第17课函数模型及其应用

第17课 函数模型及其应用

一、教学目标

1．能根据实际问题情境建立合理的函数模型；

2．初步运用函数思想，理解和处理现实生活中的简单问题；

二、知识梳理

1．在解决某些应用问题时，通常要用到一些函数模型，它们主要是：一次函数模型、二次函数模型、指数函数模型、对数函数模型、幂函数模型、分式函数模型、分段函数模型等．我们要熟悉这些函数的图象与性质，以便利用它们来解决一些非基本函数的问题．

2．利用函数模型解决实际问题的方法步骤(四步法)：

(1)读题：读懂和深刻理解，译为数学语言，找出主要关系；

(2)建模：把主要关系近似化、形式化，抽象成数学问题；

(3)求解：化归为常规问题，选择合适的数学方法求解；

(4)评价：对结果进行验证或评估，对错误加以调节，最后将结果应用于现实，作出解释或验证．

三、诊断练习

1、教学处理：在讲解例题前由学生完成这4道热身练习题，目的让学生熟悉常见的一些函数模型，另外，对学生生疏的实际背景，如存款问题，适当予以复习和补充．

2、诊断练习点评

题1 某种细胞分裂时，由l 个分裂成2个，2个分裂成4个，… ，一个这样的细胞分裂x 次后，得到的细胞个数y 与x 的函数关系式是____________________．

题2 某人若以每股17．25元购迸股票一万股，一年后以每股18．96元抛售，该年银行月复利率为0．8％，按月计算．为获取最大利润，此人应将钱__________ ．

(填“购买股票”或“存人银行”)．

【分析与点评】 指数函数模型多为增长率问题，在实际问题中，有细胞分裂、银行利率、人口增长等，增长率问题常可以用指数函数模型表示，可以表示为(1)x y N P =+（其中N 为基础数,P 为增长率，x 为时间）的形式．

题3某种商品2009年提价25%,2010年要恢复原价，则应降价_______

【分析与点评】该题是对题2 的一个变形应用，仍属于增长率问题。

题4某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨时，每吨为1.80元，当用水超过4吨时，超过部分每吨3.00元．某月甲、乙两户共交水费y 元，已知甲、乙两户该月用水量分别为5x,3x (吨)．则y 关于x 的函数为___________

【分析与点评】可化归为分段函数模型，注意分段函数的表达形式．

【备选题】已知A 、B 两地相距l50 km ，某人开汽车以60 km ／h 的速度从A 地到达B 地，在B 地停留1 h 后再以50 km ／h 的速度返回A 地，把汽车离开A 地的距离x 表示为时间t 的函数表达式是______________________．

参考答案 60(0 2.5)150(2.5 3.5)15050( 3.5)(3.5 6.5)

t t x t t t ì< ïïï=< íïï--< ïïî 四、范例导析

例1 某企业生产A ，B 两种产品，根据市场调查与预测，A 产品的利润与投资成正比，其关系如图1；B 产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2(注：利润和投资单位：万元)．

(1)分别将A 、B 两种产品的利润表示为投资的函数关系式；

(2)已知该企业已筹集到18万元资金，并将全部投入A ，B 两种产品的生产.

①若平均投入生产两种产品，可获得多少利润？

②问：如果你是厂长，怎样分配这18万元投资，才能使该企业获得最大利润？其最大利润约为多少万元？

【教学处理】可让学生板演，教师点评。

【引导分析与精讲建议】

1、第（1）题在已知图象的基础上，解析式不难求出

2、第（2）题是一个决策分配问题，其转化为数学模型也就是求总利润y ＝14

(18－x )＋2x ，（0≤x ≤18）的 最大值，然后再令x ＝t ，t ∈[0,32]，化为求一个二次函数y ＝14

(－t 2＋8t ＋18)在指定区间上的最大值。 3、正比例、反比例和一次函数、二次函数是高中数学函数中最重要的模型，解决此类问题要根据问题情境建立正确的数学模型，并根据实际情况确定定义域，然后再充分利用基本函数的结论和性质，解决好实际问题

4、在解决二次函数的应用问题时，一定要注意定义域．

例2 为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，新上了把二氧化碳处理转化为一种可利用的化工产品的项目，经测算，该项目月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似地表示为

y ＝⎩⎨⎧ 13x 3－80x 2＋5 040x ，x ∈[120，144)，12x 2－200x ＋80 000，x ∈[144，500]，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为200元，若该项目不获利，国家将给予补偿．

(1)当x ∈[200,300]时，判断该项目能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损？

(2)该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？

【教学处理】可提问学生，先交流探讨，然后学生口答，教师板书。

【引导分析与精讲建议】

1、第（1）题可以用怎样的一个函数模型来描述？获利与否与利润函数有怎样的对应关系？

（1）围绕“利润=收入-投入”建立模型；

（2）由题可知，利润>0则获利，否则即亏损

2、第（2）题，由题意，平均每吨的处理成本=总成本/总处理量，故为分段函数。分段函数如何求最小值？

3、本题的难点是函数模型是一个分段函数，由于月处理量在不同范围内，处理的成本对应的函数解析式也不同，故此类最值的求解必须先求出每个区间内的最值，然后将这些区间内的最值进行比较确定最值．

例3 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y （单位：千克）与销售价格x （单位：元千克）满足关系式210(6)3a y x x =+--，其中36,x a <<为常数，已知销售价格为5元千克时，每日可销售该商品11千克．

（1） 求a 的值；

（2） 若该商品的成本为3元千克，试确定销售价格x 的值，从而使商场每日销售该商品所获得的利

润最大？

【引导分析与精讲建议】

问题1 如何求a ？（读懂相关信息）

问题2 利润怎样表示？高次函数求最值一般采取的方法是什么？