拉氏变换和傅里叶变换的关系
拉氏变换和傅里叶变换的关系
拉氏变换和傅里叶变换的关系一、拉氏变换1、拉氏变换的定义：如果有一个以时间t 为自变量的实变函数 ()t f ，它的定义域是 0≥t ，，那么()t f 的的拉普拉斯变换定义为()()()0e d st F s L f t f t t ∞-=∆⎡⎤⎣⎦⎰ (2.10) s 是复变数， ωσj +=s （σ、ω均为实数）， ⎰∞-0e st 称为拉普拉斯积分； )(s F 是函数)(t f 的拉普拉斯变换，它是一个复变函数，通常也称 )(s F 为 )(t f 的象函数，而称 )(t f 为 )(s F 的原函数；L 是表示进行拉普拉斯变换的符号。
式（）表明：拉氏变换是这样一种变换，即在一定条件下，它能把一实数域中的实变函数变换为一个在复数域内与之等价的复变函数 )(s F 。
2、拉氏变换的意义工程数学中常用的一种积分变换。
它是为简化计算而建立的实变量函数和复变量函数间的一种函数变换。
对一个实变量函数作拉普拉斯变换，并在复数域中作各种运算，再将运算结果作拉普拉斯反变换来求得实数域中的相应结果，往往比直接在实数域中求出同样的结果在计算上容易得多。
拉普拉斯变换的这种运算步骤对于求解线性微分方程尤为有效，它可把微分方程化为容易求解的代数方程来处理，从而使计算简化。
在经典控制理论中，对控制系统的分析和综合，都是建立在拉普拉斯变换的基础上的。
在工程学上，拉普拉斯变换的重大意义在于：将一个信号从时域上，转换为复频域（s 域）上来表示；在线性系统，控制自动化上都有广泛的应用二、傅里叶变换1、傅里叶变换的定义：f(t ）是t 的函数，如果t 满足狄里赫莱条件：具有有限个间断点；具有有限个极值点；绝对可积。
则有下图①式成立。
称为积分运算f(t ）的傅立叶变换，②式的积分运算叫做F （ω）的傅立叶逆变换。
F （ω）叫做f(t ）的像函数，f(t ）叫做 F （ω）的像原函数。
F （ω）是f(t ）的像。
f(t ）是F （ω）原像。
§4-8 拉氏变换与傅氏变换的关系
《Signals & Systems》
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《信号与系统》
§4-8 拉氏变换与傅氏变换的关系
三、拉普拉斯变换的极点位于虚轴上
例如：单位阶跃信号u(t)
1 u (t ) ←⎯→ s
LT
1 u (t ) ←⎯→ πδ(Ω) + jΩ
FT
显然，当信号的拉普拉斯变换的极点是位于s平面虚轴上的极 点，不能简单地将jΩ代替s已得到它的傅里叶变换。 设信号x(t)的拉普拉斯变换为X(s)，它有虚轴上的单极点:jΩi
jΩ
此时，由其拉氏变换将s代以jΩ求 得其傅里叶变换。
σ
−α
负实轴上的重极点的例子：
te
− αt
1 u (t ) ←⎯→ ( jΩ + α ) 2
FT
e − α t u ( t ) 拉氏变换收敛域
LT te − αt u (t ) ←⎯→
负实部的共轭复数极点的例子：
e
− αt
1 ( s + α) 2
Ai X ( s) = X 1 ( s) + ∑ i =1 s − jΩ i
N
N
x(t ) = x1 (t ) + ∑ Ai e jΩi t u (t )
i =1
N
X ( jΩ) = X 1 ( jΩ) + ∑ Ai δ(Ω − ΩHale Waihona Puke i ) ∗ [πδ(Ω) +
i =1
1 ] jΩ
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§4-8 拉氏变换与傅氏变换的关系
§6.10 傅里叶变换、拉普拉斯变换、z变换之间的关系
邮
院
X
二．z变换与拉普拉斯变换的关系
Ai ˆ t L x s p i 1 i ˆ ( nT ) 也 ˆ ( t ) 进行理想抽样，得到的离散时间序列 x 对x 由N 项指数序列相加组合而成。 ˆ nT x ˆ 1 nT x ˆ 2 nT x ˆ N nT x
jω
n
电
子 工
X z
n x n z
北
程 学
院
逆变换 x n
2 j 1 2 j 1
1
z 1
X z z
n 1
dz
第 5 页
北
京
1 IDTFT X e x n 2
学
n
电
x n e jn
j K2 K 2
* 1
北
程 学
K1 K2 ω0 解： xt sinω0 t ut X s 2 2 s j ω0 s j ω0 s ω0 两个一阶极点分别为 p1 j ω0，p2 j ω0 。
电
大 学
电
子 工
序列sinω0 nT unT 的z变换。
第 7 页
大 学
北
i 1
i 1
其拉式变换为
N
北
京
邮 电
Ai ˆ t L x s p i 1 i
大
学
电
子 工
程 学
京
ˆ i t Ai e pi t u t x
电
N
电
子 工
程
学 院
N
匀抽样 x t 均 x n ,
由拉氏变换可以直接写出傅氏变换
由拉氏变换可以直接写出傅氏变换拉氏变换和傅里叶变换是两种常见的数学变换方法，在信号处理和控制系统中经常被使用。
拉氏变换和傅里叶变换之间有着密切的联系，可以通过拉氏变换来推导出傅里叶变换。
拉氏变换是一种将一个时域函数转换为复平面上的一个复数函数的变换方法。
它在信号处理和系统控制中被广泛应用，可以将时域中的微分和积分运算转换为复平面上的乘法和除法运算。
通过拉氏变换，可以将复杂的微分方程转换为简单的代数方程，从而更容易分析和求解系统的动态特性。
拉氏变换的定义是：L{f(t)} = F(s) = ∫[0, ∞]e^(-st)f(t)dt其中，f(t)是一个定义在t≥0上的函数，F(s)是其拉氏变换。
s是一个复变量，表示复平面上的一个点，其实部和虚部分别表示频域中的频率和阻尼系数。
傅里叶变换是一种将一个时域函数转换为频域函数的变换方法。
它可以将一个信号分解为不同频率的正弦和余弦函数的叠加，从而分析信号的频谱特性。
傅里叶变换的定义是：F{f(t)} = F(ω) = ∫[-∞, ∞]e^(-jωt)f(t)dt其中，f(t)是一个定义在整个实数轴上的函数，F(ω)是其傅里叶变换。
ω是一个实变量，表示频域中的频率。
由于傅里叶变换是一个复数函数，可以表示幅度和相位信息，因此可以更全面地描述信号的频谱特性。
拉氏变换和傅里叶变换之间存在着紧密的联系。
事实上，拉氏变换可以看作是傅里叶变换在复频域的特殊情况。
通过将s替换为jω，可以将拉氏变换转换为傅里叶变换。
这个关系可以通过拉氏变换的性质和傅里叶变换的定义来推导。
具体而言，可以使用拉氏变换的线性性质、时移性质和频移性质，以及傅里叶变换的定义，将拉氏变换转换为傅里叶变换。
这个过程可以简化信号处理和系统控制中的计算和分析，使得问题的求解更加方便和高效。
在实际应用中，拉氏变换和傅里叶变换经常同时使用。
通过拉氏变换，可以将时域的微分和积分运算转换为复平面上的乘法和除法运算，从而更容易分析和求解系统的动态特性。
双边拉氏变换及拉氏变换与傅氏变换的关系
收敛域没有改变，象函数的极点全部 位于收敛域右侧
2019/2/7 信号与系统
2.双边信号的拉氏变换
例：f (t ) u(t ) et u(t ), 试求BLT
t<0,f(t)=0,双边LT→单边LT，收敛域包括虚轴
F ( j ) F ( s) |s j
若收敛边界在虚轴上，F(s)极点在虚轴上，则信号 的频谱函数中会出现奇异函数项
1 1 例如：f (t ) u (t ) F ( s) F ( ) ( ) s j
2019/2/7 信号与系统
作业
4-45
2019/2/7
信号与系统
4.12 双边拉氏变换
双边拉氏变换（广义傅里叶变换）：
FB ( s) f (t )e dt
st
对于衰减因子，t>0时的情况与t<0时的情况正 好相反，因此对于双边拉氏变换积分结果不一定存 在，这个与单边拉氏变换不同。要讨论双边拉氏变 换的存在性问题。
F(s) 收敛域 f(t)
1/s
1/s 1/(s+a)
>0
<0 >-a
u(t)
-u(-t) e-at u(t)
1/(s+a)
<-a
-e-at u(-t)
1 1 F ( s) s s 0 f (t ) u( t ) e t u(t )
0
4.11 线性系统的稳定性
1、稳定系统
有限（界）激励，产生有限（界）激励，稳定系统 有限（界）激励，产生无限（界）激励，为不稳定系统
傅里叶变换拉普拉斯变换z变换关系
傅里叶变换拉普拉斯变换z变换关系
傅里叶变换、拉普拉斯变换和z变换是三种不同的信号分析方法。
它们之间的关系如下：
1. 傅里叶变换和拉普拉斯变换
傅里叶变换用于分析连续时间信号，而拉普拉斯变换用于分析连续时间线性时不变系统（LTI系统）。
当对LTI系统的输入信号进行傅里叶变换时，得到的结果是系统的频率响应，即系统在不同频率下的增益和相位差。
当使用拉普拉斯变换对LTI系统的输入信号进行变换时，得到的结果是系统的传递函数，即输入信号和输出信号之间的关系。
2. 傅里叶变换和z变换
傅里叶变换和z变换都用于分析离散时间信号。
傅里叶变换将信号从时域转换到频域，而z变换将信号从时域转换到z域。
z变换可以将连续时间信号离散化，这使得它在数字信号处理中非常有用。
当对离散时间信号进行傅里叶变换时，得到的结果是信号的离散频谱，即信号在不同频率下的幅度和相位信息。
当使用z 变换对离散时间信号进行变换时，得到的结果是离散时间系统的传递函数，即输入信号和输出信号之间的关系。
3. 拉普拉斯变换和z变换
拉普拉斯变换和z变换类似，都用于分析离散时间线性时不变系统。
当使用拉普拉斯变换对离散时间LTI系统的输入信号进行变换时，得到的结果是系统的离散时间传递函数。
当使用z变换对连续时间LTI系统的输入信号进行变换时，得到的结果是系统的z域传递函数。
这些函数可以用于分析系统的稳定性、带宽和抗差性等性质。
对傅里叶变换、拉氏变换、z变换详细剖析
对傅里叶变换、拉氏变换、z变换详细剖析变换的实质是将一个信号分离为无穷多多正弦/复指数信号的加成，也就是说，把信号变成正弦信号相加的形式——既然是无穷多个信号相加，那对于非周期信号来说，每个信号的加权应该都是零——但有密度上的差别，你可以对比概率论中的概率密度来思考一下——落到每一个点的概率都是无限小，但这些无限小是有差别的。
所以，傅里叶变换之后，横坐标即为分离出的正弦信号的频率，纵坐标对应的是加权密度。
对于周期信号来说，因为确实可以提取出某些频率的正弦波成分，所以其加权不为零——在幅度谱上，表现为无限大——但这些无限大显然是有区别的，所以我们用冲激函数表示。
已经说过，傅里叶变换是把各种形式的信号用正弦信号表示，因此非正弦信号进行傅里叶变换，会得到与原信号频率不同的成分——都是原信号频率的整数倍。
这些高频信号是用来修饰频率与原信号相同的正弦信号，使之趋近于原信号的。
所以说，频谱上频率最低的一个峰（往往是幅度上最高的），就是原信号频率。
傅里叶变换把信号由时域转为频域，因此把不同频率的信号在时域上拼接起来进行傅里叶变换是没有意义的——实际情况下，我们隔一段时间采集一次信号进行变换，才能体现出信号在频域上随时间的变化。
我的语言可能比较晦涩，但我已尽我所能向你讲述我的一点理解——真心希望能对你有用。
我已经很久没在知道上回答过问题了，之所以回答这个问题，是因为我本人在学习傅里叶变换及拉普拉斯变换的过程中着实受益匪浅——它们几乎改变了我对世界的认识。
傅里叶变换值得你用心去理解——哪怕苦苦思索几个月也是值得的——我当初也想过：只要会算题就行。
但浙大校训“求是”时时刻刻鞭策着我追求对理论的理解——最终经过很痛苦的一番思索才恍然大悟。
建议你看一下我们信号与系统课程的教材：化学工业出版社的《信号与系统》，会有所帮助。
（另一种说法）对于周期函数f，傅立叶变换就是把这个函数分解成很多个正弦函数fn的和，每个fn的频率是f的n倍。
拉氏变换和傅里叶变换的关系
拉氏变换和傅里叶变换的关系
拉氏变换与傅里叶变换都是信号处理中重要的数学工具，用于分析
系统的性质和频率响应。
尽管它们有不同的定义和使用方式，但它们
之间存在一定的关系和联系。
下面将从不同的角度介绍它们之间的关系。
一、定义
拉氏变换的本质是傅里叶变换的一种推广。
傅里叶变换用于将一个时
域信号转换为频域信号，而拉氏变换则用于将一个复平面上的函数转
换为另一个复平面上的函数。
可以将傅里叶变换看做是拉氏变换在复
平面上取实轴的特例。
二、对复平面的操作
傅里叶变换将时间域信号映射到频率域，也就是将一个信号映射到一
个实数轴上的函数。
而拉氏变换不仅可以将一个信号映射到实数轴上，还可以将其映射到复平面上。
这使得它在处理复杂信号和非线性系统
时更加灵活。
三、收敛条件
傅里叶变换只在有限区间内解析，因此只能处理有限时间长度的信号。
而拉氏变换可以处理更广泛的信号，包括无限长的信号和非周期信号。
它的收敛条件更加宽松。
四、运算性质
傅里叶变换有许多运算性质，如线性性、时间平移性、频带宽度限制等。
这些性质在信号处理中非常有用。
拉氏变换也有类似的运算性质，但与傅里叶变换的性质略有不同。
例如，拉氏变换在复数域内具有复
共轭对称性，这是傅里叶变换所没有的。
综上所述，拉氏变换与傅里叶变换是相关的但不同的数学工具。
它们
在不同的应用场合具有不同的优点和局限性。
在实际应用中，需要根
据具体问题的需要选择合适的变换方法。
傅里叶变换和拉氏变换的联系和区别
傅里叶变换和拉氏变换的联系和区别傅里叶变换和拉氏变换是数学中两个重要的变换方法，它们在信号处理、图像处理和物理学等领域具有广泛的应用。
虽然这两种变换方法都用于对信号进行频率分析和频域处理，但它们的应用场景、数学公式和结果解释方式存在差异。
1. 定义和应用领域傅里叶变换主要用于连续信号的频率分析和频域处理，将时域信号转换为频域信号。
它将一个连续信号分解成多个正弦函数和余弦函数的叠加，并得到频率谱，从而可以分析信号的频率成分和幅度。
拉氏变换则主要用于对连续时间信号进行整体分析和处理，它将一个连续信号转换为复平面上的函数，并得到信号的拉氏变换函数。
拉氏变换提供了一种对信号进行频域分析和处理的标准方法，可以用于求解微分方程、估计系统的稳定性和对系统进行控制。
2. 数学公式和变换关系傅里叶变换的数学表示为：F(ω) = ∫f(t)e^(-jωt)dt其中，F(ω)表示频率域上的信号，f(t)表示时域上的信号。
拉氏变换的数学表示为：F(s) = ∫f(t)e^(-st)dt其中，F(s)表示复平面上的拉氏变换函数，f(t)表示时域上的信号。
通过对比两个变换公式，我们可以看出傅里叶变换是拉氏变换在频率为复数的特殊情况下的一种形式。
3. 变换结果的解释和应用傅里叶变换的结果是频谱，它表示了信号在不同频率上的幅度和相位信息。
通过傅里叶变换，我们可以将时域上的信号转换为频域上的信号，从而能够更好地理解信号的频率组成和频域特性。
傅里叶变换在音频信号处理、图像处理等领域有广泛应用。
拉氏变换的结果是拉氏变换函数，它表示了信号在复平面上的性质。
通过拉氏变换，我们可以分析信号的阻尼比、共振频率和稳定性等特性。
拉氏变换在电路分析、控制系统设计等领域中被广泛使用。
4. 总结和个人观点傅里叶变换和拉氏变换都是用于信号处理的重要数学工具。
傅里叶变换主要用于频率分析和频域处理，而拉氏变换则用于整体分析和控制系统设计。
两者之间的联系在于傅里叶变换是拉氏变换在频率为复数时的一种形式。
傅里叶变换和拉氏变换的联系和区别
《傅里叶变换和拉氏变换的联系和区别》一、引言傅里叶变换和拉氏变换是信号处理和数学领域中两个重要的变换方法，它们在处理信号和函数时起着至关重要的作用。
本文将深入探讨傅里叶变换和拉氏变换的联系和区别，以便更好地理解它们的应用和特点。
二、傅里叶变换和拉氏变换的基本概念在正式介绍傅里叶变换和拉氏变换的联系和区别之前，首先需要了解它们各自的基本概念。
傅里叶变换是一种将一个函数分解成正弦和余弦函数的技术，常用于处理周期性信号和频域分析。
而拉氏变换是一种将一个函数从时域转换到复平面频域的技术，常用于求解微分方程和控制论中。
从定义和用途上来看，傅里叶变换更加偏向于处理周期性信号和频域分析，而拉氏变换更加偏向于处理连续信号和微分方程。
三、联系1. 共同性质傅里叶变换和拉氏变换在某些方面具有一定的共同性质。
它们都具有线性性质，即对信号进行线性组合后，其变换结果也是线性组合的形式。
它们在频域和时域之间具有对偶性，即在频域上的乘积对应于时域上的卷积，这一点在信号处理中有着重要的应用。
2. 对信号的处理方式傅里叶变换和拉氏变换在处理信号时有着不同的方式。
傅里叶变换更多地强调信号的频域特性，能够将信号分解为不同频率的成分，从而进行频域分析和滤波处理。
而拉氏变换更多地强调信号的幅相特性，能够将信号从时域转换到复平面频域，方便求解微分方程和控制系统的分析与设计。
四、区别1. 定义域和值域傅里叶变换的定义域是时域，值域是频域；而拉氏变换的定义域是复平面上的实轴，值域也是复平面上的一部分。
这表明了傅里叶变换更侧重于处理周期性信号和频域分析，而拉氏变换更侧重于处理连续信号和微分方程。
2. 对信号的处理对象傅里叶变换更多地用于处理周期性信号和离散信号，如音频信号、图像等；而拉氏变换更多地用于处理连续信号和微分方程，如控制系统、通信系统等。
3. 应用领域由于傅里叶变换更多地侧重于处理周期性信号和频域分析，因此在音频处理、图像处理、通信系统等领域有着广泛的应用；而拉氏变换更多地用于求解微分方程和控制系统的分析与设计，因此在控制理论、信号处理、通信系统等领域有着重要的地位。
§4.08 拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系
F (s)之
例如： f (t) u(t) 有 F (s) 1
s
F (j) π() 1 j
对于只有一阶极点的情况，极点位于虚轴
由F(s)出发，将其展开成部分分式
L[ f (t)] F(s)
kn
n s jωn
jωn 是极点
F[ f (t)] F (s) |sjω π knδ(ω ωn )
信号与系统
t 0 f (t) 0
σ0
L f (t) F f (t)u(t) eσt
(s σ jω)
信号与系统
当 σ0 0 时，收敛域边界落在s 右半平面
f (t) eα tu(t)
其拉氏变换 F (s) 1 sα
(α 0) 收敛域 σ α
jω
Oα
σ
F (ω) 不存在，不能由F(s) 求 F(ω)
(s) j s
首先必须判明函数f(t)为因果信号，然后再根据收敛
边界之不同，按以下三种情况分别对待。
1)当F(s)的收敛域的收敛边界位于s右半平面时，f(t)的
拉氏变换存在而傅氏变换均不存在。
2）当F(s)的收敛域的收敛边界位于s左半平面时，f(t)的
拉氏变换和傅氏变换均存在。
F ( j) F (s) s j
j
()
2
0()
0
信号与系统
当 σ0 0 时，收敛边界落在s左半平面
f (t) eαt u(t) (α 0)
拉氏变换 F(s) 1 α s
收敛域 σ α
衰减函数，傅氏变换存在: F(jω) 1 α jω
jω
F (jω) F (s) s jω
α
σ
O
信号与系统
拉氏变换和傅里叶变换的区别
拉氏变换和傅里叶变换的区别拉普拉斯变换（Laplace Transform）和傅里叶变换（Fourier Transform）是信号处理领域中常用的数学工具。
尽管它们很相似，但是它们有一些区别。
本文将详细介绍拉氏变换和傅里叶变换的区别。
一、定义拉普拉斯变换和傅里叶变换都是将一个信号从一个时域（时间）转换到一个频域（频率）的变换。
傅里叶变换是一种无限长时间（时间）和幅度的连续函数，而拉普拉斯变换是傅里叶变换的扩展形式，它不仅包括时域和频域的连续函数，还包括开环传输函数和闭环传输函数。
在傅里叶变换中，信号必须是周期函数或绝对可积函数。
而在拉普拉斯变换中，信号必须是因果的。
换句话说，它必须是“有限的”（finite），在负无穷到正无穷的区间内收敛，否则不能使用拉普拉斯变换。
三、应用傅里叶变换广泛应用于信号处理、通信和控制系统等方面，如频域分析、信号滤波、谱分析等。
拉普拉斯变换主要用于分析线性时不变系统（LTI系统）和控制理论等方面。
在控制系统中，拉普拉斯变换可以用于建立系统模型，设计控制器，计算系统响应和稳定性等。
四、复平面在傅里叶变换中，频率是实数，而在拉普拉斯变换中，频率是复数。
因此，拉普拉斯变换的复平面具有实轴和虚轴，而傅里叶变换只有实轴。
五、收敛域在傅里叶变换中，傅里叶积分在-∞到+∞的范围内成立。
对于拉普拉斯变换，积分要在一个有界的区域内进行。
这个区域被称为收敛域。
信号必须在收敛域内成立才能进行拉普拉斯变换。
六、单位在傅里叶变换中，频率使用的是弧度每秒（radian per second）。
在拉普拉斯变换中，频率也使用弧度每秒，但还有一个额外的因素s（惯性因子）。
这个因素正是区分拉普拉斯变换和傅里叶变换的重要因素。
七、总结拉普拉斯变换和傅里叶变换都是非常重要的数学工具，用于信号处理、通信、电子工程、控制系统和物理学等领域的应用中。
尽管它们有些区别，但它们都可以相互转换，并在不同的应用场合下使用。
傅里叶变换和拉普拉斯变换的关系是什么
傅里叶变换和拉普拉斯变换的关系是什么傅里叶变换是一种积分变换，它来源于函数的傅里叶积分表示。
积分（1）称为ƒ的傅里叶积分。
周期函数在一定条件下可以展成傅里叶级数，而在（－∞，∞）上定义的非周期函数ƒ，显然不能用三角级数来表示。
但是J.-B.-J.傅里叶建议把ƒ表示成所谓傅里叶积分的方法。
傅里叶变换在物理学、电子类学科、数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学、海洋学、结构动力学等领域都有着广泛的应用（例如在信号处理中，傅里叶变换的典型用途是将信号分解成幅值谱——显示与频率对应的幅值大小）。
拉普拉斯变换是工程数学中常用的一种积分变换，又名拉氏变换。
拉氏变换是一个线性变换，可将一个有参数实数t（t≥ 0）的函数转换为一个参数为复数s的函数。
拉普拉斯变换在许多工程技术和科学研究领域中有着广泛的应用，特别是在力学系统、电学系统、自动控制系统、可靠性系统以及随机服务系统等系统科学中都起着重要作用。
有些情形下一个实变量函数在实数域中进行一些运算并不容易，但若将实变量函数作拉普拉斯变换，并在复数域中作各种运算，再将运算结果作拉普拉斯反变换来求得实数域中的相应结果，在经典控制理论中，对控制系统的分析和综合，都是建立在拉普拉斯变换的基础上的。
引入拉普拉斯变换的一个主要优点，是可采用传递函数代替常系数微分方程来描述系统的特性。
这就为采用直观和简便的图解方法来确定控制系统的整个特性、分析控制系统的运动过程，以及提供控制系统调整的可能性。
应用拉普拉斯变换解常变量齐次微分方程，可以将微分方程化为代数方程，使问题得以解决。
在工程学上，拉普拉斯变换的重大意义在于：将一个信号从时域上，转换为复频域（s域）上来表示；在线性系统，控制自动化上都有广泛的应用。
傅里叶变换与拉普拉斯变换的区别与联系1、傅里叶变换与拉普拉斯变换都属于积分变换，是两种常见的数学变换手段，而所谓的积分变换就是通过积分运算，把一个函数变成另一个函数的变换，其作用就是将复杂的函数运算变成简单的函数运算，当选取不同的积分域和变换核时，就得到不同名称的积分变换，傅里叶变换与拉普拉斯变换就是因取不同的积分域与变换核得来的。
单边拉氏变换与傅里叶变换的关系
■
第5页
F(s) s4 8s3 25s2 31s 15 s 2 2s2 3s 3
s3 6s 2 11s 6
s3 6s 2 11s 6
由于L- 1[1]=(t)， L -1[sn]=(n)(t)，故多项式P(s)的拉 普拉斯逆变换由冲激函数构成。
下面主要讨论有理真分式的情形。
如f(t)=e-2t(t) ←→F(s)=1/(s+2) , >-2；
则 F(j)=1/( j+2)
▲
■
第1页
（2）0 =0，即F(s)的收敛边界为j轴，
F(j) lim F(s) 0
如f(t)= (t)←→F(s)=1/s
复习
F(j) lim 1 lim lim j 0 j 0 2 2 0 2 2
左边
s2 4s (s 2)2
3
s 1
▲
■
第 17 页
逆变换
4 3 1 F (s) s 2 s 1 (s 1)2
所以 f (t) L1 F(s) (4e2t 3et t et ) (t)
▲
■
第 18 页
一般情况
F1(s) (s p1)k
K11 (s p1)k
(s
K12 p1)k1
▲
■
第 12 页
求f(t) K1 A j B | K1 | ej K2 A j B K1* | K1 | e j
F0 (s)
K1
s j
K1*
s
j
| K1 | e j
s j
| K1 | e j
s j
f0 t
L1
s
K1 α
j
β
s
K1* α
10-任意对任意激励的响应-傅里叶积分和拉氏变换解析
注意到f(t)的量纲与位移的量纲相同。
周期激励函数可以利用傅里叶级数来表示，即 表达成为无穷个简谐分量的叠加。对于任意非周 期激励函数F(t)=kf(t)，可视为周期T趋于无穷大 的周期函数，也就是说，非周期函数可视为周期 为无穷大的周期函数。这样，离散频率愈来愈接 近，直到成为连续为止。这时傅里叶级数就成为 傅里叶积分。
3．12 课堂讨论
如图所示为一内燃机排气阀系统简图。已知摇 杆AB对转轴O的转动惯量为I，汽阀BC的质量为 mv，阀簧质量为ms，弹簧刚度为ks，计算时根 据考虑弹簧本身质量的瑞利(Rayleigh)法可近似 地将ms／3集中于B点，挺杆AD的质量为mt， 弹簧刚度为kt。求系统固有频率和响应。
此系统可以简化为如图左侧所示的单自由度系统。 系统的动能为
式中，为凸轮使挺杆运动的位移，凸轮按简谐规律 运动，有
据此可计算系统的稳态响应。将上式代入方程，并 根据线性系统的叠加原理，可得以下方程，即
令 稳态响应为
式中
由叠加原理得周期激励的稳态响应为
某发动机配气机构转速n=1200r／min，气门间隙 =0.4 mm，升程h=13.5 mm，θ=ωt为凸轮轴转 角，ω=40πrad／s，升程阶段的总转角β=π。已 知：挺杆质量m=0.2 kg，挺杆长度L=237 mm， 截 面 积 A=75mm2 ， 材 料 弹 性 模 量 E=210000 MPa，气门弹簧质量ms=0.092 kg，气门弹簧刚 度ks=26.68 N／mm，气门质量mv=0.155 kg， 挺杆到摇臂轴中心距离a=40 mm，气阀到摇臂轴 中心距离b=64 mm，摇臂转动惯量I=99kg.mm2， 阻尼系数c=5.0 N·s／mm。试求振动系统的固有 特性和稳态响应。
傅里叶变换和拉氏变换的区别
傅里叶变换和拉氏变换的区别
傅里叶变换和拉氏变换是数学中两个非常重要的变换。
它们在信号处理、控制理论、电路分析等领域中有着广泛的应用。
虽然它们有一些相似之处，但是它们的本质区别还是很大的。
傅里叶变换主要用来分析周期信号。
它将一个周期为T的函数
f(t)分解成频率为整数倍的正弦和余弦函数的线性组合。
这意味着通过傅里叶变换，我们可以将时域的信号转换到频域中，从而更好地理解信号的频率特性。
而拉氏变换则是用于分析非周期信号。
它将一个函数f(t)转换成一个复数函数F(s)，其中s是复数域中的一个变量。
这个复数函数包含了函数f(t)的幅度和相位信息。
通过拉氏变换，我们可以更好地了解信号的稳定性、阻尼特性和频率响应等信息。
另外，傅里叶变换和拉氏变换的逆变换也有所不同。
傅里叶变换的逆变换是傅里叶反变换，它将频域的信号转换回时域中。
而拉氏变换的逆变换是拉氏反变换，它将复数函数F(s)转换回原始函数f(t)。
总的来说，傅里叶变换和拉氏变换是两个不同的数学工具，它们分别适用于周期信号和非周期信号的分析。
通过它们的应用，我们可以更好地了解信号的频率特性、稳定性和响应等信息。
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t sint的拉氏变换
t sint的拉氏变换（最新版）目录1.拉氏变换的定义2.拉氏变换的性质3.拉氏变换的应用4.拉氏变换与傅里叶变换的关系正文拉氏变换，全称为拉普拉斯变换，是一种数学工具，主要用于分析和解决微分方程、积分方程以及线性时不变系统等问题。
拉氏变换可以将一个函数从时域转换到频域，使得我们能够更直观地理解和分析函数的性质。
下面我们将详细介绍拉氏变换的定义、性质、应用以及它与傅里叶变换的关系。
1.拉氏变换的定义拉氏变换的定义如下：设 f(t) 为 t 的实数域上的函数，s 为复变量，那么 f(t) 的拉氏变换 F(s) 定义为：F(s) = ∫[0,∞] f(t)e^(-st) dt，其中积分区间为 [0,∞]。
2.拉氏变换的性质拉氏变换具有以下性质：1) 时域上的移位：若 f(t) 向左平移 a 个单位，则其拉氏变换 F(s) 的解析式为 F(s) = e^(-as) ∫[0,∞] f(t-a)e^(-st) dt；若 f(t) 向右平移 a 个单位，则其拉氏变换 F(s) 的解析式为 F(s) = ∫[a,∞]f(t-a)e^(-st) dt。
2) 时域上的缩放：若 f(t) 在时域上缩放为原来的 k 倍，则其拉氏变换 F(s) 的解析式为 F(s) = k ∫[0,∞] f(kt)e^(-st) dt。
3) 时域上的反演：若 f(t) 的反演为 f(-t)，则其拉氏变换 F(s) 的解析式为 F(s) = ∫[0,∞] f(-t)e^(-st) dt。
4) 时域上的傅里叶变换：若 f(t) 为实数域上的函数，其傅里叶变换为 F(s)，则其拉氏变换为 F(s) = ∫[0,∞] e^(-st) dt。
3.拉氏变换的应用拉氏变换广泛应用于控制工程、信号处理、系统分析等领域。
在解决微分方程、积分方程以及线性时不变系统等问题时，拉氏变换能够提供一种有效的分析方法。
此外，拉氏变换还可以用于求解系统的稳定性、稳态误差、传递函数等问题。
第2章拉氏变换的数学方法
第2章拉氏变换的数学方法拉氏变换是一种非常重要的数学方法，广泛应用于控制理论、信号处理、电路分析等领域。
本章将介绍拉氏变换的定义与性质，以及常见的拉氏变换对表。
首先，我们回顾一下连续时间函数的傅里叶变换。
对于一个连续时间函数f(t)，它的傅里叶变换F(ω)定义为：F(ω) = ∫f(t)e^(-jωt)dt其中，ω是频率，j是虚数单位。
傅里叶变换将时间域函数转换为频率域函数，使得我们可以对信号进行频谱分析。
而拉氏变换是对连续时间函数的傅里叶变换的进一步延伸。
它的定义为：F(s) = ∫f(t)e^(-st)dt其中，s是复变量。
拉氏变换可以看作是傅里叶变换的特例，当s为纯虚数时，拉氏变换退化为傅里叶变换。
通过拉氏变换，我们可以将一个时间域的连续时间函数转换为一个复平面上的函数，使得我们可以更方便地进行信号分析和系统设计。
拉氏变换的性质也是非常重要的，以下是几个常见的拉氏变换性质：1.线性性质：如果f(t)和g(t)的拉氏变换分别为F(s)和G(s)，那么对于任意的常数a、b，有a*f(t)+b*g(t)的拉氏变换为a*F(s)+b*G(s)。
2. 时移性质：如果f(t)的拉氏变换为F(s)，那么f(t - t0)的拉氏变换为e^(-st0) * F(s)。
3. 尺度性质：如果f(t)的拉氏变换为F(s)，那么f(at)的拉氏变换为1/a * F(s/a)。
4. 初值定理：如果f(t)是一个因果函数，则F(s)的极限lim[s->∞] F(s)等于f(0)，即拉氏变换在无穷远处的极限等于函数的初始值。
通过这些性质，我们可以更方便地进行拉氏变换的计算和分析。
接下来，我们介绍一些常见的拉氏变换对表：1.单位脉冲函数的拉氏变换对表：δ(t)的拉氏变换为12.单位阶跃函数的拉氏变换对表：u(t)的拉氏变换为1/s。
3.正弦函数的拉氏变换对表：sin(ωt)的拉氏变换为ω / (s^2 + ω^2)。
第1节 拉氏变换概念及性质
提出的问题:
1.拉氏变换如何由傅里叶变换演变而来? 2.傅里叶变换是拉氏变换的特例吗?存在拉氏变换的信 号一定存在傅里叶变换吗? 3.信号拉氏变换F(s)的反变换是否唯一? 单边信号拉氏变换F(s)的反变换是否唯一? 4.拉氏变换求解系统问题的优越性如何体现? 5.拉氏变换应用有局限性吗?
6.微分方程的拉氏变换求解法及其优越性？
1 如信号F ( s) (t ) s
s F ( s) 2 s 4
s F ( s) ( s 1)( s 2 4) 2
例题：
已知：f (t ) (t ) e t (t ) 1 ）试确定双边拉氏变换 及其收敛域； 2 ）求上述拉氏变换在不 同收敛域下的反变换
设：s = σ + jω（复频率）, dω=ds/j
F ( s) f (t )e st dt 1 j st f (t ) j F (s)e ds 2j
(Bilateral LT)
双边拉普拉斯变换 记作：f (t ) F(s)
说明：F s L f t f t e d t F ( j ) F [ f (t )] f (t )e dt
n!
n
5、 (t) 的导函数
s
e
st
dt
n!
0
s
n 1
t (t )
n
n! s
n 1
L t t e
0
st
(n) (t) s n dt s
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拉氏变换和傅里叶变换的关系
一、拉氏变换
1、拉氏变换的定义：
如果有一个以时间t 为自变量的实变函数 ()t f ，它的定义域是 0≥t ，，那么()t f 的的拉普拉斯变换定义为
()()()0e d st F s L f t f t t ∞
-=∆⎡⎤⎣⎦⎰ (2.10) s 是复变数， ωσj +=s （σ、ω均为实数）， ⎰∞-0e st 称为拉普拉斯积分；
)(s F 是函数 )(t f 的拉普拉斯变换，它是一个复变函数，通常也称 )(s F 为 )(t f 的象函数，而称 )(t f 为 )(s F 的原函数；L 是表示进行拉普拉斯变换的符号。
式（2.10）表明：拉氏变换是这样一种变换，即在一定条件下，它能把一实数域中的实变函数变换为一个在复数域内与之等价的复变函数 )(s F 。
2、拉氏变换的意义
工程数学中常用的一种积分变换。
它是为简化计算而建立的实变量函数和复变量函数间的一种函数变换。
对一个实变量函数作拉普拉斯变换，并在复数域中作各种运算，再将运算结果作拉普拉斯反变换来求得实数域中的相应结果，往往比直接在实数域中求出同样的结果在计算上容易得多。
拉普拉斯变换的这种运算步骤对于求解线性微分方程尤为有效，它可把微分方程化为容易求解的代数方程来处理，从而使计算简化。
在经典控制理论中，对控制系统的分析和综合，都是建立在拉普拉斯变换的基础上的。
在工程学上，拉普拉斯变换的重大意义在于：将一个信号从时域上，转换为复频域（s 域）上来表示；在线性系统，控制自动化上都有广泛的应用
二、傅里叶变换
1、傅里叶变换的定义：
f(t ）是t 的函数，如果t 满足狄里赫莱条件：具有有限个间断点；具有有限个极值点；绝对可积。
则有下图①式成立。
称为积分运算f(t ）的傅立叶变换， ②式的积分运算叫做F （ω）的傅立叶逆变换。
F （ω）叫做f(t ）的像函数，f(t ）叫做
F （ω）的像原函数。
F （ω）是f(t ）的像。
f(t ）是F （ω）原像。
①
傅里叶变换
②
傅里叶逆变换
2、傅里叶变换的意义
傅里叶变换简单通俗理解就是把看似杂乱无章的信号考虑成由一定振幅、相位、频率的基本正弦（余弦）信号组合而成，傅里叶变换的目的就是找出这些基本正弦（余弦）信号中振幅较大（能量较高）信号对应的频率，从而找出杂乱无章的信号中的主要振动频率特点。
如减速机故障时，通过傅里叶变换做频谱分析，根据各级齿轮转速、齿数与杂音频谱中振幅大的对比，可以快速判断哪级齿轮损伤。
二、拉氏变换和傅里叶变换的关系
傅里叶变换：的物理意义非常清晰：将通常在时域表示的信号，分解为多个正弦信号的叠加。
每个正弦信号用幅度、频率、相位就可以完全表征。
傅里叶变换之后的信号通常称为频谱，频谱包括幅度谱和相位谱，分别表示幅度随频率的分布及相位随频率的分布。
对一个信号来说，就包含的信息量来讲，时域信号及其相应的傅里叶变换之后的信号是完全一样的。
那傅里叶变换有什么作用呢？因为有的信号主要在时域表现其特性，如电容充放电的过程；而有的信号则主要在频域表现其特性，如机械的振动，人类的语音等。
若信号的特征主要在频域表示的话，则相应的时域信号看起来可能杂乱无章，但在频域则解读非常方便。
在实际中，当我们采集到一段信号之后，在没有任何先验信息的情况下，直觉是试图在时域能发现一些特征，如果在时域无所发现的话，很自然地将信号转换到频域再看看能有什么特征。
信号的时域描述与频域描述，就像一枚硬币的两面，看起来虽然有所不同，但实际上都是同一个东西。
正因为如此，在通常的信号与系统的分析过程中，我们非常关心傅里叶变换。
拉普拉斯变换：是以法国数学家拉普拉斯命名的一种变换方法，主要是针对连续信号的分析。
拉普拉斯和傅里叶都是同时代的人，他们所处的时代在法国是处于拿破仑时代，国力鼎盛。
在科学上也取代英国成为当时世界的中心，在当时众多的科学大师中，拉普拉斯、拉格朗日、傅里叶就是他们中间最为璀璨的三颗星。
傅里叶关于信号可以分解为正弦信号叠加的论文，其评审人即包括拉普拉斯和拉格朗日。
傅里叶变换虽然好用，而且物理意义明确，但有一个最大的问题是其存在的条件比较苛刻，比如时域内绝对可积的信号才可能存在傅里叶变换。
拉普拉斯变换可以说是推广了这以概念。
在自然界，指数信号e x是衰减最快的信号之一，对信号乘上指数信号之后，很容易满足绝对可积的条件。
因此将原始信号乘上指数信号之后一般都能满足傅里叶变换的条件，这种变换就是拉普拉斯变换。
这种变换能将微分方程转化为代数方程，在18世纪计算机还远未发明的时候，意义非常重大。
从上面的分析可以看出，傅里叶变换可以看做是拉普拉斯的一种特殊形式，即所乘的指数信号为e0。
也即是说拉普拉斯变换是傅里叶变换的推广，是一种更普遍的表达形式。
在进行信号与系统的分析过程中，可以先得到拉普拉斯变换这种更普遍的结果，然后再得到傅里叶变换这种特殊的结果。
这种由普遍到特殊的解决办法，已经证明在连续信号与系统的分析中能够带来很大的方便。