2014秋季高等数学入学测试答案
2014年(大纲全国卷)数学(理科) 附答案解析
C=2ccos A,tan A=1,求 B.
3
18.(本小题满分 12 分)(2014 大纲全国,理 18)等差数列{an}的前 n 项和为 Sn.已知 a1=10,a2 为整数,且
Sn≤S4.
(1)求{an}的通项公式;
1
(2)设 bn=
,求数列{bn}的前 n 项和 Tn.
+1
19.(本小题满分 12 分)(2014 大纲全国,理 19)如图,三棱柱 ABC-A1B1C1 中,点 A1 在平面 ABC 内的射影 D 在 AC 上,∠ACB=90°,BC=1,AC=CC1=2.
cos∠AF2F1=( ).
A.1
B.1
C. 2
D. 2
4
3
4
3
10.(2014 大纲全国,理 10)等比数列{an}中,a4=2,a5=5,则数列{lg an}的前 8 项和等于( ).
A.6
B.5
C.4
D.3
11.(2014 大纲全国,理 11)已知二面角α-l-β为 60°,AB⊂α,AB⊥l,A 为垂足,CD⊂β,C∈l,∠ACD=135°,则
7.【答案】C
【解析】∵y=xex-1,∴y'=ex-1+xex-1,∴k=y'|x=1=e0+e0=2,选 C.
8.【答案】A
-5-
【解析】由图知,R2=(4-R)2+2,
∴R2=16-8R+R2+2,∴R=9,
4
∴S 表=4πR2=4π×8116
81π,选 A.
4
9.【答案】A
【解析】∵双曲线的离心率为 2,∴ =2,
因为 tan A=13,所以 cos C=2sin C,tan C=12. 所以 tan B=tan[180°-(A+C)]
2014年专升本高数真题答案解析
所以 cos 2x
n0
1n 2x2n
(2n)!
，即：
f
(x)
1 2
1 2
n0
1n 2x2n 2n!
， x(,)
13. 2
解析:
a
b
b
c
c
a
a
b
c
b
b
c
c
a
a
b
a
c
b b
b
c
c
a
a
b
a c
b
c
c
a
a
b
a c
b
c
c
a
a
b
c
a
b
a
a
c
16.
解:
lim
x 0
ln(sin2 x ex ) x ln(x2 e2x ) 2x
lim x0
ln[ex (ex sin2 ln[e2x (e2x x2
x 1)] x 1)] 2x
lim x0
ln(ex sin 2 ln(e2x x2
x 1) 1)
ex sin2 x
lim x 0
1 x 2
2 1 x 1 x
故 y 1 x0
10. ( 3 , 3) 34
解析:
求曲线的拐点，当 x
0 时，
y
2x (1 x2 )2
，
y
2(3x2 1) (1 x2 )3
，令
y 0 ，得 x 3 ，所以拐点为： ( 3 , 3)
3
34
11. 1
6
1
解析:由题意可知， S
1
(x
0
x2 )dx
2014年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(江苏卷,含答案)
2014年普通高等学校招生全国统一考试（某某卷）圆柱的体积公式：Sh V =圆柱, 其中S 是圆柱的底面积,h 为高.一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．．1. 已知集合A={4,3,1,2--}，}3,2,1{-=B ，则=B A ▲ .2. 已知复数2)i 25(+=z (i 为虚数单位),则z 的实部为 ▲ .3. 右图是一个算法流程图,则输出的n 的值是 ▲ .4. 从1,2,3,6这4个数中一次随机地取2个数,则所取2个数的乘积为6的概率是▲ .5. 已知函数x y cos =与)2sin(ϕ+=x y (0≤πϕ<),它们的图象有一个横坐标为3π的交点,则ϕ的值是 ▲ .6. 设抽测的树木的底部周长均在区间[80,130]上,其频率分布直方图如图所示,则在抽测的60株树木中,有 ▲ 株树木的底部周长小于100cm.7. 在各项均为正数的等比数列}{n a 中,,12=a 4682a a a +=,则6a 的值是 ▲ .8. 设甲、乙两个圆柱的底面分别为1S ，2S ，体积分别为1V ，2V ，若它们的侧面积相等，且4921=S S ，则（第3题）100 80 90 110 120 底部周长/cm（第6题）21V V 的值是 ▲ .9. 在平面直角坐标系xOy 中,直线032=-+y x 被圆4)1()2(22=++-y x 截得的弦长为 ▲ .10. 已知函数,1)(2-+=mx x x f 若对于任意]1,[+∈m m x ,都有0)(<x f 成立,则实数m 的取值X 围是▲ .11. 在平面直角坐标系xOy 中，若曲线xbax y +=2(a ，b 为常数)过点)5,2(-P ，且该曲线在点P 处的切线与直线0327=++y x 平行，则b a +的值是 ▲ .12. 如图，在平行四边形ABCD 中，已知8=AB ，5=AD ，PD CP 3=，2=⋅BP AP ，则AD AB ⋅的值是 ▲ .13. 已知)(x f 是定义在R 上且周期为3的函数,当)3,0[∈x 时,|212|)(2+-=x x x f .若函数a x f y -=)(在区间]4,3[-上有10个零点(互不相同),则实数a 的取值X 围是 ▲ .14. 若△ABC 的内角满足C B A sin 2sin 2sin =+,则C cos 的最小值是▲ .二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.(本小题满分14分)已知),2(ππα∈,55sin =α.(1)求)4sin(απ+的值；(2)求)265cos(απ-的值.16.(本小题满分14分)如图，在三棱锥ABC P -中，D ，E ，F 分别为棱AB AC PC ,,的中点.已知AC PA ⊥,,6=PA .5,8==DF BC求证: (1)直线//PA 平面DEF ；(2)平面⊥BDE 平面ABC .（第12题）PDCA17.(本小题满分14分)如图,在平面直角坐标系xOy 中,21,F F 分别是椭圆)0(12322>>=+b a b y a x 的左、右焦点，顶点B 的坐标为),0(b ，连结2BF 并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连结C F 1.(1)若点C 的坐标为)31,34(,且22=BF ,求椭圆的方程； (2)若,1AB C F ⊥求椭圆离心率e 的值.18.(本小题满分16分)如图,为了保护河上古桥OA ,规划建一座新桥BC,同时设立一个圆形保护区.规划要求:新桥BC 与河岸AB 垂直;保护区的边界为圆心M 在线段OA 上并与BC 相切的圆.且古桥两端O 和A 到该圆上任意一点的距离均不少于80m. 经测量，点A 位于点O 正北方向60m 处, 点C 位于点O 正东方向170m 处(OC 为河岸),34tan =∠BCO .(1)求新桥BC 的长；(2)当OM 多长时,圆形保护区的面积最大？19.(本小题满分16分)已知函数x x x f -+=e e )(,其中e 是自然对数的底数. (1)证明:)(x f 是R 上的偶函数；(2)若关于x 的不等式)(x mf ≤1e -+-m x 在),0(+∞上恒成立，某某数m 的取值X 围；(3)已知正数a 满足：存在),1[0+∞∈x ，使得)3()(030x x a x f +-<成立.试比较1e -a 与1e -a 的大小，并证明你的结论.20.(本小题满分16分)设数列}{n a 的前n 项和为n S .若对任意正整数n ，总存在正整数m ，使得m n a S =，则称}{n a 是“H 数列”.(1)若数列}{n a 的前n 项和n n S 2=(∈n N *),证明:}{n a 是“H 数列”; (2)设}{n a 是等差数列,其首项11=a ,公差0<d .若}{n a 是“H 数列”,求d 的值； (3)证明：对任意的等差数列}{n a ，总存在两个“H 数列”}{n b 和}{n c ，使得n n n c b a +=(∈n N *)成立.数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，AB 是圆O 的直径，C ，D 是圆O 上位于AB 异侧的两点． 证明：∠OCB= ∠D ．B ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知矩阵 1 2 1 1,1 x 2 -1A B -⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，向量 2a y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，x ，y 为实数． 若Aa =Ba ，求x+y 的值．C ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线 l 的参数方程为 212222x ty t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），直线l 与抛物线24y x =相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．D ．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）已知x>0，y>0，证明： 22(1)(1)9x y x y xy ++++≥．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）盒中共有9个球，其中有4个红球、3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同． (l)从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率P ；(2)从盒中一次随机取出 4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为 123,,x x x ，随机 变量X 表示123,,x x x 中的最大数，求X 的概率分布和数学期望E(X)． 23．（本小题满分10分） 已知函数 0sin ()(0)xf x x x=>，设 ()n f x 为 1()n f x -的导数，n N *∈． (1)求 122222f f πππ⎛⎫⎛⎫+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值； (2)证明：对任意的 n N *∈，等式 124442n n nf f πππ-⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭都成立．。
2014年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(江苏卷,解析版)
2014年普通高等学校招生全国统一考试〔江苏卷〕答案解析数 学Ⅰ一、填空题：本大题共14小题，每一小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上． 1、集合}4,3,1,2{A --=,}3,2,1{B -=,如此B A = ▲ ． 【答案】}3,1{-【解析】根据集合的交集运算，两个集合的交集就是所有既属于集合A 又属于集合B 的元素组成的集合，从所给的两个集合的元素可知，公共的元素为-1和3，所以答案为}3,1{-【点评】此题重点考查的是集合的运算，容易出错的地方是审错题目，把交集运算看成并集运算。
属于根底题，难度系数较小。
2、复数2)25(i z -=(i 为虚数单位〕，如此z 的实部为▲ ．【答案】21【解析】根据复数的乘法运算公式，i i i i z 2021)2(2525)25(222-=+⨯⨯-=-=，实部为21，虚部为-20。
【点评】此题重点考查的是复数的乘法运算公式，容易出错的地方是计算粗心，把12-=i 算为1。
属于根底题，难度系数较小。
〔第33、右图是一个算法流程图，如此输出的n 的值是▲ ． 【答案】5【解析】根据流程图的判断依据，此题202>n是否成立，假设不成立，如此n 从1开始每次判断完后循环时，n 赋值为1+n ；假设成立，如此输出n 的值。
此题经过4次循环，得到203222,55>===n n ，成立，如此输出的n 的值为5【点评】此题重点考查的是流程图的运算，容易出错的地方是判断循环几次时出错。
属于根底题，难度系数较小。
4、从6,3,2,1这4个数中一次随机地取2个数，如此所取2个数的乘积为6的概率是▲ ．【答案】31【解析】将随机选取2个数的所有情况“不重不漏〞的列举出来：〔1，2〕，〔1，3〕〔1，6〕，〔2，3〕，〔2，6〕，〔3，6〕，共6种情况，满足题目乘积为6的要求的是〔1，6〕和〔2，3〕，如此概率为31。
【点评】此题主要考查的知识是概率，题目很平稳，考生只需用列举法将所有情况列举出来，再将满足题目要求的情况选出来即可。
2014年普通高等学校招生全国数学统一考试(课标I卷)及详细答案
2014年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）一、选择题（共12小题，每小题5分）1．（5分）已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≥0}，B={x|﹣2≤x＜2}，则A∩B=（）A ．[﹣2，﹣1]B．[﹣1，2）C．[﹣1，1]D．[1，2）2．（5分）=（）A ．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i3．（5分）设函数f（x），g（x）的定义域都为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则下列结论中正确的是（）A ．f（x）g（x）是偶函数B．|f（x）|g（x）是奇函数C．f（x）|g（x）|是奇函数D．|f（x）g（x）|是奇函数4．（5分）已知F为双曲线C：x2﹣my2=3m（m＞0）的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为（）A ．B．3 C．m D．3m5．（5分）4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为（）A ．B．C．D．6．（5分）如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P做直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示为x的函数f（x），则y=f（x）在[0，π]的图象大致为（）A ．B．C．D．7．（5分）执行如图的程序框图，若输入的a，b，k分别为1，2，3，则输出的M=（）A ．B ．C．D．8．（5分）设α∈（0，），β∈（0，），且tan α=，则（ ） A． 3α﹣β=B．3α+β=C．2α﹣β=D．2α+β=9．（5分）不等式组的解集记为D ，有下列四个命题：p 1：∀（x ，y ）∈D ，x+2y ≥﹣2 p 2：∃（x ，y ）∈D ，x+2y ≥2p 3：∀（x ，y ）∈D ，x+2y ≤3 p 4：∃（x ，y ）∈D ，x+2y ≤﹣1 其中真命题是（ ） A ． p 2，p 3 B ． p 1，p 4 C ． p 1，p 2 D ． p 1，p 310．（5分）已知抛物线C ：y 2=8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若=4，则|QF|=（ ） A ． B ． 3 C ． D ． 211．（5分）已知函数f （x ）=ax 3﹣3x 2+1，若f （x ）存在唯一的零点x 0，且x 0＞0，则a 的取值范围是（ ） A ． （2，+∞） B ． （1，+∞） C ． （﹣∞，﹣2） D ． （﹣∞，﹣1） 12．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（ ）二、填空题（共4小题，每小题5分） 13．（5分）（x ﹣y ）（x+y ）8的展开式中x 2y 7的系数为 _________ ．（用数字填写答案） 14．（5分）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A ，B ，C 三个城市时， 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市； 乙说：我没去过C 城市；丙说：我们三人去过同一城市；A ．6B ．6C ．4D ．4由此可判断乙去过的城市为_________．15．（5分）已知A，B，C为圆O上的三点，若=（+），则与的夹角为_________．16．（5分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a=2，且（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，则△ABC面积的最大值为_________．三、解答题17．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，a n≠0，a n a n+1=λS n﹣1，其中λ为常数．（Ⅰ）证明：a n+2﹣a n=λ（Ⅱ）是否存在λ，使得{a n}为等差数列？并说明理由．18．（12分）从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：（Ⅰ）求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s2（同一组中数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅱ）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2．（i）利用该正态分布，求P（187.8＜Z＜212.2）；（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间（187.8，212.2）的产品件数，利用（i）的结果，求EX．附：≈12.2．若Z﹣N（μ，σ2）则P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）=0.9544．19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，AB⊥B1C．（Ⅰ）证明：AC=AB1；（Ⅱ）若AC⊥AB1，∠CBB1=60°，AB=BC，求二面角A﹣A1B1﹣C1的余弦值．20．（12分）已知点A（0，﹣2），椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．（Ⅰ）求E的方程；（Ⅱ）设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．21．（12分）设函数f（x）=ae x lnx+，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处得切线方程为y=e（x﹣1）+2．（Ⅰ）求a、b；（Ⅱ）证明：f（x）＞1．四、选做题（22-24题任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分）选修4-1：集合证明选讲22．（10分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB=CE．（Ⅰ）证明：∠D=∠E；（Ⅱ）设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB=MC，证明：△ADE为等边三角形．选修4-4：坐标系与参数方程23．已知曲线C：+=1，直线l：（t为参数）（Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程．（Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．选修4-5：不等式选讲24．若a＞0，b＞0，且+=．（Ⅰ）求a3+b3的最小值；（Ⅱ）是否存在a，b，使得2a+3b=6？并说明理由．2014年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分）1．（5分）已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≥0}，B={x|﹣2≤x＜2}，则A∩B=（）A ．[﹣2，﹣1]B．[﹣1，2）C．[﹣1，1]D．[1，2）考点：交集及其运算．专题：集合．分析：根据集合的基本运算即可得到结论．解答：解：A={x|x2﹣2x﹣3≥0}={x|x≥3或x≤﹣1}，B={x|﹣2≤x＜2}，则A∩B={x|﹣2≤x≤﹣1}，故选：A点评：本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．（5分）=（）A ．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：由条件利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，计算求得结果．解答：解：==﹣（1+i）=﹣1﹣i，故选：D．点评：本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．3．（5分）设函数f（x），g（x）的定义域都为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则下列结论中正确的是（）A ．f（x）g（x）是偶函数B．|f（x）|g（x）是奇函数C．f（x）|g（x）|是奇函数D．|f（x）g（x）|是奇函数考点：函数奇偶性的判断；函数的定义域及其求法．专题：函数的性质及应用．分析：由题意可得，|f（x）|为偶函数，|g（x）|为偶函数．再根据两个奇函数的积是偶函数、两个偶函数的积还是偶函数、一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数，从而得出结论．解答：解：∵f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，∴|f（x）|为偶函数，|g（x）|为偶函数．再根据两个奇函数的积是偶函数、两个偶函数的积还是偶函数、一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数，可得f（x）|g（x）|为奇函数，故选：C．点评：本题主要考查函数的奇偶性，注意利用函数的奇偶性规律，属于基础题．4．（5分）已知F为双曲线C：x2﹣my2=3m（m＞0）的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为（）A ．B．3 C．m D．3m考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：双曲线方程化为标准方程，求出焦点坐标，一条渐近线方程，利用点到直线的距离公式，可得结论．解答：解：双曲线C：x2﹣my2=3m（m＞0）可化为，∴一个焦点为（，0），一条渐近线方程为=0，∴点F到C的一条渐近线的距离为=．故选：A．点评：本题考查双曲线的方程与性质，考查点到直线的距离公式，属于基础题．5．（5分）4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为（）A ．B．C．D．考点：等可能事件的概率．专题：计算题；概率与统计．分析：求得4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动、周六、周日都有同学参加公益活动的情况，利用古典概型概率公式求解即可．解答：解：4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，共有24=16种情况，周六、周日都有同学参加公益活动，共有24﹣2=16﹣2=14种情况，∴所求概率为=．故选：D．点评：本题考查古典概型，是一个古典概型与排列组合结合的问题，解题时先要判断该概率模型是不是古典概型，再要找出随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数．6．（5分）如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P做直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示为x的函数f（x），则y=f（x）在[0，π]的图象大致为（）A ．B．C．D．考点：抽象函数及其应用．专题：三角函数的图像与性质．分析：在直角三角形OMP中，求出OM，注意长度、距离为正，再根据直角三角形的锐角三角函数的定义即可得到f（x）的表达式，然后化简，分析周期和最值，结合图象正确选择．解答：解：在直角三角形OMP中，OP=1，∠POM=x，则OM=|cosx|，∴点M到直线OP的距离表示为x的函数f（x）=OM|sinx|=|cosx|•|sinx|=|sin2x|，其周期为T=，最大值为，最小值为0，故选C．点评：本题主要考查三角函数的图象与性质，正确表示函数的表达式是解题的关键，同时考查二倍角公式的运用．7．（5分）执行如图的程序框图，若输入的a，b，k分别为1，2，3，则输出的M=（）A ．B．C．D．考点：程序框图．专题：概率与统计．分析：根据框图的流程模拟运行程序，直到不满足条件，计算输出M的值．解答：解：由程序框图知：第一次循环M=1+=，a=2，b=，n=2；第二次循环M=2+=，a=，b=，n=3；第三次循环M=+=，a=，b=，n=4．不满足条件n≤3，跳出循环体，输出M=．故选：D．点评：本题考查了当型循环结构的程序框图，根据框图的流程模拟运行程序是解答此类问题的常用方法．8．（5分）设α∈（0，），β∈（0，），且tanα=，则（）A ．3α﹣β=B．3α+β=C．2α﹣β=D．2α+β=考点：三角函数的化简求值．专题：三角函数的求值．分析：化切为弦，整理后得到sin（α﹣β）=cosα，由该等式左右两边角的关系可排除选项A，B，然后验证C满足等式sin（α﹣β）=cosα，则答案可求．解答：解：由tanα=，得：，即sinαcosβ=cosαsinβ+cosα，sin（α﹣β）=cosα．由等式右边为单角α，左边为角α与β的差，可知β与2α有关．排除选项A，B后验证C，当时，sin（α﹣β）=sin（）=cosα成立．故选：C．点评：本题考查三角函数的化简求值，训练了利用排除法及验证法求解选择题，是基础题．9．（5分）不等式组的解集记为D，有下列四个命题：p1：∀（x，y）∈D，x+2y≥﹣2 p2：∃（x，y）∈D，x+2y≥2p3：∀（x，y）∈D，x+2y≤3 p4：∃（x，y）∈D，x+2y≤﹣1其中真命题是（）A ．p2，p3B．p1，p4C．p1，p2D．p1，p3考点：命题的真假判断与应用．专不等式的解法及应用．题：分析：作出不等式组的表示的区域D，对四个选项逐一分析即可．解答：解：作出图形如下：由图知，区域D为直线x+y=1与x﹣2y=4相交的上部角型区域，显然，区域D在x+2y≥﹣2 区域的上方，故A：∀（x，y）∈D，x+2y≥﹣2成立；在直线x+2y=2的右上方区域，：∃（x，y）∈D，x+2y≥2，故p2：∃（x，y）∈D，x+2y≥2正确；由图知，p3：∀（x，y）∈D，x+2y≤3错误；x+2y≤﹣1的区域（左下方的虚线区域）恒在区域D下方，故p4：∃（x，y）∈D，x+2y≤﹣1错误；综上所述，p1、p2正确；故选：C．点评：本题考查命题的真假判断与应用，着重考查作图能力，熟练作图，正确分析是关键，属于难题．10．（5分）已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若=4，则|QF|=（）A ．B．3 C．D．2考点：抛物线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求得直线PF的方程，与y2=8x联立可得x=1，利用|QF|=d可求．解答：解：设Q到l的距离为d，则|QF|=d，∵=4，∴|PQ|=3d，∴直线PF的斜率为﹣2，∵F（2，0），∴直线PF的方程为y=﹣2（x﹣2），与y2=8x联立可得x=1，∴|QF|=d=1+2=3，故选：B．点评：本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线的位置关系，属于基础题．11．（5分）已知函数f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则a的取值范围是（）A ．（2，+∞）B．（1，+∞）C．（﹣∞，﹣2）D．（﹣∞，﹣1）考点：函数在某点取得极值的条件；函数的零点．专题：导数的综合应用．分析：分类讨论：当a≥0时，容易判断出不符合题意；当a＜0时，由于而f（0）=1＞0，x→+∞时，f（x）→﹣∞，可知：存在x0＞0，使得f（x0）=0，要使满足条件f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则必须极小值＞0，解出即可．解答：解：当a=0时，f（x）=﹣3x2+1=0，解得x=，函数f（x）有两个零点，不符合题意，应舍去；当a＞0时，令f′（x）=3ax2﹣6x=3ax=0，解得x=0或x=＞0，列表如下：x （﹣∞，0）0f′（x）+ 0 ﹣0 +f（x）单调递增极大值单调递减极小值单调递增∵x→+∞，f（x）→+∞，而f（0）=1＞0，∴存在x＜0，使得f（x）=0，不符合条件：f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，应舍去．当a＜0时，f′（x）=3ax2﹣6x=3ax=0，解得x=0或x=＜0，列表如下：x（﹣∞，）0 （0，+∞）f′（x）﹣0 + 0 ﹣f（x）单调递减极小值单调递增极大值单调递减而f（0）=1＞0，x→+∞时，f（x）→﹣∞，∴存在x0＞0，使得f（x0）=0，∵f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，∴极小值=，化为a2＞4，∵a＜0，∴a＜﹣2．综上可知：a的取值范围是（﹣∞，﹣2）．故选：C．点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、分类讨论的思想方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．12．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（）A ．6B．6 C．4D．4考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：画出图形，结合三视图的数据求出棱长，推出结果即可．解答：解：几何体的直观图如图：AB=4，BD=4，C到BD的中点的距离为：4，∴．AC==6，AD=4，显然AC最长．长为6．故选：B．点评：本题考查三视图求解几何体的棱长，考查计算能力．二、填空题（共4小题，每小题5分）13．（5分）（x﹣y）（x+y）8的展开式中x2y7的系数为﹣20．（用数字填写答案）考点：二项式定理的应用；二项式系数的性质．专题：二项式定理．分析：由题意依次求出（x+y）8中xy7，x2y6，项的系数，求和即可．解答：解：（x+y）8的展开式中，含xy7的系数是：=8．含x2y6的系数是=28，∴（x﹣y）（x+y）8的展开式中x2y7的系数为：8﹣28=﹣20．故答案为：﹣20点评：本题考查二项式定理系数的性质，二项式定理的应用，考查计算能力．14．（5分）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一城市；由此可判断乙去过的城市为A．考点：进行简单的合情推理．专题：推理和证明．分析：可先由乙推出，可能去过A城市或B城市，再由甲推出只能是A，B中的一个，再由丙即可推出结论．解答：解：由乙说：我没去过C城市，则乙可能去过A城市或B城市，但甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市，则乙只能是去过A，B中的任一个，再由丙说：我们三人去过同一城市，则由此可判断乙去过的城市为A．故答案为：A．点评：本题主要考查简单的合情推理，要抓住关键，逐步推断，是一道基础题．15．（5分）已知A，B，C为圆O上的三点，若=（+），则与的夹角为90°．考点：数量积表示两个向量的夹角．专题：平面向量及应用．分析：根据向量之间的关系，利用圆直径的性质，即可得到结论．解答：解：在圆中若=（+），即2=+，即+的和向量是过A，O的直径，则以AB，AC为临边的四边形是矩形，则⊥，即与的夹角为90°，故答案为：90°点评：本题主要考查平面向量的夹角的计算，利用圆直径的性质是解决本题的关键，比较基础．16．（5分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a=2，且（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，则△ABC面积的最大值为．考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：由条件利用正弦定理可得b2+c2﹣bc=4．再利用基本不等式可得bc≤4，当且仅当b=c=2时，取等号，此时，△ABC为等边三角形，从而求得它的面积的值．解答：解：△ABC中，∵a=2，且（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，∴利用正弦定理可得4﹣b2=（c﹣b）c，即b2+c2﹣bc=4．再利用基本不等式可得4≥2bc﹣bc=bc，∴bc≤4，当且仅当b=c=2时，取等号，此时，△ABC为等边三角形，它的面积为==，故答案为：．点评：本题主要考查正弦定理的应用，基本不等式，属于中档题．三、解答题17．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，a n≠0，a n a n+1=λS n﹣1，其中λ为常数．（Ⅰ）证明：a n+2﹣a n=λ（Ⅱ）是否存在λ，使得{a n}为等差数列？并说明理由．考点：数列递推式；等差关系的确定．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）利用a n a n+1=λS n﹣1，a n+1a n+2=λS n+1﹣1，相减即可得出；（Ⅱ）对λ分类讨论：λ=0直接验证即可；λ≠0，假设存在λ，使得{a n}为等差数列，设公差为d．可得λ=a n+2﹣a n=（a n+2﹣a n+1）+（a n+1﹣a n）=2d，．得到λS n=，根据{a n}为等差数列的充要条件是，解得λ即可．解答：（Ⅰ）证明：∵a n a n+1=λS n﹣1，a n+1a n+2=λS n+1﹣1，∴a n+1（a n+2﹣a n）=λa n+1∵a n+1≠0，∴a n+2﹣a n=λ．（Ⅱ）解：①当λ=0时，a n a n+1=﹣1，假设{a n}为等差数列，设公差为d．则a n+2﹣a n=0，∴2d=0，解得d=0，∴a n=a n+1=1，∴12=﹣1，矛盾，因此λ=0时{a n}不为等差数列．②当λ≠0时，假设存在λ，使得{a n}为等差数列，设公差为d．则λ=a n+2﹣a n=（a n+2﹣a n+1）+（a n+1﹣a n）=2d，∴．∴，，∴λS n=1+=，根据{a n}为等差数列的充要条件是，解得λ=4．此时可得，a n=2n﹣1．因此存在λ=4，使得{a n}为等差数列．点评：本题考查了递推式的意义、等差数列的通项公式及其前n项和公式、等差数列的充要条件等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力、分类讨论的思想方法，属于难题．18．（12分）从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：（Ⅰ）求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s2（同一组中数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅱ）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2．（i）利用该正态分布，求P（187.8＜Z＜212.2）；（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间（187.8，212.2）的产品件数，利用（i）的结果，求EX．附：≈12.2．若Z﹣N（μ，σ2）则P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）=0.9544．考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；离散型随机变量的期望与方差．专题：计算题；概率与统计．分析：（Ⅰ）运用离散型随机变量的期望和方差公式，即可求出；（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）知Z～N（200，150），从而求出P（187.8＜Z＜212.2），注意运用所给数据；（ii）由（i）知X～B（100，0.6826），运用EX=np即可求得．解答：解：（Ⅰ）抽取产品的质量指标值的样本平均数和样本方差s2分别为：=170×0.02+180×0.09+190×0.22+200×0.33+210×0.24+220×0.08+230×0.02=200，s2=（﹣30）2×0.02+（﹣20）2×0.09+（﹣10）2×0.22+0×0.33+102×0.24+202×0.08+302×0.02=150．（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）知Z～N（200，150），从而P（187.8＜Z＜212.2）=P（200﹣12.2＜Z＜200+12.2）=0.6826；（ii）由（i）知一件产品的质量指标值位于区间（187.8，212.2）的概率为0.6826，依题意知X～B（100，0.6826），所以EX=100×0.6826=68.26．点评：本题主要考查离散型随机变量的期望和方差，以及正态分布的特点及概率求解，考查运算能力．19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，AB⊥B1C．（Ⅰ）证明：AC=AB1；（Ⅱ）若AC⊥AB1，∠CBB1=60°，AB=BC，求二面角A﹣A1B1﹣C1的余弦值．考点：用空间向量求平面间的夹角；空间向量的夹角与距离求解公式．专题：空间向量及应用．分析：（1）连结BC1，交B1C于点O，连结AO，可证B1C⊥平面ABO，可得B1C⊥AO，B10=CO，进而可得AC=AB1；（2）以O为坐标原点，的方向为x轴的正方向，||为单位长度，的方向为y轴的正方向，的方向为z轴的正方向建立空间直角坐标系，分别可得两平面的法向量，可得所求余弦值．解答：解：（1）连结BC1，交B1C于点O，连结AO，∵侧面BB1C1C为菱形，∴BC1⊥B1C，且O为BC1和B1C的中点，又∵AB⊥B1C，∴B1C⊥平面ABO，∵AO⊂平面ABO，∴B1C⊥AO，又B10=CO，∴AC=AB1，（2）∵AC⊥AB1，且O为B1C的中点，∴AO=CO，又∵AB=BC，∴△BOA≌△BOC，∴OA⊥OB，∴OA，OB，OB1两两垂直，以O为坐标原点，的方向为x轴的正方向，||为单位长度，的方向为y轴的正方向，的方向为z轴的正方向建立空间直角坐标系，∵∠CBB1=60°，∴△CBB1为正三角形，又AB=BC，∴A（0，0，），B（1，0，0，），B1（0，，0），C（0，，0）∴=（0，，），==（1，0，），==（﹣1，，0），设向量=（x，y，z）是平面AA1B1的法向量，则，可取=（1，，），同理可得平面A1B1C1的一个法向量=（1，﹣，），∴cos＜，＞==，∴二面角A﹣A1B1﹣C1的余弦值为点本题考查空间向量法解决立体几何问题，建立坐标系是解决问题的关键，属中档题．评：20．（12分）已知点A（0，﹣2），椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF 的斜率为，O为坐标原点．（Ⅰ）求E的方程；（Ⅱ）设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．考点：圆锥曲线的定义、性质与方程．专题：分（Ⅰ）设F（c，0），利用直线的斜率公式可得，可得c．又，b2=a2﹣c2，即可解得a，b；析：（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2）．由题意可设直线l的方程为：y=kx﹣2．与椭圆的方程联立可得根与系数的关系，再利用弦长公式、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式即可得出S△OPQ．通过换元再利用基本不等式的性质即可得出．解解：（Ⅰ）设F（c，0），∵直线AF的斜率为，答：∴，解得c=．又，b2=a2﹣c2，解得a=2，b=1．∴椭圆E的方程为；（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2）．由题意可设直线l的方程为：y=kx﹣2．联立，化为（1+4k2）x2﹣16kx+12=0，当△=16（4k2﹣3）＞0时，即时，，．∴|PQ|===，点O到直线l的距离d=．∴S△OPQ==，设＞0，则4k2=t2+3，∴==1，当且仅当t=2，即，解得时取等号．满足△＞0，∴△OPQ的面积最大时直线l的方程为：．点评：本题综合考查了椭圆的标准方程及其性质、斜率计算公式、椭圆的方程联立可得根与系数的关系、弦长公式、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式、基本不等式的性质等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，考查了换元法和转化方法，属于难题．21．（12分）设函数f（x）=ae x lnx+，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处得切线方程为y=e（x﹣1）+2．（Ⅰ）求a、b；（Ⅱ）证明：f（x）＞1．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（Ⅰ）求出定义域，导数f′（x），根据题意有f（1）=2，f′（1）=e，解出即可；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）＞1等价于xlnx＞xe﹣x﹣，设函数g（x）=xlnx，函数h（x）=，只需证明g（x）min＞h（x）max，利用导数可分别求得g（x）min，h（x）max；解答：解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=+，由题意可得f（1）=2，f′（1）=e，故a=1，b=2；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=e x lnx+，从而f（x）＞1等价于xlnx＞xe﹣x﹣，设函数g（x）=xlnx，则g′（x）=1+lnx，∴当x∈（0，）时，g′（x）＜0；当x∈（，+∞）时，g′（x）＞0．故g（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，从而g（x）在（0，+∞）上的最小值为g（）=﹣．设函数h（x）=，则h′（x）=e﹣x（1﹣x）．∴当x∈（0，1）时，h′（x）＞0；当x∈（1，+∞）时，h′（x）＜0，故h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，从而h（x）在（0，+∞）上的最大值为h（1）=﹣．综上，当x＞0时，g（x）＞h（x），即f（x）＞1．点评：本题考查导数的几何意义、利用导数求函数的最值、证明不等式等，考查转化思想，考查学生分析解决问题的能力．四、选做题（22-24题任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分）选修4-1：集合证明选讲22．（10分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB=CE．（Ⅰ）证明：∠D=∠E；（Ⅱ）设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB=MC，证明：△ADE为等边三角形．考与圆有关的比例线段．点：选作题；几何证明．专题：分析：（Ⅰ）利用四边形ABCD是⊙O的内接四边形，可得∠D=∠CBE，由CB=CE，可得∠E=∠CBE，即可证明：∠D=∠E；（Ⅱ）设BC的中点为N，连接MN，证明AD∥BC，可得∠A=∠CBE，进而可得∠A=∠E，即可证明△ADE 为等边三角形．解答：证明：（Ⅰ）∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠D=∠CBE，∵CB=CE，∴∠E=∠CBE，∴∠D=∠E；（Ⅱ）设BC的中点为N，连接MN，则由MB=MC知MN⊥BC，∴O在直线MN上，∵AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，∴OM⊥AD，∴AD∥BC，∴∠A=∠CBE，∵∠CBE=∠E，∴∠A=∠E，由（Ⅰ）知，∠D=∠E，∴△ADE为等边三角形．点评：本题考查圆的内接四边形性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．选修4-4：坐标系与参数方程23．已知曲线C：+=1，直线l：（t为参数）（Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程．（Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．考点：参数方程化成普通方程；直线与圆锥曲线的关系．专题：坐标系和参数方程．分析：（Ⅰ）联想三角函数的平方关系可取x=2cosθ、y=3sinθ得曲线C的参数方程，直接消掉参数t得直线l 的普通方程；（Ⅱ）设曲线C上任意一点P（2cosθ，3sinθ）．由点到直线的距离公式得到P到直线l的距离，除以sin30°进一步得到|PA|，化积后由三角函数的范围求得|PA|的最大值与最小值．解答：解：（Ⅰ）对于曲线C ：+=1，可令x=2cosθ、y=3sin θ，故曲线C的参数方程为，（θ为参数）．对于直线l：，由①得：t=x﹣2，代入②并整理得：2x+y﹣6=0；（Ⅱ）设曲线C上任意一点P （2cosθ，3sinθ）．P到直线l的距离为．则，其中α为锐角．当sin（θ+α）=﹣1时，|PA|取得最大值，最大值为．当sin（θ+α）=1时，|PA|取得最小值，最小值为．点评：本题考查普通方程与参数方程的互化，训练了点到直线的距离公式，体现了数学转化思想方法，是中档题．选修4-5：不等式选讲24．若a＞0，b＞0，且+=．（Ⅰ）求a3+b3的最小值；（Ⅱ）是否存在a，b，使得2a+3b=6？并说明理由．考点：基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用．专题：不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）由条件利用基本不等式求得ab≥4，再利用基本不等式求得a3+b3的最小值．（Ⅱ）根据ab≥4及基本不等式求的2a+3b＞8，从而可得不存在a，b，使得2a+3b=6．解答：解：（Ⅰ）∵a＞0，b＞0，且+=，∴=+≥2，∴ab≥2，当且仅当a=b=时取等号．∵a3+b3 ≥2≥2=4，当且仅当a=b=时取等号，∴a3+b3的最小值为4．（Ⅱ）由（1）可知，2a+3b≥2=2≥4＞6，故不存在a，b，使得2a+3b=6成立．点评：本题主要考查基本不等式在最值中的应用，要注意检验等号成立条件是否具备，属于基础题．21。
2013-2014高等数学A(1)_A卷答案
π
六 (7 分) 求由曲线 y = arcsin x (0 ≤ x ≤ 1) ， y = 绕 y 轴旋转的旋转体体积. 解： Vy = π
∫
π 2
0
sin ydy = π ∫
2
π 2
0
2 1 − cos 2 y 1 ⎡1 ⎤2 π . dy = π ⎢ y − sin 2 y ⎥ = 2 4 ⎣2 ⎦0 4
−1 0
−1
−1
0
t 0 dt = [t − 2 ln(2 + t ) ]−1 = 1 − 2 ln 2 . 2+t
三、计算下列各题. (每小题 6 分，满分 24 分) 1.
∫ x( x
1
2
+ 1)
dx . (拆项) 解： ∫
1 1 x dx = ∫ ( − 2 )dx = ln | x | − ln( x 2 + 1) + C . x( x + 1) x x +1 2
x − 1 ln x = 0 ； f (1) = 0 ；
因 f (1 ) = f (1 ) = f (1) ，故 f ( x) 在 x = 1 处连续. (2) f −′(1) = lim −
x →1
−
+
−1 − ln x f ( x) − f (1) 1 − x ln x x = lim = = = 0； lim lim 1 x →1− x →1− x −1 x −1 1 − x x →1− − 2 1 −x
∫
四 (7 分) 试分析函数 f ( x ) = | x − 1| ln x ， ( x > 0) 在 x = 1 处的连续性和可导性(说明理由). 解：(1) f (1 ) = lim f ( x) = 1 − x ln x = 0 ； f (1 ) = lim f ( x) = − +
2014年河南高考数学试题及答案(理科)
2014年普通高等学校招生全国统一测试理科数学注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮搽干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效.3. 回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试题上无效.4. 测试结束，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。
1.已知集合A={x |2230x x --≥}，B={x |－2≤x ＜2＝，则A B ⋂=A .[-2,-1]B .[-1,2）C .[-1,1]D .[1,2）2.32(1)(1)i i +-= A .1i + B .1i - C .1i -+ D .1i --3.设函数()f x ，()g x 的定义域都为R ，且()f x 时奇函数，()g x 是偶函数，则下列结论正确的是A .()f x ()g x 是偶函数B .|()f x |()g x 是奇函数C .()f x |()g x |是奇函数D .|()f x ()g x |是奇函数4.已知F 是双曲线C ：223(0)x my m m -=>的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为A .3B .3C .3mD .3m5.4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率A .18B .38C .58D .786.如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示为x 的函数()f x ，则y =()f x 在[0,π]上的图像大致为7.执行下图的程序框图，若输入的,,a b k 分别为1,2,3，则输出的M =A .203 B .165 C .72 D .1588.设(0,)2πα∈，(0,)2πβ∈，且1sin tan cos βαβ+=，则A .32παβ-=B .22παβ-=C .32παβ+=D .22παβ+=9.不等式组124x y x y +≥⎧⎨-≤⎩的解集记为D .有下面四个命题：1p ：(,),22x y D x y ∀∈+≥-，2p ：(,),22x y D x y ∃∈+≥, 3P ：(,),23x y D x y ∀∈+≤，4p ：(,),21x y D x y ∃∈+≤-.其中真命题是A .2p ，3PB .1p ，4pC .1p ，2pD .1p ，3P10.已知抛物线C ：28y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 和C 的一个焦点，若4FP FQ =u u u r u u u r，则||QF =A .72 B .52C .3D .2 11.已知函数()f x =3231ax x -+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且0x ＞0，则a 的取值范围为A .（2，+∞）B .（-∞，-2）C .（1，+∞）D .（-∞，-1）12.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的个条棱中，最长的棱的长度为A 62B .42C .6D .4第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两个部分。
2014年普通高等学校招生全国统一考试四川理科数学试题及答案解析(Word版)
2014年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数学（理工类）一. 选择题1. 已知集合2{|20},A x x x B =--≤集合为整数集，则A B =（ A ）A ．{-1,0,1,2} B.{-2,-1,0,1} C.{0,1} D.{-1,0} 2.在6(1)x x +的展开式中，含3x 的系数的为（ C ） A ．30 B.20 C.15 D.10 解析：即求6226(1)15x x C +=中的系数为.3.为了得到函数sin(21)y x =+的图像，只需把函数sin 2y x =的图像上所有的点（ A ）A.向左平移12个单位长度 B.向右平移12个单位长度C.向左平移1个单位长度D.向右平移1个单位长度解析：1sin(21)=sin 2()2y x x =++，将sin 2y x =向左平移12个单位长度. 4.若0,0,a b c d >><<则一定有（ D ）A.a b c d > B. a b c d < C. a b d c > D. a b d c<解析：（1）特殊值法：取2,1,2,1a b c d ===-=-即可； （2）利用不等式的性质：110,0,c d c d d c<<∴->->->- 又0,0,a b a ba b d c d c >>∴->->∴<5.执行如图的程序框图，如果输入的,x y R ∈， 那么输出的S 的最大值为（ C ） A ．0 B.1C ．2 D.3解析：本题将程序框图和线性规划结合起来，有一定的新颖性，摆脱了传统的线性规划考题模式，关键是能够理解程序框图表达的含义，将原题转化为：已知001x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，求解2S x y =+的最大值. 作图易知，S 在(1,0)处取得最大值2.6.六个人从左自右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法有（ B ） A ．192种 B. 216种 C ．240种 D.288种 解析：由甲，乙的位置分两种情况：（1）最左端排甲，有5!120=种；（2）最左端排乙，有44!96⨯=种. 共120+96=216种. 7.平面向量(1,2),(4,2),a b c ma b ===+，且c a c b 与的夹角等于与的夹角，则m=（ D ） A.-2 B.-1 C.1 D.2 解析：==a cb cc a c b a b⋅⋅⇔与的夹角与的夹角 8.在正方体1111ABCD A BC D -中，点O 为线段BD 的中点，设点P 在线段1CC 上，直线OP 与平面1A BDαα的夹角为，则sin 的取值范围是（ B ）A.3B. 3C.3D. [,1]3结束输出S S=1S=2x+y否是x≥0，y≥0,x+y≤1？输入x,y开始C解析：设棱长为1，则11111AC AC AO OC OC =====所以1111111cos ,sin 333AOC AOC AOC AOC ====. 9.已知()ln(1)ln(1),(1,1)f x x x x =+--∈-. 现有下列命题： ①()()f x f x -=-；②22()2()1xf f x x=+；③()2f x x ≥ 其中所有的正确命题序号是（ C ）A. ①②③B. ②③C. ①③D. ①② 解析：①()()f x f x -=-显然成立；②左边22()1xf x+中的x 只是不能为1，右边()f x 中的(1,1)x ∈-，故不对；③由于左右两边均为偶函数，只需判断()2,(0,1)f x x x ≥∈即可， 记()()2,(0,1)g x f x x x =-∈，则22'()20,(0,1)1g x x x =->∈-，故()(0)0g x g >=，于是③成立.10.已知F 为抛物线2y x =的焦点，点,A B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，2OA OB ⋅=. 则ABO AFO ∆∆与面积之和的最小值是 A ．2 B.3D.10 解析：由题意得22112211221(,0),(,),(,),,,4F A x y B x y y x y x ==设则由2OA OB ⋅=得，22121212122x x y y y y y y +=+=，于是1221y y =-或，又点,A B 位于x 轴的两侧，故122y y =-. 所以2212211122111111122428ABO AFO S S x y x y y y y y y y ∆∆+=⨯-+⨯⨯=-+12111111121293888y y y y y y y y =-+=++=+≥. 注：已知原点1122,(,),(,)O A x y B x y ，设过点A ，B 的直线斜率为k ，则 直线AB 为211121()y y y x x y x x -=-+-，所以1112122122111222ABOx y S x x y x yx y ∆=-=-=. 二．填空题11.复数221ii-=+2i-12.设()f x是定义在R上的周期为2的函数，当[1,1)x∈-时，242,10,(),01,x xf xx x⎧-+-≤<=⎨≤<⎩则3()2f=113.从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的府角分别是67,30，此时气球的高度是46m，则河流的宽度BC约等于60 m(四舍五入将结果精确到个位.参考数据：sin670.92,cos670.39,sin370.60,cos37 1.73≈≈≈≈≈) 解析：解三角形的实际问题，利用正弦定理即可.14.设m R∈，过定点A的动直线0x my+=和过定点B的动直线30mx y m--+=交于点(,)P x y，则PA PB⋅的最大值是 5解析：由题意得(0,0),(1,3)A B，消去m得P点方程为：2230x y x y+--=上，所以点P 在以AB为直径的圆上，且PA PB⊥，故222522PA PB ABPA PB+⋅≤==.15.以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数()xϕ组成的集合：对于函数()xϕ，存在一个正数M，使得函数()xϕ的值域包含于区间[,]M M-. 例如，当312(),()sinx x x xϕϕ==时，12(),()x A x Bϕϕ∈∈. 现有如下命题①设函数()f x的定义域为D，则“()f x A∈”的充要条件是“,,()b R a D f a b∀∈∃∈=”；②函数()f x B∈的充要条件是()f x有最大值和最小值；③若函数(),()f xg x的定义域相同，且(),(),f x Ag x B∈∈则()()f xg x B+∉；④若函数2()ln(2)(2,)1xf x a x x a R x =++>-∈+有最大值，则()f x B ∈. 其中证明题有_________________________解析：①集合A 的特点是：函数是满射；②()x ϕ一定有上下确界，不一定有最值； ③正确；④要使函数()f x 取到最大值，则必有0a =，故2()1xx B x =∈+. 三．解答题16.已知函数()sin(3)4f x x π=+（1）求()f x 的单调递增区间； （2）若α是第二象限角，4()cos()cos 2,cos sin 354f απαααα=+-求的值. 解：（1）由232242k x k πππππ-≤+≤+得()f x 的单调递增区间为：22[,],34312k k k Z ππππ-+∈；（2）由4()cos()cos 2354f απαα=+得4sin()cos()cos 2454ππααα+=+整理得25(cos sin )4αα-=，又α是第二象限角，所以cos sin 0αα-<，故cos sin 2αα-=-. 17.击鼓游戏规则如下，每盘游戏都需要击鼓三次，没次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐：每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获10分，出现2次音乐获20分，出现三次音乐获100分，没有出现音乐则扣除200分（即获得-200分）. 设每次击鼓出现音乐的概率为12，且各次击鼓出现音乐相互独立. (1)设每盘游戏获得的分数为X ，求X 的分布列； （2）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？（3）玩过这款游戏的许多人都发. 若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少. 请运用概率统的相关知识分析分数减少的原因.解析：（1）X 的可能取值为-200，10，20，100，所以X 的分布列为(2) 至少有一盘出现音乐的概率是311()8-=511512； （3）54EX =-，说明获得分数X 的均值为负，因此多次游戏后分数减少的可能性更大. 18.三棱锥A BCD -及其侧视图，俯视图如图所示. 设,M N 分别为线段,AD AB 的中点，P 为线段BC 上的点，且MN NP ⊥.俯视图11侧视图1BC（1）证明：P 是线段BC 的中点； （2）求二面角A NP M --的余弦值.519.设等差数列{}n a 的公差为d,点(,)n n a b 在函数()2xf x =的图像上（*n N ∈） （1）若12a =-，点87(,4)a b 在函数()f x 的图像上，求数列{}n a 的前n 项和n S ； （2）若11a =，函数()f x 的图像在点22(,)a b 处的切线在x 轴上的截距为12ln 2-，求数列{}n nab 的前n 项和n T . 解析： 点(,)n n a b 在函数()2xf x =的图像上，∴ 2n an b =（1）点87(,4)a b 在函数()f x 的图像上，∴8742ab =，即872722a a b -==，所以87872,2a a d a a -==-=，故{}22n a -是首项为，公差为的等差数列.因此，2(1)2232n n n S n n n -=-+⨯=-； （2）由'()2ln 2xf x =得，函数()f x 的图像在点22(,)a b 处的切线为：2222ln 2()a y x a b =-+，其在x 轴上的截距为：22221122ln 2ln 2ln 2a b a a -=-=-， 所以22a =，故{}11n a 是首项为，公差为的等差数列，=,2n n n a n b =由=2n n n a nb 得，12311231++++22222n n n n n T --=⋅⋅⋅+ ①234111231++++222222n n n n nT +-=⋅⋅⋅+ ② ①-②得，12311111[1()]11111222++12222222212n n n n n n n n n T +++-+=+⋅⋅⋅+-=-=-- 所以222n n nT +=-.20.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的的一个端点构成正三角形，（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设F 是椭圆C 的左焦点， T 为直线x=-3上任意一点，过F 做TF 的垂线交椭圆C 于点P ，Q ，（i ）证明：OT 平分线段PQ ；（ii ）当TP PQ最小时，求点T 的坐标.解析：（1）由题意得24,c a ==，解得a b ==所以椭圆C 的标准方程为：22162x y +=；21.已知函数2()1x f x e ax bx =---，其中,a b R ∈（1）设()g x 是函数()f x 的导函数，求函数()g x 在区间[0,1]的最小值； （2）若(1)0f =，函数()f x 在区间（0,1）内有零点，求a 的取值范围. 解：（1）()'()2,[0,1],'()2xxg x f x e ax b x g x e a ==--∈=-则 当0a ≤时，'()0g x >，min ()(0)1g x g b ==-； 当0a >时，令'()0g x =得ln 2x a =,(i)当10ln 202a a <≤≤时，，()g x 在[0,1]上单调递增， min ()(0)1g x g b ==-；（ii ）当1ln 2122ea a <<<<时，0，()g x 在[0,ln 2]a 上单调递减，在[ln 2,1]a 上单调递增，所以min ()(ln 2)2(ln 2)g x g a ab a a ==--； （iii ）当ln 212ea a ≥≥时，，()g x 在[0,1]上单调递减，所以 min ()(1)2g x g e a b ==--.综上所述，min11,21()2(ln 2),222,2b a e g x a b a a a e e a b a ⎧-≤⎪⎪⎪=--<<⎨⎪⎪--≥⎪⎩（2）由(1)0f =得，1b e a =--注意到(0)(1)0f f ==，()f x 在区间[0,1]内连续， (i)当102a <≤时，min ()120g x b a e =-=+-<；。
2014年秋学期升学14级数学期考试卷(理论)含答案
第1页 共4 页 第2页 共4页班别： 姓名： 编号：------------------------------------------------------密--------------------------------------------封----------------------------------------------线----------------------------------------------2014年秋学期理论期考试卷科目：《数学》 出题教师： 邓永斌使用班级：升学14级（1）~（12）班 考试时间：120 分钟 一、选择题（每小题5分，共60分，请将答案填写在答题表格中） 1．集合A={3,5,7}的真．子集．．的个数是 （ ） A ．15 B ．8 C ．7 D ．32．设集合A ＝{3,5,6,8}，集合B ＝{4,5,7,8}，则A∩B 等于( ) A ．{3,4,5,6,7,8} B ．{3,6} C ．{4,7} D ．{5,8} 3．下列说法中正确的为( )A ．y ＝f(x)与y ＝f(t)表示同一个函数B ．y ＝f(x)与y ＝f(x ＋1)不可能是同一函数C ．f(x)＝1与f(x)＝x 0表示同一函数D ．定义域和值域都相同的两个函数是同一个函数4．函数y ＝1x 的定义域是( )A ．RB ．{0}C ．{x|x ∈R ，且x≠0}D ．{x|x≠1}5．下列点中不在函数y ＝2x ＋1的图象上的是( )A ．(1,1)B ．(－2，－2)C ．(3，12) D ．(－1,0) 6．若y ＝f(x)是奇函数，且f(1)＝2，则f(－1)＝（ ）； A ．－1 B ．－2 C ．2 D ．37．下列各式正确的是( )A.3)3(2-=- B.a a =44 C.222= D ．10=a8．函数xx f )31()(=在[－1,0]上的最大值是( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．39．指数函数xa y =与xb y =的图象如图，则( )A ．a<0，b<0B ．a<0，b>0C ．0<a<1，b>1D ．0<a<1, 0<b<110．计算4992log log ⋅的结果为( ) A ．4 B.3 C.2 D.1 11．函数xy 2log =与xy 21log =的图象关于( )A ．原点对称B ．直线y ＝x 对称C ．y 轴对称D ．x 轴对称12. 已知x y )41(=的反函数为y ＝f(x)，若f(x 0)＝－12，则x 0＝( )A ．－1B ．12 C ．－2 D.2题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案CDACDBCDCCDD二、填空题（每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上） 13．用列举法表示集合{ x|1<x<9,且x 是偶数}是 {2，4，6，8} ； 14．函数32)(--=x x x f 的定义域为 {x|x ≥2且x ≠3}15．若0<x<1，y>1，则logx3____<____logy3.(填“>”、“＝”或“<”)；16．方程9131=-x 的解是_ -1 。
2014年全国普通高等学校招生统一考试数学(江苏卷带解析) 答案解析
2014年全国普通高等学校招生统一考试（江苏卷）数学答案解析1、【答案】【解析】由题意得．【考点】集合的运算2、【答案】21【解析】由题意，其实部为21．【考点】复数的概念．3、【答案】5【解析】本题实质上就是求不等式的最小整数解．整数解为，因此输出的【考点】程序框图．4、【答案】【解析】从这4个数中任取2个数共有种取法，其中乘积为6的有和两种取法，因此所求概率为．【考点】古典概型．5、【答案】【解析】由题意，即，，，因为，所以．【考点】三角函数图象的交点与已知三角函数值求角．6、【答案】24【解析】由题意在抽测的60株树木中，底部周长小于的株数为．【考点】频率分布直方图．7、【答案】4【解析】设公比为，因为，则由得，，解得，所以．【考点】等比数列的通项公式．8、【答案】【解析】设甲、乙两个圆柱的底面和高分别为，，则，，又，所以，则．【考点】圆柱的侧面积与体积．9、【答案】【解析】圆的圆心为，半径为，点到直线的距离为，所求弦长为．【考点】直线与圆相交的弦长问题．10、【答案】【解析】据题意解得．【考点】二次函数的性质．11、【答案】【解析】曲线过点，则①，又，所以②，由①②解得所以．【考点】导数与切线斜率．12、【答案】22【解析】由题意，，，所以，即，解得．【考点】向量的线性运算与数量积．13、【答案】【解析】作出函数的图象，可见，当时，，，方程在上有10个零点，即函数和图象与直线在上有10个交点，由于函数的周期为3，因此直线与函数的应该是4个交点，则有．【考点】函数的零点，周期函数的性质，函数图象的交点问题．14、【答案】【解析】由已知及正弦定理可得，，当且仅当即时等号成立．【考点】正弦定理与余弦定理．15、【答案】（1）；（2）．【解析】试题分析：(1)要求的值，根据两角和的正弦公式，可知还要求得，由于已知，所以，利用同角关系可得；（2）要求，由两角差的余弦公式我们知要先求得，而这由二倍角公式结合（1）可很容易得到.本题应该是三角函数最基本的题型，只要应用公式，不需要作三角函数问题中常见的“角”的变换，“函数名称”的变换等技巧，可以算得上是容易题，当然要正确地解题，也必须牢记公式，及计算正确.试题解析：（1）由题意，所以．（2）由（1）得，，所以．【考点】三角函数的基本关系式，二倍角公式，两角和与差的正弦、余弦公式．16、【答案】证明见解析．【解析】（1）本题证明线面平行，根据其判定定理，需要在平面内找到一条与平行的直线，由于题中中点较多，容易看出，然后要交待在平面外，在平面内，即可证得结论；（2）要证两平面垂直，一般要证明一个平面内有一条直线与另一个平面垂直，由（1）可得，因此考虑能否证明与平面内的另一条与相交的直线垂直，由已知三条线段的长度，可用勾股定理证明，因此要找的两条相交直线就是，由此可得线面垂直.试题解析：（1）由于分别是的中点，则有，又，，所以．（2）由（1），又，所以，又是中点，所以，，又，所以，所以，是平面内两条相交直线，所以，又，所以平面平面．【考点】线面平行与面面垂直．17、【答案】（1）；（2）．【解析】试题分析：（1）求椭圆标准方程，一般要找到关系的两个等量关系，本题中椭圆过点，可把点的坐标代入标准方程，得到一个关于的方程，另外，这样两个等量关系找到了；（2）要求离心率，就是要列出关于的一个等式，题设条件是，即，，要求，必须求得的坐标，由已知写出方程，与椭圆方程联立可解得点坐标，则，由此可得，代入可得关于的等式，再由可得的方程，可求得.试题解析：（1）由题意，，，，又，∴，解得．∴椭圆方程为．（2）直线方程为，与椭圆方程联立方程组，解得点坐标为，则点坐标为，，又，由得，即，∴，化简得．【考点】椭圆标准方程，椭圆离心率，直线与直线的位置关系．18、【答案】（1）；（2）．【解析】试题分析：本题是应用题，我们可用解析法来解决，为此以为原点，以向东，向北为坐标轴建立直角坐标系.（1）点坐标炎，，因此要求的长，就要求得点坐标，已知说明直线斜率为，这样直线方程可立即写出，又，故斜率也能得出，这样方程已知，两条直线的交点的坐标随之而得；（2）实质就是圆半径最大，即线段上哪个点到直线的距离最大，为此设，由，圆半径是圆心到直线的距离，而求它的最大值，要考虑条件古桥两端和到该圆上任一点的距离均不少于80，列出不等式组，可求得的范围，进而求得最大值．当然本题如果用解三角形的知识也可以解决．试题解析：（1）如图，以为轴建立直角坐标系，则，，由题意，直线方程为．又，故直线方程为，由，解得，即，所以；（2）设，即，由（1）直线的一般方程为，圆的半径为，由题意要求，由于，因此，∴∴，所以当时，取得最大值，此时圆面积最大．【考点】解析几何的应用，直线方程，直线交点坐标，两点间的距离，点到直线的距离，直线与圆的位置关系.19、【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）当时，，当时，，当时，．【解析】试题分析：试题解析：（1）证明：函数定义域为，∵，∴是偶函数．（2）由得，由于当时，，因此，即，所以，令，设，则，，∵，∴（时等号成立），即，，所以．（3）由题意，不等式在上有解，由得，记，，显然，当时，（因为），故函数在上增函数，，于是在上有解，等价于，即．考察函数，，当时，，当时，，当时，即在上是增函数，在上是减函数，又，，，所以当时，，即，，当时，，，即，，因此当时，，当时，，当时，．【考点】（1）偶函数的判断；（2）不等式恒成立问题与函数的交汇；（3）导数与函数的单调性，比较大小．20、【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）证明见解析．【解析】（1）首先，当时，，所以，所以对任意的，是数列中的项，因此数列是“数列”．（2）由题意，，数列是“数列”，则存在，使，，由于，又，则对一切正整数都成立，所以．（3）首先，若（是常数），则数列前项和为是数列中的第项，因此是“数列”，对任意的等差数列，（是公差），设，，则，而数列，都是“数列”，证毕．【考点】（1）新定义与数列的项，（2）数列的项与整数的整除；（3）构造法．21、【答案】证明见解析.【解析】试题分析：这两个角直接证明相等不太可能，我们可以通过第三个角过渡，即证明他们都与第三个角相等，在本题中一个等腰三角形说明，另一方面与是同弧所对的圆周角，相等，故结论得证．试题解析：由题意，，又∵，∴，∴. 【考点】圆周角问题.22、【答案】【解析】试题分析：利用矩阵运算和矩阵相等列出关于的方程组，解出即可．试题解析：由题意得，解得.∴.【考点】矩阵的运算.23、【答案】【解析】试题分析：可以把直线参数方程化为普通方程，与抛物线方程联立解得的坐标，可求线段的长，也可直接把直线的参数方程代入抛物线方程，解关于的方程，利用此直线参数方程中的几何意义，可得．试题解析：直线的普通方程为，即，与抛物线方程联立方程组解得，∴.【考点】直线的参数方程.24、【答案】证明见解析.【解析】试题分析：直接利用算术－几何平均不等式可得，，两式相乘即得要证不等式．试题解析：∵，∴,,∴.【考点】算术平均值－几何平均不等式．25、【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）从9个球中抽2个球共有种方法，而两个球同色，可能同为红，同为黄或同为绿，方法为，概率为；（2）首先抽4个球中，红、黄、绿色球的个数至少有一个不小于2，因此的可能值为，，说明抽出的4个球都是红球，，说明抽出的4个球中有3个红球、1个其他色或者3个黄球、1个其他色，说明4个球中2个红球、其他两色各1个，或2个黄球、其他两色各1个，或2个绿球、其他两色各1个，当然求时，可用来求．试题解析：（1）由题意；（2）随机变量的取值可能为，，，，所以的分布列为.【考点】排列与组合，离散型随机变量的分布列与均值（数学期望）.26、【答案】(1)；（2）证明见解析.【解析】试题分析：（1）本题首先考查复合函数的求导，如；（2）要找到式子的规律，当然主要是找式子的规律，为了达到此目标，我们让看看有什么特点，由（1），对这个式子两边求导可得，再求导，由引可归纳出，从上面过程还可看出应该用数学归纳法证明这个结论.试题解析：（1）由已知，，所以，，故.（2）由（1）得，两边求导可得，类似可得，下面我们用数学归纳法证明对一切都成立，（1）时命题已经成立，（2）假设时，命题成立，即，对此式两边求导可得，即，因此时命题也成立.综合（1）（2）等式对一切都成立.令，得，所以.【考点】复合函数的导数，数学归纳法。
2014年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)数学试题 (理科)解析版
a x 7 6 77 绝密★启用前2014 年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数 学（理工类）本试题卷共 5 页，22 题。
全卷满分 150 分。
考试用时 120 分钟。
注意事项：★祝考试顺利★1．答卷前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码 粘贴在答题卡上的指定位置。
用统一提供的 2B 铅笔将答题卡上试卷类型 A 后的方框涂黑。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用统一提供的 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．填空题和解答题的作答：用统一提供的签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一．选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1－i 21．[2014·湖北卷] i 为虚数单位， 1＋i ＝()A ．－ 1 C ．－i D ．i1－i 2 －2i1．A [解析] 1＋i ＝ ＝－1.故选 A.2i2x ＋a 7 12．[2014·湖北卷] 若二项式x 的展开式中 的系数是 84，则实数 a ＝( ) x 3A ．2 5 B. 4C ．1 D. 241 5 1 2．C [解析] 展开式中含 C 522a 5＝84，解得 a ＝1.故选 C.的项是 T ＝C 5(2x )2 x 3 ＝C 522a 5x －3，故含 的项的系数是 x 33． [2014·湖北卷] U 为全集，A ，B 是集合，则“存在集合 C 使得 A ⊆C ，B ⊆∁ U C ”是 “A ∩B ＝∅”的()y y A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件3．C [解析] 若存在集合 C 使得 A ⊆C ，B ⊆∁ U C ，则可以推出 A ∩B ＝∅；若 A ∩B ＝∅， 由维思图可知，一定存在 C ＝A ，满足 A ⊆C ，B ⊆∁ U C ，故“存在集合 C 使得 A ⊆C ，B ⊆∁ U C ” 是“A ∩B ＝∅”的充要条件．故选 C.4．[2014·得到的回归方程为＝bx ＋a ，则( ) A ．a >0，b >0 B ．a >0，b <0 C ．a <0，b >0 D ．a <0，b <04．B [解析] 作出散点图如下：观察图象可知，回归直线^＝bx ＋a 的斜率 b <0，截距 a >0.故a>0，b <0.故选 B.5．[2014·湖北卷] 在如图 1-1 所示的空间直角坐标系 O xyz 中，一个四面体的顶点坐标分别是(0，0，2)，(2，2，0)，(1，2，1)，(2，2，2)．给出编号为①，②，③，④的四个图， 则该四面体的正视图和俯视图分别为( )图 1-1A ．①和②B ．①和③C ．③和②D ．④和②5．D [解析] 由三视图及空间直角坐标系可知，该几何体的正视图显然是一个直角三角形且内有一条虚线(一锐角顶点与其所对直角边中点的连线)，故正视图是④；俯视图是一个钝 角三角形，故俯视图是②. 故选 D.－ 1－x 26．[2014·湖北卷] 若函数 f (x )，g (x )满足 错误!f(x)g(x)d x ＝0，则称 f(x)，g(x)为区间[－1， 1]上的一组正交函数，给出三组函数：①f(x)＝ sin 1，g(x)＝ 2cos 1 2 ；②f(x)＝x ＋1，g(x)＝x －1；③f(x)＝x ，g(x)＝x 2. 其中为区间[－1，1]上的正交函数的组数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3 6． C [ 解析] 由题意， 要满足 f(x) ， g(x) 是区间[ － 1 ， 1] 上的正交函数， 即需满足 错误!f(x)g(x)d x ＝0.①错误!f(x)g(x)d x ＝错误!sin 1 2 1x cos 2x d x ＝1 错误!sin x d x ＝ 2－1cos x 2 11＝0，故第①组是区间[－1，1]上的正交函数； ②错误!f(x)g(x)d x ＝错误!(x ＋1)(x －1)d x ＝ 上的正交函数；x 3－x 1 －1＝－4≠0，故第②组不是区间[－1，1] 3③错误!f(x)g(x)d x ＝错误!x ·x 2d x ＝x 41 ＝0，故第③组是区间[－1，1]上的正交函数． 4综上，是区间[－1，1]上的正交函数的组数是 2. 故选 C .x ≤0，7．[2014·湖北卷] 由不等式组 y ≥0，y －x －2≤0x ＋y ≤1，确定的平面区域记为Ω1，不等式组确x ＋y ≥－2定的平面区域记为Ω2，在Ω1 中随机取一点，则该点恰好在Ω2 内的概率为()A.1 8B.1 4C.3 4 D.7 87．D [解析] 作出Ω1，Ω2 表示的平面区域如图所示，S 1＝S 1 AOB ＝ ×2×2＝2，S 1 1 1 BCE ＝ ×1× ＝ ，则 S AOEC ＝S Ω1－S BCE ＝2－1＝7.故由Ω △ △2 2 4 7四边形 几何概型得，所求的概率 P ＝S 四边形 AOEC ＝4＝7.故选 D.S Ω1 2 88．[2014·湖北卷] 《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：“置如其周，令相乘也．又 以高乘之，三十六成一．”该术相当于给出了由圆锥的底面周长 L 与高 h ，计算其体积 V 的近似公式 V ≈ 1L 2h .它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为 3.那么，近似公式 V ≈363 x △4 43 e 2 Sh e 2L 2h 相当于将圆锥体积公式中的π近似取为( ) 75A.22 7B.25 8C.15750 D.355 1138．B [解析] 设圆锥的底面圆半径为 r ，底面积为 S ，则 L ＝2πr ，由题意得 1 L 2h ≈1，代入 S ＝πr 2 化简得π≈3；类比推理，若 V ＝ 2 L 2h ，则π≈25.故选 B.36 375 89．、[2014·湖北卷] 已知 F 1，F 2 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且∠F 1PF 2＝π，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( )3 A.4 3 3 B.2 3 3C ．3D ．29．A [解析] 设|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，r 1>r 2，椭圆的长半轴长为 a 1，双曲线的实半轴长为 a 2，椭圆、双曲线的离心率分别为 e 1，e 2.则由椭圆、双曲线的定义，得 r 1＋r 2＝2a 1，r 1－r 2＝ 2a 2，平方得 4a 2＝r 2＋r 2＋2r 1r 2，4a 2＝r 2－2r 1r 2＋r 2.又由余弦定理得 4c 2＝r 2＋r 2－r 1r 2，消去 r 1r 2，1 12 得 a 2＋3a 2＝4c 2，2 1 2 1 2121 3 1 12 1 ＋ 1 × 21 ＋ 3 1＋1 16 即 ＋ ＝4.所以由柯西不等式得 e 1e2 ＝ e 13 ≤ e 2 e 23 ＝ .2 21 22 3 所以1 ＋ 1 ≤4 3.故选 A.e 1 e 2 310．[2014·湖北卷] 已知函数 f (x )是定义在 R 上的奇函数，当 x ≥0 时，f (x )＝1(|x －a 2|＋|x2 －2a 2|－3a 2)．若∀x ∈R ，f (x －1)≤f (x )，则实数 a 的取值范围为( )－1，1 － 6， 6 －1，1 － 3， 3 A. 6 6 B. 6 6 C. 3 3 D. 3 310．B [解析] 因为当 x ≥0 时，f (x )＝1(|x －a 2|＋x －2a 2|－3a 2)，所以当 0≤x ≤a 2 时，f (x )21(a 2－x ＋2a 2－x －3a 2) 2＝－x ； 当 a 2<x <2a 2 时， f (x ) 1(x －a 2＋2a 2－x －3a 2) 2 ＝ 2 当 x ≥2a 2 时， ＝－a ； f (x ) 1(x －a 2＋x －2a 2－3a 2) 2 ＝ ＝x －3a . 2－x ，0≤x ≤a 2，综上，f (x ) －a 2，a 2<x <2a 2，x －3a 2，x ≥2a 2.因此，根据奇函数的图象关于原点对称作出函数 f (x )在 R 上的大致图象如下，e ＝观察图象可知，要使∀x∈R ，f (x －1)≤f (x )，则需满足 2a 2－(－4a 2)≤1，解得－ 6≤a ≤ 6.6 6故选 B.11．[2014·湖北卷] 设向量 a ＝(3，3)，b ＝(1，－1)．若(a ＋λb )⊥(a －λb )，则实数λ＝ ． 11．±3 [解析] 因为 a ＋λb ＝(3＋λ，3－λ)，a －λb ＝(3－λ，3＋λ)，又(a ＋λb )⊥(a －λb )， 所以(a ＋λb )·(a －λb )＝(3＋λ)(3－λ)＋(3－λ)(3＋λ)＝0，解得λ＝±3.12．[2014·湖北卷] 直线 l 1：y ＝x ＋a 和 l 2：y ＝x ＋b 将单位圆 C ：x 2＋y 2＝1 分成长度相等的四段弧，则 a 2＋b 2＝ .12．2 [解析] 依题意得，圆心 O 到两直线 l 1：y ＝x ＋a ，l 2：y ＝x ＋b 的距离相等，且每段弧长等于圆周的1，即|a | ＝ |b | ＝1×sin 45°，得 |a |＝|b |＝1.故 a 2＋b 2＝2.4 2 2图 1-213．[2014·湖北卷] 设 a 是一个各位数字都不是 0 且没有重复数字的三位数．将组成 a 的3 个数字按从小到大排成的三位数记为 I (a )，按从大到小排成的三位数记为 D (a )(例如 a ＝815， 则 I (a )＝158，D (a )＝851)．阅读如图 1-2 所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个 a ， 输出的结果 b ＝ ．13．495 [解析] 取 a 1＝815⇒b 1＝851－158＝693≠815⇒a 2＝693； 由 a 2＝693⇒b 2＝963－369＝594≠693⇒a 3＝594； 由 a 3＝594⇒b 3＝954－459＝495≠594⇒a 4＝495；ab－a ab－b＝，由a4＝495⇒b4＝954－459＝495＝a4⇒b＝495.14．、[2014·湖北卷]设f(x)是定义在(0，＋∞)上的函数，且f(x)>0，对任意a>0，b>0，若经过点(a，f(a))，(b，－f(b))的直线与x 轴的交点为(c，0)，则称c 为a，b 关于函数f(x)的平均数，记为M f(a，b)，例如，当f(x)＝1(x>0)时，可得M f(a，b)＝c＝a＋b，即M f(a，b)为a，b2的算术平均数．(1)当f(x)＝(x>0)时，M f(a，b)为a，b 的几何平均数；(2)当f(x)＝(x>0)时，M f(a，b)为a，b 的调和平均数2ab.a＋b(以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可)14．(1) x (2)x(或填(1)k1 x；(2)k2x，其中k1，k2 为正常数)[解析] 设A(a，f(a))，B(b，－f(b))，C(c，0)，则此三点共线：(1)依题意，c＝ab，则0－f（a）0＋f（b）c－a0－f（a）0＋f（b）＝，c－b即＝.因为a>0，b>0，所以化简得f（a）af（b），故可以选择f(x)＝x(x>0)；b(2)依题意，c＝2ab，则0－f（a）0＋f（b）f（a），因为a>0，b>0，所以化简得f（b）a＋b 2ab －a2ab －b a b故可以选择f(x)＝x(x>0)．a＋b a＋b15．[2014·湖北卷] (选修4-1：几何证明选讲)如图1-3，P 为⊙O 外一点，过P 点作⊙O 的两条切线，切点分别为A，B，过PA 的中点Q 作割线交⊙O 于C，D 两点，若QC＝1，CD＝3，则PB＝．图1-315．4 [解析] 由切线长定理得QA2＝QC·QD＝1×(1＋3)＝4，解得QA＝2.故PB＝PA＝2QA＝4.16．[2014·湖北卷] (选修4-4：坐标系与参数方程)＝t，已知曲线C13(t 为参数)．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2 的极坐标方程是ρ＝2，则C1 与C2 交点的直角坐标为．＝＝3 （x ≥0）， ＝ 3，3 2＋y 2＝4，＝1. 故曲线 C 1 与 C 2 的交点坐标为( ，1).17．、、、[2014·湖北卷] 某实验室一天的温度(单位：℃)随时间 t (单位：h)的变化近似满足函数关系： f (t )＝10－ 3 π － π，t ∈[0，24)．cos t 12 sin t12(1)求实验室这一天的最大温差．(2)若要求实验室温度不高于 11℃，则在哪段时间实验室需要降温？17．解：(1)因为 f (t )＝10－π cos t ＋ 12 1sin 2 10－π π π 7π 又 0≤t <24，所以 ≤ t ＋ < 3 ，－1≤3 1.当 t ＝2 时，1；当 t ＝14 时， 1.于是 f (t )在[0，24)上取得的最大值是 12，最小值是 8.故实验室这一天的最高温度为 12 ℃，最低温度为 8 ℃，最大温差为 4 ℃. (2)依题意，当 f (t )>11 时，实验室需要降温．由(1)得 f (t )＝10－故有 10－，1 即 － .2 又 0≤t <24，因此7ππ ＋π11π即 10<t <18.< t < ， 6 12 3 6故在 10 时至 18 时实验室需要降温．18．、、[2014·湖北卷] 已知等差数列{a n }满足：a 1＝2，且 a 1，a 2，a 5 成等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式．(2)记 S n 为数列{a n }的前 n 项和，是否存在正整数 n ，使得 S n >60n ＋800？若存在，求 n 的最小值；若不存在，说明理由．18．解：(1)设数列{a n}的公差为d，依题意得，2，2＋d ，2＋4d 成等比数列， 故有(2＋d )2＝2(2＋4d )，化简得 d 2－4d ＝0，解得 d ＝0 或 d ＝4. 当 d ＝0 时，a n ＝2；当 d ＝4 时，a n ＝2＋(n －1)·4＝4n －2.从而得数列{a n }的通项公式为 a n ＝2 或 a n ＝4n －2. (2)当 a n ＝2 时，S n ＝2n ，显然 2n <60n ＋800， 此时不存在正整数 n ，使得 S n >60n ＋800 成立． 当 a n ＝4n －2 时，S n ＝n [2＋（4n －2）]＝2n 2.2令 2n 2>60n ＋800，即 n 2－30n －400>0， 解得 n >40 或 n <－10(舍去)，此时存在正整数 n ，使得 S n >60n ＋800 成立，n 的最小值为 41. 综上，当 a n ＝2 时，不存在满足题意的正整数 n ；当 a n ＝4n －2 时，存在满足题意的正整数 n ，其最小值为 41.19．、、、[2014·湖北卷] 如图 1-4，在棱长为 2 的正方体 ABCD -A 1B 1C 1D 1 中，E ，F ，M ，N 分别是棱 AB ，AD ，A 1B 1，A 1D 1 的中点，点 P ，Q 分别在棱 DD 1，BB 1 上移动，且 DP ＝BQ ＝ λ(0<λ<2)．(1)当λ＝1 时，证明：直线 BC 1∥平面 EFPQ .(2)是否存在λ，使面 EFPQ 与面 PQMN 所成的二面角为直二面角？若存在，求出λ的值； 若不存在，说明理由．图 1-419．解：方法一(几何方法)：(1)证明：如图①，连接 AD 1，由 ABCD A 1B 1C 1D 1 是正方体，知 BC 1∥AD 1.当λ＝1 时，P 是 DD 1 的中点，又 F 是 AD 的中点，所以 FP ∥AD 1，所以 BC 1∥FP . 而 FP ⊂平面 EFPQ ，且 BC 1⊄平面 EFPQ ，故直线 BC 1∥平面 EFPQ .图① 图②(2)如图②，连接 BD .因为 E ，F 分别是 AB ，AD 的中点，所以 EF ∥BD ，且 EF ＝1BD .2又 DP ＝BQ ，DP ∥BQ ，所以四边形 PQBD 是平行四边形，故 PQ ∥BD ，且 PQ ＝BD ，从而 EF ∥PQ ，且 EF ＝1PQ .22 2 在 Rt △EBQ 和 Rt △FDP 中，因为 BQ ＝DP ＝λ，BE ＝DF ＝1，于是 EQ ＝FP ＝ 1＋λ2，所以四边形 EFPQ 也是等腰梯形． 同理可证四边形 PQMN 也是等腰梯形．分别取 EF ，PQ ，MN 的中点为 H ，O ，G ，连接 OH ，OG ，则 GO ⊥PQ ，HO ⊥PQ ，而 GO ∩HO ＝O ，故∠GOH 是面 EFPQ 与面 PQMN 所成的二面角的平面角．若存在λ，使面 EFPQ 与面 PQMN 所成的二面角为直二面角，则∠GOH ＝90°.连接 EM ，FN ，则由 EF ∥MN ，且 EF ＝MN 知四边形 EFNM 是平行四边形． 连接 GH ，因为 H ，G 是 EF ，MN 的中点，所以 GH ＝ME ＝2.2 2 1 在△GOH 中，GH 2＝4，OH 2＝1＋λ2－ 2 ＝λ2＋ ， 22 1 OG 2＝1＋(2－λ)2－ ＝(2－λ)2＋ ，2 由 OG 2＋OH 2＝GH 2，得(2－λ)2 1 λ2 1 4，解得λ＝1± 2， ＋ ＋ ＋ ＝ 2 2 2 故存在λ＝1± 2，使面 EFPQ 与面 PQMN 所成的二面角为直二面角．2方法二(向量方法)：以 D 为原点，射线 DA ，DC ，DD 1 分别为 x ，y ，z 轴的正半轴建立如图③所示的空间直角坐标系．由已知得 B (2，2，0)，C 1(0，2，2)，E (2，1，0)，F (1，0，0)，P (0，0，λ)．图③ →BC 1＝(－2，0，2)，FP ＝(－1，0，λ)，FE ＝(1，1，0)．(1)证明：当λ＝1 时，FP ＝(－1，0，1)， → 因为BC 1＝(－2，0，2)， 所以 → → BC 1＝2FP ，即 BC 1∥FP .而 FP ⊂平面 EFPQ ，且 BC 1⊄平面 EFPQ ，故直线 BC 1∥平面 EFPQ . ·n ＝0， x ＋y ＝0， (2)设平面 EFPQ 的一个法向量为 n ＝(x ，y ，z ) 于是可取 n ＝(λ，－λ，1)．→ FP ·n ＝0－x ＋λz ＝0. 同理可得平面 MNPQ 的一个法向量为 m ＝(λ－2，2－λ，1)． 若存在λ，使面 EFPQ 与面 PQMN 所成的二面角为直二面角， 则 m ·n ＝(λ－2，2－λ，1)·(λ，－λ，1)＝0， 即λ(λ－2)－λ(2－λ)＋1＝0，解得λ＝1± 2 2.220．[2014·湖北卷] 计划在某水库建一座至多安装 3 台发电机的水电站，过去 50 年的水文资料显示，水年．入．流．量．X (年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米)都 在 40 以上，其中，不足 80 的年份有 10 年，不低于 80 且不超过 120 的年份有 35 年，超过 120 的年份有 5 年，将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立．(1)求未来 4 年中，至．多．有 1 年的年入流量超过 120 的概率． (2)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量 X 限800 万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？ 20．解：(1)依题意，p 1＝P (40<X <80)＝10＝0.2，50 p 2＝P (80≤X ≤120)＝35＝0.7，50 p 3＝P (X >120)＝ 5 ＝0.1.50由二项分布得，在未来 4 年中至多有 1 年的年入流量超过 120 的概率为 p ＝C 0(1－p )4＋C 1(1－p )3p ＝0.94＋4×0.93×0.1＝0.947 7.4 3 4 3 3 (2)记水电站年总利润为 Y (单位：万元)．①安装 1 台发电机的情形．由于水库年入流量总大于 40，故一台发电机运行的概率为 1，对应的年利润 Y ＝5000，E (Y ) ＝5000×1＝5000.②安装 2 台发电机的情形．依题意，当 40<X <80 时，一台发电机运行，此时 Y ＝5000－800＝4200，因此 P (Y ＝4200) ＝P (40<X <80)＝p 1＝0.2；当 X ≥80 时，两台发电机运行，此时 Y ＝5000×2＝10 000，因此 P (Y ＝10 000)＝P (X ≥80)＝ p 2＋p 3＝所以，E (Y )＝4200×0.2＋③安装 3 台发电机的情形．依题意，当 40<X <80 时，一台发电机运行，此时 Y ＝5000－1600＝3400，因此 P (Y ＝3400) ＝P (40<X <80)＝p 1＝0.2；当 80≤X ≤120 时，两台发电机运行，此时 Y ＝5000×2－800＝9200， 因此 P (Y ＝9200)＝P (80≤X ≤120)＝p 2＝0.7；当 X >120 时，三台发电机运行，此时 Y ＝5000×3 ＝15 000，因此 P (Y ＝15 000)＝P (X >120)＝p 3＝0.1.由此得 Y 的分布列如下：所以，E (Y )＝3400×0.2综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机 2 台．21．[2014·湖北卷] 在平面直角坐标系 xOy 中，点 M 到点 F (1，0)的距离比它到 y 轴的距由②③解得－ 0<k < > 离多 1.记点 M 的轨迹为 C .(1)求轨迹 C 的方程；(2)设斜率为 k 的直线 l 过定点 P (－2，1)，求直线 l 与轨迹 C 恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时 k 的相应取值范围．21．解：(1)设点M (x ，y )，依题意得|MF |＝|x |＋1|x |＋1，化简整理得 y 2＝2(|x |＋x )．故点 M 的轨迹 C 的方程为y 2x ，x ≥0， ，x<0. (2)在点 M 的轨迹 C 中，记 C1：y 2＝4x ，C 2：y＝0(x <0)．依题意，可设直线 l 的方程为 y －1＝k (x ＋2)． －1＝k （x ＋2），由方程组2＝4x ， 可得 ky 2－4y ＋4(2k ＋1)＝0.① 当 k ＝0 时，y ＝1.把 y ＝1 代入轨迹 C 的方程，得 x ＝1. 故此时直线 l ：y ＝1 与轨迹 C当 k ≠0 时，方程①的判别式Δ＝－16(2k 2＋k －1)．② 设直线 l 与 x 轴的交点为(x 0，0)，则由 y －1＝k (x ＋2)，令 y ＝0，得 x 0＝－2k ＋1.③k <0， (i)由②③解得 0<0，k <－1 或 k 1. 2 即当 k ∈(－∞，－1) l 与 C 1 没有公共点，与 C 2 有一个公共点．故此 时直线 l 与轨迹 C 恰好有一个公共点．(ii)＝0， 0<0， >0， 0≥0， 由②③解得 k 11 1≤k <0.2 即当 k l 与 C 1 只有一个公共点． －1，当 k ∈ 2 l 与 C 1 有两个公共点，与 C 2 没有公共点． 故当 k ∈ －1，2 1 l 与轨迹 C 恰好有两个公共点． >0， (iii)1<k <－1或 1 0<0， 2 2 1即当 kl 与 C 1 有两个公共点，与 C 2 有一个公共点， 故此时直线 l 与轨迹 C 恰好有三个公共点． 综上可知，当 k ∈(－∞，－1){0}时，直线 l 与轨迹 C 恰好有一个公共点； 当 k ∈ －1，2 1 l 与轨迹 C 恰好有两个公共点；当 k ∈1时，直线 l 与轨迹 C 恰好有三个公共点．.e π 22．[2014·湖北卷] π为圆周率，e ＝2.718 28…为自然对数的底数． (1)求函数f (x )＝ln x 的单调区间； x (2)求 e 3，3e ，e π，πe ，，3π，π3 这 6 个数中的最大数与最小数； (3)将 e 3，3e ，e π，πe ，3π，π3 这 6 个数按从小到大的顺序排列，并证明你的结论． 22．解：(1)函数 f (x )的定义域为(0，＋∞)．因为 f (x )＝ln x ，所以 f ′(x ) 1－ln x . ＝ x x 2 当 f ′(x )>0，即 0<x <e 时，函数 f (x )单调递增； 当 f ′(x )<0，即 x >e 时，函数 f (x )单调递减． 故函数 f (x )的单调递增区间为(0，e)，单调递减区间为(e ，＋∞)． (2)因为 e<3<π，所以 eln 3<eln π，πln e<πln 3，即 ln 3e <ln πe ，ln e π<ln 3π.于是根据函数 y ＝ln x ，y ＝e x ，y ＝πx 在定义域上单调递增，可得3e <πe <π3，e 3<e π<3π. 故这 6 个数的最大数在π3 与 3π之中，最小数在 3e 与 e 3 之中． 由 e<3<π及(1)的结论，得 f (π)<f (3)<f (e)，即ln π π ln 3 3 ln e < . e ln π ln 3 3 π π 3 由 < ，得 ln π <ln3 π 3 ，所以 3 >π ； 由ln 3 ln e e 3 e 3 < ，得 ln 3 <ln e ，所以 3 <e . 3 e 综上，6 个数中的最大数是 3π，最小数是 3e . (3)由(2)知，3e <πe <π3<3π，3e <e 3. 又由(2)知，ln π π ln e < ，得π <e . e 故只需比较 e 3 与πe 和 e π与π3 的大小．由(1)知，当 0<x <e 时，f (x )<f (e)＝1， e ln x 1 即 < . x e 在上式中，令 x ＝ e 2 ，又e 2 <e ，则 ln e 2 < e ，从而 2－ln π< e ，即得 ln π>2－ e .①ππ π π 由①得，eln π×(2－0.88)＝3.024>3， 即 eln π>3，亦即 ln πe >ln e 3，所以 e 3<πe . 又由①得，3ln π>6－3e >6－e>π，即 3ln π>π，π所以 e π<π3.综上可得，3e <e 3<πe <e π<π3<3π，即这 6 个数从小到大的顺序为 3e ，e 3，πe ，e π，π3，3π. <。
高等数学入学测试模拟试题及答案
高等数学入学测试复习题一、填空题1、函数的定义域是。
2、函数的定义域是。
3、设,则。
4、若函数在处连续,则= 。
5、函数的连续区间为.6、曲线上横坐标为的点处的切线方程为。
7、设，则.8、（判断单调性、凹凸性）曲线在区间内是。
9、已知，则.10、设,则。
11、设的一个原函数是，则.12、。
13、= 。
14、_________________________。
二、单项选择题1、下列函数中，其图像关于轴对称的是（）。
A．B．C．D．2、下列函数中（）不是奇函数。
A．；B．；C．; D．3、下列函数中（)的图像关于坐标原点对称。
A．B．C．D．4、当时，( ）为无穷小量.A．B．C．D．5、下列极限正确的是( )。
A．B．C。
D．6、设，则（)。
A．；B．；C．; D．不存在7、曲线在点处的法线方程为（).A．；B．；C．；D．8、设函数，则（）.A．； B．； C．； D．9、曲线在区间内是（）。
A．上升且凹B．下降且凹C．上升且凸D．下降且凸10、曲线在内是( )。
A．上升且凹；B．上升且凸；C．下降且凹；D．下降且凸11、设在点可微,且，则下列结论成立的是( ）。
A．是的驻点；B．是的极大值点；C．是的最大值点；D．是的极小值点12、当函数不恒为0，为常数时，下列等式不成立的是（）。
A。
B。
C. D。
13、下列广义积分中（）收敛。
A． B. C. D.14、下列无穷积分为收敛的是（）。
A。
B。
C. D.三、计算题1、求极限；2、求极限;3、求极限;4、求极限；5、求极限；6、设函数，求；7、设函数,求；8、设函数，求；9、设函数，求；10、计算不定积分；11、计算不定积分；12、计算不定积分四、应用题1、求由抛物线与直线所围的面积.2、求由抛物线与直线所围的面积。
3、求由抛物线与直线所围的面积。
4、在半径为8的半圆和直径围成的半圆内内接一个长方形（如图），为使长方形的面积最大，该长方形的底长和高各为多少。
2014江苏数学试题及标准答案(word解析版)
2014年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ圆柱的体积公式：V sh =圆柱，其中s 为圆柱的表面积，h 为高．圆柱的侧面积公式：=S cl 圆柱，其中c 是圆柱底面的周长，l 为母线长．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分． 请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． （1）【2014年江苏，1，5分】已知集合{2134}A =--，，，，{123}B =-，，，则A B =_______．【答案】{13}-，【解析】由题意得{1,3}A B =-．（2）【2014年江苏，2，5分】已知复数2(52i)z =+(i 为虚数单位)，则z 的实部为_______． 【答案】21【解析】由题意22(52i)25252i (2i)2120i z =+=+⨯⨯+=+，其实部为21． （3）【2014年江苏，3，5分】右图是一个算法流程图，则输出的n 的值是_______． 【答案】5【解析】本题实质上就是求不等式220n >的最小整数解．220n >整数解为5n ≥，因此输出的5n =． （4）【2014年江苏，4，5分】从1236，，，这4个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的乘积为6的概率是_______． 【答案】13【解析】从1,2,3,6这4个数中任取2个数共有246C =种取法，其中乘积为6的有1,6和2,3两种取法，因此所求概率为2163P ==．（5）【2014年江苏，5，5分】已知函数cos y x =与sin(2)(0)y x ϕϕ=+<π≤，它们的图象有一个横坐标为3π的交点，则ϕ的值是_______． 【答案】6π【解析】由题意cossin(2)33ππϕ=⨯+，即21sin()32πϕ+=，2(1)36k k ππϕπ+=+-⋅，()k Z ∈，因为0ϕπ≤<，所以6πϕ=．（6）【2014年江苏，6，5分】为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长（单位：cm ），所得数据均在区间[80130]，上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有 株 树木的底部周长小于100 cm ． 【答案】24【解析】由题意在抽测的60株树木中，底部周长小于100cm 的株数为(0.0150.025)106024+⨯⨯=．（7）【2014年江苏，7，5分】在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若21a =，8642a a a =+，则6a 的值是________． 【答案】4【解析】设公比为q ，因为21a =，则由8642a a a =+得6422q q a =+，4220q q --=，解得22q =，所以4624a a q ==．（8）【2014年江苏，8，5分】设甲、乙两个圆柱的底面积分别为12S S ，，体积分别为12V V ，，若它们的侧面积相等，且1294S S =，则12VV 的值是_______． 【答案】32【解析】设甲、乙两个圆柱的底面和高分别为11r h 、，22r h 、，则112222r h r h ππ=，1221h r h r =，又21122294S r S r ππ==，所以1232r r =，则222111111212222222221232V r h r h r r r V r h r h r r r ππ==⋅=⋅==．（9）【2014年江苏，9，5分】在平面直角坐标系xOy 中，直线230x y +-=被圆22(2)(1)4x y -++=截得的弦长为________．【解析】圆22(2)(1)4x y -++=的圆心为(2,1)C -，半径为2r =，点C 到直线230x y +-=的距离为d ==，所求弦长为l =． （10）【2014年江苏，10，5分】已知函数2()1f x x mx =+-，若对任意[1]x m m ∈+，，都有()0f x <成立，则实数m 的取值范围是________．【答案】0⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】据题意222()10(1)(1)(1)10f m m m f m m m m ⎧=+-<⎪⎨+=+++-<⎪⎩，解得02m <<． （11）【2014年江苏，11，5分】在平面直角坐标系xOy 中，若曲线2b y ax x=+(a b ，为常数)过点(25)P -，，且该曲线在点P 处的切线与直线7230x y ++=平行，则a b +的值是________． 【答案】3-【解析】曲线2b y ax x =+过点(2,5)P -，则452b a +=-①，又2'2b y ax x =-，所以7442b a -=-②，由①②解得11a b =-⎧⎨=-⎩，所以2a b +=-．（12）【2014年江苏，12，5分】如图，在平行四边形ABCD 中，已知，85AB AD ==，，32CP PD AP BP =⋅=，，则AB AD ⋅的值是________．【答案】22【解析】由题意，14AP AD DP AD AB =+=+，3344BP BC CP BC CD AD AB =+=+=-， 所以13()()44AP BP AD AB AD AB ⋅=+⋅-2213216AD AD AB AB =-⋅-，即1322564216AD AB =-⋅-⨯，解得22AD AB ⋅=．（13）【2014年江苏，13，5分】已知()f x 是定义在R 上且周期为3的函数，当[03)x ∈，时，21()22f x x x =-+．若函数()y f x a =-在区间[34]-，上有10个零点(互不相同)，则实数a 的取值范围是________． 【答案】()102，【解析】作出函数21()2,[0,3)2f x x x x =-+∈的图象，可见1(0)2f =，当1x =时，1()2f x =极大， 7(3)2f =，方程()0f x a -=在[3,4]x ∈-上有10个零点，即函数()y f x =和图象与直线 y a =在[3,4]-上有10个交点，由于函数()f x 的周期为3，因此直线y a =与函数 21()2,[0,3)2f x x x x =-+∈的应该是4个交点，则有1(0,)2a ∈． （14）【2014年江苏，14，5分】若ABC ∆的内角满足sin 2sin A B C =，则cos C 的最小值是_______．【解析】由已知sin 2sin A B C =及正弦定理可得2a c =，2222222cos 22a b a b c C ab ab +-+-==22328a b ab +-=，当且仅当2232a b =，即a b =所以cos C二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．（15）【2014年江苏，15，14分】已知()2απ∈π，，sin α=． （1）求()sin 4απ+的值；（2）求()cos 26α5π-的值．解：（1）∵()sin 2ααπ∈π=，，，∴cos α==， ()s i n s i n c o s c o s (c o s )4440αααααπππ+=++． （2）∵2243sin 22sin cos cos 2cos sin 55αααααα==-=-=，， ∴()()314cos 2cos cos2sin sin 2666525ααα5π5π5π-=+=+⨯-=．（16）【2014年江苏，16，14分】如图，在三棱锥P ABC -中，D E F ，，分别为棱PC AC AB ，， 的中点．已知6PA AC PA ⊥=，，8BC =，5DF =．（1）求证：直线P A ∥平面DEF ； （2）平面BDE ⊥平面ABC ． 解：（1）∵D E ，为PC AC ，中点∴DE ∥P A ∵PA ⊄平面DEF ，DE ⊂平面DEF ∴P A ∥平面DEF ．（2）∵D E ，为PC AC ，中点，∴132DE PA ==∵E F ，为AC AB ，中点，∴142EF BC ==，∴222DE EF DF +=，∴90DEF ∠=°，∴DE ⊥EF ，∵//DE PA PA AC ⊥，，∴DE AC ⊥， ∵AC EF E =，∴DE ⊥平面ABC ，∵DE ⊂平面BDE ，∴平面BDE ⊥平面ABC ．（17）【2014年江苏，17，14分】如图，在平面直角坐标系xOy 中，12F F ，分别是椭圆22221(0)y x a b a b +=>>的左、右焦点，顶点B 的坐标为(0)b ，，连结2BF 并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连结1FC ． （1）若点C 的坐标为()4133，，且2BF = （2）若1FC AB ⊥，求椭圆离心率e 的值．解：（1）∵()4133C ，，∴22161999a b+=，∵22222BF b c a =+=，∴222a ==，∴21b =，∴椭圆方程为2212x y +=． （2）设焦点12(0)(0)()F c F c C x y -，，，，，，∵A C ，关于x 轴对称，∴()A x y -，，∵2B F A ，，三点共线，∴b yb c x +=--，即0bx cy bc --=①∵1FC AB ⊥，∴1yb xc c⋅=-+-，即20xc by c -+=② ①②联立方程组，解得2222222ca x b c bc y b c ⎧=⎪-⎨⎪=-⎩ ∴()2222222a c bc C b c b c --， C 在椭圆上，∴()()222222222221a c bc b c b c a b--+=，化简得225c a =，∴c a =． （18）【2014年江苏，18，16分】如图，为保护河上古桥OA ，规划建一座新桥BC ，同时设立一个圆形保护区．规划要求：新桥BC 与河岸AB 垂直；保护区的边界为圆心M 在线段OA 上并与BC 相切的圆，且古桥两端O 和A 到该圆上任意一点的距离均不少于80m ．经测量，点A 位于点O 正北方向60m 处，点C 位于点O 正东方向170m 处(OC 为河岸)，4tan 3BCO ∠=．（1）求新桥BC 的长；（2）当OM 多长时，圆形保护区的面积最大？． 解：解法一：（1）如图，以O 为坐标原点，OC 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系xOy ．由条件知A (0, 60)，C (170, 0)，直线BC 的斜率43BC k tan BCO =∠=-－．又因为AB ⊥BC ，所以直线AB 的斜率34AB k =．设点B 的坐标为(a ,b )，则k BC =041703b a -=--， k AB =60304b a -=-，解得a =80，b=120．所以BC150=．因此新桥BC 的长是150 m ． （2）设保护区的边界圆M 的半径为r m,OM =d m,(0≤d ≤60)．由条件知，直线BC 的方程为4(170)3y x =--，即436800x y +-=，由于圆M 与直线BC 相切，故点M (0，d )到直线BC 的距离是r ，即|3680|680355d dr --==． 因为O 和A 到圆M 上任意一点的距离均不少于80 m ，所以80(60)80r d r d -⎧⎨--⎩≥≥，即68038056803(60)805dd d d -⎧-⎪⎪⎨-⎪--⎪⎩≥≥，解得1035d ≤≤．故当d =10时,68035dr -=最大，即圆面积最大． 所以当OM = 10 m 时，圆形保护区的面积最大．解法二：（1）如图，延长OA , CB 交于点F ．因为tan ∠BCO =43．所以sin ∠FCO =45，cos ∠FCO =35．因为OA =60,OC =170，所以OF =OC tan ∠FCO =6803．CF =850cos 3OC FCO =∠，从而5003AF OF OA =-=．因为OA ⊥OC ，所以cos ∠AFB =sin ∠FCO =45，又因为AB ⊥BC ，所以BF =AF cos ∠AFB ==4003，从而BC =CF －BF =150．因此新桥BC 的长是150 m ． （2）设保护区的边界圆M 与BC 的切点为D ，连接MD ，则MD ⊥BC ，且MD 是圆M 的半径，并设MD =r m ，OM =d m(0≤d ≤60)．因为OA ⊥OC ，所以sin ∠CFO =cos ∠FCO ，故由（1）知，sin ∠CFO =368053MD MD r MF OF OM d ===--所以68035dr -=． 因为O 和A 到圆M 上任意一点的距离均不少于80 m ，所以80(60)80r d r d -⎧⎨--⎩≥≥，即68038056803(60)805dd d d -⎧-⎪⎪⎨-⎪--⎪⎩≥≥，解得1035d ≤≤，故当d =10时，68035dr -=最大，即圆面积最大．所以当OM = 10 m 时，圆形保护区的面积最大．（19）【2014年江苏，19，16分】已知函数()e e x x f x -=+其中e 是自然对数的底数． （1）证明：()f x 是R 上的偶函数；（2）若关于x 的不等式()e 1x mf x m -+-≤在(0)+∞，上恒成立，求实数m 的取值范围；（3）已知正数a 满足：存在0[1)x ∈+∞，，使得3000()(3)f x a x x <-+成立．试比较1e a -与e 1a -的大小，并证明 你的结论．解：（1）x ∀∈R ，()e e ()x x f x f x --=+=，∴()f x 是R 上的偶函数．（2）由题意，(e e )e 1x x x m m --++-≤，即(e e 1)e 1x x x m --+--≤，∵(0)x ∈+∞，，∴e e 10x x -+->，即e 1e e 1x x xm ---+-≤对(0)x ∈+∞，恒成立．令e (1)x t t =>，则211t m t t --+≤对任意(1)t ∈+∞，恒成立． ∵2211111(1)(1)113111t t t t t t t t --=-=---+-+-+-++-≥，当且仅当2t =时等号成立，∴13m -≤． （3）'()e e x xf x -=-，当1x >时'()0f x >∴()f x 在(1)+∞，上单调增，令3()(3)h x a x x =-+，'()3(1)h x ax x =--，∵01a x >>，，∴'()0h x <，即()h x 在(1)x ∈+∞，上单调减，∵存在0[1)x ∈+∞，，使得3000()(3)f x a x x <-+，∴1(1)e 2ef a =+<，即()11e 2e a >+． ∵e-1e 111ln ln ln e (e 1)ln 1e a a a a a a ---=-=--+，设()(e 1)ln 1m a a a =--+，则e 1e 1'()1a m a a a---=-=，()11e 2e a >+．当()11e e 12ea +<<-时，'()0m a >，()m a 单调增；当e 1a >-时，'()0m a <，()m a 单调减，因此()m a 至多有两个零点，而(1)(e)0m m ==，∴当e a >时，()0m a <，e 11e a a --<； 当()11e e 2ea +<<时，()0m a <，e 11e a a -->；当e a =时，()0m a =，e 11e a a --=． （20）【2014年江苏，20，16分】设数列{}n a 的前n 项和为n S ．若对任意的正整数n ，总存在正整数m ，使得n m S a =，则称{}n a 是“H 数列”．（1）若数列{}n a 的前n 项和2()n n S n *=∈N ，证明：{}n a 是“H 数列”；（2）设{}n a 是等差数列，其首项11a =，公差0d <．若{}n a 是“H 数列”，求d 的值；（3）证明：对任意的等差数列{}n a ，总存在两个“H 数列”{}n b 和{}n c ，使得()n n n a b c n *=+∈N 成立． 解：（1）当2n ≥时，111222n n n n n n a S S ---=-=-=，当1n =时，112a S ==，∴1n =时，11S a =，当2n ≥时，1n n S a +=，∴{}n a 是“H 数列”．（2）1(1)(1)22n n n n n S na d n d --=+=+，对n *∀∈N ，m *∃∈N 使n m S a =，即(1)1(1)2n n n d m d -+=+-，取2n =得1(1)d m d +=-，12m d=+，∵0d <，∴2m <，又m *∈N ，∴1m =，∴1d =-．（3）设{}n a 的公差为d ，令111(1)(2)n b a n a n a =--=-，对n *∀∈N ，11n n b b a +-=-，1(1)()n c n a d =-+，对n *∀∈N ，11n n c c a d +-=+，则1(1)n n n b c a n d a +=+-=，且{}{}n n b c ，为等差数列． {}n b 的前n 项和11(1)()2n n n T na a -=+-，令1(2)n T m a =-，则(3)22n n m -=+． 当1n =时1m =；当2n =时1m =；当3n ≥时，由于n 与3n -奇偶性不同，即(3)n n -非负偶数，m *∈N ．因此对n ∀，都可找到m *∈N ，使n m T b =成立，即{}n b 为“H 数列”．{}n c 的前ｎ项和1(1)()2n n n R a d -=+，令1(1)()n m c m a d R =-+=，则(1)12n n m -=+ ∵对n *∀∈N ，(1)n n -是非负偶数，∴m *∈N ，即对n *∀∈N ，都可找到m *∈N ，使得n m R c =成立， 即{}n c 为“H 数列”，因此命题得证．数学Ⅱ．．．．．．．．．．．．．．．．．．的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （21-A ）【2014年江苏，21-A ，10分】（选修4-1：几何证明选讲）如图，AB 是圆O 的直径，C 、 D是圆O 上位于AB 异侧的两点．证明：∠OCB =∠D ．解：因为B ，C 是圆O 上的两点，所以OB =OC ．故∠OCB =∠B ．又因为C , D 是圆O 上位于AB 异侧的两点，故∠B ，∠D 为同弧所对的两个圆周角，所以∠B =∠D ．因此∠OCB =∠D ．（21-B ）【2014年江苏，21-B ，10分】（选修4-2：矩阵与变换）已知矩阵121x -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ，1121⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦B ，向量2y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦α， x y ，为实数，若A α=B α，求x y ，的值．解：222y xy -⎡⎤=⎢⎥+⎣⎦A α，24y y +⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦B α，由A α=B α得22224y y xy y -=+⎧⎨+=-⎩，，解得142x y =-=，． （21-C ）【2014年江苏，21-C ，10分】（选修4-4：坐标系与参数方程）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l的参数方程为12x y ⎧=-⎪⎨⎪=+⎩，(t 为参数)，直线l 与抛物线24y x =交于A B ，两点，求线段AB 的长．解：直线l ：3x y +=代入抛物线方程24y x =并整理得21090x x -+=，∴交点(12)A ，，(96)B -，，故||8AB = （21-D ）【2014年江苏，21-D ，10分】（选修4-5：不等式选讲）已知0x >，0y >，证明：()()22119x y x y xy ++++≥． 解：因为x >0, y >0, 所以1+x +y 2≥0>，1+x 2+y ≥0，所以(1+x +y 2)( 1+x 2+y )≥=9xy ． 【必做】第22、23题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题卡的指定区域内．．．．．．．．．．．． （22）【2014年江苏，22，10分】盒中共有9个球，其中有4个红球，3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同．（1）从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率P ；（2）从盒中一次随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为123x x x ，，，随机变量X 表示123x x x ，， 中的最大数，求X 的概率分布和数学期望()E X ．解：（1）一次取2个球共有29C 36=种可能情况，2个球颜色相同共有222432C C C 10++=种可能情况，∴取出的2个球颜色相同的概率1053618P ==．（2）X 的所有可能取值为432，，，则4449C 1(4)C 126P X ===；3131453639C C C C 13(3)C 63P X +===； 11(2)1(3)(4)14P X P X P X ==-=-==．∴X 的概率分布列为：故X 的数学期望1113120()23414631269E X =⨯+⨯+⨯=．（23）【2014年江苏，23，10分】已知函数0sin ()(0)x f x x x=>，设()n f x 为1()n f x -的导数，n *∈N ．（1）求()()122222f f πππ+的值；（2）证明：对任意的n *∈N ，等式()()1444n n nf f -πππ+=成立．解：（1）由已知，得102sin cos sin ()()x x x f x f x x x x '⎛⎫'===- ⎪⎝⎭， 于是21223cos sin sin 2cos 2sin ()()x x x x xf x f x x x x x x ''⎛⎫⎛⎫'==-=--+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以12234216(),()22f f πππππ=-=-+， 故122()()1222f f πππ+=-．（2）由已知，得0()sin ,xf x x =等式两边分别对x 求导，得00()()cos f x xf x x '+=，即01()()cos sin()2f x xf x x x π+==+，类似可得122()()sin sin()f x xf x x x π+=-=+， 2333()()cos sin()2f x xf x x x π+=-=+，344()()sin sin(2)f x xf x x x π+==+．下面用数学归纳法证明等式1()()sin()2n n n nf x xf x x π-+=+对所有的n ∈*N 都成立． （i ）当n =1时，由上可知等式成立．（ii ）假设当n =k 时等式成立, 即1()()sin()2k k k kf x xf x x π-+=+．因为111[()()]()()()(1)()(),k k k k k k k kf x xf x kf x f x xf x k f x f x --+'''+=++=++(1)[sin()]cos()()sin[]2222k k k k x x x x ππππ+''+=+⋅+=+，所以1(1)()()k k k f x f x +++(1)sin[]2k x π+=+． 所以当n=k +1时,等式也成立．综合(i),(ii)可知等式1()()sin()2n n n nf x xf x x π-+=+对所有的n ∈*N 都成立． 令4x π=，可得1()()sin()44442n n n nf f πππππ-+=+(n ∈*N )．所以1()()444n n nf f πππ-+n ∈*N )．。
安徽省六校2014级高一新生入学素质测试数学答案
16、解：分子有理化或移项平方易得解为 x 1 ；
CB CD 17、 （1）证明：在∆ABC 和∆ACD 中，∵ AB AD ，∴ △ABC≌△ACD（SSS）. CA CA
∴ BCA DCA .
CB CD 在△CBF 和△CDF 中，∵ BCA DCA ，∴△CBF≌△CDF（SAS）. CF CF
（2）添加BE ⊥ CD，可使∠EFD = ∠EDF 由（1）∆CBF ≅ ∆CDF, ∠CBE = ∠EDF ∴ BE ⊥ CD, ∴ ∠CEB = ∠FED = 90. ∴ ∆CBE ∽ ∆FDE ∠BCD = ∠EFD 又因为四边形 ABCD 是菱形， ∠BCD = ∠BAD
∠EFD=∠BAD 18、设购买 x 只中性笔，y 只笔记本，根据题意得出 9.2<0.8x+1.2y 10 当 x=2 时，y=7, 当 x=3 时，y=6,
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．
．
故经过 过 B，C，E 三点的抛物线 三 线对应的二次 次函数的解析 析式
=
x
x
(2) 当 2 当0 x
0时，最大值 值为
，最小 小值为
a
2时，最大值为
，最小值为 为 ，最小值为
当 a>2 a 时，最大 大值为
a
20、 （1）解：连 连结 BO 并延长，交⊙O 于 D，连结 CD C ， 则在 在 Rt BCD 中， 中 D A ， BC 5 ， 易得 得： BD
安徽省六校 2014 级高一新生入学素质测试 数学参考答案
一、选择题： 1—5：CABDD 6—10：BABCA 二、填空题： 11、 -1，12、64，13、12, 14、1321 三、解答题 15. 已知 a x 2012, b x 2013, c x 2015且abc 18 ，
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三、解答题（每小题 5 分，共 10 分） 15．已知 a x 2012, b x 2013, c x 2015且abc 18 ，
2 2 2
求
a b c 1 1 1 的值。 bc ac ab a b c
16．解方程： 7 x 4 7 x 5
10．如图，PA、PB 切⊙O 于 A、B 两点，CD 切⊙O 于点 E，交 PA，PB 于 C、D，若⊙O 的半径为 r，△PCD 的周长等于 3r，则 tan∠APB 的值是（ A． ）
12 5
B．
5 13 12
C．
3 13 5
D．
2 13 3
二、填空题（每小题 4 分，共 16 分）
1 0 11． 12 ( 3) 3
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数学试题
【注意事项】 1．本卷满分 100 分，考试时间 120 分钟； 2．所有题目必须在答题卷上作答，否则不予计分。 一、选择题（每小题 3 分，共 30 分） 1．计算 3 的结果是 ( A． 9
2
) B． 6 C． ）
1 9
D．
1 9
2．如图是某一几何体的三视图，则该几何体是（
x 2 px q 0 有实2 3
B．
1 2
C．
1 3
D．
1 4
8．设[x）表示大于 x 的最小整数，如[3）=4，[－1.2）=－1，下列结论： ①[0）=0 ②[x）－x 的最小值是 0 ③[x）－x 的最大值是 0 ④存在实数 x，使[x）－
x=0.5 成立．其中正确的个数为（ ）
K]
4 4
5 5
6 6
7 7
8 8
秋高一分班考试数学试卷附答案
2014年秋高一分班考试数学试卷考生须知：1.本试卷分试题卷和答题卷两部分.满分120分，考试时间100分钟；2.答题时，应该在答题卷指定位置内写明校名、姓名和准考证号；3.所有答案都必须做在答题卷标定的位置上，请务必注意试题序号和答题序号相对应；4.考试结束后，上交试题卷和答卷.一、选择题（本题有10小题，每题3分，共30分）1.已知空气的单位体积质量为31024.1－⨯克/厘米3，31024.1－⨯用小数表示为（） A ． B ．0.0124 C ．－ D ．2.如图，由三个相同小正方体组成的立体图形的主视图．．．是（ ）3.下列代数式变形中，从左到右是因式分解的是（） 22()22m m n m mn -=-.22441(21)x x x --=- 232(2)(1)x x x x ++=++.221(21)(21)x x x -=+-4．已知一组数据2，1，x ，7，3，5，3，2的众数是2，则这组数据的中位数是（）A ．2B ．2.5C ．3D ．5 5.一个数等于它的倒数的4倍，这个数是（）.1 C 2122-或如图，在ABC ∆中，6==AC AB ，8=BC ，AE 平分BAC∠交BC 于点E ，点D 为AB 的中点，连结DE ，则△BDE的周长是()A ．7+5B ．10C ．4+25D ．127.若一次函数k x k y --=)21(的图象不经过第二象限，则k 的取值范围是（）21<k .210<<k 210<≤k .210><k k 或8．如图，AB 是O ⊙的直径，点C 、D 在O ⊙上， 110BOC ∠=°，AD ∥OC ，则AOD ∠=（） A ． B ． C ．（第2题） DCOBAEDCBAA ．70°B ．60°C ．50°D ．0409.打开某洗衣机开关（洗衣机内无水），在洗涤衣服时，洗衣机经历了进水、清洗、排水、脱水四个连续过程，其中进水、清洗、排水时洗衣机中的水量y （升）与时间x （分钟）之间满足某种函数关系，其函数图象大致为（） 10.如图，AB 为⊙O 的直径，点T D 是圆上的两点，且AT 平分垂足为C ； 若3,4==TC AB ,则线段AD 的长为（）233二、填空题（本题共有6个小题，每题4分，共计24分）11.若5:)23(2:)23(x x +=-，则=x ；12．如图，已知AC ∥ED ，∠C =26°，∠CBE =37°，则∠BED 的度数是； 13.如图，圆锥的侧面积为15π，底面半径为3，则圆锥的高AO 为； 14.点A 的坐标为（2，0），把点A 绕着坐标原点顺时针旋转135o 到点B ，那么点B 的坐标是； 15.已知ABC ∆中，BC AC AB,12,10==边上的高8=AD ，则BC =； 16.观察下列方程及其解的特征：（1）12x x +=的解为121x x ==；（2）152x x +=的解为12122x x ==，；（3）1103x x +=的解为12133x x ==，；…………（1）请猜想：方程1265x x +=的解为；（2）请猜想：关于x 的方程1x x +=的解为121(0)x a x a a==≠，；三、解答题（本题有8个小题，共计66分） 解答应写出必要的文字说明或推演步骤17.（本小题6分）先化简，再求值：-4-2x x +24-4+4x x ÷-2xx ，其中x 218.（本题满分6分）如图，点A ，B 在数轴上，它们所对应的数分别是-4，2235x x +-，且点A 、B 到原点的距离相等，求x 的值O x y O x y O x y O x yA ．B ．C ．D ． DTCQ P OBAD E C B AABCD19.（本题满分6分）如图，斜坡AC 的坡度（坡比）为1:3， AC ＝10米．坡顶有一旗杆BC ，旗杆顶端B 点与A 点有一条彩带AB 相连，AB ＝14米．试求旗杆BC 的高度．20.（本题满分8分）甲、乙两位同学用一幅扑克牌中牌面数字分别是3，4，5，6，的4张牌做抽数游戏；游戏规则是：将这4张牌的正面全部朝下、洗匀，从中随机抽取一张，抽得的数作为十位上的数字，然后，将所抽得的牌放回，正面全部朝下、洗匀，再从中随机抽取一张，抽得的数作为个位上的数字，这样就得到一个两位数；若这个两位数小于45，则甲获胜，否则乙获胜；你认为这个游戏公平吗？请你运用概率的有关知识说明你的理由.21.（本题满分8分）如图是用硬纸板做成的四个全等的直角三角形，两直角边长分别是a b ，，斜边长为c 和一个边长为c 的正方形，请你将它们拼成一个能证明勾股定理的图形．（1）画出拼成的这个图形的示意图． （2）证明勾股定理．22.（本题满分10分）如图,在矩形ABCD 中，E 是BC 边上的点，BC AE =,AE DF ⊥,F 为垂足，连接DE ;（1）求证：DFA ABE ∆≅∆ （2）如果6,10==AB AD ；求EDF ∠sin 的值； 23.（本题满分10分）某工厂现有甲种原料360千克，乙种原料290千克，计划利用这两者原料生产B A ,两种产品，已知生产一件A 种产品用甲种原料9千克，乙种原料3千克，可获利700元；生产一件B 种产品用甲种原料4千克，乙种原料10千克，可获利1200元；按要求安排B A ,两种产品的生产件数，有哪几种方案？请你设计出来；24.（本题满分12分）如图，已知二次函数c bx x y ++-=221(0)c <的图象与x 轴的正半轴相交于点A 、B ，与y 轴相交于点C ，且OB OA OC ⋅=2．(1)求c 的值；(2)若△ABC 的面积为3，求该二次函数的解析式；(3)设D 是(2)中所确定的二次函数图象的顶点，试问在直线AC 上是否存在一点P使△PBD 的周长最小?若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．高一新生分班考试 数学试卷参考答案及评分建议FED CBA c b a c b a c b a c bac c二、填空题（每题4分，共24分）11.149；12.063；；14.（—1，—1）； 15.546+或654-（每个2分），aa 12+（每格2分）三、解答题： 17.解：原式=xx x x x 2)2(4242-⨯-+-- xx 2-=…………………………………………………………………3分 当2=x 时 原式=21222-=-……………………………………………………6分18.解：由题可知：45322=-+x x ………………………………………………………3分 即：201222-=+x x解得：511=x ……………………………………………………6分在Rt△ABE 中，BE ＝22AB AE -2214(53)-＝11．…………………5分∵BE ＝BC ＋CE ，∴BC ＝BE －CE ＝11-5＝6（米）．……………………6分20.解：当抽取的第一张牌为3时，得到的两位数可能是：33，34，35，36 同理：43，44，45，46；53，54，55，56，63，64，65，66；共有16种情况……………………………………………………………………6分 其中小于45的有6种，大于45的有9种，故游戏不公平；…………8分21.（8分）方法一解：（1）···································································································· 3分 （2）证明：Q 大正方形的面积表示为2()a b + ········································ 4分 a bcc c cbb aaa大正方形的面积也可表示为2142c ab +⨯ ················································ 5分221()42a b c ab ∴+=+⨯，22222a b ab c ab ++=+， 222a b c ∴+=．又可以表示为：214()2ab b a ⨯+- ························································· 5分2214()2c ab b a ∴=⨯+-，22222c ab b ab a =+-+， 222c a b ∴=+．即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．……………………………………8分（其它证法，可参照给分）22.解：（1）略……………………………………………………………………………4分（2）在ADE ∆中6=∴DF ……………………………………………………………………6分4=∴EF ……………………………………………………………………8分 在DEF RT ∆中132163622=+=+=EF DF DE ………………………………9分 131321321324sin ===∠EDF ……………………………………10分 当B 种产品产品生产29件时，A 种产品为0； 当B 种产品产品生产28件时，A 种产品为3件； 当B 种产品产品生产27件时，A 种产品为6件； 当B 种产品产品生产26件时，A 种产品为10件； 当B 种产品产品生产25件时，A 种产品为13件； 当B 种产品产品生产24件时，A 种产品为16件； 当B 种产品产品生产23件时，A 种产品为20件； 当B 种产品产品生产22件时，A 种产品为23件；当B 种产品产品生产21件时，A 种产品为26件；当B 种产品产品生产20件时，A 种产品为30件；…………………………10分 24.解：（1）2-=c ………………………………………………………………………3分（2）1642121212-=-⋅-=⋅=∆b c x x OC AB S ABC 当3=∆ABC S 时，4252=b且该函数图象的对称轴在y 轴的右侧所以该二次函数的解析式为：225212-+-=x x y …………………7分。
2014年入学考试数学卷
一、填空题：（每小题2分，共20分）1、某种汽车所行路程与耗油量成正比例。
当耗油量为4L 时，行程30km,汽车行驶55km ，耗油量为 （ ）2、给一间长10米，宽8米的教室铺地砖，每块地砖的面积与所需数量成 （ ）比例。
3、在一幅比例尺是1：500000的地图上，量得某两地之间的距离是25cm ，两地之间的实际距离是（ ）km4、65：y = 325 ：4 则y = （ ）5、12的因数有（ ），其中质数是（ ）6、八边形的内角和是（ ）7、750dm 2= （ ）cm 28、()3121-- （填写“>”或“<”符号）9、数轴上到表示0的数的点的距离是2的数是（ ） 10、倒数是它本身的数是（ ） 二、判断题（你认为对的打“√”，你认为错的打“×”，每小题2分，共8分） 11、两个分数相除，商一定大于被除数。
（ ） 12、一个数乘分数的积一定比原来的数小。
（ ） 13、大于90°的角就是钝角。
（ ） 14、等底等高的圆锥与圆柱，体积比是1：3学校要建一个长80m ，宽60m 的长方形操场，按比例画出操场的平面图。
并标出比例尺。
（6分）工程队承包某项工程，每天工作6小时，21天可以完成，如果要提前3天完工，则每天工作几小时？（6分）一个旅游景点去年全年接待游客约210万人次，上半年接待游客比下半年少71，第四季度接待游客是上半年的43，第四季度接待游客多少人？（6分）解方程：（6分）422132=+x x把一个棱长9cm 的正方体切成棱长为3cm 的正方体，可以得到多少个小正方体？表面积增加了多少？（ 6分）画一个轴对称图形，并画出它的所有对称轴。
（ 3分）（3分） 计算：（6分）41)8341(1÷+-⎥⎦⎤⎢⎣⎡海象的寿命大约是40年，海狮的寿命是海象的43，海豹的寿命是海狮的32，海豹的寿命大约是多少年？（6分`）光盘是一个圆环，内圆半径是2cm ，外圆半径是6cm ，它的面积是多少？（6分）城关一小和城关二小的男生人数分别占全校学生总数的52%和54% . 城关一小有学生1200人，城关二小有学生1125人，哪个学校的男生多？多多少人？ （6分）一列动车的速度是270千米/小时，一辆小汽车的速度是这列火车的94，是一架喷气式飞机的91，这架喷气式飞机的速度是多少？（6分）某班要举办联欢会，通过转盘决定每个人表演节目的类型。
数学理。2014年普通高等学校招生全国统一考试题及参考答案
2014年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（四川卷）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
1．已知集合2{|20}A x x x =--≤，集合B 为整数集，则A B ⋂=A ．{1,0,1,2}-B ．{2,1,0,1}--C ．{0,1}D ．{1,0}-2．在6(1)x x +的展开式中，含3x 项的系数为A ．30B ．20C ．15D ．103．为了得到函数sin(21)y x =+的图象，只需把函数sin 2y x =的图象上所有的点A ．向左平行移动12个单位长度 B ．向右平行移动12个单位长度 C ．向左平行移动1个单位长度 D ．向右平行移动1个单位长度 4．若0a b >>，0c d <<，则一定有A ．a b c d >B ．a b c d <C ．a b d c >D ．a b d c<5．执行如图1所示的程序框图，如果输入的,x y R ∈，则输出的S 的最大值为A ．0B ．1C ．2D ．36．六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能拍甲，则不同的排法共有A ．192种B ．216种C ．240种D ．288种7．平面向量(1,2)a =，(4,2)b =，c ma b =+（m R ∈），且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m = A ．2- B ．1- C ．1 D ．28．如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，点O 为线段BD 的中点。
设点P 在线段 1CC 上，直线OP 与平面1A BD 所成的角为α，则sin α的取值范围是A ．B ．C ．D ． 9．已知()ln(1)ln(1)f x x x =+--，(1,1)x ∈-。
现有下列命题：①()()f x f x -=-；②22()2()1xf f xx =+；③|()|2||f x x ≥。