高中数学立体几何解析几何 判定&性质&公式整理(全)
立体几何判定方法和性质汇总
七、圆的标准方程和一般方程是怎样的? 你能总结一下求圆的方程的方法吗?
八、直线与圆的位置关系; 圆与圆的位置关系
平面解析几何直线部分基本题型 及其转化方法
1.关于判断或证明平面内三点共线问题的一 般方法:
(1)用距离公式。根据三点坐标分别计算每 两点之距,若最大的距离等于另两个较小距 离之和则这三点共线,否则不共线;
(2)用斜率公式。分别计算一个点与另两个 点连线的斜率,若两斜率相等或者两斜率都 不存在,则这三点共线,否则不共线;
(3)用直线方程。计算经过其中两个点的直 线方程,再判断另一个点的坐标是否满足该 直线方程,若满足则这三点共线,否则不共 线。
2.求一点P0(x0,y0ຫໍສະໝຸດ Baidu关于一条直线 Ax+By+C=0的对称点P的坐标的问题。
0 90
斜线与平面所成的角的取值范围是:
0 90
二面角的大小用它的平面角来度量;取 值范围是:0 180
最小角定理及公式 cos cos1 cos2
十、三角形的心 1 、内心:内切圆的圆心是角平分线的交点
2、外心:外接圆的圆心是垂直平分线的 交点
3、 重心:中线的交点 4、 垂心:高的交点
(2)试对你的画法给出证明.
A
P
M
F
C
N
E
B
例2 在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD 是一直角梯形,∠BAD=90°,AD∥BC, 且PA⊥底面ABCD,
数学中的立体几何与解析几何
数学中的立体几何与解析几何
数学是一门抽象而又具有深度的学科,其中包含了多个分支。在这些分支中,
立体几何和解析几何是两个重要的领域。立体几何研究的是空间中的图形和物体,而解析几何则研究的是代数和几何的结合。本文将探讨数学中的立体几何与解析几何的相关概念和应用。
立体几何是研究空间中的图形和物体的分支。它涉及到空间的三个维度:长度、宽度和高度。立体几何的基本概念包括点、线、面和体。点是没有大小和形状的,它只有位置。线是由无数个点组成的,它有长度但没有宽度和高度。面是由无数个线组成的,它有长度和宽度但没有高度。体是由无数个面组成的,它有长度、宽度和高度。立体几何通过研究这些基本概念之间的关系和性质,探索空间中的图形和物体的特征。
立体几何的应用非常广泛。在建筑设计中,立体几何被用来研究建筑物的形状
和结构。建筑师需要考虑到建筑物的稳定性和美观性,而立体几何可以帮助他们理解和分析建筑物的空间结构。在工程领域中,立体几何可以应用于设计和制造复杂的机械零件。通过使用立体几何的概念和方法,工程师可以更好地理解和控制机械零件的形状和运动。此外,立体几何还可以应用于计算机图形学、地理测量学和物理学等领域。
与立体几何相对应的是解析几何。解析几何是代数和几何的结合,它通过使用
代数方法研究几何问题。解析几何的基本概念包括点、坐标和方程。在解析几何中,点可以用坐标来表示,坐标是一个有序数对,表示点在坐标系中的位置。方程则是用代数表达式来描述几何图形和物体的性质。解析几何通过研究点的坐标和方程之间的关系,探索几何图形和物体的特征。
解析几何和立体几何中所需要的平面几何知识汇总
立体几何中所需要的平面几何知识
汇总
一、三角形
1. 三角形的“心”
外心: 的圆心,是 的交点;
内心: 的圆心,是 的交点;
*重心:是 的交点;垂心:是 的交点. 重心分中线比例 等腰三角形底边“三线合一”,即 、 、 、 重合;
等边三角形“四心合一”,即 、 、 、 重合.
等腰三角形“三线合一”
等边三角形“四心合一
2. 解直角三角形
(1). 勾股定理及三角函数: (2). 030、060、090直角三角形边长关系
030角所对的边是斜边的
(3). 等腰直角三角形的边长关系 (4). 直角三角形斜边中线等于斜边的 直角三角形外心是
3. 等面积公式
4. 三角形中位线定理:
5. 正弦定理、余弦定理、和三角形面积公式(高中新学) 根据等面积公
式,左图所示的
直角三角形中
=h
已知DE 为ABC ∆的中位线,则满足: DE
=
==αααtan cos sin
二、四边形
1. 正n 边形
如果n 边形的n 条边 ,n 个内角也 ,那么我们就称它为正n 边形. 正n 边形的中心就是 。
例如:正三角形是 ,正四边形是 ,
直棱柱: ;正棱柱: 正棱锥: ;正四面体:
二、平行四边形
1. 平行四边形的判定定理
(1)两组对边分别 的四边形是平行四边形;
(2)一组对边 的四边形是平行四边形;
2. 平行四边形的面积公式:=S . 平行四边形
3. 平行四边形的性质:
(1)对边 ;(2)对角线相互 .
三、菱形
1. 菱形的概念:有一组邻边 的平行四边形称为菱形.
2. 菱形的性质:
(1)四条边都 ;(2)对角线相互 且 . 菱形
3. 菱形的面积公式:=S
高中数学立体几何解析几何判定性质公式整理(全)
高中数学立体几何解析几何判定性质公式整理(全)
高中数学必修二复习
基本概念
公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上的所有的点都在这个平面内。公理2:如果两个平面有一个公共点,那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线。
公理3:过不在同一条直线上的三个点,有且只有一个平面。
推论1: 经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面。
推论2:经过两条相交直线,有且只有一个平面。
推论3:经过两条平行直线,有且只有一个平面。
公理4 :平行于同一条直线的两条直线互相平行。
等角定理:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同,那么这两个角相等。
空间两直线的位置关系:
空间两条直线只有三种位置关系:平行、相交、异面
1、按是否共面可分为两类:
(1)共面:平行、相交
(2)异面:
异面直线的定义:不同在任何一个平面内的两条直线或既不平行也不相交。
异面直线判定定理:用平面内一点与平面外一点的直线,与平面内不经过该点的直线是异面直线。
两异面直线所成的角:范围为( 0°,90° ) esp.空间向量法
两异面直线间距离: 公垂线段(有且只有一条) esp.空间向量法
2、若从有无公共点的角度看可分为两类:
(1)有且仅有一个公共点——相交直线;(2)没有公共点——平行或异面
直线和平面的位置关系:
直线和平面只有三种位置关系:在平面内、与平面相交、与平面
平行
①直线在平面内——有无数个公共点
②直线和平面相交——有且只有一个公共点
直线与平面所成的角:平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角。
esp.空间向量法(找平面的法向量)
立体几何解析几何法三要素
性质定理、判定定理
是指线与线、
线与面、面与面平行和垂直的判定定理和 性质定理。证明题离不开判定定理和性质 定理,判定定理和性质定理是证明的工具 甚至是方法;计算题往往是在应用判定定 理和性质定理得到相关结论后,进一步确 定 角 或 者 距 离 的大 小
化为平面问题
计算题只要是计算角和距离的大小,解
题时首先要根据定义找到或作出相关的角或者距离,然后 再求值,而角与距离都是平面图形,因此把空间问题转化
为平面问题是解题的基本方法,计算则往往通过解三角形
来完成。证明一般是证明平行和垂直,证明的方法同样是 空间问题平面化,例如,证明线面平行根据判定定理找线 线的平行也可以面面平行性质定理找面,垂直亦是如此。 有些证明题是通过计算线段长度、角的大小来论证的,而
计算的完成是在平面内实现
用定理作辅助线 多 数 题 目 都 要 作 辅 助 线 ,
Fra Baidu bibliotek比如:求直线与平面所成的角,不作出这个角,
就无法证明或计算,作角的方法即角的位置很
多,如果作出这个角后,相关线段的长度很难 确定,计算或证明也会比较困难,因此,作图 的原则是尽可能使作出的线段长度或角容易计 算,而利用判定定理和性质定理作图可以实现 这一目标,作图的策略常常就是解题的思路
平面与立体几何的解析几何方法
平面与立体几何的解析几何方法在数学中,平面几何和立体几何是解析几何的重要分支。解析几何是运用代数和分析工具来研究几何问题的数学学科。平面几何研究平面上的图形和性质,立体几何则研究三维空间中的图形和性质。本文将介绍平面与立体几何中常用的解析几何方法。
一、平面几何中的解析几何方法
1. 坐标系和坐标表示
在平面几何中,我们通常会使用坐标系来描述平面上的点和图形。一般来说,平面上的点可以用两个坐标值表示,通常以x轴和y轴为基准。以直角坐标系为例,任意点P的坐标可以表示为P(x, y),其中x 表示距离x轴的水平距离,y表示距离y轴的垂直距离。
2. 距离和中点公式
解析几何中,我们可以通过坐标计算两点之间的距离,并且可以得到线段的中点坐标。对于平面上两点P(x1, y1)和Q(x2, y2),它们之间的距离可以用以下公式表示:
d(P, Q) = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)
同样地,线段PQ的中点坐标可以通过以下公式得到:
M((x1 + x2)/2, (y1 + y2)/2)
3. 直线的斜率和方程
在平面几何中,直线是研究的重点之一。解析几何中,我们可以通过直线上的两个点的坐标来求解直线的斜率。对于两点P(x1, y1)和
Q(x2, y2)所确定的直线,它的斜率可以通过以下公式得出:k = (y2 - y1)/(x2 - x1)
另外,在解析几何中,我们还可以通过已知直线上的一点和它的斜率来确定直线的方程。以点P(x, y)和斜率k为例,直线的方程可以表示为:
y - y1 = k(x - x1)
立体几何和平面解析几何知识点
立体几何和平面解析几何知识点
一、立体几何
1.点、线、面和体:在立体几何中,点是没有大小和形状的,是具有
位置的对象。线由无数个点组成,线是没有宽度的。面是由无数个线组成,面是二维的,具有长度和宽度。体是由无数个面组成,体是三维的,具有
长度、宽度和高度。
2.平行和垂直关系:在立体几何中,平行是两条线或两个面永远不会
相交的关系,垂直是两条线或两个面相互垂直的关系。
3.点的投影:在立体几何中,点的投影是指垂直于水平面(或垂直于
垂直面)的直线与平面的交点。点的投影可以用来确定点在一些平面上的
位置。
4.线和面的交点:在立体几何中,线和面的交点是指线与面相交的点。线和面的交点可以用来确定线在一些面上的位置。
5.体的体积和表面积:在立体几何中,体的体积是指所占据的空间大小,可以通过计算底面积与高度的乘积来得到。体的表面积是指体的外部
空间的面积,可以通过计算底面积与侧面积的和来得到。
二、平面解析几何
1. 直线的方程:在平面解析几何中,直线可以用一般式、截距式和
斜截式等形式来表示。一般式的直线方程是Ax + By + C = 0,其中A、B
和C是常数;截距式的直线方程是x/a + y/b = 1,其中a和b分别是x
轴和y轴上的截距;斜截式的直线方程是y = mx + c,其中m是斜率,c
是y轴上的截距。
2.圆的方程:在平面解析几何中,圆可以用标准式和一般式来表示。
标准式的圆方程是(x-a)²+(y-b)²=r²,其中(a,b)是圆心的坐标,r是半
径的长度;一般式的圆方程是x²+y²+Dx+Ey+F=0,其中D、E和F是常数。
高中数学中的立体几何与空间解析几何
高中数学中的立体几何与空间解析几何
数学在高中阶段的学习内容涉及到多个领域,其中立体几何和空间解析几何是重要的一部分。本文将重点探讨这两个领域的基本概念、定理及应用。
一、立体几何
1. 三维空间及坐标系
立体几何研究的是三维空间中的图形和物体,首先我们需要了解三维空间及其坐标系。三维空间由长、宽和高三个维度组成,可以使用直角坐标系来表示。在直角坐标系中,我们可以用三个坐标轴(x轴、y轴和z轴)来描述空间中的点的位置。
2. 空间图形的基本要素
在立体几何中,常见的空间图形包括点、线、面和体。点是空间中的一个位置,用坐标来表示。线是由两个点确定的直线段,在空间中有方向和长度。面是由多个点确定的平面,可以是二维的,也可以是平行于某个坐标轴的三维平面。体是由多个平面围成的立体图形,如立方体、圆柱体等。
3. 空间几何图形的性质和定理
空间几何图形有许多重要的性质和定理,这些性质和定理可以帮助我们判断几何图形之间的关系和求解相关问题。比如,平行线与截线
定理可以帮助我们判断两条平行线是否与另一条直线相交;垂直平分线定理可以帮助我们找到两条线段的中点。
4. 空间几何的应用
立体几何在实际生活中有广泛的应用,比如建筑设计、机械制造和地理测量等。通过运用立体几何的知识,我们可以更好地理解和解决与空间相关的问题。
二、空间解析几何
1. 空间坐标系
空间解析几何是通过代数的方法研究立体图形和几何问题。在空间解析几何中,我们使用三维坐标系来描述几何图形和问题。空间坐标系由原点和三个相互垂直的坐标轴组成。
2. 空间点和向量的表示
几何知识点总结高中
几何知识点总结高中
几何学是研究空间形体、空间关系和空间度量的学科。它是数学的一个分支,也是人类文
明发展历程中最早的数学分支之一。在高中数学课程中,几何学是重要的一部分,它涉及
到平面几何、立体几何、解析几何等内容。本文将就几何学的一些重要知识点进行总结。
一、平面几何
1. 点、线、面:平面几何的基本实体是点、线、面。点是没有长度、宽度、厚度的,但有
位置的物体;线是由无数点排列成的,具有长度但没有宽度和厚度;面是由无数线构成的,有长度和宽度但没有厚度。在平面几何中,我们研究点、线、面之间的关系和性质。
2. 角:角是由两条射线共同起始于一个点的图形组成。角的大小通过角的度量来表示,度
量可以用度、分、秒等单位来表示。在平面几何中,我们研究角的度量、角的性质、角的
平分线等问题。
3. 三角形:三角形是平面上由三条线段组成的图形。在平面几何中,我们研究三角形的性质、三角形的判定方法、三角形的面积、三角形的中位线、高、中心等问题。
4. 四边形:在平面几何中,四边形是由四条线段组成的图形。我们研究四边形的性质、四
边形的分类、四边形的面积、周长等问题。
5. 圆:圆是平面上到一个定点距离相等的所有点的集合。在平面几何中,我们研究圆的性质、圆的判定方法、圆的弧长、扇形、面积等问题。
6. 相似与全等:在平面几何中,相似和全等是两个重要的关系。相似的图形指的是它们的
形状相似,但尺寸不同;全等的图形指的是它们的形状和尺寸都相同。在平面几何中,我
们研究相似与全等的性质、判定条件等问题。
7. 初等变换:在平面几何中,我们常常使用平移、旋转、对称等初等变换来研究图形的性
高考数学中的立体解析几何知识点
高考数学中的立体解析几何知识点立体解析几何是数学中的一个重要分支,主要研究空间几何形体及其相应的解析方法。在高中数学中,立体解析几何是一门重要的课程,而其中的知识点更是高考数学中的重点内容。下文将从三个方面介绍高考数学中的立体解析几何知识点。
一、空间直线的位置关系
在空间几何中,两条直线可以相交、平行或异面。具体而言,两条直线相交的情况可以分为如下三种:
1.两条直线相交于一点:此时两条直线在空间中有且只有一个公共点。
2.两条直线相交于一条直线:此时两条直线在空间中共面,有且只有一条公共直线。
3.两条直线相交于一个平面:此时两条直线共面,在空间中有且只有一个公共平面。
与之相对,两条直线平行的情况也有三种:
1.两条直线重合:此时两条直线在空间中完全相同。
2.两条直线异面:此时两条直线在空间中不相交。
3.两条直线在同一平面内但不相交:此时两条直线在空间中平行,但它们之间没有公共点,即它们不相交。
二、空间平面的位置关系
空间几何中的平面也有相似的位置关系。两个平面可以相交、平行或异面。两个平面相交的情况可以分为如下三种:
1.两个平面相交于一条直线:此时两个平面在空间中有且只有一条公共直线。
2.两个平面相交于一点:此时两个平面在空间中有且只有一个公共点。
3.两个平面相交于一平面:此时两个平面在空间中共面,且它
们之间有且只有一条公共平面。
与之相对,两个平面平行的情况也有三种:
1.两个平面完全重合:此时两个平面在空间中完全相同。
2.两个平面平行但不重合:此时两个平面在空间中没有任何交点,但它们之间有公共点。
高中数学的归纳立体几何与解析几何总结
高中数学的归纳立体几何与解析几何总结
高中数学中的几何学科主要包括向量、立体几何和解析几何。其中,归纳立体几何和解析几何是数学学科中的重要内容,不仅在高中阶段
有所涉及,也在大学数学中占有重要地位。本文将对高中数学中的归
纳立体几何和解析几何进行总结,包括概念、基本原理和解题方法。
一、归纳立体几何
归纳立体几何是研究空间图形的性质和关系的数学学科。它主要涉
及到的内容包括立体图形的名称、特点、基本面体等。在高中数学中,归纳立体几何的学习重点主要是多面体的性质和分类。
1. 多面体的性质
多面体是指由有限个平面多边形所围成的空间图形,它有一些共同
的性质。例如,多面体的两个面要么相交于一条线段,要么平行,两
个面不能仅有一个公共点。多面体根据其面的形状可以分为三种:凸
多面体、凹多面体和非凸多面体。在学习多面体的性质时,我们要熟
悉不同种类多面体的特点,并能够进行辨认和分类。
2. 多面体的分类
多面体根据其面的性质可以进行进一步的分类。例如,根据多面体
的面的形状和数量,我们可以将多面体分为四类:四面体、柱体、棱
柱和棱锥。四面体是一个由四个面三角形组成的多面体,柱体是一个
由两个平行的多边形和它们之间的若干个长方形组成的多面体,棱柱
是一个由两个平行多边形和它们之间的若干个平行四边形组成的多面
体,棱锥是一个由一个多边形和以其为公共边的若干个三角形组成的
多面体。在学习多面体的分类时,我们要掌握不同种类多面体的命名
规则和判断依据。
二、解析几何
解析几何是几何学的一个分支,它通过代数方法研究几何图形的性
质和变换关系。在高中数学中,解析几何的学习重点主要是平面直角
高中数学立体几何定理
高中数学立体几何定理
在高中数学学习中,立体几何是一个重要的分支,它涉及到空间中的图形、体积、面积等概念。了解和掌握立体几何的定理对学生来说是非常重要的。本文将介绍一些高中数学中常见的立体几何定理,帮助学生更好地理解和运用这些定理。
一、平行四边形的面积
平行四边形的面积计算公式为:$S = bh$,其中$b$为底边的长度,$h$为高的长度。平行四边形的对角线互相平分,且大小相等。平行四边形的对角线在平分的情况下,另外一个角被平行四边形的一边切分为两个。
二、立体图形的表面积和体积
1. 正方体
正方体的表面积计算公式为$6a^2$,其中$a$为正方体的边长。正方体的体积计算公式为$a^3$。
2. 长方体
长方体的表面积计算公式为$2lw + 2lh + 2wh$,其中$l$为长方体的长度,$w$为宽度,$h$为高度。长方体的体积计算公式为$lwh$。
3. 圆柱
圆柱的侧面积计算公式为$2\pi rh$,其中$r$为圆柱底面半径,
$h$为高度。圆柱的表面积计算公式为$2\pi r(r+h)$,体积计算公式为$\pi r^2h$。
4. 圆锥
圆锥的侧面积计算公式为$\pi rl$,其中$r$为底面半径,$l$为斜高。圆锥的表面积计算公式为$\pi r(r+l)$,体积计算公式为$\frac{1}{3}\pi
r^2h$。
5. 圆台
圆台的侧面积计算公式为$\pi r_1l + \pi r_2l$,其中$r_1$为上底半径,$r_2$为下底半径,$l$为斜高。圆台的表面积计算公式为$\pi r_1^2 + \pi r_2^2 + \pi r_1r_2$,体积计算公式为$\frac{1}{3}\pi h(r_1^2 + r_2^2 +
数学中的解析几何和立体几何
数学中的解析几何和立体几何
数学作为一门精确的科学,涵盖了众多的分支和领域。其中,解析几何和立体
几何作为数学的两个重要分支,对于研究和理解空间的性质和结构起着重要的作用。本文将从解析几何和立体几何的定义、基本概念和应用等方面进行探讨。
一、解析几何
解析几何是数学中的一个分支,它研究的是几何图形在坐标系中的性质和变换。解析几何的基本概念主要包括点、直线、平面、曲线等。在解析几何中,我们可以通过坐标系中的点来表示几何图形,从而利用代数的方法来研究几何问题。
在解析几何中,我们常用的坐标系有直角坐标系和极坐标系。在直角坐标系中,我们可以通过两个坐标轴的交点来确定一个点的位置,而在极坐标系中,我们则通过一个原点和一个极角来确定一个点的位置。这些坐标系的建立使得解析几何能够更加方便地描述和研究几何图形。
解析几何的应用十分广泛,尤其在物理学和工程学中有着重要的地位。例如,
在物理学中,我们可以利用解析几何的方法来研究物体的运动轨迹和力的作用等问题;而在工程学中,我们可以利用解析几何的方法来设计和分析各种结构和工程模型。
二、立体几何
立体几何是数学中研究空间中的图形和物体的一门学科。立体几何的基本概念
主要包括点、线、面、体等。在立体几何中,我们主要研究的是空间中的几何图形的性质和关系。
在立体几何中,我们常用的几何图形有球体、立方体、圆锥体等。这些几何图
形具有不同的性质和特点,通过研究它们的性质和关系,我们可以更好地理解和应用立体几何的知识。
立体几何的应用也非常广泛。在建筑学中,我们可以利用立体几何的方法来设计和分析各种建筑结构和模型;在计算机图形学中,我们可以利用立体几何的方法来处理和渲染三维图形;在地理学中,我们可以利用立体几何的方法来研究地球的形状和地理空间的性质等。
高中数学备课教案空间解析几何中的立体几何体
高中数学备课教案空间解析几何中的立体几
何体
高中数学备课教案:空间解析几何中的立体几何体
一、引言
在高中数学教学中,空间解析几何是一个重要的知识点,其中立体几何体是一个关键概念。本文将详细介绍立体几何体的定义、性质以及相关应用,以帮助教师们准备备课,提高教学效果。
二、立体几何体的定义
立体几何体是由不同的平面围成的有限空间,其中包括了常见的立方体、棱柱、棱锥、圆柱、圆锥等。它们都具有特定的特征和性质,通过深入了解这些立体几何体,我们可以更好地理解和分析空间中的物体。
三、立体几何体的性质
1. 基本元素:立体几何体由各种面、边、顶点组成。不同的立体几何体具有不同数量的面、边、顶点,这些基本元素之间也存在着一定的关联和规律。
2. 表面积和体积:立体几何体的表面积和体积是我们研究的重点。对于不同的立体几何体,计算表面积和体积的方法也不同,需要根据不同的形状和特征进行具体的计算。
3. 相关性质:立体几何体之间还存在着一些相关性质,比如平行面的性质、对称性和共面性等,这些性质可以帮助我们更好地理解立体几何体的结构和特点。
四、立体几何体的应用
1. 工程建筑:立体几何体的应用广泛存在于工程建筑领域。例如,建筑物的设计和结构分析需要考虑立方体、棱柱、圆柱等立体几何体的特征和性质,以确保建筑物的稳定和安全。
2. 医学影像:在医学影像领域,立体几何体的理解对于解读和分析影像数据是至关重要的。通过准确地理解和应用立体几何体的知识,医学专业人员可以更好地诊断和治疗疾病。
3. 计算机图形学:立体几何体在计算机图形学中起着重要的作用。通过对立体几何体的建模和渲染,计算机可以生成逼真的三维图像和动画,并应用于电影、游戏等领域。
高考数学常用二级结论:解析几何、立体几何(收藏)
S O
Q P
α 高考数学常用二级结论:解析几何、立体几何(收藏)
一、解析几何
30.过圆222(0)x y r r +=>上一点000(,)P x y 的切线方程为:200x x y y r +=;若0P 在圆O 外,则直线
200x x y y r +=是切点弦所在直线方程.
31.切线长公式:过圆22
0x y Dx Ey F ++++=外一点000(
,)P x y 引切线,切线长PT =.
32.椭圆与双曲线中的焦点三角形12PF F ∆.
(1)椭圆中当点P 在短轴端点时,12PF F ∠最大,12PF F ∆的面积最大.
(2)12F PF θ∠=,则椭圆中122tan 2PF F S b θ∆=:双曲线中122cot 2PF F S b θ∆=.
(3)12PF F α∠=,21PF F α∠=,则椭圆中1tan tan 221e e α
β-=+:双曲线中1tan cot 221e e
αβ-=-+ 33.焦半径公式,点000(,)P x y 在圆锥曲线上. (1)椭圆22221(0)x y a b a b +=>>,210()a PF e x a ex c =+=+,2
20()a PF e x a ex c
=-=-. (2)双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>,210()a PF e x a ex c =+=+,2
20()a PF e x a ex c
=-=-,点P 在右支上. (3)抛物线22(0)y px p =>,02p PF x =+.
二、立体几何
34.一条斜线从一个角顶点出发与两边所成的角相等,则该斜线在该角所在平面上的射影在角平子于线上;若该斜线上一点到角两边距离相等,则该斜线在该角所在平面上的射影在角平分线上.
平面几何立体几何解析几何
平面几何立体几何解析几何
平面几何、立体几何和解析几何是数学中重要的三个分支。平面几何研究平面内的点、线、角等基本图形及其性质和关系,是数学中最古老的一个分支。立体几何研究三维空间内的点、线、面、体等基本图形及其性质和关系,是几何学的重要部分。解析几何则将代数方法引入几何学,研究代数方程和几何图形之间的关系。
在平面几何中,我们学习了各种图形的性质和关系,如三角形、四边形、圆、椭圆等,并研究了它们的周长、面积、角度等基本概念。在立体几何中,我们学习了各种立体图形的性质和关系,如球体、圆柱体、圆锥体、棱柱体、棱锥体等,并研究了它们的体积、表面积等基本概念。在解析几何中,我们学习了二维和三维坐标系的概念和运用,以及各种图形的方程和性质,如直线方程、圆方程、平面方程等。
平面几何、立体几何和解析几何在工程、物理、计算机科学等领域中都有广泛的应用。了解这些基本概念和方法,不仅能够提高数学素养,还能够为后续学习和工作打下坚实的基础。
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高中数学必修二复习
基本概念
公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上的所有的点都在这个平面内。公理2:如果两个平面有一个公共点,那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线。
公理3:过不在同一条直线上的三个点,有且只有一个平面。
推论1: 经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面。
推论2:经过两条相交直线,有且只有一个平面。
推论3:经过两条平行直线,有且只有一个平面。
公理4 :平行于同一条直线的两条直线互相平行。
等角定理:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同,那么这两个角相等。
空间两直线的位置关系:
空间两条直线只有三种位置关系:平行、相交、异面
1、按是否共面可分为两类:
(1)共面:平行、相交
(2)异面:
异面直线的定义:不同在任何一个平面内的两条直线或既不平行也不相交。
异面直线判定定理:用平面内一点与平面外一点的直线,与平面内不经过该点的直线是异面直线。
两异面直线所成的角:范围为( 0°,90° ) esp.空间向量法
两异面直线间距离: 公垂线段(有且只有一条) esp.空间向量法
2、若从有无公共点的角度看可分为两类:
(1)有且仅有一个公共点——相交直线;(2)没有公共点——平行或异面
直线和平面的位置关系:
直线和平面只有三种位置关系:在平面内、与平面相交、与平面平行
①直线在平面内——有无数个公共点
②直线和平面相交——有且只有一个公共点
直线与平面所成的角:平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角。
esp.空间向量法(找平面的法向量)
规定:a、直线与平面垂直时,所成的角为直角,b、直线与平面平行或在平面内,所成的角为0°角
由此得直线和平面所成角的取值范围为[0°,90°]
最小角定理: 斜线与平面所成的角是斜线与该平面内任一条直线所成角中的最小角
三垂线定理及逆定理: 如果平面内的一条直线,与这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也与这条斜线垂直
esp.直线和平面垂直
直线和平面垂直的定义:如果一条直线a和一个平面内的任意一条直线都垂直,我们就说直线a和平面互相垂直.直线a叫做平面的垂线,平面叫做直线a的垂面。
直线与平面垂直的判定定理:如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面。
直线与平面垂直的性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行。
③直线和平面平行——没有公共点
直线和平面平行的定义:如果一条直线和一个平面没有公共点,那么我们就说这条直线和这个平面平行。
直线和平面平行的判定定理:如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行。
直线和平面平行的性质定理:如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行。
两个平面的位置关系:
(1)两个平面互相平行的定义:空间两平面没有公共点
(2)两个平面的位置关系:
两个平面平行-----没有公共点;两个平面相交-----有一条公共直线。
a、平行
两个平面平行的判定定理:如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行。
两个平面平行的性质定理:如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么交线平行。
b、相交
二面角
(1)半平面:平面内的一条直线把这个平面分成两个部分,其中每一个部分叫做半平面。(2)二面角:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。二面角的取值范围为[0°,180°]
(3)二面角的棱:这一条直线叫做二面角的棱。
(4)二面角的面:这两个半平面叫做二面角的面。
(5)二面角的平面角:以二面角的棱上任意一点为端点,在两个面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。
(6)直二面角:平面角是直角的二面角叫做直二面角。
esp. 两平面垂直
两平面垂直的定义:两平面相交,如果所成的角是直二面角,就说这两个平面互相垂直。记为⊥
两平面垂直的判定定理:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直
两个平面垂直的性质定理:如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。
Attention:
二面角求法:直接法(作出平面角)、三垂线定理及逆定理、面积射影定理、空间向量之法向量法(注意求出的角与所需要求的角之间的等补关系)
多面体
棱柱
棱柱的定义:有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每两个四边形的公共边都互相平行,这些面围成的几何体叫做棱柱。
棱柱的性质
(1)侧棱都相等,侧面是平行四边形
(2)两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形
(3)过不相邻的两条侧棱的截面(对角面)是平行四边形
棱锥 棱锥的定义:有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,这些面围成的几何体叫做棱锥
棱锥的性质:
(1) 侧棱交于一点。侧面都是三角形
(2) 平行于底面的截面与底面是相似的多边形。且其面积比等于截得的棱锥的高与远棱锥高的比的平方
正棱锥
正棱锥的定义:如果一个棱锥底面是正多边形,并且顶点在底面内的射影是底面的中心,这样的棱锥叫做正棱锥。
正棱锥的性质:
(1)各侧棱交于一点且相等,各侧面都是全等的等腰三角形。各等腰三角形底边上的高相等,它叫做正棱锥的斜高。
(3) 多个特殊的直角三角形
esp :
a 、相邻两侧棱互相垂直的正三棱锥,由三垂线定理可得顶点在底面的射影为底面三角形的垂心。
b 、四面体中有三对异面直线,若有两对互相垂直,则可得第三对也互相垂直。且顶点在底面的射影为底面三角形的垂心。
直线与方程
(1)直线的倾斜角
定义:x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地,当直线与x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。因此,倾斜角的取值范围是0°≤α<180°
(2)直线的斜率
①定义:倾斜角不是90°的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k 当[)
90,0∈α时,0≥k ;
当() 180,90∈α时,0 90=α时,k 不存在。