D12_2数项级数及审敛法

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高等数学课件--D12_2数项级数及审敛法

发散 .
2012-10-12
同济版高等数学课件
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2) 若 p 1, 因为当
1 n
p
时,
dx
1
1 n
p

1 x
p
, 故

n
1
p
n 1 n n
1 1 p 1 dx p 1 p n 1 x p 1 (n 1) n
1
1 1 1 11 1 1 1 p 1 考虑强级数 p 1 p p p1 p的部分和 p 1 1 1 1 2 2 n 2 ( n 1) n 3 n (n 1)
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是两个正项级数,
(1) 当 0 l 时, 两个级数同时收敛或发散 ;
(2) 当 l 0 且 vn 收敛时,
(3) 当 l 且 vn 发散时,
也收敛 ;
也发散 .
注: 1) un , vn均为无穷小时, l 的值反映了它们不同阶的比较.
2) 特别取 vn
发散, 则有这说明强级数
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也发散 .
例1. 讨论 p 级数 1
的敛散性.
1 2
p

1 3
p

1 n
p
(常数 p > 0)
解: 1) 若 p 1, 因为对一切
1 n
而调和级数
n 1

1 n
发散 , 由比较审敛法可知 p 级数
证: 设收敛 , 令
vn
1 2 ( un un )

12-2正项级数及审敛法

下页
定理2’(比较审敛n (1)如果 lim l (0l), 且 vn 收敛, 则 un 收敛 n vn n 1 n1 un (2)如果 lim l (0l), 且 vn 发散, 则 un 发散. n vn n 1 n1
下页
定理2(比较审敛法)
设 un 和 vn 都是正项级数, 且 unv n (n1, 2, ).

若 vn 收敛, 则 un 收敛若 un 发散, 则 vn 发散.
n 1

n1
n1

n1
n1
n1
•推论
设 un 和 vn 都是正项级数, 且 unkv n(k 0, nN).
根据极限审敛法, 知所给级数收敛.
作业
P225 1 {1、3、5、7} ; 2
{1、3、5、7} ;
3
4 6
{1、3、5} ;
{1、3} ; {1、3}；
7； 8；
结束
所以, 根据比值审敛法可知所给级数发散.

下页
定理3(比值审敛法, 达朗贝尔判别法)
un1 设 un 为正项级数, 如果 lim , 则当 1 时级数 n un n1 收敛当1(或)时级数发散当1时级数可能收敛也可能发散.

1 (2n 1)2n 的收敛性. n 1 1 解因为 2 , 而级数 12 收敛, (2n 1)2n n n1 n 所以, 根据比较审敛法可知所给级数收敛.
所以, 根据比值审敛法可知所给级数收敛.
下页
定理3(比值审敛法, 达朗贝尔判别法)
un1 设 un 为正项级数, 如果 lim , 则当 1 时级数 n un n1 收敛当1(或)时级数发散当1时级数可能收敛也可能发散.

D12_2数项级数及审敛法

(1) n 1u n 收敛 , 且其和 S u1 , 其余项满足则级数
n 1
rn un 1 .
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证: S 2n (u1 u2 ) (u3 u4 ) (u2n 1 u2n )
S 2n u1 (u2 u3 ) (u4 u5 ) (u2n 2 u2n 1 ) u2n
1 1 时, p p , 故 n x
1 1 1 1 11 1 1 考虑强级数 p 1 11 1 2 p 1 2 (n 3 p p n p 1 p的部分和) p 1 n (n 1 n 2 1) 1 1 1 n n p1 1 p 1 1 p 1 (k 1) (n 1) k 1 k
证: (1) 当 1时,
un1 存在 N N , 当n N 时, 1 un
收敛 , 由比较审敛法可知
un 收敛.
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(2) 当 1 或时, 必存在 N N , u N 0, 当n N 时从而
un 1 un un 1 u N
收敛于S , 并估计以部分和 Sn 近
似代替和 S 时所产生的误差 .
解:
n
un n
1 nn
由定理5可知该级数收敛 . 令 rn S S n , 则所求误差为
1 1 0 rn n 1 n2 (n 1) (n 2)
1 1 1 n 1 1 1 n (n 1) n (n 1) n 1
n 1
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是两个正项级数,

D112数项级数及审敛法4037633页PPT

n
ln
1
1 n2
limn2
n
1 n2
1
根据比较审敛法的极限形式知n1ln1n12 收敛.
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定理4 . 比值审敛法 ( D’alembert 判别法)
设
为正项级数, 且 limun1 , 则
(1)
当
1
时,
n
级数收敛 ;
un
(2) 当1或时, 级数发散 .
证: (1) 当1时,
对一切
有
则有
(1) 若强级数收敛 , 则弱级数
(常数 k > 0 ), 也收敛 ;
(2) 若弱级数发散 , 则强级数也发散 .
证: 因在级数前加、减有限项不改变其敛散性, 故不妨
设对一切
都有
分别表示弱级数和强级数的部分和, 则有
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(1) 若强级数收敛, 则有
n
kn1k1p1(k11)p1
1
1 (n1)p1
n 1
故强级数收敛 , 由比较审敛法知 p 级数收敛 .
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调和级数与 p 级数是两个常用的比较级数.
若存在NZ, 对一切 nN,
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例2. 证明级数
发散 .
证: 因为
1 1 n(n1) (n1)2
2) lim un0,
n
则级数 (1)n1un收敛 , 且其和 Su1, 其余项满足
n1
rn un1.
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发散 .
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2) 若 p1,因为当

2019年-第十二章第二节数项级数及审敛法-PPT精选文档

若 v n 收敛 , 则un也收敛;
n 1
n1
(3) 当l = ∞时, 存在 NZ,当nN时, un 1 , 即
un vn
vn

由定理2可知, 若 v n 发散 , 则un 也发散.
n 1
n1
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un,vn
是两个正项级数,
lim

例2. 证明级数
n1
证: 因为
1 n(n 1) 发散 .
1 n(n1)
1 (n1)2
1 (n1,2,) n1
而级数

n1 n
1
1

k2
1 k
发散
根据比较审敛法可知, 所给级数发散 .
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定理3. (比较审敛法的极限形式) 设两正项级数
un发散 un收敛
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例3. 判别级数 sin
n 1
1 n
的敛散性 .
解: lim nsin 1 lim n 1 1
sin
1 n
～
1 n
n
n n n
根据比较审敛法的极限形式知
n1sin1n 发散.
例4.

判别级数 ln
n1
1
n1 n1
且存在 NZ , 对一切 nN,有unkvn(常数 k > 0 ),
则有

(1) 若强级数 v n 收敛 , 则弱级数 u n 也收敛 ;
n 1
n 1

(2) 若弱级数 u n 发散 , 则强级数 v n 也发散 .

D112数项级数及审敛法

证明级数
n
1
1 nn
收敛于S , 并估计以部分和 Sn 近
似代替和 S 时所产生的误差 .
解:
nun
n
1 nn

1 n
0(n )
由定理5可知该级数收敛 . 令 rnSSn,则所求误差为
0rn(n1 1)n1(n1 2)n2
(n11)n1(n1 1)n2
1 n2
的敛散性.
ln(1
1 n2
)
～
1 n2
解:
lim n 2
n
ln
1

1 n2

limn2
n

1 n2
1
根据比较审敛法的极限形式知 n1ln1n12 收敛.
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定理4 . 比值审敛法 ( D’alembert 判别法)
设(1) 当un为正1项时级, 级数数, 且收敛nl im; uunn1 , 则

若 v n 收敛 , 则un也收敛;
n 1
n1
(3) 当l = ∞时, 存在 NZ,当nN时, un 1 , 即
un vn
vn

由定理2可知, 若 v n 发散 , 则un 也发散.
n 1
n1
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un,vn
是两个正项级数,
lim
n un
n n x n1
根据定理4可知:
当 0x1时 ,级数收敛 ;
当x1时,级数发散 ;

当x1时,级数n发散.
n1
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定理5. 根值审敛法 ( Cauchy判别法) 设 u n 为正项级

12-2常数项级数的审敛法

1收敛,
m1

uNm uu收敛, 收敛
m1
n N 1
当 1时, 取 1, 使r 1,
当n N时, un1 run un ,
lim
n
un

0.
发散
返回
比值审敛法的优点: 不必找参考级数.
两点注意:
1.当 1时比值审敛法失效;
n1
1 n2
收敛,
故级数

n1
2n

(
1 2n

1)
收敛.
返回
6.根值审敛法 (柯西判别法)：

设
un
是正项级数,如果lim n
n
un

n1
(为数或 ), 则 1时级数收敛;
1时级数发散; 1时失效.

例如, 设级数
1,
nn
n1
n
un
n
1 nn
u1
数列
s2
是有界的
n
,
lim n
s2n

s

u1 .
lim n
u2n1

0,
lim n
s2n1

lim(
n
s2n

u2n1 )

s,
返回
lim n
s2n1

lim(
n
s2n

u2n1 )

s,
级数收敛于和 s, 且s u1. 余项 rn (un1 un2 ),
则P 级数发散.
y
设
p

高等数学课件D1212正项级数及审敛法

n1
1 1an
发散.
2019/11/3
高等数学课件
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例4. 判定级数 (1 ln n1)的敛散性 .
n1 n
n
证: 由于 l1 n x ) ( x(x 0 , 1 x )
ln n 1 ln(1 1 ) 1
n
nn
lnim1aan1
当a
1时，
1 2
1
级数收敛
;
当0a对1时任， an意 1 a0(n0 ，级 ), 数皆 a1收级数敛收敛！ ;
当a 1时，an1 (n) 01级数收敛 ;
2019/11/3
高等数学课件
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an (1an1)(1an)
对任意a 0，级数皆收敛！ an
a n1 a n
( 1 ) n1 a

(1)n1收敛，级数收敛 ; a
当a
1时，原级数为
1 2n
，即公比小于1的等比级数，
所以级数收敛 ;
2019/11/3
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n 1
n
因此对一切 nZ, 有 S n k

由定理 1 可知, 弱级数 u n 也收敛 .
n 1
(2) 若弱级数 u n 发散, 则有 limSn,
n 1
n

因此 nl i mn,这说明强级数 n 1 v n 也发散 .
2019/11/3
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n 1 t a(t na n (1 n p))1t lna(t1 an n x )tt~aaxnn
1 ~tannp

D112数项级数及审敛法

这说明强级数
也发散 .
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例1.
讨论
p
级数
1?
1 2p
?
1 3p
?
?
?
1 np
?
?
(常数 p > 0)
的敛散性 .( p ? 0时级数显然是发散的）。
解: 1) 若 p ? 1, 因为对一切
?1 n
而调和级数n???1n1 发散 , 由比较审敛法可知 p 级数
发散 .
1
pp??11
????
?n?p1?1?
??????n的p1部?1分? 和(n
?
1 1)
p?1
?
? ?
? ?
n?
n? k ? 1 ??
1 k p?1
?
1 (k ? 1) p?1
? ??
?
1?
1 (n ? 1) p?1
n?
?
1
故强级数收敛 , 由比较审敛法知 p 级数收敛 .
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? 例3.
判别级数
lnn
?
?
n? 1
ln n n2
的敛散性 .
? ? 因为
lim
n? ?
n2 1
lnn ? lni?m? n12 ? 0
?
而
1 收敛
3
n n? 1 2
3
n2
故
?
?
n?
1
ln n收敛 n2
或
? ? 3
limn 2
n? ?
lnn n2
?
limn?
n? ?
1 2
lnn ?

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解: 1) 若 p 1, 因为对一切
1 n
1 而调和级数发散 , 由比较审敛法可知 p 级数 n 1 n
发散 .

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2) 若 p 1, 因为当
n 1 1 dx p p n 1 n n n 1 1 1 1 dx p 1 p n 1 x p 1 n p 1 (n 1)
un1 说明: 当 lim 1 时,级数可能收敛也可能发散. n u n 1 un1 ( n 1) p lim lim 1 1 例如, p – 级数 n u n n p
n
但
p 1, 级数收敛 ; p 1, 级数发散 .
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例5. 讨论级数
是单调递增有界数列, 故又
n
lim S 2 n 1 lim ( S 2 n u2 n 1 )
n
故级数收敛于S, 且 S u 1 ,
(un 1 un 2 )
rn un 1 un 2 un 1
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上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛 ?
1 1) ; n 1 n
发散

1 2) ; n 1 n !
收敛

n 3) n . n 1 10
收敛
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三、绝对收敛与条件收敛
定义: 对任意项级数
数若收敛 , 则称原级
绝对收敛；
若原级数收敛, 但取绝对值以后的级数发散, 则称原级数条件收敛 .
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定理4 . 比值审敛法 ( D’alembert 判别法) un1 , 则设为正项级数, 且 lim n u n (1) 当 1 时, 级数收敛 ; (2) 当 1 或时, 级数发散 .
证: (1) 当 1 时,
un1 存在 N N , 当n N 时, 1 un
解:
的敛散性 .
n un1 ( n 1 ) x lim lim x n 1 n u n nx n
根据定理4可知:
当0 x 1 时, 级数收敛 ;
当x 1时, 级数发散 ; 当x 1时,
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*定理5. 根值审敛法 ( Cauchy判别法) 设
由定理 2 可知
n 1
vn

由定理2 知
若 vn 收敛 ,
n 1

(3) 当l = ∞时,
即
u n vn
由定理2可知, 若 vn 发散 ,
n 1
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是两个正项级数,
(1) 当 0 l 时, 两个级数同时收敛或发散 ;
(2) 当 l 0 且 vn 收敛时,
第二节常数项级数的审敛法
一、正项级数及其审敛法
二、交错级数及其审敛法
第十二章
三、绝对收敛与条件收敛
*四、绝对收敛级数的性质
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一、正项级数及其审敛法
若 un 0 , 则称 u n 为正项级数 .
n 1
定理 1. 正项级数有界 . 证: “ “ 又已知 ” 若 ” 有界, 故
n 1 ( 1 ) u n 收敛 , 且其和 S u1 , 其余项满足则级数 n 1
rn un 1 .
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证: S 2n (u1 u2 ) (u3 u4 ) (u2n 1 u2n )
S 2n u1 (u2 u3 ) (u4 u5 ) (u2n 2 u2n 1 ) u2n
级数, 且 lim n un , 则
n
为正项
证明提示: lim n un , 对任意给定的正数
n
存在 N N ,
n un
即
1
( ) n un ( ) n
1
1 1
分别利用上述不等式的左,右部分, 可推出结论正确.
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说明 :
时 , 级数可能收敛也可能发散 .
例如 , p – 级数
n
1 1 ( n ) un n n
p
但
p 1, 级数收敛 ; p 1, 级数发散 .
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例6. 证明级数
un 发散 un 收敛
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1 例3. 判别级数 sin 的敛散性 . n n 1 1 1 解: lim n sin lim n 1 n n n n

sin 1 n ～

1 n
1 根据比较审敛法的极限形式知 sin 发散 . n n 1
收敛 , 由比较审敛法可知
un 收敛.
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(2) 当 1 或时, 必存在 N N , u N 0, 当n N 时从而
un 1 un un 1 u N
因此 lim un u N 0 , 所以级数发散.
n
设对一切
都有
分别表示弱级数和强级数的部分和, 则有
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(1) 若强级数因此对一切
收敛, 则有有也收敛 .
由定理 1 可知, 弱级数 (2) 若弱级数因此发散, 则有
这说明强级数
也发散 .
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1 1 1 例1. 讨论 p 级数 1 p p (常数 p > 0) p 2 3 n 的敛散性.
(1) 当 0 < l <∞ 时, 两个级数同时收敛或发散 ;
(2) 当 l = 0 (3) 当 l =∞ 证: 据极限定义,
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结束
( l ) vn u n ( l ) vn
(1) 当0 < l <∞时, 同时收敛或同时发散 ; (2) 当l = 0时,
(n N )
n 1 1
例如： (1)
n 1
n
为条件收敛 .
n 1
(1)

n 1
n 均为绝对收敛. n 10
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定理7. 绝对收敛的级数一定收敛 .
证: 设收敛 , 令
v n 1 ( u n u n ) ( n 1 , 2 , ) 2 显然 vn 0 , 且 vn u n , 根据比较审敛法 vn 收敛,
1 1 时, p p , 故 n x
1 1 1 n n p1 1 p 1 1 p 1 (k 1) (n 1) k 1 k
故强级数收敛 , 由比较审敛法知 p 级数收敛 .
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n
调和级数与 p 级数是两个常用的比较级数. 若存在 N N , 对一切 n N ,
1 1 1 1 1 1 1 1 p p p 考虑强级数的部分和 p 1 p 1 1 p 1 p 1 1 1 2 3 n n (n 1) 2 n 2 ( n 1)
1 n 1 1 lim 1 n e n e
2

n 1

2 n n (1) n 收敛, 因此 e
2 n n 绝对收敛. ( 1 ) n e n 1

小结
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结束
*四、绝对收敛级数的性质
绝对收敛级数与条件收敛级数具有完全不同的性质. *定理8. 绝对收敛级数不因改变项的位置而改变其和. *定理9. ( 绝对收敛级数的乘法 ) 设级数与
也收敛 ;
也发散 .
(3) 当 l 且 vn 发散时,
注: 1) un , vn均为无穷小时, l 的值反映了它们不同阶的比较. 1 2) 特别取 vn p , 对正项级数 un , 可得如下结论 : n
n
lim n pun l
0l
p 1, 0 l
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u n 2 vn u n
n 1 n 1
un , 2 vn 收敛
n 1
n 1
un 也收敛
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例7. 证明下列级数绝对收敛 : 2 sin n nn (1) 4 ; (2) (1) n . e n 1 n n 1
sin n 1 证: (1) 4,而 4 n n
收敛于S , 并估计以部分和 Sn 近
似代替和 S 时所产生的误差 .
解:
n
un n
1 nn
由定理5可知该级数收敛 . 令 rn S S n , 则所求误差为
1 1 0 rn n 1 n2 (n 1) (n 2)
1 1 1 n n 1 1 1 n ( n 1 ) (n 1) n 1
用Leibnitz 判别法判别下列级数的敛散性:
1 1 1 n1 1 n 1 1 1) 1 (1) n 1 收敛 2 3 4 u n 1 n (n 1 1n 1 1) ! 10 n 1 1 1 u n n 1 1 1 10 n n 收敛 1 2) 1 (1) n 2! 3! 4! n ! 10 n! 1 2 3 4 n 1 n 3) 2 3 4 (1) 收敛 10 10 10 10 10n

D12_2数项级数及审敛法

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12-2正项级数及审敛法

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