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高中数学必修一全册讲义教师学生双用带答案一对一班课通用

高中数学必修一全册讲义教师学生双用带答案一对一班课通用Last updated on the afternoon of January 3, 2021集合的含义与表示 ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1、通过实例了解集合的含义，并掌握集合中元素的三个特性。

2、掌握元素与集合的关系，并能用符号“∈”或“”来表示。

3、掌握列举法和描述法，会选择不同的方法来表示集合，记住常用数集的符号。

一、集合与元素的概念：一般地，一定范围内某些确定的，不同的对象的全体构成一个集合，简称集。

集合中每一个对象称为该集合的元素。

如所有的三角形可以组成集合，每个三角形都是这个集合的元素；所有的直角三角形也可以组成集合，每个直角三角形都是集合的元素；由1，2，3，4组成的集合｛1，2，3，4｝。

1，2，3，4就是这个集合的元素。

类似“与2非常接近的全体实数”，“高个子”这样模糊的说法就不能确定集合。

特别提醒：1、集合是一个“整体”。

一些对象一旦组成了集合，那么这个集合就是这些对象的全体，而非个别对象。

2、集合具有两个方面的意义，即：凡是符合条件的对象都是它的元素；只要是它的元素就必须符合条件。

3、集合通常用大写的字母表示，如A B C 、、、……；元素通常用小写的字母表示，如a b c d 、、、……。

二、集合中元素的特性：1、确定性：设A 是一个给定的集合，x 是某一具体的对象，则x 或者是A 的元素，或者不是A 的元素，二者必居其一，不能模棱两可．2、互异性：对于一个给定的集合，它的任意两个元素是不能相同的。

集合中相同的元素只能算是一个。

北师版初三数学上册秋季班讲义(最新版;可直接打印)

第1讲特殊的平行四边形⎧⎪⎨⎪⎩矩形特殊的平行四边形菱形正方形知识点1：矩形1.矩形的性质：（1）矩形具备平行四边形的所有性质；（2）矩形的四个角都是直角；（3）矩形的对角线平分且相等（4）矩形是轴对称图形，它有两条对称轴；它也是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点。

2.矩形的判定定理：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形（2）对角线相等的平行四边形是矩形（3）有三个角是直角的四边形是矩形【典例】1.矩形ABCD中，对角线AC和BD相交于O，∠AOB=60°，AC=10．（1）求矩形较短边的长．（2）矩形较长边的长．（3）矩形的面积．【方法总结】本题主要考察矩形对角线的性质——相等且互相平分、矩形的四个角都是直角。

（1）矩形对角线与一边组成的三角形是等腰三角形，根据有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形即可得出结论；（2）在上一问的基础上通过勾股定理即可求出长边；（3）直接对公式的应用。

2.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点E，DF⊥AC于F点，若∠ADF=3∠FDC，则∠DEC的度数是____【方法总结】本题主要考查了矩形的性质——四个角都是直角、对角线相等．本题要求两条对角线的较小的夹角∠DEC，利用矩形的对角线相等以及等腰三角形的性质，先求出∠DCE即对角线与短边的夹角即可得出结论；求∠DCE需要将其放到直角三角形中求出与其互余的锐角，综合已知条件：两互余且有倍数关系．解这种类型题需要将已知与所求相结合，引入方程思想可以将解题过程简化．3.已知，如图，△ABC中，CE、CF分别是∠ACB和它的邻补角∠ACD的平分线，AE⊥CE 于E，AF⊥CF于F，直线EF分别交AB、AC于M、N．求证：（1）四边形AECF是矩形；（2）MN与BC的位置有何关系，证明你的结论．【方法总结】本题主要考察矩形的判定以及矩形性质的运用。

第（1）问给出了AE⊥CE、AF⊥CF，可以得出四边形有两个直角，欲证明该四边形是矩形，可以找第三个直角。

北师大版初中数学七年级下册试讲逐字稿-教师资格证-教师编面试

1.1同底数幂的乘法我们知道距离地球最近的恒星是太阳，太阳系之外距离地球最近的恒星是什么呢？对，是比邻星。

同学们，请阅读题干，计算出比邻星与地球的距离是多少？王丽同学，你计算的结果是7810*10*98.37，说的很准确，请坐。

同学们思考一下，7810*10等于多少呢？让我们带着这个问题进入今天的学习。

请看做一做。

3210*10等于多少呢？王鑫同学，你说210是两个10相乘，310是三个10相乘，所以总共有五个10相乘，结果就等于510了，分析得很透彻，请坐。

那8510*10又等于多少呢？刘洋同学，你类比上一道小题的做法，得到这个题的答案是1310。

那剩下这些题目结果又是什么呢？这些算式之间有怎样的共同特征呢？小组之间交流讨论一下。

刚才同学们讨论的都很热烈，哪个小组能起来说一下这些算式的结果？三组同学，你算得他们的结果分别是()n m n m n m n m ++++-⎪⎭⎫ ⎝⎛3,71,210，。

同学们同意他的答案吗？哪个小组起来说一下这些算式之间的共同特征？五组同学，你们发现等式左边两个数底数相同，等式右边都是底数不变，指数相加的形式，观察的真仔细，请坐。

通过刚才的题目，我们发现，不管是正数、分数、负数，它们都具有以上特点。

由此我们可以归纳出什么结论呢？刘伟同学，总结的很到位。

如果我们用字母a 来代表底数，有n m n m a a a +=*，同桌还有补充？嗯，你说这里m 和n 都应该是正整数，思维真缜密，请坐。

我们来分析一下这个等式，m a 就是m 个a 相乘，n a 是n 个a 相乘，所以这里总共有m+n 个a 相乘，最终结果就是n m a +了。

实际上，这就是同底数幂求同底数幂乘法法则，底数不变，指数相乘。

下面我们通过例题加深一下对法则的理解，同学们请看例一。

我们一起来分析一下第一小题，()()673*3--，根据法则，底数-3不变，指数相加，得到最终结果()133-。

我找三位同学上来板演一下234小题，其他同学在练习本上完成。

北师大版四年级(下册)数学辅导讲义全

北师大版四年级下册数学辅导讲义《小数的认识和加减法认识图形》一、计算。

（25分）1、直接写出得数。

（仔细点，你一定行！）(6分)2.4＋2.6= 0.78＋1.02= 0.09＋1.91= 8.6－6=3.14＋3.41= 0.98＋2= 0.65－0.65= 3.02＋1.8=8.59－0= 0.4＋0.65= 0.5－0.05= 2－0.04=2、用竖式算一算。

（请写出第三题的验算过程）(7分)35.62＋4.38= 11.43－6.7= 10－5.97= 40.5-18=3、计算下面各题，能简算的要简算。

（12分）8.65－3.47＋3.5 5.62＋31.8＋4.38 37.25＋(16.3－7.25)8.78－(3.78＋3.5) 7.53+4.8-2.47 9.61－2.85－1.15二、填空。

（仔细想，认真填，看谁最能干！）(32分)1、0.8表示（）个0.1，还可以表示( )个0.01； 0.45里面有（）个0.01，其中“4”在（）位上，表示（）个（），“5”在（）位上，表示（）个（）。

2、3、一个三角形中，最多有（）个直角或者是（）个钝角，最少有（）个锐角。

4、由1个百，5个一，3个0.01组成的数是（），读作（）。

5、把小数写成分数，分数写成小数。

0.6＝ 0.07＝ 0.034＝ 0.35＝1003= 103= 100015= 1000606= 三角形按照内角大小不同可以分成（）三角形、（）三角形和（）三角形。

两组对边都分别平行的四边形叫作（）形，只有一组对边平行的四边形叫作（）形。

我们学过的（）形和（）形都属于平行四边形。

8、在○内填上 “＞”“＜”或“=”。

7.70 7.695 1 0.99999 4. 60米 4.6分米9、小红和小明的身高都不超过1.4米，小红比小明高一些。

如果小明的身高是1.36米，小红的身高可能是（）米。

人教B版数学必修四讲义：第1章 1.2 1.2.3 同角三角函数的基本关系式 Word版含答案

1.2.3 同角三角函数的基本关系式同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin 2 α＋cos 2 α＝1.商数关系：sin αcos α＝tan_α⎝ ⎛⎭⎪⎫α≠k π＋π2，k ∈Z .(2)语言叙述：同一个角α 的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角α的正切．思考：“同角”一词的含义是什么？[提示] 一是“角相同”，如sin 2α＋cos 2β＝1就不一定成立．二是对任意一个角(在使得函数有意义的前提下)，关系式都成立，即与角的表达式形式无关，如sin 215°＋cos 215°＝1，sin 2π19＋cos 2π19＝1等．1．已知α是第二象限角，sin α＝513，则cos α＝( ) A ．－1213 B ．－513 C ．513D ．1213A [利用同角三角函数基本关系式中的平方关系计算．因为α为第二象限角，所以cos α＝－1－sin 2α＝－1213.]2．已知sin α＝55，则sin 4α－cos 4α的值为( ) A ．－15 B ．－35 C ．15D ．35B [∵cos 2α＝1－sin 2α＝1－15＝45，∴sin 4α－cos 4α＝(sin 2α＋cos 2α)(sin 2α－cos 2α)＝15－45＝－35.] 3．若sin α＋3cos α＝0，则cos α＋2sin α2cos α－3sin α的值为________．－511 [因为sin α＋3cos α＝0，所以tan α＝－3，因此原式＝1＋2tan α2－3tan α＝1＋2×(－3)2－3×(－3)＝－511.]【例1】 (1)若sin α＝－45，且α是第三象限角，求cos α，tan α的值； (2)若cos α＝817，求tan α的值； (3)若tan α＝－158，求sin α的值．[思路探究] 对(1)中明确α是第三象限角，所以只有一种结果．对(2)，(3)中未指出角α所在象限的情况，需按α所在象限讨论，分类求解，一般有两种结果．[解] (1)∵sin α＝－45，α是第三象限角， ∴cos α＝－1－sin 2α＝－35，tan α＝sin αcos α＝－45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－53＝43.(2)∵cos α＝817>0， ∴α是第一、四象限角．当α是第一象限角时， sin α＝1－cos 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫8172＝1517， ∴tan α＝sin αcos α＝158；当α是第四象限角时，sin α＝－1－cos 2α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫8172＝－1517， ∴tan α＝－158. (3)∵tan α＝－158<0， ∴α是第二、四象限角．由⎩⎨⎧tan α＝sin αcos α＝－158，sin 2α＋cos 2α＝1，可得sin 2α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15172.当α是第二象限角时，sin α＝1517；当α是第四象限角时，sin α＝－1517.利用同角三角函数的基本关系解决给值求值问题的方法：(1)已知角α的某一种三角函数值，求角α的其余三角函数值，要注意公式的合理选择，一般是先选用平方关系，再用商数关系；(2)若角α所在的象限已经确定，求另两种三角函数值时，只有一组结果；若角α所在的象限不确定，应分类讨论，一般有两组结果.1．已知sin αcos α＝－1225，且0<α<π，求tan α的值． [解] 法一：∵sin αcos α＝－1225，sin 2α＋cos 2α＝1， ∴sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos α＝1＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1225＝125，∴(sin α＋cos α)2＝125，∴sin α＋cos α＝±15. 同理(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1＋2425＝4925. ∵sin αcos α＝－1225<0,0<α<π， ∴π2<α<π，∴sin α>0，cos α<0， ∴sin α－cos α＝75. 由⎩⎪⎨⎪⎧sin α＋cos α＝±15sin α－cos α＝75，得⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝45cos α＝－35或⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝35cos α＝－45，∴tan α＝－43或tan α＝－34. 法二：∵sin αcos α＝－1225， ∴sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝－1225，∴tan αtan 2α＋1＝－1225，∴12tan 2α＋25tan α＋12＝0， ∴(3tan α＋4)(4tan α＋3)＝0， ∴tan α＝－43或tan α＝－34.[解] ∵sin α·tan α<0，∴cos α<0.原式＝(1－sin α)(1＋sin α)(1＋sin α)2＋(1＋sin α)(1－sin α)(1－sin α)2＝|cos α||1＋sin α|＋|cos α||1－sin α|＝－cos α1＋sin α＋－cos α1－sin α＝－2cos α1－sin 2α＝－2cos α.解答此类题目常用的方法有：1．化切为弦，即把非正、余弦的函数都化成正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化简的目的．2．对于含有根号的，常把根号下化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的．3．对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin 2α＋cos 2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的．2．化简：(1－tan θ)·cos 2θ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1tan θ·sin 2θ.[解]原式＝cos θ－sin θcos θ·cos2θ＋sin θ＋cos θsin θ·sin2θ＝cos2θ－sin θ·cos θ＋sin2θ＋sin θ·cos θ＝cos2θ＋sin2θ＝1.1．证明三角恒等式常用哪些方法？[提示](1)从右证到左．(2)从左证到右．(3)证明左右归一．(4)变更命题法．如：欲证明MN＝PQ，则可证MQ＝NP，或证QN＝PM等．2．在三角函数的化简和证明问题中，常利用“1”的代换求解，常见的代换形式有哪些？[提示]sin2α＋cos2α＝1，tan π4＝1.【例3】求证：(1)sin α－cos α＋1sin α＋cos α－1＝1＋sin αcos α；(2)2(sin6θ＋cos6θ)－3(sin4θ＋cos4θ)＋1＝0.[思路探究]解答本例题可以从左边推到右边，也可以作差比较．关键是利用好“1”的代换和乘法公式等变形技巧．[证明](1)左边＝(sin α－cos α＋1)(sin α＋cos α＋1) (sin α＋cos α－1)(sin α＋cos α＋1)＝(sin α＋1)2－cos2α(sin α＋cos α)2－1＝(sin2α＋2sin α＋1)－(1－sin2α)sin2α＋cos2α＋2sin αcos α－1＝2sin 2α＋2sin α1＋2sin αcos α－1＝2sin α(sin α＋1)2sin αcos α＝1＋sin α cos α＝右边， ∴原等式成立．(2)左边＝2[(sin 2θ)3＋(cos 2θ)3]－3(sin 4θ＋cos 4θ)＋1 ＝2(sin 2θ＋cos 2θ)(sin 4 θ－sin 2θcos 2θ＋cos 4θ) －3(sin 4θ＋cos 4θ)＋1＝(2sin 4θ－2sin 2θcos 2θ＋2cos 4θ)－(3sin 4θ＋3cos 4θ)＋1 ＝－(sin 4θ＋2sin 2θcos 2θ＋cos 4θ)＋1＝－(sin 2θ＋cos 2θ)2＋1＝－1＋1＝0＝右边， ∴原等式成立．1．证明恒等式常用的思路是：(1)从一边证到另一边，一般由繁到简；(2)左右开弓，即证左边、右边都等于第三者；(3)比较法(作差，作比法)．2．常用的技巧有：(1)巧用“1”的代换；(2)化切为弦；(3)多项式运算技巧的应用(分解因式)．3．解决此类问题要有整体代换思想．3．求证：1＋2sin x cos x cos 2x －sin 2x ＝1＋tan x1－tan x.[证明] 右边＝1＋sin xcos x 1－sin x cos x ＝cos x ＋sin xcos x －sin x＝(cos x ＋sin x )2(cos x －sin x )(cos x ＋sin x )＝1＋2sin x cos x cos 2x －sin 2x＝左边，∴原等式成立．(教师用书独具) 1．同角三角函数基本关系式的变形形式(1)平方关系：1－sin2α＝cos2α，1－cos2α＝sin2α.(2)商数关系：sin α＝tan α·cos α，cos α＝sin αtan α.2．已知sin α±cos α，整体代入求值已知sin α±cos α求值的问题，一般利用三角恒等式，采用整体代入的方法求解．涉及的三角恒等式：(sin α＋cos α)2＝1＋2sin α cosα；(sin α－cos α)2＝1－2sin α cosα；(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2；(sin α－cos α)2＝(sin α＋cos α)2－4sin α cos α.所以知道sin α＋cos α，sin α－cos α，sin α·cos α这三者中任何一个，另两个式子的值均可求出．3．应用平方关系式由sin α求cos α或由cos α求sin α时，注意α的范围，如果出现无法确定的情况一定要对α所在的象限进行分类讨论，以便确定其符号.1．如果α是第二象限的角，下列各式中成立的是()A．tan α＝－sin αcos αB．cos α＝－1－sin2αC．sin α＝－1－cos2αD．tan α＝cos αsin αB[由商数关系可知A，D项均不正确，当α为第二象限角时，cos α＜0，sin α＞0，故B项正确．]2．已知α是第四象限角，cos α＝1213，则sin α等于()A.513B．－513C.512D ．－512B [由条件知sin α＝－1－cos 2α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12132＝－513.] 3．已知sin α＋cos α＝12，则sin αcos α＝________. －38 [∵sin α＋cos α＝12， ∴(sin α＋cos α)2＝14.∴sin 2α＋2sin αcos α＋cos 2α＝14. ∴1＋2sin αcos α＝14. ∴sin αcos α＝－38.]4．已知tan α＝43，且α是第三象限的角，求sin α，cos α的值． [解] 由tan α＝sin αcos α＝43得 sin α＝43cos α. ① 又∵sin 2α＋cos 2α＝1，②由①②得169cos 2α＋cos 2α＝1. ∴cos 2α＝925.又∵α是第三象限的角， ∴cos α＝－35. ∴sin α＝43cos α＝－45.。

00梅老师讲义模版(B4)4.9(五)docx

（初二下）第5讲分式（二）知识点一、分式混合运算与化简求值1、分式的混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；括号的，应先算括号里面的。

注意：（1）、正确地运用运算法则；（2）、灵活的运用运算律；（3）、运算结果能化简的化简，使结果是最简分式或整式的形式。

1、计算下列各题：（1）、22(1)y x y x x y -÷+- （2）、)111()121(2+-÷---a a a a（3）、22221244x y x y x y x xy y---÷--+ （4）、22221(1)121a a a a a a +-÷+---+（5）、2481124811111a a a a a ++++-++++（6）、++++++++)9)(6(1)6)(3(1)3(1x x x x x x …)102)(99(1+++x x2、化简求值：（1）、222412()4422a a a a a a--÷-+--，其中a 是方程2310x x ++=的根。

（2）、已知：0634=--z y x ，072=-+z y x ，求22222275632z y x z y x ++++的值。

知识点二、分式方程的解法1、解分式方程的基本思想：分式方程转化为整式方程。

2、解分式方程的一般方法和步骤：（1）、去分母：在方程两边都乘以最简公分母，把原方程化为整式方程；（2）、解这个整式方程；（3）、验根。

例题1、（去分母法）1211422+=+--x x x x x 2、1313122-+=+--x x x x3、（换元法）15222152=++-++x x x x4、（局部通分法）78563412++-++=++-++x x x x x x x x知识点三、分式方程的增根与无解问题例题：若关于x 的方程：1151222--=+-+-x k x x k x x 有增根1=x ，求k 的值。

北师版九年级数学上学期期末辅导讲义(B)

北师版九年级数学上学期期末辅导讲义（B ）一、考点对应热身训练 1.已知 ∠A 为锐角，且sinA 21=，那么∠A 的度数是( )A. 15B. 30C. 45D. 602.有一种圆柱体茶叶筒如图所示，则它的主视图是( )A ．B ．C ．D ．3．在△ABC 中，D 、E 为边AB 、AC 的中点，已知△ADE 的面积为4，那么△ABC 的面积是（）A. 8B. 12C. 16D. 204.下列一元二次方程没有实数根的是（）A. 290x -=B. 210x x --=C. 29304x x -+-= D. 210x x ++= 5.一元二次方程022=-+px x 的一个跟为2，则p 的值为（） A.1 B.2 C.-1 D.-2 6.抛物线2-(2)1y x =--的顶点坐标是（）A ．（-2，1）B ．（-2，-1）C ．（2，-1）D ．（2，1）7.抛物线y ＝－2x 2不具有的性质是（）A. 开口向下B. 对称轴是y 轴C. 当x ＞0时，y 随x 的增大而减小D. 函数有最小值8．函数y=－x 2-3的图象向上平移2个单位，再向左平移2个单位后，得到的函数是（）A ．y=－（x+2）2-1B ．y=－（x-2）2-1C ．y=－（x-2）2+1D ．y=－（x+2）2+19.已知关于x 的一元二次方程()013122=-++-k x x k 有一根为0，则k 的值是（）A. -1B. 1C. 1±D. 010．已知粉笔盒里有4支红色粉笔和n 支白色粉笔，每支粉笔除颜色外均相同，现从中任取一支粉笔，取出红色粉笔的概率是，则n 的值是（） A ．4 B ．6C ．8D ．1011．反比例函数xy 3=的图象上有两点M ，N,那么图中阴影部分面积最大的是（）12．如图，小正方形的边长为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC 相似的是（）13．点（一1，一2）所在的象限为（）A ．第一象限B ．第二象限 c ．第三象限 D ．第四象限 14．反比例函数y ＝kx 的图象生经过点（1，－2），则k 的值为（） A ．－1 B ．－2 C ．1 D ．215．若y ＝ kx －4的函数值y 随x 的增大而减小，则k 的值可能是下列的（） A ．－4 B ．0 C ．1 D ．316．在平面直角坐标系中，函数y ＝－x ＋1的图象经过（）25A B C DA ．第一，二，三象眼 B.第二，三，四象限 C ．第一，二，四象限 D ．第一，三，四象限17．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，若∠B ＝50°，则∠A 的度数为（） A ．80° B ．60° C ．50° D ．40°18．抛物线y ＝－3x 2－x ＋4与坐标轴的交点的个数是（） A ．3 B ．2 C ．1 D ．019.如图，小明同学设计了一个测量圆直径的工具，标有刻度的尺OA 、OB 在O 点钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把O 点靠在圆周上，读得刻度OE=8个单位，OF=6个单位，则圆的直径为（）A ．10个单位B ．12个单位C ．1个单位D ．15个单位20．如图，O ⊙的直径AB 垂直弦CD 于P ，且P 是半径OB 的中点，6cm CD =，则直径AB 的长是（）A．B．C．D．21.抛物线322+-=x x y 的顶点坐标是.22.如果关于x 的方程062=+-m x x 有两个相等的实数根，那么m=.第12题图23．直线y ＝kx ＋b 经过点(0，0)和(1，2)，则它的解析式为_____________ 24．如图，A 、B 、C 是⊙O 上的点，若∠AOB ＝70°，则∠ACB 的度数为__________25.如图，己知点A (O ，1)，B （O ，－1），以点A 为圆心，AB 为半径作圆,交 x 轴的正半轴于点C ．则∠BAC 等于____________度．26.若两个相似三角形的周长比为2：3，则它们的面积比是. 27.若43=x y ，则xy x +的值为_____. 28.2sin60°＋tan45°=_______. 二、选填压轴题1.在小孔成像问题中，光线穿过小孔，在屏幕上形成倒立的实像，如图所示，若O 到AB 的距离是18cm ，O 到CD 的距离是6cm ，则像CD 的长是AB 长的（）A.3倍B.21C.31D.不知AB 的长度，无法判断2．如图，在△ABC 中，AB ＝BC ，∠ABC ＝90°，BM 是AC 边上的中线，点D ，E 分别在边AC 和BC 上，DB ＝DE ，DE 与BM 相交于点N ，EF ⊥AC 于点F ，以下结论：①∠DBM ＝∠CDE ；②S △BDE <S 四边形BMFE ；③CD·EN ＝BN·BD ；④AC ＝2DF. 其中正确结论的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．43.如图，在ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，在DC 的延长线上取一点E ，连接OE 交BC 于点F ，已知AB=4，BC=6，CE=2，则CF 的长等于（） A.1 B.1.5 C.2 D.34.如图，是抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 的一部分。

北师版九年级数学下册培优精品讲义

学科教师辅导讲义学员编号：年级：九年级（下）课时数：3学员姓名：辅导科目：数学学科教师：授课主题第01讲-----锐角三角函数与解三角形授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结教学目标①掌握锐角三角函数的几何意义及计算公式；②掌握特殊角的三角函数值，并能进行熟练计算；③能根据题目已知条件，进行解三角形；④能利用三角函数进行简单的应用，并解决问题。

授课日期及时段T（Textbook-Based）——同步课堂体系搭建（三）三角函数之间的关系1、余角关系：在∠A+∠B=90°时B A cos sin = B A sin cos = 1tan tan =⋅B A2、同角关系sin 2A+cos 2A=1. .cos sin tan AAA = （四）斜坡的坡度1、仰角、俯角、坡度、坡角和方向角（1）仰角：视线在水平线上方的角叫仰角．俯角：视线在水平线下方的角叫俯角．（2）坡度：坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度(或叫坡比)，用字母i 表示．坡角：坡面与水平面的夹角叫坡角，用α表示，则有i ＝_tan α 如图所示，l hi ==αtan ，即坡度是坡角的正切值．（3）方向角：平面上，通过观察点O 作一条水平线(向右为东向)和一条铅垂线(向上为北向)，则从O 点出发的视线与水平线或铅锤线所夹的角，叫做观测的方向角．（五）解三角形1、定义锐角A 的正弦，余弦和正切都是∠A 的三角函数，直角三角形中，除直角外，共5个元素：3条边和2个角．除直角外只要知道其中2个元素（至少有1个是边），就可利用以上关系求出另外3个元素．2、解直角三角形应用题的步骤（1）根据题目已知条件，画出平面几何图形，找出已知条件中各量之间的关系．（2）若是直角三角形，根据边角关系进行计算；若不是直角三角形，应大胆尝试添加辅助线，构造直角三角形进行解决．3、解三角形关系解直角三角形时，正确选择关系式是关键：（1）求边时一般用未知边比已知边，去找已知角的某一个三角函数；（2）求角时一般用已知边比已知边，去找未知角的某一个三角函数；（3）求某些未知量的途径往往不唯一，其选择的原则：①尽量直接使用原始数据；②计算简便；③若能用乘法应避免除法．考点一：三角函数的概念例1、已知，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=，AC=1，那么∠A的正切tanA等于（）A．B．2 C．D．例2、如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则cos∠ABC等于（）A．B．C．D．例3、如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，则下列结论不正确的是（）A．B．C．D．考点二：特殊角的三角函数值例1、在△ABC中，若|sinA﹣|+（﹣tanB）2=0，则∠C的度数为（）A．30°B．60°C．90°D．120°例2、计算：sin45°+cos230°﹣+2sin60°．例3、考点三：斜坡的坡度例1、一个公共房门前的台阶高出地面1.2米，台阶拆除后，换成供轮椅行走的斜坡，数据如图所示，则下列关系或说法正确的是（）A．斜坡AB的坡度是10°B．斜坡AB的坡度是tan10°C．AC=1.2tan10°米D．AB=米例2、一辆汽车沿坡角为α的斜坡前进500米，则它上升的最大高度为（）A．500sinαB．C．500cosαD．考点四：解三角形例1、如图，已知四边形ABCD中，∠ABC=90°，∠ADC=90°，AB=6，CD=4，BC的延长线与AD的延长线交于点E．（1）若∠A=60°，求BC的长；（2）若sinA=，求AD的长．（注意：本题中的计算过程和结果均保留根号）例2、如图所示，把一张长方形卡片ABCD放在每格宽度为12mm的横格纸中，恰好四个顶点都在横格线上，已知∠α=36°，求长方形卡片的周长．（精确到1mm）（参考数据：sin36°≈0.60，cos36°≈0.80，tan36°≈0.75）P(Practice-Oriented)——实战演练实战演练➢课堂狙击1、如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是（）A．2 B．C．D．2、在△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，下列各式成立的是（）A．b=a•sinB B．a=b•cosB C．a=b•tanB D．b=a•tanB3、已知∠A为锐角，且tanA=，那么下列判断正确的是（）A．0＜∠A＜30°B．30°＜∠A＜45°C．45°＜∠A＜60°D．60°＜∠A＜90°4、在△ABC中，若|sinA﹣|+（cosB﹣）2=0，则∠C=（）A．30°B．60°C．90°D．120°5、在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则tanA的值为（）A．B．C．D．6、如图，小阳发现电线杆AB的影子落在土坡的坡面CD和地面BC上，量得CD=8米，BC=20米，CD与地面成30°角，且此时测得1米杆的影长为2米，则电线杆的高度为米．7、如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则tan∠BAC等于．8、计算：3sin60°﹣2cos30°﹣tan60°•tan45°．9、如图，在Rt△ABC和Rt△CDE中，AB与CE相交于点F，∠ACB=∠E=90°，∠A=30°，∠D=45°，BC=6，求CF的长．➢课后反击1、如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则cos∠ABC等于（）A．B．C．D．2、在△ABC中，，则△ABC为（）A．直角三角形B．等边三角形C．含60°的任意三角形D．是顶角为钝角的等腰三角形3、在△ABC中，∠C=90°，tanA=，则sinB，cosB，tanB中最小的是（）A．tanB B．sinB C．cosB D．sinB或cosB4、如图，在正方形网格中，△ABC的顶点都在格点上，则tan∠ACB的值为5、某水库水坝的坝高为10米，迎水坡的坡度为1：2.4，则该水库迎水坡的长度为米．6、如图，水平面上有一个坡度i=1：2的斜坡AB，矩形货柜DEFG放置在斜坡上，己知DE=2.5m．EF=2m，BF=3.5m，则点D离地面的高DH为m．（结果保留根号）7、计算：6tan260°﹣cos30°•tan30°﹣2sin45°+cos60°．8、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，斜边AB的垂直平分线分别交AB、BC于点E和点D，已知BD：CD=2：．（1）求∠ADC的度数；（2）利用已知条件和第（1）小题的结论求tan15°的值（结果保留根号）．直击中考1、【2012•内江】如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为（）A．B．C．D．2、【2014•安顺】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，E为AB上一点且AE：EB=4：1，EF⊥AC于F，连接FB，则tan∠CFB的值等于（）A．B．C．D．3、【2011•日照】在Rt△ABC中，∠C=90°，把∠A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记作cotA=．则下列关系式中不成立的是（）A．tanA•cotA=1 B．sinA=tanA•cosAC．cosA=cotA•sinA D．tan2A+cot2A=14、【2012•深圳】小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上，如图，此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米．已知斜坡的坡角为30°，同一时刻，一根长为1米且垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，则树的高度为（）A．（6+）米B．12米C．（4﹣2）米D．10米S(Summary-Embedded)——归纳总结重点回顾1、正弦，余弦，正切的概念2、特殊角的三角函数值3、斜坡的坡度4、解三角形名师点拨1、sinA、cosA、tanA是一个比值（数值），大小只与∠A的大小有关，而与直角三角形的边长无关2、在几何图形中求解三角函数值或者解三角形，找出直角三角形或做辅助线构造直角三角形是解题的关键。

初一数学联赛秋季教师版讲义全国版

；
把函数y = −2x + 4的图象向左平移3个单位，所得函数图象的解析式为
．
答案: y = −2x + 8 y = −2x − 2
解析: 解：y = −2 (x − 2) + 4，化简得y = −2x + 8;
y = −2 (x + 3) + 4，化简得y = −2x − 2．
例7
844998-
(1) 若直线y = kx(k ≠ 0) 经过点(1，3)，则该直线关于x轴对称的直线的解析式为
−−−−−−−−−−−−−−−
2
2
AB = √(3 − 1) + (1 − 3) = √8 = 2√2
′
′
AB + AC +BC = AB + AC + B C = AB + AB = 2√2 + 2√5
844994-
(2) 如图⑵，在x轴上一点C ，在y轴上找一点D，使AD + CD + BC 值最小，求最小值．
4
2
解析: 解：设这个一次函数的解析式为：y = kx + b，
1
由题意可知{ −2k + b = 3 ，解得{ k = 4
2k + b = 4
7
b=
2
1
7
故这个一次函数的解析式为：y = x + ．
4
2
845003-
7
(2) 求证：点A(2，2)，B(−1， )，C(12，−3)在一条直线上．
2
答案: 见解析
例6
845000-
(1) 把函数y = −2x + 4的图象向上平移2个单位，所得函数图象的解析式为

初中数学教案设计万能模板粉笔

课时：1课时年级：八年级教材：《初中数学》人教版教学目标：1. 让学生了解并掌握初中数学万能模板的概念和作用。

2. 培养学生运用万能模板解决数学问题的能力。

3. 培养学生分析问题、解决问题的能力。

教学重点：1. 理解初中数学万能模板的概念。

2. 掌握万能模板的应用方法。

教学难点：1. 灵活运用万能模板解决实际问题。

2. 分析问题，找出万能模板适用的情境。

教学过程：一、导入1. 复习上节课所学内容，引导学生回顾初中数学的基本概念。

2. 提出问题：在解决数学问题时，有没有一种方法可以让我们更快、更准确地找到解题思路？二、新课讲解1. 介绍初中数学万能模板的概念：万能模板是一种适用于初中数学各领域的解题方法，它可以帮助我们快速找到解题思路，提高解题效率。

2. 讲解万能模板的应用方法：a. 分析问题，找出关键信息；b. 根据关键信息，选择合适的万能模板；c. 运用万能模板进行解题；d. 对解题结果进行检验。

3. 举例说明万能模板的应用，如：一元一次方程、二元一次方程组、不等式等。

三、课堂练习1. 学生独立完成以下练习题，巩固万能模板的应用：a. 一元一次方程：3x + 5 = 14b. 二元一次方程组：$$ \begin{cases} {2x+y=7} \\ {3x-2y=1}\end{cases}$$c. 不等式：3x - 4 > 2x + 12. 学生展示解题过程，教师点评并纠正错误。

四、课堂小结1. 总结本节课所学内容，强调万能模板的重要性。

2. 布置课后作业，让学生运用万能模板解决实际问题。

五、课后作业1. 完成课后习题，巩固万能模板的应用。

2. 针对实际问题，尝试运用万能模板进行解题。

教学反思：1. 通过本节课的学习，学生是否掌握了初中数学万能模板的概念和应用方法？2. 学生在课堂练习中是否能够灵活运用万能模板解决问题？3. 在今后的教学中，如何进一步提高学生对万能模板的应用能力？。

家教备课模板

学生姓名:_______年级：_______ 科目：_______ 上课老师：_______第一讲分式、反比例函数知识要点 1．分式的有关概念设A 、B 表示两个整式．如果B 中含有字母，式子BA就叫做分式．注意分母B 的值不能为零，否则分式没有意义分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式．如果分子分母有公因式，要进行约分化简 2、分式的基本性质,M B M A B A ⨯⨯= MB MA B A ÷÷=（M 为不等于零的整式） 3．分式的运算 (分式的运算法则与分数的运算法则类似)． bd bcad d c b a ±=± (异分母相加，先通分)；;;bcadc db a dc ba bd acd c b a =⋅=÷=⋅ .)(n nn b a b a =4．零指数)0(10≠=a a 5．负整数指数 ).,0(1为正整数p a aa p p≠=- 注意正整数幂的运算性质 nn n mn n m n m n m n m n m b a ab a a a a a a a a a ==≠=÷=⋅-+)(,)(),0(,可以推广到整数指数幂，也就是上述等式中的m 、 n 可以是O 或负整数．6、解分式方程的一般步骤：在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化为整式方程．解这个整式方程．.验根，即把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是零，若结果不是0，说明此根是原方程的根；若结果是0，说明此根是原方程的增根，必须舍去．7、列分式方程解应用题的一般步骤：（1）审清题意；（2）设未知数（要有单位）；（3）根据题目中的数量关系列出式子，找出相等关系，列出方程；（4）解方程，并验根，还要看方程的解是否符合题意；（5）写出答案（要有单位）。

1. (-5)0 =_____； 2. 3-2=________；3. 当x_________时，分式 1x+1 有意义；4. 写出等式中未知的式子：（）c 2+7c = 1c+7； 5. 约分：10a 2b4ab2 =______________；6. 分式：1x-1 、1x-2 的最简公分母为：______；7. 若方程x x-4 =2 + ax-4 有增根，则增根为x=______；8. 当x=______时，分式32x-1的值为1 ；9. 若x=2是方程 x-a x+1 = 13的解，则a=______； 10. 某种感冒病毒的直径是0.00000034米，用科学记数法表示为_______________米；11. 已知公式：1R = 1R 1 + 1R 2，若R 1 =10，R 2=15，则R=___________；12. 观察下列各式：22-4 + 66-4 =2，55-4 + 33-4 =2，77-4 + 11-4 =2，1010-4 + -2-2-4=2，依照以上各式形成的规律，在括号内填入正确的数，使等式2020-4 + （）（）-4=2成立 13. 下列关于x 的方程中，是分式方程的是（）A. 3x=12B. 1x =2C. x+25 = 3+x4 D.3x-2y=114. 下列各式中，成立的是（）A. = y xyB. m 6m 2 = m 3C. a 2x bx = a 2b D. a+12a- 12= a+1a-115. 要把分式方程：32（x-2） = 1x化为整数方程，方程两边需同时乘以（）A. 2（x-2）B.xC. 2x-4D. 2x （x-2）18. 若有m 人a 天可完成某项工程，且每个人的工作效率是相同的，则这样的（m+n ）人完成这项工程所需的天数为（）A. a + mB. am m+nC. a m+nD. m+nam19.计算：x+1x 2 -2x+1 ÷x+1x-1 ; 20.计算：x 2+9x x 2 +3x + x 2-9xx 2 +6x+922.解方程：7x +2 +2 = 1-3xx+224.已知y = x 2-2x+1x 2 -1 ÷ x 2-x x+1 - 1x +1，试说明在等号右边代数式有意义的条件下不论x 为何值，y的值不变。

高中数学老师完整讲义及对应作业课件

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04
CHAPTER
数学思想与方法
总结词：数形结合思想是高中数学中一种重要的解题策略，通过将抽象的数学语言与直观的图形相结合，帮助学生更好地理解数学概念和解决问题。
总结词：化归与转化思想是高中数学中另一种重要的解题策略，通过将复杂问题转化为简单问题或已解决的问题，降低问题的难度，提高解题效率。
THANKS
通过圆心和半径来表示圆的方程，公式为 ((x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2)。
椭圆的标准方程
通过焦点和长轴、短轴来表示椭圆的方程，公式为 (frac{x^2}{a^2} + frac{y^2}{b^2} = 1) 或 (frac{y^2}{a^2} + frac{x^2}{b^2} = 1)。
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目录
代数部分几何部分解析几何数学思想与方法
01
CHAPTER
代数部分
介绍函数的定义、定义域、值域等基本概念，并解释函数的单调性、奇偶性、周期性等性质。
函数的定义与性质
函数的表示方法
映射的概念
介绍函数的图象表示、表格表示、解析表示等方法，并举例说明。
解释映射的基本概念，以及映射与函数的关系和区别。
03
02
01
02
CHAPTER
几何部分
基础概念
直线、射线和线段的基本性质和判定。
角度的概念和性质，包括补角、余角和邻补角。
平行线和相交线的性质和判定。
三角形的分类、性质和判定。
多边形的性质和判定。
进阶概念
圆的性质和判定。
坐标几何的基本概念，包括点的坐标和直线的方程。
解析几何的基本思想和方法。

高二数学最新教案-北京四中数学讲座讲义精品

构造的例子
历史上构造思想解题的著名事件
• 判断： 267
67
1
是合数还是质数？
2 1 147573952589676412927 193707721 761838257287
• 1903.美国纽约.科尔（数学家）
图形构造——无字证明的美
• 印度数学家婆什迦罗证明勾股定理
瞧！
b c a
图形构造——无字证明的美
• 1+2+3+……+n的和
图形构造——无字证明的美
• 证明均值定理
ab ab (a 0, b 0) 2
a
b
图形构造——无字证明的美
• 已知图中的ABCD，DCEF，FEGH都是。正方形，求证∠1+∠2+∠3=90
1 2 3 1 2 3
3
1 2
高中数学的转化和构造思想
数学思想方法与高中数学学习
什么是数学思想？
• 数学思想应当是人们在建立数学理论或解决数学问题时用到的一些思想。 • 数学思想从来就不是数学家的专利，也不是只有在数学领域中才能发挥它的作用。数学思想与各个学科思想互相渗透。
三个层次的数学思想
• 对数学本质的认识方面的思想数学是什么？ • 关于数学的地位、作用和发展方面的思想数学向何处去？ • 解决具体的数学问题的思想数学怎样论证？
高中数学的转化和构造思想
• 求和
2
1 2 3
n
1 2 3
2 2 3 3 3
n
2 3
n(n 1) 2
1 2 3 n 4 4 4 4 1 2 3 n 5 5 5 5 1 2 3 n

2018版数学《课堂讲义》北师大版选修4-4讲义：第一讲坐标系 1 平面直角坐标系

【综合评价】通过直角坐标系，平面和空间中的点与坐标(有序数组)、曲线与方程建立了联系，实现了数形结合，这些数所表示的几何含义是不同的，同一曲线在不同坐标系下的方程也有不同形式．因此我们研究几何图形时可以根据需要选择不同的坐标系．本讲介绍了极坐标系、柱坐标系和球坐标系，其中极坐标系是重点内容，同学们要认真领会极坐标系下直线和圆的方程，理解它们的特点、意义.【学习目标】1.回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法，体会坐标系的作用.2.通过具体例子，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.3.能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化.4.能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)的方程.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，体会在用方程刻画平面图形时选择适当坐标系的意义.5.了解在柱坐标系、球坐标系中刻画空间中点的位置的方法，并与空间直角坐标系中刻画点的位置的方法相比较，体会它们的区别.【学习计划】§1 平面直角坐标系1.坐标系(1)坐标法：根据几何对象的特征，选择适当的坐标系，建立它的方程，通过方程研究它的性质及与其他几何图形的关系.(2)坐标法解决几何问题的“三步曲”：第一步，建立适当坐标系，用坐标和方程表示问题中涉及的几何元素，将几何问题转化成代数问题；第二步，通过代数运算，解决代数问题；第三步，把代数运算结果“翻译”成几何结论. 2.平面直角坐标系的作用平面直角坐标系的作用：使平面上的点与坐标(有序实数对)，曲线与方程建立联系，从而实现数与形的结合. 3.平面直角坐标系中的伸缩变换(1)平面直角坐标系中方程表示图形，那么平面图形的伸缩变换就可归结为坐标伸缩变换，这就是用代数方法研究几何变换.(2)平面直角坐标系中的坐标伸缩变换：设点P (x ，y )是平面直角坐标系中任意一点，在变换φ：⎩⎨⎧x ′＝λx ，λ>0，y ′＝μy ，μ>0的作用下，点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换. 【思维导图】【知能要点】1.回顾坐标系有关概念，体会坐标系的作用.2.了解建立坐标系的方法和原则.3.坐标伸缩变换φ：⎩⎨⎧x ′＝λx ，λ>0，y ′＝μy ，μ>0.题型一平面直角坐标系坐标系是现代数学中的重要内容，它在数学发展的历史上起过划时代的作用.坐标系的创建，在代数和几何之间架起了一座桥梁.利用坐标系，我们可以方便地用代数的方法确定平面内一个点的位置，也可以方便地确定空间内一个点的位置.它使几何概念得以用代数的方法来描述，几何图形可以通过代数形式来表达，这样便可将抽象的代数方程用形象的几何图形表示出来，又可将先进的代数方法应用于几何学的研究.建立直角坐标系，数形结合，我们可以解决许多数学问题，如函数问题就常常需要借助直角坐标系来解决.【例1】如图所示，圆O 1与圆O 2的半径都是1，|O 1O 2|＝4，过动点P 分别作圆O 1、圆O 2的切线PM 、PN (M 、N 分别为切点)，使得|PM |＝2|PN |，试建立适当的坐标系，求动点P 的轨迹方程.分析本题是解析几何中求轨迹方程问题，由题意建立坐标系，写出相关点的坐标，由几何关系式：|PM |＝2|PN |，即|PM |2＝2|PN |2，结合图形由勾股定理转化为|PO 1|2－12＝2(|PO 2|2－12).设P (x ，y )，由距离公式写出代数关系式，化简整理可得.解以O 1O 2的中点O 为原点，O 1O 2所在的直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则O 1(－2，0)，O 2(2，0).由已知|PM |＝2|PN |，得|PM |2＝2|PN |2.因为两圆的半径均为1，所以|PO 1|2－1＝2(|PO 2|2－1). 设P (x ，y )，则(x ＋2)2＋y 2－1＝2[(x －2)2＋y 2－1]，即(x －6)2＋y 2＝33，所以所求轨迹方程为(x －6)2＋y 2＝33(或x 2＋y 2－12x ＋3＝0).【反思感悟】本题求点的轨迹，考查建坐标系和数形结合思想，利用勾股定理、两点间距离公式等知识，巧妙探求动点P 满足的条件.1.一种作图工具如图①所示.O 是滑槽AB 的中点，短杆ON 可绕O 转动，长杆MN 通过N 处铰链与ON 连接，MN 上的栓子D 可沿滑槽AB 滑动，且DN ＝ON ＝1，MN ＝3.当栓子D 在滑槽AB 内作往复运动时，带动N 绕O 转动一周(D 不动时，N 也不动)，M 处的笔尖画出的曲线记为C .以O 为原点，AB 所在的直线为x 轴建立如图②所示的平面直角坐标系. 试求曲线C 的方程.解设点D (t ，0)(|t |≤2)，N (x 0，y 0)，M (x ，y )，依题意，MD →＝2DN →，且|DN →|＝|ON →|＝1，所以(t －x ，－y )＝2(x 0－t ，y 0)，且⎩⎨⎧（x 0－t ）2＋y 20＝1，x 20＋y 20＝1. 即⎩⎨⎧t －x ＝2x 0－2t ，y ＝－2y 0，且t (t －2x 0)＝0. 由于当点D 不动时，点N 也不动，所以t 不恒等于0，于是t ＝2x 0，故x 0＝x 4，y 0＝－y 2.代入x 20＋y 20＝1，可得x 216＋y 24＝1，即所求的曲线C 的方程为x 216＋y 24＝1.【例2】如图所示，四边形ABCD 的四个顶点坐标分别为 A (－1，3)，B (－3，－2)，C (4，－2)，D (3，4)，求四边形ABCD 的面积.分析本例是帮助同学们进一步了解点的坐标.点的坐标还可以表示点到坐标轴的距离(点A (a ，b )到x 轴的距离为|b |，到y 轴的距离为|a |)，从而得出某些我们需要的线段的长度.将四边形ABCD 分割成两个三角形和一个梯形，其中BE 的长度等于B 到y 轴的距离减去A 到y 轴的距离，AE 的长度为A 到x 轴的距离加上B 到x 轴的距离，依此类推可以求出DF ，CF ，EF 的长度，从而求出四边形ABCD 的面积.解作AE ⊥BC ，DF ⊥BC .垂足分别为E 、F .S △ABE ＝12·BE ·AE ＝2×52＝5；S △CDF ＝CF ·DF 2＝1×62＝3； S 梯形AEFD ＝（AE ＋DF ）·EF2＝（5＋6）×42＝22，所以四边形ABCD 的面积为5＋22＋3＝30.【反思感悟】本例是坐标系在几何图形中的应用，在求面积时要尽量利用图形中的垂直关系，将原图形分割求得面积.2.一直角梯形的上、下底边分别为12和15，两腰分别为33和6，选择适当的坐标系，表示各顶点坐标及较短对角线的长.解如图所示，以D 为原点，CD 边所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，则A (0，33)，B (12，33)，C (15，0)，D (0，0)， |BD |＝319.题型二坐标伸缩变换平面几何图形的伸缩变换可以归结为坐标的伸缩变换，学习中可结合坐标间的对应关系理解.在伸缩变换下，平面直角坐标系保持不变，在同一坐标系下对坐标进行伸缩变换，展示了坐标法思想.在伸缩变换下，直线仍然变为直线，抛物线变为抛物线，双曲线变为双曲线，而椭圆可以变为圆，圆可以变为椭圆.【例3】在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝13y 后的图形.(1)5x ＋2y ＝0；(2)x 2＋y 2＝1.分析根据变换公式，分清新旧坐标即可.解 (1)由伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝13y ，得⎩⎨⎧x ＝2x ′，y ＝3y ′.将其代入5x ＋2y ＝0，得到经过伸缩变换后的图形的方程是5x ′＋3y ′＝0. 经过伸缩变换后，直线仍然是直线. (2)将⎩⎨⎧x ＝2x ′，y ＝3y ′代入x 2＋y 2＝1，得到经过伸缩变换后的图形的方程是x ′214＋y ′219＝1.经过伸缩变换后，圆变成了椭圆.【反思感悟】伸缩变换要分清新旧坐标，直接利用公式即可，变换后的新坐标用x ′，y ′表示.3.伸缩变换的坐标表达式为⎩⎨⎧x ′＝x ，y ′＝4y .曲线C 在此变换下变为椭圆x ′2＋y ′216＝1.求曲线C 的方程.解设P (x ，y )为曲线C 上任意一点.把⎩⎨⎧x ′＝x ，y ′＝4y代入x ′2＋y ′216＝1，得x 2＋y 2＝1.故曲线C 的方程为x 2＋y 2＝1. 【例4】求满足下列图形变换的伸缩变换：由曲线4x 2＋9y 2＝36变成曲线x ′2＋y ′2＝1.分析求满足图形变换的伸缩变换，实际上是求出其变换公式，将新旧坐标分清，代入对应的曲线方程，然后比较系数就可得了，椭圆伸缩变换之后可得圆或椭圆.解设变换为⎩⎨⎧x ′＝λx ，λ>0，y ′＝μy ，μ>0，可将其代入第二个方程，得λ2x 2＋μ2y 2＝1.与4x 2＋9y 2＝36比较，将其变为436x 2＋936y 2＝1，即19x 2＋14y 2＝1，比较系数得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝13，μ＝12.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝13x ，y ′＝12y ，即将椭圆4x 2＋9y 2＝36上的所有点横坐标变为原来的13，纵坐标变为原来的12，可得到圆x ′2＋y ′2＝1.【反思感悟】对于图形的伸缩变换问题，只要搞清新旧坐标，区别x ，y 和x ′，y ′，比较公式中的系数即可.4.在同一平面直角坐标系中，将曲线x 2－36y 2－8x ＋12＝0变成曲线x ′2－y ′2－4x ′＋3＝0，求满足图像变化的伸缩变换. 解 x 2－36y 2－8x ＋12＝0可化为 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －422－9y 2＝1.① x ′2－y ′2－4x ′＋3＝0可化为 (x ′－2)2－y ′2＝1.②比较①②两式得x ′－2＝x －42，y ′＝3y .故所求伸缩变换为：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝3y .1.已知一条长为6的线段两端点A 、B 分别在x 、y 轴上滑动，点M 在线段AB 上，且AM ∶MB ＝1∶2，求动点M 的轨迹方程. 解 (代入法)设A (a ，0)，B (0，b )，M (x ，y )， ∵|AB |＝6，∴a 2＋b 2＝36.①M 分AB －的比为12.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋12×01＋12＝23a ，y ＝0＋12b1＋12＝13b .⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32x ，b ＝3y .②将②式代入①式，化简为x 216＋y 24＝1.2.已知B 村位于A 村的正西方向1公里处，原计划经过B 村沿着北偏东60°的方向埋设一条地下管线m .但在A 村的西北方向400米处，发现一古代文物遗址W .根据初步勘察的结果，文物管理部门将遗址W 周围100米范围划为禁区.试问：埋设地下管线m 的计划需要修改吗？解解决这一问题的关键，在于确定遗址W 与地下管线m 的相对位置，如图所示，以A 为原点，正东方向和正北方向分别为x 轴和y 轴的正方向，建立平面直角坐标系，则A (0，0)，B (－1 000，0).由W 位于A 的西北方向及|AW |＝400，得W (－2002，2002)，由直线m 过B 点且倾斜角为90°－60°＝30°，得直线m 的方程是x －3y ＋1 000＝0.于是，点W 到直线m 的距离为|－2002－3·2002＋1 000|2＝100(5－2－6)≈113.6>100，所以，埋设地下管线m 的计划可以不修改.3.阐述由曲线y ＝tan x 得到曲线y ＝3tan 2x 的变化过程，并求出坐标伸缩变换. 解 y ＝tan x 的图像上点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的12，得到y ＝tan 2x ，再将其纵坐标伸长为原来的3倍，横坐标不变，得到曲线y ＝3tan 2x . 设y ′＝3tan 2x ′，变换公式为⎩⎨⎧x ′＝λx ，λ>0，y ′＝μy ，μ>0.将其代入y ′＝3tan 2x ′得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝12，μ＝3，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝3y .[P 2思考交流]1.在平面直角坐标系中，圆心坐标为(2，3)，5为半径的圆的方程是什么？答 (x －2)2＋(y －3)2＝25.2.在平面直角坐标系中，以(a ，b )为圆心，r 为半径的圆的方程是什么？答 (x －a )2＋(y －b )2＝r 2. [P 5思考交流]我国1990年至2000年的国内生产总值如表1－2(单位：亿元)表1—2年份 1994 1995 1996 1997 1998 生产总值 43 800 57 733 67 795 74 772 79 553 年份 1999 2000 2001 2002 2003 生产总值82 05489 40495 933102 398116 694特点. 答统计图从表中统计数据可看到，我国的生产总值年年增长，1994～1997年增长较快，1997～2001年放慢了增长速度，2001年之后又以较快的速度增长. [P 6思考交流]1.观察例3(2)中y ＝sin x 的图像与(1)中y ＝2sin 3x 的图像，讨论它们的关系？答 y ＝sin x 的图像和y ＝2sin 3x 的图像可以通过伸缩变换相互得到：y ＝sin x 的图像――————————————→纵坐标不变横坐标缩短为原来的13得y ＝sin 3x 的图像―——————————―→横坐标不变纵坐标伸长为原来的2倍得y ＝2sin 3x 的图像. y ＝2sin 3x 的图像横坐标不变纵坐标缩短为原来的12得y ＝sin 3x 的图像.纵坐标不变横坐标伸长为原来的3倍得y ＝sin x 的图像2.试将上述讨论引申为坐标轴单位长度任意伸缩的情况.答设函数y ＝f (x )与函数y ＝μf (ωx )(其中ω＞0，μ＞0)图像之间的关系为：y ＝μf (ωx )的图像.它们的图像可以通过伸缩变换相互得到. 【规律方法总结】1.建立平面直角坐标系，可以利用未知点满足条件的坐标形式，求点的轨迹方程.2.利用平面直角坐标系，可以将平面图形坐标化，进行证明或计算.3.在伸缩变换中，要分清新旧坐标，然后代入公式比较系数即可.4.在伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝λx （λ＞0），y ′＝μy （μ＞0）的作用下，抛物线变为抛物线，双曲线变为双曲线，圆可以变为椭圆，椭圆可以变成圆，我们可以把圆作为椭圆的特例.一、选择题1.▱ABCD 中三个顶点A 、B 、C 的坐标分别是(－1，2)、(3，0)、(5，1)，则点D 的坐标是( )A.(9，－1)B.(－3，1)C.(1，3)D.(2，2)解析由平行四边形对边互相平行，即斜率相等，可求出D 点坐标.设D (x ，y )，则⎩⎨⎧k AB ＝k DC ，k AD ＝k BC ，即⎩⎪⎨⎪⎧2－0－1－3＝y －1x －5，2－y －1－x ＝0－13－5.∴⎩⎨⎧x ＝1，y ＝3.，故D (1，3). 答案 C2.要得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3的图像，只需将函数y ＝sin 4x 的图像( )A.向左平移π12个单位 B.向右平移π12个单位 C.向左平移π3个单位D.向右平移π3个单位解析由y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3＝sin 4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12得，只需将y ＝sin 4x 的图像向右平移π12个单位即可，故选B. 答案 B3.在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝5x ，y ′＝3y 后，曲线C 变为曲线x ′2＋4y ′2＝1，则曲线C 的方程为( ) A.25x 2＋36y 2＝1 B.9x 2＋100y 2＝1 C.10x ＋24y ＝1D.225x 2＋89y 2＝1解析将⎩⎨⎧x ′＝5x ，y ′＝3y 代入x ′2＋4y ′2＝1，得25x 2＋36y 2＝1，为所求曲线C 的方程. 答案 A4.将一个圆作伸缩变换后所得到的图形不可能是( ) A.椭圆B.比原来大的圆C.比原来小的圆D.双曲线解析设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，变换为⎩⎨⎧x ′＝λx ，y ′＝μy ，化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1λx ′，y ＝1μy ′，(λ，μ不为零).⎝ ⎛⎭⎪⎫1λx ′－a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1μy ′－b 2＝r 2， 1λ2(x ′－λa )2＋1μ2(y ′－μb )2＝r 2， ∴（x ′－λa ）2（λr ）2＋（y ′－μb ）2（μr ）2＝1.此方程不可能是双曲线.答案 D 二、填空题5.△ABC 中，B (－2，0)，C (2，0)，△ABC 的周长为10，则A 点的轨迹方程为__________.解析 ∵△ABC 的周长为10， ∴|AB |＋|AC |＋|BC |＝10.其中|BC |＝4，即有|AB |＋|AC |＝6>4.∴A 点轨迹为椭圆除去长轴两端点，且2a ＝6，2c ＝4.∴a ＝3，c ＝2，b 2＝5. ∴A 点的轨迹方程为x 29＋y 25＝1 (y ≠0). 答案 x 29＋y 25＝1 (y ≠0)6.在平面直角坐标系中，方程x 2＋y 2＝1所对应的图形经过伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝2x ，y ′＝3y后的图形所对应的方程是____________. 解析代入公式，比较可得x ′24＋y ′29＝1. 答案 x ′24＋y ′29＝17.y ＝cos x 经过伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝2x ，y ′＝3y后曲线方程变为________.解析由⎩⎨⎧x ′＝2x ，y ′＝3y ，化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12x ′，y ＝13y ′，代入y ＝cos x 中得：13y ′＝cos 12x ′，即：y ′＝3cos 12x ′. 答案 y ′＝3cos 12x ′8.台风中心从A 地以20 km/h 的速度向东北方向移动，离台风中心30 km 内的地区为危险区，城市B 在A 地正东40 km 处，则城市B 处于危险区内的时间为________h.解析以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，则B (40，0)，以点B 为圆心，30为半径的圆的方程为(x －40)2＋y 2＝302，台风中心移动到圆B 内时，城市B 处于危险区，台风中心移动的轨迹为直线y ＝x ，与圆B 相交于点M ，N ，点B 到直线y ＝x 的距离d ＝402＝20 2. 求得|MN |＝2302－d 2＝20(km)，故|MN |20＝1，所以城市B 处于危险区的时间为1 h. 答案 1 三、解答题9.已知▱ABCD ，求证：|AC |2＋|BD |2＝2(|AB |2＋|AD |2).证明法一坐标法以A 为坐标原点O ，AB 所在的直线为x 轴，建立平面直角坐标系xOy ，则A (0，0)，设B (a ，0)，C (b ，c )，则AC 的中点E ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2，c 2，由对称性知D (b －a ，c )，所以|AB |2＝a 2，|AD |2＝(b －a )2＋c 2， |AC |2＝b 2＋c 2， |BD |2＝(b －2a )2＋c 2，|AC |2＋|BD |2＝4a 2＋2b 2＋2c 2－4ab ＝2(2a 2＋b 2＋c 2－2ab )，|AB |2＋|AD |2＝2a 2＋b 2＋c 2－2ab ， ∴|AC |2＋|BD |2＝2(|AB |2＋|AD |2).法二向量法在▱ABCD 中，AC→＝AB →＋AD →，两边平方得AC →2＝|AC →|2＝AB →2＋AD →2＋2AB →·AD →，同理得BD →2＝|BD →|2＝BA →2＋BC →2＋2BA →·BC →，以上两式相加，得|AC →|2＋|BD →|2＝2(|AB →|2＋|AD →|2)＋2BC →·(AB →＋BA →) ＝2(|AB→|2＋|AD →|2)，即|AC |2＋|BD |2＝2(|AB |2＋|AD |2).10.通过平面直角坐标系中的平移变换与伸缩变换，可以把椭圆（x －1）29＋（y ＋2）24＝1变为中心在原点的单位圆，求上述平移变换与伸缩变换，以及这两种变换的合成变换.解先通过平移变换⎩⎨⎧x ′＝x －1，y ′＝x ＋2把椭圆（x －1）29＋（y ＋2）24＝1变为椭圆x ′29＋y ′24＝1.再通过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ″＝x ′3，y ″＝y ′2把椭圆x ′29＋y ′24＝1变为单位圆x ″2＋y ″2＝1.由上述两种变换合成的变换是⎩⎪⎨⎪⎧x ″＝13（x －1），y ″＝12（y ＋2）.习题1－1 (第7页)A 组1.由两点式写直线的方程为35x ＋36y －41＝0.2.直线x 6＋y4＝－2与x 轴、y 轴的交点坐标以及直线的斜率分别为(－12，0)、(0，－8)、－23.3.解 △ABC 是以∠A 为直角的直角三角形，且AB 平行于x 轴，AC 平行于y 轴. ∴∠A 的平分线的斜率为1，所在直线方程为x －y ＋1＝0. BC 所在直线的方程为4x ＋3y －29＝0，解⎩⎨⎧x －y ＋1＝0，4x ＋3y －29＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝267，y ＝337.∠A 的平分线的长为1227.4.解法一由两点式写出直线AB 的方程为3x ＋y －6＝0. 将点C (4，－6)代入方程3×4＋(－6)－6＝0，点C 在直线AB 上， ∴A 、B 、C 在同一条直线上. 法二 ∵k AB ＝－3，k BC ＝－3 ∴A 、B 、C 三点在同一条直线上.5.解与x 轴交点令y ＝0，2x －10＝0，x ＝5，与y 轴交点令x ＝0，－5y －10＝0，y ＝－2， S △＝12×5×2＝5.6.证明如图：矩形OABC .设OA ＝a ，OC ＝b ，以O 为原点建立如图所示的直角坐标系.则O 、A 、B 、C 的坐标分别为(0，0)，(a ，0)，(a ，b )，(0，b )|OB |＝a 2＋b 2，|AC |＝b 2＋（－a ）2＝a 2＋b 2， ∴|OB |＝|AC |. 结论得证.7.解 (1)设圆的方程为(x －a )2＋y 2＝r 2代入C 、D 两点得⎩⎨⎧（－1－a ）2＋1＝r 2，（1－a ）2＋9＝r 2，解得a ＝2，r ＝10， ∴方程为(x －2)2＋y 2＝10 (2)设圆心为(0，b )m则5＝|b －6|，b ＝1或11，∴方程为x 2＋(y －1)2＝25或x 2＋(y －11)2＝25. (3)设方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2， ∵过A 、B 两点，圆心在2x －y ＝3上，∴⎩⎨⎧（5－a ）2＋（2－b ）2＝r 2，（3－a ）2＋（－2－b ）2＝r 2，2a －b ＝3，解得a ＝2，b ＝1，r ＝10. ∴方程为(x －2)2＋(y －1)2＝10. (4)设圆方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，由题意可得⎩⎨⎧（3－a ）2＋（2－b ）2＝r 2，b ＝2a ，r ＝|2a －b ＋5|1＋4，解得：⎩⎨⎧a ＝2，b ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝45，b ＝85，r ＝5，∴圆的方程为(x －2)2＋(y －4)2＝5或⎝ ⎛⎭⎪⎫x －452＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －852＝5，图略.8.解以底边中点为原点，底边所在直线为x 轴建立平面直角坐标系.设△ABC ，底边BC ＝8，高为AD ＝5，则B (－4，0)，C (4，0)，D (0，0)，A (0，5)，设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2则⎩⎨⎧（－4－a ）2＋b 2＝r 2，（4－a ）2＋b 2＝r 2，a 2＋（5－b ）2＝r 2，得a ＝0，b ＝910，r 2＝412100， ∴圆方程为x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －9102＝1 681100.9.解 |A 1F 1|＋|A 2F 1|＝2＋14＝16＝2a ，a ＝8，F 1(－6，0)，F 2(6，0)，c ＝6，∴b 2＝28. ∴椭圆标准方程为x 264＋y 228＝1. 10.解 (1)由题意知a 2＝8，b 2＝5，椭圆方程为x 28＋y 25＝1. (2)由题意知a ＝3b当焦点在x 轴上时a ＝3，b ＝1，椭圆方程：x 29＋y 21＝1；当焦点在y 轴上时b ＝3，a ＝9，椭圆方程：x 29＋y 281＝1. (3)由题意知c ＝23，设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，P (5，－6)在椭圆上. ∴⎩⎪⎨⎪⎧5a 2＋6b 2＝1，a 2－b 2＝12，解得a 2＝20，b 2＝8， ∴椭圆方程为x 220＋y 28＝1. 11.略B 组1.证明 ∵圆直径的端点是A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2) ∴圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，半径为（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）22∴圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 1＋x 222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －y 1＋y 222＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）24，x 2－x (x 1＋x 2)＋（x 1＋x 2）24＋y 2－y (y 1＋y 2)＋（y 1＋y 2）42＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）24，x 2－x (x 1＋x 2)＋（x 1＋x 2）24－（x 1－x 2）24＋y 2－y (y 1＋y 2)＋（y 1＋y 2）24－（y 1－y 2）24＝0， x 2－x (x 1＋x 2)＋x 1x 2＋y 2－y (y 1＋y 2)＋y 1y 2＝0， (x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0，∴圆的方程为(x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0. 2.解由⎩⎨⎧（x －3）2＋（y －5）2＝4，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋（y －5）2＝1得x －54＝0，∴直线方程为x －54＝0.3.解以地球球心与距地最近点所在直线为x 轴，以最近点与最远点的中点为原点建立平面直角坐标系.则2a ＝6 636＋8 196＝14 832，a ＝7 416，a 2＝54 997 056， c ＝8 196－7 416＝780，∴b 2＝54 388 656. ∴椭圆方程为x 254 997 056＋y 254 388 656＝1.。

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修曇徘【內部资料他密切勿外泄】通采報籍裟备篇(_) ................................................ 号通矣秘籍攻略篇(_) .. (4)(一)通果報籍实战篇通矣秘籍通矣薦(-) (5)通关秘籍一-1、任意角 '正角＜负角零角「象限角装备篇（一）通关籍裝备丿............................................&通臬秘籍攻略篇（二） ........................... (7)通关籍实 ).......................................................................... 8 臬籍关為()........................... ........................ 乡关籍囁备（三丿 (10)通臬秘籍攻略篇（三丿 ........................... .................................................. U 通-M 籍实战為（三丿 .......................... .. (1)2 通-M 籍通关為(三)........................... (14)通-M 籍裝备為（四丿 .......................... ................................................. 15 通臬秘籍攻略篇（四丿 ........................... ................................................. 17 通-M 籍实战為（四丿 .......................... ................................................. 19 通-M 籍通关為(四),,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, (20)刃月~ (21)M 月 (— 1) .................................. . (25)**终边相同的角: ［与弧度制之间的转化公式2、弧度制J 弧长公式扇形面积公式3、设角a的终边上一点为P（x,y）,则sing_________ ,cosa = _______ 9 tana = ____________若角a的终边上一点为P（x,y）,则sina= _______ ,cosa = _______ , tan a = ____________还记得sina, cosa , tan a在各个象限的函数值符号特征吗？4、单位圆中：则sina= _______ ,通关秘籍----------- 攻略篇（一）1、设扇形的周长为8 c m,面积为4,则扇形的圆心角的弧度数为___________2、与— 2002°终边相同的最小正角是_____________3、设&分别是第二、三、四象限角，则点P（sin0,cos0）分别在第—、_____ 、________ 象限4、若cost/ = -—,且a的终边过点P(x,2),贝！|a是第______2—象限角5、在(0,2时内，使sin x > cos x成立的X的取值范围是—.TC7 TC . 3兀、./ 3兀、.sin ---- c os ------ F tan( --- )一sin( ) + cos( --- )—3 64 4 3 ----------------通关秘籍---------- 实战篇(一)1、若角600°的终边上有一点(一4, a),则a的值是_________2、一-—L；2 sin(- —) + 4ab cos - + A2 tan(-—)]=a +艸 2 3 u 4 ------------3、sin 1, cos 1, tan 1 的大小关系是_______4、已知sin 200 = a »则tan]60°= _______________5、设角a属于第二象限角，且cos纟一cos?,贝咚属于2 2 2第_____ 象限角通关秘籍----------- 通关篇(一)1、设角a的终边上有一点P (5, - 1 2 ),则sin—_______ 9 cosa = ________ 9 tan a - _____________o . 7龙/ lbr、/ 15龙、7龙Z、sin — cos( ------ ) + tan( ------- ) tan —=3 64 3 ---------------------3、求f(x) = 71^2 sinx 的定义域通关秘籍 ---------- 装备篇(二)1 ＞同角三角函数关系式①平方关系：sin2«+cos2fl = 1②商数关系：竺巴=tan acos a2、诱导公式：口诀：_______________ ， ------------------小试一下：sin(TT-Q)= ___________cos(-a) = __________sin(— + a) = ___________23龙—cos( ----- a)——_________2tan(2^ + a) = ___________3、①两角和与差公式：sin(a ± 0) = ___________cos(a ± 0) = ______________tan(a ± /?) = ___________ _②倍角公式:通关秘籍sin 2a = ___________ cos la = ___________ tan la = _________________4、几种常见化简模型%1 J1 土 sin 。