高中数学立体几何解析几何 判定&性质&公式整理(全)
解析几何中的立体几何图形
解析几何中的立体几何图形几何学是数学中的一个重要分支，其研究对象是形状、大小、位置等空间属性。
在几何学中，立体几何图形是一种特殊的几何图形，具有重要的理论意义和实际应用价值。
本文将对解析几何中的立体几何图形进行详细的解析和分析。
一、平面和空间在讨论立体几何图形之前，先需要了解几何中的两个重要概念，即平面和空间。
平面是指一个无限大的、无厚度的、无限制的平面，即类似于二维坐标系中的平面。
而空间是指一个三维空间，包括长度、宽度和高度三个方向。
在几何学中，我们可以利用平面来描述、研究二维图形，利用空间来描述、研究三维图形。
二、在解析几何中，对于任意一个三维几何图形，我们可以通过一个点集合来表示它。
具体的说，我们可以利用一组三元数或三元组表示一个点的位置，这些三元数或三元组分别对应于点在三个坐标轴上的坐标。
例如，对于一个三维空间中的点P，我们可以用(x, y, z)来表示它在x轴、y轴、z轴上的坐标，其中x、y、z分别表示P与三个坐标轴的交点所在的直线的截距。
而对于一个立体几何图形，我们可以用一组点集合来表示它。
这个点集合中的每个点都表示立体几何图形中的一个顶点，多个点之间用线段连接起来，便可以形成一个完整的立体几何图形。
例如，一个正方体可以用八个点来表示，这八个点的坐标分别为(0,0,0)、(0,1,0)、(1,1,0)、(1,0,0)、(0,0,1)、(0,1,1)、(1,1,1)、(1,0,1)。
三、常见的立体几何图形1. 立方体立方体是指一个六个面都为正方形的立体图形。
它有八个顶点和十二个棱，每个顶点有三条棱相接。
立方体的一个重要特征是，它的所有面都是相等的。
例如，上面提到的正方体就是一种立方体。
2. 圆锥圆锥是指一个上面为圆形、下面为尖锐的锥形图形。
它有一个圆锥顶点和若干个圆锥侧面，圆锥侧面上的点都在圆锥顶点与底面圆周之间的线段上。
圆锥在数学和物理学中都有广泛的应用，例如在机械工程中就有很多使用圆锥切割器来切割圆形零件的实践。
数学中的立体几何与解析几何
数学中的立体几何与解析几何数学是一门抽象而又具有深度的学科，其中包含了多个分支。
在这些分支中，立体几何和解析几何是两个重要的领域。
立体几何研究的是空间中的图形和物体，而解析几何则研究的是代数和几何的结合。
本文将探讨数学中的立体几何与解析几何的相关概念和应用。
立体几何是研究空间中的图形和物体的分支。
它涉及到空间的三个维度：长度、宽度和高度。
立体几何的基本概念包括点、线、面和体。
点是没有大小和形状的，它只有位置。
线是由无数个点组成的，它有长度但没有宽度和高度。
面是由无数个线组成的，它有长度和宽度但没有高度。
体是由无数个面组成的，它有长度、宽度和高度。
立体几何通过研究这些基本概念之间的关系和性质，探索空间中的图形和物体的特征。
立体几何的应用非常广泛。
在建筑设计中，立体几何被用来研究建筑物的形状和结构。
建筑师需要考虑到建筑物的稳定性和美观性，而立体几何可以帮助他们理解和分析建筑物的空间结构。
在工程领域中，立体几何可以应用于设计和制造复杂的机械零件。
通过使用立体几何的概念和方法，工程师可以更好地理解和控制机械零件的形状和运动。
此外，立体几何还可以应用于计算机图形学、地理测量学和物理学等领域。
与立体几何相对应的是解析几何。
解析几何是代数和几何的结合，它通过使用代数方法研究几何问题。
解析几何的基本概念包括点、坐标和方程。
在解析几何中，点可以用坐标来表示，坐标是一个有序数对，表示点在坐标系中的位置。
方程则是用代数表达式来描述几何图形和物体的性质。
解析几何通过研究点的坐标和方程之间的关系，探索几何图形和物体的特征。
解析几何的应用也非常广泛。
在物理学中，解析几何可以用来描述物体的运动和变化。
通过使用解析几何的方法，物理学家可以推导出物体的运动方程和变化规律。
在经济学中，解析几何可以用来研究供求关系和市场行为。
经济学家可以通过建立数学模型和方程来分析经济现象和预测市场走势。
此外，解析几何还可以应用于计算机科学、统计学和金融学等领域。
立体几何判定方法和性质汇总
(2) 直线Ax+By+C=0为一般直线时，可 设P1的坐标为(x1，y1)，则P P1的中点 满足直线方程Ax+By+C=0,并且PP1的斜 率与直线Ax+By+C=0的斜率之积为-1, 可以得到关于x1、y1的一个二元一次方 程组，从而可以解出x1、y1。
0 90
斜线与平面所成的角的取值范围是：
0 90
二面角的大小用它的平面角来度量；取 值范围是：0 180
最小角定理及公式 cos cos1 cos2
十、三角形的心 1 、内心：内切圆的圆心是角平分线的交点
2、外心：外接圆的圆心是垂直平分线的 交点
3、 重心：中线的交点 4、 垂心：高的交点
（2）试对你的画法给出证明．
A
P
M
F
C
N
E
B
例2 在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD 是一直角梯形，∠BAD＝90°，AD∥BC， 且PA⊥底面ABCD，
若AE⊥PD，垂足为E， 求证：BE⊥PD；
PE
A
D
B
C
例3 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F 分别为BB1、D1B1的中点， 求证：EF⊥平面B1AC
于平面，则另一条也平行于该平面 5、 平面外的一直线和两平行平面中的 一个平行，则也平行于另一个平面
三、判定面面平行的方法 1、定义：没有公共点 2、面面平行的判定定理 3、垂直于同一直线的两个平面平行 4、平行于同一平面的两个平面平行
立体几何解析几何法三要素
ห้องสมุดไป่ตู้
计算的完成是在平面内实现
用定理作辅助线 多 数 题 目 都 要 作 辅 助 线 ，
比如：求直线与平面所成的角，不作出这个角，
就无法证明或计算，作角的方法即角的位置很
多，如果作出这个角后，相关线段的长度很难 确定，计算或证明也会比较困难，因此，作图 的原则是尽可能使作出的线段长度或角容易计 算，而利用判定定理和性质定理作图可以实现 这一目标，作图的策略常常就是解题的思路
性质定理、判定定理
是指线与线、
线与面、面与面平行和垂直的判定定理和 性质定理。证明题离不开判定定理和性质 定理，判定定理和性质定理是证明的工具 甚至是方法；计算题往往是在应用判定定 理和性质定理得到相关结论后，进一步确 定 角 或 者 距 离 的大 小
化为平面问题
计算题只要是计算角和距离的大小，解
题时首先要根据定义找到或作出相关的角或者距离，然后 再求值，而角与距离都是平面图形，因此把空间问题转化
为平面问题是解题的基本方法，计算则往往通过解三角形
来完成。证明一般是证明平行和垂直，证明的方法同样是 空间问题平面化，例如，证明线面平行根据判定定理找线 线的平行也可以面面平行性质定理找面，垂直亦是如此。 有些证明题是通过计算线段长度、角的大小来论证的，而
高中几何题型及解题方法
高中几何题型及解题方法
一、高中几何的基本概念和分类
高中几何是数学中的一门重要分支，主要研究空间中点、线、面及其相关性质。
根据研究对象的不同，高中几何可以分为以下几类：平面几何、立体几何、解析几何。
二、高中几何题型的特点和分类
高中几何题目种类繁多，大致可以分为以下几类：
1.证明题：要求根据已知条件和公理、定理，证明某一结论。
2.计算题：要求根据已知条件和公式，计算出未知量的值。
3.作图题：要求根据已知条件和要求，完成图形绘制。
4.分析题：要求分析几何图形的性质和关系，找出规律。
三、高中几何解题方法的概述
解题方法可以分为两类：一类是利用几何图形的性质直接解题，另一类是运用数学公式和定理推导解题。
在解题过程中，要学会观察、分析和转化问题。
四、针对不同题型的解题策略和技巧
1.证明题：首先要熟悉证明的格式和要求，理清思路，根据已知条件和定理逐步推导。
2.计算题：要熟练掌握公式和计算方法，注意步骤的严谨性。
3.作图题：要熟练画图技巧，注意图形规范，正确表达题目要求。
4.分析题：要善于从图形中发现线索，运用逻辑思维分析问题。
五、高中几何的学习建议和注意事项
1.打好基础，熟悉基本概念、定理和公式。
2.多做练习，提高解题能力和熟练度。
3.学会分类总结，梳理知识点和解题技巧。
4.注重课堂学习和自主学习，勤于思考和提问。
5.及时复习，巩固学过的内容，避免遗忘。
通过以上分析，我们可以发现高中几何的学习关键在于掌握基本概念、定理和公式，以及运用恰当的解题方法。
平面与立体几何的解析几何方法
平面与立体几何的解析几何方法在数学中，平面几何和立体几何是解析几何的重要分支。
解析几何是运用代数和分析工具来研究几何问题的数学学科。
平面几何研究平面上的图形和性质，立体几何则研究三维空间中的图形和性质。
本文将介绍平面与立体几何中常用的解析几何方法。
一、平面几何中的解析几何方法1. 坐标系和坐标表示在平面几何中，我们通常会使用坐标系来描述平面上的点和图形。
一般来说，平面上的点可以用两个坐标值表示，通常以x轴和y轴为基准。
以直角坐标系为例，任意点P的坐标可以表示为P(x, y)，其中x 表示距离x轴的水平距离，y表示距离y轴的垂直距离。
2. 距离和中点公式解析几何中，我们可以通过坐标计算两点之间的距离，并且可以得到线段的中点坐标。
对于平面上两点P(x1, y1)和Q(x2, y2)，它们之间的距离可以用以下公式表示：d(P, Q) = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)同样地，线段PQ的中点坐标可以通过以下公式得到：M((x1 + x2)/2, (y1 + y2)/2)3. 直线的斜率和方程在平面几何中，直线是研究的重点之一。
解析几何中，我们可以通过直线上的两个点的坐标来求解直线的斜率。
对于两点P(x1, y1)和Q(x2, y2)所确定的直线，它的斜率可以通过以下公式得出：k = (y2 - y1)/(x2 - x1)另外，在解析几何中，我们还可以通过已知直线上的一点和它的斜率来确定直线的方程。
以点P(x, y)和斜率k为例，直线的方程可以表示为：y - y1 = k(x - x1)二、立体几何中的解析几何方法1. 坐标系和坐标表示与平面几何类似，立体几何中也可以使用坐标系来描述三维空间中的点和图形。
一个常用的坐标系是笛卡尔坐标系，其中三个坐标轴x、y、z相互垂直。
一个点P的坐标可以表示为P(x, y, z)，其中x表示距离x轴的水平距离，y表示距离y轴的水平距离，z表示距离z轴的垂直距离。
讲透重点难点高中数学立体几何
讲透重点难点高中数学立体几何全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：高中数学立体几何是数学中的一个重要分支，涉及内容广泛，包括空间几何体的基本性质、体积表面积的计算、空间几何体之间的关系等等。
在学习立体几何的过程中，往往会遇到一些重点和难点问题，下面就让我们来一一讲解。
一、常见的难点问题1. 空间几何体的基本概念和性质：在学习立体几何时，首先要掌握各种空间几何体的基本概念和性质，如平行六面体、正方体、棱台、棱锥等。
这些几何体的性质涉及到各种角、棱、面的关系，需要认真学习和掌握。
2. 体积和表面积的计算：计算空间几何体的体积和表面积是立体几何中的重要内容。
对于不规则的几何体，如圆柱、圆锥等，更需要动脑筋来计算其体积和表面积。
这就需要学生掌握各种计算公式和方法，如用积分法计算体积、表面积公式的推导等。
3. 空间几何体之间的关系：在解决实际问题时，需要对不同空间几何体之间的关系有深入的了解。
比如正方体、球体、圆柱体等之间的关系，学生需要灵活运用几何知识，才能解决这些问题。
二、针对难点问题的解决方法1. 多做题：在解决立体几何的问题时，多做练习题是非常重要的。
通过大量的练习，可以加深对立体几何问题的理解，掌握解题的方法和技巧。
2. 学会应用数学工具：在解决立体几何问题时，学会应用数学工具是至关重要的。
比如学会运用向量、坐标系等数学工具来解决几何问题。
3. 多请教老师：如果遇到难以理解的问题，不妨多请教老师。
老师会给予指导和帮助，帮助学生解决疑惑。
三、总结高中数学立体几何是一个需要细心、灵活和耐心的学科，在学习过程中往往会遇到一些难点和重点问题。
通过多做题、学会应用数学工具、多请教老师等方法，可以帮助学生更好地掌握立体几何知识，提高解题的能力和水平。
希望同学们在学习立体几何的过程中能够克服困难，取得更好的成绩。
【文章2000字】以上所述，就是关于讲透重点难点高中数学立体几何的文章，希望对同学们有所帮助。
如果有不足之处，还望谅解。
高考解析几何大题题型归纳
高考解析几何大题题型归纳高考解析几何大题题型归纳一、三角形的性质与判定在高中数学中，三角形是一个重要的图形。
学生在高考中常常会遇到与三角形性质与判定相关的大题。
在这一题型中，常见的题目包括用三角形的边长、角度或者特殊性质来判断三角形的形状、大小或者其他性质。
二、直线与线段的相交问题直线和线段是解析几何题目中常见的图形。
学生在高考中常常会遇到关于直线和线段相交问题的大题。
在这一题型中，学生需要根据已知条件求解未知的角度、线段长度或者其他相关问题。
三、圆的性质与判定圆是解析几何题目中一个重要的图形。
学生在高考中经常会遇到与圆的性质与判定相关的大题。
在这一题型中，学生需要利用已知条件来判断圆的位置，或者通过已知条件求解未知物品与圆的关系。
四、平行线与垂直线的判定平行线与垂线也是高考解析几何题目中常见的考点。
在这一题型中，学生需要利用已知条件来判定两条线是否平行或者垂直，或者根据已知条件求解未知的线段长度或者角度。
五、多边形的性质与判定在解析几何题中，多边形也是一个重要的图形。
学生在高考中常常会遇到与多边形的性质与判定相关的大题。
在这一题型中，学生需要利用已知条件来判断多边形的形状、大小或者其他性质，或者求解未知的角度或者线段长度。
六、空间几何问题空间几何问题在高考中也是一个重要的考点。
在这一题型中，学生需要利用已知条件来求解空间中的角度、线段长度或者其他相关问题。
这类题目常常需要学生运用立体几何知识和空间想像力来进行推理和求解。
七、向量的应用在解析几何题目中，向量是一个重要的工具。
学生在高考中常常会遇到与向量的应用相关的大题。
在这一题型中，学生需要利用向量的性质来求解角度、线段长度或者其他相关问题。
总结：解析几何题目涉及到的题型很多，常见的包括三角形的性质与判定、直线与线段相交问题、圆的性质与判定、平行线与垂直线的判定、多边形的性质与判定、空间几何问题以及向量的应用等。
针对这些题型，学生在备考中应该重点复习相关知识，并且多进行一些练习题，以加深对题型的理解和应用能力。
高中数学解析几何题型
高中数学解析几何题型概述解析几何是高中数学的一个重要组成部分，也是高考的重点和难点之一。
解析几何涉及到直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线等曲线的性质和应用，以及立体几何中的解析几何应用等方面。
下面将对高中数学解析几何的主要题型进行概述。
1. 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系是解析几何中最基本的问题之一。
主要涉及到直线与圆的相交、相切、相离等位置关系，以及相关的应用问题。
例如，直线与圆的位置关系可以用来解决与圆相关的问题，如圆与圆的位置关系、圆的切线等问题。
2. 椭圆、双曲线与抛物线的性质椭圆、双曲线与抛物线是高中数学解析几何中最重要的三种曲线。
这三种曲线的性质和应用是高考的重点和难点之一。
例如，椭圆的性质可以用来解决与椭圆相关的问题，如椭圆的焦点、离心率等问题；双曲线的性质可以用来解决与双曲线相关的问题，如双曲线的渐近线、离心率等问题；抛物线的性质可以用来解决与抛物线相关的问题，如抛物线的焦点、准线等问题。
3. 立体几何中解析几何的应用立体几何是高中数学的一个重要组成部分，而解析几何在立体几何中的应用也是高考的重点和难点之一。
例如，利用解析几何的方法可以解决立体几何中的距离、角度等问题；利用解析几何的方法还可以解决立体几何中的面积、体积等问题。
4. 直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线的位置关系是解析几何中比较复杂的问题之一。
主要涉及到直线与椭圆、双曲线、抛物线等圆锥曲线的相交、相切、相离等位置关系，以及相关的应用问题。
例如，利用直线与圆锥曲线的位置关系可以解决与圆锥曲线相关的问题，如圆锥曲线的焦点、离心率等问题。
5. 圆锥曲线的参数方程圆锥曲线的参数方程是解析几何中比较特殊的问题之一。
主要涉及到圆锥曲线的一种特殊的方程形式，以及相关的应用问题。
例如，利用圆锥曲线的参数方程可以解决一些与圆锥曲线相关的问题，如圆锥曲线的极坐标方程等问题。
6. 圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系是解析几何中比较重要的问题之一。
高考数学中的立体解析几何知识点
高考数学中的立体解析几何知识点立体解析几何是数学中的一个重要分支，主要研究空间几何形体及其相应的解析方法。
在高中数学中，立体解析几何是一门重要的课程，而其中的知识点更是高考数学中的重点内容。
下文将从三个方面介绍高考数学中的立体解析几何知识点。
一、空间直线的位置关系在空间几何中，两条直线可以相交、平行或异面。
具体而言，两条直线相交的情况可以分为如下三种：1.两条直线相交于一点：此时两条直线在空间中有且只有一个公共点。
2.两条直线相交于一条直线：此时两条直线在空间中共面，有且只有一条公共直线。
3.两条直线相交于一个平面：此时两条直线共面，在空间中有且只有一个公共平面。
与之相对，两条直线平行的情况也有三种：1.两条直线重合：此时两条直线在空间中完全相同。
2.两条直线异面：此时两条直线在空间中不相交。
3.两条直线在同一平面内但不相交：此时两条直线在空间中平行，但它们之间没有公共点，即它们不相交。
二、空间平面的位置关系空间几何中的平面也有相似的位置关系。
两个平面可以相交、平行或异面。
两个平面相交的情况可以分为如下三种：1.两个平面相交于一条直线：此时两个平面在空间中有且只有一条公共直线。
2.两个平面相交于一点：此时两个平面在空间中有且只有一个公共点。
3.两个平面相交于一平面：此时两个平面在空间中共面，且它们之间有且只有一条公共平面。
与之相对，两个平面平行的情况也有三种：1.两个平面完全重合：此时两个平面在空间中完全相同。
2.两个平面平行但不重合：此时两个平面在空间中没有任何交点，但它们之间有公共点。
3.两个平面相交，但它们之间无公共点：此时两个平面在空间中不相交，但它们的交线在每个平面内都不存在。
三、三角锥与四面体三角锥和四面体是立体解析几何中的两个基本概念。
一个三角锥是由一个三角形和三条边界与三角形中的顶点相连而构成的立体图形。
而四面体则是由四个三角形和四条边界构成的立体图形。
在解析几何中，三角锥的坐标可以通过三角形的三个定点和顶点的坐标求得。
立体几何和解析几何知识点
1、线线平行的判断：
2、线线垂直的判断：
3、线面平行判定定理：
线面平行性质定理：
4、线面垂直的判定定理：
线面垂直性质定理：
5、面面平行的判定：
面面平行的性质：
6、面面垂直的判定定理：
面面垂直性质定理：
7、（1）异面直线所成的角：
范围：
（2）线面所成的角：
范围：
（3）二面角：
范围：
8、立体几何中的向量方法
1、椭圆：
(1)椭圆上任意一点M到焦点F的所有距离中，长轴端点到焦点的距离分别为最大值和最小值，且最大距离为，最小距离为。
(2)过焦点弦的所有弦长中，垂直于长轴的弦是最短的弦，而且它的长为.把这个弦叫椭圆的通经.
2. 弦长公式：。
数学中的解析几何和立体几何
数学中的解析几何和立体几何数学作为一门精确的科学，涵盖了众多的分支和领域。
其中，解析几何和立体几何作为数学的两个重要分支，对于研究和理解空间的性质和结构起着重要的作用。
本文将从解析几何和立体几何的定义、基本概念和应用等方面进行探讨。
一、解析几何解析几何是数学中的一个分支，它研究的是几何图形在坐标系中的性质和变换。
解析几何的基本概念主要包括点、直线、平面、曲线等。
在解析几何中，我们可以通过坐标系中的点来表示几何图形，从而利用代数的方法来研究几何问题。
在解析几何中，我们常用的坐标系有直角坐标系和极坐标系。
在直角坐标系中，我们可以通过两个坐标轴的交点来确定一个点的位置，而在极坐标系中，我们则通过一个原点和一个极角来确定一个点的位置。
这些坐标系的建立使得解析几何能够更加方便地描述和研究几何图形。
解析几何的应用十分广泛，尤其在物理学和工程学中有着重要的地位。
例如，在物理学中，我们可以利用解析几何的方法来研究物体的运动轨迹和力的作用等问题；而在工程学中，我们可以利用解析几何的方法来设计和分析各种结构和工程模型。
二、立体几何立体几何是数学中研究空间中的图形和物体的一门学科。
立体几何的基本概念主要包括点、线、面、体等。
在立体几何中，我们主要研究的是空间中的几何图形的性质和关系。
在立体几何中，我们常用的几何图形有球体、立方体、圆锥体等。
这些几何图形具有不同的性质和特点，通过研究它们的性质和关系，我们可以更好地理解和应用立体几何的知识。
立体几何的应用也非常广泛。
在建筑学中，我们可以利用立体几何的方法来设计和分析各种建筑结构和模型；在计算机图形学中，我们可以利用立体几何的方法来处理和渲染三维图形；在地理学中，我们可以利用立体几何的方法来研究地球的形状和地理空间的性质等。
三、解析几何与立体几何的关系解析几何和立体几何作为数学中的两个重要分支，它们之间存在着密切的联系和相互影响。
解析几何通过坐标系的建立，使得立体几何中的几何图形可以用代数的方法进行研究和描述。
高考数学常用二级结论：解析几何、立体几何(收藏)
S OQ Pα 高考数学常用二级结论：解析几何、立体几何（收藏）一、解析几何30.过圆222(0)x y r r +=>上一点000(,)P x y 的切线方程为:200x x y y r +=；若0P 在圆O 外,则直线200x x y y r +=是切点弦所在直线方程.31.切线长公式:过圆220x y Dx Ey F ++++=外一点000(,)P x y 引切线,切线长PT =.32.椭圆与双曲线中的焦点三角形12PF F ∆.(1)椭圆中当点P 在短轴端点时,12PF F ∠最大,12PF F ∆的面积最大.(2)12F PF θ∠=,则椭圆中122tan 2PF F S b θ∆=:双曲线中122cot 2PF F S b θ∆=.(3)12PF F α∠=,21PF F α∠=,则椭圆中1tan tan 221e e αβ-=+:双曲线中1tan cot 221e eαβ-=-+ 33.焦半径公式,点000(,)P x y 在圆锥曲线上. (1)椭圆22221(0)x y a b a b +=>>,210()a PF e x a ex c =+=+，220()a PF e x a ex c=-=-. (2)双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>,210()a PF e x a ex c =+=+，220()a PF e x a ex c=-=-,点P 在右支上. (3)抛物线22(0)y px p =>,02p PF x =+.二、立体几何34.一条斜线从一个角顶点出发与两边所成的角相等,则该斜线在该角所在平面上的射影在角平子于线上；若该斜线上一点到角两边距离相等,则该斜线在该角所在平面上的射影在角平分线上.35.斜三棱柱体积:012V s h s a ==底斜棱柱,其中0s 是一个侧面面积,a 是该侧面与说对棱距离. 36.三余弦定理:从平面α内一点O 出发的斜线OP 在α内的射影为OQ ,OS α⊂,1POQ θ∠=,2SOQ θ∠=,POS θ∠=,则12cos cos cos θθθ=. 37.正四面体的棱长为a ,其高为3h a =；体积为312V a =斜棱柱；内切球与外切球半径之比为13. 38.棱长为a 的正方体内切球半径为1r ,外接球半径为2r ,与十二条棱均相切的球半径为3r,则12r a =,22r,22r=,且1231r r r =::39.长方体(,,)a b c 中,(1)对角线长l =(2)表面积为S ab bc ca +=+；(3)一条对角线与过同一顶点的三个面所成角为,,αβγ,则222cos cos cos 1αβγ+=+；(4)一条对角线与过同一顶点的三条棱所成角为,,αβγ,则222cos cos cos 2αβγ+=+；(5)长方体外接球直径2R40.正三棱椎P ABC -中,则有PA BC ⊥,PB AC ⊥,PC AB ⊥,P 在底面的射影是ABC ∆的中心.41.在三棱椎P ABC -中,设顶点P 在底面的射影为H .(1)若PA BC ⊥,PB AC ⊥,则PC AB ⊥.(2)若PA BC ⊥,PB AC ⊥,则H 为ABC 的垂心.(3)若PA PB PC ==,则H 为ABC 的外心.。
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数学(理)【复习建议】（一）回归通性通法．考前复习一定要落实在基础知识和基本方法上，因为高考数学题中通性通法的题目占到80%以上．考前必读中的核心知识都是考试说明中涉及的B 、C 类考点．建议大家认真阅读，不要留死角．避免考试时因某个知识点或某个公式遗忘引起慌乱．其次建议同学们把考前必读中的每一句话当成一个问题，你一定要提供一个标准答案，一旦发现回答不了或不清晰，此时一定要找老师答疑，彻底搞清楚． （二）加强总结反思．（1）对错题本中记录下来的典型题要反思，想一想当初是怎么错的，现在该怎么做，如何保证以后不会错．如果还觉得该题很难，你不要紧张，要思考如何分解出一些可以解决的问题争取多得一些分．也就是对于难题你要有涨分意识．（2）重视对大考试题的总结．首先总结重点考查哪些内容和方法，有哪些典型题型，各类题型的解题思路是什么，如何书写表达保证能得到更高的分．其次要特别重视对侧重考查思维能力的选填题（如7题、8题、13题和14题）的总结与反思．先总结这几次大考题目中呈现的问题情境有哪些，然后看还是否会用通性通法做，会做有几种思路．若不会做，小题小做的策略是什么．还有要特别重视对函数与导数综合题和平面解析几何综合题的总结与反思．要整理对已知条件的最佳理解与转化策略是什么． （三）心态平和保你马到成功！对于你们来讲，最近几年北京高考考题肯定不难．因此你要相信自己的实力，要对数学考试充满信心．在做数学题时，遇到容易题不轻敌，仔细审清题意，认真解答争取一遍就对，遇到难题不慌张，冷静分析争取多得分．对基础较薄弱的学生，一定要把大量的时间放在选择、填空和前四道大题上，对后两道要有涨分意识，利用通性通法解决部分问题得到一些分，即采取不放弃也不恋战的原则．而对基础较好的学生而言，要确保做题的正确性，每分必争，遇到难题要多读题多回顾反思，利用已有经验和学科思维能力转化困难情景为熟悉情景，稳打稳扎，你肯定能解决问题的！ 【考前必读】一、集合与常用逻辑用语 【核心知识】1．集合间的基本关系：①子集：对任意的x ∈A ，都有x ∈B ，则A B ⊆（或B A ⊇）． ②真子集：若A B ⊆，且A B ≠，则A B ⊂（或B A ⊃）．③空集：空集是任意一个集合的子集，是任何非空集合的真子集．即A ∅⊆，B ∅⊂（B ∅≠）．④集合相等：若A B ⊆，且B A ⊆，则A B =． 2．集合的运算：①{}A B x x x =∈∈A B ∩，且②{}A B x x x =∈∈A B ∪，或③{}UA x x x =∈∉U A ，3．全称命题“()x p x ∀∈A ，”的否定是：“()x p x ∃∈⌝A ，”． 存在性命题“()x p x ∃∈A ，”的否定是：“()x p x ∀∈⌝A ，”．4．①如果p q ⇒，则p 是q 的充分条件，同时q 是p 的必要条件．②如果p q ⇒，且q p ⇒，则p 是q 的充要条件．【特别提醒】1．注意运用韦恩图或数轴研究集合：解决集合有关问题的关键是准确理解集合的属性：如{}221A x y x x ==++，{}221B y y x x ==++，(){}221C x y y xx ==++，；同时注意集合关系的转化，如A B B B A =⇔⊆∩等；一个集合能化简（或求解），一般应考虑先化简（或求解）．2．对集合A 、B ，A B =∅∩时，你是否注意到两种“极端”情况：A =∅或B =∅；A B ⊆时，A 有两种情况：A =∅与A ∅≠． 3．判断命题充要条件的两种方法：（1）定义法；（2）利用集合间的包含关系判断，若A B ⊆，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A B =，则A 是B 的充要条件．（小充分，大必要，相等是充要．） 4．补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题． 【典型例题】 例1．（1）“<0x ”是“()ln 1<0x +”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：()ln 1<00<1<11<<0x x x +⇔+⇔−，而()10−，是()0−∞，的真子集，所以“<0x ”是“()ln 1<0x +”的必要不充分条件．（2）使()ln 1<0x +成立的一个充分不必要条件是（ ）DA ．<0xB ．1<<0x −C ．2<<0x −D ．0.5<<0x −二、不等式 【核心知识】1．一元一次不等式的解法：化为>ax b 的形式，分类讨论：①若>0a ，则>bx a；②若<0a ，则<bx a；③若0a =，则当<0b 时，x ∈R ；④若0a =，则当0b ≥时，x ∈∅． 623．简单的线性规划：①画二元一次不等式表示的平面区域时用特殊点判断区域，无等号时用虚线表示不包含直线l ，有等号时用实线表示包含直线l ．②设点()11P x y ，，()22Q x y ，，若11Ax By C ++与22Ax By C ++同号，则P 、Q 在直线l 的同侧，异号则在直线l 的异侧． 【特别提醒】1．解“二次型”()2>0<0ax bx c ++不等式必须研究二次项系数（0>0<0a a a =，，）． 2．对于方程20ax bx c ++=有实数解的问题：首先要讨论最高次项系数a 是否为0，其次若0a ≠，则一定有240b ac ∆=−≥．3．二次方程、二次不等式、二次函数间的联系你了解了吗？二次方程20ax bx c ++=的两个根即为二次不等式()2>0<0ax bx c ++的解集的端点值，也是二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴的交点的横坐标（即函数的零点）．4．利用基本不等式a b +≥求函数最值时，你是否注意到：“一正二定三等，和定积最大，积定和最小”这16字方针．5．在求解线性规划问题时要注意：10将目标函数改成斜截式方程；20寻找最优解时注意作图规范（注意比较可行域边界斜率与斜截式斜率的大小）．6．不等式恒成立问题的常规处理方式：常应“直接构造函数”和“分离变量法”转化为最值问题．若不等式()>f x A 在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上()min >f x A若不等式()<f x B 在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上()max <f x B ． 7．关于x 的分式不等式要通过移项、通分化为()()()()0<0>0<0ax bax b cx d cx d+⇔+++≥求解；若0?ax bcx d+⇔+≥你知道吗？（答：()()0ax b cx d ++≥且0cx d +≠） 8．解不等式或求函数定义域其结果必须用集合或区间表示． 【典型例题】例2．解关于x 的不等式：()211<0ax a x −++．（答：当0a =时，>1x ；当<0a 时，>1x 或1<x a；当0<<1a 时，11<<x a ；当1a =时，x ∈∅；当>1a 时，1<<1x a ）例3．在下列命题中正确的是__________．②③①1ln ln y x x=+的最小值是2②正数x y ，满足21x y +=，则11x y+的最小值为3+③若221x y +=，则x y +的取值范围是(]2−∞−， ④()423>0y x x x=−−的最小值是2−例4．已知函数()()2f x x ax b a b =++∈R ，的值域为[)0+∞，，若关于x 的不等式()<f x c 的解集为()6m m +，，则实数c 的值为__________．解法一：因为()f x 的值域为[)0+∞，，所以0=△，即24a b =，所以22<04a x ax c ++−的解集为()6m m +，，易得m ，6m +是方程2204a x ax c ++−=的两根，由一元二次方程根与系数的关系得()22664m a a m m c +=−⎧⎪⎨+=−⎪⎩，，解得9c =． 解法二：（数形结合）由已知可知二次函数图象与x 轴相切．关于x 的不等式()<f x c 的解集为()6m m +，，等价于直线y c =与二次函数()2f x x ax b =++图象的两个交点的横坐标分别是m 和6m +．利用极端原则，研究二次函数2y x =与直线y c =交于()A m c ，，()6B m c +，，因A ，B 点关于y 轴对称，所以()6A e ，，代入2y x =求得9c =．例5若x ，y 满足20200x y kx y y +−⎧⎪−+⎨⎪⎩≥，≥，≥，且z y x =−的最小值为4−，则k 的值为__________解析：作出线性约束条件20200x y kx y y +−⎧⎪−+⎨⎪⎩≥，≥，≥的可行域．当>0k 时，如图（1）所示，此时可行域为y 轴上方、直线20x y +−=的右上方、直线20kx y −+=的右下方的区域，显然此时z y x =−无最小值．当<1k −时，z y x =−取得最小值2；当1k =−时，z y x =−取得最小值2−，均不符合题意．当1<<0k −时，如图（2）时，此时可行域为点()20A ，，20B k ⎛⎫− ⎪⎝⎭，，()02C ，所围成的三角形区域，当直线z y x =−经过点20B k ⎛⎫− ⎪⎝⎭，时，有最小值，即2142k k ⎛⎫−−=−⇒=− ⎪⎝⎭三、平面向量【核心知识】1．平面向量的相关概念（1）零向量（2）单位向量（3）相等向量（4）平行向量（也叫共线向量）（5）相反向量（6）两个向量的夹角：对于非零向量a 、b ，平移到同一起点，所成的[]0π，间的角，称为向量a 、b 的夹角，当0θ=时，a 、b 同向，当πθ=时，a 、b 反向，当π2θ=时，a 、b 垂直．2．向量加减法的几何运算：加法：①“平行四边行法则”（同一起点）；②“三角形法则”（首尾相接）； 减法：用“三角形法则”（同一起点），注意：向量的差指向被减向量的终点．3．平面向量坐标运算：①向量坐标求法②向量加减法的坐标运算③数乘向量的坐标运算 4．平面向量的数量积：如果两个非零向量a 、b ，它们的夹角为θ，a 与b 的数量积（或内积或点积），即cos a b a b θ⋅=．规定：零向量与任一向量的数量积是0，注意数量积是一个实数，不再是一个向量． （1）22a a a a =⋅=，2a a =．（2）当a 、b 同向时，a b a b ⋅=；当a 与b 反向时，a b a b ⋅=−；（3）实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作a λ，'它的长度和方向规定如下：①a a λλ=；②当>0λ时，a λ的方向与a 的方向相同；当<0λ时，a λ的方向与a 的方向相反；5．①121200a b a b x x y y ⇔⋅=⇔+=⊥；②()12210a b x y x y a b b λλ⇔=⇔=∈R ∥≠，． 【特别提醒】1．遇到向量问题应从两个角度思考：一是将问题转化为坐标运算，二是考虑其几何意义． 2．①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线，但两条直线平行不包含两条直线重合．③当θ为锐角时，>0a b ⋅，且a 、b 不同向，>0a b ⋅是θ为锐角的必要非充分条件； 当θ为钝角时，<0a b ⋅，且a 、b 不反向，<0a b ⋅是θ为钝角的必要非充分条件． ④当0λ=时，0a λ=，注意不是：0a λ=⑤向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方，两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除（相约）； ⑥向量的“乘法”不满足结合律，即()()a b c a b c ⋅⋅≠【典型例题】例6已知点A ，B ，C 在圆221x y +=上运动，且AB BC ⊥，点P 坐标为()20，，则PA PB PC ++的最大值为__________．A ．6B ．7C ．8D ．9解法一：（坐标法）因为AB BC ⊥所以A ，C 关于原点对称，设()11A x y ，，()11C x y −−，，()22B x y ，，易求)23711PA PB PC x ++=−≤≤，21x =−时，取得最大值7．解法二：（几何法）由向量加法的平行四边形法则及A ，C 关于原点对称，可得()20PA PC +=−，，显然当B 点运动到()10−，时，PA PB PC ++取得最大值7．四、函数 【核心知识】 1．函数的概念：设A 、B 是非空数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于A 中的任意一个数x ，在B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么称:f A B →为从集舍A 到集合B 的一个函数，记作：()y f x =，x ∈A ．函数是一种特殊的映射．2．函数的三种表示方法：①解析法；②列表法；③图象法． 3自左向右图象是上升的自左向右图象是下降的45一般地，如果对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有()()f x f x −=，那么函数()f x 就叫做偶函数． 一般地，如果对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有()()f x f x −=−，那么函数()f x 就叫做奇函数． 6．函数的零点对于函数()y f x =，我们把使()0f x =成立的实数x 叫做函数()y f x =的零点．①零点存在性定理：如果函数()y f x =在区间[]a b ，上的图象是连续不断的一条曲线，并且有()()<0f a f b ⋅，那么，函数()y f x =在区间()a b ，内有零点，即存在()x a b ∈，，使得()0f c =，这个c 也就是方程()0f x =的根． ②二分法的定义：对于在区间[]a b ，上连续不断且()()<0f a f b ⋅的函数()y f x =，通过不断地把函数()f x 的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法做二分法．7．指数式、对数式（1）m na 1m nm naa−=，01a =，log 10a =，log 1a a =，log ln c x x =()log >01>0ba a N Nb a a N =⇔=，≠，，log a NaN =，log log log a c c bb a=． （2）若>0M ，>0N ，则()log log log a a a MN M N =+，log log log aa a MM N N=−，()log log n a a M n M n =∈R8．基本初等函数（1）指数、对数函数（由图象想性质定义域、值域、单调性、奇偶性、零点、特殊函数值、渐近线）①指数函数()>01x y a a a =，≠ ②对数函数()log >01a y x a a =，≠（2）幂函数（由图象想性质）（3）二次函数()2f x ax bx c =++（一般式），()()()12f x a x x x x =−−（零点式0△≥）， ()()2f x a x m n =−+（顶点式）．9．常见的图象变换①函数()()>0y f x a a =+的图象是把函数()y f x =的图象沿x 轴向左平移a 个单位得到的；②函数()()>0y f x a a =−的图象是把函数()y f x =的图象沿x 轴向右平移a 个单位得到的；③函数()()>0y f x a a =+的图象是把函数()y f x =的图象沿y 轴向上平移a 个单位得到的；④函数()()>0y f x a a =−的图象是把函数()y f x =的图象沿y 轴向下平移a 个单位得到的．【特别提醒】1．函数:f A B →是在定义域A 和值域B 两个非空数集间的映射．据此可知函数图象与x 轴的垂线至多有一个公共点． 例如：已知函数()f x ，x ∈F ，那么集合()(){}(){}1x y y f x x x y x =∈=F ，，∩，中所含元素的个数有__________个．（答：0或1）2．函数三要素①定义域（在研究函数问题时要树立定义域优先的原则）②对应法则③值域．3．分段函数：分段函数是在其定义域的不同子集上，分别用几个不同的式子来表示对应关系的函数．在求分段函数的值()0f x 时，一定首先要判断0x 属于定义域的哪个子集，然后再代入相应的关系式；分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集．例如：已知()101<0x f x x ⎧=⎨−⎩，≥，，则不等式()()225x x f x +++≤的解集是__________．（答：32⎛⎤−∞ ⎥⎝⎦，）4．求函数值域（最值）的基本方法：10基本函数法：通过换元将所给较复杂的函数转化成基本函数（如二次函数，指数对数函数等）20单调性法：利用函数的单调性（常用导数研究）求值域． 30重要不等式法40数形结合法（线性规划、数学概念、公式的几何意义等）． 5．奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y 轴对称注意：具有奇偶性的函数的定义域必须关于原点对称！！！为此确定函数的奇偶性时，务必先判定函数定义域是否关于原点对称，若奇函数()f x 定义域中含有0，则必有()00f =．（()00f =是()f x 为奇函数的既不充分也不必要条件）6．函数单调性的等价定义()()()()()()12121212>0>0f x f x x x f x f x f x x x −−−⇔⇔⎡⎤⎣⎦−是增函数；()()()()()()12121212<0<0f x f x x x f x f x f x x x −−−⇔⇔⎡⎤⎣⎦−是减函数．7．确定函数的单调性或单调区间的常用方法①定义法 （取值——作差——变形——定号）．②导数法 ()()>0f x x a b '⇔∈，，则()a b ，为增区间；()()<0f x x a b '⇔∈，，则()a b ，为减区间．③图象法 在选择填空题中还可用数形结合法、特殊值法等．！！！特别提醒：求单调区间时，一是勿忘定义域，二是在多个单调区间之间不一定能添加符号“∪”和“或”；三是单调区间应该用区间表示，不能用集合或不等式表示． 8．函数的周期性（函数的整体性质）定义：对x ∀∈D ，函数()f x 满足()()()>0f x f T x T =+，则()f x 是周期为T 的周期函数．9．研究函数的基本方法①定义法（概念清晰）：20基本函数法（熟记教材中基本函数的图像和性质）；②数形结合法（善于用图象解决函数问题）；40陌生函数性质法；50抽象函数具体化． ！！！特别提醒：有时研究函数的性质需画出其简图，其基本步骤是：定义域、奇偶性、特殊点（与坐标轴交点、极值点等）、单调性、函数值变化、渐近线等． 【典型例题】例10．（1）设函数()()()ln 1ln 1f x x x =++−，则()f x 是（ ）A ．奇函数，且在()01，上是减函数 B ．奇函数，且在()01，上是增函数 C ．偶函数，且在()01，上是减函数 D ．偶函数，且在()01，上是增函数 （2）已知()()314<1log 1.aa x a x f x x x ⎧−+⎪⎨⎪⎩，，，≥是()−∞+∞，上的减函数，那么a 的取值范围是__________．（3）设函数()()()2<142 1.x a x f x x a x a x ⎧−⎪=⎨−−⎪⎩，，，≥①若1a =，则()f x 的最小值为__________；②若()f x 恰有2个零点，则实数a 的取值范围是__________．（4）设a ∈R ，若>0x 时均有()21110a x x ax ⎡⎤−−−−⎡⎤⎣⎦⎣⎦≥，则a =__________．答案（1）C（2）1173⎡⎫⎪⎢⎣⎭， （3）1−；0.5<1a ≤或2a ≥ （4）1.5（4）提示，利用函数()11y a x =−−与21y x ax =−−图象解决，这两个函数图象都与y交于一点()01−，．五、导数1．导数的几何意义：函数()f x 在点0x 处的导数的几何意义，就是曲线()y f x =在点()()00P x f x ，处的切线的斜率，即曲线()y f x =在点()()00P x f x ，处的切线的斜率是()0f x '，相应地切线的方程是()()000y y f x x x '−=−． 2．几种常见函数的导数：①0C '=（C 为常数） ②()1a a x ax −'=③()sin cos x x '=④()cos sin x x '=−⑤()ln x x a a a '=⑥()x x e e '=⑦()1log ln a x x a '=⑧()1ln a x x'=3．导数的运算法则①()()()()f x g x f x g x '''±=±⎡⎤⎣⎦；②()()()()()()f xg x f x g x f x g x '''⋅=+⎡⎤⎣⎦； ③()()()()()()()()()20f x f x g x f x g x g x g x g x '''⎡⎤−=⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎣⎦⎣⎦≠；④若()y f u =，()u g x =，则x u x y y u '''=⋅．4．导数与函数的单调性：在给定的区间D 上，函数()y f x =连续，则①若()>0f x '，则()f x 在D 上为增函数；若()<0f x '，则()f x 在D 上为减函数；若()0f x '=恒成立，则()f x 在D 上为常数函数；若()f x '的符号不确定，则()f x 在D 上不是单调函数．②若函数()y f x =在区间在D 上单调递增，则()0f x '≥，反之等号不成立；若函数()y f x =在D 上单调递减，则()0f x '≤，反之等号不成立．5．函数的极值：设函数()f x 在点0x 附近有定义，如果对0x 附近所有的点，都有()()0<f x f x ，就说是()0f x 函数()f x 的一个极大值．记作()0y f x =极大值，如果对0x 附近所有的点，都有()()0>f x f x ，就说是()0f x 函数()f x 的一个极小值，记作()0y f x =极小值．极大值和极小值统称为极值．6．求函数()y f x =在[]a b ，上的最大值与最小值的步骤：①求函数()y f x =在()a b ，内的极值（极大值或极小值）；②将()y f x =的各极值与()f a ，()f b 比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值． 【特别提醒】1．在求曲线的切线方程时，要注意区分所求切线是曲线上在某点处的切线，还是过某点．．．的切线：曲线上在某点处．．．．的切线只有一条，而过某点．．．的切线不一定只有一条． ！！！特别提醒：切线的问题一般需设切点坐标，利用切点在曲线上和切线上，构造关于切点坐标的方程，达到问题解决的目的．2．导数求函数单调区间的步骤：①求函数定义域；②求()f x '（尽量将导函数写成积或商的形式）；③研究导函数()f x '的符号；④规范的写出单调区间．4．()00f x '=是0x 为极值点的必要而不充分条件．给出函数极大（小）值的条件，一定要既考虑()00f x '=，又要考虑检验“左正右负”（“左负右正”）的转化，否则条件没有用完，这一点一定要切记！5．在研究导函数符号时，一定关注导函数中某些部分是恒正或恒负，我们只需抽取与导函数符号相关的函数．如：设函数()2x f x e ax =−−．若1a =，k 为整数，且当>0x 时，()()1>0x k f x x '−++，求k 的最大值．解：()()1>0x k f x x '−++等价于()()11>0x x k e x −−++()1111<111xx x x x x e x xe x k x e e e −++++==+−−−，令()11x x g x x e +=+−，则()()()()2221111x x x x xe e x xe g x e e −−−−'=+=−−．此函数不含参数，但要得驻点，好像需要解一个超越方程．为了求函数()g x 的最值，需要研究其单调性，即研究()g x '的符号；而()()()221x x xe e x g x e−−'=−中的x e 和()21x e −符号是已知的，所以可以只制取2x e x −−进行研究，抛弃无需讨论的部分．【典型例题】例11．已知函数()1ln 1xf x x +=−．（Ⅰ）求证：当()01x ∈，时，()3>23x f x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭； （Ⅱ）设实数k 使得()3>3x f x k x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭对()01x ∈，恒成立，求k 的最大值． 【解析】当()01x ∈，时，()3>23x f x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，即不等式()312>03f x x x ⎛⎫−+ ⎪⎝⎭，对()01x ∀∈，成立，设()()()33111ln 2ln 1ln 12133x F x x x x x x x x +⎛⎫⎛⎫=−+=+−−−+ ⎪ ⎪−⎝⎭⎝⎭（先化简，．．．．再求导，避免出错！．．．．．．．．．）()4221x F x x'=−，当()01x ∈，是，()>0F x '，故函数在()01，上为增函数，所以()()>00F x F =．因此对()01x ∀∈，，()3>23x f x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭成立； （Ⅱ）使()3>3x f x k x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭成立，()01x ∈，，等价于()01x ∈，，()311ln >013x F x k x x x +⎛⎫=−+ ⎪−⎝⎭()4221kx kF x x +−'=−，当2k ≤时，()0F x '≥，故函数在()01，上为增函数，所以()()>00F x F =．符合题意．当>2k 时，令()0F x '=，()40201k x−=∈，，显然不成立，综上所述可知：k 的最大值为2．例12．设函数()3ln >02x f x k x k =−，．（Ⅰ）求()f x 的单调区间和极值；（Ⅱ）证明：若()f x 存在零点，则()f x 在区间(1上仅有一个零点．【解析】（Ⅰ）首先>0x ，则()2x kf x −'=，由()0f x '=得，x =所以，()f x 的单谓递减区间是0，单调递增区间是+∞；()f x在x =处取得极小值()1ln 2k k f −=．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，()f x 在区间()0+∞，上的最小值为．()1ln 2k k f−=因为()f x 存在零点，所以()1ln 02k k −≤，从而k e ≥．当k e =时，()f x 在区间(1上单调递减，且0f =，所以x =()f x 在区间(1上的唯一零点．当>k e 时，()f x 在区间(0上单调递减，且()11>02f =，<02e kf −=，所以()f x 在区间(1上仅有—个零点．综上可知，若()f x 存在零点，则()f x 在区间(1上仅有一个零点．六、三角函数 【核心知识】1．弧度与角度的互化①长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角；②角度制与弧度制的换算：180πrad ︒=③弧长公式：l r α=，其中：l 是圆心角所对的弧长，r 是半径，α为圆弧所对圆心角的弧度数．④扇形面积公式：12S lr =2．终边相同的角的表示：α终边与θ终边相同（α的终边在θ终边所在射线上）()2πk k αθ⇔=+∈Z ，注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等． 3．任意角的三角函数的定义：设α是任意一个角，()P x y ，是α的终边上的任意一点（异于原点），它与原点的距离是r =，那么sin yrα=，cos x r α=，()tan 0y x x α=≠．三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P 的位置无关． 4．三角函数线的特征是：正弦线sin MP α=“站在x 轴上（起点在x 轴上）”，余弦线cos OM α=“躺在x 轴上（起点是原点）”，正切线tan AT α=“站在点()10A ，处（起点是A ）”．5．同角三角函数的基本关系式：（1）平方关系：22sin cos 1αα+=（2）商数关系：sin tan cos ααα=． 在运用平方关系解题时，要根据角的范围和三角函数的取值定符号；在具体求三角函数值时，一般不需用同角三角函数的基本关系式，而是先根据角的范围确定三角函数值的符号，再利用解直角三角形求出此三角函数值的绝对值． 6．诱导公式：三角函数的诱导公式（π2k α⋅+）的本质是：奇变偶不变（对k 而言，指k 取奇数或偶数），符号看象限（把α看成是锐角时，角π2k α⋅+所在象限的符号）．求任意角的三角函数值的一般步骤：①负角变正角，再写成2π0<2πk αα+，≤；②转化为锐角三角函数． 7．两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式：()sin sin cos cos sin sin 22sin cos αβαβαβαβααα=±=±⎯⎯⎯→=令()()22222cos cos cos sin sin cos 2cos sin 2cos 112sin tan tan 2tan tan tan 21tan tan 1tan αβαβαβαβαβααααααβααβααβα==±=⎯⎯⎯→=−↓=−=−±±=⎯⎯⎯→=−令令①三角函数次数的升降：降幂公式：21cos 2cos 2αα+=，21cos 2sin 2αα−=；升幂公式：21cos22cos αα+=1，21cos 22sin αα−=）②辅助角公式：()sin cos a x b x x θ+=+（其中θ角所在的象限由a ，b 的符号确定，θ角的值由tan baθ=确定．北京的三角试题辅助角应是特殊角，如果不是，估计你算错了．）在求最值、化简时起着重要作用． 8[]11−，9．函数的图象变换得到的图象的步骤10．①正弦定理2sin sin sin a b cR A B C===（2R 为ABC △的外接圆直径）； ②余弦定理：2222cos a b c bc A =+−；③ABC △面积公式：1sin 2S ab C =．【特别提醒】1．三角求值问题核心就是方程的思想，淡化技巧，如果将公式：22sincos1αα+=用好，再注意角的范围和三角函数的符号，一般的求值问题基本可以解决．2．三角函数在各象限中的符号，回归定义或图象记忆；诱导公式也可以借助两角和（差）公式记忆．3．求较复杂的三角函数的单调区间、周期、对称轴（中心），基本思路就是将其转化为形如：()()sin >0>0y A x A h ωϕω=++，的形式．将x ωϕ+看成一个整体，借助sin y x =的性质求之．4．求三角函数最值，一般是将其转化为下面两种形式：①()()sin >0>0y a x A h ωϕω=++，（简称为“化一”） ②2sin sin y a x b x c =++（简称为“化二”），令sin t =，()211y at bt c t =++−≤≤．5．正切函数的对称中心一类是图象与x 轴的交点，另一类是渐近线与x 轴的交点，这是与正弦、余弦函数的不同之处．如：点()π0A k ，，k ∈Z 是函数tan y x =对称中心的充分不必要条件．67．函数图象的“五点法”画法：设t x ωϕ=+，令0π2π22t =，，，，求出相应的x 值，计算得出五点的坐标，描点后得出图象；8．①三角形中的问题，一定要注意πA B C ++=这个特殊性：()sin sin A B C +=；()cos cos A B C +=−；()tan tan A B C +=−．②求解斜三角形中含有边角混合关系的问题时，常运用正弦定理、余弦定理实现边角互化（角边统一）．③三角形中求边或角的问题其本质是方程思想，寻求含边的代数方程还是含角的三角等式要因题而定． 【典型例题】例7．将函数()sin y x x x =+∈R 的图象向左平移()>0m m 个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是（ ） A ．π12 B ．π6 C ．π3 D ．5π6【解析】选B本题考查三角函数的图象与性质，意在对三角函数变形以及图象平移等知识的掌握．1πsin 2sin 2sin 223y x x x x x ⎛⎫⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象向左平移m 个单位后，得到π2sin 3y x m ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象，此图象关于y 轴对称，则0x =时，2y =±，即π2sin 23m ⎛⎫+=± ⎪⎝⎭，所以πππ32m k +=+，k ∈Z ，由于>0m ，所以min π6m =．例8．已知函数()()sin 2f x x ϕ=+，其中ϕ为实数，若()π6f x f ⎛⎫⎪⎝⎭≤对x ∈R 恒成立，且()π>π2f f ⎛⎫⎪⎝⎭，则()f x 的单调递增区间是（ ） A ．()ππππ36k k k ⎡⎤−+∈⎢⎥⎣⎦Z ， B ．()πππ2k k k ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦Z ， C ．()π2πππ63k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z ，D ．()πππ2k k k ⎡⎤−∈⎢⎥⎣⎦Z ，【解析】因为当x ∈R 时，()π6f x f ⎛⎫⎪⎝⎭≤恒成立，所以ππsin 163f ϕ⎛⎫⎛⎫=+=± ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得π2π6k ϕ=+或5π2π6k ϕ=−．因为()()()πsin πsin >πsin 2πsin 2f f ϕϕϕϕ⎛⎫=+=−=+= ⎪⎝⎭，故sin <0ϕ，所以5π2π6k ϕ=−，所以()5πsin 26f x x ⎛⎫=− ⎪⎝⎭，函数的单调递增区间为π5π2π226k x −+−≤π2π2k +≤，所以()π2πππ63x k k k ⎡⎤∈++∈⎢⎥⎣⎦Z ，．答案：C例9．设偶函数()()()sin >0>00<<πf x A x A ωϕωϕ=+，，的部分图象如图所示，KLM △为等腰直角三角形，90KML =︒∠，1KL =，则()1/6f 的值为（ ）DA．B ．14−C ．12−D【解析】由题意知，点M 到x 轴的距离是12，根据题意可设()1cos 2f x x ω=，又由题图知12π12ω⋅=，所以πω=，所以()1cos π2f x x =，故11πcos 626f ⎛⎫== ⎪⎝⎭七、数列 【核心知识】 1．等差数列： （1）等差数列的判断方法：定义法1n n a a d +−=（d 为常数）或()112n n n n a a a a n +−−=−≥．（2）等差数列的通项：()11n a a n d =+−或()n n a a n m d =+−． （3）等差数列的前n 项和：()()11122n n n a a n n S na d +−==+．（4）等差中项：若a A b ，，成等差数列，则A 在a 与b 的等差中项，且2a bA +=． （5）等差数列的性质：m n p q +=+时，则有m n p q a a a a +=+． 2．等比数列：（1）等比数列的判断方法：定义法1n na q a +=（q 为常数），其中0q ≠，0n a ≠或11n nn n a a a a +−=()2n n *∈N ≥，．（2）等比数列的通项：11n n a a q −=或n m n m a a q −=．（3）等比数列的前n 项和：当1q =时，1n S na =；当1q ≠时，()111n n a q S q−=−．（4）等比中项：若a G b ，，成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项． （5）等比数列的性质：当m n p q +=+时，则有m n p q a a a a ⋅=⋅．3．数列通项的求法：（1）公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式．（2）已知n S （即12n n S a a a =+++）求n a ，用作差法：1112n nn S n a S S n −=⎧=⎨−⎩，，≥．（3）若()1n n a a f n +−=求n a 和叠加：()()()()1122112n n n a n n a a a a a a a n −−−−=+−++−+≥．（4）若()1n n a f n a +=求n a ，用叠乘：()1211212n nn n n a aa a a n a a a −−−=⋅⋅≥． 4．数列求和的常用方法：（1）公式法：①等差数列求和公式，②等比数列求和公式，特别声明：运用等比数列求和公式，务必检验公比与1的关系，必要是需分类讨论．（2）分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”拆分重组，再运用公式法求和．例如：求()()1357121nn S n =−+−+−+−−（答：()1nn −⋅）（3）通项转换法：先对通项进行变形，发现其内在特征，再运用分组求和法求和．例如：求各：111112123123n ++++=+++++++___________．（答：21n n +） （4）倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有共性，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前n 和公式的推导方法）．例如：已知()221x f x x =+，则()()()()1111234234f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭_________．（答：72）（5）错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常用错位相减法（这也是等比数列前n 和公式的推导方法）．（6）裂项法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么用裂项法．（重点掌握前三个方法） 【特别提醒】1．数列是特殊的函数，因此，应多从函数的角度去研究数列．1．等差数列的通项公式及前n 项和公式中，涉及到5个元素：1a 、d 、n 、n a 及n S ，其中1a d 、称作为基本元素．只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2．2．等比数列前n 项和公式有两种形式，为此在求等比数列前n 项和时，首先要判断公比q 是否为1，再由q 的情况选择求和公式的形式，当不能判断公比q 是否为1时，要对q 分1q =和1q ≠两种情形讨论求解．3．不是任何两数都有等比中项，只有同号两数才存在等比中项，且有两个，G =． 4．①用1n n n a S S −=−求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？（2n ≥，当1n =时，11a S =）；②一般地当已知条件中含有n a 与n S 的混合关系时（即()n n S f a =时），常需运用关系式1n n n a S S −=−，先将已知条件转化为只含n a 或n S 的关系式，然后再求解．例如：数列{}n a 满足14a =，1153n n n S S a +++=，求n a ．（答：141342n n n a n −=⎧=⎨⋅⎩，，≥） 【典型例题】 例20．（1）若等差数列{}n a 满足789>0a a a ++，710<0a a +，则当n =__________时{}n a 的前n 项和最大．（2）在等比数列{}n a 中，10.5a =，44a =−，则公比q =___________；12n a a a +++=__________．【答案】（1）8（2）2，1122n −−。
高一数学作业2简述新课程中几何内容(包括立体几何和解
高一数学作业：简述新课程中几何内容（包括立体几何和解析几何）的定位、要求、变化及其缘由。
一、几何内容的定位立体几何和解析几何这部分内容在高中数学课程中占有重要地位,有着重要的教育价值。
与《大纲》中几何内容相比,《高中数学课程标准》中立体几何部分在定位、目标、编排方式等方面都有比较大的变化,解析几何部分的内容安排和目标要求也有较大变化。
把握高中数学课程中几何部分的内容变化及要求,理解其教育价值,对于有效地实施和贯彻《高中数学课程标准》是非常重要的。
我想新课程对几何课程的定位主要体现在以下几个方面：培养和发展学生把握图形的能力；培养和发展学生的空间想象能力；培养和发展学生的推理能力；培养和发展学生的几何直觉能力，提升几何直观的思想方法；突出了用代数方法解决几何问题的过程，强调代数关系的几何意义。
新课程改革已经开展了一年半，在教学实践中也有颇多感受和困惑，但随着教学的不断深入，对照新课程标准和教材，结合教学实践，对高中数学课程的设置及新课程标准有了较为全面的认识，下面从立体几何教学方面谈一点感受，与各位老师共同探讨。
二、几何内容的变化在新课程中，立体几何部分的教学内容发生了巨大的变化（一）、教学内容及编排的变化.新教材对《立体几何》内容分别在《必修》和《选修》中分两阶段安排，《必修》中安排了空间几何体，点、直线、平面之间的位置关系主要是定性的讨论，在《选修》中利用向量的方法对距离、角度等进行定量研究。
而这部份内容对文科学生根本就不要求。
.删除了棱柱、棱锥、棱台，圆柱、圆锥、圆台的性质及计算。
增加了三视图的内容，教学时间由原来的学时变为“立体几何初步”学时，“空间向量与立体几何”中，用向量研究立体几何仅用课时。
.旧教材的立体几何重在强化严格证明，培养学生的逻辑思维能力，以图形的位置关系为主线，从局部到整体展开几何内容。
教材在给出平面的基本性质与画法后，接着研究空间两条直线、直线和平面、平面与平面的位置关系，着重研究了平行和垂直的判定与性质，还研究了夹角与距离问题。
解析几何和立体几何
解析几何和立体几何
解析几何和立体几何是数学中的两个重要分支。
解析几何是指通过代数方法研究几何
问题，例如用坐标系来描述和分析几何图形、求解几何问题等。
而立体几何则专注于三维
图形和空间中的几何关系，研究点、线、面和体的性质、变换和展开等。
在解析几何中，坐标系是重要的工具。
坐标系统是一个由两个数轴定义的平面，这两
个轴相互垂直，相交于原点。
在二维坐标系中，一个点可以由其在x轴和y轴上的坐标表示。
通过坐标系可以求出两点之间的距离，解决线段、角度、三角形和圆的面积、周长等
问题。
在立体几何中，三维图形是重要的对象。
三维图形通常由点、线、面、体的元素组成。
在我们日常接触的环境中，世界上的大多数物体都是三维的，可以用立体几何来描述。
例如，立方体、棱柱、棱锥、圆锥和球等几何图形均属于三维对象。
对于三维图形，我们可以研究其体积、表面积、中心、对称性和投影等性质。
例如，
对于一个正方体，可以通过计算其对角线长来求出其体积，而对于一个圆锥，可以通过分
解法来求出其表面积和体积。
另外，对于三维图形的投影还有很多研究，特别是在建筑、
美术等领域有很大的应用。
总之，解析几何和立体几何是数学中两个重要的分支，它们给予了我们在几何建模、
计算机图形学、机器人学等领域的很多帮助。
无论是建筑师、工程师还是计算机科学家，
都需要掌握一定的解析几何和立体几何知识。
高中数学立体几何的解析几何方法
高中数学立体几何的解析几何方法解析几何是数学中的一个重要分支，它运用代数和几何的方法来研究图形的性质和变化。
在高中数学中，解析几何尤其在立体几何的研究中发挥了重要作用。
本文将介绍高中数学立体几何中的解析几何方法，并探讨其在求解问题和证明定理中的应用。
一、直线的方程在立体几何中，直线是研究的基本对象。
通过解析几何方法，我们可以方便地求解直线的性质和方程。
1. 直线的斜率和截距直线的斜率和截距是直线方程中的两个重要参数。
给定直线上的两点A(x1, y1)和B(x2, y2)，可以通过斜率公式求得直线的斜率k，即k = (y2 - y1) / (x2 - x1)直线的截距可以通过截距公式求得，即b = y - kx其中b为直线与y轴的交点，也是直线的截距。
2. 直线的一般方程直线的一般方程形式为Ax + By + C = 0，其中A、B、C为常数，且A和B不能同时为0。
这个方程可以表示任意的直线。
3. 直线的向量方程直线的向量方程形式为r = a + tb，其中r为直线上一点的位置矢量，a为直线上已知的一点的位置矢量，b为直线的方向向量，t为参数。
二、平面的方程除了直线的方程，解析几何方法还可以用来求解平面的方程。
1. 平面的点法向式方程平面的点法向式方程形式为Ax + By + Cz + D = 0，其中A、B、C、D为常数，且至少有一个不为0。
这个方程中的A、B、C为平面的法向量的分量。
2. 平面的截距式方程平面的截距式方程可以表示为 x/a + y/b + z/c = 1，其中a、b、c为平面在坐标轴上的截距。
三、解析几何在立体几何中的应用解析几何方法在立体几何中具有广泛的应用，可以用来求解各种问题和证明定理。
1. 直线与平面的交点通过解析几何方法，我们可以求解直线与平面的交点。
给定直线的参数方程和平面的方程，可以将直线方程代入平面方程，得到一个关于参数的方程组，通过解方程组可以求解直线与平面的交点。
高中几何知识解析解析几何中的空间形
高中几何知识解析解析几何中的空间形高中几何知识解析—解析几何中的空间形空间几何是几何学中的一个重要分支，研究物体在三维空间中的形状、大小和相互关系。
在高中数学中，我们学习了许多关于空间形的知识，包括点、直线、平面等。
本文将对高中几何知识中的空间形进行解析，帮助读者更好地理解与掌握这一领域。
一、点、直线和平面在空间几何中，点是最基本的元素，用于描述位置。
点是一个没有任何维度的对象，几何中通常用大写字母表示，如点A、点B等。
直线是由无限多个点连成的，具有无限延伸性和方向性。
直线也是空间几何中的基本元素，通常用小写字母表示，如直线l、直线m等。
直线上的任意两点可以确定一条直线。
平面是由无限多条直线连成的，平面具有无限大的面积和厚度为零的特点。
平面也是空间几何中的基本元素，通常用大写字母表示，如平面P、平面Q等。
二、立体几何在空间几何中，我们还研究了各种各样的立体形状，如球体、长方体、圆锥体等。
这些立体形状都具有一定的体积和表面积。
球体是由所有离球心距离相等的点组成的，球体具有无限大的曲面和一定的体积。
球体在数学和物理中具有重要应用，如研究球体的体积和表面积的计算等。
长方体是由六个矩形面组成的，长方体具有六个面、八个顶点和十二条棱。
长方体是一种常见的立体形状，我们生活中的许多物体都具有长方体的形状，如书箱、电视机等。
圆锥体是由一个圆面和一条母线组成的，圆锥体具有一个顶点、一个底面和侧面。
圆锥体也是空间几何中的重要立体形状，如圆锥形的山、喷水池等。
三、相交关系在解析几何中，我们研究了空间中不同几何体之间的相交关系。
常见的相交关系有相交、平行和垂直。
两条直线如果有且只有一个公共点，我们称它们相交；如果两条直线在平面上无交点，我们称它们平行；如果两条直线正交相交，我们称它们垂直。
类似地，两个平面如果有且只有一条公共直线，我们称它们相交；如果两个平面没有公共直线，我们称它们平行；如果两个平面相交而且相交线上的任意一条直线都与两个平面垂直，我们称它们垂直。
三轮复习--基础知识复习之立体几何解析几何部分
立体几何 [必记知识]空间几何体的表面积和体积(1)线线平行：⎭⎪⎬⎪⎫a ∥α a ⊂βα∩β＝b ⇒a ∥b ，⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αb ⊥α⇒a ∥b ，⎭⎪⎬⎪⎫α∥βα∩γ＝a β∩γ＝b ⇒a ∥b ，⎭⎪⎬⎪⎫a ∥b a ∥c ⇒c ∥b . (2)线面平行：⎭⎪⎬⎪⎫a ∥b b ⊂αa ⊄α⇒a ∥α，⎭⎪⎬⎪⎫α∥βa ⊂β⇒a ∥α，⎭⎪⎬⎪⎫α⊥βa ⊥βa ⊄α⇒a ∥α. (3)面面平行：⎭⎪⎬⎪⎫a ⊂α，b ⊂αa ∩b ＝O a ∥β，b ∥β⇒α∥β，⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αa ⊥β⇒α∥β，⎭⎪⎬⎪⎫α∥βγ∥β⇒α∥γ. (4)线线垂直：⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αb ⊂α⇒a ⊥b .(5)线面垂直：⎭⎪⎬⎪⎫a ⊂α，b ⊂αa ∩b ＝O l ⊥a ，l ⊥b ⇒l ⊥α，⎭⎪⎬⎪⎫α⊥β α∩β＝l a ⊂α，a ⊥l ⇒a ⊥β， ⎭⎪⎬⎪⎫α∥βa ⊥α⇒a ⊥β，⎭⎪⎬⎪⎫a ∥b a ⊥α⇒b ⊥α.(6)面面垂直：⎭⎪⎬⎪⎫a ⊂βa ⊥α⇒α⊥β，⎭⎪⎬⎪⎫a ∥βa ⊥α⇒α⊥β. [提醒]) 要注意空间线面平行与垂直关系中的判定定理和性质定理中的条件.如由α⊥β，α∩β＝l ，m ⊥l ，易误得出m ⊥β的结论，就是因为忽视面面垂直的性质定理中m ⊂α的限制条件.用空间向量证明平行垂直设直线l 的方向向量为a ＝(a 1，b 1，c 1)，平面α、β的法向量分别为μ＝(a 2，b 2，c 2)，υ＝(a 3，b 3，c 3)．则有：(1)线面平行l ∥α⇔a ⊥μ⇔a·μ＝0⇔a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2＝0. (2)线面垂直l ⊥α⇔a ∥μ⇔a ＝k μ⇔a 1＝ka 2，b 1＝kb 2，c 1＝kc 2. (3)面面平行α∥β⇔μ∥υ⇔μ＝λυ⇔a 2＝λa 3，b 2＝λb 3，c 2＝λc 3. (4)面面垂直α⊥β⇔μ⊥υ⇔μ·υ＝0⇔a 2a 3＋b 2b 3＋c 2c 3＝0. 用向量求空间角(1)直线l 1，l 2的夹角θ有cos θ＝|cos 〈l 1，l 2〉|(其中l 1，l 2分别是直线l 1，l 2的方向向量)． (2)直线l 与平面α的夹角θ有sin θ＝|cos 〈l ，n 〉|(其中l 是直线l 的方向向量，n 是平面α的法向量)．(3)平面α，β的夹角θ有cos θ＝|cos 〈n 1，n 2〉|，则α-l -β二面角的平面角为θ或π－θ(其中n 1，n 2分别是平面α，β的法向量)．[提醒]) 在处理实际问题时，要注意异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的取值范围，要根据具体图形确定二面角的平面角是锐角还是钝角.[必会结论]三视图的排列规则俯视图放在正(主)视图的下面，长度与正(主)视图一样；侧(左)视图放在正(主)视图的右面，高度与正(主)视图一样，宽度与俯视图一样．平行、垂直关系的转化示意图球的组合体(1)球与长方体的组合体：长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长．(2)球与正方体的组合体：正方体的内切球的直径是正方体的棱长，正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长，正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长．(3)球与正四面体的组合体：棱长为a 的正四面体的内切球的半径为612a (正四面体高63a 的14)，外接球的半径为64a (正四面体高63a 的34)． [必练习题]1．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，有下列四个命题： ①若m ⊂β，α⊥β，则m ⊥α； ②若α∥β，m ⊂α，则m ∥β； ③若n ⊥α，n ⊥β，m ⊥α，则m ⊥β； ④若m ∥α，m ∥β，则α∥β. 其中正确命题的序号是( ) A ．①③ B ．①② C ．③④D ．②③解析：选D.对于①，注意到直线m 可能与平面α，β的交线平行，此时结论不成立，因此①不正确；对于②，直线m 与平面β必没有公共点，因此m ∥β，②正确；对于③，由m ⊥α，n ⊥α，得m ∥n ，又n ⊥β，因此m ⊥β，③正确；对于④，平面α，β可能是相交平面，因此④不正确．综上所述，其中正确命题的序号是②③，选D.2．如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是( )A. 3 B ．2 C ．3D ．4解析：选A.由几何体的三视图知，几何体是底面为直角梯形，高为3的四棱锥，如图所示，则V ＝13×12×(1＋2)×2×3＝3，故选A.3．已知一个圆锥底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内切球的表面积为( )A ．π B.3π2 C ．2πD ．3π解析：选C.依题意，作出圆锥与球的轴截面，如图所示，设球的半径为r ，易知轴截面三角形边AB 上的高为22，因此22－r 3＝r 1，解得r ＝22，所以圆锥内切球的表面积为4π×⎝⎛⎭⎫222＝2π，故选C. 4．中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅监制的一个标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图所示(单位：寸)，若π取3，其体积为12.6(单位：立方寸)，则图中的x 为( )A ．1.2B ．1.6C ．1.8D ．2.4解析：选B.该几何体是一个组合体，左边是一个底面半径为12，高为x 的圆柱，右边是一个长、宽、高分别为5.4－x ，3，1的长方体，所以组合体的体积V ＝V 圆柱＋V 长方体＝π·⎝⎛⎭⎫122×x ＋(5.4－x )×3×1＝12.6(其中π＝3)，解得x ＝1.6.故选B.5．已知S ，A ，B 、C 是球O 表面上的不同点，SA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，AB ＝1，BC ＝2，若球O 的表面积为4π，则SA ＝( )A.22B ．1 C. 2D.32解析：选B.根据已知把S -ABC 补成如图所示的长方体．因为球O 的表面积为4π，所以球O 的半径R ＝1，2R ＝SA 2＋1＋2＝2，解得SA ＝1，故选B.6．棱长都为2的直平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，∠BAD ＝60°，则对角线A 1C 与侧面DCC 1D 1所成角的正弦值为( )A.12B.22C.34D.38解析：选C.过点A 1作直线A 1M ⊥D 1C 1，交C 1D 1的延长线于点M ，连接CM ，可得A 1M ⊥平面DD 1C 1C ，则∠A 1CM 就是直线A 1C 与面DD 1C 1C 所成的角．由所有棱长均为2及∠A 1D 1C 1＝120°，得A 1M ＝A 1D 1sin 60°＝3，又A 1C ＝A 1C 21＋CC 21＝（23）2＋22＝4，所以sin ∠A 1CM ＝A 1M A 1C ＝34，故选C.7．已知矩形ABCD ，AB ＝1，BC ＝2，将△ABD 沿矩形的对角线BD 所在的直线进行翻折，在翻折过程中，( )A ．存在某个位置，使得直线AC 与直线BD 垂直B ．存在某个位置，使得直线AB 与直线CD 垂直C ．存在某个位置，使得直线AD 与直线BC 垂直D ．对任意位置，三对直线“AC 与BD ”“AB 与CD ”“AD 与BC ”均不垂直 解析：选B.若存在某个位置，使得AC ⊥BD ，作AE ⊥BD 于E ，则BD ⊥平面AEC ，所以BD ⊥EC ，在△ABD 中，AB 2＝BE ·BD ，BE ＝13，而在△BCD 中，BC 2＝BE ·BD ，BE ＝23，两者矛盾．故A 错误．若存在某个位置，使得AB ⊥CD ，又因为AB ⊥AD ，则AB ⊥平面ACD ，所以AB ⊥AC ，故AC ＝1，故B 正确，D 错误．若存在某个位置．使得AD ⊥BC ，又因为AD ⊥AB ，则AD ⊥平面ABC ，所以AD ⊥AC ，而斜边CD 小于直角边AD ，矛盾，故C 错误．8.如图，在四棱锥P -ACBD 中，底面ACBD 为正方形，PD ⊥平面ACBD ，BC ＝AC ＝a ，P A ＝PB ＝2a ，PC ＝3a ，则点C 到平面P AB 的距离为________．解析：根据条件可以将四棱锥置于一个正方体中进行研究，如图所示，易知AB ＝2a ，设点C 到平面P AB 的距离为h ，因为V P ABC ＝V C P AB ，即13×S △ABC ·PD ＝13S △P AB ·h ，所以13×12a 2×a ＝13×34×(2a )2×h ，解得h ＝33a ，所以点C 到平面P AB 的距离为33a . 答案：33a 9．正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，若动点P 在线段BD 1上运动，则DC →·AP →的取值范围是________．解析：以DA 所在的直线为x 轴，DC 所在的直线为y 轴，DD 1所在的直线为z 轴，建立空间直角坐标系D -xyz .则D (0，0，0)，C (0，1，0)，A (1，0，0)，B (1，1，0)，D 1(0，0，1)． 所以DC →＝(0，1，0)，BD 1→＝(－1，－1，1)． 因为点P 在线段BD 1上运动，所以设BP →＝λBD 1→＝(－λ，－λ，λ)，且0≤λ≤1. 所以AP →＝AB →＋BP →＝DC →＋BP →＝(－λ，1－λ，λ)， 所以DC →·AP →＝1－λ∈[0，1]． 答案：[0，1]10.如图，在正三角形ABC 中，D ，E ，F 分别为各边的中点，G ，H 分别为DE ，AF 的中点，将△ABC 沿DE ，EF ，DF 折成四面体P -DEF ，则四面体中异面直线PG 与DH 所成的角的余弦值为________．解析：折成的四面体是正四面体，如图连接HE ，取HE 的中点K ，连接GK ，PK ，则GK ∥DH .故∠PGK 即为所求的异面直线所成的角．设这个正四面体的棱长为2，在△PGK 中，PG ＝3，GK ＝32，PK ＝12＋⎝⎛⎭⎫322＝72，故cos ∠PGK ＝（3）2＋⎝⎛⎭⎫322－⎝⎛⎭⎫7222×3×32＝23，即异面直线PG 与DH 所成的角的余弦值是23.答案：23解析几何 [必记知识]直线方程的五种形式(1)点斜式：y －y 1＝k (x －x 1)(直线过点P 1(x 1，y 1)，且斜率为k ，不包括y 轴和平行于y 轴的直线)．(2)斜截式：y ＝kx ＋b (b 为直线l 在y 轴上的截距，且斜率为k ，不包括y 轴和平行于y 轴的直线)．(3)两点式：y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1(直线过点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，且x 1≠x 2，y 1≠y 2，不包括坐标轴和平行于坐标轴的直线)．(4)截距式：x a ＋yb ＝1(a ，b 分别为直线的横、纵截距，且a ≠0，b ≠0，不包括坐标轴、平行于坐标轴和过原点的直线)．(5)一般式：Ax ＋By ＋C ＝0(其中A ，B 不同时为0)． 直线的两种位置关系当不重合的两条直线l 1和l 2的斜率存在时： (1)两直线平行l 1∥l 2⇔k 1＝k 2. (2)两直线垂直l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1.[提醒]) 当一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在时，两直线也垂直，此种情形易忽略.三种距离公式(1)A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点间的距离 |AB |＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2.(2)点到直线的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2(其中点P (x 0，y 0)，直线方程为Ax ＋By ＋C ＝0)．(3)两平行线间的距离d ＝|C 2－C 1|A 2＋B 2(其中两平行线方程分别为l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 1：Ax ＋By ＋C 2＝0且C 1≠C 2)．[提醒] 应用两平行线间距离公式时，注意两平行线方程中x ，y 的系数应对应相等. 圆的方程的两种形式(1)圆的标准方程：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2.(2)圆的一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)． 直线与圆、圆与圆的位置关系(1)直线与圆的位置关系：相交、相切、相离，代数判断法与几何判断法．(2)圆与圆的位置关系：相交、内切、外切、外离、内含，代数判断法与几何判断法． 椭圆的标准方程及几何性质了椭圆的圆扁程度.因为a 2＝b 2＋c 2，所以 b a ＝1- e 2，因此，当e 越趋近于1时， ba 越趋近于0，椭圆越扁；当e 越趋近于0时， ba 越趋近于1，椭圆越接近于圆.所以e 越大椭圆越扁；e 越小椭圆越圆，当且仅当a ＝b ，c ＝0时，椭圆变为圆，方程为x 2＋y 2＝a 2（a ＞0）.双曲线的标准方程及几何性质小；当e 越接近于＋∞时，双曲线开口越大.（2）满足||PF 1|－|PF 2||＝2a 的点P 的轨迹不一定是双曲线，当2a ＝0时，点P 的轨迹是线段F 1F 2的中垂线；当0＜2a ＜|F 1F 2|时，点P 的轨迹是双曲线；当2a ＝|F 1F 2|时，点P 的轨迹是两条射线；当2a ＞|F 1F 2|时，点P 的轨迹不存在.抛物线的标准方程及几何性质与圆的切线有关的结论(1)过圆x 2＋y 2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2；(2)过圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的切线方程为(x 0－a )(x －a )＋(y 0－b )(y －b )＝r 2；(3)过圆x 2＋y 2＝r 2外一点P (x 0，y 0)作圆的两条切线，切点为A ，B ，则过A ，B 两点的直线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2；(4)过圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)外一点P (x 0，y 0)引圆的切线，切点为T ，则|PT |＝x 20＋y 20＋Dx 0＋Ey 0＋F ；(5)过圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)外一点P (x 0，y 0)作圆C 的两条切线，切点分别为A ，B ，则切点弦AB 所在的直线方程为(x 0－a )(x －a )＋(y 0－b )(y －b )＝r 2；(6)若圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)，则过圆外一点P (x 0，y 0)的切线长d ＝（x 0－a ）2＋（y 0－b ）2－r 2.椭圆中焦点三角形的相关结论由椭圆上一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形．解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义和正、余弦定理．以椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上一点P (x 0，y 0)(y 0≠0)和焦点F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)为顶点的△PF 1F 2中，若∠F 1PF 2＝θ，则(1)|PF 1|＝a ＋ex 0，|PF 2|＝a －ex 0(焦半径公式)，|PF 1|＋|PF 2|＝2a .(e 为椭圆的离心率) (2)4c 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|·cos θ.(3) S △PF 1F 2＝12|PF 1||PF 2|·sin θ＝b 2tan θ2＝c |y 0|，当|y 0|＝b ，即P 为短轴端点时，S △PF 1F 2取得最大值，为bc .(4)焦点三角形的周长为2(a ＋c )．双曲线的方程与渐近线方程的关系(1)若双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，则渐近线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝0，即y ＝±ba x .(2)若渐近线的方程为y ＝±b a x (a ＞0，b ＞0)，即x a ±y b ＝0，则双曲线的方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ.(3)若所求双曲线与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)有公共渐近线，其方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ＞0，焦点在x 轴上；λ＜0，焦点在y 轴上)．双曲线常用的结论(1)双曲线的焦点到其渐近线的距离为b .(2)若P 是双曲线右支上一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF 1|min ＝a ＋c ，|PF 2|min＝c －a .(3)同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为2b 2a ，异支的弦中最短的为实轴，其长为2a .(4)P 是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则k P A ·k PB ＝b 2a 2，S △PF 1F 2＝b 2tanθ2，其中θ为∠F 1PF 2.(5)P 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)右支上不同于实轴端点的任意一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，I 为△PF 1F 2内切圆的圆心，则圆心I 的横坐标恒为a .抛物线焦点弦的相关结论设AB 是过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，α为直线AB 的倾斜角，则(1)焦半径|AF |＝x 1＋p 2＝p 1－cos α，|BF |＝x 2＋p 2＝p1＋cos α.(2)x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2.(3)弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2α. (4)1|F A |＋1|FB |＝2p. (5)以弦AB 为直径的圆与准线相切． (6)S △OAB ＝p 22sin α(O 为抛物线的顶点)．[必练习题]1．过圆x 2＋y 2－x －y ＋14＝0的圆心，且倾斜角为π4的直线方程为( )A ．x －2y ＝0B ．x －2y ＋3＝0C ．x －y ＝0D ．x －y ＋1＝0解析：选C.由题意知圆的圆心坐标为⎝⎛⎭⎫12，12，所以过圆的圆心，且倾斜角为π4的直线方程为y ＝x ，即x －y ＝0.2．圆心为(4，0)且与直线3x －y ＝0相切的圆的方程为( ) A ．(x －4)2＋y 2＝1 B ．(x －4)2＋y 2＝12 C ．(x －4)2＋y 2＝6D ．(x ＋4)2＋y 2＝9解析：选B.由题意，知圆的半径为圆心到直线3x －y ＝0的距离，即r ＝|3×4－0|3＋1＝23，结合圆心坐标可知，圆的方程为(x －4)2＋y 2＝12，故选B.3．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为52，则其渐近方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±4xC ．y ＝±12xD ．y ＝±14x解析：选C.由题意得e ＝c a ＝52，又a 2＋b 2＝c 2，所以b a ＝12，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，选C.4．设AB 是椭圆的长轴，点C 在椭圆上，且∠CBA ＝π4，若|AB |＝4，|BC |＝2，则椭圆的两个焦点之间的距离为( )A.463B.263C.433D.233解析：选A.不妨设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，如图，由题意知，2a ＝4，a ＝2，因为∠CBA ＝π4，|BC |＝2，所以点C 的坐标为(－1，1)，因为点C 在椭圆上，所以14＋1b 2＝1，所以b 2＝43，所以c 2＝a 2－b 2＝4－43＝83，c＝263，则椭圆的两个焦点之间的距离为463.5．已知⊙M 经过双曲线S ：x 29－y 216＝1的一个顶点和一个焦点，圆心M 在双曲线S 上，则圆心M 到原点O 的距离为( )A.143或73B.154或83C.133D.163解析：选D.因为⊙M 经过双曲线S ：x 29－y 216＝1的一个顶点和一个焦点，圆心M 在双曲线S 上，所以⊙M 不可能过异侧的顶点和焦点，不妨设⊙M 经过双曲线的右顶点和右焦点，则圆心M 到双曲线的右焦点(5，0)与右顶点(3，0)的距离相等，所以x M ＝4，代入双曲线方程可得y M ＝±16×⎝⎛⎭⎫169－1＝±473，所以|OM |＝16＋⎝⎛⎭⎫4732＝163，故选D.6．设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( )A.334B.938C.6332D.94解析：选D.易知直线AB 的方程为y ＝33⎝⎛⎭⎫x －34，与y 2＝3x 联立并消去x 得4y 2－123y －9＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝33，y 1y 2＝－94，S △OAB ＝12|OF |·|y 1－y 2|＝12×34（y 1＋y 2）2－4y 1y 2＝3827＋9＝94.故选D. 7．已知双曲线x 2a 2－y 212＝1(a ＞0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径的圆与双曲线的两条渐近线相交于A ，B ，C ，D 四点，四边形ABCD 的面积为43，则双曲线的方程为( )A.x 24－3y 24＝1 B.x 24－4y 23＝1 C.x 26－y 212＝1 D.x 24－y 212＝1 解析：选 D.根据对称性，不妨设点A 在第一象限，A (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝a 2，y ＝23a x解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a 212＋a 2，y ＝23a12＋a 2，因为四边形ABCD 的面积为43，所以4xy ＝4×23a 312＋a 2＝43，解得a ＝2，故双曲线的方程为x 24－y 212＝1，选D.8．已知圆C 1：(x －1)2＋y 2＝2与圆C 2：x 2＋(y －b )2＝2(b ＞0)相交于A ，B 两点，且|AB |＝2，则b ＝________．解析：由题意知C 1(1，0)，C 2(0，b )，半径r 1＝r 2＝2，所以线段AB 和线段C 1C 2相互垂直平分，则|C 1C 2|＝2，即1＋b 2＝4，又b ＞0，故b ＝ 3.答案： 39．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，以原点O 为圆心，短半轴长为半径作圆O ，过椭圆的长轴的一端点P 作圆O 的两条切线，切点为A ，B ，若四边形P AOB 为正方形，则椭圆的离心率为________．解析：如图，因为四边形P AOB 为正方形，且P A ，PB 为圆O 的切线，所以△OAP 是等腰直角三角形，故a ＝2b ，所以e ＝c a ＝22.答案：2210．已知抛物线C 1：y ＝12p x 2(p ＞0)的焦点与双曲线C 2：x 23－y 2＝1的右焦点的连线交C 1于第一象限的点M .若C 1在点M 处的切线平行于C 2的一条渐近线，则p ＝________．解析：由题意知，经过第一象限的双曲线的渐近线方程为y ＝33x .抛物线的焦点为F 1⎝⎛⎭⎫0，p 2，双曲线的右焦点为F 2(2，0)．又y ′＝1p x ，故抛物线C 1在点M ⎝⎛⎭⎫x 0，x 202p 处的切线的斜率为33，即1p x 0＝33，所以x 0＝33p ，又点F 1⎝⎛⎭⎫0，p 2，F 2(2，0)，M ⎝⎛⎭⎫33p ，p6三点共线，所以p 2－00－2＝p 6－p233p －0，即p＝433.答案：433。
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高中数学必修二复习基本概念公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有的点都在这个平面内。
公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线。
公理3：过不在同一条直线上的三个点，有且只有一个平面。
推论1: 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面。
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。
推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。
公理4 ：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。
空间两直线的位置关系：空间两条直线只有三种位置关系：平行、相交、异面1、按是否共面可分为两类：（1）共面：平行、相交（2）异面：异面直线的定义：不同在任何一个平面内的两条直线或既不平行也不相交。
异面直线判定定理：用平面内一点与平面外一点的直线，与平面内不经过该点的直线是异面直线。
两异面直线所成的角：范围为( 0°，90° ) esp.空间向量法两异面直线间距离: 公垂线段(有且只有一条) esp.空间向量法2、若从有无公共点的角度看可分为两类：（1）有且仅有一个公共点——相交直线；（2）没有公共点——平行或异面直线和平面的位置关系：直线和平面只有三种位置关系：在平面内、与平面相交、与平面平行①直线在平面内——有无数个公共点②直线和平面相交——有且只有一个公共点直线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角。
esp.空间向量法(找平面的法向量)规定：a、直线与平面垂直时，所成的角为直角，b、直线与平面平行或在平面内，所成的角为0°角由此得直线和平面所成角的取值范围为[0°，90°]最小角定理: 斜线与平面所成的角是斜线与该平面内任一条直线所成角中的最小角三垂线定理及逆定理: 如果平面内的一条直线,与这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也与这条斜线垂直esp.直线和平面垂直直线和平面垂直的定义：如果一条直线a和一个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线a和平面互相垂直.直线a叫做平面的垂线，平面叫做直线a的垂面。
直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。
直线与平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。
③直线和平面平行——没有公共点直线和平面平行的定义：如果一条直线和一个平面没有公共点，那么我们就说这条直线和这个平面平行。
直线和平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。
直线和平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
两个平面的位置关系：（1）两个平面互相平行的定义：空间两平面没有公共点（2）两个平面的位置关系：两个平面平行-----没有公共点；两个平面相交-----有一条公共直线。
a、平行两个平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。
两个平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么交线平行。
b、相交二面角（1）半平面：平面内的一条直线把这个平面分成两个部分，其中每一个部分叫做半平面。
（2）二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。
二面角的取值范围为[0°，180°]（3）二面角的棱：这一条直线叫做二面角的棱。
（4）二面角的面：这两个半平面叫做二面角的面。
（5）二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。
（6）直二面角：平面角是直角的二面角叫做直二面角。
esp. 两平面垂直两平面垂直的定义：两平面相交，如果所成的角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。
记为⊥两平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直两个平面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。
Attention：二面角求法：直接法（作出平面角）、三垂线定理及逆定理、面积射影定理、空间向量之法向量法（注意求出的角与所需要求的角之间的等补关系）多面体棱柱棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每两个四边形的公共边都互相平行，这些面围成的几何体叫做棱柱。
棱柱的性质（1）侧棱都相等，侧面是平行四边形（2）两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形（3）过不相邻的两条侧棱的截面（对角面）是平行四边形棱锥 棱锥的定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，这些面围成的几何体叫做棱锥棱锥的性质：（1） 侧棱交于一点。
侧面都是三角形（2） 平行于底面的截面与底面是相似的多边形。
且其面积比等于截得的棱锥的高与远棱锥高的比的平方正棱锥正棱锥的定义：如果一个棱锥底面是正多边形，并且顶点在底面内的射影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。
正棱锥的性质：（1）各侧棱交于一点且相等，各侧面都是全等的等腰三角形。
各等腰三角形底边上的高相等，它叫做正棱锥的斜高。
（3） 多个特殊的直角三角形esp ：a 、相邻两侧棱互相垂直的正三棱锥，由三垂线定理可得顶点在底面的射影为底面三角形的垂心。
b 、四面体中有三对异面直线，若有两对互相垂直，则可得第三对也互相垂直。
且顶点在底面的射影为底面三角形的垂心。
直线与方程（1）直线的倾斜角定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。
特别地，当直线与x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。
因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°（2）直线的斜率①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。
直线的斜率常用k 当[)90,0∈α时，0≥k ；当() 180,90∈α时，0<k ； 当90=α时，k 不存在。
②过两点的直线的斜率公式：)(211212x x x x y y k ≠--= 注意下面四点：(1)当21x x =时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°；(2)k 与P 1、P 2的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。
（3）直线方程①点斜式：)(11x x k y y -=-直线斜率k ，且过点()11,y x注意：当直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是y =y 1。
当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因 l 上每一点的横坐标都等于x 1，所以它的方程是x =x 1。
②斜截式：b kx y +=，直线斜率为k ，直线在y 轴上的截距为b ③两点式：112121y y x x y y x x --=--（1212,x x y y ≠≠）直线两点()11,y x ，()22,y x ④截矩式：1x y a b+= 其中直线l 与x 轴交于点(,0)a ,与y 轴交于点(0,)b ,即l 与x 轴、y 轴的截距分别为,a b 。
⑤一般式：0=++C By Ax （A ，B 不全为0）注意：○1各式的适用范围 ○2特殊的方程如：平行于x 轴的直线：b y =（b 为常数）；平行于y 轴的直线：a x =（a 为常数）；（4）直线系方程：即具有某一共同性质的直线（一）平行直线系平行于已知直线0000=++C y B x A （00,B A 是不全为0的常数）的直线系：000=++C y B x A （C 为常数）（二）垂直直线系垂直于已知直线0000=++C y B x A （00,B A 是不全为0的常数）的直线系：000=+-C y A x B （C 为常数）（三）过定点的直线系① 斜率为k 的直线系：()00x x k y y -=-，直线过定点()00,y x ；② 过两条直线0:1111=++C y B x A l ，0:2222=++C y B x A l 的交点的直线系方程为 ()()0222111=+++++C y B x A C y B x A λ（λ为参数），其中直线2l 不在直线系中。
（5）两直线平行与垂直当111:b x k y l +=，222:b x k y l +=时，212121,//b b k k l l ≠=⇔；12121-=⇔⊥k k l l注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。
（6）两条直线的交点0:1111=++C y B x A l 0:2222=++C y B x A l 相交交点坐标即方程组⎩⎨⎧=++=++00222111C y B x A C y B x A 的一组解。
方程组无解21//l l ⇔ ； 方程组有无数解⇔1l 与2l 重合（7）两点间距离公式：设1122(,),A x y B x y ，（）是平面直角坐标系中的两个点，则||AB（8）点到直线距离公式：一点()00,y x P 到直线0:1=++C By Ax l 的距离2200BA C By Ax d +++=（9）两平行直线距离公式在任一直线上任取一点，再转化为点到直线的距离进行求解。
圆的方程（1）标准方程()()222r b y a x =-+-，圆心()b a ,，半径为r ；（2）一般方程022=++++F Ey Dx y x 当0422>-+F E D 时，方程表示圆，此时圆心为⎪⎭⎫ ⎝⎛--2,2E D ，半径为F E D r 42122-+= 当0422=-+F E D 时，表示一个点； 当0422<-+F E D 时，方程不表示任何图形。
（3）求圆方程的方法：一般都采用待定系数法：先设后求。
确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程， 需求出a ，b ，r ；若利用一般方程，需要求出D ，E ，F ；另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。
直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况：（1）设直线0:=++C By Ax l ，圆()()222:r b y a x C =-+-，圆心()b a C ,到l 的距离为22B A C Bb Aa d +++=，则有相离与C l r d⇔>；相切与C l r d ⇔=；相交与C l r d ⇔<（2）过圆外一点的切线：①k 不存在，验证是否成立②k 存在，设点斜式方程，用圆心到该直线距离=半径，求解k ，得到方程【一定两解】(3)过圆上一点的切线方程：圆(x-a)2+(y-b)2=r 2，圆上一点为(x 0，y 0)，则过此点的切线方程为(x 0-a)(x-a)+(y 0-b)(y-b)= r 2圆与圆的位置关系通过两圆半径的和（差），与圆心距（d ）之间的大小比较来确定。