数学高考第一轮复习合情推理与演绎推理

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高三数学一轮复习 7.3 合情推理与演绎推理

A.h>h1+h2+h3 B.h=h1+h2+h3 C.h<h1+h2+h3 D.h1,h2,h3与h的关系不定
考点1
考点2
考点3
-20-
(2)在平面几何中,△ABC的内角C的平分线CE分AB所成线段的
��
比为�� = �� .把这个结论类比到空间:在三棱锥A-BCD中(如图),平
-16-
考点1
考点2
考点3
对点训练 1(1)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多
边形数.如三角形数
1,3,6,10,…,第
n
个三角形数为��(��+1)
2
=
12n2+12n.
记第 n 个 k 边形数为 N(n,k)(k≥3),以下列出了部分 k 边形数中第 n
个数的表达式:
三角形数:N(n,3)=12n2+12n, 正方形数:N(n,4)=n2, 五边形数:N(n,5)=32n2-12n, 六边形数:N(n,6)=2n2-n,
不够,每人16,余16,再将这16分成
11
份,每人得616,所以121
=
1 6
+
616,其中
6=112+1,66=11×112+1.由以上规律可知,2��
=
1 ��+1
+
1 ��(��+1)
.
2
2
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考点1
考点2
考点3
考点 2
类比推理

高三数学第一轮复习课时作业(67)合情推理与演绎推理

课时作业(六十七) 第67讲合情推理与演绎推理时间：45分钟分值：100分基础热身1．2011·焦作模拟在等差数列{a n }中，若a n >0，公差d >0，则有a 4·a 6>a 3·a 7，类比上述性质，在等比数列{b n }中，若b n >0，公比q >1，则b 4，b 5，b 7，b 8的一个不等关系是( )A ．b 4＋b 8>b 5＋b 7B ．b 4＋b 8<b 5＋b 7C ．b 4＋b 7>b 5＋b 8D ．b 4＋b 7<b 5＋b 8 2．2011·豫南九校联考规定一机器狗每秒钟只能前进或后退一步，现程序设计师让机器狗以“前进3步，然后再退2步”的规律移动．如果将此机器狗放在数轴原点，面向正方向，以1步的距离为1个单位长度移动，令P (n )表示第n 秒时机器狗所在的位置坐标，且P (0)＝0，则下列结论中错误的是( )A ．P (2007)＝403B ．P (2008)＝404C ．P (2009)＝403D ．P (2010)＝4043．2011·万州模拟已知命题：若数列{a n }为等差数列，且a m ＝a ，a n ＝b (m ≠n ，m 、n ∈N *)，则a m ＋n ＝bn －am n －m；现已知等比数列{b n }(b n >0，n ∈N *)，b m ＝a ，b n ＝b (m ≠n ，m 、n ∈N *)，若类比上述结论，则可得到b m ＋n ＝( )A.m －nbman B.n －mb nam C.n －m b n a m D.n －m b m a n 4．有下列推理：①A ，B 为定点，动点P 满足|PA |＋|PB |＝2a >|AB |，则P 的轨迹为椭圆；②由a 1＝1，a n ＝3n －1，求出S 1，S 2，S 3，猜想出数列的前n 项和S n 的表达式； ③由圆x 2＋y 2＝r 2的面积S ＝πr 2，猜想出椭圆x 2a 2＋y2b2＝1的面积S ＝πab ；④科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇．以上推理不是归纳推理的序号是________． (把所有你认为正确的序号都填上) 能力提升5．设f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f 0′(x )，f 2(x )＝f 1′(x )，…，f n (x )＝f n －1′(x )，n ∈N ，则f 2013(x )＝( ) A ．sin x B ．－sin x C ．cos x D ．－cos x6．下面几种推理过程是演绎推理的是( )A ．两条直线平行，同旁内角互补，由此若∠A ，∠B 是两条平行直线被第三条直线所截得的同旁内角，则∠A ＋∠B ＝180°B ．某校高三(1)班有55人，高三(2)班有54人，高三(3)班有52人，由此得出高三所有班人数超过50人C ．由平面正三角形的性质，推测空间四面体的性质D ．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝12⎝⎛⎭⎫a n －1＋1a n －1(n ≥2)，由此归纳出{a n }的通项公式7．我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点A (－3,4)，且法向量为n ＝(1，－2)的直线(点法式)方程为：1×(x ＋3)＋(－2)×(y －4)＝0，化简得x －2y ＋11＝0.类比以上方法，在空间直角坐标系中，经过点A (1,2,3)且法向量为n ＝(－1，－2,1)的平面的方程为( )A ．x ＋2y －z －2＝0B ．x －2y －z －2＝0C ．x ＋2y ＋z －2＝0D ．x ＋2y ＋z ＋2＝08．“因为指数函数y ＝a x是增函数(大前提)，而y ＝⎝⎛⎭13x 是指数函数(小前提)，所以y ＝⎝⎛⎭⎫13x 是增函数(结论)”，上面推理的错误是( )A．大前提错导致结论错B．小前提错导致结论错C．推理形式错导致结论错D．大前提和小前提错都导致结论错9．把正整数按一定的规则排成了如图K67－1所示的三角形数表．设a ij(i，j∈N*)是位于这个三角形数表中从上往下数第i行、从左往右数第j个数，如a42＝8.若a ij＝2009，则i与j的和为( )12 43 5 76 8 10 129 11 13 15 1714 16 18 20 22 24图K67－1A．105 B．106 C．107 D．10810．对于命题：若O是线段AB上一点，则有||·＋||·＝0.将它类比到平面的情形是：若O是△ABC内一点，则有S△OBC·＋S△OCA·＋S△OAB·＝0.将它类比到空间的情形应该是：若O是四面体ABCD内一点，则有________．11．半径为r的圆的面积S(r)＝πr2，周长C(r)＝2πr，若将r看做(0，＋∞)上的变量，则(πr2)′＝2πr ①，①式可以用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数．对于半径为R的球，若将R看做(0，＋∞)上的变量，请你写出类似于①的式子：________________②，②式可以用语言叙述为：________________.12．2011·宁波模拟在计算“11×2＋12×3＋…＋1n(n＋1)(n∈N*)”时，某同学学到了如下一种方法：先改写第k项：1k(k＋1)＝1k－1k＋1，由此得11×2＝11－12，12×3＝12－13，…，1n(n＋1)＝1n－1n＋1，相加，得11×2＋12×3＋…＋1n(n＋1)＝1－1n＋1＝nn＋1.类比上述方法，请你计算“11×2×3＋12×3×4＋…＋1n(n＋1)(n＋2)(n∈N*)”，其结果为________．13．2011·浙江五校联考某少数民族的刺绣有着悠久的历史，图K67－2为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n)个小正方形，则f(n)的表达式为____________(n∈N*)．图 214．(10分)蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图K67－3为一组蜂巢的截面图．其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以f(n)表示第n个图的蜂巢总数．(1)试给出f(4)，f(5)的值，并求f(n)的表达式(不要求证明)；(2)证明：1f(1)＋1f(2)＋1f(3)＋…＋1f(n)<43.图K67－315．(13分)如图K67－4所示，点P 为斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱BB 1上一点，PM ⊥BB 1交AA 1于点M ，PN ⊥BB 1交CC 1于点N .(1)求证：CC 1⊥MN ；(2)在任意△DEF 中有余弦定理： DE 2＝DF 2＋EF 2－2DF ·EF ·cos∠DFE .拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明．图K67－4难点突破16．(12分)规定C mx ＝x ·(x －1)·…·(x －m ＋1)m ！，其中x ∈R ，m 是正整数，且C 0x ＝1，这是组合数C mn (m ，n是正整数，且m ≤n 的一种推广)．(1)求C 5－15的值；(2)组合数的两个性质：①C m n ＝C n －m n .②C m n ＋C m －1n ＝C m n ＋1.是否都能推广到C mx (x ∈R ，m 是正整然)的情形？若能推广，请写出推广的形式，并给出证明；若不能，则说明理由．(3)已知组合数C m n 是正整数，证明：当x ∈Z ，m 是正整数时，C mx ∈Z .课时作业(六十七)【基础热身】1．A 解析在等差数列{a n }中，由于4＋6＝3＋7时有a 4·a 6>a 3·a 7，所以在等比数列{b n }中，由于4＋8＝5＋7，所以应有b 4＋b 8>b 5＋b 7或b 4＋b 8<b 5＋b 7.∵b 4＝b 1q 3，b 5＝b 1q 4，b 7＝b 1q 6，b 8＝b 1q 7∴(b 4＋b 8)－(b 5＋b 7)＝(b 1q 3＋b 1q 7)－(b 1q 4＋b 1q 6)＝b 1q 6·(q －1)－b 1q 3(q －1)＝(b 1q 6－b 1q 3)(q －1)＝b 1q 3(q 3－1)(q －1)．∵q >1，b n >0，∴b 4＋b 8>b 5＋b 7.故选A.2．D 解析显然每5秒前进一个单位，且P (1)＝1，P (2)＝2，P (3)＝3，P (4)＝2，P (5)＝1， ∴P (2007)＝P (5×401＋2)＝401＋2＝403，P (2008)＝404，P (2009)＝403，P (2010)＝402，故选D.3．B 解析等差数列中的bn 和am 可以类比等比数列中的b n 和a m，等差数列中的bn －am 可以类比等比数列中的b na m ，等差数列中的bn －am n －m可以类比等比数列中的n －mbnam .故b m ＋n ＝n －mb nam . 4．①③④ 解析 ①为演绎推理，②为归纳推理，③④为类比推理．【能力提升】5．C 解析 f 1(x )＝(sin x )′＝cos x ， f 2(x )＝(cos x )′＝－sin x ， f 3(x )＝(－sin x )′＝－cos x ， f 4(x )＝(－cos x )′＝sin x ，f 5(x )＝(sin x )′＝cos x ＝f 1(x )， f 6(x )＝(cos x )′＝－sin x ＝f 2(x )， f n ＋4(x )＝…＝…＝f n (x )，故可猜测f n (x )以4为周期，有f 4n ＋1(x )＝f 1(x )＝cos x ，f 4n ＋2(x )＝f 2(x )＝－sin x ， f 4n ＋3(x )＝f 3(x )＝－cos x ，f 4n ＋4(x )＝f 4(x )＝sin x ，所以f 2013(x )＝f 503×4＋1(x )＝f 1(x )＝cos x ，故选C.6．A 解析两条直线平行，同旁内角互补——大前提，∠A ，∠B 是两条平行直线被第三条直线所截得的同旁内角——小前提， ∠A ＋∠B ＝180°——结论．故A 是演绎推理，而B 、D 是归纳推理，C 是类比推理．故选A.7．A 解析类比直线方程求法得平面方程为(－1)×(x －1)＋(－2)×(y －2)＋1×(z －3)＝0即x ＋2y －z －2＝0.8．A 解析 y ＝a x是增函数这个大前提是错误的，从而导致结论错．9．C 解析由三角形数表可以看出其奇数行为奇数列，偶数行为偶数列，2009＝2×1005－1，所以2009为第1005个奇数，又前31个奇数行内数的个数的和为961，前32个奇数行内数的个数的和为1024，故2009在第32个奇数行内，所以i ＝63，因为第63行的第一个数为2×962－1＝1923,2009＝1923＋2(m －1)，所以m ＝44，即j ＝44，所以i ＋j ＝107.10．V O －BCD ·＋V O －ACD ·＋V O －ABD ·＋V O －ABC ·＝0 解析平面上的线段长度类比到平面上就是图形的面积，类比到空间就是几何体的体积．11.⎝⎛⎭⎫43πR 3′＝4πR 2球的体积函数的导数等于球的表面积函数12.n 2＋3n 4(n ＋1)(n ＋2) 解析 ∵1k (k ＋1)(k ＋2)＝12⎣⎡⎦⎤1k (k ＋1)－1(k ＋1)(k ＋2)，依次裂项，求和得n 2＋3n4(n ＋1)(n ＋2).13．f (n )＝2n 2－2n ＋1 解析由f (1)＝1，f (2)＝1＋3＋1，f (3)＝1＋3＋5＋3＋1，f (4)＝1＋3＋5＋7＋5＋3＋1，可得f (n )＝1＋3＋5＋…＋2n －1＋…＋3＋1，∴f (n )＝2×(n －1)[1＋(2n －3)]2＋(2n －1)＝2n 2－2n ＋1.14．解答 (1)f (4)＝37，f (5)＝61.由于f (2)－f (1)＝7－1＝6，f (3)－f (2)＝19－7＝2×6，f (4)－f (3)＝37－19＝3×6，f (5)－f (4)＝61－37＝4×6，…因此，当n ≥2时，有f (n )－f (n －1)＝6(n －1)，所以f (n )＝f (n )－f (n －1)＋f (n －1)－f (n －2)＋…＋f (2)－f (1)＋f (1)＝6(n －1)＋(n －2)＋…＋2＋1＋1＝3n 2－3n ＋1.又f (1)＝1＝3×12－3×1＋1，所以f (n )＝3n 2－3n ＋1.(2)证明：当k ≥2时，1f (k )＝13k 2－3k ＋1<13k 2－3k ＝13⎝⎛⎭⎫1k －1－1k .所以1f (1)＋1f (2)＋1f (3)＋…＋1f (n )<1＋13⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1－1n ＝1＋13⎝⎛⎭⎫1－1n <1＋13＝43.15．解答 (1)证明：∵PM ⊥BB 1，PN ⊥BB 1，PM ∩PN ＝P ， ∴BB 1⊥平面PMN ，∴BB 1⊥MN . 又CC 1∥BB 1，∴CC 1⊥MN .(2)在斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，有 S 2平面ABB 1A 1＝S 2平面BCC 1B 1＋S 2平面ACC 1A 1－ 2S 平面BCC 1B 1S 平面ACC 1A 1cos α.其中α为平面BCC 1B 1与平面ACC 1A 1所成的二面角的大小．证明：∵CC 1⊥平面PMN ，∴上述的二面角的平面角为∠MNP . 在△PMN 中，∵PM 2＝PN 2＋MN 2－2PN ·MN cos ∠MNP ，∴PM 2·CC 21＝PN 2·CC 21＋MN 2·CC 21－2(PN ·CC 1)·(MN ·CC 1)cos ∠MNP ，由于S 平面BCC 1B 1＝PN ·CC 1，S 平面ACC 1A 1＝MN ·CC 1， S 平面ABB 1A 1＝PM ·BB 1＝PM ·CC 1，∴S 2平面ABB 1A 1＝S 2平面BCC 1B 1＋S 2平面ACC 1A 1－2S 平面BCC 1B 1·S 平面ACC 1A 1·cos α. 【难点突破】16．解答 (1)根据新规定直接进行演算即可C 5－15＝(－15)(－16)(－17)(－18)(－19)5！＝－11628.(2)性质①不能推广．反例：当x ＝2，m ＝1时，C 12有意义，但C 2－12无意义．性质②能推广，且推广形式不变：C m x ＋C m －1x ＝C mx ＋1(x ∈R ，m 是正整数)．证明如下：C m x ＋C m －1x ＝x (x －1)(x －2)…(x －m ＋1)m ！＋x (x －1)(x －2)…(x －m ＋2)(m －1)！＝x (x －1)(x －2)…(x －m ＋2)m ！·(x ＋1)＝1m ！·(x ＋1)(x ＋1)－1(x ＋1)－2…(x ＋1)－m ＋1＝C m x ＋1.(3)需要就x 与m 的大小做出逻辑划分并进行严密的论证．当x ≥m 时，x ，m 都是正整数，C mn 就是组合数，结论显然成立；当0≤x <m 时，C mx ＝x (x －1)(x －2)…0…(x －m ＋1)m ！＝0∈Z ，结论也成立；当x <0时，C mx ＝x (x －1)(x －2)…(x －m ＋1)m ！＝(－1)m 1m ！(－x ＋m －1)(－x ＋m －2)…(－x ＋1)(－x )＝(－1)m C m－x ＋m －1∵－x ＋m －1>0，∴C m－x ＋m －1是正整数，故C m x ＝(－1)m C m－x ＋m －1∈Z .综上所述，当x ∈Z ，m 是正整数时，C mx ∈Z .。

合情推理与演绎推理

考点演练
10. (2010·衡水模拟)设函数f(x)= ,利用课本中推导等差数列前n项和公式的方法，求f(-5)+…+f(0)+…+f(5)+f(6)的值.
解析：由题意知: f(x)+f(1-x)= ∴f(-5)+…+f(0)+…+f(6)=[f(-5)+f(6)]+[f(-4)+f(5)]+[f(-3)+f(4)]+[f(-2)+f(3)]+[f(-1)+f(2)]+[f(0)+f(1)]= .
举一反三
解析: ,…，猜想： .
题型二类比推理【例2】类比实数的加法和向量的加法，列出它们相似的运算性质. 分析实数的加法所具有的性质，如结合律、交换律等，都可以和向量加以比较.
从运算律的角度考虑，它们都满足交换律和结合律,
解析:（1）在空间中与定点距离等于定长的点的集合是球; （2）空间中不共面的4个点确定一个球; （3）球的表面积与体积可求; （4）在空间直角坐标系中，以点(x0,y0,z0)为球心，r为半径的球的方程为（x-x0）2+(y-y0)2+(z-z0)2=r2.
（1）平面内与定点距离等于定长的点的集合是圆; （2）平面内不共线的3个点确定一个圆；（3）圆的周长和面积可求; （4）在平面直角坐标系中,以点（x0,y0）为圆心，r为半径的圆的方程为（x-x0）2+(y-y0)2=r2.
解析: (1)f(5)=1+3+5+7+9+7+5+3+1=41, f(6)=1+3+5+7+9+11+9+7+5+3+1=61. (2)因为f(2)-f(1)=3+1=4,f(3)-f(2)=5+3=8, f(4)-f(3)=7+5=12,…,归纳得f(n)-f(n-1)=4(n-1),则f(n+1)-f(n)=4n. f(n)=[f(n)-f(n-1)]+[f(n-1)-f(n-2)]+…+[f(2)-f(1)]+f(1) =4[(n-1)+(n-2)+…+2+1]+1 =

高考理科数学一轮复习合情推理与演绎推理专题练习题

课时作业39 合情推理与演绎推理一、选择题1．(1)已知a 是三角形一边的长，h 是该边上的高，则三角形的面积是12ah ，如果把扇形的弧长l ，半径r 分别看成三角形的底边长和高，可得到扇形的面积为12lr ；(2)由1＝12,1＋3＝22,1＋3＋5＝32，可得到1＋3＋5＋…＋2n －1＝n 2，则(1)(2)两个推理过程分别属于( A )A ．类比推理、归纳推理B ．类比推理、演绎推理C ．归纳推理、类比推理D ．归纳推理、演绎推理解析：(1)由三角形的性质得到扇形的性质有相似之处，此种推理为类比推理；(2)由特殊到一般，此种推理为归纳推理，故选A.2．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，则a 1＝1，S n ＝n 2a n ，试归纳猜想出S n 的表达式为( A ) A ．S n ＝2nn ＋1B ．S n ＝2n －1n ＋1C ．S n ＝2n ＋1n ＋1D ．S n ＝2n n ＋2解析：S n ＝n 2a n ＝n 2(S n －S n －1)，∴S n ＝n 2n 2－1S n －1，S 1＝a 1＝1，则S 2＝43，S 3＝32＝64，S 4＝85.∴猜想得S n ＝2nn ＋1.故选A. 3．下面图形由小正方形组成，请观察图①至图④的规律，并依此规律，写出第n 个图形中小正方形的个数是( C )A ．n (n ＋1)B ．n n －12C ．n n ＋12D ．n (n －1)解析：由题图知第1个图形的小正方形个数为1，第2个图形的小正方形个数为1＋2，第3个图形的小正方形个数为1＋2＋3，第4个图形的小正方形个数为1＋2＋3＋4，…，则第n 个图形的小正方形个数为1＋2＋3＋…＋n ＝n n ＋12.4．观察下列各式：55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125,58＝390 625，59＝1 953 125，…，则52 018的末四位数字为( B )A ．3 125B ．5 625C ．0 625D ．8 125解析：55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125,58＝390 625,59＝1 953 125，…，可得59与55的后四位数字相同，由此可归纳出5m ＋4k与5m (k ∈N *，m ＝5,6,7,8)的后四位数字相同，又2 018＝4×503＋6，所以52 018与56的后四位数字相同，为5 625，故选B.5．(2019·山西孝义调研)我们知道：在平面内，点(x 0，y 0)到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离公式d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2，通过类比的方法，可求得：在空间中，点(2,4,1)到直线x ＋2y＋2z ＋3＝0的距离为( B )A ．3B ．5 C.5217D ．3 5解析：类比平面内点到直线的距离公式，可得空间中点(x 0，y 0，z 0)到直线Ax ＋By ＋Cz ＋D ＝0的距离公式为d ＝|Ax 0＋By 0＋Cz 0＋D |A 2＋B 2＋C 2，则所求距离d ＝|2＋2×4＋2×1＋3|12＋22＋22＝5，故选B.6．给出以下数对序列：(1,1)(1,2)(2,1)(1,3)(2,2)(3,1)(1,4)(2,3)(3,2)(4,1)……记第i行的第j个数对为a ij，如a43＝(3,2)，则a nm＝( A )A．(m，n－m＋1) B．(m－1，n－m)C．(m－1，n－m＋1) D．(m，n－m)解析：由前4行的特点，归纳可得：若a nm＝(a，b)，则a＝m，b＝n－m＋1，∴a nm＝(m，n－m＋1)．7．(2019·惠州市调研考试)《周易》历来被人们视作儒家群经之首，它表现了古代中华民族对万事万物深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映出中国古代的二进制计数的思想方法．我们用近代术语解释为：把阳爻“”当作数字“1”，把阴爻“”当作数字“0”，则八卦所代表的数表示如下：依次类推，则六十四卦中的“屯”卦，符号为“”，其表示的十进制数是( B ) A ．33 B ．34 C ．36D ．35解析：由题意类推，可知六十四卦中的“屯”卦的符号“”表示的二进制数为100010，转化为十进制数为0×20＋1×21＋0×22＋0×23＋0×24＋1×25＝34.故选B.二、填空题8．已知f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)，经计算得f (2)＝32，f (4)>2，f (8)>52，f (16)>3，f (32)>72，…，观察上述结果，可归纳出的一般结论为f (2n )≥n ＋22(n ∈N *)．解析：本题考查归纳推理．由归纳推理可得f (2n)≥n ＋22(n ∈N *)．9．如图，将一张等边三角形纸片沿中位线剪成4个小三角形，称为第一次操作；然后，将其中的一个三角形按同样方式再剪成4个小三角形，共得到7个小三角形，称为第二次操作；再将其中一个三角形按同样方式再剪成4个小三角形，共得到10个小三角形，称为第三次操作……根据以上操作，若要得到100个小三角形，则需要操作的次数是33.解析：由题意可知，第一次操作后，三角形共有4个；第二次操作后，三角形共有4＋3＝7个；第三次操作后，三角形共有4＋3＋3＝10个……由此可得第n 次操作后，三角形共有4＋3(n －1)＝3n ＋1个．当3n ＋1＝100时，解得n ＝33.10．在正项等差数列{a n }中有a 41＋a 42＋…＋a 6020＝a 1＋a 2＋…＋a 100100成立，则在正项等比数列{b n }中，类似的结论为20b 41b 42b 43…b 60＝100b 1b 2b 3…b 100.解析：结合等差数列和等比数列的性质，类比题中的结论可得，在正项等比数列{b n }中，类似的结论为20b 41b 42b 43…b 60＝100b 1b 2b 3…b 100.11．(2019·安徽界首模拟)埃及数学中有一个独特现象：除23用一个单独的符号表示以外，其他分数都要写成若干个单分数和的形式．例如25＝13＋115可以这样理解：假定有两个面包，要平均分给5个人，如果每人12，不够，每人13，余13，再将这13分成5份，每人得115，这样每人分得13＋115.形如2n (n ＝5,7,9,11，…)的分数的分解：25＝13＋115，27＝14＋128，29＝15＋145……按此规律，211＝16＋166；2n ＝1n ＋12＋1nn ＋12(n ＝5,7,9,11，…)．解析：27＝14＋128表示两个面包分给7个人，每人13，不够，每人14，余14，再将这14分成7份，每人得128，其中4＝7＋12，28＝7×7＋12；29＝15＋145表示两个面包分给9个人，每人14，不够，每人15，余15，再将这15分成9份，每人得145，其中5＝9＋12，45＝9×9＋12，按此规律，211表示两个面包分给11个人，每人15，不够，每人16，余16，再将这16分成11份，每人得166，所以211＝16＋166，其中6＝11＋12，66＝11×11＋12.由以上规律可知，2n ＝1n ＋12＋1nn ＋12.12．(2019·潍坊市统一考试)“干支纪年法”是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”．“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序为甲子、乙丑、丙寅、……、癸酉，甲戌、乙亥、丙子、……、癸未，甲申、乙酉、丙戌、…、癸巳，……、癸亥，60个为一周，周而复始，循环记录.2014年是“干支纪年法”中的甲午年，那么2020年是“干支纪年法”中的( C )A ．己亥年B ．戊戌年C ．庚子年D ．辛丑年解析：由题意知2014年是甲午年，则2015到2020年分别为乙未年、丙申年、丁酉年、戊戌年、己亥年、庚子年．13．(2019·福建宁德一模)我国古代数学名著《孙子算经》中有如下问题：“今有三女，长女五日一归，中女四日一归，少女三日一归．问：三女何日相会？”意思是：“一家出嫁的三个女儿中，大女儿每五天回一次娘家，二女儿每四天回一次娘家，小女儿每三天回一次娘家．三个女儿从娘家同一天走后，至少再隔多少天三人再次相会？”假如回娘家当天均回夫家，若当地风俗正月初二都要回娘家，则从正月初三算起的一百天内，有女儿回娘家的天数有( C )A ．58B ．59C ．60D ．61解析：小女儿、二女儿和大女儿回娘家的天数分别是33,25,20，小女儿和二女儿、小女儿和大女儿、二女儿和大女儿回娘家的天数分别是8,6,5，三个女儿同时回娘家的天数是1，所以有女儿在娘家的天数是：33＋25＋20－(8＋6＋5)＋1＝60.故选C.14．(2019·安徽质量检测)某参观团根据下列约束条件从A，B，C，D，E五个镇选择参观地点：①若去A镇，也必须去B镇；②D，E两镇至少去一镇；③B，C两镇只去一镇；④C，D两镇都去或者都不去；⑤若去E镇，则A，D两镇也必须去．则该参观团至多去了( C )A．B，D两镇B．A，B两镇C．C，D两镇D．A，C两镇解析：若去A镇，根据①可知一定去B镇，根据③可知不去C镇，根据④可知不去D 镇，根据②可知去E镇，与⑤矛盾，故不能去A镇；若不去A镇，根据⑤可知也不去E镇，再根据②知去D镇，再根据④知去C镇，再根据③可知不去B镇，再检验每个条件都成立，所以该参观团至多去了C，D两镇．故选C.尖子生小题库——供重点班学生使用，普通班学生慎用15．(2019·益阳、湘潭调研考试)《数书九章》中给出了“已知三角形三边长求三角形面积的求法”，填补了我国传统数学的一个空白，与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代人具有很高的数学水平，其求法是“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积”．若把这段文字写成公式，即S＝14[c2a2－c2＋a2－b222]，现有周长为22＋5的△ABC满足sin A sin B sin C＝(2－1)5(2＋1)，用上面给出的公式求得△ABC的面积为( B )A.32B.34C.52D.54解析：由正弦定理得sin A sin B sin C＝a b c＝(2－1)5(2＋1)，可设三角形的三边分别为a＝(2－1)x，b＝5x，c＝(2＋1)x，由题意得(2－1)x＋5x＋(2＋1)x＝(22＋5)x＝22＋5，则x＝1，故由三角形的面积公式可得△ABC的面积S＝1 4[2＋122－12－3＋22＋3－22－522]＝34，故选B.16．(2019·重庆市质量调研)某学生的素质拓展课课表由数学、物理和体育三门学科组成，且各科课时数满足以下三个条件：①数学课时数多于物理课时数；②物理课时数多于体育课时数；③体育课时数的两倍多于数学课时数．则该学生的素质拓展课课表中课时数的最小值为12.解析：解法1：设该学生的素质拓展课课表中的数学、物理、体育的课时数分别为x，y，z ，则由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥1，y －z ≥1，2z －x ≥1，x ，y ，z ∈N *，则该学生的素质拓展课课表中的课时数为x ＋y ＋z .设x ＋y ＋z ＝p (x －y )＋q (y －z )＋r (2z －x )＝(p －r )x ＋(－p ＋q )y ＋(－q ＋2r )z ，比较等式两边的系数，得⎩⎪⎨⎪⎧p －r ＝1，－p ＋q ＝1，－q ＋2r ＝1，解得p ＝4，q ＝5，r ＝3，则x ＋y ＋z ＝4(x －y )＋5(y－z )＋3(2z －x )≥4＋5＋3＝12，所以该学生的素质拓展课课表中的课时数的最小值为12.解法2：设该学生的素质拓展课课表中的数学、物理、体育的课时数分别为x ，y ，z ，则2z >x >y >z .由题意，知z 的最小值为3，由此易知y 的最小值为4，x 的最小值为5，故该学生的素质拓展课课表中的课时数x ＋y ＋z 的最小值为12.。

高考数学新一轮总复习 12.3 合情推理与演绎推理考点突破课件理

A．dn＝c1＋c2＋n …＋cn
B．dn＝c1·c2n·…·cn
()
n C．dn＝
c1n＋cn2＋…＋cnn n
D．dn＝n c1·c2·…·cn
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• (2)(2014·江西八所重点高中模拟)半径为r的圆的面积(miàn jī)S(r)＝π·r2，周长C(r)＝ 2π·r，若将r看作(0，＋∞)上的变量，则 (π·r2)′＝2π·r①，①式可用语言叙述为：圆的面积(miàn jī)函数的导数等于圆的周长函数．对于半径为R的球，若将R看作(0，＋ ∞)上的变量，请你写出类似于①的式子： ____________，此式可用语言叙述为
• (1)归纳推理的基本模式：a、b、c∈M且a、b、c具有某属性，
•
结论：∀d∈M，d也具有某属性．
•
(2)类比推理的基本模式：A：具有属性a，b，c，d；
•
B：具有属性a′，b′，c′；
•
结论：B具有属性d′
•
(a，b，c，d与a′，b′，c′，d′相似或相同)
第十二页，共41页。
• 4．应用三段论解决问题时，应首先明确什么是大前提，什么是小前提，如果大前提与推理表式是正确的，结论必定是正确的．如果大前提错误，尽管推理形式是正确的，所得结论也是错误的．
第二页，共41页。
• (二)命题趋势 • 1．从考查内容看，类比推理、演绎推理是
考查的重点，其中归纳推理与数列结合的问题是考查的热点． • 2．从考查形式看，三种题型都可能出现，常以选择题、填空题的形式考查合情推理；以选择题或解答(jiědá)题的形式考查演绎推理，题目多属中低档题．
第三页，共41页。
比数列，则
c1·c2·…·cn

高考数学合情推理与演绎推理

推理与证明第一节合情推理与演绎推理1、归纳推理把从个别事实中推演出一般性结论推理,称为归纳推理(简称归纳).简言之,归纳推理是由局部到整体、由特殊到一般推理。

归纳推理一般步骤：•通过观察个别情况发现某些一样性质•从一样性质中推出一个明确表述一般命题〔猜测〕•证明2、类比推理由两个〔两类〕对象之间在某些方面相似或一样，推演出他们在其他方面也相似或一样；或其中一类对象某些特征，推出另一类对象也具有这些特征推理称为类比推理〔简称类比〕．类比推理是由特殊到特殊推理．类比推理一般步骤：•找出两类对象之间可以确切表述相似特征；•用一类对象特征去推测另一类对象特征，从而得出一个猜测；•检验猜测。

3、演绎推理从一般性原理出发，推出某个特殊情况下结论，这种推理称为演绎推理．演绎推理是由一般到特殊推理；“三段论〞是演绎推理一般模式，包括•大前提---一般原理；•小前提---所研究特殊情况；•结论-----据一般原理，对特殊情况做出判断．题型一用归纳推理发现规律例1：通过观察以下等式，猜测出一个一般性结论，并证明结论真假。

解析：猜测：23)60(sin sin )60(sin 02202=+++-ααα 证明：左边=2002200)60sin cos 60cos (sin sin )60sin cos 60cos (sin ααααα+++- =23)cos (sin 2322=+αα=右边注；注意观察四个式子共同特征或规律〔1〕构造一致性,〔2〕观察角“共性〞〔1〕先猜后证是一种常见题型〔2〕归纳推理一些常见形式：一是“具有共同特征型〞，二是“递推型〞，三是“循环型〞〔周期性〕题型二用类比推理猜测新命题例2：正三角形内切圆半径是高13，把这个结论推广到空间正四面体，类似结论是______.解析：原问题解法为等面积法，即h r ar ah S 3121321=⇒⨯==，类比问题解法应为等体积法， h r Sr Sh V 4131431=⇒⨯==即正四面体内切球半径是高41 注：〔1〕不仅要注意形式类比，还要注意方法类比〔2〕类比推理常见情形有：平面向空间类比；低维向高维类比；等差数列与等比数列类比；圆锥曲线间类比等〔3〕在平面与空间类比中，三角形对应三棱锥〔即四面体〕，长度对应面积；面积对应体积；点对应线；线对应面；圆对应球；梯形对应棱台等。

高考一轮数学第六章第五节合情推理与演绎推理

(
)
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解析：y＝ax是增函数这个大前提是错误的，从而导致结论错．答案：A
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6．(2012· 郑州模拟)已知△ABC中，∠A＝30°，∠B＝ 60°，求证：a<b. 证明：∵∠A＝30°，∠B＝60°，∴∠A<∠B.
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3．(教材习题改编)给出下列三个类比结论． ①(ab)n＝anbn与(a＋b)n类比，则有(a＋b)n＝an＋bn； ②loga(xy)＝logax＋logay与sin(α＋β)类比，则有sin(α ＋β)＝sin αsin β； ③(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2与(a＋b)2类比，则有(a＋b)2＝ a2＋2a· 2. b＋b
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[精析考题] [例1] x (2011· 山东高考)设函数f(x)＝ (x>0)，观察： x＋2
x f1(x)＝f(x)＝， x＋2 x f2(x)＝f[f1(x)]＝， 3x＋4
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x f3(x)＝f[f2(x)]＝， 7x＋8 f4(x)＝f[f3(x)]＝ „ 根据以上事实，由归纳推理可得：当n∈N＋且n≥2时，fn(x)＝f[fn－1(x)]＝________. x ， 15x＋16
第六章不等式、推理与证明
第
五
节合
抓基础
明考向
教你一招我来演练
情
推理
与
演绎推理
提能力
返回
[备考方向要明了]
考什么 1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用．
2.了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并
[例3]
1 (2011· 湖南高考)设函数f(x)＝x－x－alnx(a∈R)．

高三理科数学第一轮复习§9.1：合情推理与演绎推理

第九章：推理与证明 §9.1：合情推理与演绎推理
第九章：推理与证明 §9.1：合情推理与演绎推理
第九章：推理与证明 §9.1：合情推理与演绎推理
解析
第九章：推理与证明 §9.1：合情推理与演绎推理
第九章：推理与证明 §9.1：合情推理与演绎推理
解析
第九章：推理与证明 §9.1：合情推理与演绎推理
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第九章：推理与证明 §9.1：合情推理与演绎推理
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第九章：推理与证明 §9.1：合情推理与演绎推理
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第九章：推理与证明 §9.1：合情推理与演绎推理
第九章：推理与证明 §9.1：合情推理与演绎推理
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第九章：推理与证明 §9.1：合情推理与演绎推理
第九章：推理与证明 §9.1：合情推理与演绎推理
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
第九章：推理与证明 §9.1：合情推理与演绎推理
第九章：推理与证明 §9.1：合情推理与演绎推理
第九章：推理与证明 §9.1：合情推理与演绎推理
第九章：推理与证明 §9.1：合情推理与演绎推理
第九章：推理与证明 §9.1：合情推理与演绎推理
第九章：推理与证明 §9.1：合情推理与演绎推理
第九章：推理与证明 §9.1：合情推理与演绎推理
第九章：推理与证明 §9.1：合情推理与演绎推理

高考数学一轮复习课件6.6合情推理与演绎推理

•(2)类比推理
•①定义：由两类对象具有某类些似特征
____________和其中一类对象的某些已知特
征，推出另一类对象也具有这些特征的推理
称为类比推理(简称类比)．特殊
•②特点：类比推理是由特殊到________的
推理．
类比
•(3)合情推理：归纳推理和类比推理都是根据
已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，
【解析】观察每个不等式的特点，可知第n个不等式为1＋212＋312＋…＋（n＋1 1）2<2nn＋＋11，
故第五个不等式为1＋212＋312＋412＋512＋612<161. 【答案】 1＋212＋312＋412＋512＋612<161
设函数f(x)＝
x x＋2
(x＞0)，且f1(x)＝f(x)＝
x x＋2
，当
n∈N*且n≥2时，fn(x)＝f[fn－1(x)]，则f3(x)＝________，猜想fn(x)(n∈N*)的表达式为________．
•【审题视点】由fn(x)＝f[fn－1(x)]分别求f2(x)， f3(x)，然后观察f1(x)，f2(x)，f3(x)中等式的分子与分母，分母中常数项与x的系数相差为1，且常数项为2n.
•1．(人教A版教材习题改编)已知数列{an}中， a1＝1，n≥2时，an＝an－1＋2n－1，依次计算 a2，a3，a4后，猜想an的表达式是( )
•A．3n－1
B．4n－3
•C．n2
D．3n－1
•【解析】 a1＝1，a2＝4，a3＝9，a4＝16，猜想an＝n2. •【答案】 C
2．“因为指数函数y＝ax是增函数(大前提)，而y＝(
因为an＝a1＋(n－1)d，bn＝b1qn－1，am＋n＝nnb－－mma，

高考数学(理)总复习讲义：合情推理与演绎推理

/ 基础1——在批注中理解透(单纯识记无意楚，深刻理解提能力)类型定义特征归纳推理由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理由部分到整体、由个别至L般类比推理由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理由特殊到特殊合情推理归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理2 •演绎推理(1) 定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理•简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理.(2) “三段论”是演绎推理的一般模式，包括：①大前提--- 已知的一般原理；②小前提一一所研究的特殊情况；③结论一一根据一般原理，对特殊情况做出的判断.合情推理与演绎推理的区别(1) 合情推理的结论是猜想，不一定正确；演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确时，得到的结论一定正确.(2) 合情推理是发现结论的推理；演绎推理是证明结论的推理.［小题查验基础］一、判断题(对的打“/ ，错的打“X” )(1) 归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确. ()(2) 由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理. ()(3) 在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适. ()(4) 在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确. ()答案：(1)X (2)V (3) X (4) X二、选填题11. ①已知a是三角形一边的长，h是该边上的高，则三角形的面积是"ah,如果把扇形第四节合情推理与演绎推理的弧长I ,半径r 分别看成三角形的底边长和高，可得到扇形的面积为=22,1 + 3+ 5= 32,可得到1 + 3+ 5 +…+ 2n — 1 = n 2,则①②两个推理过程分别属于（）A •类比推理、归纳推理B .类比推理、演绎推理C .归纳推理、类比推理D .归纳推理、演绎推理解析：选A ①由三角形的性质得到扇形的性质有相似之处，此种推理为类比推理； ②由特殊到一般，此种推理为归纳推理，故选 A.2.已知数列仙｝中，a 1= 1, n > 2时，a “ = a “-1 + 2n — 1，依次计算a ?, a ?, 后，猜想a n 的表达式是（）A . a n = 3n — 1B . a n = 4n — 32n — 1C . a n = nD . a n = 3解析：选 C a 1= 1, a 2= 4, a 3= 9, a 4= 16,猜想 a n = n 2. 3. 数列2,5,11,20, x,47,…中的x 等于（）A . 28B . 32C . 33D . 27解析：选 B 5 = 2+ 3X 1,11 = 5+ 3X 2,20= 11+ 3X 3, x = 20 + 3X 4= 32. 4. 推理“①矩形是平行四边形，②三角形不是平行四边形，③三角形不是矩形”中的小前提是 ________ （填序号）.解析：由演绎推理三段论可知，①是大前提，②是小前提，③是结论. 答案：②5.在平面上，若两个正三角形的边长的比为 1 : 2,则它们的面积比为 1 : 4，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1 : 2,则它们的体积比为 __________.解析：由平面图形的面积类比立体图形的体积得出：在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1 : 2,则它们的底面积之比为1 : 4，对应高之比为1 : 2,所以体积比为 1 : 8.答案：1 : 8考点一归纳推理［全析考法过关］［考法全析］考法（一）与数字有关的推理［例1］从1开始的自然数按如图所示的规则排列，现有一个三角形框架在图中上下或左右移动，使每次恰有九个数在此三角形内，则这九个数的和可以为12356 781 22lr ;②由 1= 1，1 + 3■考点在细解屮明规律（题目千变总有报,梳干理枝究其本）9 10弋14 1516 17少2023 24朗/2728 29 4 、32 33313536373839 ■1A. 2 018 B . 2 019 C . 2020［解析］根据题干图所示的规则排列，设最上层的一个数为a + 7, a + 8, a + 9，第三层的五个数为 a + 14, a + 15, a + 16, a + 17, a + 18, 这九个数之和为 a +3a + 24+ 5a + 80= 9a + 104.由9a + 104= 2 021，得a = 213,是自然数，故选 D.［答案］D考法（二）与等式有关的推理［例2］观察下列等式1 2’ 11111+ — 一= +_2 3 4 3 4' 11111111—+一— —+一— — = — + —+ — 2345645 6'据此规律，第n 个等式为 ____________________________ .［解析］规律为等式左边共有 2n 项且等式左边分母分别为1,2,…，2n ,分子为1,奇数项为正、偶数项为负，即为1 —1+ £一 1 +…+ ~1— 一占;等式右边共有n 项且分母分别2 3 4 2n — 1 2n11 1 1 1为n + 1, n + 2,…，2n ,分子为1,即为一—+ —— +…+丁.所以第n 个等式为1 — ;+;— n +1 n + 22n 2 3 1 1111 1；+•••+ — — = + +••• +「. 4 2n — 1 2n n + 1 n + 22n111 111 1 1［答案］1— 1+ 3 — 4+'T 冇一2n = n +l + 占十…十 2^ 考法（三）与不等式有关的推理11 1 3 5［例 3］ (1)设 n 为正整数，f(n)= 1 + -+ ；+•••+ 一，计算得 f(2) = - , f(4)> 2, f(8)>-,2 3 n 2 2 f （16） >3,观察上述结果，可推测一般的结论为(2)已知 x € (0,+s )，观察下列各式：x +2, x + 刍=x + :+3, x + 27 = x + 3 +X X 22 XX 3 3x 27 a *3+ ~3 >4,…，归纳得 x + -H > n + 1(n € N )，贝U a = __________ , 3 X XD . 2 021a ,则第二层的三个数为3 刁 4［解析］⑴•- f(21)= 2 f(22)> 2= 4,3 54 6f(2 ) >2，f(2) >2，•••归纳得f(2n)>守(n€ N*).(2)第一个式子是n = 1的情况，此时a = 11= 1 ；第二个式子是n = 2的情况，此时a = 22= 4；第三个式子是n = 3的情况，此时a = 33= 27，归纳可知a = n n."I o［答案］(1)f(2n)>〒(n€ N*) (2)n n考法(四)与数列有关的推理［例4］有一个奇数组成的数阵排列如下：I 3 7 13 21 …5 9 15 23 ..........II 17 25 ..................19 27 ..........................29 •…•…•…•…•…则第30行从左到右第3个数是 ___________ .［解析］观察每一行的第一个数，由归纳推理可得第30行的第1个数是1+ 4+ 6+ 8 +10+…+ 60 = 30% ；+ 60—1 = 929.又第n行从左到右的第2个数比第1个数大2n,第3个数比第2个数大2n + 2，所以第30行从左到右的第2个数比第1个数大60,第3个数比第2个数大62,故第30行从左到右第3个数是929 + 60 + 62= 1 051.［答案］1 051考法(五)与图形变化有关的推理［例5］分形几何学是数学家伯努瓦曼德尔布罗在20世纪70年代创立的一门新的数学学科，它的创立为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路•按照如图(1)所示的分形规律可得如图⑵所示的一个树形图•若记图(2)中第n行黑圈的个数为a.,则a2。

2020年高三理科数学一轮讲义案第十二章12.1《合情推理与演绎推理》

2020年高三理科数学一轮讲义案第十二章12.1《合情推理与演绎推理》最新考纲1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用；2.了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理；3.了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异.知识梳理1.合情推理类型定义特点归纳推理根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的全部对象都具有这种性质的推理由部分到整体、由个别到一般类比推理根据两类事物之间具有某些类似(一致)性，推测一类事物具有另一类事物类似(或相同)的性质的推理由特殊到特殊2.演绎推理(1)定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理.简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理.(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断.[微点提醒]1.合情推理包括归纳推理和类比推理，其结论是猜想，不一定正确，若要确定其正确性，则需要证明.2.在进行类比推理时，要从本质上去类比，只从一点表面现象去类比，就会犯机械类比的错误.3.应用三段论解决问题时，要明确什么是大前提、小前提，如果前提与推理形式是正确的，结论必定是正确的.若大前提或小前提错误，尽管推理形式是正确的，但所得结论是错误的.基础自测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确.()(2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理.()(3)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适.()(4)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确.()解析(1)类比推理的结论不一定正确.(3)平面中的三角形与空间中的四面体作为类比对象较为合适.(4)演绎推理是在大前提、小前提和推理形式都正确时，得到的结论一定正确.答案(1)×(2)√(3)×(4)×2.(选修2－2P84A3改编)对于任意正整数n，2n与n2的大小关系为()A.当n≥2时，2n≥n2B.当n≥3时，2n≥n2C.当n≥4时，2n≥n2D.当n≥5时，2n≥n2解析当n＝2时，2n＝n2；当n＝3时，2n<n2；当n＝4时，2n＝n2；当n＝5时，2n>n2；归纳判断，当n ≥4时，2n≥n2.故选C.答案 C3.(选修2－2P84A5改编)在等差数列{a n}中，若a10＝0，则有a1＋a2＋…＋a n＝a1＋a2＋…＋a19－n(n<19，且n∈N*)成立.类比上述性质，在等比数列{b n}中，若b9＝1，则存在的等式为________.解析根据类比推理的特点可知：等比数列和等差数列类比，在等差数列中是和，在等比数列中是积，故有b1b2…b n＝b1b2…b17－n(n<17，且n∈N*).答案b1b2…b n＝b1b2…b17－n(n<17，且n∈N*)4.(2019·淄博一模)有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数f(x)，若f′(x0)＝0，则x＝x0是函数f(x)的极值点，因为f(x)＝x3在x＝0处的导数值为0，所以x＝0是f(x)＝x3的极值点，以上推理()A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.结论正确解析大前提是“对于可导函数f(x)，若f′(x0)＝0，则x＝x0是函数f(x)的极值点”，不是真命题，因为对于可导函数f(x)，如果f′(x0)＝0，且满足在x0附近左右两侧导函数值异号，那么x＝x0才是函数f(x)的极值点，所以大前提错误.故选A.答案 A5.(2018·大连模拟)数列2，5，11，20，x，…中的x等于________.解析由5－2＝3，11－5＝6，20－11＝9，推出x－20＝12，故x＝32.答案326.(2019·西安二模)将正整数1，2，3，4，…按如图所示的方式排成三角形数组，则第10行左数第10个数为________.解析由三角形数组可推断出，第n行共有2n－1个数，且最后一个数为n2，所以第10行共19个数，最后一个数为100，左数第10个数是91.答案91考点一归纳推理多维探究角度1与图形变化有关的推理【例1－1】(2018·石家庄模拟)某种树的分枝生长规律如图所示，第1年到第5年的分枝数分别为1，1，2，3，5，则预计第10年树的分枝数为________.解析由2＝1＋1，3＝1＋2，5＝2＋3知，从第三项起，每一项都等于前两项的和，则第6年为8，第7年为13，第8年为21，第9年为34，第10年为55.答案55角度2与数字或式子有关的推理【例1－2】(2019·安阳一模)如图，将平面直角坐标系的格点(横、纵坐标均为整数的点)按如下规则标上数字标签：原点处标0，点(1，0)处标1，点(1，－1)处标2，点(0，－1)处标3，点(－1，－1)处标4，点(－1，0)处标5，点(－1，1)处标6，点(0，1)处标7，……，以此类推，则标2 0192的格点的坐标为()A.(1 010，1 009)B.(1 009，1 008)C.(2 019，2 018)D.(2 018，2 017)解析点(1，0)处标1，即12；点(2，1)处标9，即32；点(3，2)处标25，即52；……，由此推断点(n＋1，n)处标(2n＋1)2，当2n＋1＝2 019时，n＝1 009，故标2 0192的格点的坐标为(1 010，1 009).故选A.答案 A规律方法归纳推理问题的常见类型及解题策略常见类型解题策略与数字有关的等式的推理观察数字特点，找出等式左右两侧的规律及符号可解与式子有关的推理观察每个式子的特点，找到规律后可解与图形变化有关的推理合理利用特殊图形归纳推理得出结论，并用赋值检验法验证其真伪性【训练1】 (1)如图所示，是某小朋友在用火柴拼图时呈现的图形，其中第1个图形用了3根火柴，第2个图形用了9根火柴，第3个图形用了18根火柴，…，则第2 018个图形用的火柴根数为( )A.2 014×2 017B.2 015×2 016C.3 024×2 018D.3 027×2 019(2)对大于或等于2的自然数m 的n 次方幂有如下分解方式：22＝1＋3；32＝1＋3＋5；42＝1＋3＋5＋7；23＝3＋5；33＝7＋9＋11；43＝13＋15＋17＋19.根据上述分解规律，则52＝1＋3＋5＋7＋9，若m 3(m ∈N *)的分解中最小的数是73，则m 的值为________. 解析 (1)由题意，第1个图形需要火柴的根数为3×1；第2个图形需要火柴的根数为3×(1＋2)；第3个图形需要火柴的根数为3×(1＋2＋3)； …由此，可以推出第n 个图形需要火柴的根数为3×(1＋2＋3＋…＋n ).所以第2 018个图形所需火柴的根数为3×(1＋2＋3＋…＋2 018)＝3×2 018×(2 018＋1)2＝3 027×2 019.(2)根据23＝3＋5，33＝7＋9＋11，43＝13＋15＋17＋19，从23起，m 3的分解规律恰为数列3，5，7，9…中若干连续项之和，23为前两项和，33为接下来三项和，故m 3的首个数为m 2－m ＋1.因为m 3(m ∈N *)的分解中最小的数是73，所以m 2－m ＋1＝73，解得m ＝9. 答案 (1)D (2)9 考点二类比推理【例2】 (1)我国古代数学名著《九章算术》中割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣.”其体现的是一种无限与有限的转化过程，比如在2＋2＋2＋…中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值x ，这可以通过方程2＋x ＝x 确定出来x ＝2，类似地不难得到1＋11＋11＋…＝( ) A.－5－12B.5－12C.1＋52D.1－52(2)若点P 0(x 0，y 0)在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)外，过点P 0作该椭圆的两条切线，切点分别为P 1，P 2，则切点弦P 1P 2所在直线的方程为x 0x a 2＋y 0y b 2＝1.那么对于双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，类似地，可以得到一个正确的切点弦方程为________. 解析 (1)令1＋11＋11＋…＝x (x >0)，即1＋1x ＝x ，即x 2－x －1＝0，解得x ＝1＋52(x ＝1－52舍)，故1＋11＋11＋…＝1＋52，故选C.(2)若点P 0(x 0，y 0)在双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)外，过点P 0作该双曲线的两条切线，切点分别为P 1，P 2，则切点弦P 1P 2所在直线的方程为x 0x a 2－y 0yb 2＝1.答案 (1)C (2)x 0x a 2－y 0yb2＝1规律方法 1.进行类比推理，应从具体问题出发，通过观察、分析、联想进行类比，提出猜想.其中找到合适的类比对象是解题的关键.2.类比推理常见的情形有平面与空间类比；低维的与高维的类比；等差数列与等比数列类比；数的运算与向量的运算类比；圆锥曲线间的类比等.【训练2】 (1)(2018·孝感模拟)二维空间中，圆的一维测度(周长)l ＝2πr ，二维测度(面积)S ＝πr 2，三维空间中，球的二维测度(表面积)S ＝4πr 2，三维测度(体积)V ＝43πr 3，应用合情推理，若四维空间中，“超球”的三维测度V ＝8πr 3，则其四维测度W ＝( ) A.2πr 4B.3πr 4C.4πr 4D.6πr 4(2)在平面上，设h a ，h b ，h c 是△ABC 三条边上的高，P 为三角形内任一点，P 到相应三边的距离分别为P a ，P b ，P c ，我们可以得到结论：P a h a ＋P b h b ＋P ch c＝1.把它类比到空间，则三棱锥中的类似结论为______________________________________.解析 (1)二维空间中，圆的一维测度(周长)l ＝2πr ，二维测度(面积)S ＝πr 2，(πr 2)′＝2πr ，三维空间中，球的二维测度(表面积)S ＝4πr 2，三维测度(体积)V ＝43πr 3，⎝⎛⎭⎫43πr 3′＝4πr 2，四维空间中，“超球”的三维测度V ＝8πr 3，∵(2πr 4)′＝8πr 3，∴“超球”的四维测度W ＝2πr 4，故选A.(2)设h a ，h b ，h c ，h d 分别是三棱锥A －BCD 四个面上的高，P 为三棱锥A －BCD 内任一点，P 到相应四个面的距离分别为P a ，P b ，P c ，P d ，于是可以得出结论：P a h a ＋P b h b ＋P c h c ＋P dh d ＝1.答案 (1)A (2)P a h a ＋P b h b ＋P c h c ＋P dh d ＝1考点三演绎推理多维探究角度1 与逻辑推理有关的问题【例3－1】 (1)(2018·石家庄一模)甲、乙、丙三位同学，其中一位是班长，一位是体育委员，一位是学习委员，已知丙的年龄比学委大，甲与体委的年龄不同，体委比乙的年龄小.据此推断班长是________. (2)2019年夏季大美青海又迎来了旅游热，甲、乙、丙三位游客被询问是否去过陆心之海青海湖，海北百里油菜花海，茶卡天空之境三个地方时，甲说：我去过的地方比乙多，但没去过海北百里油菜花海；乙说：我没去过茶卡天空之境；丙说：我们三人去过同一个地方. 由此可判断乙去过的地方为________.解析 (1)根据“甲与体委的年龄不同，体委比乙的年龄小”可得丙是体委；根据“丙的年龄比学委大，体委比乙的年龄小”可得乙的年龄>丙的年龄>学习委员的年龄，由此可得，乙不是学习委员，那么乙是班长.(2)由乙说：我没去过茶卡天空之境，可知乙可能去过陆心之海青海湖和海北百里油菜花海两个地方，但甲说：我去过的地方比乙多，但没去过海北百里油菜花海，则甲去过陆心之海青海湖和茶卡天空之境两个地方，乙只去过陆心之海青海湖和海北百里油菜花海中的一个地方，再由丙说：我们三人去过同一地方，可推知乙去过的地方为陆心之海青海湖. 答案 (1)乙 (2)陆心之海青海湖角度2 与证明有关的问题【例3－2】数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝n ＋2nS n (n ∈N *).证明：(1)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等比数列；(2)S n ＋1＝4a n .证明 (1)∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝n ＋2n S n，∴(n ＋2)S n ＝n (S n ＋1－S n )，即nS n ＋1＝2(n ＋1)S n . ∴S n ＋1n ＋1＝2·S n n ，又S 11＝1≠0，(小前提)故⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是以1为首项，2为公比的等比数列.(结论)(大前提是等比数列的定义，这里省略了) (2)由(1)可知S n ＋1n ＋1＝4·S n －1n －1(n ≥2)，∴S n ＋1＝4(n ＋1)·S n －1n －1＝4·n －1＋2n －1·S n －1＝4a n (n ≥2)，(小前提)又a 2＝3S 1＝3，S 2＝a 1＋a 2＝1＋3＝4＝4a 1，(小前提) ∴对于任意正整数n ，都有S n ＋1＝4a n .(结论)(第(2)问的大前提是第(1)问的结论以及题中的已知条件) 规律方法解决逻辑推理问题的两种方法：(1)假设反证法：先假设题中给出的某种情况是正确的，并以此为起点进行推理.如果推理导致矛盾，则证明此假设是错误的，再重新提出一个假设继续推理，直到得到符合要求的结论为止.(2)枚举筛选法：即不重复、不遗漏地将问题中的有限情况一一枚举，然后对各种情况逐个检验，排除一些不可能的情况，逐步归纳梳理，找到正确答案.【训练3】 (1)(2017·全国Ⅱ卷)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩.老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩.看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩.根据以上信息，则( ) A.乙可以知道四人的成绩 B.丁可以知道四人的成绩 C.乙、丁可以知道对方的成绩 D.乙、丁可以知道自己的成绩(2)学校艺术节对同一类的A ，B ，C ，D 四项参赛作品，只评一项一等奖，在结果揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品的获奖情况预测如下：甲说：“C 或D 作品获得一等奖”；乙说：“B 作品获得一等奖”；丙说：“A ，D 两项作品均未获得一等奖”；丁说：“C 作品获得一等奖”.若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是________.解析 (1)由甲说不知道自己成绩且看过乙和丙的成绩，可推出乙和丙一优一良，又因为乙看过丙的成绩，所以乙可以推测出自己的成绩.因为已经推出乙和丙一优一良，所以甲和丁也是一优一良，并且条件已给出丁看过甲的成绩，所以丁也可以推出自己的成绩，故选D.(2)若A获得一等奖，则甲，乙，丙，丁的说法均错误，故不满足题意；若B获得一等奖，则乙，丙的说法正确，甲，丁的说法错误，故满足题意；若C获得一等奖，则甲，丙，丁的说法均正确，故不满足题意；若D获得一等奖，则只有甲的说法正确，故不满足题意.故若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是B.答案(1)D(2)B[思维升华]1.合情推理的过程概括为从具体问题出发―→观察、分析、比较、联想―→归纳、类比―→提出猜想2.演绎推理是从一般的原理出发，推出某个特殊情况的结论的推理方法，是由一般到特殊的推理，常用的一般模式是三段论.数学问题的证明主要通过演绎推理来进行.[易错防范]1.合情推理是从已知的结论推测未知的结论，发现与猜想的结论都要经过进一步严格证明.2.演绎推理是由一般到特殊的证明，它常用来证明和推理数学问题，注意推理过程的严密性，书写格式的规范性.3.合情推理中运用猜想时不能凭空想象，要有猜想或拓展依据.基础巩固题组(建议用时：35分钟)一、选择题1.已知数列{a n}中，a1＝1，n≥2时，a n＝a n－1＋2n－1，依次计算a2，a3，a4后，猜想a n的表达式是()A.a n＝3n－1B.a n＝4n－3C.a n＝n2D.a n＝3n－1解析a1＝1，a2＝4，a3＝9，a4＝16，猜想a n＝n2.答案 C2.观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cos x)′＝－sin x，由归纳推理得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝()A.f(x)B.－f(x)C.g(x)D.－g(x)解析由已知得偶函数的导函数为奇函数，故g(－x)＝－g(x).答案 D3.按照图①～图③的规律，第10个图中圆点的个数为()A.36B.40C.44D.52解析因为根据图形，第一个图有4个点，第二个图有8个点，第三个图有12个点，…，所以第10个图有10×4＝40个点.故选B.答案 B4.类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质，可得出空间内的下列结论()①垂直于同一个平面的两条直线互相平行；②垂直于同一条直线的两条直线互相平行；③垂直于同一个平面的两个平面互相平行；④垂直于同一条直线的两个平面互相平行.A.①②B.②③C.③④D.①④解析①垂直于同一个平面的两条直线互相平行，正确；②垂直于同一条直线的两条直线不一定平行，也可能是相交直线、异面直线，故不正确；③垂直于同一个平面的两个平面不一定平行，也可能是相交平面，如墙角，故不正确；④垂直于同一条直线的两个平面互相平行，正确.故选D.答案 D5.下面四个推理，不属于演绎推理的是()A.因为函数y＝sin x(x∈R)的值域为[－1，1]，2x－1∈R，所以y＝sin(2x－1)(x∈R)的值域也为[－1，1]B.昆虫都有6条腿，竹节虫是昆虫，所以竹节虫有6条腿C.在平面中，对于三条不同的直线a，b，c，若a∥b，b∥c，则a∥c，将此结论放到空间中也是如此D.如果一个人在墙上写字的位置与他的视线平行，那么，墙上字迹离地面的高度大约是他的身高，凶手在墙上写字的位置与他的视线平行，福尔摩斯量得墙壁上的字迹距地面六尺多，于是，他得出了凶手身高六尺多的结论解析C中的推理属于合情推理中的类比推理，A，B，D中的推理都是演绎推理.答案 C6.(2019·长春质量监测)中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”，其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算的，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如图，当表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位数用横式表示，以此类推.例如3 266用算筹表示就是，则8 771用算筹可表示为()解析由题意知8 771用算筹可表示为，故选A.答案 A7.观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10等于()A.28B.76C.123D.199解析观察规律，归纳推理.从给出的式子特点观察可推知，等式右端的值，从第三项开始，后一个式子的右端值等于它前面两个式子右端值的和，照此规律，则a10＋b10＝123.答案 C8.(2019·武汉一模)某学校计划在周一至周四的艺术节上展演《雷雨》《茶馆》《天籁》《马蹄声碎》四部话剧，每天一部，受多种因素影响，话剧《雷雨》不能在周一和周四上演，《茶馆》不能在周一和周三上演，《天籁》不能在周三和周四上演，《马蹄声碎》不能在周一和周四上演，那么下列说法正确的是()A.《雷雨》只能在周二上演B.《茶馆》可能在周二或周四上演C.周三可能上演《雷雨》或《马蹄声碎》D.四部话剧都有可能在周二上演解析由题目可知，周一上演《天籁》，周四上演《茶馆》，周三可能上演《雷雨》或《马蹄声碎》，故选C.答案 C二、填空题9.仔细观察下面○和●的排列规律：○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●○○○○○○●…，若依此规律继续下去，得到一系列的○和●，那么在前120个○和●中，●的个数是________. 解析进行分组○●|○○●|○○○●|○○○○●|○○○○○●|○○○○○○●|…，则前n 组两种圈的总数是f (n )＝2＋3＋4＋…＋(n ＋1)＝n (n ＋3)2，易知f (14)＝119，f (15)＝135，故n ＝14. 答案 1410.(2018·重庆模拟)在等差数列{a n }中，若公差为d ，且a 1＝d ，那么有a m ＋a n ＝a m ＋n ，类比上述性质，写出在等比数列{a n }中类似的性质：________________ ____________________________________.解析等差数列中两项之和类比等比数列中两项之积，故在等比数列中，类似的性质是“在等比数列{a n }中，若公比为q ，且a 1＝q ，则a m ·a n ＝a m ＋n .”答案在等比数列{a n }中，若公比为q ，且a 1＝q ，则a m ·a n ＝a m ＋n11.观察下列等式：13＝12，13＋23＝32，13＋23＋33＝62，13＋23＋33＋43＝102，…，根据上述规律，第n 个等式为________.解析观察所给等式左右两边的构成易得第n 个等式为13＋23＋…＋n 3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤n (n ＋1)22＝n 2(n ＋1)24.答案 13＋23＋…＋n 3＝n 2(n ＋1)2412.(2019·呼和浩特模拟)某煤气站对外输送煤气时，用1～5号5个阀门控制，且必须遵守以下操作规则： (1)若开启2号，则必须同时开启3号并且关闭1号； (2)若开启1号或3号，则关闭5号； (3)禁止同时关闭4号和5号.现要开启2号，则同时开启的另外2个阀门是________.解析由题意，若开启2号，则关闭1号，开启3号，开启4号，关闭5号.故答案为3号和4号. 答案 3号和4号能力提升题组 (建议用时：15分钟)13.(2019·广东六校第三次联考)自主招生联盟成形于2009年清华大学等五校联考，主要包括“北约”联盟，“华约”联盟，“卓越”联盟和“京派”联盟.调查某高中学校学生自主招生报考的情况，得到如下结果： ①报考“北约”联盟的学生，都没报考“华约”联盟；②报考“华约”联盟的学生，也报考了“京派”联盟；③报考“卓越”联盟的学生，都没报考“京派”联盟；④不报考“卓越”联盟的学生，就报考“华约”联盟.根据上述调查结果，下列结论错误的是( ) A.没有同时报考“华约”和“卓越”联盟的学生 B.报考“华约”和“京派”联盟的考生一样多 C.报考“北约”联盟的考生也报考了“卓越”联盟 D.报考“京派”联盟的考生也报考了“北约”联盟解析设该校报考“北约”联盟，“华约”联盟，“京派”联盟和“卓越”联盟的学生分别为集合A ，B ，C ，D ，报考自主招生的总学生为U ，则由题意，知A ∩B ＝∅，B ⊆C ，D ∩C ＝∅，∁U D ＝B ，∴A ⊆D ，B ＝C ，B ∩D ＝∅.选项A ，B ∩D ＝∅，正确；选项B ，B ＝C ，正确；选项C ，A ⊆D ，正确，故选D. 答案 D14.如果函数f (x )在区间D 上是凸函数，那么对于区间D 内的任意x 1，x 2，…，x n ，都有f (x 1)＋f (x 2)＋…＋f (x n )n≤f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 2＋…＋x n n .若y ＝sin x 在区间(0，π)上是凸函数，那么在△ABC 中，sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值是________.解析由题意知，凸函数满足f (x 1)＋f (x 2)＋…＋f (x n )n ≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 2＋…＋x n n ，又y ＝sin x 在区间(0，π)上是凸函数，则sin A ＋sin B ＋sin C ≤3sin A ＋B ＋C 3＝3sin π3＝332.答案33215.(2018·赣州联考)我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有人持金出五关，前关二而税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一.并五关所税，适重一斤.问本持金几何？”其意思为“今有人持金出五关，第1关收税金12，第2关收税金为剩余的13，第3关收税金为剩余的14，第4关收税金为剩余的15，第5关收税金为剩余的16，5关所收税金之和，恰好重1斤，问原来持金多少？”若将“5关所收税金之和，恰好重1斤，问原来持金多少？”改成“假设这个人原本持金为x ，按此规律通过第8关”，则第8关所收税金为________x .解析第1关收税金：12x ；第2关收税金：13⎝⎛⎭⎫1－12x ＝x 6＝x 2×3；第3关收税金：14⎝⎛⎭⎫1－12－16x ＝x 12＝x 3×4；…第8关收税金：x 8×9＝x72.答案17216.(2019·成都诊断)正整数数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧12a n ，a n 是偶数，3a n ＋1，a n 是奇数，已知a 7＝2，{a n }的前7项和的最大值为S ，把a 1的所有可能取值按从小到大排成一个新数列{b n }，{b n }所有项的和为T ，则S －T ＝________. 解析 ∵正整数数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧12a n ，a n 是偶数，3a n ＋1，a n 是奇数，故可采用逆推的方法求解，如图所示：则{a n}的前7项和的最大值S＝2＋4＋8＋16＋32＋64＋128＝254，{b n}所有项的和T＝2＋3＋16＋20＋21＋128＝190，故S－T＝254－190＝64.答案64。

高考数学一轮复习第九章第四节合情推理与演绎推理突破热点题型文

第四节合情推理与演绎推理高频考点考点一归纳推理1．归纳推理是每年高考的常考内容，题型多为选择题和填空题，难度稍大，属中高档题．2．高考对归纳推理的考查常有以下几个命题角度： (1)归纳推理与等式或不等式“共舞”问题； (2)归纳推理与数列“牵手”问题； (3)归纳推理与图形变化“相融”问题．[例1] (1)(2013·陕西高考)观察下列等式： 12＝1， 12－22＝－3， 12－22＋32＝6， 12－22＋32－42＝－10， ……照此规律，第n 个等式可为________．(2)(2013·湖北高考)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数1,3,6,10，…，第n 个三角形数为n n ＋12＝12n 2＋12n .记第n 个k 边形数为N (n ，k )(k ≥3)，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式：三角形数 N (n,3)＝12n 2＋12n ，正方形数 N (n,4)＝n 2，五边形数 N (n,5)＝32n 2－12n ，六边形数 N (n,6)＝2n 2－n ， ……可以推测N (n ，k )的表达式，由此计算N (10,24)＝________.(3)(2014·青岛模拟)某种平面分形图如下图所示，一级分形图是由一点出发的三条线段，长度均为1，两两夹角为120°；二级分形图是在一级分形图的每条线段的末端出发再生成两条长度为原来13的线段，且这两条线段与原线段两两夹角为120°，…，依此规律得到n 级分形图．一级分形图二级分形图三级分形图 ①n 级分形图中共有________条线段；②n 级分形图中所有线段长度之和为________．[自主解答] (1)观察规律可知，第n 个式子为12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n＋1n n＋12.(2)N(n，k)＝a k n2＋b k n(k≥3)，其中数列{a k}是以12为首项，12为公差的等差数列；数列{b k}是以12为首项，－12为公差的等差数列．所以N(n,24)＝11n2－10n，当n＝10时，N(10，24)＝11×102－10×10＝1 000.(3)①分形图的每条线段的末端出发再生成两条线段，由题图知，一级分形图有3＝(3×2－3)条线段，二级分形图有9＝(3×22－3)条线段，三级分形图中有21＝(3×23－3)条线段，按此规律n级分形图中的线段条数a n＝(3×2n－3)(n∈N*)．②分形图的每条线段的末端出发再生成两条长度为原来13的线段，∴n级分形图中第n 级的所有线段的长度为b n＝3×⎝⎛⎭⎪⎫23n－1(n∈N*)，∴n级分形图中所有线段长度之和为Sn＝3×⎝⎛⎭⎪⎫230＋3×⎝⎛⎭⎪⎫231＋ (3)⎝⎛⎭⎪⎫23n－1＝3×1－⎝⎛⎭⎪⎫23n1－23＝9－9×⎝⎛⎭⎪⎫23n.[答案] (1)12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1n n＋12(2)1 000 (3)①3×2n－3 ②9－9×⎝⎛⎭⎪⎫23n归纳推理问题的常见类型及解题策略(1)与等式或不等式“共舞”问题．观察所给的几个等式或不等式两边式子的特点，注意是纵向看，发现隐含的规律．(2)与数列“牵手”问题．先求出几个特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象，该结论超越了前提所包含的范围，从而由特殊的结论推广到一般结论．(3)与图形变化“相融”问题．合理利用特殊图形归纳推理得出结论，并用赋值检验法验证其真伪性．1．设函数f(x)＝xx＋2(x>0)，观察：f1(x)＝f(x)＝xx＋2，f2(x)＝f(f1(x))＝x3x＋4，f3(x)＝f(f2(x))＝x7x＋8，f4(x)＝f(f3(x))＝x15x＋16，……根据以上事实，由归纳推理可得：当n∈N*且n≥2时，f n(x)＝f(f n－1(x))＝________.解析：根据题意知，分子都是x，分母中的常数项依次是2,4,8,16，…，可知f n(x)的分母中常数项为2n，分母中x的系数为2n－1，故f n(x)＝f(f n－1(x))＝x2n－1x＋2n.答案：x2n－1x＋2n2．(2014·温州模拟)如图的倒三角形数阵满足：①第1行的n个数，分别是1,3,5，…，2n－1；②从第2行起，各行中的每一个数都等于它肩上的两数之和；③数阵共有n行．当n＝2 012时，第32行的第17个数是________．1 3 5 7 9 11 ……4 8 12 16 20 ……12 20 28 36 …………解析：每行的第1个数分别是1,4,12,32，…，记为数列{a n}，它的通项公式为a n＝n×2n－1，则第32行的第1个数为a32＝32×232－1＝236，而在第32行的各个数成等差数列，且公差为232，所以第17个数是236＋(17－1)×232＝236＋24×232＝2×236＝237.答案：2373．仔细观察下面○和●的排列规律：○ ● ○○ ● ○○○ ● ○○○○ ● ○○○○○ ● ○○○○○○ ●……，若依此规律继续下去，得到一系列的○和●，那么在前120个○和●中，●的个数是________．解析：进行分组○●|○○●|○○○●|○○○○●|○○○○○●|○○○○○○●|……，则前n组两种圈的总数是f(n)＝2＋3＋4＋…＋(n＋1)＝n n＋32，易知f(14)＝119，f(15)＝135，故n ＝14.答案：14考点二类比推理[例2]如图所示，面积为S的平面凸四边形的第i条边的边长记为a i(i＝1,2,3,4)，此四边形内任一点P到第i条边的距离记为h i(i＝1,2,3,4)，若a11＝a22＝a33＝a44＝k，则1×h1＋2×h2＋3×h3＋4×h4＝2Sk.类比以上性质，体积为V的三棱锥的第i个面的面积记为S i(i ＝1,2,3,4)，此三棱锥内任一点Q到第i个面的距离记为H i(i＝1,2,3,4)，若S11＝S22＝S33＝S44＝k，则H1＋2H2＋3H3＋4H4值为( )A.4VkB.3VkC.2VkD.Vk[自主解答]在平面凸四边形中，连接P点与各个顶点，将其分成四个小三角形，根据三角形面积公式，得S ＝12(a 1h 1＋a 2h 2＋a 3h 3＋a 4h 4)＝12(kh 1＋2kh 2＋3kh 3＋4kh 4)＝k 2(h 1＋2h 2＋3h 3＋4h 4)．所以h 1＋2h 2＋3h 3＋4h 4＝2S k. 类似地，连接Q 点与三棱锥的四个顶点，将其分成四个小三棱锥，则有 V ＝13(S 1H 1＋S 2H 2＋S 3H 3＋S 4H 4)＝13(kH 1＋2kH 2＋3kH 3＋4kH 4)＝k3(H 1＋2H 2＋3H 3＋4H 4)，所以H 1＋2H 2＋3H 3＋4H 4＝3Vk.[答案] B【方法规律】类比推理的一般步骤(1)找出两类事物之间的相似性或一致性．(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)．已知数列{a n }为等差数列，若a m ＝a ，a n ＝b (n －m ≥1，m ，n ∈N *)，则a m ＋n ＝nb －man －m.类比等差数列{a n }的上述结论，对于等比数列{b n }(b n >0，n ∈N *)，若b m ＝c ，b n ＝d (n －m ≥2，m ，n ∈N *)，则可以得到b m ＋n ＝________.解析：法一：设数列{a n }的公差为d 1，则d 1＝a n －a m n －m ＝b －an －m.所以a m ＋n ＝a m ＋nd 1＝a ＋n ·b －a n －m ＝bn －am n －m.类比推导方法可知：设数列{b n }的公比为q ，由b n ＝b m q n －m ，可知d ＝cq n －m ，所以q ＝n －m d c ，所以b m ＋n ＝b m q n ＝c ·n －m ⎝ ⎛⎭⎪⎫d c n＝n －m d nc m . 法二：(直接类比)设数列{a n }的公差为d 1，数列{b n }的公比为q ，因为等差数列中a n ＝a 1＋(n －1)d 1，等比数列中b n ＝b 1q n －1，因为a m ＋n ＝nb －man －m ，所以b m ＋n ＝n －m d nc m.答案：n －m d nc m考点三演绎推理[例3] 已知函数f (x )＝a x＋bx ，其中a >0，b >0，x ∈(0，＋∞)，试确定f (x )的单调区间，并证明在每个单调区间上的增减性．[自主解答] 设0<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ax 1＋bx 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫a x 2＋bx 2＝(x 2－x 1)·⎝⎛⎭⎪⎫ax 1x 2－b . 当0<x 1<x 2≤ a b 时，∵a >0，b >0，∴x 2－x 1>0,0<x 1x 2<a b ，ax 1x 2>b ，∴f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)，∴f (x )在⎝⎛⎦⎥⎤0， a b 上是减函数；当x 2>x 1≥ a b >0时，x 2－x 1>0，x 1x 2>a b ，ax 1x 2<b ，∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，∴f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫a b ，＋∞上是增函数．【方法规律】应用演绎推理应注意的问题演绎推理是从一般到特殊的推理；其一般形式是三段论，应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，如果前提是显然的，则可以省略．已知函数f (x )＝2x－12x ＋1(x ∈R )．(1)判定函数f (x )的奇偶性；(2)判定函数f (x )在R 上的单调性，并证明．解：(1)对任意x ∈R ，有－x ∈R ，并且f (－x )＝2－x－12－x ＋1＝1－2x 1＋2x ＝－2x－12x＋1＝－f (x )，所以f (x )是奇函数．(2)f (x )在R 上单调递增，证明如下：任取x 1，x 2∈R ，并且x 1>x 2，f (x 1)－f (x 2)＝2x 1－12x 1＋1－2x 2－12x 2＋1＝2x 1－12x 2＋1－2x 2－12x 1＋12x 1＋12x 2＋1＝22x 1－2x 22x 1＋12x 2＋1.∵x 1>x 2，∴2x 1>2x 2>0，即2x 1－2x 2>0.又∵2x 1＋1>0,2x 2＋1>0，∴22x 1－2x 22x 1＋12x 2＋1>0.∴f (x 1)>f (x 2)．∴f (x )在R 上为单调递增函数．———————————[课堂归纳——通法领悟]————————————————1个区别——合情推理与演绎推理的区别 (1)归纳是由特殊到一般的推理； (2)类比是由特殊到特殊的推理； (3)演绎推理是由一般到特殊的推理；(4)从推理的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待证明；若大前提和小前提正确，则演绎推理得到的结论一定正确．2个步骤——归纳推理与类比推理的步骤 (1)归纳推理的一般步骤：实验、观察→概括、推广→猜测一般性结论 (2)类比推理的一般步骤：观察、比较→联想、类推→猜想新结论3个注意点——应用合情推理与演绎推理应注意的问题(1)在进行类比推理时要尽量从本质上去类比，不要被表面现象迷惑，如果只抓住一点表面现象的相似甚至假象就去类比，那么就会犯机械类比的错误．(2)合情推理是从已知的结论推测未知的结论，发现与猜想的结论都要经过进一步严格证明．(3)演绎推理是由一般到特殊的推理，它常用来证明和推理数学问题，注意推理过程的严密性，书写格式的规范性．。

高考数学一轮单元复习第64讲合情推理与演绎推理课件

某班在自测过程中各项指标显示出 0<c<d<e<b<a，则下阶
段要把其中一个指标的值增加 1 个单位，而使得 S 的值增
加最多，那么该指标应为
(填入 a，b，c，d，e
中的某个字母)．
h
25
第64讲│要点探究
【思路】此题的大前提是隐含的，需要经过思考才能得到，从分式的性质中寻找S值的变化规律．
【答案】 c
所以，∠BCA＝∠DCA，所以 CA 平分∠BCD(结论)．
(4)同理，BD 平分∠CBA.
h
23
第64讲│要点探究
【点评】数学的推理证明主要是通过演绎推理来进行的，一个复杂的数学命题的证明往往是由多个“三段论” 构成的，只不过在平时的证明中我们大多数情况下都省略了大前提．演绎推理的主要形式是“三段论”，其一般模式为：
3 3x2
3
＝ 3x1 3 3x2 3 3x1 3 3x2 3
＝
3x1 3x2 2 3
3x x2 3 3x1 3x2 3
＝ 3x1 3x2 2 3
3 3x1 3x2 2 3
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第64讲│要点探究
3x1 3x2 2 3
＝ 3 3x1 3x│知识梳理
关系推理推理规则是：“如果 a≥b，b≥c，则 a≥c”，这种推理叫关系推理，又如：由 a∥b，b∥c，推出 a∥c，也是关系推理． (3)完全归纳推理把所有情况都考虑在内的演绎推理规则叫做完全归纳推理．
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第64讲│要点探究
要点探究
► 探究点1 归纳推理
例1
设 f(x)＝3x＋1
第64讲│合情推理与演绎推理
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第64讲│知识梳理