几何与代数_1.1-2

a11 a12 D = a21 a22 a31 a32 a11 a12 D3 = a21 a22 a31 a32
a13 a23 a33 b1 b2 . b3
b1 D1 = b2 b3
a12 a22 a32
a13 a23 , a33 a13 a23 , a33
a11 b1 D2 = a21 b2 a31 b3
a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 = b1 , a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 = b2 , a x + a x + a x = b ; 31 1 32 2 33 3 3
得
a11 b1 D2 = a21 b2 a31 b3
a13 a23 , a33 a11 a12 D = a21 a22 a31 a32 a13 a23 a33
记
即
a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 = b1 , a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 = b2 , a x + a x + a x = b ; 31 1 32 2 33 3 3 a11 a12 D = a21 a22 a31 a32 a13 a23 a33
D2 = a11 b1 .
a21 b2
则二元线性方程组的解为
b1
a12
a11
b1
D1 b2 a22 x1 = , = D a11 a12 a21 a22
D2 a21 b2 x2 = . = D a11 a12 a21 a22
注意：分母都为原方程组的系数行列式 注意：分母都为原方程组的系数行列式.
例1. 求解二元线性方程组
类似地，消去x 类似地，消去 1，得：
（a11a22 − a12a21）x2 = a11b2 − b1a21 ,
当 a11a22 − a12a21 ≠ 0 时， 方程组的唯一解
b1a22 − a12b2 a11b2 − b1a21 x1 = . ， x2 = a11a22 − a12a21 a11a22 − a12a21 （3）
得
a11 b1 D2 = a21 b2 a31 b3
a13 a23 , a33 a12 a22 a32 b1 b2 . b3
a11 a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 = b1 , a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 = b2 , ⇒ D3 = a21 a x + a x + a x = b ; a31 31 1 32 2 33 3 3
j1 j2 ⋯jn
说明： 排列共有 共有n!种 说明：n 阶排列共有 种 自然数1, 的排列共有六种。 例如 自然数 2, 3 的排列共有六种。 是一个n阶排列 称为自然排列 阶排列， 自然排列。 例如 1 2 … n 是一个 阶排列，称为自然排列。
2. 逆序数：在一个排列 j1 j2 ⋯jn 中，排在第k个 逆序数： 大的数的个数， 数jk前、但比jk大的数的个数，称为jk在这个排 列中的逆序数 逆序数； 列中的逆序数； 一个排列中所有元素的逆序数之和， 一个排列中所有元素的逆序数之和，称为这个 排列的逆序数，记为： 排列的逆序数，记为：
τ ( j1 j2 ⋯jn ).
如果τ ( j1 j2 ⋯jn )为偶数，则称为偶排列； 为偶数，则称为偶排列 偶排列； 为奇数，则称为奇排列 奇排列。 如果τ ( j1 j2 ⋯jn )为奇数，则称为奇排列。
求下列排列的逆序数 逆序数。 例1. 求下列排列的逆序数。 (1) 3 2 5 1 4
τ ( 32514) = 0+1+ 0+3+1= 5
a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 = b1 , a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 = b2 , a x + a x + a x = b ; 31 1 32 2 33 3 3
a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 = b1 , a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 = b2 , a x + a x + a x = b ; 31 1 32 2 33 3 3
则三元线性方程组的解为: 则三元线性方程组的解为:
D1 x1 = , D
D2 x2 = , D
D3 x3 = . 克莱姆法则 D
1
2 -4
例2. 计算三阶行列式 D = - 2 2 解： 按对角线法则，有 按对角线法则，
1 -3 4 -2
D = 1 × 2 × ( −2 ) + 2 × 1 × ( −3 ) + ( −4) × ( −2 ) × 4
− 1 × 1 × 4 − 2 × ( −2 ) × ( −2 ) − ( −4 ) × 2 × ( −3 )
= −4 − 6 + 32 − 4 − 8 − 24
= −14.
例3. 解线性方程组 x1 − 2 x2 + x3 = −2, 2 x1 + x2 + −3 x3 = 1, − x + x − x = 0. 1 2 3 由于方程组的系数行列式 1 −2 1 D= 2 1 − 3 = 1 × 1 × ( − 1) + ( − 2 ) × ( − 3 ) × ( − 1) −1 1 −1 解:
若记
或
b1 b2 b 1
a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 = b1 , a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 = b2 , a x + a x + a x = b ; 31 1 32 2 33 3 3 b1 D1 = b2 b3 b1 D1 = b2 b3 a12 a22 a32 a12 a22 a32 a13 a23 , a33 a13 a23 , a33
二、课程特点
内容抽象 概念多，符号多， 概念多，符号多，定理多 计算原理简单但计算量大 证明简洁但技巧性强 应用广泛
三、学习方法
• 掌握三基 掌握三基——基本概念 ( 定义、符号 基本概念 定义、符号) 定理、公式) 基本理论 ( 定理、公式 基本方法 ( 计算、证明) 计算、证明 • 提前预习 提前预习——体会思路 体会思路 • 多动手，勤思考 多动手，勤思考——深入体会思想方法 深入体会思想方法 • 培养 培养——自学能力，独立分析问题能力 自学能力 自学能力，独立分析问题能力 和独立解决问题的能力 和独立解决问题的能力
的系数行列式 D = a21 a31
a12 a22 a32
a13 a23 ≠ 0, a33
则三元一次线性方程组存在唯一解， 则三元一次线性方程组存在唯一解，且其解的 形式与二元线性方程组类似
a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 = b1 , a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 = b2 , a x + a x + a x = b ; 31 1 32 2 33 3 3 b1 D1 = b2 b3 a11 D = a21 a31 a12 a13 a22 a23 , a32 a33 a12 a13 a22 a23 a32 a33
(2) n (n−1) (n−2) … 3 2 1 − −
n( n−1) τ = ( n −1) +( n −2) +⋯+1+0 = 2 时为偶排列； 当 n = 4k ,4k + 1 时为偶排列；
时为奇排列。 当 n = 4k + 2,4k + 3 时为奇排列。
(3) (2k )1(2k − 1)2(2k − 2)3(2k − 3 )⋯(k + 1)k (2k ) 1 (2k − 1) 2 (2k − 2) 3 (2k − 3)⋯(k + 1) k
二、三阶行列式可以用对角线法则定义
a11
a12
a13 a23 a33
−
a 11 a 21 a 31
+
a 12 a 22 a 32
+ +
D = a21 a22 a31 a32
− −
D = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 − a11a23a32 − a12a21a33 − a13a22a31.
+ 1 × 2 × 1 − 1 × 1 × ( − 1) − ( − 2 ) × 2 × ( − 1) − 1 × ( − 3 ) × 1 = − 5 ≠ 0,
同理可得
1 −2 1 −2 −2 1 D1 = 1 1 − 3 = −5, D2 = 2 1 − 3 = −10, 0 1 −1 −1 0 −1
a11 x1 + a12 x2 = b1 , a21 x1 + a22 x2 = b2 .
D= a11 a12
a21 a22
,
a11 x1 + a12 x2 = b1 , a21 x1 + a22 x2 = b2 .
D1 = b1 b2 a12 a22 ,
a11 x1 + a12 x2 = b1 , a21 x1 + a22 x2 = b2 .
若记 系数行列式
D=
a11
a12
a21 a22
,
a11 x1 + a12 x2 = b1 , a21 x1 + a22 x2 = b2 .
D= a11 a12 ,
a21 a22
a11 x1 + a12 x2 = b1 , a21 x1 + a22 x2 = b2 .
D1 = b1 b2 a12 a22 ,
此解不易记忆， 此解不易记忆，因此有必要引进新的符号 行列式” “行列式”来表示解
定义： 定义：
主对角线 副对角线
a11 a21
a12 a22
对角线法则 = a11a22 − a12a21.
a11 x1 + a12 x2 = b1 , 对于二元线性方程组 a21 x1 + a22 x2 = b2 .
说明(1)：对角线法则只适用二阶 三阶行列式 只适用二阶、 行列式． 说明 ：对角线法则只适用二阶、三阶行列式． (2)：三阶行列式有 项(3正，3负)；每一项都是 ：三阶行列式有6项 正 负； 不同行、 不同行、不同列的三个元素的乘积
利用三阶行列式求解三元线性方程组
a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 = b1 , 如果三元线性方程组 a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 = b2 , a x + a x + a x = b ; 31 1 32 2 33 3 3 a11
第一章 行列式和线性方程组的求解
二阶、 §1.1 二阶、三阶行列式 §1.2 n 阶行列式的概念 §1.3 行列式的性质 §1.4 线性方程组的求解
二阶、 §1.1 二阶、三阶行列式
一、二阶行列式的引入 用消元法wk.baidu.com二元线性方程组
a11 x1 + a12 x2 = b1 , a21 x1 + a22 x2 = b2 .
(1) (2 )
(1) × a22 : (2) × a12 :
a11a22 x1 + a12a22 x2 = b1a22 , a12a21 x1 + a12a22 x2 = b2a12 ,
两式相减，消去x 可得： 两式相减，消去 2，可得：
（a11a22 − a12a21）x1 = b1a22 − a12b2 ;
−2 −2 D3 = 2 1 1 = − 5, 0 −1 1 1
故方程组的解为: 故方程组的解为 D1 D2 x1 = x2 = = 1, = 2, D D
D3 x3 = = 1. D
§1.2 n 阶行列式的概念
一、排列的逆序数与对换
怎样定义n阶 怎样定义 阶 行列式? 行列式
1. 排列：由1,2, …, n 组成的有序数组称为一个 n 排列： 级排列, 记为: 级排列 记为
几何与代数
《几何与代数》序言 几何与代数》
重要性
工科基础 考研基础
学时, 学时 64 学时 共16 周课 平时5%, 实验 实验5%，期末 成绩 平时 ，期末90%
一、教学内容
抽象) 为了解决多变量问题 线性代数 ( 抽象 —为了解决多变量问题 相 相 形成的学科. 形成的学科 互 互 （代数为几何提供了便利 支 促 撑 进 , 几何为代数 的悁 解 几何 ( 提供了 ) 象的 ).
3 x1 − 2 x2 = 12, 2 x1 + x2 = 1. 3 −2 解： D = = 3 − ( − 4 ) = 7 ≠ 0, 2 1
12 − 2 3 12 = −21, D1 = = 14, D2 = 1 1 2 1
D1 14 D2 − 21 ∴ x1 = = = 2, x 2 = = = − 3. D 7 D 7