命题与证明的练习 黄梓泽
2018年中考数学《命题与证明》同步提分训练含答案解析
2018年中考数学提分训练: 命题与证明一，选择题1.下列命题是真命题的是（）A. 有一个角是直角的四边形是矩形B. 有一组邻边相等的四边形是菱形C. 有三个角是直角的四边形是矩形D. 有三条边相等的四边形是菱形2.命题“△ABC中，若∠A>∠B，则a>b”的结论的否定应该是( )A. a<bB. a≤bC. a＝bD. a≥b3.下列定理有逆定理的是( )A. 同角的余角相等B. 线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等C. 全等三角形的对应角相等D. 对顶角相等4.小柔要榨果汁，她有苹果，芭乐，柳丁三种水果，且其颗数比为9：7：6，小柔榨完果汁后，苹果，芭乐，柳丁的颗数比变为6：3：4，已知小柔榨果汁时没有使用柳丁，关于她榨果汁时另外两种水果的使用情形，下列叙述何者正确？（）A. 只使用苹果B. 只使用芭乐C. 使用苹果及芭乐，且使用的苹果颗数比使用的芭乐颗数多D. 使用苹果及芭乐，且使用的芭乐颗数比使用的苹果颗数多5. 下列命题中，假命题有（）①两点之间线段最短；②到角的两边距离相等的点在角的平分线上；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④垂直于同一直线的两条直线平行；⑤若⊙O的弦AB，CD交于点P，则PA•PB=PC•PD．A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个6. 已知下列命题：①若＞1，则a＞b；②若a+b=0，则|a|=|b|；③等边三角形的三个内角都相等；④底角相等的两个等腰三角形全等．其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个7. 下列说法正确的是（）A. 要了解某公司生产的100万只灯泡的使用寿命，可以采用抽样调查的方法B. 4位同学的数学期末成绩分别为100，95，105，110，则这四位同学数学期末成绩的中位数为100C. 甲乙两人各自跳远10次，若他们跳远成绩的平均数相同，甲乙跳远成绩的方差分别为0.51和0.62 D. 某次抽奖活动中，中奖的概率为表示每抽奖50次就有一次中奖8.应用反证法推出矛盾的推导过程中要把下列哪些作为条件使用( )①结论的否定；②已知条件；③公理，定理，定义等；④原结论．A. ①②B. ②③C. ①②③D. ①②④9.某班有20位同学参加围棋，象棋比赛，甲说：“只参加一项的人数大于14人” ；乙说：“两项都参加的人数小于5人” .对于甲，乙两人的说法，有下列四个命题，其中真命题的是（）A. 若甲对，则乙对B. .若乙对，则甲对C. 若乙错，则甲错D. 若甲错，则乙对10.下列命题中，假命题是（）A. 凡是直角都相等B. 对顶角相等C. 不相等的角不是对顶角D. 同位角相等11. 一个大矩形按如图方式分割成九个小矩形，且只有标号为①和②的两个小矩形为正方形．在满足条件的所有分割中，若知道九个小矩形中n个小矩形的周长，就一定能算出这个在大矩形的面积，则n的最小值是（）A. 3B. 4C. 5D. 612. 如图，AB是⊙O的直径，AC，BC分别与⊙O相交于点D，E，连接DE，现给出两个命题：①若AC=AB，则DE=CE；②若∠C=45°，记△CDE的面积为S1，四边形DABE的面积为S2，则S1=S2，那么（）A. ①是真命题②是假命题B. ①是假命题②是真命题C. ①是假命题②是假命题D. ①是真命题②是真命题二，填空题13.把命题“对顶角相等”改写成“如果那么”的形式：________．14.命题“全等三角形的面积相等”的逆命题是________命题.(填“真”或“假”)15. 下列四个命题中：①对顶角相等；②同旁内角互补；③全等三角形的对应角相等；④两直线平行，同位角相等，其中假命题的有________（填序号）16.写出命题“若a=b，则a2=b2”的逆命题________17.写出命题“两个锐角的和是钝角”是假命题的一个反例：________18.命题“如果两个角都是直角,那么这两个角相等”的逆命题________.19. 下面三个命题：①若是方程组的解，则a+b=1或a+b=0；②函数y=﹣2x2+4x+1通过配方可化为y=﹣2（x﹣1）2+3；③最小角等于50°的三角形是锐角三角形，其中正确命题的序号为________．20.用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，则∠A＝∠B＝90°不成立；②所以一个三角形中不能有两个直角；③假设∠A，∠B，∠C中有两个角是直角，不妨设∠A＝∠B＝90°.正确顺序的序号排列为________三，解答题21.已知命题：“如图，点B，F，C，E在同一条直线上，则AB∥DE．”判断这个命题是真命题还是假命题，如果是真命题，请给出证明；如果是假命题，在不添加其他辅助线的情况下，请添加一个适当的条件使它成为真命题，并加以证明．22.判断下列命题是真命题还是假命题，如果是假命题，举出一个反例．（1）等角的余角相等；（2）平行线的同旁内角的平分线互相垂直；（3）和为180°的两个角叫做邻补角．23.嘉淇同学要证明命题“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”是正确的,她先用尺规作出了如图所示的四边形ABCD,并写出了如下不完整的已知和求证.已知:如图,在四边形ABCD中,BC=AD,AB=__①___.求证:四边形ABCD是___②___四边形.（1）在方框中填空,以补全已知和求证;①________；②________.（2）按嘉淇的想法写出证明.（3）用文字叙述所证命题的逆命题为________24.如图，已知在△ABC中，∠1=∠2．（1）请你添加一个与直线AC有关的条件，由此可得出BE是△ABC的外角平分线；（2）请你添加一个与∠1有关的条件，由此可得出BE是△ABC的外角平分线；（3）如果“已知在△ABC中，∠1=∠2不变”，请你把（1）中添加的条件与所得结论互换，所得的命题是否是真命题，理由是什么？答案解析一，选择题1.【答案】C【解析】A，有一个角是直角的平行四边形是矩形，故A不符合题意；B，四条边都相等的四边形是菱形，故B不符合题意；C，有三个角是直角的四边形是矩形，故C符合题意；D，四条边都相等的四边形是菱形，故D不符合题意．故答案为：C【分析】利用举反例法可对A作出判断；依据菱形，矩形的判定方法可对B，C，D作出判断.2.【答案】B【解析】“a>b”的否定应为“a＝b或a<b”，即a≤b.故答案为：B.【分析】因为a与b的大小关系有三种情况：“a>b”，“a＝b，a<b”.所以“a>b”的否定应为a≤b.3.【答案】B【解析】：A，同角的余角相等，其逆命题是，如果两个角相等，那么它们是同一个角的余角，显然是假命题，故A不符合题意；B，线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，其逆命题是到线段两端点距离相等的点在这线段的垂直平分线上，是真命题，故B符合题意；C，全等三角形的对应角相等，其逆命题是如果两个三角形的对应角相等，则这两个三角形全等，显然是假命题，故C不符合题意；D，对顶角相等，的逆命题是相等得角是对顶角，也是个假命题，从而得出D不符合题意.故答案为：B .【分析】定理有逆定理，则定理的逆命题必须是正确的，对于同角的余角相等，其逆命题是，如果两个角相等，那么它们是同一个角的余角，显然是假命题，故A不符合题意；线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，其逆命题是到线段两端点距离相等的点在这线段的垂直平分线上，是真命题，故B符合题意；全等三角形的对应角相等，其逆命题是如果两个三角形的对应角相等，则这两个三角形全等，显然是假命题，故C不符合题意；对顶角相等，的逆命题是相等得角是对顶角，也是个假命题，从而得出D不符合题意.4.【答案】B【解析】：∵苹果，芭乐，柳丁三种水果，且其颗数比为9：7：6，∴设苹果为9x颗，芭乐7x颗，铆钉6x颗（x是正整数），∵小柔榨果汁时没有使用柳丁，∴设小柔榨完果汁后，苹果a颗，芭乐b颗，∵小柔榨完果汁后，苹果，芭乐，柳丁的颗数比变为6：3：4，∴，，∴a=9x，b= x，∴苹果的用量为9x﹣a=9x﹣9x=0，芭乐的用量为7x﹣b=7x﹣x= x＞0，∴她榨果汁时，只用了芭乐，故答案为：B．【分析】根据榨果汁前的三种水果的棵数比可将三种水果的棵数用含x的代数是表示，再根据榨果汁后的比值表示出各种水果的用量即可判断榨果汁时另外两种水果的使用情形.5.【答案】C【解析】：①两点之间线段最短，说法正确，不是假命题；②到角的两边距离相等的点在角的平分线上，说法正确，不是假命题；③过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原来的说法错误，是假命题；④在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行，原来的说法错误，是假命题；⑤如图，连接AC，BD．∵∠A=∠D，∠C=∠B，∴△ACP∽△DBP，∴= ，∴PA•PB=PC•PD，故若⊙O的弦AB，CD交于点P，则PA•PB=PC•PD的说法正确，不是假命题．故选：C．【分析】根据线段的性质公理判断①；根据角平分线的性质判断②；根据垂线的性质，平行公理的推论判断③④；连接AC，DB，根据同弧所对的圆周角相等，证出△ACP∽△DBP，然后根据相似三角形的性质得出结论．依此判断⑤．6.【答案】A【解析】：∵当b＜0时，如果＞1，那么a＜b，∴①错误；∵若a+b=0，则|a|=|b|正确，但是若|a|=|b|，则a+b=0错误，∴②错误；∵等边三角形的三个内角都相等，正确，逆命题也正确，∴③正确；∵底角相等的两个等腰三角形不一定全等，∴④错误；其中原命题与逆命题均为真命题的个数是1个，故选A．【分析】根据不等式的性质，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，相反数逐个判断即可．7.【答案】A【解析】A，∵要了解灯泡的使用寿命破坏性极大，∴只能采用抽样调查的方法，A符合题意；B，∵4位同学的数学期末成绩分别为100，95，105，110，则这四位同学数学期末成绩的中位数为102.5，B不符合题意；C，甲乙两人各自跳远10次，若他们跳远成绩的平均数相同，甲乙跳远成绩的方差不能确定，C不符合题意；D，某次抽奖活动中，中奖的概率为表示每抽奖50次可能有一次中奖，D不符合题意．故答案为：A．【分析】A，根据抽样调查的定义来分析；B，根据中位数的定义来分析；C，根据方差的计算公式来分析；D，根据概率公式来分析；8.【答案】C【解析】根据反证法的步骤，首先假设结论不成立，其次用已学的知识或已知条件得到与假设或已学的知识或已知条件相矛盾的结论，那么原命题成立可知可以作为条件使用的有①②③.【分析】利用反证法的证题思想，即可得到结论.9.【答案】B【解析】如果甲正确，则乙就正确；如果乙正确，则甲错误．故答案为：B.【分析】用假设法解该题，即假设甲说法正确，结合甲的说法判断乙的说法是否正确.10.【答案】D【解析】A.直角为90度，故凡是直角都相等；A不符合题意；B.对顶角的定义：有一个共同的顶点并且一边是另一边的反向延长线.故对顶角相等；B不符合题意；C.对顶角相等，故不相等的角不是对顶角；C不符合题意；D.只有两直线平行时，同位角才相等；故同位角相等是假命题；D符合题意；故答案为：D.【分析】A根据直角定义来分析；B根据对顶角定义来分析；C根据对顶角定义来分析；D根据同位角定义来分析；11.【答案】A【解析：要算出这个在大矩形的面积，就需要知道大矩形的长和宽.如图：假设已知小矩形①的周长为4x，小矩形③周长为2y，小矩形④周长为2z；则可得出①的边长以及③和④的邻边和，分别为x，y，z；设小矩形②的周长为4a，则②的边长为a，可得③，④都有一边长为a则③和④的另一条边长分别为：y﹣a，z﹣a，故大矩形的边长分别为：y﹣a+x+a=y+x，z﹣a+x+a=z+x，故大矩形的面积为：（y+x）（z+x），当x，y，z都为已知数时，即可算出大正方形的面积，故n的最小值是3．故选：A．【分析】根据题意结合正方形的性质及正方形及矩形周长与各边长的关系来进行求解，进而得出符合题意的答案．12.【答案】D【解析】：∵AC=AB，∴∠C=∠B，∵四边形ABED内接于⊙O，∴∠B=∠CDE，∴∠C=∠CDE，∴DE=CE；①正确；连接AE，∵AB是⊙O的直径，∴∠AEC=90°，又∠C=45°，∴AC= CE，∵四边形ABED内接于⊙O，∴∠B=∠CDE，∠CAB=∠CED，∴△CDE∽△CBA，∴=（）2= ，∴S1=S2，②正确，故选：D．【分析】根据等腰三角形的性质得到∠C=∠B，根据圆内接四边形的性质得到∠B=∠CDE，根据等腰三角形的判定判断①；根据相似三角形的面积比等于相似比的平方判断②．二，填空题13.【答案】如果两个角是对顶角，那么它们相等【解析】：题设为：对顶角，结论为：相等，故写成“如果那么”的形式是：如果两个角是对顶角，那么它们相等，故答案为：如果两个角是对顶角，那么它们相等．【分析】根据命题的构成可知题设为：对顶角，结论为：相等，所以用“如果… 那么… ”的形式可表示为：如果两个角是对顶角，那么它们相等.14.【答案】假【解析】原命题的逆命题为：面积相等的两个三角形为全等三角形，则这个命题为假命题.【分析】首先将原命题改写成如果那么的形式，然后根据原命题与逆用的关系，将原命题的题设和结论交换位置得到其逆命题：面积相等的两个三角形为全等三角形；再根据已有知识判断此命题显然是假命题.15.【答案】②【解析】：①对顶角相等是真命题；②同旁内角互补是假命题；③全等三角形的对应角相等是真命题；④两直线平行，同位角相等是真命题；故假命题有②，故答案为：②．【分析】要说明一个命题的正确性，一般需要推理，论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．16.【答案】若a2=b2，则a=b.【解析】原命题的逆命题为：若a2=b2，则a=b.故答案为：若a2=b2，则a=b.【分析】一个命题一般包括题设和结论两部分，用若领起的部分是题设，用则领起的部分是结论，求一个命题的逆命题，只需要将原命题的题设和结论交换位置即可.17.【答案】两个锐角的度数分别为20°，30°【解析】：若两个锐角的度数分别为20°，30°则这两个角的和为50°，50°的角是锐角故答案为：两个锐角的度数分别为20°，30°（答案不唯一）【分析】根据题意写出两个锐角的和是直角或锐角即可.18.【答案】如果两个角相等，那么这两个角是直角.【解析】：∵原命题是：如果两个角都是直角,那么这两个角相等∴它的逆命题是;如果两个角相等，那么这两个角是直角.【分析】将原命题的题设和结论互换，再写成如果，那么的形式即可.19.【答案】②③【解析】：①把代入，得，如果a=2，那么b=1，a+b=3；如果a=﹣2，那么b=﹣7，a+b=﹣9．故命题①是假命题；②y=﹣2x2+4x+1=﹣2（x﹣1）2+3，故命题②是真命题；③最小角等于50°的三角形，最大角不大于80°，一定是锐角三角形，故命题③是真命题．所以正确命题的序号为②③．故答案为②③．【分析】①根据方程组的解的定义，把代入，即可判断；②利用配方法把函数y=﹣2x2+4x+1化为顶点式，即可判断；③根据三角形内角和定理以及锐角三角形的定义即可判断．20.【答案】③①②【解析】由反证法证明的步骤知，先反证即③，再推出矛盾即①，最后作出判断，肯定结论即②，即顺序应为③①②【分析】根据反证法的步骤，首先假设结论不成立，其次用已学的知识或已知条件得到与假设或已学的知识或已知条件相矛盾的结论，那么原命题成立.所以正确顺序的序号排列③①②.三，解答题21.【答案】解：如图，点B，F，C，E在同一条直线上，则AB∥DE，是假命题，当添加：∠B=∠E时，AB ∥DE，理由：∵∠B=∠E，∴AB∥DE．【解析】【分析】根据平行线的判定定理即可得出结论.22.【答案】（1）解：等角的余角相等，正确，是真命题（2）解：平行线的同旁内角的平分线互相垂直，正确，是真命题（3）解：和为180°的两个角叫做邻补角，错误，是假命题，如两个不同书本上的两个和为180°的角【解析】【分析】（1）根据余角的定义，知如果两个角相等，那么它们的余角一定相等；（2）根据平行线的性质二直线平行，同旁内角互补及角平分线的定义，三角形的内角和即可作出判断；（3）和为180°的两个角叫做补角，邻补角应该还满足有公共顶点，及一条公共边，另一条边互为反向延长线.23.【答案】（1）CD；平行（2）证明:如图,连接BD.在△ABD和△CDB中,∵AB=CD,AD=CB,BD=DB,∴△ABD≌△CDB.∴∠1=∠2,∠3=∠4.∴AB∥CD,AD∥CB.∴四边形ABCD是平行四边形（3）平行四边形的两组对边分别相等【解析】【解答】（1）补全已知和求证在四边形ABCD中,BC=AD,AB=CD，求证:四边形ABCD是平行四边形. 故答案为：CD；平行.【分析】（1）由平行四边形的判定定理容易得出结果.（2）连接AC，由SSS证明△ABC≌CDA，得出对应角相等∠BAC=∠DCA，∠BCA=∠DAC，证出AB∥DC，BC∥AD，根据平行四边形的判定定理即可得出结论.（3）根据命题的逆命题的定义得出平行四边形的两组对边分别相等.24.【答案】（1）解：AC∥BE；（2）解：∠1=∠ABE或∠1=∠DBE（3）解：是真命题，理由如下：∵BE是△ABC的外角平分线，∴∠ABE=∠DBE，又∵∠ABD是三角形ABC的外角，∴∠ABD=∠1+∠2，即∠ABE+∠DBE=∠1+∠2，又∵∠ABE=∠DBE，∠1=∠2，∴∠ABE=∠1，∴AC∥BE．【解析】【分析】①②要使BE是△ABC的外角平分线，结合三角形的外角的性质∠ABD=∠1+∠2，∠ABE=∠DBE，∠1=∠2，即证明∠ABE=∠1=∠DBE=∠2，进一步可得BE∥AC;③根据平行线的性质和三角形的外角的性质即可证明.本题综合运用了角平分线定义，平行线的性质和三角形的外角的性质.。
命题与定理检测题
命题与定理检测题
刘开永
【期刊名称】《中学生数理化（八年级数学华师大版）》
【年(卷),期】2009(000)003
【总页数】3页(P14-16)
【作者】刘开永
【作者单位】(Missing)
【正文语种】中文
【相关文献】
1.基于文本相似性检索技术解决命题中r重题检测问题的实践r——以北京市自学考试命题为例 [J], 沈钢
2.逆命题与逆定理检测题 [J], 颜成明
3.从一题多变看二项式定理的命题视角 [J], 班凤宁
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5.品高考真题察命题趋势--高考中的二项式定理 [J], 颜亚新;张琥
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《2.2命题与证明》作业设计方案-初中数学湘教版12八年级上册
《命题与证明》作业设计方案（第一课时）一、作业目标通过本课时作业的设计与实施，使学生能够：1. 理解命题的基本概念及命题的构成要素；2. 掌握证明的基本步骤和常见证明方法；3. 能够运用所学知识分析简单的数学问题并给出证明。
二、作业内容作业内容主要围绕《命题与证明》第一课时的知识点展开，具体包括：1. 基础概念练习：要求学生回顾并熟练掌握命题的定义、真命题与假命题的区分，以及命题的构成部分（题设与结论）。
2. 证明基本步骤理解：让学生通过例题理解证明的基本步骤，包括明确题目要求、根据题设分析条件、推导结论的逻辑过程。
3. 简单问题证明：选择几个典型的简单问题，要求学生独立完成证明过程，如线段的中垂线性质、平行线的性质等。
4. 案例分析：选取一两个较复杂的证明题，分析其解题思路，要求学生思考并总结在证明过程中的逻辑要点和常用方法。
三、作业要求1. 独立完成：本作业需学生独立思考、独立完成，旨在培养其逻辑推理和证明能力。
2. 过程详细：在解答过程中，要求学生详细写出每一步的推理过程和依据，以体现其逻辑思维能力。
3. 格式规范：按照数学作业的规范格式进行书写，保证答案的清晰可读。
4. 时间安排：学生需在规定时间内完成作业，以培养其时间管理能力。
四、作业评价1. 正确性评价：评价学生答案的正确性，是否符合数学逻辑和题目要求。
2. 逻辑性评价：评价学生解题过程中的逻辑推理是否清晰、连贯。
3. 创新性评价：鼓励学生尝试不同的解题方法，对于有创新思路的学生给予额外加分。
4. 规范性评价：评价学生作业的书写规范性，如格式、字迹等。
五、作业反馈1. 教师批改：教师批改作业后，对错误的地方进行标注，并给出相应的修改建议。
2. 学生自评与互评：鼓励学生自评和互评，发现自己的不足和他人的优点，促进相互学习。
3. 课堂讲解：选取典型问题在课堂上进行讲解，帮助学生理解解题思路和证明方法。
4. 作业总结：教师根据学生作业情况，总结学生在《命题与证明》第一课时学习中存在的共性问题，为后续教学提供参考。
数学六年级下册第五章-命题、定理、证明-课件与答案
数学
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第五章 5.3
又∵∠A+∠1=180°( 已知 ), ∴∠B=∠1( 同角的补角相等 ).
∴ AB ∥ DE ( 同位角相等,两直线平行 ).
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第五章 5.3
A组
1.下列语句中,是命题的是 ( B ) A.延长线段AB B.垂线段最短
C.作直线l
D.平行线与垂线
A.a=1,b=-2
B.a=1,b=0
C.a=2,b=1
D.a=2,b=-1
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第五章 5.3
4.(2022春·交口县期末)如图是家用的双排折叠晾衣架的示
意图,在晾衣架折叠或拉伸的过程中,∠1与∠2的大小关系
是 ∠1=∠2 , 理由是 对顶角相等 ,其逆命题是
如果两个角相等,那么这两个角是对顶角
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第五章 5.3
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第五章 5.3
(3)如解图3. ∵∠1+∠2=180°,∠1+∠3=180°, ∴∠2=∠3.
∴a∥b.
结论:同旁外角互补,两直线平行.
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知识沉淀
1.命题: (1)定义: 判断 一件事情的语句,叫做命题. (2)组成:命题由 题设 和 结论 两部分组成.题设是已 知事项,结论是由已知事项推出的事项. (3)改写:命题常可以写成“如果……那么……”的形式.
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第五章 5.3
(4)分类: ① 真命题 :如果题设成立,那么结论一定成立. ② 假命题 :题设成立时,不能保证结论一定成立. 2.定理:命题的正确性是经过推理证实的,这样得到的_真__命__题_ 叫做定理. 定理可以作为继续推理的依据.
命题与证明3(湘教版)
明一个命题是真命题,就必须用推真理假的的依方据法；,而不能光凭
用推理得到的那些用
一个例子.
蓝色体字表述的图形
反例必须是具备命题的条件,却不性质具都备可命以题做的为结性质论；.
公理不需要再证明.
4.从命题的条件出发，根据已知的定义、公理、定理,
一步一步推得结论成立,这样的推理过程叫做证明.
w证明命题的一般步骤:
求证：∠A，∠B，∠C中至多有一个是钝角.
证明：假设△ABC中不止一个角是钝角，那么 ∠A，∠B，∠C之和必大于180°， 这与“三角形三个内角和等于180°” 相矛盾. 因此△ABC中至多有一个角是钝角.
A
B
C
自助餐
某种商品的商标如图所示，已知AC=BD，AB=DC，AC
与BD交于点O.
有人指出图中的两个三角形全等,并写出如下 证明,请你判断他的证明是否正确？ A O D 并说明理由.
前情回顾
1.能清楚地规定某一名称或术语的意
定理：用推理的方法
义的句子叫做该名称或术语的对某一件事情作出正确公或理不：正经过确人的类判长断期的句
子叫做命题.
实践后公认为正确
命题分为真命题与假命题. 的命题；
3.说明一个命题是假命题，只用都找可出以一判个断反其他例命,但题要说
A
34
12
D B
C
请大家完成第三种证明方法
辅助线实现了转化思想
一题多解，殊途同归，优化解题方法
做一做B
1、(1) 如图(甲)，在五角星图形中，求：
∠A+ ∠B+ ∠C+ ∠D+ ∠E的度数.
(2) 把图(乙)、(丙)叫蜕化的五角星,问它们的五角
之和与五角星图形的五角之和仍相等吗？为什么？
推理与证明习题(3)[下学期]--北师大版(新编201910)
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1、圆台上下底面圆半径分别为 r 和 R ,作平行 于圆台底面的截面，将圆台分成体积相等
的两部分，则截面圆的半径是
A. r R 2
3 r3 R3 B.
2
r3 R3 C.
2
D. 3 r 2R rR2 2
2、若a , b∈R ，则下列不等式
一定成立的是__________.
【 例1】设 f ( x) lg 1 2x 4x a (其 中0 a 1) 3
求 证： 当x 0 时，有 2 f ( x) f (2x)
【 例2】 若 x 1， 证 明 ： 1 1 ln(x 1) x x1
若 n 3 , n N , 求证：nn1 (n 1)n
若 成 立 ， 请 证 明 ； 若 不成 立 ， 请 举 出 反 例 。
【作业】 《同步导学》
P56 5
P55 10、12
转化证明：(n 1)ln n n ln(n 1)
ln n ln(n 1) n n1
设 f ( x) ln x x
【 例3】已 知y1
x2 1 c x2 c
y2
1 c c
(x R)
(1) 当 c 1 , 2 , 3 时，比较 y1 与 y2 的大小； （2） 上 述 大 小 关 系 是 否 对 任意 正 数c都 成 立 ？
A. a2 3b 1)
C. a5 b5 a3b2 a2b3 D. a 1 2 a
3、设a、b R , 且 a b 1
则 log 2 a log 2 b 的最大值是 _____
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(好题)高中数学选修1-2第三章《推理与证明》测试(有答案解析)
一、选择题1．将正整数1，2，3，4，按如图所示的方式排成三角形数组，则第20行从左往右数第1个数是（ ）A ．381B ．361C ．362D ．4002．某校甲、乙、丙、丁四位同学参加了第34届全国青少年科技创新大赛，老师告知只有一位同学获奖，四人据此做出猜测：甲说：“丙获奖”；乙说：“我没获奖”；丙说：“我没获奖”；丁说：“我获奖了”，若四人中只有一人判断正确，则判断正确的是（ ） A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁3．在我校学科月活动中，老师推荐了一本古典名著.为了解学生诵读情况，老师随机问了甲，乙，丙，丁四名学生，但这四名学生中仅有一人阅读了老师推荐的这本名著，当他们被问到谁阅读了这本名著时，甲说：“丙或丁阅读了”；乙说：“丙阅读了” ；丙说：“甲和丁都没有阅读” ；丁说：“乙阅读了”. 假设这四名学生中只有两人说的是对的，那么读了该名著的学生是（ ） A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁4．在ABC △中，若AC BC ⊥，AC b =，BC a =，则ABC △的外接圆半径22a b r +=，将此结论拓展到空间，可得出的正确结论是：在四面体S ABC -中，若SA 、SB 、SC 两两互相垂直，SA a =，SB b =，SC c =，则四面体S ABC -的外接球半径R =（ ）A ．222a b c ++B ．222a b c ++C ．3333a b c ++D ．3abc5．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如：他们研究过图（1）中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，所以将其称为三角形数；类似地，称图（2）中的1，4，9，16，…这样的数为正方形数，则下列数中既是三角形数又是正方形数的是（ ）A ．289B ．1024C ．1225D ．13786．将所有的正奇数按以下规律分组，第一组：1；第二组：3，5，7；第三组：9，11，13，15，17；…(,)n i j = 表示n 是第i 组的第j 个数，例如11(3,2)=，23(4,3)=，则2019=（ ）A ．(24,36)B ．(28,42)C ．(32,49)D ．(36,24)7．分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，求证23b ac a -<”索的因应是（ ）A ．0a b ->B ．0a c ->C ．()>0)(a b a c --D ．()<0)(a b a c --8．明代朱载堉创造了音乐学上极为重要的“等程律”．在创造律制的过程中，他不仅给出了求解三项等比数列的等比中项的方法，还给出了求解四项等比数列的中间两项的方法．比如，若已知黄钟、大吕、太簇、夹钟四个音律值成等比数列，则有=⨯大吕黄钟太簇()23⨯大吕黄钟夹钟()23⨯太簇黄钟夹钟{}n a 中，k a =（ ）A ．11n k n n a a --+⋅B ．11n k n n a a --+⋅C ．111n k k n a a ---⋅D ．111k n k n a a ---⋅9．运用祖暅原理计算球的体积时，构造一个底面半径和高都与球半径相等的圆柱，与半球（如图一）放置在同一平面上，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥（如图二），用任何一个平行与底面的平面去截它们时，可证得所截得的两个截面面积相等，由此证明该几何体与半球体积相等.现将椭圆22149x y +=绕y 轴旋转一周后得一橄榄状的几何体（如图三），类比上述方法，运用祖暅原理可求得其体积等于（ ）A ．4πB ．8πC ．16πD ．32π10．某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段。
深圳市罗湖育龙学校高中数学选修2-2第一章《推理与证明》测试(有答案解析)
一、选择题1．观察下列各式：a+b=1.a 2+b 2=3，a 3+b 3=4 ，a 4+b 4=7,a 5+b 5=11,…，则a 10+b 10=（ ） A ．28B ．76C ．123D ．1992．图一是美丽的“勾股树”，它是一个直角三角形分别以它的每一边向外作正方形而得到.图二是第1代“勾股树”，重复图二的作法，得到图三为第2代“勾股树”，以此类推，已知最大的正方形面积为1，则第n 代“勾股树”所有正方形的面积的和为（ ）A ．nB ．2nC ．1n +D ．1n -3．甲、乙、丙、丁四个孩子踢球打碎了玻璃．甲说：“是丙或丁打碎的．”乙说：“是丁打碎的．”丙说：“我没有打碎玻璃．”丁说：“不是我打碎的．”他们中只有一人说了谎，请问是（ ）打碎了玻璃． A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁4．设,,(0,1)a b c ∈，则1a b +，1b c +，1c a+（ ） A ．都不大于2 B ．都不小于2 C ．至少有一个不大于2D ．至少有一个大于25．命题“若,x y >则()()()()332222x y x y x yx xy y -+=--+”的证明过程：“要证明()()()()332222x y x y x y x xy y -+=--+， 即证()()()()()3322.x y x y x y x y x xy y -+=-+-+因为,x y >即证()()3322x y x y x xy y +=+-+，即证33322223,x y x x y xy x y xy y +=-++-+ 即证3333,x y x y +=+因为上式成立，故原等式成立应用了（ ） A ．分析法B ．综合法C ．综合法与分析法结合使用D ．演绎法6．我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，它体现了一种无限与有限的转化过程.比如在表达式11111+++中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程11x x +=求得152x +=，类似上述过程，则33++=（ ）A ．1312+ B ．3 C ．6D ．227．我国的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：将1，2，...，9填入33⨯的方格内，使三行、三列、两对角线的三个数之和都等于15 (如图）.一般地，将连续的正整数1，2，3，…，2n 填入n n ⨯的方格内，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形就叫做n 阶幻方.记n 阶幻方的一条对角线上数的和为n N (如：在3阶幻方中，315N =)，则10N =（ ）A ．1020B ．1010C ．510D ．5058．利用数学归纳法证明不等式()()1111++++,2,232n f n n n N +<≥∈的过程中，由n k =变成1n k =+时，左边增加了（ ）A ．1项B ．k 项C ．12k -项D ．2k 项9．圆周率是指圆的周长与圆的直径的比值，我国南北朝时期的数学家祖充之用“割圆术”将圆周率算到了小数后面第七位，成为当时世界上最先进的成就，“割圆术”是指用圆的内接正多边形的周长来近似替代圆的周长，从正六边形起算，并依次倍增，使误差逐渐减小，如图所示，当圆的内接正多边形的边数为720时，由“割圆术”可得圆周率的近似值可用代数式表示为（ ）A ．0720sin1B ．0720sin 0.5C ．0720sin 0.25D ．0720sin 0.12510．数学老师给同学们出了一道证明题，以下四人中只有一人说了真话，只有一人会证明此题，甲：我不会证明；乙：丙会证明；丙：丁会证明；丁：我不会证明.根据以上条件，可以判定会证明此题的人是( ) A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁11．一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙说：“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”；丁说：“乙说的是事实”．经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是( ) A ．乙B ．甲C ．丁D ．丙12．已知,,(0,2)a b c ∈，则(2),(2),(2)a b b c c a ---中（ ） A ．至少有一个不小于1 B ．至少有一个不大于1 C ．都不大于1D ．都不小于1二、填空题13．已知从2开始的连续偶数蛇形排列成宝塔形的数表，第一行为2，第二行为4，6，第三行为12，10，8，第四行为14，16，18，20，…，如图所示，在该数表中位于第i 行、第j 行的数记为ij a ，如3,210=a ，5,424=a .若2018ij a =，则i j +=__________．14．将正整数对作如下分组，第1组为()(){}1,2,2,1，第2组为()(){}1,3,3,1，第3组为()()()(){}1,4,2,3,3,2,4,1，第4组为()()()(){}1,5,2,44,25,1⋅⋅⋅⋅⋅⋅则第30组第16个数对为__________．15．(2016·开封联考)如图所示，由曲线y ＝x 2，直线x ＝a ，x ＝a ＋1(a >0)及x 轴围成的曲边梯形的面积介于相应小矩形与大矩形的面积之间，即1222(1)a aa x dx a +<<+⎰.运用类比推理，若对∀n ∈N *，111111122121A n n n n n n +++<<++++++-恒成立，则实数A ＝________.16．刘老师带甲、乙、丙、丁四名学生去西安参加自主招生考试，考试结束后刘老师向四名学生了解考试情况．四名学生回答如下： 甲说：“我们四人都没考好．” 乙说：“我们四人中有人考的好．” 丙说：“乙和丁至少有一人没考好．” 丁说：“我没考好．”结果，四名学生中有两人说对了，则这四名学生中的______________两人说对了．17．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1,3,6,10，…，第n个三角形数为22n n+，记第n 个k 边形数为(,)(3)N n k k ≥，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式：三角形数：211(,3)22N n n n =+；正方形数：2(,4)N n n =；五边形数：231(,5)22N n n n =-；六边形数：2(,6)2N n n n =-，…，由此推测(8,8)N =__________．18．观察下列式子：，，，，…，根据以上规律，第个不等式是_________.19．面积为S 的平面凸四边形的第i 条边的边长记为(1,2,3,4)i a i =，此四边形内任一点P 到第i 条边的距离记为，若31241234a a a a k ====，则12342234Sh h h h k+++=．类比以上性质，体积为V 的三棱锥的第i 个面的面积记为(1,2,3,4)i S i =，此三棱锥内任一点Q 到第i 个面的距离记为(1,2,3,4)i H i =，若31241234S S S S K ====，则1234234H H H H +++等于_____________． 20．由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则： ①“mn=nm”类比得到“•=•”；②“（m+n ）t=mt+nt”类比得到“（+）•=•+•”； ③“t≠0，mt=nt ⇒m=n”类比得到“≠0，•=•⇒=”； ④“|m•n|=|m|•|n|”类比得到“|•|=||•||”．以上类比得到的正确结论的序号是 _________ （写出所有正确结论的序号）．三、解答题21．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且对任意的正整数n 都满足()21n n n S a S -=．（1）求1S ，2S ，3S 的值，猜想n S 的表达式；（2）用数学归纳法证明（1）中猜想的n S 的表达式的正确性． 22．设数列的前n 项和为且对任意的正整数n 都有:.（1）求；（2）猜想的表达式并证明.23．在数列{}n a 的前n 项和为n S ，123a =-，满足12n n nS a S ++=（n ≥2）． （Ⅰ）求1S ，2S ，3S 并猜想n S 表达式；（Ⅱ）试用数学归纳法证明你的猜想． 24．当*n N ∈时，111111234212n S n n=-+-++--，11111232n T n n n n=+++++++ （Ⅰ）求1S ，2S ，1T ，2T ；（Ⅱ）猜想n S 与n T 的关系，并用数学归纳法证明.25．正项数列{}n a 的前n 项和n S 满足1n a n =-. （Ⅰ）求1a ，2a ，3a ；（Ⅱ）猜想{}n a 的通项公式，并用数学归纳法证明. 26．已知()()()()20121111nnn x a a x a x a x +=+-+-++-（2,*n n N ≥∈），（1）当5n =时，求12345a a a a a ++++的值； （2）设2233,2n n n n a b T b b b -==+++，试用数学归纳法证明：当2n ≥时，()()113n n n n T +-=。
苏州景范中学│草桥中学│高中数学选修2-2第一章《推理与证明》测试(包含答案解析)
一、选择题1．甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖.有人分别采访了四位歌手，甲说：“乙或丙获奖”；乙说：“甲、丙都未获奖”；丙说：“丁获奖”；丁说：“丙说的不对”.若四位歌手中只有一个人说的是真话，则获奖的歌手是（ ） A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．丁2．已知一列数按如下规律排列，1，3，-2，5，-7，12，-19，31，…，则第9个数是( ) A ．50B ．42C ．-50D ．-423．设a R ∈,则三个数2,2,23a a a a +++（ ） A ．都大于13B ．都小于13C ．至少有一个不大于13D ．至少有一个不小于134．德国数学家科拉茨1937年提出了一个著名的猜想：任给一个正整数n ，如果n 是偶数，就将它减半（即2n）；如果n 是奇数，则将它乘3加1（即3n+1），不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1. 对于科拉茨猜想，目前谁也不能证明，也不能否定，现在请你研究：如果对正整数n （首项）按照上述规则施行变换后的第8项为1（注：l 可以多次出现），则n 的所有不同值的个数为 A ．4 B ．6 C ．8 D ．325．数列0，75-，135，6317-，…的一个通项公式是( ) A ．()312111n n n +--+ B ．()32111nn n --+C ．()312111n n n ---- D ．()32111nn n ---6．高二年级有甲、乙、丙三个班参加社会实践活动,高二年级老师要分到各个班级带队,其中男女老师各一半,每次任选两个老师,将其中一个老师分到甲班,如果这个老师是男老师,就将另一个老师分到乙班,否则就分到丙班,重复上述过程,直到所有老师都分到班级,则 A ．乙班女老师不多于丙班女老师 B ．乙班男老师不多于丙班男老师 C ．乙班男老师与丙班女老师一样多D ．乙班女老师与丙班男老师一样多7．设实数a,b,c 满足a+b+c=1,则a,b,c 中至少有一个数不小于 ( ) A ．0B ．13C ．12D ．18．圆有6条弦，两两相交，这6条弦将圆最多分割成( )个部分 A ．16 B ．21 C ．22 D ．23 9．下列推理属于演绎推理的是（ ） A ．由圆的性质可推出球的有关性质B ．由等边三角形、等腰直角三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°C ．某次考试小明的数学成绩是满分，由此推出其它各科的成绩都是满分D ．金属能导电，金、银、铜是金属，所以金、银、铜能导电10．用反证法证明“自然数,,a b c 中至多有一个偶数”时，假设原命题不成立，等价于( ) A ．,,a b c 没有偶数 B ．,,a b c 恰好有一个偶数 C ．,,a b c 中至少有一个偶数 D ．,,a b c 中至少有两个偶数11．用数学归纳法证明“11112321n ++++- ”时，由(1)n k k =>不等式成立，推证1n k =+时，左边应增加的项数是（ ）A ．12k -B ．21k -C ．2kD ．21k +12．下面推理过程中使用了类比推理方法，其中推理正确的是（ ）A ．平面内的三条直线，若，则.类比推出：空间中的三条直线，若，则 B ．平面内的三条直线，若，则.类比推出：空间中的三条向量，若，则C ．在平面内，若两个正三角形的边长的比为，则它们的面积比为.类比推出：在空间中，若两个正四面体的棱长的比为，则它们的体积比为D ．若，则复数.类比推理：“若，则”二、填空题13．在圆中：半径为r 的圆的内接矩形中，以正方形的面积最大，最大值为22r .类比到球中：半径为R 的球的内接长方体中，以正方体的体积最大，最大值为__________． 14．我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》中，用图①的三角形形象地表示了二项式系数规律，俗称“杨辉三角形”．现将杨辉三角形中的奇数换成1，偶数换成0，得到图②所示的由数字0和1组成的三角形数表，由上往下数，记第n 行各数字的和为n S ，如11S =，22S =，32S =，44S =，……，则126S =______15．甲、乙、丙三人中只有一人做了好事，他们各自都说了一句话，而且其中只有一句真话.甲说：是乙做的.乙说：不是我做的.丙说：不是我做的.则做好事的是__________．（填甲、乙、丙中的一个） 16．观察下面数表： 1， 3，5， 7，9，11，13，15，17，19，21，23，25，27，29，………..设1027是该表第m 行的第n 个数，则m n +等于________.17．已知数列{}1214218421:,,,,,,,,,1121241248n a 其中第一项是0022，接下来的两项是100122,22，再接下来的三项是210012222,,222，依此类推，则9899a a ⨯=__________． 18．(2016·开封联考)如图所示，由曲线y ＝x 2，直线x ＝a ，x ＝a ＋1(a >0)及x 轴围成的曲边梯形的面积介于相应小矩形与大矩形的面积之间，即1222(1)a aa x dx a +<<+⎰.运用类比推理，若对∀n ∈N *，111111122121A n n n n n n +++<<++++++-恒成立，则实数A ＝________.19．现有这么一列数，2，32，54，78，（ ），1332，1764，…，按照规律，（ ）中的数应为__________.20．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝31nn a a + (n ∈N *)，可以猜测数列通项a n 的表达式为________.三、解答题21．在数列{a n }中，a 1=52，且a n +1=2a n -132n +. （1）分别计算a 2，a 3，a 4，并由此猜想{a n }的通项公式； （2）用数学归纳法证明你的猜想. 22．用数学归纳法证明:()()22222222212311321n n n ++++-++-++++()21213n n =+.23．已知函数3()sin (,,1)1xf x a b a b R a x =+-∈>+的图象过点()0,1-. 求证：（1）函数()f x 在(1,)-+∞上为增函数； （2）函数()f x 没有负零点.24．已知各项均不为零的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()141n n n S a a n N *+=⋅+∈，其中11a =.（1）求证：135,,a a a 成等差数列； （2）求证：数列{}n a 是等差数列；（3）设数列{}n b 满足()121nb nn N a *=+∈，且n T 为其前n 项和，求证：对任意正整数n ，不等式212log n n T a +>恒成立. 25．给出下列等式: 1=1, 1-4=-(1+2), 1-4+9=1+2+3, 1-4+9-16=-(1+2+3+4), ……(1)写出第5个和第6个等式,并猜想第n(n ∈N *)个等式; (2)用数学归纳法证明你猜想的等式.26．已知()()()2012211+=+-+-nx a a x a x ()()1++-∈nn a x n *N .（1）求0a 及12n n S a a a =+++；（2）试比较n S 与223n n -的大小，并用数学归纳法证明.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A【解析】分析：因为四位歌手中只有一个人说的是真话，假设某一个人说的是真话，如果与条件不符，说明假设不成立，如果与条件相符，说明假设成立. 详解：若乙是获奖的歌手，则甲、乙、丁都说的真话，不符合题意； 若丙是获奖的歌手，则甲、丁都说的真话，不符合题意； 若丁是获奖的歌手，则乙、丙都说的真话，不符合题意；若甲是获奖的歌手，则甲、乙、丙都说的假话，丁说的真话，符合题意； 故选A.点睛：本题考查合情推理，属基础题.2．C解析：C 【解析】分析：由题意结合所给数据的特征确定第九个数即可. 详解：观察所给的数列可知，数列的特征为：121,3a a ==，()213n n n a a a n --=-≥，则978193150a a a =-=--=-. 本题选择C 选项.点睛：本题主要考查数列的递推关系，学生的推理能力等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3．D解析：D 【解析】分析：由题意结合反证法即可确定题中的结论. 详解：不妨假设2,2,23a a a a +++都小于13， 由不等式的性质可知：()()()22231a a a a +++++<，事实上：()()()2223aa a a +++++245a a =++ ()2211a =++≥，与假设矛盾，故假设不成立，即2,2,23a a a a +++至少有一个不小于13. 本题选择D 选项.点睛：本题主要考查不等式的性质，反证法及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4．B解析：B 【解析】分析：利用第八项为1出发，按照规则，逆向逐项即可求解n 的所有可能的取值. 详解：如果正整数n 按照上述规则施行变换后第八项为1， 则变换中的第7项一定为2， 变换中的第6项一定为4，变换中的第5项可能为1，也可能是8，变换中的第4项可能是2，也可能是16，变换中的第4项为2时，变换中的第3项是4，变换中的第2项是1或8，变换中的第1项是2或6，变换中的第4项为16时，变换中的第3项是32或5，变换中的第2项是64或108，变换中的第1项是128或21或20，或3，则n 的所有可能的取值为2,3,16,20,21,128，共6个，故选B.点睛：本题主要考查了归纳推理的应用，其中解答中正确理解题意，利用变换规则，进行逆向逐项推理、验证是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，试题有一定的难度，属于中档试题.5．A解析：A 【解析】在四个选项中代n=2,选项B,D 是正数，不符，A 选项值为75-，符合,C 选项值为73-，不符．所以选A. 【点睛】对于选择题的选项是关于n 的关系式，可以考虑通过赋特殊值检验法，来减少运算，或排除选项．6．C解析：C 【解析】任选两个老师共有4种情况：①男+男，则乙班中男老师数加1个；②女+女，则丙班中女老师数加1个；③男+女（男老师放入甲班中），则乙班中女老师数加1个；④女+男（女老师放入甲班中），则丙班中男老师数加1个，设一共有老师2a 个，则a 个男老师，a 个女老师，甲班中老师的总个数为a ，其中男老师x 个，女老师y 个，x y a +=，则乙班中有x 个老师，其中k 个男老师，j 个女老师，k j x +=；丙班中有y 个老师，其中l 个男老师，i 个女老师，i l y +=；女老师总数a y i j =++，又x y a +=，故x i j =+，由于x k j =+，所以可得i k =，即乙班中的男老师等于丙班中的女老师，故选C ．7．B解析：B 【解析】∵三个数a ，b ，c 的和为1，其平均数为13∴三个数中至少有一个大于或等于13假设a ，b ，c 都小于13，则1a b c ++<∴a，b，c中至少有一个数不小于13故选B.8．C解析：C【解析】可以用归纳思想，1条弦，分圆成2个部分。
专题 期中期末串讲--命题与证明 课后练习及详解
期中期末串讲--命题与证明课后练习主讲教师：黄老师题一：下列语句中，是命题的是( )A．有公共顶点的两个角是对顶角B．在一条直线上任取一点OC．过点O作直线MN的垂线D．过点O作直线MN的平行线题二：下列语句是命题的有()①画∠AOB的平分线；②同位角相等吗？③若|b|=5，则b=5；④三角形是多边形．A．1个B．2个C．3个D．4个题三：命题“等腰三角形两腰上的高相等”的的逆命题是．题四：命题：“若a=b，则a4=b4”，该命题的逆命题是．题五：下列语句中，是命题的有( )(1)正数不是质数；(2)中国加油！四川加油！(3)对顶角相等；(4)过直线外的一点有且只有一条直线和已知直线平行．A．1个B．2个C．3个D．4个题六：下列语句中是命题的有( )①两条直线相交，只有一个交点；②π不是有理数；③如果a=b，那么b=a=1；④对顶角相等；⑤明天会下雨吗？⑥延长线段AB．A．2个B．3个C．4个D．5个题七：命题“平行于同一直线的两条直线平行”的条件是，结论是．题八：命题“平行四边形的对角线互相平分”的条件是，结论是．题九：下列命题是假命题的是( )A．相等的角是对顶角B．全等三角形的对应角相等C．垂线段最短D．同角的余角相等题十：下列命题是假命题的是( )A．有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形B．等角的余角相等C．钝角三角形一定有一个角大于90°D．同位角相等题十一：下列命题的逆命题是真命题的有( )(1)四边形是多边形；(2)两直线平行，同旁内角互补；(3)若ab=0，则a=0或b=0；(4)三角形中等角对等边．A．1个B．2个C．3个D．4个题十二：下列命题的逆命题是真命题的个数是( )①若a＞b，则am＞bm；②同位角相等，两直线平行；③直角三角形两锐角互余；④若ab＜0，则a、b异号．A．0个B．1个C．2个D．3个题十三：如图所示，AB∥CD，∠α=45 ，∠D=∠C，则∠B=________．题十四：如图所示，AB∥CD，∠2=12∠1，∠4=100°，则∠3= ．题十五：用反证法证明“三角形的三个内角中，至少有一个内角小于或等于60°”．题十六：用反证法证明：一条线段只有一个中点．题十七：如图(1)直线GC∥HD，EF交CG、HD于A、B，三条直线把EF右侧的平面分成①、②、③三个区域，(规定：直线上各点不属于任何区域)．将一个透明的直角三角尺放置在该图中，使得30°角(即∠P)的两边分别经过点A、B，当点P落在某个区域时，连接P A、PB，得到∠PBD、∠P AC 两个角．(1)如图(1)，当点P落在第②区域时，求∠P AC+∠PBD的度数；(2)如图(2)，当点P落在第③区域时，∠P AC－∠PBD=______；(3)如图(3)，当点P落在第①区域时，直接写出∠P AC、∠PBD之间的等量关系．题十八：如图，AC∥BD，点P在直线CD上．(1)∠P AC，∠APB，∠PBD有什么关系，并说明理由．(2)当点P移动到线段DC的延长线上时，它们之间又有什么关系？画出图形并说明理由．期中期末串讲--命题与证明课后练习参考答案题一：A．详解：A．正确，符合命题的定义；B、C、D错误，不属于判断语句，故不是命题．故选A．题二：B．详解：③④正确，符合命题的定义；①②错误，不属于判断语句，故不是命题．故选B．题三：见详解．详解：把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．故命题“等腰三角形两腰上的高相等”的逆命题是“如果一个三角形两边上的高相等，那么这个三角形是等腰三角形”．题四：见详解．详解：把一个命题的题设和结论互换即可得到其逆命题．“若a=b，则a4=b4”的条件是：a=b，结论是：a4=b4，故其逆命题是：若a4=b4，则a=b．题五：C．详解：(1)符合命题的定义，故正确；(2)没有结论，不符合命题的定义，故错误；(3)符合命题的定义，故正确；(4)符合命题的定义，故正确；综上可得(1)(3)(4)正确．故选C．题六：C．详解：①正确，题设是两条直线相交，结论是只有一个交点；②正确，题设是π，结论是不是有理数；③正确，题设是a=b，结论是b=a=1；④正确，题设是两个角是对顶角，结论是两个角相等；⑤错误，是疑问句，不符合命题的定义；⑥错误，只是对一件事情的叙述，没作出判断．故选C．题七：见详解．详解：命题由题设和结论两部分组成，因此，命题“平行于同一直线的两条直线平行”的条件是：两条直线平行于同一条直线，结论是：这两条直线平行．题八：见详解．详解：命题由题设和结论两部分组成，因此，命题“平行四边形的对角线互相平分”的条件是：一个四边形是平行四边形，结论是：这个四边形的两条对角线互相平分．题九：A．详解：A．对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，故是假命题；B．全等三角形的对应角相等，是真命题；C．垂线段最短是真命题；D．同角的余角相等是真命题．故选A．题十：D．详解：A．“有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形”是真命题；B．“等角的余角相等”是真命题；C．“钝角三角形一定有一个角大于90°”是真命题；D．只有当两直线平行时，同位角相等，故“同位角相等”是假命题．故选D．题十一：C．详解：(1)其逆命题是：多边形是四边形，是假命题；(2)其逆命题是：如果同旁内角互补，则两直线平行，是真命题；(3)其逆命题是：若a=0或b=0，则ab=0，是真命题；(4)其逆命题是：三角形中等边对等角，是真命题．所以真命题的有三个．故选C．题十二：D．详解：①逆命题是：若am＞bm，则a＞b，是假命题；②的逆命题是：两直线平行，同位角相等，是真命题；③的逆命题是：一个三角形中两锐角互余，那么三角形是直角三角形，是真命题；④的逆命题是：若a、b异号，则ab＜0，是真命题．故选D．题十三：135°．详解：∵AB∥CD，∠α=45︒，∴∠D=∠α=45︒，∵∠D=∠C，∴∠C=45︒，∵AB∥CD，∴∠B=180°－∠C=180°－45°=135°．题十四：140°．详解：如图，∵AB∥CD，∴∠1=∠5，∵∠4+∠5=180°，∠4=100°，∴∠1=∠5=80°，∴∠2=12∠1=40°，∵AB∥CD，∴∠2+∠3=180°，则∠3=140°．题十五：见详解．详解：已知：∠A，∠B，∠C是△ABC的内角．求证：∠A，∠B，∠C中至少有一个内角小于或等于60°．证明：假设求证的结论不成立，那么三角形中所有角都大于60°，即∠A＞60°，∠B＞60°，∠C＞60°，∴∠A+∠B+∠C＞180°，与三角形的三内角和为180°相矛盾．∴假设不成立，∴三角形三内角中至少有一个内角小于或等于60°．题十六：见详解．详解：已知：一条线段AB，M为AB的中点．求证：线段AB只有一个中点M．证明：假设线段AB有两个中点M、N，不妨设M在N的左边，则AM＜AN，又因为AM=12AB=AN=12AB，这与AM＜AN矛盾，所以线段AB只有一个中点M．题十七：见详解．详解：(1)过点P作PQ∥GC，∴∠P AC=∠APQ，∠BPQ=∠PBD，∴∠P AC+∠PBD=∠APQ+∠QPB，即∠P AC+∠PBD=∠P，∵∠P=30°，∴∠P AC+∠PBD=30°．(2)∵GC∥HD，∴∠EAC=∠EBD，∵∠P AE=∠P+∠ABP，∴∠P AE－∠EAC =∠P+∠ABP－∠EBD，∴∠P AC=∠PBD+∠P，∴∠P AC－∠PBD=∠P=30°；(3)∵GC∥HD，∴∠1=∠PBD，∵∠1=∠P+∠CAP，∴∠PBD=∠P AC+∠P，即∠PBD－∠P AC=∠P．又∵∠P=30°，∴∠PBD－∠P AC=30°．题十八：见详解．详解：(1)∠APB=∠P AC+∠PBD，理由是：过P作PQ∥AC，∵AC∥BD，∴AC∥PQ∥BD，∴∠APQ=∠P AC，∠BPQ=∠PBD，∴∠APB=∠APQ+∠BPQ=∠P AC+∠PBD；(2)∠APB=∠PBD－∠P AC，理由是：过P作PQ∥AC，∵AC∥BD，∴AC∥PQ∥BD，∴∠APQ=∠P AC，∠BPQ=∠PBD，∴∠APB=∠BPQ－∠APQ=∠PBD－∠P AC．。
深圳实验学校初中部选修1-2第三章《推理与证明》测试题(答案解析)
一、选择题1．某校实行选科走班制度，张毅同学的选择是物理、生物、政治这三科，且物理在A 层班级，生物在B 层班级，该校周一上午课程安排如下表所示，张毅选择三个科目的课各上一节，另外一节上自习，则他不同的选课方法有A ．8种B ．10种C ．12种D ．14种2．下列推理属于演绎推理的是（ ） A ．由圆的性质可推出球的有关性质B ．由等边三角形、等腰直角三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°C ．某次考试小明的数学成绩是满分，由此推出其它各科的成绩都是满分D ．金属能导电，金、银、铜是金属，所以金、银、铜能导电3．已知三个月球探测器α，β，γ共发回三张月球照片A ，B ，C ，每个探测器仅发回一张照片.甲说：照片A 是α发回的；乙说：β发回的照片不是A 就是B ；丙说：照片C 不是γ发回的，若甲、乙、丙三人中有且仅有一人说法正确，则发回照片B 的探测器是（ ） A ．αB ．βC ．γD ．以上都有可能4．0=，则0x y ==，假设为( )A ．,x y 都不为0B ．,x y 不都为0C ．,x y 都不为0，且x y ≠D ．,x y 至少有一个为05．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数.他们研究过如图所示的三角形数:将三角形数1，3， 6，10记为数列{}n a ，将可被5整除的三角形数，按从小到大的顺序组成一个新数列{}n b ，可以推测:19b =（ ） A ．1225B ．1275C ．2017D ．20186．定义两个运算：1212a b a lgb ⊗=+，132a b lga b -⊕=+．若925M =⊗，1227N =，则(M N += ) A ．6B ．7C ．8D ．97．明代朱载堉创造了音乐学上极为重要的“等程律”．在创造律制的过程中，他不仅给出了求解三项等比数列的等比中项的方法，还给出了求解四项等比数列的中间两项的方法．比如，若已知黄钟、大吕、太簇、夹钟四个音律值成等比数列，则有=⨯大吕黄钟太簇()23=⨯大吕黄钟夹钟()23=⨯太簇黄钟夹钟{}n a 中，k a =（ ）A ．11n k n n a a --+⋅B ．11n k n n a a --+⋅C ．111n k k n a a ---⋅D ．111k n k n a a ---⋅8．小明在期中考后,想急迫地核对答案,于是他来到数学组办公室,寻找出卷的老师．此时办公室正好有四位老师,他们发现小明不认识他们中的任何一位,于是他们每人说了一句话: 甲说:“我这学期还没出过考试卷呢！” 乙说：“丁出的这次考卷！” 丙说:“是乙出的试卷！” 丁说:“出卷的不是我！”他们告诉小明,只有一位老师说了假话,而且出卷老师就在其中,那么请问到底是谁出的期中试卷（ ） A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁9．下列说法中不正确的是（）A ．命题：“∈，x y R ，若110x y -+-=，则1x y ==”，用反证法证明时应假设x ≠1或y ≠1．B ．若2a b +>，则a ，b 中至少有一个大于1．C ．若14－，，，，－x y z 成等比数列，则2y =±. D ．命题：“[0,1]∃∈m ，使得12+<m x x”的否定形式是：“[0,1]∀∈m ，总有12m x x+≥”． 10．在平面几何里有射影定理：设三角形ABC 的两边AB AC ⊥，D 是A 点在BC 上的射影，则2AB BD BC =⋅.拓展到空间，在四面体A BCD -中，AD ⊥面ABC ，点O 是A 在面BCD 内的射影，且O 在BCD ∆内，类比平面三角形射影定理，得出正确的结论是（）A ．2ABC BCD BCO S S S ∆∆∆=⋅ B ．2ABD BCD BCO S S S ∆∆∆=⋅ C ．2ADC DOC BOC S S S ∆∆∆=⋅D ．2BDC ABD ABC S S S ∆∆∆=⋅11．若点()000,P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>内，则被0P所平分的弦所在的直线方程是2200002222x x y y x y a b a b+=+，通过类比的方法，可求得：被()1,1P 所平分的双曲线2214x y -=的弦所在的直线方程是（ ） A ．430x y -+= B ．450x y +-= C ．450x y --=D ．430x y ++=12．有6名选手参加演讲比赛，观众甲猜测：1、2、6号选手中的一位获得第一名；观众乙猜测：4、5、6号选手都不可能获得第一名；观众丙猜测：4号或5号选手得第一名；观众丁猜测：3号选手不可能得第一名.比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对比赛结果，此人是（ ） A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁二、填空题13．甲、乙、丙三名运动员，其中一名是足球运动员，一名是兵乓球运动员，一名是羽毛球运动员，已知丙的身高比羽毛球运动员高，甲与乒乓球运动员身高不同，乒乓球运动员比乙身高低，据此推断足球运动员是__14．将正偶数按下表排列成5列，每行有4个偶数的蛇形数列（规律如表中所示），则数字2018所在的行数与列数分别是_______________.15．在如图的数表中，仅列出了前6行，照此排列规律还可以继续排列下去，则数表中第n （3n ≥）行左起第3个数为_______。
第四章命题与证明练习课
第四章命题与证明练习课主备人：俞静审核人：八年级级数学组编号：28学科审核人：郑思忠班级姓名【一】复习目标1.了解定义，命题，定理的含义，会区分命题的条件和结论2.会判断一个命题的真假，理解反例的作用3.了解证明含义，理解证明的必要性，会证明一些简单命题4.了解反证法的差不多步骤，初步会综合运用命题，证明以及相关知识解决简单的实际问题复习重点、难点1.认识几何证明的必要性及掌握几何证明的一般步骤与格式2.充分认识几何证明的必要性及推理的严密性和稍难问题的思路探究。
【二】复习导航——复习纲要〔知识体系〕、基础习题〔一〕差不多知识1.知识回忆〔1〕能清晰地规定某一名称或术语的的句子叫做定义〔2〕对某一件事作出的句子叫做命题；叫做真命题，叫做假命题〔3〕要说明一个命题是假命题，常用的方法是举出一个〔4〕要说明一个命题是真命题，常用方法2.基础习题〔1〕以下语句中哪些是命题？请判断其中命题的真假1.两个奇数的和是偶数。
2.两个无理数的乘积一定是无理数3.连结AB4.不相等的两个角不可能是对顶角5.a、b两条直线平行吗？6.画一个角等于角〔2〕将以下命题改写成“假如……那么……”的形式，然后指出那个命题的题设和结论。
1同角的补角相等。
2在一个三角形中，等边对等角。
3在同一平面内，同垂直于第三条直线的两直线平行〔3〕用反证法证明“两条直线被第三条直线所截，假如同位角不相等，那么这两条直线不平行”的第一步应假设〔4〕：如图，AD⊥BC于D，EF⊥BC于F，交AB于G，交CA延长线于E，∠1＝∠2、求证：AD平分∠BAC，填写证明中的空白、证明：∵AD⊥BC，EF⊥BC〔〕∴________∥_________〔〕∴_______＝________〔两直线平行，内错角相等〕，________＝〔两直线平行，同位角相等〕∵〔〕∴______________即AD平分∠BAC〔〕E D CBH F 【三】学习过程——例题精讲、方法点拨例1、证明：等腰三角形两底角的平分线相等。
杭州市采荷实验中学选修1-2第三章《推理与证明》检测卷(答案解析)
一、选择题1．某校实行选科走班制度，张毅同学的选择是物理、生物、政治这三科，且物理在A 层班级，生物在B 层班级，该校周一上午课程安排如下表所示，张毅选择三个科目的课各上一节，另外一节上自习，则他不同的选课方法有A ．8种B ．10种C ．12种D ．14种2．类比推理是一种重要的推理方法.已知1l ，2l ，3l 是三条互不重合的直线，则下列在平面中关于1l ，2l ，3l 正确的结论类比到空间中仍然正确的是（ ）①若13//l l ，23//l l ，则12l l //；②若13l l ⊥，23l l ⊥，则12l l //；③若1l 与2l 相交，则3l 必与其中一条相交；④若12l l //，则3l 与1l ，2l 相交所成的同位角相等 A ．①④B ．②③C ．①③D ．②④3．我们知道，在边长为a ，类比上述结论，在棱长为a 的正四面体内任一点到其四个面的距离之和为定值，此定值为（ ）A ．aB C ．3a D 4．将正奇数数列1，3，5，7，9，⋅⋅⋅依次按两项、三项分组，得到分组序列如下：(1,3)，(5,7,9)，(11,13)，(15,17,19)，⋅⋅⋅，称(1,3)为第1组，(5,7,9)为第2组，依次类推，则原数列中的2021位于分组序列中（ ） A ．第404组B ．第405组C ．第808组D ．第809组5．观察下列各式：5678953125,515625,578125,5390625,51953125,=====，则20205的末四位数字为（ ） A ．3125B ．5625C ．0625D ．81256．已知a ，b ，c ，R d ∈，且满足1a b +=，1c d +=，1ac bd +>，对于a ，b ，c ，d 四个数的判断，给出下列四个命题：①至少有一个数大于1；②至多有一个数大于1；③至少有一个数小于0；④至多有一个数小于0.其中真命题的是（ ）A ．①③B ．②④C ．①④D ．②③7．祖暅（公元前5～6世纪）是我国齐梁时代的数学家，是祖冲之的儿子，他提出了一条原原理：“幂势既同，则积不容异.”这里的“幂”指水平截面的面积，“势”指高．这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体体积相等．设由椭圆22221(0)x y a b a b+=>> 所围成的平面图形绕y 轴旋转一周后，得一橄榄状的几何体（称为椭球体），课本中介绍了应用祖暅原理求球体体积公式的做法，请类比此法，求出椭球体体积，其体积等于（ ） A ．243a b π B ．243ab π C ．22a b πD ．22ab π8．下面几种推理中是演绎推理的为（ ）A ．高二年级有12个班，1班51人，2班53人，3班52人，由此推测各班都超过50人B ．猜想数列111,,122334⋯⋯⨯⨯⨯的通项公式为()1(1)n a n N n n +=∈+C ．半径为r 的圆的面积2S r π=，则单位圆的面积S π=D ．由平面三角形的性质推测空间四面体的性质 9．将正整数排列如下：则图中数2020出现在（ ） A ．第64行第3列B ．第64行4列C ．第65行3列D ．第65行4列10．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数.他们研究过如图所示的三角形数:将三角形数1，3， 6，10记为数列{}n a ，将可被5整除的三角形数，按从小到大的顺序组成一个新数列{}n b ，可以推测:19b =（ ）A ．1225B ．1275C ．2017D ．201811．某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段。
课时作业21：1.1.1 命 题~1.1.2 四种命题
§1.1命题及其关系1．1.1命题1．1.2四种命题一、选择题1．给出下列语句：①f(x)＝3x(x∈R)是指数函数；②x2＋2x－1>0；③集合{a，b，c}有3个子集；④这盆花长得太好了！⑤周期函数的和是周期函数吗？⑥sin 45°＝1.其中，命题的个数是()A．1 B．2 C．3 D．4考点命题的定义题点命题的定义答案 C解析由命题的定义知①③⑥为命题．2．下列说法正确的是()A．命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等”B．语句“标准大气压下，100 ℃时水沸腾”不是命题C．命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”是真命题D．语句“当a>4时，方程x2－4x＋a＝0有实根”是假命题考点命题的真假判断题点命题真假的判断答案 D解析对于A，改写成“若p，则q”的形式应为“若有两个角是直角，则这两个角相等”；对于B，所给语句是命题；对于C，反例可以是“用边长为3的等边三角形与底边为3，腰为2的等腰三角形拼成的四边形不是菱形”来说明．3．命题“垂直于同一条直线的两个平面平行”的条件是()A．两个平面B．一条直线C．垂直D．两个平面垂直于同一条直线考点命题的结构形式题点区分命题的条件和结论答案 D解析所给的命题可以改为“如果两个平面垂直于同一条直线，那么它们互相平行”，故选D.4．下列命题中真命题的个数为()①面积相等的三角形是全等三角形；②若xy＝0，则|x|＋|y|＝0；③若a>b，则a＋c>b＋c；④矩形的对角线互相垂直．A．1 B．2 C．3 D．4考点命题的真假判断题点命题真假的判断答案 A解析①错；②中若x＝3，y＝0，则xy＝0，但|x|＋|y|≠0，故②错；③正确；④中矩形的对角线相等但不一定互相垂直．5．(2018·江西抚州临川一中月考)命题“若x2<2，则－3<x<3”的逆否命题是()A．若x2≥2，则x≥3或x≤－3B．若－3<x<3，则x2<2C．若x≥3或x≤－3，则x2>2D．若x≥3或x≤－3，则x2≥2考点四种命题的概念题点 四种命题定义的应用答案 D解析 逆否命题就是将原命题的条件和结论互换位置，并且将条件和结论都否定．故题干中的逆否命题为“若x ≥3或x ≤－3，则x 2≥2”．6．命题“对角线相等的四边形是矩形”是命题“矩形的对角线相等”的( )A ．逆命题B ．否命题C ．逆否命题D ．无关命题考点 四种命题的概念题点 四种命题定义的应用答案 A解析 由逆命题的定义可得．7．“若x 2－2x －8<0，则p ”为真命题，那么p 是( )A ．2<x <4B ．x <2或x >4C ．－2<x <4D ．x <－2或x >4 考点 命题的真假判断题点 由命题的真假求参数的取值范围答案 C解析 由x 2－2x －8<0，解得－2<x <4，∴p 是“－2<x <4”．8．下面的命题中是真命题的是( )A ．y ＝sin 2x 的最小正周期为2πB ．若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根同号，则c a>0 C ．如果M ⊆N ，那么M ∪N ＝MD ．在△ABC 中，若AB →·BC →>0，则内角B 为锐角考点 命题的真假判断题点 命题真假的判断答案 B解析 A 中，y ＝sin 2x ＝1－cos 2x 2，故其最小正周期为π，A 不正确； B 正确；C 中，如果M ⊆N ，可得M ∪N ＝N ，故C 不正确；D 中，在△ABC 中，若AB →·BC →>0，可知角B 为钝角，故D 也不正确．二、填空题9．下列语句：①三角形的内角和为π；②0是最小的偶数吗？③2不等于3；④若两直线不平行，则它们相交．其中，不是命题的序号为________，真命题的序号为________．考点 命题的定义题点 命题的定义答案 ② ①③解析 ②是疑问句，不是命题，其余都是命题．①③是真命题．若两直线不平行，则它们相交或为异面直线，④是假命题．10．命题“若∠C ＝90°，则△ABC 是直角三角形”的否命题为________命题．(填“真”“假”)考点 四种命题的概念题点 判断四种命题的真假答案 假解析 原命题是“若∠C ＝90°，则△ABC 是直角三角形”，其否命题为“若∠C ≠90°，则△ABC 不是直角三角形”，为假命题．11．(2018·北京)能说明“若a >b ，则1a <1b”为假命题的一组a ，b 的值依次为________． 考点 命题的真假判断题点 命题真假的判断答案 1，－1(答案不唯一)解析 只要保证a 为正b 为负即可满足要求．当a >0>b 时，1a >0>1b. 12．已知命题p ：关于x 的函数y ＝x 2－3ax ＋4在[1，＋∞)上是增函数，命题q ：y ＝(2a －1)x 为减函数，若p 和q 都是真命题，则a 的取值范围是________．考点 命题的真假判断题点 由命题的真假求参数的取值范围答案 ⎝⎛⎦⎤12，23解析 命题p 等价于3a 2≤1，即a ≤23. 由y ＝(2a －1)x 为减函数，得0<2a －1<1，即12<a <1.若p 和q 均为真命题，则12<a ≤23. 三、解答题13．写出命题“若x 2＋y 2＝0，则x ，y 全为0”的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假．考点 四种命题的概念题点 按要求写命题并判断四种命题的真假解 逆命题：若x ，y 全为0，则x 2＋y 2＝0，是真命题；否命题：若x 2＋y 2≠0，则x ，y 不全为0，是真命题；逆否命题：若x ，y 不全为0，则x 2＋y 2≠0，是真命题．14．已知命题“若2m －1<x <3m ＋2，则1<x <3”的逆命题为真命题，则m 的取值范围是________．考点 命题的真假判断题点 由命题的真假求参数的取值范围答案 ⎣⎡⎦⎤13，1解析 其逆命题为若1<x <3，则2m －1<x <3m ＋2.该命题为真命题，需满足⎩⎪⎨⎪⎧2m －1≤1，3m ＋2≥3，解得13≤m ≤1， 故m 的取值范围为⎣⎡⎦⎤13，1.15．已知A ：5x －1>a ，B ：x >1，请选择适当的实数a ，使得利用A ，B 构造的命题“若p ，则q ”为真命题．考点 命题的真假判断题点 由命题的真假求参数的取值范围解 若视A 为p ，则命题“若p ，则q ”为“若x >1＋a 5， 则x >1”，由命题为真命题可知1＋a 5≥1，解得a ≥4； 若视B 为p ，则命题“若p ，则q ”为“若x >1，则x >1＋a 5”，由命题为真命题可知1＋a 5≤1，解得a ≤4.故a 取任一实数均可利用A ，B 构造出一个真命题，比如取a ＝1，则有真命题“若x >1，则x >25”.。
深圳北大附中深圳南山分校选修1-2第三章《推理与证明》测试卷(含答案解析)
一、选择题1．如图，第（1）个图案由1个点组成，第（2）个图案由3个点组成，第（3）个图案由7个点组成，第（4）个图案由13个点组成，第（5）个图案由21个点组成，⋅⋅⋅，依次类推，根据图案中点的排列规律，第50个图形由多少个点组成（）A．2449 B．2451 C．2455 D．24582．天干地支纪年法源于中国，包含十天干与十二地支，十天干即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸，十二地支即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如说第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”……依此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，……依此类推．已知一个“甲子”为60年，即天干地支纪年法的一个周期，1949年为“己丑”年，那么到新中国成立80周年时，即2029年为（）A．己申年B．己酉年C．庚酉年D．庚申年3．李雷、韩梅梅、张亮、刘静四人考上大学后，就读于法学、教育学、医学和管理学四个学科，就他们分别就读于哪个学科，同学们做了如下猜测：同学甲猜，李雷就读于管理学，张亮就读于法学；同学乙猜，韩梅梅就读于管理学，刘静就读于医学；同学丙猜，李雷就读于管理学，张亮就读于教育学；同学丁猜，韩梅梅就读于法学，刘静就读于教育学.结果恰有三位同学的猜测各对一半，只有一位同学全部猜对，那么李雷、韩梅梅、张亮、刘静四人分别就读的学科是（）A．管理学、医学、法学、教育学B．教育学、管理学、医学、法学C．管理学、法学、教育学、医学D．管理学、教育学、医学、法学4．观察下列等式：13=12，13+23=32，13+23+33=62，13+23+33+43=102.根据规律，可以得到33312?50+++（）A．1205 B．1225 C．1245 D．12755．我们知道，在边长为a 3，类比上述结论，在棱长为a 的正四面体内任一点到其四个面的距离之和为定值，此定值为（ ）A ．aB ．2a C ．3a D ．3a 6．《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术.得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟.”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：===“穿墙术”，则n =（ ） A ．35B ．48C ．63D ．807．祖暅（公元前5～6世纪）是我国齐梁时代的数学家，是祖冲之的儿子，他提出了一条原原理：“幂势既同，则积不容异.”这里的“幂”指水平截面的面积，“势”指高．这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体体积相等．设由椭圆22221(0)x y a b a b+=>> 所围成的平面图形绕y 轴旋转一周后，得一橄榄状的几何体（称为椭球体），课本中介绍了应用祖暅原理求球体体积公式的做法，请类比此法，求出椭球体体积，其体积等于（ ） A ．243a b π B ．243ab π C ．22a b πD ．22ab π8．中国古代近似计算方法源远流长，早在八世纪，我国著名数学家、天文学家张隧（法号：一行）为编制《大衍历》发明了一种近似计算的方法——二次插值算法（又称一行算法，牛顿也创造了此算法，但是比我国张隧晚了上千年）：对于函数()y f x =在()123123,,x x x x x x <<处的函数值分别为()()()112233,,y f x y f x y f x ===，则在区间[]13,x x 上()f x 可以用二次函数()()()111212()f x y k x x k x x x x =+-+--来近似代替，其中3221112213231,,y y y y k k k k k x x x x x x ---===---.若令10x =，2π2x =，3πx =，请依据上述算法，估算2πsin 5的近似值是（ ） A ．2425B ．1725C ．1625D ．359．一位老师有两个推理能力很强的学生甲和乙,他告诉学生他手里拿着与以下扑克牌中的一张相同的牌:黑桃:3,5,Q ,K 红心:7,8,Q 梅花:3,8,J ,Q 方块:2,7,9老师只给甲同学说这张牌的数字（或字母）,只给乙同学说这张牌的花色,接着老师让这两个同学猜这是张什么牌:甲同学说:我不知道这是张什么牌,乙同学说:我知道这是张什么牌.甲同学说:现在我们知道了. 则这张牌是（ ） A ．梅花3B ．方块7C ．红心7D ．黑桃Q10．定义两个运算：1212a b a lgb ⊗=+，132a b lga b -⊕=+．若925M =⊗，1227N =⊕，则(M N += ) A ．6B ．7C ．8D ．911．明代朱载堉创造了音乐学上极为重要的“等程律”．在创造律制的过程中，他不仅给出了求解三项等比数列的等比中项的方法，还给出了求解四项等比数列的中间两项的方法．比如，若已知黄钟、大吕、太簇、夹钟四个音律值成等比数列，则有=⨯大吕黄钟太簇，()23=⨯大吕黄钟夹钟，()23=⨯太簇黄钟夹钟．据此，可得正项等比数列{}n a 中，k a =（ ）A ．11n k n k n a a --+⋅B ．11n k n k n a a --+⋅C ．111n k k n n a a ---⋅D ．111k n k n n a a ---⋅12．运用祖暅原理计算球的体积时，构造一个底面半径和高都与球半径相等的圆柱，与半球（如图一）放置在同一平面上，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥（如图二），用任何一个平行与底面的平面去截它们时，可证得所截得的两个截面面积相等，由此证明该几何体与半球体积相等.现将椭圆22149x y +=绕y 轴旋转一周后得一橄榄状的几何体（如图三），类比上述方法，运用祖暅原理可求得其体积等于（ ）A ．4πB ．8πC ．16πD ．32π二、填空题13．把数列121n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭的所有数按照从大到小的原则写成如下数表：111351111791113111115172729⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅第k 行有12k -个数，第t 行的第s 个数（从左数起）记为(),A t s ，则()11,4A =________. 14．已知a ，b 是正整数，ab ，当(),0,x y ∈∞时，则有()222a b a b x y x y++≥+成立，当且仅当“a b x y =”取等号，利用上述结论求2912y x x =+-，10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭的最小值______． 15．在Rt ABC ∆中，若90,,C AC b BC a ∠=︒==，斜边AB 上的高位h ，则有结论22222a b h a b=+，运用此类比的方法，若三棱锥的三条侧棱两两相互垂直且长度分别为,,a b c 且三棱锥的直角顶点到底面的高为h ，则有结论__________．16．在如下数表中，已知每行、每列中的数都成等差数列， 那么，位于下表中的第n 行第n+1列的数是_______17．如图甲是第七届国际数学教育大会（简称7ICME -）的会徽图案，会徽的主体图案是由如图乙的一连串直角三角形演化而成的，其中11223781OA A A A A A A =====，如果把图乙中的直角三角形继续作下去，记12,,,n OA OA OA ⋅的长度构成数列{}n a ，则此数列的通项公式为n a =_____．18．对于大于1的自然数m ，其三次幂可用奇数按一下方式进行“分裂”：3235,=+3337911,413151719,.=++=+++⋅⋅⋅对此，若3m 的“分裂数”中有一个是2017，则m=_____.19．甲、乙、丙三位同学被问到是参加了学校组织的A 、B 、C 三个活动兴趣小组时， 甲说：我参加的兴趣小组比乙多，但没参加过A 兴趣小组； 乙说：我没参加过B 兴趣小组； 丙说：我们三人参加了同一兴趣小组； 由此可判断乙参加的兴趣小组为__________．20．集合{}{},,1,2,3a b c =，现有甲、乙、丙三人分别对a ，b ，c 的值给出了预测，甲说2a ≠，乙说2b =，丙说3c ≠.已知三人中有且只有一个人预测正确，那么10010a b c ++=______.三、解答题21．在各项均为正数的数列{}n a 中，1a a =且122n n na a a +=+. (1)当32a =时，求a 的值；(2)求证:当2n ≥时，1n n a a +≤. 22．三角比内容丰富，公式很多，若仔细观察、大胆猜想、科学求证，你也能发现其中的一些奥秘.请你完成以下问题： （1）计算：cos 2cos88sin 47sin133︒︒+︒︒,cos5cos85sin 50sin130︒︒+︒︒,cos12cos 78sin 57sin123︒︒+︒︒； （2）根据（1）的计算结果，请你猜出一个一般的结论用数学式子加以表达，并证明你的结论，写出推理过程. 23．()1已知()f x =[)x 0,∞∈+，如1x ，[)2x 0,∞∈+，且12x x ≠，求证：()()1212x x 1f x f x f 22+⎛⎫⎡⎤+< ⎪⎣⎦⎝⎭； ()2用数学归纳法证明：当*n N ∈时，2n 1n 232+++能被7整除．24．证明下列不等式.（1）当1a >时，求证：0>；（2）设0a >，0b >，若0a b ab +-=，求证：23a b +≥+. 25．已知数列{}n a 前n 项和为n S ，且22n a n n=+． （1）试求出1S ， 2S ， 3S ， 4S ，并猜想n S 的表达式． （2）用数学归纳法证明你的猜想． 26．设()11111223341n S n n =++++⨯⨯⨯⨯+，写出1S ，2S ，3S ，4S 的值，归纳猜想出结果，并给出证明.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】设第()n 个图案的点的个数为n a ，推测得到12(1)n n a a n --=-，利用1n -个式子相加，由等差数列的求和公式，即可求解. 【详解】设第()n 个图案的点的个数为n a ，由题意可得123451,3,7,13,21,a a a a a =====， 可得213243542,4,6,8,a a a a a a a a -=-=-=-=，由此推测12(1)n n a a n --=-，则()()()()21324312462(1)n n a a a a a a a a n --+-+-+-=++++-，化简可得(1)(222)1(1)2n n n a n n -+--==-，所以(1)1n a n n =-+所以5050(501)12451a =⨯-+=. 故选：B. 【点睛】本题主要考查了归纳推理的应用，其中解答中构造数列并得出的数列的递推关系式，结合等差数列的求和公式求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.2．B解析：B 【分析】由题意可得数列天干是以10为等差的等差数列，地支是以12为公差的等差数列，以1949年的天干和地支分别为首项，即可求出答案． 【详解】解：天干是以10为公差构成的等差数列，地支是以12为公差的等差数列，从1949年到2029年经过80年，且1949年为“己丑”年，以1949年的天干和地支分别为首项，则80108÷=，则2029的天干为己，80126÷=余8，则2029的地支为酉，故选：B ． 【点睛】本题考查了学生合情推理的能力，涉及等差数列在实际生活中的应用，属于中档题．3．C解析：C【分析】根据只有一位同学全部猜对，逐项一一假设，利用合情推理求解.【详解】假设同学甲猜全正确，即李雷就读于管理学，张亮就读于法学；则同学乙猜，韩梅梅就读于管理学错误，故刘静就读于医学正确；同学丁猜，韩梅梅就读于法学错误，刘静就读于教育学正确；矛盾，假设错误；假设同学乙猜全正确，即韩梅梅就读于管理学，刘静就读于医学；则同学甲猜，李雷就读于管理学错误，张亮就读于法学正确；同学丙猜，李雷就读于管理学错误，张亮就读于教育学正确；矛盾，假设错误；假设同学丙猜全正确，即李雷就读于管理学，张亮就读于教育学；则同学乙猜，韩梅梅就读于管理学错误，刘静就读于医学正确；同学甲猜，李雷就读于管理学正确，张亮就读于法学错误；同学丁猜，韩梅梅就读于法学错误，刘静就读于教育学正确.假设同学丁猜全正确，即韩梅梅就读于法学，刘静就读于教育学.则同学甲猜，李雷就读于管理学正确，张亮就读于法学错误；同学乙猜，韩梅梅就读于管理学错误，刘静就读于医学正确；矛盾，假设错误；综上：李雷、韩梅梅、张亮、刘静四人分别就读的学科是管理学、法学、教育学、医学,.故选：C【点睛】本题主要考查合情推理的应用，还考查了逻辑推理的能力，属于中档题.4．D解析：D【分析】根据所给等式，归纳出规律，利用求和公式即可求解.【详解】因为13+23=(1+2)2，13+23+33=(1+2+3)2，13+23+33+43=(1+2+3+4)2，350++=1+2+…+50=(150)502+⨯=1275.故选：D【点睛】本题主要考查了合情推理中的不完全归纳法，属于容易题.5．D解析：D【解析】试题分析：类比在边长为a, 在一个正四面体中，计算一下棱长为a 的三棱锥内任一点到各个面的距离之和， 如图：由棱长为a 可以得到36,BF BO AO OE ===-, 在直角三角形中，根据勾股定理可以得到222BO BE OE =+， 把数据代入得到6OE a =∴棱长为a 的三棱锥内任一点到各个面的距离之和664=， 故选D.考点：类比推理．【方法点晴】由平面图形的性质向空间物体的性质进行类比时，常用的思路有：由平面图形中点的性质类比推理出空间里的线的性质，由平面图形中线的性质类比推理出空间中面的性质，由平面图形中面的性质类比推理出空间中体的性质．固我们可以根据已知中平面几何中，关于线的性质“正三角形内任意一点到三边距离之和是一个定值”，推断出一个空间几何中一个关于面的性质．6．C解析：C 【分析】通过观察四个等式，发现存在相同性质，从而得出78763n =⨯+=即可. 【详解】 因为22222233121==⨯+33333388232==⨯⨯+ 444441515343==⨯⨯+，5555552424454==⨯⨯+ 所以8888888878763n n ==⨯=⨯+63n =. 故选：C. 【点睛】归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．7．A解析：A 【分析】先构造两个底面半径为a ，高为b 的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，根据祖暅原理得出椭球的体积． 【详解】椭圆的长半轴长为a ，短半轴长为b ，先构造两个底面半径为a ，高为b 的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，根据祖暅原理得出椭球的体积为:()222142233V V V a b a b a b πππ⎛⎫=-=⨯⨯-⨯⨯= ⎪⎝⎭圆柱圆锥，故选：A.【点睛】本题考查了类比推理的问题，类比推理过程中要注重方法的类比，属基础题.8．A解析：A 【分析】直接按照所给算法逐步验算即可得出最终结论． 【详解】解：函数()sin y f x x ==在0x =，π2x =，πx =处的函数值分别为 1(0)0y f ==，2π()12y f ==，3(π)0y f ==，故211212y y k x x π-==-，32322y y k x x π-==--，122314k k k x x π-==--， 故2222444()()2f x x x x x x πππππ=--=-+， 即2244sin x x x ππ≈-+，∴222424224sin()55525πππππ≈-⨯+⨯=， 故选：A ． 【点睛】本题主要考查新定义问题，准确理解题目所给运算法则是解决本题的关键，属于中档题．9．B解析：B 【分析】根据老师告诉甲牌的点数，告诉乙的是花色，结合甲乙对话进行推理判断即可． 【详解】解：甲不知道，说明通过数字不能判断出来，因此排除有单一数字的牌：黑桃5,K,梅花J ，方块2,9．而乙知道牌的颜色,如果是方片的话,即可断定是方片7, 故选:B 【点睛】本题主要考查合情推理的应用，结合甲乙了解的情况进行推理是解决本题的关键．考查学生的推理分析能力．10．B解析：B 【分析】根据定义的新运算，求出M 、N 的值，相加即可得答案． 【详解】根据题意，121925925352M lg lg =⊗=+=+，13112()232727N lg -===+，则(35)(23)1337M N lg lg +=+++=++=。
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命题与证明的练习 黄梓泽
一、选择题
1.下列语句中，属于定义的是（ ）． （A ）直线AB 和CD 垂直吗？ （B ）过线段AB 的中点C 画AB 的垂线。
（C ）数据分组后落在各小组内的数据个数叫做频数。
（D ）同旁内角互补，两直线平行。
2.下列命题中，属于真命题的是（ ）
（A ）一个角的补角大于这个角 （B ）若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c （C ）若a ⊥c ，b ⊥c ，则a ∥b （D ）互补的两角必有一条公共边 3.命题“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的题设是（ ）． （A ）垂直 （B ）两条直线
（C ）同一条直线 （D ）两条直线垂直于同一条直线
4.对于命题“如果∠1+∠2=90°，那么∠1≠∠2”，能说明它是假命题的例子是（ ） （A ）∠1=50°，∠2=40° （B ）∠1=50°，∠2=50° （C ）∠1=∠2=45° （D ）∠1=40°，∠2=40°
5.已知△ABC 的三个内角度数比为2：3：4，则这个三角形是 （ ）． （A ）锐角三角形 （B ）直角三角形 （C ）钝角三角形 （D ）等腰三角形
6.在三角形的内角中，至少有 （ ）
（A ）一个钝角 （B ）一个直角 （C ）一个锐角 （D ）两个锐角 7.若等腰三角形的一个外角为110°，则它的底角为（ ）． （A ）55° （B ）70° （C ）55°或70° （D ）以上答案都不对
8.若三角形的三个外角的度数之比为2：3：4，则与之对应的三个内角的度数之比为（ ）． （A ）4：3：2 （B ）3：2：4 （C ）5：3：1 （D ）3：1：5
9.如图，在锐角△ABC 中，CD 和BE 分别是AB 和AC 边上的高，且CD 和BE 交于点P ，若∠A=50°，则∠BPC 的度数是 （ ）．（A ）150° （B ）130° （C ）120° （D ）100°
第9题
10．如图6所示，△ABC与△BDE都是等边形，AB<BD．若△ABC不动，将△BDE绕点B旋转，则在旋转过程中，AE与CD的大小关系为（） A．AE=CD B．AE>CD C．AE<CD D．无法确定
二、填空题（每题3分，共24分）
11.在同一平面内，如果一条直线和两条平行直线中的一条相交，那么_______.
12.判断角相等的定理（写出2个）①，
②。
13.判断线段相等的定理（写出2个）①，
②。
14．命题“同旁内角互补”中，题设是，结论是 .
15．填空使之成为一个完整的命题。
（1）若a⊥b，b∥c，则；（2）若，则这两个角互补。
（3）若a∥b，b∥c，则。
16．把下列命题改写成“如果……那么……”的形式。
（1）锐角小于90o。
答：。
（2）两点确定一条直线。
答：。
（3）相等的角是对顶角。
答：。
（4）全等三角形的对应角相等，对应边相等。
答：。
（5）垂直于同一条直线的两条直线平行。
答：。
（6）直角都相等。
答：。
17．三角形两边的长分别为5和7，则最短边长的取值范围是 .
18.在△ABC中，∠B=45°，∠C=72°，那么与∠A相邻的一个外角等于______．
19.在直角三角形中，两个锐角的差为20°，则两个锐角的度数分别为_____．
20.如图，已知∠BDC=142°，∠B=34°，∠C=28°，则∠A=________．
21.如图，已知DB平分∠ADE，DE∥AB，∠CDE=82°，则∠EDB=_____，∠A=_____．
22.在四边形ABCD中，AC是对角线.下列三个条件：
①∠BAC=∠DAC；②BC=DC；③AB=AD.请将其中的两个作为已知条件，另一个作为结论构成一个真命题：如果__________________________________,那么_________________________________________.
1 2
3l l
2
l
l
三、解答题
23.（本题9分）求证（填空）：两条直线被第三条直线所截.如果同旁内角不互补，那么这两条直线不平行. 已知：如图，直线12,l l 被3l 所截，∠1+∠2____180°. 求证：12l l 与_______.
证明：（反证法）假设12____l l ，
则∠1+∠2____180°（ ） 这与______________矛盾，故_________不成立. 所以____________________________________. 24、填空（每空1分，共13分）
已知：如图12，AD⊥BC 于D ，EF⊥BC 于F ，交AB 于G ，交CA 延长线于E ，∠1＝∠2． 求证：AD 平分∠BAC，填写分析和证明中的空白．
分析：要证明AD 平分∠BAC，只要证明__________＝____________，
而已知∠1＝∠2，所以应联想这两个角分别和∠1、∠2的关系，由已知BC 的两条垂线可推出________∥_________，这时再观察这两对角的关系已不难得到结论．
证明：∵AD⊥BC，EF⊥BC（已知）
∴________∥_________（ ） ∴_______＝________（两直线平行，内错角相等）， ________＝ （两直线平行，同位角相等） ∵ （已知）
∴______________即AD 平分∠BAC（ ）
25.（本题7分）已知如图，在△ABC 中，CH 是外角∠ACD 的角平分线，BH 是∠ABC 的平分线, ∠A=58°.
求∠H 的度数.
26.（本题8分）求证：等腰三角形两腰上的高相等。
第11题
第10题
A
B C
D
第12题
A
B
C
D
H 1l
27. 如图，AB=AE ，AC=AD ，要使EC=BD ，需添加一个什么条件？
请你添加一个条件，请说明理由．
28.（本题8分）观察右边各式：
想一想：什么样的两个数之积等于这两个数的和？ 设n 表示正整数，用关于n 的代数式表示这个规律： _______×_______=_______+________. 你能说明理由吗？
29.（本题10分）如图（1）：已知等腰直角三角形ABC 中,∠ACB=︒90,直线l 经过点C,AD ⊥l ,BE ⊥l ,垂足分别为D 、E 。
(1)证明ΔACD ≌ΔCBE ；（5分）
(2)如图2，当直线l 经过ΔABC 内部时,其他条件不变,（1）中的结论还成立吗?如果成立,请给出证明；如果不成立，请说明理由。
（5分）
30．（6分）阅读理解题：
（1）如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，且AD=1
2
BC ． 求证：∠BAC=90°． 证明：∵AD=
12BC ，BD=CD=1
2
BC ， ∴AD=BD=DC ，
∴∠B=∠BAD ，∠C=∠CAD ， ∵∠B+∠BAD+∠CAD+∠C=180°， ∴∠BAD+∠CAD=90°，即∠BAC=90°．
（2）此题实际上是直角三角形的另一个判定定理，请你用文字语言叙述出来．
（3）直线运用这个结论解答题目：一个三角形一边长为2，这边上的中线长为1，另两边之和为
2224,24;1139393,3;22224164164,4;33335255255,5.4444⨯
=+=⨯=+=⨯=+=⨯=+=
图
1
求这个三角形的面积．
31、如图在ΔABC中AB=AC,∠BAC=900,直角∠EPF的顶点P是BC的中点,两边PE、PF分别交AB、AC于E、F
⑴求证：AE=CF（6分）
⑵是否还有其他结论，不要求证明（至少2个，4分）
P F
E
C B
A。