二项式定理-讲义

二项式定理

1．二项式定理：

011()()n n n r n r r n n

n n n n a b C a C a b C a b C b n N --*+=+++++∈L L ，

2．基本概念：

①二项式展开式：右边的多项式叫做()n

a b +的二项展开式。

②二项式系数:展开式中各项的系数r n C (0,1,2,,)r n =⋅⋅⋅.

③项数：共(1)r +项，是关于a 与b 的齐次多项式 ④通项：展开式中的第1r +项r n r

r n C a b -叫做二项式展开式的通项。用1r n r r

r n T C a b -+=表示。

3．注意关键点：

①项数：展开式中总共有(1)n +项。

②顺序：注意正确选择a ,b ,其顺序不能更改。()n a b +与()n

b a +是不同的。

③指数：a 的指数从n 逐项减到0，是降幂排列。b 的指数从0逐项减到n ，是升幂排列。

各项的次数和等于n . ④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是012,,,,,,.

r n

n n n n n C C C C C ⋅⋅⋅⋅⋅⋅项的系数是a 与b 的系数（包括二项式系数）。

4．常用的结论：

令1,,a b x == 0122(1)()n r r n n n n n n n x C C x C x C x C x n N *+=++++++∈L L 令1,,a b x ==- 0122(1)(1)()n r r n n n n n n n n x C C x C x C x C x n N *

-=-+-+++-∈L L

5．性质：

①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即

0n n n C C =，···1k k n n C C -=

②二项式系数和：令

1a b ==,则二项式系数的和为

0122r n

n n n n n n C C C C C ++++++=L L ，

变形式1221r n n

n n n n C C C C +++++=-L L 。

③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和：

在二项式定理中，令1,1a b ==-，则0123(1)(11)0n n n

n n n n n C C C C C -+-++-=-=L ，

从而得到：0242132111222

r r n

n n n n n n n n C C C C C C C +-++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅=++++⋅⋅⋅=

⨯=L ④奇数项的系数和与偶数项的系数和：

00112220120120011222021210

01230123()()1, (1)1,(1)n n n n n n

n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a x C a x C a x C a x C a x a a x a x a x x a C a x C ax C a x C a x a x a x a x a x a a a a a a x a a a a a a ----+=++++=+++++=++++=++++=++++=+---------=--+-++=-----L L L L L L 令则①令则024135(1)(1),()

2

(1)(1),()

2

n n n n n

n a a a a a a a a a a a a ----++-++++=+---+++=L L ②①②得奇数项的系数和①②得偶数项的系数和

⑤二项式系数的最大项：如果二项式的幂指数n 是偶数时，则中间一项的二项式系数2n n

C 取得最大值。

如果二项式的幂指数n 是奇数时，则中间两项的二项式系数

12n n

C

-,1

2n n

C

+同时取得最大值。 ⑥系数的最大项：求()n

a bx +展开式中最大的项，一般采用待定系数法。设展开式中各项

系数分别

为121,,,n A A A +⋅⋅⋅，设第1r +项系数最大，应有112

r r

r r A A A A +++≥⎧⎨

≥⎩，从而解出r 来。

题型一：二项式定理的逆用；

例：12321

666 .n n n n n n C C C C -+⋅+⋅++⋅=L

解：012233(16)6666n n n

n n n n n C C C C C +=+⋅+⋅+⋅++⋅L 与已知的有一些差距，

123211221666(666)6

n n n

n n n n n n n n C C C C C C C -∴+⋅+⋅++⋅=

⋅+⋅++⋅L L 0122111(6661)[(16)1](71)666

n n n n n n n n C C C C =+⋅+⋅++⋅-=+-=-L

练：1231393 .n n

n n n n C C C C -++++=L 解：设1231393n n

n n n n n S C C C C -=++++L ，则

122330122333333333331(13)1

n n n n

n n n n n n n n n n n S C C C C C C C C C =++++=+++++-=+-L L (13)141

33

n n n S +--∴==

题型二：利用通项公式求n x 的系数；

例：在二项式n

的展开式中倒数第3项的系数为45，求含有3x 的项的系数？ 解：由条件知2

45n n

C -=，即2

45n C =，2900n n ∴--=，解得9()10n n =-=舍去或，

由

2102

1

10343

4110

10

()

()r r r

r

r

r r T C x x C x

--

+-

-+==，由题意102

3,643

r r r --

+==解得， 则含有3

x 的项是第7项6336110210T C x x +==,系数为210。

练：求29

1()2x x

-展开式中9x 的系数？ 解：291821831999111()()()()222

r

r r r r r r r r r r T C x C x x C x x ----+=-=-=-，令1839r -=,则

3r =

故9x 的系数为3

39121()22

C -=-。