高二数学空间向量在平行中的应用

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1.4.1 空间向量的应用-新教材高二数学人教A选择性必修第一册

答案
梳理 (1)直线的方向向量和平面的法向量
直线的方向向量
能平移到直线上的_非__零__向量，叫做直线的一个方向向量
平面的法向量
直线l⊥α，取直线l的_方__向__向__ _量__n__，叫做平面α的法向量
答案
(2)空间中平行关系的向量表示设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为μ，v，则
第一章 1.4.1空间向量的应用
学习目标
1.掌握空间点、线、面的向量表示. 2.理解直线的方向向量与平面的法向量的意义；会用待定系数法求平面的法向量. 3.能用向量法证明直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行问题.
问题导学
题型探究
当堂训练
问题导学
知识点一直线的方向向量与平面的法向量思考怎样用向量来表示点、直线、平面在空间中的位置？
若两直线l1∥l2，则x，y的值分别是( A )
A.6和－10
B.－6和10
C.－6和－10
D.6和10
解析由两直线l1∥l2，得两向量a，b平行，即－24＝－x3＝5y，所以 x，y 的值分别是 6 和－10.
解析答案
1 2345
3.若μ＝(2，－3,1)是平面α的一个法向量，则下列向量中能作为平面α的法
(5)证明线面平行的方法 ①设n是平面α的一个法向量，v是直线l的方向向量，则v⊥n且l上至少有一点A∉α，则l∥α. ②根据线面平行的判定定理：“如果平面外直线与平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行”，要证明一条直线和一个平面平行，也可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量. ③根据共面向量定理可知，如果一个向量和两个不共线的向量是共面向量，那么这个向量与这两个不共线向量确定的平面必定平行，因此要证明平面外一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可.

高二上数学知识点空间向量

高二上数学知识点空间向量高二上数学知识点：空间向量一、引言数学是一门学科，它以推理和逻辑为基础，研究数量、结构、变化以及空间等方面的规律。

高二上学期，我们将学习许多重要的数学知识点，其中之一就是空间向量。

本文将详细介绍空间向量的定义、运算方法以及相关应用。

二、空间向量的定义空间向量是指空间中的一个有大小和方向的量。

它由起点和终点确定，常用带箭头的线段来表示。

在空间向量中，起点表示向量的位置，终点表示向量的方向和大小。

三、空间向量的表示方法空间向量可以用坐标表示法和位置矢量法两种方式进行表示。

1. 坐标表示法坐标表示法是将空间向量的起点放置在坐标系的原点，终点在坐标系中的一个确定点。

这样，空间中的向量就可以用坐标$(x,y,z)$ 来表示，其中 $x$ 表示向量在 x 轴上的投影，$y$ 表示向量在 y 轴上的投影，$z$ 表示向量在 z 轴上的投影。

2. 位置矢量法位置矢量法是将空间向量的起点设置在空间中的一个位置$(x_1,y_1,z_1)$，终点则是另一个位置 $(x_2,y_2,z_2)$。

这样，空间向量就可以用矢量 $\vec{AB}$ 来表示，其中点 A 为起点，点 B 为终点。

四、空间向量的运算1. 向量的相加当两个空间向量进行相加时，可以将它们的起点放在一起，将终点放在一起，再连接起点和终点，得到一个新的向量。

记作$\vec{AB} + \vec{CD} = \vec{AD}$。

2. 向量的数量乘法向量的数量乘法是指向量与一个实数相乘，其结果是方向不变，大小改变的一个新向量。

记作 $\lambda \cdot \vec{AB}$，其中$\lambda$ 为实数。

3. 向量的点乘向量的点乘是指将两个向量进行相乘并求和的运算。

点乘的结果是一个实数，它等于两个向量的模长乘积与夹角的余弦值。

记作 $\vec{AB} \cdot \vec{CD} = |\vec{AB}| \cdot |\vec{CD}| \cos\theta$，其中 $\theta$ 为两向量之间的夹角。

高二数学空间向量知识点总结归纳

高二数学空间向量知识点总结归纳数学中的空间向量是指存在于三维空间中的有方向和大小的物理量。

在高二数学中，我们学习了关于空间向量的各种性质和运算法则，以及与之相关的应用。

本文将对高二数学空间向量的知识点进行总结和归纳。

一、空间向量的定义与表示方法在空间中，向量可以用有序数对或有序三元组表示。

通常，我们用大写字母表示向量，如AB、CD等。

表示向量的有序数组称为坐标，常用小写字母表示，如a、b、c等。

假设向量AB的坐标为(a₁, a₂,a₃)，则可表示为AB = a₁i + a₂j + a₃k，其中i、j、k分别表示x、y、z轴的单位向量。

二、向量的基本运算法则1. 向量的加法向量的加法遵循平行四边形法则，即将两个向量的起点相连接，然后以这条连线为对角线构建平行四边形，向量的和为平行四边形的对角线向量。

2. 向量的减法向量的减法可以转化为向量的加法，即A-B = A + (-B)，其中-B表示B的反向量。

所以，向量A减去向量B，可以先求出B的反向量，再用向量的加法进行计算。

3. 向量的数量积向量的数量积又称为点积，用符号·表示。

设有两个向量A = a₁i + a₂j + a₃k和B = b₁i + b₂j + b₃k，则向量A和B的数量积为A·B = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃。

4. 向量的向量积向量的向量积又称为叉积，用符号×表示。

设有两个向量A = a₁i + a₂j + a₃k和B = b₁i + b₂j + b₃k，则向量A和B的向量积为A×B = (a₂b₃ - a₃b₂)i + (a₃b₁ - a₁b₃)j + (a₁b₂ - a₂b₁)k。

三、空间向量的性质与定理1. 平行向量如果两个向量的方向相同或相反，则它们被称为平行向量。

平行向量的数量积为零。

2. 垂直向量如果两个向量的数量积为零，则它们被称为垂直向量。

垂直向量的叉积也为零。

3. 向量共面如果三个向量可以放在同一个平面上，则它们被称为共面向量。

人教版数学高二选修2-1课件空间向量与平行关系

B.l⊂α
C.l⊥α
D.l⊂α或l∥α
解析 ∵a·b＝0，∴l⊂α或l∥α.
解析答案
12345
5.在直三棱柱ABC－A1B1C1中，以下向量可以作为平面ABC法向量的是 _②__③__.(填序号) ①A→B；②A—A→1；③B—1→B；④A—1—C→1. 解析 ∵AA1⊥平面ABC，B1B⊥平面ABC， ∴A—A→1与B—1→B可以作为平面 ABC 的法向量.
12345
2.已知线段AB的两端点坐标为A(9，－3,4)，B(9,2,1)，则线段AB与坐标
平面( C )
A.xOy平行
B.xOz平行为A→B＝(9,2,1)－(9，－3,4)＝(0,5，－3)，所以AB∥平面yOz.
解析答案
12345
3.若A(1,0，－1)，B(2,1,2)在直线l上，则直线l的一个方向向量是( A )
解析答案
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当堂检测
12345
1.已知a＝(2,4,5)，b＝(3，x，y)分别是直线l1、l2的方向向量.若l1∥l2，则( D )
A.x＝6，y＝15 C.x＝3，y＝15
B.x＝3，y＝125 D.x＝6，y＝125
解析由 l1∥l2 得，23＝4x＝5y，解得 x＝6，y＝125.
解析答案
第三章 § 3.2 立体几何中的向量方法
第1课时空间向量与平行关系
学习目标
1.理解直线的方向向量与平面的法向量，并能运用它们证明平行问题. 2.会用向量语言表述线线、线面、面面的平行关系.
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知识点一直线的方向向量和平面的法向量

高二数学选修2-1专题5 用空间向量解决平行与垂直的证明- -学生

用空间向量解决平行与垂直的证明考向一用坐标法证明平行问题1、在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是CC1，B1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD．2、如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点，过点E作EF⊥PB于点F.求证：P A∥平面EDB；3、如图，在四面体ABCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD＝2，BD＝22，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且A Q＝3Q C.求证：P Q∥平面BCD.4、如图所示，在底面是矩形的四棱锥PABCD中，P A⊥底面ABCD，E，F分别是PC，PD的中点，P A＝AB＝1，BC＝2.求证：EF∥平面P AB；5、在如图324所示的多面体中，EF⊥平面AEB，AE⊥EB，AD∥EF，EF∥BC，BC＝2AD＝4，EF＝3，AE＝BE＝2，G是BC的中点，求证：AB∥平面DEG.图324考向二用坐标法证明垂直问题1、在直三棱柱ABCA1B1C1中，∠ABC＝90°，BC＝2，CC1＝4，点E在线段BB1上，且EB1＝1，D，F，G分别为CC1，C1B1，C1A1的中点．求证：B1D∠平面ABD；2、如图所示，正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点，求证：AB1⊥平面A1BD．3、如图所示，在底面是矩形的四棱锥PABCD中，P A⊥底面ABCD，E，F分别是PC，PD的中点，P A＝AB＝1，BC＝2.求证：平面P AD⊥平面PDC.4、如图，在三棱锥PABC中，AB＝AC，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上．已知BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2.(1)证明：AP⊥BC；(2)若点M是线段AP上一点，且AM＝3.试证明平面AMC⊥平面BMC.5、如图所示，已知四棱锥P ABCD 的底面是直角梯形，∠ABC ＝∠BCD ＝90°，AB ＝BC ＝PB ＝PC ＝2CD ，平面PBC ⊥底面ABCD .求证：(1)P A ⊥BD ；(2)平面P AD ⊥平面P AB .6、如图1，在四棱锥中，底面是正方形，⊥底面，且，是的中点．求证：（1）直线平面；（2）平面平面．图1 图2S ABCD -ABCD AS ABCD AS AB =E SC AD ⊥SAB BDE ⊥ABCD考向三用坐标法解决探索性问题1、如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，BC⊥AC，BC＝AC＝AA1＝2，D为AC的中点．(1)求证：AB1∥平面BDC1；(2)设AB1的中点为G，问：在矩形BCC1B1内是否存在点H，使得GH⊥平面BDC1.若存在，求出点H的位置，若不存在，说明理由．2、如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面P AD⊥底面ABCD，E，F分别为P A，BD中点，P A＝PD＝AD＝2.(1)求证：EF∥平面PBC；(2)在棱PC上是否存在一点G，使GF⊥平面EDF？若存在，指出点G的位置；若不存在，说明理由．。

高二数学--用空间向量研究直线,平面的位置关系

(2)设出平面的一个法向量为n (x, y, z)
(3)根据法向量的定义建立关于x, y, z的
方程组
n
a
0
n b 0
(讲课 4)解方程组，取其中一个坐标的值，即得法向量。
人
：
邢
启强
21
复习引入平行关系：
设直线 l, m 的方向向量分别为 a, b ，平面
, 的法向量分别为 u, v ，则
已知：直线m，n是平面内的任意两条相交直线，
且 l m,l n. 求证：l .
解：设直线l, m, n的方向向量分别为a,b, c.
l m,l n,a b, a b 0. 同理a c 0.
m, n ,且m, n相交，
内任一向量 p可以表示为如下形式：
p xb yc, x, y R.
讲
课
人
：
邢
启强
16
巩固练习
如图，在四面体ABCD中，E是BC的中点，直线AD 上是否存在点F,使得AE//CF?
讲
课
人
：
邢
启强
17
巩固练习如图，在正方体AC1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是棱CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ//平面PAO?
讲
课
人
：
也就是说用直线的方向向量和平面的法向量来证明位置关系.
1.用向量方法证明两直线平行
讲
课
人
：
邢
启强
5
例题讲评
例1：如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F 分别是面ABB1A1,面A1B1C1D1的中心，求证： EF//平面ACD1.
讲

第1课时空间向量与平行关系(课件)(人教A版2019选修一)高二数学同步精品

取 x＝1，则 y＝－1，z＝1，故平面 EDB 的一个法向量为 n＝(1，－1,1)．
经典例题
题型一求平面的法向量
总结
求平面法向量的步骤 1.设法向量 n＝(x，y，z)； 2.在已知平面内找两个不共线向量 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)； 3.建立方程组nn··ba＝＝ba11xx＋＋ba22yy＋＋ba33zz＝＝00；， 4.解方程组：用一个未知量表示其他两个未知量，然后对用来表示两未知量的未知量赋以特殊值，从而得到平面的一个法向量．
(2)直线 l 的一个方向向量为 a＝(－1,2,1)，平面 α 的一个法向量为 n＝(－1，－1,1)，
l⊄α，则 l∥α.( √ )
(3)若点 A(－1,0,1)，B(1,4,7)在直线 l 上，则直线 l 的向量参数方程可以为A→P＝
tA→B.( √ )
(4)两个平面的法向量平行，则这两个平面平行；两个平面的法向量垂直，则这两
则n·D→A1＝0， n·D→B＝0，
得xx＋＋zy＝＝00，.
取 x＝1，得 y＝－1，z＝－1，∴n＝(1，－1，－1)．
∵M→N·n＝12，0，12·(1，－1，－1)＝0，∴M→N⊥n．又∵MN⊄平面 A1BD，∴MN∥平面 A1BD．
经典例题
题型三证明线面、面面平行
总结
1.向量法证明线面平行的思路
自主学习
二．直线的方向向量与平面的法向量 1.直线的方向向量的定义直线的方向向量是指和这条直线平行或共线的非零向量，一条直线的方向向量有无数个． 2.平面的法向量的定义直线 l⊥α，取直线 l 的方向向量 a，则向量 a 叫做平面 α 的法向量．
自主学习
解读：（1）法向量不能为零向量；（2）法向量与平面内任一向量垂直；（3）平面的法向量可以有无数个，任意两个都是共线向量.

用空间向量研究空间中直线、平面的平行(第2课时)(课件)高二数学选择性必修第一册(人教A版2019)

n
应用新知
例 1：如图,在正方体 ABCD A1B1C1D1 中, E, F 分别为 DD1 和 BB1 的中点.
求证:四边形 AEC1 F 是平行四边形.
分析：要证明四边形 AEC1F 是平行四边形，只需证明对边
平行要证明四边形 AEC1F 的对边平行，只需证明其
对边的方向向量共线即可.
【详解】如下图，以点 D 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，
(2)在建立空间直角坐标系后,主要问题是求出空间两直线的方向向量的
坐标.
应用新知
规律小结
利用空间向量证明线线平行的方法步骤
(1)建立适当的空间直角坐标系,求出相应点的坐标.
(2)求出直线的方向向量.
(3)证明两向量共线.
(4)证明其中一个向量所在直线上的一点不在另一个向量所在的直线上,
即表示方向向量的有向线段不共线,从而得证.
1
1

不妨设正方体的棱长为 1，则 A 1, 0, 0 , E 0, 0, , C1 0,1,1 , F 1,1, ,
2
2

1
1
1
1

所以 AE 1, 0, , FC1 1, 0, , EC1 0,1, , AF 0,1, ,
个法向量平行.
(2)转化的思路:根据两个平面平行的判定定理,把证明两个平面平行转化
为证明线面平行或线线平行,再利用空间向量证明.
应用新知
变式训练：
2. 如图 , 在直四棱柱 ABCD A1B1C1D1 中 , 底面 ABCD为等腰梯形 , AB / /CD ，

高二数学复习考点知识与题型专题讲解5---用空间向量研究直线、平面的位置关系

高二数学复习考点知识与题型专题讲解1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系【考点梳理】考点一：空间中点、直线和平面的向量表示1.空间中点的位置向量如图，在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量OP→来表示．我们把向量OP→称为点P的位置向量．2.空间中直线的向量表示式直线l的方向向量为a，且过点A.如图，取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使OP→＝OA→＋t a，①把AB→＝a代入①式得OP→＝OA→＋tAB→，②①式和②式都称为空间直线的向量表示式．3.空间中平面的向量表示式平面ABC的向量表示式：空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x，y，使OP→＝OA→＋xAB→＋yAC→.我们称为空间平面ABC的向量表示式．考点二空间中平面的法向量平面的法向量如图，若直线l⊥α，取直线l的方向向量a，我们称a为平面α的法向量；过点A且以a为法向量的平面完全确定，可以表示为集合 {P|a·AP→＝0}．考点三：空间中直线、平面的平行1.线线平行的向量表示设u1，u2分别是直线l1，l2的方向向量，则l∥l2⇔u1∥u2⇔∃λ∈R，使得u1＝λu2.12.线面平行的向量表示设u是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，l⊄α，则l∥α⇔u⊥n⇔u·n＝0.面面平行的向量表示设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α∥β⇔n∥n2⇔∃λ∈R，使得n1＝λn2 .1考点四：空间中直线、平面的垂直1.线线垂直的向量表示设u1，u2分别是直线l1 , l2的方向向量，则l⊥l2⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0.12. 线面垂直的向量表示设u 是直线 l 的方向向量，n 是平面α的法向量， l ⊄α，则l ⊥α⇔u ∥n ⇔∃λ∈R ，使得u ＝λn .知识点三面面垂直的向量表示设n 1，n 2 分别是平面α，β的法向量，则α⊥β⇔n 1⊥n 2⇔n 1·n 2＝0.【题型归纳】题型一：平面的法向量的求法1．（2021·江西·景德镇一中高二期中（理））已知直线l 过点(1,0,1)P -，平行于向量(211)S =,,，平面π经过直线l 和点(1,2,3)A ，则平面π的一个法向量n 的坐标为（）A ．1212⎛⎫- ⎪⎝⎭,,B ．1122⎛⎫- ⎪⎝⎭,,C ．(1,0,2)-D ．(120)-,, 2．（2021·山西·太原市第六十六中学校高二期中）已知平面α经过点(1,1,1)A 和(1,1,)B z -，(1,0,1)n =-是平面α的法向量，则实数z =（）A ．3B ．1-C ．2-D ．3-3．（2021·全国·高二课时练习）如图，四棱柱1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是正方形，O 为底面中心，1A O ⊥平面ABCD ，1AB AA =1OCB 的法向量(),,n x y z =为（）A ．()0,1,1B ．()1,1,1-C ．()1,0,1-D ．()1,1,1--题型二：空间中点、直线和平面的向量表示4．（2021·全国·高二专题练习）已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点，如果()2,1,4AB =--，(4,2,0)AD =，(1,2,1)AP =--.对于结论：①||6AD =；②AP AD ⊥；③AP 是平面ABCD 的法向量；④AP//BD .其中正确的是（） A ．②④B ．②③C ．①③D ．①②5．（2022·全国·高二）已知平面α内有一点A (2，－1,2)，它的一个法向量为(3,1,2)n =，则下列点P 中，在平面α内的是（） A ．(1，－1,1)B ．(1,3，32)C ．(1，－3，32)D ．(－1,3，－32)6．（2022·四川·棠湖中学高二）对于空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，且有(,,)OP xOA yOB zOC x y z R =++∈，则2x =，3y =-，2z =是P ,A ,B ,C 四点共面的( ) A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件7．（2022·福建·高二学业考试）如图，在长方体体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别是棱111,BB B C 的中点，以下说法正确的是（）A ．1A E 平面11CC D DB ．1A E ⊥平面11BCC B C ．11A ED F ∥D ．11AE DF ⊥8．（2022·山东淄博·高二期末）在空间直角坐标系Oxyz 中，平面α的法向量为()1,1,1n =，直线l 的方向向量为m ，则下列说法正确的是（）A ．若11,,122m ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，则//l αB ．若()1,0,1m =-，则l α⊥C ．平面α与所有坐标轴相交D ．原点O 一定不在平面α内9．（2022·安徽宣城·高二期末）如图已知正方体1111ABCD A B C D -，点M 是对角线1AC 上的一点且1AM AC λ=，()0,1λ∈，则（）A ．当12λ=时，1AC ⊥平面1A DMB ．当12λ=时，//DM 平面11CB D C ．当1A DM 为直角三角形时，13λ=D ．当1A DM 的面积最小时，13λ=10．（2021·湖北黄冈·高二期中）已知1v 、2v 分别为直线1l 、2l 的方向向量（1l 、2l 不重合），1n ，2n 分别为平面α，β的法向量（α，β不重合），则下列说法中不正确的是（）A ．1212v v l l ⇔∥∥；B ．111v n l α⊥⇔∥；C ．12n n αβ⊥⇔⊥D ．12n n αβ⇔∥∥11．（2021·安徽·高二期中）给出以下命题，其中正确的是（） A ．直线l 的方向向量为()1,1,2a =-，直线m 的方向向量为()2,1,1b =-，则l 与m 垂直 B ．直线l 的方向向量为()0,1,1a =-，平面α的法向量为()1,1,1n =，则l α⊥ C ．平面α､β的法向量分别为()10,1,3=n ，()21,0,2=n ，则αβ∥D ．平面α经过三个点()1,0,1A -，()0,1,0B -，()1,2,0C -，向量()1,,n p q =是平面α的法向量，则53p q +=12．（2022·全国·高二课时练习）若空间两直线1l 与2l 的方向向量分别为()123,,a a a a =和()123,,b b b b =，则两直线1l 与2l 垂直的充要条件为（）A ．11a b λ=，22a b λ=，33a b λ=（R λ∈）B ．存在实数k ，使得a kb =C ．1122330a b a b a b ++=D ．a b a b ⋅=±⋅题型五：空间向量研究直线、平面的位置综合问题13．（2022·全国·高二课时练习）在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1CC 的中点，P 、Q 是正方体表面上相异两点．若P 、Q 均在平面1111D C B A 上，满足1BP A E ⊥，1BQ A E ⊥．(1)判断PQ 与BD 的位置关系； (2)求1A P 的最小值．14．（2022·福建宁德·高二期中）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，其中AD BC ∥.,3,2,AD AB AD AB BC PA ⊥===⊥平面ABCD ，且3PA =，点M 在棱PD 上，点N 为BC 中点.(1)若2DM MP =，证明：直线//MN 平面PAB ：(2)线段PD 上是否存在点M ，使NM 与平面PCD 6PM PD 值；若不存在，说明理由15．（2022·江苏·沛县教师发展中心高二期中）如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，122AA AB ==，E ，F 分别为棱1AA ，1CC 的中点，G 为棱1DD 上的动点.(1)求证：B ，E ，1D ，F 四点共面；(2)是否存在点G ，使得平面GEF ⊥平面BEF ？若存在，求出DG 的长度；若不存在，说明理由.【双基达标】一、单选题16．（2022·四川省成都市新都一中高二期中（理））在直三棱柱ABC A B C '''-中，底面是以B 为直角项点，边长为1的等腰直角三角形，若在棱CC '上有唯一的一点E 使得A E EB '⊥，那么BB '=（）A ．1B ．2C ．12D ．1317．（2022·江苏·滨海县五汛中学高二期中）已知平面α的法向量为(342)n =-，，，(342)AB =--，，，则直线AB 与平面α的位置关系为（）A ．AB α∥B ．AB α⊥C ．AB α⊂D ．AB α⊂或AB α∥18．（2022·广东·广州奥林匹克中学高二阶段练习）如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，O 是底面ABCD 的中心，,E F 分别是11,BB DD 的中点，则下列结论正确的是（）A ．1A O //EFB ．1A O EF ⊥C ．1A O //平面1EFBD ．1A O ⊥平面1EFB 19．（2022·全国·高二）有以下命题： ①一个平面的单位法向量是唯一的②一条直线的方向向量和一个平面的法向量平行，则这条直线和这个平面平行 ③若两个平面的法向量不平行，则这两个平面相交④若一条直线的方向向量垂直于一个平面内两条直线的方向向量，则直线和平面垂直其中真命题的个数有（） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个20．（2022·全国·高二课时练习）如图，在空间直角坐标系中，有正方体ABCD A B C D ''''-，给出下列结论：①直线DD '的一个方向向量为1(0,0,1)v =；②直线BC '的一个方向向量为2(0,1,1)v =； ③平面ABB A ''的一个法向量为1(0,1,0)n =；④平面B CD '的一个法向量为2(1,1,1)n =．其中正确的个数为（）． A ．1B ．2C ．3D ．421．（2022·全国·高二）已知直线1l 经过点1(1,2,3)P -，平行于向量1(1,1,2)s =-，直线2l 经过点2(1,2,0)P -，平行于向量2(0,1,1)s =，求与两直线1l ，2l 都平行的平面α的一个法向量的坐标．22．（2022·全国·高二）如图所示，已知矩形ABCD 和矩形ADEF 所在的平面互相垂直，点M ，N 分别在对角线BD ，AE 上，且13BM BD =，13AN AE =．(1)求证：MN AD ⊥；(2)若1CD DE ==，求MN 的长．【高分突破】一：单选题23．（2022·江苏·盐城市伍佑中学高二阶段练习）若直线l 的一个方向向量为()1,2,1a =--，平面α的一个法向量为()2,4,2b =-，则（）A ．l α⊂B ．//l αC ．l α⊥D ．//l α或l α⊂24．（2022·江苏苏州·高二期末）已知平面α的一个法向量为n =（2，－2，4）， AB =（－1，1，－2），则AB 所在直线l 与平面α的位置关系为（） A ．l ⊥αB ．l α⊂C ．l 与α相交但不垂直D ．l ∥α25．（2021·全国·高二如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，90ABC ∠=，60BAC ∠=，2PA AB ==．以点B 为原点，分别以BC ，BA ，AP 的方向为x ，y ，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，设平面PAB 和平面PBC 的法向量分别为m 和n ，则下面选项中正确的是（）．A ．点P 的坐标为()0,0,2-B ．()4,0,2PC =- C ．n 可能为()0,2,2-D ．cos ,0m n >26．（2021·云南·巍山彝族回族自治县第二中学高二）设α，β是不重合的两个平面，α，β的法向量分别为1n ，2n ，l 和m 是不重合的两条直线，l ，m 的方向向量分别为1e ，2e ，那么αβ∥的一个充分条件是（）A ．l α⊂，m β⊂，且11e n ⊥，22e n ⊥B ．l α⊂，m β⊂，且12e e ∥C ．11e n ∥，22e n ∥，且12e e ∥D ．11e n ⊥，22e n ⊥，且12e e ∥27．（2021·浙江金华第一中学高二期中）平面四边形ABEF 和四边形CDFE 都是边长为1的正方形，且平面ABEF ⊥CDFE ，点G 为线段AF 的中点，点P ，Q 分别为线段BE 和CE 上的动点（不包括端点）.若GQ DP ⊥，则线段PQ 的长度的取值范围为（）A ．⎡⎣B ．⎣C ．⎣D ．⎣⎭ 28．（2021·湖北·武汉市第十四中学高二阶段练习）设a ，b 是两条直线，a ，b 分别为直线a ，b 的方向向量，α，β是两个平面，且a α⊥，b β⊥，则“αβ⊥”是“a b ⊥”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件29．（2021·河南·高二阶段练习（理））给出下列命题：①直线l 的方向向量为()1,1,2a =-，直线m 的方向向量为12,1,2⎛⎫=- ⎪⎝⎭b ，则l m ⊥②直线l 的方向向量为()0,1,1a =-，平面α的法向量为()1,1,1n =--，则l α⊥. ③平面,αβ的法向量分别为()()120,1,310,,,2n n ==，则//αβ.④平面α经过三点A (1，0，－1)，B (0，1，0)，C (－1，2，0)，向量()1,,=n u t 是平面α的法向量，则u ＋t ＝1.其中真命题的序号是（）A ．②③B ．①④C ．③④D ．①②30．（2021·安徽省五河第一中学高二阶段练习）已知点(2A ，1-，2)在平面α内，(3n =，1，2)是平面α的一个法向量，则下列点P 中，在平面α内的是（） A ．(1P ，1-，1)B ．P 31,3,2⎛⎫⎪⎝⎭C ．31,3,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．31,3,4P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭31．（2021·北京·汇文中学高二期中）若,αβ表示不同的平面，平面α的一个法向量为1(1,2,1)v =，平面β的一个法向量为2(2,4,2)v =---，则平面α与平面β（）A ．平行B ．垂直C ．相交D ．不确定32．（2021·重庆市第十一中学校高二期中）已知直线l 的方向向量是(3,2,1)a =-，平面α的法向量是1,2(,)1n =-，则l 与α的位置关系是（） A ．l α⊥B ．//l αC ．//l α或l α⊂D ．l 与α相交但不垂直二、多选题(共0分)33．（2022·浙江省长兴中学高二期末）直三棱柱111ABC A B C -中，1,,,,CA CB CA CB CC D E M ⊥==分别为11B C ，11,CC AB 的中点，点N 是棱AC 上一动点，则（）A ．对于棱AC 上任意点N ，有1MN BC ⊥B ．棱AC 上存在点N ，使得MN ⊥面1BC NC ．对于棱AC 上任意点N ，有MN 面1A DED ．棱AC 上存在点N ，使得MN DE ∥34．（2022·江苏·涟水县第一中学高二阶段练习）在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB AD ==，12AA =，动点P 在体对角线1BD 上（含端点），则下列结论正确的有（）A ．顶点B 到平面APC 2．存在点P ，使得1BD ⊥平面APC C ．AP PC +30．当P 为1BD 中点时，APC ∠为钝角35．（2022·江苏·连云港高中高二期中）给出下列命题，其中是真命题的是（）A ．若直线l 的方向向量()1,1,2a =-，直线m 的方向向量12,1,2⎛⎫=- ⎪⎝⎭b ，则l 与m 垂直B ．若直线l 的方向向量()0,1,1a =-，平面α的法向量()1,1,1n =--，则l α⊥C ．若平面α，β的法向量分别为()10,1,3=n ，()21,0,2=n ，则αβ⊥D ．若存在实数,,x y 使,=+MP xMA yMB 则点,,,P M A B 共面36．（2022·福建宁德·高二期中）如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1160DAB DAA BAA ∠∠∠===，1AB AD AA ==，点M ，N 分别是棱1111,D C C B 的中点，则下列说法中正确的有（）A ．1MN AC ⊥B ．向量1,,AN BC BB 共面 C ．1CA ⊥平面1C BDD ．若AB =1637．（2022·江苏常州·高二期中）下列命题是真命题的有（） A ．A ，B ，M ，N 是空间四点，若,,BA BM BN 不能构成空间的一个基底，那么A ，B ，M ，N 共面B ．直线l 的方向向量为()1,1,2a =-，直线m 的方向向量为12,1,2b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则l 与m 垂直C ．直线l 的方向向量为()0,1,1a =-，平面α的法向量为()1,1,1n =--，则l ⊥αD ．平面α经过三点(1,0,1),(0,1,0),(1,2,0),(1,,)A B C n u t --=是平面α的法向量，则1u t += 38．（2022·江苏宿迁·高二期中）给定下列命题，其中正确的命题是（） A ．若n 是平面α的法向量，且向量a 是平面α内的直线l 的方向向量，则0a n ⋅= B ．若1n ，2n 分别是不重合的两平面,αβ的法向量，则12//0n n αβ⇔⋅= C ．若1n ，2n 分别是不重合的两平面,αβ的法向量，则1212//n n n n αβ⇔⋅=⋅ D ．若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直39．（2022·江苏常州·高二期中）如图，在边长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在线段1B C 上运动，则下列结论正确的是（）A ．1BD AP ⊥B ．AP PB +26+ C ．异面直线AP 与1A D 23D ．11APB C PD ∠=∠40．（2022·全国·高二课时练习）给定下列命题，其中正确的命题是（） A ．若1n ，2n 分别是平面α，β的法向量，则12n n αβ⇔∥∥ B ．若1n ，2n 分别是平面α，β的法向量，则120n n αβ⇔⋅=∥C ．若n 是平面α的法向量，且向量a 是平面α内的直线l 的方向向量，则0a n ⋅=D ．若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直三、填空题41．（2022·江苏·淮安市淮安区教师发展中心学科研训处高二期中）已知平面,ABC (1,2,3),(4,5,6)AB AC ==，写出平面ABC 的一个法向量n =______．42．（2022·四川省成都市新都一中高二期中（理））若直线l 的一个方向向量为()1,2,1a =-，平面a 的一个法向量为()1,2,1b =--，则直线l 与平面α的位置关系是______． 43．（2022·全国·高二课时练习）已知1v ､2v 分别为不重合的两直线1l ､2l 的方向向量，1n､2n 分别为不重合的两平面α､β的法向量，则下列所有正确结论的序号是___________. ①2121////v v l l ⇔；②2121v l l v ⊥⇔⊥；③12////n n αβ⇔；④12n n αβ⊥⇔⊥.44．（2022·四川成都·高二期中（理））如图，已知棱长为2的正方体A ′B ′C ′D ′－ABCD ，M 是正方形BB ′C ′C 的中心，P 是△A ′C ′D 内（包括边界）的动点，满足PM =PD ，则点P 的轨迹长度为______．45．（2022·全国·高二课时练习）向量,,i j k 分别代表空间直角坐标系与,,x y z 轴同方向的单位向量，若45a i j k =-+，44b mi j k =+-，若a 与b 垂直，则实数m =______． 46．（2022·全国·高二课时练习）放置于空间直角坐标系中的棱长为2的正四面体ABCD 中，H 是底面中心，DH ⊥平面ABC ，写出：（1）直线BC 的一个方向向量___________；（2）点OD 的一个方向向量___________；（3）平面BHD 的一个法向量___________；（4）DBC △的重心坐标___________.47．（2022·上海·格致中学高二期末）已知向量()1,2,a m m =+是直线l 的一个方向向量，向量()1,,2n m =是平面α的一个法向量，若直线l ⊥平面α，则实数m 的值为______． 48．（2021·河北省盐山中学高二阶段练习）已知P 是ABCD 所在的平面外一点，()2,1,4AB =--，()4,2,0AD =，()1,2,1AP =--，给出下列结论：①AP AB ⊥； ②AP AD ⊥；③AP 是平面ABCD 的一个法向量；④AP//BD ，其中正确结论的个数是__________．四、解答题49．（2022·全国·高二）如图所示，在棱长为1的正方体1111OABC O A B C -，中，E 、F 分别是棱AB 、BC 上的动点，且AE BF x ==，其中01x ≤≤，以O 为原点建立空间直角坐标系O xyz -．(1)求证：11A F C E ⊥；(2)若1A 、E 、F 、1C 四点共面，求证：111112A F AC A E =+．50．（2022·全国·高二）如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为正方形，侧棱SD ⊥底面ABCD ，E ､F ､G 分别为AB ､SC ､SD 的中点.若AB a ，SD b =.(1)求EF ； (2)求cos ,AG BC ； (3)判断四边形AEFG 的形状.51．（2022·湖南·高二）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，6AD =，13AA =，建立适当的空间直角坐标系，求下列平面的一个法向量：(1)平面ABCD ； (2)平面11ACC A ； (3)平面1ACD ．52．（2022·全国·高二课时练习）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABC D ．(1)分别指出平面PAD 、平面PAB 的一个法向量；(2)若AB AD AP ==，试在图中作出平面PDC 的一个法向量； (3)PBD △是否有可能是直角三角形？(4)根据法向量判断平面PBC 与平面PDC 是否有可能垂直．53．（2022·浙江绍兴·高二期末）正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为2，侧棱长为4.E 为棱1AA 上的动点，F 为棱1CC 的中点.(1)证明：1EC BD ⊥；(2)若E 为棱1AA 上的中点，求直线BE 到平面11B D F 的距离.【答案详解】1．A 【解析】【分析】设法向量(),,n x y z =，利用空间向量的数量积即可求解. 【详解】由题意可得()0,2,4AP =--,设经过直线l 和点A 平面的法向量为(),,n x y z =，则24020n AP y z n s x y z ⎧⋅=--=⎨⋅=++=⎩，令1x =，则4,2y z =-= ，所以()1,4,2n =-，所以经过直线l 和点A 平面的法向量为()(),4,2,0t t t t R t -∈≠. 故选：A 2．B 【解析】【分析】由(1,0,1)n =-是平面α的法向量，可得0AB n ⋅=，即可得出答案. 【详解】解：()2,0,1AB z =--，因为(1,0,1)n =-是平面α的法向量，所以0AB n ⋅=，即()210z ---=，解得1z =-. 故选：B. 3．C 【解析】【分析】根据空间直角坐标系写出各向量，利用法向量的性质可得解. 【详解】ABCD 是正方形，且AB1AO OC ∴==，11OA ∴=，()0,1,0A ∴-，()1,0,0B ，()0,1,0C ，()10,0,1A ，()1,1,0AB ∴=，()0,1,0OC =，又()111,1,0A B AB ==，()11,1,1B ∴，()11,1,1OB =，平面1OCB 的法向量为(),,n x y z =，则00y x y z =⎧⎨++=⎩，得0y =，x z =-，结合选项，可得()1,0,1n =-，故选：C. 4．B 【解析】【分析】求出||25AD = 0AP AD ⋅=判断②正确；由AP AB ⊥，AP AD ⊥判断③正确；假设存在λ使得λ=AP BD ，由122314λλλ-=⎧⎪=⎨⎪-=⎩无解，判断④不正确.【详解】由(2AB =，1-，4)-，(4AD =，2，0)，(1AP =-，2，1)-，知：在①中，||166AD ==≠，故①不正确；在②中，4400AP AD ⋅=-++=，∴⊥AP AD ，AP AD ∴⊥，故②正确；在③中，2240AP AB ⋅=--+=， AP AB ∴⊥，又因为AP AD ⊥，AB AD A ⋂=，知AP 是平面ABCD 的法向量，故③正确；在④中，(2BD AD AB =-=，3，4)，假设存在λ使得λ=AP BD ，则122314λλλ-=⎧⎪=⎨⎪-=⎩，无解，故④不正确；综上可得：②③正确．故选：B ．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间向量垂直、向量平行等基础知识，考查了平面的法向量以及空间向量的模，考查推理能力与计算能力，属于基础题． 5．B 【解析】【分析】要判断点P 是否在平面内，只需判断向量PA 与平面的法向量n 是否垂直，即判断PA n 是否为0即可.【详解】对于选项A ，(1,0,1)PA =，则(1,0,1)(3,1,2)50==≠PA n ，故排除A ；对于选项B ，1(1,-4,)2=PA ，则1(1,4,)(3,1,2)34102=-=-+=PA n对于选项C ，1(1,2,)2=PA ，则1(1,2,)(3,1,2)3+21602==+=≠PA n ，故排除C ；对于选项D ，7(3,-4,)2=PA ，则7(3,4,)(3,1,2)9471202=-=-+=≠PA n ，故排除D ；故选:B 6．B 【解析】【分析】利用空间中共面定理：空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，且(),,OP xOA yOB zOC x y z R =++∈,得P ,A ,B ,C 四点共面等价于1x y z ++=，然后分充分性和必要性进行讨论即可. 【详解】解：空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，且(),,OP xOA yOB zOC x y z R =++∈ 则P ,A ,B ,C 四点共面等价于1x y z ++=若2x =，3y =-，2z =，则1x y z ++=，所以P ,A ,B ,C 四点共面若P ,A ,B ,C 四点共面，则1x y z ++=，不能得到2x =，3y =-，2z = 所以2x =，3y =-，2z =是P ,A ,B ,C 四点共面的充分不必要条件故选B. 【点睛】本题考查了空间中四点共面定理，充分必要性的判断，属于基础题.7．A 【解析】【分析】对A ：由平面11ABB A 平面11CC D D ，然后根据面面平行的性质定理即可判断；对B ：若1A E ⊥平面11BCC B ，则1A E ⊥1BB ，这与1A E 和1BB 不垂直相矛盾，从而即可判断；对C 、D ：以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系，由1A E 与1D F 不是共线向量，且2110A E D F b ⋅=>，从而即可判断.【详解】解：对A ：由长方体的性质有平面11ABB A 平面11CC D D ，又1A E ⊂平面11ABB A ，所以1A E 平面11CC D D ，故选项A 正确；对B ：因为E 为棱1BB 的中点，且111A B BB ⊥，所以1A E 与1BB 不垂直，所以若1A E ⊥平面11BCC B ，则1A E ⊥1BB ，这与1A E 和1BB 不垂直相矛盾，故选项B 错误；对C 、D ：以D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设1,,DA a DC b DD c ===，则()1,0,A a c =，,,2c E a b ⎛⎫⎪⎝⎭，()10,0,D c ，,,2a Fbc ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以10,,2cA E b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，1,,02aD F b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，因为1A E 与1D F 不是共线向量，且2110A E D F b ⋅=>，所以1A E 与1D F 不平行，且1A E 与1D F 不垂直，故选项C 、D 错误. 故选：A. 8．C 【解析】【分析】根据空间位置关系的向量方法依次讨论各选项即可得答案. 【详解】解：对于A 选项，111022m n ⋅=--+=，所以m n ⊥，故//l α或l α⊂，故A 选项错误；对于B 选项，1010m n ⋅=+-=，所以m n ⊥，故//l α或l α⊂，故B 选项错误；对于C 选项，由于法向量的横、纵、竖坐标均不取零，故平面不与坐标轴确定的平面平行，所以平面α与所有坐标轴相交，故正确；对于D 选项，由法向量不能确定平面的具体位置，故不能确定原点O 与平面α关系，故错误. 故选：C 9．D 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法一一计算可得；【详解】解：由题可知，如图令正方体的棱长为1，建立空间直角坐标系，则()11,0,0A ，()1,0,1A ，()10,1,0C ，()0,0,1D ，()10,0,0D ，()11,1,0B ，()0,1,1C ，所以()11,1,1AC =--，因为1AM AC λ=，所以()1,,1M λλλ-+-+，所以()1,,1A M λλλ=--+，()1,,DM λλλ=-+-，()11,0,1CB =-，()10,1,1D C =，设平面11CB D 的法向量为(),,n x y z =，则1100CB n x z D C n y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令1x =，则1z =，1y =-，所以()1,1,1n =-对于A ：若1AC ⊥平面1A DM ，则11AC A M ⊥，则()()11110AC A M λλλ⋅=++-⨯-+=，解得13λ=，故A 错误；对于B ：若//DM 平面11CB D ，则DM n ⊥，即10DM n λλλ⋅=-+--=，解得13λ=，故B 错误；当1A DM 为直角三角形时，有1MD MA ⊥，即()()()21110A M DM λλλλλ⋅=--+++--+=，解得23λ=或0λ=（舍去），故C 错误；设M 到1DA 的距离为k ，则22221111323()2236k DM λλλ=-=-+=-+，∴当1A DM 的面积最小时，13λ=，故D 正确．故选：D ．10．B 【解析】【分析】按照方向向量和法向量在线面关系中的应用直接判断即可. 【详解】A 选项：因为1l 、2l 不重合，所以1212v v l l ⇔∥∥，A 正确；B 选项：111v n l α⊥⇔∥或1l α⊂，B 错误；C 选项：12n n αβ⊥⇔⊥，C 正确；D 选项：因为α，β不重合，所以12n n αβ⇔∥∥，D 正确. 故选：B. 11．D 【解析】【分析】判断直线的方向向量和平面的法向量间的关系，判断线线，线面，面面的位置关系，即可判断选项. 【详解】对于A ，因为21210a b ⋅=--=-≠，所以l 与m 不垂直，A 错误；对于B ，因为110a n ⋅=-+=，l α⊥不成立，所以B 错误；对于C ，因为1n 与2n 不平行，所以αβ∥不成立，C 错误；对于D ，()1,1,1AB =--，()1,3,0BC =-，由10n AB p q ⋅=--+=，130n BC p ⋅=-+=，解得13p =，43q =，所以53p q +=，D 正确. 故选：D. 12．C 【解析】【分析】由空间直线垂直时方向向量0a b ⋅=，即可确定充要条件. 【详解】由空间直线垂直的判定知：1122330a b a b a b a b ⋅=++=. 当1122330a b a b a b ++=时，即0a b ⋅=，两直线1l 与2l 垂直. 而A 、B 、D 说明1l 与2l 平行. 故选：C13．(1)PQ 与BD 的位置关系是平行【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量判断PQ 与BD 的位置关系；（2）用含参数的表达式求出1A P ，进而求出最小值. (1)以D 为原点，以射线DA ，DC ，1DD 分别为x ，y ，z 轴的正向建立空间直角坐标系，()11,0,1A ，10,1,2⎛⎫ ⎪⎝⎭E ，()1,1,0B ．因为P 、Q 均在平面1111D C B A 上，所以设(),,1P a b ，(),,1Q m n ，则111,1,2A E ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，()1,1,1BP a b =--，()1,1,1BQ m n =--．因为1BP A E ⊥，1BQ A E ⊥，所以()()()()111110,21110,2BP A E a b BQ A E m n ⎧⋅=--+--=⎪⎪⎨⎪⋅=--+--=⎪⎩解得:1,21.2b a n m ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩所以(),,0PQ n b n b =--，()1,1,0BD =--，即()PQ b n BD =-，PQ BD ，所以PQ 与BD 的位置关系是平行．(2)由（1）可知：12b a -=，()11,,0A P a b =-，所以()101A P a a ===≤≤．当14a =时，1A P 有最小值，最小值为． 14．(1)证明见解析(2)不存在，理由见解析【解析】【分析】（1）以点A 为坐标原点，以AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴建立空间直角坐标系，用向量法证明；（2）利用向量法计算，判断出点M 不存在.(1)如图所示，以点A 为坐标原点，以AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴建立空间直角坐标系，则(0,0,3),(2,0,0),(0,3,0),(2,2,0),(2,1,0)P B D C N若2DM MP =，则(0,1,2)M ，(2,0,2)MN =-因为PA ⊥平面ABCD ，所以AD PA ⊥又因为,AD AB PA AB A ⊥⋂=所以AD ⊥平面PAB平面PAB 的其中一个法向量为(0,3,0)AD =所以0MN AD ⋅=，即AD MN ⊥又因为MN ⊄平面PAB所以//MN 平面PAB(2)不存在符合题意的点M ，理由如下：(0,3,3),(2,1,0),(2,2,0),PD CD DN =-=-=-设平面PCD 的法向量()1111,,n x y z =则111133020PD n y z CD n x y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ 不妨令11x =，则1(1,2,2)n = 设PM PDλ=，即,[0,1]PM PD λλ=∈(0,3,3)PM λλ=-则0,3,(3)3M λλ- 12(2,13,33),sin cos ,1MN MN n λλθ=--==+==解得53λ=或13λ=-，不满足[0,1]λ∈，故不存在符合题意的点M .15．(1)证明见解析(2)存在，12【解析】【分析】（1）连接1D E ，1D F ，取1BB 的中点为M ，连接1MC ，ME ，根据E 为1AA 的中点， F 为1BB 的中点，分别得到11//D E MC ，1//BF MC ，从而有1//BF D E ，再由平面的基本性质证明；（2）以D 为坐标原点，DA ，DC ，1DD 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，假设存在满足题意的点G ，设()0,0,G t ，分别求得平面BEF 的一个法向量()1111,,x n y z =和平面GEF 的一个法向量()2222,,n x y z =，根据平面GEF ⊥平面BEF ，由120n n ⋅=求解.(1)证明：如图所示：连接1D E ，1D F ，取1BB 的中点为M ，连接1MC ，ME ，因为E 为1AA 的中点，所以1111////EM A B C D ，且1111EM A B C D ==，所以四边形11EMC D 为平行四边形，所以11//D E MC ，又因为F 为1BB 的中点，所以1//BM C F ，且1BM C F =，所以四边形1BMC F 为平行四边形，所以1//BF MC ，所以1//BF D E ，所以B ，E ，1D ，F 四点共面；(2)以D 为坐标原点，DA ，DC ，1DD 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，假设存在满足题意的点G ，设()0,0,G t ，由已知()1,1,0B ，()1,0,1E ，()0,1,1F ，则()1,1,0EF =-，()0,1,1EB =-，()1,0,1EG t =--，设平面BEF 的一个法向量为()1111,,x n y z =，则1100n EF n EB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即111100x y y z -+=⎧⎨-=⎩，取11x =，则()11,1,1n =；设平面GEF 的一个法向量为()2222,,n x y z =，则2200n EF n EG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即()1222010x y x t z -+=⎧⎨-+-=⎩，取21x t =-，则()21,1,1n t t =--；因为平面GEF ⊥平面BEF ，所以120n n ⋅=，所以1110t t -+-+=，所以12t =.所以存在满足题意的点G ，使得平面GEF ⊥平面BEF ，DG 的长度为12.【解析】【分析】建立空间直角坐标系，设出()0BB m m '=>，根据垂直和唯一的点E 得到方程22210m m λλ-+=由唯一解，根据二次函数根的分布问题求出2m =.【详解】如图，以B 为坐标原点，BA ，BC ，BB '所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，设()0BB m m '=>，则()()0,0,0,1,0,B A m '，()0,1,E m λ，01λ≤≤，则()()1,1,,0,1,A E m m BE m λλ=--'=，则()()2221,1,0,1,10A E BE m m m m m λλλλ⋅=--⋅=-'+=，因为在棱CC '上有唯一的一点E 使得A E EB '⊥，所以22210m m λλ-+=在01λ≤≤上有唯一的解，令()2221f m m λλλ=-+，可知()()011f f ==，故要想在01λ≤≤上有唯一的解，只需42Δ40m m =-=，因为0m >，所以解得：2m =17．B【解析】【分析】求出AB n =-，即n 与AB 平行，从而求出AB α⊥【详解】因为AB n =-，即(342)n =-，，与(342)AB =--，，平行，所以直线AB 与平面α垂直.故选：B18．B【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明，逐项分析、判断作答.【详解】在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，以点D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，令12,2(0,0)AB a DD b a b ==>>，O 是底面ABCD 的中心，,E F 分别是11,BB DD 的中点，则11(,,0),(2,0,2),(2,2,),(2,2,2),(0,0,)O a a A a b E a a b B a a b F b ，1(,,2)OA a a b =-，1(2,2,0),(0,0,)FE a a EB b ==，对于A ，显然1OA 与FE 不共线，即1A O 与EF 不平行，A 不正确；对于B ，因12()2020OA FE a a a a b ⋅=⋅+-⋅+⋅=，则1OA FE ⊥，即1A O EF ⊥，B 正确；对于C ，设平面1EFB 的法向量为(,,)n x y z =，则12200n EF ax ay n EB bz ⎧⋅=+=⎪⎨⋅==⎪⎩，令1x =，得(1,1,0)n =-， 120OA n a ⋅=>，因此1OA 与n 不垂直，即1A O 不平行于平面1EFB ，C 不正确；对于D ，由选项C 知，1OA 与n 不共线，即1A O 不垂直于平面1EFB ，D 不正确.故选：B19．A【解析】【分析】根据平面单位法向量的定义可判断①，根据直线方向向量与平面法向量的关系判断②，根据两平面法向量关系判断③，根据直线与平面垂直的判定定理判断④.【详解】因为一个平面的单位法向量方向不同，所以有2个，故①错误；当一条直线的方向向量和一个平面的法向量平行时，则这条直线和这个平面垂直，故② 错误；因为两个平面的法向量平行时，平面平行，所以法向量不平行，则这两个平面相交，③正确；若一条直线的方向向量垂直于一个平面内两条相交直线的方向向量，则直线和平面垂直，故④ 错误.故选：A20．A【解析】【分析】由直线的方向向量及平面的法向量的定义即可求解.【详解】解：设正方体ABCD A B C D ''''-的边长为1，则()0,0,0D ，()0,0,1D '，()1,1,0B ，()0,1,1C '，()1,1,1B '，()0,1,0C ，对①：因为(0,0,1)DD '=，所以直线DD '的一个方向向量为1(0,0,1)v =正确；对②：因为()101BC ,,'=-，所以直线BC '的一个方向向量为2(0,1,1)v =不正确；对③：因为OA ⊥平面ABB A ''，又()1,0,0OA =，所以平面ABB A ''的一个法向量为1(0,1,0)n =不正确；对④：因为2(1,1,1)n =，()1,1,1DB '=，()0,1,0DC =，211130DB n ++='⋅=≠，201010DC n ⋅=++=≠，所以平面B CD '的一个法向量为2(1,1,1)n =不正确. 故选：A.21．(3,1,1)-（不唯一）【解析】【分析】由题设，1(1,1,2)s =-、2(0,1,1)s =是直线1l 、2l 的方向向量，设面α的法向量(,,)m x y z =，应用空间向量垂直的坐标表示求法向量即可.【详解】由题设，直线1l 、2l 的方向向量分别为1(1,1,2)s =-、2(0,1,1)s =，而12s s λ≠(R)λ∈，所以直线1l 、2l 不平行，设与两直线1l ，2l 都平行的平面α的一个法向量(,,)m x y z =，所以21200m x y z m z s s y ⎧=-+=⎪⎨=+=⎪⋅⎩⋅，令1z =-，则(3,1,1)m =-. 故与两直线1l ，2l 都平行的平面α的一个法向量的坐标(3,1,1)-.22．(1)见解析【解析】【分析】（1）根据面面垂直的性质证明AB ⊥平面ADEF ，可得AB AF ⊥，再将MN 用,,AB AD AF 表示，再根据向量数量积的运算律证明0MN AD ⋅=，即可得证；（2）根据（1），根据2MN MN =，将MN 用,,AB AD AF 表示，从而可得出答案.(1)证明：在矩形ABCD 中，AB AD ⊥，因为平面ABCD ⊥平面ADEF ，且平面ABCD 平面ADEF AD =， AB 平面ABCD ，所以AB ⊥平面ADEF ，又因AF ⊂平面ADEF ，所以AB AF ⊥， MN MB BA AN =++1133DB BA AE =++()()1133AB AD AB AD AF =--++ 2133AB AF =-+，所以212103333MN AD AB AF AD AB AD AF AD ⎛⎫⋅=-+⋅=-⋅+⋅= ⎪⎝⎭，所以MN AD ⊥； (2)解：因为1CD DE ==，所以1AB AF ==，则222214145339993MN AB AF AB AF AB AF ⎛⎫=-+=+-⋅= ⎪，即MN 23．C 【解析】【分析】推导出//a b ，利用空间向量法可得出线面关系. 【详解】因为()1,2,1a =--，()2,4,2b =-，则2b a =-，即//a b ，因此，l α⊥. 故选：C. 24．A 【解析】【分析】由向量AB 与平面法向量的关系判断直线与平面的位置关系．【详解】因为2AB n -=，所以//AB n ，所以AB α⊥．故选：A ． 25．C 【解析】【分析】根据空间直角坐标系，写出点坐标()0,0,0B ，()0,2,0A ，()23,0,0C ，()0,2,2P ，分别计算即可求值. 【详解】建立空间直角坐标系如图：由题意可得()0,0,0B ，()0,2,0A ，()23,0,0C ，()0,2,2P ，所以()23,2,2PC =--，()0,2,2BP =.设(),,n x y z =，则23220220x y z z y ⎧--=⎪⎨+=⎪⎩，取2z =，可得()0,2,2n =-.因为AB BC ⊥，PA BC ⊥，AB AP A =，所以BC ⊥平面PAB ，因为BC ⊂平面PBC 所以平面PBC ⊥平面PAB ，所以m n ⊥，所以cos ,0m n =. 综上所述，A ，B ，D 错，C 正确. 故选：C 26．C 【解析】【分析】利用面面平行的判定定理、向量位置关系及充分条件的定义即可判断. 【详解】对于A ，l α⊂，m β⊂，且11e n ⊥，22e n ⊥，则α与β相交或平行，故A 错误；对于B ，l α⊂，m β⊂，且12e e ∥，则α与β相交或平行，故B 错误；对于C ，11e n ∥，22e n ∥，且12e e ∥，则αβ∥，故C 正确；对于D ，11e n ⊥，22e n ⊥，且12e e ∥，则α与β相交或平行，故D 错误. 故选：C. 27．D 【解析】【分析】以点E 为坐标原点，建立空间直角坐标系，设()()0,001P m m <<，，，()()00,,01Q n n <<，，根据向量垂直的坐标表示求得112n m =-，再由向量的模的计算公式和二次函数的性质可求得范围. 【详解】解：因为平面四边形ABEF 和四边形CDFE 都是边长为1的正方形，且平面ABEF ⊥CDFE ，所以以点E 为坐标原点，建立空间直角坐标系，如下图所示，则()10,1D ，，11,02G ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，设()()0,001P m m <<，，，()()00,,01Q n n <<，，所以11,2GQ n ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，，()1,1DP m =--，，又GQ DP ⊥，所以0GQ DP ⋅=，即()111,1,11022n m m n ⎛⎫--⋅--=--= ⎪⎝⎭，，，整理得112n m =-，所以222222155241+1+24455PQ m n m m m m m ⎛⎫⎛⎫=+=+-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又01m <<，所以25552PQ ≤<，故选：D.28．C【解析】【分析】根据题意，结合面面垂直的向量证明方法，即可求解. 【详解】由题意可得a ，b 分别是平面α，β的法向量，所以αβ⊥等价于a b ⊥，即“αβ⊥”是“a b ⊥”的充要条件．故选：C. 29．B 【解析】【分析】依据题意得到：①求数量积a b ⋅，得到a b ⊥，即l m ⊥；②求数量积n a ⋅，可得到a n ⊥，故//l α或l α⊂；③利用1n 与2n 的关系，两者既不平行，也不垂直，故两个平面不平行，是相交关系；④利用法向量的定义得到0,0n AB n AC ⋅=⋅=，解出1u =，0=t ，进而可求解．【详解】①11211221102a b ⋅=⨯-⨯-⨯=--=，所以a b ⊥，即l m ⊥，所以①正确． ②011(1)(1)0a n ⋅=-⨯+-⋅-=，所以a n ⊥，所以//l α或l α⊂，所以②错误． ③因为1260n n ⋅=≠，且12n xn ≠，所以α与β是相交的．所以③错误．④因为(1n =，u ，)t 是平面α的法向量，A (1，0，－1)，B (0，1，0)，C (－1，2，0)，所以(1,1,1),(2,2,1)AB AC =-=-．所以0,0n AB n AC ⋅=⋅=，即10220u t u t -++=⎧⎨-++=⎩，解得1u =，0=t ，所以1u t +=．所以④正确．故选：B.30．B 【解析】【分析】根据题意可得AP n ⊥，依次验证是否满足0n AP ⋅=即可. 【详解】设(P x ，y ，)z ，则(2AP x =-，1y +，2)z -；由题意知，AP n ⊥，则0n AP ⋅=，3(2)(1)2(2)0x y z ∴-+++-=，化简得329x y z ++=.验证得，在A 中，311214⨯-+⨯=，不满足条件；在B 中，3313292⨯++⨯=，满足条件；在C 中，3313232⨯-+⨯=，不满足条件；在D 中，()315313242⎛⎫⨯--+⨯-=- ⎪⎝⎭，不满足条件.故选：B. 31．A 【解析】【分析】根据两个平面的法向量平行即可判断出平面α与平面β平行. 【详解】对于平面α的一个法向量为1(1,2,1)v =，平面β的一个法向量为2(2,4,2)v =---，因为1212v v =-，所以12v v 、平行.。

高二数学平面向量与空间向量的夹角与平行

高二数学平面向量与空间向量的夹角与平行数学中的向量是广泛应用于各个领域的概念，其夹角和平行性是研究向量性质的重要内容。

在高中数学的学习阶段，我们首先学习了平面向量，然后逐渐引入了空间向量。

本文将讨论高二阶段数学中平面向量和空间向量之间夹角的概念和计算方法，以及向量的平行性。

一、平面向量的夹角与平行性在平面上，我们常常遇到两个向量的夹角和平行性的问题。

夹角指的是一个向量与另一个向量之间的角度关系。

平行性则指的是两个向量的方向相同或相反。

1. 夹角的定义与计算两个非零向量A和A在平面上的夹角可以用余弦定理来计算。

假设向量A的模为 |A|，向量A的模为 |A|，两向量的夹角为θ，则有以下公式：A·A = |A||A|cosθ其中，A·A表示向量的数量积或点积。

通过上述公式，我们可以求出两个向量的点积值，由点积值求解出夹角θ。

若两向量的点积为零，则它们垂直；若点积大于零，则它们夹角为锐角；若点积小于零，则它们夹角为钝角。

2. 平行与共线的判定如果两个向量A和A的夹角为0或180度，它们即为平行向量。

要判断两向量是否平行，我们可以计算它们的方向向量，若方向向量相等，则它们平行。

此外，两个非零向量平行的充分必要条件是它们的数量积等于零。

二、空间向量的夹角与平行性当我们进一步学习空间向量时，针对夹角和平行性的概念也需要进行拓展。

1. 夹角的定义与计算对于空间中的两个向量A和A，它们的夹角θ 满足以下公式：cosθ = (A·A) / (|A||A|)其中，(A·A) 表示向量的数量积或点积，|A| 和 |A| 分别表示向量的模。

通过该公式，我们可以求出两个向量的点积，从而计算出夹角的值。

同样，若点积为零，则两向量垂直；若点积大于零，则夹角为锐角；若点积小于零，则夹角为钝角。

2. 平行与共线的判定空间中的两个向量A和A，若满足以下条件，则它们平行或共线：a) 两向量的方向向量相等；b) 两向量的数量积等于零。

1.4.1++用空间向量研究直线、平面的位置关系高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册

⋅ = 0,
则
即
21 = 0,
1 ⋅ = 0,
令1 = 1，则1 = −1，1 = 0，
∴平面1 1 的一个法向量为 = 1, −1,0 ．（答案不唯一）
练习巩固
2．在正方体 − 1 1 1 1 中，，分别为棱1 1 ，1 1 的
中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求：
平面的法向量：Ԧ
线面位置关系的向量表示
面 OP=xa+yb
P
α
O
向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对
(，)，使＝＋
Ԧ
.
这样点与向量，不仅可以确定平面，还可
Ԧ
以表示出内的任意一点.
新知探究
探究3：如何用向量表示空间中的平面？
如图，取定空间任意一点，空间一点位
于平面内的充要条件是存在实数，，
C
α A
P
a
b B
(x2 − x1 )2 +(y2 − y1 )2 +(z2 − z1 )2
向向量来确定平面α？
例题讲解
1.如图，在长方体ABCD − A1 B1 C1 D1 中，AB = 4，BC = 3，CC1 = 2，是AB的中点.
以D为原点，DA，DC，DD1 所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直
角坐标系.
(1)求平面BCC1 B1 的法向量；
(2)求平面MCA1 的法向量.
使＝＋ + ．
O
上式称为空间平面的向量表示式. 由此可知，
空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定.
新知探究
我们知道，给定空间一点A和一条直线，则过点A且
垂直于直线的平面是唯一确定的.
(x2 − x1 )2 +(y2 − y1 )2 +(z2 − z1 )2

用空间向量研究直线、平面的位置关系(共2课时)课件-高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

线面平行和垂直的向量表示
课堂小结
线线平行
线面平行
面面平行
课堂小结
线线垂直
线面垂直
面面垂直
本课结束
课后要记得巩固哦!
z
A1
解：DD1∥AA1，AA1＝(0，0，1)，
∴直线DD1的一个方向向量为(0，0，1)；
B1
D1
C1
∵BC1∥AD1，AD1＝(0，1，1)，
D y
A (O)
∴直线BC1的一个方向向量为(0，1，1)．
B
x
C
练一练
练一练
目
录
3 题型
03
新知3－用空间向量解决平行、垂直问题
问题1 由直线与直线、直线与平面或平面与平面的平行关系，
1.4.1用空间向量研究
直线、平面的位置关系
00
前情回顾
点动成线
两点确定一条直线
已知一个点和直线的方向可以确定一条直线
线动成面
三点确定一个平面的推论：
直线和直线外一点确定一个平面
两条相交直线确定一个平面
两条平行直线确定一个平面
00
前情回顾
推广
平面向量
建系
空间向量
代数运算
空间向量解决了哪些几何问题？
可以得到直线的方向向量、平面的法向量间的什么关系?
线线平行
线面平行
面面平行
03
新知3－用空间向量解决平行、垂直问题
问题2 在直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系中
，直线的方向向量、平面的法向量之间有什么关系?
线线垂直
线面垂直
面面垂直
练一练
D
B
练一练
例3
在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD是正方形，侧棱PD垂直于

空间向量与平行关系

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数学-选修2-1
【解】以点 A 为原点，AD、AB、AS 所在的直线分别为 x 轴、 y 轴、z 轴，建立如图所示的坐标系，则 A(0,0,0)，B(0,1,0)，C(1,1,0)， D12，0，0，S(0,0,1)．
(1)∵SA⊥平面 ABCD， ∴A→S＝(0,0,1)是平面 ABCD 的一个法向量． (2)∵AD⊥AB，AD⊥SA，∴AD⊥平面 SAB， ∴A→D＝12，0，0是平面 SAB 的一个法向量．
A．6 和－10
B．－6 和 10
C．－6 和－10
D．6 和 10
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数学-选修2-1
【解析】因为 a 与 b 平行，∴42＝－x3＝5y，解得 x＝－6，y＝10. 【答案】 B
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数学-选修2-1
3．若 u＝(2，－3,1)是平面 α 的一个法向量，则下列向量中能
【思路探究】两直线的方向向量满足什么条件能说明它们平行．
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数学-选修2-1
【解】以点 D 为坐标原点，分别以D→A，D→C，D→D1为正交基底建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为 1，则 A(1,0,0)， E0，0，12，C1(0,1,1)，F1，1，12，
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数学-选修2-1
【证明】如图所示，分别以 DA，DC，DD1 所在的直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设 DA＝a，DC＝b，DD1＝c，则得下列各点的坐标：A(a,0,0)，C1(0，b，c)，E23a，23b，c，Fa，b3，23c.

高二数学空间向量及其运算

例1 利用空间向量的方法证明直线与平面垂直的判定定理：
如果一条直线与平面内的两相交直线都垂直，则这条直线与这个平面垂直.
例2 已知：在空间四边形OABC中，
OA⊥BC，OB⊥AC，求证: OC⊥AB
例3 已知线段AB在平面α内，线段AC⊥α，线段BD⊥AB，且与所成的角为30Ｏ，如果AB=a， AC=BD=b,求C、D间的距离.
重心。
其中不正确的命题的序号是
.
2、已知
a,b,c
是空间向量的
一组基底，则下列向量中可以与向量
p

a b,q a
(A) a
(C)
a 2b

b
构成基底的是(
(B)

b

(D) a 2c
)
a3、b若|向a 量|| ba|与是向b均量为a非与零b向平量行，的则( )
(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)非充分非必要条件
4、已知正方体ABCD-A1B1C1D1，点F是侧面CD1的中心，若，则
AFm=AD mAB,nn=AA1
。
5、对空间任意一点Ｏ，若 OP 3 OA 1 OB 1 OC ，则 A 、 B 、
第课时
2
空间如向果量三基个本向定量理a：, b, c 不共面， p 那么对空间任一向量，存在一
个唯一的有序实数对x、y、z，使
p xa yb zc
推论：设O、A、B、C是不共面的四
个点，则对空间任一点P，都存在唯一的三个有序实数x、y、z，使
OP xOA yOB zOC
488
C、P四点( )

1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系(第1课时)(教学设计)-高二数学(选择性必修第一册)

1．空间中点、直线和平面的向量表示
我们知道面图形等是组成空间几何体的基本元素因此,为了用空间向量解决立体儿何问题,首先要用向量表示空间中的点、直线和平面．
教师引导学生思考下列问题：
问题1：如何确定一个点在空间的位置？
思考：
如何用向量表示空间中的一个点．
如图1.4-1,在空间中,我们取一定点作为基点,那么空间中任意一点就可以用向量来表示．我们把向量称为点的位置向量．
（2）蕴含的思想与方法
对于距离问题,由于前面已研究了两点间的距离,本单元利用向量投影统一研究其余距离问题,其中点到直线的距离,点到平面的距离是核心,其他距离问题都可以转化为这两类距离进行求解.对于角度问题,利用直线的方向向量和平面的法向量,统一将这些角度化归为这些向量之间的夹角,进而利用向量的数量积解决问题.
（3）能归纳出用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”,并自觉地运用“三步曲”解决立体几何中的问题；通过用向量方法、综合几何方法从不同角度解决立体几何问题,体会向量方法的优势以及向量及其运算在解决立体几何问题中的作用.
三、单元教学问题诊断分析
1.
学生在“立体几何初步”的学习中,对于距离和夹角有了一定的认识,但缺乏整体性、系统性.在本章前面的学习中,也已经利用空间向量及其运算、空间向量基本定理等解决了一些简单的立体几何问题,但对于其中的向量方法体会还不够深刻,对于用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”,也达不到熟练运用的程度,特别是在解决综合性问题时,常常对其中的第一步“建立立体图形与空间向量的联系,用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面,把立体几何问题转化为向量问题”缺乏经验和体会.
（3）培育的数学核心素养
通过本单元求解距离和掩度的问题,可以帮助学生归纳用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”,并自觉地运用“三步曲”解决立体几何问题,从而进一步体会向量及其运算在解决立体几何问题中的作用和普适性,培养学生直观想象、数学运算和逻辑推理等素养.