电子工程 第七章 (NO2) 2016

为面积A*对中性轴的静矩.
第七章
M * FN1 Sz Iz ' ' dFS t bdx
由平衡方程
对称截面直梁横力弯曲时的切应力
FN 2
M dM * Sz Iz
y
z x A1
Fx 0
'
FN 2 FN1 dFS 0
化简后得
FN2
dFS’
A
B1
B FN1
1dA
y
m’
思考: 能否假设 t (y) 沿截面宽度均匀分布?
第七章
对称截面直梁横力弯曲时的切应力
一、梁横截面上的切应力
1.矩形截面梁 (1)两个假设
(a)切应力与剪力平行 (b) 切 应 力 沿 横 截 面 宽 度 均 匀 分 布 (即矩中性轴等距离处剪应力相等)
(2)分析方法
F1
F2
q(x)
第七章
对称截面直梁横力弯曲时的切应力
第一类危险点：
安全
F A C
M max 158MPa [ ] max Wz
第二类危险点：
F
5m
安全
B
FS max R A F 30kN
查型钢表中,20a号工字钢,有
FSmax
Iz S
τ max
* z max
17.2cm
*
d=7mm
F S max S z ,max = = Izd
脆性材料：
塑性材料：
τ max ≤ [σ ]
σ r 3 = τ max ≤ [σ ] / 2 σ r 4 = τ max ≤ [σ ] / 3
第七章
梁
的
强
度
设
计
及
计
算
四、强度设计准则
1.第一类危险点
2.第二类危险点
3.第三类危险点 脆性材料：
1 2 3 4
5
σ 1 2 2 σ1 = + σ + 4τ 2 2 σ2 = 0 σ 1 σ3 = σ 2 + 4τ 2 2 2
τmax
τ
max
B y
τ max
FS ≈ bh
z
y
o
τmin
第七章
对称截面直梁横力弯曲时的切应力
一、梁横截面上的切应力
1.矩形截面梁
2.工字形截面梁
（1）腹板的切应力 （2）翼缘的应力
切应力很小忽略不计 主要承受正应力
x
H h
o
z
b H h z
x B y
o
B y
第七章
对称截面直梁横力弯曲时的切应力 d
F S max = 24.9MP a < [τ ] Iz ( * )d S z ,max
[例] 简支梁AB如图所示.l＝2m,a＝0.2m.梁上的载荷为q＝10kN/m, F＝200kN.材料的许用应力为[σ]=160MPa,[τ]＝100MPa.试选择工字 钢型号. 解 (1)计算支反力做内力图. (2)根据第一类危险点 选择工字钢型号
A
a
C
F
q E l
F
D
a B
RA
RB
M max 45 103 3 210kN Wz 281 cm [ ] 160 106
208kN
查型钢表,选用22a工字钢,其 Wz＝309cm3
8kN
41.8kN· m
45kN· m
41.8kN· m
[例] 简支梁AB如图所示.l＝2m,a＝0.2m.梁上的载荷为q＝10kN/m, F＝200kN.材料的许用应力为[σ]=160MPa,[τ]＝100MPa.试选择工字 钢型号. 解 (1)计算支反力做内力图. (2)根据第一类危险点
o
k k'
一、梁横截面上的切应力
1.矩形截面梁
2.工字形截面梁
3. 圆截面梁
假设 (a)沿宽度kk’上各点处的切应力均汇交于o’点 (b)各点处切应力沿y方向的分量沿宽度相等 z
o'
y
最大切应力发生在中性轴上
τ max
4 FS = 3 A
在截面边缘上各点的切应 力的方向与圆周相切。
第七章
对称截面直梁横力弯曲时的切应力
z
b H h z x
FS S z* FS [B(H 2 - h2 ) + b(h2 - 4y2 )] τ= = I zb 8I z b
y O
o
B y
A
*
y
第七章
对称截面直梁横力弯曲时的切应力
一、梁横截面上的切应力
1.矩形截面梁
t max
2.工字形截面梁
（1）腹板的切应力
(a) 腹板上的切应力沿腹板高度按二 次抛物线规律变化 (b) 最大切应力也在中性轴上 F
m
dM S * t z dx I z b dM FS dx
n
FS S t Izb
* z
第七章
对称截面直梁横力弯曲时的切应力
FS S z t I zb
Iz
b
*
整个横截面对中性轴的惯性矩 矩型截面的宽度
y
A
*
z
S
* z
距中性轴为y的横线以外部分横截面面积对中性轴的静矩
(4) 切应力沿截面高度的变化规律
O A1 B1 A
x
m1
B
y
m
n
切应力沿截面高度按抛物线规律变化.
第七章
对称截面直梁横力弯曲时的切应力
FS S z FS h 2 t ( y ) I zb 2Iz 4
y=±h/2(即在横截面上距中性轴最远处) τ=0 y=0(即在中性轴上各点处),切应力达到最大值 FS h2 FS h2 3 FS t max 3 2 bh 8 I z 8 bh 12
a
A C E l D
F
q
F
a B
22a工字钢 选择工字钢型号
（3）第二类危险点校核 查表得
Iz
* Sz max
210kN
208kN
18.9cm ,
8kN
腹板厚度 d=0.75cm，
t max
25b工字钢 41.8kN· m
45kN· m
41.8kN· m
FS max S z 210 103 max I zb 18.9 10 2 0.75 10 2
FS BH 2 h2 ( B b) Izb 8 8
τ max = FS S* z max Izb FS = Iz b SZ
* S FS S z [B(H 2 - h2 ) + b(h2 - 4y2 )] τ= = I zb 8I z b
H h z
b x τ τ ≈ min o max
m，
z h y A1
一、梁横截面上的切应力
1.矩形截面梁 (2)分析方法
(a)用横截面m-m , n-n从梁中截 取dx一段。
两横截面上的弯矩不等，所以 两截面同一y处的正应力也不等。
n’
m
o
B1 A n b m q(x) dx
n x
B
m，
Fs
Fs
F1
y F2 m
n
M+dM
′ σ′ a dA
M
σ′ a dA
148MPa [t ] 100MPa
20
A 2a
B
a
C
υ14 30
解 (1)作出弯矩图
危险面弯矩：Fa (3)求许可载荷
(2)求惯性矩，抗弯截面系数
(3cm)(2cm)3 (1.4cm)(2cm)3 Iz 1.07cm4 12 12
1.07cm4 Wz 1.07cm4 ymax 1cm Iz
M max Wz [ ]
第七章
对称截面直梁横力弯曲时的切应力
引言：问题的提出
19世纪，铁路开始发展，人们很不理解，枕 木为什么沿纵向中截面开裂？
俄国桥梁与铁路工程师，发展了现在广泛应用的梁 的剪切近似理论
第七章
对称截面直梁横力弯曲时的切应力
通过观察
h 2
FS
C
t y
z
y
h 2
x
dx
b 2 b 2
y
t (y) // 截面侧边，并沿截面宽度均匀分布
qa2/2
x
第七章
梁
的
强
度
设
计
及
计
算
四、强度设计准则
1.第一类危险点
σ1 > 0; σ 2 = σ3 = 0
2.第二类危险点
σ1 = σ 2 = 0; σ3 < 0
1 2 3 4
5
σ r1 = σ r 2 = σ r 3 = σ r 4 ≤ [σ ]
σ1 = τ max ; σ 2 = 0; σ3 = -τ max
[例] 螺栓压板夹紧装置如图所示.已知板长3a＝150mm，压板 材料的弯曲许用应力[σ]＝140MPa.试计算压板传给工件的最 大允许压紧力F. F FRB
FRA
20
A 2a
B a
C
υ14 30
解 (1)作出弯矩图
危险面弯矩：Fa
Fa
[例] 螺栓压板夹紧装置如图所示.已知板长3a＝150mm，压板 材料的弯曲许用应力[σ]＝140MPa.试计算压板传给工件的最 大允许压紧力F. F
M max 37.5kN m
力 P 在梁中间位置时有最大正应力 . 第一类危险点： A 2.5m 5m 37.5kN· m
F F
C B
由型钢表查得20a工字钢的
W z 237cm
3
max
M max 158MPa [ ] Wz
[例] 一简易起重设备如图所示.起重量(包含电葫芦自重)F = 30 kN. 跨长l = 5 m.吊车大梁AB由20a工字钢制成.其许用弯曲正应力 []=170MPa,许用弯曲剪应力[t]= 100MPa ，试校核梁的强度。
FN1 * 1dA A

A*
A1

FN2
M dM * * 2dA Sz A Iz
M * Sz Iz
My1 M dA Iz Iz
A
*
y1dA
FN1
1dA
dFS’ A m’
B1 B FN2
y m 式中：S z* y1dA
A*
n
A*为距中性轴为y的横线以外部分 的横截面面积
一、危险面
梁
的
强
度
设
计
及 q
计
算
1.最大弯矩截面 2.最大剪力截面 3.弯矩、剪力均较大截面
二、危险点
qa 2 C D x
A
Байду номын сангаас
B qa
Fs
qa/2 qa/2
1.最大正应力 2.最大切应力
第一类危险点
qa/2
qa2/2
第二类危险点 M 3.正应力、切应力均较大 第三类危险点
3qa2/8
三、计算原则
qa2/2
B
τ’ τ
A
m’ n
m
y
b m
n
dx
根据假设 横截面上距中性轴等远的各点处切应力大小相等。各点的切应 力方向均与截面侧边平行，取分离体的平衡即可求出。
第七章
(3)公式推导
对称截面直梁横力弯曲时的切应力
z x
假设m-m，n-n上弯矩为M和M+dM。两 截面上距中性轴 y1 处的正应力为1 和2. y
m n (b)假想地从梁段上截出体积元素 mB1， x dx
第七章
对称截面直梁横力弯曲时的切应力
一、梁横截面上的切应力
1.矩形截面梁 (2)分析方法
(a)用横截面m-m , n-n从梁中截 取dx一段。
FN 2 - FN1 - dFs′ =0
z
y x
A1
(b)假想地从梁段上截出体积元素mB1
在两端面mA1，nB1上两个法向内力不等。
一、梁横截面上的切应力
1.矩形截面梁
2.工字形截面梁
3. 圆截面梁 4.薄壁圆环形截面梁
环壁厚度为 ,环的平均半径为r0, 由于 « r0
假设：(a) 横截面上切应力的大小沿壁厚无变化. (b) 切应力的方向与圆周相切.
τ max
z
y
δ
横截面上最大的剪应力发生中性轴上
t max
FS 2 A
第七章
FN1 m’
y
A
dFS’
B1
n’ m
B FN2
n
(c)在纵截面上有沿 x 方向切向内力dFs’，故在此面上就有切应力τ’ Fs Fs
M+dM
M
σ′ a dA ′ σ′ a dA
第七章
z y A1
对称截面直梁横力弯曲时的切应力
m’
x z B1 B h y
m o
B1
n
FN1
dFS’
A
m’
y
FN2
A1
x
t 沿截面高度的变化由静矩 S * 与y之间的关系确定 z
第七章
对称截面直梁横力弯曲时的切应力
S z * y1dA
* A
h/ 2
z
b h 2 y1bdA ( y )dy y 2 4 * 2 FS S z FS h 2 t ( y ) I zb 2Iz 4
*
2
y1
1
y
τmax
*
2
z
t max
3FS 2A
式中, A=bh,为矩形截面的面积.
第七章
对称截面直梁横力弯曲时的切应力
一、梁横截面上的切应力
1.矩形截面梁
2.工字形截面梁
（1）腹板的切应力
FS S t I b z b—— 腹板的宽度
* z
* z
S —— 距中性轴为y的横线以外部分的
横截面面积A*对中性轴的静矩
Fa Wz [ ] Wz [ ] F 3kN a
[例] 一简易起重设备如图所示.起重量(包含电葫芦自重)F = 30 kN. 跨长l = 5 m.吊车大梁AB由20a工字钢制成.其许用弯曲正应力 []=170MPa,许用弯曲剪应力[t]= 100MPa ，试校核梁的强度。
解：此吊车梁可简化为简支梁
σ 1 + σ 2 + 4τ 2 ≤ [σ ] 2 2
塑性材料：
σ r 3 = σ 2 + 4 τ 2 ≤ [σ ]
σ r 4 = σ 2 + 3τ 2 ≤ [σ ]
第七章
梁
的
强
度
设
计
及
计
算
四、强度设计准则
1.第一类危险点
2.第二类危险点
3.第三类危险点
4.需要校核切应力的几种特殊情况
（1）梁的跨度较短,M 较小,而FS较大时,要校核剪应力。 （2）铆接或焊接的组合截面,其腹板的厚度与高度比小于型钢的相应比值时, 要校核剪应力。 （3）各向异性材料(如木材)的抗剪能力较差,要校核剪应力。