深圳清华实验学校初三数学九年级上册期末试题及答案
广东深圳2023-2024学年上学期九年级数学期末模拟试卷及参考答案
2023-2024学年度第一学期广东省深圳市九年级数学期末模拟试卷一．选择题（共10小题，每题3分，共30分）1. 如图所示的几何体的左视图是（ ）A ．B ．C ．D ．2. 已知23a b =，则b a b −的值是（ ） A ．23 B ．2 C ．13 D ．323 . 小明和小华玩“石头、剪子、布”的游戏．若随机出手一次，则小华获胜的概率是（ ）A ．13B ．23C ．29D ．124. 如图，小东用长2米的竹竿CD 做测量工具，测量学校旗杆的高度AB ，移动竹竿，使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点O ．此时，3OD =米，6DB =米， 则旗杆AB 的高为（ ）米．A ．3B ．4C ．5D ．65. 二次函数y ＝kx 2﹣6x +3的图象与x 轴有两个交点，则k 的取值范围是（ ）A ．k ＜3B ．k ＜3且k ≠0C ．k ≤3D ．k ≤3且k ≠06． 如图，△ABC 的顶点都是正方形网格中的格点，则cos ∠ABC 等于（ ）A B C D．2 37 . 在同一平面直角坐标系中，函数y＝kx﹣k与y＝（k≠0）的图象大致是（）A． B．C． D．8. 一件商品标价100元，连续两次降价后的价格为81元，则两次平均降价的百分率是（）A．10% B．15% C．18% D．20%9.如图，在A处测得点P在北偏东60°方向上，在B处测得点P在北偏东30°方向上，若2AB=米，则点P到直线AB距离PC为（）A．3米B C．2米D．1米10．二次函数y＝ax2+bx+c（其中a，b，c是常数，a≠0），对称轴为直线x＝1，函数图象的一部分如图所示，下列说法中：①b＜0；②2a+b＝0；③b2﹣4ac＞0；④（a+c）2＜b2；⑤3a+c＝0．其中正确的结论有（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个二．填空题（共5小题，每题3分，共15分）11.抛物线2(1)2y x =−+的顶点坐标是_______12 .如图，在Rt ABC 中，9043C AC BC ∠=°==，，，则sin A 的值是 ；13 .一个不透明的袋子中装有4个红球和若干个白球，它们除颜色外其余都相同． 现随机从袋中摸出一个球，若颜色是白色的概率为23，则袋中白球的个数是 _____． 14 .如图，小树AB 在路灯O 的照射下形成的投影为BC ．若树高AB ＝2m ，树影BC ＝3m ，树与路灯的水平距离BP ＝4.5m ．则路灯的高度OP 为 m ．15. 如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC OA 边在x 轴的正半轴上，OC 边在y 轴的正半轴上， 反比例函数()0k y x x=≠的图象与BC 交于点D ，与AB 交于点F ，与OB 交于点G ， 当点G 是OB 的中点时，连接DG ，若DBG △的面积为9，则k=________的三．解答题（共6小题）16 .（1） 解方程：2670x x −−=（2）计算：|﹣4|﹣（π﹣3.14）0（13）﹣1．17 . 某中学积极落实国家“双减”教育政策， 决定增设“礼仪”“陶艺”“园艺”“厨艺”及“编程”等五门校本课程以提升课后服务质量，促进学生全面健康发展．学校面向七年级参与课后服务的部分学生开展了“你选修哪门课程？（要求必须选修一门且只能选修一门）”的随机问卷调查，并根据调查数据绘制了如下两幅不完整的统计图：请结合上述信息，解答下列问题：(1)共有_______名学生参与了本次问卷调查；(2)“陶艺”在扇形统计图中所对应的圆心角是_______度；(3)小刚和小强分别从“礼仪”“陶艺”“编程”这三门校本课程中任选一门，请用列表法或画树状图法求出两人恰好选到同一门课程的概率．18．折叠矩形ABCD ，使点D 落在BC 边上的点F 处，折痕为AE ．(1)求证△ABF ∽△FCE ；(2)若CF ＝4，EC ＝3，求矩形ABCD 的面积．19 .某商店经销一种健身球，已知这种健身球的成本价为每个20元，市场调查发现，该种健身球每天的销售量y （个）与销售单价x （元）有如下关系：()2802040y x x =−+≤≤， 设这种健身球每天的销售利润为w 元．(1)如果销售单价定为25元，那么健身球每天的销售量是 个；(2)求w 与x 之间的函数关系式；(3)该种健身球销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？20．如图，已知()4,A n −，()2,4B −是一次函数y bx b =+的图像和反比例函数m y x=的图像的两个交点．(1)求反比例函数和一次函数的解析式；(2)求AOB 的面积；(3)根据图像直接写出不等式m kx b x+<时x 的解集．21 .如图1，是一款手机支架图片，由底座、支撑板和托板构成．图2是其侧面结构示意图，量得托板长17cm AB =，支撑板长16CD cm =，底座长14cm DE =，托板AB 连接在支撑板顶端点C 处，且7cm CB =，托板AB 可绕点C 转动，支撑板CD 可绕D 点转动．如图2，若7060DCB CDE ∠=°∠=°，．(参考数值sin400.64cos400.77°≈°≈，，tan400.84°≈ 1.73≈)（1）求点C 到直线DE 的距离(精确到0.1cm)；（2）求点A 到直线DE 的距离精确到0.1cm)．22 .如图，在平面直角坐标系中，抛物线24y ax bx +−与x 轴交于点()()2,04,0A B −，，与y 轴交于点C ，点D 为BC 的中点．(1)求该抛物线的函数表达式；+有最小值，求此时点G的坐标；(2)点G是该抛物线对称轴上的动点，若GA GC(3)若点P是第四象限内该抛物线上一动点，求BDP△面积的最大值；2023-2024学年度第一学期广东省深圳市九年级数学期末模拟试卷解析一．选择题（共10小题，每题3分，共30分）1. 如图所示的几何体的左视图是（）A．B． C． D．【答案】D【分析】据简单几何体的三视图的画法可得答案．【详解】解：根据简单几何体的三视图的画法可知，其左视图是中间有一道横虚线的长方形，因此选项D的图形比较符合题意．故选：D．2. 已知23ab=，则b ab−的值是（）A．23B．2 C．13D．32【答案】C【分析】将b ab−变形为1ab−，再代入求值即可．【详解】解：∵23ab=，∴211133b a ab b−=−=−=，故C正确．故选：C．3 .小明和小华玩“石头、剪子、布”的游戏．若随机出手一次，则小华获胜的概率是（）A．13B．23C．29D．12【答案】A【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与小华获胜的情况数，再利用概率公式即可求得答案．【详解】解：画树状图得：∵共有9种等可能的结果，小华获胜的情况数是3种， ∴小华获胜的概率是：39=13． 故选：A ．4. 如图，小东用长2米的竹竿CD 做测量工具，测量学校旗杆的高度AB ，移动竹竿，使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点O ．此时，3OD =米，6DB =米， 则旗杆AB 的高为（ ）米．A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】D 【分析】结合题意，得//CD AB ，则有COD AOB ∽，得AB OB CD OD=，通过计算即可得到答案 【详解】 竹竿CD 和旗杆AB 均垂直于地面，∴//CD AB∴COD AOB ∽∴AB OB CD OD=， ∵3OD =米，6DB =米，2m CD =， ∴3623AB +=， 6AB ∴=米故答案为：D5．二次函数y ＝kx 2﹣6x +3的图象与x 轴有两个交点，则k 的取值范围是（ ）A ．k ＜3B ．k ＜3且k ≠0C ．k ≤3D ．k ≤3且k ≠0【答案】B【分析】根据根的判别式与二次函数的定义列出关于k 的不等式组，求出k 的取值范围即可．【详解】解：∵二次函数y ＝kx 2﹣6x +3的图象与x 轴有两个交点，∴03612000k k k =− ≠≠ ＞＞，即， 解得k ＜3且k ≠0．故选：B ．6．如图，△ABC 的顶点都是正方形网格中的格点，则cos ∠ABC 等于（ ）A B C D ．23【答案】B【详解】由格点可得∠ABC 所在的直角三角形的两条直角边为2，4，∴cos∠ABC=故选：B．7 . 在同一平面直角坐标系中，函数y＝kx﹣k与y＝（k≠0）的图象大致是（）A． B．C． D．【分析】根据k的取值范围，分别讨论k＞0和k＜0时的情况，然后根据一次函数和反比例函数图象的特点进行选择正确答案．【解答】解：①当k＞0时，一次函数y＝kx﹣k经过一、三、四象限，反比例函数的y＝（k≠0）的图象经过一、三象限，故B选项的图象符合要求，②当k＜0时，一次函数y＝kx﹣k经过一、二、四象限，反比例函数的y＝（k≠0）的图象经过二、四象限，没有符合条件的选项．故选：B．8.一件商品标价100元，连续两次降价后的价格为81元，则两次平均降价的百分率是（）A．10% B．15% C．18% D．20%【分析】设平均每次降价的百分率为x，那么第一次降价后的单价是原来的（1﹣x），那么第二次降价后的单价是原来的（1﹣x）2，根据题意列方程解答即可．【解答】解：设平均每次降价的百分率为x，根据题意列方程得：100×（1﹣x ）2＝81，解得x 1＝0.1＝10%，x 2＝1.9（不符合题意，舍去），故选：A ．9. 如图，在A 处测得点P 在北偏东60°方向上，在B 处测得点P 在北偏东30°方向上，若2AB =米，则点P 到直线AB 距离PC 为（ ）A ．3米B C ．2米 D ．1米【答案】B 【分析】设点P 到直线AB 距离PC 为x 米，根据正切的定义用x 表示出AC 、BC ，根据题意列出方程，解方程即可．【详解】解：设点P 到直线AB 距离PC 为x 米，在Rt APC △中，tan PC AC PAC ==∠，在Rt BPC △中，tan PC BC x PBC ==∠，2=，解得，x =)，故选：B ．10． 二次函数y ＝ax 2+bx +c （其中a ，b ，c 是常数，a ≠0），对称轴为直线x ＝1，函数图象的一部分如图所示，下列说法中：①b ＜0；②2a +b ＝0；③b 2﹣4ac ＞0；④（a +c ）2＜b 2；⑤3a +c ＝0．其中正确的结论有（ ）A．2个B．3个C．4个D．5个【分析】由抛物线的开口方向判断a，由抛物线与y轴的交点判断c，根据对称轴的位置判断b及a、b 关系，根据抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所有结论进行逐一判断．【解答】解：①∵开口向下，∴a＜0．对称轴在y轴右边，故．∴b＞0，故①错误．②由图知：对称轴x＝1，即．∴2a+b＝0，故②正确．③抛物线于x轴有两个交点．故2﹣4ac＞0．故③正确．④由图象可知，抛物线与x轴的左交点位于 0 和﹣1 之间，在两个交点之间时，y＞0，当x＝﹣1 时，y＜0，即：a﹣b+c＜0．∴a+c＜b．∴（a+c）2＜b2．故④正确．⑤根据当x＝﹣1 时，y＜0，即：a﹣b+c＜0．由②将b＝﹣2a．代入a﹣b+c＜0．∴3a+c＜0，故⑤错误．故正确的个数为：3个．故选：B．二．填空题（共5小题，每题3分，共15分）11.抛物线2(1)2y x =−+的顶点坐标是_______【答案】（1，2）【答案】D【分析】根据顶点式2()y a x h k =−+，顶点坐标是（h ，k ），即可求解.【详解】∵顶点式2()y a x h k =−+，顶点坐标是（h ，k ）， ∴抛物线2(1)2y x =−+的顶点坐标是（1，2）． 故答案为：（1，2）12 .如图，在Rt ABC 中，9043C AC BC ∠=°==，，，则sin A 的值是 ；【答案】35/0.6 【分析】先根据勾股定理求出AB ，再根据正弦的定义计算即可．【详解】解：在Rt ABC 中，9043C AC BC ∠=°==，，则AB5， ∴3sin 5BC A AB ==， 故答案为：35． 13 .一个不透明的袋子中装有4个红球和若干个白球，它们除颜色外其余都相同． 现随机从袋中摸出一个球，若颜色是白色的概率为23，则袋中白球的个数是 _____． 【答案】8【解析】【分析】设袋中白球的个数为x 个，利用概率=白球数量÷球的总数量，列方程即可解答．【详解】解：设袋中白球的个数为x 个，根据概率=白球数量÷球的总数量，可得方程243x x =+， 解得8x =，经检验，8x =是原方程的解，故答案为：8．14 .如图，小树AB 在路灯O 的照射下形成的投影为BC ．若树高AB ＝2m ，树影BC ＝3m ，树与路灯的水平距离BP ＝4.5m ．则路灯的高度OP 为 m ．【分析】找出相似三角形，利用相似三角形的性质求解即可．【解答】解：∵AB ∥OP ，∴△CAB ∽△COP ，∴＝，∴＝，∴OP ＝＝5（m ），故答案为：5．15. 如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC OA 边在x 轴的正半轴上，OC 边在y 轴的正半轴上， 反比例函数()0k y x x=≠的图象与BC 交于点D ，与AB 交于点F ，与OB 交于点G ， 当点G 是OB 的中点时，连接DG ，若DBG △的面积为9，则k=________的【答案】12【解析】【分析】连接OD ，根据题意以及反比例函数系数k 的几何意义得到1182BOCS k ∆=+，从而表示出矩形的面积，设设,k G m m，则22,k B m m ，最后列出方程2236k m k m ⋅=+求解即可． 【详解】解∶连接OD ，∵矩形OABC 的OA 边在x 轴的正半轴上，OC 边在y 轴的正半轴上，矩形交反比例函数()0k y x x =>于点D 、F ， ∴12COD k S ∆=， ∵点G 是OB 的中点，DBG △的面积为9，∴9DOG DBGS S ∆∆==， ∴18BOD S ∆=， ∴1182BOC S k ∆=+， ∴矩形OABC 的面积为36k +，设,k G m m，则22,k B m m， ∴2236k m k m⋅=+， 解得12k =，故答案为∶12．三．解答题（共6小题）16 .（1） 解方程：2670x x −−=（2）计算：|﹣4|﹣（π﹣3.14）0（13）﹣1． 【答案】（1）x 1=7，x 2=1−（2）9（1）解：原方程可化为：（x-7）（x+1）=0，x-7=0或x+1=0；解得：x 1=7，x 2=1−．(2)解：原式＝4﹣1++3， ＝4﹣1+3+3，＝9．17 . 某中学积极落实国家“双减”教育政策，决定增设“礼仪”“陶艺”“园艺”“厨艺”及“编程”等五门校本课程以提升课后服务质量， 促进学生全面健康发展．学校面向七年级参与课后服务的部分学生开展了“你选修哪门课程？ （要求必须选修一门且只能选修一门）”的随机问卷调查，并根据调查数据绘制了如下两幅不完整的统计图：请结合上述信息，解答下列问题：(1)共有_______名学生参与了本次问卷调查；(2)“陶艺”在扇形统计图中所对应的圆心角是_______度；(3)小刚和小强分别从“礼仪”“陶艺”“编程”这三门校本课程中任选一门，请用列表法或画树状图法求出两人恰好选到同一门课程的概率．【答案】(1)120(2)99(3)小刚和小强两人恰好选到同一门课程的概率为1 3【分析】（1）用“礼仪”的人数除以占比得到总人数；（2）用“陶艺”的人数除以总人数再乘以360°，即可求解；（3）用画树状图法求得概率即可求解．【详解】（1）解：3025%=120÷（人）故答案为：120．（2）“陶艺”在扇形统计图中所对应的圆心角是33360=99 120×°°，故答案为：99．（3）把“礼仪”“陶艺”“编程”三门校本课程分别记为A、B、C共有9种等可能的结果，其中小刚和小强两人恰好选到同一门课程的结果有3种，∴小刚和小强两人恰好选到同一门课程的概率为31 93 =．18．折叠矩形ABCD，使点D落在BC边上的点F处，折痕为AE．(1)求证△ABF∽△FCE；(2)若CF＝4，EC＝3，求矩形ABCD的面积．【答案】(1)见解析(2)矩形ABCD的面积为80【分析】（1）根据矩形的性质和翻折的性质即可证明△ABF∽△FCE．（2）由（1）得△ABF∽△FCE，所以BF ABEC CF=，进而可以解决问题．【详解】（1）证明：由矩形ABCD可得，∠B＝∠C＝∠D＝90°．∴∠BAF+∠AFB＝90°．由折叠得∠AFE＝∠D＝90°．∴∠AFB+∠EFC＝90°．∴∠BAF＝∠EFC．∴△ABF∽△FCE；（2）解：∵CF＝4，EC＝3，∠C＝90°∴EF ＝DE ＝5，∴AB ＝CD ＝8．由（1）得△ABF ∽△FCE ， ∴BF AB EC CF= ∴BF ＝6．∴BC ＝10．∴S ＝AB •CB ＝10×8＝80．19. 某商店经销一种健身球，已知这种健身球的成本价为每个20元，市场调查发现，该种健身球每天的销售量y （个）与销售单价x （元）有如下关系：()2802040y x x =−+≤≤， 设这种健身球每天的销售利润为w 元．(1)如果销售单价定为25元，那么健身球每天的销售量是 个；(2)求w 与x 之间的函数关系式；(3)该种健身球销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？【答案】(1)30(2)221201600w x x =−+−(3)该种健身球销售单价定为30元时，每天的销售利润最大，最大利润是200元【分析】（1）在2080y x =−+中，令25x =，进行计算即可得； （2）根据总利润=每个建生球的利润×销售量即可列出w 与x 之间的函数关系式；（3）结合（2）的函数关系式，根据二次函数性质即可得．【详解】（1）解：在280y x =−+中，令25x =得，2258030y =−×+=， 故答案为：30；（2）解：根据题意得，2(20)(280)21201600w x x x x =−−+=−+−，即w 与x 之间的函数关系式为：221201600w x x =−+−；（3）解：22212016002(30)200w x x x =−+−=−−+， ∵20−<，∴当30x =时，w 取最大值，最大值为200，即该种健身球销售单价定为30元时，每天的销售利润最大，最大利润是200元．20．如图，已知()4,A n −，()2,4B −是一次函数y bx b =+的图像和反比例函数m y x=的图像的两个交点．(1)求反比例函数和一次函数的解析式；(2)求AOB 的面积；(3)根据图像直接写出不等式m kx b x+<时x 的解集． 【答案】(1)8,y x=− 2.y x =−− (2)6(3)40x −＜＜或 2.x ＞【分析】（1）先把()2,4B −代入m y x=求解反比例函数解析式，再求解A 的坐标，再利用待定系数法求解一次函数的解析式即可；（2）先求解C 的坐标，再利用AOB AOC BOC S S S =+△△△，从而可得答案. （3）由m kx b x+<可得：一次函数的图象在反比例函数图象的下方，结合函数图象可得答案.【详解】（1）解：把()2,4B −代入m y x=得： ()248,m xy ==×−=− 所以反比例函数的解析式为：8,y x=− 把()4,A n −代入8,y x=−得2,n = ()4,2,A ∴−把()4,2,A −()2,4B −代入y bx b =+得： 42,24k b k b −+= +=− 解得：1,2k b =− =−所以一次函数的解析式为： 2.y x =−− （2）解：AB 为2,y x =−− 令0,y = 则2,x =− 即()2,0,C −AOB AOC BOC S S S ∴=+112224 6.22=××+××= （3）解：由m kx b x +<可得： 一次函数的图象在反比例函数图象的下方，所以：40x −＜＜或 2.x ＞21 .如图1，是一款手机支架图片，由底座、支撑板和托板构成．图2是其侧面结构示意图，量得托板长17cm AB =，支撑板长16CD cm =，底座长14cm DE =，托板AB 连接在支撑板顶端点C 处，且7cm CB =，托板AB 可绕点C 转动，支撑板CD 可绕D 点转动．如图2，若7060DCB CDE ∠=°∠=°，．(参考数值sin400.64cos400.77°≈°≈，，tan400.84°≈ 1.73≈)（1）求点C 到直线DE 的距离(精确到0.1cm)；（2）求点A 到直线DE 的距离(精确到0.1cm)．【答案】（1）点C 到直线DE 的距离约为13.8cm（2）点A 到直线DE 的距离约为21.5cm【解析】【分析】（1）如图2，过点C 作CN DE ⊥，垂足为N ，然后根据三角函数可得sin CNCDN CD∠=，即·sin CN CD CDN ∠＝，最后将已知条件代入即可解答；（2）如图2，过A 作AM DE ⊥，交DE 的延长线于点M ，过点C 作CF AM ⊥，垂足为F ，再说明Rt ACF 中，9040AFC A ∠=°∠=°，，10cm AC =，然后根据三角函数和线段的和差即可解答．【小问1详解】解：如图2，过点C 作CN DE ⊥，垂足为N由题意可知，16cm 60CD CDE =∠=°，， 在Rt CDN △中， sin CNCDN CD∠=，∴·sin 1613.8cm CN CD CDN ∠==＝＝． 答：点C 到直线DE 的距离约为13.8cm ．【小问2详解】解：如图2，过A 作AM DE ⊥，交DE 的延长线于点M ，过点C 作CF AM ⊥，垂足为F ， ∴CN FM CN FM =，∥在Rt ACF 中，90703040AFC A BCN ∠=°∠=∠=°−°=°，，17710cm AC AB BC =−=−=， ∴·cos40100.777.7cm AF AC =°≈×≈， ∴7.713.821.5cm AM AF FM =+=+=．答：点A 到直线DE 的距离约为21.5cm ．22 .如图，在平面直角坐标系中，抛物线24y ax bx +−与x 轴交于点()()2,04,0A B −，，与y 轴交于点C ，点D 为BC 的中点．(1)求该抛物线的函数表达式；(2)点G 是该抛物线对称轴上的动点，若GA GC +有最小值，求此时点G 的坐标；(3)若点P 是第四象限内该抛物线上一动点，求BDP △面积的最大值；【答案】(1)2142y x x =−− (2)()1,3−(3)BDP △面积的最大值为2【分析】（1）利用待定系数法求出二次函数解析式即可；（2）根据对称轴得出当点G 正好在直线BC 与抛物线对称轴的交点上时GA GC +最小，求出直线BC 的解析式4y x =−，求出抛物线的对称轴为直线1x =，把1x =代入4y x =−求出点G 的坐标即可；（3）连接PC ，过点P 作PQ y ∥轴，交BC 于点Q ，根据点D 是BC 的中点，得出12BDP PBC S S = ，当PBC 面积最大时，BDP △面积最大，设21,42 −−P m m m ，则(),4Q m m −，用m 表示出PBC S ，求出其最大值，即可得出答案．【详解】（1）解：把()()2,04,0A B −，代入抛物线24y ax bx +−得：424016440a b a b −−= +−=， 解得：121a b = =− ， ∴抛物线的函数表达式为2142y x x =−−； （2）解：∵点G 是该抛物线对称轴上的动点，∴GA GB =，∴GA GC GB GC +=+，∴当点G 正好在直线BC 与抛物线对称轴的交点上时GA GC +最小，把0x =代入2142y x x =−−得：4y =−， ∴点C 的坐标为：()0,4−，设直线BC 的解析式为：()40y kx k =−≠， 把()4,0B 代入得：044k =−，解得：1k =，∴ 直线BC 的解析式为：4y x =−， 抛物线的对称轴为直线11122x −=−=×， 把1x =代入4y x =−得：143y =−=−， ∴点G 的坐标为：()1,3−；（3）解：连接PC ，过点P 作PQ y ∥轴，交BC 于点Q ，如图所示：∵点D 是BC 的中点， ∴12BDP PBC S S = ， ∴当PBC 面积最大时，BDP △面积最大， 设()21,4042P m m m m −−<<，则(),4Q m m −， 221144222PQ m m m m m =−−++=−+， 142PBC S PQ =× 21222m m =×−+24m m =−+()224m =−−+， ∴当2m =时，PBC 面积取最大值4，∴BDP △面积的最大值为1422×=．。
清华附中版九年级数学上册 期末复习卷(含答案) 精选试题及答案
北师大版九年级数学上册期末复习卷（时间90分钟 满分120分）一、选择题（共10小题，3*10=30） 1．如图放置的几何体的左视图是( )2．用配方法解一元二次方程x 2＋4x －3＝0时，原方程可变形为( ) A ．(x ＋2)2＝1 B ．(x ＋2)2＝7 C ．(x ＋2)2＝13 D ．(x ＋2)2＝193．如图，正方形OABC 与正方形ODEF 是位似图形，O 为位似中心，相似比为1∶2，点A 的坐标为(1，0)，则点E 的坐标为( )A ．(2，0) B.⎝⎛⎭⎫32，32 C ．(2，2) D ．(2，2)4．小明在测量楼高时，先测出楼房落在地面上的影长BA 为15米(如图)，然后在A 处树立一根高2米的标杆，测得标杆的影长AC 为3米，则楼高为( )A ．10米B ．12米C ．15米D ．22.5米 5．若反比例y ＝2k －1x的图象经过第一、三象限，则k 的取值范围是( ) A ．k>12B ．k<12C ．k≥12D ．k≤126. 如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，∠ADE ＝∠EFC ，AD BD ＝53，CF ＝6，则DE 的长为( )A．6 B．8 C．10 D．127．如图，在△ABC中，AD，BE是两条中线，则S△EDC∶S△ABC等于()A．1∶2 B．2∶3 C．1∶3 D．1∶48．如图，在菱形纸片ABCD中，∠A＝60°，P为AB的中点，折叠该纸片使点C落在点C′处，且点P在DC′上，折痕为DE，则∠CDE的度数为()A．30° B．40° C．45° D．60°9．如图，A，B两点在反比例函数y＝k1x的图象上，C，D两点在反比例函数y＝k2x的图象上，AC⊥y轴于点E，BD⊥y轴于点F，AC＝2，BD＝1，EF＝3，则k1－k2的值是()A．6 B．4 C．3 D．210．如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP，CP的延长线分别交AD于点E，F，连接BD，DP，BD与CF相交于点H，给出下列结论：①BE＝2AE；②△DFP∽△BPH；③△PFD∽△PDB；④DP2＝PH·PC.其中正确的是()A．①②③④B．②③C．①②④D．①③④11．写出一个两实根之和为－5的一元二次方程，它可以是_______________．12. 将抛物线y＝x2－2x＋3沿y轴向上平移2个单位长度，所得抛物线的表达式为_________________ .13．若关于x的一元二次方程(k－1)x2＋2x－2＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_______________________________________________．14．)一个不透明的口袋中有三个完全相同的小球，它们的标号分别为1，2，3，随机摸出一个小球然后放回，再随机摸出一个小球，则两次摸出的小球标号相同的概率是__________．15．已知三角形纸片(△ABC)中，AB＝AC＝5，BC＝8，将三角形按照如图所示的方式折叠，使点B落在直线AC上，记为点B′，折痕为EF.若以点B′，F，C为顶点的三角形与△ABC相似，则BF的长度是________．16．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，P为AD上一点，将△ABP沿BP翻折至△EBP，PE与CD相交于点O，BE与CD相交于点G，且OE＝OD，则AP的长为__ __．17．以矩形ABCD两条对角线的交点O为坐标原点，以平行于两边的方向为坐标轴，建立如图所示的平面直角坐标系，BE⊥AC，垂足为E.若双曲线y＝32x(x>0)经过点D，则OB·BE的值为_______.18．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，点P是AD上的动点，PE⊥AC于点E，PF ⊥BD于点F，则PE＋PF的值为__ __．19．(8分) 如图，画出下图中物体的三视图．20．(8分) 如图，点E，F分别在菱形ABCD的边DC，DA上，且CE＝AF.求证：∠ABF＝∠CBE.21．(8分) 在一个不透明的布袋里装有4个分别标有数字1，2，3，4的小球，它们除所标数字外其他完全相同，小明从布袋里随机取出1个小球，记下数字为x，小红在剩下的3个小球中随机取出1个小球，记下数字为y.(1)计算由x，y确定的点(x，y)在函数y＝－x＋5的图象上的概率；(2)小明和小红约定做一个游戏，其规则为：若x，y满足xy＞6，则小明胜，若x，y满足xy ＜6，则小红胜，这个游戏公平吗？请说明理由．若不公平，请写出公平的游戏规则．22．(10分) 某商店购进600个旅游纪念品，进价为每个6元，第一周以每个10元的价格售出200个，第二周若按每个10元的价格销售仍可售出200个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售(根据市场调查，单价每降低1元，可多售出50个，但售价不得低于进价)，单价降低x元销售．销售一周后，商店对剩余旅游纪念品清仓处理，以每个4元的价格全部售出．如果这批旅游纪念品共获利1 250元，则第二周每个旅游纪念品的销售价格为多少元？23．(10分) 如图，在四边形ABCD中，∠BAC＝90°，E是BC的中点，AD∥BC，AE∥DC，EF⊥CD于点 F.(1)求证：四边形AECD是菱形；(2)若AB＝6，BC＝10，求EF的长．24．(10分) 如图，一次函数y1＝kx＋b和反比例函数y2＝mx的图象交于A，B两点．(1)求一次函数y1＝kx＋b和反比例函数y2＝mx的表达式；(2)观察图象，当y1＜y2时，x的取值范围为________________；(3)求△OAB的面积．25．(12分) 如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F是边AD上的点，且AE＝EF＝FD，连接BE，BF，使它们分别与AO相交于点G，H.(1)求EG∶BG的值；(2)求证：AG＝OG；(3)设AG＝a，GH＝b，HO＝c，求a∶b∶c的值．参考答案1-5CBCAA 6-10CDCDC 11. x 2＋5x －1＝0 12. y ＝(x －1)2＋4 13.k ＞12且k≠114.13 15．4或401316. 4.8 17. 3 18. 2.419. 解：如图所示。
广东省深圳市九年级(上)期末数学试卷(含解析)
3广东省深圳市九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分，每小题给出 4 个选项，其中只有一个是正确的）1．（3 分）如图，墨水瓶的瓶盖和瓶身都是圆柱形，则它的俯视图是（）A ．B ．C ．D ．2．（3 分）下列所给各点中，反比例函数 y ＝ 的图象经过的是（）A ．（﹣2，4）B ．（﹣1，﹣8）C ．（﹣4，2）D ．（3，5）3．（3 分）某时刻，测得身高 1.8 米的人在阳光下的影长是 1.5 米，同一时刻，测得某旗杆的影长为 12 米，则该旗杆的高度是（）A ．10 米B ．12 米C ．14.4 米D ．15 米4．（3 分）已知 x ＝1 是一元二次方程 x 2+mx ﹣2＝0 的一个解，则 m 的值是（）A ．1B ．﹣1C ．2D ．﹣25．（3 分）如果两个相似三角形的对应边上的高之比为 1： ，则两三角形的面积比为（ ）A ．2：3B ．1：3C ．1：9D ．1：6．（3 分）甲袋里有红、白两球，乙袋里有红、红、白三球，两袋的球除颜色不同外都相同，分别往两袋里任摸一球，则同时摸到红球的概率是（）A ．B ．C ．D ．7．（3 分）如图，将△ABC 放在每个小正方形的边长为 1 的网格中，点 A ，B ，C 均在格点上，则 tanC 的值是（ ）A．2B．C．1D．8．（3分）如图，l1∥l2∥l3，直线a，b与11、l2、l3分别相交于A、B、C和点D、E、F，若＝，DE＝6，则EF的长是（）A．9B．10C．2D．159．（3分）已知关于x的方程ax2+2x﹣2＝0有实数根，则实数a的取值范围是（）A．a≥﹣B．a≤﹣C．a≥﹣且a≠0D．a＞﹣且a≠0 10．（3分）某商品原价为100元，第一次涨价40%，第二次在第一次的基础上又涨价10%，设平均每次增长的百分数为x，那么x应满足的方程是（）A．x＝B．100（1+40%）（1+10%）＝（1+x）2C．（1+40%）（1+10%）＝（1+x）2D．（100+40%）（100+10%）＝100（1+x）211．（3分）如图是二次函数y＝ax2+b x+c（a≠0）的图象，根据图象信息，下列结论错误的是（）A．abc＜0B．2a+b＝0C．4a﹣2b+c＞0D．9a+3b+c＝0 12．（3分）如图，A、C是反比例函数y＝（x＞0）图象上的两点，B、D是反比例函数y＝（x＞0）图象上的两点，已知AB∥CD∥y轴，直线AB、CD分别交x轴于E、F，根据图中信息，下列结论正确的有（）①DF＝；②＝﹣；③；④A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分）13．（3分）二次函数y＝x2﹣4x+4的顶点坐标是．14．（3分）如图，O是坐标原点，菱形OABC的顶点A的坐标为（3，4），顶点C在x 轴的正半轴上，则∠AOC的角平分线所在直线的函数关系式为．15．（3分）如图，大楼底右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一栋小楼DE，在小楼的顶端D处测得障碍物边缘点C的俯角为30°，测得大楼顶端A的仰角为45°（点B，C，E在同一水平直线上）．已知AB＝40m，DE＝10m，则障碍物B，C两点间的距离为m．（结果保留根号）16．（3分）如图，点E是矩形ABCD的一边AD的中点，BF⊥CE于F，连接AF；若AB ＝4，AD＝6，则sin∠AFE＝．三、解答题（本题共7小题，其中第17题5分，第18题6分，第19题7分，第20题8分，第21题8分，第22题9分，第23题9分，共52分）17．（5分）计算：tan45°﹣tan260°+sin30°﹣cos30°．18．（6分）解方程：2（x﹣3）2＝x﹣3．19．（7分）如图，四张正面分别写有1、2、3、4的不透明卡片，它们的背面完全相同，现把它们洗匀，背面朝上放置后，开始游戏．游戏规则如下：连摸三次，每次随机摸出一张卡片，并翻开记下卡片上的数字，每次摸出后不放回，如果第三次摸出的卡片上的数字，正好介于第一、二次摸出的卡片上的数字之间，则游戏胜出，否则，游戏失败．问：（1）若已知小明第一次摸出的数字是4，第二次摸出的数字是2，在这种情况下，小明继续游戏，可以获胜的概率为．（2）若已知小明第一次摸出的数字是3，求在这种情况下，小明继续游戏，可以获胜的概率（要求列表或用树状图求）20．（8分）如图，E、F是正方形ABCD对角线AC上的两点，且AE＝EF＝FC，连接BE、DE、BF、DF．（1）求证：四边形BEDF是菱形：（2）求tan∠AFD的值．21．（8分）某商场购进一种每件价格为90元的新商品，在商场试销时发现：销售单价x （元/件）与每天销售量y（件）之间满足如图所示的关系．（1）求出y与x之间的函数关系式；（2）写出每天的利润W与销售单价x之间的函数关系式，并求出售价定为多少时，每天获得的利润最大？最大利润是多少？22．（9分）如图，点P是反比例函数y＝﹣（x＜0）图象上的一动点，P A⊥x轴于点A，在直线y＝x上截取OB＝P A（点B在第一象限），点C的坐标为（﹣2，2），连接AC、BC、OC．（1）填空：OC＝，∠BOC＝；（△2）求证：AOC∽△COB；（3）随着点P的运动，∠ACB的大小是否会发生变化？若变化，请说明理由，若不变，则求出它的大小．23．（9分）如图，抛物线交x轴于A、B两点（点A在点B的左边），交y轴于点C，直线y＝﹣x+3经过点C与x轴交于点D，抛物线的顶点坐标为（2，4）．（1）请你直接写出CD的长及抛物线的函数关系式；（2）求点B到直线CD的距离；（3）若点P是抛物线位于第一象限部分上的一个动点，则当点P运动至何处时，恰好使∠PDC＝45°？请你求出此时的P点坐标．参考答案与试题解析一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分，每小题给出4个选项，其中只有一个是正确的）1．（3分）如图，墨水瓶的瓶盖和瓶身都是圆柱形，则它的俯视图是（）A．B．C．D．【分析】直接利用俯视图即从物体的上面往下看，进而得出视图．【解答】解：墨水瓶的瓶盖和瓶身都是圆柱形，则它的俯视图是：．故选：A．【点评】此题主要考查了简单组合体的三视图，注意观察角度是解题关键．2．（3分）下列所给各点中，反比例函数y＝的图象经过的是（）A．（﹣2，4）B．（﹣1，﹣8）C．（﹣4，2）D．（3，5）【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征进行判断．【解答】解：∵﹣2×4＝﹣8，﹣4×2＝﹣8，3×5＝15，﹣1×（﹣8）＝8，∴点（﹣1，﹣8）在反比例函数y＝的图象经上．故选：B．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y＝（k为常数，k ≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k．3．（3分）某时刻，测得身高1.8米的人在阳光下的影长是1.5米，同一时刻，测得某旗杆的影长为12米，则该旗杆的高度是（）A．10米B．12米C．14.4米D．15米【分析】在同一时刻，物体的实际高度和影长成比例，据此列方程即可解答．3【解答】解：∵同一时刻物高与影长成正比例．∴1.8：1.5＝旗杆的高度：12∴旗杆的高度为 14.4 米故选：C ．【点评】本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出旗杆的高度，体现了方程的思想．4．（3 分）已知 x ＝1 是一元二次方程 x 2+mx ﹣2＝0 的一个解，则 m 的值是（）A ．1B ．﹣1C ．2D ．﹣2【分析】把 x ＝1 代入方程 x 2+mx ﹣2＝0 得到关于 m 的一元一次方程，解之即可．【解答】解：把 x ＝1 代入方程 x 2+mx ﹣2＝0 得：1+m ﹣2＝0，解得：m ＝1，故选：A ．【点评】本题考查了一元二次方程的解，正确掌握代入法是解题的关键．5．（3 分）如果两个相似三角形的对应边上的高之比为 1： ，则两三角形的面积比为（ ）A ．2：3B ．1：3C ．1：9D ．1：【分析】根据对应高的比等于相似比，相似三角形的面积比等于相似比的平方解答．【解答】解：∵相似三角形对应高的比等于相似比，∴两三角形的相似比为 1：3，∴两三角形的面积比为 1：9．故选：C ．【点评】本题考查对相似三角形性质的理解，相似三角形对应高的比等于相似比．6．（3 分）甲袋里有红、白两球，乙袋里有红、红、白三球，两袋的球除颜色不同外都相同，分别往两袋里任摸一球，则同时摸到红球的概率是（）A ．B ．C ．D ．【分析】先求出任摸一球的组合情况总数，再求出同时摸到红球的数目，利用概率公式计算即可．【解答】解：分别往两袋里任摸一球的组合有 6 种：红红，红红，红白，白红，白红，白白；其中红红的有 2 种，所以同时摸到红球的概率是＝．故选：A．【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．7．（3分）如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，则tanC的值是（）A．2B．C．1D．【分析】在直角三角形ACD中，根据正切的意义可求解．【解答】解：如图在RtACD中，tanC＝，故选：B．【点评】本题考查锐角三角函数的定义．将角转化到直角三角形中是解答的关键．8．（3分）如图，l1∥l2∥l3，直线a，b与11、l2、l3分别相交于A、B、C和点D、E、F，若＝，DE＝6，则EF的长是（）A．9B．10C．2D．15△b 2 【分析】根据平行线分线段成比例可得 ＝ ，代入计算即可解答．【解答】解：∵l 1∥l 2∥l 3，∴＝ ，即 ＝ ，解得：DF ＝15，∴EF ＝15﹣6＝9．故选：A ．【点评】本题主要考查平行线分线段成比例，掌握平行线分线段所得线段对应成比例是解题的关键．9．（3 分）已知关于 x 的方程 ax 2+2x ﹣2＝0 有实数根，则实数 a 的取值范围是（）A ．a ≥﹣B ．a ≤﹣C ．a ≥﹣ 且 a ≠0D ．a ＞﹣ 且 a ≠0 【分析】当 a ≠0 时，是一元二次方程，根据根的判别式的意义得＝△22﹣4a ×（﹣2）＝4（1+2a ）≥0，然后解不等式；当 a ＝0 时，是一元一次方程有实数根，由此得出答案即可．【解答】解：当 a ≠0 时，是一元二次方程，∵原方程有实数根，∴ ＝△22﹣4a ×（﹣2）＝4（1+2a ）≥0，∴a ≥﹣ ；当 a ＝0 时，2x ﹣2＝0 是一元一次方程，有实数根．故选：A ．【点评】本题考查了一元二次方程 ax 2+b x +c ＝0（a ≠0，a ，b ，c 为常数）的根的判别式＝﹣4△ac．当 ＞△0，方程有两个不相等的实数根；当 ＝0，方程有两个相等的实数 根；当 ＜△0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．进行分类讨论是解题的关键．10．（3 分）某商品原价为 100 元，第一次涨价 40%，第二次在第一次的基础上又涨价 10%，设平均每次增长的百分数为 x ，那么 x 应满足的方程是（）A ．x ＝B ．100（1+40%）（1+10%）＝（1+x ）2C ．（1+40%）（1+10%）＝（1+x ）2D．（100+40%）（100+10%）＝100（1+x）2【分析】设平均每次增长的百分数为x，根据“某商品原价为100元，第一次涨价40%，第二次在第一次的基础上又涨价10%”，得到商品现在的价格，根据“某商品原价为100元，经过两次涨价，平均每次增长的百分数为x”，得到商品现在关于x的价格，整理后即可得到答案．【解答】解：设平均每次增长的百分数为x，∵某商品原价为100元，第一次涨价40%，第二次在第一次的基础上又涨价10%，∴商品现在的价格为：100（1+40%）（1+10%），∵某商品原价为100元，经过两次涨价，平均每次增长的百分数为x，∴商品现在的价格为：100（1+x）2，∴100（1+40%）（1+10%）＝100（1+x）2，整理得：（1+40%）（1+10%）＝（1+x）2，故选：C．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程和有理数的混合运算，正确找出等量关系，列出一元二次方程是解题的关键．11．（3分）如图是二次函数y＝ax2+b x+c（a≠0）的图象，根据图象信息，下列结论错误的是（）A．abc＜0B．2a+b＝0C．4a﹣2b+c＞0D．9a+3b+c＝0【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案．【解答】解：（A）由图象可知：a＜0，c＞0，对称轴x＝＞0，∴b＞0，∴abc＜0，故A正确；（B）由对称轴可知：＝1，∴2a+b＝0，故正确；（C）当x＝﹣2时，y＜0，∴4a﹣2b+c＜0，故C错误；（D）（﹣1，0）与（3，0）关于直线x＝1对称，∴9a+3b+c＝0，故D正确；故选：C．【点评】本题考查二次函数，解题的关键熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于中等题型．12．（3分）如图，A、C是反比例函数y＝（x＞0）图象上的两点，B、D是反比例函数y＝（x＞0）图象上的两点，已知AB∥CD∥y轴，直线AB、CD分别交x轴于E、F，根据图中信息，下列结论正确的有（）①DF＝；②＝﹣；③；④A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】设E（a，0），F（b，0），由A、B、C纵横坐标积等于k可确定a，b的数量关系，从而说明各个结论的正误．【解答】解：设E（a，0），F（b，0），则3a＝b＝k1，﹣4a＝﹣DF•b＝k2，∴DF＝，，故①②正确；∵∴③正确；∵∴④正确，，，故选：D．【点评】本题考查反比例函数的图象和性质，理解运用k的几何意义是解答此题的关键．二、填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分）13．（3分）二次函数y＝x2﹣4x+4的顶点坐标是（2，0）．【分析】先把一般式配成顶点式，然后利用二次函数的性质解决问题．【解答】解：∵y＝x2﹣4x+4＝（x﹣2）2，∴抛物线的顶点坐标为（2，0）．故答案为（2，0）．【点评】本题考查了二次函数的性质：熟练掌握二次函数的顶点坐标公式，对称轴方程和二次函数的增减性．14．（3分）如图，O是坐标原点，菱形OABC的顶点A的坐标为（3，4），顶点C在x 轴的正半轴上，则∠AOC的角平分线所在直线的函数关系式为y＝．【分析】延长BA交y轴于D，则BD⊥y轴，依据点A的坐标为（3，4），即可得出B （8，4），再根据∠AOC的角平分线所在直线经过点B，即可得到函数关系式．【解答】解：如图所示，延长BA交y轴于D，则BD⊥y轴，∵点A的坐标为（3，4），∴AD＝3，OD＝4，∴AO＝AB＝5，∴BD＝3+5＝8，∴B（8，4），设∠AOC的角平分线所在直线的函数关系式为y＝kx，∵菱形OABC中，∠AOC的角平分线所在直线经过点B，∴4＝8k，即k＝，∴∠AOC的角平分线所在直线的函数关系式为y＝x，故答案为：y＝x．【点评】此题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征以及菱形的性质的运用，正确得出B点坐标是解题关键．15．（3分）如图，大楼底右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一栋小楼DE，在小楼的顶端D处测得障碍物边缘点C的俯角为30°，测得大楼顶端A的仰角为45°（点B，C，E在同一水平直线上）．已知AB＝40m，DE＝10m，则障碍物B，C两点间的距离为（30﹣10）m．（结果保留根号）【分析】过点D作DF⊥AB于点F，过点C作CH⊥DF于点H，则DE＝BF＝CH＝10m，根据直角三角形的性质得出DF的长，在△Rt CDE中，利用锐角三角函数的定义得出CE 的长，根据BC＝BE﹣CE即可得出结论．【解答】解：过点D作DF⊥AB于点F，过点C作CH⊥DF于点H．则DE＝BF＝CH＝10m，在△Rt ADF中，AF＝AB﹣BF＝30m，∠ADF＝45°，∴DF＝AF＝30m．在△Rt CDE中，DE＝10m，∠DCE＝30°，∴CE＝＝＝10（m），∴BC＝BE﹣CE＝（30﹣10）m．答：障碍物B，C两点间的距离为（30﹣10）m．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．16．（3分）如图，点E是矩形ABCD的一边AD的中点，BF⊥CE于F，连接AF；若AB ＝4，AD＝6，则sin∠AFE＝．【分析】延长CE交BA的延长线于点△G，由题意可证AGE≌△DCE，可得AG＝CD＝4，根据直角三角形的性质可得∠AFE＝∠AGF，由勾股定理可求CG＝10，即可求sin∠AFE的值．【解答】解：延长CE交BA的延长线于点G，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AB＝CD＝4，AD＝BC＝6，∴∠G＝∠GCD，且AE＝DEA，∠AEG＝∠DEC∴△AGE≌△DCE（AAS）∴AG＝CD＝4，∴AG＝AB，且BF⊥GF，∴AF＝AG＝AB＝4∴∠AFE＝∠AGF，∵BG＝AG+AB＝8，BC＝6∴GC＝＝10∴sin∠AFE＝sin∠AGF＝＝故答案为：【点评】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，锐角三角函数等知识，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键．三、解答题（本题共7小题，其中第17题5分，第18题6分，第19题7分，第20题8分，第21题8分，第22题9分，第23题9分，共52分）17．（5分）计算：tan45°﹣tan260°+sin30°﹣cos30°．【分析】利用特殊角的三角函数值求解即可【解答】解：原式＝1﹣+﹣•＝1﹣3+﹣＝﹣3【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题的关键．18．（6分）解方程：2（x﹣3）2＝x﹣3．【分析】方程移项后，利用因式分解法求出解即可．【解答】解：方程移项得：2（x﹣3）2﹣（x﹣3）＝0，分解因式得：（x﹣3）（2x﹣7）＝0，可得x﹣3＝0或2x﹣7＝0，解得：x1＝3，x2＝3.5．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．19．（7分）如图，四张正面分别写有1、2、3、4的不透明卡片，它们的背面完全相同，现把它们洗匀，背面朝上放置后，开始游戏．游戏规则如下：连摸三次，每次随机摸出一张卡片，并翻开记下卡片上的数字，每次摸出后不放回，如果第三次摸出的卡片上的数字，正好介于第一、二次摸出的卡片上的数字之间，则游戏胜出，否则，游戏失败．问：（1）若已知小明第一次摸出的数字是4，第二次摸出的数字是2，在这种情况下，小明继续游戏，可以获胜的概率为．（2）若已知小明第一次摸出的数字是3，求在这种情况下，小明继续游戏，可以获胜的概率（要求列表或用树状图求）【分析】（1）依据第三次摸出的卡片上的数字可能是1或3，其中摸到3能获胜，即可得到小明继续游戏可以获胜的概率；（2）依据小明第一次摸出的数字是3，画出树状图，即可得到6种等可能的情况，其中第三次摸到的数介于前两个数之间的只有一种情况，进而得出小明获胜的概率．【解答】解：（1）小明第一次摸出的数字是4，第二次摸出的数字是2，在这种情况下，小明继续游戏，第三次摸出的卡片上的数字可能是1或3，其中摸到3能获胜，∴可以获胜的概率为，故答案为：；（2）画树状图如下：共有6种等可能的情况，其中第三次摸到的数介于前两个数之间的只有一种情况：（3，1，2），则P（小明能获胜）＝．【点评】此题主要考查了概率的意义以及树状图法与列表法的运用，当有两个元素时，可用树形图列举，也可以列表列举．利用树状图或者列表法列举出所有可能是解题关键．20．（8分）如图，E、F是正方形ABCD对角线AC上的两点，且AE＝EF＝FC，连接BE、DE、BF、DF．（1）求证：四边形BEDF是菱形：（2）求tan∠AFD的值．【分析】（1）连接BD交AC于点O，根据正方形的性质得到OA＝OC，OB＝OD，AC ⊥BD，证明OE＝OF，得到四边形BEDF是平行四边形，根据菱形的判定定理证明；（2）根据正方形的性质得到OD＝3OF，根据正切的定义计算，得到答案．【解答】（1）证明：连接BD交AC于点O，∵四边形ABCD是正方形，∴OA＝OC，OB＝OD，且AC⊥BD，∵AE＝CF，∴OA﹣AE＝OC﹣CF，即OE＝OF，又∵OB＝OD，∴四边形BEDF是平行四边形，又∵AC⊥BD，∴平行四边形BEDF是菱形；（2）解：∵EF＝2OF，EF＝CF，∴CF＝2OF，∴OC＝3OF，又OD＝OC，∴OD＝3OF，在正方形ABCD中，AC⊥BD，∴∠DOF＝90°，在△Rt DOF中，tan∠AFD＝＝3．【点评】本题考查的是正方形的性质、菱形的判定、正切的定义，掌握正方形的四条边相等、四个角相等是解题的关键．21．（8分）某商场购进一种每件价格为90元的新商品，在商场试销时发现：销售单价x （元/件）与每天销售量y（件）之间满足如图所示的关系．（1）求出y与x之间的函数关系式；（2）写出每天的利润W与销售单价x之间的函数关系式，并求出售价定为多少时，每天获得的利润最大？最大利润是多少？【分析】（1）先利用待定系数法求一次函数解析式；（2）用每件的利润乘以销售量得到每天的利润W，即W＝（x﹣90）（﹣x+170），然后根据二次函数的性质解决问题．【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，根据题意得，解得，∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣x+170；（2）W＝（x﹣90）（﹣x+170）＝﹣x2+260x﹣15300，∵W＝﹣x2+260x﹣15300＝﹣（x﹣130）2+1600，而a＝﹣1＜0，∴当x＝130时，W有最大值1600．答：售价定为130元时，每天获得的利润最大，最大利润是1600元．【点评】本题考查了二次函数的应用：利用二次函数解决利润问题，先利用利润＝没件的利润乘以销售量构建二次函数关系式，然后根据二次函数的性质求二次函数的最值，一定要注意自变量x的取值范围．22．（9分）如图，点P是反比例函数y＝﹣（x＜0）图象上的一动点，P A⊥x轴于点A，在直线y＝x上截取OB＝P A（点B在第一象限），点C的坐标为（﹣2，2），连接AC、BC、OC．（1）填空：OC＝4，∠BOC＝60°；（△2）求证：AOC∽△COB；（3）随着点P的运动，∠ACB的大小是否会发生变化？若变化，请说明理由，若不变，则求出它的大小．【分析】（1）过点C作CE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，由点C的坐标可得出OE，CE的长度，进而可求出OC的长度及∠AOC的度数，由直线OB的解析式可得出∠BOF的度数，再利用∠BOC＝180°﹣∠AOC﹣∠BOF即可求出∠BOC的度数；（2）由（1）可知∠AOC＝∠BOC，由点P是反比例函数y＝﹣（x＜0）图象上的一动点，利用反比例函数图象上点的坐标特征可得出P A•OA＝16，结合OB＝P A及OC＝4，可得出＝，结合∠AOC＝∠BOC即可证出△AOC∽△COB；（△3）由AOC∽△COB利用相似三角形的性质可得出∠CAO＝∠BCO，在△AOC中，利用三角形内角和定理可求出∠CAO+∠OCA＝120°，进而可得出∠BCO+∠OCA＝120°，即∠ACB＝120°．【解答】（1）解：过点C作CE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，如图所示．∵点C的坐标为（﹣2，2），∴OE＝2，CE＝2∴OC＝，＝4．∵tan∠AOC＝＝，∴∠AOC＝60°．∵直线OB的解析式为y＝x，∴∠BOF＝60°，∴∠BOC＝180°﹣∠AOC﹣∠BOF＝60°．故答案为：4；60°．（2）证明：∵∠AOC＝60°，∠BOC＝60°，∴∠AOC＝∠BOC．∵点P是反比例函数y＝﹣（x＜0）图象上的一动点，∴P A•OA＝16．∵P A＝OB，∴OB•OA＝16＝OC2，即＝，∴△AOC∽△COB．（3）解：∠ACB的大小不会发生变化，理由如下：∵△AOC∽△COB，∴∠CAO＝∠BCO．在△AOC中，∠AOC＝60°，∴∠CAO+∠OCA＝120°，∴∠BCO+∠OCA＝120°，即∠ACB＝120°．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值、勾股定理、反比例函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定与性质以及三角形内角和定理，解题的关键是：（1）利用勾股定理及角的计算，找出OC的长及∠BOC的度数；（2）利用反比例函数图象上点的坐标特征、OC＝4及OB＝P A，找出＝；（3）利用相似三角形的性质及三角形内角和定理，找出∠BCO+∠OCA＝120°．23．（9分）如图，抛物线交x轴于A、B两点（点A在点B的左边），交y轴于点C，直线y＝﹣x+3经过点C与x轴交于点D，抛物线的顶点坐标为（2，4）．（1）请你直接写出CD的长及抛物线的函数关系式；（2）求点B到直线CD的距离；（3）若点P是抛物线位于第一象限部分上的一个动点，则当点P运动至何处时，恰好使∠PDC＝45°？请你求出此时的P点坐标．【分析】（1）求出点C，D的坐标，再用勾股定理求得CD的长；设抛物线为y＝a（x ﹣2）2+4，将点C坐标代入求得a，即可得出抛物线的函数表达式；（2）过点B直线CD的垂线，垂足为H，在Rt△BDH中，利用锐角三角函数即可求得点B到直线CD的距离；（3）把点C（0，3）向上平移4个单位，向右平移3个单位得到点E（3，△7），可得OCD≌△FEC，则△DEC为等腰直角三角形，且∠EDC═45°，所以直线ED与抛物线的交点即为所求的点P．【解答】解：（1）∵，∴C（0，3），D（4，0），∵∠COD＝90°，∴CD＝．设抛物线为y＝a（x﹣2）2+4，将点C（0，3）代入抛物线，得3＝4a+4，∴，∴抛物线的函数关系式为；（2）解：过点B作BH⊥CD于H，由，可得x1＝﹣2，x2＝6，∴点B的坐标为（6，0），∵OC＝3，OD＝4，CD＝5，∴OB＝6，从而BD＝2，在△Rt DHB中，∵BH＝BD•sin∠BDH＝BD•sin∠CDO＝2×，∴点B到直线CD的距离为．（3）把点C（0，3）向上平移4个单位，向右平移3个单位得到点E（3，7），∵CF＝OD＝4，EF＝OC＝3，∠CFE＝∠DOC＝90°，∴△OCD≌△FEC，∴∠FCE＝∠ODC，EC＝DC，∴∠ECD＝180°﹣（∠FCE+∠OCD）＝180°﹣（∠ODC+∠OCD）＝180°﹣90°＝90°，∴△DEC为等腰直角三角形，且∠EDC═45°，因而，ED与抛物线的交点即为所求的点P．由E（3，7），D（4，0），可得直线ED的解析式为：y＝﹣7x+28，由得（另一组解不合题意，已舍去．）所以，此时P点坐标为（，）．【点评】本题考查学生将二次函数的图象与解析式相结合处理问题、解决问题的能力。
2022-2023学年广东省深圳市九年级上学期期末考试数学试卷含详解
2022-2023学年第一学期九年级数学期末质量检测一、选择题（本大题共10小题，共30.0分在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.如图所示的立体图形是一个圆柱被截去四分之一后得到的几何体，它的左视图是（）A. B. C. D.2.已知x ＝1是方程x 2﹣3x +c ＝0的一个根，则实数c 的值是（）A.﹣1B.0C.1D.23.矩形、菱形都具有的性质是（）A.对角线互相垂直B.对角线互相平分C.对角线相等D.对角线互相垂直且相等4.如图，已知某广场菱形花坛ABCD 的周长是24米，∠BAD =60°，则花坛对角线AC 的长等于（）A.B.6米C. D.3米5.如图，ABC ∽A B C ''' ，AD 、BE 分别是ABC 的高和中线，A D ''、B E ''分别是A B C ''' 的高和中线，且4=AD ，3A D ''=，6BE =，则B E ''的长为（）．A.32B.52C.72D.926.若点()()()1231,,2,,3,A y B y C y -在反比例函数6y x=-的图象上，则123,,y y y 的大小关系是（）A.123y y y >> B.231y y y >> C.132y y y >> D.321y y y >>7.如图，小明在A 时测得某树的影长为8m ，B 时又测得该树的影长为2m ，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为（）A .2mB.4mC.6mD.8m8.函数y ＝kx ﹣k 与y kx-=在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A.B.C.D.9.如图，在四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝90°，点F 为边CD 上一点，且FE ⊥AB 交AB 于点E ，若AD ＝2，BC ＝8，四边形AEFD ～四边形EBCF ，则DFFC的值是（）A.14B.12C.15D.4510.如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD 与正方形EFGH .连结EG ，BD 相交于点O ，BD 与HC 相交于点P .若GO=GP ，则ABCD EFGHS S 正方形正方形的值是（）A.12B.22+C.52D.154二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）11.若43a b =，则2a bb+=_______．12.在一个不透明的盒子里，装有5个黑球和若干个白球，这些球除颜色外都相同，将其摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再把它放回盒子中，不断重复，共摸球40次，其中10次摸到黑球，估计盒子中白球的个数是_____．13.如果=1x -是关于x 的一元二次方程()2300ax bx a ++=≠的一个根，那么202144a b -+=_______．14.如图，在矩形ABCD 中，AC 、BD 交于点O ，DE ⊥AC 于点E ，若∠AOD ＝110°，则∠CDE ＝________°．15.如图，已知点A 是一次函数y ＝23x(x≥0)图象上一点，过点A 作x 轴的垂线l ，B 是l 上一点(B 在A 上方)，在AB 的右侧以AB 为斜边作等腰直角三角形ABC ，反比例函数y ＝kx(x ＞0)的图象过点B ，C ，若△OAB 的面积为5，则△ABC 的面积是________．三、解答题（本大题共7小题，共55.0分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16.用适当的方法解下列方程：（1）22(21)(3)x x -=+；（2）21202x x +-=．17.如图，在平面直角坐标系中，ABC 的三个顶点的坐标分别为(4,1)A ，()2,3B ，(1,2)C ．（1）画出与ABC 关于y 轴对称的111A B C △；（2）以原点O 为位似中心，在第三象限内画一个222A B C △，使它与ABC 的相似比为2:1，并写出点2A ，2B ，2C 的坐标．（3）若方格中每个小正方形的边长为1个单位长度，求222A B C △的面积．18.“校园安全”越来越受到人们的关注，我市某中学对部分学生就校园安全知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图．根据图中信息回答下列问题：（1）接受问卷调查的学生共有______人，条形统计图中m 的值为______；（2）扇形统计图中“了解很少”部分所对应扇形的圆心角的度数为______；（3）若该中学共有学生1800人，根据上述调查结果，可以估计出该学校学生中对校园安全知识达到“非常了解”和“基本了解”程度的总人数为______人；（4）若从对校园安全知识达到“非常了解”程度的2名男生和2名女生中随机抽取2人参加校园安全知识竞赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．19.如图，在菱形ABCD 中，点E 、F 分别在,BC CD 上，连接,AE AF ，且BAE DAF ∠=∠，延长,AE DC 交于点G ．（1）若AD AF =，求证：2AF DG DF =⋅；（2）连接BD ，交AG 于点H ，若4HE =，12EG =，求AH 的长．20.2022年北京冬奥会吉祥物冰墩墩和雪容融在一开售时，就深受大家的喜欢．某供应商今年2月第一周购进一批冰墩墩和雪容融，已知一个冰墩墩的进价比一个雪容融的进价多40元，购买20个冰墩墩和30个雪容融的价格相同．（1）今年2月第一周每个冰墩墩和雪容融的进价分别是多少元？（2）今年2月第一周，供应商以100元每个售出雪容融140个，150元每个售出冰墩墩120个．第二周供应商决定调整价格，每个雪容融的售价在第一周的基础上下降了m 元，每个冰墩墩的价格不变，由于冬奥赛事的火热进行，第二周雪容融的销量比第一周增加了m 个，而冰墩墩的销量比第一周增加了0.2m 个，最终商家获利5160元，求m ．21.如图，直线y =ax +2与x 轴交于点A （1，0），与y 轴交于点B （0，b ）．将线段AB 先向右平移1个单位长度、再向上平移t （t ＞0）个单位长度，得到对应线段CD ，反比例函数ky x=（x ＞0）的图象恰好经过C 、D 两点，连接AC 、BD ．（1）求a 和b 的值；（2）求反比例函数的表达式及四边形ABDC 的面积；（3）点N 在x 轴正半轴上，点M 是反比例函数ky x=（x ＞0）的图象上的一个点，若△CMN 是以CM 为直角边的等腰直角三角形时，求所有满足条件的点M 的坐标．22.在ABC ∆，CA CB =，ACB α∠=．点P 是平面内不与点A ，C 重合的任意一点．连接AP ，将线段AP 绕点P 逆时针旋转α得到线段DP ，连接AD ，BD ，CP ．（1）观察猜想如图1，当60α︒=时，BDCP的值是，直线BD 与直线CP 相交所成的较小角的度数是．（2）类比探究如图2，当90α︒=时，请写出BDCP的值及直线BD 与直线CP 相交所成的小角的度数，并就图2的情形说明理由．（3）解决问题当90α︒=时，若点E ，F 分别是CA ，CB 的中点，点P 在直线EF 上，请直接写出点C ，P ，D 在同一直线上时AD CP的值．2022-2023学年第一学期九年级数学期末质量检测一、选择题（本大题共10小题，共30.0分在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.如图所示的立体图形是一个圆柱被截去四分之一后得到的几何体，它的左视图是（）A. B. C. D.【答案】C【分析】根据左视图的定义，左视图就是物体由左向右方投影得到的视图，即可得出结论．【详解】解：根据左视图的定义，该几何体的左视图是：故选：C．【点睛】此题考查了几何体左视图的判断，掌握左视图的定义是解题关键．2.已知x＝1是方程x2﹣3x+c＝0的一个根，则实数c的值是（）A.﹣1B.0C.1D.2【答案】D【分析】将x＝1代入已知方程求出c即可．【详解】解：把x＝1代入x2﹣3x+c＝0得：1﹣3+c＝0，解得：c＝2，故选：D．【点睛】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．3.矩形、菱形都具有的性质是（）A.对角线互相垂直B.对角线互相平分C.对角线相等D.对角线互相垂直且相等【答案】B【分析】由矩形的性质和菱形的性质可直接求解．【详解】解： 菱形的对角线互相垂直平分，矩形的对角线互相平分且相等，∴矩形、菱形都具有的性质是对角线互相平分，故选：B ．【点睛】本题考查了矩形的性质，菱形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．4.如图，已知某广场菱形花坛ABCD 的周长是24米，∠BAD =60°，则花坛对角线AC 的长等于（）A.B.6米C. D.3米【答案】A【分析】本题考查的是菱形的性质，直角三角形的性质解决即可.【详解】因为菱形周长为24米，所以边长为6米，因为60BAD ∠=︒，所以∠BAO=30°，∴OA=米,∴AC=米.故选A ．5.如图，ABC ∽A B C ''' ，AD 、BE 分别是ABC 的高和中线，A D ''、B E ''分别是A B C ''' 的高和中线，且4=AD ，3A D ''=，6BE =，则B E ''的长为（）．A.32B.52C.72D.92【答案】D【分析】利用相似三角形对应高的比、对应中线的比都等于相似比，进行求解即可．【详解】解：∵△ABC ∽△A′B′C′，AD 、BE 分别是△ABC 的高和中线，A′D′、B′E′分别是△A′B′C′的高和中线，∴''''AD BEA DB E =，∵4=AD ，3A D ''=，6BE =，∴463''B E =，∴92B E ''=；故选择：D.【点睛】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形对应高的比、对应中线的比都等于相似比是解题的关键.6.若点()()()1231,,2,,3,A y B y C y -在反比例函数6y x=-的图象上，则123,,y y y 的大小关系是（）A.123y y y >>B.231y y y >> C.132y y y >> D.321y y y >>【答案】C【分析】本题主要考查了比较反比例函数值的大小，根据解析式判断出反比例函数图象经过第二、四象限，且在每个象限内y 随x 增大而增大是解题的关键．【详解】解：∵反比例函数解析式为6y x=-，60-<，∴反比例函数图象经过第二、四象限，且在每个象限内y 随x 增大而增大，∵点()()()1231,,2,,3,A y B y C y -在反比例函数6y x=-的图象上，1023-<<<，∴132y y y >>，故选C ．7.如图，小明在A 时测得某树的影长为8m ，B 时又测得该树的影长为2m ，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为（）A.2mB.4mC.6mD.8m【答案】B【分析】根据题意，画出示意图，易得Rt Rt EDC CDF ∽F ，进而可得DE CDCD DF=，代入数据求解即可得答案．【详解】解：根据题意做出示意图，则CD EF ⊥，CE CF ⊥，2m DE =，8m DF =，∴90EDC CDF ECF ∠=∠=∠=︒，∴90E ECD ECD DCF ∠+∠=∠+∠=︒，∴E DCF ∠=∠，∴Rt Rt EDC CDF ∽，∴DE CD CD DF=，即28CDCD =，∴22816CD =⨯=，∴4m CD =（负值舍去）．故选：B ．【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用，能够将实际问题转化为相似三角形的问题是解题的关键．8.函数y ＝kx ﹣k 与y kx-=在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A. B.C. D.【答案】C【分析】分两种情况讨论，当k ＞0时，分析出一次函数和反比例函数所过象限；再分析出k ＜0时，一次函数和反比例函数所过象限，符合题意者即为正确答案．【详解】分类讨论①当0k <时，y kx k =-的图象过第一、二、四象限，ky x-=的图象过第一、三象限，②当0k >时，y kx k =-的图象过第一、三、四象限，k y x-=的图象过经过第二、四象限．综上，符合题意的选项为C ．故答案为：C ．【点睛】此题考查的是反比例函数和一次函数的综合题型，掌握反比例函数和一次函数的图象所经过的象限与各项系数的关系是解决此题的关键．9.如图，在四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝90°，点F 为边CD 上一点，且FE ⊥AB 交AB 于点E ，若AD ＝2，BC ＝8，四边形AEFD ～四边形EBCF ，则DF FC 的值是（）A.14 B.12 C.15 D.45【答案】B 【分析】根据相似多边形的对应边成比例，可得出DF AD EF FC EF BC ==，先求出EF 的长度，即可得出结论．【详解】解：∵四边形AEFD ～四边形EBCF ，∴DF AD EF FC EF BC==，即：22816EF AD BC ==⨯= ，∴EF =4（舍去负值），∴2142DF AD FC EF ===，故选：B ．【点睛】本题考查相似多边形的性质，比例的性质等，掌握相似多边形的基本性质，准确计算比例式是解题关键．10.如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD 与正方形EFGH .连结EG ，BD 相交于点O ，BD 与HC 相交于点P .若GO=GP ，则ABCDEFGH S S 正方形正方形的值是（）A.1B.2+C.5D.154【答案】B 【分析】证明()BPG BCG ASA D @D ，得出PG CG =．设OG PG CG x ===，则2EG x =，FG =，由勾股定理得出22(4BC x =+，则可得出答案．【详解】解： 四边形EFGH 为正方形，45EGH \Ð=°，90FGH ∠=︒，OG GP =Q ，67.5GOP OPG \Ð=Ð=°，22.5PBG \Ð=°，又45DBC ∠=︒ ，22.5GBC \Ð=°，PBG GBC \Ð=Ð，90BGP BG Ð=Ð=°Q ，BGBG =，()BPG BCG ASA \D @D ，PG CG \=．设OG PG CG x ===，O 为EG ，BD 的交点，2EG x \=，FG =，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，BF CG x \==，BG x \=+，22222221)(4BC BG CG x x x \=+=+=+，∴(22422ABCDEFGH x S S x +==+正方形正方形．故选：B ．【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质等知识，熟练掌握勾股定理的应用是解题的关键．二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）11.若43a b =，则2a b b +=_______．【答案】103【分析】本题主要考查了比例的性质，先根据已知条件得到43a b =，再把43a b =代入所求式子中求解即可．【详解】解：∵43a b =，∴43a b =，∴4221033b b a b b b ++==，故答案为：103．12.在一个不透明的盒子里，装有5个黑球和若干个白球，这些球除颜色外都相同，将其摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再把它放回盒子中，不断重复，共摸球40次，其中10次摸到黑球，估计盒子中白球的个数是_____．【答案】15【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，设未知数列出方程求解．【详解】解：∵共试验40次，其中有10次摸到黑球，∴白球所占的比例为40103404-=，设盒子中共有白球x 个，则354x x =+，解得：15x =．故答案为：15．【点睛】本题考查利用利用频率估计概率．正确列出算式是解题关键．13.如果=1x -是关于x 的一元二次方程()2300ax bx a ++=≠的一个根，那么202144a b -+=_______．【答案】2033【分析】本题主要考查了一元二次方程解的定义，根据一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值把=1x -代入原方程中推出3a b -=-，再根据()20214420214a b a b -+=--进行求解即可．【详解】解：∵=1x -是关于x 的一元二次方程()2300ax bx a ++=≠的一个根，∴30a b -+=，∴3a b -=-，∴()()202144202142021432021122033a b a b -+=--=-⨯-=+=，故答案为：2033．14.如图，在矩形ABCD 中，AC 、BD 交于点O ，DE ⊥AC 于点E ，若∠AOD ＝110°，则∠CDE ＝________°．【答案】35【分析】先根据三角形外角的性质和矩形的性质得到∠OCD 的度数，再根据DE ⊥AC 即可得到∠CDE 的度数．【详解】∵∠AOD ＝110°，∴∠ODC+∠OCD=110°，∵四边形ABCD 是矩形，∴OC=OD ，∴∠ODC=∠OCD=55°，又∵DE ⊥AC ，∴∠CDE=180°-∠OCD-∠DEC=180°-55°-90°=35°，故答案为：35．【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形内角和，三角形外角的性质，掌握知识点是解题关键．15.如图，已知点A 是一次函数y ＝23x(x≥0)图象上一点，过点A 作x 轴的垂线l ，B 是l 上一点(B 在A 上方)，在AB 的右侧以AB 为斜边作等腰直角三角形ABC ，反比例函数y ＝k x(x ＞0)的图象过点B ，C ，若△OAB 的面积为5，则△ABC 的面积是________．【答案】53【分析】如图，过C 作CD ⊥y 轴于D ，交AB 于E ．设AB=2a ，则BE=AE=CE=a ，再设A （x ，23x ），则B （x ，23x+2a ）、C （x+a ，23x+a ），再由B 、C 在反比例函数的图象上可得x （23x+2a ）=（x+a ）（23x+a ），解得x=3a ，由△OAB 的面积为5求得ax=5，即可得a 2=53，根据S △ABC =12AB•CE 即可求解.【详解】如图，过C 作CD ⊥y 轴于D ，交AB 于E ．∵AB ⊥x 轴，∴CD ⊥AB ，∵△ABC 是等腰直角三角形，∴BE=AE=CE ，设AB=2a ，则BE=AE=CE=a ，设A （x ，23x ），则B （x ，23x+2a ），C （x+a ，23x+a ），∵B 、C 在反比例函数的图象上，∴x （23x+2a ）=（x+a ）（23x+a ），解得x=3a ，∵S △OAB =12AB•DE=12•2a•x=5，∴ax=5，∴3a 2=5，∴a 2=53，∴S △ABC =12AB•CE=12•2a•a=a 2=53．故答案为：53．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质、三角形面积，熟练掌握反比例函数上的点符合反比例函数的关系式是关键．三、解答题（本大题共7小题，共55.0分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16.用适当的方法解下列方程：（1）22(21)(3)x x -=+；（2）21202x x +-=．【答案】（1）1224,3x x ==-（2）121515,44x x -+--==【分析】（1）根据因式分解法即可求解；（2）根据公式法解方程即可求解．【小问1详解】解：22(21)(3)0x x --+=，(213)(213)0x x x x -++---=，,21302130-++=---=x x x x ，∴1224,3x x ==-；【小问2详解】解：方程化为：24210x x +-=，4,2,1a b c ===-．224244(1)200b ac =-=-⨯⨯-=> ，方程有两个不相等的根2b x a-±=21244--==⨯，∴121515,44x x --==．【点睛】本题考查了解一元二次方程—公式法与因式分解法，用公式法解一元二次方程的一般步骤为：①把方程化成一般形式，进而确定a ，b ，c 的值（注意符号）；②求出b 2-4ac 的值（若b 2-4ac ＜0，方程无实数根）；③在b 2-4ac ≥0的前提下，把a 、b 、c 的值代入公式进行计算求出方程的根．注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a ≠0；②b 2-4ac ≥0．17.如图，在平面直角坐标系中，ABC 的三个顶点的坐标分别为(4,1)A ，()2,3B ，(1,2)C ．（1）画出与ABC 关于y 轴对称的111A B C △；（2）以原点O 为位似中心，在第三象限内画一个222A B C △，使它与ABC 的相似比为2:1，并写出点2A ，2B ，2C 的坐标．（3）若方格中每个小正方形的边长为1个单位长度，求222A B C △的面积．【答案】（1）见解析；（2）2(8,2)A --，2(4,6)B --，2(2,4)C --；图见解析；（3）8．【分析】（1）根据关于y 轴对称的点的坐标得到111,,A B C 的坐标，然后描点即可；（2）把A 、B 、C 的坐标都乘以2-得到222,,A B C 的坐标，然后描点即可；（3）用割补法求解即可．【小问1详解】解：如图，△111A B C 为所作；【小问2详解】解：如图，222A B C △为所作，2(8,2)A --，2(4,6)B --，2(2,4)C --；【小问3详解】222A B C △的面积111642226448222=⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=．【点睛】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k ，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或k -．也考查了轴对称变换．18.“校园安全”越来越受到人们的关注，我市某中学对部分学生就校园安全知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图．根据图中信息回答下列问题：（1）接受问卷调查的学生共有______人，条形统计图中m 的值为______；（2）扇形统计图中“了解很少”部分所对应扇形的圆心角的度数为______；（3）若该中学共有学生1800人，根据上述调查结果，可以估计出该学校学生中对校园安全知识达到“非常了解”和“基本了解”程度的总人数为______人；（4）若从对校园安全知识达到“非常了解”程度的2名男生和2名女生中随机抽取2人参加校园安全知识竞赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．【答案】（1）60，10；（2）96°；（3）1020；（4）23【分析】(1)根据基本了解的人数以及所占的百分比可求得接受调查问卷的人数，进行求得不了解的人数，即可求得m 的值；(2)用360度乘以“了解很少”的比例即可得；(3)用“非常了解”和“基本了解”的人数和除以接受问卷的人数，再乘以1800即可求得答案；(4)画树状图表示出所有可能的情况数，再找出符合条件的情况数，利用概率公式进行求解即可.【详解】(1)接受问卷调查的学生共有3050%60÷=(人)，604301610m =---=，故答案为60，10；(2)扇形统计图中“了解很少”部分所对应扇形的圆心角的度数163609660=︒⨯=︒，故答案为96°；(3)该学校学生中对校园安全知识达到“非常了解”和“基本了解”程度的总人数为：4301800102060+⨯=(人)，故答案为1020；(4)由题意列树状图：由树状图可知，所有等可能的结果有12种，恰好抽到1名男生和1名女生的结果有8种，∴恰好抽到1名男生和1名女生的概率为82123=．【点睛】本题考查了条形统计图与扇形统计图信息关联，列表法或树状图法求概率，弄清题意，读懂统计图，从中找到必要的信息是解题的关键.19.如图，在菱形ABCD 中，点E 、F 分别在,BC CD 上，连接,AE AF ，且BAE DAF ∠=∠，延长,AE DC 交于点G ．（1）若AD AF =，求证：2AF DG DF =⋅；（2）连接BD ，交AG 于点H ，若4HE =，12EG =，求AH 的长．【答案】（1）见解析（2）8AH =【分析】（1）根据菱形的性质可得AB CD ∥，从而得到BAE AGD ∠=∠，进而得到AGD DAF ∠=∠，可证得GAD AFD ∽△△，可得到2DA DG DF =⋅，再由AD AF =，即可求证；（2）根据菱形的性质可证得ABH GDH ∽，AHD EHB ∽，从而得到AH BH DH AH GH DH BH EH===，进而得到2AH EH GH =⋅，即可求解．【小问1详解】证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴AB CD ∥，∴BAE AGD ∠=∠，∵BAE DAF ∠=∠，∴AGD DAF ∠=∠，又∵ADG FDA ∠=∠，∴GAD AFD ∽△△，∴DG DA DA DF=，∴2DA DG DF =⋅，∵AD AF =，∴2AF DG DF =⋅．【小问2详解】解：四边形ABCD 是菱形，∴,AB CD AD BC ∥∥，∴ABH GDH ∠=∠，BAH DGH ∠=∠，ADH EBH ∠=∠，DAH BEH ∠=∠，∴ABH GDH ∽，AHD EHB ∽，∴AH BH DH AH GH DH BH EH ==，，∴AH EH GH AH =，∴2AH EH GH =⋅，∵4HE =，12EC =，∴16GH EC HE =+=．∴2416AH =⨯．解得8AH =．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，菱形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质，菱形的性质是解题的关键．20.2022年北京冬奥会吉祥物冰墩墩和雪容融在一开售时，就深受大家的喜欢．某供应商今年2月第一周购进一批冰墩墩和雪容融，已知一个冰墩墩的进价比一个雪容融的进价多40元，购买20个冰墩墩和30个雪容融的价格相同．（1）今年2月第一周每个冰墩墩和雪容融的进价分别是多少元？（2）今年2月第一周，供应商以100元每个售出雪容融140个，150元每个售出冰墩墩120个．第二周供应商决定调整价格，每个雪容融的售价在第一周的基础上下降了m 元，每个冰墩墩的价格不变，由于冬奥赛事的火热进行，第二周雪容融的销量比第一周增加了m 个，而冰墩墩的销量比第一周增加了0.2m 个，最终商家获利5160元，求m ．【答案】（1）雪容融的进价为80元，冰墩墩的进价为120元（2）10m =【分析】（1）设雪容融的进价为x 元，则冰墩墩的进价为(40)x +元，由题意列出20(40)30x x ⨯+=，求解即可；（2）根据题意列出(10080)(140)(150120)(1200.2)5160m m m --⨯++-⨯+=，求解一元二次方程即可．【小问1详解】解：设雪容融的进价为x 元，则冰墩墩的进价为(40)x +元，由题意得：20(40)30x x ⨯+=，解得：80x =，答：雪容融的进价为80元，冰墩墩的进价为120元；【小问2详解】解：根据题意得：(10080)(140)(150120)(1200.2)5160m m m --⨯++-⨯+=，(20)(140)30(1200.2)5160m m m -⨯++⨯+=，2(57)4489m +=，解得：10m =或124m =-（舍去），答：10m =．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意列出方程进行求解．21.如图，直线y =ax +2与x 轴交于点A （1，0），与y 轴交于点B （0，b ）．将线段AB 先向右平移1个单位长度、再向上平移t （t ＞0）个单位长度，得到对应线段CD ，反比例函数k y x =（x ＞0）的图象恰好经过C 、D 两点，连接AC 、BD ．（1）求a 和b 的值；（2）求反比例函数的表达式及四边形ABDC 的面积；（3）点N 在x 轴正半轴上，点M 是反比例函数k y x=（x ＞0）的图象上的一个点，若△CMN 是以CM 为直角边的等腰直角三角形时，求所有满足条件的点M 的坐标．【答案】（1）a =﹣2，b =2；（2）y =4x，4；（3）点M 的坐标为（4，15，51）【分析】（1）利用坐标轴上的点的特点即可得出结论；（2）先表示出点C ，D 坐标，进而代入反比例函数解析式中求解得出k ，再判断出BC ⊥AD ，最后用对角线积的一半即可求出四边形的面积；（3）分两种情况，构造全等的直角三角形即可得出结论．【详解】（1）将点A （1，0）代入y =ax +2，得0=a +2，∴a =﹣2，∴直线的解析式为y =﹣2x +2．将x =0代入上式，得y =2，∴b =2．（2）由（1）知，b =2，∴B （0，2），由平移可得：点C （2，t ）、D （1，2+t ）．将点C （2，t ）、D （1，2+t ）分别代入y =k x ，得221k t kt ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩∴42k t =⎧⎨=⎩，∴反比例函数的解析式y =4x ，点C （2，2）、点D （1，4）．如图1，连接BC 、AD．∵B （0，2）、C （2，2），∴BC ∥x 轴，BC =2．∵A （1，0）、D （1，4），∴AD ⊥x 轴，AD =4，∴BC ⊥AD ，∴S 四边形ABD =12×BC ×AD =12×2×4=4．（3）①当∠NCM =90°、CM =CN 时，如图2，过点C 作直线l ∥x 轴，交y 轴于点G ．过点M 作MF ⊥直线l 于点F ，交x 轴于点H ．过点N 作NE ⊥直线l 于点E ．设点N （m ，0）（其中m ＞0），则ON =m ，CE =2﹣m ．∵∠MCN =90°，∴∠MCF +∠NCE =90°．∵NE ⊥直线l 于点E ，∴∠ENC +∠NCE =90°，∴∠MCF =∠ENC ．∵∠MFC =∠NEC =90°，CN =CM ，∴△NEC ≌△CFM ，∴CF =EN =2，FM =CE =2﹣m ，∴FG =CG +CF =2+2=4，∴x M =4．将x =4代入y =4x，得y =1，∴点M （4，1）；②当∠NMC =90°、MC =MN 时，如图3，过点C 作直线l ⊥y 轴与点F ，则CF =x C =2．过点M 作MG ⊥x 轴于点G ，MG 交直线l 与点E ，则MG ⊥直线l 于点E ，EG =y C =2．∵∠CMN =90°，∴∠CME +∠NMG =90°．∵ME ⊥直线l 于点E ，∴∠ECM +∠CME =90°，∴∠NMG =∠ECM ．又∵∠CEM =∠NGM =90°，CM =MN ，∴△CEM ≌△MGN ，∴CE =MG ，EM =NG ．设CE =MG =a ，则y M =a ，x M =CF +CE =2+a ，∴点M （2+a ，a ）．将点M （2+a ，a ）代入y =4x ，得a =42a+．解得a 151，a 2=51，∴x M =2+a 5，∴点M 5，51）．综合①②可知：点M 的坐标为（4，1551）．【点睛】此题是反比例函数综合题，主要考查待定系数法，全等三角形的判定和性质，四边形的面积的计算方法，构造出全等三角形是解本题的关键．22.在ABC ∆，CA CB =，ACB α∠=．点P 是平面内不与点A ，C 重合的任意一点．连接AP ，将线段AP 绕点P 逆时针旋转α得到线段DP ，连接AD ，BD ，CP ．（1）观察猜想如图1，当60α︒=时，BD CP 的值是，直线BD 与直线CP 相交所成的较小角的度数是．（2）类比探究如图2，当90α︒=时，请写出BD CP 的值及直线BD 与直线CP 相交所成的小角的度数，并就图2的情形说明理由．（3）解决问题当90α︒=时，若点E ，F 分别是CA ，CB 的中点，点P 在直线EF 上，请直接写出点C ，P ，D 在同一直线上时AD CP 的值．【答案】（1）1，60︒（2）45°（3）22+【分析】（1）如图1中，延长CP 交BD 的延长线于E ，设AB 交EC 于点O ．证明()CAP BAD SAS ∆≅∆，即可解决问题．（2）如图2中，设BD 交AC 于点O ，BD 交PC 于点E ．证明DAB PAC ∆∆ ，即可解决问题．（3）分两种情形：①如图3﹣1中，当点D 在线段PC 上时，延长AD 交BC 的延长线于H ．证明AD DC =即可解决问题．②如图3﹣2中，当点P 在线段CD 上时，同法可证：DA DC =解决问题．【详解】解：（1）如图1中，延长CP 交BD 的延长线于E ，设AB 交EC 于点O ．60PAD CAB ︒∠=∠= ，CAP BAD ∴∠=∠，CA BA = ，PA DA =，()CAP BAD SAS ∴∆≅∆，PC BD ∴=，ACP ABD ∠=∠，AOC BOE ∠=∠ ，60BEO CAO ︒∴∠=∠=，1BD PC∴=，线BD 与直线CP 相交所成的较小角的度数是60︒，故答案为1，60︒．（2）如图2中，设BD 交AC 于点O ，BD 交PC 于点E ．45PAD CAB ︒∠=∠= ，PAC DAB ∴∠=∠，AB ADAC AP== ，DAB PAC ∴∆∆ ，PCA DBA ∴∠=∠，BD AB PC AC ==，EOC AOB ∠=∠ ，45CEO OAB ︒∴∠=∠=，∴直线BD 与直线CP 相交所成的小角的度数为45︒．（3）如图3﹣1中，当点D 在线段PC 上时，延长AD 交BC 的延长线于H ．CE EA=，CF FB=，EF AB∴∥，45EFC ABC︒∴∠=∠=，45PAO︒∠=，PAO OFH∴∠=∠，POA FOH∠=∠，H APO∴∠=∠，90APC︒∠=，EA EC=，PE EA EC∴==，EPA EAP BAH∴∠=∠=∠，H BAH∴∠=∠，BH BA∴=，45ADP BDC︒∠=∠=，90ADB︒∴∠=，BD AH∴⊥，22.5DBA DBC︒∴∠=∠=，90ADB ACB︒∠=∠=，∴A，D，C，B四点共圆，22.5DAC DBC︒∠=∠=，22.5DCA ABD︒∠=∠=，22.5DAC DCA︒∴∠=∠=，DA DC∴=，设=AD a，则DC AD a==，2 PD=，222ADCP∴==-c．如图3﹣2中，当点P在线段CD上时，同法可证：=DA DC，设=AD a，则CD AD a==，2PD a=，22PC a a ∴=-，2222AD PC a a ∴==+-．【点睛】本题属于相似形综合题，考查了旋转变换，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．。
深圳市九年级上学期期末数学试卷与答案
深圳市九年级上学期期末数学试卷一、选择题（每题3分，共30分）1.如图所示的几何体的主视图为（）A．B．C．D．2.在直角ABC 中，90C ∠=︒，3BC =，3sin 5A =，求tan B 为（）A.34B.35C.45D.433.如图，在▱ABCD 中，E 是BC 的中点，DE ，AC 相交于点F ，S △CEF ＝1，则S △ADC ＝（）A．3B．4C．5D．64.如图，点P 是反比例函数ky x=图像上的一点，PF x ⊥轴于F 点，且Rt POF 面积为4．若点()2,B m -也是该图像上的一点，则m 的值为（）A.－2B.－4C.2D.45.我国于12月中旬开始放开新冠疫情管控，经专家推算，每轮传播过程中，1个人可以传播给x 个人，经过两轮传播后，共有81人被传染．则可列方程为（）A.()1181x x ++=B.()1181x x x +++=C.()181x x += D.()181x x x ++=6.如图，在A 时测得旗杆的影长是4米，B 时测得旗杆的影长是16米，若两次的日照光线恰好垂直，则旗杆的高度是米.A.4B.6C.8D.107.如图，关于抛物线2(1)2y x =--，下列说法错误的是（）A.顶点坐标为(1，2-)B.对称轴是直线x=lC.开口方向向上D.当x>1时，y 随x 的增大而减小8．如图，路灯OP 距地面8米，身高1.6米的小明从距离灯的底部（点O）20米的点A 处，沿OA 所在的直线行走14米到点B 处时，人影的长度（）A．变长了1.5米B．变短了2.5米C．变长了3.5米D．变短了3.5米9．如图，已知点A 是反比例函数()60y x x=>的图像上一点，AB∥x 轴交另一个反比例函数()0k y x x=>的图像于点B，C 为x 轴上一点，若S △ABC =2，则k 的值为（）A．4B．2C．3D．110．如图，在矩形ABCD 中，E 是AD 边的中点，BE⊥AC，垂足为点F，连接DF，下面四个结论：CD；③DF＝DC；④△AEF∽△CAB；⑤S 四边形CDEF ＝52S △ABF ．其中正确的结论有（）A．2个B．3个C．4个D．5个二、填空题（每题3分，共15分）11.在一个不透明的袋子中有除颜色外均相同的6个白球和若干黑球，通过多次摸球试验后，发现摸到白球的频率约为30%，估计袋中黑球有个．12.已知0543a b c ==≠，则b c a+的值为．13.关于x 的一元二次方程2310170x x --=的两个根分别为1x 和2x ，则1211x x +=．14.如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网（网高0.8m），而且落在离网4m 的位置上，则根据图中的数据可知，球拍击球的高度h 为m．15.如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC 的边OA 在x 轴上，OA ＝5，tan∠COA ＝34．若反比例函数y ＝kx（k ＞0，x ＞0）经过点C ，则k 的值等于．16.．二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象如图所示，对称轴是直线1x =，下列结论：①0ab <；②24b ac >；③0a b c -+>；④20a b +=．其中正确的是____________三、解答题17.计算题（1）解方程260x x --=；（2）解方程：()211x x x -=-．()10192cos 60tan 602π-⎛⎫-︒+--︒ ⎪⎝⎭．18.某学校为了解全校学生对电视节目（新闻、体育、动画、娱乐、戏曲）的喜爱情况，从全校学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并把调查结果绘制成两幅不完整的统计图．请根据以上信息，解答下列问题（1）这次被调查的学生共有多少名？（2）请将条形统计图补充完整；（3）若该校有3000名学生，估计全校学生中喜欢体育节目的约有多少名？（4）该校宣传部需要宣传干事，现决定从喜欢新闻节目的甲、乙、丙、丁四名同学中选取2名，用树状图或列表法求恰好选中甲、乙两位同学的概率．19.如图，小明想测量塔CD的高度．他在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进50米至B处，测得仰角为60°．(1)求证：AB＝BD；(2)求塔高CD．（小明的身高忽略不计，结果保留根号）20.为推进“世界著名花城”建设，深圳多个公园近期举办花展活动．某公园想用一段长为80米的篱笆，围成一个一边靠围墙的矩形花圃ABCD，墙长36米．（1）当AB长为多少米时所围成的花圃面积最大？最大值是多少？（2）当花圃的面积为350平方米时，AB长为多少米？21.已知一次函数y＝kx＋b和反比例函数y＝mx图象相交于A(-4，2)，B(n，－4)两点.（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）求△AOB的面积；（3）观察图象，直接写出不等式kx＋b－mx＜0的解集．22.已知OA＝10cm，OB＝5cm，点P从点O开始沿OA边向点A以2cm/s的速度移动；点Q从点B开始沿BO边向点O以1cm/s的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（0≤t≤5），(1)用含t的代数式表示：线段PO＝cm；OQ＝cm．(2)当t为何值时△POQ的面积为6cm2？(3)当△POQ与△AOB相似时，求出t的值．23.如图，二次函数2y x bx c =++的图象与x 轴交于A 、B 两点，B 点的坐标为(3，0)，与y 轴交于点C （0，－3），点P 是直线BC 下方抛物线上的一个动点．（1）求二次函数解析式；（2）连接PO ，PC ，并将△POC 沿y 轴对折，得到四边形'POP C ．是否存在点P ，使四边形'POP C 为菱形？若存在，求出此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）当点P 运动到什么位置时，四边形ABPC 的面积最大？求出此时P 点的坐标和四边形ABPC 的最大面积．深圳市九年级上学期期末数学试卷答案1.D2.D3.D4.D5.B6.C7.D8.D9.B 10.D11.1412.7513.1017-14.1.615.1216.①②③④17.（1）由原方程得：()()320x x -+=，故30x -=或20x +=，解得13x =，22x =-，所以，原方程的解为13x =，22x =-；（2）由原方程得：()2110x x x -+-=，得()()1210x x -+=故10x -=或210x +=，解得11x =，212x =-，所以，原方程的解为11x =，212x =-；()1012cos 60tan 602π-⎛⎫︒+--︒ ⎪⎝⎭132212=-⨯+-3121=-+-3=18.解：（1）这次被调查的学生人数为1530%50÷=（名)；（2）喜爱“体育”的人数为50(415183)10-+++=（名)，补全图形如下：（3）估计全校学生中喜欢体育节目的约有10300060050⨯=（名)；（4）列表如下：所有等可能的结果为12种，恰好选中甲、乙两位同学的有2种结果，所以恰好选中甲、乙两位同学的概率为21 126=．19.解:（1）证明：∵∠DAB=30°，∠DBC=∠A+∠ADB=60°，∴∠A=∠ADB=30°，∴BD=AB；（2）∵BD=AB=50米，在Rt△BCD中，∠C=90°，∴sin∠DBC=DC BD，∴DC=BD 323，甲乙丙丁甲---（乙，甲）（丙，甲）（丁，甲）乙（甲，乙）---（丙，乙）（丁，乙）丙（甲，丙）（乙，丙）---（丁，丙）丁（甲，丁）（乙，丁）（丙，丁）---答：该塔高为20.解：（1）设长BC 为x 米，则宽AB 为()1802x -米，花圃的面积是y 平方米，()()22111804040800222y x x x x =-⋅=-+=--+，当40x =时，y 有最大值，∵墙长36米，∴36x ≤，则取36x =，()2max 136408007922y =--+=，此时()18036222AB m =-=，答：当AB 长为22米时所围成的花圃面积最大，最大值是792平方米；（2）令350y =，则()21408003502x --+=，解得110x =，270x =（舍去），∴()18010352AB m =-=，答：花圃面积为350平方米时，AB 长为35米．21.解：(1)把A(－4，2)的坐标代入y＝mx，得m＝2×(－4)＝－8，∴反比例函数的解析式为y＝－8x.把B(n，－4)的坐标代入y＝－8x，得－4n＝－8，解得n＝2.∴B(2，－4)．把A(－4，2)和B(2，－4)的坐标代入y＝kx＋b，得4224k b k b -+=⎧⎨+=-⎩解得12k b =-⎧⎨=-⎩∴一次函数的解析式为y＝－x－2.（2）y＝－x－2中，令y＝0，则x＝－2，即直线y＝－x－2与x 轴交于点C(－2，0)．∴S △AOB ＝S △AOC ＋S △BOC ＝×2×2＋×2×4＝6.（3）由图可得，不等式kx＋b－m x＞0的解集为x＞2或-4＜x＜0.22.解：（1）由题意知，OP =2t cm，BQ =t cm，∴OQ =（5-t ）cm，故答案为：2t ，（5-t ）；（2）由（1）知，OP =2t cm，OQ =（5-t ）cm，∵△POQ 的面积为6cm 2，∴6=12×2t ×（5-t ），∴t =2或3，∴当t =2或3时，三角形POQ 的面积为6cm 2；（3）∵△POQ 与△AOB 相似，∠POQ =∠AOB =90°，∴△POQ ∽△AOB 或△POQ ∽△BOA ，∴OP OQ OA OB =或OP OQ OB OA =，当OP OQ OA OB =，则25105t t -=，∴t =52；当OP OQ OB OA =时，则25510t t -=，∴t =1，∴当t =52或1时，△POQ 与△AOB 相似．23.解:（1）将B 、C 两点的坐标代入2y x bx c =++，得9303b c c ++=⎧⎨=-⎩，解得23b c =-⎧⎨=-⎩．∴二次函数的解析式为2=23y x x --．（2）存在点P ，使四边形POP ′C 为菱形；．设P 点坐标为（x ，x 2-2x -3），PP ′交CO 于E ．若四边形POP ′C 是菱形，则有PC =PO ；．连接PP ′，则PE ⊥CO 于E ，．∵C （0，-3），∴CO =3，又∵OE =EC ，∴OE =EC =32．∴y =−32；∴x 2-2x -3=−32，解得12x x ==（不合题意，舍去）．∴存在这样的点，此时P 32-）．（3）过点P 作y 轴的平行线与BC 交于点Q ，与OB 交于点F ，设P （x ，x 2-2x -3），设直线BC 的解析式为：y =kx +d ，则330d k d -⎧⎨+⎩＝＝，解得：13k d ⎧⎨-⎩＝＝．∴直线BC 的解析式为y =x -3，则Q 点的坐标为（x ，x -3）；当0=x 2-2x -3，解得：x 1=-1，x 2=3，∴AO =1，AB =4，S 四边形ABPC =S △ABC +S △BPQ +S △CPQ ．=12AB •OC +12QP •BF +12QP •OF ．=12×4×3+12(−x 2+3x )×3．=−32(x −32)2+758．当x ＝32时，四边形ABPC 的面积最大．此时P 点的坐标为(32，−154)，四边形ABPC 的面积的最大值为758．。
深圳实验学校2022-2023学年数学九上期末学业水平测试模拟试题含解析
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。
写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题（每题4分，共48分）1．对一批衬衣进行抽检，统计合格衬衣的件数，得到合格衬衣的频数表如下： 抽取件数(件) 50 100 150 200 500 800 1000 合格频数4288141176445724901若出售1500件衬衣，则其中次品最接近( )件. A ．100 B ．150C ．200D ．2402．如图，O 的直径AB 的长为10，弦AC 长为6，ACB ∠的平分线交O 于D ，则CD 长为（ ）A ．7B ．72C ．82D ．93．下列命题中，是真命题的是A ．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形B ．两条对角线相等的四边形是矩形C ．两条对角线互相垂直的四边形是菱形D ．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 4．下列运算中，结果正确的是（ ） A ．()222a b a b +=+ B ．()3263a ba b -= C ．()236aa =D ．623a a a ÷=5．把一副三角板如图（1）放置，其中∠ACB ＝∠DEC ＝90°，∠A ＝41°，∠D ＝30°，斜边AB ＝4，CD ＝1．把三角板DCE 绕着点C 顺时针旋转11°得到△D 1CE 1（如图2），此时AB 与CD 1交于点O ，则线段AD 1的长度为（ ）A ．13B ．5C ．22D ．46．如图，点A ，B ，C 均在⊙O 上，当40OBC ∠=︒时，A ∠的度数是（ ）A ．50︒B ．55︒C ．60︒D ．65︒7．如图，在平面直角坐标系内，正方形OABC 的顶点A ，B 在第一象限内，且点A ，B 在反比例函数y ＝kx（k ≠0）的图象上，点C 在第四象限内．其中，点A 的纵坐标为2，则k 的值为（ ）A ．23﹣2B ．25﹣2C ．43﹣4D ．45﹣48．如图，圆心角都是90°的扇形OAB 与扇形OCD 叠放在一起，OA=3，OC=1，分别连结AC 、BD ，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．12πB ．C ．D ．9．下列四对图形中，是相似图形的是( ) A ．任意两个三角形 B ．任意两个等腰三角形 C ．任意两个直角三角形 D ．任意两个等边三角形10．若232m 1x ﹣+10x+m=0是关于x 的一元二次方程，则m 的值应为（ ）A ．m="2"B ．m=23C ．m=32D ．无法确定11．在平面直角坐标系中，二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的图象如图所示，现给出以下结论：①0abc >；②20b a +=；③930a b c -+=；④2a b c am bm c -+++（m 为实数）其中结论错误的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个12．已知△ABC ，D ，E 分别在AB ，AC 边上，且DE ∥BC ，AD =2，DB =3，△ADE 面积是4则四边形DBCE 的面积是（ ）A ．6B ．9C ．21D ．25二、填空题（每题4分，共24分）13．一张等腰三角形纸片，底边长BC 为15cm ，底边上的高为22.5cm ，现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为3cm 的矩形纸条，如图，已知剪得的纸条中有一张是正方形（正方形DEFG ），则这张正方形纸条是第________张.14．抛物线y ＝﹣12x 2向上平移1个单位长度得到抛物线的解析式为_____． 15．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝10，点D 是边BC 上一动点（不与B ，C 重合），∠ADE ＝∠B ＝α，DE 交AC 于点E ，且cosα＝45．下列结论：①△ADE ∽△ACD ；②当BD ＝6时，△ABD 与△DCE 全等；③△DCE 为直角三角形时，BD 为8或252；④0＜CE ≤6.1．其中正确的结论是_____．（把你认为正确结论的序号都填上）16．计算： 069(12)(3)--+---= _________ ．17．已知CD 是Rt △ABC 的斜边AB 上的中线，若∠A ＝35°，则∠BCD ＝_____________． 18．将抛物线22(1)3y x =+-向左平移2个单位，得到新的解析式为________.三、解答题（共78分）19．（8分）随着通讯技术迅猛发展，人与人之间的沟通方式更多样、便捷．某校数学兴趣小组设计了“你最喜欢的沟通方式”调查问卷(每人必选且只选一种)，在全校范围内随机调查了部分学生，将统计结果绘制了如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：（1）在扇统计图中，表示“QQ ”的扇形圆心角的度数为_____；根据这次统计数据了解到最受学生欢迎的沟通方式是______．（2）将条形统计图补充完整；（3）某天甲、乙两名同学都想从“微信”、“QQ ”、“电话”三种沟通方式中选一种方式与对方联系，用列表或画树状图的方法求出甲、乙两名同学恰好选中同一种沟通方式的概率．20．（8分）如图，甲、乙两人在玩转盘游戏时，准备了两个可以自由转动的转盘A 、B ，每个转盘被分成面积相等的几个扇形，并在每一个扇形内标上数字.游戏规则：同时转动两个转盘，当转盘停止后，指针所指区域的数字之和为0时，甲获胜；数字之和为1时，乙获胜.如果指针恰好指在分割线上，那么重转一次，直到指针指向某一区域为止. （1）用画树状图或列表法求乙获胜的概率；（2）这个游戏规则对甲、乙双方公平吗？请判断并说明理由.x-3 -2 -1 0 1 y43(1)把表格填写完整； (2)根据上表填空：①抛物线与x 轴的交点坐标是________和__________； ②在对称轴右侧，y 随x 增大而_______________； ③当22x -<<时，则y 的取值范围是_________________； (3)请直接写出抛物线2y ax bx c =++的解析式． 22．（10分）解方程： （1）x 2﹣4x ﹣1＝0； （2）5x （x ﹣1）＝x ﹣1．23．（10分）如图1，已知Rt ABC ∆中，90ACB ∠=，2AC =，23BC =，它在平面直角坐标系中位置如图所示，点,A C 在x 轴的负半轴上（点C 在点A 的右侧），顶点B 在第二象限，将ABC ∆沿AB 所在的直线翻折，点C 落在点D 位置（1）若点C 坐标为()1,0-时，求点D 的坐标；（2）若点B 和点D 在同一个反比例函数的图象上，求点C 坐标；（3）如图2，将四边形BCAD 向左平移，平移后的四边形记作四边形1111B C A D ，过点1D 的反比例函数(0)ky k x=≠的图象与CB 的延长线交于点E ，则在平移过程中，是否存在这样的k ，使得以点1,,E B D 为顶点的三角形是直角三角形且点11,,D B E 在同一条直线上？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由24．（10分）甲乙两名同学做摸球游戏，他们把三个分别标有1，2，3的大小和形状完全相同的小球放在一个不透明的口袋中．（1）求从袋中随机摸出一球，标号是1的概率；（2）从袋中随机摸出一球后放回，摇匀后再随机摸出一球，若两次摸出的球的标号之和为偶数时，则甲胜；若两次摸出的球的标号之和为奇数时，则乙胜；试分析这个游戏是否公平？请说明理由． 25．（12分）如图1，ABD △内接于O ,AD 是直径，BAD ∠的平分线交BD 于H ，交O 于点C ，连接DC 并延长，交AB 的延长线于点E.（1）求证：AE AD =； （2）若32BE AB =，求AH HC的值 （3）如图2，连接CB 并延长，交DA 的延长线于点F ，若,6AH HC AF ==，求BEC △的面积.26．在平面直角坐标系xOy 中，对于点(),P a b 和实数(0)k k >，给出如下定义：当0ka b +>时，以点P 为圆心，ka b +为半径的圆，称为点P 的k 倍相关圆.例如，在如图1中，点()1,1P 的1倍相关圆为以点P 为圆心，2为半径的圆.（1）在点()()122,1,1,3P P -中，存在1倍相关圆的点是________，该点的1倍相关圆半径为________. （2）如图2，若M 是x 轴正半轴上的动点，点N 在第一象限内，且满足30MON ∠=︒，判断直线ON 与点M 的12倍相关圆的位置关系，并证明.（3）如图3，已知点()()0,3,1,A B m ，反比例函数6y x=的图象经过点B ，直线l 与直线AB 关于y 轴对称. ①若点C 在直线l 上，则点C 的3倍相关圆的半径为________.②点D在直线AB上，点D的13倍相关圆的半径为R，若点D在运动过程中，以点D为圆心，hR为半径的圆与反比例函数6yx=的图象最多有两个公共点，直接写出h的最大值.参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、B【分析】根据频数表计算出每次的合格频率，然后估计出任抽一件衬衣的合格频率，从而可得任抽一件衬衣的次品频率，再乘以1500即可得.【详解】由=合格频数合格频率抽取件数依次算得各个频率为：0.84,0.88,0.94,0.88,0.89,0.905,0.901则任抽一件衬衣的合格频率约为0.9因此任抽一件衬衣的次品频率为10.90.1-=所求的次品大概有15000.1150⨯=（件）故选：B.【点睛】2、B【解析】作DF⊥CA，交CA的延长线于点F，作DG⊥CB于点G，连接DA，DB．由CD平分∠ACB，根据角平分线的性质得出DF=DG，由HL证明△AFD≌△BGD，△CDF≌△CDG，得出CF=7，又△CDF是等腰直角三角形，从而求出CD=72.【详解】作DF⊥CA，垂足F在CA的延长线上，作DG⊥CB于点G，连接DA，DB，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD∴DF=DG，AD BD，∴DA=DB，∵∠AFD=∠BGD=90°，∴△AFD≌△BGD，∴AF=BG．易证△CDF≌△CDG，∴CF=CG，∵AC=6，BC=8，∴AF=1，∴CF=7，∵△CDF是等腰直角三角形，∴CD=72，故选B．【点睛】本题综合考查了圆周角的性质，圆心角、弧、弦的对等关系，全等三角形的判定，角平分线的性质等，综合性较强，有一定的难度，正确添加辅助线、熟练应用相关知识是解题的关键.3、A【解析】根据特殊四边形的判定方法进行判断．对角线相等的平行四边形是矩形；对角线互相平分的四边形是平行四边形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形；对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形 4、C【解析】A:完全平方公式: ()222+2a b a ab b +=+,据此判断即可 B: 幂的乘方,底数不变,指数相乘,据此判断即可 C:幂的乘方,底数不变,指数相乘 D:同底数幂相除,底数不变指数相减【详解】()222+2a b a ab b +=+选项A 不正确;()3263-a b a b -=选项B 不正确;()236a a =选项C 正确624a a a ÷=选项D 不正确.故选:C 【点睛】此题考查幂的乘方，完全平方公式，同底数幂的除法，掌握运算法则是解题关键 5、A【解析】试题分析：由题意易知：∠CAB=41°，∠ACD=30°． 若旋转角度为11°，则∠ACO=30°+11°=41°． ∴∠AOC=180°-∠ACO-∠CAO=90°． 在等腰Rt △ABC 中，AB=4，则AO=OC=2． 在Rt △AOD 1中，OD 1=CD 1-OC=3，由勾股定理得：AD 1 故选A.考点: 1.旋转；2.勾股定理. 6、A【分析】先利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出BOC ∠的度数，然后根据圆周角定理可得到A ∠的度数． 【详解】OB OC =，∴40OCB OBC ∠=∠=︒， ∴1804040100BOC ∠=︒︒︒=︒--，∴1502A BOC ∠=∠=︒．【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 7、B【分析】作AE ⊥x 轴于E ，BF ∥x 轴，交AE 于F ，根据图象上点的坐标特征得出A （2k，2），证得△AOE ≌△BAF （AAS ），得出OE=AF ，AE=BF ，即可得到B （2k +2，2-2k ），根据系数k 的几何意义得到k=（2k +2）（2-2k），解得即可．【详解】解：作AE ⊥x 轴于E ，BF//x 轴，交AE 于F ， ∵∠OAE+∠BAF ＝90°＝∠OAE+∠AOE ， ∴∠BAF ＝∠AOE ， 在△AOE 和△BAF 中AOE BAFAEO BFA 90OA AB ︒∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩∴△AOE ≌△BAF （AAS ）， ∴OE ＝AF ，AE ＝BF ， ∵点A ，B 在反比例函数y ＝kx（k≠0）的图象上，点A 的纵坐标为2， ∴A （2k，2）， ∴B （2k +2，2﹣2k ），∴k ＝（2k +2）（2﹣2k），解得k ＝﹣2±25（负数舍去）， ∴k ＝25﹣2， 故选：B ．本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，反比例函数的图象与性质，关键是构造全等三角形． 8、C【详解】由图可知，将△OAC 顺时针旋转90°后可与△ODB 重合，∴S △OAC =S △OBD ；因此S 阴影=S 扇形OAB +S △OBD -S △OAC -S 扇形OCD =S 扇形OAB -S 扇形OCD =14π×（9-1）=2π． 故选C ．9、D【分析】根据相似图形的定义知，相似图形的形状相同，但大小不一定相同，对题中条件一一分析，排除错误答案．【详解】解：A 、任意两个三角形，形状不确定，不一定是相似图形，故A 错误；B 、任意两个等腰三角形，形状不确定，不一定是相似图形，故B 错误；C 、任意两个直角三角形，直角边的长度不确定，不一定是相似图形，故C 错误；D 、任意两个等边三角形，形状相同，但大小不一定相同，符合相似形的定义，故D 正确；故选：D.【点睛】本题考查的是相似形的识别，关键要联系实际，根据相似图形的定义得出．10、C【解析】试题分析：根据一元二次方程的定义进行解得2m ﹣1=2，解得 m=32． 故选C ．考点：一元二次方程的定义11、B【分析】由抛物线的开口方向判断a 与0的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c 与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】①由抛物线可知： 0a >，0c <，对称轴02b x a=-<，∴0b >，∴0abc <，故①错误；②由对称轴可知： 12b a-=-， ∴2b a =， 20b a ∴-=，故②错误；③()1,0关于1x =-的对称点为()3,0-，∴3x =-时，930y a b c =-+=，故③正确；④当1x =-时，y 的最小值为a b c -+，∴x m =时， 2y am bm c =++， ∴2a b c am bm c -+≤++，故④正确故选：B.【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，结合图象得出系数之间的关系是解题的关键.12、C【解析】∵DE//BC ，∴△ADE ∽△ABC ， ∴2ADE ABC S AD S AB ∆∆⎛⎫= ⎪⎝⎭， ∵AD=2，BD=3，AB=AD+BD ， ∴425ADE ABC S S ∆∆=， ∵S △ADE =4，∴S △ABC =25，∴S 四边形DBCE =S △ABC -S △ADE =25-4=21，故选C.二、填空题（每题4分，共24分）13、6【分析】设第x 张为正方形纸条,由已知可知ADE ABC ，根据相似三角形的性质有DE AM BC AN= ，从而可计算出x 的值.【详解】如图，设第x 张为正方形纸条,则3,22.53DE AM x ==- ∵//DE BC∴ADE ABC ∴DE AM BC AN= 即322.531522.5x -= 解得6x =故答案为6【点睛】本题主要考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键.14、y ＝﹣212x +1 【分析】直接根据平移规律作答即可． 【详解】解：抛物线y ＝﹣12x 2向上平移1个单位长度得到抛物线的解析式为y ＝﹣12x 2+1， 故答案为：y ＝﹣12x 2+1． 【点睛】本题考查了函数图像的平移. 要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减，并用规律求解析式.15、①、②、④.【分析】①先利用等腰三角形的性质可得一组角相等，又因有一组公共角，所以由三角形相似的判定定理即可得；②根据ABC ∆为等腰三角形，加上cos α、AB 的值可得出底边CD 的值，从而可找到两个三角形有一组相等的边10AB CD ==，在加上①中两组相等的角，即可证明全等；③因只已知DCE ∆为直角三角形，所以要分两种情况考虑，利用三角形相似可得ABD ∆为直角三角形，再结合cos α的值即可求得BD ；④设0BD x =>，则16CD x =-，由ABD ∆∽DCE ∆得BD AB CE DC =，从而可得出CE 含x 的等式，化简分析即可得. 【详解】①AB AC =B C α∴∠=∠=（等边对等角）又ADE B α∠=∠=ADE C DAE CAD ∠=∠⎧∴⎨∠=∠⎩∴ADE ∆∽ACD ∆,所以①正确；②作AH BC ⊥于H ，如图在Rt ABH ∆中，cos BH B AB∠=又B α∠= 4cos cos 5B α∴∠==4105BH BH AB ∴== 8BH ∴=由等腰三角形三线合一性质得，216BC BH ==当6BD =时，则10CD =ADC B BAD BAD α∠=∠+∠=+∠又ADC ADE CDE CDE α∠=∠+∠=+∠BAD CDE ∴∠=∠在ABD ∆和DCE ∆中，B C AB DCBAD CDE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()ABD DCE ASA ∴∆≅∆，所以②正确；③DCE ∆为直角三角形，有两种情况：当90DEC ∠=︒时，如图1B C BAD CDE ∠=∠⎧⎨∠=∠⎩∴ABD ∆∽DCE ∆90ADB DEC ∴∠=∠=︒在Rt ABD ∆中，cos cos BD B AB α∠==可解得8BD =当90CDE ∠=︒时，如图2 90BAD CDE ∴∠=∠=︒在Rt ABD ∆中，cos cos AB B BD α∠== 可解得252BD = 综上8BD =或252BD =，所以③不正确；④设0BD x =>，则16CD x =-由ABD ∆∽DCE ∆得BD AB CE DC =，即1016x CE x=- 211(16)8 6.41010CE x x x ∴=-=--+（） 6.4CE ∴≤故0 6.4CE <≤，所以④正确.综上，正确的结论有①②④.【点睛】本题考查了等腰三角形的定义和性质、三角形全等的判定、相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合．16、7【分析】本题先化简绝对值、算术平方根以及零次幂，最后再进行加减运算即可． 【详解】解：069(12)(3)--+---=6-3+1+3=7【点睛】此题主要考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答此题的关键．17、55°【分析】这道题可以根据CD 为斜边AB 的中线得出CD=AD ，由∠A=35°得出∠A=∠ACD=35°，则∠BCD=90°- 35°=55°.【详解】如图，∵CD 为斜边AB 的中线∴CD=AD∵∠A=35°∴∠A=∠ACD=35°∵∠ACD+∠BCD=90°则∠BCD=90°- 35°=55°故填：55°.【点睛】此题主要考查三角形内角度求解，解题的关键是熟知直角三角形的性质.18、22(3)3y x =+-【分析】先求出平移后的抛物线的顶点坐标，再利用顶点式抛物线解析式写出即可．【详解】抛物线22(1)3y x =+-的顶点坐标为（﹣1，﹣3）， 向左平移2个单位后的抛物线的顶点坐标为（﹣3，﹣3），所以，平移后的抛物线的解析式为22(3)3y x =+-．故答案为：22(3)3y x =+-．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用根据规律利用点的变化确定函数解析式．三、解答题（共78分）19、（1）108°，微信；（2）见解析；（3）1 3【分析】（1）根据喜欢电话沟通的人数与百分比即可求出共抽查人数，求出使用QQ的百分比即可求出QQ的扇形圆心角度数，根据总人数及所占百分比即可求出使用短信的人数，总人数减去除微信之外的四种方式的人数即可得到使用微信的人数．（2）根据短信与微信的人数即可补全条形统计图．（3）列出树状图分别求出所有情况以及甲、乙两名同学恰好选中同一种沟通方式的情况后，利用概率公式即可求出甲、乙两名同学恰好选中同一种沟通方式的概率．【详解】解：（1）喜欢用电话沟通的人数为20，所占百分比为20%，∴此次共抽查了：20÷20%＝100人喜欢用QQ沟通所占比例为：3030% 100，∴“QQ”的扇形圆心角的度数为：360°×30%＝108°，喜欢用短信的人数为：100×5%＝5（人）喜欢用微信的人数为：100−20−5−30−5＝40（人），∴最受学生欢迎的沟通方式是：微信，故答案为：108°，微信；（2）补全条形图如下：（3）列出树状图，如图所示所有情况共有9种情况，其中两人恰好选中同一种沟通方式共有3种情况， 甲、乙两名同学恰好选中同一种沟通方式的概率为：3193=． 【点睛】本题考查统计与概率，解题的关键是熟练运用统计与概率的相关公式，本题属于中等题型．20、（1）14；（2）公平．理由见解析. 【解析】试题分析：依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出甲乙获胜的概率，比较即可．试题解析：（1）列表得：由列表法可知：会产生12种结果，它们出现的机会相等，其中和为1的有3种结果． ∴P （乙获胜）=31=124； （2）公平．∵P （乙获胜）=31=124，P （甲获胜）=31=124．∴P （乙获胜）= P （甲获胜），∴游戏公平． 考点：1．游戏公平性；2．列表法与树状图法．21、（1）2；（2）①抛物线与x 轴的交点坐标是()30-，和()10，；②y 随x 增大而减小；③y 的取值范围是54y -<≤；（2）223y x x =--+．【分析】（1）利用表中对应值的特征和抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x=-1，则x=0和x=-2时，y 的值相等，都为2；（2）①利用表中y=0时x 的值可得到抛物线与x 轴的交点坐标；②设交点式y=a （x+2）（x-1），再把（0，2）代入求出a 得到抛物线解析式为y=-x 2-2x+2，则可判断抛物线的顶点坐标为（-1，1），抛物线开口向下，然后根据二次函数的性质解决问题；③由于x=-2时，y=2；当x=2时，y=-5，结合二次函数的性质可确定y的取值范围；（2）由（2）得抛物线解析式．【详解】解：（1）∵x=-2，y=0；x=1，y=0，∴抛物线的对称轴为直线x=-1，∴x=0和x=-2时，y=2；故答案是：2；（2）①∵x=-2，y=0；x=1，y=0，∴抛物线与x轴的交点坐标是（-2，0）和（1，0）；故答案是：（-2，0）和（1，0）；②设抛物线解析式为y=a（x+2）（x-1），把（0，2）代入得2=-2a，解得a=-1，∴抛物线解析式为y=-（x+2）（x-1），即y=-x2-2x+2，抛物线的顶点坐标为（-1，1），抛物线开口向下，∴在对称轴右侧，y随x增大而减小；故答案是：减小；③当x=-2时，y=2；当x=2时，y=-1-1+2=-5，当x=-1，y有最大值为1，∴当-2＜x＜2时，则y的取值范围是-5＜y≤1．故答案是：-5＜y≤1；（2）由（2）得抛物线解析式为y=-x2-2x+2，故答案是：y=-x2-2x+2．【点睛】本题考查了抛物线解析式的求法及与x轴的交点问题：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点问题转化为关于x的一元二次方程的问题．也考查了二次函数的性质．22、（1）x1＝，x2＝2；（2）x1＝1，x2＝0.2【分析】（1）利用配方法求解，可得答案；（2）利用因式分解法求解，可得答案．【详解】（1）∵x2﹣4x＝1，∴x2﹣4x+4＝1+4，即（x﹣2）2＝7，则x﹣2＝，解得：x 1＝x 2＝2；（2）∵5x （x ﹣1）﹣（x ﹣1）＝0，∴（x ﹣1）（5x ﹣1）＝0，则x ﹣1＝0或5x ﹣1＝0，解得：x 1＝1，x 2＝0.2．【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法，掌握配方法和因式分解法解方程，是解题的关键.23、（1）(-；（2）()3,0-；（3）存在，--【分析】（1）过点D 作DM x ⊥轴于点M ，利用三角函数值可得出60CAB ∠=，再根据翻折的性质可得出2DA AC ==，60DAB CAB ∠=∠=︒，再解Rt ADM ∆，得出1AM =，DM =C 的坐标即可得出答案；（2）设点C 坐标为(,0)a （0a <），则点B 的坐标是(,a ，利用（1）得出的结果作为已知条件，可得出点D 的坐标为(a -，再结合反比例函数求解即可；（3）首先存在这样的k 值，分190EDB ∠=和190EB D ∠=两种情况讨论分析即可．【详解】解：（1）如图，过点D 作DM x ⊥轴于点M∵90ACB ∠=︒，∴tan 2BC CAB AC ∠===∴60CAB ∠=由题意可知2DA AC ==，60DAB CAB ∠=∠=︒.∴180180606060DAM DAB CAB ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒.∴906030ADM ∠=︒-︒=︒在Rt ADM ∆中，2DA =，∴1AM =，DM =∵点C 坐标为(10)-，， ∴1214OM OC AC AM =++=++=.∴点D 的坐标是(-（2）设点C 坐标为(,0)a （0a <），则点B 的坐标是(,3)a ，由（1）可知：点D 的坐标是(3)a -∵点B 和点D 在同一个反比例函数的图象上， ∴233(3)a a =-.解得3a =-.∴点C 坐标为(3,0)-（3）存在这样的k ，使得以点E ，1B ，D 为顶点的三角形是直角三角形解：①当190EDB ∠=时.如图所示，连接ED ，1B B ，1B D ，1B B 与ED 相交于点N .则190EBN NDB ∠=∠=︒，1BNE DNB ∠=∠，130DBN NB E ∠=∠=.∴BNE ∆∽1DNB ∆ ∴1BN EN DN B N= ∴1BN DN EN B N= 又∵1BND ENB ∠=∠，∴BND ∆∽1ENB ∆.∴130NEB NBD ∠=∠=，130NDB NB E ∠=∠=，∴30BED BDE ∠=∠=︒.∴23BE BD ==，16tan 30BE BB == 设(43)E m ，（0m <），则1(9,3)D m -， ∵E ，1D 在同一反比例函数图象上，∴433(9)m m =-.解得：3m =-. ∴(343)E -，∴343123k =-⨯=-②当190EB D ∠=时.如图所示，连接ED ，1B B ，1B D ，∵1//BD ED ，∴1118090BDB EB D ∠=︒-∠=︒.在1Rt BDB ∆中，∵130DBB ∠=︒，23BD =∴14cos30BD BB ==. 在1Rt EBB ∆中，∵130BB E ∠=︒，∴143tan 303EB BB =︒=.∴1033 EC BC EB=+=设103(,)3E m（0m<），则1(1,3)D m-∵E，1D在同一反比例函数图象上，∴1033(7) 3m m=-.解得：3m=-，∴103 (3,)3E-∴10331033k=-⨯=-【点睛】本题是一道关于反比例函数的综合题目，具有一定的难度，涉及到的知识点有特殊角的三角函数值，翻折的性质，相似三角形的判定定理以及性质，反比例函数的性质等，充分考查了学生综合分析问题的能力．24、（1）13；（2）这个游戏不公平，理由见解析.【分析】（1）由把三个分别标有1，2，3的大小和形状完全相同的小球放在一个不透明的口袋中，直接利用概率公式求解即可求得答案；（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与甲胜，乙胜的情况，即可求得求概率，比较大小，即可知这个游戏是否公平．【详解】解：（1）由于三个分别标有1，2，3的大小和形状完全相同的小球放在一个不透明的口袋中，故从袋中随机摸出一球，标号是1的概率为：13； （2）这个游戏不公平．画树状图得：∵共有9种等可能的结果，两次摸出的球的标号之和为偶数的有5种情况，两次摸出的球的标号之和为奇数的有4种情况， ∴P （甲胜）=59，P （乙胜）=49． ∴P （甲胜）≠P （乙胜），故这个游戏不公平．【点睛】 本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．25、（1）见解析；（2） 43AH HC =；（3）42BEC S =【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角可得90∠=∠=︒ACD ACE ，然后利用ASA 判定△ACD ≌△ACE 即可推出AE=AD ；（2）连接OC 交BD 于G ，设3,2==BE x AB x ，根据垂径定理的推论可得出OC 垂直平分BD ，进而推出OG 为中位线，再判定ABH CGH ，利用对应边成比例即可求出AH HC的值； （3）连接OC 交BD 于G ，由（2）可知：OC ∥AB ，OG=12AB ，然后利用ASA 判定△BHA ≌△GHC ，设OG m =，则2,3CG AB m OA OC m ====，再判定FAB FOC ，利用对应边成比例求出m 的值，进而得到AB 和AD 的长，再用勾股定理求出BD ，可求出△BED 的面积，由C 为DE 的中点可得△BEC 为△BED 面积的一半，即可得出答案.【详解】（1）证明：∵AD 是O 的直径90∴∠=∠=︒ACD ACE∵AC 平分BAD ∠DAC EAC ∴∠=∠在△ACD 和△ACE 中，∵∠ACD=∠ACE ，AC=AC ，∠DAC=∠EAC∴△ACD ≌△ACE （ASA ）AE AD ∴=（2）如图，连接OC 交BD 于G ， 32BE AB =，设3,2==BE x AB x ， 则5AD AE AB BE x ==+=，OC=12AD=52x DAC EAC ∠=∠BC CD ∴=∴OC 垂直平分BD又∵O 为AD 的中点∴OG 为△ABD 的中位线∴OC ∥AB ，OG=1AB 2=x ，CG=53OC OG=22--=x x x ABHCGH ∴ 24332AH AB x HC CG x ∴=== （3）如图，连接OC 交BD 于G ，由（2）可知：OC ∥AB ，OG=12AB ∴∠BHA=∠GCH在△BHA 和△GHC 中，∵∠BHA=∠GCH ，AH=CH ，∠BHA=∠GHC()BHA GHC ASA ∴≅∴CG AB =设OG m =，则2,3CG AB m OA OC m ==== 又//OC AB ，∴FAB FOCFA AB FO OC∴= 62633m m m∴=+ 1m ∴=，2,6,4∴===AB AD BE∵AD 是O 的直径90∴∠=∠=︒ABD EBDBD ==11422EBD SEB BD ∴=⋅=⨯⨯= 又,≅ACD ACE∴=EC CD 1122BEC EBD S S ∴==⨯=【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理的推论，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，以及勾股定理，是一道圆的综合问题，解题的关键是连接OC 利用垂径定理得到中位线.26、（1）解：1P ，3（2）解：直线ON 与点M 的12倍相关圆的位置关系是相切. （3）①点C 的3倍相关圆的半径是3；②h . 【分析】（1）根据点P 的k 倍相关圆的定义即可判断出答案；（2）设点M 的坐标为(,0)x ，求得点M 的12倍相关圆半径为12x ，再比较与点M 到直线直线ON 的距离即可判断； （3）①先求得直线l 的解析式， 【详解】（1）()121P ，的1倍相关圆，半径为：1213⨯+=，()213P -，的1倍相关圆，半径为：1132⨯-=-，不符合，故答案为：1P ，3；（2）解：直线ON 与点M 的12倍相关圆的位置关系是相切， 证明：设点M 的坐标为(,0)x ，过M 点作MP ON ⊥于点P ，∴点M 的12倍相关圆半径为12x ， ∴OM x =，∵30,MON MP ON ︒∠=⊥，∴122OM MP x ==， ∴点M 的12倍相关圆半径为MP ， ∴直线ON 与点M 的12倍相关圆相切， （3）①∵反比例函数6y x =的图象经过点B ， ∴661m ==， ∴点B 的坐标为：()16， ， ∵直线AB 经过点()03A ，和()16B ， ， 设直线AB 的解析式为3y kx =+，把()16B ，代入得：1k =， ∴直线AB 的解析式为：3y x =+，∵直线l 与直线AB 关于y 轴对称，∴直线l 的解析式为：3y x =-+，∵点C 在直线l 上，设点C 的坐标为：()33a a -+，， ∴点C 的3倍相关圆的半径是：()3333a a +-+=，故点C 的3倍相关圆的半径是3；②h . 【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了新定义，理解和应用新定义解决问题，点和圆的位置关系、直线和圆的位置关系，还涉及到平面坐标系内，一次函数的性质，反比例函数的性质，两点间的距离公式，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，熟练掌握待定系数法，属于中考压轴题．。
深圳市数学九年级上册期末试卷(带解析)
深圳市数学九年级上册期末试卷(带解析)一、选择题1．如图，已知AB 为O 的直径，点C ，D 在O 上，若28BCD ∠=︒，则ABD ∠=（ ）A ．72︒B ．56︒C ．62︒D ．52︒2．方程 x 2＝4的解是（ ）A ．x 1＝x 2＝2B ．x 1＝x 2＝－2C ．x 1＝2，x 2＝－2D ．x 1＝4，x 2＝－43．若25x y =，则x y y+的值为（ ） A ．25 B ．72C ．57D ．754．如图1，S 是矩形ABCD 的AD 边上一点，点E 以每秒k cm 的速度沿折线BS －SD －DC 匀速运动，同时点F 从点C 出发点，以每秒1cm 的速度沿边CB 匀速运动．已知点F 运动到点B 时，点E 也恰好运动到点C ，此时动点E ，F 同时停止运动．设点E ，F 出发t 秒时，△EBF 的面积为2ycm ．已知y 与t 的函数图像如图2所示．其中曲线OM ，NP 为两段抛物线，MN 为线段．则下列说法：①点E 运动到点S 时，用了2.5秒，运动到点D 时共用了4秒； ②矩形ABCD 的两邻边长为BC ＝6cm ，CD ＝4cm ； ③sin ∠ABS ＝3； ④点E 的运动速度为每秒2cm ．其中正确的是（ ）A ．①②③B ．①③④C ．①②④D ．②③④5．二次函数()20y ax bx c a =++≠的图像如图所示，它的对称轴为直线1x =，与x 轴交点的横坐标分别为1x ，2x ，且110x -<<.下列结论中：①0abc <；②223x <<；③421a b c ++<-；④方程()2200ax bx c a ++-=≠有两个相等的实数根；⑤13a >.其中正确的有（ ）A ．②③⑤B ．②③C ．②④D ．①④⑤6．某中学篮球队12名队员的年龄情况如下： 年龄(单位：岁)14 15 16 17 18 人数15321则这个队队员年龄的众数和中位数分别是( ) A ．15，16B ．15，15C ．15，15.5D ．16，157．为了考察某种小麦的长势，从中抽取了5株麦苗，测得苗高(单位：cm)为：10、16、8、17、19，则这组数据的极差是（ ） A ．8B ．9C ．10D ．118．如图，已知等边△ABC 的边长为4，以AB 为直径的圆交BC 于点F ，CF 为半径作圆，D 是⊙C 上一动点，E 是BD 的中点，当AE 最大时，BD 的长为（ ）A ．23B ．25C ．4D ．69．如图在△ABC 中，点D 、E 分别在△ABC 的边AB 、AC 上，不一定能使△ADE 与△ABC 相似的条件是（ ）A ．∠AED=∠B B ．∠ADE=∠C C ．AD DEAB BC= D ．AD AEAC AB= 10．已知反比例函数ky x=的图象经过点（m ，3m ），则此反比例函数的图象在（ ） A ．第一、二象限B ．第一、三象限C ．第二、四象限D ．第三、四象限11．如图，△ABC 中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点D 是BC 的中点，将△ABD 沿AD 翻折得到△AED ，连CE ，则线段CE 的长等于（ ）A ．2B ．54C ．53D ．7512．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点M ，若CD ＝8 cm ，MB ＝2 cm ，则直径AB 的长为（ ）A ．9 cmB ．10 cmC ．11 cmD ．12 cm13．如图，在⊙O 中，AB 为直径，圆周角∠ACD=20°，则∠BAD 等于（ ）A ．20°B ．40°C ．70°D ．80°14．2的相反数是（ ） A ．12-B ．12C ．2D ．2-15．已知抛物线与二次函数23y x =-的图像相同，开口方向相同，且顶点坐标为(1,3)-，它对应的函数表达式为（ ） A ．23(1)3y x =--+ B ．23(1)3y x =-+ C ．23(1)3y x =+-D ．23(1)3y x =-++二、填空题16．如图，已知Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，8AC =，6BC =，将ABC ∆绕点C 顺时针旋转得到MCN ∆，点D 、E 分别为AB 、MN 的中点，若点E 刚好落在边BC 上，则sin DEC ∠=______.17．某企业2017年全年收入720万元，2019年全年收入845万元，若设该企业全年收入的年平均增长率为x ，则可列方程____．18．将抛物线y=﹣2x 2+1向左平移三个单位，再向下平移两个单位得到抛物线________； 19．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°,AC=4,BC=3,D 是以点A 为圆心2为半径的圆上一点，连接BD ，M 为BD 的中点，则线段CM 长度的最小值为__________．20．二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，给出下列说法：①ab 0<；②方程2ax bx c 0++=的根为1x 1=-，2x 3=；③a b c 0++>；④当x 1>时，y 随x 值的增大而增大；⑤当y 0>时，1x 3-<<．其中，正确的说法有________（请写出所有正确说法的序号）．21．把抛物线22(1)1y x =-+向左平移2个单位长度再向下平移3个单位长度后所得到的抛物线的函数表达式是__________． 22．如图，P 为O 外一点，PA 切O 于点A ，若3PA =，45APO ∠=︒，则O 的半径是______.23．一种药品经过两次降价，药价从每盒80元下调至45元，平均每次降价的百分率是__．24．如图，在边长为1的小正方形网格中，点A 、B 、C 、D 都在这些小正方形的顶点上，AB 、CD 相交于点O ，则tan ∠AOD=________.25．当21x -≤≤时，二次函数22()1y x m m =--++有最大值4，则实数m 的值为________．26．若m 是关于x 的方程x 2-2x-3=0的解，则代数式4m-2m 2+2的值是______．27．一次安全知识测验中，学生得分均为整数，满分10分，这次测验中甲、乙两组学生人数都为6人，成绩如下：甲：7，9，10，8，5，9；乙：9，6，8，10，7，8． （1）请补充完整下面的成绩统计分析表：平均分 方差 众数 中位数甲组 89乙组5388（2）甲组学生说他们的众数高于乙组，所以他们的成绩好于乙组，但乙组学生不同意甲组学生的说法，认为他们组的成绩要好于甲组，请你给出一条支持乙组学生观点的理由_____________________________．28．若圆弧所在圆的半径为12，所对的圆心角为60°，则这条弧的长为_____． 29．若把一根长200cm 的铁丝分成两部分，分别围成两个正方形，则这两个正方形的面积的和最小值为_____．30．若关于x 的一元二次方程22(1)0k x x k -+-=的一个根为1，则k 的值为__________.三、解答题31．某校举行秋季运动会，甲、乙两人报名参加100 m 比赛，预赛分A 、B 、C 三组进行，运动员通过抽签决定分组． （1）甲分到A 组的概率为 ； （2）求甲、乙恰好分到同一组的概率．32．已知二次函数y ＝(x －m )(x ＋m ＋4)，其中m 为常数． （1）求证：不论m 为何值，该二次函数的图像与x 轴有公共点．（2）若A (－1，a )和B (n ，b )是该二次函数图像上的两个点，请判断a 、b 的大小关系． 33．为了落实国务院的指示精神，地方政府出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加．某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为每千克20元，市场调查发现，该产品每天的销售量y(千克)与销售价x(元/千克)有如下关系：y 2x 80=-+.设这种产品每天的销售利润为w元.（1）求w与x之间的函数关系式；（2）该产品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？34．如图，AB是⊙O的直径，弦DE垂直平分半径OA，C为垂足，弦DF与半径OB相交于点P，连结EF、EO，若DE=23，∠DPA=45°．（1）求⊙O的半径;（2）求图中阴影部分的面积．35．如图，AB是⊙O的直径，弦DE垂直平分半径OA，C为垂足，弦DF与半径OB相交于点P，连接EF、EO，若DE＝2，∠DPA＝45°．（1）求⊙O的半径；（2）求图中阴影部分的面积．四、压轴题36．阅读理解：如图，在纸面上画出了直线l与⊙O，直线l与⊙O相离，P为直线l上一动点，过点P作⊙O的切线PM，切点为M，连接OM、OP，当△OPM的面积最小时，称△OPM为直线l与⊙O的“最美三角形”．解决问题：（1）如图1，⊙A的半径为1，A(0，2) ，分别过x轴上B、O、C三点作⊙A的切线BM、OP、CQ，切点分别是M、P、Q，下列三角形中，是x轴与⊙A的“最美三角形”的是．(填序号)①ABM ；②AOP ；③ACQ（2）如图2，⊙A 的半径为1，A(0，2)，直线y=kx （k≠0）与⊙A 的“最美三角形”的面积为12，求k 的值． （3）点B 在x 轴上，以B 为圆心，3为半径画⊙B ，若直线y=3x+3与⊙B 的“最美三角形”的面积小于32，请直接写出圆心B 的横坐标B x 的取值范围．37．如图，在四边形ABCD 中，9054ABC BCD AB BC cm CD cm ∠=∠=︒===，，点P 从点C 出发以1/cm s 的速度沿CB 向点B 匀速移动，点M 从点A 出发以15/cm s 的速度沿AB 向点B 匀速移动，点N 从点D 出发以/acm s 的速度沿DC 向点C 匀速移动．点P M N 、、同时出发，当其中一个点到达终点时，其他两个点也随之停止运动，设移动时间为ts ． （1）如图①，①当a 为何值时，点P B M 、、为顶点的三角形与PCN △全等?并求出相应的t 的值； ②连接AP BD 、交于点E ，当AP BD ⊥时，求出t 的值； （2）如图②，连接AN MD 、交于点F ．当3883a t ==，时，证明：ADF CDF S S ∆∆=．38．如图, AB 是⊙O 的直径,点D 、E 在⊙O 上,连接AE 、ED 、DA ,连接BD 并延长至点C ,使得DAC AED ∠=∠．（1）求证: AC 是⊙O 的切线；（2）若点E 是BC 的中点, AE 与BC 交于点F ， ①求证: CA CF =；②若⊙O 的半径为3，BF =2,求AC 的长．39．如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，以点B 为圆心，BC 的长为半径画弧，交线段AB 于点D ，以点A 为圆心，AD 长为半径画弧，交线段AC 于点E ，连结CD .（1）若28A ∠=︒，求ACD ∠的度数； （2）设BC a =，AC b =；①线段AD 的长度是方程2220x ax b +-=的一个根吗？说明理由. ②若线段AD EC =，求ab的值. 40．已知，如图Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6cm ，BC ＝8cm ，点P 为AC 的中点，Q 从点A 运动到B ，点Q 运动到点B 停止，连接PQ ，取PQ 的中点O ，连接OC ，OB ． (1)若△ABC ∽△APQ ，求BQ 的长；(2)在整个运动过程中，点O 的运动路径长_____；(3)以O 为圆心，OQ 长为半径作⊙O ，当⊙O 与AB 相切时，求△COB 的面积．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【解析】【分析】连接AD,根据同弧所对的圆周角相等，求∠BAD的度数，再根据直径所对的圆周角是90°，利用内角和求解.【详解】解：连接AD,则∠BAD=∠BCD=28°,∵AB是直径，∴∠ADB=90°,∴∠ABD=90°-∠BAD=90°-28°=62°.故选：C.【点睛】本题考查圆周角定理，运用圆周角定理是解决圆中角问题的重要途径，直径所对的圆周角是90°是圆中构造90°角的重要手段.2．C解析：C【解析】【分析】两边开方得到x=±2．【详解】解：∵x2=4，∴x=±2，∴x1=2，x2=-2．故选：C．【点睛】本题考查了解一元二次方程-直接开平方法：形如ax2+c=0（a≠0）的方程可变形为2=cxa，当a、c异号时，可利用直接开平方法求解．3．D解析：D 【解析】 【分析】由已知可得x 与y 的关系，然后代入所求式子计算即可. 【详解】 解：∵25x y =， ∴25x y =， ∴2755y yx y y y ++==. 故选：D. 【点睛】本题考查了比例的性质，属于基础题型，熟练掌握比例的性质是解题关键.4．C解析：C 【解析】 【分析】①根据函数图像的拐点是运动规律的变化点由图象即可判断．②设AB CD acm ==，BC AD bcm ==，由函数图像利用△EBF 面积列出方程组即可解决问题．③由 2.5BS k =，1.5SD k =，得53BS SD =，设3SD x =，5BS x =，在RT ABS ∆中，由222AB AS BS +=列出方程求出x ，即可判断．④求出BS 即可解决问题． 【详解】解：函数图像的拐点时点运动的变化点根据由图象可知点E 运动到点S 时用了2.5秒，运动到点D 时共用了4秒．故①正确． 设AB CD acm ==，BC AD bcm ==，由题意，1··( 2.5)721·(4)42a b a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩解得46a b =⎧⎨=⎩，所以4AB CD cm ==，6BC AD cm ==，故②正确， 2.5BS k =， 1.5SD k =，∴53BS SD =，设3SD x =，5BS x =，在Rt ABS ∆中，222AB AS BS +=，2224(63)(5)x x ∴+-=，解得1x =或134-（舍)， 5BS ∴=，3SD =，3AS =，3sin 5AS ABS BS ∴∠==故③错误， 5BS =，5 2.5k ∴=， 2/k cm s ∴=，故④正确，故选：C ．【点睛】本题考查二次函数综合题、锐角三角函数、勾股定理、三角形面积、函数图象问题等知识，读懂图象信息是解决问题的关键，学会设未知数列方程组解决问题，把问题转化为方程去思考，是数形结合的好题目，属于中考选择题中的压轴题．5．A解析：A【解析】【分析】利用抛物线开口方向得到a ＜0，利用对称轴位置得到b ＞0，利用抛物线与y 轴的交点在x 轴下方得c ＜0，则可对①进行判断；根据二次函数的对称性对②③进行判断；利用抛物线与直线y=2的交点个数对④进行判断，利用函数与坐标轴的交点列出不等式即可判断⑤.【详解】∵抛物线开口向下，∴a ＜0，∵对称轴为直线1x =∴b=-2a ＞0∵抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，∴c ＜-1，∴abc ＞0，所以①错误；∵110x -<<，对称轴为直线1x = ∴1212x x +=故223x <<，②正确； ∵对称轴x=1，∴当x=0，x=2时，y 值相等，故当x=0时，y=c ＜0，∴当x=2时，y=421a b c ++<-，③正确；如图，作y=2，与二次函数有两个交点，故方程()2200ax bx c a ++-=≠有两个不相等的实数根，故④错误；∵当x=-1时，y=a-b+c=3a+c＞0，当x=0时，y=c＜-1∴3a＞1，故13a>，⑤正确；故选A.【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）．也考查了二次函数的性质．6．C解析：C【解析】【分析】由题意直接根据众数和中位数的定义求解可得．【详解】解：∵这组数据中15出现5次，次数最多，∴众数为15岁，中位数是第6、7个数据的平均数，∴中位数为(1516)2+÷=15.5岁，故选：C．【点睛】本题考查众数与中位数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错；众数是一组数据中出现次数最多的数．7．D解析：D【解析】【分析】计算最大数19与最小数8的差即可.19-8=11，故选：D.【点睛】此题考查极差，即一组数据中最大值与最小值的差.8．B解析：B【解析】【分析】点E在以F为圆心的圆上运到，要使AE最大，则AE过F，根据等腰三角形的性质和圆周角定理证得F是BC的中点，从而得到EF为△BCD的中位线，根据平行线的性质证得CD⊥BC，根据勾股定理即可求得结论．【详解】解：点D在⊙C上运动时，点E在以F为圆心的圆上运到，要使AE最大，则AE过F，连接CD，∵△ABC是等边三角形，AB是直径，∴EF⊥BC，∴F是BC的中点，∵E为BD的中点，∴EF为△BCD的中位线，∴CD∥EF，∴CD⊥BC，BC=4，CD=2，故2216425+=+=BC CD故选：B．【点睛】本题主要考查等边三角形的性质，圆周角定理，三角形中位线的性质以及勾股定理，熟练并正确的作出辅助圆是解题的关键．9．C解析：C【解析】【分析】由题意根据相似三角形的判定定理依次对各选项进行分析判断即可．解：A、∠AED=∠B，∠A=∠A，则可判断△ADE∽△ACB，故A选项错误；B、∠ADE=∠C，∠A=∠A，则可判断△ADE∽△ACB，故B选项错误；C、AD DEAB BC=不能判定△ADE∽△ACB，故C选项正确；D、AD AEAC AB=，且夹角∠A=∠A，能确定△ADE∽△ACB，故D选项错误．故选：C．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解答此题的关键．10．B解析：B【解析】【分析】【详解】解：将点（m，3m）代入反比例函数kyx=得，k=m•3m=3m2＞0；故函数在第一、三象限，故选B．11．D解析：D【解析】【分析】如图连接BE交AD于O，作AH⊥BC于H．首先证明AD垂直平分线段BE，△BCE是直角三角形，求出BC、BE，在Rt△BCE中，利用勾股定理即可解决问题．【详解】如图连接BE交AD于O，作AH⊥BC于H．在Rt△ABC中，∵AC=4，AB=3，∴2234+，∵CD=DB，∴AD=DC=DB=52，∵12•BC•AH=12•AB•AC，∴AH=125，∵AE=AB，DE=DB=DC，∴AD垂直平分线段BE，△BCE是直角三角形，∵12•AD•BO=12•BD•AH，∴OB=125，∴BE=2OB=245，在Rt△BCE中，EC=2222247555 BC BE⎛⎫-=-=⎪⎝⎭.故选D．点睛：本题考查翻折变换、直角三角形的斜边中线的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用面积法求高，属于中考常考题型．12．B解析：B【解析】【分析】由CD⊥AB，可得DM=4．设半径OD=Rcm，则可求得OM的长，连接OD，在直角三角形DMO中，由勾股定理可求得OD的长，继而求得答案．【详解】解：连接OD，设⊙O半径OD为R,∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点M，∴DM=12CD=4cm，OM=R-2,在RT△OMD中，OD²=DM²+OM²即R²=4²+(R-2)²,解得：R=5,∴直径AB的长为:2×5=10cm．故选B．【点睛】本题考查了垂径定理以及勾股定理．注意掌握辅助线的作法及数形结合思想的应用．13．C解析：C【解析】【分析】连接OD ，根据∠AOD =2∠ACD ，求出∠AOD ，利用等腰三角形的性质即可解决问题．【详解】连接OD ．∵∠ACD =20°，∴∠AOD =2∠ACD =40°．∵OA =OD ，∴∠BAD =∠ADO =12（180°﹣40°）=70°． 故选C ．【点睛】本题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．14．D解析：D【解析】【分析】根据相反数的概念解答即可．【详解】2的相反数是-2，故选D ．15．D解析：D【解析】【分析】先根据抛物线与二次函数23y x =-的图像相同，开口方向相同，确定出二次项系数a 的值，然后再通过顶点坐标即可得出抛物线的表达式．【详解】∵抛物线与二次函数23y x =-的图像相同，开口方向相同， 3a ∴=-∵顶点坐标为(1,3)-∴抛物线的表达式为23(1)3y x =-++故选：D ．【点睛】本题主要考查抛物线的顶点式，掌握二次函数表达式中的顶点式是解题的关键．二、填空题16．【解析】【分析】根据旋转性质及直角三角形斜边中线等于斜边一半，求出CD=CE=5,再根据勾股定理求DE 长，的值即为等腰△CDE 底角的正弦值，根据等腰三角形三线合一构建直角三角形求解.【详解】【解析】【分析】根据旋转性质及直角三角形斜边中线等于斜边一半，求出CD=CE=5,再根据勾股定理求DE 长，sin DEC ∠的值即为等腰△CDE 底角的正弦值，根据等腰三角形三线合一构建直角三角形求解.【详解】如图，过D 点作DM ⊥BC ，垂足为M ，过C 作CN ⊥DE ，垂足为N ，在Rt △ACB 中，AC=8，BC=6，由勾股定理得，AB=10，∵D 为AB 的中点，∴CD=152AB = , 由旋转可得，∠MCN=90°,MN=10，∵E 为MN 的中点，∴CE=152MN , ∵DM ⊥BC,DC=DB,∴CM=BM=132BC =, ∴EM=CE-CM=5-3=2， ∵DM=142AC ,∴由勾股定理得，DE=∵CD=CE=5，CN ⊥DE,∴DN=EN=5 ,∴由勾股定理得，CN=25,∴sin∠DEC=25 CNCE.25.【点睛】本题考查旋转性质，直角三角形的性质和等腰三角形的性质，能够用等腰三角形三线合一的性质构建直角三角形解决问题是解答此题的关键.17．720（1+x）2=845．【解析】【分析】增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），参照本题，如果该企业全年收入的年平均增长率为x，根据2017年全年收入720万元，2019解析：720（1+x）2=845．【解析】【分析】增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），参照本题，如果该企业全年收入的年平均增长率为x，根据2017年全年收入720万元，2019年全年收入845万元，即可得出方程．【详解】解：设该企业全年收入的年平均增长率为x，则2018的全年收入为：720×（1+x）2019的全年收入为：720×（1+x）2．那么可得方程：720（1+x）2=845．故答案为：720（1+x）2=845．【点睛】本题考查了一元二次方程的运用，解此类题的关键是掌握等量关系式：增长后的量=增长前的量×（1+增长率）．18．【解析】【分析】根据抛物线平移的规律计算即可得到答案.【详解】根据题意：平移后的抛物线为.【点睛】此题考查抛物线的平移规律：对称轴左加右减，函数值上加下减，掌握规律并熟练运用是解题的关解析：()2231y x =-+-【解析】【分析】根据抛物线平移的规律计算即可得到答案.【详解】根据题意：平移后的抛物线为()2231y x =-+-.【点睛】此题考查抛物线的平移规律：对称轴左加右减，函数值上加下减，掌握规律并熟练运用是解题的关键. 19．【解析】【分析】作AB 的中点E,连接EM,CE,AD 根据三角形中位线的性质和直角三角形斜边中线等于斜边一半求出EM 和CE 长，再根据三角形的三边关系确定CM 长度的范围，从而确定CM 的最小值.【 解析：32【解析】【分析】作AB 的中点E,连接EM,CE,AD 根据三角形中位线的性质和直角三角形斜边中线等于斜边一半求出EM 和CE 长，再根据三角形的三边关系确定CM 长度的范围，从而确定CM 的最小值.【详解】解：如图，取AB 的中点E ，连接CE,ME,AD,∵E 是AB 的中点，M 是BD 的中点，AD=2，∴EM 为△BAD 的中位线， ∴112122EM AD , 在Rt △ACB 中，AC=4,BC=3，由勾股定理得，5==∵CE 为Rt △ACB 斜边的中线，∴1155222CE AB , 在△CEM 中，551122CM ,即3722CM ， ∴CM 的最大值为32 .故答案为：32. 【点睛】 本题考查了圆的性质，直角三角形的性质及中位线的性质，利用三角形三边关系确定线段的最值问题，构造一个以CM 为边，另两边为定值的的三角形是解答此题的关键和难点.20．①②④【解析】【分析】根据抛物线的对称轴判断①，根据抛物线与x 轴的交点坐标判断②，根据函数图象判断③④⑤．【详解】解：∵对称轴是x=-=1，∴ab ＜0，①正确；∵二次函数y=ax2+b解析：①②④【解析】【分析】根据抛物线的对称轴判断①，根据抛物线与x 轴的交点坐标判断②，根据函数图象判断③④⑤．【详解】解：∵对称轴是x=-2b a=1， ∴ab ＜0，①正确； ∵二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴的交点坐标为（-1，0）、（3，0），∴方程x 2+bx+c=0的根为x 1=-1，x 2=3，②正确；∵当x=1时，y ＜0，∴a+b+c ＜0，③错误；由图象可知，当x ＞1时，y 随x 值的增大而增大，④正确；当y ＞0时，x ＜-1或x ＞3，⑤错误，故答案为①②④．【点睛】本题考查的是二次函数图象与系数之间的关系，二次函数y=ax 2+bx+c 系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y 轴的交点、抛物线与x 轴交点的个数确定．21．【解析】【分析】根据二次函数图象的平移规律平移即可．【详解】抛物线向左平移2个单位长度再向下平移3个单位长度后所得到的抛物线的函数表达式是即故答案为：．【点睛】本题主要考查二次函解析：22(1)2y x =+-【解析】【分析】根据二次函数图象的平移规律平移即可．【详解】抛物线22(1)1y x =-+向左平移2个单位长度再向下平移3个单位长度后所得到的抛物线的函数表达式是 22(12)13y x =-++-即22(1)2y x =+-故答案为：22(1)2y x =+-．【点睛】本题主要考查二次函数的平移，掌握平移规律“左加右减，上加下减”是解题的关键． 22．3【解析】【分析】由题意连接OA ，根据切线的性质得出OA⊥PA，由已知条件可得△OAP 是等腰直角三角形，进而可求出OA 的长，即可求解．解：连接OA，∵PA切⊙O于点A，∴OA解析：3【解析】【分析】由题意连接OA，根据切线的性质得出OA⊥PA，由已知条件可得△OAP是等腰直角三角形，进而可求出OA的长，即可求解．【详解】解：连接OA，∵PA切⊙O于点A，∴OA⊥PA，∴∠OAP=90°，∵∠APO=45°，∴OA=PA=3，故答案为：3．【点睛】本题考查切线的性质即圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，连接过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．23．25%【解析】【分析】设每次降价的百分比为x，根据前量80，后量45，列出方程，解方程即可得到答案.【详解】设每次降价的百分比为x，，解得：x1=0.25=25%，x2=1.75（不合解析：25%【解析】设每次降价的百分比为x ，根据前量80，后量45，列出方程280(1)45x ，解方程即可得到答案.【详解】设每次降价的百分比为x ， 280(1)45x ，解得：x 1=0.25=25%，x 2=1.75（不合题意舍去）故答案为：25%.【点睛】此题考查一元二次方程的实际应用，正确理解百分率问题，代入公式：前量（1 x ）2=后量，即可解答此类问题.24．2【解析】【分析】首先连接BE ，由题意易得BF=CF ，△ACO ∽△BKO ，然后由相似三角形的对应边成比例，易得KO ：CO=1：3，即可得OF ：CF=OF ：BF=1：2，在Rt △OBF 中，即可求解析：2【解析】【分析】首先连接BE ，由题意易得BF=CF ，△ACO ∽△BKO ，然后由相似三角形的对应边成比例，易得KO ：CO=1：3，即可得OF ：CF=OF ：BF=1：2，在Rt △OBF 中，即可求得tan ∠BOF 的值，继而求得答案．【详解】如图，连接BE ，∵四边形BCEK 是正方形，∴KF=CF=12CK ，BF=12BE ，CK=BE ，BE ⊥CK ， ∴BF=CF ，根据题意得：AC ∥BK ，∴△ACO ∽△BKO ，∴KO ：CO=BK ：AC=1：3，∴KO ：KF=1：2，∴KO=OF=12CF=12BF ， 在Rt △PBF 中，tan ∠BOF=BF OF =2， ∵∠AOD=∠BOF ，∴tan ∠AOD=2．故答案为2【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，三角函数的定义．此题难度适中，解题的关键是准确作出辅助线，注意转化思想与数形结合思想的应用．25．2或【解析】【分析】求出二次函数对称轴为直线x=m ，再分m ＜-2，-2≤m≤1，m ＞1三种情况，根据二次函数的增减性列方程求解即可．【详解】解：二次函数的对称轴为直线x=m ，且开口向下，解析：2或【解析】【分析】求出二次函数对称轴为直线x=m ，再分m ＜-2，-2≤m≤1，m ＞1三种情况，根据二次函数的增减性列方程求解即可．【详解】解：二次函数22()1y x m m =--++的对称轴为直线x=m ，且开口向下，①m ＜-2时，x=-2取得最大值，-（-2-m ）2+m 2+1=4， 解得74m =-， 724->-， ∴不符合题意，②-2≤m≤1时，x=m 取得最大值，m 2+1=4，解得m =所以m =，③m ＞1时，x=1取得最大值，-（1-m ）2+m 2+1=4，解得m=2，综上所述，m=2或时，二次函数有最大值．故答案为：2或【点睛】本题考查了二次函数的最值，熟悉二次函数的性质及图象能分类讨论是解题的关键．26．-4【解析】【分析】先由方程的解的含义，得出m2-2m-3=0，变形得m2-2m=3，再将要求的代数式提取公因式-2，然后将m2-2m=3代入，计算即可．【详解】解：∵m是关于x的方程x2解析：-4【解析】【分析】先由方程的解的含义，得出m2-2m-3=0，变形得m2-2m=3，再将要求的代数式提取公因式-2，然后将m2-2m=3代入，计算即可．【详解】解：∵m是关于x的方程x2-2x-3=0的解，∴m2-2m-3=0，∴m2-2m=3，∴4m-2m2+2= -2（m2-2m）+2= -2×3+2= -4．故答案为：-4．【点睛】本题考查了利用一元二次方程的解的含义在代数式求值中的应用，明确一元二次方程的解的含义并将要求的代数式正确变形是解题的关键．27．（1），8.5，8；（2）两队的平均分相同，但乙组的方差小于甲组方差，所以乙组成绩更稳定．【解析】【分析】（1）根据方差、平均数的计算公式求出甲组方差和乙组平均数，根据中位数的定义，取出甲组中解析：（1）83，8.5，8；（2）两队的平均分相同，但乙组的方差小于甲组方差，所以乙组成绩更稳定．【解析】【分析】（1）根据方差、平均数的计算公式求出甲组方差和乙组平均数，根据中位数的定义，取出甲组中位数；（2）根据（1）中表格数据，分别从反应数据集中程度的中位数和平均分及反应数据波动程度的方差比较甲、乙两组，由此找出乙组优于甲组的一条理由．【详解】（1）甲组方差：()()()()()()22222218789810888589863⎡⎤-+-+-+-+-+-=⎣⎦ 甲组数据由小到大排列为：5，7，8，9，9，10故甲组中位数：（8+9）÷2=8.5乙组平均分：(9+6+8+10+7+8)÷6=8填表如下：故答案为：83，8.5，8；两队的平均分相同，但乙组的方差小于甲组方差，所以乙组成绩更稳定．【点睛】本题考查数据分析，熟练掌握反应数据集中趋势的中位数、众数和平均数以及反应数据波动程度的方差的计算公式和定义是解题关键．28．4π【解析】【分析】直接利用弧长公式计算即可求解．【详解】l ＝＝4π，故答案为：4π．【点睛】本题考查弧长计算公式，解题的关键是掌握：弧长l ＝（n 是弧所对应的圆心角度数）解析：4π【解析】【分析】直接利用弧长公式计算即可求解．l ＝6012180π⨯＝4π， 故答案为：4π．【点睛】 本题考查弧长计算公式，解题的关键是掌握：弧长l ＝180n r π（n 是弧所对应的圆心角度数） 29．1250cm2【解析】【分析】设将铁丝分成xcm 和（200﹣x ）cm 两部分，则两个正方形的边长分别是cm ，cm ，再列出二次函数，求其最小值即可．【详解】如图：设将铁丝分成xcm 和（200﹣解析：1250cm 2【解析】【分析】设将铁丝分成xcm 和（200﹣x ）cm 两部分，则两个正方形的边长分别是4x cm ，2004x -cm ，再列出二次函数，求其最小值即可． 【详解】如图：设将铁丝分成xcm 和（200﹣x ）cm 两部分，列二次函数得：y ＝（4x ）2+（2004x -）2＝18（x ﹣100）2+1250， 由于18＞0，故其最小值为1250cm 2， 故答案为：1250cm 2．【点睛】本题考查二次函数的最值问题，解题的关键是根据题意正确列出二次函数．30．0【解析】把x ＝1代入方程得，，解得.此方程为一元二次方程，，即，故答案为0.解析：0【解析】把x ＝1代入方程得，2110k k -+-=，即20k k -=，解得120,1k k ==.此方程为一元二次方程，10k ∴-≠，即1k ≠，0.k ∴=故答案为0.三、解答题31．（1）13；（2）13 【解析】【分析】（1）直接利用概率公式求出甲分到A 组的概率；（2）将所有情况列出，找出满足条件：甲、乙恰好分到同一组的情况有几种，计算出概率.【详解】解：（1）13（2）甲乙两人抽签分组所有可能出现的结果有：（A ，A ）、（A ，B ）、（A ，C ）、（B ，A ）、（B ，B ）、（B ，C ）、（C ，A ）、（C ，B ）、（C ，C ）共有9种，它们出现的可能性相同．所有的结果中，满足“甲乙分到同一组”（记为事件A ）的结果有3种，所以P (A )＝13． 【点睛】此题主要考查了树状图法求概率，正确利用列举出所有可能并熟练掌握概率公式是解题关键．32．（1）见解析；（2） ①当n ＝－3时，a ＝b ；②当－3＜n ＜－1时，a ＞b ；③当n ＜－3或n ＞－1时，a ＜b。
深圳实验学校九年级上册期末数学试题(含答案)
深圳实验学校九年级上册期末数学试题(含答案)一、选择题1．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，若DE ＝2，BC ＝6，则ADE ABC 的面积的面积＝（ ）A ．13B ．14C ．16D ．192．二次函数y ＝3(x －2)2－1的图像顶点坐标是（ ） A ．（－2，1）B ．（－2，－1）C ．（2，1）D ．（2，－1）3．下图是甲、乙两人2019年上半年每月电费支出的统计，则他们2019年上半年月电费支出的方差2S 甲和2S 乙的大小关系是（ ）A ．2S 甲＞2S 乙B ．2S 甲＝2S 乙C ．2S 甲＜2S 乙D ．无法确定4．已知圆锥的底面半径为3cm ，母线为5cm ，则圆锥的侧面积是 ( ) A ．30πcm 2B ．15πcm 2C ．152πcm 2 D ．10πcm 25．如图，AB 是⊙O 的弦，半径OC ⊥AB ，D 为圆周上一点，若BC 的度数为50°，则∠ADC 的度数为 （ ）A ．20°B ．25°C ．30°D ．50°6．方程(1)(2)0x x --=的解是（ ） A ．1x =B ．2x =C ．1x =或2x =D ．1x =-或2x =-7．如图，已知正五边形ABCDE 内接于O ，连结,BD CE 相交于点F ，则BFC ∠的度数是（ ）A ．60︒B ．70︒C ．72︒D ．90︒8．如图，若二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）图象的对称轴为x=1，与y 轴交于点C ，与x 轴交于点A 、点B （﹣1，0），则 ①二次函数的最大值为a+b+c ； ②a ﹣b+c ＜0； ③b 2﹣4ac ＜0；④当y ＞0时，﹣1＜x ＜3，其中正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 9．如果两个相似三角形的周长比是1：2，那么它们的面积比是（ ）A ．1：2B ．1：4C ．12D 2：110．抛物线y ＝x 2先向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到新的抛物线解析式是( )A ．y ＝(x+1)2+3B ．y ＝(x+1)2﹣3C ．y ＝(x ﹣1)2﹣3D ．y ＝(x ﹣1)2+311．一元二次方程230x x k -+=的一个根为2x =，则k 的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．412．点P 1（﹣1，1y ），P 2（3，2y ），P 3（5，3y ）均在二次函数22y x x c =-++的图象上，则1y ，2y ，3y 的大小关系是（ ） A ．321y y y >>B ．312y y y >=C ．123y y y >>D ．123y y y =>13．将二次函数y ＝x 2的图象沿y 轴向上平移2个单位长度，再沿x 轴向左平移3个单位长度，所得图象对应的函数表达式为（ ） A ．y ＝（x +3）2+2B ．y ＝（x ﹣3）2+2C ．y ＝（x +2）2+3D ．y ＝（x ﹣2）2+314．方程x 2=4的解是（ ）A ．x=2B ．x=﹣2C ．x 1=1，x 2=4D ．x 1=2，x 2=﹣215．如图，AB 为O 的切线，切点为A ，连接AO BO 、，BO 与O 交于点C ，延长BO 与O 交于点D ，连接AD ，若36ABO ∠=，则ADC ∠的度数为( )A ．54B ．36C ．32D ．27二、填空题16．如图，为了测量某棵树的高度，小明用长为2m 的竹竿做测量工具，移动竹竿，使竹竿、树的顶端的影子恰好落在地面的同一点.此时，竹竿与这一点距离相距6m ，与树相距15m ，则树的高度为_________m.17．已知小明身高1.8m ，在某一时刻测得他站立在阳光下的影长为0.6m .若当他把手臂竖直举起时，测得影长为0.78m ，则小明举起的手臂超出头顶______m . 18．如图，已知正六边形内接于O ，若正六边形的边长为2，则图中涂色部分的面积为______.19．如图，已知菱形ABCD 中，4AB =，C ∠为钝角，AM BC ⊥于点M ，N 为AB 的中点，连接DN ，MN .若90DNM ∠=︒，则过M 、N 、D 三点的外接圆半径为______.20．如图，在△ABC 和△APQ 中，∠PAB =∠QAC ，若再增加一个条件就能使△APQ ∽△ABC ，则这个条件可以是________．21．若圆锥的底面半径为3cm ，高为4cm ，则它的侧面展开图的面积为_____cm 2． 22．某企业2017年全年收入720万元，2019年全年收入845万元，若设该企业全年收入的年平均增长率为x ，则可列方程____．23．已知点11(,)A x y ，22(,)B x y 在二次函数2(1)1y x =-+的图象上，若121x x >>，则1y __________2y ．（填“>”“<”“=”）24．如图，在ABCD 中，13BE DF BC ==，若1BEG S ∆=，则ABF S ∆=__________．25．一个扇形的圆心角是120°．它的半径是3cm ．则扇形的弧长为__________cm ． 26．已知关于x 的方程230x mx m ++=的一个根为-2，则方程另一个根为__________． 27．如图，P 为O 外一点，PA 切O 于点A ，若3PA =，45APO ∠=︒，则O 的半径是______.28．如图示，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，3AC =，3BC =，点P 在Rt ABC ∆内部，且PAB PBC ∠=∠，连接CP ，则CP 的最小值等于______.29．如图，AB 是⊙O 的直径，弦BC=2cm ，F 是弦BC 的中点，∠ABC=60°．若动点E 以2cm/s 的速度从A 点出发沿着A ⇒B ⇒A 方向运动，设运动时间为t （s ）（0≤t ＜3），连接EF ，当t 为_____s 时，△BEF 是直角三角形．30．如图，⊙O 的内接四边形ABCD 中，∠A=110°，则∠BOD 等于________°.三、解答题31．在Rt △ABC 中，AC ＝BC ，∠C ＝90°，求： （1）cosA ；（2）当AB ＝4时，求BC 的长. 32．已知关于x 的方程x 2+ax +a ﹣2=0．（1）求证：不论a 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根； （2）若该方程的一个根为1，求a 的值及该方程的另一根． 33．关于x 的方程22210x x m -+-=有实数根，且m 为正整数，求m 的值及此时方程的根．34．已知二次函数y ＝x 2－22mx ＋m 2＋m －1（m 为常数）． （1）求证：不论m 为何值，该二次函数的图像与x 轴总有两个公共点；（2）将该二次函数的图像向下平移k （k ＞0）个单位长度，使得平移后的图像经过点（0，－2），则k 的取值范围是 ．35．（如图 1，若抛物线 l 1 的顶点 A 在抛物线 l 2 上，抛物线 l 2 的顶点 B 也在抛物线 l 1 上（点 A 与点 B 不重合）．我们称抛物线 l 1，l 2 互为“友好”抛物线，一条抛物线的“友 好”抛物线可以有多条．（1）如图2，抛物线 l 3：21(2)12y x =-- 与y 轴交于点C ，点D 与点C 关于抛物线的对称轴对称，则点 D 的坐标为 ；（2）求以点 D 为顶点的 l 3 的“友好”抛物线 l 4 的表达式，并指出 l 3 与 l 4 中y 同时随x 增大而增大的自变量的取值范围；（3）若抛物线 y ＝a 1(x －m)2＋n 的任意一条“友好”抛物线的表达式为 y ＝a 2(x －h)2＋k ， 写出 a 1 与a 2的关系式，并说明理由．四、压轴题36．阅读理解：如图，在纸面上画出了直线l 与⊙O ，直线l 与⊙O 相离，P 为直线l 上一动点，过点P 作⊙O 的切线PM ，切点为M ，连接OM 、OP ，当△OPM 的面积最小时，称△OPM 为直线l 与⊙O 的“最美三角形”．解决问题：（1）如图1，⊙A 的半径为1，A(0，2) ，分别过x 轴上B 、O 、C 三点作⊙A 的切线BM 、OP 、CQ ，切点分别是M 、P 、Q ，下列三角形中，是x 轴与⊙A 的“最美三角形”的是 ．(填序号)①ABM ；②AOP ；③ACQ（2）如图2，⊙A 的半径为1，A(0，2)，直线y=kx （k≠0）与⊙A 的“最美三角形”的面积为12，求k 的值． （3）点B 在x 轴上，以B 为圆心，3为半径画⊙B ，若直线y=3x+3与⊙B 的“最美三角形”的面积小于32，请直接写出圆心B 的横坐标B x 的取值范围．37．点P 为图形M 上任意一点，过点P 作PQ ⊥直线,l 垂足为Q ，记PQ 的长度为d . 定义一:若d 存在最大值，则称其为“图形M 到直线l 的限距离”，记作()max ,D M l ； 定义二:若d 存在最小值，则称其为“图形M 到直线l 的基距离”，记作()min ,D M l ； （1）已知直线1:2l y x =--，平面内反比例函数2y x=在第一象限内的图象记作,H 则()1,min D H l = ．（2）已知直线2:33l y x =+，点()1,0A -，点()()1,0,,0B T t 是x 轴上一个动点，T 的半径为3，点C 在T 上，若()max 243,63,D ABC l ≤≤求此时t 的取值范围，（3）已知直线21211k k y x k k --=+--恒过定点1111,8484P a b c a b c ⎛⎫⎪⎝+-+⎭+，点(),D a b 恒在直线3l 上，点(),28E m m +是平面上一动点，记以点E 为顶点，原点为对角线交点的正方形为图形,K ()min 3,0D K l =，若请直接写出m 的取值范围． 38．如图1，Rt △ABC 两直角边的边长为AC ＝3，BC ＝4．（1）如图2，⊙O 与Rt △ABC 的边AB 相切于点X ，与边BC 相切于点Y ．请你在图2中作出并标明⊙O的圆心（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）（2）P是这个Rt△ABC上和其内部的动点，以P为圆心的⊙P与Rt△ABC的两条边相切．设⊙P的面积为S，你认为能否确定S的最大值？若能，请你求出S的最大值；若不能，请你说明不能确定S的最大值的理由．39．如图，在平面直角坐标系中，直线l：y＝﹣13x+2与x轴交于点B，与y轴交于点A，以AB为斜边作等腰直角△ABC，使点C落在第一象限，过点C作CD⊥AB于点D，作CE⊥x轴于点E，连接ED并延长交y轴于点F．（1）如图（1），点P为线段EF上一点，点Q为x轴上一点，求AP+PQ的最小值．（2）将直线l进行平移，记平移后的直线为l1，若直线l1与直线AC相交于点M，与y轴相交于点N，是否存在这样的点M、点N，使得△CMN为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．40．已知，如图Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点P为AC的中点，Q从点A运动到B，点Q运动到点B停止，连接PQ，取PQ的中点O，连接OC，OB．(1)若△ABC∽△APQ，求BQ的长；(2)在整个运动过程中，点O的运动路径长_____；(3)以O为圆心，OQ长为半径作⊙O，当⊙O与AB相切时，求△COB的面积．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【解析】 【分析】由DE ∥BC 知△ADE ∽△ABC ，然后根据相似比求解． 【详解】 解：∵DE ∥BC ∴△ADE ∽△ABC.又因为DE ＝2，BC ＝6，可得相似比为1:3. 即ADE ABC 的面积的面积=2213：=19.故选D. 【点睛】本题主要是先证明两三角形相似，再根据已给的线段求相似比即可．2．D解析：D 【解析】 【分析】由二次函数的顶点式，即可得出顶点坐标． 【详解】解：∵二次函数为y=a （x-h ）2+k 顶点坐标是（h ，k ）， ∴二次函数y=3（x-2）2-1的图象的顶点坐标是（2，-1）． 故选：D ． 【点睛】此题考查了二次函数的性质，二次函数为y=a （x-h ）2+k 顶点坐标是（h ，k ）．3．A解析：A 【解析】 【分析】方差的大小反映数据的波动大小，方差越小，数据越稳定，根据题意可判断乙的数据比甲稳定，所以乙的方差小于甲. 【详解】解：由题意可知，乙的数据比甲稳定，所以2S 甲＞2S 乙 故选：A 【点睛】本题考查方差的定义与意义,方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．4．B解析：B 【解析】试题解析：∵底面半径为3cm ， ∴底面周长6πcm ∴圆锥的侧面积是12×6π×5=15π（cm 2）， 故选B ．5．B解析：B 【解析】 【分析】利用圆心角的度数等于它所对的弧的度数得到∠BOC=50°，利用垂径定理得到=AC BC ，然后根据圆周角定理计算∠ADC 的度数． 【详解】∵BC 的度数为50°， ∴∠BOC=50°， ∵半径OC ⊥AB ， ∴=AC BC ， ∴∠ADC=12∠BOC=25°． 故选B ． 【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了垂径定理和圆周角定理．6．C解析：C 【解析】 【分析】方程左边已经是两个一次因式之积，故可化为两个一次方程，解这两个一元一次方程即得答案. 【详解】解：∵(1)(2)0x x --=， ∴x －1=0或x －2=0， 解得：1x =或2x =. 故选：C. 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，属于基本题型，熟练掌握分解因式解方程的方法是关键.7．C解析：C【分析】连接OA 、OB 、OC 、OD 、OE ，如图，则由正多边形的性质易求得∠COD 和∠BOE 的度数，然后根据圆周角定理可得∠DBC 和∠BCF 的度数，再根据三角形的内角和定理求解即可.【详解】解：连接OA 、OB 、OC 、OD 、OE ，如图，则∠COD =∠AOB =∠AOE =360725︒=︒， ∴∠BOE =144°，∴1362DBC COD ∠=∠=︒，1722BCE BOE ∠=∠=︒， ∴18072BFC DBC BCF ∠=︒-∠-∠=︒.故选：C.【点睛】本题考查了正多边形和圆、圆周角定理和三角形的内角和定理，属于基本题型，熟练掌握基本知识是解题关键.8．B解析：B【解析】分析：直接利用二次函数图象的开口方向以及图象与x 轴的交点，进而分别分析得出答案．详解：①∵二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）图象的对称轴为x=1，且开口向下，∴x=1时，y=a+b+c ，即二次函数的最大值为a+b+c ，故①正确；②当x=﹣1时，a ﹣b+c=0，故②错误；③图象与x 轴有2个交点，故b 2﹣4ac ＞0，故③错误；④∵图象的对称轴为x=1，与x 轴交于点A 、点B （﹣1，0），∴A （3，0），故当y ＞0时，﹣1＜x ＜3，故④正确．故选B ．点睛：此题主要考查了二次函数的性质以及二次函数最值等知识，正确得出A 点坐标是解题关键．9．B解析：B【解析】直接根据相似三角形的性质即可得出结论．【详解】解：∵两个相似三角形的周长比是1：2，∴它们的面积比是：1：4．故选：B ．【点睛】本题考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方是解题的关键．10．D解析：D【解析】【分析】按“左加右减，上加下减”的规律平移即可得出所求函数的解析式.【详解】抛物线y ＝x 2先向右平移1个单位得y ＝（x ﹣1）2，再向上平移3个单位得y ＝（x ﹣1）2+3.故选D.【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，其规律是是：将二次函数解析式转化成顶点式y=a (x -h )2+k （a ，b ，c 为常数，a ≠0），确定其顶点坐标(h ，k )，在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移； k 值正上移，负下移”．11．B解析：B【解析】【分析】将x=2代入方程即可求得k 的值，从而得到正确选项．【详解】解：∵一元二次方程x 2-3x+k=0的一个根为x=2，∴22-3×2+k=0，解得，k=2，故选：B ．【点睛】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是明确一元二次方程的解一定使得原方程成立．12．D解析：D【解析】试题分析：∵22y x x c =-++，∴对称轴为x=1，P 2（3，2y ），P 3（5，3y ）在对称轴的右侧，y 随x 的增大而减小，∵3＜5，∴23y y >，根据二次函数图象的对称性可知，P 1（﹣1，1y ）与（3，2y ）关于对称轴对称，故123y y y =>，故选D ．考点：二次函数图象上点的坐标特征．13．A解析：A【解析】【分析】直接利用二次函数的平移规律，左加右减，上加下减，进而得出答案．【详解】解：将二次函数y ＝x 2的图象沿y 轴向上平移2个单位长度，得到：y ＝x 2+2，再沿x 轴向左平移3个单位长度得到：y ＝（x+3）2+2．故选：A ．【点睛】解决本题的关键是得到平移函数解析式的一般规律：上下平移，直接在函数解析式的后面上加，下减平移的单位；左右平移，比例系数不变，在自变量后左加右减平移的单位．14．D解析：D【解析】x 2=4，x =±2.故选D.点睛：本题利用方程左右两边直接开平方求解.15．D解析：D【解析】【分析】由切线性质得到AOB ∠，再由等腰三角形性质得到OAD ODA ∠=∠，然后用三角形外角性质得出ADC ∠【详解】切线性质得到90BAO ∠=903654AOB ∴∠=-=OD OA =OAD ODA ∠=∠∴AOB OAD ODA ∠=∠+∠27ADC ADO ∴∠=∠=故选D【点睛】本题主要考查圆的切线性质、三角形的外角性质等，掌握基础定义是解题关键二、填空题16．7【解析】设树的高度为m ，由相似可得，解得，所以树的高度为7m解析：7【解析】设树的高度为x m ，由相似可得6157262x +==，解得7x =，所以树的高度为7m 17．54【解析】【分析】在同一时刻，物体的高度和影长成比例，根据此规律列方程求解.【详解】解：设小明举起的手臂超出头顶xm,根据题意得，，解得x=0.54即举起的手臂超出头顶0.54m解析：54【解析】【分析】在同一时刻，物体的高度和影长成比例，根据此规律列方程求解.【详解】解：设小明举起的手臂超出头顶xm,根据题意得，1.8 1.80.60.78x ， 解得x=0.54即举起的手臂超出头顶0.54m.故答案为：0.54.【点睛】本题考查同一时刻物体的高度和影长成比例的投影规律，根据规律列比例式求解是解答此题的关键.，18．【解析】【分析】根据圆的性质和正六边形的性质证明△CDA≌△BDO，得出涂色部分即为扇形AOB 的面积，根据扇形面积公式求解.【详解】解：连接OA,OB,OC,AB,OA与BC交于D点∵正解析：2 3π【解析】【分析】根据圆的性质和正六边形的性质证明△CDA≌△BDO，得出涂色部分即为扇形AOB的面积，根据扇形面积公式求解.【详解】解：连接OA,OB,OC,AB,OA与BC交于D点∵正六边形内接于O,∴∠BOA=∠AOC=60°,OA=OB=OC=4,∴∠BOC=120°，OD⊥BC,BD=CD∴∠OCB=∠OBC=30°,∴OD=1122OB OA DA ,∵∠CDA=∠BDO,∴△CDA≌△BDO,∴S△CDA=S△BDO,∴图中涂色部分的面积等于扇形AOB的面积为：26022 3603ππ⨯=.故答案为：23π.【点睛】本题考查圆的内接正多边形的性质，根据圆的性质结合正六边形的性质将涂色部分转化成扇形面积是解答此题的关键.19．【解析】【分析】通过延长MN交DA延长线于点E，DF⊥BC,构造全等三角形，根据全等性质证出D E=DM,,再通过AE=BM=CF,在Rt△DMF和Rt△DCF中，利用勾股定理列方程求DM长，根31【解析】【分析】通过延长MN 交DA 延长线于点E ，DF ⊥BC,构造全等三角形，根据全等性质证出DE=DM,,再通过AE=BM=CF,在Rt △DMF 和Rt △DCF 中，利用勾股定理列方程求DM 长，根据圆的性质即可求解.【详解】如图，延长MN 交DA 延长线于点E ，过D 作DF ⊥BC 交BC 延长线于F,连接MD,∵四边形ABCD 是菱形，∴AB=BC=CD=4，AD ∥BC,∴∠E=∠EMB, ∠EAN=∠NBM,∵AN=BN,∴△EAN ≌BMN,∴AE=BM,EN=MN,∵90DNM ∠=︒,∴DN ⊥EM,∴DE=DM,∵AM ⊥BC,DF ⊥BC,AB=DC,AM=DF∴△ABM ≌△DCF,∴BM=CF,设BM=x,则DE=DM=4+x,在Rt △DMF 中，由勾股定理得，DF 2=DM 2-MF 2=(4+x)2-42,在Rt △DCF 中，由勾股定理得，DF 2=DC 2-CF 2=4 2-x 2,∴(4+x)2-42=4 2-x 2,解得，x 1=2,x 2=232（不符合题意，舍去）∴DM=2，∴90DNM ∠=︒∴过M 、N 、D 三点的外接圆的直径为线段DM, ∴其外接圆的半径长为1312DM .31.【点睛】本题考查菱形的性质，全等的判定与性质，勾股定理及圆的性质的综合题目，根据已知条件结合图形找到对应的知识点，通过“倍长中线”构建“X字型”全等模型是解答此题的突破口，也是解答此题的关键.20．∠P=∠B（答案不唯一）【解析】【分析】要使△APQ∽△ABC ，在这两三角形中，由∠PAB=∠QAC可知∠PAQ=∠BAC，还需的条件可以是∠B=∠P或∠C=∠Q或．【详解】解：这个条件解析：∠P=∠B（答案不唯一）【解析】【分析】要使△APQ∽△ABC，在这两三角形中，由∠PAB=∠QAC可知∠PAQ=∠BAC，还需的条件可以是∠B=∠P或∠C=∠Q或AP AQ AB AC=．【详解】解：这个条件为：∠B=∠P ∵∠PAB=∠QAC，∴∠PAQ=∠BAC∵∠B=∠P，∴△APQ∽△ABC，故答案为：∠B=∠P或∠C=∠Q或AP AQ AB AC=．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质的运用,掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 21．15【解析】【分析】先根据勾股定理计算出母线长，然后利用圆锥的侧面积公式进行计算.【详解】∵圆锥的底面半径为3cm ，高为4cm∴圆锥的母线长∴圆锥的侧面展开图的面积故填：.【点睛】解析：15π【解析】【分析】先根据勾股定理计算出母线长，然后利用圆锥的侧面积公式进行计算.【详解】∵圆锥的底面半径为3cm ，高为4cm∴圆锥的母线长5()cm ==∴圆锥的侧面展开图的面积()23515cmππ=⨯⨯=故填：15π.【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长. 22．720（1+x ）2=845．【解析】【分析】增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），参照本题，如果该企业全年收入的年平均增长率为x ，根据2017年全年收入720万元，2019 解析：720（1+x ）2=845．【解析】【分析】增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），参照本题，如果该企业全年收入的年平均增长率为x ，根据2017年全年收入720万元，2019年全年收入845万元，即可得出方程．【详解】解：设该企业全年收入的年平均增长率为x ，则2018的全年收入为：720×（1+x ）2019的全年收入为：720×（1+x ）2．那么可得方程：720（1+x ）2=845．故答案为：720（1+x ）2=845．【点睛】本题考查了一元二次方程的运用，解此类题的关键是掌握等量关系式：增长后的量=增长前的量×（1+增长率）．23．【解析】抛物线的对称轴为：x=1，∴当x>1时，y 随x 的增大而增大.∴若x1>x2>1 时，y1>y2 .故答案为>解析：12y y >【解析】抛物线()2y x 11=-+的对称轴为：x=1，∴当x>1时，y 随x 的增大而增大.∴若x 1>x 2>1 时，y 1>y 2 .故答案为> 24．6【解析】【分析】先根据平行四边形的性质证得△BEG ∽△FAG ，从而可得相似比，然后根据同高的两个三角形的面积等于底边之比可求得，根据相似三角形的性质可求得，进而可得答案.【详解】解：∵四解析：6【解析】【分析】先根据平行四边形的性质证得△BEG ∽△FAG ，从而可得相似比，然后根据同高的两个三角形的面积等于底边之比可求得ABG S ∆，根据相似三角形的性质可求得AFG S ∆，进而可得答案.【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD=BC ，AD ∥BC ，∴△BEG ∽△FAG ，∵13BE DF BC ==， ∴12EG BE AG AF ==， ∴211,24BEG BEG ABG AFG S S EG BE S AG S AF ∆∆∆∆⎛⎫==== ⎪⎝⎭， ∵1BEG S ∆=，∴2ABG S ∆=，4AFG S ∆=，∴6ABF ABG AFG S S S ∆∆∆=+=.故答案为：6.【点睛】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质以及三角形的面积等知识，属于常考题型，熟练掌握平行四边形的性质和相似三角形的判定与性质是解答的关键. 25．2π【解析】分析：根据弧长公式可得结论．详解：根据题意，扇形的弧长为=2π，故答案为：2π点睛：本题主要考查弧长的计算，熟练掌握弧长公式是解题的关键．解析：2π【解析】分析：根据弧长公式可得结论． 详解：根据题意，扇形的弧长为1203180π⨯=2π， 故答案为：2π点睛：本题主要考查弧长的计算，熟练掌握弧长公式是解题的关键． 26．6【解析】【分析】将方程的根-2代入原方程求出m 的值，再解方程即可求解．【详解】解：把x=-2代入原方程得出，4-2m+3m=0，解得m=-4；故原方程为：，解方程得：．故答案为：6解析：6【解析】【分析】将方程的根-2代入原方程求出m 的值，再解方程即可求解．【详解】解：把x=-2代入原方程得出，4-2m+3m=0，解得m=-4；故原方程为：24120x x --=，解方程得：122,6x x =-=．故答案为：6．【点睛】本题考查的知识点是解一元二次方程，根据方程的一个解求出方程中参数的值是解此题的关键．27．3【解析】【分析】由题意连接OA ，根据切线的性质得出OA⊥PA，由已知条件可得△OAP 是等腰直角三角形，进而可求出OA 的长，即可求解．【详解】解：连接OA ，∵PA 切⊙O 于点A ，∴OA解析：3【解析】【分析】由题意连接OA ，根据切线的性质得出OA ⊥PA ，由已知条件可得△OAP 是等腰直角三角形，进而可求出OA 的长，即可求解．【详解】解：连接OA ，∵PA 切⊙O 于点A ，∴OA ⊥PA ，∴∠OAP=90°，∵∠APO=45°，∴OA=PA=3，故答案为：3．【点睛】本题考查切线的性质即圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，连接过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．28．【解析】【分析】首先判定直角三角形∠CAB=30°，∠ABC=60°，，然后根据，得出∠ACB+∠PAC+∠PBC=∠APB=120°，定角定弦，点P 的轨迹是以AB 为弦，圆周角为120°的圆弧2【解析】【分析】首先判定直角三角形∠CAB=30°，∠ABC=60°，AB ===PAB PBC ∠=∠，得出∠ACB+∠PAC+∠PBC=∠APB=120°，定角定弦，点P 的轨迹是以AB 为弦，圆周角为120°的圆弧上，如图所示，当点C 、O 、P 在同一直线上时，CP 最小，构建圆，利用勾股定理，即可得解.【详解】∵90ACB ∠=︒，3AC =，BC =，∴AB ===∴∠CAB=30°，∠ABC=60°∵PAB PBC ∠=∠，∠PAB+∠PAC=30°∴∠ACB+∠PAC+∠PBC=∠APB=120°∴定角定弦，点P 的轨迹是以AB 为弦，圆周角为120°的圆弧上，如图所示，当点C 、O 、P 在同一直线上时，CP 最小∴CO ⊥AB ，∠COB=60°，∠ABO=30°∴OB=2，∠OBC=90°∴OC ===∴2CP OC OP =-=2.【点睛】此题主要考查直角三角形中的动点综合问题，解题关键是找到点P的位置. 29．1或1.75或2.25s【解析】试题分析：∵AB是⊙O的直径,∴∠C=90°．∵∠ABC=60°,∴∠A=30°．又BC=3cm,∴AB=6cm．则当0≤t＜3时,即点E从A到B再到解析：1或1.75或2.25s【解析】试题分析：∵AB是⊙O的直径,∴∠C=90°．∵∠ABC=60°,∴∠A=30°．又BC=3cm,∴AB=6cm．则当0≤t＜3时,即点E从A到B再到O（此时和O不重合）．若△BEF是直角三角形,则当∠BFE=90°时,根据垂径定理,知点E与点O重合,即t=1;当∠BEF=90°时,则BE=BF=34,此时点E走过的路程是214或274,则运动时间是74s或94s．故答案是t=1或74或94．考点：圆周角定理．30．140【解析】试题解析：：∵∠A=110°∴∠C=180°-∠A=70°∴∠BOD=2∠C=140°．解析：140【解析】试题解析：：∵∠A=110°∴∠C=180°-∠A=70°∴∠BOD=2∠C=140°．三、解答题31．（1）2；（2）【解析】【分析】（1）根据等腰直角三角形的判定得到△ABC为等腰直角三角形，则∠A=45°，然后利用特殊角的三角函数值求解即可；（2）根据∠A的正弦求解即可.【详解】∵AC＝BC，∠C＝90°，∴∠A=∠B=45°，∴cosA=cos45°=2，∴BC=AB sin A，【点睛】本题考查解直角三角形及等腰直角三角形的判定，熟练掌握特殊角三角函数值是解题关键.32．（1）见解析；（2）a=12，x1=﹣32【解析】【分析】（1）根据根的判别式即可求解；（2）将x=1代入方程x2+ax+a﹣2=0，求出a，再利用根与系数的关系求出方程的另一根．【详解】解：（1）∵△=a2﹣4（a﹣2）=a2﹣4a+8=a2﹣4a+4+4=（a﹣2）2+4≥0，∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．（2）将x=1代入方程x2+ax+a﹣2=0得1+a+a﹣2=0，解得a=12；∴方程为x 2+12x ﹣32=0， 即2x 2+x ﹣3=0，设另一根为x 1，则1×x 1=c a =﹣32， ∴另一根x 1=﹣32． 【点睛】此题主要考查一元二次方程根的求解，解题的关键是熟知根的判别式与根与系数的关系．33．1m =，此时方程的根为121x x ==【解析】【分析】 直接利用根的判别式≥0得出m 的取值范围进而解方程得出答案． 【详解】解：∵关于x 的方程x 2-2x+2m-1=0有实数根，∴b 2-4ac=4-4（2m-1）≥0，解得：m≤1，∵m 为正整数，∴m=1，∴此时二次方程为：x 2-2x+1=0，则（x-1）2=0，解得：x 1=x 2=1．【点睛】此题主要考查了根的判别式，正确得出m 的值是解题关键．34．（1）证明见解析；（2）k ≥34. 【解析】【分析】（1）根据判别式的值得到△=（2m －1）2 ＋3＞0，然后根据判别式的意义得到结论； （2）把（0，－2）带入平移后的解析式，利用配方法得到k= (m+12)²+34，即可得出结果. 【详解】（1）证：当y =0时 x 2－mx ＋m 2＋m －1＝0∵b 2－4ac ＝（－m ）2－4（m 2＋m －1）＝8m 2－4m 2－4m ＋4＝4m 2－4m ＋4＝（2m －1）2 ＋3＞0∴方程x 2－mx ＋m 2＋m －1＝0有两个不相等的实数根∴二次函数y ＝x 2－mx ＋m 2＋m －1图像与x 轴有两个公共点（2）解：平移后的解析式为: y ＝x 2－mx ＋m 2＋m －1-k,过(0,-2),∴-2=0-0+m²+m-1-k, ∴k= m²+m+1=(m+12)²+34,∴k ≥34. 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换以及图象与x 轴交点个数确定方法，能把一个二次三项式进行配方是解题的关键．35．（1）()4,1；（2）4l 的函数表达式为()21412y x =--+，24x ≤≤；（3）120a a +=，理由详见解析【解析】【分析】（1）设x=0，求出y 的值，即可得到C 的坐标，根据抛物线L 3：21(2)12y x =--得到抛物线的对称轴，由此可求出点C 关于该抛物线对称轴对称的对称点D 的坐标； （2）由（1）可知点D 的坐标为（4，1），再由条件以点D 为顶点的L 3的“友好”抛物线L 4的解析式，可求出L 4的解析式，进而可求出L 3与L 4中y 同时随x 增大而增大的自变量的取值范围；（3）根据：抛物线L 1的顶点A 在抛物线L 2上，抛物线L 2的顶点B 也在抛物线L 1上，可以列出两个方程，相加可得（a 1+a 2）（h-m ）2=0．可得120a a +=．【详解】解：（1）∵抛物线l 3：21(2)12y x =--， ∴顶点为（2，-1），对称轴为x=2，设x=0，则y=1，∴C （0，1）， ∴点C 关于该抛物线对称轴对称的对称点D 的坐标为：（4，1）；（2）解：设4l 的函数表达式为()241y a x =-+由“友好”抛物线的定义，过点()2,1- ()21241a ∴-=-+12a ∴=- 4l 的函数表达式为()21412y x =--+ 3l ∴与4l 中y 同时随x 增大而增大的自变量的取值范围是24x ≤≤（3）120a a +=理由如下：∵ 抛物线()21y a x m n =-+与抛物线()22y a x h k =+－互为“友好”抛物线，()()2122k a h m n n a m h k ⎧=-+⎪∴⎨=-+⎪⎩①② ①+②得：()()2210+-=a a m h m h ≠120a a ∴+=【点睛】本题属于二次函数的综合题，涉及了抛物线的对称变换、抛物线与坐标轴的交点坐标以及新定义的问题，解答本题的关键是数形结合，特别是（3）问根据已知条件得出方程组求解，有一定难度．四、压轴题36．（1）②；（2）±1；（3）23-＜B x ＜33或733-＜B x ＜23-- 【解析】【分析】（1）本题先利用切线的性质，结合勾股定理以及三角形面积公式将面积最值转化为线段最值，了解最美三角形的定义，根据圆心到直线距离最短原则解答本题．（2）本题根据k 的正负分类讨论，作图后根据最美三角形的定义求解EF ，利用勾股定理求解AF ，进一步确定∠AOF 度数，最后利用勾股定理确定点F 的坐标，利用待定系数法求k ．（3）本题根据⊙B 在直线两侧不同位置分类讨论，利用直线与坐标轴的交点坐标确定∠NDB 的度数，继而按照最美三角形的定义，分别以△BND ，△BMN 为媒介计算BD 长度，最后与OD 相减求解点B 的横坐标范围．【详解】（1）如下图所示：∵PM 是⊙O 的切线，∴∠PMO=90°，当⊙O 的半径OM 是定值时，22PM OP OM =-∵1=2PMO S PM OM ••， ∴要使PMO △面积最小，则PM 最小，即OP 最小即可，当OP ⊥l 时，OP 最小，符合最美三角形定义．故在图1三个三角形中，因为AO ⊥x 轴，故△AOP 为⊙A 与x 轴的最美三角形． 故选：②．（2）①当k ＜0时，按题意要求作图并在此基础作FM ⊥x 轴，如下所示：按题意可得：△AEF 是直线y=kx 与⊙A 的最美三角形，故△AEF 为直角三角形且AF ⊥OF ． 则由已知可得：111=1222AEF S AE EF EF ••=⨯⨯=，故EF=1． 在△AEF 中，根据勾股定理得：22AF AE ==．∵A(0,2)，即OA=2， ∴在直角△AFO 中，22=2OF OA AF AF -==，∴∠AOF=45°，即∠FOM=45°，故根据勾股定理可得：MF=MO=1，故F(-1,1)，将F 点代入y=kx 可得：1k =-．②当k ＞0时，同理可得k=1．故综上：1k =±．（3）记直线33y x =+与x 、y 轴的交点为点D 、C ，则(3,0)D -，(0,3)C ， ①当⊙B 在直线CD 右侧时，如下图所示：在直角△COD 中，有3OC =，3OD =tan 3OC ODC OD∠==ODC=60°． ∵△BMN 是直线33y x =+与⊙B 的最美三角形，∴MN ⊥BM ，BN ⊥CD ，即∠BND=90°，。
深圳市2022-2023学年九年级上学期数学期末试卷与答案
深圳市2022-2023学年九年级上学期数学期末试卷一、选择题(本部分共10小题，每小题3分，共30分)(共10题；共30分)1.方程x 2﹣5x ＝0的解是（）A.x ＝5B.x 1＝5，x 2＝﹣5C.x 1＝5，x 2＝0D.x ＝02.如图，该几何体的俯视图是（）A. B. C. D.3.在Rt △ABC 中，∠C =90°，AB =4，BC =3，则cos B 的值为（）A.74B.45C.34D.754.将二次函数y ＝﹣12x 2的图象向左平移2个单位，则平移后的二次函数的表达式为（）A.y ＝12-x 2﹣2 B.y ＝12-x 2+2C.y ＝12-（x +2）2D.y ＝12-（x ﹣2）25.关于函数3y x =-，下列说法正确的是（）A.在y 轴上的截距是3B.它不经过第四象限C.当x ≥3时，y ≤0D.图象向下平移4个单位长度得到7y x =-的图象6.为了解某地区九年级男生的身高情况，随机抽取了该地区100名九年级男生，他们的身高x （cm ）统计如下：组别（cm ）160x <160170x ≤<170180x ≤<180x ≥人数5384215根据以上结果，抽查该地区一名九年级男生，估计他的身高不低于180cm 的概率是（）A.0.85B.0.57C.0.42D.0.157.九江某快递公司随着网络的发展，业务增长迅速，完成快递件数从六月份的10万件增长到八月份的12.1万件．假定每月增长率相同，设为x ．则可列方程为（）A.2=1012.1x x +B.()101=12.1 x +C.()210112.1x +＝ D.()10101=12.1x ++8.有关于x 的两个方程：ax 2+bx +c =0与ax 2-bx +c =0，其中abc ＞0，下列判断正确的是（）A.两个方程可能一个有实数根，另一个没有实数根B.若两个方程都有实数根，则必有一根互为相反数C.若两个方程都有实数根，则必有一根相等D.若两个方程都有实数根，则必有一根互为倒数9.如图，在ABC ∆中，点D 为BC 边上的一点，且2AD AB ==，AD AB ⊥交BC 于D ，过点D 作DE AD ⊥交AC 于点E ，若1DE =，则ABC ∆的面积为（）A. B.4C. D.310.已知二次函数20.5y ax bx b a +-=-与x 轴交于A 、B 两点，则线段AB 的最小值为（）A.0.5B.2C.D.无法确定二、填空题(本部分共5小题，每小题3分，共15分)(共5题；共15分)11.已知32b a =，则2a ba b-+的值为__________．12.如图，正方形OABC 与正方形ODEF 是位似图形，点O 为位似中心，相似比为1:A 的坐标为(0,1)，则点E 的坐标是__．13.当a ，b 取实数时，规定11a b a b⊕=+，若(1)(1)0x x +⊕-=，则实数x =__________．14.已知正三角形的边心距为1，那么它的边长为________．15.如图，在△ABC 中，E ，D ，F 分别是AD ，BF ，CE 的中点若△DEF 的面积是1cm²，则S △ABC =_______．三、解答题(本大题共7题.其中16题5分，17题6分，18题6分，19题9分，20题9分，21题10分，22题10分，共55分)(共7题；共55分)16.（1）计算：()()016π24+-+-．（2）化简：()()231x x x +--．17.如图，某学习小组在教学楼AB 的顶部观测信号塔CD 底部的俯角为30°，信号塔顶部的仰角为45°．已知教学楼AB 的高度为20m ，求信号塔的高度（计算结果保留根号）．18.巴蜀中学2017春季运动会的开幕式精彩纷呈，主要分为以下几个类型：A 文艺范、B 动漫潮、C 学院派、D 民族风，为了解未能参加运动会的初三学子对开幕式类型的喜好情况，学生处在初三年级随机抽取了一部分学生进行调查，并将他们喜欢的种类绘制成如下统计图，请你根据统计图解答以下问题：（1）请补全折线统计图，并求出“动漫潮”所在扇形的圆心角度数．（2）据统计，在被调查的学生中，喜欢“文艺范”类型的仅有2名住读生，其余均为走读生，初二年级欲从喜欢“文艺范”的这几名同学中随机抽取两名同学去观摩“文明礼仪大赛”视频，用列表法或树状图的方法求出所选的两名同学都是走读生的概率．19.如图，已知正方形ABCD 中，AB ＝4，点E ，F 在对角线BD 上，AE ∥CF ．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）若∠ABE＝2∠BAE，求DF的长．20.今年甲、乙两个果园的红心猕猴桃喜获丰收，已知甲果园的总产量为27吨，乙果园的总产量13吨，某果业公司租用A、B两种型号的保鲜货车去果园运输猕猴桃，甲果园需要A型保鲜货车满载猕猴桃运输6趟，同时需要B型保鲜货车满载猕猴桃运输5趟才能刚好运输完：乙果园需A型保鲜货车满载猕猴桃运输2趟，同时需要B型保鲜货车满载猕猴桃运输3趟刚好运输完．（1）求A、B两种保鲜货车满载猕猴桃运输一趟分别是多少吨？（2）果业公司收购该批猕猴桃的单价为0.8万元/吨，目前公司可以0.9万元/吨的价格售出，如果保鲜冷藏储存起来，旺市再销售以便获取最大利润，由于失水和腐烂，水果重量每天减少0.5吨，且每天需支付各种费用0.08万元/吨，而每天的价格会持续上涨0.1万元/吨、如果公司计划把该批猕猴桃最多保鲜冷藏储存20天，那么储存多少天后出售这批猕猴桃所获得的利润最大？最大利润是多少万元？21.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC边OA，OC分别在x轴，y的正半轴上，且OA＝8，OC＝6，连接AC，点D为AC中点，点E从点C出发以每秒1个单位长度运动到点O停止，设运动时间为t秒（0＜t＜6），连接DE，作DF⊥DE交OA于点F，连接EF．（1）当t的值为时，四边形DEOF是矩形；（2）用含t的代数式表示线段OF的长度，并说明理由；（3）当△OEF面积为132时，请直接写出直线DE的解析式．22.如图，在⊙O中，直线CD垂直直径AB于E，直线GF为⊙O的切线，切点为H，GF与直线CD相交于点F，与AB延长线交于点G，AH交CD于M，其中MH2＝MD•MF．（1）连接OH，求证：△FMH为等腰三角形；（2）求证：AC//FG ；（3）若cosF ＝34，AM ＝，求线段GH 的长．深圳市2022-2023学年九年级上学期数学期末试卷答案1.C【分析】利用因式分解法解方程，即可求解.【详解】因式分解，得：(5)0x x﹣＝，∴x=0或x-5=0，∴10x =，25x =，【点睛】本题主要考查解一元二次方程的因式分解法，掌握提取公因式法分解因式，是解题的关键.2.A【详解】分析：找到从几何体的上面所看到的图形即可．详解：从几何体的上面看可得，点睛：此题主要考查了简单几何体的三视图，关键是掌握所看的位置．3.C【分析】根据锐角三角函数的定义求出即可．【详解】解：∵在Rt △ABC 中，∠C =90°，AB =4，BC =3，∴cos B =34BC AB =．故选：C ．【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义的应用，能熟记锐角三角函数的定义是解此题的关键．4.C【分析】根据二次函数的平移规律，“上加下减，左加右减”进而得出即可．【详解】将二次函数y ＝﹣12x 2的图象向左平移2个单位，则平移后的二次函数的表达式为y ＝12-（x +2）2．【点睛】本题考查了二次函数的平移，掌握平移规律是解题的关键．5.D【分析】令x=0，得到的y 值就是在y 轴上的截距；根据k ，b 判定图像的分布；根基自变量的范围计算函数的范围；根据平移规律确定即可．【详解】令x=0，得y=-3，∴函数在y 轴上的截距为-3，∴选项A 错误；∵3y x =-，∴函数分布在第一，第三，第四象限，∴选项B 错误；∵x≥3，∴x-3≥0，∴y≥0，∴选项C 错误；∵3y x =-，∴图象向下平移4个单位长度得到7y x =-的图象，∴选项D 正确；【点睛】本题考查了一次函数的性质，图像分布，平移规律，截距的定义，熟练掌握性质，规律是解题的关键．6.D【分析】先计算出样本中身高不低于180cm 的频率，然后根据利用频率估计概率求解．【详解】样本中身高不低于180cm 的频率=15100=0.15，所以估计他的身高不低于180cm 的概率是0.15．【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．7.C【分析】设每月增长率为x ，根据增长率公式列出方程即可.【详解】解：设每月增长率为x ，根据题意得：10（1+x ）2＝12.1．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，熟记增长率公式是解决此题的关键.8.有关于x 的两个方程：ax 2+bx +c =0与ax 2-bx +c =0，其中abc ＞0，下列判断正确的是（）A.B【分析】分别求出两个方程的根的判别式，由此可判断选项A ；设方程20ax bx c ++=的一个实数根为m ，则20am bm c ++=，先根据0abc >可得0,0,0a b c ≠≠≠，从而可得0m ≠，再分别将x m =-、x m =和1x m=代入方程20ax bx c -+=的左边，检验是否等于0即可判断选项B 、C 、D ，由此即可得出答案．【详解】解：方程20ax bx c ++=根的判别式为24b ac ∆=-，方程20ax bx c -+=根的判别式为22()44b ac b ac ∆=--=-，所以若一个方程有实数根，则另一个方程也一定有实数根，选项A 错误；若两个方程都有实数根，设方程20ax bx c ++=的一个实数根为m ，则20am bm c ++=，即2am c bm +=-，0abc > ，0,0,0a b c ∴≠≠≠，0m ∴≠，将x m =-代入方程20ax bx c -+=的左边得：22()()0b m bm a m c am c -++=-+⋅=-，即x m =-是方程20ax bx c -+=的根，所以此时两个方程必有一根互为相反数，选项B 正确；将x m =代入方程20ax bx c -+=的左边得：220am bm c bm -+=-≠，即x m =不是方程20ax bx c -+=的根，选项C 错误；将1x m=代入方程20ax bx c -+=的左边得：222111()()a b c a bm cm m m m ⋅-⋅+=-+2221()a am c cm m=+++221()m a c m +=+，则只有当a c =-时，1x m=才是方程20ax bx c -+=的根，所以此时两个方程不一定有一根互为倒数，选项D 错误；【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程的根，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键．9.B【分析】由题意得到三角形DEC 与三角形ABC 相似，由相似三角形面积之比等于相似比的平方两三角形面积之比，进而求出四边形ABDE 与三角形ABC 面积之比，求出四边形ABDE 面积，即可确定出三角形ABC 面积．【详解】∵AB ⊥AD ，AD ⊥DE ，∴∠BAD ＝∠ADE ＝90°，∴DE ∥AB ，∴∠CED ＝∠CAB ，∵∠C ＝∠C ，∴△CED ∽△CAB ，∵DE ＝1，AB ＝2，即DE ：AB ＝1：2，∴S △DEC ：S △ACB ＝1：4，∴S 四边形ABDE ：S △ACB ＝3：4，∵S 四边形ABDE ＝S △ABD ＋S △ADE ＝12×2×2＋12×2×1＝2＋1＝3，∴S △ACB ＝4，【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，以及等腰直角三角形，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．10.C【详解】解：设()()12,0,,0A x B x ．依题意得12b x x a+=，120.512b a bx x a a -==-．则12AB x x -====≥．故线段AB ．【点睛】本题主要考查了抛物线与x 轴的交点问题，转化为利用一元二次方程根与系数关系解答是解题的关键．11.45-【分析】由题意设b=3k ，a=2k ，代入所求代数式进行计算即可.【详解】∵32b a =，∴设b=3k ，a=2k ，∴2264235a b k k a b k k --==-++，故答案为45-.【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握是解题的关键.12.【分析】根据正方形的性质和位似的性质计算即可；【详解】解： 正方形OABC 与正方形ODEF 是位似图形，O 为位似中心，相似比为:OA OD ∴=，点A 的坐标为(0,1)，即1OA =，OD ∴=，四边形ODEF 是正方形，DE OD ∴==．E ∴点的坐标为：．故答案为：，．【点睛】本题主要考查了位似图形的性质和正方形的性质，准确计算是解题的关键．13.0【分析】先根据新定义运算可得方程11011x x +=+-，再解分式方程即可求解.【详解】解：根据新定义运算，可将(1)(1)0x x +⊕-=化为：11011x x +=+-，方程两边同时乘以()()11x x +-可得：()()110x x -++=，20x =，x =0，经检验得x =0是分式方程的根.故答案为：0.【点睛】本题主要考查新定义运算和分式方程的解法，解决本题的关键是要熟练掌握解分式方程的方法.14.【分析】此题由题意做出图，做出边心距根据勾股定理求解即可．【详解】由题意作图，再作OP ⊥BC ，OP 的长即为边心距，即OP=1，由△ABC 是正三角形，∴∠ABC=60°，又∵OP 平分∠ABC ，则∠OBP=30°，∴OB=2OP ，由勾股定理知：，∴BC=，即边长为故答案为【点睛】本题考查三角形外接圆与圆心的关系，中间用勾股定理解题是关键．15.72cm 【分析】连接AF ，根据三角形中位线的性质求解.【详解】连接AF ，∵E 是AD 的中点，∴21AEF DEF S S cm ==∴222ADF DEF S S cm == ，∵点D 是BF 的中点，∴22ABD ADF S S cm ==,∵点F 是CE 的中点，∴222ACE AEF S S cm == ,同理可得：22BCF S cm = ,∴ABC S =DEF ABD ACE FBC S S S S +++ ABC S = 1+2+2+2=72cm ，故答案为：72cm .【点睛】此题考查三角形中位线的性质，熟知三角形的中位线将三角形分成面积相等的两部分是解题的关键.16.（1）1；（2）79x +【分析】（1）分别计算算术平方根、零指数幂，再利用有理数的加法法则相加即可；（2）利用完全平方公式和单项式乘多项式法则计算后，合并同类项即可．【详解】解：（1）原式＝4＋1－4＝1（2）原式＝2269x x x x++-+79x =+【点睛】本题考查算术平方根、零指数幂和整式的混合运算．能正确利用法则，分别计算是解题关键．17.（20）m ．【分析】过点A 作AE ⊥CD 于点E ，则四边形ABDE 是矩形，DE ＝AB ＝20m ，在Rt △ADE 中，求出AE 的长，在Rt △ACE 中，∠AEC ＝90°，求出CE 的长，即可得到CD 的长，得到信号塔的高度．【详解】解：过点A 作AE ⊥CD 于点E ，由题意可知，∠B ＝∠BDE ＝∠AED ＝90°，∴四边形ABDE 是矩形，∴DE ＝AB ＝20m ，在Rt △ADE 中，∠AED ＝90°，∠DAE ＝30°，DE ＝20m ，∵tan ∠DAE ＝DE AE，∴20tan tan 30DE AE DAE ===∠︒，在Rt △ACE 中，∠AEC ＝90°，∠CAE ＝45°，∴△ACE 是等腰直角三角形，∴CE AE =m ，∴CD ＝CE ＋DE ＝（＋20）m ，∴信号塔的高度为（＋20）m ．【点睛】此题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题、矩形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、特殊角的锐角三角函数等知识，借助仰角俯角构造直角三角形与矩形是解题的关键．18.（1）90°（2）310【分析】（1）根据等级C 的人数除以占的百分比求出调查的学生数，进而确定出等级A 的人数即可；补全统计图即可；（2）列表得出所有等可能的情况数，找出所选两位同学恰好都是走读生的情况数，即可求出所求的概率．【小问1详解】解：被调查的学生数为；20÷50%=40人，A 文艺范人数=40×12.5%=5人，B 动漫潮人数=40﹣5﹣5﹣20=10人，补全折线统计图如图所示，“动漫潮”所在扇形的圆心角度数=360°×1040=90°；【小问2详解】解：设2名住读生为A 1，A 2，走读生为B 1，B 2，B 3画树状图如图所示，由树状图得知，所有等可能的情况有20种，其中所选两位同学恰好都是都是走读生的情况有6种，∴所选的两名同学都是走读生的概率=620=310．【点睛】本题考查了列表法与树状图法，折线统计图：折线图是用一个单位表示一定的数量，根据数量的多少描出各点，然后把各点用线段依次连接起来．以折线的上升或下降来表示统计数量增减变化．折线图不但可以表示出数量的多少，而且能够清楚地表示出数量的增减变化情况．也考查了扇形统计图．19.【分析】（1）利用平行线性质和正方形的性质可得∠AEB=∠CFD，∠ABE=∠CDF，AB=CD，则借助AAS可证明△ABE≌△CDF；（2）过点E作HE⊥BE，交AB于H点，证明∠HAE=∠HEA，得到AH=HE．设BE=DF=HE=AH=x，则x．根据AB=4，构造关于x的方程，解方程即可．【详解】解：（1）∵AE∥CF，∴∠AEF＝∠CFB．∴∠AEB＝∠CFD．∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABE＝∠CDF，AB＝CD，∴△ABE≌△CDF（AAS）．（2）过点E作HE⊥BE，交AB于H点，∴∠BHE＝∠HBE＝45°．∵∠ABE＝2∠BAE，∴∠BHE＝2∠BAE．又∵∠BHE＝∠HAE+∠AEH，∴∠HAE＝∠HEA．∴AH＝HE．设BE ＝DF ＝HE ＝AH ＝x ，则HBx +＝4，解得x ＝﹣4．∴DF ＝﹣4．【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质，此题第一问简单，第二问是“倍半角”问题，通过辅助线构造等腰三角形转化角的解决这类问题的通用方法．20.（1）A 型保鲜货车的满载重量为2吨，B 型保鲜货车的满载重量为3吨；（2）保鲜储存至第3或4天时，利润最大为4.6万元【分析】（1）设A 型保鲜货车载重量为x 吨，B 型保鲜货车载重量为y 吨，根据等量关系：A 型保鲜货车运输6趟的吨数+B 型保鲜货车运输5趟的吨数=27；A 型保鲜货车运输2趟的吨数+B 型保鲜货车运输3趟的吨数=13，即可列出方程组，解方程组即可；（2）设储存m 天后，获利为w 万元，根据题意求出w 与m 的函数关系式，再根据二次函数的性质解答即可．【详解】（1）设A 型保鲜货车载重量为x 吨，B 型保鲜货车载重量为y 吨，由题意得：65272313x y x y +=⎧⎨+=⎩，解之得：23x y =⎧⎨=⎩，所以A 型保鲜货车的满载重量为2吨，B 型保鲜货车的满载重量为3吨．（2）设储存m 天之后，获得利润为w 万元，根据题得：()()0.90.1400.5400.8400.08w m m m=+--⨯-⨯2360.4540.05400.8400.08m m m m=-+--⨯-⨯20.050.354m m =-++()20.0574m m =--+()20.05 3.5 4.6125m =--+∵0.050a =-<，∴w 有最大值，∵对称轴为 3.5m =，且020≤≤m ，m 为整数，∴当3m =或4时，max 0.050.25 4.6125 4.6w =-⨯+=答：保鲜储存至第3或4天时，利润最大为4.6万元．【点睛】本题考查了二元一次方程组和二次函数的应用，解题的关键是：找出等量关系，列出二元一次方程组；准确地把所获的利润表示出来．21.（1）3；（2）74+34t ；（3）y ＝﹣14x +4或y ＝﹣13x +133．【分析】（1）根据DE ⊥OC 得到DE ∥OA ，由线段的中点的定义得到CD=AD ，从而可得到结论；（2）如图所示：作DM ⊥OA 于M ，DN ⊥OC 于N ，推出四边形DMON 是矩形，求得DM=12OC=3，DN=12OA=4，根据相似三角形的性质得到FM=34EN ，于是得到结论；（3）由OA=8，OC=6，得到A （8，0），C （0，6），求得D （4，3），根据三角形的面积列方程得到t=2或53，从而可得到直线DE 的解析式．【详解】（1）根据平行线的判定定理得到DE ∥OA ，由线段的中点的定义得到CD ＝AD ，于是得到结论，（2）如图所示：作DM ⊥OA 于M ，DN ⊥OC 于N ，推出四边形DMON 是矩形，求得DM ＝12OC ＝3，DN ＝12OA ＝4，根据相似三角形的性质得到FM ＝34EN ，于是得到结论；（3）由OA ＝8，OC ＝6，得到A （8，0），C （0，6），求得D （4，3），根据三角形的面积列方程得到t ＝2或53，于是得到结论．【解答】解：（1）当DE ⊥OC 时，四边形DEOF 是矩形；∵DE ⊥OC ，∴DE ∥OA ，∵点D 为AC 中点，∴CD ＝AD ，∴CE ＝OE ＝12OC ＝3，∴t ＝3，∴当t 的值为3s 时，四边形DEOF 是矩形，故答案为：3；（2）如图所示：作DM ⊥OA 于M ，DN ⊥OC 于N ，∵四边形OABC是矩形，∴OA⊥OC，∴四边形DMON是矩形，∴∠MDN＝90°，DM∥OC，DN∥OA，∴CDAD＝CNON，ADCD＝AMOM，∵点D为OB的中点，∴M、N分别是OA、AB的中点，∴DM＝12OC＝3，DN＝12OA＝4，∵∠EDF＝90°，∴∠FDM＝∠EDN，又∵∠DMF＝∠DNE＝90°，∴△DMF∽△DNE，∴FMEN＝DMDN＝34，∴FM＝34EN，∵CN＝12OC＝3，CE＝t，∴EN＝3﹣t，∴FM＝34EN＝94﹣34t，∴OF＝4﹣FM＝74+34t；（3）∵OA＝8，OC＝6，∴A（8，0），C（0，6），∵点D为AC中点，∴D（4，3），∵CE＝t，∴OE＝6﹣t，∵OF＝74+34t，∴△OEF面积＝12OE•OF＝12（6﹣t）（74+34t）＝132，解得：t＝2或5 3，当t＝2时，点E（0，4），∴直线DE的解析式为y＝﹣14x+4；当t＝53时，点E（0，133），∴直线DE的解析式为y＝﹣13x+133，综上所述，直线DE的解析式为y＝﹣14x+4或y＝﹣13x+133．【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，待定系数法求函数的解析式，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．22.【分析】（1）由切线的性质得出∠OHA+∠MHF＝90°，得出∠OAH+∠AME＝90°，则∠MHF＝∠AME，证得∠MHF＝∠HMF，则结论得出；（2）证明△HMF∽△DMH，由相似三角形的性质得出∠HDM＝∠MHF，得出∠MHF＝∠CAH，则可得出结论；（3）证出∠CMA＝∠CAM，得出AC＝CM，设CE＝3x，AC＝4x，则AE x，EM＝x，根据AM＝2，求出x＝，得出CE＝，AE，连接OC，可求出半径OC的长，证明△CEA∽△OHG，由相似三角形的性质得出AE CEGH OH，则可求出答案【详解】（1）∵直线GF为⊙O的切线，∴OH⊥GF，∴∠OHA+∠MHF＝90°，又∵OA＝OB，∴∠OHA＝∠OAH，∵CD⊥AB，∴∠AEM＝90°，∴∠OAH+∠AME＝90°，∴∠MHF ＝∠AME ，又∠AME ＝∠HMF ，∴∠MHF ＝∠HMF ，∴HF ＝MF ，∴△FNH 为等腰三角形；（2）连接DH ，∵MH 2＝MD•MF ．∴MH MFMD MH =，又∵∠HMD ＝∠FMH ，∴△HMF ∽△DMH ，∴∠HDM ＝∠MHF ，∵∠HDM ＝∠CAH ，∴∠MHF ＝∠CAH ，∴AC//GF ；（3）在Rt △ACE 中，∠AEC=90°，∴cos ∠ACE ＝CE AC ，∵AC//GF ，∴∠ACE ＝∠F ，∴cos ∠ACE ＝cosF=34，∴CE AC ＝34，∴设CE ＝3x ，AC ＝4x ，∴=，∵∠FHM ＝∠HMF ，∠CAM ＝∠MHF ，∠HMF ＝∠CMA ，∴∠CMA ＝∠CAM ，∴AC ＝CM ，∴EM ＝AM-AE=x ，∴AM =，∵AM=，∴=∴x∴CE ＝AE ，连接OC ，在Rt △OCE 中，OC 2＝OE 2+CE 2，设OC ＝OA ＝a ，∴((222a a =-+，解得a ＝8357，∵AC//GF ，∴∠G ＝∠CAE ，又∵∠OHG ＝∠CEA ＝90°，∴△CEA ∽△OHG ，∴AE CE GH OH =，∴358357GH =，∴GH ＝3．【点睛】本题考查了切线的性质，垂径定理，相似三角形的判定与性质等，综合性较强，有一定的难度，准确添加辅助线并能灵活运用相关知识是解题的关键．。
深圳市九年级上册期末数学试卷(Word版含解析)
深圳市九年级上册期末数学试卷（Word 版含解析）一、选择题1．下列关于x 的一元二次方程，有两个不相等的实数根的方程的是( )A ．x 2＋1＝0B ．x 2＋2x ＋1＝0C ．x 2＋2x ＋3＝0D ．x 2＋2x －3＝02．如图，矩形ABCD 中，3AB =，8BC =，点P 为矩形内一动点，且满足PBC PCD ∠=∠，则线段PD 的最小值为（ ）A ．5B ．1C ．2D ．3 3．已知3sin 2α=，则α∠的度数是（ ） A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°4．如图，点A ，B ，C 在⊙O 上，∠A=36°，∠C=28°，则∠B=（ ）A ．100°B ．72°C ．64°D ．36°5．在△ABC 中，若|sinA ﹣12|+2cosB ）2=0，则∠C 的度数是（ ） A ．45° B ．75°C ．105°D ．120° 6．在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，3AC =，=1BC ，则sin A 的值为（ ）A 10B 310C ．13D 107．对于二次函数2610y x x =-+，下列说法不正确的是（ ）A ．其图象的对称轴为过(3,1)且平行于y 轴的直线.B ．其最小值为1.C ．其图象与x 轴没有交点.D ．当3x <时，y 随x 的增大而增大.8．分别写有数字﹣4，0，﹣1，6，9，2的六张卡片，除数字外其它均相同，从中任抽一张，则抽到偶数的概率是（ ）A ．16B ．13C ．12D ．239．在六张卡片上分别写有13，π，1.5，5，0，2六个数，从中任意抽取一张，卡片上的数为无理数的概率是（ ） A ．16B ．13C ．12D ．56 10．在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，则sin B 的值是（ ） A ．45 B ．35 C ．43 D ．3411．点P 1（﹣1，1y ），P 2（3，2y ），P 3（5，3y ）均在二次函数22y x x c =-++的图象上，则1y ，2y ，3y 的大小关系是（ ）A ．321y y y >>B ．312y y y >=C ．123y y y >>D ．123y y y =>12．如图，已知一组平行线////a b c ，被直线m 、n 所截，交点分别为A 、B 、C 和D 、E 、F ，且 1.5AB =，2BC =， 1.8DE =，则EF =（ ）A ．4.4B ．4C ．3.4D ．2.4 13．在平面直角坐标系中，将二次函数y =32x 的图象向左平移2个单位，所得图象的解析式为( )A ．y =32x −2B ．y =32x +2C ．y =3()22x -D ．y =3()22x + 14．下列对于二次函数y ＝﹣x 2+x 图象的描述中，正确的是（ ）A ．开口向上B ．对称轴是y 轴C ．有最低点D ．在对称轴右侧的部分从左往右是下降的 15．如图1，一个扇形纸片的圆心角为90°，半径为4．如图2，将这张扇形纸片折叠，使点A 与点O 恰好重合，折痕为CD ，图中阴影为重合部分，则阴影部分的面积为（ ）A ．4233π-B ．8433π-C ．8233π-D ．843π-二、填空题 16．已知tan （α+15°）= 33，则锐角α的度数为______°． 17．已知二次函数222y x x -=-，当-1≤x≤4时，函数的最小值是__________．18．若53x y x +=，则y x=______. 19．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的图像如图所示，当y ＜3时，x 的取值范围是____．20．二次函数y=x 2−4x+5的图象的顶点坐标为 ．21．抛物线y=ax 2-4ax+4(a≠0)与y 轴交于点A ．过点B(0,3)作y 轴的垂线l ，若抛物线y=ax 2-4ax+4(a≠0)与直线l 有两个交点，设其中靠近y 轴的交点的横坐标为m ，且│m│<1，则a 的取值范围是______．22．如图，在边长为1的小正方形网格中，点A 、B 、C 、D 都在这些小正方形的顶点上，AB 、CD 相交于点O ，则tan ∠AOD=________.23．抛物线2(-1)3y x =+的顶点坐标是______.24．已知圆锥的侧面积为20πcm 2，母线长为5cm ，则圆锥底面半径为______cm ．25．如图，P 为O 外一点，PA 切O 于点A ，若3PA =，45APO ∠=︒，则O 的半径是______.26．如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径2r cm =，扇形的圆心角120θ=，则该圆锥的母线长l 为___cm ．27．有4根细木棒，它们的长度分别是2cm 、4cm 、6cm 、8cm ．从中任取3根恰好能搭成一个三角形的概率是_____．28．已知关于x 的一元二次方程ax 2+bx +5a ＝0有两个正的相等的实数根，则这两个相等实数根的和为_____．29．已知二次函数y ＝3x 2+2x ，当﹣1≤x ≤0时，函数值y 的取值范围是_____．30．已知二次函数y ＝ax 2+bx +c (a ＞0)图象的对称轴为直线x ＝1，且经过点(﹣1，y 1)，(2，y 2)，则y 1_____y 2．(填“＞”“＜”或“＝”)三、解答题31．在矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝5，E 是射线．．DC 上的点，连接AE ，将△ADE 沿直线AE 翻折得△AFE ．（1）如图①，点F 恰好在BC 上，求证：△ABF ∽△FCE ；（2）如图②，点F 在矩形ABCD 内，连接CF ，若DE ＝1，求△EFC 的面积；（3）若以点E 、F 、C 为顶点的三角形是直角三角形，则DE 的长为 ．32．某果园有100棵橙子树，平均每棵结600个橙子．现准备多种一些橙子树以提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就要减少．根据经验估计，每增种1棵树，平均每棵树就少结5个橙子．设果园增种x 棵橙子树，果园橙子的总产量为y 个．（1）求y 与x 之间的关系式；（2）增种多少棵橙子树，可以使橙子的总产量在60 420个以上？33．如图，在Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，点G 是BC 中点.连接AG .作BD AG ⊥，垂足为F ，ABD ∆的外接圆O 交BC 于点E ，连接AE .（1）求证：AB AE=；（2）过点D作圆O的切线，交BC于点M.若14GMGC=，求tan ABC∠的值；（3）在（2）的条件下，当1DF=时，求BG的长.34．如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交BC、AC于点D、E，BE交AD于点F，AB ＝AD．（1）判断△FDB与△ABC是否相似，并说明理由；（2）BC＝6，DE＝2，求△BFD的面积．35．如图，AB是⊙O的直径，弦DE垂直平分半径OA，C为垂足，弦DF与半径OB相交于点P，连接EF、EO，若DE＝2，∠DPA＝45°．（1）求⊙O的半径；（2）求图中阴影部分的面积．四、压轴题36．已知，如图1，⊙O是四边形ABCD的外接圆，连接OC交对角线BD于点F，延长AO 交BD于点E，OE=OF.（1）求证：BE=FD ；（2）如图2，若∠EOF=90°，BE=EF ，⊙O 的半径25AO =，求四边形ABCD 的面积； （3）如图3，若AD=BC ；①求证：22•AB CD BC BD +=；②若2•12AB CD AO ==，直接写出CD 的长.37．我们知道，如图1，AB 是⊙O 的弦，点F 是AFB 的中点，过点F 作EF ⊥AB 于点E ，易得点E 是AB 的中点，即AE ＝EB ．⊙O 上一点C （AC ＞BC ），则折线ACB 称为⊙O 的一条“折弦”．（1）当点C 在弦AB 的上方时（如图2），过点F 作EF ⊥AC 于点E ，求证：点E 是“折弦ACB ”的中点，即AE ＝EC+CB ．（2）当点C 在弦AB 的下方时（如图3），其他条件不变，则上述结论是否仍然成立？若成立说明理由；若不成立，那么AE 、EC 、CB 满足怎样的数量关系？直接写出，不必证明．（3）如图4，已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠BAC ＝30°，Rt △ABC 的外接圆⊙O 的半径为2，过⊙O 上一点P 作PH ⊥AC 于点H ，交AB 于点M ，当∠PAB ＝45°时，求AH 的长．38．如图，Rt △ABC ，CA ⊥BC ，AC ＝4，在AB 边上取一点D ，使AD ＝BC ，作AD 的垂直平分线，交AC 边于点F ，交以AB 为直径的⊙O 于G ，H ，设BC ＝x ．（1）求证：四边形AGDH 为菱形；（2）若EF ＝y ，求y 关于x 的函数关系式；（3）连结OF ，CG ．①若△AOF 为等腰三角形，求⊙O 的面积；②若BC ＝330＝______．（直接写出答案）．39．如图，⊙M与菱形ABCD在平面直角坐标系中，点M的坐标为（﹣3，1），点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（1，﹣3），点D在x轴上，且点D在点A的右侧．（1）求菱形ABCD的周长；（2）若⊙M沿x轴向右以每秒2个单位长度的速度平移，菱形ABCD沿x轴向左以每秒3个单位长度的速度平移，设菱形移动的时间为t（秒），当⊙M与AD相切，且切点为AD的中点时，连接AC，求t的值及∠MAC的度数；（3）在（2）的条件下，当点M与AC所在的直线的距离为1时，求t的值．40．对于线段外一点和这条线段两个端点连线所构成的角叫做这个点关于这条线段的视角．如图1，对于线段AB及线段AB外一点C，我们称∠ACB为点C关于线段AB的视角．如图2，点Q在直线l上运动，当点Q关于线段AB的视角最大时，则称这个最大的“视角”为直线l关于线段AB的“视角”．（1）如图3，在平面直角坐标系中，A（0，4），B（2，2），点C坐标为（﹣2，2），点C关于线段AB的视角为度，x轴关于线段AB的视角为度；（2）如图4，点M是在x轴上，坐标为（2，0），过点M作线段EF⊥x轴，且EM＝MF ＝1，当直线y＝kx（k≠0）关于线段EF的视角为90°，求k的值；（3）如图5，在平面直角坐标系中，P3，2），Q3，1），直线y＝ax+b（a＞0）与x轴的夹角为60°，且关于线段PQ的视角为45°，求这条直线的解析式．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【解析】【分析】要判断所给方程是有两个不相等的实数根，只要找出方程的判别式，根据判别式的正负情况即可作出判断．有两个不相等的实数根的方程，即判别式的值大于0的一元二次方程．【详解】A、△=0-4×1×1=-4<0，没有实数根；B、△=22-4×1×1=0，有两个相等的实数根；C、△=22-4×1×3=-8<0，没有实数根；D、△=22-4×1×（-3）=16>0，有两个不相等的实数根，故选D．【点睛】本题考查了根的判别式，注意掌握一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．2．B解析：B【解析】【分析】通过矩形的性质和等角的条件可得∠BPC=90°，所以P点应该在以BC为直径的圆上，即OP=4，根据两边之差小于第三边及三点共线问题解决.【详解】如图，∵四边形ABCD为矩形，∴AB=CD=3，∠BCD=90°,∴∠PCD+∠PCB=90°,∵PBC PCD∠=∠,∴∠PBC+∠PCB=90°,∴∠BPC=90°,∴点P在以BC为直径的圆⊙O上，在Rt△OCD中，OC=118422BC,CD=3，由勾股定理得，OD=5，∵PD≥OD OP ,∴当P,D,O三点共线时，PD最小，∴PD的最小值为OD-OP=5-4=1.故选：B.【点睛】本题考查矩形的性质，勾股定理，线段最小值问题及圆的性质，分析出P点的运动轨迹是解答此题的关键.3．C解析：C【解析】【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案．【详解】解：由3sin2α=，得α=60°，故选：C．【点睛】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．4．C解析：C【解析】【分析】【详解】试题分析：设AC和OB交于点D，根据同弧所对的圆心角的度数等于圆周角度数2倍可得：∠O=2∠A=72°，根据∠C=28°可得：∠ODC=80°，则∠ADB=80°，则∠B=180°-∠A-∠ADB=180°-36°-80°=64°，故本题选C．5．C解析：C【解析】【分析】根据非负数的性质列出关系式，根据特殊角的三角函数值求出∠A 、∠B 的度数，根据三角形内角和定理计算即可．【详解】由题意得，sinA-12=0，即sinA=12， 解得，∠A=30°，∠B=45°，∴∠C=180°-∠A-∠B=105°，故选C ．【点睛】本题考查的是非负数的性质的应用、特殊角的三角函数值的计算和三角形内角和定理的应用，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．6．A解析：A【解析】【分析】先根据勾股定理求出斜边的长，再根据正弦的定义解答即可.【详解】解：在Rt ABC ∆中，∵90C ∠=︒，3AC =，=1BC ，∴AB =∴sinBC A AB ===. 故选：A.【点睛】本题考查了勾股定理和正弦的定义，属于基本题型，熟练掌握基本知识是解题关键. 7．D解析：D【解析】【分析】先将二次函数变形为顶点式，然后可根据二次函数的性质判断A 、B 、D 三项，再根据抛物线的顶点和开口即可判断C 项，进而可得答案.【详解】解：()2261031y x x x =-+=-+，所以抛物线的对称轴是直线：x =3，顶点坐标是（3，1）；A、其图象的对称轴为过(3,1)且平行于y轴的直线，说法正确，本选项不符合题意；B、其最小值为1，说法正确，本选项不符合题意；C、因为抛物线的顶点是（3，1），开口向上，所以其图象与x轴没有交点，说法正确，本选项不符合题意；D、当3x<时，y随x的增大而增大，说法错误，所以本选项符合题意.故选：D.【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，属于基本题型，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键. 8．D解析：D【解析】【分析】根据概率公式直接计算即可．【详解】解：在这6张卡片中，偶数有4张，所以抽到偶数的概率是46＝23，故选：D．【点睛】本题主要考查了随机事件的概率，随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数，灵活利用概率公式是解题的关键.9．B解析：B【解析】【分析】无限不循环小数叫无理数，无理数通常有以下三种形式：一是开方开不尽的数，二是圆周率π，三是构造的一些不循环的数，如1.010010001……（两个1之间0的个数一次多一个）.然后用无理数的个数除以所有书的个数，即可求出从中任意抽取一张，卡片上的数为无理数的概率.【详解】∵这组数中无理数有π共2个，∴卡片上的数为无理数的概率是21 = 63.故选B.【点睛】本题考查了无理数的定义及概率的计算. 10．A解析：A【解析】【分析】先根据勾股定理计算出斜边AB 的长，然后根据正弦的定义求解．【详解】如图，∵∠C =90°，AC =8，BC =6， ∴AB 222268BC AC +=+10，∴sin B =84105AC AB ==． 故选：A ．【点睛】 本题考查了正弦的定义：在直角三角形中，一锐角的正弦等于它的对边与斜边的比值．也考查了勾股定理．11．D解析：D【解析】试题分析：∵22y x x c =-++，∴对称轴为x=1，P 2（3，2y ），P 3（5，3y ）在对称轴的右侧，y 随x 的增大而减小，∵3＜5，∴23y y >，根据二次函数图象的对称性可知，P 1（﹣1，1y ）与（3，2y ）关于对称轴对称，故123y y y =>，故选D ．考点：二次函数图象上点的坐标特征．12．D解析：D【解析】【分析】根据平行线等分线段定理列出比例式，然后代入求解即可．【详解】 解：∵////a b c∴AB DE BC EF= 即1.5 1.82EF = 解得：EF=2.4 故答案为D ．【点睛】本题主要考查的是平行线分线段成比例定理，利用定理正确列出比例式是解答本题的关键．13．D解析：D【解析】【分析】先确定抛物线y=3x2的顶点坐标为（0，0），再根据点平移的规律得到点（0，0）向左平移2个单位所得对应点的坐标为（-2，0），然后利用顶点式写出新抛物线解析式即可．【详解】解：抛物线y=3x2的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）向左平移2个单位所得对应点的坐标为（-2，0），∴平移后的抛物线解析式为：y=3（x+2）2．故选：D．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．14．D解析：D【解析】【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的结论是否正确，从而可以解答本题．【详解】解：∵二次函数y＝﹣x2+x＝﹣(x12)2+14，∴a＝﹣1，该函数的图象开口向下，故选项A错误；对称轴是直线x＝12，故选项B错误；当x＝12时取得最大值14，该函数有最高点，故选项C错误；在对称轴右侧的部分从左往右是下降的，故选项D正确；故选：D．【点睛】本题考查了二次函数的性质，掌握函数解析式和二次函数的性质是解题的关键．15．C解析：C【解析】【分析】连接OD，根据勾股定理求出CD，根据直角三角形的性质求出∠AOD，根据扇形面积公式、三角形面积公式计算，得到答案．【详解】解：连接OD，在Rt△OCD中，OC＝12OD＝2，∴∠ODC＝30°，CD＝2223OD OC+=∴∠COD＝60°，∴阴影部分的面积＝260418223=23 36023π⨯-⨯⨯π-，故选：C．【点睛】本题考查的是扇形面积计算、勾股定理，掌握扇形面积公式是解题的关键．二、填空题16．15【解析】【分析】直接利用特殊角的三角函数值求出答案．【详解】解：tan（α+15°）=∴α+15°=30°,∴α=15°故答案是15【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，解析：15【解析】【分析】直接利用特殊角的三角函数值求出答案．【详解】解：tan （α+15°）=3∴α+15°=30°,∴α=15°故答案是15【点睛】 此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关特殊角的三角函数值是解题关键．17．-3【解析】【分析】根据题意和二次函数的性质可以求得当−1≤x≤4时，函数的最小值．【详解】解：∵二次函数，∴该函数的对称轴是直线x ＝1，当x ＞1时，y 随x 的增大而增大，当x ＜1时，y 随解析：-3【解析】【分析】根据题意和二次函数的性质可以求得当−1≤x ≤4时，函数的最小值．【详解】解：∵二次函数222y x x -=-，∴该函数的对称轴是直线x ＝1，当x ＞1时，y 随x 的增大而增大，当x ＜1时，y 随x 的增大而减小，∵−1≤x≤4，∴当x ＝1时，y 取得最小值，此时y ＝-3，故答案为：-3．【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 18．【解析】【分析】将已知比例式变形化成等积式，整理出x 与y 的倍数关系，再化成比例式即可得.【详解】解：∵，∴3x+3y=5x,∴2x=3y,∴.故答案为：. 【点睛】本题考查比例的解析：2 3【解析】【分析】将已知比例式变形化成等积式，整理出x与y的倍数关系，再化成比例式即可得.【详解】解：∵53x yx+=，∴3x+3y=5x,∴2x=3y,∴23 yx =.故答案为：2 3 .【点睛】本题考查比例的基本性质，解题关键是将比例式与等积式之间能相互转换.19．－1＜x＜3【解析】【分析】根据图象，写出函数图象在y=3下方部分的x的取值范围即可．【详解】解：如图，根据二次函数的对称性可知，－1＜x＜3时，y＜3，故答案为：－1＜x＜3.【点睛解析：－1＜x＜3【解析】【分析】根据图象，写出函数图象在y=3下方部分的x的取值范围即可．【详解】解：如图，根据二次函数的对称性可知，－1＜x＜3时，y＜3，故答案为：－1＜x＜3.【点睛】本题考查了二次函数与不等式和二次函数的对称性，此类题目，利用数形结合的思想求解更简便．20．（2，1）【解析】【分析】将二次函数解析式化为顶点式，即可得到顶点坐标.【详解】将二次函数配方得则顶点坐标为（2，1）考点：二次函数的图象和性质．解析：（2，1）【解析】【分析】将二次函数解析式化为顶点式，即可得到顶点坐标.【详解】将二次函数245y x x =-+配方得22()1y x =-+则顶点坐标为（2，1）考点：二次函数的图象和性质． 21．a>或a<.【解析】【分析】先确定抛物线的对称轴，根据开口的大小与a 的关系，即开口向上时，a>0,且a 越大开口越小，开口向下时，a<0,且a 越大，开口越大，从而确定a 的范围.【详解】解：如解析：a>13或a<15-. 【解析】【分析】 先确定抛物线的对称轴，根据开口的大小与a 的关系，即开口向上时，a>0,且a 越大开口越小，开口向下时，a<0,且a 越大，开口越大，从而确定a 的范围.【详解】解：如图，观察图形抛物线y=ax 2-4ax+4的对称轴为直线422a x a-=-= , 设抛物线与直线l 交点（靠近y 轴）为(m,3)，∵│m│<1，∴-1<m<1.当a>0时，若抛物线经过点（1，3）时，开口最大，此时a 值最小，将点（1，3）代入y=ax2-4ax+4，得，3=a-4a+4解得a=1 3 ,∴a>1 3 ;当a<0时，若抛物线经过点（-1，3）时，开口最大，此时a值最大，将点（-1，3）代入y=ax2-4ax+4，得，3=a+4a+4解得a=1 5 - ,∴a<1 5 -.a的取值范围是a>13或a<15-.故答案为：a>13或a<15-.【点睛】本题考查抛物线的性质，首先明确a值与开口的大小关系，观察图形，即数形结合的思想是解答此题的关键.22．2【解析】【分析】首先连接BE，由题意易得BF=CF，△ACO∽△BKO，然后由相似三角形的对应边成比例，易得KO：CO=1：3，即可得OF：CF=OF：BF=1：2，在Rt△OBF中，即可求解析：2【解析】【分析】首先连接BE，由题意易得BF=CF，△ACO∽△BKO，然后由相似三角形的对应边成比例，易得KO：CO=1：3，即可得OF：CF=OF：BF=1：2，在Rt△OBF中，即可求得tan∠BOF的值，继而求得答案．【详解】如图，连接BE，∵四边形BCEK是正方形，∴KF=CF=12CK，BF=12BE，CK=BE，BE⊥CK，∴BF=CF，根据题意得：AC∥BK，∴△ACO∽△BKO，∴KO：CO=BK：AC=1：3，∴KO：KF=1：2，∴KO=OF=12CF=12BF，在Rt△PBF中，tan∠BOF=BFOF=2，∵∠AOD=∠BOF，∴tan∠AOD=2．故答案为2【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，三角函数的定义．此题难度适中，解题的关键是准确作出辅助线，注意转化思想与数形结合思想的应用．23．(1，3)【解析】【分析】根据顶点式：的顶点坐标为（h，k）即可求出顶点坐标.【详解】解：由顶点式可知：的顶点坐标为：(1，3).故答案为(1，3).【点睛】此题考查的是求顶点坐标，解析：(1，3)【解析】【分析】根据顶点式：2()y a x h k =-+的顶点坐标为（h ，k ）即可求出顶点坐标.【详解】解：由顶点式可知：2(-1)3y x =+的顶点坐标为：(1，3).故答案为(1，3).【点睛】此题考查的是求顶点坐标，掌握顶点式：2()y a x h k =-+的顶点坐标为（h ，k ）是解决此题的关键.24．4【解析】【分析】由圆锥的母线长是5cm ，侧面积是20πcm2，求圆锥侧面展开扇形的弧长，然后再根据锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面周长求解．【详解】解：由圆锥的母线长是5cm ，侧面积解析：4【解析】【分析】由圆锥的母线长是5cm ，侧面积是20πcm 2，求圆锥侧面展开扇形的弧长，然后再根据锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面周长求解．【详解】解：由圆锥的母线长是5cm ，侧面积是20πcm 2， 根据圆锥的侧面展开扇形的弧长为：2405S l r π===8π， 再根据锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面周长， 可得822l r πππ===4cm ． 故答案为：4．【点睛】本题考查圆锥的计算，掌握公式正确计算是解题关键．25．3【分析】由题意连接OA，根据切线的性质得出OA⊥PA，由已知条件可得△OAP是等腰直角三角形，进而可求出OA的长，即可求解．【详解】解：连接OA，∵PA切⊙O于点A，∴OA解析：3【解析】【分析】由题意连接OA，根据切线的性质得出OA⊥PA，由已知条件可得△OAP是等腰直角三角形，进而可求出OA的长，即可求解．【详解】解：连接OA，∵PA切⊙O于点A，∴OA⊥PA，∴∠OAP=90°，∵∠APO=45°，∴OA=PA=3，故答案为：3．【点睛】本题考查切线的性质即圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，连接过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．26．【解析】【分析】易得圆锥的底面周长，也就是侧面展开图的弧长，进而利用弧长公式即可求得圆锥的母线长．【详解】圆锥的底面周长cm，设圆锥的母线长为，则：，故答案为．【点睛】本解析：【解析】【分析】易得圆锥的底面周长，也就是侧面展开图的弧长，进而利用弧长公式即可求得圆锥的母线长．【详解】圆锥的底面周长224ππ=⨯=cm ，设圆锥的母线长为R ，则：1204180R ππ⨯=， 解得6R =，故答案为6．【点睛】本题考查了圆锥的计算，用到的知识点为：圆锥的侧面展开图的弧长等于底面周长；弧长公式为： 180n r π． 27．【解析】【分析】根据题意列举出所有4种等可能的结果数，再根据题意得出能够构成三角形的结果数，最后根据概率公式即可求解．【详解】从中任取3根共有4种等可能的结果数，它们为2、4、6；2、4、 解析：14【解析】【分析】根据题意列举出所有4种等可能的结果数，再根据题意得出能够构成三角形的结果数，最后根据概率公式即可求解．【详解】从中任取3根共有4种等可能的结果数，它们为2、4、6；2、4、8；2、6、8；、4、6、8，其中恰好能搭成一个三角形为4、6、8， 所以恰好能搭成一个三角形的概率＝14． 故答案为14．本题考查列表法或树状图法和三角形三边关系，解题的关键是通过列表法或树状图法展示出所有等可能的结果数及求出构成三角形的结果数．28．2【解析】【分析】根据根的判别式，令，可得，解方程求出b ＝﹣2a ，再把b 代入原方程，根据韦达定理：即可．【详解】当关于x 的一元二次方程ax2+bx+5a ＝0有两个正的相等的实数根时， ，即解析：【解析】【分析】根据根的判别式，令=0∆，可得2220=0b a -，解方程求出b ＝﹣，再把b 代入原方程，根据韦达定理：12b x x a+=-即可． 【详解】当关于x 的一元二次方程ax 2+bx +5a ＝0有两个正的相等的实数根时， =0∆，即2220=0b a -，解得b ＝﹣a 或b ＝（舍去），原方程可化为ax 2﹣+5a ＝0，则这两个相等实数根的和为故答案为：【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式和韦达定理，解题的关键是熟练掌握根的判别式和韦达定理。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
深圳清华实验学校初三数学九年级上册期末试题及答案 一、选择题 1．二次函数y ＝x 2﹣6x 图象的顶点坐标为（ ）A ．（3，0）B ．（﹣3，﹣9）C ．（3，﹣9）D ．（0，﹣6）2．如图，等边三角形ABC 的边长为5，D 、E 分别是边AB 、AC 上的点，将△ADE 沿DE 折叠，点A 恰好落在BC 边上的点F 处，若BF ＝2，则BD 的长是（ ）A ．2B ．3C ．218D ．247 3．若x=2y ，则x y 的值为（ ） A ．2 B ．1 C ．12 D ．134．函数y=mx 2+2x+1的图像 与x 轴只有1个公共点，则常数m 的值是（ ）A ．1B ．2C ．0,1D ．1,2 5．若直线l 与半径为5的O 相离，则圆心O 与直线l 的距离d 为（ ） A ．5d < B ．5d > C ．5d = D ．5d ≤ 6．sin30°的值是（ ）A ．12B ．22C ．3D ．17．抛物线y ＝x 2先向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到新的抛物线解析式是( ) A ．y ＝(x+1)2+3B ．y ＝(x+1)2﹣3C ．y ＝(x ﹣1)2﹣3D ．y ＝(x ﹣1)2+38．如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△ABC 的顶点都在格点上，将△ABC 绕点C 顺时针旋转60°，则顶点A 所经过的路径长为( )A ．10πB 10C ．103πD ．π 9．若两个相似三角形的相似比是1：2，则它们的面积比等于（ ） A ．1：2 B ．1：2 C ．1：3 D ．1：410．如图，分别以等边三角形ABC 的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛三角形，若AB=2，则莱洛三角形的面积（即阴影部分面积）为（ ）A ．3π+B ．3πC ．23π-D ．223π-11．若关于x 的一元二次方程240kx x -+=有实数根，则k 的取值范围是（ ）A ．16k ≤B ．116k ≤C ．1,16k ≤且0k ≠ D ．16,k ≤ 且0k ≠ 12．下列对于二次函数y ＝﹣x 2+x 图象的描述中，正确的是（ ）A ．开口向上B ．对称轴是y 轴C ．有最低点D ．在对称轴右侧的部分从左往右是下降的13．下列说法正确的是（ ）A ．所有等边三角形都相似B ．有一个角相等的两个等腰三角形相似C ．所有直角三角形都相似D ．所有矩形都相似14．抛物线y=（x ﹣2）2﹣1可以由抛物线y=x 2平移而得到，下列平移正确的是（ ） A ．先向左平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度B ．先向左平移2个单位长度，然后向下平移1个单位长度C ．先向右平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度D ．先向右平移2个单位长度，然后向下平移1个单位长度 15．用配方法解方程2250x x --=时，原方程应变形为（ ）A ．2(1)6x -=B ．2(1)6x +=C ．2(1)9x +=D ．2(1)9x -=二、填空题16．关于x 的一元二次方程20x a +=没有实数根，则实数a 的取值范围是 ．17．如图，△ABC 周长为20cm ，BC=6cm,圆O 是△ABC 的内切圆，圆O 的切线MN 与AB 、CA 相交于点M 、N ，则△AMN 的周长为________cm.18．如图，一个可以自由转动的转盘，任意转动转盘一次，当转盘停止时，指针落在红色区域的概率为____．19．如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径2r cm =，扇形的圆心角120θ=，则该圆锥的母线长l 为___cm ．20．已知关于x 的方程a （x +m ）2+b ＝0（a 、b 、m 为常数，a ≠0）的解是x 1＝2，x 2＝﹣1，那么方程a （x +m +2）2+b ＝0的解_____．21．如图，在边长为4的菱形ABCD 中，∠A=60°，M 是AD 边的中点，点N 是AB 边上一动点，将△AMN 沿MN 所在的直线翻折得到△A′MN ，连接A′C ，则线段A′C 长度的最小值是______．22．小刚身高1.7m ，测得他站立在阳光下的影子长为0.85m ，紧接着他把手臂竖直举起，测得影子长为1.1m ，那么小刚举起的手臂超出头顶的高度为________m ．23．在平面直角坐标系中，抛物线2y x 的图象如图所示．已知A 点坐标为()1,1，过点A 作1AA x ∕∕轴交抛物线于点1A ，过点1A 作12A A OA ∕∕交抛物线于点2A ，过点2A 作23A A x ∕∕轴交抛物线于点3A ，过点3A 作34A A OA ∕∕交抛物线于点4A ……，依次进行下去，则点2019A 的坐标为_____．24．如图，ABO 三个顶点的坐标分别为(24),(60),(00)A B ，，，，以原点O 为位似中心，把这个三角形缩小为原来的12，可以得到A B O ''△，已知点B '的坐标是30（，），则点A '的坐标是______.25．如图，ABC 是⊙O 的内接三角形，AD 是△ABC 的高，AE 是⊙O 的直径，且AE=4，若CD=1，AD=3，则AB 的长为______．26．已知 x 1、x 2 是关于 x 的方程 x 2+4x -5＝0的两个根，则x 1 + x 2＝_____．27．如图，E 是▱ABCD 的BC 边的中点，BD 与AE 相交于F ，则△ABF 与四边形ECDF 的面积之比等于_____．28．设1x 、2x 是关于x 的方程2350x x +-=的两个根，则1212x x x x +-•=__________．29．如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝3，tan A ＝34，将Rt △ABC 绕点C 顺时针旋转90°得到△DEC ，点F 是DE 上一动点，以点F 为圆心，FD 为半径作⊙F ，当FD ＝_____时，⊙F与Rt△ABC的边相切．30．如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“好玩三角形”，在△ABC中，AB=AC，若△ABC是“好玩三角形”，则tanB____________。
三、解答题31．如图1，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c交y轴于点A(0，4)，交x轴于点B(4，0)，点P是抛物线上一动点，试过点P作x轴的垂线1，再过点A作1的垂线，垂足为Q，连接AP．(1)求抛物线的函数表达式和点C的坐标；(2)若△AQP∽△AOC，求点P的横坐标；(3)如图2，当点P位于抛物线的对称轴的右侧时，若将△APQ沿AP对折，点Q的对应点为点Q′，请直接写出当点Q′落在坐标轴上时点P的坐标．32．解方程：（1）(x+1)2﹣9＝0（2）x2﹣4x﹣45＝033．如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交BC、AC于点D、E，BE交AD于点F，AB ＝AD．（1）判断△FDB与△ABC是否相似，并说明理由；（2）BC＝6，DE＝2，求△BFD的面积．34．某玩具商店以每件60元为成本购进一批新型玩具，以每件100元的价格销售则每天可卖出20件，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商店决定采取适当的降价措施，经调查发现：若每件玩具每降价1元，则每天可多卖2件.(1)若商店打算每天盈利1200元，每件玩具的售价应定为多少元？(2)若商店为追求效益最大化，每件玩具的售价定为多少元时，商店每天盈利最多？最多盈利多少元？35．一个四边形被一条对角线分割成两个三角形，如果被分割的两个三角形相似，我们被称为该对角线为相似对角线．（1）如图1，正方形ABCD 的边长为4，E 为AD 的中点，1AF=，连结CE .CP ，求证：EF 为四边形AECF 的相似对角线．（2）在四边形ABCD 中，120BAD ︒∠=，3AB =，6AC =，AC 平分BAD ∠，且AC 是四边形ABCD 的相似对角线，求BD 的长．（3）如图2，在矩形ABCD 中，6AB =，4BC =，点E 是线段AB （不取端点A ．B ）上的一个动点，点F 是射线AD 上的一个动点，若EF 是四边形AECF 的相似对角线，求BE 的长．（直接写出答案）四、压轴题36．已知：在ABC 中，,90AC BC ACB ︒=∠=，点F 在射线CA 上，延长BC 至点D ，使CD CF =，点E 是射线BF 与射线DA 的交点．（1）如图1，若点F 在边CA 上；①求证：BE AD ⊥；②小敏在探究过程中发现45BEC ︒∠=，于是她想：若点F 在CA 的延长线上，是否也存在同样的结论？请你在图2上画出符合条件的图形并通过测量猜想BEC ∠的度数． （2）选择图1或图2两种情况中的任一种，证明小敏或你的猜想．37．如图，⊙M 与菱形ABCD 在平面直角坐标系中，点M 的坐标为（﹣3，1），点A 的坐标为（2，0），点B 的坐标为（13D 在x 轴上，且点D 在点A 的右侧．（1）求菱形ABCD 的周长；（2）若⊙M沿x轴向右以每秒2个单位长度的速度平移，菱形ABCD沿x轴向左以每秒3个单位长度的速度平移，设菱形移动的时间为t（秒），当⊙M与AD相切，且切点为AD的中点时，连接AC，求t的值及∠MAC的度数；（3）在（2）的条件下，当点M与AC所在的直线的距离为1时，求t的值．38．翻转类的计算问题在全国各地的中考试卷中出现的频率很大，因此初三（5）班聪慧的小菲同学结合2011年苏州市数学中考卷的倒数第二题对这类问题进行了专门的研究。
你能和小菲一起解决下列各问题吗？（以下各问只要求写出必要的计算过程和简洁的文字说明即可。
）（1）如图①，小菲同学把一个边长为1的正三角形纸片（即△OAB）放在直线l1上，OA边与直线l1重合，然后将三角形纸片向右翻转一周回到初始位置，求顶点O所经过的路程；并求顶点O所经过的路线；图①（2）小菲进行类比研究：如图②，她把边长为1的正方形纸片OABC放在直线l2上，OA边与直线l2重合，然后将正方形纸片向右翻转若干次．她提出了如下问题：图②问题①：若正方形纸片OABC接上述方法翻转一周回到初始位置，求顶点O经过的路程；问题②：正方形纸片OABC按上述方法经过多少次旋转，顶点O经过的路程是+41202。
（3）①小菲又进行了进一步的拓展研究，若把这个正三角形的一边OA与这个正方形的一边OA重合（如图3），然后让这个正三角形在正方形上翻转，直到正三角形第一次回到初始位置（即OAB的相对位置和初始时一样），求顶点O所经过的总路程。
图③②若把边长为1的正方形OABC放在边长为1的正五边形OABCD上翻转（如图④），直到正方形第一次回到初始位置，求顶点O所经过的总路程。