11振动

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11.振动大学物理习题答案

由上述方程可解得：
（ 2）
k 2 m J / R2 ， T 2 k m J / R2 mg k mg ，。 x cos( t ) k k m J / R2
（ 3） t 0 ， v 0 0 ， A x 0
11-4 一质量为 m 的小球在一个光滑的半径为 R 的球形碗底作微小振动，如图 11-4 所示。设 t＝0 时，＝0，小球的速度为 v0，并向右运动。求在振幅很小的情况下，小球的运动方程。解：在切向应用牛顿定律
－－
11-6 质量为 0.01kg 的物体，以振幅 1.010 2m 作简谐运动，其最大加速度为 4.0m·s 2。求：（1）振动的周期；（2）物体通过平衡位置时的总能量和动能；（3）当物体的位移大小为振幅的一半时，动能和势能各占总能量的多少？解：（1） a m A ，
2 2 ，， x 0.12 cos( t ) 3 T 2 3 dx dv （ 2） v 0.12 sin( t ) ， a 0.12 2 cos( t ) dt 3 dt 3
t 0.5 s ， x 0.1039 m ， v 0.1885 m/s ， a 1.03 m/s 2
大学物理练习册—振动
11-1 一物体作简谐运动的曲线如图 11-1 所示，试求其运动方程。解：设振动方程为 x A cos( t ) ， A 4 10 由旋转矢量法知，
2
x /cm 4 O
2 2
m
3 4
/4 ， 0.5 2
0.5
t /s
mg 。 k
m 图 11-3
分别取重物、滑轮和弹簧为研究对象，则有

11振动光谱技术

耦合得到的电子总角动量。
图1-1-2
表1-3-2
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“光电探测与传感集成技术”教育部国防重点实验室 “电子薄膜与集成器件”国家重点实验室.
4、能级符号与光谱项一条谱线是一个元素的两个能级之间的跃迁而产生
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概述
一、光谱分析的概念
光谱分析是利用物质发射的光而判断物质组成的一门技术；物质的组成不同，在一定条件下能发射其特征的光谱；光的一个标志是它的波长，颜色不同，波长不同；发射光谱分析的范围：紫外（部分）、可见光、红外（部
原子或离子被激发而产生的数万条光谱线已被测试，波长已知；
光谱激发光源：火焰、电弧、电火花、激光，等；光谱分析有较低的检出限，可进行定性和定量分析，特别
适宜低含量元素级痕量元素分析；对难分离元素的分析特别有效；
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分子的能量具有量子化特征，特征分子能级分子被光激发时，能级发生跃迁，产生吸收或发射光谱，
能级提高，由基态跃迁到激发态化合物吸收或发射光量子时产生的光谱，叫分子光谱，比
原子光谱复杂；后者为线状光谱，前者为带状光谱
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振动理论11(1)-自激振动

自激振动●迄今讨论的问题都是自由振动或者受迫振动●存在另一类的扰动，称为自激振动⏹通过例子中二者区别的实质●普通单缸蒸汽发动机⏹活塞完成一个往复运动，可以看成是一个振动⏹维持这一振动的力来自蒸汽，在活塞的两侧交替推动●带失衡圆盘的弹性轴⏹弹性轴承在两个支撑上旋转⏹不平衡质量导致的离心力交替推动圆盘上下运动2●蒸汽发动机是自激振动⏹通过约束飞轮限制活塞运动，阀门将停止，不会有交替的蒸汽力作用在活塞上●盘的运动是普通的受迫振动⏹限制盘的振动，例如轴上靠近盘的两侧装两个球轴承，并把球轴承的外圈附在牢固的基础上，这样就限制了盘的振动，但是转动并未受影响.⏹因为失衡旋转继续，交替力一直保留不会消失3●于是总结出以下区别：⏹在自激振动中，维持运动的交替外力由运动自身产生或者控制；如果运动停止，交替外力将消失⏹在受迫振动中，交替外力与运动相互独立，即使运动停止，交替外力仍然存在4另一种看待此问题的方法是把自激振动定义成带有负阻尼的自由振动5●如下的含负阻尼的单自由度运动微分方程:其解可以写为是一个振幅呈指数增加的振动●普通的正阻尼力正比于振动速度并与其方向相反●负阻尼力也与速度成比例，但是与振动方向相同⏹负阻尼不仅没有减少自由振动的振幅，反而使其增加●不管是正阻尼还是负阻尼，都会随着运动停止而消失6●系统的动态稳定性质⏹具有正阻尼：动态稳定⏹具有负阻尼：动态不稳定●系统的静稳定性质⏹静态稳定:从平衡位置开始的位移所形成的力或力偶倾向于驱动系统回到平衡位置⏹静不稳定:这样形成的力倾向于增加位移⏹静不稳定性意味着负的弹性常数，或者更一般地说，其中一个固有频率的值为负●动态稳定和静态稳定的区别⏹动稳定性总是以静稳定性为前提的⏹反过来是不成立的：静态稳定的系统也可以是动不稳定的7系统的三个不同的稳定性阶段的行为(a) 静不稳定; (b) 静稳定，动不稳定; (c) 静稳定且动稳定8自激振动的频率●在大多数的实际例子中，负阻尼相对于运动的弹性力和惯性力很小⏹如果阻尼力为零，振动频率就是固有频率⏹不管是正的阻尼力还是负的阻尼力, 阻尼力将或多或少降低系统的固有频率⏹在机械工程的实践中，这一频率上的区别可以忽略不计，所以自激振动的频率就是系统的固有频率●只有当负阻尼力大于弹性力或者惯性力的时候，自激振动的频率才会与固有频率显著不同9●从能量角度考虑⏹对于正阻尼情况阻尼力做负功，总是与速度反向机械能转变成热能（通常耗散在阻尼器的油里面）这些能量来源于振动系统接下来每次振动振幅减小，动能减小，损失的动能被阻尼力吸收⏹负阻尼的情况阻尼力作为驱动力做正功，在一个循环里面，该功转化成动能，使振动增加●如果没有外来能源(如蒸汽锅炉), 自激振动就不能存在⏹能源自身是没有运动的交替频率的10●对于一个线性自激振动系统，由于每个循环都有能量进入系统里来，其振幅会随时间发展为无限大⏹实际观测不到无限大振幅●在大多数的系统里面，自激振动机制与阻尼同时、独立存在11●线性系统中阻尼每周的耗散能为，一个抛物线●如果负阻尼力也是线性的，每周输入能量将是另一个抛物线●是自激系统还是阻尼系统，取决于哪个抛物线高一些12●在实际的例子中，输入和阻尼力其中之一或者同时，都是非线性的，输入和耗散曲线是相交的⏹假定振幅为，那么输入的能量就会多于耗散的能量，振幅会增加⏹假如振幅为，阻尼力会大于自激振动，振动会消减⏹这两种情况下，振幅都会倾向于向发展, 此时能量平衡，系统所做的运动为无阻尼的稳态自由振动1311.2稳定的数学判据●对于单自由度系统，采用简单的物理推理即可显示阻尼常数是否为负，因而可以不通过数学方法，而直接以物理方法推导动态稳定准则。

送风机振动报告

王滩电厂#11送风机振动测试分析
华北电力科学院汽机所荣浩天
大唐国际王滩电厂#11送风机自五月初更换风机轴承后，振速一直偏大，振动传感器安装在风机壳体内部轴承箱上，装有4个速度传感器。

2010年6月，应电厂要求对振动进行测试。

经测试，机壳振动属正常，振幅10um，振速2mm/s，与风机内装的传感器所测的振速差异较大。

为此，直接将现场传感器信号接入测振仪，进行分析。

经分析，现场传感器所测振幅20um，振速6.5mm/s，振速与振幅相差较大。

将速度谱进行分析，如下图：
1、振速频带分布较宽，最高频率为360Hz，工频分量及2倍频分量很小，
说明与平衡、中心不正无关。

2、频谱中存在过多的非整数倍频，若轴承的滚柱出现碎裂、安装不正，
频谱与此类似。

根据滚动轴承的固有特性、制造条件、使用情况不同，它所引起的振动可能是频率赫兹为1KHz以下，也可能是数千赫兹至数十千赫兹的高频振动，对于要求低频振动小的轴承应检测振动速度，而对于高频振动小的轴承应检测振动加速度。

对于轴承故障中的高频信号，采集应选用更高的采样频率，由于采样频率
偏低，可能导致速度值积分变换成位移值的失真。

如果采用加速度传感器来检测振动，可能效果会好些。

建议：
1、首先应校验速度传感器，可以将别的风机的传感器换到这台风机上试一下。

2、鉴于是更换轴承后出现的问题，如有机会最好检查轴承有无损伤，安装有无问题，安装存在问题的可能性较大。

大学物理讲义(第11章振动学基础)第一节

第11章振动学基础在自然界中,几乎到处都可以看到物体的一种特殊的运动形式,即物体在某一位置附近作往复运动,这种运动称为机械振动.钟摆的运动、琴弦的运动和气缸活塞的运动都是机械振动.振动现象并不限于力学中,在物理学其它领域中也存在与机械振动相类似的振动现象.一般地说,任何一个物理量在某一定值附近作反复变化,都可以称为振动.如交流电中电流和电压的反复变化 ,电磁波中电场和磁场的反复变化等,都属于振动的范畴.由于一切振动现象都具有相似的规律,所以我们可以从机械振动的分析中,了解振动现象的一般规律.而简谐振动是最简单、最基本的振动,任何复杂的振动都可由两个或多个简谐振动合成而得到,我们就从简谐振动开始讨论.§11.1 简谐振动一、简谐振动的基本特征及其表示在一个光滑的水平面上,有一个一端被固定的轻弹簧,弹簧的另一端系一小球,如图11.1所示.当弹簧呈自由状态时,小球在水平方向不受力的作用,此时小球处于点O,该点称为平衡位置.若将小球向右移至点M,弹簧被拉长,这时小球受到弹簧所施加的、方向指向点O 的弹性力F 的作用.将小球释放后,小球就在弹性力 F 的作用下左右往复振动起来,并一直振动下去.为了描述小球的这种运动,我们取小球的平衡位置O 为坐标原点,取通过点O的水平线为χ轴.如果小球的位移为x ,它所受弹力F 可以表示为x k F (11.1)式中k 为所取轻弹簧的劲度系数,负号表示弹性力F 与位移x 的方向相反.如果小球的质量为m,根据牛顿第二定律,小球的运动方程可以表示为22dtx d m a m F (11.2) 将式(11.1)代入式(11.2)得kx dtx d m 22或者改写为 )(mk x dt x d 22220 (11.3) 式 (11.3) 是小球的运动方程.这个方程显示了小球受力的基本特征,即在运动过程中,小球所受力的大小与它的位移的大小成正比,而力的方向与位移的方向相反.具有这种性质的力称为线性回复力.由运动方程可以解得小球在振动过程中的位移 x 与时间 t 的关系.式(11.3)的解可以写为以下两种形式))sin()cos( t A x t A x 或 (11.5)式中 A 和φ都是积分常量,在振动中它们都具有明确的物理意义,对此我们以后再做讨论.式(11.5)的两式在物理上具有同样的意义,以后我们只取前一形式.上面我们分析了由轻弹簧和小球所组成的振动系统作无摩檫振动的例子,这样的振动系统称为弹簧振子.弹簧振子的振动是典型的简谐振动,它表明了简谐振动的基本特征.从分析中可以看出,物体只要在形如F =－k x 的线性回复力的作用下运动,其位移必定满足微分方程式 (11.3),而这个方程的解就一定是时间的余弦(或正弦)函数.简谐振动的这些基本特征在机械运动范围内是等价的,其中的任何一项都可以作为判断物体是否是作简谐振动的依据.但是,由于振动的概念已经扩展到了物理学的各个领域,任何一个物理量在某定值附近作往复变化的过程,都属于振动,于是我们可对简谐振动作如下的普遍定义:任何物理量x 的变化规律若满足方程0222 x dtx d m , 并且ω是决定于系统自身的常量,则该物理量的变化过程就是简谐振动.二、描述简谐振动的特征量振幅、周期(或频率)和相位是描述简谐振动的三个重要物理量,若知道了某简谐振动的这三个量,该简谐振动就完全被确定了,所以这三个量称为描述简谐振动的特征量.1.振幅振动物体离开平衡位置的最大距离称为振幅.在简谐振动)cos( t A x中,A 就是振幅.在国际单位制中,振幅的单位是米(m).2.周期振动物体完成一次全振动所用的时间,称为周期 ,常用T 表示；在1秒时间内完成全振动的次数,称为频率 ,常用ν表示；振动物体在2π秒内完成全振动的次数,称为角频率 ,就是式(11.5)中的ω.显然角频率ω、频率ν和周期T 三者的关系为TT 221, (11.7) 在国际单位制中,周期T 、频率ν和角频率ω的单位分别是秒 (s)、赫兹 (Hz)和弧度/ 秒 (rad /s).3.相位和初相位式(11.5)中 t 的称为简谐振动的相位 ,单位是弧度 (rad) .在振幅一定、角频率已知的情况下,振动物体在任意时刻的运动状态(位置和速度)完全取决于相位 t .这从下面的分析中会看得更清楚.将式(11.5)两边对时间求一阶导数,可以得到物体振动的速度).()sin(811 t A dtdx (11.8) 由式（11.5）和式（11.8）两式可以看出,在振幅 A 和角频率ω已知的情况下,振动物体的位置和速度完全由相位所决定.我们已经知道,位置和速度是表示一个质点在任意时刻运动状态的充分而必要的两个物理量.相位中的φ称为初相位,在振幅A 和角频率ω已知的情况下,振动物体在初始时刻的运动状态完全取决于初相位φ.在式(11.5)和式(11.8)中令 ,则分别成为下面的形式sin cos A A x 00 (11.9) 分别是振动物体在初始时刻的位移和速度,这两个量表示了振动物体在初始时刻的运动状态,也就是振动物体的初始条件.振幅 A 和初相位φ,在数学上它们是在求解微分方程(11.3)时引入的两个积分常量,而在物理上,它们是由振动系统的初时状态所决定的两个描述简谐振动的特征量,这是因为由初始条件(11-9)可以求得)arctan(0022020x x A (11.10) 三、简谐振动的矢量图解法和复数解法简谐振动可以用一个旋转矢量来描绘.在坐标系O —xy 中,以O 为始端画一矢量A ,末端为 M 点,如图11.2 所示.若矢量A 以匀角速度ω绕坐标原点O 作逆时针方向转动时,则矢量末端 M 在 x 轴上的投影点P 就在 x 轴上于点O 两侧往复运动.如果在t = 0 时刻,矢量A 与 x 轴的夹角为φ,那么这时投影点P 相对于坐标原点O 的位移可以表示为cos A x式中A 为矢量 A 的长度.在任意时刻t,矢量 A 与 x 轴的夹角变为 t ,则投影点P 相对于坐标原点O 的位移为 )cos( t A x所以,当矢量A 绕其始点(即坐标原点)以匀角速度ω旋转时,其末端在x 轴上的投影点的运动,必定是简谐振动.图11.2(b)所描绘的曲线,是点P 的位移与时间的关系曲线,称为简谐振动曲线.以上是用一个旋转矢量末端在一条轴线上的投影点的运动来表示简谐振动,这种方法称为简谐振动的矢量图解法.这种方法以后在电学和光学中都要用到.简谐量x 还可以用复数来代表.若把一个复数表示为)sin()cos(~)( t iA t A Ae x t i (11.11) 显然,简谐量x 就是这个复数x ~的实部,并且简谐量的振幅与复数的模相对应,简谐量的相位与复数的幅角相对应.若要对多个简谐量进行某种运算,可以对代表这些简谐量的复数进行相同的运算,在运算过程中,实部和虚部、模和幅角总是分别运算而不会相混,所得的复数的实部就是这些简谐量进行该运算的最后结果.因此,简谐量的复数表示法也是常用的方法.例如,求振动速度和加速度,可以用复数进行运算.取位移的复数形式为)(~t i Ae x 振动速度的复数则为)(~~ t i Ae i dtx d 取速度复数的实部,就是振动速度的真正表示式)sin()]sin()cos(Re[ t A t A i t A i 2用同样的方法可以计算振动加速度)()(~~ t i Ae i dtx d a 222 加速度的真正表示式为)cos(])Re[()( t A Ae i a t i 22由上面的计算可见,用复数来代表简谐量,运算过程也是十分简便的.例题11.1有一劲度系数为 32.0Nm -1的轻弹簧,放置在光滑的水平面上,其一端被固定,另一端系一质量为 500g 的物体.将物体沿弹簧长度方向拉伸至距平衡位置10.0cm 处,然后将物体由静止释放,物体将在水平面上沿一条直线作简谐振动.分别写出振动的位移、速度和加速度与时间的关系.解：设物体沿 x 轴作简谐振动,并取平衡位置为坐标原点.在初始时刻 t =0,物体所在的位置在最大位移处,所以振幅为A = 10.0cm = 0.100 m振动角频率为1s rad 0085032 ..m k 如果把振动写为一般形式,即 x =Acos(ωt +φ),当t=0时,物体处于最大位移处,x =A,那么必定有cos φ=1.所以初相位φ=0.这样我们就可以写出位移与时间的关系为x = 0.100cos(8.00 t) m .速度和加速度的最大值分别为1s m 80 .A m 12s m 46 .A a m速度和加速度与时间的关系分别为1s m 0088000 t .sin . 2s m 008406 t a .cos .例题11.2已知某简谐振动的振动曲线如图11.3所示,试写出该振动的位移与时间的关系.解：任何简谐振动都可以表示为x =Acos(ωt +φ)关键是要从振动曲线求得振幅 A 、角频率ω、和初相位φ.振幅 A 可以从振动曲线上得到.最大位移的点 P 所对应的位移的大小就是振幅A = 4.0×10-2m .我们已经分析过,振动的初相位是由初始条件决定的,所以应该根据初始时刻的位移和速度来确定φ .t = 0 时的位移和速度分别由以下两式表示sin ,cos A A x 00从振动曲线上可以得到21210/cos / x ,再由振动曲线在 t = 0 附近的状况可知, 00 ,同时因为A 和ω都大于零,必定有sin φ＜0 ,这样我们就可以确定,在t=0时旋转矢量是处于第四象限内,故取初相位为3/最后求角频率ω.从振动曲线可以看到,在t =1s 时,位移x =0,代入下式)/cos(.310042 t x233100402//)/cos(. 可得：因为ω＞0,所以上式只能取正.所以1s rad 6523 这样,我们可以将该简谐振动具体地写为m 36510042)cos(. t x 四、简谐振动的能量从机械运动的观点看,在振动过程中,若振动系统不受外力和非保守内力的作用,则其动能和势能的总和是恒定的.现在我们以弹簧振子为例,研究简谐振动中能量的转化和守恒问题.弹簧振子的位移和速度分别由下式给出)sin(),cos( t A t A x在任意时刻,系统的动能为)(sin t A m m E k 22222121 (11.12)除了动能以外,振动系统还具有势能.对于弹簧振子来说,系统的势能就是弹力势能,并可表示为)(cos t kA kx E p 2222121 (11.13) 由式（11.12）和式（11.13）可见,弹簧振子的动能和势能都随时间作周期性变化.当位移最大时,速度为零,动能也为零,而势能达到最大值221kA ；当在平衡位置时,势能为零,而速度为最大值,所以动能达到最大值2221A m . 弹簧振子的总能量为动能和势能之和,即)(cos )(sin t kA t A m E E E p k 222222121 因为ω2=k/m,所以上式可化为2222121kA A m E (11.14) 由上式可见,尽管在振动中弹簧振子的动能和势能都在随时间作周期性变化,但总能量是恒定不变的,并与振幅的平方成正比.22222212121x A kA kx m E 由 (11.15) 上式明确地表示了弹簧振子中物体的速度与位移的关系.在平衡位置处,x=0,速度为最大；在最大位移处,x=±A ,速度为零.例题11.3一长度为l 的无弹性细线,一端被固定在A 点,另一端悬挂一质量为m 、体积很小的物体.静止时,细线沿竖直方向,物体处于点O,这是振动系统的平衡位置,如图11.4所示.若将物体移离平衡位置,使细线与竖直方向夹一小角度θ,然后将物体由静止释放,物体就在平衡位置附近往复摆动起来.这种装置称为单摆.证明单摆的振动是简谐振动,并分析其能量.解：我们选择小物体相对平衡位置O 的角位移θ为描述单摆位置的变量,并规定物体处于平衡位置右方,θ为正,处于平衡位置左方,θ为负.小物体受到两个力的作用,一个是重力mg,另一个是细线的张力 f .沿着物体运动的弧形路径,将重力mg 分解成大小为mgcos θ的径向分量和大小为 mgsin θ的切向分量.其中径向分量mgcos θ与细线的张力 f 一起为物体的运动提供向心力,而切向分量是作用于物体的回复力,使物体返回平衡位置,其作用与弹簧振子的弹性力一样.因此,单摆的振动方程为mg mg dtd ml 很小sin 22 (1) )(lg dt d 22220即 (2) 显然,单摆的振动方程（2）与弹簧振子的振动方程完全相似,只是用变量θ代替了变量x.所以单摆的角位移θ与时间t 的关系必定可以写成余弦函数的形式 )cos( t 0式中积分常量0 为单摆的振幅,φ为初相位.这就证明了,在摆角很小时单摆的振动是简谐振动.单摆系统的机械能包括两部分,一部分是小物体运动的动能)(sin )( t ml l m m E k 2220222212121 另一部分是系统的势能,即单摆与地球所组成的系统的重力势能)cos ( 1mgl mgh E p式中h 是当角位移为θ时物体相对平衡位置上升的高度.可将cos θ展开为!!!cos 6421642 因为θ很小,我们可以只取上式的前两项.所以可以化为)(cos t mgl mgl E p 22022121 可见,单摆系统的动能和势能都是时间的周期函数.单摆系统的总能量等于其动能和势能之和,即)(cos )(sin t mgl t ml E E E p k 220222022121 因为ω2=g/l ,所以上式可以化为2020222121 mgl ml E 上式表示,尽管在简谐振动过程中,单摆系统的动能和势能都随时间作周期性变化,但总能量是恒定不变的,并与振幅的平方成正比.作业(P97)：4、7、9、11、14。

2018_2019学年高中物理第11章机械振动11.3简谐运动的回复力和能量课件新人教版选修3_420190226418

理想化的模型。是一种_______
【预习诊断】 1.请判断下列说法的正误。 (1)回复力的方向总是与速度的方向相反。 (2)回复力的方向总是与加速度的方向相反。向总与位移的方向相反。化情况。 ( ) ( ) ( ( ) )
(3)做简谐运动的质点,任意时刻回复力(不为零)的方 (4)通过速度的增减变化情况,能判断回复力大小的变
知识点一
探究导入:
对回复力和加速度的理解
如图为水平弹簧振子的模型(杆光滑)
(1)振子在O点时受到几个力的作用? (2)振子在B点、C点时受到几个力的作用?
提示:(1)振子在O点时受到重力,杆的支持力两个力的
作用。
(2)振子在B点、C点时受到重力,杆的支持力和弹簧的
弹力三个力的作用。
【归纳总结】 1.回复力的来源: (1)回复力是指将振动的物体拉回到平衡位置的力,同向心力一样是按照力的作用效果来命名的。 (2)回复力可以由某一个力提供,如水平弹簧振子的回复力即为弹簧的弹力;也可能是几个力的合力,如竖直
m
变化,故C错误;由图乙可知,0.8s时振子经过平衡位置,
速度最大,动能最大,故D正确。
【补偿训练】 1.(多选)如果表中给出的是做简谐运动的物体的位移x 或速度v与时刻的对应关系,T是振动周期,则下列选项中正确的是 ( )
A.若甲表示位移x,则丙表示相应的速度v
B.若丁表示位移x,则甲表示相应的速度v C.若丙表示位移x,则甲表示相应的速度v D.若乙表示位移x,则丙表示相应的速度v
和加速度均向上且最大,由牛顿第二定律得FN-mg=mamax,
所以,在最低点时,平台对物体的支持力最大,由牛顿第
三定律知,物体对平台的压力也最大。物体通过平衡位

11简谐振动习题解答(第二版)

习题11解答：一、选择题1 一物体作简谐振动，振动方程为)4cos(π+=tAxω．在t = T/4（T为周期）时刻，物体的加速度为(A)2221ωA-．(B)2221ωA．(C)2321ωA-(D)2321ωA．[ B ]2 一质点作简谐振动，振动方程为)tAcos(φω+=x,当时间2/t T=（T为周期）时，质点的速度为（A）φωsinA（B）φωsinA-（C）φωcosA（D）φωcosA-[ A ]3 用余弦函数描述一简谐振子的振动．若其速度～时间（v～t）关系曲线如图所示,则振动的初相位为［A ］21--4．两个不同的轻质弹簧分别挂上质量相同的物体1和2, 若它们的振幅之比A2 /A1=2, 周期之比T2 / T1=2, 则它们的总振动能量之比E2 / E1 是(A) 1 (B) 1/4 (C) 4/1 (D) 2/1［A ］解:振动能量22222221TAmAmEEEpkπω==+=即2121212TAmEπ=2222222TAmEπ=12122222211222212122222222121221=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=⋅==∴T T A A T T A A T A m T A m E E ππ 二、填空题1．一弹簧振子作简谐振动，振幅为A ，周期为T ，其运动方程用余弦函数表示．若t = 0时，(1) 振子在负的最大位移处，则初相为；(2) 振子在平衡位置向正方向运动，则初相为 - ；(3) 振子在位移为A/2处，且向负方向运动，则初相为 3 ___．2．两个同方向、同频率的简谐振动，其合振动的振幅为20 cm ，与第一个简谐振动的相位差为α –α1 = π/6．若第一个简谐振动的振幅为310cm, 则(1)第二个简谐振动的振幅为_10 cm ，(2)第一、二两个简谐振动的相位差为2ππ-或者2．3．两个线振动合成为一个圆运动的条件是（1），（2），（3），（4） . 解答：同频率：同振幅；两振动互相垂直；位相差为212012(k ),k ,,,π+=±± (2)三、计算题 1．一物体作简谐振动，其振动方程为)2135cos(04.0π-π=t x (SI) ． (1) 此简谐振动的周期T = 1.2 s ；(2) 当t = 0.6 s 时，物体的速度v = －20.9 cm/s ．2. 已知某简谐振动的振动曲线如图所示，位移的单位为厘米，时间单位为秒．则此简谐振动的振动方程为：)3234cos(2π+π=t x ．．3 一质点作简谐振动，速度最大值vm = 5 cm/s ，振幅A = 2 cm ．若令速度具有正最大值的那一时刻为t = 0，求则振动表达式?)212/5cos(1022π-⨯=-t x (SI) 4 一质点在x 轴上作简谐振动，振辐A = 4 cm ，周期T = 2 s ，其平衡位置取作坐标原点．若t = 0时刻质点第一次通过x = -2 cm 处，且向x 轴负方向运动，则质点第二次通过x = -2 cm 处的时刻为多少 ? (2/3) s5. 用余弦函数描述一简谐振子的振动. 若其振动曲线如图所示，求振动的初相位和周期。

振动理论11(2)-自激振动

相平面●不显含时间变量的系统称为自治系统，即时间不出现在运动微分方程中，只有时间的微分出现在形如下面的方程中⏹其中函数表示单位质量物体上恢复力与阻尼力的合力●把上面的方程用两个一阶方程来表示如果和为笛卡尔坐标，平面称为相平面. 系统的状态就可以用坐标和来描述，表示为相平面上的一个点随系统的改变，相平面内的点移动，在相平面内产生一个曲线，称为相轨迹(trajectory).●状态速度定义为●当状态速度为零时即达到平衡态：速度和加速度均为零●利用第一个方程，用第二个方程除第一个方程，●对于相平面上的每个点，如果是可确定的，迹的斜率是唯一的：●相轨迹的走向总是顺时针方向，与轴正交。

●如果（即迹点在轴上）并且, 迹的斜率无限大, 所有跟这个点相关的迹均垂直于轴51●如果，, 斜率不确定．这时的相点定义为奇异点.奇异点与平衡状态相关，在该平衡状态里，速度和力均为零关于奇异点表征的平衡是稳定的还是不稳定的，还需要进一步的讨论例题●确定单自由度振动的相平面:●解由, 写成两个一阶方程:二式相除，●分离变量并积分●这是一族椭圆，大小由确定。

●这个方程是一个保守体系:●奇异相点为保守系统的自由振动首先用相平面法研究最简单的机械系统，即保守系统。

其动力学方程为对应的相轨迹微分方程为分离变量并积分●为保守系统的势能●积分常数⏹系统的总机械能,取决于初始条件●上述相轨迹方程表示了系统的机械能守恒，即保守系统的能量积分●也可写作●对应于实际发生的运动，必须有(否则只是想像的)56●相轨迹曲线相对横坐标轴对称●与交点（动能为零）的●势能曲线的驻点对应横坐标轴上的奇点●在势能取极小值的⏹（有动能，有非零值），在相平面上对应奇点的封闭相轨迹⏹当（没有非零的值）时，不存在对应的相轨迹⏹这种类型的奇点是稳定的，称为中心。

它对应于系统的稳定平衡状态57●在势能取极大值的⏹，在区间内没有对应的相轨迹⏹在时，及处处相接触⏹当时，这两个分支则演变为分布在轴的上方和下方的两支曲线。

第11章机械振动第3讲简谐运动的回复力和能量

第3讲简谐运动的回复力和能量[目标定位] 1.知道回复力的概念，了解它的来源.2.理解从力的角度来定义的简谐运动.3.理解简谐运动中位移、回复力、加速度、速度、能量等各物理量的变化规律.4.知道简谐运动中机械能守恒，能量大小与振幅有关．会用能量守恒的观点分析水平弹簧振子中动能、势能、总能量的变化规律．一、简谐运动的回复力1．简谐运动的动力学定义：如果质点所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成正比，并且总是指向平衡位置，质点的运动就是简谐运动．2．回复力：由于力的方向总是指向平衡位置，它的作用总是要把物体拉回到平衡位置，所以通常把这个力称为回复力．3．简谐运动的回复力与位移的关系：F＝－kx，式中k是比例系数．想一想回复力是不是除重力、弹力、摩擦力等之外的一种新型的力？它有什么特点？答案不是．回复力是指将振动的物体拉回到平衡位置的力，是按照力的作用效果来命名的，不是一种新型的力，所以分析物体的受力时，不分析回复力．回复力可以由某一个力提供(如弹力)，也可能是几个力的合力，还可能是某一个力的分力，归纳起来，回复力一定等于物体沿振动方向所受的合力．二、简谐运动的能量1．如果摩擦力等阻力造成的损耗可以忽略，在弹簧振子运动的任意位置，系统的动能与势能之和都是一定的．2．简谐运动是一种理想化的模型．想一想弹簧振子在振动过程中动能与势能相互转化，振子的位移x、回复力F、加速度a、速度v四个物理量中有哪几个与动能的变化步调一致？答案只有速度v.一、简谐运动的回复力1．对回复力的理解(1)回复力是指将振动物体拉回到平衡位置的力，它可以是物体所受的合外力，也可以是一个力或某一个力的分力，而不是一种新的性质力．(2)简谐运动的回复力：F＝－kx.①k是比例系数，并非弹簧的劲度系数(水平弹簧振子中k为弹簧的劲度系数)，其值由振动系统决定，与振幅无关．②“－”号表示回复力的方向与偏离平衡位置的位移的方向相反．③x是指物体对平衡位置的位移，不一定是弹簧的伸长量或压缩量．④回复力的作用总是把物体拉向平衡位置．2．简谐运动的加速度据牛顿第二定律，a＝Fm＝－km x，表明简谐运动的加速度大小也与位移大小成正比，加速度方向与位移方向相反．说明：k是比例系数，不能与弹簧的劲度系数相混淆．3．判断振动为简谐运动的方法(1)运动学方法：找出物体的位移与时间的关系，若遵从正弦函数的规律，即它的振动图象(xt 图象)是一条正弦曲线，就可判定此振动为简谐运动．(2)动力学方法：若回复力F与位移x间的关系满足F＝－kx，则物体做简谐运动，否则就不是简谐运动．例1如图1所示，弹簧振子在光滑水平杆上的A、B之间做往复运动，下列说法正确的是()图1A．弹簧振子运动过程中受重力、支持力和弹簧弹力的作用B．弹簧振子运动过程中受重力、支持力、弹簧弹力和回复的力作用C．振子由A向O运动过程中，回复力逐渐增大D．振子由O向B运动过程中，回复力的方向指向平衡位置解析回复力是根据效果命名的力，不是做简谐运动的物体受到的具体的力，它是由物体受到的具体的力所提供的，在此情景中弹簧的弹力充当回复力，故A正确，B错误；回复力与位移的大小成正比，由A向O运动过程中位移的大小在减小，故此过程回复力逐渐减小，C错误；回复力总是指向平衡位置，故D正确．答案AD例2如图2所示，将一劲度系数为k，原长为L0的轻弹簧的一端固定在倾角为θ的光滑斜面的顶端，另一端连接一质量为m的小球．将小球沿斜面拉下一段距离后松手．证明：小球的运动是简谐运动．图2证明设小球在弹簧长度为L1时在平衡位置O，弹簧原长为L0，选沿斜面向上为正方向，则由平衡条件得k(L1－L0)－mg sin θ＝0.当小球振动经过O点以上距O点为x处时，受力为F合＝k(L1－L0－x)－mg sin θ，整理得F合＝－kx，当小球振动经过O点以下位置时，同理可证，因此小球的运动是简谐运动．二、简谐运动的能量1．不考虑阻力，弹簧振子振动过程中只有弹力做功，在任意时刻的动能与势能之和不变，即机械能守恒．2．简谐运动的机械能由振幅决定对同一振动系统来说，振幅越大，振动的能量越大．如果没有能量损耗，振幅保持不变，它将永不停息地振动下去，因此简谐运动又称等幅振动．例3如图3所示，一弹簧振子在A、B间做简谐运动，平衡位置为O，已知振子的质量为M.图3(1)简谐运动的能量取决于________，物体振动时动能和________能相互转化，总机械能________．(2)振子在振动过程中，下列说法中正确的是()A．振子在平衡位置，动能最大，势能最小B．振子在最大位移处，势能最大，动能最小C．振子在向平衡位置运动时，由于振子振幅减小，故总机械能减小D．在任意时刻，动能与势能之和保持不变(3)若振子运动到B处时将一质量为m的物体放到M的上面，且m和M无相对滑动而一起运动，下列说法正确的是()A．振幅不变B．振幅减小C．最大动能不变D．最大动能减小解析(1)简谐运动的能量取决于振幅，物体振动时动能和弹性势能相互转化，总机械能守恒．(2)振子在平衡位置两侧往复运动，在最大位移处速度为零，动能为零，此时弹簧的形变最大，势能最大，所以B正确；在任意时刻只有弹簧的弹力做功，所以机械能守恒，D正确；到平衡位置处速度达到最大，动能最大，势能最小，所以A正确；振幅的大小与振子的位置无关，所以C错误．(3)振子运动到B点时速度恰为零，此时放上m，系统的总能量即为此时弹簧储存的弹性势能，由于简谐运动中机械能守恒，所以振幅保持不变，因此选项A正确，B错误；由于机械能守恒，最大动能不变，所以选项C正确，D错误．答案(1)振幅弹性势守恒(2)ABD(3)AC三、简谐运动中各物理量的变化情况如图4所示的弹簧振子图4例4如图5图5A．在第1 s内，质点速度逐渐增大B．在第1 s内，质点加速度逐渐增大C．在第1 s内，质点的回复力逐渐增大D．在第4 s内质点的动能逐渐增大E．在第4 s内质点的势能逐渐增大F．在第4 s内质点的机械能逐渐增大解析在第1 s内，质点由平衡位置向正向最大位移处运动，速度减小，位移增大，回复力和加速度都增大；在第4 s内，质点由负向最大位移处向平衡位置运动，速度增大，位移减小，动能增大，势能减小，但机械能守恒．答案BCD简谐运动的回复力1．如图6所示，弹簧振子B上放一个物块A，在A与B一起做简谐运动的过程中，下列关于A受力的说法中正确的是()图6A．物块A受重力、支持力及弹簧对它的恒定的弹力B．物块A受重力、支持力及弹簧对它的大小和方向都随时间变化的弹力C．物块A受重力、支持力及B对它的恒定的摩擦力D．物块A受重力、支持力及B对它的大小和方向都随时间变化的摩擦力解析物块A受到重力、支持力和摩擦力的作用．摩擦力提供A做简谐运动所需的回复力，其大小和方向都随时间变化，D选项正确．答案 D简谐运动的能量2．沿水平方向振动的弹簧振子在做简谐运动的过程中，下列说法正确的是()A．在平衡位置，它的机械能最大B．在最大位移处，它的弹性势能最大C．从平衡位置向最大位移处运动过程中，它的弹性势能减小D．从最大位移处向平衡位置运动的过程中，它的机械能减小解析弹簧振子在振动过程中机械能守恒，故A、D错误；位移越大，弹簧的形变量越大，弹性势能越大，故B正确，C错误．答案 B3．如图7所示，一轻弹簧一端固定，另一端连接一物块构成弹簧振子，该物块是由a、b 两个小物块粘在一起组成的．物块在光滑水平桌面上左右振动．振幅为A0，周期为T0.当物块向右通过平衡位置时，a、b之间的粘胶脱开；以后小物块a振动的振幅和周期分别为A 和T，则：A______A0(填“>”、“<”或“＝”)，T______T0(填“>”、“<”或“＝”)．图7解析物块通过平衡位置时弹性势能为零，动能最大．向右通过平衡位置，a由于受到弹簧弹力做减速运动，b做匀速运动．小物块a与弹簧组成的系统机械能小于原来系统的机械能，所以小物块a的振幅减小，A<A0，由于振子质量减小可知加速度增大，周期减小，T<T0. 答案<<简谐运动中各量的变化情况4．弹簧振子在光滑的水平面上做简谐运动，在振子向着平衡位置运动的过程中() A．振子所受的回复力逐渐增大B．振子离开平衡位置的位移逐渐增大C．振子的速度逐渐增大D．振子的加速度逐渐增大解析在振子向着平衡位置运动的过程中，振子所受的回复力逐渐减小，振子离开平衡位置的位移逐渐减小，振子的速度逐渐增大，振子的加速度逐渐减小，选项C正确．答案 C(时间：60分钟)题组一简谐运动的回复力1．对简谐运动的回复力公式F＝－kx的理解，正确的是()A．k只表示弹簧的劲度系数B．式中的负号表示回复力总是负值C．位移x是相对平衡位置的位移D．回复力只随位移变化，不随时间变化解析位移x是相对平衡位置的位移；F＝－kx中的负号表示回复力总是与振动物体的位移方向相反．答案 C2．物体做简谐运动时，下列叙述正确的是( ) A ．平衡位置就是回复力为零的位置 B ．处于平衡位置的物体，一定处于平衡状态 C ．物体到达平衡位置，合力一定为零 D ．物体到达平衡位置，回复力一定为零解析平衡位置是回复力等于零的位置，但物体所受合力不一定为零，A 、D 对．答案 AD3．对于弹簧振子的回复力和位移的关系，下列图中正确的是( )解析由简谐运动的回复力公式F ＝－kx 可知，C 正确．答案 C4．弹簧振子的质量是2 kg ，当它运动到平衡位置左侧2 cm 处时，受到的回复力是4 N ，当它运动到平衡位置右侧4 cm 处时，它的加速度是( ) A ．2 m /s 2，向右 B ．2 m/s 2，向左 C ．4 m /s 2，向右D ．4 m/s 2，向左解析由振动的对称性知右侧4 cm 处回复力为8 N ，由a ＝－kx m ＝－Fm 知a ＝4 m/s 2，方向向左．答案 D5．如图1所示，质量为m 的物体A 放置在质量为M 的物体B 上，B 与弹簧相连，它们一起在光滑水平面上做简谐运动，振动过程中A 、B 之间无相对运动，设弹簧的劲度系数为k ，当物体离开平衡位置的位移为x 时，A 、B 间摩擦力的大小等于( )图1A ．0B ．kx C.m M kx D.mM ＋mkx解析当物体离开平衡位置的位移为x 时，弹簧弹力的大小为kx ，以整体为研究对象，此时A 与B 具有相同的加速度，根据牛顿第二定律得kx ＝(m ＋M )a ，故a ＝kxM ＋m.以A 为研究对象，使A 产生加速度的力即为B 对A 的静摩擦力F ，由牛顿第二定律可得F ＝ma ＝mM ＋m kx .故正确答案为D. 答案 D题组二简谐运动的能量6．关于振幅，以下说法中正确的是( ) A ．物体振动的振幅越大，振动越强烈B ．一个确定的振动系统，振幅越大，振动系统的能量越大C ．振幅越大，物体振动的位移越大D ．振幅越大，物体振动的加速度越大解析振动物体的振动剧烈程度表现为振幅的大小，对一个确定的振动系统，振幅越大，振动越剧烈，振动能量也就越大，A 、B 项正确．在物体振动过程中振幅是最大位移的大小，而偏离平衡位置的位移是不断变化的，因此C 项错．物体振动的加速度是不断变化的，故D 项错．答案 AB7．振动的物体都具有周期性，若简谐运动的弹簧振子的周期为T ，那么它的动能、势能变化的周期为( )A ．2TB ．T C.T 2 D.T 4解析振动中动能、势能相互转化，总机械能不变，动能和势能为标量，没有方向．C 正确．答案 C8．如图2为一水平弹簧振子的振动图象，由图可知( )图2A ．在t 1时刻，振子的动能最大，所受的弹力最大B ．在t 2时刻，振子的动能最大，所受的弹力最小C ．在t 3时刻，振子的动能最大，所受的弹力最小D ．在t 4时刻，振子的动能最大，所受的弹力最大解析 t 2和t 4是在平衡位置处，t 1和t 3是在最大位移处，根据弹簧振子振动的特征，弹簧振子在平衡位置时的速度最大，加速度为零，即弹力为零；在最大位移处，速度为零，加速度最大，即弹力为最大，所以B项正确．答案 B9．如图3所示为某个弹簧振子做简谐运动的振动图象，由图象可知()图3A．在0.1 s时，由于位移为零，所以振动能量为零B．在0.2 s时，振子具有最大势能C．在0.35 s时，振子具有的能量尚未达到最大值D．在0.4 s时，振子的动能最大解析弹簧振子做简谐运动，振动能量不变，选项A错；在0.2 's时位移最大，振子具有最大势能，选项B对；弹簧振子的振动能量不变，在0.35 s时振子具有的能量与其他时刻相同，选项C错；在0.4 s时振子的位移最大，动能为零，选项D错．答案 B题组三简谐运动的综合应用10．一弹簧振子振动过程中的某段时间内其加速度数值越来越大，则在这段时间内() A．振子的速度逐渐增大B．振子的位移逐渐增大C．振子正在向平衡位置运动D．振子的速度方向与加速度方向一致解析振子由平衡位置向最大位移处运动过程中，振子的位移越来越大，加速度逐渐增大，速度方向与加速度方向相反，振子做减速运动，速度越来越小，故A、D错误，B正确；振子向平衡位置运动的过程中，位移减小，回复力变小，加速度变小，故C错误．答案 B11．甲、乙两弹簧振子，振动图象如图4所示，则可知()图4A ．两弹簧振子完全相同B ．两弹簧振子所受回复力最大值之比F 甲∶F 乙＝2∶1C ．振子甲速度为零时，振子乙速度最大D ．两弹簧振子的振动频率之比f 甲∶f 乙＝2∶1解析由题图可知f 甲∶f 乙＝1∶2，因此两振子不相同，A 、D 错误；由题图可知C 正确；因F 甲＝k 甲A 甲，F 乙＝k 乙A 乙，由于k 甲和k 乙关系未知，因此无法判断F 甲与F 乙的比值，所以B 错误．答案 C12．一质点做简谐运动，其位移和时间关系如图5所示．图5(1)求t ＝0.25×10－2 s 时的位移；(2)在t ＝1.5×10－2 s 到2×10－2 s 的振动过程中，质点的位移、回复力、速度、动能、势能如何变化？(3)在t ＝0到8.5×10－2 s 时间内，质点的路程、位移各多大？解析 (1)由题图可知A ＝2 cm ，T ＝2×10－2 s ，振动方程为x ＝A sin ⎝⎛⎭⎫ωt －π2＝－A cos ωt ＝－2cos2π2×10－2t cm ＝－2cos 100πt cm当t ＝0.25×10－2 s 时，x ＝－2cos π4 cm ＝－ 2 cm.(2)由题图可知在1.5×10－2～2×10－2 s 内，质点的位移变大，回复力变大，速度变小，动能变小，势能变大．(3)从t ＝0至8.5×10－2 s 时间内为174个周期，质点的路程为s ＝17A ＝34 cm ，质点0时刻在负的最大位移处，8.5×10－2 s 时刻质点在平衡位置，故位移为2 cm. 答案 (1)－ 2 cm (2)变大变大变小变小变大 (3)34 cm 2 cm。

实验十一偏振现象观察与分析

实验十一偏振现象的观察与分析光波是电磁波，其电矢量的振动方向垂直于传播方向，是横波．由于普通光源各原子分子发光的随机和无序性，光波电矢量的分布<方向和大小）对传播方向来说是对称的，反应不出横波特点，这种光称为自然光．如果限制了某振动方向的光而使光线的电矢量分布对其传播方向不再对称时，这种光称为偏振光．对于偏振现象的研究在光学发展史中有很重要的地位，光的偏振使人们对光的传播<反射、折射、吸收和散射）规律有了更透彻的认识，本实验将对光偏振的基本性质进行观察、分析和研究．·实验目的1.观察光的偏振现象，掌握产生和检验偏振光的原理和方法，学会确定偏振片的透振方向，验证马吕斯定律；2．用反射起偏法测量平面玻璃的布儒斯特角，求得玻璃的折射率；3．了解λ/4波片、λ/2波片的工作原理和作用<任选其中部分内容）；·实验仪器光具座，He—Ne激光器，光点检流计，光电转换装置，GPS-Ⅱ型偏振光实验仪<包括偏振片×2，λ/4波片×2，λ/2波片×2，背面涂黑的玻璃片及刻度支架，小孔光阑，白屏）．图1 实验仪器<重拍）偏振片及刻度旋转装置：由直径为2cm的偏振片固定在转盘上制成，转盘上指针的位置不一定是偏振片的透振方向．波片及刻度旋转装置：由直径为2cm的波片固定在转盘上制成，转盘上指针的位置不一定是波片的快轴或慢轴的位置．·实验原理从自然光获得偏振光的办法有3种，即利用二向色性的材料制作的偏振片；利用晶体的双折射性质做成的偏振棱镜；利用光学各向同性的两介质分界面上的反射和折射．本实验中所用的偏振片是利用二向色性的材料制作的．一、起偏、检偏与马吕斯定律将自然光变成偏振光的过程称为起偏，检查偏振光的装置称为检偏．按照马吕斯定律，强度为I0的线偏振光通过检偏器后，透射光的强度为：<12-1）式中I0为入射线偏光的光强，为入射光偏振方向与检偏器透振轴之间的夹角．显然，当以光线传播方向为轴转动检偏器时，透射光强度I将发生周期性变化．当=时，透射光强度最大；当=时，透射光强度最小<消光状态）；当<<时，透射光强度介于最大值和最小之间．因此，根据透射光强度变化的情况，可以区别光的不同偏振状态．实验中让入射光共轴依次通过两个偏振片，旋转检偏器，读出不同角下出射光的强度，验证马吕斯定律．二、布儒斯特定律和反射光的偏振当自然光在空气中以某角度入射至折射率为n的透明介质表面时，若反射线与折射线垂直，则其反射光为完全的线偏振光，振动方向垂直于入射面；而透射光为部分偏振光．此规律称为布儒斯特定律，入射角称为布儒斯特角，如图11-2所示．<12-2）实验中可通过用振动方向垂直于入射面的线偏光入射，再用检偏器检查反射光是否消光来确定布儒斯特角，求出玻璃材料的折射率n.图11-2 布儒斯特定律示意图三、λ/4波片与λ/2波片波片是从单轴晶体中切割下来的平行平面板，其表面平行于光轴．当一束单色平行自然光正入射到波片上时，光在晶体内部便分解为o光与e光．o光电矢量垂直于光轴；e光电矢量平行于光轴．而o光和e光的传播方向不变，仍都与表面垂直．但o光在晶体内的速度为，e光的为，即相应的折射率、不同．设晶片的厚度为，则两束光通过晶体后就有位相差<12-3）<12-4）式中λ为光波在真空中的波长．的晶片，称为全波片；的称为半波片<λ/2波片）；为λ/4片，上面的k都是任意整数．不论全波片，半波片或λ/4片都是对一定波长而言．在直角坐标系下，以e光振动方向为横轴，o光振动方向为纵轴，则沿任意方向振动的平行光，正入射到波片的表面后，其振动便按此坐标系分解为e分量和o分量．透过晶片，二者间产生一附加位相差σ，离开晶片时合成光波的偏振性质，决定于σ及入射光的性质．1.偏振态不变的情形：<1）自然光通过任何波片，仍为自然光；<2）若入射光为线偏振光，其电矢量E平行e轴<或o轴），则任何波长片对它都不起作用，出射光仍为原来的线偏振光．2.λ/2波片与偏振光<1）若入射光为线偏振光，且振动方向与晶片光轴成角，则经λ/2玻片出射的光仍为线偏振光，但与光轴成负角．即线偏振光经λ/2片电矢量振动方向转过了2角．<2）若入射光为椭圆偏振光，则经λ/2玻片后，既改变椭圆长<短）轴的取向，也改变椭圆的旋转方向；若入射光为圆偏振光，出射的只是改变了旋转方向的圆偏振光．3.λ/4波片与偏振光<1）若入射光为线偏振光，当角为450时，经λ/4波片后的出射光为圆偏振光，其余情况下为椭圆偏振光；<2）若入射光为圆偏振光，则出射光为线偏振光；<3）若入射光为椭圆偏振光，则出射光一般仍为椭圆偏振光，<详见利萨如图11-3）．图11-3 同频率、振动方向垂直的两振动合成的利萨如图·实验内容与步骤1．定偏振片光轴：把两个偏振片插入光具座，接入光电转换装置及光点检流计，调至共轴．旋转第二个偏振片，使光屏显示消光，此即表示起偏器的透振轴与检偏器的透振轴相互垂直．再从=00开始到900每隔100读一个光电流值，用坐标纸作图验证<12-1）式马吕斯定律．2．测量玻璃板的布儒斯特角，求得玻璃的折射率：在上述1的基础上，撤掉检偏器，将装有底座的待测玻璃片插入光具座，共轴调节后，使玻璃板的法线方向与入射光线重合，记录指针的位置．旋转玻璃片所在的平面，用白板跟踪接收反射光．当入射角在某个特定角附近，仔细旋转起偏器，观察接收屏上光强变化，当光强最小时固定起偏器，再微旋玻璃片的方位，找到光强最弱位置；重复上述调整至消光，此时读出光线对玻璃片的入射角即为玻璃板的布儒斯特角；测量5次，根据<12-2）式计算玻璃的折射率．且与标称值作比较，计算标准偏差．3．考察平面偏振光通过λ/2、λ/4波片时的现象：<选做）<1）在两块偏振片之间插入λ/2波片，旋转检偏器一周，观察消光的次数并解释这现象．<2）将λ/2波片转任意角度，这时消光现象被破坏．把检偏器转动一周，观察发生的现象并作出解释．<3）仍使起偏器和检偏器处于正交<即处于消光现象时），插入λ/2波片，使消光，再将转150，破坏其消光．转动检偏器至消光位置，并记录检偏器所转动的角度．<4）继续将λ/2波片转150<即总转动角为30度），记录检偏器达到消光所转总角度．依次使λ/2波片总转角为450，600，750，900，分别记录检偏器消光时所转过的角度．<5）使起偏器和检偏器正交，中间插入λ/4波片，转动λ/4波片使消光．再将λ/4波片转动150，300，450，600，读出相应的光电流，并分析这时从λ/4波片出来光的偏振状态．·实验数据测量0°10°20°30°40°50°60°70°80°90°I次序 1 2 3 4 5 6 平均入射光方向出射光方向布儒斯特角3.平面偏振光通过λ/2波片时的现象半波片转动角度15°30°45°60°75°90°检偏器转动角度4.平面偏振光通过λ/4波片时的现象λ/4波片转动的角度检偏器转动360度观察到的现象光的偏振性质1．仔细阅读偏振光实验指导及操作说明书，操作中注意首先做“消除暗电流记录”的测试前准备；每步实验前在光具座上用小孔屏调整光路共轴；2．检测光电流时必须确认表针基本停稳后才可以读数<或指针波动大时估读中间值）．偏振光最普遍的来源之一是自然光经电介质表面反射这个无所不在的物理过程．人类生活中来自玻璃、水面等所有表面的反射光和散射光，一般都是部分偏振光．这个规律是马吕斯在1808年开始研究的．巴黎科学院悬赏征求双折射的数学理论，马吕斯就着手研究这个问题．一天傍晚，他站在家中的窗户旁边研究方解石晶体．当时夕阳西照，夕阳从离他家不远的卢森堡宫的窗户上反射到他这里来．他拿起了方解石晶体，通过它观察反射来的太阳的像．使他感到意外的是当转动方解石晶体时，双像中的一个像消失了．太阳下山之后，夜里他继续观察从水面上和玻璃面上反射回来的烛光来核实他的实验．≈56°时消光效果最显著．但在用一支蜡烛和一片玻璃试一试，把玻璃放在θP近掠入射时，两个像都很明亮，无论怎样转动晶体，哪个像都不会消失．马吕斯显然很幸运，站在对着宫殿窗户的一个恰当的角度上．致使他发现了偏振光的规律．普通非晶体材料受到应力时变成各向异性，有双折射．用偏振光的干涉条纹分布的疏密和走向来确定材料的内应力大小．电光开关是指电场使某些各向透明的介质变为各向异性，使光产生双折射，称kerr effect，用电信号控制光信号．光电偏振研究在光调制器、光开关、光学计量、光信息处理、光通信、激光和光电子学器件、晶体性质研究和实验应力分析等技术中有广泛的应用．中学物理课标对偏振及相关内容的要求是：1.通过实验认识光的干涉、衍射、偏振现象以及在生活、生产中的应用；2.用偏振片观察玻璃面反射光、天空散射光的偏振现象；3.用偏振片鉴别普通玻璃和天然水晶，探究这种技术的物理原理．本实验的构思亮点：因为不加布儒斯特窗的半导体激光器发出的光其振动方向与自然光相似，细光束的传播方向集中，使实验操作极大简化，物理思路更加清晰；光具座上可供选择的内容开放，可增加学生的动手动脑兴趣．<零点测量法）操作难点：微电流读数受环境和仪器的影响因素较多，难以准确读数，偏振元件旋转角度最小分度1°，组装粗糙，影响了测量精度．1.本实验为什么要用单色光源照明？根据什么选择单色光源的波长？若光波波长范围较宽，会给实验带来什么影响？2.在确定起偏角时，若找不到全消光的位置，根据实验条件分析原因．3.三块外形相同的偏振片、1/2波片、1/4波片被弄混了，能否把它们区分开来？需要借助什么元件？若能，试写出分析步骤．4. 在透振方向互相垂直的起偏和检偏两片偏振片中插入1/2波片，使光轴和起偏器的透振方向平行，那么透过检偏器的光是亮还是暗？为什么？将检偏器旋转90度，透出的光亮暗是否变化？5.波片加工精度和激光波长漂移会对1/4波片产生的光程差带来误差．试根据波片对线偏振光产生的位相差和光程差公式，对波片厚度和激光波长作一个半定量的估计一般以1/2波长为限．6.已知什么量？哪个是待测量？如何控制变量？关注检流计的量程并做适当调节．按要求处理实验数据，完成实验报告．7.本实验还有哪些操作难点？针对操作难点，摸索并掌握正确的调节的方法．尝试设计实验，探究圆偏振光、椭圆偏振光的产生和检验方法，并完成实验．。

高中物理第11章机械振动单摆

VS
特性描述
非线性振动可能产生跳跃、滞后、分岔等复杂现象，其频率和振幅可能随时间变化。
混沌现象在机械振动中表现
混沌现象定义
在确定性系统中出现的类似随机的、不可预测的长期行为。
在机械振动中的表现
混沌现象可能导致机械系统的振动变得无规律、难以预测，如某些非线性机械系统在特定条件下的振动行为。
THANKS
质点所受重力远大于其他力（如空气阻力等），可忽略其他力的影响。
细线质量可忽略不计，不考虑其对摆动的影响。
条件
细线长度远大于质点大小，可忽略质点对细线形状的影响。
单摆运动方程推导
01
02
03
受力分析
对单摆进行受力分析，质点受重力和细线拉力作用。
运动方程建立
根据牛顿第二定律和简谐振动的动力学方程，建立单摆的运动方程。
振幅、周期与频率关系
振幅
振动物体离开平衡位置的最大距离叫做振动的振幅，用A表示。
周期
频率
单位时间内完成全振动的次数叫做振动的频率，用f表示。频率是周期的倒数，即f=1/T。
振动物体完成一次全振动所需的时间叫做振动的周期，用T表示。
02
单摆模型建立与运动规律
单摆模型构成及条件
构成：单摆由一根不可伸长的细线和一个质点组成，细线一端固定，另一端悬挂质点。
在单摆运动中，如果空气阻力和摩擦力等耗散力可以忽略不计，那么单摆的机械能就是守恒的。
利用机械能守恒定律，可以解决单摆的摆动周期、最大速度、最大高度等问题。
阻尼振动与非线性振动简介
阻尼振动是指振幅逐渐减小的振动，由于阻力的存在，振动系统的机械能不断减少。
非线性振动是指振动的恢复力与位移不成正比的振动，这种振动不能用简单的简谐振动公式来描述。

大学物理11振动4s概要

k 2

另一种表示：单位长度内包含的波长的个数 k 1

5
6）波阵面（波面）振动位相相同的点组成的面。
平面波
波前波线波面波线波前
波面
点波源产生球面波
7）波前：传播在最前的波面。 8）波线发自波源，与波面垂直指向波的传播方向的射线。
最基本、最简单、最重要的是平面简谐波！
6
2 g d d ml ( ) =0 2 dt dt l 得：E总=常量 o 2
l m
h
任意时刻：
随时动能 Ek 1 m 2 1 ml 2o2 2 sin2(o t ) 2 2 间 2 2 2 1 势能 E p mgh mgl(1 cos ) ml o cos2(o t ) 变化 2
Ek o
x 即：谐振动的过程正是动能与势能相互转换的过程 2）E总=常量 3）动能与势能的时间平均值: Ek E p 1 E总 2 2 2 T Ek 1 0 1 kA2 sin2 (0t 0 )dt kA 0 0 sin2 x dx 1kA2 2T0 4 T 2 2 2 T1 0 2 1 kA 1kA2 2 2 cos x dx E P 0 kA cos (0t 0 )dt 42 2T0 0 4 T 2
?
电磁波：电磁场周期性变化在空间的传播引力波：时空形变，以C的速度在空间传播如电磁波如声波
按振动方向与传播方向分类：振动方向与传播方向垂直动画横波：振动方向与传播方向相同纵波：纵波：混合波: 如水波、地震波
各种类型的波有其特殊性，但也有普遍的共性。
——传播的是波源的运动状态
r 2
2外 tg 2 2 0 外

第十一章机械振动.doc

第十一章机械振动11-1 一质量为m 的质点在力F = -π2x 的作用下沿x 轴运动．求其运动的周期．（答案：m 2）11-2 质量为2 kg 的质点，按方程)]6/(5sin[2.0π-=t x (SI)沿着x 轴振动．求： (1) t = 0时，作用于质点的力的大小；(2) 作用于质点的力的最大值和此时质点的位置．（答案：5 N ；10 N ，±0.2 m （振幅端点））11-3 一物体在光滑水平面上作简谐振动，振幅是12 cm ，在距平衡位置6 cm 处速度是24 cm/s ，求(1)周期T ；(2)当速度是12 cm/s 时的位移．（答案：2.72s ；±10.8cm ）11-4 一个轻弹簧在60 N 的拉力作用下可伸长30 cm ．现将一物体悬挂在弹簧的下端并在它上面放一小物体，它们的总质量为4 kg ．待其静止后再把物体向下拉10 cm ，然后释放．问：(1) 此小物体是停在振动物体上面还是离开它？(2) 如果使放在振动物体上的小物体与振动物体分离，则振幅A 需满足何条件？二者在何位置开始分离？（答案：小物体不会离开；g A >2ω，在平衡位置上方19.6 cm 处开始分离）11-5 在竖直面内半径为R 的一段光滑圆弧形轨道上，放一小物体，使其静止于轨道的最低处．然后轻碰一下此物体，使其沿圆弧形轨道来回作小幅度运动. 试证：(1) 此物体作简谐振动； (2) 此简谐振动的周期 gR T /2π=11-6 一质点沿x 轴作简谐振动，其角频率ω = 10 rad/s ．试分别写出以下两种初始状态下的振动方程： (1) 其初始位移x 0 = 7.5 cm ，初始速度v 0 = 75.0 cm/s ；(2) 其初始位移x 0 =7.5 cm ，初始速度v 0 =-75.0 cm/s ．（答案：x =10.6×10-2cos[10t -(π/4)] (SI)； x =10.6×10-2cos[10t +(π/4)] (SI)）11-7 一轻弹簧在60 N 的拉力下伸长30 cm ．现把质量为4 kg 的物体悬挂在该弹簧的下端并使之静止，再把物体向下拉10 cm ，然后由静止释放并开始计时．求 (1) 物体的振动方程；(2) 物体在平衡位置上方5 cm 时弹簧对物体的拉力；(3) 物体从第一次越过平衡位置时刻起到它运动到上方5 cm 处所需要的最短时间．（答案：x = 0.1 cos(7.07t ) (SI)；29.2 N ；0.074 s ）11-8 一物体放在水平木板上，这木板以ν = 2 Hz 的频率沿水平直线作简谐运动，物体和水平木板之间的静摩擦系数μs = 0.50，求物体在木板上不滑动时的最大振幅A max ．（答案：0.031 m ）11-9 一木板在水平面上作简谐振动，振幅是12 cm ，在距平衡位置6 cm 处速率是24 cm/s ．如果一小物块置于振动木板上，由于静摩擦力的作用，小物块和木板一起运动（振动频率不变），当木板运动到最大位移处时，物块正好开始在木板上滑动，问物块与木板之间的静摩擦系数μ为多少？（答案：0.0653）11-10 一质点在x 轴上作简谐振动，选取该质点向右运动通过A 点时作为计时起点( t = 0 )，经过2秒后质点第一次经过B 点，再经过2秒后质点第二次经过B 点，若已知该质点在A 、B 两点具有相同的速率，且AB = 10 cm 求：(1) 质点的振动方程；(2) 质点在A 点处的速率．（答案：)434cos(10252π-π⨯=-t x (SI)；3.93⨯10－2m/s ）11-11 在一轻弹簧下端悬挂m 0 = 100 g 砝码时，弹簧伸长8 cm ．现在这根弹簧下端悬挂m = 250 g 的物体，构成弹簧振子．将物体从平衡位置向下拉动4 cm ，并给以向上的21 cm/s 的初速度（令这时t = 0）．选x 轴向下, 求振动方程的数值式．（答案：)64.07cos(05.0+=t x (SI)）11-12 一质点按如下规律沿x 轴作简谐振动：)328cos(1.0π+π=t x (SI)．求此振动的周期、振幅、初相、速度最大值和加速度最大值．（答案：0.25s ，0.1 m ，2π/3，0.8π m/s ，6.4π2 m/s 2）11-13 一质量为0.20 kg 的质点作简谐振动，其振动方程为 )215cos(6.0π-=t x (SI)．求：(1) 质点的初速度；(2) 质点在正向最大位移一半处所受的力．（答案：3.0 m/s ；-1.5 N ）11-14 有一单摆，摆长为l = 100 cm ，开始观察时( t = 0 )，摆球正好过 x 0 = -6 cm 处，并以v 0 = 20 cm/s 的速度沿x 轴正向运动，若单摆运动近似看成简谐振动．试求(1) 振动频率； (2) 振幅和初相．（答案：0.5Hz ；8.8 cm ，226.8°或－133.2°）11-15 一物体作简谐振动，其速度最大值v m = 3×10-2 m/s ，其振幅A = 2×10-2 m ．若t = 0时，物体位于平衡位置且向x 轴的负方向运动. 求：(1) 振动周期T ； (2) 加速度的最大值a m ；(3) 振动方程的数值式．（答案：4.19 s ；4.5×10-2m/s 2；x = 0.02)215.1cos(π+t (SI)）11-16 一质点作简谐振动，其振动方程为x = 0.24)3121cos(π+πt (SI)，试用旋转矢量法求出质点由初始状态（t = 0的状态）运动到x = -0.12 m ，v < 0的状态所需最短时间∆t ．（答案：0.667s ）11-17 一质量m = 0.25 kg 的物体，在弹簧的力作用下沿x 轴运动，平衡位置在原点. 弹簧的劲度系数k = 25 N ·m -1． (1) 求振动的周期T 和角频率ω．(2) 如果振幅A =15 cm ，t = 0时物体位于x = 7.5 cm 处，且物体沿x 轴反向运动，求初速v 0及初相φ．(3) 写出振动的数值表达式．（答案：0.63s ，10 s －1；－1.3m/s ，π/3；)3110cos(10152π+⨯=-t x (SI)）11-18 两个物体作同方向、同频率、同振幅的简谐振动．在振动过程中，每当第一个物体经过位移为2/A 的位置向平衡位置运动时，第二个物体也经过此位置，但向远离平衡位置的方向运动．试利用旋转矢量法求它们的相位差．（答案：π21）11-19 一简谐振动的振动曲线如图所示．求振动方程．（答案：)3/212/5cos(1.0π+π=t x (SI)）11-20 一定滑轮的半径为R ，转动惯量为J ，其上挂一轻绳，绳的一端系一质量为m 的物体，另一端与一固定的轻弹簧相连，如图所示．设弹簧的劲度系数为k ，绳与滑轮间无滑动，且忽略轴的摩擦力及空气阻力．现将物体m 从平衡位置拉下一微小距离后放手，证明物体作简谐振动，并求出其角频率．（答案：22mRJ kR +=ω）11-21 在一竖直轻弹簧的下端悬挂一小球，弹簧被拉长l 0 = 1.2 cm 而平衡．再经拉动后，该小球在竖直方向作振幅为A = 2 cm 的振动，试证此振动为简谐振动；选小球在正最大位-移处开始计时，写出此振动的数值表达式．（答案：)1.9cos(1022t x π⨯=-）11-22 一弹簧振子沿x 轴作简谐振动（弹簧为原长时振动物体的位置取作x 轴原点）．已知振动物体最大位移为x m = 0.4 m 最大恢复力为F m = 0.8 N ，最大速度为v m = 0.8π m/s ，又知t = 0的初位移为+0.2 m ，且初速度与所选x 轴方向相反．(1) 求振动能量；(2) 求此振动的表达式．（答案：0.16J ；)312cos(4.0π+π=t x ）11-23 质量m = 10 g 的小球与轻弹簧组成的振动系统，按)318cos(5.0π+π=t x 的规律作自由振动，式中t 以秒作单位，x 以厘米为单位，求(1) 振动的角频率、周期、振幅和初相； (2) 振动的速度、加速度的数值表达式； (3) 振动的能量E ；(4) 平均动能和平均势能．（答案：ω = 8π s -1，T = 2π/ω = (1/4) s ，A = 0.5 cm ，φ = π/3；)318sin(104v 2πππ+⨯-=-t ，)318cos(103222π+π⨯π-=-t a ；3.95×10-5 J ，3.95×10-5 J ）11-24 一物体质量为0.25 kg ，在弹性力作用下作简谐振动，弹簧的劲度系数k = 25N ·m -1，如果起始振动时具有势能0.06 J 和动能0.02 J ，求 (1) 振幅；(2) 动能恰等于势能时的位移；(3) 经过平衡位置时物体的速度．（答案：0.08 m ；±0.0566m ；±0.8m/s ）11-25 在竖直悬挂的轻弹簧下端系一质量为 100 g 的物体，当物体处于平衡状态时，再对物体加一拉力使弹簧伸长，然后从静止状态将物体释放．已知物体在32 s 内完成48次振动，振幅为5 cm ．(1) 上述的外加拉力是多大？(2) 当物体在平衡位置以下1 cm 处时，此振动系统的动能和势能各是多少？（答案：0.444N ；1.07×10-2 J ，4.44×10-4 J ）11-26 在一竖直轻弹簧下端悬挂质量m = 5 g 的小球，弹簧伸长∆l = 1 cm 而平衡．经推动后，该小球在竖直方向作振幅为A = 4 cm 的振动，求(1) 小球的振动周期； (2) 振动能量．（答案：0.201 s ；3.92×10-3 J ）11-27 一物体质量m = 2 kg ，受到的作用力为F = -8x (SI)．若该物体偏离坐标原点O 的最大位移为A = 0.10 m ，则物体动能的最大值为多少？（答案：0.04 J ）O A11-28 如图，有一水平弹簧振子，弹簧的劲度系数k = 24N/m ，重物的质量m = 6 kg ，重物静止在平衡位置上．设以一水平恒力F = 10 N 向左作用于物体（不计摩擦），使之由平衡位置向左运动了0.05 m 时撤去力F ．当重物运动到左方最远位置时开始计时，求物体的运动方程．（答案：)2cos(204.0π+=t x (SI)）11-29 两个同方向简谐振动的振动方程分别为 )4310cos(10521π+⨯=-t x (SI), )4110cos(10622π+⨯=-t x (SI)求合振动方程．（答案：)48.110cos(1081.72+⨯=-t x (SI)）11-30 一物体同时参与两个同方向的简谐振动： )212c o s (04.01π+π=t x (SI), )2cos(03.02π+π=t x (SI)求此物体的振动方程．（答案：)22.22cos(05.0+π=t x (SI)）。

11振动和波自测题

振动和波自测题一、选择题：1.—轻弹簧，上端固定，下端挂有质量为m 的重物，其自由振动的周期为T ．今已知振子离开平衡位置为x 时，其振动速度为v ，加速度为a ．试判下列计算该振子倔强系数的公式中，哪个是错误的：(A)2max 2max /x mv k = (B)x mg k /= (C)22/4T m k π= (D)x ma k /=2.轻质弹簧下挂一个小盘，小盘作简谐振动，平衡位置为原点，位移向下为正，并采用余弦表示。

小盘处于最低位置时刻有一个小物体落到盘上并粘住如果以新的平衡位置为原点，设新的平衡位置相对原平衡位置向下移动的距离小于原振幅，小物体与盘相碰为计时零点，那么新的位移表示式的初相在：(A)0～π21之间 (B)π21～π之间 (C)π～π23之间 (D) π23～π2之间． 3.两倔强系数分别为1k 和2k 的轻弹簧串联在一起，下面挂着质量为m 的物体，构成一个竖挂的弹簧谐振子，则该系统的振动周期为：(A)21212)(2k k k k m T +=π (B) 212k k m T +=π (C)2121)(2k k k k m T +=π(D) 2122k k m T +=π 4.一倔强系数为k 的轻弹簧截成三等份，取出其中的两根，将它们并联在一起，下面挂一质量为m 的物体，如图所示。

则振动系统的频率为：(A) m k π21(B) m k 621π (C)m k 321π (D) m k 321π 5.一弹簧振子作简谐振动，总能量为1E ，如果简谐振动振幅增加为原来的两倍，重物的质量增为原来的四倍，则它的总能量1E 变为：(A) 4/1E (B) 2/1E (C) 12E (D) 14E6.一物体作简谐振动，振动方程为)cos(21πω+=t A x ，则该物体在0=t 时刻的动能与8/T t= (T 为振动周期)时刻的动能之比为：(A) 1﹕4 (B) 1﹕2 (C) 1﹕1 (D) 2﹕1 (E) 4﹕17.弹簧振子在光滑水平面上作简谐振动时，弹性力在半个周期内所作的功(A)2kA （B ）221kA （C ）241kA(D)0 8.一长为l 的均匀细棒悬于通过其一端的光滑水平轴上，如图所示．作成一复摆．已知细棒绕通过其一端的轴的转动惯量231mlJ =，此摆作微小振动的周期为： (A) gl π2 （B ）g l 22π （C ）g l 322π （D ）g l 3π 9.一质点作简谐振动，周期为T ，当它由平衡位置向X 轴正方向运动时，从二分之一最大位移处到最大位移处这段路程所需要的时间为：(A) 4/T (B) 12/T (C) 6/T (D) 8/T10.一长度为l 、倔强系数为k 的均匀轻弹簧分割成长度分别为1l 和2l 的两部分，且21nl l =，n 为整数，则相应的倔强系数1k 和2k 为：(A) 1k 1+=n kn , )1(2+=n k k (B) 1k n n k )1(+=, 12+=n k k (C) 1k n n k )1(+=, )1(2+=n k k (D) 1k 1+=n kn ,12+=n k k 11.下列函数),(t x f 可表示弹性介质中的一维波动，式中A 、a 和b 是正的常数，其中哪个函数表示沿x 轴负向传播的行波?(A))cos(),(bt ax A t x f += (B) )cos(),(bt ax A t x f −=(C) bt ax A t x f cos cos ),(⋅= (D) bt ax A t x f sin sin ),(⋅=12.一列机械横波在t 时刻的波形曲线如图所示，则该时刻能量为最大值的媒质质元的位置是：(A) f d b o ,,,,′ (B)g e c a ,,,(C) d o ,′ (D) f b ,13.一平面简谐波在弹性媒质中传播时，某一时刻在传播方向上媒质中某质元在负的最大位移处，则它的能量是：(A)动能为零，势能最大． (B)动能为零，势能为零．(C)动能最大，势能最大． (D)动能最大，势能为零．14.一平面简谐波在弹性媒质中传播，在媒质质元从最大位移处回到平衡位置的过程中(A)它的势能转换成动能．(B)它的动能转换成势能．(C)它从相邻的一段媒质质元获得能量，其能量逐渐增加．(D)它把自己的能量传给相邻的一段媒质质元，其能量逐渐减小．15.在波长为λ的驻波中两个相邻波节之间的距离为：(A) λ (B) 4/3λ (C)2/λ (D)4/λ二、填空题：1.用N 40的力拉一轻弹簧，可使其伸长cm 20．此弹簧下应挂 kg 的物体，才能使弹簧振子作简谐振动的周期π2.0=T s ．2.有两相同的弹簧，其倔强系数均为k .(1)把它们串联起来,下面挂一个质量为m 的重物,此系统作简谐振动的周期为______；(2)把它们并联起来,下面挂一个质量为m 的重物,此系统作简谐振动的周期为______.3.一单摆的悬线长m l 5.1=，在顶端固定点的铅直下方m 45.0处有一小钉，如图示．设两方摆动均较小，则单摆的左右两方振幅之比21/A A 的近似值为 .填空题3图填空题4图填空题5图4.两个同频率余弦交流电)(1t i 和)(2t i 的曲线如图所示，则位相差=−12ϕϕ_______.5.已知两个简谐振动曲线如图所示．1x 的位相比2x 的位相超前_______.6.质量为m 的物体和一个轻弹簧组成弹簧振子，其固有振动周期为T 。

11-1简谐振动旋转矢量表示法

以 o 为原 v 点旋转矢量 A 的端点在 x 轴上的投影点的运动为简谐运动.
第十一章振动
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1111-1 简谐振动的旋转矢量表示法
ω
t =t
ωt + ϕ
v A
x
o
x = A cos(ωt + ϕ )
以 o 为原 v 点旋转矢量 A 的端点在 x 轴上的投影点的运动为简谐运动.
x1 = A1 cos(ωt + ϕ1 ) x2 = A2 cos(ωt + ϕ 2 )
∆ϕ = (ωt + ϕ 2 ) − (ωt + ϕ1 )
∆ϕ = ϕ 2 − ϕ1
第十一章振动
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1111-1 简谐振动的旋转矢量表示法
∆ϕ = ϕ 2 − ϕ1
∆ϕ = 0 同步
∆ϕ = ±π 反相 ∆ϕ为其它
简谐运动，（1）对同一简谐运动，相位差可以给出）同一简谐运动两运动状态间变化所需的时间．两运动状态间变化所需的时间．
x1 = A cos(ωt1 + ϕ )
x2 = A cos(ωt 2 + ϕ )
∆ϕ = (ωt2 +ϕ) −(ωt1 +ϕ)
∆t = t2 −t1 = ∆ϕ
ω
第十一章振动
x = 0.104m v = −0.188m / s 2 a = −1.03m / s
A
− 0.12 −0.06
t 时刻
x/m
0.12
起始时刻
15
o
π − 3
0.06
A
第十一章振动
ω
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高中物理模块要点回眸第11点加强点振动“强”减弱

第11点加强点振动“强”，减弱点振动“弱”学习了波的干涉之后，有些同学会有这样的错误认识：振动加强点(区)，质点总处于波峰(或波谷)，振动减弱点(区)质点总处于平衡位置(即不振动)．其实不然，下面咱们根据振动加强点和减弱点的振动图像来理解它们的振动特点．1．振动加强点的振动图像如图1所示，对于图中的a点，设波源S1、S2在a点引起的振幅分别为A1和A2，以图中a 点波峰与波峰相遇时刻计时，波源S1、S2分别引起a点的振动图像如图2甲、乙所示，当两列波重叠后，a点同时参与两个振动，合振动的图像如图2丙所示．图1图2从图中可看出：对于a点，在t＝0时是两列波的波峰和波峰相遇，经过半个周期，就变成波谷和波谷相遇，再过半个周期，就变成波峰和波峰相遇．也就是说，a点始终是振动加强点，合振动的振幅等于两列波分别引起的振幅之和．从图像还可以看出，振动加强的a点并不是始终处于波峰或波谷，它仍然在平衡位置附近振动，其位移随时间变化，其振动比两列波单独时剧烈了．2．振动减弱点的振动图像如图1所示，以波源S1、S2分别将波峰、波谷传给减弱点b时刻开始计时，波源S1、S2分别引起b点的振动图像如图3甲、乙所示，当两列波重叠后，b点同时参与两个振动，合振动的图像如图3丙所示．图3从图像可以看出，在t＝0时，b点是一列波(S1)的波峰和另一列波(S2)的波谷相遇，经过半个周期，就变成一列波(S1)的波谷和另一列波(S2)的波峰相遇，在这一点两列波引起的合振动始终是减弱的，质点振动的振幅等于两列波的振幅之差．从图像还可以看出，振动减弱的b点并不是不振动，只是振幅最小，等于两列波的振幅之差．只有当两列波的振幅相等时，振动减弱的质点才不振动．对点例题如图4所示是水波干涉的示意图，S1、S2是两波源，A、D、B三点在一条直线上，两波源的频率相同，振幅相等，则下列说法正确的是( )图4A．A点一直在波峰，B点一直在波谷B．B点一会儿在波峰，一会儿在波谷C．C点一会儿在波峰，一会儿在波谷D．D点一会儿在波峰，一会儿在波谷解题指导在波的干涉中，振动加强区域里的质点总在自己的平衡位置两侧做简谐振动，只是质点的振幅较大，为A1＋A2.本题中由于A1＝A2，故振动减弱区的质点并不振动，C点是波峰与波谷相遇，为减弱点，故C点不振动．而此时A点是波峰与波峰相遇，是加强点，B点是波谷与波谷相遇，是加强点，又A、D、B三点在一条振动加强线上，这条线上任一点的振动都是加强的，故此三点都为加强点，故此三点都是一会儿在波峰，一会儿在波谷．答案BD易错警示要切实理解好振动加强和振动减弱的含义是解决本题的关键．振动加强和振动减弱是针对振幅而不是位移而言的．若认为只有干涉图样上波峰和波峰、波谷和波谷相遇的点才是振动加强的点，波峰和波谷相遇的点为振动减弱的点，可能漏选 D.若误认为加强点永远位于波峰，减弱点永远位于波谷，会误选A.1．如图5所示，甲、乙两平面波是振幅相同的相干波，甲波沿x轴正方向传播，乙波沿y 轴正方向传播．图中实线表示某一时刻的波峰位置，虚线表示波谷位置．对图中正方形中央的a、b、c、d四点的振动情况，下列判断正确的是( )图5A．a、b点振动加强，c、d点振动减弱B．a、c点振动加强，b、d点振动减弱C．a、d点振动加强，b、c点振动减弱D．a、b、c、d四点的振动都加强答案 B解析当两列波产生干涉现象时，会形成加强区与减弱区彼此相间的稳定的干涉图样．在题图中设A、B、C、D四点处在实线的交点，即波峰与波峰相遇，都是加强点，又由于甲、乙两列波分别沿x轴正方向和y轴正方向传播，所以BD决定的直线为加强线，过A、C且平行于BD的两条直线也应是加强线．由图不难看出，a、c点处在振动加强区，b、d点处在振动减弱区．2．如图6所示，S1、S2是振动情况完全相同的两个机械波波源，振幅为A.a、b、c三点分别位于S1、S2连线的中垂线上，且ab＝bc.某时刻a是两列波波峰的相遇点，c是两列波波谷的相遇点，则( )图6A．a处质点的位移始终为2AB．c处质点的位移始终为－2AC．b处质点的振幅为2AD．c处质点的振幅为2A答案CD解析由于a是两列波波峰的相遇点，c是两列波波谷的相遇点，所以a点和c点均为振动加强的点．但是，只要a点和c点有振动，位移就有变化．a、c两点的振幅为2A，不等于说a、c两点的位移始终为2A或－2A，选项A、B错误．b点位于S1、S2的中垂线上，S1、S2传到b点的振动同步，所以b点也是振动加强的点，实际上在S1S2连线的中垂线上的任何点都是振动加强的点，选项C、D正确．。

受迫振动与共振

塔科马海峡大桥位于美国华盛顿州的塔科马海峡。第一座塔科马海峡大桥，绰号舞动的格蒂，于1940年7月1日通车，四个月后戏剧性地被微风摧毁，这一幕正好被一支摄影队拍摄了下来，该桥因此声名大噪。重建的大桥于1950年通车，2007年，新的平行桥通车。
第十一章振动
西行桥现在的西行桥以开放的桁架和加固的支柱设计并重建，并且开设通风孔让风通过。它于1950年10月14日通车，全长5979英尺（1822米）——比原先的桥长40英尺（12米）。它和与之平行的东行桥共同组成了目前美国第五长的悬索桥。因为造成前桥坍塌的共振问题已经被新设计所解决，所以当地居民给予了大桥新的绰号—— “强健的格蒂”。当西行桥刚造好时，它是世界第三大悬索桥。像其它现代悬索桥一样，西行桥由尖锐的钢板而不是原先平边钢板建成。大桥的设计日车流量为6万辆次。建成后，它东西两向同时通车，直到东行桥于2007 年7月15日正式通车
第十一章振动
中文名：塔科马海峡大桥英文名：Tacoma Narrows Bridge 塔科马海峡大桥位于美国华盛顿州的塔科马海峡。第一座塔科马海峡大桥，绰号舞动的格蒂，于1940年7月1日通车，四个月后戏剧性地被微风摧毁，这一幕正好被一支摄影队拍摄了下来，该桥因此声名大噪。 1950年利用旧桥墩改建新桥，主跨不变, 10米。重建的大桥于1950年通车，被称为：强壮的格蒂； 2007年，新的平行桥通车。
x(t ) AH cos(t 0 )
该等幅振动的频率就是强迫力的频率稳定态时的振幅及与强迫力的相位差分别为： C AH 2 2 2 2 2 (0 ) 4 2 0 arctg 2 2 0
第十一章振动
讨论 1 稳定后受迫振动为等幅振动，其频率与强迫力的频率相同。 2 受迫振动的振幅 AH 和初相0 与初始条件无关，只与 0、、有关，可以通过调整驱动力的频率来控制振子的振幅 AH 。

11_机械振动和电磁振荡

1 ω v= = T 2π
4、角频率(angular frequency): 物体在 π秒内所作、角频率( ): 物体在2 的完全运动的次数。的完全运动的次数。
2π ω= = 2πv T
对于弹簧振子，对于弹簧振子，因有 ω = 弹簧振子
k m ，得:
m T = 2π , k
k ν = 2π m
′ ′ φ 0 = ϕ + π / 2 x = A sin( ω t + φ 0 )
简谐振动的运动学特征: 简谐振动的运动学特征: 物体的加速度与位移成正比而方向相反，物体的加速度与位移成正比而方向相反，物体的位移按余弦规律变化。体的位移按余弦规律变化。
速度
dx v= = −ω A sin( ω t + φ 0 ) dt
速度、加速度的旋转矢量表示法：速度、加速度的旋转矢量表示法：
v
a
vx
ax
v, a 沿X 轴的投
影为简谐运动的速度、影为简谐运动的速度、加速度表达式：加速度表达式：
M
X
ωt + φ0
v x = − ω A sin (ω t + φ 0 )
a x = − ω A cos (ω t + φ 0 )
x = A cos(ωt + φ0 )
v = −vm sin(ωt + φ0 ) = vm cos(ωt + φ0 + π 2)
a = −am cos(ωt + φ0 ) = am cos(ωt + φ0 + π )
速度的相位比位移的相位超前 π 2 ，加速度的相位比位移的相位超前 π。
三、谐振动的旋转矢量图示法