广东省北江中学2013届高一上学期期末考(数学理)

2010—2011学年第一学期广东北江中学期末考试高一数学试题一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题所给的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

）1．集合{10},{0,1},{1,2})A B C A B C === －，，则(=(A)∅ (B){1} (C){0,1,2} (D){-1,0,1,2} 2．若π02α-<<，则点(cos ,sin )Q αα位于（ ）A.第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．下列函数中，在R 上单调递增的是(A) 13y x = (B)2log y x = (C) y x = (D)0.5x y = 4．函数4()log f x x =与()4x f x =的图像(A)关于x 轴对称 (B) 关于y 轴对称 (C) 关于原点对称 (D) 关于直线y x =对称 5．函数f(x)=x 3+2x 2+x –4的单调递增区间为A ）(–1，–31)B ） (–∞，–1)∪(–31，+∞)C ）(–∞，–1)和(–31，+∞)D ）(31，1)6．函数f (x )=x 2+ax －3a －9对任意x ∈R 恒有f (x )≥0，则f (1)＝A ．6B ．5C ．4D ．37．已知2()22xf x x =-，则在下列区间中，()0f x =有实数解的是(A)（－3，－2） (B)（－1，0） (C) （2，3） (D) （4，5） 8．已知函数)(x f 为偶函数，当[)+∞∈,0x 时，1)(-=x x f ，则(1)0f x -<的解集是 A ．()0,2B ．()0,2-C ．()0,1-D ．[]2,19．函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，且0)2(),()3(==+f x f x f ，则方程0)(=x f 在区间)6,0(内解的个数的最小值为 A ．2B ．3C ．4D ．510．二次函数2()f x ax bx c =++的图象开口向下，对称轴为1x =，图象与x 轴的两个交点中，一个交点的横坐标()12,3x ∈，则有A ．0abc >B ．0a b c ++<C ．a c b +<D ．32b c <二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11． 函数()f x =)12(log21-x 的定义域为 .12．–300°化为弧度为 .13．已知0.622,0.6a b ==，则实数a b 、的大小关系为 ．14．若函数12)(2+-=x x x f 在区间[]2,+a a 上的最大值为4，则a 的值为_________.三、解答题（本大题共6小题，共80分） 15．（本小题满分12分）已知角α的终边经过点(1P ，试写出角α的集合M ，并求集合M 中在360-°～720°间的角．16．（本小题满分12分）已知角θ的终边在直线y =上。

（1）求tan θ的值；（2）求θθθθsin cos sin cos -+的值。

.17．（本小题满分14分）已知函数32()f x ax bx cx =++在点0x 处取得极大值5，其导函数'()y f x =的图象经过点(1,0)，(2,0)，如图所示.求： （1）0x 的值； （2）,,a b c 的值.18．（本小题满分14分）已知函数1312log)(2+-++=a x a x x f ．（1）求函数)(x f 的定义域；（2）若函数)(x f 的定义域关于坐标原点对称，试讨论它的奇偶性和单调性（单调性不需证明）.19．（本小题满分14分）甲乙两人连续6年对某县农村鳗鱼养殖业的规模(总产量)进行调查,提供了两个方面的信息,分别得到甲、乙两图：甲调查表明：每个鱼池平均产量从第1年1万只鳗鱼上升到第6年2万只。

乙调查表明：全县鱼池总个数由第1年30个减少到第6年10个。

请你根据提供的信息说明：（1）第2年全县鱼池的个数及全县出产的鳗鱼总数； （2）哪一年的规模(即总产量)最大?说明理由.20．（本小题满分14分）已知 ()()ln f x ax b x =+-，其中0,0ab >>.（1）若)(x f 在[)0,+∞上是减函数，求a 与b 的关系； （2）求)(x f 在[)0,+∞上的最大值；（3）解不等式ln xx x x 221--⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+≤ln2–1.2010—2011学年第一学期广东北江中学期末考试高一数学参考答案1–10：CDADC ，CBDDC 11. ]1,21(；12. π35-； 13. a b >； 14. 1或–115．解：由题意知，{}|36060M k k αα==+∈Z ，·°°． …………………6分当101k =-，，时，符合题意，此时α分别为30060420-，，°°°．………………………12分16．解：（1）角θ的终边在直线y =上所以tan θ=5分（2）2232121tan 1tan 1cos sin 1cos sin 1sin cos sin cos --=-+=-+=-+=++θθθθθθθθθθ…………12分17．(1)由图象可知，在(–∞,1)上f '(x )＞0,在(1,2)上f '(x )＜0. 在(2,+∞)上f ' (x )＞0.故f (x )在(–∞,1),(2,+∞)上递增，在(1, 2)上递减.因此f (x )在x =1处取得极大值，所以x 0=1.……………………………………6分 (2) f '(x )=3ax 2+2bx +c ,由f '(1)=0, f '(2)=0, f (1)=5, …………………………9分 得⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++.5,0412,023c b a c b a c b a 解得a =2,b =－9,c =12. ………………………………14分 注：若用韦达定理酌情给分。

18．解：（1）01312>+-++a x a x ，所以当),13()12,(,0+∞----∞>a a a 定义域为时 当0<a 时，定义域为),12()13,(+∞----∞a a ；当0=a 时，定义域为),1()1,(+∞---∞ ……6分 （2）函数)(x f 的定义域关于坐标原点对称， 当且仅当2)13(12=⇔--=--a a a ， 此时，55log)(2-+=x x x f ． ……8分对于定义域D=),5()5,(+∞--∞ 内任意x ，D x ∈-，)(55lg55lg55lg)(x f x x x x x x x f =-+-=+-=--+-=-，所以)(x f 为奇函数；……11分当),5(+∞∈x ，)(x f 在),5(+∞内单调递减；由于)(x f 为奇函数，所以在)5,(--∞内单调递减. ……14分19．解：由题意可知,图甲图象经过（1,1）和（6,2）两点,从而求得其解析式为y 甲=0.2x+0.8 ………………（2分） 图乙图象经过（1,30）和（6,10）两点,从而求得其解析式为y 乙=–4x+34. ………………（4分） (1)当x=2时，y 甲=0.2×2+0.8 =1.2,y 乙= –4×2+34=26，y 甲·y 乙=1.2×26=31.2.所以第2年鱼池有26个,全县出产的鳗鱼总数为31.2万只. ………………（6分）(2)设当第m 年时的规模总出产量为n,那么n=y 甲·y 乙=（0.2m+0.8） (–4m+34)= –0. 8m 2+3.6m+27.2=–0.8(m 2–4.5m –34)=–0.8(m –2.25)2+31.25 ………………（11分） 因此, .当m=2时,n 最大值=31.2.即当第2年时,鳗鱼养殖业的规模最大,最大产量为31.2万只. …………（14分）20.（1）()1a a b ax f x ax bax b--'=-=++. ………………1分0,0,0x a b >> ≥,()0f x '∴≤时，0a b -≤，即a b ≤.当a b ≤时，0,0,0.0,0a b x ax b a b ax >>∴+>-- ≥≤, 即()0f x '≤.()f x ∴在[0,)+∞上是减函数时，b a≥. ………………………4分（2）由（1）知，（i ）当b a≥时()f x 为减函数，()f x 的最大值为(0)ln f b =；……5分当ba<时，()a b ax f x ax b--'=+，∴当0a b x a-<≤时，()0f x '>，当a b xa->时()0f x '<，即在[0,)a b a-上()f x 是增函数，在[,)a b a-+∞上()f x 是减函数，………………7分∴a b xa-=时()f x 取最大值，最大值为max ()()ln a b a b f x f a aa--==-，即m ax ln (),()ln ().b b a f x a ba b a a ⎧⎪=⎨--<⎪⎩≥ ……………………8分（3）在（1）中取1a b ==，即()ln(1)f x x x =+-,由（1）知()f x 在[0,)+∞上是减函数.……………………10分∵ln xx x x 221--⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+≤ln2–1，即f(x21-)≤f(1) ………………12分∴x21-≥1解得 –1≤x <0或x ≥2.故所求不等式的解集为),2[)0,1[∞+- ……………………………14分。