高三数学二轮复习 小题过关练(四) 专题卷(全国通用) (2)
高三数学(人教版理)二轮复习高考小题专攻练 4 Word版含解析
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高考小题专攻练4.数列小题强化练,练就速度和技能,掌握高考得分点!一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知{a n}为等差数列，a1+a3+a5=105，a2+a4+a6=99，则a20=( )A.-1B.1C.3D.7【解析】选B.因为a1+a3+a5=105，即3a3=105，所以a3=35.同理可得a4=33，所以公差d=a4-a3=-2，所以a20=a4+(20-4)×d=1.2.等比数列{a n}的前n项和为S n,已知S3=a2+10a1,a5=9,则a1等于( )A. B.- C. D.-【解析】选 C.设等比数列{a n}的公比为q,由S3=a2+10a1得a1+a2+a3=a2+10a1,即a3=9a1,所以q2=9,又a5=a1q4=9,所以a1=.3.在等比数列{a n}中,若a4,a8是方程x2-4x+3=0的两根,则a6的值是( )A. B.- C.± D.±3【解析】选A.依题意得,a4+a8=4,a4a8=3,故a4>0,a8>0,因此a6>0(注:在一个实数等比数列中,奇数项的符号相同,偶数项的符号相同),a6==.4.等差数列{a n}中,a1>0,公差d<0,S n为其前n项和,对任意自然数n,若点(n,S n)在以下4条曲线中的某一条上,则这条曲线应是( )【解析】选C.因为S n=na1+d,所以S n=n2+n,又a1>0,公差d<0,所以点(n,S n)所在抛物线开口向下,对称轴在y轴右侧. 5.设等差数列{a n}的前n项和为S n,S m-1=-2,S m=0,S m+1=3,则m等于( )A.3B.4C.5D.6【解析】选C.由S m-1=-2,S m=0,S m+1=3,得a m=2,a m+1=3,所以d=1,因为S m=0,故ma1+d=0,故a1=-,因为a m+a m+1=5,故a m+a m+1=2a1+(2m-1)d=-(m-1)+2m-1=5,即m=5.6.已知数列{a n}的通项公式是a n=,其前n项和S n=,则项数n 等于( )A.13B.10C.9D.6【解析】选D.因为a n=1-,所以S n=+++…+=n-=n-=n-1+.因为S n=,所以n-1+==5+,所以n=6.7.下面是关于公差d>0的等差数列{a n}的四个命题:p1:数列{a n}是递增数列;p2:数列{na n}是递增数列;p3:数列是递增数列;p4:数列{a n+3nd}是递增数列.其中的真命题为( )A.p1,p2B.p3,p4C.p2,p3D.p1,p4【解析】选D.设a n=a1+(n-1)d=dn+a1-d,它是递增数列,所以p1为真命题;若a n=3n-12,则满足已知,但na n=3n2-12n并非递增数列,所以p2为假命题;若a n=n+1,则满足已知,但=1+是递减数列,所以p3为假命题;a n+3nd=4dn+a1-d,它是递增数列,所以p4为真命题.8.在等差数列{a n}中,满足3a4=7a7,且a1>0,S n是数列{a n}前n项的和,若S n取得最大值,则n= ( )A.7B.8C.9D.10【解析】选C.设公差为d,由题设3(a1+3d)=7(a1+6d),所以d=-a1<0.解不等式a n>0,即a1+(n-1)>0,所以n<,则n≤9,当n≤9时,a n>0,同理可得n≥10时,a n<0.故当n=9时,S n取得最大值.9.已知函数f(x)是定义在R上的单调增函数且为奇函数,数列{a n}是等差数列,a1009>0,则f(a1)+f(a2)+f(a3)+…+f(a2016)+f(a2017)的值( )A.恒为正数B.恒为负数C.恒为0D.可正可负【解析】选A.因为{a n}是等差数列,所以a1+a2017=a2+a2016=…=2a1009>0,得a1>-a2017,a2>-a2016,…,又f(x)是定义在R上的单调增函数,且f(-x)=-f(x),所以f(a1)>-f(a2017),即f(a1)+f(a2017)>0,同理,f(a2)+f(a2016)>0,…,所以f(a1)+f(a2)+…+f(a2016)+f(a2017)的值恒为正数.10.已知数列{a n}的通项公式为a n=(-1)n(2n-1)·cos+1(n∈N*),其前n项和为S n,则S60= ( )A.-30B.-60C.90D.120【解析】选D.由题意可得,当n=4k-3(k∈N*)时,a n=a4k-3=1;当n=4k-2(k ∈N*)时,a n=a4k-2=6-8k;当n=4k-1(k∈N*)时,a n=a4k-1=1;当n=4k(k∈N*)时,a n==8k.所以a4k-3+a4k-2+a4k-1+=8,所以S60=8×15=120.11.已知f(x)=x+1,g(x)=2x+1,数列{a n}满足a1=1,a n+1=则a2016= ( )A.22016-2016B.21007-2016C.22016-2D.21009-2【解析】选D.a2n+2=a2n+1+1=(2+1)+1=2+2.即a2n+2+2=2(+2),所以{+2}是以2为公比,a2+2=4为首项的等比数列.所以+2=4×2n-1=2n+1.所以=2n+1-2.所以a2016=21009-2.12.设函数f1(x)=x,f2(x)=log2016x,a i=(i=1,2,…,2016),记I k=|f k(a2)-f k(a1)|+|f k(a3)-f k(a2)|+…+|f k(a2016)-f k(a2015)|,k=1,2,则( )A.I1<I2B.I1=I2C.I1>I2D.I1与I2的大小关系无法确定【解析】选A.依题意知,f1(a i+1)-f1(a i)=a i+1-a i=-=, 因此I1=|f1(a2)-f1(a1)|+|f1(a3)-f1(a2)|+…+|f1(a2016)-f1(a2015)|=.因为f2(a i+1)-f2(a i)=l og2016a i+1-l og2016a i=l og2016-l og2016>0,所以I2=|f2(a2)-f2(a1)|+|f2(a3)-f2(a2)|+…+|f2(a2016)-f2(a2015)|=+(l og2016-l og2016)+…+=l og2016-l og2016=1,因此I1<I2.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.在等差数列{a n}中,已知l og2(a5+a9)=3,则等差数列{a n}的前13项的和S13=________.【解析】因为l og2(a5+a9)=3,所以a5+a9=23=8.所以S13====52.答案:5214.已知等差数列{a n}中,a1,a99是函数f(x)=x2-10x+16的两个零点,则a50+a20+a80=________.【解析】依题意a1+a99=10,所以a50=5.所以a50+a20+a80=a50+2a50=.答案:15.数列{a n}的通项公式a n=,若{a n}的前n项和为24,则n=________.【解析】a n==-.所以(-1)+(-)+…+(-)=24,所以=25,所以n=624.答案:62416.对正整数n，设曲线y=x n(1-x)在x=2处的切线与y轴交点的纵坐标为a n，则的前n项和是________.【解析】曲线y=x n(1-x)=x n-x n+1，曲线导数为y′=nx n-1-(n+1)x n，所以切线斜率为k=n2n-1-(n+1)2n=-(n+2)2n-1，切点为(2，-2n)，所以切线方程为y+2n=-(n+2)2n-1(x-2)，令x=0得，y+2n=(n+2)2n，即y=(n+1)2n，所以a n=(n+1)2n，所以=2n，所以数列是以2为首项，q=2为公比的等比数列，所以S n==2n+1-2.答案：2n+1-2关闭Word文档返回原板块。
高考数学二轮复习 专练四中档大题(二) 理
中档大题(二)1．(2013·浙江省温州市高三第一次适应性测试)已知{a n }是递增的等差数列，a 1＝2，a 22＝a 4＋8.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝a n ＋2a n ，求数列{b n }的前n 项和S n .2．(2013·江西省南昌市高三第一次模拟测试)设角A ，B ，C 为△ABC 的三个内角．(1)设f (A )＝sin A ＋2sin A2，当A 取A 0时，f (A )取极大值f (A 0)，试求A 0和f (A 0)的值； (2)当A 取A 0时，AB →·AC →＝－1，求BC 边长的最小值．3．(2013·高考四川卷)如图，在三棱柱ABC A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥底面ABC ，AB ＝AC ＝2AA 1＝2，∠BAC ＝120°，D ，D 1分别是线段BC ，B 1C 1的中点，点P 是线段AD 上异于端点的点．(1)在平面ABC 内，试作出过点P 与平面A 1BC 平行的直线l ，请说明理由，并证明直线l ⊥平面ADD 1A 1；(2)设(1)中的直线l 交AC 于点Q ，求三棱锥A 1QC 1D 的体积．(锥体体积公式：V ＝13Sh ，其中S 为底面面积，h 为高)4．(2013·郑州市高中毕业年级第二次质量预测)每年的三月十二日，是中国的植树节．林管部门在植树前，为保证树苗的质量，都会在植树前对树苗进行检测．现从甲、乙两种树苗中各抽测了10株树苗的高度，规定高于128厘米的树苗为“良种树苗”，测得高度如下(单位：厘米)：甲：137，121，131，120，129，119，132，123，125，133；乙：110，130，147，127，146，114，126，110，144，146.(1)根据抽测结果，画出甲、乙两种树苗高度的茎叶图，并根据你填写的茎叶图，对甲、乙两种树苗的高度作比较，写出对两种树苗高度的统计结论；(2)设抽测的10株甲种树苗高度平均值为x，将这10株树苗的高度依次输入按程序框图进行运算(如图)，问输出的S大小为多少？并说明S的统计学意义．5．(2013·江西省南昌市高三第一次模拟测试)设正项数列{a n}的前n项和是S n，若{a n}和{S n}都是等差数列，且公差相等．(1)求{a n}的通项公式；(2)若a1，a2，a5恰为等比数列{b n}的前三项，记数列c n＝24b n（12b n－1）2，数列{c n}的前n 项和为T n，求证：对任意n∈N*，都有T n<2.6．已知关于x的一元二次方程x2－2(a－2)x－b2＋16＝0.(1)若a，b是一枚骰子先后投掷两次所得到的点数，求方程有两个正实数根的概率；(2)若a∈[2，6]，b∈[0，4] ，求一元二次方程没有实数根的概率．答案：1．【解】(1)设等差数列的公差为d ，d >0.由题意得，(2＋d )2＝2＋3d ＋8，d 2＋d －6＝(d ＋3)(d －2)＝0，得d ＝2.故a n ＝a 1＋(n －1)·d ＝2＋(n －1)·2＝2n ，得a n ＝2n .(2)b n ＝a n ＋2a n ＝2n ＋22n .S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝(2＋22)＋(4＋24)＋…＋(2n ＋22n )＝(2＋4＋6＋…＋2n )＋(22＋24＋…＋22n )＝（2＋2n ）·n 2＋4·（1－4n ）1－4＝n (n ＋1)＋4n ＋1－43. 2．【解】(1)f ′(A )＝cos A ＋cos A 2＝2cos 2A 2＋cos A 2－1 ＝(2cos A 2－1)(cos A 2＋1)． 因为0<A <π，所以cos A 2＋1>0. 由f ′(A )>0，得cos A 2>12， 所以0<A 2<π3，即0<A <2π3. 所以当A ∈(0，2π3)时，f (A )为增函数；当A ∈(2π3，π)时，f (A )为减函数．故A 0＝2π3时，f (A )取极大值f (A 0)＝f (2π3)＝332. (2)设a ，b ，c 是角A ，B ，C 的对边．由AB →·AC →＝－1知bc ＝2，而a ＝b 2＋c 2＋bc ≥3bc ＝6，当且仅当b ＝c ＝2时，BC 边长的最小值为 6.3．【解】(1)如图，在平面ABC 内，过点P 作直线l ∥BC .因为l 在平面A 1BC 外，BC 在平面A 1BC 内，由直线与平面平行的判定定理可知，l ∥平面A 1BC .由已知AB ＝AC ，点D 是BC 的中点，所以BC ⊥AD ，则直线l ⊥AD .因为AA 1⊥平面ABC ，所以AA 1⊥直线l .又因为AD ，AA 1在平面ADD 1A 1内，且AD 与AA 1相交，所以直线l ⊥平面ADD 1A 1.(2)过点D 作DE ⊥AC 于E .因为AA 1⊥平面ABC ，所以AA 1⊥DE .又因为AC ，AA 1在平面AA 1C 1C 内，且AC 与AA 1相交，所以DE ⊥平面AA 1C 1C .由AB ＝AC ＝2，∠BAC ＝120°，有AD ＝1，∠DAC ＝60°.在△ADE 中，DE ＝32AD ＝32. 又S △A 1QC 1＝12A 1C 1·AA 1＝1， 所以VA 1QC 1D ＝VD A 1QC 1＝13DE ·S △A 1QC 1＝13×32×1＝36. 因此三棱锥A 1QC 1D 的体积是36.4．【解】(1)茎叶图如图所示：统计结论：①甲种树苗的平均高度小于乙种树苗的平均高度；②甲种树苗比乙种树苗长得更整齐；③甲种树苗高度的中位数为127，乙种树苗高度的中位数为128.5；④甲种树苗的高度基本上是对称的，而且大多数集中在均值附近，乙种树苗的高度分布较为分散．(2)依题意，x ＝127，S ＝35.S 表示10株甲种树苗高度的方差，是描述树苗高度的离散程度的量．S 值越小，表示树苗长得越整齐，S 值越大，表示树苗长得越参差不齐． 5．【解】(1)设{a n }的公差为d ，则S n ＝d 2n 2＋（a 1－d 2）n ＝d 2·n ，且a 1－d 2＝0. 又d ＝d2，所以d ＝12， a 1＝d 2＝14，a n ＝2n －14. (2)证明：易知b n ＝14×3n －1， ∴c n ＝2×3n （3n －1）2. 当n ≥2时，2×3n （3n －1）2<2×3n （3n －1）（3n －3）＝2×3 n －1（3n －1）（3n －1－1）＝13n －1－1－13n －1， ∴当n ≥2时，T n ＝32＋2×32（32－1）2＋…＋2×3n （3n －1）2≤32＋(12－132－1)＋(132－1－133－1)＋…＋(13n －1－1－13n －1)＝2－13n －1<2 ，且T 1＝32<2，故对任意n ∈N *，都有T n <2. 6．【解】(1)基本事件(a ，b )共有36个，且a ，b ∈{1，2，3，4，5，6}，方程有两个正实数根等价于a －2>0，16－b 2>0，Δ≥0，即a >2，－4<b <4，(a －2)2＋b 2≥16.设“一元二次方程有两个正实数根”为事件A ，则事件A 所包含的基本事件数为(6，1)，(6，2)，(6，3)，(5，3)共4个，故所求的概率为P (A )＝436＝19. (2)试验的全部结果构成区域Ω＝{(a ，b )|2≤a ≤6，0≤b ≤4} ，其面积为S (Ω)＝16. 设“一元二次方程无实数根”为事件B ，则构成事件B 的区域为B ＝{(a ，b )|2≤a ≤6，0≤b ≤4，(a －2)2＋b 2<16}，其面积为S (B )＝14×π×42＝4π，故所求的概率为P (B )＝4π16＝π4.。
人教版高考数学第二轮专题复习测试题附参考答案
人教版高考数学第二轮专题复习测试题附参考答案(附参考答案)A级基础达标演练(时间：40分钟满分：60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．(2012·福州调研)若x＞0，则x＋的最小值为()．A．2 B．3 C．2D．4解析∵x＞0，∴x＋≥4.答案D2．已知0＜x＜1，则x(3－3x)取得最大值时x的值为()．A.B.C.D.23解析∵0＜x＜1，∴1－x＞0.∴x(3－3x)＝3x(1－x)≤32＝.当x＝1－x，即x＝时取等号．答案B 3．把一段长16米的铁丝截成两段，分别围成正方形，则两个正方形面积之和的最小值为()．A．4 B．8 C．16 D．32解析设截成的两段铁丝长分别为x,16－x,16＞x＞0，则围成的两个正方形面积之和为S＝2＋2≥＝8，当且仅当＝，即x＝8时，等号成立．故两个正方形面积之和的最小值为8.答案B4．(2012·合肥模拟)若正实数a，b满足a＋b＝1，则()．A.＋有最大值4 B．ab有最小值14C.＋有最大值D．a2＋b2有最小值22解析由基本不等式，得ab≤＝，所以ab≤，故B错；＋＝＝≥4，故A错；由基本不等式得≤＝，即＋≤，故C正确；a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1－2ab≥1－2×＝，故D错．答案C 5．(2011·重庆)已知a＞0，b＞0，a＋b＝2，则y＝＋的最小值是()．A.B．4 C.D．5解析依题意得＋＝(a＋b)＝≥＝，当且仅当，即a＝，b＝时取等号，即＋的最小值是，选C.答案C二、填空题(每小题4分，共12分)6．若x＞1，则x＋的最小值为________．解析x＋＝x－1＋＋1≥2＋1＝5，等号当且仅当x－1＝，即x＝3时成立．答案5 7．函数y＝a1－x(a＞0，a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny－1＝0(mn＞0)上，则＋的最小值为________．解析∵y＝a1－x恒过点A(1,1)，又∵A在直线上，∴m＋n＝1.而＋＝＋＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当m＝n＝时，取“＝”，∴＋的最小值为4.答案4 8．(2011·浙江)若实数x，y满足x2＋y2＋xy＝1，则x＋y的最大值为________．解析由x2＋y2＋xy＝1，得(x＋y)2－xy＝1，即xy＝(x＋y)2－1≤，所以(x＋y)2≤1，故－≤x＋y≤，当x＝y时“＝”成立，所以x＋y的最大值为.答案233三、解答题(共23分)9．(11分)已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋8y －xy ＝0，求：(1)xy 的最小值；(2)x ＋y 的最小值．解 ∵x ＞0，y ＞0,2x ＋8y －xy ＝0，(1)xy ＝2x ＋8y ≥2， ∴≥8，∴xy ≥64.故xy 的最小值为64.(2)由2x ＋8y ＝xy ，得：＋＝1， ∴x ＋y ＝(x ＋y)·1＝(x ＋y)⎝⎛⎭⎪⎫2y ＋8x＝10＋＋≥10＋8＝18. 故x ＋y 的最小值为18.10．(12分)(2011·丽水模拟)某单位用2 160万元购得一块空地，计划在该空地上建造一栋至少10层，每层2 000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x(x ≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x(单位：元)．(1)写出楼房平均综合费用y 关于建造层数x 的函数关系式；(2)该楼房应建造多少层时，可使楼房每平方米的平均综合费用最少？最少值是多少？(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝)解 (1)依题意得y ＝(560＋48x)＋2 160×10 0002 000x＝560＋48x ＋(x ≥10，x ∈N ＋)；(2)∵x ＞0，∴48x ＋≥2＝1 440(元)，当且仅当48x ＝，即x ＝15时取到“＝”，此时，平均综合费用的最小值为560＋1 440＝2 000(元)．所以，当该楼房建造15层时，可使楼房每平方米的平均综合费用最少，最少值为2000元．B级综合创新备选(时间：30分钟满分：40分)一、选择题(每小题5分，共10分) 1．(2011·皖南八校联考(二))已知x＞0，y＞0，x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列，则的最小值是()．A．0 B．1 C．2 D．4解析由题知a＋b＝x＋y，cd＝xy，x＞0，y＞0，则＝≥＝4，当且仅当x＝y时取等号．答案D 2．(2011·厦门模拟)若直线ax－by＋2＝0(a＞0，b＞0)被圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0截得的弦长为4，则＋的最小值为()．A.B.C.＋D.＋22解析圆的直径是4，说明直线过圆心(－1,2)，故a＋b＝1，＋＝＝＋＋≥＋，当且仅当＝，即a＝2(－1)，b＝2－时取等号．答案C二、填空题(每小题4分，共8分)3．(2011·湖南)x，y∈R，且xy≠0，则的最小值为________．解析＝1＋4＋4x2y2＋≥1＋4＋2＝9，当且仅当4x2y2＝时等号成立，即|xy|＝时等号成立．答案9 4．(2011·江苏)在平面直角坐标系xOy中，过坐标原点的一条直线与函数f(x)＝的图象交于P，Q两点，则线段PQ长的最小值是________．解析假设直线与函数f(x)＝的图象在第一象限内的交点为P，在第三象限内的交点为Q，由题意知线段PQ的长为OP长的2倍．假设P点的坐标为，则|PQ|＝2|OP|＝2≥4.当且仅当x＝，即x0＝时，取“＝”号．答案4三、解答题(共22分)5．(10分)已知a ，b ＞0，求证：＋≥.证明 ∵＋≥2 ＝2 ＞0，a ＋b ≥2＞0，∴(a ＋b)≥2·2＝4.∴＋≥.当且仅当取等号，即a ＝b 时，不等式等号成立．6．(12分)(2011·洛阳模拟)桑基鱼塘是某地一种独具地方特色的农业生产形式，某研究单位打算开发一个桑基鱼塘项目，该项目准备购置一块1 800平方米的矩形地块，中间挖出三个矩形池塘养鱼，挖出的泥土堆在池塘四周形成基围(阴影部分所示)种植桑树，池塘周围的基围宽均为2米，如图，设池塘所占的总面积为S 平方米．(1)试用x 表示S ；(2)当x 取何值时，才能使得S 最大？并求出S 的最大值．解 (1)由题图形知，3a ＋6＝x ，∴a ＝.则总面积S ＝·a ＋2a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1 800x －6＝a ＝x －63⎝⎛⎭⎪⎫5 400x －16＝1 832－，即S ＝1 832－(x ＞0)．(2)由S ＝1 832－，得S ≤1 832－210 800x ·16x3＝1 832－2×240＝1 352(平方米)．当且仅当＝，此时，x ＝45.。
江苏省高考第二轮复习高三数学小题训练4 Word版含解析
小题训练4一、填空题2．已知i是虚数单位，若=b+i(a,b)，则ab的值为﹣3．解：由，得=）＜f或“＜”填空）．5．在平面直角坐标系x O y中，已知=（3，﹣1），=（0，2）．若•=0，=λ，则实数λ的值为2．根据向量、的坐标，得到，设=）可得•=（m﹣3，n+1）=λ，得到m﹣3=0且n+1=2λ，两式联解即可得到实数λ的值．解：∵==∴﹣=设，可得•又∵，=λ，本题给出向量、的坐标，再•=0=λ．如图，该程序运行后输出的结果为16．值是1．8．函数f(x)=2s in()，x∈的单调递减区间单间为．﹣∴x﹣∈，，则∴由﹣≤≤﹣﹣≤x≤0．﹣9．在集合中任取一个元素，所取元素恰好满足方程的概率是．本题考查的知识点是古典概型，由集合素，然后我们分析各个元素，求出满足条件解：∵集合中共有10个元素时，故满足条件故所取元素恰好满足方程10．设中心在原点的双曲线与椭圆+y2=1有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该双曲线的方程是2x2﹣2y2=1．根据双曲线与椭圆解：椭圆+∵中心在原点的双曲线与椭圆∵椭圆，椭圆与双曲线的离心率互为倒数．∴双曲线的离心率为11．已知点A（1，1）和点B（﹣1，﹣3）在曲线C：y=ax3+bx2+d（a，b，d为常数上，若曲线在点A和点B处的切线互相平行，则a3+b2+d=7．∴解得：12．给出下列命题：（1）若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；（2）若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；（3）若两条平行直线中的一条垂直于直线m，那么另一条直线也与直线m垂直；（4）若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，所有真命题的序号为（1）、（3）、（4）．13．已知函数当t∈时，f（f（t））∈，则实数t的取值范围是．又函数所以解得：的取值范围．故答案为：。
高三数学(人教版理)二轮复习高考小题专攻练 4 Word版含解析
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高考小题专攻练
.数列
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一、选择题(本大题共小题,每小题分,共分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
.已知{}为等差数列，，，则( )
【解析】选.因为，即，所以.同理可得，所以公差，所以()×.
.等比数列{}的前项和为,已知,则等于( )
【解析】选.设等比数列{}的公比为,由得,即,所以,又,所以.
.在等比数列{}中,若是方程的两根,则的值是( )
.±.±
【解析】选.依题意得,故>>,因此>(注:在一个实数等比数列中,奇数
项的符号相同,偶数项的符号相同).
.等差数列{}中>,公差<为其前项和,对任意自然数,若点()在以下条曲线中的某一条上,则这条曲线应是( )
【解析】选.因为,所以,又>,公差<,所以点()所在抛物线开口向下,对称轴在轴右侧.
.设等差数列{}的前项和为,则等于( )
【解析】选.由,得,所以,因为,故,故,因为,故()(),即.
.已知数列{}的通项公式是,其前项和,则项数等
于( )
【解析】选.因为,所以…
.因为,所以,所以.
.下面是关于公差>的等差数列{}的四个命题:数列{}是递增数列:数。
高考数学二轮复习常考题型大通关(全国卷理数)附答案
高考数学二轮复习常考题型大通关（全国卷理数）选择题：不等式1.不等式()20x x -<的解集是()A.()0,2 B.()(),02,-∞⋃+∞ C.(),0-∞ D.()2,+∞2.已知实数a b c ，，满足a b c <<，且0ab <，那么下列各式中一定成立的是()A.a a b c > B.()0a c b -< C.22ac bc > D.()0ab b a ->3.不等式2601x x x +->+的解集为()A.{|21x x -<<-或3}x >B.{|31x x -<<-或2}x >C.{|3x x <-或12}x -<<D.{|3x x <-或2}x >4.已知函数()(1)f x x a x =+.设关于x 的不等式()()f x a f x +<的解集为A .若11,22A ⎡⎤-⊆⎢⎥⎣⎦,则实数a 的取值范围是() A.15,02⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B.1,02⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭C.1513,00,22⎛⎫⎛⎫+⋃ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D.15,2⎛⎫--∞ ⎪ ⎪⎝⎭5.某商品进价为每件40元，当售价为50元/件时，一个月能卖出500件，通过市场调查发现，若每件商品的单价每提高1元，则商品一个月的销售量会减少10件.商店为使销售该商品月利润最高，则应将每件商品定价为()A.45元B.55元C.65元D.70元6.设实数,x y 满足约束条件10,10,3x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩则32z x y =-的最小值为（）A ．8B ．1C ．2-D ．137.若,x y 满足约束条件11030x x y x y ≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≤⎩，2z x y a =++的最大值为1，则实数a =（）A ．4B ．4-C ．2D ．2-8.设,x y 满足约束条件3310x y x y y +≥⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩则z x y =+的最小值为()A.0B.1C.2D.39.已知x y ，满足约束条件20626x x y x y -⎧⎪+≤⎨⎪-⎩ ，则目标函数442y z x +=+的最大值为（）A ．6B ．5C ．2D ．1-10.已知变量,x y 满足约束条件2240240x y x y x y +≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，若222x y x k ++≥恒成立，则实数k 的最大值为（）A ．40B ．9C ．8D ．7211.若点(),x y 在不等式组2010220x y x y -≤-≤+-≥⎧⎪⎨⎪⎩,表示的平面区域内运动,则t x y =-的取值范围是()A.[]2,1--B.[]2,1-C.[]1,2- D.[]1,212.若,x y R +∈，且1x y +=，则11x y +的取值范围是()A.(2,)+∞B.[2,)+∞C.(4,)+∞D.[4,)+∞13.设a b R ∈＋，，且1a b +=，则11a b +的最小值是()A ．4B ．C ．2D ．114.设,x y 为正数,则()14x y x y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的最小值为()A.6 B.9 C.12 D.1515.如果正数,,,a b c d 满足4a b cd +==,那么()A.ab c d ≤+且等号成立时,,,a b c d 的取值唯一B.ab c d ≥+且等号成立时,,,a b c d 的取值唯一C.ab c d ≤+且等号成立时,,,a b c d 的取值不唯一D.ab c d ≥+且等号成立时,,,a b c d 的取值不唯一答案以及解析1.答案：A解析：不等式(2)0x x -<对应方程的两个实数根是0和2，∴不等式的解集是(0,2).故选A2.答案：B解析：a b c << ，且0ab <，0,0a c ∴<>，b 与0的大小关系不确定．()220,,()0a c b ac bc ab b a -<<-<．∴只有B 正确，故选：B ．3.答案：B 解析：不等式()()22606101x x x x x x +->⇒+-+>+()()()2130x x x ⇒-++>,则相应方程的根为3-,1-,2,由穿针法可得原不等式的解为{|31x x -<<-或2}x >.4.答案：A解析：由题意可得0A ⊆,即()(0)0f a f <=,所以(1)0a a a +<,当0a >时无解,所以0a <,此时210a ->,所以10a -<<.函数()f x 的图象(图略)中两抛物线的对称轴12x a =,12x a=-之间的距离大于1,而[],x a x +的区间长度小于1,所以不等式()()f x a f x +<的解集是11,2222a a a a ⎛⎫--- ⎪⎝⎭,所以1111,,222222a a a a ⎡⎤⎛⎫-⊆--- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭,所以11,222{11,222a a a a -<--->即2210,{10,a a a a --<++>解得151522a +<<,又10a -<<,所以实数a的取值范围是1,02⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.5.答案：D解析：设在50元的基础上提高x 元，每月的月利润为y ,则y 与x 的函数关系式为2 50010) 504010(()4005000y x x x x =-+-=-++，其图象的对称轴为直线20x =，故每件商品的定价为70元时，月利润最高.6.答案：C 解析：由已知的约束条件得到可行域如图由目标函数变形为322z y x =-得到当图中()0,1A 时，z 的最小为022-=-7.答案：B 解析：根据题意，作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示．2z x y a =++可化为1222z a y x =-+-，作出直线12y x =-，平移该直线，当平移后的直线经过可行域内的点(1,2)A 时，z 取得最大值1，把1,2,1x y z ===代入2z x y a =++，得4a =-．8.答案：C解析：作出不等式组表示的平面区域,如图所示的阴影部分：由z x y =+可得y x z =-+,则z 表示直线y x z =-+在y 轴上的截距,截距越小,z 越小,由题意可得,331x y x y +=⎧⎨-=⎩解得31,22A ⎛⎫ ⎪⎝⎭,当y x z =-+经过点A 时,z 最小,由可得31,22A ⎛⎫ ⎪⎝⎭,此时2z x y =+=．9.答案：B解析：x y ，满足约束条件20626x x y x y -≥⎧⎪+<⎨⎪-⎩，表示的可行域如图：目标函数441422y y z x x ++==⨯++，目标函数的几何意义是可行域的点与()2,1--斜率的4倍，由题意可知：DA 的斜率最大．由26x x y =⎧⎨+=⎩，可得()2,4A ，则目标函数442y z x +=+的最大值为：444522⨯+=+．故选：B ．10.答案：D 解析：作出可行域如图中阴影部分所示，设22222(1)1z x y x x y =++=++-表示可行域内点(,)P x y 与点(1,0)A -距离的平方减去1，由题知min z k ≤，过A 作直线20x y +-=的垂线，由图可知，垂足在线段BC 上，因为点A 到直线的20x y +-=的距离2=，所以2min 327()122z =-=，故选D.11.答案：C解析：命题人考查线性规划的有关知识.先根据约束条件2010220 xyx y-≤-≤+-≥⎧⎪⎨⎪⎩画出可行域由20220xx y-=+-=⎧⎨⎩,得()2,0B由10220yx y-=+-=⎧⎨⎩,得()0,1A当直线t x y=-过点()0,1A时,t最小,t最小是1-当直线t x y=-过点()2,0B时,t最大,t最大是2则t x y=-的取值范围是[]1,2-故选C.12.答案：D解析：0x y>，，且1x y+=；∴1111222 x y x y y x y xx y x y x y x y+++=+=+++=+++；当y xx y=，即x y=时取“=”；∴11x y+的取值范围为[)4,+∞.故选D.13.答案：A解析：∵1a b+=∴1111()a ba b a b⎛⎫+=++⎪⎝⎭2b aa b=++224+=，故最小值为：4故选C.14.答案：B解析：()14455549x y x y x y y x ⎛⎫++=++≥++= ⎪⎝⎭,当且仅当2y x =时等号成立,故最小值为9,选B.15.答案：A解析：,,,a b c d 是正数,有242a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭,当等号成立时,2a b ==,2442c d cd c d +⎛⎫=≤⇒+≥ ⎪⎝⎭,当等号成立时,2c d ==.综上可知ab c d ≤+当等号成立时,2a b c d ====.故选A.。
高三数学过关检测四试卷及答案
高三数学过关检测四2018.12.10 班级___________ 姓名____________一、选择题1. 已知集合A ＝{x|x<1}，B ＝{}13<xx ，则( )A ．A ∩B ＝{x|x<0} B ．A ∪B ＝RC ．A ∪B ＝{x|x>1}D ．A ∩B ＝∅ 2.设复数z 满足(1＋i)z ＝2i ，则|z|＝( )A.12B.22C. 2 D ．2 3.某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有( )A ．4种B ．10种C ．18种D ．20种 4.“1x>1”是“e x －1<1”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 5.若ω>0，函数y ＝cos(ωx ＋π6)的图像向右平移2π3个单位长度后与原图像重合，则ω的最小值为( )A.43B.23 C ．3 D ．46.函数y ＝ln(1－x)的大致图像为( )7.若某一随机变量X 的概率分布如下表，且m ＋2n ＝1.2，则m －n 2的值为( )A.－0.2 B ．0.2 C ．0.1 D ．－0.18.等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 11＝22，则a 3＋a 7＋a 8＝( ) A ．18 B ．12 C ．9D ．69.已知函数y ＝log a (x －1)＋3(a >0，a ≠1)的图象所过定点的横、纵坐标分别是等差数列{a n }的第二项与第三项，若b n ＝1a n a n ＋1，数列{b n }的前n 项和为T n ，则T 10＝( )A.911B.1011 C ．1 D.121110.如图，二面角BC αβ--的大小为6π，AB α⊂，CD β⊂，且AB BD ＝CD ＝2，∠ABC ＝4π，∠BCD ＝3π，则AD 与β所成角的大小为（ ） A 、4π B 、3π C 、6π D 、12π二、填空题1.已知54sin =α，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos α=_________，α2tan =______________． 2.若向量a＝(1,1)与b ＝(λ，－2)的夹角为钝角，则λ的取值范围是_______________.3.已知()12nx +展开式第三项的二项式系数是15，则n = ，含2x 的项的系是_______.4.已知函数()1,1,662{≤>-+=x x x xx x f 则f (f (－2))＝__________，f (x )的最小值是__________．5.某几何体的三视图如图，则该几何体的体积是_____________,表面积是______________.6.已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－6n ，则{|a n |}的前n 项和T n ＝________． 三、解答题1.已知函数(1)求的最小正周期，单调递增区间以及函数()f x 图像的对称轴方程；(2),42x ππ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦恒有()3f x m -<成立，求实数的取值范围.2.如图，在三棱锥P ABC -中，PAC ∆和ABC ∆均是等腰三角形，且90APC BAC ∠=∠=， 4PB AB ==．（I ）判断AB ⊥PC 是否成立，并给出证明； （II ）求直线PB 与平面ABC 所成角的正弦值．3.已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2＋8n ，{b n }是等差数列，且a n ＝b n ＋b n ＋1.(1)求数列{b n }的通项公式；(2)令c n ＝（a n ＋1）n ＋1（b n ＋2）n，求数列{c n }的前n 项和T n .4.一选择题ACBAC CBDBC 二、填空题 1.53-7242.(－∞，－2)∪(－2,2)3.6，604.－1226－6 5.6.⎩⎪⎨⎪⎧6n －n 2（1≤n≤3），n 2－6n ＋18 （n>3）.三、解答题1.∵当即即时单调递增，∴的单调递增区间为.对称轴5,212k x k z ππ=+∈ 9分 (2)∵∴∴由得 ∴∴即.2．解：（Ⅰ）AB ⊥PC 不成立，证明如下：-------------2假设AB ⊥PC ，因为AB AC ⊥，且PC AC C =，所以AB ⊥面PAC ，---------5分 所以AB PA ⊥，这与已知4PB AB ==矛盾，------7分 所以AB ⊥PC 不成立．（Ⅱ）解法1：取AC 中点O ，BC 中点G ，连,,PO OG PG ， 由已知计算得2PO OG PG ===，------------9分 由已知得,AC PO AC OG ⊥⊥, 且PO OG O =，所以AC ⊥平面POG ，所以平面ABC ⊥平面POG ，--------------12分 取OG 中点H ，连BH ，则PH ⊥平面ABC ，从而，PBH ∠就是直线PB 与平面ABC 所成的角，因为PH =4PB =，所以sin 4PH PBH PB ∠==----------------------15分解法2：如图，以A 为原点，,AB AC 所在直线为,x y 轴建立空间直角坐标系， 则()()()0,0,0,4,0,0,0,4,0A B C ，-----------------------------------------9分设(),,P x y z ，由()()222222222841648x y z x y z x y z ⎧++=⎪⎪-++=⎨⎪+-+=⎪⎩解得：(P -----------------------------11分(3,2,PB =--，因为平面ABC 的法向量是()0,0,1n =，--------13分 由sin PB n PB nθ=⋅ =3.(1)由题意知，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝6n ＋5.当n ＝1时，a 1＝S 1＝11，符合上式． 所以a n ＝6n ＋5.设数列{b n }的公差为d . 由⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝b 1＋b 2，a 2＝b 2＋b 3，即⎩⎪⎨⎪⎧11＝2b 1＋d ，17＝2b 1＋3d ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝4，d ＝3，所以b n ＝3n ＋1.(2)由(1)知c n ＝（6n ＋6）n ＋1（3n ＋3）n ＝3(n ＋1)·2n ＋1. 由T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ，得T n ＝3×[2×22＋3×23＋…＋(n ＋1)×2n ＋1]，2T n ＝3×[2×23＋3×24＋…＋(n ＋1)×2n ＋2]， 两式作差，得－T n ＝3×[2×22＋23＋24＋…＋2n ＋1－(n ＋1)×2n ＋2]＝3×[4＋4×（1－2n ）1－2－(n ＋1)×2n ＋2] ＝－3n ·2n ＋2，所以T n ＝3n ·2n ＋2.。
高三数学二轮专题复习小题基础过关练(二)
过关练(二)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.设集合M ＝{x ||x －1|<1}，N ＝{x |x <2}，则M ∩N ＝( ) A.(－1，1) B.(－1，2) C.(0，2)D.(1，2)[解析] 由|x －1|<1，得－1<x －1<1，解得0<x <2， ∴M ＝{x |0<x <2}，又∵N ＝{x |x <2}， ∴M ∩N ＝(0，2). [答案] C2.(2018·全国Ⅰ卷)设z ＝1－i1＋i＋2i ，则|z |＝( ) A.0B.12C.1D. 2[解析] 因为z ＝1－i 1＋i ＋2i ＝（1－i ）2（1＋i ）（1－i ）＋2i ＝－i ＋2i ＝i ，所以|z |＝1.[答案] C3.函数y ＝cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4是( )A.周期为π的奇函数B.周期为π的偶函数C.周期为2π的奇函数D.周期为2π的偶函数[解析] y ＝cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝－sin 2x ，是周期为π的奇函数. [答案] A4.已知倾斜角为θ的直线l 与直线x ＋2y －3＝0垂直，则sin 2θ 的值为( ) A.35B.45C.15D.－15[解析] 由已知tan θ＝2，sin 2θ＝2sin θcos θ＝2sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝2tan θtan 2θ＋1＝45.[答案] B5.(2018·日照模拟)设a ＝20.1，b ＝lg 52，c ＝log 3910，则a ，b ，c 的大小关系是( )A.b >c >aB.a >c >bC.b >a >cD.a >b >c[解析] 因为a ＝20.1∈(1，2)，b ＝lg 52∈(0，1)，c ＝log 3910<0，∴a >b >c . [答案] D6.“m <0”是“函数f (x )＝m ＋log 2x (x ≥1)存在零点”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分又不必要条件[解析] 由f (x )＝m ＋log 2x ＝0(x ≥1)，得m ＝－log 2x ≤0. 因为{m |m <0}{m |m ≤0}，所以“m <0”是“函数f (x )(x ≥1)存在零点”的充分不必要条件. [答案] A7.某几何体的三视图如图所示，其中正视图为等腰三角形、侧视图为直角三角形、俯视图为半圆，则该几何体的表面积是( )A.π2B.π3C.1＋102πD.1＋102π＋3[解析] 由题意知几何体为半个圆锥，其表面积为12×π×10＋12×12×π＋12×3×2＝1＋102π＋3. [答案] D8.已知等比数列{a n }的各项都为正数，且a 3，12a 5，a 4成等差数列，则a 3＋a 5a 4＋a 6的值是( ) A.5－12 B.5＋12 C.3－52D.3＋52[解析] 设等比数列{a n }的公比为q (q >0)，由a 3，12a 5，a 4成等差数列可得a 5＝a 3＋a 4，即a 3q 2＝a 3＋a 3q ，故q 2－q －1＝0，解得q ＝1＋52.则a 3＋a 5a 4＋a 6＝1q ＝21＋5＝5－12. [答案] A9.已知A ，B 是圆O ：x 2＋y 2＝4上的两个动点，|AB→|＝2，OC →＝13OA →＋23OB →，若M是线段AB 的中点，则OC →·OM →的值为( )A. 3B.2 3C.2D.3[解析] 由OC→＝13OA →＋23OB →，又OM →＝12(OA →＋OB →)， 所以OC →·OM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13OA →＋23OB →·12(OA →＋OB →) ＝16(OA →2＋2OB →2＋3OA →·OB→)，又△OAB 为等边三角形，所以OA →·OB →＝2×2cos 60°＝2，OA→2＝4，OB →2＝4，所以OC →·OM →＝3. [答案] D10.习总书记在十九大报告中指出：坚定文化自信，推动社会主义文化繁荣兴盛.如图，“大衍数列”：0，2，4，8，12…来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和.如图是求大衍数列前n 项和的程序框图，执行该程序框图，输入m ＝6，则输出的S ＝( )A.26B.44C.68D.100[解析] 第一次运行，n ＝1，a ＝n 2－12＝0，S ＝0＋0＝0，不符合n ≥m ，继续运行.第二次运行，n ＝2，a ＝n 22＝2，S ＝0＋2＝2，不符合n ≥m ，继续运行， 第三次运行，n ＝3，a ＝n 2－12＝4，S ＝2＋4＝6，不符合n ≥m ，继续运行， 第四次运行，n ＝4，a ＝n 22＝8，S ＝6＋8＝14，不符合n ≥m ，继续运行， 第五次运行，n ＝5，a ＝n 2－12＝12，S ＝14＋12＝26，不符合n ≥m ，继续运行， 第六次运行，n ＝6，a ＝n 22＝18，S ＝26＋18＝44，符合n ≥m ，输出S ＝44. [答案] B11.已知双曲线E ：x 24－y 22＝1，直线l 交双曲线于A ，B 两点，若线段AB 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1，则l 的方程为( )A.4x ＋y －1＝0B.2x ＋y ＝0C.2x ＋8y ＋7＝0D.x ＋4y ＋3＝0[解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 214－y 212＝1，且x 224－y 222＝1，相减得x 21－x 224＝y 21－y 222，即y 1－y 2x 1－x 2＝12×x 1＋x 2y 1＋y 2.又线段AB 的中点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1，因此x 1＋x 2＝2×12＝1，y 1＋y 2＝(－1)×2＝－2，则y 1－y 2x 1－x 2＝－14，即直线AB 的斜率为－14，直线l 的方程为y ＋1＝－14⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，即2x ＋8y ＋7＝0. [答案] C12.定义在(0，＋∞)上的函数f (x )满足x 2f ′(x )＋1>0，f (1)＝6，则不等式f (lg x )<1lg x＋5的解集为( ) A.(10，10) B.(0，10) C.(10，＋∞)D.(1，10)[解析] 设g (x )＝f (x )－1x －5，则g ′(x )＝f ′(x )＋1x 2＝x 2f ′（x ）＋1x 2>0，故函数g (x )在(0，＋∞)上单调递增，又g (1)＝0，故g (x )<0的解集为(0，1)，即f (x )<1x ＋5的解集为(0，1). 由0<lg x <1，得1<x <10，则所求不等式的解集为(1，10). [答案] D二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分.请把正确的[答案]填写在各小题的横线上.)13.已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧x －y ＋1≤0，2x ＋y －4≥0，x ≥0，则z ＝x ＋2y 的最小值为________.[解析] 由题意可得可行域为如图所示(含边界)的阴影部分，z ＝x ＋2y ，即y ＝－12x ＋12z ，则在点A 处取得最小值，联立⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，2x ＋y －4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，∴A (1，2).代入z ＝x ＋2y 得最小值5.[答案] 514.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若b ＝1，c ＝3，∠C ＝2π3，则△ABC 的面积为________.[解析] 由余弦定理得a 2＋1－2a ×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝3，解得a ＝1，则S △ABC ＝12ab sin C＝34. [答案] 3415.已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线与抛物线y 2＝4x 的准线分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若S △AOB ＝23，则双曲线的离心率e ＝________. [解析] 双曲线的渐近线方程是y ＝±b a x ，当x ＝－1时，y ＝±ba ，不妨设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，b a ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－b a ，所以S △AOB ＝12×2×b a ×1＝23，即b a ＝2 3.所以b 2a 2＝12，所以e ＝1＋b 2a 2＝13.[答案]1316.若函数y ＝f (x )满足：对于y ＝f (x )图象上任意一点P ，在其图象上总存在点P ′，使得OP →·OP →′＝0成立，称函数y ＝f (x )是“特殊对点函数”.给出下列五个函数： ①y ＝x －1；②y ＝e x －2(其中e 为自然对数的底数)； ③y ＝ln x ；④y ＝1－x 2.其中是“特殊对点函数”的是________(写出所有正确的序号).[解析] 设点P (x 1，f (x 1))，点P ′(x 2，f (x 2))，由OP →·OP ′→＝0，得x 1x 2＋f (x 1)f (x 2)＝0，即OP→⊥OP →′. 对于①y ＝x －1.当取点P (1，1)时，满足OP→⊥OP →′的点P ′不在y ＝x －1上，故①y ＝x－1不是“特殊对点函数”，如图(1)所示；对于②y ＝e x －2.作出函数y ＝e x －2的图象.由图象知，满足OP →⊥OP →′的点P ′(x 2，f (x 2))都在y ＝f (x )图象上，则②是“特殊对点函数”，如图(2)所示；(1)(2)(3)(4)对于③y＝ln x.当取点P(1，0)时，满足OP→⊥OP→′的点P′不在y＝ln x上，故③y＝ln x不是“特殊对点函数”，如图(3)所示；对于④y＝1－x2.作出函数y＝1－x2的图象，由图象知，满足OP→⊥OP→′的点P′(x2，f(x2))都在y＝f(x)图象上，则④是“特殊对点函数”，如图(4)所示.[答案]②④。
高考数学二轮专题训练阶段滚动过关练四课件
【解析】选A.因为 x ×1(3+4+5+6)=4.5,
4
y ×1(2.5+3+4+4.5)=3.5,
4
因为回归直线经过样本中心,
所以3.5=4.5 bˆ +0.35,解得 bˆ=0.7,线性回归方程为 =yˆ0.7x+0.35.x=4时, yˆ=0.7×4+0.35=3.15.
则样本在(4,3)处的残差为:3-3.15=-0.15.
则an=
1 4
，n
1 1
. ，n 2
4n（n 1）
所以a1>a2=-18 ,所以C符合题意.
8.如图,一张矩形白纸ABCD中,AB=10,AD=10 2,E,F分别为AD,BC的中点,现分别 将△ABE,△CDF沿BE,DF折起,且A,C在平面BFDE同侧,则下列命题正确的序号有 () ①当平面ABE∥平面CDF时,AC∥平面BFDE; ②当平面ABE∥平面CDF时,AE∥CD; ③当A、C重合于点P时,PG⊥PD; ④当A、C重合于点P时,三棱锥P-DEF的外接球的表面积为150π. A.① B.② C.③ D.④
4.(2020·钦州期末)为研究某种细菌在特定环境下随时间变化的繁殖情况,得 到如表实验数据:
天数x(天) 繁殖个数y(千个)
3
4
2.5
3
5
6
4
4.5
由最小二乘法得y与x的线性回归方程为 yˆ bˆx 0.35, 则样本在(4,3)处的残差为 ()
A.-0.15
B.0.15
C.-0.25
D.0.25
AG=CH,所以四边形AGHC为平行四边形,所以AC∥GH,进而可得AC∥平面BFDE,故
江西省南昌市下学期高三数学第二轮复习测试(四)
江西省南昌市2008—2009学年度高三第二轮复习测试（四）数 学 试 题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的） 1．已知集合}1,12,3{},3,1,{22+--=-+=a a a N a a M 若M ∩N={-3}，则a 的值是（ ）A ．-1B ．0C ．1D ．3 2．函数)13lg(13)(2++-=x xx x f 的定义域是（ ）A ．（31-，+∞） B ．（31-，1） C ．（31-，31） D ．（-∞，31-） 3．将直线02=+-λy x 沿x 轴向左平移1个单位，所得直线与圆04222=-++y x y x 相切，则实数λ的值为（ ）A ．0或10B ．-2或8C ．-3或7D ．1或114．设S n 为数列{a n }前n 项和，且a n =-2n+1，则数列}{nS n的前11项和为 （ ）A ．-45B ．-50C ．-55D ．-665．已知函数x b x a x f cos sin )(-=（a 、b 为常数a ≠0，x ∈R ）在4π=x 处取得最小值，则函数)43(x f y -=π是（ ）A ．偶函数且它的图象关于点（π，0）对称B ．偶函数且它的图象关于点（23π，0）对称 C ．奇函数且它的图象关于点（23π，0）对称D ．奇函数且它的图象关于点（π，0）对称6．椭圆122=+by ax 与直线x y -=1交于A 、B 两点，过原点与线段AB 中点的直线的斜率为23，则b a 的值为（ ）A ．239 B ．232 C ．23 D ．2732 7．二元函数),(y x f 的定义域记为}),(|),{(有意义y x f y x D =，则函数),(y x f =[xlin （y-x ）] 的定义域D 所表示的平面区域为（ ）8．定义域为R 的函数)(x f 满足f （-4-x ）=f （x+8），且y=f （x+8）为偶函数，则)(x f （ ） A ．是周期为4的周期函数 B ．是周期为8的周期函数 C ．是周期为12的周期函数 D ．不是周期函数9．在正方体上任意选择两条棱，则这两条棱所在直线成异面直线的概率为 （ ）A ．114 B ．113 C ．223 D ．112 10．如图，△ABC 与△ABD 分别是等腰直角三角形与正三角形，当BC 与平面ABD 所成的角是arcsin 42 时，锐二面角C —AB —D 等于（ ）A ．8π B ．6πC ．4πD ．3π11．（理）抛掷两个骰子，至少有一个4点或5点出现时，就这这些试验成功，则在10次试 验中，成功次数ξ的期望是（ ）A ．310B ．955 C ．950 D ．980（文）某路段监察站监控录像显示，在某时段内，有 1000辆汽车通过该站，现在随机抽取其中的200辆 汽车进行车速分析，分析的结果表示为如右图的频 率分布直方图，则估计在这一时段内通过该站的汽 车中速度不小于90kn/h 的约有 （ ） A ．400辆 B ．300辆 C ．200辆 D ．100辆12．双曲线222=-y x 的左右焦点分别为F 1、F 2，点P n （x n ，y n ）（n=1，2，3）在其右支 上，且满足0|,|||2121121=⋅=+F F F P F P F P N n ，则x 2009的值是 （ ）A ．40172B ．40182C ．4017D ．4018二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上） 13．已知7)(x xa-的展开式中2x 项的系数为3，则实数a 的值为 。
选填满分“8+4+4”小题强化训练第4练-高考数学二轮复习(原卷及答案)(新高考专用)
高三二轮复习选填满分“8+4+4”小题强化训练(4)一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合2{|320}A x x x =-+-≤，3{|log (2)1}B x x =+<，则A B = （）A．∅B．{1x x ≤或}2x ≥C．{}1x x <D．{}21x x -<<2.若复数312iz =-（i 为虚数单位），则复数z 在复平面上对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.下列函数中，最小值为4的是（）A.4y x x=+B.()4sin 0πsin y x x x=+<<C.e 4e x xy -=+ D.y =4.若函数()2f x +为偶函数，对任意的[12,2,+)x x ∈∞，且12x x ≠，都有()()()12120x x f x f x ⎡⎤--<⎣⎦，则（）A．()()212log 60log 0.2f f f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭B．()()122log 0.20log 6f f f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭C．()()122log 0.2log 60f f f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭D．()()2120log 6log 0.2f f f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭5.已知某电子产品电池充满时的电量为3000毫安时，且在待机状态下有两种不同的耗电模式可供选择．模式A ：电量呈线性衰减，每小时耗电300毫安时；模式B ：电量呈指数衰减，即：从当前时刻算起，t 小时后的电量为当前电量的12t 倍．现使该电子产品处于满电量待机状态时开启A 模式，并在m 小时后切换为B 模式，若使其在待机10小时后有超过5%的电量，则m 的取值范围是（）A．(5，6)B．(6，7)C．(7，8)D．(8，9)6.已知正项等比数列{}n a 满足2022202120202a a a =+，若215log a +是2log m a 和2log n a 的等差中项，则9n mmn+的最小值为（）A．43B．138C．85D．34217.《九章算术》中记载，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱，阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，在堑堵111ABC A B C -中，AC BC ⊥，12AA =，当阳马11B ACC A -体积的最大值为43时，堑堵111ABC A B C -的外接球的体积为（）A．4π3B．82π3C．32π38.已知ln 22ln a a =，ln 33ln b b =，ln 55ln c c =，且(),,0,e ∈a b c 则（）A．c ＜a ＜bB．a ＜c ＜bC．b ＜a ＜cD．b ＜c ＜a二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求,全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．9.已知()831f x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则（）A.()f x 的展开式中的常数项是56B.()f x 的展开式中的各项系数之和为0C.()f x 的展开式中的二项式系数最大值是70D.()f x 的展开式中不含4x 的项10.已知某物体作简谐运动，位移函数为()2sin()(0,)2f t t t πϕϕ=+><，且4()23f π=-，则下列说法正确的是（）A.该简谐运动的初相为6πB.函数()f t 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增C.若[0,]2t π∈，则(),2[]1f t ∈D.若对于任意12,0t t >，12t t ≠，都有12()()f t f t =，则12()2f t t +=11.已知正三棱锥S ABC -的底面边长为6，侧棱长为则下列说法中正确的有（）A.侧棱SA 与底面ABC 所成的角为4πB.侧面SAB 与底面ABC 所成角的正切值为C.正三棱锥S ABC -外接球的表面积为64πD.正三棱锥S ABC -内切球的半径为1-12.关于函数()sin x f x e x =+，(),x ππ∈-.下列说法正确的是（）A.()f x 在()()0,0f 处的切线方程为210x y -+=B.()f x 有两个零点C.()f x 有两个极值点D.()f x 存在唯一极小值点0x ，且()010f x -<<三、填空题：本题共4小题，每小题5分，多空题，第一空2分，第二空3分，共20分．13.已知随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ，若函数()()1f x P x x ξ=≤≤+为偶函数，则μ=_______.14.为调查新冠疫苗的接种情况，需从5名志愿者中选取3人到3个社区进行走访调查，每个社区一人．若甲乙两人至少有一人入选，则不同的选派方法有_____________.15.数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和n S 满足112n n n S a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.则n a =__________.16.椭圆的光学性质，从椭圆一个焦点发出的光，经过椭圆反射后，反射光线都汇聚到椭圆的另一个焦点上.已知椭圆C ：()2221024x y b b+=<<，1F ，2F 为其左､右焦点.M 是C 上的动点，点(N ，若1MN MF +的最大值为6.动直线l 为此椭圆C 的切线，右焦点2F 关于直线l 的对称点()11,P x y ，113424S x y =+-，则：（1）椭圆C 的离心率为___________；（2）S 的取值范围为___________.高三二轮复习选填满分“8+4+4”小题强化训练(4)一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合2{|320}A x x x =-+-≤，3{|log (2)1}B x x =+<，则A B = （）A．∅B．{1x x ≤或}2x ≥C．{}1x x <D．{}21x x -<<【答案】D【解析】()()22320,32120x x x x x x -+-≤-+=--≥，解得1x ≤或2x ≥，所以{|1A x x =≤或}2x ≥.由3log y x =在()0,∞+上递增，且()33log 21log 3x +<=，所以023,21x x <+<-<<，所以{}|21B x x =-<<，所以{}21A B x x ⋂=-<<，故选：D 2.若复数312iz =-（i 为虚数单位），则复数z 在复平面上对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D【解析】由题意可知：()()3112i 2i 21i 2i 2i 2i 2i 555z --=====--++-，所以复数z 在复平面上对应的点为21,55⎛⎫- ⎪⎝⎭.位于第四象限.故选:D.3.下列函数中，最小值为4的是（）A.4y x x =+B.()4sin 0πsin y x x x=+<<C.e 4e x x y -=+D.y =【答案】C【解析】A 项，4y x x=+没有最值，故A 项错误；B 项，令sin t x =，则01t <≤，4y t t=+，由于函数在(]0,1上是减函数，所以min ()(1)5f x f ==，故B 项错误；C 项，4e 4e e 4e x x x x y -=+=+≥=，当且仅当4e e x x =，即e 2x =时，等号成立，所以函数e 4e x x y -=+的最小值为4，故C 项正确；D 项，y =≥，当且仅当==时，等号成立，所以函数y =+的最小值为，故D 项错误．故选：C．4.若函数()2f x +为偶函数，对任意的[12,2,+)x x ∈∞，且12x x ≠，都有()()()12120x x f x f x ⎡⎤--<⎣⎦，则（）A．()()212log 60log 0.2f f f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭B．()()122log 0.20log 6f f f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭C．()()122log 0.2log 60f f f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭D．()()2120log 6log 0.2f f f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭【答案】D【解析】由题意知函数()2f x +为偶函数，故函数()f x 关于直线=2x 对称，由对任意的[12,2,+)x x ∈∞，且12x x ≠，都有()()()12120x x f x f x ⎡⎤--<⎣⎦，可知函数()f x 在[2,+)x ∈∞时单调递减，而()()1220(4),log 0.52log f f f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，因为2252<log log 64<<，故()()2120(4)log 6log 0.2f f f f ⎛⎫=<< ⎪⎝⎭，故选：D5.已知某电子产品电池充满时的电量为3000毫安时，且在待机状态下有两种不同的耗电模式可供选择．模式A ：电量呈线性衰减，每小时耗电300毫安时；模式B ：电量呈指数衰减，即：从当前时刻算起，t 小时后的电量为当前电量的12t 倍．现使该电子产品处于满电量待机状态时开启A 模式，并在m 小时后切换为B 模式，若使其在待机10小时后有超过5%的电量，则m 的取值范围是（）A．(5，6)B．(6，7)C．(7，8)D．(8，9)【答案】D【解析】由题意可设，模式A 的函数关系为：y ＝－300t ＋3000，模式B 的函数关系为：y ＝p ⋅12t ，其中p 为初始电量，在模式A 下使用m 小时，其电量为3000－300m ，在模式B 下使用10－m 小时，则可得到(3000－300m )⋅1210－m ＞3000⋅5%，可化为2m －10(10－m )＞12，令x ＝10－m ，可得2－x ⋅x ＞12，即2x －1＜x ，可结合图形得到1＜x ＜2，即1＜10－m ＜2，解得8＜m ＜9，即m ∈(8，9)，故答案选D．6.已知正项等比数列{}n a 满足2022202120202a a a =+，若215log a +是2log m a 和2log n a 的等差中项，则9n mmn+的最小值为（）A．43B．138C．85D．3421【答案】A【解析】正项等比数列{}n a 满足2022202120202a a a =+，所以22q q =+，且0q >，解得2q =，又因为215log a +是2log m a 和2log n a 的等差中项，所以()212225log log log m n a a a +=+，得102222121log (2)log (2)m n a a +-=，即12m n +=，()9119191410101212123n m m n m n mn m n n m ⎛+⎛⎫⎛⎫=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当39n m ==时，等号成立.故选：A.7.《九章算术》中记载，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱，阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，在堑堵111ABC A B C -中，AC BC ⊥，12AA =，当阳马11B ACC A -体积的最大值为43时，堑堵111ABC A B C -的外接球的体积为（）A．4π3B．π3C．32π3【答案】B【解析】由题意易得BC ⊥平面11ACC A ,所以()11222112113333B ACC A V BC AC AA BC AC BC AC AB -=⋅⋅=⋅≤+=,当且仅当AC BC =时等号成立,又阳马11B ACC A -体积的最大值为43,所以2AB =,所以堑堵111ABC A B C -的外接球的半径R =所以外接球的体积343V r π==,故选:B8.已知ln 22ln a a =，ln 33ln b b =，ln 55ln c c =，且(),,0,e ∈a b c 则（）A．c ＜a ＜b B．a ＜c ＜b C．b ＜a ＜c D．b ＜c ＜a【答案】A 【解析】由已知得ln 2ln 2a a =，ln 3ln 3b b=，ln ln 55c c =，令()()()ln 0e ，=∈x f x x x ，()21ln xf x x -'=，可得()f x 在()0e ，∈x 上单调递增，在()e ，+∈∞x 上单调递减，()()25lnln 5ln 23205210-=-=<f c f a ，且(),0,e ∈a c ，所以c a <，()()8lnln 2ln 390236-=-=<f a f b ，且(),0,e ∈a b ，所以a b <，所以c a b <<.故选：A.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求,全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．9.已知()831f x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则（）A.()f x 的展开式中的常数项是56B.()f x 的展开式中的各项系数之和为0C.()f x 的展开式中的二项式系数最大值是70D.()f x 的展开式中不含4x 的项【答案】BC【解析】二项展开式通项公式为382441881()(1)rr rr r rr T C x C x x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，2440r -=，6r =，常数项为6678(1)28T C =-=，A 错；2444r -=，=5r ，第6项是含4x 的项，D 错；令1x =得(1)0f =所有项系数和，B 正确；8n =，因此二项式系数的最大值为4870C =，C 正确．故选：BC．10.已知某物体作简谐运动，位移函数为()2sin()(0,)2f t t t πϕϕ=+><，且4()23f π=-，则下列说法正确的是（）A.该简谐运动的初相为6πB.函数()f t 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增C.若[0,]2t π∈，则(),2[]1f t ∈D.若对于任意12,0t t >，12t t ≠，都有12()()f t f t =，则12()2f t t +=【答案】ACD【解析】因为()2sin()(0,)2f t t t πϕϕ=+><，且4()23f π=-，所以422sin 3πϕ⎛⎫-=+⎪⎝⎭，即432,32k k Z ππϕπ+=+∈，所以2,6k k Z πϕπ=+∈，因为2πϕ<，所以6π=ϕ所以()2sin 6f t t π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以对于A 选项，简谐运动的初相为6π，故正确；对于B 选项，函数()f t 在区间0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，故错误；对于C 选项，当0,2t π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，2,663t πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以sin sin sin 662t πππ⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭，即1sin 126t π⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭，所以(),2[]1f t ∈，故正确；对于D 选项，对于任意12,0t t >，12t t ≠，都有12()()f t f t =，则12,2t t k k Z ππ+=+∈，所以12()2f t t +=，故正确.故选：ACD11.已知正三棱锥S ABC -的底面边长为6，侧棱长为则下列说法中正确的有（）A.侧棱SA 与底面ABC 所成的角为4πB.侧面SAB 与底面ABC 所成角的正切值为C.正三棱锥S ABC -外接球的表面积为64πD.正三棱锥S ABC -1【答案】BC【解析】若,E F 分别是,BC AB 的中点，连接,AE SE ，易知AES ∠为侧棱SA 与底面ABC 所成角，由题设，SE =，AE =，SA =，则1cos2AES ∠==，∴3AES π∠=，故A 错误；若O 是底面中心，易知：SO ⊥面ABC ，连接OF 、SF ，则侧面SAB 与底面ABC 所成角为SFO ∠，又6SO =，OF =，则tan SFO ∠=B 正确.若外接球的半径为R ，则R ==，解得4R =，∴正三棱锥S ABC -外接球的表面积为2464R ππ=，故C 正确.由题设易知：S ABC V -=，若内切球的半径为r ，则()3SAB SAC SBC ABC r S S SS +++=，又SAB SAC SBC S S S ===ABC S =，则93)2r ==，故D 错误.故选：BC12.关于函数()sin x f x e x =+，(),x ππ∈-.下列说法正确的是（）A.()f x 在()()0,0f 处的切线方程为210x y -+=B.()f x 有两个零点C.()f x 有两个极值点D.()f x 存在唯一极小值点0x ，且()010f x -<<【答案】ABD【解析】()sin x f x e x =+，()00sin 01f e =+=，()cos xf x e x '=+，()00cos02f e '=+=，切线方程为()120y x -=-,即210x y -+=,故A 正确；()sin x f x e x ''=-⎡⎤⎣⎦，当0x >时，()0sin 110x x f x e x e e ''=≥-->-=⎡⎤⎣⎦，当π0x -<≤时，sin 0x ≤，0x e >,∴()sin 0x f x e x ''=>⎡⎤⎣⎦-，∴(),x ππ∈-时，()0f x ''>⎡⎤⎣⎦，∴()cos xf x e x '=+单调递增，32430422f e e --⎛⎫'-=-<-< ⎪⎝⎭ππ，2002f e -⎛⎫'-=-> ⎪⎝⎭ππ，在(),ππ-内，()cos x f x e x '=+存在唯一的零点0x ,且03,42x ππ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，且在()0,x x π∈-内，()0f x '<，()f x 单调递减；()0,x x π∈，()0f x '>，()f x 单调递增，∴0x 为极值点，且为极小值点.由()000cos 0x f x e x '=+=，∴()00000sin sin cos x f x e x x x =+=-，∵03,42x ππ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，∴00001sin 0,1cos 0,sin cos x x x x -<<-<<<，∴001sin cos 0x x -<-<，∴()f x 有唯一的极值点，且为极小值点0x ，且()010f x -<<，故C 错误，D 正确；又∵()()ππ0,sin 0f e f e e ππππ--=>=+=>,结合函数()f x 的单调性可知∴()f x 有两个零点，故B 正确；故选：ABD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，多空题，第一空2分，第二空3分，共20分．13.已知随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ，若函数()()1f x P x x ξ=≤≤+为偶函数，则μ=_______.【答案】C【解析】因为函数()f x 为偶函数，则()()f x f x -=，即()()11P x x P x x ξξ-≤≤-+=≤≤+，所以，1122x x μ-++==.故答案为：1214.为调查新冠疫苗的接种情况，需从5名志愿者中选取3人到3个社区进行走访调查，每个社区一人．若甲乙两人至少有一人入选，则不同的选派方法有_____________.【答案】54【解析】①若甲乙两人恰有一人入选，志愿者有12236C C =种选法，再分配到3个社区，有336A =种方案，故由分步乘法计数原理知，共有6636⨯=种选派方法；②若甲乙两人都入选，志愿者有21233C C =种选法，再分配到3个社区，有336A =种方案，故由分步乘法计数原理知，共有1863=⨯种选派方法综上，由分类加法计数原理知，共有361854+=种选派方法.故答案为：54.15.数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和n S 满足112n n n S a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.则n a =__________.【答案】【解析】由1111112a S a a ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，得111a S ==.当n>1时，由112n n n S a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭①1112n n n n S a a a -⎛⎫⇒+=+ ⎪⎝⎭1112n n nS a a -⎛⎫⇒=-+ ⎪⎝⎭.②①+②得11n n n S S a -+=.③又1n n n S S a --=，④③⨯④得2211n n S S --=.则{}2n S 成等差数列，2n S n =，n S =.于是，1n n n a S S -=-=当1n =时，也满足上式.综上，n a =.故答案为16.椭圆的光学性质，从椭圆一个焦点发出的光，经过椭圆反射后，反射光线都汇聚到椭圆的另一个焦点上.已知椭圆C ：()2221024x y b b+=<<，1F ，2F 为其左､右焦点.M 是C 上的动点，点(N ，若1MN MF +的最大值为6.动直线l 为此椭圆C 的切线，右焦点2F 关于直线l 的对称点()11,P x y ，113424S x y =+-，则：（1）椭圆C 的离心率为___________；（2）S 的取值范围为___________.【答案】12[]7,47【解析】根据椭圆定义得：122MF MF a +=，所以12222MN MF MN MF a NF a +=-+≤+，因为1MN MF +的最大值为6，因为2a =，所以22NF =2=，解得1c =，所以离心率为12c a =.右焦点()21,0F 关于直线的对称点()11,P x y ，设切点为A ，由椭圆的光学性质可得：P ，A ，1F 三点共线，所以111224FP F A AP F A AF a =+=+==，即点()11,P x y 的轨迹是以()1,0-为圆心，半径为4的圆，圆心()1,0-到直线34240x y +-=275=，则圆上的点到直线34240x y +-=的距离最小值277455-=，最大值2747455+=，所以点()11,P x y 到直线34240x y +-=的距离为：1134245x y +-，所以113424S x y =+-表示点()11,P x y 到直线34240x y +-=的距离的5倍，则1174734245,555S x y ⎡⎤=+-∈⨯⨯⎢⎥⎣⎦，即[]7,47S ∈.故答案为：12，[]7,47.。
湖南高考数学二轮备考专项练习(含答案)
湖南高考数学二轮备考专项练习（含答案）数学的温习离不开多做题，下面是2021年湖南高考数学二轮备考专项练习，希望对考生有所协助。
题型一、频率散布直方图的运用例1：某校100名先生期中考试语文效果的频率散布直方图如下图，其中效果分组区间是[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]。
(1)求图中a的值;(2)依据频率散布直方图，估量这100名先生语文效果的平均分;(3)假定这100名先生语文效果某些分数段的人数(x)与数学效果相应分数段的人数(y)之比如下表所示，求数学效果在[50,90)之外的人数。
分数段[50,60)[60,70)[70,80)[80,90) x∶y 1∶1 2∶1 3∶4 4∶5破题切入点：(1)依据样本频率之和为1，求出参数a的值。
(2)依据频率散布直方图战争均值的计算公式，求出样本平均值。
(3)由直方图可计算语文效果在每分段上的频数，再依据语文和数学效果在同一段上的人数比，便可计算数学效果在[50,90)之间的人数，进而求解。
解：(1)由频率散布直方图知(2a+0.02+0.03+0.04)10=1，解得a=0.005。
(2)由频率散布直方图知这100名先生语文效果的平均分为550.00510+650.0410+750.0310+850.0210+950.00510=73(分)。
(3)由频率散布直方图知语文效果在[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)各分数段的人数依次为0.00510100=5,0.0410100=40,0.0310100=30,0.0210100=20。
由题中给出的比例关系知数学效果在上述各分数段的人数依次为5,40=20,30=40,20=25。
故数学效果在[50,90)之外的人数为100-(5+20+40+25)=10。
题型二茎叶图的运用例2：从甲、乙两个城市区分随机抽取16台自动售货机，对其销售额停止统计，统计数据用茎叶图表示(如下图)。
新人教版高三数学二轮复习高考小题标准练四理
高考小题标准练(四)满分80分，实战模拟，40分钟拿下高考客观题满分！一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.设不等式x2-x≤0的解集为M，函数f(x)=lg(1-|x|)的定义域为N，则M∩N=( )A.(-1，0]B.[0，1)C.(0，1)D.[0，1]【解析】选B.由x2-x≤0，得M={x|0≤x≤1}，因为1-|x|>0，所以N={x|-1<x<1}，所以M∩N=[0，1).2.已知复数z满足z=，则z的共轭复数的虚部为( )A.2B.-2C.-1D.1【解析】选D.由题意知z====-1-i.3.设命题p：∃α0，β0∈R，cos(α0+β0)=cosα0+cosβ0；命题q：∀x，y∈R，且x≠+kπ，y≠+kπ，k∈Z，若x>y，则tanx>tany.则下列命题中真命题是( ) A.p∧q B.p∧(非q)C.(非p)∧qD.(非p)∧(非q)【解析】选B.当α0=，β0=-时，命题p成立，所以命题p为真命题；当x，y不在同一个单调区间内时命题q不成立，命题q为假命题.故p∧(非q)为真命题.4.设数列{a n}满足a1+2a2=3，点P n(n，a n)对任意的n∈N*，都有=(1，2)，则数列{a n}的前n项和S n为( )A.nB.nC.nD.n【解析】选A.因为=-=(n+1，a n+1)-(n，a n)=(1，a n+1-a n)=(1，2)，所以a n+1-a n=2.所以{a n}是公差为2的等差数列.由a1+2a2=3，得a1=-，所以S n=-+n(n-1)×2=n.5.若执行如图所示的程序框图，则输出的k值是( )A.4B.5C.6D.7【解析】选A.由题知n=3，k=0；n=10，k=1；n=5，k=2；n=16，k=3；n=8，k=4，满足判断条件，输出的k=4.6.已知函数f(x)是定义在R上的函数，若函数f(x+2016)为偶函数，且f(x)对任意x1，x2∈[2016，+∞)(x1≠x2)，都有<0，则( )A.f(2019)<f(2014)<f(2017)B.f(2017)<f(2014)<f(2019)C.f(2014)<f(2017)<f(2019)D.f(2019)<f(2017)<f(2014)【解析】选A.由于函数f(x+2016)为偶函数，故函数f(x)的图象关于直线x=2016对称，又因为对任意x1，x2∈[2016，+∞)(x1≠x2)，都有<0，所以函数f(x)在[2016，+∞)上单调递减，所以f(2019)<f(2018)<f(2017)，因为函数f(x)的图象关于直线x=2016对称，所以f(2014)=f(2018)，所以f(2019)<f(2014)<f(2017).7.函数f(x)=x+cosx的大致图象为( )【解析】选B.因为f(x)=x+cosx，所以f(-x)=-x+cos(-x)=-x+cosx，即函数f(x)为非奇非偶函数，从而排除A，C.又当x=π时，f(π)=π-1<π，故排除D.8.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.4B.6C.7D.【解析】选D.该几何体的直观图如图中多面体ADCEG-A1D1C1F所示，它是由棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1截去一个三棱台而形成的，结合已知得所求体积V=23-×2×(×1×++×2×1)=.9.已知直线l：x+ay-1=0(a∈R)是圆C：x2+y2-4x-2y+1=0的对称轴.过点A(-4，a)作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|=( )A.2B.4C.6D.8【解析】选C.由于直线x+ay-1=0是圆C：x2+y2-4x-2y+1=0的对称轴，所以圆心C(2，1)在直线x+ay-1=0上，所以2+a-1=0，所以a=-1，所以A(-4，-1).所以|AC|2=36+4=40.又r=2，所以|AB|2=40-4=36.所以|AB|=6.10.已知函数f=x-，g=，对任意x3≥e，存在0<x1<x2<x3，使得f=f(x3)=g，则实数m的取值范围为( )A. B.C. D.【解析】选A.函数f=x-，f′=1-=，当0<x<1时，f′<0，此时函数f单调递减；当x>1时，f′>0，此时函数f单调递增.对任意x3≥e，存在0<x1<x2<x3，使得f=f=g，则m>0.问题转化为当x≥e时，f>g恒成立，即x->，m<x2-lnx，即m<，设h=x2-lnx，h′=2x-，当x≥e时，h′>0恒成立，则函数h在[e，+∞)上单调递增，当x=e时，h有最小值e2-1，故m<e2-1，又m>0，所以0<m<e2-1.11.在焦点分别为F1，F2的双曲线上有一点P，若∠F1PF2=，|PF2|=2|PF1|，则该双曲线的离心率等于( )A.2B.C.3D.【解析】选D.在△F1PF2中，由余弦定理可得cos==，解得|PF1|=c，则|PF2|=c，由双曲线的定义可得|PF2|-|PF1|=c-c=2a，即=.12.若数列{a n}对于任意的正整数n满足：a n>0且a n a n+1=n+1，则称数列{a n}为“积增数列”.已知“积增数列”{a n}中，a1=1，数列{+}的前n项和为S n，则对于任意的正整数n，有( )A.S n≤2n2+3B.S n≥n2+4nC.S n≤n2+4nD.S n≥n2+3n【解析】选D.因为a n>0，所以+≥2a n a n+1.因为a n a n+1=n+1，所以{a n a n+1}的前n项和为2+3+4+…+(n+1)==，所以数列{+}的前n项和S n≥2×=(n+3)n=n2+3n.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.抛物线y2=4x的焦点到双曲线x2-=1的渐近线的距离是________.【解析】抛物线y2=4x的焦点为(1，0)，双曲线x2-=1的渐近线为x±y=0，所以抛物线y2=4x的焦点到双曲线x2-=1的渐近线的距离是=. 答案：14.定义符合条件的有序数对(x，y)为“和谐格点”，则当“和谐格点”的个数为4时，实数a的取值范围是__________.【解析】不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，当“和谐格点”的个数为4时，它们分别是(0，0)，(1，1)，(1，2)，(1，3)，所以a的取值范围是[1，2).答案：[1，2)15.已知△ABC中，AB=3，AC=，点G是△ABC的重心，·=________.【解析】延长AG交BC于点D，则D为BC的中点，·=·=×(+)·(-)=(||2-||2)==-2. 答案：-216.已知函数f(x)满足f(x+1)=-f(x)，且f(x)是偶函数，当x∈[0，1]时，f(x)=x2.若在区间[-1，3]内，函数g(x)=f(x)-kx-k有4个零点，则实数k的取值范围为__________. 【解析】依题意得f(x+2)=-f(x+1)=f(x)，即函数f(x)是以2为周期的函数.g(x)=f(x)-kx-k在区间[-1，3]内有4个零点，即函数y=f(x)与y=k(x+1)的图象在区间[-1，3]内有4个不同的交点.在坐标平面内画出函数y=f(x)的图象(如图所示)，注意到直线y=k(x+1)恒过点(-1，0)，由题及图象可知，当k∈时，相应的直线与函数y=f(x)在区间[-1，3]内有4个不同的交点，故实数k的取值范围是.答案：。
2021-2022年高三数学二轮复习统测卷(四)
2021年高三数学二轮复习统测卷（四）一．填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卷相应的．．．．．．位置上．．．．1．设集合A ＝{x ||x －2|≤2}，B ＝{y |y =－x 2，－1≤x ≤2}，则A ∩B ＝ ▲ ．2．高三⑴班共有56人，学号依次为1，2，3，…，56．现采用系统抽样的办法抽取一个容量为4的样本，已知学号为6，34，48的同学在样本中，那么还有一个同学的学号应为 ▲ ．3．已知复数z 1＝2＋i ，z 2＝3－i ，其中i 是虚数单位，则 复数z 1z 2的实部与虚部之和为 ▲ ．4．某程序框图如图所示, 该程序运行后输出的的值是 ▲ ．5．如图，在中，，，是边的中点，则 ▲ ．6．已知a ＝log 30.5，b ＝30.2，c ＝sin2，则a ，b ，c 按从小到大的排列顺序是 ▲ ．7．若△的内角A 满足，则 ▲ ．8．下列四个命题：①命题“若”的逆否命题为“若，则”； ②若命题p ：“x ∈R ，使得x 2＋x ＋1＜0．”则：“∈R ，x 2＋x ＋1≥0”； ③对于平面向量a ，b ，c ，若a ≠b ，则a ·c ≠b ·c ；④已知u ，v 为实数，向量a ，b 不共线，则u a ＋v b ＝0的充要条件是u ＝v ＝0． 其中真命题有 ▲ （填上所有真命题的序号）．9．如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，且AD//BC ， ，侧棱底面ABCD ，若AB=BC=，则CD 与平面PAC 所成的角为 ▲ ．10．数列1，11＋2，11＋2＋3，…，11＋2＋…＋n的前n 项和为 ▲ ．11．已知抛物线的准线与双曲线相交于两点，且是抛物线的焦点，若是直角三角形，则双曲线的离心率为 ▲ ．12．己知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋2，x ≤0，－x +2，x ＞0，则不等式的解集为 ▲ ．13．实系数方程的两根为、，且，则的取值范围是 ▲ ．14．已知函数f (x )=（a ∈R ），若对于任意的x ∈N*，f (x )≥3恒成立， 则a 的取值范围是 ▲ ．二．解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明．证明过程或演算步骤． 15．（本题满分14分） 如图，平面平面，点E 、F 、O 分别为线段PA 、PB 、AC 的中点，点G 是线段CO 的中点，，．求证：（1）平面； （2）∥平面．16．（本题满分14分）设向量a ＝(1，cos2θ)，b ＝(2，1)，c ＝(4sin θ，1)，d ＝(12sin θ，1)． （1）若θ∈(0，π4)，求a ·b －c ·d 的取值范围；（2）若θ∈[0，π)，函数f (x )＝|x －1|，比较f (a ·b )与f (c ·d )的大小． 17．（本题满分14分）PABCOEFG如图，线段AB=8，点C 在线段AB 上，且AC=2，P 为线段CB 上一动点，点A 绕着C 旋转后与点B 绕点P 旋转后重合于点D ，设的面积为．（1）求x 的取值范围； （2）求f (x )的的最大值．18．（本小题满分15分）已知A (－2，0)，B(2，0)为椭圆C 的左、右顶点，E (1，32)是C 上的一点．F 为C 的右焦点。
2018届高三数学二轮复第三篇多维特色练小题分层练过关练四理
过关练(四)时间:40分钟分值:80分1.已知复数z=a+bi(a,b∈R且ab≠0),且z(1-2i)为实数,则= ( )A.3B.2C.D.2.已知U=R,集合A={x|x2-5x-6<0},B={x|2x<1},则图中阴影部分表示的集合是( )A.{x|2<x<3}B.{x|-1<x≤0}C.{x|0≤x<6}D.{x|x<-1}3.若2sin=3sin (π-θ),则tan θ等于( )A.-B.C.D.24.已知向量a,b,其中|a|=,|b|=2,且(a-b)⊥a,则向量a和b的夹角是( )A. B. C. D.π5.《九章算术》之后,人们学会了用等差数列的知识来解决问题,《张丘建算经》卷上第22题为:“今有女善织,日益功疾(注:从第2天开始,每天比前一天多织相同量的布),第一天织5 尺布,现一月(按30天计)共织390尺布”,则从第2天起每天比前一天多织尺布.( )A. B. C. D.6.某人以15万元买了一辆汽车,此汽车将以每年20%的速度折旧,描述汽车价值变化的程序框图如图所示,则当n=4时,输出的S的值为( )A.9.6B.7.68C.6.144D.4.915 27.在x的展开式中,x的系数为( )A.36B.-36C.84D.-848.某企业生产甲、乙两种产品,已知生产每吨甲产品要用A原料3吨,B原料2吨,生产每吨乙产品要用A原料1吨,B原料3吨,销售每吨甲产品可获得利润5万元,销售每吨乙产品可获得利润3万元.若该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨,B原料不超过18吨,则该企业可获得的最大利润是( )A.12万元B.20万元C.25万元D.27万元9.如图,阴影部分是由四个全等的直角三角形组成的图形,在大正方形内随机取一点,这一点落在小正方形内的概率为,若直角三角形的两条直角边长分别为a,b(a>b),则=( )A. B. C. D.10.已知点A(-2,0),B(2,0),若圆(x-3)2+y2=r2(r>0)上存在点P(不同于点A,B)使得PA⊥PB,则实数r的取值范围是( )A.[3,5]B.(1,3]C.[1,5]D.(1,5)11.正四面体ABCD中,AO⊥平面BCD,垂足为O,设M是线段AO上一点,且∠BMC=90°,则的值为( )A.1B.2C.D.12.设函数f(x)=若互不相等的实数x1,x2,x3满足f(x1)=f(x2)=f(x3),则x1+x2+x3的取值范围是( )A. B.C. D.13.经过点P(-1,2)且与曲线y=3x2-4x+2在点M(1,1)处的切线平行的直线方程为.14.抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点O是坐标原点,过点O、F的圆与抛物线C的准线相切,且该圆的面积为36π,则抛物线方程为.15.在各项均为正数的等比数列{a n}中,已知a2a4=16,a6=32,记b n=a n+a n+1,则数列{b n}的前5项和S5为.16.定义在区间[x1,x2]上的函数y=f(x)的图象为C,M是C上任意一点,O为坐标原点,设向量=(x1,f(x1)),=(x2, f(x2)),=(x,y),且实数λ满足x=λx1+(1-λ)x2,此时向量=λ+(1-λ).若||≤K恒成立,则称函数y=f(x)在区间[x1,x2]上可在标准K下线性近似,其中K是一个确定的实数.已知函数f(x)=x2-2x在区间[1,2]上可在标准K下线性近似,那么K 的最小值是.答案精解精析1.C 由z·(1-2i)为实数,可知z=k(1+2i),k≠0,故==,故选C.2.C 由x2-5x-6<0,解得-1<x<6,所以A={x|-1<x<6}.由2x<1,解得x<0,所以B={x|x<0}.又题图中阴影部分表示的集合为(∁U B)∩A,因为∁U B={x|x≥0},所以(∁U B)∩A={x|0≤x<6},故选C.3.B 由已知得sin θ+cos θ=3sin θ,即2sin θ=cos θ,所以tan θ=.4.A由题意知(a-b)·a=a2-a·b=2-a·b=0,所以a·b=2.设a与b的夹角为θ,则cosθ==,所以θ=,故选A.5.D 由题意知每天的织布量成等差数列,第一天织布量为5尺,30天共织布390尺,设从第2天起,每天比前一天多织d尺布,那么由等差数列的求和公式可得30×5+d=390,解得d=.故选D.6.C 执行程序框图可知,输出的S=15(1-20%)4=6.144,故选C.7.D 的展开式的通项为T r+1=()9-r=(-1)r,令=0,解得r=3,故的展开式中常数项为(-1)3=-84,故x的展开式中,x的系数为-84.8.D 设生产甲产品x吨,乙产品y吨,可获得利润为z万元,则有z=5x+3y,作出可行域,如图中阴影部分所示,当z=5x+3y过点(3,4)时,z取得最大值,即当x=3,y=4时可获得最大利润,z max=5×3+3×4=27万元,故选D.9.B 设小正方形的边长为x,则大正方形的边长为x,a=b+x,b2+a2=5x2=5(a-b)2=5a2+5b2-10ab,化简得2a2+2b2-5ab=0,即(a-2b)(2a-b)=0,因为a>b,所以2b=a,=,故选B.10.D 根据直径所对的圆周角为90°,结合题意可得以AB为直径的圆和圆(x-3)2+y2=r2(r>0)有交点,显然两圆相切时不满足条件,故两圆相交,而以AB为直径的圆的方程为x2+y2=4,两圆的圆心距为3,所以|r-2|<3<|r+2|,解得1<r<5,故选D.11.A 如图,连接OB,设正四面体的棱长为a,则OB=a,MB=a,OA=a,故OM=a=AO,则=1.12.D 作出函数f (x)=的图象,作直线y=a,使它与函数f(x)的图象有三个公共点,设x1<x2<x3,如图,由图可知,x2+x3=2×3=6,又因为-3<3x1+4<4,所以-<x1<0,所以<x1+x2+x3<6,故选D.13.答案2x-y+4=0解析对y=3x2-4x+2求导得y'=6x-4,∴y'|x=1=2,∴所求直线的方程为y-2=2(x+1),即2x-y+4=0.14.答案y2=16x解析设圆心为M(x M,y M),依题意知M在抛物线上,∵圆的面积为36π,∴半径|OM|=6,∴|MF|=x M+=6,∴x M=6-,又|MF|=|MO|,即x M=,∴6-=,解得p=8,∴抛物线方程为y2=16x.15.答案93解析设数列{a n}的公比为q,由=a2a4=16,得a3=4,即a1q2=4,又a6=a1q5=32,解得a1=1,q=2,所以a n=a1q n-1=2n-1,b n=a n+a n+1=2n-1+2n=3·2n-1,所以数列{b n}是首项为3,公比为2的等比数列,所以S5==93.16.答案解析由=λ+(1-λ)可得点N在直线AB上,且N(λx1+(1-λ)x2,λf(x1)+(1-λ)f(x2)),又x=λx1+(1-λ)x2,所以MN与y轴平行.∵f(x)=x2-2x在区间[1,2]上可在标准K下线性近似,∴A(1,-1),B(2,0),则直线AB的斜率k==1,其方程为y=x-2.设M(t,t2-2t),则N(t,t-2),且1≤t≤2,故||=|t-2-(t2-2t)|=-t2+3t-2=-+,因为1≤t≤2,所以当t=时,||取得最大值,所以K≥,故K的最小值为.。
高三数学二轮复习章节过关检测试题
高三数学二轮复习章节过关检测——不等式姓名一、选择题：1.若则下列不等式中不能成立的是（）A B C D2.“”是“”的( )A．充分不必要条件 B.必要不充分条件C．充分必要条件 D.既不充分也不必要条件3.不等式112xx->+的解集是（）A．B．C．D．4.如果实数满足条件则的最大值为（）A．2 B．1 C．-2 D.-35.已知函数则不等式的解集为（）A．B．C．D．6.已知，b都是实数，那么“”是“>b”的（）（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件7.,且，则（）（A）（B）（C）（D）8.若不等式的解集为，则的值（）A B C D9. 图中阴影部分可用哪一组二元一次不等式表示（）A BC D二、填空题：10.若，则的大小关系为 .11.不等式的解集为．12. 已知正数满足，则的最小值是 .高三数学统计、概率过关检测班级_______ 姓名___________ 1、（08山东）从某项综合能力测试中抽取100人的成绩，统计如表，则这100人成绩的标准差为（）。
A． B． C．3 D．52、某校高三年级有男生500人，女生400人，为了解该年级学生的健康情况，从男生中任意抽取25人，从女生中任意抽取20人进行调查，这种抽样方法是（）。
(A)简单随机抽样法(B)抽签法(C)随机数表法 (D)分层抽样法3、为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量，产品数量的分组区间为，，由此得到频率分布直方图如图3，则这20名工人中一天生产该产品数量在的人数是。
4、某公司有1000名员工，下设一些部门，要采用分层抽样方法从全体员工中抽取一个容量为50的样本，已知某部门有200名员工，那么从该部门抽取的人数是。
5、一个骰子连续投2 次，点数和为4 的概率。
6、一个箱内有9张票，其号数分别为1，2，3，……，9，从中任取2张，其号数至少有一个为奇数的概率是。
2021-2022年(新课程)高中数学二轮复习 精选过关检测4 苏教版
2021-2022年（新课程）高中数学二轮复习精选过关检测4 苏教版一、填空题(本题共14小题，每小题5分，共70分)1．过定点P(1,2)的直线在x轴与y轴正半轴上的截距分别为a、b，则4a2＋b2的最小值为________．2．设圆x2＋y2＝1的一条切线与x轴、y轴分别交于点A、B，则线段AB长度的最小值为________．3．已知圆C：(x－2)2＋(y＋1)2＝2，过原点的直线l与圆C相切，则所有切线的斜率之和为________．4．若0≤θ≤π2，当点(1，cos θ)到直线x sin θ＋y cos θ－1＝0的距离是14时，这条直线的斜率为________．5．P为双曲线x29－y216＝1的右支上一点，M、N分别是圆(x＋5)2＋y2＝4和(x－5)2＋y2＝1上的点，则PM－PN的最大值为________．6．双曲线C：x2－y2＝1，若双曲线C的右顶点为A，过A的直线l与双曲线C 的两条渐近线交于P，Q两点，且PA→＝2AQ→，则直线l的斜率为________．7．已知圆O的方程为x2＋y2＝2，圆M的方程为(x－1)2＋(y－3)2＝1，过圆M上任一点P 作圆O的切线PA，若直线PA与圆M的另一个交点为Q，则当弦PQ的长度最大时，直线PA的斜率是________．8．(xx·南通模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0，2)，B(－2,0)，C(1,0)，分别以△ABC的边AB、AC向外作正方形ABEF与ACGH，则直线FH的一般式方程为________．9．(xx·南通模拟)在平面直角坐标系xOy中，过点A1(x1,0)、A2(x2,0)分别作x轴的垂线与抛物线x2＝2y分别交于点A′1、A′2，直线A′1A′2与x轴交于点A3(x3,0)，这样就称x1、x2确定了x3.同样，可由x2、x3确定x4，…，若x1＝2，x2＝3，则x5＝________.10．(xx·无锡模拟)如图所示，直线x ＝2与双曲线C ∶x 24－y 2＝1的渐近线交于E 1，E 2两点，记OE 1→＝e 1，OE 2＝e 2，任取双曲线C 上的点P ，若OP →＝a e 1＋b e 2，则实数a 和b 满足的一个等式是________．11．设F 1、F 2分别是双曲线x 2－y 29＝1的左、右焦点，若点P 在双曲线上，且PF 1→·PF 2→＝0，则|PF 1→＋PF 2→|等于________．12．设P 为直线y ＝b 3a x 与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)左支的交点，F 1是左焦点，PF 1垂直于x 轴，则双曲线的离心率e ＝________.13．已知双曲线x 2－y 2＝1，点F 1，F 2为其两个焦点，点P 为双曲线上一点，若PF 1⊥PF 2，则|PF 1|＋|PF 2|的值为________．14．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左右两焦点分别为F 1，F 2，P 是椭圆C 上的一点，且在x 轴的上方，H 是PF 1上一点，若PF 2→·F 1F 2→＝0，OH →·PF 1→＝0，|OH →|＝λ|OF →|，λ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，12(其中O 为坐标原点)．则椭圆C 离心率e 的最大值为________． 二、解答题(本题共6小题，共90分)15．(本小题满分14分)(xx·南通模拟)在平面直角坐标系xOy 中，设A 、B 是双曲线x 2－y 22＝1上的两点，M (1,2)是线段AB 的中点，线段AB 的垂直平分线与双曲线相交于C 、D 两点．(1)求直线AB 与CD 的方程；(2)判断A 、B 、C 、D 四点是否共圆？若共圆，请求出圆的方程；若不共圆，请说明理由．16．(本小题满分14分)已知椭圆C ：x 2m2＋y 2＝1(常数m ＞1)，P 是曲线C 上的动点，M 是曲线C 的右顶点，定点A 的坐标为(2,0)． (1)若M 与A 重合，求曲线C 的焦点坐标； (2)若m ＝3，求PA 的最大值与最小值；(3)若PA 的最小值为MA ，求实数m 的取值范围．17．(本小题满分14分)(xx·淮阴、海门、天一中学联考)已知椭圆C ∶x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，一条准线l ∶x ＝2. (1)求椭圆C 的方程；(2)设O 为坐标原点，M 是l 上的点，F 为椭圆C 的右焦点，过点F 作OM 的垂线与以OM 为直径的圆D 交于P ，Q 两点． ①若PQ ＝6，求圆D 的方程；②若M 是l 上的动点，求证点P 在定圆上，并求该定圆的方程．18．(本小题满分16分)(xx·南京模拟)在直角坐标系xOy 中，中心在原点O ，焦点在x 轴上的椭圆C 上的点(22，1)到两焦点的距离之和为4 3. (1)求椭圆C 的方程；(2)过椭圆C 的右焦点F 作直线l 与椭圆C 分别交于A ，B 两点，其中点A 在x 轴下方，且AF →＝3FB →.求过O ，A ，B 三点的圆的方程．19．(本小题满分16分)(xx·南通、泰州、扬州调研)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F 1(2,0)，离心率为e . (1)若e ＝22，求椭圆的方程； (2)设A ，B 为椭圆上关于原点对称的两点，AF 1的中点为M ，BF 1的中点为N ，若原点O 在以线段MN 为直径的圆上． ①证明点A 在定圆上；②设直线AB 的斜率为k ，若k ≥3，求离心率e 的取值范围． 20．(本小题满分16分)(xx ·苏州调研)如图，椭圆x 24＋y 23＝1的左焦点为F ，上顶点为A ，过点A 作直线AF 的垂线分别交椭圆、x 轴 于B 、C 两点．(1)若AB →＝λBC →，求实数λ的值；(2)设点P 为△ACF 的外接圆上的任意一点，当△PAB 的面积最大时，求点P 的坐标．参考答案 过关检测(四)1．解析 由题意设x a ＋y b＝1(a ＞0，b ＞0)，过定点P (1,2)，则1a ＋2b＝1，得ab ≥8(当且仅当“2a ＝b ”时取“＝”)，所以4a 2＋b 2≥4ab ≥32(当且仅当“2a ＝b ”时取“＝”)．答案 322．解析 设切线方程为x a ＋y b ＝1，则|ab |a 2＋b2＝1，于是有a 2＋b 2＝a 2b 2≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋b 222，得a 2＋b 2≥4，从而线段AB 长度为a 2＋b 2≥2，其最小值为2.答案 23．解析 依题意，知切线l 的斜率存在，设为k ，则l 的方程为y ＝kx .由|2k ＋1|k 2＋1＝2，得2k 2＋4k －1＝0， 解得k 1＝－1－62，k 2＝－1＋62， 于是，k 1＋k 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－62＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋62＝－2. 答案 －24．解析 d ＝|sin θ＋cos 2θ－1|sin 2θ＋cos 2θ＝|sin θ－sin 2θ|1 ＝sin θ－sin 2θ＝14.即4sin 2θ－4sin θ＋1＝0，∴sin θ＝12.又0≤θ≤22，∴cos θ＝32，∴直线方程为x ＋3y －2＝0. ∴k ＝－33. 答案 －335．解析 设双曲线的两个焦点分别是F 1(－5,0)与F 2(5,0)，则这两点正好是两圆的圆心，当且仅当点P 与M 、F 1三点共线以及P 与N 、F 2三点共线时所求的值最大，此时PM －PN ＝(PF 1＋2)－(PF 2－1)＝6＋3＝9 答案 96．解析 双曲线C ：x 2－y 2＝1的渐近线方程为y ＝±x ，即x ±y ＝0.可以求得A (1,0)，设直线l 的斜率为k ，∴直线l 的方程为y ＝k (x －1)，分别与渐近线方程联立方程组，可以求得P ⎝⎛⎭⎪⎫k k －1，k k －1，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫k k ＋1，－k k ＋1或P ⎝ ⎛⎭⎪⎫k k ＋1，－k k ＋1，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫k k －1，k k －1，利用条件PA →＝2AQ →，可以求得k ＝±3. 答案 ±37．解析 由题意知本题等价于求过圆M ：(x －1)2＋(y －3)2＝1的圆心M (1,3)与圆O ：x 2＋y 2＝2相切的切线的斜率k .设切线l ：y －3＝k (x －1)，l ：kx －y ＋3－k ＝0，由题意知2＝|3－k |1＋k2，k ＝－7或k ＝1.答案 －7或18．解析 易得F (－2,4)，H (2,3)，则直线FH 的方程为x ＋4y －14＝0.答案 x ＋4y －14＝09．解析 设A ′n ⎝ ⎛⎭⎪⎫x n ，12x 2n 、A ′n ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫x n ＋1，12x 2n ＋1，则割线A ′n A ′n ＋1的方程为：y －12x 2n ＝12x 2n ＋1－12x 2nx n ＋1－x n (x－x n )，令y ＝0得x n ＋2＝x n ＋1x n x n ＋1＋x n ，即1x n ＋2＝1x n ＋1＋1x n ，不难得到1x 3＝56，1x 4＝76，1x 5＝2.所以x 5＝12.答案 1210．解析 可求出e 1＝(2,1)，e 2＝(2，－1)，设P (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝x 02a －b ＝y 0，∴[]2a ＋b 24－(a －b )2＝1，∴ab ＝14.答案 ab ＝1411．解析 如图，由PF 1→·PF 2→＝0，可得PF 1→⊥PF 2→，又由向量加法的平行四边形法则可知▱PF 1QF 2 为矩形，因为矩形的对角线相等，故有 |PF 1→＋PF 2→|＝|PQ →|＝2c ＝210. 答案 21012．解析 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝b3ax x 2a 2－y2b 2＝1得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－324a y ＝－24b ，又PF 1垂直于x 轴，所以324a ＝c ，即离心率为e ＝c a ＝324.答案32413．解析 由双曲线的方程可知a ＝1，c ＝2，∴|||PF 1|－|PF 2|＝2a ＝2，∴|PF 1|2－2|PF 1||PF 2|＋|PF 2|2＝4.∵PF 1⊥PF 2，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝(2c )2＝8， ∴2|PF 1||PF 2|＝4，∴(|PF 1|＋|PF 2|)2＝8＋4＝12，∴|PF 1|＋|PF 2|＝2 3. 答案 2 314．解析 由题意知PF 2⊥F 1F 2，OH ⊥PF 1，则有△F 1OH 与△F 1PF 2相似，所以|OH ||OF 1|＝|PF 2||F 1P |＝λ，设F 1(－c,0)，F 2(c,0)，c ＞0，P (c ，y 1)，则有c 2a 2＋y 21b 2＝1，解得y 1＝b 2a ，所以|PF 2|＝y 1＝b 2a.根据椭圆的定义得：|F 1P |＝2a －|PF 2|＝2a －b 2a，∴λ＝b 22a 2－b 2，即b 2a 2＝2λ1＋λ， 所以e 2＝c 2a 2＝1－b 2a 2＝21＋λ－1，显然e 2＝21＋λ－1在⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，12上是单调减函数，当λ＝13时，e 2取最大值12，故e 的最大值为22.答案2215．(1)解 设A (x 1，y 1)，则B (2－x 1,4－y 1)，代入双曲线x 2－y 22＝1得⎩⎪⎨⎪⎧x 21－y 212＝1，2－x 12－4－y 122＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－1，y 1＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝3，y 1＝4，即A 、B 的坐标为(－1,0)、(3,4)，所以AB ：y ＝x ＋1，CD ：y ＝－x ＋3； (2)A 、B 、C 、D 四点共圆，证明如下：证明 由y ＝－x ＋3与x 2－y 22＝1联立方程组可得C 、D 的坐标分别为(－3－25，6＋25)、(－3＋25，6－25)，由三点A 、B 、C 可先确定一个圆(x ＋3)2＋(y －6)2＝40①，经检验D (－3＋25，6－25)适合①式，所以A 、B 、C 、D 四点共圆．16．解 (1)由题意知m ＝2，椭圆方程为x 24＋y 2＝1，c ＝4－1＝3，∴左、右焦点坐标分别为(－3，0)，(3，0)．(2)m ＝3，椭圆方程为x 29＋y 2＝1，设P (x ，y )，则PA 2＝(x －2)2＋y 2＝(x －2)2＋1－x 29＝89⎝ ⎛⎭⎪⎫x －942＋12(－3≤x ≤3)∴当x ＝94时，PA min ＝22；当x ＝－3时，PA max ＝5.(3)设动点P (x ，y )，则PA 2＝(x －2)2＋y 2＝(x －2)2＋1－x 2m2＝m 2－1m 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2m 2m 2－12－4m2m 2－1＋5(－m ≤x ≤m )． ∵当x ＝m 时，PA 取最小值，且m 2－1m2＞0，∴2m 2m 2－1≥m 且m ＞1，解得1＜m ≤1＋ 2. 17．解 (1)由题设：⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝22a 2c ＝2，∴⎩⎨⎧a ＝2c ＝1，∴b 2＝a 2－c 2＝1，∴椭圆C 的方程为：x 22＋y 2＝1.(2)①由(1)知：F (1,0)，设M (2，t )，则圆D 的方程：(x －1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －t 22＝1＋t 24， 直线PQ 的方程：2x ＋ty －2＝0， ∵PQ ＝6，∴2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋t 24－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪2＋t 22－24＋t 22＝6， ∴t 2＝4，∴t ＝±2.∴圆D 的方程：(x －1)2＋(y －1)2＝2或(x －1)2＋(y ＋1)2＝2. ②设P (x 0，y 0)，由①知：⎩⎪⎨⎪⎧x 0－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 0－t 22＝1＋t 242x 0＋ty 0－2＝0，即：⎩⎪⎨⎪⎧x 20＋y 20－2x 0－ty 0＝02x 0＋ty 0－2＝0，消去t 得：x 20＋y 20＝2，∴点P 在定圆x 2＋y 2＝2上．18．解 (1)由题意，设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，则2a ＝43，a ＝2 3.因为点(22，1)在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上，所以812＋1b 2＝1，解得b ＝ 3.所以所求椭圆的方程为x 212＋y23＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(y 1＜0，y 2＞0)． 点F 的坐标为F (3，0)．则AF →＝3FB →，得⎩⎪⎨⎪⎧3－x 1＝3x 2－3，－y 1＝3y 2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－3x 2＋12，y 1＝－3y 2.①又点A ，B 在椭圆C 上，所以⎩⎪⎨⎪⎧－3x 2＋12212＋－3y 223＝1，x 2212＋y223＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝103，y 2＝23.所以B ⎝ ⎛⎭⎪⎫103，23，代入①，得点A 的坐标为(2，－2)．因为OA →·AB →＝0，所以OA ⊥AB .所以过O ，A ，B 三点的圆就是以OB 为直径的圆．其方程为x 2＋y 2－103x －23y ＝0.19．解 (1)由e ＝22，c ＝2，得a ＝22，b ＝2. 所求椭圆方程为x 28＋y 24＝1.(2)设A (x 0，y 0)，则B (－x 0，－y 0)，故M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋22，y 02，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－x 02，－y 02. ①由题意，得OM →·ON →＝0.化简，得x 20＋y 20＝4，所以点A 在以原点为圆心，2为半径的圆上．②设A (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝kx 0，x 20a 2＋y20b 2＝1，x 20＋y 20＝4⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 20a2＋k 2x 20b 2＝1，x 20＋k 2x 20＝4⇒1a 2＋k 2b 2＝14(1＋k 2)． 将e ＝c a ＝2a，b 2＝a 2－c 2＝4e2－4，代入上式整理，得k 2(2e 2－1)＝e 4－2e 2＋1.因为e 4－2e 2＋1＞0，k 2＞0，所以2e 2－1＞0，e ＞22. 所以k 2＝e 4－2e 2＋12e 2－1≥3.化简，得⎩⎪⎨⎪⎧e 4－8e 2＋4≥0，2e 2－1＞0.解之，得12＜e 2≤4－23，22＜e ≤3－1.故离心率的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤22，3－1. 20．解 (1)由条件，得F (－1,0)，A (0，3)，直线AF 的斜率k 1＝ 3.因为AB ⊥AF ， 所以直线AB 的斜率为－33.则直线AB 的方程为y ＝－33x ＋ 3. 令y ＝0，得x ＝3.所以点C 的坐标为(3,0)． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－33x ＋3，x 24＋y 23＝1，得13x 2－24x ＝0，解得x 1＝0(舍)，x 2＝2413. 所以点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2413，5313.因为AB →＝λBC →，所以λ＞0，且λ＝AB BC. 所以λ＝24133－2413＝85.(2)因为△ACF 是直角三角形，所以△ACF 外接圆的圆心为D (1,0)，半径为2. 所以圆D 的方程为(x －1)2＋y 2＝4. 因为AB 是定值，所以当△PAB 的面积最大时，点P 到直线AC 的距离最大． 过点D 作直线AC 的垂线m ，则点P 为直线m 与圆D 的交点，如图所以直线m的方程为y＝3(x－1)．代入圆D的方程，得(x－1)2＋3(x－1)2＝4.所以x＝0，或x＝2(舍)．则点P的坐标为(0，－3)．@839614 9ABE 骾35595 8B0B 謋v37743 936F 鍯920052 4E54 乔,29875 74B3 璳du38721 9741 靁j20499 5013 倓。
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三角函数与解三角形
1.(2017·河南百校联盟质检)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b ＝3，cos A sin B ＋(c －sin A )·cos(A ＋C )＝0.
(1)求角B 的大小；
(2)若△ABC 的面积为32
，求sin A ＋sin C 的值. 解 (1)由cos A sin B ＋(c －sin A )cos(A ＋C )＝0，
得cos A sin B －(c －sin A )cos B ＝0，
即sin(A ＋B )＝c cos B ，sin C ＝c cos B ，sin C c ＝cos B ，
因为sin C c ＝sin B b ， 所以sin B 3
＝cos B ， 即tan B ＝3，又0＜B ＜π，所以B ＝π3
. (2)由S ＝12ac sin B ＝32
，得ac ＝2， 由b ＝3及余弦定理得(3)2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－ac ＝(a ＋c )2－3ac ，
所以a ＋c ＝3，所以sin A ＋sin C ＝sin B b (a ＋c )＝32
. 2.已知函数f (x )＝12sin2ωx cos φ＋cos 2ωx sin φ＋12cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2＋φ(0＜φ＜π)，其图象上相邻两条对称轴之间的距离为π，且过点⎝ ⎛⎭
⎪⎫π6，12. (1)求ω和φ的值；
(2)求函数y ＝f (2x )，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的值域. 解 (1)f (x )＝12sin 2ωx cos φ＋1＋cos 2ωx 2sin φ－12sin φ ＝12(sin 2ωx cos φ＋cos 2ωx sin φ)＝12
sin(2ωx ＋φ). 由题意可知，T ＝2π＝2π|2ω|，则ω＝±12
，
当ω＝12，把点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，12代入f (x )＝12sin(2ωx ＋φ)中，可得φ＝π3
＋2k π，k ∈Z ，而0＜φ＜π，解得φ＝π3
. 当ω＝－12，把点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，12代入f (x )＝12sin(2ωx ＋φ)中，可得φ＝2π3
＋2k π，k ∈Z ，而0＜φ＜π，解得φ＝2π3
. (2)由题可知，当ω＝12，f (2x )＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，0≤x ≤π2，∴π3≤2x ＋π3≤4π3
， 则函数f (2x )的值域为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－34，12. 当ω＝－12时，f (2x )＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋2π3＝12sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2x ＋π3， ∵0≤x ≤π2，∴π3≤2x ＋π3≤4π3，则函数f (2x )的值域为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－34，12.综上，函数f (2x )的值域为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－34，12. 3.(2017·湖南邵阳大联考)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足a ＝1，sin (2A ＋B )sin A
＝2(1－cos C ). (1)求b 的值；
(2)若△ABC 的面积为32
，求c 的值. 解 (1)∵sin(2A ＋B )＝2sin A (1－cos C )，
∴sin[(A ＋B )＋A ]＝2sin A －2sin A cos C ，
sin(A ＋B )cos A ＋cos(A ＋B )sin A ＝2sin A ＋2sin A cos(A ＋B )，
sin(A ＋B )cos A －cos(A ＋B )sin A ＝2sin A ，
∴sin B ＝2sin A ，
由正弦定理得b ＝2a ，又a ＝1，
∴b ＝2.
(2)∵S △ABC ＝12ab sin C ＝12×1×2sin C ＝32
， ∴sin C ＝32，cos C ＝±12
，
当cos C ＝12时，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝1＋4－c 24＝12
，∴c ＝3； 当cos C ＝－12时，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝1＋4－c 24＝－12
，∴c ＝7. 故c ＝3或c ＝7.
4.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，角A ，B ，C 的度数成等差数列，b ＝13.
(1)若3sin C ＝4sin A ，求c 的值；
(2)求a ＋c 的最大值.
解 (1)由角A ，B ，C 的度数成等差数列，得2B ＝A ＋C .
又A ＋B ＋C ＝π，所以B ＝π3
. 由正弦定理，得3c ＝4a ，即a ＝3c 4
. 由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，
即13＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3c 42＋c 2－2×3c 4×c ×12
，解得c ＝4. (2)由正弦定理，得a sin A ＝c sin C ＝b sin B ＝1332＝2133
， 所以a ＝2133sin A ，c ＝2133
sin C . 所以a ＋c ＝2133(sin A ＋sin C )＝2133
[sin A ＋sin(A ＋B )] ＝2133⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin A ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3＝2133⎝ ⎛⎭⎪⎫32
sin A ＋32cos A ＝213sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π6. 由0＜A ＜2π3，得π6＜A ＋π6＜5π6
. 所以当A ＋π6＝π2
， 即A ＝π3
时，(a ＋c )max ＝213. 5.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知向量m ＝()cos A ，cos B ，n ＝()a ，2c －b ，且m ∥n .
(1)求角A 的大小；
(2)若a ＝4，求△ABC 面积的最大值.
解 (1)∵m ∥n ，∴a cos B －()2c －b cos A ＝0，
由正弦定理得sin A cos B －()2sin C －sin B cos A ＝0，
∴sin A cos B ＋sin B cos A ＝2sin C cos A ，
∴sin(A ＋B )＝2sin C cos A ，
由A ＋B ＋C ＝π，得sin C ＝2sin C cos A
由于0＜C ＜π，因此sin C >0，
∴cos A ＝12，由于0＜A ＜π，∴A ＝π3
. (2)由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，
∴16＝b 2＋c 2－bc ≥2bc －bc ＝bc ，
∴bc ≤16，当且仅当b ＝c ＝4时，等号成立，
∴△ABC 面积S ＝12
bc sin A ≤43， ∴△ABC 面积的最大值为4 3.
6.(2017·吉林二调)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭
⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2的部分图象如图所示.
(1)求函数f (x )的解析式；
(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若(2a －c )cos B ＝b cos C ，
求f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫A 2的取值范围. 解 (1)由图象知A ＝1，T ＝4⎝ ⎛⎭
⎪⎫5π12－π6＝π，ω＝2， 将点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，1代入解析式得sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π3＋φ＝1， 因为|φ|＜π2，所以φ＝π6
，
所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2x ＋π6. (2)由(2a －c )cos B ＝b cos C 及正弦定理， 得(2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C . 所以2sin A cos B ＝sin(B ＋C )，
cos B ＝12，B ＝π3，A ＋C ＝2π3
， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π6，0＜A ＜2π3，π6＜A ＋π6＜5π6
， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π6∈⎝ ⎛⎦
⎥⎤12，1， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2的取值范围是⎝ ⎛⎦
⎥⎤12，1.。