小学六年级奥数等积模型练习
小学奥数几何六大模型及例题
例题7 如图1，△ABC中，BD=2DA，CE=2EB，AF=2FC，那么 △ABC的面积是阴影三角形面积的 倍。
例题8 正六边形 分别是正六边形各边的中点，那么图中阴影六边 形的面积是 平方厘米。
一半模型 阴影图形占整个图形面积的一半。 一般在平行四边形中常见一半模型，任取一点与其四个 顶点连线，所构成的三角形占平行四边形面积的一半。当 然在梯形中也常见一半模型。
最下面三个图，边上的点都为中点。
鸟头模型（共角模型） 两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做 共角三角形。 共角三角形常见图形，如下图
如上图中有 共角三角形的面积比等于对应角（相等角或互补角）两 夹边的乘积之比。
SADE AD AE SABC AB AC
蝴蝶模型
蝴蝶模型为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径， 通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积与四边形内的三 角形面积之间建立了相关的联系，得到与面积对应的对角线的比例 关系。 任意四边形中的蝴蝶模型： S1 : S2 S4 : S3或者S1 S3 S2 S4
金字塔、沙漏模型 所谓的金字塔、沙漏模型，就是指形状相同，大小不同 的两个三角形，一切对应线段的长度成比例的模型，如图 所示：
勾股定理 我国最早发现在直角三角形中两条直角边的平方和等于 斜边的平方，把这一特性叫做勾股定理或勾股弦定理，外 国称为毕达哥拉斯定理。如右图 在直角三角形 ABC中有c2 a2 b2
Байду номын сангаас
例题1 （2008年第一届“陈省身杯”六年级2试） 如图，BC=45，AC=21，△ABC被分成9个面积相等的小三 角形，那么DI+FK为多少？
例题2 如图1，并排放有三个正方形，其中正方形GBEF的边长为 10厘米，连接GK，交EF于O，连接DE，交BG于Q，连接 DG，求阴影部分的面积。
小学奥数必学几何五大模型及例题解析
小学奥数必学几何五大模型及例题解析一、等积变换模型——很重要，小学常考⑴等底等高的两个三角形面积相等；⑵两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比。
如下图右图12::S S a b =⑶夹在一组平行线之间的等积变形，如下图ACDBCD S S =△△；反之，如果ACDBCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD 。
⑷正方形的面积等于对角线长度平方的一半；⑸三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；经典例题：1S 2S 解析：连接CE ，如图。
AE=3AB,所以S △AEC =3S △ABC=3 所以 S △BCE =2又因为：BD=2BC,所以S △BDE =2 S △BCE =4点评：此题就是三角形等积变换模型的直接应用二、鸟头定理（共角定理）模型两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。
共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。
如图，在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点(如图1)或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上(如图2)，则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△图1 图2此模型的结论可以用将来初中学到的正弦定理进行证明！因为S △ABC =AB ×ACsinA ，S △ADE =AD ×AEsinA所以：S △ABC ：S △ADE= （AB ×ACsinA ）：（AD ×AEsinA ）=（AB ×AC ）：（AD ×AE ）经典例题：S △ADF ：S △ABC=（AD ×AF ）：（AB ×AC ）=（2BD ×AF ）：（3BD ×4AF ）=1：6 S △BDE ：S △ABC=（BD ×BE ）：（AB ×BC ）=（BD ×BE ）：（3BD ×2BE ）=1：6 S △CEF ：S △ABC=（CE ×CF ）：（CB ×CA ）=（CE ×3AF ）：（2CE ×4AF ）=3：8 1-1/6-1/6-3/8=7/24 S △ABC =7÷7/24=24(平方厘米).点评：本题直接用到鸟头模型，先分别求出三个角上的三个三角形占S △ABC 的比例，再求出S △DEF 占S △ABC 的比例，就能直接求出S △ABC 的面积。
2022-2023学年小学六年级奥数典型题测评卷14《等积变形》(解析版)
【六年级奥数举一反三—全国通用】测评卷14《等积变形》试卷满分：100分考试时间：100分钟姓名：_________班级：_________得分：_________一．选择题（共5小题，满分15分，每小题3分）1．（2014•迎春杯）如图，大正六边形内部有7个完全一样的小正六边形，已知阴影部分的面积是180平方厘米．那么大正六边形的面积是（）平方厘米．A．240 B．270 C．300 D．360【分析】按题意，显然可以将图进行分割，分割后阴影部分有六个面积相等的小正六边形，而空白部分是3个面积相等的小正六边形，利用面积之比不难求得大正六边形的面积．【解答】解：如图所示，将图分割成面积相等的小正三角形，显然，图中的空白部分的面积和等于3个小正六边形．而阴影部分由6个小正六边形组成，所以，大正六边形是由9个小正六边形组成的．一个小正六边形的面积为：180÷6＝30（平方厘米），大正六边形的面积为：30×9＝270（平方厘米），故选：B．2．（2014•迎春杯）如图，大正方形的边长为14，小正方形的边长为10，阴影部分的面积之和是（）A．25 B．40 C．49 D．50【分析】按题意，将图①逆时针旋转90°，阴影部分可拼成一等腰直角三角形，不难求得阴影部分的面积．【解答】解：根据分析，如下图所示，图①逆时针旋转90°，阴影部分可拼成一等腰直角三角形，S＝142÷4＝49故选：C．3．（2006•创新杯）图中，将两个正方形放在一起，大、小正方形的边长分别为10，6，则图中阴影部分面积为（）A．42 B．40 C．38 D．36【分析】由图意可知：阴影部分的面积就等于两个正方形的面积和减去两个空白三角形的面积，利用正方形和三角形的面积公式即可求解．【解答】解：10×10+6×6﹣6×（10+6）÷2﹣10×10÷2＝100+36﹣48﹣50＝38答：阴影部分的面积是38．故选：C。
六年级下册奥数专题练习-等积规律-全国通用
等积规律【三角形等积的基本规律】如果两个三角形的底相等，高也相等，那么，这两个三角形的面积相等。
例如，在图1.32中，D是BC的中点（即BD=DC），则△ABD与△ACD的面积相等。
（等底同高）【三角形等积规律推论】由三角形等积这一基本规律，可以推出下面几个结论。
结论1 如果两个三角形有公共的底边，且这底边所对的顶点所在直线，与这底边平行，则这两个三角形面积相等。
例如，在图1.33中， A1A2的连线与BC平行，则△A1BC与△A2BC的面积相等。
结论2 在两个三角形中，若相等的底在同一直线上，底所对的顶点在与底平行的另一同一直线上，则这两个三角形的面积相等。
例如图1.34中的△A1B1C1与△A2B2C2，它们的底B1C1=B2C2，并且底同在直线B1C2上，顶点A1、A2的连线A1A2，与B1C2平行，那么△A1B1C1与△A2B2C2的面积便是相等的。
结论3 如果一个三角形的一边被分成了n等分，并把这些等分点与顶点连结，那么这个三角形就被分成了n+1个等积的三角形。
例如图1.35中，BC被点D1、D2、D3、D4、D5分成了六等分，则△ABC的面积也就被AD1、AD2、AD3、AD4、AD5也分成了六等分。
即△ABD1、△AD1D2、△AD2D3、△AD3D4、△AD4D5、△结论4 如果两个三角形的高相等，其中一个三角形的底是另一个三角形底的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。
例如，在图1.36中，△ABC的高AD，和△A払扖挼母逜扗捪嗟龋珺C=3B扖BC的面积，便是△A—3倍。
58、等分图形【均分整体】有些几何问题，只要把大图形均分为若干个小图形，就能找到问题的答案。
例如，下面两图中的正方形分别内接于同一个等腰直角三角形（内接指四个顶点全在三角形的边上）。
已知左图（图4.11）中正方形面积为72平方厘米，求右图（4.12）中正方形的面积。
由于左右两个三角形完全相同，我们不妨把这两个图形进行等分，看看这两个正方形分别与同一个等腰直角三角形有什么样的关系。
6、昌茂小学六年级下册奥数培训题(6)形体的等积变形
2011—2012学年度第二学期昌茂培训中心六年级数学奥数班练习（6）时间：（4月7日）姓名：等级：家长签名：奥数题训练：形体的等积变形【教练笔记】把一个圆锥状泥块，经过揉搓之后变成一个圆柱或一个长方体，无论它的形状如何变化，它们的体积大小事恒等不变的，这就是等积变形。
【例1】一个圆柱形玻璃容器的底面直径是10厘米，把一铁块从这个容器中取走后，水面下降了2厘米，这块铁块的体积是多少？【点拨】由题知，下降的体积就是取出的的铁块的体积，又知圆柱形玻璃容器的底面直径是10厘米，将铁块从容器中取出后，水面下降了2厘米，可以求出下降的体积。
【热身演练】1、一个圆柱形玻璃容器的底面直径是8厘米，把一铁块从这个容器中取走后，水面下降了3厘米，这块铁块的体积是多少立方厘米？2、一个圆柱形玻璃容器，底面直径是10厘米，把一个石块放入容器中，石块被水完全淹没后，水面上升了3厘米。
这个石块的体积是多少立方厘米？3、两个圆柱形玻璃容器，一个底面直径是8厘米，高是6厘米，里面装满水；另一个底面直径是10厘米，高是8厘米，里面空着。
将装满水的容器中的水倒一些给空着的容器，使两个容器中水位一样高。
从装满水的容器中大约倒出多少水？【例2】一个底面直径为20厘米的装有一部分水的圆柱形容器，水中放着一个底面直径为12厘米，高为10厘米的圆锥形铅锤，当铅锤从水中取出后，容器中水面高度下降了几厘米？【点拨】铅锤取出后，水面就会下降，下降的体积与圆锥状铅锤的体积相同，这样依据等积变形的方法可知水的体积，从而可求得水面高度变化的情况。
【热身演练】1、用直径为20厘米的圆钢，锻造成长、宽、高分别为30厘米，20厘米，5厘米的长方体钢板，应截取圆钢多长？（精确到0.1厘米）2、把一块长15.7厘米，宽8厘米，高5厘米的长方体铝锭，和一块底面直径6厘米，高24厘米的圆柱形铝块，熔铸成一个底面半径为8厘米的圆锥形铝块，求这个圆锥形铝块高是多少厘米？3、在一个底面半径是20厘米的圆柱形水桶里，有一个底面半径为10厘米的圆柱形钢材完全浸没在水中，当钢材从桶里取出后，桶里的水面下降了3厘米，求这段钢材的长。
小学奥数几何六大模型及例题06165
例题5 如图，已知三角形ABC面积为1，延长AB至D，使BD=AB，延长BC至E，使CE=2BC，延 长CA至F，使AF=3AC，求三角形DEF的面积。
例题6 如图1，正六边形的面积为6，那么阴影部分的面积是多少？历史ⅱ岳麓版第13课交Fra bibliotek与通讯 的变化资料
精品课件欢迎使用
[自读教材·填要点]
若干个三角形，所以三角形是最基本图形，等积变形里主要研究的 是三角形面积变换。
三角形面积=底×高÷2 决定三角形面积的大小，取决于底和高这两个量。 等底等高：如果两个三角形等底等高，则这两个三角形面积相同 （如图1）；（典型的夹在一组平行线间的，两个三角形若同底，则 面积相同） 同底看高：如果两个三角形等底，但高不等，则面积比等于高的 比（如图2）； 同高看底：如果两个三角形等高，但底不等，则面积比等于底的 比（如图3）。
()
A．江南制造总局的汽车
B．洋人发明的火车
C．轮船招商局的轮船
D．福州船政局的军舰
[解析] 由材料信息“19世纪七十年代，由江苏沿江居民 到上海”可判断最有可能是轮船招商局的轮船。
[答案] C
[题组冲关]
1．中国近代史上首次打破列强垄断局面的交通行业是 ( )
A．公路运输
B．铁路运输
C．轮船运输
2．特点 (1)近代中国交通业逐渐开始近代化的进程，铁路、水运和 航空都获得了一定程度的发展。 (2)近代中国交通业受到西方列强的控制和操纵。 (3)地域之间的发展不平衡。 3．影响 (1)积极影响：促进了经济发展，改变了人们的出行方式， 一定程度上转变了人们的思想观念；加强了中国与世界各地的 联系，丰富了人们的生活。 (2)消极影响：有利于西方列强的政治侵略和经济掠夺。
小学奥数必学几何五大模型及例题解析
小学奥数必学几何五大模型及例题解析一、等积变换模型——很重要，小学常考⑴等底等高的两个三角形面积相等；⑵两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比。
如下图右图12::S S a b =⑶夹在一组平行线之间的等积变形，如下图ACDBCD S S =△△；反之，如果ACDBCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD 。
⑷正方形的面积等于对角线长度平方的一半；⑸三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；经典例题：1S 2S 解析：连接CE ，如图。
AE=3AB,所以S △AEC =3S △ABC=3 所以 S △BCE =2又因为：BD=2BC,所以S △BDE =2 S △BCE =4点评：此题就是三角形等积变换模型的直接应用二、鸟头定理（共角定理）模型两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。
共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。
如图，在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点(如图1)或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上(如图2)，则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△图1 图2此模型的结论可以用将来初中学到的正弦定理进行证明！因为S △ABC =AB ×ACsinA ，S △ADE =AD ×AEsinA所以：S △ABC ：S △ADE= （AB ×ACsinA ）：（AD ×AEsinA ）=（AB ×AC ）：（AD ×AE ）经典例题：S △ADF ：S △ABC=（AD ×AF ）：（AB ×AC ）=（2BD ×AF ）：（3BD ×4AF ）=1：6 S △BDE ：S △ABC=（BD ×BE ）：（AB ×BC ）=（BD ×BE ）：（3BD ×2BE ）=1：6 S △CEF ：S △ABC=（CE ×CF ）：（CB ×CA ）=（CE ×3AF ）：（2CE ×4AF ）=3：8 1-1/6-1/6-3/8=7/24 S △ABC =7÷7/24=24(平方厘米).点评：本题直接用到鸟头模型，先分别求出三个角上的三个三角形占S △ABC 的比例，再求出S △DEF 占S △ABC 的比例，就能直接求出S △ABC 的面积。
六年级奥数等积模型
6. 在△ABC中，BD=2AD，AG=2CG，BE=EF=FC=
7. ABCD为平行四边形，EF平行AC，如果△ADE的 面积为4平方厘米．求三角形CDF的面积
8. 四边形ABCD面积为1，且AB=AE，BC=BF， DC=CG，AD=DH．求四边形EFGH的面积
9. 在平行四边形ABCD中，直线CF交AB于E，交DA 延长线于F，若S△ADE=1，求△BEF的面积
1.用三种不同的方法，把任意一个三角形分 成四个面积相等的三角形
2.用三种不同的方法将任意一个三角形分成 三个小三角形，使它们的面积比为及1∶3∶4
3. 如下图，在梯形ABCD中，AC与BD是对角线， 其交点O，求证：△AOB与△COD面积相等
4.下左图，把四边形ABCD改成一个等积的三角形。
5. 如图，已知在△ABC中，BE=3AE， CD=2AD．若△ADE的面积为1平方厘米．求三角 形ABC的面积
第一讲 等积模型
A
B
S1
S2
a
b
C
D
①等底等高的两个三角形面积相等 S1:S2 a:b
②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比
③夹在一组平行线之间的等积变形，如上右图
反之，如果
，则可知直线AB 平行于CD
④等底等高的两个平行四边形面积相等
⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半
10. 三角形ABC的面积为1，其中AE=3AB,BD=2BC, 三角形BDE的面积是多少？
⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比
【例1】 如下图，正方形ABCD的边长为6， AE=1.5，CF= 2。求长方形EFGH的面积。
六年级奥数等积模型
精选ppt
6
5. 如图，已知在△ABC中，BE=3AE， CD=2AD．若△ADE的面积为1平方厘米．求三角 形ABC的面积
精选ppt
7
6. 在△ABC中，BD=2AD，AG=2CG，BE=EF=FC=
精选ppt
8
7. ABCD为平行四边形，EF平行AC，如果△ADE的 面积为4平方厘米．求三角形CDF的面积
精选ppt
12
精选ppt
13
感谢亲观看此幻灯片，此课件部分内容来源于网络， 如有侵权请及时联系我们删除，谢谢配合！
感谢亲观看此幻灯片，此课件部分内容来源于网络， 如有侵权请及时联系我们删除，谢谢配合！
⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比
精选ppt
2
【例1】 如下图，正方形ABCD的边长为6， AE=1.5，CF= 2。求长方形EFGH的面积。
精选ppt
3
【巩固】如下图所示，正方形 ABCD的边长为 8厘 米，长方形EBGF 的长 BG为10 厘米，那么长方
精选ppt
9
8. 四边形ABCD面积为1，且AB=AE，BC=BF， DC=CG，AD=DH．求四边形EFGH的面积
精选ppt
10
9. 在平行四边形ABCD中，直线CF交AB于E，交DA 延长线于F，若pt
11
10. 三角形ABC的面积为1，其中AE=3AB,BD=2BC, 三角形BDE的面积是多少？
第一讲 等积模型
精选ppt
1
A
B
C
D
①等底等高的两个三角形面积相等 S1:S2 a:b
②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比
小学奥数-等积变形与一半模型习题集
等积变形与一半模型习题集【例 1】如图，BD 长12厘米，DC 长4厘米，B 、C 和D 在同一条直线上．（1）求三角形ABC 的面积是三角形ABD 面积的多少倍？ （2）求三角形ABD 的面积是三角形ADC 面积的多少倍？DCBA【解 析】因为三角形ABD 、三角形ABC 和三角形ADC 在分别以BD 、BC 和DC为底时，它们的高都是从A 点向BC 边上所作的垂线，也就是说三个三角形的高相等．于是：三角形ABD 的面积高高12=⨯26÷=⨯三角形ABC 的面积高高 124=+⨯（）28÷=⨯三角形ADC 的面积高高4=⨯22÷=⨯所以，三角形ABC 的面积是三角形ABD 面积的倍； 43三角形ABD 的面积是三角形ADC 面积的3倍．【例 2】如右图，和都是矩形，的长是厘米，的长是厘米，ABFE CDEF AB 4BC 3那么图中阴影部分的面积是（ ）平方厘米．【解 析】图中阴影部分的面积等于长方形面积的一半，即(平方ABCD 4326⨯÷=厘米)．【例 3】如图所示，平行四边形的面积是50平方厘米，则阴影部分的面积是多少平方厘米？【解 析】根据面积比例模型，可知图中空白三角形面积等于平行四边形面积的一半，所以阴影部分的面积也等于平行四边形面积的一半，为50225÷=平方厘米．【例 4】如下图，长方形和长方形拼成了长方形，长方形AFEB FDCE ABCD ABCD 的长是20，宽是12，则它内部阴影部分的面积是．【解 析】根据面积比例模型可知阴影部分面积等于长方形面积的一半，为．120121202⨯⨯=【例 5】如图，长方形的面积是平方厘米，点、、分别是长方形ABCD 56E F G 边上的中点，为边上的任意一点，求阴影部分的面积．ABCD H AD【解 析】本题是等底等高的两个三角形面积相等的应用．连接、． BH CH ∵， AE EB =∴．AEH BEH S S =△△同理，，，BFH CFH S S =△△S =S CGH DGH ∴11562822ABCD S S ==⨯=阴影长方形【例 6】在边长为6厘米的正方形内任取一点，将正方形的一组对边二ABCD P 等分，另一组对边三等分，分别与点连接,求阴影部分面积．P【解 析】特殊点法．由于是正方形内部任意一点，可采用特殊点法，假设P P点与点重合，则阴影部分变为如上中图所示，图中的两个阴影三角形A 的面积分别占正方形面积的和，所以阴影部分的面积为1416平方厘米．2116()1546⨯+=【例 7】如图，三角形ABC 的面积是24，D 、E 和F 分别是BC 、AC 和AD 的中点．求三角形DEF 的面积．FE DCBA【解 析】三角形ADC 的面积是三角形ABC 面积的一半，24212÷=三角形ADE 又是三角形ADC 面积的一半．1226÷=三角形FED 的面积是三角形ADE 面积的一半，所以三角形FED 的面积．623=÷=【例 8】如图所示，、、都是正方形边的中点，△比△大平方A B C COD AOB 15厘米。
(完整版)等底等高模型小学奥数
等高（等底）模型
练一练
1.如图，E在AD上，AD垂直BC于D，AD=12厘米，DE=3厘米．求三角形ABC的面积是三角形EBC面积的几倍？
A
E
B D C
•
2．如图所示，在平行四边形ABCD中，E为AB的中点，AF=CF，三角形AFE(图中阴影部分)的面积为8平方厘米．平行四边形ABCD的面积是多少平方厘米？
D C
F
A
E B
3.如图，在长方形ABCD中，Y是BD的中点，Z是DY的中点，如果AB=24厘米，BC=8厘米，求三角形ZCY的面积．
D C
Z Y
A B
4. 如图所示，一个面积是100的长方形分成4个不同的三角形．问：红色部分的面积和是多少？
5.如图所示，四边形ABCD是梯形，面积是40，E是AB的中点，求阴影部分的面积.
6.如图，ABFE和CDEF都是长方形，AB的长是4厘米，BC的长是3厘米，那
么图中阴影部分的面积是多少平方厘米？
A B
E F
D C
7.校园里有一块长方形的地长18米，宽12米，想种上红花、黄花和绿草.（除长方
形四个顶点外，其余各点均为各边中点）.一种设计方案如图，那么其中红花和黄花
的面积和是＿＿＿＿平方米.。
等积变形 小学数学 习题集
一、填空题
1. 右图中，ABCD 是平行四边形，E 为 CD 的中点，AE 和 BD 的交点为 F ，AC 和
BE 的交点为 H ，AC 和 BD 的交点为 G ，四边形 EHGF 的面积是 15 平方厘米，则ABCD 的面积是__________平方厘米．
2. 如下图，四边形ABCD是正方形，ABGF和FGCD是长方形，点E在AB上，EC
交FG于点M，若AB＝6，△ECF的面积是12，则△BCM的面积是________________．3. 如图，有三个正方形ABCD，BEFG和CHIJ，其中正方形ABCD的边长是10，正
方形BEFG的边长是6，那么三角形DFI的面积是________．
4. 如图所示，,则阴影部分的面积=________．
5. 如图，△ABC中，点AD=CD，点E是BC上一点，且EC=2BE，BD与AE相交于点F，若△ABC的面积为12，则S△ADF-S△BEF=_______．
二、解答题
6. 如图，在长方形中，是的中点，是的中点，如果厘米，
厘米，求三角形的面积．
7. 如图，在三角形ABC中， BC＝8厘米，AD＝6厘米，E、F分别为AB和AC的中点。
那么三角形EBF的面积是多少平方厘米？
8. 图中是一个各条边分别为5厘米、12厘米、13厘米的直角三角形．将它的短直角边对折到斜边上去与斜边相重合，那么图中的阴影部分(即未被盖住的部分)的面
积是多少平方厘米？
9. 如图，长方形的面积是2平方厘米，，是的中点．阴影部分的面积是多少平方厘米？。