九年级数学上册第一章特殊平行四边形单元综合测试北师大版

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555第一章特殊平行四边形

一、选择题(本大题共6小题，共24分)

1．下列关于▱ABCD的叙述中，正确的是()

A．若AB⊥BC，则▱ABCD是菱形

B．若AC⊥BD，则▱ABCD是正方形

C．若AC＝BD，则▱ABCD是矩形

D．若AB＝AD，则▱ABCD是正方形

2．如图△1，在ABC中，D是边BC上的点(与B，C两点不重合)，过点D作DE∥AC，DF ∥AB，分别交AB，AC于E，F两点，下列说法正确的是()

A．若AD⊥BC，则四边形AEDF是矩形

B．若AD垂直平分BC，则四边形AEDF是矩形

C．若BD＝CD，则四边形AEDF是菱形

D．若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形

图1

图2

3．如图2，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，作OE⊥AB，垂足为E，若∠ADC

＝130°，则∠AOE的度数为()

A．75°B．65°C．55°D．50°

4．如图3，P是矩形ABCD的边AD上的一个动点，矩形的两条边AB，BC的长分别为3和4，那么点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是()

624

B. C.D．不确定

A.

2

2

2图3

图4

5．如图4，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，H是AF的中点，那么CH的长是()

3

A．2.5 B.5 C.2D．2

6．如图5，在平面直角坐标系中，四边形OABC是正方形，点A的坐标是(4，0)，P为边AB上一点，∠CPB＝60°，沿CP折叠正方形OABC，折叠后，点B落在平面内的点B′处，则点B′的坐标为()

图5

3

A．(2，23)B．(，2－3)

3

C．(2，4－23)D．(，4－23)

二、填空题(本大题共6小题，共30分)

7．已知菱形的边长为6，一个内角为60°，则菱形的较短对角线的长是________．8．如图6所示，在矩形纸片ABCD中，AB＝2cm，点E在BC上，且AE＝EC.若将纸片沿AE折叠，点B恰好与AC上的点B′重合，则AC＝________cm.

图6

图7

9．如图7所示，若菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝45°，则点D的坐标为________．10．如图8，在正方形ABCD的外侧作等边三角形ADE，则∠BED的度数是________．

图8

图9

11．如图9所示，在四边形A BCD中，对角线AC⊥BD，垂足为O，E，F，G，H分别为AD，AB，BC，CD的中点．若AC＝8，BD＝6，则四边形EFGH的面积为________．

图10

12．如图10，在矩形ABCD中，已知AB＝6，BC＝8，BD的垂直平分线交AD于点E，交BC于点△F，则BOF的面积为________．

三、解答题(共46分)

13．(10分)如图11，E，F是正方形ABCD的对角线AC上的两点，且AE＝CF.

(1)求证：四边形BEDF是菱形；

(2)若正方形ABCD的边长为4，AE＝2，求菱形BEDF的面积．

图11

14．(10分)如图12，已知平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC＝20cm，BD＝12cm，两动点E，F同时以2cm/s的速度分别从点A，C出发在线段AC上相对运动，点E到点C，点F到点A时停止运动．

(1)求证：当点E，F在运动过程中不与点O重合时，以点B，E，D，F为顶点的四边形为平行四边形；

(2)当点E，F的运动时间t为何值时，四边形BEDF为矩形？

图12

15．(12分)如图△13，ABC是以BC为底的等腰三角形，AD是边BC上的高，E，F分别是AB，AC的中点．

(1)求证：四边形AEDF是菱形；

(2)如果四边形AEDF的周长为12，两条对角线的和等于7，求四边形AEDF的面积S.

图13

16．(14分)如图14，四边形ABCD是正方形，E是直线CD上的点，将△ADE沿AE对折得到△AFE，直线EF交边BC于点G，连接AG.

(1)求证：△ABG≌△AFG；

(2)当DE是线段CD的一半时，请你在备用图中利用尺规作图画出符合题意的图形(保留作图痕迹，不写作法)；

(3)在(2)的条件下，求∠EAG的度数．

图14

8 ＝

1．C 2.D 3.B 4.A

5．B ．

6．C

7．6 .

8．4

9．(2＋ 2， 2)

10．45° .

75

11．12 12.

13．解：(1)证明：连接 BD 交 AC 于点 O ，

∵四边形 ABCD 为正方形， ∴BD ⊥AC ，OD ＝OB ＝OA ＝OC . ∵AE ＝CF ，∴OA －AE ＝OC －CF ， 即 OE ＝OF ，

∴四边形 BEDF 为平行四边形，且 BD ⊥EF ， ∴四边形 BEDF 为菱形．

(2)∵正方形 ABCD 的边长为 4，

∴BD ＝AC ＝4

2.

∵AE ＝CF ＝ 2，∴EF ＝AC －2 2＝2

2，

1 1 ∴S 菱形BEDF 2BD ·EF ＝2×4 2×2

2＝8.

14．解：(1)证明：连接 DE ，EB ，BF ，FD .

∴在 △R t

ABD 中，DE ＝ AB ＝AE ，

在 △R t

ACD 中，DF ＝ AC ＝AF .

∵两动点 E ，F 同时以 2 cm/s 的速度分别从点 A ，C 出发在线段 AC 上相对运动，

∴AE ＝CF .

∵平行四边形 ABCD 的对角线 AC ，BD 相交于点 O ， ∴OD ＝OB ，OA ＝OC (平行四边形的对角线互相平分)， ∴OA －AE ＝OC －CF 或 AE －OA ＝CF －OC ，即 OE ＝OF ，

∴四边形 BEDF 为平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形)， 即以点 B ，E ，D ，F 为顶点的四边形是平行四边形．

(2)当点 E 在 OA 上，点 F 在 OC 上，EF ＝BD ＝12 cm 时，四边形 BEDF 为矩形． ∵运动时间为 t ， ∴AE ＝CF ＝2t ， ∴EF ＝20－4t ＝12， ∴t ＝2；

当点 E 在 OC 上，点 F 在 OA 上时，

EF ＝BD ＝12 cm ，EF ＝4t －20＝12，

∴t ＝8.

因此，当点 E ，F 的运动时间 t 为 2 s 或 8 s 时，四边形 BEDF 为矩形． 15．解：(1)证明：∵AD ⊥BC ，E ，F 分别是 AB ，AC 的中点，

1

2

1

2

又∵AB ＝AC ，

∴AE ＝AF ＝DE ＝DF ， ∴四边形 AEDF 是菱形．

(2)如图，∵菱形 AEDF 的周长为 12， ∴AE ＝3.