2.6光波在光纤波导中的传播
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22
2013-9-10
z
=2/
f (a)
fmin=1/n(0)
1/n(0) /2 / 2/ 3/ z
A
(b)
2013-9-10
图5 自聚焦光纤的透镜特性 (a) 子午光线；(b) f 的周期变化
23
（2）平方律折射率分布光纤中光线
的群迟延和最大群迟延差
光线经过单位轴向长度所用的时间称为比群迟延即单位长 度的群迟延。在非均匀介质中，光线的轨迹是弯曲的。沿光线 轨迹经过距离s所用的时间为
sin
(s) 0m
sin cos
( m) 0m
(9)
式中 0( m) 是传导子午光线的最大入射角。 m
2013-9-10 16
由上述讨论可知，在圆柱界面上一点A处所有可能的入射光 线可分为三部分：
A. 非导引光线（折射光线，折射角小于临界角）：不满 足全反射，部分光线折射到包层中去。
(4)
：空间光线上某点的位置矢量，s：该点到光线到原点的路 径长度， (r )：折射率的空间分布。应用上式，结合初始条件， n 原则上就可确定任意已知折射率 n(r )分布介质光线的轨迹。
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r
1、 阶跃光纤中光束的传播
均匀介质中光线轨迹是直线，光纤的传光机理在于光的全 反射。光纤可视为圆柱波导，在圆柱波导中，光线的轨迹 可以在通过光纤轴线的主截面内，如图2(a)所示，也可以不 在通过光纤轴线的主截面内，如图2(b)所示。要完整的确定 一条光线，必须用两个参量，即光线在界面的入射角 和 光线与光纤轴线的夹角。
fc是半功率点频率。
(18)
H(f)
fc
0
2013-9-10 30
f
显然有
P( f c ) 3dB P(0)
10 log H ( f c ) 10 log
(19)
因此，fc称为光纤的3dB光带宽。
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31
2013-9-10
1 f n(0) sin( z )
21
P (a) Q rt2 r rt2 rt r rt
P n(r)
z
n
Q P
n(r)
r
(r)
(c)
(b)
Q n rt1 图4 渐变折射率分布光纤纤芯内光线的路径及其在纤 芯横截面上的投影 (a) 子午光线路径；(b) 斜射光线路 径；(c) 投影和切向间的夹角(r)
(5)
2013-9-10
12
一般情况下，n0=1（空气），则子午光线对应的最大入射角
称为光纤的数值孔径
( 2 2 sin 0m) (n1 n2 )1/ 2 NA m
(6)
它代表光纤的集光本领。在弱到条件下，光纤的数值孔径为：
NA n1 (2)
1/ 2
(7)
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13
（1）、吸收损耗
材料吸收损耗是一种固有损耗，不可避免。我们只能选择固有 损耗较小的材料来做光纤。石英在红外波段内吸收较小，是优 良的光纤材料。
有害的杂质吸收主要是由于光纤材料中含有Fe，Co，Ni，Mn， Cu，V，Pt，OH等离子。
2013-9-10
（2）、散射损耗
由于光纤制作工艺上的不完善，例如有微气泡或折射率 不均匀以及有内应力，光能在这些地方会发生散射，使光纤 损耗增大 。
按传输的偏振态分：
单模光纤又可进一步分保偏光纤非保偏光纤。
2013-9-10 2
按制造光纤的材料分，有： ①高纯度熔石英光纤 其特点是材料的光传输损耗低，有的波长可 低到0.2dB／km，一般均小于ldB／km； ②多组分玻璃纤维 其特点是芯-皮折射率可在较大范围内变化， 因而有利于制造大数值孔径的光纤，但材料损耗 大，在可见光波段一般为:1dB／m
B. 导引光线（折射角大于临界角）：光线将限制在纤芯中 传播 。 C. 泄漏光线（隧道光线）：光线虽然满足折射角大于临界 角，但弯曲面上并不发生全反射。 （参见教材P61图2-21）
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（3）、不同光程引发的光脉冲的弥散
阶跃光纤中与光纤轴成不同夹角的导引光线，在轴向经过同 样距离时，各自走过的光程是不同的。因此，若有一个光脉冲 （含有多种频率的光波）在入射端激发起各种不同角度的导引 光线（色散：折射率是频率的函数），那么由于每根光线经过 的光程不同，就会先后到达终端，从而引起光脉冲宽度的加宽， 称为光脉冲的弥散。
1 0 2 1
2013-9-10
11
设光线从折射率为n0的介质通过波导端面中心点入 射，进入波导后按子午光线传播。根据折射定律，
n0 sin 0 n1 sin 1 n1 cos 1 n1 1 sin 2 1
当产生全反射时，要求 1 0 ，因此有
1 2 2 1/ 2 sin 0 (n1 n2 ) n0
2013-9-10 15
当满足全反射条件 sin 1 n2 / n1 时，得到波导内允许的最大轴线角 为 (s)
0m
(s sin 0m)
( 2 (n12 n2 )1/ 2 sin 0m ) m n1 cos n1 cos
(8)
γ 为入射面与子午的夹角。
当 n0 n2 1（空气）时，最大入射角为
2 r n 2 (r ) n12 1 2 a
(11)
2013-9-10
20
（1）平方律梯度光纤中的光线轨迹
由光纤理论可以证明子午光线轨迹按正弦规律变化
r r0 sin( z)
式中r0、由光纤参量决定。
(12)
可见平方律梯度光纤具有自聚焦性质，又称自聚焦光纤，如 图 4所示。 等效焦距：
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25
三、光束在光纤波导中的衰减和色散特性
1、光纤的衰减
若Pi、Po分别为光纤的输入、输出光功率，L是光纤长度。 衰减系数定义为单位长度光纤光功率衰减的分贝数，即
Pi 10 log10 L Po
(dB/km)
(16)
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26
光纤衰减有下列两种主要来源：吸收损耗和散射损耗。
即由于各传输模经历的光程不同而引起的脉冲展宽。
单模光纤色散的起因有下列三种：材料色散、波导色散和折射率分布色散。
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29
（2）光纤的带宽
光脉冲展宽与光纤带宽有一定关系。实验表明光纤的频率响应 特性H(f)近似为高斯型，如图2-23所示。
P( f ) ( f / f c ) 2 ln 2 H( f ) e P(0)
r n( r ) n1 1 2( ) a n( r ) n1 (1 2 )1 / 2 n2
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1/ 2
(0 r a ) (r a)
(3)
6
上式中a为纤芯的半径，n1为光纤轴线上的折射率，n2为 包层折射率，α为一常数。
2013-9-10
18
光线经过轴向距离L所花的最长和最短时间差为
Ln12 Ln1 Ln1 Δ cn2 c c
(10)
可见，光脉冲弥散正比于，愈小， 就愈小。
2013-9-10
19
2、 渐变光纤中光束的传播
只讨论平方率梯度光纤中光波的传播特性。 平方律折射率分布光纤的n(r)可表示为
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9
P n1 Q
P n2 r
n1
n2 (a) P
Q
rt
P
r
n1
Q (b)
n2
Q
图2 阶跃折射率光纤纤芯内的光线路径 (a) 子午光线的锯齿路 径；(b) 偏斜光线的螺旋路经及其在纤芯横截面上的投影。
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（1）子午光线
当入射光线通过光纤轴线，且入射角1大于界面 临界角 sin (n / n ) 时，光线将在柱体界面上不断发 生全反射，形成曲折回路，而且传导光线的轨迹始 终在光纤的主截面内。这种光线称为子午光线，包 含子午光线的平面称为子午面。
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③塑料光纤 其特点是成本低，缺点是材料损耗大，温度性 能较差； ④红外光纤 其特点是可透过近红外（1 ～5μm）或中红外 （～10μm）的光波； ⑤液芯光纤 特点是纤芯为液体，可满足特殊需要； ⑥晶体光纤 纤芯为晶体，可用于制造各种有源和无源器件。
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2、光纤的特性
当 0时，即为阶跃光纤
当 2时，即为平方梯度光纤
阶跃 剖面 n(r) n1 渐变 剖面n(r) n1 r n2 纤 芯 a
纤 芯
a
n2
r
阶跃折射率光纤
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梯度折射率光纤
7
二、光束在光纤波导中的传播特性
射线理论的基础是光线方程（费马原理）
d dr n(r ) ds n(r ) ds
另一种散射损耗的根源是所谓瑞利散射。
光纤中尚存在所谓布里渊和拉曼散射损耗。
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2、光纤色散、带宽和脉冲展宽参量间的关系
（1）光纤的色散 光纤的色散会使脉冲信号展宽，即限制了光纤的带宽或传输 容量。一般说来，单模光纤的脉冲展宽与色散有下列关系：
d L δ
(17)
（2）、斜射光线
当入射光线不通过光纤轴线时，传导光线将不在一个平面 内，这种光线称为斜射光线。
如果将其投影到端截面上，就会更清楚地看到传导光线将 完全限制在两个共轴圆柱面之间，其中之一是纤芯-包层边界， 另一个在纤芯中，其位置由角度1和1决定，称为散焦面。
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0
A 1 1 P
2.6光波在光纤波导中的传播
一、 光纤波导的结构及弱导性
光纤是一种能够传输光频电磁波的介质波导， 它由纤芯、包层和护套三部分组成。当满足一定的 入射条件时，光波就能沿着纤芯向前传播。
护套
包层
纤芯
2a
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1
1、光纤的分类
按折射率分布的方式分类： 阶跃折射率光纤和梯度折射率光纤。 按传输的模式数量分类： 单模光纤和多模光纤。
波导的性质由纤芯和包层的折射率分布决定，工程上定义 为纤芯和包层间的相对折射率差
[1 (
当时 0.01 ，上式简化为
n2 2 ) ] n1 2
(1)
n1 n2 n1
(2)
此即为光纤波导的弱导条件。
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光纤的弱导特性是光纤与微波圆波导之间的重要差别之一。 弱导的基本含义是指很小的折射率差就能构成良好的光纤波导 结构，而且为制造提供了很大的方便。 一般介质波导截面上的折射率分布可以用指数型分布表示为
0
a
O
B
O rt Q C
O O
(a)
(b)
图3阶跃光纤中的斜射光线 0为端面入射角，1为折射角， a为折射光线与端面的夹角。 显然，随着入射角1的增大，内散焦面向外扩大并趋近为边界面。在极 限情况下，光纤端面的光线入射面与圆柱面相切（1=90），在光纤内传导 的光线演变为一条与圆柱表面相切的螺线，两个散焦面重合。
1 s nds c 0
(14)
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24
详细计算表明最大的群迟延差为
max min L( max min ) n1L 2 0 2c 2
2
(15)
可以看到，平方律分布光纤中的群迟延只有阶梯折射率分布光 纤的/2（与10式比较）。
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z
=2/
f (a)
fmin=1/n(0)
1/n(0) /2 / 2/ 3/ z
A
(b)
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图5 自聚焦光纤的透镜特性 (a) 子午光线；(b) f 的周期变化
23
（2）平方律折射率分布光纤中光线
的群迟延和最大群迟延差
光线经过单位轴向长度所用的时间称为比群迟延即单位长 度的群迟延。在非均匀介质中，光线的轨迹是弯曲的。沿光线 轨迹经过距离s所用的时间为
sin
(s) 0m
sin cos
( m) 0m
(9)
式中 0( m) 是传导子午光线的最大入射角。 m
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由上述讨论可知，在圆柱界面上一点A处所有可能的入射光 线可分为三部分：
A. 非导引光线（折射光线，折射角小于临界角）：不满 足全反射，部分光线折射到包层中去。
(4)
：空间光线上某点的位置矢量，s：该点到光线到原点的路 径长度， (r )：折射率的空间分布。应用上式，结合初始条件， n 原则上就可确定任意已知折射率 n(r )分布介质光线的轨迹。
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r
1、 阶跃光纤中光束的传播
均匀介质中光线轨迹是直线，光纤的传光机理在于光的全 反射。光纤可视为圆柱波导，在圆柱波导中，光线的轨迹 可以在通过光纤轴线的主截面内，如图2(a)所示，也可以不 在通过光纤轴线的主截面内，如图2(b)所示。要完整的确定 一条光线，必须用两个参量，即光线在界面的入射角 和 光线与光纤轴线的夹角。
fc是半功率点频率。
(18)
H(f)
fc
0
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f
显然有
P( f c ) 3dB P(0)
10 log H ( f c ) 10 log
(19)
因此，fc称为光纤的3dB光带宽。
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31
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1 f n(0) sin( z )
21
P (a) Q rt2 r rt2 rt r rt
P n(r)
z
n
Q P
n(r)
r
(r)
(c)
(b)
Q n rt1 图4 渐变折射率分布光纤纤芯内光线的路径及其在纤 芯横截面上的投影 (a) 子午光线路径；(b) 斜射光线路 径；(c) 投影和切向间的夹角(r)
(5)
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12
一般情况下，n0=1（空气），则子午光线对应的最大入射角
称为光纤的数值孔径
( 2 2 sin 0m) (n1 n2 )1/ 2 NA m
(6)
它代表光纤的集光本领。在弱到条件下，光纤的数值孔径为：
NA n1 (2)
1/ 2
(7)
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13
（1）、吸收损耗
材料吸收损耗是一种固有损耗，不可避免。我们只能选择固有 损耗较小的材料来做光纤。石英在红外波段内吸收较小，是优 良的光纤材料。
有害的杂质吸收主要是由于光纤材料中含有Fe，Co，Ni，Mn， Cu，V，Pt，OH等离子。
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（2）、散射损耗
由于光纤制作工艺上的不完善，例如有微气泡或折射率 不均匀以及有内应力，光能在这些地方会发生散射，使光纤 损耗增大 。
按传输的偏振态分：
单模光纤又可进一步分保偏光纤非保偏光纤。
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按制造光纤的材料分，有： ①高纯度熔石英光纤 其特点是材料的光传输损耗低，有的波长可 低到0.2dB／km，一般均小于ldB／km； ②多组分玻璃纤维 其特点是芯-皮折射率可在较大范围内变化， 因而有利于制造大数值孔径的光纤，但材料损耗 大，在可见光波段一般为:1dB／m
B. 导引光线（折射角大于临界角）：光线将限制在纤芯中 传播 。 C. 泄漏光线（隧道光线）：光线虽然满足折射角大于临界 角，但弯曲面上并不发生全反射。 （参见教材P61图2-21）
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（3）、不同光程引发的光脉冲的弥散
阶跃光纤中与光纤轴成不同夹角的导引光线，在轴向经过同 样距离时，各自走过的光程是不同的。因此，若有一个光脉冲 （含有多种频率的光波）在入射端激发起各种不同角度的导引 光线（色散：折射率是频率的函数），那么由于每根光线经过 的光程不同，就会先后到达终端，从而引起光脉冲宽度的加宽， 称为光脉冲的弥散。
1 0 2 1
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设光线从折射率为n0的介质通过波导端面中心点入 射，进入波导后按子午光线传播。根据折射定律，
n0 sin 0 n1 sin 1 n1 cos 1 n1 1 sin 2 1
当产生全反射时，要求 1 0 ，因此有
1 2 2 1/ 2 sin 0 (n1 n2 ) n0
2013-9-10 15
当满足全反射条件 sin 1 n2 / n1 时，得到波导内允许的最大轴线角 为 (s)
0m
(s sin 0m)
( 2 (n12 n2 )1/ 2 sin 0m ) m n1 cos n1 cos
(8)
γ 为入射面与子午的夹角。
当 n0 n2 1（空气）时，最大入射角为
2 r n 2 (r ) n12 1 2 a
(11)
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（1）平方律梯度光纤中的光线轨迹
由光纤理论可以证明子午光线轨迹按正弦规律变化
r r0 sin( z)
式中r0、由光纤参量决定。
(12)
可见平方律梯度光纤具有自聚焦性质，又称自聚焦光纤，如 图 4所示。 等效焦距：
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三、光束在光纤波导中的衰减和色散特性
1、光纤的衰减
若Pi、Po分别为光纤的输入、输出光功率，L是光纤长度。 衰减系数定义为单位长度光纤光功率衰减的分贝数，即
Pi 10 log10 L Po
(dB/km)
(16)
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光纤衰减有下列两种主要来源：吸收损耗和散射损耗。
即由于各传输模经历的光程不同而引起的脉冲展宽。
单模光纤色散的起因有下列三种：材料色散、波导色散和折射率分布色散。
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（2）光纤的带宽
光脉冲展宽与光纤带宽有一定关系。实验表明光纤的频率响应 特性H(f)近似为高斯型，如图2-23所示。
P( f ) ( f / f c ) 2 ln 2 H( f ) e P(0)
r n( r ) n1 1 2( ) a n( r ) n1 (1 2 )1 / 2 n2
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1/ 2
(0 r a ) (r a)
(3)
6
上式中a为纤芯的半径，n1为光纤轴线上的折射率，n2为 包层折射率，α为一常数。
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18
光线经过轴向距离L所花的最长和最短时间差为
Ln12 Ln1 Ln1 Δ cn2 c c
(10)
可见，光脉冲弥散正比于，愈小， 就愈小。
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2、 渐变光纤中光束的传播
只讨论平方率梯度光纤中光波的传播特性。 平方律折射率分布光纤的n(r)可表示为
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P n1 Q
P n2 r
n1
n2 (a) P
Q
rt
P
r
n1
Q (b)
n2
Q
图2 阶跃折射率光纤纤芯内的光线路径 (a) 子午光线的锯齿路 径；(b) 偏斜光线的螺旋路经及其在纤芯横截面上的投影。
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（1）子午光线
当入射光线通过光纤轴线，且入射角1大于界面 临界角 sin (n / n ) 时，光线将在柱体界面上不断发 生全反射，形成曲折回路，而且传导光线的轨迹始 终在光纤的主截面内。这种光线称为子午光线，包 含子午光线的平面称为子午面。
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③塑料光纤 其特点是成本低，缺点是材料损耗大，温度性 能较差； ④红外光纤 其特点是可透过近红外（1 ～5μm）或中红外 （～10μm）的光波； ⑤液芯光纤 特点是纤芯为液体，可满足特殊需要； ⑥晶体光纤 纤芯为晶体，可用于制造各种有源和无源器件。
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2、光纤的特性
当 0时，即为阶跃光纤
当 2时，即为平方梯度光纤
阶跃 剖面 n(r) n1 渐变 剖面n(r) n1 r n2 纤 芯 a
纤 芯
a
n2
r
阶跃折射率光纤
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梯度折射率光纤
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二、光束在光纤波导中的传播特性
射线理论的基础是光线方程（费马原理）
d dr n(r ) ds n(r ) ds
另一种散射损耗的根源是所谓瑞利散射。
光纤中尚存在所谓布里渊和拉曼散射损耗。
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2、光纤色散、带宽和脉冲展宽参量间的关系
（1）光纤的色散 光纤的色散会使脉冲信号展宽，即限制了光纤的带宽或传输 容量。一般说来，单模光纤的脉冲展宽与色散有下列关系：
d L δ
(17)
（2）、斜射光线
当入射光线不通过光纤轴线时，传导光线将不在一个平面 内，这种光线称为斜射光线。
如果将其投影到端截面上，就会更清楚地看到传导光线将 完全限制在两个共轴圆柱面之间，其中之一是纤芯-包层边界， 另一个在纤芯中，其位置由角度1和1决定，称为散焦面。
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A 1 1 P
2.6光波在光纤波导中的传播
一、 光纤波导的结构及弱导性
光纤是一种能够传输光频电磁波的介质波导， 它由纤芯、包层和护套三部分组成。当满足一定的 入射条件时，光波就能沿着纤芯向前传播。
护套
包层
纤芯
2a
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1、光纤的分类
按折射率分布的方式分类： 阶跃折射率光纤和梯度折射率光纤。 按传输的模式数量分类： 单模光纤和多模光纤。
波导的性质由纤芯和包层的折射率分布决定，工程上定义 为纤芯和包层间的相对折射率差
[1 (
当时 0.01 ，上式简化为
n2 2 ) ] n1 2
(1)
n1 n2 n1
(2)
此即为光纤波导的弱导条件。
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光纤的弱导特性是光纤与微波圆波导之间的重要差别之一。 弱导的基本含义是指很小的折射率差就能构成良好的光纤波导 结构，而且为制造提供了很大的方便。 一般介质波导截面上的折射率分布可以用指数型分布表示为
0
a
O
B
O rt Q C
O O
(a)
(b)
图3阶跃光纤中的斜射光线 0为端面入射角，1为折射角， a为折射光线与端面的夹角。 显然，随着入射角1的增大，内散焦面向外扩大并趋近为边界面。在极 限情况下，光纤端面的光线入射面与圆柱面相切（1=90），在光纤内传导 的光线演变为一条与圆柱表面相切的螺线，两个散焦面重合。
1 s nds c 0
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详细计算表明最大的群迟延差为
max min L( max min ) n1L 2 0 2c 2
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可以看到，平方律分布光纤中的群迟延只有阶梯折射率分布光 纤的/2（与10式比较）。