高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.2.2复数代数形式的乘除运算课时提升作业11_2
高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.2.2 复数代数形式的乘除运算教案1 新人教A版选修2
高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.2.2 复数代数形式的乘除运算教案1 新人教A版选修2-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.2.2 复数代数形式的乘除运算教案1 新人教A版选修2-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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3.2.2 复数代数形式的乘除运算一、教学目标：1。
知识目标:（1)掌握复数代数形式的乘法与除法的运算法则，会进行乘法与除法运算；（2）理解共轭复数的概念,并会用它及其性质求解相关问题；（3)掌握复数的乘法所满足的运算律，并能应用它们熟练地进行的四则运算．2.能力目标：通过类比实数的四则运算的规律或向量的运算规律，得到复数加减运算的法则，同时了解复数加减法运算的几何意义．3。
情感态度价值观：通过探究复数加减运算法则的过程，感悟由特殊到一般的思想，同时由向量的加减法与复数的类比,理解复数加减的运算法则，知道事物之间是普遍联系的哲学规律．二、重点难点：重点:复数乘除法运算及其应用．。
难点:复数乘除法运算的几何意义．三、学习新知：阅读课本， 找出疑惑之处，并自主探究下列问题:1。
复数乘除法运算的法则？2.复数乘除满足的运算律?3。
复数乘除法运算的几何意义?四、教学过程：1、课前准备⑴设12i,i z a b z c d =+=+，则12z z =___________,12z z =___________． ⑵对于123,,C z z z ∈有12z z =___________，123()z z z =___________，123()z z z +=___________． ⑶一般地，当两个复数的实部___________，虚部___________时，这两个复数叫做互为共轭复数．虚部不为零的两个共轭复数也叫做___________．设i z a b =+，则z =___________． ⑷已知12,z z 是共轭复数，那么①若12,z z 是共轭虚数，在复平面内，12,z z 所对应的点关于___________对称;②12z z =___________．2、学习引领(1）乘法运算的解读复数代数形式的乘法运算也并不繁琐，两个复数相乘,只要按照多项式的乘法进行,并将i 的平方换成1-，最后将结果整理成i(,R)a b a b +∈的形式即可．（2）除法运算的解读复数代数形式的除法运算，要求掌握除法运算的一般规律：分子分母同乘以分母的共轭复数，然后分子运用复数代数形式的乘法运算进行化简,而分母则运用z z =2||z 进行化简,最后将结果整理成i(,R)a b a b +∈的形式即可．(3）共轭复数的解读共轭复数是复数集中比较重要且具有独特性质的复数,应注意它的几何特性：关于是轴对称；代数特性：实部相等，虚部互为相反数．这正是建立方程组的出发点．②实数a 的共轭复数仍然是a 本身,即C z ∈，z z z R =⇔∈，这是判断一个数是否是实数的一个准则．(4）复数运算中i n 的周期性:4414243i 1,i i,i 1,i i n n n n +++===-=-．3、典例导析题型一 复数的乘法基本运算例1计算 ⑴2(1+i)(1i)(1+i)--； ⑵(12i)(34i)(56i)4i +++-．思路导析：解答本题只要熟练运用复数的乘法法则及乘法运算律（乘法公式)即可求解． 解析：⑴2(1+i)(1i)(1+i)--2221i (12i i )=--++22i =-．⑵(12i)(34i)(56i)4i +++-2(34i 6i 8i )(56i)4i =++++-(510i)(56i)4i =-++-22530i 50i 60i 4i =--++-8516i =-+．规律总结：三个或三个以上的复数相乘可按从左到右的顺序运算或利用结合律运算，混合运算与实数的运算一样；对于能够使用乘法公式计算的两个复数的乘法，用乘法公式更简便,如平方差公式，完全平方公式等．【变式练习1】计算⑴2(1i)-； ⑵(13i)(34i)-+-;题型二 复数的除法基本运算例2计算 ⑴(2i)(2i)-÷+；⑵i(2i)12i+-． 思路导析：熟练掌握除法运算法则，将分母实数化解决本题． 解析：⑴2i (2i)(2i)2i --÷+=+222(2i)54i 41i 2i55--===--． ⑵解法一：22i(2i)2i 1(2i 1)(12i)5112i 12i 1(2i)5+--+-====----． 解法二:i(2i)2i 1(12i)112i 12i 12i+---===----． 规律总结：进行复数的除法,通常从两方面计算：①运用复数除法法则“分母实数化”;②逆（或正）用乘法运算律，整体处理；如i i(i)i(i)=(i)a b b a b a a b +=-=--+---．【变式练习2】计算⑴i 2i -；⑵1i 1i-+． 题型三 共轭复数及应用例3 已知复数222(32)i()x x x x x R +-+-+∈是420i -的共轭复数，求x 的值．思路导析：利用共轭复数的概念：实部相等,虚部互为相反数，建立方程组求解x 的值．解析：由题意得，2224,3220,x x x x ⎧+-=⎪⎨-+=⎪⎩解之得3x =-． 故x 的值为3-．规律总结:对于共轭复数及应用型问题，通常抓住共轭复数的代数特征，建立方程进行求解．【变式练习3】若2i x y -+和3i x -互为共轭复数,则实数,x y 的值为（）（A ）3，3 （B ）5,1 （C ）1,1-- （D ）1,1-题型四 简单的复数方程例4 证明:在复数范围内，方程255i (1i)(1i)2iz z z -+--+=+(i 为虚数单位）无解． 思路导析：利用复数相等将复数方程转化为实数方程组进行证明． 证明：原方程化简为2(1i)(1i)13i z z z +--+=-，设i(,)z x y x y R =+∈，则i z x y =-， 代入上述方程得22(22)i 13i x y x y +-+=-,∴221,(22)3,x y x y ⎧+=⎨-+=-⎩整理得281250x x -+=．因2(12)485160∆=--⨯⨯=-<，∴方程无实数解，∴原方程在复数范围内无解．规律总结：处理复数方程问题，一般是设出复数z的代数形式，利用四则运算整理方程，然后复数相等的充要条件转化为代数方程组进行求解．【变式练习4】已知C-=+．zz zz∈,解方程3i13i。
高中数学第3章数系的扩充与复数的引入3.23.2.2复数代数形式的乘除运算学案(含解析)新人
3。
2.2复数代数形式的乘除运算学习目标核心素养1。
掌握复数代数形式的乘法和除法运算．(重点、难点)2．理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律．（易混点)3．了解共轭复数的概念．（难点)1．通过学习复数乘法的运算律，培养逻辑推理的素养．2．借助复数代数形式的乘除运算，提升数学运算的素养。
1．复数代数形式的乘法法则（1)复数代数形式的乘法法则已知z1＝a＋b i,z2＝c＋d i,a，b,c,d∈R，则z1·z2＝（a＋b i)(c＋d i）＝（ac－bd）＋（ad＋bc）i。
思考1：复数的乘法与多项式的乘法有何不同?［提示］复数的乘法与多项式乘法是类似的，有一点不同即必须在所得结果中把i2换成－1，再把实部、虚部分别合并．（2)复数乘法的运算律对于任意z1，z2，z3∈C，有交换律z1·z2＝z2·z1结合律（z1·z2）·z3＝z1·（z2·z3)乘法对加法的分配律z1（z2＋z3）＝z1·z2＋z1·z3思考2：｜z|22,正确吗？[提示]不正确．例如,|i｜2＝1，而i2＝－1。
2．共轭复数如果两个复数满足实部相等，虚部互为相反数时,称这两个复数为共轭复数，z的共轭复数用错误!表示．即z＝a＋b i,则错误!＝a－b i.3．复数代数形式的除法法则(a＋b i）÷(c＋d i）＝错误!＋错误!i(c＋d i≠0)1．复数(3＋2i）i等于（）A．－2－3i B．－2＋3iC．2－3i D．2＋3iB［（3＋2i)i＝3i＋2i·i＝－2＋3i，选B。
］2．设z＝错误!,则｜z｜＝（）A．2 B．错误!C． 2 D．1C[由z＝错误!，得|z|＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!.故选C.］3．若x－2＋y i和3x－i互为共轭复数，则实数x＝____________，y＝________。
高中数学第三章数系的扩充和复数的引入3.2复数代数形式的四则运算3.2.2复数代数形式的乘除运算课后
高中数学第三章数系的扩充和复数的引入3.2复数代数形式的四则运算3.2.2复数代数形式的乘除运算课后课时精练新人教A 版选修221230029A 级：基础巩固练一、选择题1．若复数z 满足z i ＝1＋i ，则z 的共轭复数是( ) A ．－1－i B ．1＋i C ．－1＋i D ．1－i 答案 B解析 解法一：设复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z i ＝(a ＋b i)i ＝－b ＋a i ＝1＋i ，得a ＝1，b ＝－1，则z ＝1－i ，所以z －＝1＋i.解法二：复数z ＝1＋i i ＝(1＋i)(－i)＝1－i ，则z 的共轭复数z －＝1＋i.2．已知复数z 满足z (1＋i)＝－i ，则|z |＝( ) A.12 B.22 C ．1 D. 2 答案 B解析 因为z ＝－i 1＋i ＝－i 1－i 1＋i 1－i ＝－1－i 2，所以|z |＝22.3．复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于直线y ＝x 对称，且z 1＝3＋2i ，则z 1·z 2＝( ) A ．12＋13i B ．13＋12i C ．－13i D ．13i答案 D解析 因为复数z 1＝3＋2i 在复平面内对应的点关于直线y ＝x 对称的点表示的复数z 2＝2＋3i ，所以z 1·z 2＝(3＋2i)(2＋3i)＝13i.故选D.4．在复平面内，复数z ＝23－i ＋i 3对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 答案 D 解析 复数z ＝23－i ＋i 3＝23＋i 3－i 3＋i －i ＝3＋i 5－i ＝35－45i ，其在复平面上对应的点位于第四象限．5．已知a1＋i ＝1－b i ，其中a ，b 是实数，i 是虚数单位，则|a －b i|＝( )A ．3B ．2C ．5 D. 5 答案 D解析 a ＝(1－b i)(1＋i)＝1＋b ＋(1－b )i ，由复数相等的充要条件可知⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1＋b ，1－b ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，∴|a －b i|＝a 2＋b 2＝ 5.6．设复数z 1，z 2在复平面内的对应点关于虚轴对称，若z 1＝1－2i ，则z 2z 1的虚部为( ) A.35 B ．－35 C.45 D ．－45 答案 D解析 因为z 1，z 2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z 1＝1－2i ，所以z 2＝－1－2i ，z 2z 1＝－1－2i 1－2i ＝－1＋2i 1＋2i 1－2i 1＋2i ＝－－3＋4i 5＝35－45i ，所以其虚部为－45.二、填空题7．若复数(1＋a i)2(i 为虚数单位，a ∈R )是纯虚数，则复数1＋a i 的模是________． 答案2解析 因为(1＋a i)2＝1－a 2＋2a i 是纯虚数，所以1－a 2＝0且2a ≠0，所以a 2＝1，复数1＋a i 的模为1＋a 2＝ 2.8．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd ＝ad －bc ，则符合条件⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 －1z z i ＝4＋2i 的复数z ＝________.答案 3－i 解析 ∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 －1z z i ＝4＋2i ，∴z i ＋z ＝4＋2i ，即z (1＋i)＝4＋2i ，∴z ＝4＋2i 1＋i ＝3－i. 9．已知复数z ＝3＋i 1－3i2，z －是z 的共轭复数，则z ·z －＝________. 答案 14解析 z ＝3＋i 1－3i 2＝3＋i －2－23i＝－34＋i 4，所以z ·z －＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＋i 4·⎝ ⎛⎭⎪⎫－34－i 4＝14.三、解答题10．设z ＝12＋32i(i 是虚数单位)，求z ＋2z 2＋3z 3＋4z 4＋5z 5＋6z 6.解 z 2＝－12＋32i ，z 3＝－1，z 4＝－12－32i ，z 5＝12－32i ，z 6＝1， 所以原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋32i ＋(－1＋3i)＋(－3)＋(－2－23i)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫52－532i ＋6＝3－33i.B 级：能力提升练11．已知复数z 满足z ＝(－1＋3i)(1－i)－4. (1)求复数z 的共轭复数．(2)若w ＝z ＋a i ，且复数w 对应向量的模不大于复数z 所对应向量的模，求实数a 的取值范围．解 (1)z ＝－1＋i ＋3i ＋3－4＝－2＋4i ， 所以复数z 的共轭复数为－2－4i.(2)w ＝－2＋(4＋a )i ，复数w 对应向量为(－2,4＋a )， 其模为4＋4＋a2＝20＋8a ＋a 2.又复数z 所对应向量为(－2,4)，其模为2 5.由复数w 对应向量的模不大于复数z 所对应向量的模，得20＋8a ＋a 2≤20，a 2＋8a ≤0，a (a ＋8)≤0，所以实数a 的取值范围是－8≤a ≤0. 12．已知复数z 满足|z |＝2，z 2的虚部为2. (1)求复数z ；(2)设z ，z 2，z －z 2在复平面内对应的点分别为A ，B ，C ，求△ABC 的面积． 解 (1)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，由已知条件得：a 2＋b 2＝2，z 2＝a 2－b 2＋2ab i ， 所以2ab ＝2.所以a ＝b ＝1或a ＝b ＝－1，即z ＝1＋i 或z ＝－1－i.(2)当z ＝1＋i 时，z 2＝(1＋i)2＝2i ，z －z 2＝1－i ，所以点A (1,1)，B (0,2)，C (1，－1)，所以S △ABC ＝12|AC |×1＝12×2×1＝1.当z ＝－1－i 时，z 2＝(－1－i)2＝2i ，z －z 2＝－1－3i.所以点A (－1，－1)，B (0,2)，C (－1，－3)，所以S △ABC ＝12|AC |×1＝12×2×1＝1，即△ABC 的面积为1.。
高中数学第3章数系的扩充与复数的引入3.2复数代数形式的四则运算3.2.2复数代数形式的乘除运算
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由于2－z i是实数，则 15（x－4）＝0 ②， 解得 x＝4，(5 分) 所以 z＝4－2i，(6 分) 所以(z＋ai)2＝(4－2i＋ai)2 ＝(12＋4a－a2)＋8(a－2)i.(8 分) 由(z＋ai)2 在复平面内对应的点在第一象限可得 12＋4a－a2>0，且 8(a－2)>0，③(9 分) 解得 2<a<6，(11 分) 所以实数 a 的取值范围是(2，6)．(12 分)
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2．复数乘法(chéngfǎ)的运算律 复数的乘法满足交换律、结合律及乘法对加法的分配 律： 交换律：z1·z2＝z2·z1； 结合律：(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)； 分配律：z1·(z2＋z3)＝z1·z2＋z1·z3.
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●规律方法 共轭复数是复数集中比较重要且具有独特性质 的 (xìngzhì) 复数，应注意它的几何特征：关于实轴对称；代数特征： 实部相等，虚部互为相反数．
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变式训练
2．(1)设 i 是虚数单位，－z 是复数 z 的共轭复数，若 z·－z i＋
2＝2z，则 z 等于
(2)1－1 i＝1＋2 i＝12＋12i，其共轭复数为12－12i，对应的点为
12，－12，故选 D.
答案(dáàn) (1)A
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(2)D
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短板补救案·素养培优
规范解答(十一) 复数的运算(yùn suàn)与几何意义的综合应用
典题示例
【典例】 (12 分)已知 z是复数，z＋2i，2－z i均为实数 ， 且 复数（z＋ai）2在复平面内对应的点在第一象限 ，求实数 a 的取值范围．
高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.2 复数代数形式的四则运算 3.2.1 复数代数形式的
高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.2 复数代数形式的四则运算3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义教案3 新人教A版选修1-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.2 复数代数形式的四则运算3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义教案3 新人教A版选修1-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.2 复数代数形式的四则运算3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义教案3 新人教A版选修1-2的全部内容。
3.2.1复数代数形式的加法、减法及其几何意义教学过程一、推进新课：１．复数z 1与z 2的和的定义：z 1+z 2=（a +bi )+（c +di )=(a +c )+(b +d ）i 。
2. 复数z 1与z 2的差的定义：z 1—z 2=(a +bi )—（c +di )=(a —c ）+(b -d ）i 。
3。
复数加法的几何意义:1OZ 、2OZ ，即设复数z 1=a +bi ，z 2=c +di ，在复平面上所对应的向量为1OZ 、2OZ 的坐标形式为1OZ =（a ，b ),2OZ =（c ,d )以1OZ 、2OZ 为邻边作平行四边形OZ 1ZZ 2，则对角线OZ 对应的向量是OZ 为z 1+z 2，∴OZ = 1OZ +2OZ =(a ，b )+(c ，d ）=（a +c ，b +d )＝(a +c ）+（b +d )i4. 复数减法的几何意义：复数减法是加法的逆运算，设z =（a －c )+(b －d )i ，所以z －z 1= z 2，z 2+z 1=z ，由复数加法几何意义，以OZ 为一条对角线，1OZ 为一条边画平行四边形，那么这个平行四边形的另一边OZ 2所表示的向量2OZ 就与复数z －z 1的差（a －c ）+(b －d ）i 对应由于21OZ Z Z ，所以，两个复数的差z －z 1与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应。
高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.2复数代数形
2．归纳总结，核心必记 (1)复数的乘法法则 设 z1＝a＋bi，z2＝c＋di 是任意两个复数，那么它们的积(a ＋bi)(c＋di)＝ac＋bci＋adi＋bdi2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i .
(2)复数乘法的运算律 对于任意 z1，z2，z3∈C，有
交换律 结合律 乘法对加法的分配律
＝1－i2＋(－1＋i)＝2－1＋i＝1＋i.
(2)－12＋ 23i 23＋12i(1＋i)
＝－ 43－ 43＋34－14i(1＋i)
＝－ 23＋12i(1＋i)
＝－ 23－12＋12－ 23i
＝6＋13i－46－＋69＋13i＋6＝2163i＝2i.
法二：32＋－23ii－32－＋23ii＝i22－－33ii－－2i＋2＋3i3i
＝i＋i＝2i.
复数乘除运算的常用技巧 (1)按照复数的乘法法则，三个或三个以上的复数相乘 可按从左到右的顺序运算或利用结合律运算，混合运算和实 数的运算顺序一致，在计算时，若符合乘法公式，则可直接 运用公式计算． (2)根据复数的除法法则，通过分子、分母都乘以分母 的共轭复数，使“分母实数化”，这个过程与“分母有理 化”类似．
[思考] 若 z＝a＋bi(a，b∈R)，则 z ，z·z 各为何 值？
名师指津： z ＝a－bi，z·z ＝a2＋b2.
讲一讲
2．(1)若 z＝1＋i 2i，则复数 z ＝(
)
)如图，在复平面内，点 A 表示复数 z，则图中表
示 z 的共轭复数的点是( )
(4)若 z1 与 z2 互为共轭复数，则|z1|与 |z2|之间有什么关系？
提示：|z1|＝|z2|.
(5)复数的除法，其实质是分母实数 化，即把分子和分母同乘以一个什么样 的数？
高中数学第三章数系的扩充和复数的引入3.2复数代数形式的四则运算3.2.2复数代数形式的乘除运算讲义
高中数学第三章数系的扩充和复数的引入3.2复数代数形式的四则运算3.2.2复数代数形式的乘除运算讲义新人教A 版选修22123003111．复数的乘法法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i 是任意两个复数，那么它们的积(a ＋b i)(c ＋d i)＝□01(ac －bd )＋(ad ＋bc )i.可以看出，两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把i 2换成□02－1，并且把实部和虚部分别合并．2．复数的乘法运算律设z 1＝a 1＋b 1i ，z 2＝a 2＋b 2i ，z 3＝a 3＋b 3i ，有 交换律：z 1·z 2＝z 2·z 1；结合律：(z 1·z 2)·z 3＝z 1·(z 2·z 3)； 分配律：z 1(z 2＋z 3)＝z 1z 2＋z 1z 3. 3．共轭复数一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为□03共轭复数．虚部不等于0的两个共轭复数也叫□04共轭虚数． 4．复数除法的法则(a ＋b i)÷(c ＋d i)＝□05ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad c 2＋d 2i (c ＋d i≠0)． 由此可见，两个复数相除(除数不为0)，所得的商是一个确定的复数．共轭复数的性质(1)两个共轭复数的对应点关于实轴对称． (2)实数的共轭复数是它本身，即z ＝z －⇔z ∈R . 利用这个性质，可以证明一个复数是实数． (3)z ·z －＝|z |2＝|z －|2∈R .z 与z －互为实数化因式．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个复数互为共轭复数是它们的模相等的必要条件．( ) (2)若z 1，z 2∈C ，且z 21＋z 22＝0，则z 1＝z 2＝0.( ) (3)两个共轭虚数的差为纯虚数．( ) 答案 (1)× (2)× (3)√ 2．做一做(1)复数3i ＋1＝________.(2)复平面内，复数z ＝2i1＋i(i 为虚数单位)的共轭复数对应的点位于第________象限． (3)复数2－1i 的共轭复数是________．答案 (1)32－32i (2)四 (3)2－i探究1 复数的乘除运算例1 (1)复数3＋2i 2－3i －3－2i2＋3i ＝( )A ．0B ．2C ．－2iD ．2i(2)若复数z 1＝4＋29i ，z 2＝6＋9i ，其中i 是虚数单位，则复数(z 1－z 2)·i 的实部为________．[解析] (1)解法一：3＋2i 2－3i －3－2i2＋3i ＝3＋2i2＋3i －3－2i 2－3i2－3i 2＋3i＝6＋13i －6－6＋13i ＋64＋9＝26i13＝2i.解法二：3＋2i 2－3i －3－2i 2＋3i ＝i 2－3i 2－3i －－i 2＋3i2＋3i＝i ＋i ＝2i.(2)(z 1－z 2)·i＝[(4＋29i)－(6＋9i)]·i＝(－2＋20i)·i＝－20－2i ， ∴(z 1－z 2)·i 的实部为－20. [答案] (1)D (2)－20 拓展提升(1)复数的乘法可以把i 看作字母，按多项式乘法的法则进行，注意要把i 2化为－1，进行最后结果的化简．复数的除法先写成分式的形式，再把分母实数化(方法是分母与分子同时乘以分母的共轭复数，若分母是纯虚数，则只需同时乘以i)．(2)实数集中的乘法公式、幂的运算律，因式分解方法等在复数集中仍成立．【跟踪训练1】 计算：(1)(－2＋3i)÷(1＋2i)； (2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i. 解 (1)原式＝－2＋3i 1＋2i ＝－2＋3i1－2i1＋2i 1－2i＝－2＋6＋3＋4i 12＋22＝45＋75i. (2)原式＝(3＋11i)(3－4i)＋2i ＝53＋21i ＋2i ＝53＋23i. 探究2 共轭复数例2 z －是z 的共轭复数，若z ＋z －＝2，(z －z －)i ＝2(i 为虚数单位)，则z ＝( ) A ．1＋i B ．－1－i C ．－1＋iD ．1－i[解析] 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z －＝a －b i ，又z ＋z －＝2，即(a ＋b i)＋(a －b i)＝2，所以2a ＝2，解得a ＝1.又(z －z －)i ＝2，即[(a ＋b i)－(a －b i)]·i＝2，所以b i 2＝1，解得b ＝－1.所以z ＝1－i.[答案] D 拓展提升(1)复数的代数形式为z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，其中a 为实部、b 为虚部．两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数，即z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的共轭复数就是z －＝a －b i(a ，b ∈R )．(2)对于复数的四则运算：加、减、乘运算按多项式运算法则计算，除法运算需把分母实数化来进行．【跟踪训练2】 已知复数z ＝1＋i ，求实数a ，b ，使az ＋2b z －＝(a ＋2z )2. 解 因为z ＝1＋i ，所以az ＋2b z －＝(a ＋2b )＋(a －2b )i ，(a ＋2z )2＝(a ＋2)2－4＋4(a ＋2)i ＝(a 2＋4a )＋4(a ＋2)i.因为a ，b 都是实数，所以由az ＋2b z －＝(a ＋2z )2，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＝a 2＋4a ，a －2b ＝4a ＋2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－2，b 1＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝－4，b 2＝2.所以所求实数为a 1＝－2，b 1＝－1或a 2＝－4，b 2＝2. 探究3 复数i n的周期性运算 例3 计算：(1)2＋2i 1－i 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋i 2020； (2)1＋i ＋i 2＋i 3＋…＋i 2019.[解] (1)2＋2i 1－i 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋i 2020＝2＋2i －2i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22i 1010＝i(1＋i)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1i 1010＝－1＋i ＋(－i)1010＝－1＋i －1＝－2＋i.(2)解法一：∵i n＋in ＋1＋in ＋2＋in ＋3＝0，n ∈N *，∴1＋i ＋i 2＋i 3＋…＋i 2019＝1＋i ＋i 2＋(i 3＋i 4＋i 5＋i 6)＋(i 7＋i 8＋i 9＋i 10)＋…＋(i2015＋i2016＋i2017＋i2018)＋i2019＝1＋i ＋i 2＋i 3＝0.解法二：1＋i ＋i 2＋…＋i 2019＝1－i 20201－i ＝1－i 505×41－i ＝1－11－i＝0.拓展提升i n (n ∈N *)的性质根据复数乘法法则，容易得到i 的n 次幂的计算法则， 即n ∈N *时，i 4n＝1，i 4n ＋1＝i ，i4n ＋2＝－1，i4n ＋3＝－i ，其中i 0＝1，i －n ＝1in (n ∈N *)．另外，i 4n＋i4n ＋1＋i4n ＋2＋i 4n ＋3＝0.【跟踪训练3】 (1)当z ＝－1－i 2时，z 100＋z 50＋1的值等于( )A ．1B ．－1C ．iD ．－i (2)计算⎝⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 6＋2＋3i 3－2i的值为________．答案 (1)D (2)－1＋i解析 (1)∵z 2＝⎝⎛⎭⎪⎫－1－i 22＝－2i 2＝－i ，∴z 100＋z 50＋1＝(－i)50＋(－i)25＋1 ＝[(－i)2]25＋(－i)＋1＝－1－i ＋1＝－i.(2)原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋i226＋2＋3i 3＋2i3＋2＝i 6＋6＋2i ＋3i －65＝－1＋i.1.复数代数形式的乘除运算(1)复数代数形式的乘法类似于多项式乘以多项式，复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律.(2)在进行复数代数形式的除法运算时，通常先将除法写成分式的形式，再把分子、分母都乘以分母的共轭复数，化简后可得，类似于以前学习的分母有理化.2.共轭复数性质可以用来解决一些复数问题.3.复数问题实数化思想复数问题实数化是解决复数问题的基本思想方法，其桥梁是设复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，利用复数相等的充要条件转化.1．复数i(2－i)＝( ) A ．1＋2i B ．1－2i C ．－1＋2i D ．－1－2i答案 A解析 i(2－i)＝2i －i 2＝1＋2i.选A. 2．复数21－i等于( )A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i 答案 A 解析21－i ＝21＋i 1－i 1＋i＝21＋i2＝1＋i ，∴选A. 3．(1＋i)2－2－i 2＋i ＝________.答案 －35＋145i解析 (1＋i)2－2－i 2＋i ＝2i －2－i25＝－35＋145i.4．(1－2i)(3＋4i)(－1＋i)＝________. 答案 －9＋13i解析 (1－2i)(3＋4i)(－1＋i)＝(11－2i)(－1＋i)＝－9＋13i.5．把复数z 的共轭复数记作z －，已知i·z －＝4＋3i ，求z z－.解 由i·z －＝4＋3i 得z －＝4＋3ii ＝3－4i ，所以z ＝3＋4i.所以z z－＝3＋4i 3－4i ＝3＋4i 23－4i 3＋4i ＝－7＋24i25.。
高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.2复数代数形式的四则运算3.2.2复数代数形式的乘除运算课时
高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.2复数代数形式的四则运算3.2.2复数代数形式的乘除运算课时作业含解析新人教A 版选修12课时作业41一、选择题1．[2013·湖南高考]复数z ＝i·(1＋i)(i 为虚数单位)在复平面上对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限解析：z ＝i ＋i 2＝－1＋i 的对应点为(－1,1)，此点位于第二象限，故选B. 答案：B2．设i 是虚数单位，复数1＋a i2－i 为纯虚数，则实数a 为( )A ．2B ．－2C ．－12D.12解析：法一：1＋a i2－i＝1＋a i 2＋i2－i2＋i＝2－a ＋2a ＋1i5为纯虚数，所以2－a ＝0，a ＝2，故选A.法二：1＋a i 2－i ＝i a －i 2－i 为纯虚数，所以a ＝2，故选A. 答案：A3．[2013·课标全国卷Ⅱ]设复数z 满足(1－i)z ＝2i ，则z ＝( ) A. －1＋i B. －1－i C. 1＋i D. 1－i解析：z ＝2i 1＋i1－i 1＋i＝－1＋i ，故选A.答案：A4．[2012·课标全国卷]下面是关于复数z ＝2－1＋i的四个命题：p 1：|z |＝2，p 2：z 2＝2i ，p 3：z 的共轭复数为1＋i ， p 4：z 的虚部为－1.其中的真命题为( ) A. p 2，p 3 B. p 1，p 2 C. p 2，p 4 D. p 3，p 4解析：z ＝2－1＋i＝2－1－i －1＋i －1－i＝－1－i ，所以|z |＝2，p 1为假命题；z2＝(－1－i)2＝(1＋i)2＝2i ，p 2为真命题；z ＝－1＋i ，p 3为假命题；p 4为真命题．故选C.答案：C 二、填空题5．[2012·上海高考]计算：3－i1＋i＝________(i 为虚数单位)． 解析：3－i 1＋i ＝3－i 1－i 1＋i 1－i ＝2－4i2＝1－2i. 答案：1－2i6．若n ∈N *，则(1＋i 2)4n ＋(1－i 2)4n ＝__________.解析：∵(1＋i 2)4＝i 2＝－1，(1－i 2)4＝(－i)2＝－1， ∴(1＋i 2)4n ＋(1－i 2)4n ＝(－1)n ＋(－1)n.(1)当n 是奇数时，原式＝－2. (2)当n 是偶数时，原式＝2.答案：⎩⎪⎨⎪⎧－2 n 是奇数2 n 是偶数7．若z ＝i －1是方程z 2＋az ＋b ＝0的一个根，则实数a ，b 的值分别为__________，__________.解析：把z ＝i －1代入方程z 2＋az ＋b ＝0，得(－a ＋b )＋(a －2)i ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋b ＝0，a －2＝0，解得a ＝2，b ＝2. 答案：2 2三、解答题8．计算－23＋i 1＋23i ＋(21＋i )2014＋4－8i2－－4＋8i 24＋3i.解：原式＝i23i ＋11＋23i＋(22i )1007＋ 4－8i2－4－8i 24＋3i＝i ＋(－i)1007＋04＋3i＝i ＋i ＋0＝2i. 9．复数z ＝1＋i2＋31－i 2＋i ，若z 2＋a z<0，求纯虚数a .解：z ＝1＋i2＋31－i 2＋i ＝2i ＋3－3i 2＋i ＝3－i2＋i＝1－i.∵a 为纯虚数，∴设a ＝m i(m ≠0)，则z 2＋a z ＝(1－i)2＋m i 1－i ＝－2i ＋m i －m2＝－m 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m2－2i<0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－m 2<0，m 2－2＝0，∴m ＝4.∴a ＝4i.。
高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.2.2 复数代数形式的乘除运算教案2 新人教A版选修2
高中数学第三章数系的扩充与复数的引入 3.2.2 复数代数形式的乘除运算教案2 新人教A版选修2-2 高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.2.2 复数代数形式的乘除运算教案2 新人教A版选修2-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.2.2 复数代数形式的乘除运算教案2 新人教A版选修2-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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高中数学第三章数系的扩充与复数的引入 3.2.2 复数代数形式的乘除运算教案2 新人教A版选修2-2§3.2.2复数代数形式的乘除运算教学目标：知识与技能：理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则，深刻理解它是乘法运算的逆运算过程与方法：理解并掌握复数的除法运算实质是分母实数化类问题情感、态度与价值观：复数的几何意义单纯地讲解或介绍会显得较为枯燥无味,学生不易接受，教学时，我们采用讲解或体验已学过的数集的扩充的，让学生体会到这是生产实践的需要从而让学生积极主动地建构知识体系。
教学重点：复数代数形式的除法运算。
教学难点：对复数除法法则的运用。
教学过程设计（一）、情景引入，激发兴趣。
【教师引入】 :数的概念是从实践中产生和发展起来的。
早在人类社会初期，人们在狩猎、采集果实等劳动中，由于计数的需要，就产生了1，2，3，4等数以及表示“没有”的数0。
自然数的全体构成自然数集N随着生产和科学的发展，数的概念也得到发展（二)、探究新知，揭示概念１．乘法运算规则：规定复数的乘法按照以下的法则进行：设z1=a+bi,z2=c+di（a、b、c、d∈R)是任意两个复数，那么它们的积（a+bi）(c+di)=（ac －bd)+（bc+ad）i.其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并。
高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 习题课—复数运算的综合问题课后提升训练(含解析)新人教A版
第三章数系的扩充与复数的引入习题课——复数运算的综合问题课后篇巩固提升1.若复数z 满足|z-1+i |=3,则复数z 对应的点的轨迹围成图形的面积等于() A.3 B.9 C.6π D.9π,复数z 对应的点的轨迹是以(1,-1)为圆心,以3为半径的圆,其面积等于π×32=9π.2.已知a ,b ∈R ,且2+a i,b+3i 是一个实系数一元二次方程的两个根,则a ,b 的值分别是() A .a=-3,b=2 B .a=3,b=-2 C .a=-3,b=-2 D .a=3,b=2,这两个复数一定是互为共轭复数,故a=-3,b=2.3.设x ,y ∈R ,i 为虚数单位,(x+i)x=4+2y i,则|x +4x i 1+i|=() A.√10B.√5C.2D.√2(x+i)x=4+2y i,x ,y ∈R ,∴x 2+x i =4+2y i,可得x 2=4,x=2y ,解得x=2,y=1,或x=-2,y=-1,则|x+4y i |=|2+4i |=√22+42=2√5,或|x+4y i |=|-2-4i |=√(-2)2+(-4)2=2√5.又|1+i |=√2,∴|x +4x i 1+i|=|x +4x i||1+i|=√5√2=√10,故选A .4.关于x 的方程3x 2-x2x-1=(10-x-2x 2)i 有实根,则实数a 的值等于.x=m ,则原方程可变为3m 2-x2m-1=(10-m-2m 2)i,所以{3x 2-x 2x -1=0,10-x -2x 2=0,解得a=11或a=-715.或-7155.关于复数z 的方程|z|+2z=13+6i 的解是.z=x+y i(x ,y ∈R ),则有√x 2+x 2+2x+2y i =13+6i,于是{√x 2+x 2+2x =13,2x =6,解得{x =4,x =3或{x =403,x =3.因为13-2x=√x 2+x 2≥0,所以x ≤132,故x=403舍去,故z=4+3i .4+3i6.已知z ∈C ,且|z+1|=|z-i |,则|z+i |的最小值等于.|z+1|=|z-i |表示以(-1,0),(0,1)为端点的线段的垂直平分线,而|z+i |=|z-(-i)|表示直线上的点到(0,-1)的距离,数形结合知其最小值为√22.7.已知复数z=3+i2-i ,z 1=2+m i . (1)若|z+z 1|=5,某某数m 的值;(2)若复数az+2i 在复平面上对应的点在第二象限,某某数a 的取值X 围.z=3+i 2-i=(3+i)(2+i)(2-i)(2+i)=5+5i 5=1+i .因为|z+z 1|=|1+i +2+m i |=|3+(m+1)i |=√32+(x +1)2=5,所以9+(m+1)2=25. 解得m=-5或m=3.(2)az+2i =a (1+i)+2i =a+(a+2)i,在复平面上对应的点在第二象限,所以{x <0,x +2>0,解得-2<a<0.8.已知关于x 的方程x 2-(6+i)x+9+a i =0(a ∈R )有实数根b. (1)某某数a ,b 的值.(2)若复数z 满足|x -a-b i |-2|z|=0,当z 为何值时,|z|有最小值?并求出|z|的最小值.因为b 是方程x 2-(6+i)x+9+a i =0(a ∈R )的实根,所以(b 2-6b+9)+(a-b )i =0,故{x 2-6x +9=0,x =x ,解得a=b=3. (2)设z=m+n i(m ,n ∈R ),由|x -3-3i |=2|z|,得(m-3)2+(n+3)2=4(m 2+n 2), 即(m+1)2+(n-1)2=8,所以Z 点的轨迹是以O 1(-1,1)为圆心,以2√2为半径的圆.如图,当Z 点在直线OO 1上时,|z|有最大值或最小值. 因为|OO 1|=√2,半径r=2√2,所以当z=1-i 时,|z|有最小值,且|z|min =√2.。
高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.2.2复数代数形式的乘除运算新人教A版选修
1．计算：(1)(2＋i)(2－i)；
(2)(1＋2i)2；
(3)11＋ －ii6＋
2＋ 3－
3i 2i.
解析： (1)(2＋i)(2－i)＝4－i2＝4－(－1)＝5；
(2)(1＋2i)2＝1＋4i＋(2i)2＝1＋4i＋4i2＝－3＋4i；
11＋－2ii2＝1－1＋2i＋2i i2＝1－＋22ii＝1＋22ii＝－1＋12i.
答案： B
2．(2014·西安五校一模)已知复数 z＝1－3＋3ii， z 是 z 的共
轭复数，则 z 的模等于( )
A．4
B．2
C．1
D．14
解析： | z |＝|z|＝1－3＋3ii＝|1| －3＋3ii||＝22＝1.
3.2.2 复数代数形式的乘除运算
自主学习 新知突破
1．掌握复数代数形式的乘除运算． 2．理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配 律． 3．理解共轭复数的概念．
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，(a，b，c，d∈R) [问题1] 如何规定两复数相乘？ [提示1] 两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在 所 得 的 结 果 中 把 i2 换 成 － 1 ， 并 且 把 实 部 与 虚 部 分 别 合 并 即 可．即z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝ac＋bci＋adi＋bdi2 ＝(ac－bd)＋(bc＋ad)i.
i(c＋di≠0)．
复数代数形式的乘除法
1．运算法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则 z1z2＝(a＋bi)(c＋di) ＝__(_a_c_－__b_d_)＋__(_b_c_＋__a_d_)i__ ； zz12＝ac＋＋dbii＝acc2＋ ＋bdd2 ＋bcc2－ ＋add2 i(z2≠0)．
高中数学第3章数系的扩充与复数的引入3.2.2复数代数形式的乘除运算a22a高二22数学
与复数的引入
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3.2 复数代数形式的四则运算
3．2. 2 复数代数形式的乘除(chéngchú)运 算
12/8/2021
第二页，共三十三页。
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自主学习(xuéxí)导航
梳理知识(zhī shi) 夯实基础
第三页，共三十三页。
A．1－2i C．i－1
复数 z＝12＋i i＋i5 的共轭复数为(
)
B．1＋2i
D.1－i
解析：根据题意化简得 z＝1＋2i，∴ z ＝1－2i，故选 A. 答案：A
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课堂(kètáng)基础达标
即学即练 稳操胜券(wén cāo shèng quàn)
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(2019·北京卷)已知复数
z＝2＋i，则
－ z·z
＝( )
A. 3
B． 5
C．3
D.5
解析：z＝2＋i，－z ＝2－i，z·－z ＝22－i2＝4＋1＝5.故选 D.
答案：D
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题型三 虚数单位 i 的周期性 (1)计算 i＋i2＋i3＋…＋i2 017；
B．－ 3或 3
C．－ 5
D.－ 3
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解析：∵p∧q 是真命题，∴p 真且 q 真． z1＝a＋1－2 i＝a＋1＋i，∴a＋a21＋<01，＝2， 解得 a＝ 3(舍)或 a＝－ 3，故选 D. 答案：D
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高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.2.2 复数代数形式的乘除运算学案 新人教A版选修22
3．2.2 复数代数形式的乘除运算预习课本P109～111，思考并完成下列问题(1)复数乘法、除法的运算法则是什么？共轭复数概念的定义是什么？(2)复数乘法的多项式运算与实数的多项式运算法则是否相同？如何应用共轭复数的性质解决问题？[新知初探]1．复数代数形式的乘法法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R)，则z 1·z 2＝(a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i.2．复数乘法的运算律 对任意复数z 1，z 2，z 3∈C ，有交换律 z 1·z 2＝z 2·z 1结合律 (z 1·z 2)·z 3＝z 1·(z 2·z 3) 分配律z 1(z 2＋z 3)＝z 1z 2＋z 1z 33.共轭复数已知z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i ，a ，b ，c ，d ∈R ，则 (1)z 1，z 2互为共轭复数的充要条件是a ＝c 且b ＝－d . (2)z 1，z 2互为共轭虚数的充要条件是a ＝c 且b ＝－d ≠0. 4．复数代数形式的除法法则： (a ＋b i)÷(c ＋d i)＝a ＋b ic ＋d i ＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －adc 2＋d 2i(c ＋d i≠0)． [点睛] 在进行复数除法时，分子、分母同乘以分母的共轭复数c －d i ，化简后即得结果，这个过程实际上就是把分母实数化，这与根式除法的分母“有理化”很类似．[小试身手]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个复数互为共轭复数是它们的模相等的必要条件．( )(2)若z 1，z 2∈C ，且z 21＋z 22＝0，则z 1＝z 2＝0.( ) (3)两个共轭虚数的差为纯虚数．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ 2．(北京高考)复数i(2－i)＝( ) A ．1＋2i B ．1－2i C ．－1＋2i D ．－1－2i答案：A3．若复数z 1＝1＋i ，z 2＝3－i ，则z 1·z 2＝( ) A ．4＋2i B ．2＋i C ．2＋2i D ．3＋4i答案：A4．复数i 2＋i 3＋i41－i ＝________.答案：12－12i复数代数形式的乘法运算[典例] (1)已知i 是虚数单位，若复数(1＋a i)(2＋i)是纯虚数，则实数a 等于( ) A ．2 B.12C ．－12D ．－2(2)(江苏高考)复数z ＝(1＋2i)(3－i)，其中i 为虚数单位，则z 的实部是________． [解析] (1)(1＋a i)(2＋i)＝2－a ＋(1＋2a )i ，要使复数为纯虚数，所以有2－a ＝0,1＋2a ≠0，解得a ＝2.(2)(1＋2i)(3－i)＝3－i ＋6i －2i 2＝5＋5i ， 所以z 的实部是5. [答案] (1)A (2)51．两个复数代数形式乘法的一般方法 (1)首先按多项式的乘法展开． (2)再将i 2换成－1.(3)然后再进行复数的加、减运算，化简为复数的代数形式． 2．常用公式(1)(a ＋b i)2＝a 2－b 2＋2ab i(a ，b ∈R)． (2)(a ＋b i)(a －b i)＝a 2＋b 2(a ，b ∈R)． (3)(1±i)2＝±2i. [活学活用]1．已知x ，y ∈R ，i 为虚数单位，且x i －y ＝－1＋i ，则(1＋i)x ＋y的值为( )A ．2B ．－2iC ．－4D ．2i解析：选D 由x i －y ＝－1＋i 得x ＝1，y ＝1，所以(1＋i)x ＋y＝(1＋i)2＝2i.2．已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位．若(a ＋i)(1＋i)＝b i ，则a ＋b i ＝________. 解析：因为(a ＋i)(1＋i)＝a －1＋(a ＋1)i ＝b i ，所以a －1＝0，a ＋1＝b ，即a ＝1，b ＝2，所以a ＋b i ＝1＋2i.答案：1＋2i复数代数形式的除法运算[典例] (1)若复数z 满足z (2－i)＝11＋7i(i 是虚数单位)，则z 为( ) A ．3＋5i B ．3－5i C ．－3＋5iD ．－3－5i(2)设i 是虚数单位，复数1＋a i2－i 为纯虚数，则实数a 为( )A ．2B ．－2C ．－12D.12[解析] (1)∵z (2－i)＝11＋7i ， ∴z ＝11＋7i 2－i ＝11＋7i 2＋i 2－i 2＋i ＝15＋25i5＝3＋5i.(2)1＋a i 2－i ＝1＋a i 2＋i 2－i 2＋i ＝2－a 5＋1＋2a 5i ，由1＋a i 2－i 是纯虚数，则2－a 5＝0，1＋2a 5≠0，所以a ＝2.[答案] (1)A (2)A1．两个复数代数形式的除法运算步骤 (1)首先将除式写为分式；(2)再将分子、分母同乘以分母的共轭复数；(3)然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形式． 2．常用公式(1)1i ＝－i ；(2)1＋i 1－i ＝i ；(3)1－i 1＋i ＝－i. [活学活用]1．(天津高考)i 是虚数单位，计算1－2i 2＋i 的结果为________．解析：1－2i 2＋i ＝1－2i 2－i 2＋i 2－i ＝2－2－i －4i5＝－i.答案：－i 2．计算：1＋i4＋3i2－i 1－i＝________.解析：法一：1＋i 4＋3i 2－i1－i ＝1＋7i 1－3i ＝1＋7i 1＋3i10＝－2＋i. 法二：1＋i4＋3i 2－i 1－i ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i ⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋3i 2－i＝i4＋3i2＋i5＝－3＋4i2＋i5＝－10＋5i5＝－2＋i. 答案：－2＋ii 的乘方的周期性及应用[典例] (1)(湖北高考)i 为虚数单位，i 607的共轭复数为( ) A ．i B ．－i C ．1D ．－1(2)计算i 1＋i 2＋i 3＋…＋i 2 016＝________.[解析] (1)因为i 607＝i 4×151＋3＝i 3＝－i ，所以其共轭复数为i ，故选A. (2)法一：原式＝i1－i 2 0161－i＝i[1－i 21 008]1－i＝i 1－11－i＝0.法二：∵i 1＋i 2＋i 3＋i 4＝0， ∴i n ＋in ＋1＋in ＋2＋in ＋3＝0(n ∈N)， ∴i 1＋i 2＋i 3＋…＋i2 016，＝(i 1＋i 2＋i 3＋i 4)＋(i 5＋i 6＋i 7＋i 8)＋…＋(i 2 013＋i2 014＋i2 015＋i2 016)＝0.[答案] (1)A (2)0虚数单位i 的周期性(1)i4n ＋1＝i ，i4n ＋2＝－1，i4n ＋3＝－i ，i 4n ＝1(n ∈N *)．(2)i n＋in ＋1＋in ＋2＋i n ＋3＝0(n ∈N)．[活学活用]计算1＋i 1－i ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 3·…·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 10＝______. 解析：∵1＋i 1－i ＝i ，∴原式＝i·i 2·i 3·…·i 10＝i 1＋2＋3＋…＋10＝i 55＝i 3＝－i.答案：－i复数综合应用[典例] 设z 是虚数，ω＝z ＋1z是实数，且－1＜ω＜2，求|z |的值及z 的实部的取值范围．[解] 因为z 是虚数，所以可设z ＝x ＋y i ，x ，y ∈R ，且y ≠0. 所以ω＝z ＋1z ＝x ＋y i ＋1x ＋y i＝x ＋y i ＋x －y i x 2＋y 2＝x ＋x x 2＋y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －y x 2＋y 2i. 因为ω是实数且y ≠0， 所以y －yx 2＋y2＝0，所以x 2＋y 2＝1，即|z |＝1.此时ω＝2x .因为－1＜ω＜2，所以－1＜2x ＜2， 从而有－12＜x ＜1，即z 的实部的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1. [一题多变]1．[变设问]若本例中条件不变，设u ＝1－z1＋z ，证明u 为纯虚数．证明：设z ＝x ＋y i ，x ，y ∈R ，且y ≠0， 由典例解析知，x 2＋y 2＝1， ∴u ＝1－z 1＋z ＝1－x ＋y i 1＋x ＋y i ＝1－x －y i 1＋x －y i1＋x 2＋y2＝1－x 2－y 2－2y i 1＋x 2＋y 2＝－y 1＋xi. 因为x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1，y ≠0，所以y 1＋x ≠0，所以u 为纯虚数．2．[变设问]若本例条件不变，求ω－⎝⎛⎭⎪⎫1－z 1＋z 2的最小值．解：设z ＝x ＋y i ，x ，y ∈R ，且y ≠0， 由典例解析知x 2＋y 2＝1. 则ω－⎝⎛⎭⎪⎫1－z 1＋z 2＝2x －⎝ ⎛⎭⎪⎫－y 1＋x i 2＝2x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 1＋x 2＝2x ＋1－x21＋x 2＝2x ＋1－x 1＋x＝2x －1＋21＋x ＝2(x ＋1)＋21＋x －3.因为－12＜x ＜1，所以1＋x ＞0. 于是ω－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－z 1＋z 2＝2(x ＋1)＋21＋x －3≥22x ＋1·21＋x －3＝1. 当且仅当2(x ＋1)＝21＋x， 即x ＝0时等号成立． 所以ω－⎝⎛⎭⎪⎫1－z 1＋z 2的最小值为1，此时z ＝±i.复数运算的综合问题解决方法在有关复数运算的综合问题中，常与集合、数列、不等式、三角函数、函数、解析几何等内容结合在一起，要解决此类问题常将复数设为x ＋y i(x ，y ∈R)的形式，利用有关条件及复数相等转化为实数问题或利用复数的几何意义转化为点的坐标及向量问题进行解决．层级一 学业水平达标1．复数(1＋i)2(2＋3i)的值为( ) A ．6－4i B ．－6－4i C ．6＋4iD ．－6＋4i解析：选D (1＋i)2(2＋3i)＝2i(2＋3i)＝－6＋4i. 2．(全国卷Ⅰ)已知复数z 满足(z －1)i ＝1＋i ，则z ＝( ) A ．－2－i B ．－2＋i C ．2－iD ．2＋i解析：选C z －1＝1＋ii＝1－i ，所以z ＝2－i ，故选C.3．(广东高考)若复数z ＝i(3－2i)(i 是虚数单位)，则z ＝( ) A ．2－3i B ．2＋3i C ．3＋2iD ．3－2i解析：选A ∵z ＝i(3－2i)＝3i －2i 2＝2＋3i ，∴z ＝2－3i. 4．(1＋i)20－(1－i)20的值是( ) A ．－1 024 B ．1 024 C ．0D ．512解析：选 C (1＋i)20－(1－i)20＝[(1＋i)2]10－[(1－i)2]10＝(2i)10－(－2i)10＝(2i)10－(2i)10＝0.5．(全国卷Ⅱ)若a 为实数，且2＋a i1＋i ＝3＋i ，则a ＝( )A ．－4B ．－3C ．3D ．4解析：选D2＋a i1＋i＝2＋a i 1－i 1＋i1－i ＝a ＋22＋a －22i ＝3＋i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋22＝3，a －22＝1，解得a ＝4，故选D.6．在复平面内，复数z ＝i(1＋3i)对应的点位于第________象限． 解析：∵z ＝i(1＋3i)＝i ＋3i 2＝－3＋i ， ∴复数z 对应的点为(－3,1)，在第二象限． 答案：二7．设i 为虚数单位，则1i ＋1i 2＋1i 3＋1i4＝________.解析：1i ＋1i 2＋1i 3＋1i 4＝－i －1＋i ＋1＝0.答案：08．若a1－i ＝1－b i ，其中a ，b 都是实数，i 是虚数单位，则|a ＋b i|＝________.解析：∵a ，b ∈R ，且a1－i ＝1－b i ，则a ＝(1－b i)(1－i)＝(1－b )－(1＋b )i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1－b ，0＝1＋b .∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－1.∴|a ＋b i|＝|2－i|＝22＋－12＝ 5.答案： 5 9．计算：i －2i －11＋i i －1＋i ＋－3－2i2－3i .解：因为i －2i －11＋ii －1＋i ＝i －2i －1i 2－1＋i ＝i －2i －1－2＋i＝i －1，－3－2i2－3i ＝－3－2i 2＋3i 2－3i2＋3i ＝－13i13＝－i ，所以i －2i －11＋ii －1＋i ＋－3－2i2－3i＝i －1＋(－i)＝－1.10．已知z 为z 的共轭复数，若z ·z －3i z ＝1＋3i ，求z . 解：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)， 则z ＝a －b i(a ，b ∈R)，由题意得(a ＋b i)(a －b i)－3i(a －b i)＝1＋3i ， 即a 2＋b 2－3b －3a i ＝1＋3i ，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－3b ＝1，－3a ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3.所以z ＝－1或z ＝－1＋3i.层级二 应试能力达标1．如图，在复平面内，点A 表示复数z ，则图中表示z 的共轭复数的点是( ) A ．A B ．B C ．CD ．D解析：选B 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，且a ＜0，b ＞0，则z的共轭复数为a －b i ，其中a ＜0，－b ＜0，故应为B 点．2．设a 是实数，且1＋a i1＋i ∈R ，则实数a ＝( )A ．－1B ．1C ．2D ．－2解析：选B 因为1＋a i 1＋i ∈R ，所以不妨设1＋a i1＋i＝x ，x ∈R ，则1＋a i ＝(1＋i)x ＝x ＋x i ，所以有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，a ＝x ，所以a ＝1.3．若a 为正实数，i 为虚数单位，⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋i i ＝2，则a ＝( )A ．2 B. 3 C. 2 D ．1解析：选B ∵a ＋ii＝(a ＋i)(－i)＝1－a i ，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋i i ＝|1－a i|＝1＋a 2＝2，解得a＝3或a ＝－3(舍)．4．计算－1＋3i31＋i 6＋－2＋i 1＋2i的值是( ) A ．0 B ．1 C ．iD ．2i解析：选D 原式＝－1＋3i3[1＋i 2]3＋－2＋i 1－2i 1＋2i 1－2i＝－1＋3i32i3＋－2＋4i ＋i ＋25＝－12＋32i 3－i ＋i ＝1－i ＋i ＝i －i i＋i ＝2i.5．若z 1＝a ＋2i ，z 2＝3－4i ，且z 1z 2为纯虚数，则实数a 的值为________． 解析：z 1z 2＝a ＋2i 3－4i ＝a ＋2i 3＋4i 9＋16＝3a ＋4a i ＋6i －825＝3a －8＋4a ＋6i25，∵z 1z 2为纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧3a －8＝0，4a ＋6≠0，∴a ＝83.答案：836．i 是虚数单位，则⎝⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 4＝________.解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 4＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋i 21－i22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2i －2i 2＝1. 答案：1 7．设复数z ＝1＋i2＋31－i 2＋i ，若z 2＋a z＜0，求纯虚数a .解：由z 2＋az ＜0可知z 2＋a z是实数且为负数．z ＝1＋i2＋31－i 2＋i ＝2i ＋3－3i2＋i＝3－i2＋i＝1－i. ∵a 为纯虚数，∴设a ＝m i(m ∈R 且m ≠0)，则z 2＋a z ＝(1－i)2＋m i 1－i＝－2i ＋m i －m2＝－m 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m2－2i ＜0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－m2＜0，m 2－2＝0，∴m ＝4，∴a ＝4i.8．复数z ＝1＋i3a ＋b i1－i且|z |＝4，z 对应的点在第一象限，若复数0，z ，z 对应的点是正三角形的三个顶点，求实数a ，b 的值．解：z ＝1＋i2·1＋i1－i(a ＋b i)＝2i·i(a ＋b i)＝－2a －2b i. 由|z |＝4，得a 2＋b 2＝4，①∵复数0，z ，z 对应的点构成正三角形， ∴|z －z |＝|z |.把z ＝－2a －2b i 代入化简得|b |＝1.② 又∵z 对应的点在第一象限， ∴a ＜0，b ＜0.由①②得⎩⎨⎧a ＝－3，b ＝－1.故所求值为a ＝－3，b ＝－1.(时间： 120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．i 是虚数单位，复数7－i3＋i ＝( )A ．2＋iB ．2－iC ．－2＋iD ．－2－i 解析：选B7－i3＋i＝7－i3－i10＝20－10i 10＝2－i.2．若复数z 满足z1－i＝i ，其中i 是虚数单位，则z ＝( ) A ．1－i B ．1＋i C ．－1－iD ．－1＋i解析：选A z ＝(1－i)i ＝－i 2＋i ＝1＋i ，z ＝1－i ，故选A. 3．设i 是虚数单位，则复数2i1－i在复平面内所对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限解析：选B2i1－i＝2i 1＋i 1－i 1＋i＝2i －12＝－1＋i ，由复数的几何意义知－1＋i 在复平面内的对应点为(－1,1)，该点位于第二象限，故选B.4．设复数z ＝－1－i(i 为虚数单位)，z 的共轭复数是z ，则2－zz等于( )A ．－1－2iB ．－2＋iC ．－1＋2iD ．1＋2i解析：选C 由题意可得2－z z ＝2－－1＋i －1－i＝3－i－1＋i－1－i－1＋i＝－1＋2i ，故选C.5．已知复数z ＝－12＋32i ，则z ＋|z |＝( )A ．－12－32iB ．－12＋32iC.12＋32i D.12－32i解析：选D 因为z ＝－12＋32i ，所以z ＋|z |＝－12－32i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋322＝12－32i.6．已知复数z 满足(1－i)z ＝i 2 016(其中i 为虚数单位)，则z 的虚部为( )A.12 B ．－12C.12i D ．－12i解析：选B ∵2 016＝4×504，∴i2 016＝i 4＝1.∴z ＝11－i ＝12＋12i ，∴z ＝12－12i ，∴z 的虚部为－12.故选B.7．设z 的共轭复数为z ，若z ＋z ＝4，z ·z ＝8，则zz等于( )A ．1B ．－iC ．±1D ．±i解析：选 D 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则z ＝a －b i ，由条件可得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝4，a 2＋b 2＝8.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝±2.因此⎩⎪⎨⎪⎧z ＝2＋2i ，z ＝2－2i ，或⎩⎪⎨⎪⎧z ＝2－2i ，z ＝2＋2i.所以zz＝2－2i 2＋2i ＝1－i1＋i＝1－i 21＋i 1－i ＝－2i 2＝－i ，或z z ＝2＋2i 2－2i ＝1＋i 1－i ＝1＋i 21－i 1＋i ＝2i2＝i ，所以z z＝±i.8．已知复数z ＝(x －2)＋y i(x ，y ∈R)在复平面内对应的向量的模为3，则y x的最大值是( )A.32B.33C.12D. 3解析：选D 因为|(x －2)＋y i|＝3，所以(x －2)2＋y 2＝3，所以点(x ，y )在以C (2,0)为圆心，以3为半径的圆上，如图，由平面几何知识－3≤y x≤ 3.二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．请把正确答案填在题中横线上)9．i 是虚数单位，若复数(1－2i)(a ＋i)是纯虚数，则实数a 的值为________． 解析：由(1－2i)(a ＋i)＝(a ＋2)＋(1－2a )i 是纯虚数可得a ＋2＝0,1－2a ≠0，解得a ＝－2.答案：－210．已知复数z ＝(5＋2i)2(i 为虚数单位)，则z 的实部为________z －＝________.解析：复数z ＝(5＋2i)2＝21＋20i ，其实部是21，z －＝21－20i. 答案：21 21－20i11．若a 为实数，2＋a i1＋2i ＝－2i ，则a ＝________，2＋a i 在第________象限．解析：2＋a i 1＋2i＝－2i ，可得2＋a i ＝－2i(1＋2i)＝2－2i ，所以a ＝－2，2＋a i ＝2－2i 在第四象限．答案：－ 2 四12．若复数z ＝(a －2)＋3i(a ∈R)是纯虚数，则a ＝______，a ＋i1＋a i＝________.解析：∵z ＝a －2＋3i(a ∈R)是纯虚数，∴a ＝2， ∴a ＋i 1＋a i ＝2＋i 1＋2i ＝2＋i 1－2i 5＝45－35i. 答案：2 45－35i13．已知复数z ＝5i1＋2i (i 是虚数单位)，则z 的实部是________，|z |＝________.解析：∵z ＝5i1＋2i＝2＋i ，∴z 的实部是2.|z |＝|2＋i|＝ 5. 答案：2514．设复数a ＋b i(a ，b ∈R)的模为3，则(a ＋b i)(a －b i)＝________. 解析：∵|a ＋b i|＝a 2＋b 2＝3， ∴(a ＋b i)(a －b i)＝a 2＋b 2＝3. 答案：315．若关于x 的方程x 2＋(2－i)x ＋(2m －4)i ＝0有实数根，则纯虚数m ＝________. 解析：设m ＝b i(b ∈R 且b ≠0)，则x 2＋(2－i)x ＋(2b i －4)i ＝0，化简得(x 2＋2x －2b )＋(－x －4)i ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －2b ＝0，－x －4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，b ＝4，∴m ＝4i.答案：4i三、解答题(本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16．(本小题满分14分)设复数z ＝lg(m 2－2m －2)＋(m 2＋3m ＋2)i(m ∈R)，试求m 取何值时？(1)z 是实数. (2)z 是纯虚数．(3)z 对应的点位于复平面的第一象限．解：(1)由m 2＋3m ＋2＝0且m 2－2m －2＞0，解得m ＝－1或m ＝－2，复数表示实数． (2)当实部等于零且虚部不等于零时，复数表示纯虚数． 由lg(m 2－2m －2)＝0，且m 2＋3m ＋2≠0， 求得m ＝3，故当m ＝3时，复数z 为纯虚数．(3)由lg(m 2－2m －2)＞0，且m 2＋3m ＋2＞0，解得m ＜－2或m ＞3，故当m ＜－2或m ＞3时，复数z 对应的点位于复平面的第一象限．17．(本小题满分15分)已知(1＋2i)z ＝4＋3i ，求z 及z z.解：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则z ＝a －b i. ∴(1＋2i)(a －b i)＝4＋3i ， ∴(a ＋2b )＋(2a －b )i ＝4＋3i.由复数相等，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＝4，2a －b ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1.∴z ＝2＋i.∴zz ＝z ·zz ·z ＝z 2|z |2＝4－1＋4i 5＝35＋45i. 18．(本小题满分15分)已知z ＝1＋i ，a ，b 为实数． (1)若ω＝z 2＋3z －4，求|ω|；(2)若z 2＋az ＋bz 2－z ＋1＝1－i ，求a ，b 的值．解：(1)ω＝(1＋i)2＋3(1－i)－4＝－1－i ， 所以|ω|＝ 2. (2)由条件，得a ＋b ＋a ＋2ii＝1－i ，所以(a ＋b )＋(a ＋2)i ＝1＋i ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1，a ＋2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝2.19．(本小题满分15分)虚数z 满足|z |＝1，z 2＋2z ＋1z＜0，求z .解：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R ，y ≠0)，∴x 2＋y 2＝1. 则z 2＋2z ＋1z ＝(x ＋y i)2＋2(x ＋y i)＋1x ＋y i＝(x 2－y 2＋3x )＋y (2x ＋1)i. ∵y ≠0，z 2＋2z ＋1z＜0，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1＝0， ①x 2－y 2＋3x ＜0， ②又x 2＋y 2＝1. ③ 由①②③得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－12，y ＝±32.∴z ＝－12±32i.20．(本小题满分15分)已知复数z 满足|z |＝2，z 2的虚部是2. (1)求复数z ；(2)设z ，z 2，z －z 2在复平面上的对应点分别为A ，B ，C ，求△ABC 的面积．解：(1)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则z 2＝a 2－b 2＋2ab i ，由题意得a 2＋b 2＝2且2ab ＝2，解得a ＝b ＝1或a ＝b ＝－1，所以z ＝1＋i 或z ＝－1－i.(2)当z＝1＋i时，z2＝2i，z－z2＝1－i，所以A(1,1)，B(0,2)，C(1，－1)，所以S△ABC＝1.当z＝－1－i时，z2＝2i，z－z2＝－1－3i，所以A(－1，－1)，B(0,2)，C(－1，－3)，所以S△ABC＝1.。
高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.2.2复数代数形式的乘除运算省公开课一等奖新名师优质课获奖P
[正解] 设 x＝a＋bi(a，b∈R)，则 a2＋b2＝2＋a＋bi－2i＝(2＋a)＋(b－2)i
由复数相等可得b－a22＋＝b02＝. 2＋a，
解得ab＝ ＝02， . 所以方程的解为 x＝2i．
[点评] 注意数域扩展后，原来实数集中成立的关系，在复数集中有些已经不 再成立，如|a|2＝a2，a2≥0，a>b⇒a＋c>b＋c 等等．解题时要审慎对待，避免失误．
B．2＋i
• C．2＋2i D．3
2
• (2)设复数z(2－3i)＝6＋4i(其中i是虚数单位)，则z模为___ ．
• [思绪分析] (1)利用乘法法则运算；
• (2)先求复数z，然后利用模长公式求解．
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[解析] (1)z1·z2＝(1＋i)(3－i)＝3－i＋3i－i2＝4＋2i． (2)由 z(2－3i)＝6＋4i，得 z＝26－＋34ii＝62＋－43ii22＋＋33ii＝2i， ∴|z|＝2．
〔跟踪练习 1〕 如图，在复平面内，复数 z1，z2 对应的向量分别是O→A，O→B，则复数zz12对应的 点位于( B )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
(2)计算：11＋－ii7＋11－＋ii7－3－44i＋23＋i 2i3．
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[解析] (1)由复数的几何意义知，z1＝－2－i，z2＝i， 所以zz12＝－2i－i＝－1＋2i，对应的点在第二象限． (2)原式＝[(1＋i)2]3·11＋ －ii＋[(1－i)2]3·11－ ＋ii－83－3－4i41i＋i i3＝(2i)3·i＋(－2i)3·(－i) －8·2ii1＋i＝8＋8－16－16i＝－16i．
a＋2b＝4， 2a－b＝3.
高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.2.2复数代数形式的乘除运算习题课新人教版选修
习题课 复 数明目标、知重点 1.巩固复数的概念和几何意义．2．理解并能进行复数的四则运算并认识复数加减法的几何意义．1．复数的四则运算，若两个复数z 1＝a 1＋b 1i ，z 2＝a 2＋b 2i(a 1，b 1，a 2，b 2∈R ) (1)加法：z 1＋z 2＝(a 1＋a 2)＋(b 1＋b 2)i ； (2)减法：z 1－z 2＝(a 1－a 2)＋(b 1－b 2)i ； (3)乘法：z 1·z 2＝(a 1a 2－b 1b 2)＋(a 1b 2＋a 2b 1)i ； (4)除法：z 1z 2＝a 1a 2＋b 1b 2a 22＋b 22＋a 2b 1－a 1b 2a 22＋b 22i(z 2≠0)；(5)实数四则运算的交换律、结合律、分配律都适合于复数的情况； (6)特殊复数的运算：i n(n 为正整数)的周期性运算；(1±i)2＝±2i；若ω＝－12±32i ，则ω3＝1,1＋ω＋ω2＝0.2．共轭复数与复数的模(1)若z ＝a ＋b i ，则z ＝a －b i ，z ＋z 为实数，z －z 为纯虚数(b ≠0)． (2)复数z ＝a ＋b i 的模，|z |＝a 2＋b 2， 且z ·z ＝|z |2＝a 2＋b 2. 3．复数加、减法的几何意义 (1)复数加法的几何意义若复数z 1、z 2对应的向量OZ 1→、OZ 2→不共线，则复数z 1＋z 2是以OZ 1→、OZ 2→为两邻边的平行四边形的对角线OZ →所对应的复数． (2)复数减法的几何意义复数z 1－z 2是连接向量OZ 1→、OZ 2→的终点，并指向Z 1的向量所对应的复数．题型一 复数的四则运算例1 (1)计算：－23＋i 1＋23i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋i 2 012＋(4－8i )2－(－4＋8i )211－7i；(2)已知z ＝1＋i ，求z 2－3z ＋6z ＋1的模．解 (1)原式＝i (1＋23i )1＋23i ＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋i 2 1 006＋(4－8i ＋8i －4)(4－8i ＋4－8i )11－7i＝i ＋(－i)1 006＋0＝－1＋i.(2)z 2－3z ＋6z ＋1＝(1＋i )2－3(1＋i )＋62＋i ＝3－i 2＋i ＝1－i ，∴z 2－3z ＋6z ＋1的模为 2.反思与感悟 复数的除法运算是复数运算中的难点，如果遇到(a ＋b i)÷(c ＋d i)的形式，首先应该写成分式的形式，然后再分母实数化．跟踪训练1 (1)已知z1＋i＝2＋i ，则复数z 等于( ) A ．－1＋3i B ．1－3i C ．3＋i D ．3－i答案 B解析 方法一 ∵z1＋i＝2＋i ，∴z ＝(1＋i)(2＋i)＝2＋3i －1＝1＋3i ，∴z ＝1－3i. 方法二 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，∴z ＝a －b i ，∴a －b i1＋i ＝2＋i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝－3，z ＝1－3i.(2)i 为虚数单位，则⎝⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 011等于( )A ．－iB ．－1C ．iD ．1 答案 A解析 因为1＋i 1－i ＝(1＋i )21－i 2＝i ，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 011＝i 2 011＝i 4×502＋3＝i 3＝－i ，故选A.题型二 复数的几何意义例2 已知点集D ＝{z ||z ＋1＋3i|＝1，z ∈C }，试求|z |的最小值和最大值．解 点集D 的图象为以点C (－1，－3)为圆心，1为半径的圆，圆上任一点P 对应的复数为z ，则|OP →|＝|z |.由图知，当OP 过圆心C (－1，－3)时，与圆交于点A 、B ，则|z |的最小值是|OA |＝|OC |－1＝(－1)2＋(－3)2－1＝2－1＝1，即|z |min ＝1；|z |的最大值是|OB |＝|OC |＋1＝2＋1＝3， 即|z |max ＝3.反思与感悟 复数和复平面内的点，以原点为起点的向量一一对应；复数加减法符合向量运算的平行四边形法则和三角形法则：|z 1－z 2|表示复数z 1，z 2对应的两点Z 1，Z 2之间的距离． 跟踪训练2 已知复数z 1，z 2满足|z 1|＝3，|z 2|＝5，|z 1－z 2|＝10，求|z 1＋z 2|的值． 解 如图所示，设z 1，z 2对应点分别为A ，B ，以OA →，OB →为邻边作▱OACB ，则OC →对应的复数为z 1＋z 2.这里|OA →|＝3，|OB →|＝5，|BA →|＝10.∴cos ∠AOB ＝|OA →|2＋|OB →|2－|BA →|22|OA →||OB →|＝32＋52－102×3×5＝45.∴cos ∠OBC ＝－45.又|BC →|＝|OA →|＝3，∴|z 1＋z 2|＝|OC →| ＝|OB →|2＋|BC →|2－2|OB →||BC →|cos ∠OBC ＝58.题型三 两个复数相等例3 设复数z 和它的共轭复数z 满足4z ＋2z ＝33＋i ，求复数z . 解 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )． 因为4z ＋2z ＝33＋i ， 所以2z ＋(2z ＋2z )＝33＋i.2z ＋2z ＝2(a ＋b i)＋2(a －b i)＝4a ，整体代入上式， 得2z ＋4a ＝33＋i. 所以z ＝33－4a 2＋i2.根据复数相等的充要条件，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝33－4a 2，b ＝12.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝12.所以z ＝32＋i2. 反思与感悟 两个复数相等是解决复数问题的重要工具．“复数相等”可以得到两个实数等式，为应用方程思想提供了条件，常用于确定系数，解复数方程等问题．跟踪训练3 关于x 的方程x 2＋(3＋2i)x ＋3a i ＝0有非零实根，求实数a 的值及方程的实数根．解 设方程的实数根为b (b ≠0)，代入方程x 2＋(3＋2i)x ＋3a i ＝0，化为b 2＋3b ＋(2b ＋3a )i ＝0.所以⎩⎪⎨⎪⎧b 2＋3b ＝0，2b ＋3a ＝0.已知b ≠0，解得b ＝－3，a ＝2.故实数a 的值及方程的实数根分别为2和－3.1．若z ∈C ，且|z ＋2－2i|＝1，则|z －2－2i|的最小值是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 答案 B2．已知复数z ＝1＋2i 1－i，则1＋z ＋z 2＋…＋z 2 014为( ) A ．1＋i B ．1－i C ．i D ．1答案 C3．已知z 1＝1＋2i ，z 2＝m ＋(m －1)i ，且两复数的乘积z 1z 2的实部和虚部为相等的正数，则实数m 的值为________． 答案 34解析 z 1z 2＝(1＋2i)[m ＋(m －1)i]＝[m －2(m －1)]＋[2m ＋(m －1)]i ＝(2－m )＋(3m －1)i ，所以2－m ＝3m －1，即m ＝34，且能使2－m ＝3m －1>0，满足题意．4．设复数z 满足关系：z ＋|z |＝2＋i ，那么z 等于( ) A ．－34＋i B.34＋i C ．－34－i D.34－i答案 B解析 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，由已知a ＋b i ＋a 2＋b 2＝2＋i由复数相等可得⎩⎨⎧a ＋a 2＋b 2＝2b ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝34b ＝1，故z ＝34＋i.5．设复数z ＝1＋i ，且z 2＋az ＋bz 2－z ＋1＝1－i ，求实数a ，b 的值．解 因为z ＝1＋i ，所以z 2＋az ＋b ＝(a ＋2)i ＋a ＋b ，z 2－z ＋1＝i ，所以z 2＋az ＋bz 2－z ＋1＝a ＋b ＋(a ＋2)ii＝(a ＋2)－(a ＋b )i.又z 2＋az ＋b z 2－z ＋1＝1－i. 所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2＝1，－(a ＋b )＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝2.[呈重点、现规律]1．复数的四则运算按照运算法则和运算律进行运算，其中除法运算的关键是将分母实数化； 2．复数的几何意义是数形结合思想在复数中的一大体现；3．利用两个复数相等可以解决求参数值(或范围)和复数方程等问题．一、基础过关1．复数1－2＋i ＋11－2i 的虚部是( )A.15iB.15 C ．－15iD ．－15答案 B 解析1－2＋i ＋11－2i ＝－2－i 5＋1＋2i 5＝－15＋15i.故选B. 2．复数2＋i1－2i 的共轭复数是( )A ．－35iB.35iC ．－iD ．i答案 C3．若(m 2－5m ＋4)＋(m 2－2m )i>0，则实数m 的值为( ) A ．1 B ．0或2 C ．2 D ．0 答案 D解析 由⎩⎪⎨⎪⎧m 2－5m ＋4>0m 2－2m ＝0，得m ＝0.4．设a ，b ∈R 且b ≠0，若复数(a ＋b i)3是实数，则( ) A ．b 2＝3a 2B ．a 2＝3b 2C ．b 2＝9a 2D ．a 2＝9b 2答案 A解析 若(a ＋b i)3＝(a 3－3ab 2)＋(3a 2b －b 3)i 是实数，则3a 2b －b 3＝0.由b ≠0，得b 2＝3a 2.故选A.5．设i 是虚数单位，复数1＋a i2－i 为纯虚数，则实数a 为( )A ．2B ．－2C ．－12D.12答案 A解析 设1＋a i2－i ＝b i(b ∈R 且b ≠0)，则1＋a i ＝b i(2－i)＝b ＋2b i ，所以b ＝1，a ＝2.故选A.6．复平面内点A 、B 、C 对应的复数分别为i 、1、4＋2i ，由A →B →C →D 按逆时针顺序作平行四边形ABCD ，则|BD →|等于( ) A ．5 B.13 C.15 D.17 答案 B解析 设D 点对应复数为z ，∵AB →＝DC →， ∴1－i ＝－z ＋(4＋2i)，∴z ＝3＋3i ， ∴BD →对应的复数为2＋3i ，∴|BD →|＝13.7．已知a ∈R ，则z ＝(a 2－2a ＋4)－(a 2－2a ＋2)i 所对应的点在第几象限？复数z 对应的点的轨迹是什么？解 由a 2－2a ＋4＝(a －1)2＋3≥3， －(a 2－2a ＋2)＝－(a －1)2－1≤－1，∴复数z 的实部为正数，虚部为负数，因此，复数z 的对应点在第四象限．设z ＝x ＋y i(x 、y ∈R )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a 2－2a ＋4，y ＝－(a 2－2a ＋2)消去a 2－2a 得：y ＝－x ＋2(x ≥3)．∴复数z 的对应点的轨迹是一条射线，方程为y ＝－x ＋2(x ≥3)． 二、能力提升8．在复平面内，复数(2－i)2对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限答案 D解析 (2－i)2＝4－4i ＋i 2＝3－4i ，∴对应点坐标(3，－4)，位于第四象限． 9．设i 是虚数单位.z 是复数z 的共轭复数．若z ·z i ＋2＝2z ，则z 等于( ) A ．1＋i B ．1－i C ．－1＋i D ．－1－i 答案 A解析 设z ＝a ＋b i ，a ，b ∈R代入z ·z i ＋2＝2z ，整理得：(a 2＋b 2)i ＋2＝2a ＋2b i则⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝2a 2＋b 2＝2b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝1，因此z ＝1＋i.10．已知复数z ＝2－i1－i ，其中i 是虚数单位，则|z |＝________.答案10211．已知复数z ＝5i1＋2i (i 是虚数单位)，则|z |＝________.答案5解析 |z |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪5i 1＋2i ＝|5i||1＋2i|＝55＝ 5.12．设复数z ＝(1＋i )2＋3(1－i )2＋i ，若z 2＋a ·z ＋b ＝1＋i ，求实数a ，b 的值．解 z ＝(1＋i )2＋3(1－i )2＋i ＝2i ＋3－3i 2＋i ＝3－i2＋i＝(3－i )(2－i )5＝1－i. 因为z 2＋a ·z ＋b ＝1＋i ， 所以(1－i)2＋a (1－i)＋b ＝1＋i. 所以(a ＋b )－(a ＋2)i ＝1＋i.所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1，－(a ＋2)＝1，解得a ＝－3，b ＝4.即实数a ，b 的值分别是－3,4.13．在复平面内，O 是原点，向量OA →对应的复数是2＋i. (1)如果点A 关于实轴的对称点为B ，求向量OB →对应的复数； (2)如果(1)中点B 关于虚轴的对称点为C ，求点C 对应的复数．解 (1)设所求向量OB →对应的复数为z 1＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则点B 的坐标为(a ，b )． 已知A (2,1)，由对称性可知a ＝2，b ＝－1. 所以OB →对应的复数为z 1＝2－i.(2)设所求点C 对应的复数为z 2＝c ＋d i(c ，d ∈R )，则C (c ，d )． 由(1)，得B (2，－1)．由对称性可知，c ＝－2，d ＝－1. 故点C 对应的复数为z 2＝－2－i. 三、探究与拓展14．是否存在复数z ，使其满足z ·z ＋2i z ＝3＋a i ？如果存在，求实数a 的取值范围；如果不存在，请说明理由．解 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则原条件等式可化为x 2＋y 2＋2i(x －y i)＝3＋a i.由复数相等的充要条件，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋2y ＝3，2x ＝a .消去x ，得y 2＋2y ＋a 24－3＝0.所以当Δ＝4－4⎝ ⎛⎭⎪⎫a 24－3＝16－a 2≥0，即－4≤a ≤4时，复数z存在．故存在满足条件的复数z ，且实数a 的取值范围为－4≤a ≤4.。
高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3_2复数代数形式的四则运算3_2_2复数代数形式的乘除运算导学案新人教
3.2.2 复数代数形式的乘除运算【学习目标】1.理解复数代数形式的乘、除运算法则.2.会进行复数代数形式的乘、除运算.3.了解互为共轭复数的概念. 【重点难点】重点：复数代数形式的乘、除运算法则. 难点：复数代数形式的乘、除运算. 【使用说明与学法指导】1.课前用20分钟预习课本P 109-111内容.并完成书本上练、习题及导学案上的问题导学.2.独立思考，认真限时完成，规范书写.课上小组合作探究，答疑解惑. 【问题导学】1. 复数代数形式的乘法法则？ (1) 复数代数形式的乘法法则:(2) 复数乘法的运算律：2. 共轭复数？3. 复数代数形式的除法法则？【合作探究】问题1：复数代数形式的乘法运算1.把复数z 的共轭复数记作z ，i 为虚数单位若1z i =+，则()1z z += （ A ）A.3i -B.3i +C.13i +D.3 2.若()()2,x i i y i x y R -=+∈，则复数x y i += （ B ）A.2i -+B.2i +C.12i -D.12i + 3.在复平面内复数()()12bi i ++（i 是虚数单位，b 是实数）表示的点在第四象限，则b 的取值范围是 （ A ） A.b ＜12- B.b ＞12- C. 12-＜b ＜2 D. b ＜2 问题2：复数代数形式的除法运算 1.i 是虚数单位，复数12aii+-为纯虚数，则实数a 为 （ A ） A.2 B.2- C.12- D.122.设集合{}22cos sin ,M y y x x x R ==-∈，1N x x i i ⎧⎫=-<∈⎨⎬⎩⎭为虚单位，x R则MN 为 （ C ）A.()0,1B.(]0,1C.[)0,1D.[]0,1 3.已知11mni i=-+，其中,m n 是实数，i 是虚数单位，则m n +为 （ C ） A.1 B. 2 C.3 D.4 4.在复平面内，复数()211ii+++对应的点位于 （ B ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 问题3：共轭复数的应用1.已知z C ∈，z 为z 的共轭复数，若313z z i z i -=+，求.z解：1z =-或1 3.z i =-+2.设z C ∈，z 为z 的共轭复数， 若103z z iz i+=+，求.z 解：1z i =--或12z i =-+ 【深化提高】1.在复数范围内，下列命题正确的是（ D ） A.若1z =，则1z =±B.若220a b +=，则00a b ==且 C.若0z z -=，则z 为纯虚数 D.若120z z =，则1200z z ==或2.已知关于x 的方程20x kx i +-=有一根是i ，求k 的值. 解：1k i =-3.若关于x 的方程()()212310x i x m i ++--=有实根，求纯虚数m 的值.解：112m i =4.设存在复数z 同时满足下列条件：（1）复数z 在复平面内对应的点位于第二象限；(2)()28.z z iz ai a R +=+∈ 试求a 的取值范围. 解：60a -≤<【学习评价】●自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差 ●当堂检测A 组（你一定行）：1.设复数z 满足1iz =，其中i 为虚数单位，则z = ( A )A.i -B.iC.1-D.1 2.若12iz i+=，则复数z = （ D ） A.2i -- B.2i -+ C.2i - D.2i +3.复数212i i-=+ （ A ） A.i B.i - C.4355i -- D.4355i -+B 组（你坚信你能行）：4.已知复数z 的共轭复数z 的实部为1-，虚部为2-，且(),zi a bi a b R=+∈，则a b += 3- .5.若复数()()12bi i ++是纯虚数，则实数b 2 .C 组（我对你很有吸引力哟）： 6.已知z 是复数，2,2zz i i+-均为实数（i 为虚数单位），且复数()2z ai +在复平面上对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围. 解：26a <<【小结与反思】。
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复数代数形式的乘除运算
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.复数(2+i)2等于( )
A.3+4i
B.5+4i
C.3+2i
D.5+2i
【解析】选A.(2+i)2=4+4i+i2=4+4i-1=3+4i.
2.(2016·长春高二检测)若复数z满足z=(z-1)i,则复数z的模为( )
A.1
B.
C.
D.2
【解析】选B.因为复数z满足z=(z-1)·i,所以z(1-i)=-i,故有z===-i,
故|z|==.
3.(2015·四川高考)设i是虚数单位,则复数i3-= ( )
A.-i
B.-3i
C.i
D.3i
【解题指南】利用i2=-1,对原式化简,便可求解.
【解析】选C.i3-=-i-=-i+2i=i.
4.(2016·东营高二检测)若i为虚数单位,图中复平面内点Z表示复数z,则表示复数的点是( )
A.E
B.F
C.G
D.H
【解析】选D.依题意得z=3+i,====2-i,该复数对应的点的坐标是H(2,-1).
5.(2016·山东高考)若复数z满足2z+=3-2i,其中i为虚数单位,则z= ( )
A.1+2i
B.1-2i
C.-1+2i
D.-1-2i
【解题指南】利用共轭复数的性质解题.
【解析】选B.设z=a+bi(a,b∈R),则2z+=3a+bi=3-2i,所以a=1,b=-2,所以z=1-2i.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.计算(7-i)=________.
【解题指南】复数乘法运算可以把虚数单位i看作一个字母,按照实数的多项式乘法运算法则进行运算.【解析】(7-i)
=×7-i+i·7-i·i
=+i.
答案:+i
7.(2016·银川高二检测)已知=b+i(a,b∈R),其中i为虚数单位,则a+b=________.
【解析】根据已知可得=b+i⇒2-ai=b+i⇒即从而a+b=1.
答案:1
【补偿训练】i是虚数单位,若=a+bi(a,b∈R),则乘积ab的值是( )
A.-15
B.-3
C.3
D.15
【解析】选B.=
=-1+3i=a+bi,所以a=-1,b=3,
所以ab=-3.
8.(2016·济南高二检测)设x,y为实数,且+=,则x+y=________.
【解析】+=+
=+i,
而==+i,
所以+=且+=,
解得x=-1,y=5,
所以x+y=4.
答案:4
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.计算:(1)(2+i)(2-i).
(2)(1+2i)2.
(3)+.
【解析】(1)(2+i)(2-i)=4-i2=4-(-1)=5.
(2)(1+2i)2=1+4i+(2i)2=1+4i+4i2=-3+4i.
(3)原式=+
=i6+i=-1+i.
【拓展延伸】复数的运算顺序
复数的运算顺序与实数运算顺序相同,都是先进行高级运算乘方、开方,再进行次级运算乘、除,最后进行低级运算加、减,如i的幂运算,先利用i的幂的周期性,将其次数降低,然后再进行四则运算.
10.(2016·青岛高二检测)已知复数z=.
(1)求复数z.
(2)若z2+az+b=1-i,求实数a,b的值.
【解析】(1)z====1+i.
(2)把z=1+i代入z2+az+b=1-i,
得(1+i)2+a(1+i)+b=1-i,
整理得a+b+(2+a)i=1-i,
所以
解得
一、选择题(每小题5分,共10分)
1.(2016·全国卷Ⅲ)若z=4+3i,则= ( )
A.1
B.-1
C.+i
D.-i
【解题指南】根据复数的运算法则进行计算.
【解析】选D.==5,=4-3i,
则=-i.
2.(2016·西宁高二检测)复数为纯虚数,则实数a= ( )
A.-2
B.-
C.2
D.
【解析】选D.因为复数==
为纯虚数,所以2a-1=0,2+a≠0.解得a=.
二、填空题(每小题5分,共10分)
3.(2015·天津高考)i是虚数单位,若复数是纯虚数,则实数a的值为____________. 【解析】=a+2+(1-2a)i,该复数为纯虚数,所以a+2=0,且1-2a≠0,所以a=-2.
答案:-2
4.(2016·青岛高二检测)若复数z满足(3-4i)z=4+3i,则|z|=________.
【解题指南】由已知利用复数代数形式的除法运算化简求得z,然后直接利用复数模的公式求解.
【解析】因为(3-4i)z=4+3i,
所以z====i.
则|z|=1.
答案:1
三、解答题(每小题10分,共20分)
5.已知z1是虚数,z2=z1+是实数,且-1≤z2≤1.
(1)求|z1|的值以及z1的实部的取值范围.
(2)若ω=,求证:ω为纯虚数.
【解析】设z1=a+bi(a,b∈R,且b≠0).
(1)z2=z1+=a+bi+=+i.
因为z2是实数,b≠0,于是有a2+b2=1,即|z1|=1,所以z2=2a.
由-1≤z2≤1,得-1≤2a≤1,解得-≤a≤,即z1的实部的取值范围是.
(2)ω====-i.
因为a∈,b≠0,所以ω为纯虚数.
【补偿训练】已知z,ω为复数,(1+3i)z为实数,ω=,且|ω|=5,求ω.
【解析】设ω=x+yi(x,y∈R),
由ω=,得z=ω(2+i)=(x+yi)(2+i).
依题意,得(1+3i)z=(1+3i)(x+yi)(2+i)=(-x-7y)+(7x-y)i,
所以7x-y=0.①
又|ω|=5,所以x2+y2=50.②
由①②得或
所以ω=1+7i或ω=-1-7i.
6.(2016·潍坊高二检测)已知z为虚数,z+为实数.
(1)若z-2为纯虚数,求虚数z.
(2)求|z-4|的取值范围.
【解析】(1)设z=x+yi(x,y∈R,y≠0),则z-2=x-2+yi,
由z-2为纯虚数得x=2,所以z=2+yi,则z+=2+yi+=2+i∈R,得y-=0,y=±3,所以z=2+3i 或z=2-3i.
(2)因为z+=x+yi+=x++i∈R,
所以y-=0,
因为y≠0,所以(x-2)2+y2=9,
由(x-2)2<9,得x∈(-1,5),
所以|z-4|=|x+yi-4|=
=
=∈(1,5).。