1978全国高考数学试题

1978年普通高等学校招生全国统一考试

数学

（理科考生五，六两题选做一题文科考生五，六两题选做一题，不要

求做第七题）

一．（下列各题每题4分，五个题共20分） 1．分解因式：x 2-4xy+4y 2-4z 2.

解：原式=（x-2y)2-(2z)2=(x-2y-2z)(x-2y+2z)

2.已知正方形的边长为a ，求侧面积等于这个正方形的面积，高等于这个正方形边长的直圆柱体的体积

解：设底面半径为r ，则底面周长2πr=a

则.42,222

2

πππππa a a a r a r =⎪⎭

⎫ ⎝⎛=⋅==体积

3．求函数)2lg(x y +=的定义域

解： ∵lg(2+x)≥0,∴2+x ≥1.故x ≥-1为其定义域

4．不查表求cos800cos350+cos100cos550的值

解：原式=sin100cos350+cos100sin350=sin(100+350)=sin450=

2

2 5.化简： 二 .（本题满分14分）

已知方程kx 2+y 2=4，其中k 为实数对于不同范围的k 值，分别指

出方程所代表图形的内形，并画出显示其数量特征的草图

解：1）k>0时，方程的图形是椭圆，中心在坐标原点，此时又可分为：①k>1时,长轴在y 轴上，半长轴=2，半短轴=

k

2;

.254:.)()1.0()4(41 2

12

14323

12

1b b a ab =

⋅⎪⎭

⎫ ⎝⎛----原式解

②k=1时,为半径r=2的圆; ③k<1时,长轴在x 轴上，半长轴=

k

2，半短轴=2

如图：

2)k=0时，方程为y 2=4图形是两条平行于x 轴的直线2±=y

如图 3）k<0时，方程为

这时图形是双曲线，中心在坐标原点，实轴在y 轴上如图：

三．（本题满分14分）

（如图）AB 是半圆的直径，C 是半圆上一点，直线MN 切半圆于C 点，AM ⊥MN 于M 点，BN ⊥MN 于N 点，CD ⊥AB 于D 点， 求证：1)CD=CM=CN. 2)CD 2=AM ·BN

Y Y Y k=2 A k=1 (0,2) k=1/4 O A X O B X O X

Y Y

y=2 k=-4 A O O X B X y=-2

1

442

2=+-y k x

1)证：连CA ，CB ，则∠ACB=900∠ACM=∠ABC ∠ACD=∠ABC ∴∠ACM=∠ACD ∴△AMC ≌△

ADC

∴CM=CD 同理CN=CD ∴

CD=CM=CN

2）∵CD ⊥AB ，∠ACD=900

∴ CD 2=AD ·DB 由1）知AM=AD ，BN=BD

∴CD 2=AM ·BN

四．（本题满分12分） 五．（本题满分20分）

已知△ABC 的三内角的大小成等差数列，tgAtgC=32+求角A ，B ，C 的大小又已知顶点C 的对边c 上的高等于34求三角形各边a ,b,c

的长（提示：必要时可验证324)31(2+=+）

212:1802.60,1202 3 (1)

tgA tgC (1-tgAtgC)tg(A C)(-1-3)(3)3 3. (2)(1)(2)tgA,tgC x (33)230.:1,23,1,2 3.45,A B C B A C B A C tgAtgC x x x A C tgA tgC A C ++=︒=+∴=︒+=︒=++=+=-=+-+++===+<==+∴=︒解又而由可知是的两根解这方程得设则得12045754343

43,8;46;

sin 60sin 45cos 45cos 6043 4.

c a b c AD DB b a =︒-︒=︒∴=

===︒︒

=+=︒+︒=+又知上的高等于

六．（本题满分20分）

M C N

A B D

22222224223sin 2sin 1,:3sin cos 2.

3

3sin 22sin 20,:sin 2sin 23sin cos ..

2

sin 2cos 9sin cos 9sin 9sin 1.

1

sin ()

3

sin(2)sin cos 2cos sin 2sin (3sin )cos (3sin cos ) αβαβαββαααβαααααααβαβαβααααα+==-===∴+=+∴=∴=+=+=+由得由得为锐角22 3sin (sin cos )3sin 1.

2

ααααπ

αβ=+==∴+=

七．（本题满分20分，文科考生不要求作此题） 已知函数y=x 2+(2m+1)x+m 2-1(m 为实数） 1）m 是什么数值时，y 的极值是0？

2）求证：不论m 是什么数值，函数图象（即抛物线）的顶点都在同一条直线L 1上画出m=-1、0、1时抛物线的草图，来检验这个结论

3）平行于L 1的直线中，哪些与抛物线相交，哪些不相交？求证：任一条平行于L 1而与抛物线相交的直线，被各抛物线截出的线段都相等

解：用配方法得：

2

214545.2445

0,450,4

2145

2.(,),

24

2m 11455

x -,,

22443

:..4

,,,,m m m y x y m m m m m m y m x y m m +++⎛

⎫=+-∴- ⎪

⎝

⎭+==-

++--++==--=-=---=的极小值为所以当极值为时函数图象抛物线的顶点坐标为即二式相减得此即各抛物线顶点坐标所满足的方程它的图象是一条

直线方程中不含因此不论是什么值抛物线的顶点都在这条222.1,0,1,,115193

(),(),().424242

m x y y x y x y x =-+=-+=++=+直线上当时之间函数关系为

图略