数学必修4 1.4.3

变式 3 画出函数 y＝tan|x|的图象， 并根据图象判断其单调 区间、奇偶性、周期性． 【解】 由 y＝tan|x|得， tanx x≥0且x≠kπ＋π k∈Z 2 y＝ －tanx π x<0且x≠kπ＋2 k∈Z
，
根据 y＝tanx 的图象，作出 y＝tan|x|的图象如图：
(1)保证 tanx 本身有意义；(2)保证 3－
【解】 由 3－tanx≥0，即 tanx≤ 3， π π ∴kπ－2<x≤kπ＋3， π π 故函数的定义域为kπ－2，kπ＋3(k∈Z)． π π 【答案】 kπ－2，kπ＋3(k∈Z)
【小结】 解形如 tanx>a 的不等式的步骤：
自测自评 1.函数 y＝3tan2x 的最小正周期是( π A．2π B．π C.2
) π D.4
【解析】 在 y＝3tan2x 中， ∵ω＝2， π ∴T＝2，故选 C. 【答案】 C
2．函数
π A．{x|x≠4} π B．{x|x≠－4} π C．{x|x≠kπ＋4，k∈Z} 3 D．{x|x≠kπ＋4π，k∈Z}
【 思 路 点 拨 】 → 研究性质
画y＝tanx图象 → y＝|tanx|图象
【解】
由 y＝|tanx|得， π tanx kπ≤x<kπ＋2k∈Z y＝ －tanx －π＋kπ<x<kπk∈Z 2 其图象如图：
，
π 由图象可知，单调递增区间为kπ，kπ＋2(k∈R)，单调递 π 减区间为kπ－2，kπ(k∈Z)．函数 y＝|tanx|是偶函数．周期为
(4)正切函数是奇函数，正切函数的图象关于原点对称， kπ 并且有无穷多个对称中心，对称中心坐标是 2 ，0(k∈Z)，正 切函数的图象无对称轴，正、余弦图象既中心对称又轴对称.
题型讲练 题型一 求与正切函数定义域有关的问题 例 1 求函数 y＝ 3－tanx的定义域．
【思路点拨】 tan图．单调递增区间为kπ，kπ＋2(k∈R)， π 单调递减区间为kπ－2，kπ(k∈Z)．偶函数．周期为 π.
【小结】 (1)作函数 y＝|f(x)|的图象一般利用图象变换方 法，具体步骤是： ①保留函数 y＝f(x)图象在 x 轴上方的部分； ②将函数 y＝f(x)的图象在 x 轴下方的部分沿 x 轴向上翻 折． (2)若函数为周期函数，可先研究其一个周期上的图象， 再利用周期性，延拓到定义域上即可．
定义域
值域 周期 奇偶性 单调性
R π 奇函数 π π 在开区间－2＋kπ，2＋kπ(k∈ Z)上都是增函数
思考讨论 1.正切函数在整个定义域内是增函数吗？ 2.正切函数有对称轴及对称中心吗？
1.正切函数无单调减区间， 在每一个单调区间内都是递增 的，并且每个单调区间均为开区间，而不能写成闭区间 π π － ＋kπ， ＋kπ(k∈Z)．而在整个定义域并不满足增函数的 2 2 定义，在整个定义域上不是增函数． 2．正切函数是奇函数，正切函数的图象关于原点对称， kπ 并且有无穷多个对称中心，对称中心坐标是 2 ，0(k∈Z)，正 切函数的图象无对称轴， 正、 余弦函数图象既中心对称又轴对 称.
)
【答案】 D
π 5． 与函数 y＝tan2x＋4的图象不相交的一条直线是(
)
π π π π A．x＝2 B．y＝2 C．x＝8 D．y＝8
【答案】 C
要点突破 1.正切函数图象的作法 (1)几何法 就是利用单位圆中的正切线来作出正切函数的图象， 该方 法作图较为精确，但画图时较繁． (2)三点两线法 π π “三点”是指－4，－1，(0,0)，4，1；“两线”是指 x π π ＝－2和 x＝2.在三点、 两线确定的情况下， 类似于五点法作图， π π 可大致画出正切函数在－2，2上的简图，然后向左、向右扩 展即可得正切曲线．
【小结】 (1)正切函数在每一个单调区间内都是增函数， 但在整个定义域内不是增函数，另外正切函数不存在减区间． (2)对于求 y＝Atan(ωx＋φ)(A、ω、φ 为常数)的单调区间问 π 题，可先由诱导公式把 x 的系数化为正值，再由 kπ－2<ωx＋ π φ<kπ＋2，求得 x 的范围即可． (3)运用正切函数单调性比较大小的步骤： ①运用诱导公式将角化到同一单调区间内． ②运用单调性比较大小关系．
变式 2 (1) 若 tan(cosα)的大小； (2)求函数
π α ∈ 0，6 ，试比较
tan(sinα) ， tan(tanα) ，
π y＝tan2x－3的单调区间．
π 【解】 (1)∵0<α<6， π ∴0<sinα<tanα<cosα<2， π 又∵y＝tanx 在0，2上是增函数， ∴tan(sinα)<tan(tanα)<tan(cosα)．
【解】
π 1 π π 由 kπ－2<2x－4<kπ＋2， π 3 得 2kπ－2<x<2kπ＋2π(k∈Z)． 1 π ∴函数 y＝tan－2x＋4的单调递减区间是 π 3 π π 2kπ－ ，2kπ＋ π(k∈Z)．T＝ ＝ ＝2π， 2 2 |ω| 1 2 1 π ∴函数 y＝tan－2x＋4的周期为 2π.
1 变式 1 求函数 y＝ 的定义域． 1＋tanx
【解】
1 要使函数 y＝ 有意义， 1＋tanx
1＋tanx≠0， 则有 π x≠kπ＋2k∈Z， π π 即 x≠kπ－4且 x≠kπ＋2(k∈Z)． 所以函数的定义域为 π π {x|x∈R，且 x≠kπ－4，x≠kπ＋2}(k∈Z)．
1．4.3
正切函数的性质与图象
目标要求： 1．能画出 y＝tanx 的图象． π π 2．理解正切函数在－2，2上的性质． 重点关注： 1．画正切函数的图象．(重点) 2．正切函数定义域及正切曲线的渐近线．(易错点) 3．正切函数的性质．(重点、难点).
基础梳理 函数 y＝tanx 的图象与性质 解析式 y＝tanx 图象 π {x|x∈R 且 x≠kπ＋2，k∈Z}
题型二 与正切函数有关的函数单调性问题 1 π 例 2 (1)求函数 y＝tan－2x＋4的单调区间，并求其周期； (2)比较 tan1，tan2，tan3 的大小．
【思路点拨】 解(1)可先用诱导公式将 x 的系数化为正 x π 数，再把2－4看作整体，代入相应的区间，解出 x 的范围；解 (2)可先把角化到一个单调区间中，再利用单调性比较大小．
考题再现 (8 分)若
π y＝tan(2x＋θ)图象的一个对称中心为3，0， 若－
π π 2＜θ＜2，求 θ 的值．
解题实录
标准解答 解：因为函数 y＝tanx
kπ 图象的对称中心为 2 ，0，其中
k∈Z，
kπ π 所以 2x＋θ＝ 2 ，其中 x＝3，2 分 kπ 2π 即 θ＝ 2 － 3 ，k∈Z.4 分 π π 因为－2＜θ＜2. π 所以当 k＝1 时，θ＝－6，6 分 π π π 当 k＝2 时，θ＝3.即 θ＝－6或3.8 分
1 1 π π (1)y＝tan－2x＋4＝－tan2x－4，
(2)∵tan2＝tan(2－π)，tan3＝tan(3－π)， π π 又∵2<2<π，∴－2<2－π<0. π π ∵2<3<π，∴－2<3－π<0. π π 显然－2<2－π<3－π<1<2， π π 且 y＝tanx 在－2，2内是增函数， ∴tan(2－π)<tan(3－π)<tan1， ∴tan2<tan3<tan1. π 3 【答案】 (1)2kπ－2，2kπ＋2π(k∈Z) T＝2π (2)tan2<tan3<tan1
2．准确理解正切函数的性质 π (1)正切函数 y＝tanx 的定义域是{x|x≠kπ＋2，k∈Z}，这 与正弦、余弦函数不同． (2)正切函数 y＝tanx 的最小正周期是 π，这与正弦函数、 余弦函数不同．一般地，函数 y＝Atan(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的周 π 期为 T＝ω. (3)正切函数无单调减区间，在每一个单调区间内都是递 增的，并且每个单调区间均为开区间，而不能写成闭区间 π π － ＋kπ， ＋kπ，(k∈Z)． 2 2
阅卷点评： 该生解答是错误的． 错解主要是误认为正切函 数图象的对称中心的坐标是(kπ，0)(其中 k∈Z)，但由正切函 π 数的图象发现：点(kπ＋2，0)(其中 k∈Z)也是正切曲线的对称 kπ 中心，因此正切函数图象的对称中心的坐标是 2 ，0(其中 k ∈Z).
π y＝tan4－x的定义域是(
)
π π 【解析】 令4－x≠kπ＋2，k∈Z， π 3 得 x≠－kπ－4，即 x≠kπ＋4π，k∈Z. 【答案】 D
3．函数 y＝tan(sinx)的值域为( ) π π 2 2 A.－4，4 B.－ ， 2 2 1 1 C．[－tan1，tan1] D.－2，2
由图象可知，函数 y＝tan|x|是偶函数， π π 3 单调增区间为0，2，kπ＋2，kπ＋2π(k＝0,1,2，„)； π 3 π 单调减区间为－2，0，kπ－2π，kπ－2(k＝0，－1，－ 2，„)，不具有周期性.
特别提醒 1.在熟练掌握正切函数图象和性质的基础上，还应注意 y π ＝Atan(ωx＋φ)的周期为|ω|，y＝tanx 的对称中心有无数个，即 k π，0， k∈Z.另外， 可用“三点两线法”作正切函数的简图： 2 π π “三点”是指点－4，－1，(0,0)，4，1，“两线”是指直 π π 线 x＝－2，x＝2. 2.研究 y＝Atan(ωx＋φ)的性质，可用整体思想来处理，与 前面的正弦函数、余弦函数类似．