拉氏变换和傅里叶变换的关系
傅里叶变换与拉普拉斯变换区别
Differences Between Two Transforms
• 差别二 求解微分方程的简易性差别
1 拉普拉斯变换可以将系统在时域内的微分与积分的运算转换为乘 法与除法的运算，将微分积分方程转换为代数方程，从而使计算 量大大减少。 2 时域微分性质（给出证明） 3拉普拉斯变换相比傅里叶变换可以对更多函数进行变换
为例
Differences Between Two Transforms
利用matlab对函数进行傅里叶变换，得到其幅度频谱
-(2 cos(w) - 2)/w2
1
0.8
0.6
0.4
正因如此， 傅立叶变换 更多的 是针对信号 的分析和处 理，主要是 频谱分析。
0.2
0 -6 -4 -2 0 w 2 4 6
那么对于一些函数，例如eαtu(t) (α>0)，无法满足上述收敛定理，因 此不存在傅里叶变换
Differences Between Two Transforms
与此同时，一些函数并不满足绝对可积条件，从而不能直接从定 义而导出它们的傅里叶变换。虽然通过求极限的方法可以求得它 们的傅里叶变换，但其变换式中常常含有冲激函数，使分析计算 较为麻烦。 以斜坡信号tu(t)为例
谢谢
Байду номын сангаас
因为现实生活中的信号多为因果信号，因此在此考虑拉普拉斯的现 实意义，引入拉普拉斯单边变换。下述讨论均基于拉普拉斯单边变 换
拉氏变换和傅里叶变换的关系
拉氏变换和傅里叶变换的关系
一、拉氏变换
1、拉氏变换的定义：
如果有一个以时间t 为自变量的实变函数 ()t f ，它的定义域是 0≥t ，，那么()t f 的的拉普拉斯变换定义为
()()()0e d st F s L f t f t t ∞
-=∆⎡⎤⎣⎦⎰ (2.10) s 是复变数， ωσj +=s （σ、ω均为实数）， ⎰∞-0e st 称为拉普拉斯积分； )(s F 是函数
)(t f 的拉普拉斯变换，它是一个复变函数，通常也称 )(s F 为 )(t f 的象函数，而称 )(t f 为 )(s F 的原函数；L 是表示进行拉普拉斯变换的符号。
式（）表明：拉氏变换是这样一种变换，即在一定条件下，它能把一实数域中的实变函数变换为一个在复数域内与之等价的复变函数 )(s F 。
2、拉氏变换的意义
工程数学中常用的一种积分变换。它是为简化计算而建立的实变量函数和复变量函数间的一种函数变换。对一个实变量函数作拉普拉斯变换，并在复数域中作各种运算，再将运算结果作拉普拉斯反变换来求得实数域中的相应结果，往往比直接在实数域中求出同样的结果在计算上容易得多。拉普拉斯变换的这种运算步骤对于求解线性微分方程尤为有效，它可把微分方程化为容易求解的代数方程来处理，从而使计算简化。在经典控制理论中，对控制系统的分析和综合，都是建立在拉普拉斯变换的基础上的。
在工程学上，拉普拉斯变换的重大意义在于：将一个信号从时域上，转换为复频域（s 域）上来表示；在线性系统，控制自动化上都有广泛的应用
二、傅里叶变换
1、傅里叶变换的定义：
§6.10 傅里叶变换、拉普拉斯变换、z变换之间的关系
学 院
京
院
X
第
11 页
北
京
邮 电
大
j j 2 2 X s s j ω0 s j ω0 可以得到 sinω0nT unT 的z变换为 j j 2 2 X z 1 z 1 e jω0T 1 z 1 e jω0T z 1 sinω0T 1 2 z 1 cosω0T z 2
邮
院
X
二．z变换与拉普拉斯变换的关系
Ai ˆ t L x s p i 1 i ˆ ( nT ) 也 ˆ ( t ) 进行理想抽样，得到的离散时间序列 x 对x 由N 项指数序列相加组合而成。 ˆ nT x ˆ 1 nT x ˆ 2 nT x ˆ N nT x
大
1
2
n
X
第
与z变换的关系
学 院
jIm[ s ]
4 页
jIm[ z ]
单位圆 ( z e j ) 1 Re[ z ]
子 工
虚轴( s j )
O
程
电
O
电
大 学
Re[ s]
邮
京
北
京
2
邮 电
周期为
X e j ω X z z e j ω
X
大
由拉氏变换可以直接写出傅氏变换
由拉氏变换可以直接写出傅氏变换
拉氏变换和傅里叶变换是两种常见的数学变换方法，在信号处理和控制系统中经常被使用。拉氏变换和傅里叶变换之间有着密切的联系，可以通过拉氏变换来推导出傅里叶变换。
拉氏变换是一种将一个时域函数转换为复平面上的一个复数函数的变换方法。它在信号处理和系统控制中被广泛应用，可以将时域中的微分和积分运算转换为复平面上的乘法和除法运算。通过拉氏变换，可以将复杂的微分方程转换为简单的代数方程，从而更容易分析和求解系统的动态特性。拉氏变换的定义是：
L{f(t)} = F(s) = ∫[0, ∞]e^(-st)f(t)dt
其中，f(t)是一个定义在t≥0上的函数，F(s)是其拉氏变换。s是一个复变量，表示复平面上的一个点，其实部和虚部分别表示频域中的频率和阻尼系数。
傅里叶变换是一种将一个时域函数转换为频域函数的变换方法。它可以将一个信号分解为不同频率的正弦和余弦函数的叠加，从而分析信号的频谱特性。傅里叶变换的定义是：
F{f(t)} = F(ω) = ∫[-∞, ∞]e^(-jωt)f(t)dt
其中，f(t)是一个定义在整个实数轴上的函数，F(ω)是其傅里叶变换。ω是一个实变量，表示频域中的频率。由于傅里叶变换是一个
复数函数，可以表示幅度和相位信息，因此可以更全面地描述信号的频谱特性。
拉氏变换和傅里叶变换之间存在着紧密的联系。事实上，拉氏变换可以看作是傅里叶变换在复频域的特殊情况。通过将s替换为jω，可以将拉氏变换转换为傅里叶变换。这个关系可以通过拉氏变换的性质和傅里叶变换的定义来推导。具体而言，可以使用拉氏变换的线性性质、时移性质和频移性质，以及傅里叶变换的定义，将拉氏变换转换为傅里叶变换。这个过程可以简化信号处理和系统控制中的计算和分析，使得问题的求解更加方便和高效。
拉氏傅氏变换变换的区别物理解释
2010-12-07 19:25:26来自: Brad(要理解递归，你先要理解递归)
傅里叶变换在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学、海洋学、结构动力学等领域都有着广泛的应用（例如在信号处理中，傅里叶变换的典型用途是将信号分解成幅值分量和频率分量）。
傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。
傅里叶变换是一种解决问题的方法，一种工具，一种看待问题的角度。理解的关键是：一个连续的信号可以看作是一个个小信号的叠加，从时域叠加与从频域叠加都可以组成原来的信号，将信号这么分解后有助于处理。
我们原来对一个信号其实是从时间的角度去理解的，不知不觉中，其实是按照时间把信号进行分割，每一部分只是一个时间点对应一个信号值，一个信号是一组这样的分量的叠加。傅里叶变换后，其实还是个叠加问题，只不过是从频率的角度去叠加，只不过每个小信号是一个时间域上覆盖整个区间的信号，但他确有固定的周期，或者说，给了一个周期，我们就能画出一个整个区间上的分信号，那么给定一组周期值（或频率值），我们就可以画出其对应的曲线，就像给出时域上每一点的信号值一样，不过如果信号是周期的话，频域的更简单，只需要几个甚至一个就可以了，时域则需要整个时间轴上每一点都映射出一个函数值。
傅里叶变换就是将一个信号的时域表示形式映射到一个频域表示形式；逆傅里叶变换恰好相反。这都是一个信号的不同表示形式。它的公式会用就可以，当然把
傅立叶变换、拉普拉斯变换、Z变换最全攻略
傅立叶变换、拉普拉斯变换、Z变换最全攻略
傅立叶变换、拉普拉斯变换、Z变换的联系?他们的本质和区别是什么?为什么要进行这些变换。研究的都是什么?从几方面讨论下。
这三种变换都非常重要!任何理工学科都不可避免需要这些变换。
傅立叶变换，拉普拉斯变换， Z变换的意义
【傅里叶变换】在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学、海洋学、结构动力学等领域都有着广泛的应用(例如在信号处理中，傅里叶变换的典型用途是将信号分解成幅值分量和频率分量)。
傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数(正弦和/或余弦函数)或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。
傅里叶变换是一种解决问题的方法，一种工具，一种看待问题的角度。理解的关键是：一个连续的信号可以看作是一个个小信号的叠加，从时域叠加与从频域叠加都可以组成原来的信号，将信号这么分解后有助于处理。
我们原来对一个信号其实是从时间的角度去理解的，不知不觉中，其实是按照时间把信号进行分割，每一部分只是一个时间点对应一个信号值，一个信号是一组这样的分量的叠加。傅里叶变换后，其实还是个叠加问题，只不过是从频率的角度去叠加，只不过每个小信号是一个时间域上覆盖整个区间的信号，但他确有固定的周期，或者说，给了一个周期，我们就能画出一个整个区间上的分信号，那么给定一组周期值(或频率值)，我们就可以画出其对应的曲线，就像给出时域上每一点的信号值一样，不过如果信号是周期的话，频域的更简单，只需要几个甚至一个就可以了，时域则需要整个时间轴上每一点都映射出一个函数值。
傅里叶变换和拉普拉斯变换公式总结
傅里叶变换和拉普拉斯变换公式总结
傅里叶变换和拉普拉斯变换是信号处理和控制系统中常用的数学工具，它们可以将时域信号转换为频域信号，从而方便分析和处理。
傅里叶变换：
时域信号：f(t)
傅里叶变换：F(ω) = ∫[from -∞ to +∞] f(t) e^(-jωt) dt 逆变换：f(t) = 1/2π ∫[from -∞ to +∞] F(ω) e^(jωt)
dω
傅里叶变换可以将时域信号分解为不同频率的正弦和余弦函数的叠加，从而方便分析信号的频谱特性。
拉普拉斯变换：
时域信号：f(t)
拉普拉斯变换：F(s) = ∫[from 0 to +∞] f(t) e^(-st) dt
逆变换：f(t) = 1/2πj ∫[from α-j∞ to α+j∞] F(s)
e^(st) ds
拉普拉斯变换是傅里叶变换在复平面上的推广，可以处理包括指数衰减和增长的信号，并且在控制系统和信号处理中有着更广泛的应用。
在工程中，傅里叶变换和拉普拉斯变换常用于分析信号的频谱特性、系统的稳定性和动态响应等问题。同时，它们也是许多数字信号处理和控制系统设计的基础。因此，掌握傅里叶变换和拉普拉斯变换的原理和公式，对于工程领域的专业人士来说是非常重要的。
信号与系统-第9章拉普拉斯变换
j
2 1
左边信号 28
（3） X (s) 1 1 ROC : 2 Re[s] 1 s 1 s 2
1 , ROC : Re[s] 1 etu(t) s 1
1 , ROC : Re[s] 2 e2tu(t) s2
j
x(t) etu(t) e2tu(t)
2 1
双边信号 29
例2.
4. 右边信号的ROC位于S平面内一条平行于 j
轴的直线的右边。
14
若 x(是t)右边信号, 绝对可x积(t )，e即 0t：
T , t在ROC内0，则有
x(t)e0t dt T
若1 ， 0则
x(t)e1t dt x(t)e0t e(10 )t dt
T
T
x(t)e0t e dt (10 )t T
x(t) et e2t u(t)
j
2 1
右边信号 27
（2） X (s) 1 1
ROC : Re[s] 2
s 1 s 2
1 , ROC : Re[s] 1 etu(t) s 1
1 , ROC : Re[s] 2 e2tu(t) s2
x(t) e2t et u(t)
sb
当 b 0 时，上述ROC有公共部分，
X (s) 1 1
b Re[s] b
sb sb
当b 0 时，上述 ROC 无公共部分，表明 X (s)
第四章拉普拉斯变换(2)
4.应用：求系统的响应
方法一：H ( s ) → h(t ) → r (t ) = e(t ) ∗ h(t ) 方法二：R( s ) = H ( s ) E ( s ) → r (t )
I 2 ( s) 例：求下图所示电路的转移导纳函数Y21 ( s ) = 。 V1 ( s )
α >0 α <0
二阶极点
1 h( t ) = tu( t ), t → ∞, h( t ) → ∞ H ( s ) = 2 , 极点在原点, s 1 H (s) = , 极点在实轴上， 2 ( s + a)
h(t ) = t sin(ωt )u (t ), t → ∞, h(t ) 增幅振荡
h( t ) = t e −αt u( t ),α > 0, t → ∞, h( t ) → 0 2ω s H (s) = 2 , 在虚轴上， 2 2 (s + ω )
所以
rZS ( t ) = −2 e − t u( t ) + 6 e −2 t u( t )
例：已知系统的框图如下，请写出此系统的系统函 数和描述此系统的微分方程。
E (s )
+
E1(S)
E1 ( s ) = E ( s ) − 3 R ( s )
R( s ) =
−
1 s
R (s )
拉氏变换和傅里叶变换的关系
拉氏变换和傅里叶变换的关系
拉氏变换与傅里叶变换都是信号处理中重要的数学工具，用于分析
系统的性质和频率响应。尽管它们有不同的定义和使用方式，但它们
之间存在一定的关系和联系。下面将从不同的角度介绍它们之间的关系。
一、定义
拉氏变换的本质是傅里叶变换的一种推广。傅里叶变换用于将一个时
域信号转换为频域信号，而拉氏变换则用于将一个复平面上的函数转
换为另一个复平面上的函数。可以将傅里叶变换看做是拉氏变换在复
平面上取实轴的特例。
二、对复平面的操作
傅里叶变换将时间域信号映射到频率域，也就是将一个信号映射到一
个实数轴上的函数。而拉氏变换不仅可以将一个信号映射到实数轴上，还可以将其映射到复平面上。这使得它在处理复杂信号和非线性系统
时更加灵活。
三、收敛条件
傅里叶变换只在有限区间内解析，因此只能处理有限时间长度的信号。而拉氏变换可以处理更广泛的信号，包括无限长的信号和非周期信号。
它的收敛条件更加宽松。
四、运算性质
傅里叶变换有许多运算性质，如线性性、时间平移性、频带宽度限制等。这些性质在信号处理中非常有用。拉氏变换也有类似的运算性质，但与傅里叶变换的性质略有不同。例如，拉氏变换在复数域内具有复
共轭对称性，这是傅里叶变换所没有的。
综上所述，拉氏变换与傅里叶变换是相关的但不同的数学工具。它们
在不同的应用场合具有不同的优点和局限性。在实际应用中，需要根
据具体问题的需要选择合适的变换方法。
拉氏傅氏变换变换的区别物理解释
2010-12-07 19:25:26来自: Brad(要理解递归，你先要理解递归)
傅里叶变换在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学、海洋学、结构动力学等领域都有着广泛的应用（例如在信号处理中，傅里叶变换的典型用途是将信号分解成幅值分量和频率分量）。
傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。
傅里叶变换是一种解决问题的方法，一种工具，一种看待问题的角度。理解的关键是：一个连续的信号可以看作是一个个小信号的叠加，从时域叠加与从频域叠加都可以组成原来的信号，将信号这么分解后有助于处理。
我们原来对一个信号其实是从时间的角度去理解的，不知不觉中，其实是按照时间把信号进行分割，每一部分只是一个时间点对应一个信号值，一个信号是一组这样的分量的叠加。傅里叶变换后，其实还是个叠加问题，只不过是从频率的角度去叠加，只不过每个小信号是一个时间域上覆盖整个区间的信号，但他确有固定的周期，或者说，给了一个周期，我们就能画出一个整个区间上的分信号，那么给定一组周期值（或频率值），我们就可以画出其对应的曲线，就像给出时域上每一点的信号值一样，不过如果信号是周期的话，频域的更简单，只需要几个甚至一个就可以了，时域则需要整个时间轴上每一点都映射出一个函数值。
傅里叶变换就是将一个信号的时域表示形式映射到一个频域表示形式；逆傅里叶变换恰好相反。这都是一个信号的不同表示形式。它的公式会用就可以，当然把
连续与离散信号三大变换(傅立叶、拉斯、Z变换)性质总结
三、拉氏变换与Z变换
四、拉氏变换性质
七、Z 变换性质
1()()c z X H v v v
-⎰是因果序列，且其Z 变换除在z 处有一阶极点外其它极点都在单位圆
1
lim[(1)()]z X z →-
信号与系统第九章 拉普拉斯变换
at
X (s) e e dt e
dt e
0
( a ) t jt
e
dt
Fra Baidu bibliotek
] a 在 Re[s时，积分收敛：
1 X ( s) sa
0 当 a 时，
的傅里叶变换存在 : x(t )
at j t 0
X ( j ) e e
9.0 引言
复指数函数是一切LTI系统的特征函数。相当广泛的信号 都可以表示成复指数信号的线性组合 傅里叶变换是以复指数函数的特例 e j t和 e j n为基本分解 信号。对更一般的复指数函数 e st 和 z n ，也能以此为基本 信号对信号进行分解。 将连续时间傅里叶变换推广到更一般的情况（拉普拉斯变 换）就是本章要讨论的中心问题。
s1
s1
0
s1
a
。
a
s1 a
矢量 s1 称为零点矢量，它的长度 a
|表示 s1 a |
20
,其幅角即为 X (s1 )
X (s1 )
2. 单极点情况：
1 X ( s) , 极点 sa
j
sa
0
s1
a
s1
X ( s1 )
1 s1 a
a
s1 a
X ( s1 )
傅里叶变换和拉氏变换的联系和区别
傅里叶变换和拉氏变换的联系和区别
傅里叶变换和拉氏变换是数学中两个重要的变换方法，它们在信号处理、图像处理和物理学等领域具有广泛的应用。虽然这两种变换方法都用于对信号进行频率分析和频域处理，但它们的应用场景、数学公式和结果解释方式存在差异。
1. 定义和应用领域
傅里叶变换主要用于连续信号的频率分析和频域处理，将时域信号转换为频域信号。它将一个连续信号分解成多个正弦函数和余弦函数的叠加，并得到频率谱，从而可以分析信号的频率成分和幅度。
拉氏变换则主要用于对连续时间信号进行整体分析和处理，它将一个连续信号转换为复平面上的函数，并得到信号的拉氏变换函数。拉氏变换提供了一种对信号进行频域分析和处理的标准方法，可以用于求解微分方程、估计系统的稳定性和对系统进行控制。
2. 数学公式和变换关系
傅里叶变换的数学表示为：
F(ω) = ∫f(t)e^(-jωt)dt
其中，F(ω)表示频率域上的信号，f(t)表示时域上的信号。
拉氏变换的数学表示为：
F(s) = ∫f(t)e^(-st)dt
其中，F(s)表示复平面上的拉氏变换函数，f(t)表示时域上的信号。
通过对比两个变换公式，我们可以看出傅里叶变换是拉氏变换在频率为复数的特殊情况下的一种形式。
3. 变换结果的解释和应用
傅里叶变换的结果是频谱，它表示了信号在不同频率上的幅度和相位信息。通过傅里叶变换，我们可以将时域上的信号转换为频域上的信号，从而能够更好地理解信号的频率组成和频域特性。傅里叶变换在音频信号处理、图像处理等领域有广泛应用。
拉氏变换的结果是拉氏变换函数，它表示了信号在复平面上的性质。通过拉氏变换，我们可以分析信号的阻尼比、共振频率和稳定性等特性。拉氏变换在电路分析、控制系统设计等领域中被广泛使用。
傅里叶变换与拉普拉斯变换的比较研究
目录
1 傅里叶变换与拉普拉斯变换简介 (1)
1.1 傅里叶变换 (1)
1.1.1 傅里叶变换的历史由来 (1)
1.1.2 傅里叶变换的定义 (1)
1.1.3 傅里叶变换与逆变换的性质 (2)
1.2 拉普拉斯变换 (3)
1.2.1 拉普拉斯变换的历史由来 (4)
1.2.2 拉普拉斯变换的定义 (4)
1.2.3 拉普拉斯变换与逆变换的性质 (5)
1.3 小结 (6)
2 傅氏变换与拉氏变换的比较研究 (6)
2.1 两种积分变换在求解广义积分中的应用 (6)
2.2 两种积分变换在求解积分、微分方程中的应用 (9)
2.3 两种积分变换在求解偏微分方程中的应用 (11)
2.4 两种积分变换在电路理论中的应用 (15)
3 总结 (19)
附录：本文所用到的拉普拉斯变换简表 (22)
参考文献 (23)
1 傅里叶变换与拉普拉斯变换简介
人们在处理与分析工程实际中的一些问题时，常常采取某种手段将问题进行转换，从另一个角度进行处理与分析，这就是所谓的变换。在数学、物理、工程技术等领域中应用最多的是傅里叶变换与拉普拉斯变换。下面我们对傅氏变换与拉氏变换进行简单的介绍。 1.1 傅里叶变换
1.1.1 傅里叶变换的历史由来
17世纪和18世纪，在牛顿和莱布尼茨等科学巨人的推动下，数学获得了飞速的发展。随着函数、极限、微积分和级数理论的创立，法国数学家傅里叶在研究热传导问题时发表了《热的解析理论》的论文[1]，提出并证明了将周期函数展开为正弦级数的原理，奠定了傅里叶变换的理论基础。其后，泊松、高斯等人最早把这一成果应用到电学中去。时至今日，傅里叶分析法不仅广泛应用与电力工程、通信和控制领域中，而且在力学、光学、量子物理和各种线性系统分析等许多有关数学、物理和工程技术领域中都得到了广泛而普遍的应用。 1.1.2 傅里叶变换的定义
傅里叶变换和拉氏变换的联系和区别
《傅里叶变换和拉氏变换的联系和区别》
一、引言
傅里叶变换和拉氏变换是信号处理和数学领域中两个重要的变换方法，它们在处理信号和函数时起着至关重要的作用。本文将深入探讨傅里
叶变换和拉氏变换的联系和区别，以便更好地理解它们的应用和特点。
二、傅里叶变换和拉氏变换的基本概念
在正式介绍傅里叶变换和拉氏变换的联系和区别之前，首先需要了解
它们各自的基本概念。傅里叶变换是一种将一个函数分解成正弦和余
弦函数的技术，常用于处理周期性信号和频域分析。而拉氏变换是一
种将一个函数从时域转换到复平面频域的技术，常用于求解微分方程
和控制论中。从定义和用途上来看，傅里叶变换更加偏向于处理周期
性信号和频域分析，而拉氏变换更加偏向于处理连续信号和微分方程。
三、联系
1. 共同性质
傅里叶变换和拉氏变换在某些方面具有一定的共同性质。它们都具有
线性性质，即对信号进行线性组合后，其变换结果也是线性组合的形式。它们在频域和时域之间具有对偶性，即在频域上的乘积对应于时
域上的卷积，这一点在信号处理中有着重要的应用。
2. 对信号的处理方式
傅里叶变换和拉氏变换在处理信号时有着不同的方式。傅里叶变换更
多地强调信号的频域特性，能够将信号分解为不同频率的成分，从而
进行频域分析和滤波处理。而拉氏变换更多地强调信号的幅相特性，
能够将信号从时域转换到复平面频域，方便求解微分方程和控制系统
的分析与设计。
四、区别
1. 定义域和值域
傅里叶变换的定义域是时域，值域是频域；而拉氏变换的定义域是复
平面上的实轴，值域也是复平面上的一部分。这表明了傅里叶变换更
侧重于处理周期性信号和频域分析，而拉氏变换更侧重于处理连续信
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拉氏变换和傅里叶变换的关系
一、拉氏变换
1、拉氏变换的定义：
如果有一个以时间t 为自变量的实变函数 ()t f ，它的定义域是 0≥t ，，那么()t f 的的拉普拉斯变换定义为
()()()0e d st F s L f t f t t ∞
-=∆⎡⎤⎣⎦⎰ (2.10) s 是复变数， ωσj +=s （σ、ω均为实数）， ⎰∞-0e st 称为拉普拉斯积分；
)(s F 是函数 )(t f 的拉普拉斯变换，它是一个复变函数，通常也称 )(s F 为 )(t f 的象函数，而称 )(t f 为 )(s F 的原函数；L 是表示进行拉普拉斯变换的符号。
式（2.10）表明：拉氏变换是这样一种变换，即在一定条件下，它能把一实数域中的实变函数变换为一个在复数域内与之等价的复变函数 )(s F 。
2、拉氏变换的意义
工程数学中常用的一种积分变换。它是为简化计算而建立的实变量函数和复变量函数间的一种函数变换。对一个实变量函数作拉普拉斯变换，并在复数域中作各种运算，再将运算结果作拉普拉斯反变换来求得实数域中的相应结果，往往比直接在实数域中求出同样的结果在计算上容易得多。拉普拉斯变换的这种运算步骤对于求解线性微分方程尤为有效，它可把微分方程化为容易求解的代数方程来处理，从而使计算简化。在经典控制理论中，对控制系统的分析和综合，都是建立在拉普拉斯变换的基础上的。
在工程学上，拉普拉斯变换的重大意义在于：将一个信号从时域上，转换为复频域（s 域）上来表示；在线性系统，控制自动化上都有广泛的应用
二、傅里叶变换
1、傅里叶变换的定义：
f(t ）是t 的函数，如果t 满足狄里赫莱条件：具有有限个间断点；具有有限个极值点；绝对可积。则有下图①式成立。称为积分运算f(t ）的傅立叶变换， ②式的积分运算叫做F （ω）的傅立叶逆变换。F （ω）叫做f(t ）的像函数，f(t ）叫做
F （ω）的像原函数。F （ω）是f(t ）的像。f(t ）是F （ω）原像。 ①
傅里叶变换
②
傅里叶逆变换
2、傅里叶变换的意义
傅里叶变换简单通俗理解就是把看似杂乱无章的信号考虑成由一定振幅、相位、频率的基本正弦（余弦）信号组合而成，傅里叶变换的目的就是找出这些基本正弦（余弦）信号中振幅较大（能量较高）信号对应的频率，从而找出杂乱无章的信号中的主要振动频率特点。如减速机故障时，通过傅里叶变换做频谱分析，根据各级齿轮转速、齿数与杂音频谱中振幅大的对比，可以快速判断哪级齿轮损伤。
二、拉氏变换和傅里叶变换的关系
傅里叶变换：的物理意义非常清晰：将通常在时域表示的信号，分解为多个正弦信号的叠加。每个正弦信号用幅度、频率、相位就可以完全表征。傅里叶变换之后的信号通常称为频谱，频谱包括幅度谱和相位谱，分别表示幅度随频率的分布及相位随频率的分布。对一个信号来说，就包含的信息量来讲，时域信号及其相应的傅里叶变换之后的信号是完全一样的。那傅里叶变换有什么作用呢？因为有的信号主要在时域表现其特性，如电容充放电的过程；而有的信号则主要在频域表现其特性，如机械的振动，人类的语音等。若信号的特征主要在频域表示的话，则相应的时域信号看起来可能杂乱无章，但在频域则解读非常方便。在实际中，当我们采集到一段信号之后，在没有任何先验信息的情况下，直觉是试图在时域能发现一些特征，如果在时域无所发现的话，很自然地将信号转换到频域再看看能有什么特征。信号的时域描述与频域描述，就像一枚硬币的两面，看起来虽然有所不同，但实际上都是同一个东西。正因为如此，在通常的信号与系统的分析过程中，我们非常关心傅里叶变换。
拉普拉斯变换：是以法国数学家拉普拉斯命名的一种变换方法，主要是针对连续信号的分析。拉普拉斯和傅里叶都是同时代的人，他们所处的时代在法国是处于拿破仑时代，国力鼎盛。在科学上也取代英国成为当时世界的中心，在当时众多的科学大师中，拉普拉斯、拉格朗日、傅里叶就是他们中间最为璀璨的三颗星。傅里叶关于信号可以分解为正弦信号叠加的论文，其评审人即包括拉普拉斯和拉格朗日。
傅里叶变换虽然好用，而且物理意义明确，但有一个最大的问题是其存在的条件比较苛刻，比如时域内绝对可积的信号才可能存在傅里叶变换。拉普拉斯变换可以说是推广了这以概念。在自然界，指数信号e x是衰减最快的信号之一，对信号乘上指数信号之后，很容易满足绝对可积的条件。因此将原始信号乘上指数信号之后一般都能满足傅里叶变换的条件，这种变换就是拉普拉斯变换。这种变换能将微分方程转化为代数方程，在18世纪计算机还远未发明的时候，意义非常重大。从上面的分析可以看出，傅里叶变换可以看做是拉普拉斯的一种特殊形式，即所乘的指数信号为e0。也即是说拉普拉斯变换是傅里叶变换的推广，是一种更普遍的表达形式。在进行信号与系统的分析过程中，可以先得到拉普拉斯变换这种更普遍的结果，然后再得到傅里叶变换这种特殊的结果。这种由普遍到特殊的解决办法，已经证明在连续信号与系统的分析中能够带来很大的方便。