公式计算得到，曲边三角形CBM 的面积可用定积分计算，再由题设，梯形OCMA 的面积与曲边三角形CBM 的面积之和为3163+x ，可得一含有变限积分的等式，两边求导数，可转化为一阶线性微分方程，然后用通解公式计算即可． 【详解】由题意得1[1()]2OCMA S x f x =+，1()CBM x S f t dt =⎰ 所以316)()](1[213+=++⎰x x dt t f x f x ．两边关于x 求导2111[1()]()()222f x xf x f x x '++-=，即21()()2().f x xf x f x x '++-= 化简，当0≠x 时，得211()()x f x f x x x -'-=，即211.dy x y dx x x--⋅= 利用一阶线性非齐次微分方程()()dyP x y Q x dx+=的通解公式 所以此方程为标准的一阶线性非齐次微分方程，其通解为y曲线过点八再T (2)dt t y )(表示(函数⎰=T dt t y T y 0)(1=2-20011()()()22TT A A A T A t dt At t T T T T T T T -=-=-⎰牛莱公式=.2A 因此在时间段[0,]T 上的平均剩余量为.2A九【分析】两个向量组等价也即两个向量组可以相互线性表示；而两个向量组不等价，只需其中一组有一个向量不能由另一组线性表示即可．而线性表示问题又可转化为对应非齐次线性方程组是否有解的问题，这可通过化增广矩阵为阶梯形来判断．一个向量1β是否可由321,,ααα线性表示，只需用初等行变换化增广矩阵(1321,,βααα)为阶梯形讨论，而一组向量321,,βββ是否可由321,,ααα线性表示，则可结合起来对矩阵(321321,,,,βββααα)同时作初等行变换化阶梯形，然后类似地进行讨论即可．【详解】矩阵(321321,,,,βββααα)作初等行变换，有),,,,(321321βββααα =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++++-463232112110221111a a a a(第一行乘以-1加到第三行，第二行乘以-1加到第三行)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+-+--→111100112110111201a a a a ．(1)方程组11+x x α量组(I)(2)1β不能由21,,ααα(1)3等价，即向量组(2)可见2),,(321=αααr ≠1231(,,,)r αααβ=3，因此线性方程组1332211βααα=++x x x 无解，故向量1β不能由321,,ααα线性表示．即向量组(I)与(II)不等价．【评注2】向量组(I)与(II)等价，相当于321,,ααα与321,,βββ均为整个向量组321321,,,,,βββααα的一个极大线性无关组，问题转化为求向量组321321,,,,,βββααα的极大线性无关组，这可通过初等行变换化阶梯形进行讨论．十【分析】题设已知特征向量，应想到利用定义：λαα=*A .又与伴随矩阵*A 相关的问题，应利用EA AA =*进行化简．【详解】矩阵*A 属于特征值λ的特征向量为α，由于矩阵A 可逆，故*A 可逆．于是0≠λ，0≠A ，且λαα=*A ．两边同时左乘矩阵A ，得αλαA AA =*⇒αλαAA =，即⎥⎥⎤⎢⎢⎡=⎥⎥⎤⎢⎢⎡⎥⎥⎤⎢⎢⎡11121112b A b λ， 由式(1)因此根据(1)所以，当【评注】见到*A ，十一设G )1,0[∈y ，有十二【分析】A 和B 独立的充要条件是{}{}{}P AB P A P B =⋅，由此可以直接证明问题(1)；对于问题(2)，应先构造随机变量，不难看出与事件A 和A 联系的应是随机变量 随机变量X 和Y 的相关系数为XY E XY E X E Y ρ-==，需将P AB P A P B ρ-=转化为用随机变量表示.显然，若有(){}E XY P AB =，(){}(){},E X P A E Y P B ====即可，这只需定义【详解】(1)由题给ρ的定义，可见0=ρ当且仅当{}{}{}0P AB P A P B ==，而这恰好是二事件A 和B 独立的定义，即0=ρ是A 和B 独立的充分必要条件．(2)考虑随机变量X 和Y :由条件知，X 和Y 都服从01-分布：01⎛⎫01⎛⎫易见(E 1ρ≤。
2003年数一真题、标准答案及解析(超强版)
2003年全国硕士研究生入学(rù xué)统一考试数学一真题一、填空题（本题(běntí)共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案(dáàn)填在题中横线上）（1） = .（2）曲面(qūmiàn)与平面(píngmiàn)平行的切平面的方程是 .（3）设，则= .（4）从的基到基的过渡矩阵为 .（5）设二维随机变量(X,Y)的概率密度为则.（6）已知一批零件的长度X (单位：cm)服从正态分布，从中随机地抽取16个零件，得到长度的平均值为40 (cm)，则的置信度为0.95的置信区间是 .(注：标准正态分布函数值二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（1）设函数f(x)在内连续，其导函数的图形如图所示，则f(x)有(A)一个极小值点和两个极大值点.(B)两个极小值点和一个极大值点.(C)两个极小值点和两个极大值点.(D) 三个极小值点和一个极大值点. [ ]yO x（2）设均为非负数列(shùliè)，且,,,则必有(A) 对任意(rènyì)n成立. (B) 对任意(rènyì)n成立.(C) 极限(jíxiàn)不存在(cúnzài). (D) 极限不存在. [ ]（3）已知函数f(x,y)在点(0,0)的某个邻域内连续，且，则(A) 点(0,0)不是f(x,y)的极值点.(B) 点(0,0)是f(x,y)的极大值点.(C) 点(0,0)是f(x,y)的极小值点.(D) 根据所给条件无法判断点(0,0)是否为f(x,y)的极值点. [ ]（4）设向量组I：可由向量组II：线性表示，则(A) 当时，向量组II必线性相关. (B) 当时，向量组II必线性相关.(C) 当sr>时，向量组I必线性相关.r<时，向量组I必线性相关. (D) 当s[ ]（5）设有齐次线性方程组Ax=0和Bx=0, 其中A,B均为矩阵，现有4个命题：①若Ax=0的解均是Bx=0的解，则秩(A)秩(B)；②若秩(A)≥秩(B)，则Ax=0的解均是Bx=0的解；③若Ax=0与Bx=0同解，则秩(A)=秩(B)；④若秩(A)=秩(B)，则Ax=0与Bx=0同解.以上命题中正确的是(A) ①②. (B) ①③.(C) ②④. (D) ③④. [ ]（6）设随机变量，则(A) . (B) .(C) . (D) . [ ]三、（本题(běntí)满分10分）过坐标原点作曲线y=lnx的切线，该切线与曲线y=lnx及x轴围成平面(píngmiàn)图形D.(1)求D的面积(miàn jī)A;(2)求D绕直线x=e旋转一周(yī zhōu)所得旋转体的体积V.四、（本题(běntí)满分12分）将函数展开成x的幂级数，并求级数的和.五、（本题满分10分）已知平面区域，L为D的正向边界. 试证：(1) ;(2)六、（本题满分10分）某建筑工程打地基时，需用汽锤将桩打进土层. 汽锤每次击打，都将克服土层对桩的阻力而作功. 设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比（比例系数为k,k>0）.汽锤第一次击打将桩打进地下a m. 根据设计方案，要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数r(0<r<1). 问(1) 汽锤击打桩3次后，可将桩打进地下多深？(2) 若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下多深？（注：m表示长度单位米.）七、（本题(běntí)满分12分）设函数(hánshù)y=y(x)在)-∞内具有(jùyǒu)二阶导数，且是y=y(x)的,(+∞反函数.(1) 试将x=x(y)所满足(mǎnzú)的微分方程变换(biànhuàn)为y=y(x)满足的微分方程；(2) 求变换后的微分方程满足初始条件的解.八、（本题满分12分）设函数f(x)连续且恒大于零，，，其中，(1) 讨论F(t)在区间内的单调性.(2) 证明当t>0时，九、（本题满分10分）设矩阵，，，求B+2E的特征值与特征向量，其中为A的伴随矩阵，E为3阶单位矩阵.十、（本题满分8分）已知平面上三条不同直线的方程分别为，，.试证这三条直线交于一点的充分必要条件为十一、（本题(běntí)满分10分）已知甲、乙两箱(liǎnɡ xiānɡ)中装有同种产品，其中甲箱中装有3件合格品和3件次品，乙箱中仅装有3件合格品. 从甲箱中任取3件产品放入乙箱后，求：(1) 乙箱中次品件数的数学(shùxué)期望；(2) 从乙箱中任取一件产品(chǎnpǐn)是次品的概率.十二(shíèr) 、（本题满分8分）设总体X的概率密度为其中是未知参数. 从总体X中抽取简单随机样本，记(1)求总体X的分布函数F(x);(2)求统计量的分布函数；(3)如果用 ˆ作为的估计量，讨论它是否具有无偏性.2003年考研数学(sh ùxu é)一真题评注一、填空题（本题共6小题(xi ǎo t í)，每小题4分，满分24分. 把答案(d á àn)填在题中横线上）（1） )1ln(12)(cos lim x x x +→ =.【分析(f ēnx ī)】型未定式，化为指数函数(zh ǐ sh ù h án sh ù)或利用公式=进行计算求极限均可.【详解1】 )1ln(12)(cos lim x x x +→=,而 ，故原式=【详解2】 因为，所以原式=.121ee=-（2） 曲面22y x z +=与平面042=-+z y x 平行的切平面的方程是.【分析】 待求平面的法矢量为，因此只需确定切点坐标即可求出平面方程,而切点坐标可根据曲面22y x z +=切平面的法矢量与}1,4,2{-=n平行确定.【详解】 令，则，，.设切点坐标为，则切平面的法矢量为 ，其与已知平面042=-+z y x 平行，因此有，可解得 ，相应地有故所求的切平面方程为，即 542=-+z y x .（3） 设)(cos 02ππ≤≤-=∑∞=x nx a x n n ，则2a = 1 .【分析(f ēnx ī)】 将展开(zh ǎn k āi)为余弦级数)(cos 02ππ≤≤-=∑∞=x nx a x n n ，其系数(x ìsh ù)计算公式为.【详解(xi án ɡ ji ě)】 根据余弦级数(j í sh ù)的定义，有===1.【评注】 本题属基本题型，主要考查傅里叶级数的展开公式，本质上转化为定积分的计算.（4）从2R 的基⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11,0121αα到基⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21,1121ββ的过渡矩阵为.【分析】 n 维向量空间中，从基到基的过渡矩阵P 满足[n βββ,,,21 ]=[n ααα,,,21 ]P ，因此过渡矩阵P 为：P=[[.【详解】根据定义，从2R 的基⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11,0121αα到基⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21,1121ββ的过渡矩阵为 P=[[.=（5）设二维随机变量(X,Y)的概率密度为，y x x y x f 其他,10,0,6),(≤≤≤⎩⎨⎧=则=≤+}1{Y X P.【分析(f ēnx ī)】 已知二维随机变量(X,Y)的概率密度f(x,y)，求满足一定(y īd ìng)条件的概率，一般(y īb ān)可转化为二重积分}),({0z Y X g P ≤=进行(j ìnx íng)计算.【详解(xi án ɡ ji ě)】 由题设，有 =≤+}1{Y X P=y1 DO 1 x【评注】 本题属基本题型，但在计算二重积分时，应注意找出概率密度不为零与满足不等式的公共部分D ，再在其上积分即可.（6）已知一批零件的长度X (单位：cm)服从正态分布)1,(μN ，从中随机地抽取16个零件，得到长度的平均值为40 (cm)，则μ的置信度为0.95的置信区间是.(注：标准正态分布函数值.)95.0)645.1(,975.0)96.1(=Φ=Φ【分析(fēnxī)】已知方差(fānɡ chà)，对正态总体(zǒngtǐ)的数学期望μ进行估计(gūjì)，可根据，由确定(quèdìng)临界值，进而确定相应的置信区间.【详解】由题设，，可见于是查标准正态分布表知本题n=16, , 因此，根据，有，即，故μ的置信度为0.95的置信区间是51.,( .394049).二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（1）设函数f(x)在)-∞内连续，其导函数的图形如图所示，则f(x)有,(+∞(D)一个极小值点和两个极大值点.(E)两个极小值点和一个极大值点.(F)两个极小值点和两个极大值点.(D) 三个极小值点和一个极大值点. [ C ]yO x【分析(f ēnx ī)】 答案与极值点个数有关，而可能的极值点应是导数(d ǎo sh ù)为零或导数不存在的点，共4个，是极大值点还是极小值可进一步由取极值的第一或第二充分条件判定.【详解(xi án ɡ ji ě)】 根据导函数的图形可知，一阶导数为零的点有3个，而 x=0 则是导数不存在的点. 三个一阶导数为零的点左右两侧导数符号不一致，必为极值点，且两个(li ǎn ɡ ɡè)极小值点，一个极大值点；在x=0左侧一阶导数为正，右侧一阶导数为负，可见x=0为极大值点，故f(x)共有两个极小值点和两个极大值点，应选(C).【评注(p íngzh ù)】 本题属新题型，类似考题2001年数学一、二中曾出现过，当时考查的是已知f(x)的图象去推导的图象，本题是其逆问题.（2）设}{},{},{n n n c b a 均为非负数列，且0lim =∞→n n a ,1lim =∞→n n b ,∞=∞→n n c lim ,则必有 (A) n n b a <对任意n 成立. (B) n n c b <对任意n 成立. (C) 极限n n n c a ∞→lim 不存在. (D) 极限n n n c b ∞→lim 不存在. [ D ]【分析】 本题考查极限概念，极限值与数列前面有限项的大小无关，可立即排除(A),(B)； 而极限n n n c a ∞→lim 是型未定式，可能存在也可能不存在，举反例说明即可；极限n n n c b ∞→lim 属型，必为无穷大量，即不存在.【详解】 用举反例法，取，，，则可立即排除(A),(B),(C)，因此正确选项为(D).【评注】 对于不便直接证明的问题，经常可考虑用反例，通过排除法找到正确选项. （3）已知函数f(x,y)在点(0,0)的某个邻域内连续，且1)(),(lim 2220,0=+-→→y x xyy x f y x ，则(A) 点(0,0)不是(b ù shi)f(x,y)的极值点. (B) 点(0,0)是f(x,y)的极大值点. (C) 点(0,0)是f(x,y)的极小值点.(D) 根据所给条件无法(w úf ǎ)判断点(0,0)是否为f(x,y)的极值点. [ A ] 【分析(f ēnx ī)】 由题设，容易(r óngy ì)推知f(0,0)=0，因此点(0,0)是否为f(x,y)的极值，关键看在点(0,0)的充分小的邻域内f(x,y)是恒大于零、恒小于零还是变号.【详解(xi án ɡ ji ě)】 由 1)(),(lim 2220,0=+-→→y x xyy x f y x 知，分子的极限必为零，从而有f(0,0)=0, 且充分小时），于是可见当y=x 且充分小时，；而当y= -x 且x 充分小时，. 故点(0,0)不是f(x,y)的极值点，应选(A).【评注】 本题综合考查了多元函数的极限、连续和多元函数的极值概念，题型比较新，有一定难度. 将极限表示式转化为极限值加无穷小量，是有关极限分析过程中常用的思想.（4）设向量组I ：r ααα,,,21 可由向量组II ：s βββ,,,21 线性表示，则 (A) 当s r <时，向量组II 必线性相关. (B) 当s r >时，向量组II 必线性相关. (C) 当s r <时，向量组I 必线性相关. (D) 当s r >时，向量组I 必线性相关. [ D ]【分析】 本题为一般教材上均有的比较两组向量个数的定理：若向量组I ：r ααα,,,21 可由向量组II ：s βββ,,,21 线性表示，则当s r >时，向量组I 必线性相关. 或其逆否命题：若向量组I ：r ααα,,,21 可由向量组II ：s βββ,,,21 线性表示，且向量组I 线性无关，则必有. 可见正确选项为(D). 本题也可通过举反例用排除法找到答案.【详解(xi án ɡ ji ě)】 用排除法：如，则，但线性无关(w úgu ān)，排除(A)；，则可由线性表示(bi ǎosh ì)，但1β线性无关(w úgu ān)，排除(B)；，可由21,ββ线性表示(bi ǎosh ì)，但1α线性无关，排除(C). 故正确选项为(D).【评注】 本题将一已知定理改造成选择题，如果考生熟知此定理应该可直接找到答案，若记不清楚，也可通过构造适当的反例找到正确选项.（5）设有齐次线性方程组Ax=0和Bx=0, 其中A,B 均为n m ⨯矩阵，现有4个命题： ① 若Ax=0的解均是Bx=0的解，则秩(A)≥秩(B)； ② 若秩(A)≥秩(B)，则Ax=0的解均是Bx=0的解； ③ 若Ax=0与Bx=0同解，则秩(A)=秩(B)； ④ 若秩(A)=秩(B)， 则Ax=0与Bx=0同解. 以上命题中正确的是(A) ① ②. (B) ① ③.(C) ② ④. (D) ③ ④. [ B ]【分析】 本题也可找反例用排除法进行分析，但① ②两个命题的反例比较复杂一些，关键是抓住③ 与 ④，迅速排除不正确的选项.【详解】 若Ax=0与Bx=0同解，则n-秩(A)=n - 秩(B), 即秩(A)=秩(B)，命题③成立，可排除(A),(C)；但反过来，若秩(A)=秩(B)， 则不能推出Ax=0与Bx=0同解，如，，则秩(A)=秩(B)=1，但Ax=0与Bx=0不同解，可见命题④不成立，排除(D),故正确选项为(B).【例】 齐次线性方程组Ax=0与Bx=0同解的充要条件 (A) r(A)=r(B). (B) A,B 为相似矩阵.(C) A, B 的行向量组等价(d ěngji à). (D) A,B 的列向量组等价. [ C ] 有此例题为基础，相信考生能迅速(x ùn s ù)找到答案.（6）设随机变量(su í j ī bi àn li àn ɡ)21),1)((~XY n n t X =>，则 (A) )(~2n Y χ. (B) )1(~2-n Y χ.(C) )1,(~n F Y . (D) ),1(~n F Y . [ C ] 【分析(f ēnx ī)】 先由分布(f ēnb ù)的定义知，其中，再将其代入，然后利用F 分布的定义即可.【详解】 由题设知，nV U X =，其中)(~),1,0(~2n V N U χ，于是21X Y ==，这里，根据F 分布的定义知故应选(C).【评注】 本题综合考查了t 分布、分布和F 分布的概念，要求熟练掌握此三类常用统计量分布的定义.三 、（本题满分10分）过坐标原点作曲线y=lnx 的切线，该切线与曲线y=lnx 及x 轴围成平面图形D. (3) 求D 的面积A;(4) 求D 绕直线x=e 旋转一周所得旋转体的体积V.【分析(f ēnx ī)】 先求出切点坐标及切线方程，再用定积分求面积A; 旋转体体积可用一大立体（圆锥）体积减去一小立体体积进行计算(j ì su àn)，为了帮助理解，可画一草图.【详解(xi án ɡ ji ě)】 (1) 设切点(qi ēdi ǎn)的横坐标为，则曲线(q ūxi àn)y=lnx 在点处的切线方程是由该切线过原点知 ，从而所以该切线的方程为平面图形D 的面积（2） 切线与x 轴及直线x=e 所围成的三角形绕直线x=e 旋转所得的圆锥体积为曲线y=lnx 与x 轴及直线x=e 所围成的图形绕直线x=e 旋转所得的旋转体体积为，因此所求旋转体的体积为y 1DO 1 e x【评注】 本题不是求绕坐标轴旋转的体积，因此不能直接套用现有公式. 也可考虑用微元法分析.四 、（本题满分12分）将函数(h ánsh ù)x xx f 2121arctan )(+-=展开(zh ǎn k āi)成x 的幂级数，并求级数∑∞=+-012)1(n n n 的和.【分析(f ēnx ī)】 幂级数展开有直接法与间接法，一般考查(k ǎoch á)间接法展开，即通过适当的恒等变形、求导或积分等，转化为可利用已知幂级数展开的情形.本题可先求导，再利用函数的幂级数展开(zh ǎn k āi)即可，然后取x 为某特殊值，得所求级数的和.【详解】 因为又f(0)=, 所以=因为级数∑∞=+-012)1(n nn 收敛，函数f(x)在处连续，所以令21=x ，得 ,再由，得五 、（本题满分10分）已知平面区域}0,0),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ，L 为D 的正向边界. 试证： (1) dx ye dy xe dx ye dy xe x Ly x Ly sin sin sin sin -=-⎰⎰--;(2) .22sin sin π≥--⎰dx ye dy xe x Ly【分析(f ēnx ī)】 本题边界曲线为折线段，可将曲线积分直接化为定积分证明，或曲线为封闭正向曲线，自然可想到用格林公式(g ōngsh ì)；(2)的证明应注意用(1)的结果.【详解(xi án ɡ ji ě)】 方法(f āngf ǎ)一： (1) 左边(zu ǒ bian)==，右边==⎰-+ππ0sin sin )(dx e e x x ，所以 dx ye dy xe dx ye dy xe x Ly x Ly sin sin sin sin -=-⎰⎰--.(2) 由于，故由（1）得方法二：（1） 根据格林公式，得， .因为D 具有轮换对称性，所以=，故 dx ye dy xe dx ye dy xe x Ly x Ly sin sin sin sin -=-⎰⎰--.(2) 由(1)知⎰⎰⎰--+=-Dx y x Lydxdy e e dx ye dy xe)(sin sin sin sin==（利用轮换对称性）=【评注(píngzhù)】本题方法一与方法二中的定积分与二重积分是很难直接计算出来的，因此期望通过计算出结果去证明恒等式与不等式是困难的. 另外，一个题由两部分构成时，求证第二部分时应首先想到利用第一(dìyī)部分的结果，事实上，第一部分往往是起桥梁作用的.六、（本题(běntí)满分10分）某建筑工程打地基时，需用汽锤将桩打进土层. 汽锤每次击打，都将克服土层对桩的阻力(zǔlì)而作功. 设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比（比例系数为k,k>0）.汽锤第一次击打将桩打进地下a m. 根据设计方案，要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数r(0<r<1). 问(1) 汽锤(qìchuí)击打桩3次后，可将桩打进地下多深？(2) 若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下多深？（注：m表示长度单位米.）【分析】本题属变力做功问题，可用定积分进行计算，而击打次数不限，相当于求数列的极限.【详解】 (1) 设第n次击打后，桩被打进地下，第n次击打时，汽锤所作的功为. 由题设，当桩被打进地下的深度为x时，土层对桩的阻力的大小为，所以，由可得即由可得，从而(c óng ér)，即汽锤击打(j ī d ǎ)3次后，可将桩打进地下. （2） 由归纳法，设，则=由于(y óuy ú)，故得,从而(c óng ér)于是(y úsh ì) ，即若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下 m.【评注】 本题巧妙地将变力作功与数列极限两个知识点综合起来了，有一定难度.但用定积分求变力做功并不是什么新问题，何况本题的变力十分简单.七 、（本题满分12分）设函数y=y(x)在),(+∞-∞内具有二阶导数，且)(,0y x x y =≠'是y=y(x)的反函数.(1) 试将x=x(y)所满足(m ǎnz ú)的微分方程0))(sin (322=++dy dxx y dy x d 变换(bi ànhu àn)为y=y(x)满足的微分方程；(2) 求变换后的微分方程(w ēi f ēn f ān ɡ ch én ɡ)满足初始条件23)0(,0)0(='=y y 的解. 【分析(f ēnx ī)】 将转化(zhu ǎnhu à)为比较简单，dydx =，关键是应注意：==.然后再代入原方程化简即可.【详解】 (1) 由反函数的求导公式知 ，于是有)(22dy dxdy d dyx d ==dy dx y dx d ⋅')1(=32)(1y y y y y '''-='⋅'''-. 代入原微分方程得( * )(2) 方程( * )所对应的齐次方程的通解为设方程( * )的特解为，代入方程( * )，求得，故，从而的通解是由23)0(,0)0(='=y y ，得. 故所求初值问题的解为【评注】 本题的核心是第一步方程变换.八 、（本题(b ěnt í)满分12分）设函数(h ánsh ù)f(x)连续且恒大于零，⎰⎰⎰⎰⎰+++=Ω)(22)(222)()()(t D t d y xf dvz y xf t F σ，⎰⎰⎰-+=t t D dxx f d y x f t G 12)(22)()()(σ，其中(q ízh ōng)}),,{()(2222t z y x z y x t ≤++=Ω，}.),{()(222t y x y x t D ≤+=(1) 讨论(t ǎol ùn)F(t)在区间),0(+∞内的单调(d āndi ào)性. (2) 证明当t>0时，).(2)(t G t F π>【分析】 (1) 先分别在球面坐标下计算分子的三重积分和在极坐标下计算分母的重积分，再根据导函数的符号确定单调性；(2) 将待证的不等式作适当的恒等变形后，构造辅助函数，再用单调性进行证明即可.【详解】 (1) 因为，，所以在),0(+∞上，故F(t) 在),0(+∞内单调增加.（2） 因，要证明t>0时，只需证明t>0时，，即令 ，则，故g(t)在),0(+∞内单调(d āndi ào)增加.因为g(t)在t=0处连续(li ánx ù)，所以当t>0时，有g(t)>g(0). 又g(0)=0, 故当t>0时，g(t)>0, 因此(y īnc ǐ)，当t>0时，).(2)(t G t F π>【评注(p íngzh ù)】 本题将定积分、二重积分和三重积分等多个知识点结合起来(q ǐ l ái)了，但难点是证明（2）中的不等式，事实上，这里也可用柯西积分不等式证明：，在上式中取f(x)为，g(x)为即可.九 、（本题满分10分）设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=322232223A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100101010P ，P A P B *1-=，求B+2E 的特征值与特征向量，其中*A 为A 的伴随矩阵，E 为3阶单位矩阵.【分析】 可先求出，进而确定P A P B *1-=及B+2E ，再按通常方法确定其特征值和特征向量；或先求出A 的特征值与特征向量，再相应地确定A*的特征值与特征向量，最终根据B+2E 与A*+2E 相似求出其特征值与特征向量.【详解】 方法一： 经计算可得， ，P A P B *1-==.从而(c óng ér)，，故B+2E 的特征值为当时，解，得线性无关(w úgu ān)的特征向量为所以(su ǒy ǐ)属于特征值921==λλ的所有(su ǒy ǒu)特征向量为，其中(q ízh ōng)是不全为零的任意常数.当时，解，得线性无关的特征向量为，所以属于特征值33=λ的所有特征向量为，其中为任意常数.方法二：设A 的特征值为，对应特征向量为，即 . 由于，所以又因，故有于是(y úsh ì)有 ，因此(y īnc ǐ)，为B+2E 的特征值，对应(du ìy ìng)的特征向量为由于(y óuy ú) ，故A 的特征值为当时，对应的线性无关(w úgu ān)特征向量可取为，当时，对应的一个特征向量为由 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-1000011101P ，得，，.因此，B+2E 的三个特征值分别为9，9，3. 对应于特征值9的全部特征向量为，其中21,k k 是不全为零的任意常数；对应于特征值3的全部特征向量为，其中是不为零的任意常数.【评注(p íngzh ù)】 设，若λ是A 的特征值，对应(du ìy ìng)特征向量为η，则B 与A 有相同(xi ān ɡ t ón ɡ)的特征值，但对应特征向量不同，B 对应特征值λ的特征向量为.1η-P本题计算量大，但方法思路都是常规和熟悉(sh úx ī)的，主要是考查考生的计算能力.不过利用相似矩阵有相同的特征值以及A 与A*的特征值之间的关系讨论，可适当降低计算量.十 、（本题(b ěnt í)满分8分） 已知平面上三条不同直线的方程分别为 :1l 032=++c by ax ， :2l 032=++a cy bx ， :3l 032=++b ay cx .试证这三条直线交于一点的充分必要条件为.0=++c b a【分析】 三条直线相交于一点，相当于对应线性方程组有唯一解，进而转化为系数矩阵与增广矩阵的秩均为2.【详解】 方法一：必要性 设三条直线交于一点，则线性方程组(*)有唯一解，故系数矩阵与增广矩阵的秩均为2，于是由于=, 但根据(g ēnj ù)题设 ，故.0=++c b a充分性：由，则从必要性的证明(zh èngm íng)可知，，故秩由于(y óuy ú)=，故秩(A)=2. 于是(y úsh ì)， 秩(A)=秩=2.因此(y īnc ǐ)方程组(*)有唯一解，即三直线321,,l l l 交于一点.方法二：必要性设三直线交于一点，则为Ax=0的非零解，其中于是 .而=,但根据题设 0)()()(222≠-+-+-a c c b b a ，故 .0=++c b a充分性：考虑线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=+-=+,32,32,32b ay cx a cy bx c by ax (*)将方程组(*)的三个方程相加，并由a+b+c=0可知，方程组(*)等价于方程组(* *)因为(y īn w èi)])([2)(22222b b a a b ac cb b a ++-=-==-,故方程组(* *)有唯一(w éi y ī)解，所以方程组(*)有唯一(w éi y ī)解，即三直线321,,l l l 交于一点(y ī di ǎn).【评注(p íngzh ù)】本题将三条直线的位置关系转化为方程组的解的判定，而解的判定问题又可转化为矩阵的秩计算，进而转化为行列式的计算，综合考查了多个知识点.十一 、（本题满分10分）已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有3件合格品和3件次品，乙箱中仅装有3件合格品. 从甲箱中任取3件产品放入乙箱后，求：(1) 乙箱中次品件数的数学期望； (2) 从乙箱中任取一件产品是次品的概率.【分析】 乙箱中可能的次品件数为0，1，2，3，分别求出其概率，再按定义求数学期望即可；而求从乙箱中任取一件产品是次品的概率，涉及到两次试验，是典型的用全概率公式的情形，第一次试验的各种可能结果（取到的次品数）就是要找的完备事件组.【详解】 (1) X 的可能取值为0，1，2，3，X 的概率分布为， k=0,1,2,3.即 X 0 1 2 3 P209 201 因此(2) 设A 表示事件“从乙箱中任取一件产品是次品”，由于，，，构成完备事件组，因此根据全概率公式，有==【评注(p íngzh ù)】本题对数学(sh ùxu é)期望的计算也可用分解法： 设则的概率分布为i X 0 1P 21 21因为(y īn w èi)，所以(su ǒy ǐ)十二(sh í èr) 、（本题满分8分） 设总体X 的概率密度为⎩⎨⎧≤>=--,,,0,2)()(2θθθx x e x f x其中0>θ是未知参数. 从总体X 中抽取简单随机样本n X X X ,,,21 ，记).,,,min(ˆ21nX X X =θ (4) 求总体X 的分布函数F(x); (5) 求统计量θˆ的分布函数)(ˆx F θ；(6) 如果用θˆ作为θ的估计量，讨论它是否具有无偏性.【分析】 求分布函数F(x)是基本题型；求统计量θˆ的分布函数)(ˆx F θ，可作为多维相互独立且同分布的随机变量函数求分布函数，直接用定义即可；是否具有无偏性，只需检验是否成立.【详解(xiánɡ jiě)】(1)(2)====(3) θˆ概率密度为因为(yīn wèi)=，所以(suǒyǐ)θˆ作为(zuòwéi)θ的估计量不具有(jùyǒu)无偏性.【评注】本题表面上是一数理统计问题，实际上考查了求分布函数、随机变量的函数求分布和概率密度以及数学期望的计算等多个知识点.将数理统计的概念与随机变量求分布与数字特征结合起来是一种典型的命题形式.内容总结。
2003年全国硕士研究生入学统一考试数学二真题及答案
2003年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、填空题（本题共6小题，每题4分，满分24分．把答案填在题中横线上．） （1）若0→x 时，.1)1(412--ax 与x x sin 是等价无穷小，则=a _________． 【答案】4- 【考点】等价无穷小 【难易度】★【详解】本题涉及到的主要知识点： ①等价无穷小的定义：若0)(lim,0)(lim 00==→→x x x x x x βα，如果1)()(lim=→x x x x βα，则)(x α是)(x β的等价无穷小，记作)(~)(x x βα；②常用等价无穷小：0→x 时，.~sin ,1~1)1(1x x x nx n-+ 解析:1)(41lim sin 1)1(lim 2204120=-=--→→x ax x x ax x x4,4-==-∴a a（2）设函数)(x f y =由方程4ln 2y x xy =+所确定，则曲线)(x f y =在点)1,1(处的切线方程是_________． 【答案】0=-y x【考点】隐函数的导数、平面曲线的切线 【难易度】★★【详解】本题涉及到的主要知识点：①隐函数求导，常用的方法是把y 看做x 的函数)(x f ，两边直接对x 的复合函数求导，化简整理。
②平面曲线的切线方程：))((000x x x y y y -'=-解析: 等式4ln 2y x xy =+两边直接对x 求导，得y y xy x y '=+'+342，将1,100==y x 代入上式，有 .1)1(='y 故过点(1,1)处的切线方程为)1(11-⋅=-x y ，即.0=-y x （3）xy 2=的麦克劳林公式中nx 项的系数是_________．【答案】!)2(ln n n【考点】麦克劳林公式 【难易度】★★【详解】本题涉及到的主要知识点： 麦克劳林公式：)10()!1()(!)0()0()(1)1(1)(<<+++=++=∑θθn n i ni i x n x f x i f f x f解析:因为 2ln 2xy ='，2)2(ln 2xy =''，n x x y )2(ln 2,)(=Λ，于是有n n y )2(ln )0()(=，故麦克劳林公式中nx 项的系数是.!)2(ln !)0()(n n y n n = （4）设曲线的极坐标方程为)0(>=a e a θρ，则该曲线上相应于θ从0变到π2的一段弧与极轴所围成的图形的面积为_________． 【答案】)1(414-ae aπ 【考点】定积分的几何应用—平面图形的面积、二重积分的应用 【难易度】★★【详解】本题涉及到的主要知识点： ①极坐标下的面积计算公式θθρβαd S ⎰=)(212； ②利用极坐标系下的二重积分计算。
(完整word版)2003-2004(二)高等代数期末试题A
系 班 姓名 ------------密------------封------------线------------2003年---2004年第二学期数学系2003（本）高等代数期末试题（A ）一、填空题：（15分，每小题3分）1、若是W 1，W 2是V 的两个有限维子空间，则dimW 1+dimW 2 dim （W 1+W 2），当且仅当 时，等号成立。
2、设{n ααα 21,}是V 的一个基，（n βββ ,,21）=（n ααα 21,）A ，则当A 是 矩阵时，{n βββ ,,21}也是V 的基。
3、在R 3中，线性变换σ（x 1，x 2，x 3）=（x 1，0，x 3）只有特征根 。
4、n 维欧氏空间V 中向量ξ在标准正交基{n ηηη,,,21 }下的坐标是（x 1，x 2，… ，x n ），那么（i ηξ,）= ，|ξ|= 。
5、如果W 是域F 上有限维线性空间V 的一个子空间，则W 在V 中的余维数为 。
二、选择题：（15分，每小题3分）6、一个实二次型可以分解成两个不成比例的实系数一次齐次式，则它必有（ ）A 秩为2且符号差为2；B 秩为0；C 秩为2且符号差为0；D 秩为1。
7、若把同构的子空间称作一类，则n 维向量空间的子空间共分成（ ）A 1类 ；B 2类；C n 类；D （n+1）类。
8、设线性变换σ在基{21,αα}下的矩阵是⎪⎪⎭⎫⎝⎛d c b a ，在{121,ααα+}下的矩阵是（ ）。
A ⎪⎪⎭⎫⎝⎛++c d c a b a ；B⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+-+c a d b c a c d c ；C ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++b a d c b a ； D ⎪⎪⎭⎫⎝⎛++d c d b b a 。
9、n 维欧氏空间V 的一个线性变换σ关于任意标准正交基的矩阵为实对称矩阵是σ为对称变换的（ ）A 充分而不必要条件；B 什么条件都不是；C 必要而不充分条件；D 充分必要条件。
上海理工大学研究生入学考试管理学2003答案
2003年上海理工大学硕士研究生入学考试试题考试科目：管理学一、名词解释(42分)1.管理2.系统3.控制4.效率和效果5.直线关系和参谋关系6.冲突二、问答题(80分)1.请简述目标管理的基本过程。
2.请简述组织文化的结构层次。
3.你愿意在职能型组织工作还是愿意在矩阵式组织里工作?为什么?4.请画出波特和劳勒激励模式图。
并举例说明它的应用。
5.技术创新包括哪些内容?它对企业的生存和发展有何贡献?三、案例分析题(28分)1994年3月，欧文康宁公司的绝缘部与FAST——市场自动销售系统联机，FAST是一种销售人员自动控制系统，它废弃了官僚控制，授权给销售人员，他们可以自己作出决策。
配备的便携式计算机每台价值5000美元，培训的费用超过了300000美元。
尽管发生了这些费用，但它也带来了很多好处：FAST 使销售人员可以得到以前只有管理者才能得到的信息，同时，也使管理者可以更直接地对销售活动进行管理和监控。
FAST包括三种软件：(1)一般的工具——文字处理系统、传真发送系统等，(2)产品信息——顾客特殊需要，价格信息，(3)客户信息—会计信息，购买记录，定货情况，偏好的支付方式。
只要通过调制解调器与公司的计算机中心联网，就可以自动更新信息。
对管理者来说，FAST可以提供最新的销售统计数字和市场的发展趋势。
管理者了解哪些客户在购买什么产品，销售情况如何，销售人员是否在某个区域遇到了麻烦。
这些信息使管理者在事情发生时就了解了情况，可以实时改变战术和战略。
显然，信息技术改变了销售人员和管理者的工作。
通过对员工提供更多的信息，FAST对他们进行授权，使他们可以自行决策。
同时，信息技术使管理者可以更为有效地进行监管，所以管理者的管理范围更广泛了。
结果是现在在欧文康宁公司的管理者只有1986年的一半，并且撤消了整个高级经理层，支持部门也在逐步削减。
在自动化以前，管理者和支持部门主要处理客户投诉，有问题的定单和激化了的问题。
上海理工大学考研真题教育学2003答案
上海理工大学2003年硕士研究生入学考试试题考试科目：教育学一、简答题（30分）1．教育的基本要素是什么？（5%）2．教育在人的发展中起什么作用？请说明理由。
（5%）3．学生掌握知识有哪几个阶段？（6%）4．班级上课如何贯彻因材施教原则？（5%）5．进行教学评价应当遵循哪些原则？（4%）6．为什么说德育过程是培养学生知、情、意、行的过程。
（5%）二、论述题（120分）7．论述素质教育与全面发展教育的关系。
（10%）8．教师职业是专业性职业吗？请阐述理由。
（10%）9．试评个人本位与社会本位的教育目的论。
（10%）10．请分析教育史上几种课程论的得失。
（10%）11．简述当代教学理论流派的主要内容以及对教学的影响。
（15%）12．目前中小学教育实践中，有的学校为了培养独生子女的吃苦精神，组织“吃苦夏令营”等活动进行“挫折教育”，而有一些学校为了体现对学生个性的尊重，采取“零批评”的教育方式，即在学校教育中只采取鼓励、表扬等正面教育方式，请联系教育学有关理论针对“挫折教育”、“零批评”谈谈你的观点。
（15%）13.为什么终身教育会成为现代教育制度发展方向？怎样才能使我国的教育制度朝终身教育的方向发展？（15%）14．如何看待互连网对当代教育、教学带来的影响？（15%）15．下面文章《为孩子们的童年写一份悼词》摘自《青年时讯》，对该作者的观点你持何态度？结合实际，谈谈目前中小学教育中存在的主要问题并提出改进意见。
（20%）为孩子们的童年写一份悼词潘采夫今天，我要写一份悼词，为刚刚被网吧赶出来的孩子，为渴望逃离学校的孩子，为所有不快乐的和不再像个孩子的孩子，写一份悲伤的悼词，哀悼他们被扼杀的童年。
孩子们，我要为你们默哀，你们本可以像我小时候一样，去麦地是放羊，去池塘里游泳，去泥地里摔跤，去月光下捉迷藏，但是你们不能，因为操场是水泥地，大街只有汽车，游泳池里有传染病，草坪禁止人“践踏”。
你们很可怜，只有在互联网上寻找虚幻的童年的自由，大人们说那里有凶杀，有色情，把你们赶出来。