2017-2018学年高三总复习测试：三角函数(3)
2018年高考数学(理)一轮复习文档第三章三角函数、解三角形第2讲同角三角函数的基本关系与诱导公式Word版
第2讲 同角三角函数的基本关系与诱导公式1．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1． (2)商数关系：tan α＝sin αcos α．2．六组诱导公式简记口诀：把角统一表示为k π2±α(k ∈Z )的形式，奇变偶不变，符号看象限．1．辨明三个易误点(1)“同角”有两层含义：一是“角相同”，二是代表“任意”一个使三角函数有意义的角．“同角”的概念与角的表达形式有关，如：sin 23α＋cos 23α＝1，sinα2cosα2＝tan α2.(2)在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号． (3)注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化． 2．三角函数求值与化简的三种常用方法(1)弦切互化法：主要利用公式tan α＝sin αcos α化成正、余弦．(2)和积转换法：利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化． (3)巧用“1”的变换：1＝sin 2θ＋cos 2θ＝cos 2θ(1＋tan 2θ)＝tan π4＝….1．cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－20π3＝( ) A.12 B.32 C ．－12D ．－32C2．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝35，α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则sin(π＋α)等于( )A.35 B ．－35C.45D ．－45D 因为sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α＝35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2， 所以cos α＝35，所以sin α＝45，所以sin(π＋α)＝－sin α＝－45.3．若sin θcos θ＝12，则tan θ＋cos θsin θ的值是( )A ．－2B ．2C ．±2D.12B tan θ＋cos θsin θ＝sin θcos θ＋cos θsin θ＝1cos θsin θ＝2.4．若sin θ＝－45，tan θ>0，则cos θ＝________．由已知，θ在第三象限， 所以cos θ＝－1－sin 2θ＝－1－（－45）2＝－35.－355.教材习题改编 已知tan θ＝2，则sin θ·cos θ＝________． sin θcos θ＝sin θ·cos θsin 2θ＋cos 2θ＝tan θtan 2θ＋1＝222＋1＝25. 25同角三角函数的基本关系式(高频考点)同角三角函数的基本关系式的应用很广泛，也比较灵活．高考中常以选择题、填空题的形式出现．高考对同角三角函数基本关系式的考查主要有以下三个命题角度： (1)知弦求弦； (2)知弦求切； (3)知切求弦．(1)(2016·高考全国卷丙)若tan α＝34，则cos 2α＋2sin 2α＝( )A.6425 B.4825C ．1D.1625(2)已知sin α＋2cos α＝3，则tan α＝( ) A.22 B. 2 C ．－22D ．－ 2【解析】 (1)法一：由tan α＝sin αcos α＝34，cos 2α＋sin 2α＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝35，cos α＝45或⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝－35，cos α＝－45，则sin 2α＝2sin αcos α＝2425，则cos 2α＋2sin 2α＝1625＋4825＝6425. 法二：cos 2α＋2sin 2α＝cos 2α＋4sin αcos αcos 2α＋sin 2α＝1＋4tan α1＋tan 2α＝1＋31＋916＝6425. (2)因为sin α＋2cos α＝3， 所以(sin α＋2cos α)2＝3，所以sin 2α＋22sin αcos α＋2cos 2α＝3， 所以sin 2α＋22sin αcos α＋2cos 2αsin 2α＋cos 2α＝3，所以tan 2α＋22tan α＋2tan 2α＋1＝3， 所以2tan 2α－22tan α＋1＝0，所以tan α＝22. 【答案】 (1)A (2)A同角三角函数关系式及变形公式的应用(1)利用sin 2α＋cos 2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用sin αcos α＝tan α可以实现角α的弦切互化．(2)应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二．角度一 知弦求弦1．(2017·雅安模拟)已知sin θ＋cos θ＝43，θ∈(0，π4)，则sin θ－cos θ的值为( )A.23 B.13 C ．－23D ．－13C (sin θ＋cos θ)2＝169，所以1＋2sin θcos θ＝169，所以2sin θcos θ＝79，由(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θ·cos θ＝1－79＝29，可得sin θ－cos θ＝±23.又因为θ∈(0，π4)，sin θ<cos θ，所以sin θ－cos θ＝－23.角度二 知弦求切2．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝35，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2，则tan α＝( )A.43 B.34 C ．－34D ．±34B 因为cos ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α＝35，所以sin α＝－35，显然α在第三象限，所以cos α＝－45，故tan α＝34.角度三 知切求弦3．若sin α＝2sin β，tan α＝3tan β，则cos α＝________． 因为sin α＝2sin β，① tan α＝3tan β， tan 2α＝9tan 2β.②由①2÷②得：9cos 2α＝4cos 2β.③ 由①2＋③得sin 2α＋9cos 2α＝4. 又sin 2α＋cos 2α＝1， 所以cos 2α＝38，所以cos α＝±64. ±64诱导公式的应用(1)sin(－1 200°)cos 1 290°＋cos(－1 020°)·sin(－1 050°)＝________．(2)已知cos α是方程3x 2－x －2＝0的根，且α是第三象限角，则sin （－α＋3π2）cos （3π2＋α）tan 2（π－α）cos （π2＋α）sin （π2－α）等于________．(3)已知cos(π6－α)＝23，则sin(α－2π3)＝________．【解析】 (1)原式＝－sin 1 200°cos 1 290°－cos 1 020°·sin 1 050°＝－sin(3×360°＋120°)cos(3×360°＋210°)－cos(2×360°＋300°)sin(2×360°＋330°)＝－sin 120°cos 210°－cos 300°sin 330°＝－sin(180°－60°)cos(180°＋30°)－cos(360°－60°)·sin(360°－30°) ＝sin 60°cos 30°＋cos 60°sin 30° ＝32×32＋12×12＝1. (2)因为方程3x 2－x －2＝0的根为x 1＝1，x 2＝－23，由题知cos α＝－23，所以sin α＝－53，tan α＝52. 所以原式＝－cos αsin αtan 2α－sin αcos α＝tan 2α＝54.(3)因为⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫α－2π3＝－π2，所以α－2π3＝－π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－2π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－23.【答案】 (1)1 (2)54 (3)－23(1)诱导公式用法的一般思路 ①化大角为小角．②角中含有加减π2的整数倍时，用公式去掉π2的整数倍．(2)常见的互余和互补的角①常见的互余的角：π3－α与π6＋α；π3＋α与π6－α；π4＋α与π4－α等．②常见的互补的角：π3＋θ与2π3－θ；π4＋θ与3π4－θ等．(3)三角函数式化简的方向 ①切化弦，统一名． ②用诱导公式，统一角．③用因式分解将式子变形，化为最简．1．(2017·福建省毕业班质量检测)若sin(π2＋α)＝－35，且α∈(π2，π)，则sin(π－2α)＝( )A.2425 B.1225C ．－1225D ．－2425D 由sin(π2＋α)＝cos α＝－35，且α∈(π2，π)，得sin α＝45，所以sin(π－2α)＝sin 2α＝2sin αcos α＝－2425，选项D 正确．2．sin(－1 071°)si n 99°＋sin(－171°)sin(－261°)＝________． 原式＝(－sin 1 071°)·sin 99°＋sin 171°·sin 261°＝－sin (3×360°－9°)sin(90°＋9°)＋sin(180°－9°)·sin(270°－9°)＝sin 9°cos 9°－sin 9°cos 9°＝0.故填0.3．已知cos(π＋α)＝－12，求sin[α＋（2n ＋1）π]＋sin （π＋α）sin （π－α）·cos （α＋2n π）(n ∈Z )．因为cos(π＋α)＝－12，所以－cos α＝－12，cos α＝12.sin[α＋（2n ＋1）π]＋sin （π＋α）sin （π－α）cos （α＋2n π）＝sin （α＋2n π＋π）－sin αsin αcos α＝sin （π＋α）－sin αsin αcos α＝－2sin αsin αcos α＝－2cos α＝－4.——方程思想求解三角函数值已知sin θ＋cos θ＝713，θ∈(0，π)，则tan θ＝________．【解析】 法一：因为sin θ＋cos θ＝713，θ∈(0，π)，所以(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝49169，所以sin θcos θ＝－60169.由根与系数的关系，知sin θ，cos θ是方程x 2－713x －60169＝0的两根，所以x 1＝1213，x 2＝－513.又sin θcos θ＝－60169<0，所以sin θ>0，cos θ<0.所以sin θ＝1213，cos θ＝－513.所以tan θ＝sin θcos θ＝－125.法二：同法一，得sin θcos θ＝－60169，所以sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝－60169. 齐次化切，得tan θtan 2 θ＋1＝－60169，即60tan 2θ＋169tan θ＋60＝0， 解得tan θ＝－125或tan θ＝－512.又θ∈(0，π)，sin θ＋cos θ＝713>0，sin θcos θ＝－60169<0.所以θ∈(π2，3π4)，所以tan θ＝－125.【答案】 －125(1)本题利用方程思想法一：由sin θ＋cos θ、sin θcos θ的值构造一元二次方程，把sin θ与cos θ看作此方程的两根，即可求出sin θ与cos θ的值，便可求解．法二：利用三角函数的基本关系转化为关于tan θ的一元二次方程求解．(2)所谓方程思想就是在解决问题时，用事先设定的未知数沟通问题中所涉及的各量间的等量关系，建立方程或方程组，求出未知数及各量的值，或者用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决．已知sin(3π－α)＝－2sin(π2＋α)，则sin αcos α等于( )A ．－25 B.25C.25或－25D ．－15A 因为sin(3π－α)＝sin(π－α)＝－2sin(π2＋α)，所以sin α＝－2cos α，所以tan α＝－2，当α在第二象限时，⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝255cos α＝－55，所以sin αcos α＝－25；当α在第四象限时，⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝－255cos α＝55，所以sin αcos α＝－25，综上，sin αcosα＝－25，故选A.1．tan(－233π)的值为( )A. 3 B ．－ 3 C.33D ．－33A A tan(－233π)＝tan(－8π＋π3)＝tan π3＝ 3.2．已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|<π2，则θ等于( )A ．－π6B ．－π3C.π6D.π3D 因为sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)， 所以－sin θ＝－3cos θ，所以tan θ＝ 3. 因为|θ|<π2，所以θ＝π3.3．(2017·福建省毕业班质量检测)已知cos(α＋π2)＝13，则cos 2α的值等于( )A.79 B ．－79C.89D ．－89A 法一：因为cos(α＋π2)＝13，所以sin α＝－13，所以cos α＝±223，所以cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝(±223)2－(－13)2＝79，故选A.法二：因为cos(α＋π2)＝13，所以sin α＝－13，所以cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×19＝79，故选A.4．已知sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，则sin 2α－sin αcos α的值为( )A ．－15B ．－25C.15D.25D 依题意得tan α＋33－tan α＝5，所以tan α＝2.所以sin 2α－sin αcos α＝sin 2α－sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α－tan αtan 2α＋1＝22－222＋1＝25. 5．已知f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)＋4，若f (2 016)＝5，则f (2 017)的值是( )A ．2B ．3C ．4D ．5B 因为f (2 016)＝5.所以a sin(2 016π＋α)＋b cos(2 016π＋β)＋4＝5， 即a sin α＋b cos β＝1.所以f (2 017)＝a sin(2 017π＋α)＋b cos(2 017π＋β)＋4＝－a sin α－b cos β＋4＝－1＋4＝3.6．已知sin α＋3cos α＋1＝0，则tan α的值为( ) A.43或34 B ．－34或－43C.34或－43D ．－43或不存在D 由sin α＝－3cos α－1，可得(－3cos α－1)2＋cos 2α＝1，即5cos 2α＋3cos α＝0，解得cos α＝－35或cos α＝0，当cos α＝0时，tan α的值不存在，当cos α＝－35时，sin α＝－3cos α－1＝45，tan α＝sin αcos α＝－43，故选D.7．化简sin （π2＋α）cos （π2－α）cos （π＋α）＋sin （π－α）cos （π2＋α）sin （π＋α）＝________． 原式＝cos αsin α－cos α＋sin α（－sin α）－sin α＝－sin α＋sin α＝0. 08．在△ABC 中，若tan A ＝23，则sin A ＝________． 因为tan A ＝23>0，所以A 为锐角，于是1＋tan 2A ＝1＋29＝119＝1cos 2A ，cos 2A ＝911，cos A ＝31111，sin A ＝tan A cos A ＝2211. 2211 9．sin 43π·cos 56π·tan(－43π)的值是________． 原式＝sin(π＋π3)·cos(π－π6)·tan(－π－π3) ＝(－sin π3)·(－cos π6)·(－tan π3) ＝(－32)×(－32)×(－3)＝－334. －33410．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12＋α＝23，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－11π12＝________． cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－11π12＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12－α ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋α， 而sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12＋α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋α ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋α＝23， 所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－11π12＝－23. －2311．已知sin θ＝45，π2<θ<π. (1)求tan θ的值；(2)求sin 2θ＋2sin θcos θ3sin 2θ＋cos 2θ的值．(1)因为sin 2θ＋cos 2θ＝1，所以cos 2θ＝925.又π2<θ<π，所以cos θ＝－35.所以tan θ＝sin θcos θ＝－43.(2)由(1)知，sin 2θ＋2sin θcos θ3sin 2θ＋cos 2 θ＝tan 2θ＋2tan θ3tan 2θ＋1＝－857.12．已知α为第三象限角，f (α)＝sin （α－π2）·cos （3π2＋α）·tan （π－α）tan （－α－π）·sin （－α－π）.(1)化简f (α)；(2)若cos(α－3π2)＝15，求f (α)的值．(1)f (α)＝sin （α－π2）·cos （3π2＋α）·tan （π－α）tan （－α－π）·sin （－α－π）＝（－cos α）·sin α·（－tan α）（－tan α）· sin α＝－cos α.(2)因为cos(α－3π2)＝15，所以－sin α＝15，从而sin α＝－15.又α为第三象限角，所以cos α＝－1－sin 2α＝－265，所以f (α)＝－cos α＝265.13．已知sin αcos α＝18，且5π4<α<3π2，则cos α－sin α的值为() A ．－32 B.32C ．－34 D.34B 因为5π4<α<3π2，所以cos α<0，sin α<0且|cos α|<|sin α|，所以cos α－sin α>0.又(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×18＝34， 所以cos α－sin α＝32. 14．化简1－2sin 40°cos 40°cos 40°－1－sin 250°＝________． 原式＝sin 240°＋cos 240°－2sin 40°cos 40°cos 40°－cos 50°＝|sin 40°－cos 40°|sin 50°－sin 40° ＝|sin 40°－sin 50°|sin 50°－sin 40° ＝sin 50°－sin 40°si n 50°－sin 40° ＝1.115．已知在△ABC 中，sin A ＋cos A ＝15. (1)求sin A cos A 的值；(2)判断△ABC 是锐角三角形还是钝角三角形；(3)求tan A 的值．(1)因为sin A ＋cos A ＝15，① 所以两边平方得1＋2sin A cos A ＝125， 所以sin A cos A ＝－1225. (2)由sin A cos A ＝－1225<0，且0<A <π， 可知cos A <0，所以A 为钝角，所以△ABC 是钝角三角形．(3)因为(sin A －cos A )2＝1－2sin A cos A ＝1＋2425＝4925， 又sin A >0，cos A <0，所以sin A －cos A >0，所以sin A －cos A ＝75，② 所以由①，②可得sin A ＝45，cos A ＝－35，所以tan A ＝sin A cos A ＝45－35＝－43. 16．已知f (x )＝cos 2（n π＋x ）·sin 2（n π－x ）cos 2[（2n ＋1）π－x ](n ∈Z )． (1)化简f (x )的表达式； (2)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2 016＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1 007π2 016的值． (1)当n 为偶数，即n ＝2k (k ∈Z )时，f (x )＝cos 2（2k π＋x ）·sin 2（2k π－x ）cos 2[（2×2k ＋1）π－x ]＝cos 2x ·sin 2（－x ）cos 2（π－x ）＝cos 2x ·（－sin x ）2（－cos x ）2 ＝sin 2x (n ＝2k ，k ∈Z )；当n 为奇数，即n ＝2k ＋1(k ∈Z )时，f (x )＝cos 2[（2k ＋1）π＋x ]·sin 2[（2k ＋1）π－x ]cos 2{[2×（2k ＋1）＋1]π－x }＝cos 2[2k π＋（π＋x ）]·sin 2[2k π＋（π－x ）]cos 2[2×（2k ＋1）π＋（π－x ）]＝cos 2（π＋x ）·sin 2（π－x ）cos 2（π－x ）＝（－cos x ）2sin 2x （－cos x ）2 ＝sin 2x (n ＝2k ＋1，k ∈Z )．综上得f (x )＝sin 2x . (2)由(1)得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2 016＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1 007π2 016 ＝sin2π2 016＋sin 21 007π2 016 ＝sin2π2 016＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－π2 016 ＝sin2π2 016＋cos 2π2 016＝1.。
高中数学专题讲义：三角函数公式的正用、逆用与变用
A．
B． 5 C．
D．
【答案】A
【解析】由三角函数的定义可得
，又
，
所以
.故选 A.
12．【佛山市普通高中高三教学质量检测（二）】已知
cos
1 ， 7
0,
2
，则
cos
3
()
A． 11 14
【答案】D
B． 3 3 14
C． 5 3 14
D． 13 14
13 ．【 江 西 省 南 昌 市 2017-2018 学 年 度 高 三 第 二 轮 复 习 测 试 卷 （ 三 ）】 在 .
高中数学专题讲义：三角函数公式的正用、逆用与变用
考纲要求:
sinx 1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2x＋cos2x＝1，cosx＝tanx.
π 2.能利用单位圆中的三角函数线推导出 2 ±α，π±α 的正弦、余弦、正切的诱导公式.
3.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．能利用两角差的余弦公式推导出两角差的正
（Ⅰ）求 的大小；
中，
（Ⅱ）求
的取值范围.
【答案】(1)
;(2)
【解析】
【分析】
（Ⅰ）由正弦定理可得
的取值范围为
.
，结合余弦定理可得 的大小；（Ⅱ）利用内角和定理
【详解】 （Ⅰ）因为 所以
可化简为
，结合
可得结果.
，
，由正弦定理，得
，
所以
， 又因为
， 所以 .
14．在 中，
.
（Ⅰ）求 的大小；
（Ⅱ）求
3．已知
，
，
，则
（）
A．
B．
【答案】B
C．
D．
第三次三角函数教师版
天津市复兴中学高三年级考试试卷 年 月班级 姓名 学号_____________………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ○ 密 ○ ○ 封 ○ ○ 线 ○ ○ …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………高三数学总复习试卷1（三角函数部分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1、θ是第二象限角，则下列选项中一定为正值的是( )．A ．sin θ2 B ．cos θ2 C ．tan θ2D ．cos 2θ解析 因为θ是第二象限角，所以θ2为第一或第三象限角，所以tan θ2>0，故选C. 答案 C2、(2012·南阳模拟)已知锐角α的终边上一点P (sin 40°，1＋cos 40°)，则锐角α＝( )．A ．80°B ．70°C ．20°D ．10°解析 据三角函数定义知，tan α＝1＋cos 40°sin 40°＝2cos 220°2sin 20°cos 20°＝tan 70°.故锐角α＝70°. 答案 B3、在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a 2－b 2＝3bc ，sin C＝23sin B ，则A ＝( )． A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°解析 由a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，得a 2＝3bc ＋b 2，cb ＝2 3.由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝c 2－3bc 2bc ＝c 2b －32＝3－32＝32，所以A ＝30°，故选A. 答案 A4、已知函数f (x )＝sin(x ＋θ)＋3cos(x ＋θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2是偶函数，则θ的值为( )．A ．0B.π6C.π4D.π3解析 据已知可得f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋θ＋π3，若函数为偶函数，则必有θ＋π3＝k π＋π2(k ∈Z )，又由于θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，故有θ＋π3＝π2，解得θ＝π6，经代入检验符合题意． 答案 B5、函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x －π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( )． A ．2－ 3B ．0C ．－1D ．－1－ 3解析 ∵0≤x ≤9，∴－π3≤π6x －π3≤7π6，∴－32≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x －π3≤1，∴－3≤2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x －π3≤2.∴函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为2－ 3. 答案 A6、(2012·新课标全国)已知ω>0，函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π单调递减，则ω的取值范围是( )． A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，54 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，34 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 D ．(0,2]解析 取ω＝54，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫54x ＋π4，其减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤85k π＋π5，85k π＋π，k ∈Z ，显天津市复兴中学高三年级考试试卷 年 月班级 姓名 学号_____________………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ○ 密 ○ ○ 封 ○ ○ 线 ○ ○ …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………然⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π⊆85k π＋π5，85k π＋π，k ∈Z ，排除B ，C.取ω＝2，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，其减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋58π，k ∈Z ，显然⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π⃘⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋58π，k ∈Z ，排除D. 答案 A7、(2013·兰州模拟)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则将y ＝f (x )的图象向右平移π6个单位后，得到的图象对应的函数解析式为( )．A ．y ＝sin 2xB ．y ＝cos 2xC ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3D ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6解析 由所给图象知A ＝1，34T ＝11π12－π6＝3π4，T ＝π，所以ω＝2πT ＝2，由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋φ＝1，|φ|<π2得π3＋φ＝π2，解得φ＝π6，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，则f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向右平移π6个单位后得到的图象对应的函数解析式为y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＋π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，故选D. 答案 D8、若tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝3，则cos 2θ1＋sin 2θ＝( )．A ．3B ．－3C.34 D ．－34解析 ∵tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝1－tan θ1＋tan θ＝3，∴tan θ＝－12.∴cos 2θ1＋sin 2θ＝cos 2θ－sin 2θsin 2θ＋2sin θcos θ＋cos 2θ ＝1－tan 2θtan 2θ＋2tan θ＋1＝1－1414－1＋1＝3.答案 A二．填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 9、(2013·鞍山模拟)设扇形的周长为8 cm ，面积为4 cm 2，则扇形的圆心角的弧度数是________．解析 由题意得S ＝12(8－2r )r ＝4，整理得r 2－4r ＋4＝0，解得r ＝2.又l ＝4，故|α|＝lr ＝2(rad)． 答案 210、(2013·九江模拟)方程x 2＋3ax ＋3a ＋1＝0(a >2)的两根为tan A ，tan B ，且A ，B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，则A ＋B ＝________.解析 由题意知tan A ＋tan B ＝－3a <－6，tan A ·tan B ＝3a ＋1>7，∴tan A <0，tan B <0， tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝－3a1－(3a ＋1)＝1.∵A ，B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴A ，B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，∴A ＋B ∈(－π，0)，∴A ＋B ＝－3π4.天津市复兴中学高三年级考试试卷 年 月班级 姓名 学号_____________………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ○ 密 ○ ○ 封 ○ ○ 线 ○ ○ …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………答案 －3π411、(2013·徐州模拟)已知函数f (x )＝12(sin x ＋cos x )－12|sin x －cos x |，则f (x )的值域是________．解析 f (x )＝12(sin x ＋cos x )－12|sin x －cos x | ＝⎩⎨⎧cos x (sin x ≥cos x )，sin x (sin x <cos x ).画出函数f (x )的图象，可得函数的最小值为－1，最大值为22，故值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，22.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，2212、(2012·西安模拟)下列命题中：①α＝2k π＋π3(k ∈Z )是tan α＝3的充分不必要条件； ②函数f (x )＝|2cos x －1|的最小正周期是π；③在△ABC 中，若cos A cos B >sin A sin B ，则△ABC 为钝角三角形； ④若a ＋b ＝0，则函数y ＝a sin x －b cos x 的图象的一条对称轴方程为x ＝π4. 其中是真命题的序号为________． 解析 ①∵α＝2k π＋π3(k ∈Z )⇒tan α＝3，而tan α＝3⇒/ α＝2k π＋π3(k ∈Z )，∴①正确．②∵f (x ＋π)＝|2cos(x ＋π)－1|＝|－2cos x －1|＝|2cos x ＋1|≠f (x )，∴②错误．③∵cos A cos B >sin A sin B ，∴cos A cos B －sin A sin B >0， 即cos(A ＋B )>0，∵0<A ＋B <π，∴0<A ＋B <π2， ∴C 为钝角，∴③正确． ④∵a ＋b ＝0，∴b ＝－a ，y ＝a sin x －b cos x ＝a sin x ＋a cos x ＝2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，∴x ＝π4是它的一条对称轴，∴④正确．答案 ①③④13、(2012·江苏)设α为锐角，若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π12的值为________． 解析 ∵α为锐角且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，∴α＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，2π3，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35.∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π12＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6－π4 ＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6cos π4－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6sin π4 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－22⎣⎢⎡⎦⎥⎤2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－1＝2×35×45－22⎣⎢⎡⎦⎥⎤2×⎝ ⎛⎭⎪⎫452－1＝12225－7250＝17250.答案17250天津市复兴中学高三年级考试试卷 年 月班级 姓名 学号_____________………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ○ 密 ○ ○ 封 ○ ○ 线 ○ ○ …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………14、已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝1213，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，则cos 2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝________.解析 ∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝22(cos α＋sin α)＝1213， ∴sin α＋cos α＝12213， 1＋2sin αcos α＝288169，2sin αcos α＝119169， 1－2sin αcos α＝50169，又∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，∴cos α>sin α，∴cos α－sin α＝5213，cos 2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝cos 2α－sin 2α22sin α＋22cos α＝2(cos α－sin α)＝1013. 答案 1013三．解答题（本大题共6题，共80分）15、(13分)如图所示，A ，B 是单位圆O 上的点，且B 在第二象限，C 是圆与x 轴正半轴的交点，A 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45，△AOB 为正三角形． (1)求sin ∠COA ；(2)求cos ∠COB .解 (1)根据三角函数定义可知sin ∠COA ＝45. (2)∵△AOB 为正三角形，∴∠AOB ＝60°， 又sin ∠COA ＝45，cos ∠COA ＝35， ∴cos ∠COB ＝cos(∠COA ＋60°) ＝cos ∠COA cos 60°－sin ∠COA sin 60°＝35·12－45·32＝3－4310.16、(13分)(2011·天津)已知函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.(1)求f (x )的定义域与最小正周期；(2)设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝2cos 2α，求α的大小．解 (1)由2x ＋π4≠π2＋k π，k ∈Z ，得x ≠π8＋k π2，k ∈Z .所以f (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R |x ≠π8＋k π2，k ∈Z ，f (x )的最小正周期为π2.(2)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝2cos 2α，得tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2cos 2α，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2(cos 2α－sin 2α)， 整理得sin α＋cos αcos α－sin α＝2(cos α＋sin α)(cos α－sin α)．因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，所以sin α＋cos α≠0.因此(cos α－sin α)2＝12，即sin 2α＝12.由α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4，得2α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.所以2α＝π6，即α＝π12. 17、(2013·东营模拟)已知函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3＋2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4.(1)求函数f (x )的最小正周期和图象的对称轴； (2)求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π2上的值域．解 (1)f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4天津市复兴中学高三年级考试试卷 年 月班级 姓名 学号_____________………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ○ 密 ○ ○ 封 ○ ○ 线 ○ ○ …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………＝12cos 2x ＋32sin 2x ＋(sin x －cos x )(sin x ＋cos x ) ＝12cos 2x ＋32sin 2x ＋sin 2x －cos 2x ＝12cos 2x ＋32sin 2x －cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6.∴最小正周期T ＝2π2＝π，由2x －π6＝k π＋π2(k ∈Z )， 得x ＝k π2＋π3(k ∈Z )．∴函数图象的对称轴为x ＝k π2＋π3(k ∈Z )． (2)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π2，∴2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，5π6，∴－32≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6≤1.即函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π2上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1.18、已知函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ，g (x )＝12sin 2x －14.(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求函数h (x )＝f (x )－g (x )的最大值，并求使h (x )取得最大值的x 的集合． 解 (1)∵f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos x －32sin x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos x ＋32sin x ＝14cos 2x －34sin 2x ＝1＋cos 2x 8－3－3cos 2x8＝12cos 2x －14，∴f (x )的最小正周期为2π2＝π.(2)由(1)知h (x )＝f (x )－g (x )＝12cos 2x －12sin 2x ＝22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，当2x ＋π4＝2k π(k ∈Z )，即x ＝k π－π8(k ∈Z )时，h (x )取得最大值22.故h (x )取得最大值时，对应的x 的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝k π－π8，k ∈Z. 19、设函数f (x )＝22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋sin 2x . (1)求f (x )的最小正周期；(2)设函数g (x )对任意x ∈R ，有g ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝g (x )，且当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，g (x )＝12－f (x )．求g (x )在区间[－π，0]上的解析式． 解 (1)f (x )＝22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋sin 2x＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2x cos π4－sin 2x sin π4＋1－cos 2x 2＝12－12sin 2x ，故f (x )的最小正周期为π.(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，g (x )＝12－f (x )＝12sin 2x ，故①当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0时，x ＋π2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.由于对任意x ∈R ，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝g (x )，从而g (x )＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝12sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝12sin(π＋2x )＝－12sin 2x .天津市复兴中学高三年级考试试卷 年 月班级 姓名 学号_____________………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ○ 密 ○ ○ 封 ○ ○ 线 ○ ○ …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………②当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－π，－π2时，x ＋π∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2. 从而g (x )＝g (x ＋π)＝12sin[2(x ＋π)]＝12sin 2x . 综合①、②得g (x )在[－π，0]上的解析式为 g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12sin 2x ，x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－π，－π2，－12sin 2x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0.20、(2012·天津)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3＋2cos 2x －1，x ∈R .(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的最大值和最小值．解 (1)f (x )＝sin 2x ·cos π3＋cos 2x ·sin π3＋sin 2x ·cos π3－cos 2x ·sin π3＋cos 2x ＝sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.所以，f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)因为f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π8上是增函数，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，π4上是减函数．又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝－1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝1，故函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的最大值为2，最小值为－1.。
冲刺压轴题 专题难点突破三角函数
< ϕ < ) 的图象关于直线 x = 对称，则 ϕ 的值是上 a ， b ， c ，已知 tan A 满足 a cos B - b cos A = 3 （得图象过点 ⎛ π 1 ⎫, ⎪ ，则 ϕ 的最小值是江苏省 高三数学一轮复习典型题专题训练三角函数一、填空题1、（2018 江苏高考）已知函数 y = sin(2 x + ϕ)(-▲ ．π π π2 2 32、（2017 江苏高考）若 tan （α﹣ π 1）= ．则 tan α=4 63、（2016 江苏高考）定义在区间[0,3π]的函数 y =sin2x 的图象与 y =cos x 的图象的交点个数是 ▲4、（南京市 2018 高三 9 月学情调研）若函数 f (x )＝A sin(ωx ＋ϕ)(A ＞0，ω＞0，|ϕ|＜π)的部分图象如图所示，则 f (－π)的值为▲ ．π 5π5 、（前黄高级中学、姜堰中学等五校 2018 高三上第一次学情监测）已知 α ∈ ( ,) ，且3 6π 3cos(α - ) = ，则 sin α 的值是▲．3 56、（苏锡常镇 2018 高三 3 月教学情况调研（一））设三角形 ABC 的内角 A ， B ， C 的对边分别为 3c - b= tan B b，则 cos A = ．7、（苏锡常镇 2018 高三 5 月调研（二模））已知函数 f ( x ) = sin(π x + ϕ)(0 < x < 2π ) 在 x = 2 时取 得最大值，则 ϕ =8、（苏锡常镇 2018 高三 5 月调研（二模））设△ ABC 的内角 A ， B ， C 的对边分别是 a ，b ，c 且tan A c ，则 =．5 tan B9、（苏州市 2018 高三上期初调研）将函数 y = sin (2x + ϕ )(0 < ϕ < π ) )的图象沿 x 轴向左平移 π8个单位，得到函数 y = f (x ) 的图象，若函数 y = f (x ) 的图象过原点，则 ϕ 的值是．10、 无锡市 2018 高三上期中考试）将函数 y = sin 2 x 的图象向右平移 ϕ (ϕ > 0) 个单位长度，若所⎝ 3 2 ⎭.（θ ⎡ π π ⎤ ，16、 镇江市 2018 届高三第一次模拟（期末）考试）函数 y = cos x - x tan x 的定义域为 ⎢-4 4 ⎥⎦， cos(α + β ) = - ．π 111、（徐州市 2018 高三上期中考试）函数 f ( x ) = 2sin( x + ) 的周期为▲3 412、（扬州、泰州、淮安、南通、徐州、宿迁、连云港市 2018 高三第三次调研）在△ ABC 中，若 sin A :sin B :sin C = 4:5:6 ，则 cosC 的值为 ▲13、 镇江市 2018 届高三第一次模拟（期末）考试）函数 y = 3sin(2x + π4) 图像两对称轴的距离为14 、（ 无 锡 市 2018 高 三 上 期 中 考 试 ） 已 知 sin 2 x + 2sin x cos x - 3cos 2 x = 0 ， 则cos2 x =.15 、（镇江市 2018 届高三第一次模拟（期末）考试）已知锐角 θ 满足 tan θ＝ 6 cos，则s in θ + c os θs in θ - c os θ=（ , ⎣其值域为二、解答题1、（2018 江苏高考）已知 α , β 为锐角， tan α = 4 355（1）求 cos2 α 的值；（2）求 tan(α - β ) 的值．2、（2018 江苏高考）某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆 O 的一段圆弧 MPN （P 为此圆弧的中点）和线段 MN 构成．已知圆 O 的半径为 40 米，点 P 到 MN 的距离为 50 米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD ，大棚Ⅱ内的地块形状为△CDP ，要求 A, B 均在线段 MN 上， C, D 均在圆弧上．设 OC 与 MN 所成的角为 θ ．（1）用 θ 分别表示矩形 ABCD 和 △CDP 的面积，并确定 sin θ 的取值范围；（2）若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为 4 ∶3 ．求当 θ 为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．，C = . cos B ＝ ．（1）若 c ＝2a ，求 的值；（2）若 C －B ＝ ，求 sin A 的值．点 O ，始边为 x 轴的正半轴，终边与单位圆 O 的交点分别为 P ，Q ．已知点 P 的横坐标为 ，点 Q 的纵坐标为 ．3、（2016 江苏高考）在 △ABC 中，AC =6， cos B = （1）求 AB 的长； 4 π 5 4（2）求 cos( A - π 6)的值.4、（南京市 2018 高三 9 月学情调研）在△ABC 中，内角 A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ，4 5sin Bsin Cπ45、（南京市 2018 高三第三次（5 月）模拟）在平面直角坐标系 xOy 中，锐角 α，β 的顶点为坐标原2 773 314（1）求 cos2α 的值；（2）求 2α－ β 的值.（ 3 时，求 ∠OPQ 的大小；（sin A = , tan (A - B ) = ，角 C 为钝角， b = 5.6、（前黄高级中学、姜堰中学等五校 2018 高三上第一次学情监测）已知 ∆ABC 的内角 A, B, C 所对 的边分别为 a, b , c ，已知 asinB + 3b cosA = 3c .（1）求角 B 的大小；（2）若 ∆ABC 的面积为 7 3 4, b = 43, a > c ，求 a, c .7、 苏锡常镇 2018 高三 3 月教学情况调研（一））如图，某景区内有一半圆形花圃，其直径 AB 为 6 ，O 是圆心，且 O C ⊥ AB .在 OC 上有一座观赏亭 Q ，其中 ∠AQC =π赏亭 P ，记 ∠POB = θ (0 < θ <2 ) .2π 3.计划在 BC 上再建一座观（1）当 θ =π（2）当 ∠OPQ 越大，游客在观赏亭 P 处的观赏效果越佳，求游客在观赏亭 P 处的观赏效果最佳时，角 θ 的正弦值.8、 苏锡常镇 2018 高三 5 月调研（二模） 在ABC 中，内角 A ， B ，C 的对边分别是 a ，b ，c ，设△ ABC 的面积为 S ，且 4S =3( a 2 + c 2 - b 2 ) .（1）求 ∠B 的大小；（2）设向量 m = (sin 2 A,3cos A) ， n = (3, -2cos A) ，求 m ⋅ n 的取值范围．9、（无锡市 2018 高三上期中考试） 在三角形 ABC 中，角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ，若 3 1 53（1）求 sin B 的值； （2）求边 c 的长.10、（无锡市 2018 高三上期中考试）在一块杂草地上有一条小路 AB,现在小路的一边围出一个三角形（如图）区域，在三角形 ABC 内种植花卉.已知 AB 长为 1 千米，设角 C = θ , AC 边长为 BC 边长的 a (a > 1)倍，三角形 ABC 的面积为 S （千米 2）.（1）试用 θ 和 a 表示 S ；（2）若恰好当θ=60时，S取得最大值，求a的值.11、（徐州市2018高三上期中考试）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a+2c=2b cosA．（1）求角B的大小；（2）若b=23，a+c=4，求△ABC的面积．12、（扬州、泰州、淮安、南通、徐州、宿迁、连云港市2018高三第三次调研）如图是函数πf(x)=A sin(ωx+ϕ)(A>0，ω>0，ϕ≤)在一个周期内的图象．已知2点P(-6，0)，Q(-2，-3)是图象上的最低点，R是图象上的最高点．（1）求函数f(x)的解析式；（2）记∠RPO=α，∠Q PO=β(α，β均为锐角)，求tan(2α+β)的值．13、（镇江市2018届高三第一次模拟（期末）考试）在∆ABC中，角A,B,C所对的边分别为a, b,c，若b cos A+a cos B=-2c cos C.（1）求C的大小；（2）若b=2a,且∆ABC的面积为23，求c.14、（苏北四市（徐州、淮安、连云港、宿迁）2017届高三上学期期末）在∆ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c．已知2cos A(b cos C+c cos B)=a．（1）求角A的值；（2）若cos B=35，求sin(B-C)的值．2，求函数f(x)的值域；411、612、13、14、0或15、3＋228516、[2－，1]1、解：（1）因为tanα=4，tanα=，所以sinα=cosα．15、（苏州市2017届高三上学期期中调研）已知函数f(x)=2sin(x+π（1）若0≤x≤π3)⋅c os x．（2）设∆ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，若A为锐角且f(A)=32，b=2，c=3，求cos(A-B)的值．16、（盐城市2017届高三上学期期中）设函数f(x)=A s in(ωx+ϕ)（A,ω,ϕ为常数，且A>0,ω>0,0<ϕ<π）的部分图象如图所示.（1）求A,ω,ϕ的值；3π（2）设θ为锐角，且f(θ)=-3，求f(θ-)的值.56参考答案一、填空题π4+331、-2、1.43、74、－15、6106、1π3ππ7、8、49、10、3241π42π24二、解答题sinα43cosα3因为sin2α+cos2α=1，所以cos2α=9 25，又因为cos(α+β)=-5，所以sin(α+β)=1-cos2(α+β)=，，所以tan2α==-，因此，tan(α-β)=tan[2α-(α+β)]==-．，θ∈（0，）．(θ(θ当θ∈（θ0，π(θ因此，cos2α=2cos2α-1=-7．25（2）因为α,β为锐角，所以α+β∈(0,π)．2555因此tan(α+β)=-2．因为tanα=42tanα2431-tan2α7tan2α-tan(α+β)21+tan2αtan(α+β)112、解：（1）连结PO并延长交MN于H，则PH⊥MN，所以OH=10．过O作OE⊥BC于E，则OE∥MN，所以∠COE=θ，故OE=40cosθ，EC=40sinθ，则矩形ABCD的面积为2×40cosθ（40sinθ+10）=800（4sinθcosθ+cosθ），△CDP的面积为1×2×40cosθ（40–40sinθ）=1600（cosθ–sinθcosθ）．2过N作GN⊥MN，分别交圆弧和OE的延长线于G和K，则GK=KN=10．令∠GOK=θ0，则sinθ=1π46当θ∈[θ0，π2）时，才能作出满足条件的矩形ABCD，所以sinθ的取值范围是[14，1）．答：矩形ABCD的面积为800（4sinθcosθ+cos△θ）平方米，CDP的面积为1600（cosθ–sinθcosθ），sinθ的取值范围是[1，1）．4（2）因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3，设甲的单位面积的年产值为4k，乙的单位面积的年产值为3k（k>0），则年总产值为4k×800（4sinθcosθ+cosθ）+3k×1600（cosθ–sinθcosθ）=8000k（sinθcosθ+cosθ），θ∈[θ，设f（θ）=sinθcosθ+cosθ，θ∈[θ0，π2π2）．），则f′)=cos2θ-sin2θ-sinθ=-(2sin2θ+sinθ-1)=-(2sinθ-1)(sinθ+1)．令f′)=0，得θ=π6，6）时，f′)>0，所以f（θ）为增函数；当 θ∈（ π ， ）时， f ′θ )<0 ，所以 f （θ）为减函数，在△ABC 中，因为 cos B ＝ ，所以 ＝ ． ………………………2 分( )2＋c 2－b 2 因为 c ＝2a ，所以 ＝ ，即 2＝ ， 2 所以 ＝ ．……………………………4 分sin C c所以 ＝ ．……………………………6 分因为 cos B ＝ ，B ∈(0，π)，所以 sin B ＝ 1－cos 2B ＝ ．………………………2 分π( 6 2因此，当 θ= π 6 时，f （θ）取到最大值．答：当 θ= π 6 时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大3、4、解：（1）解法 14a 2＋c 2－b 2 4 5 2ac 5c 2 4 b 2 9 c 5 c 20 2c ×b 3 5c 10sin B b又由正弦定理得 ＝ ，sin B 3 5sin C 10解法 24 35 5因为 c ＝2a ，由正弦定理得 sin C ＝2sin A ，所以 sin C ＝2sin(B ＋C )＝ cos C ＋ sin C ，又因为 sin 2C ＋cos 2C ＝1，sin C ＞0，解得 sin C ＝2 5 所以 ＝ ．………………………6 分 （2）因为 cos B ＝ ，所以 cos2B ＝2cos 2B －1＝ ．…………………………8 分又 0＜B ＜π，所以 sin B ＝ 1－cos 2B ＝ ，所以 sin2B ＝2sin B cos B ＝2× × ＝ ．…………………………10 分因为 C －B ＝ ，即 C ＝B ＋ ，所以 A ＝π－(B ＋C )＝ －2B ，所以 sin A ＝sin( －2B )＝sin cos2B －cos sin2B………………………………12 分× －(－ )×． …………………………………14 分（6 85 5即－sin C ＝2cos C ．………………………4 分5，sin B 3 5sin C 104 75 25353 4 245 5 25π π 3π4 4 43π43π 3π4 4＝ 27 2 24 2 25 2 25＝31 2502 75、解： 1）因为点 P 的横坐标为 7 ，P 在单位圆上，α 为锐角，2 7所以 cos α＝ 7 ，………………………2 分1 所以cos2α＝2cos 2α－1＝7．……………………………4 分3 3 3 3（2）因为点 Q 的纵坐标为 14 ，所以 sin β＝ 14 ．………………………6 分13又因为 β 为锐角，所以 cos β＝14．……………………………8 分2 7 21因为 cos α＝ 7 ，且 α 为锐角，所以 sin α＝ 7 ，4 3 因此 sin2α＝2sin αcos α＝ 7 ，………………………10 分所以 sin(2α－β) ＝4 3 13 1 3 3 37 ×14－7× 14 ＝ 2 ． …………………12 分因为 α 为锐角，所以 0＜2α＜π．π又 cos2α＞0，所以 0＜2α＜2，π π π 又 β 为锐角，所以－2＜2α－β＜2，所以 2α－β＝3．…………………14 分ac=，即ac=7，(43)=(a+c)-2ac-ac，2（2-θ=由正弦定理得OQπ，所以2-θ=由正弦定理得OQ=6、【解】（1）由已知asinB+3b cosA=3sinC,结合正弦定理得sinAsinB+3sinBcosA=3sinC，所以sinAsinB+3sinBcosA=3sin(A+B)=3(sinAcosB+sinBcosA)，即sinAsinB=3sinAcosB，即tanB=3，因为B∈(0,π)，所以B=π3.………………7分（2）由S∆ABC =1πacsinB,B=，得2337344又b2=(a+c)2-2ac-2accosB，得2所以{ac=7a=7，又a>c,∴{.………………14分a+c=8c=17、解：1）设∠OPQ=α，由题，Rt∆OAQ中，OA=3，∠AQO=π-∠AQC=π-2ππ=，33所以OQ=3，在∆OPQ中，OP=3，∠POQ=ππ2-π3=π6，OP=，sin∠OPQ sin∠OQP即3sinα=3π5π3sinα=sin(π-α-)=sin(-α)，sin(π-α-)666则3sinα=sin 5π5π13cosα-cos sinα=cosα+6622sinα，所以3sinα=cosα，3π因为α为锐角，所以cosα≠0，所以tanα=，得α=；36（2）设∠OPQ=α，在∆OPQ中，OP=3，∠POQ=ππ2-π3=π6，OP33=，即，sin∠OPQ sin∠OQP sinαπsin(π-α-(-θ))2ππ所以3sinα=sin(π-α-(-θ))=sin(-(α-θ))=cos(α-θ)=cosαcosθ+sinαsinθ，22从而(3-sinθ)sinα=cosαcosθ，其中3-sinθ≠0，cosα≠0，记 f (θ ) = cos θ 2所以 tan α =cos θ 3 - sin θ ，1 - 3 sin θ π ， f '(θ ) = ，θ ∈ (0, ) ； 3 - sin θ( 3 - sin θ )2 2令 f '(θ ) = 0 ， sin θ = 3 3π 3 ，存在唯一θ ∈ (0, ) 使得 sin θ = ， 0 0 3 当 θ ∈ (0,θ ) 时 f '(θ ) > 0 ， f (θ ) 单调增，当θ ∈ (θ , 0 0 所以当 θ = θ 时， f (θ ) 最大，即 tan ∠OPQ 最大， 0π2 ) 时 f '(θ ) < 0 ， f (θ ) 单调减，又 ∠OPQ 为锐角，从而 ∠OPQ 最大，此时 sin θ = 3 3.答：观赏效果达到最佳时，θ 的正弦值为8、3 3.9、10、ac sin B=2⨯4⨯11、（1）因为a+2c=2b cosA，由正弦定理，得sinA+2sin C=2sinBcosA．···························································2分因为C=π-(A+B)，所以sinA+2sin(A+B)=2sinBcosA．即sinA+2sin AcosB+2cos Asin B=2sinBcosA，所以sinA⋅(1+2cosB)=0．····························································································4分1因为sinA≠0，所以cosB=-．················································································6分2又因为0<B<π，所以B=2π3．···················································································································7分（2）由余弦定理a2+c2-2ac cos B=b2及b=23得，a2+c2+ac=12，即(a+c)2-ac=12．··································································································10分又因为a+c=4，所以ac=4，···············································································································12分所以S 113△ABC =22=3．·································································14分12、sin A sin B sin C所以 cos C ＝－ ，(6 分) 所以 ab sin C ＝2 3.(8 分) 13、解析：(1) 由正弦定理 a 所以 C ＝2π .(7 分)b c ＝ ＝ ， 且 b cos A ＋a cos B ＝－2c cos C 得(2 分)sin B cos A ＋sin A cos B ＝－2sin C cos C ，所以 sin (B ＋A)＝－2sin C cos C.(3 分)因为 A ，B ，C 为三角形的内角，所以 B ＋A ＝π －C ，所以 sin C ＝－2sin C cos C.(4 分)因为 C ∈(0，π )，所以 sin C>0.(5 分)1 23(2) 因为△ABC 的面积为 2 3， 1 2由(1)知 C ＝2π ，所以 sin C ＝ ，所以 ab ＝8.(9 分) 所以 c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝22＋42－2×2×4×⎝－2⎭＝28，(13 分) 由 0 ≤ x ≤ 得， ≤ 2x + ≤ ， - ≤ sin(2 x + ) ≤1 ， ．．．．．．．．．4 分 ，即函数 f ( x ) 的值域为 [0,1 + ∴ 0 ≤ sin(2 x + ) + ≤1 + ] ． ．．．．．6 分 3 3 2因为 b ＝2a ，所以 a ＝2，b ＝4，(11 分)⎛ 1⎫所以 c ＝2 7.(14 分)14、（1）由正弦定理可知， 2cos A(sin B cos C + sin C cos B) = sin A ， ………………2 分即 2cos Asin A = sin A ，因为 A ∈ (0, π) ，所以 sin A ≠ 0 ，所以 2cos A = 1 ，即 cos A = 1 2， ………………………………………………4 分 又 A ∈ (0, π) ，所以 A = π 3． ……………………………………………………6 分 （2）因为 cos B = 3 4 ， B ∈ (0, π) ，所以 sin B = 1 - cos 2 B = ，…………………8 分 5 5 24 7 所以 sin 2B = 2sin B cos B = ， cos2 B = 1 - 2sin 2 B = - ， ……………10 分 25 25 2π 2π 所以 sin(B - C) = sin[B - ( - B)] = sin(2B - ) 3 3 2π 2π = sin 2B cos - cos2 B s in 3 324 1 7 3 =- ⨯ - (- ) ⨯ 25 2 25 2………………………………12 分 = 7 3 - 24 50．…………………………………………………14 分 15、解：（1） f ( x ) = (sin x + 3 cos x)cos x = sin x cos x + 3 cos 2 x 1 3 3 π 3 = sin 2 x + cos2 x + = sin(2 x + ) + 2 2 2 3 2． ．．．．．．．．．2 分 π π π 4π 2 3 3 33 π 2 3π 3 3 3 3 2 2 2π 3 3 π （2）由 f ( A ) = sin(2 A + ) + = 得 sin(2 A + ) = 0 ， 3 2 2 3π π π 4π π π 又由 0 < A < ，∴ < 2 A + < ，∴ 2 A + = π ， A = ． ．．．．．．．．8 分 2 3 3 3 3 3在 ∆ABC 中，由余弦定理 a 2 = b 2 + c 2 - 2bc cos A =7 ，得 a = 7 ． ．．．．．．．10 分 由正弦定理 a b = sin A sin B，得 sin B = b s in A 21 = a 7 ， ．．．．．．12 分 2 7 ∵ b < a ，∴ B < A ，∴ cos B = ， 71 2 7 3 21 5 7 ∴ cos( A - B) = cos A c os B + sin Asin B = ⨯ + ⨯ = 2 7 2 7 14． ．．．．15 分= 2 ， ……………4分⎪ = π ，∴ω = 由 f = - 3 ，得 2 ⎪ ⎝ 12 ⎭ ⎝ 12 ⎭ θ ∈ (0, ) ，∴ 2θ + ∈ , ⎪ ，又 sin(2θ + ) < 0 ，所以 2θ + ∈ π , ⎪ ， ∴ f (θ - ) = 3 sin 2θ = 3 sin ⎢(2θ + ) - = 3 ⎢sin(2θ + )cos - cos(2θ + )sin = 3 - ⨯ + ⨯ 10 . ……………14分 2 ⎪⎭ 5 2 5 π ⎛ π 4π ⎫ 3 ⎝ 3 3 ⎭ ⎦⎦16、解：（1）由图像，得 A = 3 , ……………2分最小正周期 T = 4 ⎛ 7π π ⎫ 2π + 3 ⎝ 12 6 ⎭ T ∴ f ( x ) = 3 sin(2 x + ϕ ) ， ⎛ 7π ⎫ ⎛ 7π ⎫ ⎪ π + ϕ = - + 2k π ， k ∈ Z ， 2 5π π ∴ϕ = - + 2k π ， k ∈ Z ， 0 < ϕ < π ，∴ϕ = . ……………7分 3 3π 3 π 3 （2）由 f (θ ) = 3 sin(2θ + ) = - 3 ，得 sin(2θ + ) = - ， 3 5 3 5π π π ⎛ 4π ⎫ 2 3 3 ⎝ 3 ⎭π π 4 ∴ c os(2θ + ) = - 1 - sin 2(2θ + ) = - ， ……………10分 3 3 5π ⎡ π π ⎤ 6 ⎣3 3 ⎥ ⎡ π π π π ⎤ ⎣ 3 3 3 3 ⎥⎛ 3 1 4 3 ⎫ 12 - 3 3 = ⎝。
2024年高考数学总复习第四章三角函数与解三角形真题分类18解三角形
(1)求∠A；
(2)求 AC 边上的高． 解：(1)在△ ABC 中，因为 cos B＝－17 ，
所以 sin B＝ 1－cos2B ＝473 .
由正弦定理，得
sinA＝a
sin b
B
＝
3 2
.
由题设知π2 <∠B<π，所以 0<∠A<π2 .
所以∠A＝π3 .
第12页
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真题分类18 解三角形
＝sin [π－(∠C＋∠BDC)]
＝sin (∠C＋∠BDC)
＝sin ∠C·cos ∠BDC＋cos ∠C·sin ∠BDC
＝45
×
2 2
＋35
×
2 2
＝7102
.
第8页
高考·数学
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真题分类18 解三角形
高考·数学
4.(2016·课标全国Ⅱ，13,5分)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A＝
又 A，B，C 为锐角，则 sin A≠0.
故
sin
B＝
3 2
，所以 B＝π3
.
第10页
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真题分类18 解三角形
高考·数学
(2)由 A＋B＋C＝π，得 C＝23π －A，
由△ ABC 是锐角三角形，得 A∈(π6 ，π2 ).
由
cos
C＝cos
2π (3
－A)＝－12
cos A＋
3 2
sin A，得
cos
A＋cos
B＋cos
C＝
3 2
sin A＋12
cos A＋12
＝sin (A＋π6
高三数学总复习专题3函数(答案及解析)
高三数学总复习--函数专题练习方法点拨函数是高考的必考内容，考查的题型主要有函数性质、函数图象、零点问题、指数幂的大小比较，与生活实际相关或函数文化结合的题．（1）函数性质的考查主要为奇偶性、单调性、对称性、周期性的综合考查，要求学生熟悉一些相关结论的由来与应用，例如由()()=f a x f a xf x关于x a+=-得到()对称．（2）对于函数图象的题型，我们一般优先考虑函数的奇偶性，或结合函数的平移、伸缩变换考虑函数的对称性，然后再考虑自变量取某些特殊值时，对应的函数值的一些特点，比如函数值的正负，最后考虑函数的单调性．（3）函数的零点问题一般可以转化成函数方程的根、函数图象与x轴的交点个数、函数图象与某条水平线的交点个数问题、函数图象与某条斜直线的交点问题，或两条曲线的交点个数问题等．（4）与生活实际相关或函数文化结合的题一般相对简单，要求学生耐心理解题目意思，知道题中每个量，每个公式所具有的意义．典型试题汇编一、选择题．1．（江西省南昌市2021届高三一模）如图所示某加油站地下圆柱体储油罐示意图，已知储油罐长度为d，截面半径为r（,d r为常量），油面高度为h，油面宽度为w，储油量为v（,,h w v为变量），则下列说法：①w是v的函数②v是w的函数③h是w的函数④w是h的函数其中正确的个数是（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．（河南省联考2021-2022学年高三一模）已知函数()34log ,042,03xx x f x x +>⎧⎪=⎨-≤⎪⎩，则14log 9f f ⎡⎤⎛⎫=⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦（ ）A ．1B ．2C ．3D ．43．（贵州省遵义市2021届高三一模）已知函数22,02()2(2),2x x x f x f x x ⎧-≤<=⎨-≥⎩，则(9)f =（ ） A ．16B ．8C ．8-D ．16-4．（福建省龙岩市2021届高三一模）定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x +=，当[]0,1x ∈时，()1,0211,112xe a b xf x bx x x ⎧++≤≤⎪⎪=⎨-⎪<≤⎪+⎩（e 为自然对数的底数），则a b -的值为（ ） A ．3- B ．2- C ．1- D ．05．（四川省资阳市2020-2021学年高三一模）定义在R 上的偶函数()f x 满足()2f x +=()2021f =（ ）A ．3-或4B ．4-或3C ．3D ．46．（广东省佛山市顺德区2022届高三一模数学试题）已知函数())1ln f x x x=+， 则函数()f x 的大致图象为（ ）A ．B ．C ．D ．7．（四川省南充市2021-2022学年高三一模）函数()()ln x x f x e e x -=+的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．8．（四川省资阳市2021-2022学年高三一模）函数sin 4xx xy e+=的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．9．（安徽省池州市2021届高三一模）设函数()f x 满足对x ∀∈R ，都有()()4f x f x -=，且在()2,+∞上单调递增，()40f =，()4g x x =，则函数()()2y f x g x =+的大致图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．10．（江苏省连云港市灌云县第一中学2021-2022学年高三一模）我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征．我们从这个商标中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是（ ）A ．1()|1|f x x =- B ．1()1f x x =- C ．21()1f x x =- D ．21()1f x x =+ 11．（四川省南充市2021-2022学年高三一模）农业农村部于2021年2月3日发布信息：全国按照主动预防、内外结合、分类施策、有效处置的总体要求，全面排查蝗灾隐患．为了做好蝗虫防控工作，完善应急预案演练，专家假设蝗虫的日增长率为6%，最初有0N 只，则大约经过（ ）天能达到最初的1800倍．（参考数据：ln1.060.0583≈，ln1.60.4700≈，ln18007.4955≈，ln80008.9872≈．） A ．129B ．150C ．197D ．19912．（广西柳州市2022届高三11月第一次模拟）5G 技术的数学原理之一是著名的香农公式：2log 1S C W N ⎛⎫=+⎪⎝⎭它表示：在受高斯白噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C 取决于信道带宽W ﹒信道内所传信号的平均功率S ，信道内部的高斯噪声功率N 的大小．其中SN叫做信噪比，按照香农公式，在不改变W 的情况下，将信噪比卡SN从1999提升至λ，使得C 大约增加了20%，则入的值约为（ ）(参考数据lg 20.3≈，396109120≈．) A ．9121 B ．9119 C ．9919 D ．1099913．（四川省达州市2021-2022学年高三一模）天文学中，用视星等表示观测者用肉眼所看到的星体亮度，用绝对星等反映星体的真实亮度．星体的视星等m ，绝对星等M ，距地球的距离d 有关系式05lg d M m d=+（0d 为常数）．若甲星体视星等为1.25，绝对星等为 6.93-，距地球距离1d ；乙星体视星等为1.15，绝对星等为1.72，距地球距离2d ，则12d d =（ ） A ． 1.7510B ． 1.7210C ． 1.6510D ． 1.621014．（江苏省苏州市八校2020-2021学年高三一模）若函数()f x 满足：对定义域内任意的()1212,x x x x ≠，有()()121222x x f x f x f +⎛⎫+> ⎪⎝⎭，则称函数()f x 具有H 性质．则下列函数中不具有H 性质的是（ ）A ．()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．()ln f x x =C ．()()20f x x x =≥D ．()tan 02f x x x π⎛⎫=≤< ⎪⎝⎭15．（四川省资阳市高中2021-2022学年高三一模）设3log πa =，2b =，1ln 24c =， 则a ，b ，c 大小关系为（ ） A ．c a b >>B ．c b a >>C ．a b c >>D ．b a c >>16．（2020山东一模）已知定义在R 上的函数()2x f x x =⋅，(3log a f =，31log 2b f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()ln3c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．c b a >>B ．b c a >>C ．a b c >>D ．c a b >>17．（湖北省武汉市部分学校2020届高三一模）已知π4ln3a =，π3ln 4b =，34ln πc =， 则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．c b a <<B ．b c a <<C ．b a c <<D ．a b c <<18．（天津市河北区2020-2021学年高三一模）设0.212a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，121log 3b =，0.32c -=，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c b a >>D ．b a c >>19．（江西省赣州市2021届高三一模）设函数3()sin x x f x a a b x c -=-++（0a >且1a ≠）．若()1f t -=，()3f t =，则c =（ ） A ．1B ．2C ．3D ．420．（江苏省2021年对口高考单招一模）若函数(),0()(2),0x x b x f x ax x x -≥⎧=⎨+<⎩，（a ，b ∈R ）为奇函数，则()f a b +的值为（ ） A ．2-B ．1-C ．1D ．421．（四川省资阳市2021-2022学年高三一模）已知函数()x f x xe =，则满足不等式()22f a a e -<的实数a 的取值范围是（ ）A ．1,22⎛⎫- ⎪⎝⎭ B ．1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭ C ．11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．()1,2-22．（多选）（广东省普宁市勤建学校2021届高三一模）定义在R 上的函数()f x 满足()()()f x y f x f y +=+，()2()f x f x +=-且()f x 在[]1,0-上是增函数，给出下列真命题的有（ ） A ．()f x 是周期函数 B ．()f x 的图象关于直线2x =对称 C ．()f x 在[]1,2上是减函数D ．()()20f f =23．（辽宁省鞍山市第一中学2018届高三上一模）指数函数()xf x a =（0a >，且1a ≠）在R上是减函数，则函数22()a g x x -=在其定义域上的单调性为（ ） A ．单调递增B ．单调递减C ．在(0,)+∞上递增，在(,0)-∞上递减D ．在(0,)+∞上递减，在(,0)-∞上递增24．（山东省烟台市2021届高三一模）已知()f x 是定义在R 上的奇函数，()()2f x f x -=，当[]0,1x ∈时，()3f x x =，则（ ） A ．()20210f =B ．2是()f x 的一个周期C ．当()1,3x ∈时，()()31f x x =-D ．()0f x >的解集为()()4,42k k k +∈Z25．（山东省青岛胶州市2019-2020一模）已知函数()f x 的定义域为R ，且(1)f x +是偶函数，(1)f x -是奇函数，()f x 在[1,1]-上单调递增，则（ ） A ．(0)(2020)(2019)f f f >> B ．(0)(2019)(2020)f f f >> C ．(2020)(2019)(0)f f f >>D ．(2020)(0)(2019)f f f >>26．（吉林省长春市2022届高三一模）设函数()f x 的定义域为R ，且(21)f x -是偶函数，(1)f x +是奇函数，则下列说法一定正确的有（ ）①(8)()f x f x -=；②(1)(1)f x f x +=--；③(3)0f -=；④(2)(2)f x f x +=-． A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个27．（四川省南充市2021-2022学年高三一模）设函数()f x 的定义域为R ，()1f x -为奇函数，()1f x +为偶函数，当[]1,3x ∈时，()f x kx m =+，若()()032f f -=-，则()2022f =（ ） A ．2-B ．0C ．2D ．428．（陕西省渭南市临渭区2021届高三一模）函数()()1ln 3x xf x x -=-的零点有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个29．（多选）（2021届高三下学期一模）若直线2y a =与函数1x y a =-（0a >，且1a ≠）的图象有两个公共点，则a 的取值可以是（ ） A ．14B ．13C ．12D ．230．（四川省成都市2020-2021学年高三一模）若函数()323f x x x a =-+有且仅有一个零点，则实数a 的取值范围为（ ） A ．()(),04,-∞+∞ B ．()(),80,-∞-+∞ C ．[]0,4D ．()8,0-31．（安徽省合肥市2020-2021学年高三一模）设函数()21log ,020x x f x x ⎧⎛⎫+>⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪≤⎩．若 14,2x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，方程()1f x k +=有唯一解，则实数k 的取值范围为（ ）A．(B．⎡⎣C ．()0,2D ．[)1,232．（四川省成都市新都区2021-2022学年高三一模）已知函数2()log f x x =，函数()g x满足以下三点条件：①定义域为R ；②对任意x ∈R ，有(π)2()g x g x +=；③当[0,π]x ∈时，()sin g x x =．则函数()()y f x g x =-在区间[0,4π]上的零点个数为（ ） A ．5B ．6C ．7D ．833．（2020届浙江省金华十校高三一模）已知函数()21,0ln ,0ax x f x x x ⎧+≤=⎨>⎩，下列关于函数()()0f f x m +=的零点个数的判断，正确的是（ ） A ．当0a =，m ∈R 时，有且只有1个 B ．当0a >，1m ≤-时，都有3个C ．当0a <，1m <-时，都有4个D ．当0a <，10m -<<时，都有4个34．（山东省实验中学2021届高三一模）已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，12log (1),01()13,1x x f x x x +≤<⎧⎪=⎨--≥⎪⎩，则关于的函数()()()01F x f x a a =-<<的所有零点之和为（ ） A ．21a -B ．21a --C ．12a -D ．12a --35．（安徽省滁州市定远中学2019-2020学年一模）已知函数()()21,043,0x e x f x x x x +⎧≤⎪=⎨+->⎪⎩，函数()y f x a =-有四个不同的零点，从小到大依次为1x ，2x ，3x ，4x ，则1234x x x x -++的取值范围为（ ） A ．[)3,3e + B ．()3,3e + C ．()3,+∞ D ．(]3,3e +二、填空题．36．（江苏省2021年对口高考单招一模数学）在平面直角坐标系中，函数()12x f x a +=+（0a >且1a ≠）的图象恒过定点P ，若角θ的终边过点P ，则sin 2θ=________．参考答案一、选择题．1-21：BDDADBCABBABABDDBDBBB 22．【答案】ACD(4)(2)()f x f x f x +=-+=，所以()f x 是周期函数，4是它的一个周期，A 正确； (2)(2)(2)f x f x f x +=-+=--，函数图象关于点(2,0)对称，B 错； (1)(1)(1)f x f x f x +=--+=-，函数图象关于直线1x =对称，又()f x 在[1,0]-上递增，因此()f x 在[0,1]上递增，所以()f x 在[]1,2上是减函数，C 正确；(2)(0)0f f =-=，D 正确，故选ACD ． 23．【答案】C【解析】结合指数函数的性质可知：01a <<， 函数()g x 的导函数：()()322'a g x x--=， 当(),0x ∈-∞时，()'0g x <，函数()g x 单调递减； 当()0,x ∈+∞时，()'0g x >，函数()g x 单调递增， 本题选择C 选项． 24．【答案】D【解析】因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()()()2f x f x f x -==--， 所以()()2f x f x +=-，所以()()()42f x f x f x +=-+=，所以()f x 的最小正周期是4，故B 错误；()()202111f f ==，故A 错误；因为当[]0,1x ∈时，()3f x x =，()f x 是定义在R 上的奇函数， 所以当[]1,1x ∈-时，()3f x x =，当()1,3x ∈时，()21,1x -∈-，()()()322f x f x x =-=-，故C 错误； 因为当()0,2x ∈时，()0f x >，()f x 的最小正周期是4， 所以()0f x >的解集为()()4,42k k k +∈Z ，故D 正确， 故选D ． 25．【答案】B【解析】(1)f x +是偶函数，得()(1)1f x f x +=-+，即()()2f x f x =-+，(1)f x -是奇函数，得()(1)1f x f x -=---，即()()2f x f x =---，()(2)2f x f x ---=-+，得8T =，由(1)f x -是奇函数，得()(01)10f f -=-=， 因为()f x 在[1,1]-上单调递增，所以(0)0f >，()()()2019310f f f ==-=，()()()2020400f f f ==-<，所以(0)(2019)(2020)f f f >>，故选B ． 26．【答案】B【解析】由题意，函数(1)f x +是奇函数，可得()f x 的图象关于点(1,0)对称， 所以(1)(1)0f x f x ++-=，所以②正确； 令0x =，则(1)0f =，又由(21)f x -是偶函数，所以()2f x 的图象关于12x =-对称， 所以()f x 的图象关于1x =-对称，则有(1)(1)f x f x --=-+， 令2x =，则(3)(1)0f f -==，所以③正确；在(1)(1)f x f x --=-+中，将x 用7x -替换，则(8)(6)f x f x -=-， 在(1)(1)f x f x +=--中，将x 用5x -替换，则(6)(4)f x f x -=--， 所以(8)(4)f x f x -=--，再将x 用4x +替换，则(4)()f x f x -=-， 所以(8)()f x f x -=，所以①正确；对于④中，由(2)(),(2)()f x f x f x f x -=-+=--，无法推出其一定相等， 故选B ． 27．【答案】C【解析】因为()1f x -为奇函数，所以()1(1)f x f x --=--①； 又()1f x +为偶函数，所以()1(1)f x f x -+=+②； 令1x =，由②得：())0(22f f k m ==+，又()33f k m =+，所以()()032(3)2f f k m k m k -=+-+=-=-，得2k =， 令0x =，由①得()()1(1)10f f f -=--⇒-=；令2x =，由②得()1(3)0f f -==，所以()6330f k m m =+=⇒=-， 得[]1,3x ∈时，()26f x x =-，结合①②得，()2(2)(4)()(8)(4)()f x f x f x f x f x f x f x +=--⇒+=-⇒+=-+=， 所以函数()f x 的周期为8T =，所以()()()()()202225286622262f f f f =⨯+==-=-⨯-=，故选C ． 28．【答案】B【解析】由题意知函数()()1ln 3x x f x x -=-的定义域为()()0,33,+∞，由()()1ln 03x x f x x -==-，得()1ln 0x x -=，所以1x =，所以函数()()1ln 3x x f x x -=-的零点有1个，故选B ．29．【答案】AB【解析】（1）当1a >时，由题得021a <<，102a ∴<<， 因为1a >，所以此种情况不存在；（2）当01a <<时，由题得021a <<，102a ∴<<， 因为01a <<，所以102a <<，故选AB ． 30．【答案】A【解析】由题意知：2()36f x x x '=-，∴()0f x '>时，2360x x ->，得0x <或2x >；()0f x '<时，2360x x -<，得02x <<， ∴()f x 在(,0)-∞上递增，(0,2)上递减，(2,)+∞上递增，当0x =时，有极大值(0)f a =；当2x =时，有极小值(2)4f a =-， ∴只有当(0)0f a =<或(2)40f a =->时，函数()f x 有且仅有一个零点， ∴0a <或4a >，故选A ． 31．【答案】B【解析】因为函数()21log ,02,0x x f x x x ⎧⎛⎫+>⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪-≤⎩，所以23log (),12(1)1x x f x x ⎧+>-⎪+=⎨⎪≤-⎩， 若14,2x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，作出()1f x +的图象，结合图象可知方程()1f x k +=有唯一解，则1k ≤< 故选B ． 32．【答案】A【解析】因为函数2()log f x x =的定义域为()0,∞+， 所以()()y f x g x =-在(],0-∞无零点；∵()()π2g x g x +=，故将()[],0,πy g x x =∈的图象向右平移π个单位后，图象纵向伸长为原来的两倍，∴在平面直角坐标系，()f x 的图象以及()g x 在[]0,4π上如图所示：又2223π5π7πlog 2,log 4,log 8222><<， 故()f x 、()g x 在(]0,4π上的图象共有5个不同交点，故选A ． 33．【答案】B【解析】令()t f x =，则()0f t m +=，当0a =时，若1m =-，则0t ≤或t e =，即01x <≤或e x e =， 即当0a =，m ∈R 时，不是有且只有1个零点，故A 错误；当0a >时，1m ≤-时，可得0t ≤或m t e e -=≥，可得x 的个数为123+=个，即B 正确； 当0a <，1m <-或10m -<<时，由0m ->，且1m -≠，可得零点的个数为1个或3个，故C ，D 错误， 故选B ．34．【答案】C【解析】∵0x ≥时，()()[)[)12log 1,0,113,1,x x f x x x ⎧+∈⎪=⎨⎪--∈+∞⎩，即[)0,1x ∈时，()()(]12log 11,0x f x +=∈-；[]1,3x ∈时，()[]21,1x x f -∈-=； ()3,x ∈+∞时，()()4,1f x x =-∈-∞，画出0x ≥时，()y f x =的图象，再利用奇函数的对称性，画出0x <时，()y f x =的图象，如图所示：直线y a =与()y f x =共有5个交点，则方程()0f x a -=共有五个实根， 最左边两根之和为6-，最右边两根之和为6， ∵[)0,1x ∈时，()0,1x -∈，∴()()12log 1f x x -=-+，又()()f x f x -=-，∴()()()()111222log 1log 1log 1x x x f x ---+===--，∴中间的一个根满足()2log 1x a -=，即12a x -=，得12a x =-， ∴所有根的和为12a -，故选C ． 35．【答案】D【解析】当0x ≤时，2(1)()2(1)x f x x e +'=+，()010f x x '>⇒-<≤；()01f x x '<⇒<-，则函数()f x 在(,1)-∞-上单调递减，在(]1,0-上单调递增，且0(1)1,(0)f e f e -===，当0x >时，22244()1x f x x x-'=-=，()02f x x '>⇒>；()002f x x '<⇒<<，则函数()f x 在(0,2)上单调递减，在()2,+∞上单调递增，4(2)2312f =+-=，函数()y f x a =-有四个不同的零点，即两函数()y f x =与y a =图象有四个不同的交点， 如下图所示：由图可知，1a e <≤，12,x x 是方程2(1)x e a +=的两根，即221ln 0x x a ++-=的两根，所以(]12ln 11,0x x a -=-∈-，34,x x 是方程43x a x+-=的两根，即2(3)40x a x -++=的两根， 所以343(4,3]x x a e +=+∈+，(]12343,3x x x x e ∴-++∈+， 故选D ． 二、填空题． 36．【答案】35-【解析】由题意，函数()12x f x a +=+，令10x +=，可得1x =-，此时()13f -=，即函数()f x 恒过定点()1,3P -，则r OP ==，根据三角函数的定义，可得sinθ=，cos θ=， 所以3sin 22sin cos 5θθθ==-， 故答案为35-．。
三角函数定义及诱导公式复习题
试卷第1页，总2页绝密★启用前2017-2018学年度???学校3月月考卷试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：100分钟；命题人：xxx注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、单选题1．某扇形的圆心角为60，所在圆的半径为6，则它的面积是（ ） A. 6π B. 3π C. 12π D. 9π 2．已知cos θ的终边过点()4-3，，则()cos πθ-=A. 45B. 4-5C. 35D. 3-5 3．sin210︒的值为（ ）A.12 B. C. 12- D. 4．00tan300sin450+的值为（ ）A. 1B. 1C. 1-D. 1-5．若3sin cos 10θθ=，则sin cos sin cos θθθθ+=- （ ） A. 2- B. 2 C. 2± D. 346．已知()sin 0.6πα-=， α 是第二象限角，则tan α=A.34 B. 34- C. 43 D. 43- 7．已知sin 65πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭cos 3πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ） A. B. C. D.试卷第2页，总2页第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、解答题8．在ABC 中， sin cos A A +=，求tan A 的值. 9．已知sin α=，且α是第一象限角。
（1）求cos α的值。
（2）求()()3sin 2tan cos πααππα⎛⎫- ⎪⎝⎭++-的值。
10．（1）化简：()()()()3tan cos 2sin 2cos sin ππαπαααππα⎛⎫---+⎪⎝⎭----；（2）已知1sin 35πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求5cos 6πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.11．已知，且. 求值：（1）. （2）.三、填空题12．已知角β的终边在直线y =上，且180180β-︒≤≤︒，则β=__________．13．已知角的终边经过点，则___________.14．平面直角坐标系中，角α的顶点在原点，始边与x 轴非负半轴重合，始边过点()5,12P --，则cos α=__________．15．若，则=_________．16．若1sin 33πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则7cos 6πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭__________．。
2017-2018学年高中数学专题03破译三角函数图像变换问题特色专题训练新人教A版必修4
12专题03破译三角函数图像变换问题、单选题1.【湖北省咸宁市2018届高三重点高中11月联考】若函数f x =cos2x ， g x ]=sin j 2x -石【答案】【解析】/(+COS 2JC :+sin I 2x —— =cos2x4JT曲线 严 列乂）向左平移壬个单位长度后的解折式为:6本题选择E 选项.2•【山西省芮城中学 2018届高三期中】函数 f （x ） = Asin （G0x + W ）（其中A A O ，申 <:丄）的图象过点2,0 ,—, -1，如图所示，为了得到 g x ；=cos2x 的图象，则只要将 f x 的图象（）312曲线B .曲线y 二g x 向左平移 C .曲线 y = f x 向右平移 D .曲线 丄个单位长度后得到曲线6■JT个单位长度后得到曲线6—个单位长度后得到曲线12—个单位长度后得到曲线126丿即/(x )+^(x) =A. 向右平移二个单位长度6B. 向右平移个单位长度1233【答案】D+ 卩= --- 2A H (A:E Z) — +2lac(k e Z) 23It和八、 .K-(P — — > J (x) = SID I 2x4-—C.向左平移'个单位长度 6D.向左平移个单位长度12【解析】12 3TSJD3it71 1C — cos2x — sin 2无+—2 3二肚2 "12点睛：已知函数 y=Asi nicx 」‘LB （A -0,八＞0）的图象求解析式 (1)y max — y min y max yminA, B =一 2由函数的周期T 求co ,T = 利用“五点法”中相对应的特殊点求:.【广东省执信中学 2017-2018学年高二上学期期中】将函数 y=Sin j 2x ' 的图象向右平移 一个单位2长度，所得图象对应的函数■: 7 二■: 7 二A 在区间［,］上单调递减B 在区间［,］上单调递增12 12 12 12J ［ JEJ ［ J ［C.在区间^-,-］上单调递减D在区间［wy 上单调递增【答案】B兀【解析】将函数向右平移个单位长度得:((y =sin 2 x 一一J T(二 sin I 2x- 3 ，所以当7 2 二二二时，2x ，—12 3IL 2 24 •【陕西省西安市长安区2018届高三上学期质量检测】把函数.的图象上个点的横坐标缩短到原61 TI来的（纵坐标不变），再将图象向右平移个单位，那么所得图象的一个对称中心为23A B.c D (%)4【答案】D【解析】根据题意函数尸血时勺）的图象上个点的横坐标缩短到原来的k纵坐标不知，可得厂血伍昇6 2I创再将團象向右平移*单位，可得：V J sin|2 （x）+ -] = sin —）- ~cos2x^3 3 6 22K ■- + kn*2可得：x«- + -kn, kE疋"4 2当k・0时，可得对称中点为（：0）.4故选ZZf x二cosi2x • 的图象，只需将函数I 6丿g x 二sin2x 的图象（）A向左平移一个单位6C. 向左平移二个单位3【答案】A B向右平移一个单位6D向右平移少个单位3，所以函数单调递增，故选 B.125.【山东省莱芜市2018届高三上学期期中】要得到函数f x i = sin 「x ■ ' （其中）的图象如图2所示，为了得到 y 二cos 「x 的图象，只需把 y 二f x 的图象上所有点（）【解析】g x 二 sin2x =cos所以向左平移n 二26 个单位，选A2 66 •【辽宁省沈阳市交联体2018届高三上学期期中】函数C.向左平移二个单位长度6【答案】AT 7 7T更jr 【解析】根据函数的^m-=—4 122九"所以：T^JL9<D=——=2>当沪彳时，函数fyr jr即：/ ( —) =sin (2x — +<p) =0.解得所以:f (x) =sin( 2x+ —).要得到y=cos2x的图象只需将函数 f (x) =sin(2x< )向左平移.个单位长度,3 12n 兀即y=sin (2x+ + ) =cos2x.6 3故选：A.点睛：已知函数y=Asi n[cx」‘LB(A 0^ 0)的图象求解析式(1 )2■:人=涯沁，ymin.(2)由函数的周期T求,T =2 2 ⑷利用“五点法”中相对应的特殊点求:.【豫西南部分示范性高中2017-2018年高三年级第一学期联考】已知函数f X =sin 2x，为得到B.向右平移.个单位长度12D.向右平移二个单位长度6A向左平移.个单位长度123A 向左平移二个单位长度 B.向左平移.个单位长度612C.向右平移二个单位长度D.向右平移二个单位长度612【答案】A【解析】函数 g x 二 cosi2x sin ；2xsin 12x —• I 6丿 126丿 J 3丿函数f （x ）=s in ”2x +工1= sin |2 " x +丄1+》=sin " 2x +2兀】=g （ x ），是向左平移了工个单位长 2 V 3丿 [16丿3 一 V 3丿“丿 6度。
高考数学一轮复习 专题18 任意角、弧度制及任意角的三角函数(含解析)-人教版高三全册数学试题
专题18任意角、弧度制及任意角的三角函数最新考纲1.了解任意角的概念和弧度制的概念.2.能进行弧度与角度的互化.3.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.基础知识融会贯通 1．角的概念(1)任意角：①定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；②分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角．(2)所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是S ＝{β|β＝k ·360°＋α，k ∈Z }． (3)象限角：使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限． 2．弧度制(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad 表示，读作弧度．正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.(2)角度制和弧度制的互化：180°＝π rad,1°＝π180 rad ，1 rad ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°. (3)扇形的弧长公式：l ＝|α|·r ，扇形的面积公式：S ＝12lr ＝12|α|·r 2.3．任意角的三角函数任意角α的终边与单位圆交于点P (x ，y )时， 则sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx(x ≠0)． 三个三角函数的性质如下表：三角函数 定义域第一象限符号第二象限符号第三象限符号 第四象限符号sinαR＋ ＋ － － cosR＋－－＋αtanα{α|α≠k π＋π2，k ∈Z } ＋－＋－4.三角函数线如下图，设角α的终边与单位圆交于点P ，过P 作PM ⊥x 轴，垂足为M ，过A (1,0)作单位圆的切线与α的终边或终边的反向延长线相交于点T .【知识拓展】1．三角函数值的符号规律三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦． 2．任意角的三角函数的定义(推广)设P (x ，y )是角α终边上异于顶点的任一点，其到原点O 的距离为r ，则sin α＝y r ，cos α＝x r，tan α＝y x(x ≠0)．重点难点突破 【题型一】角及其表示【典型例题】已知集合{α|2k πα≤2k π，k ∈Z }，则角α的终边落在阴影处（包括边界）的区域是（ ）A ．B ．C ．D ．【解答】解：集合{α|2k πα≤2k π，k ∈Z }，表示第一象限的角，故选：B ． 【再练一题】直角坐标系内，β终边过点P （sin2，cos2），则终边与β重合的角可表示成（ ）A ．2+2πk ，k ∈ZB ．2+k π，k ∈ZC ．2+2k π，k ∈zD ．﹣2+2k π，k ∈Z【解答】解：∵β终边过点P （sin2，cos2），即为（cos （2），sin （2））∴终边与β重合的角可表示成2+2k π，k ∈Z ，故选：A ．思维升华 (1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k 赋值来求得所需的角． (2)确定kα，αk(k ∈N *)的终边位置的方法先写出kα或αk 的X 围，然后根据k 的可能取值确定kα或αk的终边所在位置． 【题型二】弧度制 【典型例题】已知扇形的周长是6cm，面积是2cm2，试求扇形的圆心角的弧度数（）A．1B．4C．1或 4D．1或 2【解答】解：设扇形的圆心角为αrad，半径为Rcm，则，解得α＝1或α＝4．故选：C．【再练一题】将300°化成弧度得：300°＝rad．【解答】解：∵180°＝π，∴1°，则300°＝300．故答案为：．思维升华应用弧度制解决问题的方法(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题．(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．【题型三】三角函数的概念及应用命题点1 三角函数定义的应用【典型例题】已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴正半轴重合，若A（x，3）是角θ终边上一点，且，则x＝（）A．B．C．1D．﹣1【解答】解：角θ的顶点与原点重合，始边与x轴正半轴重合，若A（x，3）是角θ终边上一点，且，则x＝﹣1，故选：D．【再练一题】已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上一点A（2sinα，3），则cosα＝（）A．B．C．D．【解答】解：∵由题意可得：x＝2sinα，y＝3，可得：r，∴cosα，可得：cos2α，整理可得：4cos4α﹣17cos2α+4＝0，∴解得：cos2α，或（舍去），∴cosα．故选：A．命题点2 三角函数线的应用【典型例题】已知，a＝sinα，b＝cosα，c＝tanα，那么a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．c＞a＞b【解答】解：作出三角函数对应的三角函数线如图：则AT＝tanα，MP＝sinα，OM＝cosα，则sinα＞0，AT＜OM＜0，即sinα＞cosα＞tanα，则a＞b＞c，故选：A．【再练一题】已知a ＝sin ，b ＝cos ，c ＝tan ，则（ ）A ．b ＜a ＜cB ．c ＜b ＜aC ．b ＜c ＜aD ．a ＜b ＜c【解答】解：因为，所以cos sin ，tan 1，所以b ＜a ＜c ． 故选：A ．思维升华 (1)利用三角函数的定义，已知角α终边上一点P 的坐标可求α的三角函数值；已知角α的三角函数值，也可以求出点P 的坐标．(2)利用三角函数线解不等式要注意边界角的取舍，结合三角函数的周期性写出角的X 围．基础知识训练1．【某某省某某市第八中学2018-2019学年高一下学期期中考试】已知角θ的终边经过点()2,3-，则（ ）A ．5B ．15-C ．15D ．5-【答案】A【解析】由任意角的三角函数定义可知：3 tan2θ=-本题正确选项：A2．【某某省会宁县第一中学2018-2019学年高一下学期期中考试】函数的值域是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意可知：角的终边不能落在坐标轴上，当角终边在第一象限时，当角终边在第二象限时，当角终边在第三象限时，当角终边在第四象限时，因此函数的值域为，故选：C.3．【某某省某某师X大学附属实验中学2018-2019学年高一下学期第二次月考】已知角α的终边上一点P的坐标为，则sinα的值为（）A．12B．1-2C3D．3【答案】B 【解析】解：角α的终边上一点P 的坐标为31,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭， 它到原点的距离为r =1，由任意角的三角函数定义知：，故选：B ．4．【某某省宁县第二中学2018-2019学年高一下学期期中考试】已知点P （sinα+cosα，tanα）在第四象限，则在[0，2π）内α的取值X 围是（ ）A ．（2π，34π）∪（54π，32π） B ．（0，4π）∪（54π，32π） C ．（2π，34π）∪（74π，2π）D ．（2π，34π）∪（π，32π）【答案】C 【解析】∵点P （sinα+cosα，tanα）在第四象限， ∴，由sinα+cosα2=（α4π+）， 得2kπ＜α4＜π+2kπ+π，k∈Z，即2kπ4π-＜α＜2kπ34π+π，k∈Z． 由tanα＜0，得kπ2π+＜α＜kπ+π，k∈Z．∴α∈（2π，34π）∪（74π，2π）．故选：C ．5．【某某省示X 高中2018-2019学年高一下学期第三次联考】若角θ是第四象限角，则32πθ+是（ ） A ．第一象限角 B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角【答案】C 【解析】角θ是第四象限角.，则故32πθ+是第三象限角.故选C. 6．【某某省某某市第一中学2018-2019学年高一下学期第四次月考】已知且sin 0α>，则下列不等式一定成立的是（） A ． B ． C ．D ．【答案】D 【解析】 由于且sin 0α>，故α为第二象限角，故，故D 选项一定成立，故本小题选D. 7．【某某某某市第三中学2018-2019学年高一5月月考】半径为1cm ，中心角为150°的角所对的弧长为（ ）cm ．A ．23B ．23π C ．56D ．56π 【答案】D 【解析】由题意，半径1r cm =，中心角，又由弧长公式，故选：D ．8．【某某省会宁县第一中学2018-2019学年高一下学期期中考试】与0420-终边相同的角是（ ） A ．0120- B ．0420C ．0660D ．0280【答案】C 【解析】与0420-角终边相同的角为：，当3n =时，．故选：C．9．【某某省某某师X大学附属实验中学2018-2019学年高一下学期第二次月考】下列说法正确的是（）A．钝角是第二象限角B．第二象限角比第一象限角大C．大于90︒的角是钝角D．-165︒是第二象限角【答案】A【解析】解：钝角的X围为，钝角是第二象限角，故A正确；﹣200°是第二象限角，60°是第一象限角，-200°＜60°，故B错误；由钝角的X围可知C错误；-180°＜-165°＜-90°，-165°是第三象限角，D错误．故选：A．10．直角坐标系内，角β的终边过点，则终边与角β重合的角可表示成（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为点为第四象限内的点，角β的终边过点，所以β为第四象限角，所以终边与角β重合的角也是第四象限角，而，均为第三象限角，为第二象限角，所以BCD排除，故选A11．【某某省某某市启东中学2018-2019学年高二5月月考】给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③不论用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形所在半径的大小无关； ④若，则α与β的终边相同；⑤若cos 0θ<，则θ是第二或第三象限的角． 其中正确的命题是______．（填序号） 【答案】③ 【解析】 ①43απ=-，则α为第二象限角；3πβ=，则β为第一象限角，此时αβ<，可知①错误；②当三角形的一个内角为直角时，不属于象限角，可知②错误； ③由弧度角的定义可知，其大小与扇形半径无关，可知③正确； ④若3πα=，23πβ=，此时，但,αβ终边不同，可知④错误；⑤当θπ=时，，此时θ不属于象限角，可知⑤错误．本题正确结果：③12．【某某省会宁县第一中学2018-2019学年高一下学期期中考试】与02018-角终边相同的最小正角是______ 【答案】0142 【解析】 解：，即与02018-角终边相同的最小正角是0142， 故答案为：0142．13．【某某省某某市郏县第一高级中学2018-2019学年高一下学期第二次5月月考】从8:05到8:50，分针转了________（rad ）． 【答案】3π2- 【解析】从8:05到8:50，过了45分钟，时针走一圈是60分钟，故分针是顺时针旋转，应为负角， 故分针转了32π-. 14．【2017届某某省某某市石室中学高三二诊模拟考试】已知角3πα+的始边是x 轴非负半轴．其终边经过点34(,)55P --，则sin α的值为__________．【答案】43310-+ 【解析】解：∵点P （1，2）在角α的终边上，∴tan α2=， 将原式分子分母除以cos α，则原式故答案为：5．16．【某某省涟水中学2018-2019学年高二5月月考】欧拉公式（i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，3i e -表示的复数在复平面中位于第_______象限. 【答案】三 【解析】由题e -3i＝cos3-i sin3，又cos3<0, sin3>0,故3i e -表示的复数在复平面中位于第三象限. 故答案为三17．【某某省会宁县第一中学2018-2019学年高一下学期期中考试】（1）已知扇形的周长为8，面积是4，求扇形的圆心角．（2）已知扇形的周长为40，当它的半径和圆心角取何值时，才使扇形的面积最大？ 【答案】（1）2；（2）当半径为10圆心角为2时，扇形的面积最大，最大值为100． 【解析】（1）设扇形的圆心角大小为α()rad ，半径为r ，则由题意可得：．联立解得：扇形的圆心角2α=． （2）设扇形的半径和弧长分别为r 和l , 由题意可得240r l +=， ∴扇形的面积．当10r =时S 取最大值，此时20l =， 此时圆心角为2l rα，∴当半径为10圆心角为2时，扇形的面积最大，最大值为100．18．【某某市徐汇区2019届高三上学期期末学习能力诊断】我国的“洋垃极禁止入境”政策已实施一年多某沿海地区的海岸线为一段圆弧AB ，对应的圆心角，该地区为打击洋垃圾走私，在海岸线外侧20海里内的海域ABCD 对不明船只进行识别查证如图：其中海域与陆地近似看作在同一平面内在圆弧的两端点A ，B 分别建有监测站，A 与B 之间的直线距离为100海里．求海域ABCD 的面积；现海上P 点处有一艘不明船只，在A 点测得其距A 点40海里，在B 点测得其距B 点海里判断这艘不明船只是否进入了海域ABCD ？请说明理由． 【答案】（1）平方海里； （2）这艘不明船只没进入了海域ABCD ．.【解析】，在海岸线外侧20海里内的海域ABCD，，，平方海里，由题意建立平面直角坐标系，如图所示；由题意知，点P在圆B上，即，点P也在圆A上，即；由组成方程组，解得；又区域ABCD内的点满足，由，不在区域ABCD内，由，也不在区域ABCD内；即这艘不明船只没进入了海域ABCD．19．已知角β的终边在直线x－y＝0上.①写出角β的集合S；②写出S中适合不等式－360°≤β<720°的元素.【答案】①{β|β＝60°＋n·180°，n∈Z}；②－120°，240°，600°.【解析】①如图，直线x－y＝0过原点，倾斜角为60°，在0°～360°X围内，终边落在射线OA上的角是60°，终边落在射线OB上的角是240°，所以以射线OA、OB为终边的角的集合为：S1＝{β|β＝60°＋k·360°，k∈Z}，S2＝{β|β＝240°＋k·360°，k∈Z}，所以，角β的集合S＝S1∪S2＝{β|β＝60°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝60°＋180°＋k·360°，k∈Z}＝{β|β＝60°＋2k·180°，k∈Z}∪{β|β＝60°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{β|β＝60°＋n·180°，n∈Z}.②由于－360°≤β<720°，即－360°≤60°＋n·180°<720°，n∈Z，解得，n∈Z，所以n可取－2、－1、0、1、2、3.所以S中适合不等式－360°≤β<720°的元素为：60°－2×180°＝－300°；60°－1×180°＝－120°；60°－0×180°＝60°；60°＋1×180°＝240°；60°＋2×180°＝420；60°＋3×180°＝600°.20．已知，如图所示.(1)分别写出终边落在OA，OB位置上的角的集合.(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合.【答案】(1) 终边落在OA位置上的角的集合为{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z}；终边落在OB位置上的角的集合为{α|α＝－30°＋k ·360°，k ∈Z}；(2) {α|－30°＋k ·360°≤α≤135°＋k ·360°，k ∈Z}. 【解析】(1)终边落在OA 位置上的角的集合为{α|α＝90°＋45°＋k ·360°，k ∈Z}＝{α|α＝135°＋k ·360°，k ∈Z}；终边落在OB 位置上的角的集合为{α|α＝－30°＋k ·360°，k ∈Z}.(2)由题干图可知，阴影部分(包括边界)的角的集合是由所有介于[－30°，135°]之间的角及终边与它们相同的角组成的集合，故该区域可表示为{α|－30°＋k ·360°≤α≤135°＋k ·360°，k ∈Z}.能力提升训练1．【某某省某某市2019届高三模拟考试】如图，点为单位圆上一点，，点沿单位圆逆时针方向旋转角到点，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】∵点A 为单位圆上一点，，点A 沿单位圆逆时针方向旋转角α到点，∴A （cos ，sin ），即A （），且cos （α），sin （α）．则sinα＝sin[（α）]＝sin （α）cos cos （α）sin，故选：D ．2．【某某省某某实验中学2018-2019学年高一下学期期中考试】在ABC ∆中，若，那么ABC∆是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．不能确定【答案】A【解析】∆中，，∵在ABC∴，∴,A B为锐角．又，∴，∴，∴C为锐角，∆为锐角三角形．∴ABC故选A．3．【某某省某某市2018-2019学年高一下学期期中考试】已知，那么角是（）A．第一或第二象限角B．第二或第三象限角C．第三或第四象限角D．第一或第四象限角【答案】B【解析】由，得异号，则角是第二或第三象限角，故选:.【某某省某某市2018-2019学年高一下学期期中考试】已知角α的终边经过点P（-3，y），且y＜0，cosα=-，4．则tanα=（）A．B．C．D．【答案】C 【解析】由题意，角的终边经过点，且，则，∴，所以，故选：C ．5．【某某省某某市2019届高三下学期第三次统考】已知角83πθ=的终边经过点(,23)P x ，则x 的值为（ ） A ．±2 B ．2C ．﹣2D ．﹣4【答案】C 【解析】 ∵已知角83πθ=的终边经过点(,23)P x ，∴23x，则2x =-，故选：C ．6．【某某省某某市第三中学2019届高三上学期期中考试】，则3f π⎛⎫=⎪⎝⎭（ ） A ．32B ．33C ．12D ．3【答案】C 【解析】根据题意，，且123π<<，则.故选：C ．7．【某某省华文大教育联盟2019届高三第二次质量检测考试】在平面直角坐标系xOy 中，已知02απ<<，点是角α终边上一点，则α的值是___________．【答案】3π 【解析】，∵02απ<<，且点P 在第一象限， ∴α为锐角，∴α的值是3π， 故答案为：3π8．【某某省某某市第一中学2018-2019学年高一下学期开学考试】函数的定义域为______．【答案】或x k π=，k Z}∈【解析】 因为所以 2sin x 0cosx≥等价于0cosx >或0sinx =所以或x k π=，k Z ∈故答案为：或x k π=，k Z}∈．9．【某某省蓉城名校联盟2018-2019学年上期期末联考高一】在平面直角坐标系中，已知一个角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P （5，-12），则sinα+cosα的值为___． 【答案】【解析】∵一个角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P （5，-12），∴sinα=则sinα+cosα=-，故答案为：-．10．对于任意实数，事件“”的概率为_______．【答案】【解析】由于“”，故为第二象限角，故概率为.。
高三数学总复习——第三章三角函数、解三角形
第三章 三角函数、解三角形第一节任意角和弧度制及任意角的三角函数[知识能否忆起]1．任意角 (1)角的分类：①按旋转方向不同分为正角、负角、零角． ②按终边位置不同分为象限角和轴线角． (2)终边相同的角：终边与角α相同的角可写成α＋k ·360°(k ∈Z )． (3)弧度制：①1弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．②规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，|α|＝lr ，l 是以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r 为半径．③用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制．比值lr 与所取的r 的大小无关，仅与角的大小有关．④弧度与角度的换算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度． ⑤弧长公式：l ＝|α|r ，扇形面积公式：S 扇形＝12lr ＝12|α|r 2.2．任意角的三角函数 (1)任意角的三角函数定义：设α是一个任意角，角α的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么角α的正弦、余弦、正切分别是：sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx ，它们都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标比值为函数值的函数．(2)三角函数在各象限内的符号口诀是：一全正、二正弦、三正切、四余弦． 3．三角函数线设角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P ，过P 作PM 垂直于x 轴于M .由三角函数的定义知，点P 的坐标为(cos_α，sin_α)，即P (cos_α，sin_α)，其中cos α＝OM ，sin α＝MP ，单位圆与x 轴的正半轴交于点A ，单位圆在A 点的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T ，则tan α＝AT .我们把有向线段OM 、MP 、AT 叫做α的余弦线、正弦线、正切线.[小题能否全取]1．－870°的终边在第几象限( ) A ．一 B ．二 C ．三D ．四解析：选C 因－870°＝－2×360°－150°.－150°是第三象限角． 2．已知角α的终边经过点(3，－1)，则角α的最小正值是( ) A.2π3 B.11π6 C.5π6D.3π4解析：选B ∵sin α＝－12＝－12，且α的终边在第四象限，∴α＝116π.3．(教材习题改编)若sin α<0且tan α>0，则α是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角D ．第四象限角解析：选C 由sin α<0，知α在第三、第四象限或α终边在y 轴的负半轴上，由tan α>0，知α在第一或第三象限，因此α在第三象限．4．若点P 在2π3角的终边上，且P 的坐标为(－1，y )，则y 等于________．解析：因tan 2π3＝－3＝－y ，∴y ＝ 3.答案： 35．弧长为3π，圆心角为135°的扇形半径为________，面积为________． 解析：弧长l ＝3π，圆心角α＝34π，由弧长公式l ＝α·r 得r ＝l α＝3π34π＝4，面积S ＝12lr ＝6π.答案：4 6π1.对任意角的理解(1)“小于90°的角”不等同于“锐角”“0°～90°的 角”不等同于“第一象限的角”．其实锐角的集合是{α|0° <α<90°}，第一象限角的集合为{α|k ·360°<α<k ·360°＋90°， k ∈Z }．(2)终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同， 终边相同的角的同一三角函数值相等．2．三角函数定义的理解三角函数的定义中，当P (x ，y )是单位圆上的点时有sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx ，但若不是单位圆时，如圆的半径为r ，则sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝yx .典题导入[例1] 已知角α＝45°，(1)在－720°～0°范围内找出所有与角α终边相同的角β；(2)设集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝k 2×180°＋45°，k ∈Z ， N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝k4×180°＋45°，k ∈Z ，判断两集合的关系． [自主解答] (1)所有与角α有相同终边的角可表示为： β＝45°＋k ×360°(k ∈Z )， 则令－720°≤45°＋k ×360°<0°，得－765°≤k ×360°<－45°，解得－765360≤k <－45360，从而k ＝－2或k ＝－1，代入得β＝－675°或β＝－315°.(2)因为M ＝{x |x ＝(2k ＋1)×45°，k ∈Z }表示的是终边落在四个象限的平分线上的角的集合；而集合N ＝{x |x ＝(k ＋1)×45°，k ∈Z }表示终边落在坐标轴或四个象限平分线上的角的集合，从而：M N .由题悟法1．利用终边相同角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k 赋值来求得所需角．2．已知角α的终边位置，确定形如kα，π±α等形式的角终边的方法：先表示角α的范围，再写出kα、π±α等形式的角范围，然后就k 的可能取值讨论所求角的终边位置．以题试法1．(1)给出下列四个命题：①－3π4是第二象限角；②4π3是第三象限角；③－400°是第四角限角；④－315°是第一象限角．其中正确的命题有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个(2)如果角α是第二象限角，则π－α角的终边在第________象限． 解析：(1)－3π4是第三象限角，故①错误.4π3＝π＋π3，从而4π3是第三象限角正确．－400°＝－360°－40°，从而③正确．－315°＝－360°＋45°，从而④正确．(2)由已知π2＋2k π<α<π＋2k π(k ∈Z )，则－π－2k π<－α<－π2－2k π(k ∈Z )，即－π＋2k π<－α<－π2＋2k π(k ∈Z )，故2k π<π－α<π2＋2k π(k ∈Z )，所以π－α是第一象限角． 答案：(1)C (2)一典题导入[例2] (1)已知角α的终边上有一点P (t ，t 2＋1)(t >0)，则tan α的最小值为( ) A ．1 B ．2 C.12D. 2(2)(2012·大庆模拟)已知角α的终边上一点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫sin 2π3，cos 2π3，则角α的最小正值为( )A.5π6 B.2π3 C.5π3D.11π6[自主解答] (1)根据已知条件得tan α＝t 2＋1t ＝t ＋1t ≥2，当且仅当t ＝1时，tan α取得最小值2.(2)由题意知点P 在第四象限，根据三角函数的定义得cos α＝sin 2π3＝32，故α＝2k π－π6(k ∈Z )，所以α的最小正值为11π6.[答案] (1)B (2)D由题悟法定义法求三角函数值的两种情况(1)已知角α终边上一点P 的坐标，则可先求出点P 到原点的距离r ，然后利用三角函数的定义求解．(2)已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后利用三角函数的定义求解相关的问题．若直线的倾斜角为特殊角，也可直接写出角α的三角函数值．以题试法2．(1)(2012·东莞调研)已知角α的终边与单位圆的交点P ⎝⎛⎭⎫x ，32，则tan α＝( ) A. 3 B ．±3 C.33D ．±33(2)(2012·潍坊质检)已知角α的终边经过点P (m ，－3)，且cos α＝－45，则m 等于( )A ．－114B.114 C ．－4D ．4解析：(1)选B 由|OP |2＝x 2＋34＝1，得x ＝±12，tan α＝±3.(2)选C 由题意可知，cos α＝m m 2＋9＝－45，又m <0，解得m ＝－4.典题导入[例3] (1)已知扇形周长为10，面积是4，求扇形的圆心角．(2)已知扇形周长为40，当它的半径和圆心角取何值时，才使扇形面积最大？ [自主解答] (1)设圆心角是θ，半径是r ， 则⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋rθ＝1012θ·r 2＝4⇒⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，θ＝8(舍)，⎩⎪⎨⎪⎧r ＝4，θ＝12，故扇形圆心角为12.(2)设圆心角是θ，半径是r ， 则2r ＋rθ＝40.S ＝12θ·r 2＝12r (40－2r )＝r (20－r ) ＝－(r －10)2＋100 ≤100，当且仅当r ＝10时，S max ＝100.所以当r ＝10，θ＝2时，扇形面积最大．若本例(1)中条件变为：圆弧长度等于该圆内接正方形的边长，则其圆心角的弧度数是________．解析：设圆半径为R ，则圆内接正方形的对角线长为2R ， ∴正方形边长为2R ，∴圆心角的弧度数是2RR＝ 2. 答案： 2由题悟法1．在弧度制下，计算扇形的面积和弧长比在角度制下更方便、简捷．2．记住下列公式：①l ＝αR ；②S ＝12lR ；③S ＝12αR 2.其中R 是扇形的半径，l 是弧长，α(0<α<2π)为圆心角，S 是扇形面积．以题试法3．若扇形的面积为定值，当扇形的圆心角为多少弧度时，该扇形的周长取到最小值？ 解：设扇形的圆心角为α，半径为R ，弧长为l ，根据已知条件12lR ＝S 扇，则扇形的周长为：l ＋2R ＝2S 扇R ＋2R ≥4S 扇，当且仅当2S 扇R ＝2R ，即R ＝S 扇时等号成立，此时l ＝2S 扇，α＝lR＝2， 因此当扇形的圆心角为2弧度时，扇形的周长取到最小值．[典例] (2011·江西高考)已知角θ的顶点为坐 标原点，始边为x 轴的正半轴.若P (4，y )是角θ终 边上一点，且sin θ＝25-y ＝ .[尝试解题] r ＝x 2＋y 2＝16＋y 2，且sin θ＝－255，所以sin θ＝y r ＝y 16＋y 2＝－255，所以θ为第四象限角，解得y ＝－8.[答案] －8——————[易错提醒]——————————————————————————— 1.误认为点P 在单位圆上，而直接利用三角函数定义，从而得出错误结果.2.利用三角函数的定义求三角函数值时，首先要根据定义正确地求得x ，y ，r 的值；然后对于含参数问题要注意分类讨论.—————————————————————————————————————— 针对训练已知角α的终边过点P (－8m ，－6sin 30°)，且cos α＝－45，则m 的值为( )A ．－12B ．－32C.12D.32解析：选C 由点P (－8m ，－6sin 30°)在角α的终边上且cos α＝－45，知角α的终边在第三象限，则m >0 ，又cos α＝－8m(－8m )2＋9＝－45，所以m ＝12.1．将表的分针拨快10分钟，则分针旋转过程中形成的角的弧度数是( ) A.π3 B.π6 C ．－π3D ．－π6解析：选C 将表的分针拨快应按顺时针方向旋转，为负角． 故A 、B 不正确，又因为拨快10分钟，故应转过的角为圆周的16.即为－16×2π＝－π3.2．已知扇形的周长是6 cm ，面积是2 cm 2，则扇形的圆心角的弧度数是( ) A ．1或4 B ．1 C ．4D ．8解析：选A 设扇形的半径和弧长分别为r ，l ，则易得⎩⎪⎨⎪⎧l ＋2r ＝6，12lr ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ l ＝4r ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧l ＝2，r ＝2.故扇形的圆心角的弧度数是4或1. 3．已知角α和角β的终边关于直线y ＝x 对称，且β＝－π3，则sin α＝( )A ．－32B.32C ．－12D.12解析：选D 因为角α和角β的终边关于直线y ＝x 对称，所以α＋β＝2k π＋π2(k ∈Z )，又β＝－π3，所以α＝2k π＋5π6(k ∈Z )，即得sin α＝12.4．设θ是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2，则θ2是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角D ．第四象限角解析：选B ∵θ是第三象限角，∴θ2为第二或第四象限角．又∵⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2，∴cos θ2＜0，知θ2为第二象限角．5．(2012·宜春模拟)给出下列各函数值：①sin(－1 000°)；②cos(－2 200°)；③tan(－10)；④sin 7π10cos πtan17π9，其中符号为负的是( )A ．①B ．②C ．③D ．④解析：选C sin(－1 000°)＝sin 80°>0；cos(－2 200°) ＝cos(－40°)＝cos 40°>0；tan(－10)＝tan(3π－10)<0； sin7π10cos πtan 17π9＝－sin 7π10tan17π9，sin 7π10>0，tan 17π9<0，∴原式>0. 6．已知sin θ－cos θ>1，则角θ的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选B 由已知得(sin θ－cos θ)2>1,1－2sin θcos θ>1，sin θcos θ<0，且sin θ>cos θ，因此sin θ>0>cos θ，所以角θ的终边在第二象限．7．在直角坐标系中，O 是原点，A (3，1)，将点A 绕O 逆时针旋转90°到B 点，则B 点坐标为__________．解析：依题意知OA ＝OB ＝2，∠AOx ＝30°，∠BOx ＝120°，设点B 坐标为(x ，y )，所以x ＝2cos 120°＝－1，y ＝2sin 120°＝3，即B (－1，3)． 答案：(－1，3)8．若β的终边所在直线经过点P ⎝⎛⎭⎫cos 3π4，sin 3π4，则sin β＝________，tan β＝________. 解析：因为β的终边所在直线经过点P ⎝⎛⎭⎫cos 3π4，sin 3π4，所以β的终边所在直线为y ＝－x ，则β在第二或第四象限．所以sin β＝22或－22，tan β＝－1. 答案：22或－22－19.如图，角α的终边与单位圆(圆心在原点，半径为1)交于第二象限的点A ⎝⎛⎭⎫cos α，35，则cos α－sin α＝________. 解析：由题图知sin α＝35，又点A 在第二象限，故cos α＝－45.∴cos α－sin α＝－75.答案：－7510．一个扇形OAB 的面积是1 cm 2，它的周长是4 cm ，求圆心角的弧度数和弦长AB . 解：设圆的半径为r cm ，弧长为l cm ，则⎩⎪⎨⎪⎧12lr ＝1，l ＋2r ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，l ＝2.∴圆心角α＝lr＝2.如图，过O 作OH ⊥AB 于H .则∠AOH ＝1弧度． ∴AH ＝1·sin 1＝sin 1(cm)， ∴AB ＝2sin 1(cm)．11.如图所示，A ，B 是单位圆O 上的点，且B 在第二象限，C 是圆与x 轴正半轴的交点，A 点的坐标为⎝⎛⎭⎫35，45，△AOB 为正三角形．(1)求sin ∠COA ； (2)求cos ∠COB .解：(1)根据三角函数定义可知sin ∠COA ＝45.(2)∵△AOB 为正三角形，∴∠AOB ＝60°， 又sin ∠COA ＝45，cos ∠COA ＝35，∴cos ∠COB ＝cos(∠COA ＋60°) ＝cos ∠COA cos 60°－sin ∠COA sin 60° ＝35·12－45·32＝3－4310. 12．(1)设90°<α<180°，角α的终边上一点为P (x ，5)，且cos α＝24x ，求sin α与tan α的值；(2)已知角θ的终边上有一点P (x ，－1)(x ≠0)，且tan θ＝－x ，求sin θ，cos θ.解：(1)∵r ＝x 2＋5，∴cos α＝xx 2＋5， 从而24x ＝x x 2＋5， 解得x ＝0或x ＝±3. ∵90°<α<180°， ∴x <0，因此x ＝－ 3.故r ＝22，sin α＝522＝104，tan α＝5－3＝－153.(2)∵θ的终边过点(x ，－1)， ∴tan θ＝－1x，又tan θ＝－x ，∴x 2＝1，∴x ＝±1. 当x ＝1时，sin θ＝－22，cos θ＝22； 当x ＝－1时，sin θ＝－22，cos θ＝－22.1．(2012·聊城模拟)三角形ABC 是锐角三角形，若角θ终边上一点P 的坐标为(sin A －cos B ，cos A －sin C )，则sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＋tan θ|tan θ|的值是( )A ．1B ．－1C ．3D ．4解析：选B 因为三角形ABC 是锐角三角形，所以A ＋B >90°，即A >90°－B ，则sin A >sin (90°－B )＝cos B ，sin A －cos B >0，同理cos A －sin C <0，所以点P 在第四象限，sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＋tan θ|tan θ|＝－1＋1－1＝－1.2．(2012·山东高考)如图，在平面直角坐标系xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P 的位置在(0,0)，圆在x 轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于(2,1)时，OP ―→的坐标为________．解析：设A (2,0)，B (2,1)，由题意知劣弧 PA 长为2，∠ABP ＝21＝2.设P (x ，y )，则x ＝2－1×cos ⎝⎛⎭⎫2－π2＝2－sin 2，y ＝1＋1×sin ⎝⎛⎭⎫2－π2＝1－cos 2，∴OP的坐标为(2－sin 2,1－cos 2)．答案：(2－sin 2,1－cos 2) 3．(1)确定tan (－3)cos 8·tan 5的符号；(2)已知α∈(0，π)，且sin α＋cos α＝m (0<m <1)，试判断式子sin α－cos α的符号． 解：(1)∵－3,5,8分别是第三、第四、第二象限角， ∴tan(－3)>0，tan 5<0，cos 8<0，∴原式大于0.(2)若0<α<π2，则如图所示，在单位圆中，OM ＝cos α，MP ＝sin α，∴sin α＋cos α＝MP ＋OM >OP ＝1. 若α＝π2，则sin α＋cos α＝1.由已知0<m <1，故α∈⎝⎛⎭⎫π2，π. 于是有sin α－cos α>0.1．已知点P (sin α－cos α，tan α)在第一象限，则在[0,2π]内，α的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫π2，3π4∪⎝⎛⎭⎫π，5π4 B.⎝⎛⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎭⎫π，5π4 C.⎝⎛⎭⎫π2，3π4∪⎝⎛⎭⎫5π4，3π2D.⎝⎛⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎭⎫3π4，π解析：选B 由已知sin α－cos α>0，tan α>0故⎝⎛⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎭⎫π，5π4. 2．已知角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上，求sin α，cos α，tan α的值． 解：∵角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上， ∴在角α的终边上任取一点P (4t ，－3t )(t ≠0)， 则x ＝4t ，y ＝－3t ，r ＝x 2＋y 2＝(4t )2＋(－3t )2＝5|t |， 当t >0时，r ＝5t ， sin α＝y r ＝－3t 5t ＝－35，cos α＝x r ＝4t 5t ＝45，tan α＝y x ＝－3t 4t ＝－34；当t <0时，t ＝－5t ，sin α＝y r ＝－3t －5t ＝35，cos α＝x r ＝4t －5t ＝－45，tan α＝y x ＝－3t 4t ＝－34.综上可知，sin α＝－35，cos α＝45，tan α＝－34；或sin α＝35，cos α＝－45，tan α＝－34.3．已知0<α<π2，求证：(1)sin α＋cos α>1； (2)sin α<α<tan α.证明：如图，设α的终边与单位圆交于P 点，作PM ⊥x 轴，垂足为M ，过点A (1,0)作AT ⊥x 轴，交α的终边于T ，则sin α＝MP ，cos α＝OM ，tan α＝AT .(1)在△OMP 中，∵OM ＋MP >OP ， ∴cos α＋sin α>1.(2)连接P A ，则S △OP A <S 扇形OP A <S △OTA ， 即12OA ·MP <12OA ·α<12OA ·AT ， 即sin α<α<tan α.第二节同角三角函数的基本关系与诱导公式[知识能否忆起]1．同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1(α∈R )． (2)商数关系：tan α＝sin αcos α⎝⎛⎭⎫α≠k π＋π2，k ∈Z . 2．六组诱导公式对于角“k π2±α”(k ∈Z )的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，“奇变偶不变”是指“当k 为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k 为偶数时，函数名不变”．“符号看象限”是指“在α的三角函数值前面加上当α为锐角时，原函数值的符号”．[小题能否全取]1．sin 585°的值为( ) A ．－22 B.22 C ．－32D.32解析：选A sin 585°＝sin(360°＋225°) ＝sin 225°＝sin(180°＋45°)＝－sin 45° ＝－22. 2．(教材习题改编)已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|<π2，则θ等于( )A ．－π6B ．－π3C.π6D.π3解析：选D ∵sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)， ∴－sin θ＝－3cos θ，∴tan θ＝ 3. ∵|θ|<π2，∴θ＝π3.3．已知tan θ＝2，则sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ－cos (π－θ)sin ⎝⎛⎭⎫π2－θ－sin (π－θ)＝( )A ．2B ．－2C ．0D.23解析：选B 原式＝cos θ＋cos θcos θ－sin θ＝21－tan θ＝21－2＝－2.4．(教材习题改编)如果sin(π＋A )＝12，那么cos ⎝⎛⎭⎫3π2－A 的值是________． 解析：∵sin(π＋A )＝12，∴－sin A ＝12.∴cos ⎝⎛⎭⎫32π－A ＝－sin A ＝12. 答案：125．已知α是第二象限角，tan α＝－12，则cos α＝________.解析：由题意知cos α<0，又sin 2α＋cos 2α＝1， tan α＝sin αcos α＝－12.∴cos α＝－255.答案：－255应用诱导公式时应注意的问题(1)利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意 角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负号—脱周期 —化锐角．特别注意函数名称和符号的确定．(2)在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特 别注意判断符号．(3)注意求值与化简后的结果要尽可能有理化、整式化．典题导入[例1] (1)(2012·江西高考)若tan θ＋1tan θ＝4，则sin 2θ＝( ) A.15 B.14 C.13D.12(2)已知sin(3π＋α)＝2sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋α，则sin α－4cos α5sin α＋2cos α＝________.[自主解答] (1)∵tan θ＋1tan θ＝4，∴sin θcos θ＋cos θsin θ＝4， ∴sin 2θ＋cos 2θcos θsin θ＝4，即2sin 2θ＝4，∴sin 2θ＝12.(2)法一：由sin(3π＋α)＝2sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋α得tan α＝2. 原式＝tan α－45tan α＋2＝2－45×2＋2＝－16.法二：由已知得sin α＝2cos α. 原式＝2cos α－4cos α5×2cos α＋2cos α＝－16.[答案] (1)D (2)－16在(2)的条件下，sin 2α＋sin 2α＝________.解析：原式＝sin 2α＋2sin αcos α＝sin 2α＋2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α＋2tan αtan 2α＋1＝85.答案：85由题悟法1．利用sin 2α＋cos 2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用sin αcos α＝tan α可以实现角α的弦切互化．2．应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二(参阅本节题型技法点拨)．3．注意公式逆用及变形应用：1＝sin 2α＋cos 2α，sin 2α＝1－cos 2α，cos 2α＝1－sin 2α.以题试法1．(1)(2012·长沙模拟)若角α的终边落在第三象限，则cos α1－sin 2α＋2sin α1－cos 2α的值为( )A ．3B ．－3C ．1D ．－1(2)已知sin α＝2sin β，tan α＝3tan β，则cos α＝________. 解析：(1)由角α的终边落在第三象限得sin α<0，cos α<0，故原式＝cos α|cos α|＋2sin α|sin α|＝cos α－cos α＋2sin α－sin α＝－1－2＝－3.(2)∵sin α＝2sin β，tan α＝3tan β， ∴sin 2α＝4sin 2β， ① tan 2α＝9tan 2β，② 由①÷②得：9cos 2α＝4cos 2β，③①＋③得：sin 2α＋9cos 2α＝4， ∵cos 2α＋sin 2α＝1， ∴cos 2α＝38，即cos α＝±64.答案：(1)B (2)±64典题导入[例2] (1)tan (π＋α)cos (2π＋α)sin ⎝⎛⎭⎫α－3π2cos (－α－3π)sin (－3π－α)＝________.(2)已知A ＝sin (k π＋α)sin α＋cos (k π＋α)cos α(k ∈Z )，则A 的值构成的集合是( )A ．{1，－1,2，－2}B ．{－1,1}C ．{2，－2}D ．{1，－1,0,2，－2}[自主解答] (1)原式＝tan αcos αsin ⎣⎡⎦⎤－2π＋⎝⎛⎭⎫α＋π2cos (3π＋α)[－sin (3π＋α)]＝tan αcos αsin ⎝⎛⎭⎫π2＋α(－cos α)sin α＝tan αcos αcos α(－cos α)sin α＝－tan αcos αsin α＝－sin αcos α·cos αsin α＝－1.(2)当k 为偶数时，A ＝sin αsin α＋cos αcos α＝2；k 为奇数时，A ＝－sin αsin α－cos αcos α＝－2.[答案] (1)－1 (2)C由题悟法利用诱导公式化简求值时的原则(1)“负化正”，运用－α的诱导公式将任意负角的三角函数化为任意正角的三角函数．(2)“大化小”，利用k ·360°＋α(k ∈Z )的诱导公式将大于360°的角的三角函数化为0°到360°的三角函数．(3)“小化锐”，将大于90°的角化为0°到90°的角的三角函数．(4)“锐求值”，得到0°到90°的三角函数后，若是特殊角直接求得，若是非特殊角可由计算器求得．以题试法2．(1)(2012·滨州模拟)sin 600°＋tan 240°的值等于( ) A ．－32B.2C.3－12D.3＋12(2)已知f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx －β)，其中α，β，a ，b 均为非零实数，若f (2 012)＝－1，则f (2 013)等于________．解析：(1)sin 600°＋tan 240°＝sin(720°－120°)＋tan(180°＋60°)＝－sin 120°＋tan 60°＝－32＋3＝32. (2)由诱导公式知f (2 012)＝a sin α＋b cos β＝－1，∴f (2 013)＝a sin(π＋α)＋b cos(π－β)＝－(a sin α＋b cos β)＝1. 答案：(1)B (2)1典题导入[例3] 在△ABC 中，若sin(2π－A )＝－2sin(π－B )，3cos A ＝－2cos (π－B )，求△ABC 的三个内角．[自主解答] 由已知得sin A ＝2sin B ，3cos A ＝2cos B 两式平方相加得2cos 2A ＝1， 即cos A ＝22或cos A ＝－22. (1)当cos A ＝22时，cos B ＝32，又角A 、B 是三角形的内角， ∴A ＝π4，B ＝π6，∴C ＝π－(A ＋B )＝7π12.(2)当cos A ＝－22时，cos B ＝－32， 又角A 、B 是三角形的内角，∴A ＝3π4，B ＝5π6，不合题意．综上知，A ＝π4，B ＝π6，C ＝7π12.由题悟法1．诱导公式在三角形中经常使用，常用的角的变形有：A ＋B ＝π－C,2A ＋2B ＝2π－2C ，A 2＋B 2＋C 2＝π2等，于是可得sin(A ＋B )＝sin C ，cos A ＋B 2＝sin C2等； 2．求角时，通常是先求出该角的某一个三角函数值，再结合其范围，确定该角的大小．以题试法3．在三角形ABC 中， (1)求证：cos 2A ＋B 2＋cos 2C2＝1；(2)若cos ⎝⎛⎭⎫π2＋A sin ⎝⎛⎭⎫32π＋B tan (C －π)<0，求证：三角形ABC 为钝角三角形． 证明：(1)在△ABC 中，A ＋B ＝π－C ，则A ＋B 2＝π2－C2，所以cos A ＋B 2＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－C 2＝sin C2， 故cos 2A ＋B 2＋cos 2C2＝1.(2)若cos ⎝⎛⎭⎫π2＋A sin ⎝⎛⎭⎫32π＋B tan (C －π)<0， 则(－sin A )(－cos B )tan C <0， 即sin A cos B tan C <0，∵在△ABC 中，0<A <π，0<B <π，0<C <π，∴sin A >0，⎩⎪⎨⎪⎧ cos B <0，tan C >0或⎩⎪⎨⎪⎧tan C <0，cos B >0，∴B 为钝角或C 为钝角，故△ABC 为钝角三角形．[典例] 已知－π2<x <0，sin x ＋cos x ＝15则sin x －cos x ＝ .[常规解法] 由sin x ＋cos x ＝15，与sin 2x ＋cos 2x ＝1联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧sin x ＋cos x ＝15，sin 2x ＋cos 2x ＝1，解得⎩⎨⎧sin x ＝45，cos x ＝－35或⎩⎨⎧ sin x ＝－35，cos x ＝45，∵－π2<x <0，∴⎩⎨⎧sin x ＝－35，cos x ＝45，∴sin x －cos x ＝－75.[答案] －75——————[高手支招]—————————————————————————— 1．上述解法易理解掌握，但计算量较大，很容易出错．若利用sin α＋cos α，sin α·cos α，sin α－cos α三者之间的关系，即(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α；(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α；(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2，问题迎刃而解．2．对所求式子进行恒等变形时，注意式子正、负号的讨论与确定．—————————————————————————————————————— [巧思妙解] sin x ＋cos x ＝15，两边平方得，1＋sin 2x ＝125，∴sin 2x ＝－2425.∴(sin x －cos x )2＝1－sin 2x ＝4925，又∵－π2<x <0，∴sin x <0，cos x >0，∴sin x －cos x ＝－75.针对训练已知sin θ、cos θ是关于x 的方程x 2－ax ＋a ＝0的两根，则a ＝________. 解析：由题意知，原方程判别式Δ≥0， 即(－a )2－4a ≥0，∴a ≥4或a ≤0.∵⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＋cos θ＝a ，sin θcos θ＝a ，又(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ， ∴a 2－2a －1＝0，∴a ＝1－2或a ＝1＋2(舍去)． 答案：1－ 21．已知sin(θ＋π)<0，cos(θ－π)>0，则下列不等关系中必定成立的是( ) A ．sin θ<0，cos θ>0 B ．sin θ>0，cos θ<0 C ．sin θ>0，cos θ>0D ．sin θ<0，cos θ<0解析：选B sin(θ＋π)<0，∴－sin θ<0，sin θ>0. ∵cos(θ－π)>0，∴－cos θ>0.∴cos θ<0.2．(2012·安徽名校模拟)已知tan x ＝2，则sin 2x ＋1＝( ) A ．0 B.95 C.43D.53解析：选B sin 2x ＋1＝2sin 2x ＋cos 2x sin 2x ＋cos 2x ＝2tan 2x ＋1tan 2x ＋1＝95.3．(2012·江西高考)若sin α＋cos αsin α－cos α＝12，则tan 2α＝( )A ．－34B.34 C ．－43D.43解析：选B ∵sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝12，∴tan α＝－3.∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝34. 4．(2012·淄博模拟)已知sin 2α＝－2425，α∈⎝⎛⎭⎫－π4，0，则sin α＋cos α＝( ) A ．－15B.15 C ．－75D.75解析：选B (sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝1＋sin 2α＝125，又α∈⎝⎛⎭⎫－π4，0，sin α＋cos α>0，所以sin α＋cos α＝15.5．已知cos ⎝⎛⎭⎫π2－φ＝32，且|φ|<π2，则tan φ＝( ) A ．－33B.33C ．－ 3D. 3解析：选D cos ⎝⎛⎭⎫π2－φ＝sin φ＝32， 又|φ|<π2，则cos φ＝12，所以tan φ＝ 3.6．已知2tan α·sin α＝3，－π2＜α＜0，则sin α＝( )A.32B ．－32C.12D ．－12解析：选B 由2tan α·sin α＝3得，2sin 2αcos α＝3，即2cos 2α＋3cos α－2＝0，又－π2＜α＜0，解得cos α＝12(cos α＝－2舍去)，故sin α＝－32. 7．cos ⎝⎛⎭⎫－17π4－sin ⎝⎛⎭⎫－17π4的值是________． 解析：原式＝cos 17π4＋sin 17π4＝cos π4＋sin π4＝ 2.答案： 28．若sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝2，则sin(θ－5π)sin ⎝⎛⎭⎫3π2－θ＝________. 解析：由sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝2，得sin θ＋cos θ＝2(sin θ－cos θ)，两边平方得：1＋2sin θcos θ＝4(1－2sin θcos θ)，故sin θcos θ＝310，∴sin(θ－5π)sin ⎝⎛⎭⎫3π2－θ＝sin θcos θ＝310. 答案：3109．(2012·中山模拟)已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝23，则sin ⎝⎛⎭⎫α－2π3＝________. 解析：sin ⎝⎛⎭⎫α－2π3＝sin ⎣⎡⎦⎤－π2－⎝⎛⎭⎫π6－α ＝－sin ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫π6－α＝－cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝－23. 答案：－2310．求值：sin(－1 200°)·cos 1 290°＋cos(－1 020°)·sin(－1 050°)＋tan 945°. 解：原式＝－sin 1 200°·cos 1 290°＋cos 1 020°·(－sin 1 050°)＋tan 945° ＝－sin 120°·cos 210°＋cos 300°·(－sin 330°)＋tan 225° ＝(－sin 60°)·(－cos 30°)＋cos 60°·sin 30°＋tan 45° ＝32×32＋12×12＋1＝2. 11．已知cos(π＋α)＝－12，且α是第四象限角，计算：(1)sin(2π－α)；(2)sin [α＋(2n ＋1)π]＋sin [α－(2n ＋1)π]sin (α＋2n π)cos (α－2n π)(n ∈Z )．解：∵cos(π＋α)＝－12，∴－cos α＝－12，cos α＝12.又∵α是第四象限角， ∴sin α＝－1－cos 2α＝－32. (1)sin(2π－α)＝sin [2π＋(－α)]＝sin(－α) ＝－sin α＝32； (2)sin [α＋(2n ＋1)π]＋sin [α－(2n ＋1)π]sin (α＋2n π)·cos (α－2n π)＝sin (2n π＋π＋α)＋sin (－2n π－π＋α)sin (2n π＋α)·cos (－2n π＋α)＝sin (π＋α)＋sin (－π＋α)sin α·cos α＝－sin α－sin (π－α)sin α·cos α＝－2sin αsin αcos α＝－2cos α＝－4.12．(2012·信阳模拟)已知角α的终边经过点P ⎝⎛⎭⎫45，－35. (1)求sin α的值；(2)求sin ⎝⎛⎭⎫π2－αsin (α＋π)·tan (α－π)cos (3π－α)的值．解：(1)∵|OP |＝1， ∴点P 在单位圆上．由正弦函数的定义得sin α＝－35.(2)原式＝cos α－sin α·tan α－cos α＝sin αsin α·cos α＝1cos α，由余弦函数的定义得cos α＝45.故所求式子的值为54.1．已知1＋sin x cos x ＝－12，那么cos xsin x －1的值是( )A.12B ．－12C ．2D ．－2解析：选A 由于1＋sin x cos x ·sin x －1cos x ＝sin 2x －1cos 2x ＝－1，故cos x sin x －1＝12. 2．若角α的终边上有一点P (－4，a )，且sin α·cos α＝34，则a 的值为( ) A ．4 3B ．±4 3C ．－43或－433D. 3解析：选C 依题意可知角α的终边在第三象限，点P (－4，a )在其终边上且sin α·cos α＝34易得tan α＝3或33，则a ＝－43或－433. 3．已知A 、B 、C 是三角形的内角，3sin A ，－cos A 是方程x 2－x ＋2a ＝0的两根． (1)求角A ； (2)若1＋2sin B cos Bcos 2B －sin 2B＝－3，求tan B .解：(1)由已知可得，3sin A －cos A ＝1.① 又sin 2A ＋cos 2A ＝1，所以sin 2A ＋(3sin A －1)2＝1，即4sin 2A －23sin A ＝0， 得sin A ＝0(舍去)或sin A ＝32， 则A ＝π3或2π3，将A ＝π3或2π3代入①知A ＝2π3时不成立，故A ＝π3.(2)由1＋2sin B cos Bcos 2B －sin 2B＝－3，得sin 2B －sin B cos B －2cos 2B ＝0， ∵cos B ≠0，∴tan 2B －tan B －2＝0， ∴tan B ＝2或tan B ＝－1.∵tan B ＝－1使cos 2B －sin 2B ＝0，舍去， 故tan B ＝2.1．已知sin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝m ，则cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α等于( ) A ．mB ．－m C.1－m 2D ．－1－m 2解析：选A ∵sin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝m ， ∴cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝m . 2．求证：sin θ(1＋tan θ)＋cos θ⎝⎛⎭⎫1＋1tan θ＝1sin θ＋1cos θ. 证明：左边＝sin θ⎝⎛⎭⎫1＋sin θcos θ＋cos θ⎝⎛⎭⎫1＋cos θsin θ ＝sin θ＋sin 2θcos θ＋cos θ＋cos 2θsin θ＝⎝⎛⎭⎫sin θ＋cos 2θsin θ＋⎝⎛⎭⎫cos θ＋sin 2θcos θ ＝sin 2θ＋cos 2θsin θ＋cos 2θ＋sin 2θcos θ＝1sin θ＋1cos θ＝右边． 3．已知sin(π－α)－cos(π＋α)＝23⎝⎛⎭⎫π2<α<π.求下列各式的值：(1)sin α－cos α；(2)sin 3⎝⎛⎭⎫π2－α＋cos 3⎝⎛⎭⎫π2＋α. 解：由sin(π－α)－cos(π＋α)＝23， 得sin α＋cos α＝23，① 将①两边平方，得1＋2sin α·cos α＝29，故2sin α·cos α＝－79.又π2<α<π，∴sin α>0，cos α<0. (1)(sin α－cos α)2＝1－2sin α·cos α＝1－⎝⎛⎭⎫－79＝169，∴sin α－cos α＝43. (2)sin 3⎝⎛⎭⎫π2－α＋cos 3⎝⎛⎭⎫π2＋α＝cos 3α－sin 3α＝(cos α－sin α)(cos 2α＋cos α·sin α＋sin 2α)＝－43×⎝⎛⎭⎫1－718＝－2227. 第三节三角函数图象与性质[知识能否忆起]1．周期函数 (1)周期函数的定义：对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么函数f (x )就叫做周期函数．T 叫做这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期．2．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质[小题能否全取]1．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫π4－x 的定义域是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠π4，x ∈R B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠－π4，x ∈R C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π－3π4，k ∈Z ，x ∈R D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ≠k π＋3π4，k ∈Z ，x ∈R 解析：选D ∵x －π4≠k π＋π2，∴x ≠k π＋3π4，k ∈Z .2．(教材习题改编)下列函数中，最小正周期为π的奇函数是( ) A ．y ＝cos 2xB ．y ＝sin 2xC ．y ＝tan 2xD ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2 解析：选B 选项A 、D 中的函数均为偶函数，C 中函数的最小正周期为π2，故选B.3．函数y ＝|sin x |的一个单调增区间是( ) A.⎝⎛⎭⎫－π4，π4 B.⎝⎛⎭⎫π4，3π4 C.⎝⎛⎭⎫π，3π2D.⎝⎛⎭⎫3π2，2π解析：选C 作出函数y ＝|sin x |的图象观察可知，函数y ＝|sin x |在⎝⎛⎭⎫π，3π2上递增． 4．比较大小，sin ⎝⎛⎭⎫－π18________sin ⎝⎛⎭⎫－π10. 解析：因为y ＝sin x 在⎣⎡⎦⎤－π2，0上为增函数且－π18>－π10，故sin ⎝⎛⎭⎫－π18>sin ⎝⎛⎭⎫－π10. 答案：>5．(教材习题改编)y ＝2－3cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的最大值为________．此时x ＝________. 解析：当cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝－1时，函数y ＝2－3cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4取得最大值5，此时x ＋π4＝π＋2k π，从而x ＝34π＋2k π，k ∈Z .答案：5 34π＋2k π，k ∈Z1.求三角函数的单调区间时，应先把函数式化成y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0)的形式，再根据三角函数的单调区间，求出 x 所在的区间．应特别注意，考虑问题应在函数的定义域内． 注意区分下列两种形式的函数单调性的不同：(1)y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π4；(2)y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－ωx . 2．周期性是函数的整体性质，要求对于函数整个定义 域内的每一个x 值都满足f (x ＋T )＝f (x )，其中T 是不为零的 常数．如果只有个别的x 值满足f (x ＋T )＝f (x )，或找到哪怕 只有一个x 值不满足f (x ＋T )＝f (x )，都不能说T 是函数f (x ) 的周期．典题导入[例1] (1)(2012·湛江调研)函数y ＝lg(sin x )＋cos x －12的定义域为________．(2)函数y ＝sin 2x ＋sin x －1的值域为( ) A ．[－1,1] B.⎣⎡⎦⎤－54，－1 C.⎣⎡⎦⎤－54，1D.⎣⎡⎦⎤－1，54 [自主解答] (1)要使函数有意义必须有⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0，cos x －12≥0， 即⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0，cos x ≥12，解得⎩⎪⎨⎪⎧2k π<x <π＋2k π，－π3＋2k π≤x ≤π3＋2k π(k ∈Z )， ∴2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z ，∴函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z .(2)y ＝sin 2x ＋sin x －1，令sin x ＝t ，则有y ＝t 2＋t －1，t ∈[－1,1]，画出函数图象如图所示，从图象可以看出，当t ＝－12及t ＝1时，函数取最值，代入y ＝t 2＋t －1可得y ∈⎣⎡⎦⎤－54，1. [答案] (1)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z (2)C若本例(2)中x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，试求其值域． 解：令t ＝sin x ，则t ∈[0,1]． ∴y ＝t 2＋t －1＝⎝⎛⎭⎫t ＋122－54. ∴y ∈[－1,1]．∴函数的值域为[－1,1]．由题悟法1．求三角函数定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．2．求解涉及三角函数的值域(最值)的题目一般常用以下方法： (1)利用sin x 、cos x 的值域；(2)形式复杂的函数应化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式逐步分析ωx ＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域(如本例以题试法(2))；(3)换元法：把sin x 或cos x 看作一个整体，可化为求函数在给定区间上的值域(最值)问题(如例1(2))．以题试法1．(1)函数y ＝2＋log 12x ＋tan x 的定义域为________．(2)(2012·山西考前适应性训练)函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的值域为( ) A.⎣⎡⎦⎤－32，32B.⎣⎡⎦⎤－32，3 C.⎣⎡⎦⎤－332，332D.⎣⎡⎦⎤－332，3 解析：(1)要使函数有意义则⎩⎪⎨⎪⎧2＋log 12x ≥0，x >0，tan x ≥0，x ≠k π＋π2，k ∈Z ⇒⎩⎪⎨⎪⎧0<x ≤4，k π≤x <k π＋π2(k ∈Z ). 利用数轴可得函数的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪0<x <π2，或π≤x ≤4.(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，5π6，sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－12，1， 故3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－32，3即此时函数f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤－32，3. 答案：(1)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪0<x <π2，或π≤x ≤4 (2)B典题导入[例2] (2012·华南师大附中模拟)已知函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x ，求： (1)函数的周期；(2)求函数在[－π，0]上的单调递减区间．[自主解答] 由y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x 可化为y ＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. (1)周期T ＝2πω＝2π2＝π.(2)令2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z .所以x ∈R 时，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x 的减区间为⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z . 从而x ∈[－π，0]时，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x 的减区间为⎣⎡⎦⎤－π，－7π12，⎣⎡⎦⎤－π12，0.由题悟法求三角函数的单调区间时应注意以下几点：(1)形如y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的函数的单调区间，基本思路是把ωx ＋φ看作是一个整体，由－π2＋2k π≤ωx ＋φ≤π2＋2k π(k ∈Z )求得函数的增区间，由π2＋2k π≤ωx ＋φ≤3π2＋2k π(k∈Z )求得函数的减区间．(2)形如y ＝A sin(－ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的函数，可先利用诱导公式把x 的系数变为正数，得到y ＝－A sin(ωx －φ)，由－π2＋2k π≤ωx －φ≤π2＋2k π(k ∈Z )得到函数的减区间，由π2＋2k π≤ωx －φ≤3π2＋2k π(k ∈Z )得到函数的增区间．(3)对于y ＝A cos(ωx ＋φ)，y ＝A tan(ωx ＋φ)等，函数的单调区间求法与y ＝A sin(ωx ＋φ)类似．以题试法2．(1)函数y ＝|tan x |的增区间为________．(2)已知函数f (x )＝sin x ＋3cos x ，设a ＝f ⎝⎛⎭⎫π7，b ＝f ⎝⎛⎭⎫π6，c ＝f ⎝⎛⎭⎫π3，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a <b <cB ．c <a <bC ．b <a <cD ．b <c <a解析：(1)作出y ＝|tan x |的图象，观察图象可知，y ＝|tan x |的增区间是⎣⎡⎭⎫k π，k π＋π2，k ∈Z .(2)f (x )＝sin x ＋3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，因为函数f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π6上单调递增，所以f ⎝⎛⎭⎫π7<f ⎝⎛⎭⎫π6，而c ＝f ⎝⎛⎫π3＝2sin 2π3＝2sin π3＝f (0)<f ⎝⎛⎭⎫π7， 所以c <a <b .答案：(1)⎣⎡⎭⎫k π，k π＋π2，k ∈Z (2)B典题导入[例3] (2012·广州调研)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋3π2(x ∈R )，给出下面四个命题： ①函数f (x )的最小正周期为π；②函数f (x )是偶函数；③函数f (x )的图象关于直线x ＝π4对称；④函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上是增函数．其中正确命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4[自主解答] 函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋3π2＝－cos 2x ，则其最小正周期为π，故①正确；易知函数f (x )是偶函数，②正确；由f (x )＝－cos 2x 的图象可知，函数f (x )的图象不关于直线x ＝π4对称，③错误；由f (x )的图象易知函数f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上是增函数，故④正确．综上可知，选C. [答案] C由题悟法1．三角函数的奇偶性的判断技巧首先要对函数的解析式进行恒等变换，再根据定义、诱导公式去判断所求三角函数的奇偶性；也可以根据图象做判断．2．求三角函数周期的方法 (1)利用周期函数的定义．(2)利用公式：y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2π|ω|，y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为π|ω|.(3)利用图象． 3．三角函数的对称性正、余弦函数的图象既是中心对称图形，又是轴对称图形．正切函数的图象只是中心对称图形，应熟记它们的对称轴和对称中心，并注意数形结合思想的应用．以题试法3．(1)(2012·青岛模拟)下列函数中，周期为π，且在⎣⎡⎦⎤π4，π2上为减函数的是( ) A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 B ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π2 (2)(2012·遵义模拟)若函数f (x )＝sin ax ＋cos ax (a >0)的最小正周期为1，则它的图象的一个对称中心为( )A.⎝⎛⎭⎫－π8，0 B ．(0,0) C.⎝⎛⎭⎫－18，0D.⎝⎛⎭⎫18，0解析：(1)选A 对于选项A ，注意到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝cos 2x 的周期为π，且在⎣⎡⎦⎤π4，π2上是减函数．(2)选C 由条件得f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ax ＋π4，又函数的最小正周期为1，故2πa ＝1，∴a ＝2π，故f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2πx ＋π4.将x ＝－18代入得函数值为0.含有参数的三角函数问题，一般属于逆向型思 维问题，难度相对较大一些.正确利用三角函数的 性质求解此类问题，是以熟练掌握三角函数的各 条性质为前提的，解答时通常将方程的思想与待定系数法相结合.下面就利用三角函数性质求解参 数问题进行策略性的分类解析. 1．根据三角函数的单调性求解参数[典例1] 已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(ω>0)的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－5π12，k π＋π12(k ∈Z )，单调递减区间为⎣⎡⎦⎤k π＋π12，k π＋7π12(k ∈Z )，则ω的值为________． [解析] 由题意，得⎝⎛⎭⎫k π＋7π12－⎝⎛⎭⎫k π－5π12＝π，即函数f (x )的周期为π，则ω＝2. [答案] 2[题后悟道] 解答此类问题时要注意单调区间的给出方式，如“函数f (x )在⎣⎡⎦⎤k π－5π12，k π＋π12(k ∈Z )上单调递增”与“函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－5π12，k π＋π12(k ∈Z )”，二者是不相同的．针对训练1．(2012·荆州模拟)若函数y ＝2cos ωx 在区间⎣⎡⎦⎤0，2π3上递减，且有最小值1，则ω的值可以是( )A ．2 B.12 C ．3D.13解析：选B 由y ＝2cos ωx 在⎣⎡⎦⎤0，2π3上是递减的，且有最小值为1，则有f ⎝⎛⎭⎫2π3＝1，即2×cos ⎝⎛⎫ω×2π3＝1， 即cos ⎝⎛⎭⎫2π3ω＝12，检验各选项，得出B 项符合． 2．根据三角函数的奇偶性求解参数[典例2] 已知f (x )＝cos ()3x ＋φ－3sin(3x ＋φ)为偶函数，则φ可以取的一个值为( )A.π6B.π3 C ．－π6D ．－π3[解析]f (x )＝2⎣⎡⎦⎤12cos (3x ＋φ)－32sin (3x ＋φ)＝2cos ⎣⎡⎦⎤(3x ＋φ)＋π3＝2cos ⎣⎡⎦⎤3x ＋⎝⎛⎭⎫φ＋π3，由f (x )为偶函数，知φ＋π3＝k π(k ∈Z )，即φ＝k π－π3(k ∈Z )，由所给选项。
2017_2018学年高中数学第三章三角恒等变换3.3三角函数的积化和差与和差化积同步过关提升特训新人教B版必修4
3.3 三角函数的积化和差与和差化积课时过关·能力提升1.式子sin 15°sin 105°的值等于()A.B.-C.D.-=-[cos 120°-cos(-90°)]=-.2.式子sin 20°+cos 10°可化简为()A.sin 50°B.cos 50°C.sin 50°D.cos 50°+cos 10°=sin 20°+sin 80°=2sin 50°cos 30°=sin 50°.3.若cos(α+β)cos(α-β)=,则cos2α-sin2β等于()A.-B.-C.D.cos(α+β)cos(α-β)=(cos αcos β-sin αsin β)·(cos αcos β+sin αsin β)=cos2αcos2β-sin2αsin2β=cos2α(1-sin2β)-sin2αsin2β=cos2α-cos2αsin2β-sin2αsin2β=cos2α-sin2β(cos2α+sin2α)=cos2α-sin2β,知cos2α-sin2β=.★4.已知直角三角形中两锐角为A和B,则sin A sin B()A.有最大值和最小值0B.有最大值,但无最小值C.既无最大值,也无最小值D.有最大值1,但无最小值A sin B=-[cos(A+B)-cos(A-B)]=-cos(A-B).又0<A<,0<B<,所以-<A-B<,于是0<cos(A-B)≤1,故0<sin A sin B≤.5.cos 72°-cos 36°等于()A.3-2B.C.-D.--cos 36°=-2sin 54°sin 18°=-2sin 18°cos 36°====-=-.6.已知α-β=,且cos α-cos β=,则cos(α+β)等于()A. B. C. D.cos α-cos β=-2sin sin=-2sin sin=-sin,因此sin=-,于是cos(α+β)=1-2sin2=1-2×.7.cos 20°+cos 60°+cos 100°+cos 140°的值为.+cos 60°+cos 100°+cos 140°=cos 20°+cos 100°+cos 140°+=2cos 60°cos(-40°)+cos 140°+=cos 40°+cos 140°+=cos 40°-cos 40°+.8.若cos2α-cos2β=m,则sin(α+β)sin(α-β)=.α+β)sin(α-β)=-(cos 2α-cos 2β)=-[(2cos2α-1)-(2cos2β-1)]=cos2β-cos2α=-m.9.若x为锐角三角形的内角,则函数y=sin+sin x的值域为.2sin cos sin.由条件,知<x+,所以<sin≤1.所以y∈.10.化简:.====cot 4α.★11.已知△ABC的三个内角A,B,C满足A+C=2B,=-,求cos的值.B=60°,A+C=120°,∴-=-=-2,∴=-2.将上式化简为cos A+cos C=-2cos A cos C,则2cos cos=-[cos(A+C)+cos(A-C)].将cos=cos 60°=,cos(A+C)=cos 120°=-代入上式,得cos cos(A-C).将cos(A-C)=2cos2-1代入上式并整理,得4cos2+2cos-3=0,即=0.∵2cos+3≠0,∴2cos=0.∴cos.。
2017_2018学年高中数学第一章三角函数1.3三角函数的诱导公式第2课时三角函数的诱导公式五～六
第 2课时 三角函数的诱导公式五～六[课时作业] [A 组 基础巩固]π sin( ＋θ)－cosπ－θ2 1．已知 tan θ＝2，则等于( )πsin( －θ)－sinπ－θ2A ．2B ．－2C ．0D ．3π sin ( ＋θ)－cosπ－θ2 cos θ＋cos θ 2解析： ＝ ＝ ＝－2.πcos θ－sin θ 1－tan θsin ( －θ)－sinπ－θ2答案：B13π2．如果 sin(π－α)＝－3，那么 cos (－α)的值为()21 1 A. B ．－3 3 2 2 2 2 C. D ．－33 1 1 解析：∵sin (π－α)＝－ ，∴sin α＝－ ， 333ππ1 则 cos(－α)＝－cos( －α)＝－sin α＝ .22 3答案：A33．化简： 1－sin 2(π－α)＝( )2 A ．sin α B ．|sin α| C ．cos αD ．|cos α|解析：原式＝ 1－cos 2α＝ sin 2α＝|sin α|. 答案：B4．若 f (sin x )＝3－cos 2x ，则 f (cos x )＝( ) A ．3－cos 2x B ．3－sin 2x C ．3＋cos 2xD ．3＋sin 2xπ解析：f (cos x )＝f [sin( －x )]＝3－cos(π－2x )＝3＋cos 2x .2答案：C1π5．已知 α 为锐角，且 2tan(π－α)－3cos ( ＋β)＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)＝21，则 sin α＝( )3 5 3 7 A. B. 5 7 3 10 1 C. D. 103解析：利用诱导公式化简为Error! 3 解得：tan α＝3，由Error!得 sin α＝.10 10答案：C16．已知 cos(75°＋α)＝ 且－180°<α<－9 0°，则 cos(15°－α)＝________.31解析：因为 cos(75°＋α)＝ 且－180°<α<－90°，32 2 所以 sin(75°＋α)＝－， 32 2 故 cos(15°－α)＝cos[90°－(75°＋α)]＝sin(75°＋α)＝－.32 2 答案：－ 34 π37．sin(π＋θ)＝ ，sin＝ ，则 θ 角的终边在第________象限．5( ＋θ)254 4 解析：因为 sin(π＋θ)＝ ，所以 sin θ＝－ <0，5 5π3 3 因为 sin( ＋θ)＝ ，所以 cos θ＝ >0，255所以 θ 角的终边在第四象限． 答案：四8．若 sin(180°＋α)＋cos (90°＋α)＝－a ，则 cos (270°－α)＋2sin (360°－α)的值 是________．a解析：由已知得 sin α＝ ，2a3a ∴cos (270°－α)＋2sin (360°－α)＝－sin α－2sin α＝－3× ＝－ .2 23a 答案：－ 23 sin 3π－α＋5cos 34π－α9．已知 sin(α－3π)＝cos(α－2π)＋sin(α－ π)，求2 3cos35π＋α－sin3－α的值．23 解析：sin(α－3π)＝cos(α－2π)＋sin(α－π)，2得－sin α＝2cos α.则tan α＝－2，sin3π－α＋5cos34π－α所以3cos35π＋α－sin3－αsin3α＋5cos3α＝－3cos3α＋sin3αtan3α＋5＝－3＋tan3α－23＋5 3＝＝.－3＋－2 3 11510．已知sin α＝，且α是第一象限角．5(1)求cos α的值；3πsin (－α)2(2)求tan(α＋π)＋的值．cosπ－α解析：(1)因为α是第一象限角，所以cos α>0.5 2 5因为sin α＝.所以cos α＝1－sin2α＝.5 5sin α 1(2)因为tan α＝＝.cos α 23πsin (－α)2所以tan(α＋π)＋cosπ－α－cos α 3＝tan α＋＝tan α＋1＝.－cos α 2[B组能力提升]1．若角A，B，C是△ABC的三个内角，则下列等式中一定成立的是() A．cos(A＋B)＝cos C B．sin(A＋B)＝－sin CA B＋C C．cos( ＋C)＝sinB D．sin ＝cos2 2 A 2解析：∵A＋B＋C＝π，∴A＋B＝π－C，∴cos(A＋B)＝－cos C，sin(A＋B)＝sin C.所以A，B都不正确；同理，B＋C＝π－A，B＋CπA A所以sin ＝sin( －)＝cos ，因此D是正确的．2 2 2 23答案：Dπ3 2．若 sin(π＋α)＋cos ( ＋α)＝－m ，则 cos (π－α)＋2sin(2π－α)的值为( )222m 2mA ．－ B. 3 3 3m 3m C ．－ D. 22π解析：因为 sin(π＋α)＋cos( ＋α)2m＝－sin α－sin α＝－m ，所以 sin α＝ ，23故 cos(π－α)＋2sin(2π－α)23 ＝－sin α－2sin α＝－3sin α＝－ m . 2答案：Cπ cos ＋αsin －π－α23．已知角 α 终边上一点 P (－4,3)，则 的值为________．11π 9πcos －αsin＋α 223解析：因为角 α 的终边过点 P (－4,3)，所以 tan α＝－ ，4πcos ＋αsin －π－α2－sin α·sin α 则 ＝＝11π 9π 3π πcos －αsin ＋αcos －αsin ＋α2 22 2－sin 2α sin 2α sin α3＝ ＝＝tan α＝－ .π sin αcos α cos α 4－cos －αcos α2 3 答案：－ 44．已知锐角 α 终边上一点 A 的坐标为(2sin 3，－2cos 3)，则角 α 的弧度数为________．π解析：Error!∵3∈( ，π)，2∴sin 3>0，cos 3<0.即 α 的终边在第一象限．ππππ ∴cosα＝cos( －3)＝cos (3－ 2).又∵3－ 2∈(0， 2)，2π∴α＝3－.2π答案：3－24π π5．是否存在角 α，β，α∈(－， 2)，β∈(0，π)，使得等式 sin(3π－α)＝2π3π－ 2cos( ＋β)与 3cos(－α)＝－ 2sin (－β)同时成立．22解析：存在．所需成立的两个等式可化为 sin α＝ 2sin β， 3cos α＝ 2cos β， 两式两边分别平方相加得： sin 2 α＋3cos 2α＝2， 1 得 2cos 2α＝1，所以 cos 2α＝. 2π π又因为 α∈(－，， 2)2π π 所以 α＝ 或－ . 4 4π 3 当 α＝ 时，由 3cos α＝ 2cos β，得 cos β＝ ， 4 2π 又 β∈(0，π)，所以 β＝ ；6π 1 当 α＝－ 时，由 sin α＝ 2sin β，得 sin β＝－ ， 4 2 而 β∈(0，π)，所以无解．5。
福州市2017-2018学年第一学期高三期末考试文科数学试卷(有答案)
福州市2017-2018学年第一学期高三期末考试文科数学试卷(有答案)福州市2017-2018学年第一学期高三期末考试文科数学试卷（有答案）本试题卷共23题，分为第I卷和第II卷，共计150分，考试时间120分钟。
第I卷一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）1.已知集合A={x(x-6)(x+1)0}，则A∩B=（C）。
2.若复数z=a1为纯虚数，则实数a=（B）。
3.已知a=(12)，b=(-1,1)，c=2a-b，则|c|=（B）。
4.3cos15°-4sin215°cos15°=（D）。
5.已知双曲线C的两个焦点F1F2都在x轴上，对称中心为原点，离心率为3，若点M在C 上，且MF1MF2M到原点的距离为3，则C的方程为（C）。
6.已知圆柱的高为2，底面半径为3，若该圆柱的两个底面的圆周都在同一个球面上，则这个球的表面积等于（B）。
7.右面的程序框图的算法思路源于我国古代著名的《孙子剩余定理》。
图中的Mod(N,m)=n表示正整数N除以正整数m后的余数为n，例如Mod(10,3)=1.执行该程序框图，则输出的i等于（C）。
8.将函数y=2sinx+cosx的图象向右平移1个周期后，所得图象对应的函数为（D）。
二、填空题（共3小题，每小题10分，共30分）9.已知函数y=ln(1-x)，则y''=（B）。
10.已知函数f(x)=x+sinx，则f'(π)的值为（C）。
11.已知函数f(x)=x+sinx，则f(x)在[0,π]上的最小值为（A）。
三、解答题（共8小题，每小题10分，共80分）12.解方程log2(x+1)+log2(x-1)=1.13.已知函数f(x)=x^3-3x^2+2x+1，求f(x)的单调递减区间。
14.已知函数f(x)=x^3-3x^2+2x+1，求f(x)的极值和极值点。
15.已知函数f(x)=x^3-3x^2+2x+1，求f(x)的图象在点(1,1)处的切线方程。
2017_2018学年高中数学课时作业3任意角的三角函数(1)新人教A版必修4
解析：由sinαtanα<0可知sinα，tanα异号，从而α是第二或第三象限角．
由 <0可知cosα，tanα异号，从而α是第三或第四象限角．
综上可知，α是第三象限角．
答案：C
12．若角α的终边与直线y＝3x重合且sinα<0，又P(m，n)是α终边上一点，且|OP|＝ ，则m－n＝________.
所以r＝ |a|，x＝a，y＝2a.
当a>0时，sinα＝ ＝ ＝ ，cosα＝ ＝ ＝ ，tanα＝ ＝ ＝2；
当a<0时sinα＝ ＝ ＝－ ，cosα＝ ＝ ＝－ ，tanα＝ ＝ ＝2.
10．判断下列各式的符号：
(1)α是第四象限角，sinα·tanα；
(2)sin3·cos4·tan .
解析：(1)因为α是第四象限角，
解析：sin(2kπ＋α)＝sinα＝－ <0，则α的终边在第三或第四象限．又点P的横坐标是正数，所以α是第四象限角，所以t<0，又sinα＝ ，所以 ＝－ ，所以t＝－ .
答案：－
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．已知角α的终边过点(a,2a)(a≠0)，求角α的正弦、余弦和正切值．
解析：因为角α的终边过点(a,2a)(a≠0)，
所以sinα<0，tanα<0，
所以sinα·tanα>0.
(2)因为 <3<π，π<4< ，
所以sin3>0，cos4<0，
因为－ ＝－6π＋ ，
所以tan ＝tan >0，
所以sin3·cos4·tan <0.
|能力提升|(20分钟，40分)
11．若sinαtanα<0，且 <0，则角α是()
(通用版)高考数学复习 专题三 三角函数 3.2 解三角形基础题练习 理-人教版高三全册数学试题
3.2 解三角形基础题命题角度1利用正弦、余弦定理解三角形高考真题体验·对方向1.(2019全国Ⅰ·11)△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c.已知a sin A-b sin B=4c sin C ,cosA=-14,则bb =()A.6B.5C.4D.3,得a 2-b 2=4c 2,由余弦定理的推论,得-14=cos A=b 2+b 2-b 22bb, ∴b 2-4b 22bb =-14,∴-3b 2b =-14,∴b b =32×4=6,故选A .2.(2018全国Ⅱ·6)在△ABC 中,cos b2=√55,BC=1,AC=5,则AB=()A.4√2B.√30C.√29D.2√5cos C=2cos 2b 2-1=-35,∴AB 2=BC 2+AC 2-2BC ·AC cos C=1+25+2×1×5×35=32.∴AB=4√2.3.(2018全国Ⅲ·9)△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c.若△ABC 的面积为b 2+b 2-b 24,则C=()A.π2B.π3C.π4D.π6S=b2+b2-b24=12ab sin C,得c2=a2+b2-2ab sin C.又由余弦定理c2=a2+b2-2ab cos C,∴sin C=cos C,即C=π4.4.(2017某某·9)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若△ABC为锐角三角形,且满足sin B(1+2cos C)=2sin A cos C+cos A sin C,则下列等式成立的是()A.a=2bB.b=2aC.A=2BD.B=2Asin B(1+2cos C)=2sin A cos C+cos A sin C,∴sin B+2sin B cos C=(sin A cos C+cos A sin C)+sin A cos C,∴sin B+2sin B cos C=sin B+sin A cos C, ∴2sin B cos C=sin A cos C,又△ABC为锐角三角形,∴2sin B=sin A,由正弦定理,得a=2b.故选A.5.(2019全国Ⅱ·15)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若b=6,a=2c,B=π3,则△ABC的面积为.√3b2=a2+c2-2ac cos B,∴(2c)2+c2-2×2c×c×12=62,即3c 2=36,解得c=2√3或c=-2√3(舍去).∴a=2c=4√3.∴S △ABC =12ac sin B=12×4√3×2√3×√32=6√3.典题演练提能·刷高分1.在△ABC 中,若原点到直线x sin A+y sin B+sin C=0的距离为1,则此三角形为()A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.不能确定解析由已知可得√22=1,∴sin 2C=sin 2A+sin 2B ,∴c 2=a 2+b 2,故三角形为直角三角形.选A .2.在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若2b cos C+c=2a ,且b=√13,c=3,则a=() A.1 B.√6C.2√2D.42b cos C+c=2a ,由正弦定理可得2sin B cos C+sin C=2sin A=2sin(B+C )=2sin B cos C+2cos B sin C ,∴sin C=2cos B sin C ,∵sin C ≠0,∴cos B=12.由余弦定理可得b 2=a 2+c 2-2ac cos B ,又知b=√13,c=3,解得a=4.故选D .3.(2019某某某某高三质检)已知△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,若a sin B=2b sinC ,b=3,cos B=14,则△ABC 的面积为()A.9√15B.9√1516C.3√1516D.916a sin B=2b sin C ,结合正弦定理可得ab=2bc ,则a=2c.由余弦定理b 2=a 2+c 2-2ac cos B ,可得9=(2c )2+c 2-2×2c ×c ×14,解得c=32,则a=3.又sin B=√1-cos 2b =√154,所以S △ABC =12ac sin B=12×3×32×√154=9√1516.故选B .4.在△ABC 中,A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若2cos 2b +b2-cos 2C=1,4sin B=3sin A ,a-b=1,则c 的值为()A.√13B.√7C.√37D.6解析∵2cos2b +b2=2cos 2π-b 2=2cos 2π2−b 2=2sin 2b2=1-cos C ,∴1-cos C-cos2C=1.∴cos2C=-cos C.∴2cos 2C+cos C-1=0,解得cos C=12.因为{b -b =1,4b =3b ,故得到{b =3,b =4.根据余弦定理得到12=b 2+b 2-b 22bb,解得c 的值为√13.5.△ABC 内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若a=5,B=π3,cos A=1114,则△ABC 的面积S=()A.10√33B.10C.10√3D.20√3cos A=1114,所以sin A=5√314,由正弦定理得到bsin b=bsin b,解得b=7,由正弦定理得到sin C=sin(A+B )=4√37,△ABC 的面积S=12×5×7×4√37=10√3.6.(2019某某某某高三二调)在△ABC 中,角A ,B ,C 成等差数列,且对边分别为a ,b ,c ,若bb ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·bb ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =20,b=7,则△ABC 的内切圆的半径为()A.√3B.7√33C.2D.3角A ,B ,C 成等差数列,∴2B=A+C=π-B ,即B=π3,∴bb ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·bb ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =ca cos π3=20,即ca=40,由余弦定理b 2=c 2+a 2-2ca cos B ,可得49=a 2+c 2-ac=(a+c )2-3ac=(a+c )2-120,解得a+c=13.故a=5,c=8.设△ABC 的内切圆的半径为r ,则12(a+b+c )r=12ac sin B ,可得12(5+8+7)r=12×5×8×√32,可得△ABC 的内切圆的半径r=√3.故选A .7.如图,平面四边形ABCD 中,AC 与BD 交于点P ,若3bb ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +bb ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3bb ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AB=AD=√3BC ,∠CAD+∠ACB=56π,则bbbb=() A.√213B.√214C.2√63D.√62BC=1,则AB=AD=√3,延长BC 到E ,使BE=3BC ,所以CE=2,依题意3bb ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2bb ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +(bb ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −bb ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=2bb ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +bb ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =bb ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +bb ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =bb ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以AC ∥DE ,所以bb bb=bb bb=12,由正弦定理得{bb sin b =bbsin b ,bb sin b=bb sin b,两式相除得2sin b=√3sin b, 所以2sin5π6-α=√3sin α,所以α=π2,β=π3.在△ABC 中,由余弦定理得3=1+AC 2-2AC cos π3,AC=2,在Rt △ACD 中CD=√3+4=√7,故bbbb =√7√3=√213,选A .8.在△ABC 中,AB=2,AC=√7,∠ABC=2π3,则BC=.,根据余弦定理得AC 2=AB 2+BC 2-2AB ·BC ·cos B ,即BC 2+2BC-3=0,解得BC=1,或BC=-3(舍去负值).9.在△ABC 中,a=1,b=√7,且△ABC 的面积为√32,则c=.或2√3△ABC =12ab sin C=12×1×√7×sin C=√32,则sin C=√217,cos C=±2√77, 当cos C=2√77时,c 2=1+7-2×1×√7×2√77=4,c=2;当cos C=-2√77时,c 2=1+7+2×1×√7×2√77=12,c=2√3.10.我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五“田域类”里有一个题目:“问有沙田一段,有三斜,其小斜一十三里,中斜一十四里,大斜一十五里.里法三百步.欲知为田几何.”这道题讲的是有一个三角形沙田,三边长分别为13里,14里,15里,假设1里按500米计算,则该三角形沙田外接圆的半径为米..5由题意画出图象,如图所示,且AB=13里=6500米,BC=14里=7000米,AC=15里=7500米.在△ABC 中,由余弦定理有cos B=bb 2+bb 2-bb 22bb ·bb=132+142-1522×13×14=513,B 为锐角,sin B=√1-cos 2b =1213.设△ABC 外接圆半径为R ,则由正弦定理有bsin b =2R ,R=b2sin b =75002×1213=4062.5(米).命题角度2与三角形有关的最值和X 围问题高考真题体验·对方向1.(2015全国Ⅰ·16)在平面四边形ABCD 中,∠A=∠B=∠C=75°,BC=2,则AB 的取值X 围是.√6−√2,√6+√2).作CE ∥AD 交AB 于E ,则∠CEB=75°,∠ECB=30°.在△CBE中,由正弦定理得,EB=√6−√2.延长CD交BA的延长线于F,则∠F=30°.在△BCF中,由正弦定理得,BF=√6+√2,所以AB的取值X围为(√6−√2,√6+√2).2.(2014全国Ⅰ·16)已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,a=2,且(2+b)(sin A-sinB)=(c-b)sin C,则△ABC面积的最大值为.√3,可得(2+b)(a-b)=(c-b)·c.∵a=2,∴a2-b2=c2-bc,即b2+c2-a2=bc.由余弦定理,得cos A=b2+b2-b22bb =12.∴sin A=√32.由b2+c2-bc=4,得b2+c2=4+bc.∵b2+c2≥2bc,即4+bc≥2bc,∴bc≤4.∴S△ABC=12bc·sin A≤√3,即(S△ABC)max=√3.典题演练提能·刷高分1.(2019某某某某高三一模)在△ABC中,AB=2,C=π6,则AC+√3BC的最大值为() A.4√7 B.3√7C.2√7D.√7ABC 中,AB=2,C=π6,则2R=bbsin b =4,则AC+√3BC=4sin B+4√3sin A=4sin 5π6-A +4√3sin A=2cos A+6√3sin A=4√7sin(A+θ),其中sin θ=√714,cos θ=3√2114,由于0<A<5π6,0<θ<π2,所以0<A+θ<4π3,所以最大值为4√7.故选A .2.在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若A=π3,a=2√2,则△ABC 面积的最大值为()A.√2B.2√3C.√6D.√3ABC 中,由余弦定理知a 2=b 2+c 2-2bc cos A ,即8=b 2+c 2-2bc cos π3=b 2+c 2-bc ≥2bc-bc=bc ,即bc ≤8,当且仅当b=c 时,等号成立,所以△ABC 面积的最大值为S=12bc sin A=12×8sin π3=2√3,故选B .3.已知锐角△ABC 中的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若b 2=a (a+c ),则sin 2bsin(b -b )的取值X 围是()A.(0,√22)B.(12,√32) C.(12,√22) D.(0,√32)b 2=a (a+c ),由余弦定理,得a 2+c 2-2ac cos B=a (a+c ), 化简得c-a=2a cos B.由正弦定理,得sin C-sin A=2sin A cos B ,∵C=π-(A+B ),∴sin(A+B )-sin A=2sin A cos B ,化简得sin(B-A )=sin A.∵△ABC 是锐角三角形,∴B-A=A ,即B=2A ,∵{0<b <π2,π2<b +b <π,即{0<2b <π2,π2<3b <π,∴π6<A<π4,∴sin 2bsin(b -b )=sin A ∈(12,√22).4.在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知△ABC 的面积为√3,且cos(b +b )cos b=b2b +b ,则c 的最小值是()A.2B.2√2C.2√3D.4∵cos(b +b )cos b=b 2b +b ,∴-cos b cos b =b2b +b ,∴根据正弦定理可得-cos bcos b =sin b2sin b +sin b ,即-2sin A cos C=sin A.∵sin A ≠0,∴cos C=-12.∵C ∈(0,π),∴C=2π3.∵△ABC 的面积为√3,∴S △ABC =12ab sin C=√3,即ab=4.∵cos C=b 2+b 2-b 22bb=-12, ∴c 2=a 2+b 2+ab ≥2ab+ab=3ab=12,当且仅当a=b 时取等号. ∴c min =2√3,故选C .5.在△ABC 中,已知a 2+b 2-c 2=4S (S 为△ABC 的面积),若c=√2,则a-√22b 的取值X 围是()A.0,√2B.-1,0C.-1,√2D.-√2,√2a 2+b 2-c 2=4S ,∴a 2+b 2-c 2=4×12ab sin C=2ab sin C.∴b 2+b 2-b 22bb =sin C ,∴cos C=sin C.∴C=π4. ∵bsin b =bsin b =bsin b =√2√22=2,∴a=2sin A ,b=2sin B ,又a-√22b=2sin A-√22×2sin B=2sin A-√2sin B=2sin A-√2sin3π4-A=sin A-cos A=√2sin A-π4,∵0<A<3π4,∴-π4<A-π4<π2, ∴-1<√2sin A-π4<√2,∴-1<a-√22b<√2,故选C .6.已知平面四边形ABCD 中,AB=AD=2,BC=CD ,∠BCD=90°,则四边形ABCD 面积的最大值为()A.6B.2+2√3C.2+2√2D.4,设∠DAB=θ,BC=CD=x ,则BD=√2x.在△ABD 中,由余弦定理得BD 2=AB 2+AD 2-2AB ·AD ·cos θ,即(√2x )2=4+4-8cos θ=8-8cos θ,∴x 2=4-4cos θ.∴四边形ABCD 的面积为S=12×22×sin θ+12x 2=2sin θ+(2-2cos θ)=2√2sin θ-π4+2.∵0<θ<π,∴-π4<θ-π4<3π4,∴当θ-π4=π2,即θ=3π4时,S 有最大值,且S max =2√2+2.选C .7.已知点O 是△ABC 的内心,∠BAC=60°,BC=1,则△BOC 面积的最大值为.BOC=180°-180°-60°2=120°,在△OBC 中,BC 2=OB 2+OC 2-2OB ·OC ·cos120°,即1=OB 2+OC 2+OB ·OC ≥3OB ·OC ,即OB ·OC ≤13,所以S △OBC =12OB ·OC sin120°≤√312,当OB=OC 时取得最大值.8.在△ABC 中,AB=AC ,D 为AC 的中点,BD=1,则△ABC 面积的最大值为.ABD 中,设AB=AC=b ,由余弦定理得cos A=b 2+b 24-12b ·b 2=54−1b 2,则sin A=√1-(54-1b 2) 2,所以△ABC 的面积为S=12b 2sin A=12b 2·√1-(54-1b2)2=18√-9(b 2-209)2+2569≤23,所以△ABC 的面积的最大值为23.9.在△ABC 中,角A ,B ,C 所对边的边长分别为a ,b ,c ,若|bb ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −bb ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=3,bb ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·bb ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =6,则△ABC 面积的最大值为.|bb ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −bb ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=3,∴|AB|=3.∵bb ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·bb ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =6,∴ab cos C=6.∴cos C=6bb .由余弦定理得9=a 2+b 2-2ab cos C=a 2+b 2-12≥2ab-12,∴ab ≤212.∴S=12ab sin C=12ab √1-cos 2b=12ab √1-36b 2b 2=12√b 2b 2(1-36b 2b 2 =12√b 2b 2-36≤12√(212) 2-36=3√334.。
2018高考数学(文)大一轮复习习题冲刺985压轴题命题区间(三)三角函数与平面向量Word版含答案
压轴题命题区间(三)三角函数与平面向量已知函数f (x )＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －3cos 2x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2．(1)求f (x )的最大值和最小值；(2)若不等式－2＜f (x )－m ＜2在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上恒成立，求实数m 的取值范围．(1)f (x )＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －3cos 2x＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x －3cos 2x＝1＋sin 2x －3cos 2x ＝1＋2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3， 因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，所以π6≤2x －π3≤2π3，故2≤1＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3≤3，所以f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＝3，f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2． (2)因为－2＜f (x )－m ＜2⇔f (x )－2＜m ＜f (x )＋2，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，所以m ＞f (x )max －2且m ＜f (x )min ＋2．又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2时，f (x )max ＝3，f (x )min ＝2， 所以1＜m ＜4，即m 的取值范围是(1,4)．本题求解的关键在于将三角函数f (x )进行正确的“化一”及“化一”后角的范围的确定，因此，求解时要准确运用三角公式，并借助三角函数的图象和性质去确定函数f (x )的最值．已知函数f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(A ＞0，ω＞0)，g (x )＝tan x ，它们的最小正周期之积为2π2，f (x )的最大值为2g ⎝ ⎛⎭⎪⎫17π4． (1)求f (x )的单调递增区间；(2)设h (x )＝32f 2(x )＋23cos 2x ，当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫a ，π3时，h (x )的最小值为3，求a 的值．解：(1)由题意得2πω·π＝2π2，所以ω＝1．又A ＝2g ⎝ ⎛⎭⎪⎫17π4＝2tan 17π4＝2tan π4＝2，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4． 由2k π－π2≤x ＋π4≤2k π＋π2(k ∈Z)， 得2k π－3π4≤x ≤2k π＋π4(k ∈Z)． 故f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－3π4，2k π＋π4(k ∈Z)． (2)h (x )＝32f 2(x )＋23cos 2x＝32×4sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋23cos 2x＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＋3(cos 2x ＋1)＝3＋3＋3sin 2x ＋3cos 2x ＝3＋3＋23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6．因为h (x )的最小值为3， 令3＋3＋23sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝3⇒sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝－12． 因为x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫a ，π3， 所以2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫2a ＋π6，5π6，所以2a ＋π6＝－π6，即a ＝－π6．已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，且2b －c a ＝cos Ccos A ．(1)求A 的大小；(2)当a ＝3时，求b 2＋c 2的取值范围． (1)已知在△ABC 中，2b －c a ＝cos Ccos A ，由正弦定理， 得2sin B －sin C sin A ＝cos Ccos A，即2sin B cos A ＝sin A cos C ＋sin C cos A ＝sin(A ＋C )＝sin B ， 所以cos A ＝12，所以A ＝60°． (2)由正弦定理， 得asin A＝bsin B＝csin C＝2，则b ＝2sin B ，c ＝2sin C ， 所以b 2＋c 2＝4sin 2B ＋4sin 2C ＝2(1－cos 2B ＋1－cos 2C ) ＝2 ＝2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12cos 2B ＋32sin 2B＝4＋2sin(2B －30°)． 因为0°＜B ＜120°，所以－30°＜2B －30°＜210°， 所以－12＜sin(2B －30°)≤1，所以3＜b 2＋c 2≤6．即b 2＋c 2的取值范围是(3,6]．三角函数和三角形的结合，一般可以利用正弦定理、余弦定理先确定三角形的边、角，再代入到三角函数中，三角函数和差公式的灵活运用是解决此类问题的关键．已知函数f (x )＝2cos 2x －sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －7π6． (1)求函数f (x )的最大值，并写出f (x )取最大值时x 的取值集合；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若f (A )＝32，b ＋c ＝2，求实数a的最小值．解：(1)∵f (x )＝2cos 2x －sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －7π6 ＝(1＋cos 2x )－⎝⎛⎭⎪⎫sin 2x cos 7π6－cos 2x sin 7π6 ＝1＋32sin 2x ＋12cos 2x ＝1＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6． ∴函数f (x )的最大值为2． 要使f (x )取最大值，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝1， ∴2x ＋π6＝2k π＋π2，k ∈Z ， 解得x ＝k π＋π6，k ∈Z ．故f (x )取最大值时x 的取值集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝k π＋π6，k ∈Z． (2)由题意知，f (A )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π6＋1＝32， 化简得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π6＝12．∵A ∈(0，π)， ∴2A ＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，13π6，∴2A ＋π6＝5π6，∴A ＝π3． 在△ABC 中，根据余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos π3＝(b ＋c )2－3bc ．由b ＋c ＝2，知bc ≤⎝⎛⎭⎪⎫b ＋c 22＝1，当且仅当b ＝c ＝1时等号成立． 即a 2≥1．∴当b ＝c ＝1时，实数a 的最小值为1．若a ，b ，c 均为单位向量，且a ·b ＝0，(a －c )·(b －c )≤0，则|a ＋b －c |的最大值为( )A ．2－1B ．1C ． 2D ．2法一：(目标不等式法)因为|a |＝|b |＝|c |＝1，a ·b ＝0， 所以|a ＋b |2＝a 2＋b 2＋2a ·b ＝2， 故|a ＋b |＝2．展开(a －c )·(b －c )≤0， 得a ·b －(a ＋b )·c ＋c 2≤0， 即0－(a ＋b )·c ＋1≤0， 整理，得(a ＋b )·c ≥1．而|a ＋b －c |2＝(a ＋b )2－2(a ＋b )·c ＋c 2＝3－2(a ＋b )·c ，所以3－2(a ＋b )·c ≤3－2×1＝1． 所以|a ＋b －c |2≤1， 即|a ＋b －c |≤1，故|a ＋b －c |的最大值为1． 法二：(基向量法)取向量a ，b 作为平面向量的一组基底， 设c ＝ma ＋nb ．由|c |＝1，即|ma ＋nb |＝1， 可得(ma )2＋(nb )2＋2mna ·b ＝1， 由题意，知|a |＝|b |＝1，a ·b ＝0． 整理，得m 2＋n 2＝1．而a －c ＝(1－m )a －nb ，b －c ＝－ma ＋(1－n )b ， 故由(a －c )·(b －c )≤0， 得·≤0，展开，得m (m －1)a 2＋n (n －1)b 2≤0， 即m 2－m ＋n 2－n ≤0， 又m 2＋n 2＝1， 故m ＋n ≥1．而a ＋b －c ＝(1－m )a ＋(1－n )b ， 故|a ＋b －c |2＝2＝(1－m )2a 2＋2(1－m )(1－n )a ·b ＋(1－n )2b 2＝(1－m )2＋(1－n )2＝m 2＋n 2－2(m ＋n )＋2 ＝3－2(m ＋n )． 又m ＋n ≥1，所以3－2(m ＋n )≤1． 故|a ＋b －c |2≤1， 即|a ＋b －c |≤1．故|a ＋b －c |的最大值为1． 法三：(坐标法)因为|a |＝|b |＝1，a ·b ＝0， 所以a ，b ＝π2．设OA ―→＝a ，OB ―→＝b ，OC ―→＝c ， 因为a ⊥b ， 所以OA ⊥OB ．分别以OA ，OB 所在的直线为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，如图(1)所示， 则a ＝(1,0)，b ＝(0,1)， 则A (1,0)，B (0,1)．设C (x ，y )，则c ＝(x ，y )，且x 2＋y 2＝1．则a －c ＝(1－x ，－y )，b －c ＝(－x,1－y )，故由(a －c )·(b －c )≤0，得(1－x )×(－x )＋(－y )×(1－y )≤0，整理，得1－x －y ≤0， 即x ＋y ≥1．而a ＋b －c ＝(1－x,1－y )， 则|a ＋b －c |＝－x2＋－y2＝3－x ＋y ．因为x ＋y ≥1，所以3－2(x ＋y )≤1， 即|a ＋b －c |≤1．所以|a ＋b －c |的最大值为1． 法四：(三角函数法)因为|a |＝|b |＝1，a ·b ＝0， 所以a ，b ＝π2．设OA ―→＝a ，OB ―→＝b ，OC ―→＝c ， 因为a ⊥b ，所以OA ⊥OB ．分别以OA ，OB 所在的直线为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系， 如图(1)所示，则a ＝(1,0)，b ＝(0,1)，A (1,0)，B (0,1)． 因为|c |＝1，设∠COA ＝θ，所以C 点的坐标为(cos θ，sin θ)．则a －c ＝(1－cos θ，－sin θ)，b －c ＝(－cos θ，1－sin θ)， 故由(a －c )·(b －c )≤0，得(1－cos θ)×(－cos θ)＋(－sin θ)×(1－sin θ)≤0， 整理，得sin θ＋cos θ≥1．而a ＋b －c ＝(1－cos θ，1－sin θ)， 则|a ＋b －c |＝－cos θ2＋－sin θ2＝3－θ＋cos θ．因为sin θ＋cos θ≥1， 所以3－2(sin θ＋cos θ)≤1， 即|a ＋b －c |≤1，所以|a ＋b －c |的最大值为1． 法五：(数形结合法)设OA ―→＝a ，OB ―→＝b ，OC ―→＝c ， 因为|a |＝|b |＝|c |＝1，所以点A ，B ，C 在以O 为圆心、1为半径的圆上．易知CA ―→＝a －c ，CB ―→＝b －c ，|c |＝|OC ―→|．由(a －c )·(b －c )≤0， 可得CA ―→·CB ―→≤0，则π2≤∠BCA ＜π(因为A ，B ，C 在以O 为圆心的圆上，所以A ，B ，C 三点不能共线，即∠BCA ≠π)，故点C 在劣弧AB 上． 由a ·b ＝0，得OA ⊥OB ， 设OD ―→＝a ＋b ，如图(2)所示， 因为a ＋b －c ＝OD ―→－OC ―→＝CD ―→， 所以|a ＋b －c |＝|CD ―→|，即|a ＋b －c |为点D 与劣弧AB 上一点C 的距离， 显然，当点C 与A 或B 点重合时，CD 最长且为1， 即|a ＋b －c |的最大值为1． B平面向量具有双重性，处理平面向量问题一般可以从两个角度进行： (1)利用其“形”的特征，将其转化为平面几何的有关知识进行解决； (2)利用其“数”的特征，通过坐标转化为代数中的有关问题进行解决．1．在△ABD 中，AB ＝2，AD ＝22，E ，C 分别在线段AD ，BD 上，且AE ＝13AD ，BC ＝34BD ，AC ―→·BE ―→＝113，则∠BAD 的大小为( )A ．π6B ．π4C ．π2D ．3π4解析：选D 依题意，AC ―→＝AB ―→＋BC ―→＝AB ―→＋34BD ―→＝AB ―→＋34(AD ―→－AB ―→)＝14AB ―→＋34AD ―→，BE ―→＝AE ―→－AB ―→＝13AD ―→－AB ―→，所以AC ―→·BE ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14AB ―→＋34AD ―→ ·⎝ ⎛⎭⎪⎫13AD ―→－AB ―→＝－14|AB ―→|2＋14|AD ―→|2－23AD ―→·AB ―→＝－14×22＋14×(22)2－23AD ―→·AB ―→＝113，所以AD ―→·AB ―→＝－4，所以cos ∠BAD ＝AD ―→·AB ―→| AD ―→|·|AB ―→|＝－42×22＝－22，因为0＜∠BAD ＜π， 所以∠BAD ＝3π4．2．在等腰梯形ABCD 中，已知AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°．动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且BE ―→＝λBC ―→，DF ―→＝19λDC ―→，则AE ―→·AF ―→的最小值为________．解析：法一：(等价转化思想) 因为DF ―→＝19λDC ―→，DC ―→＝12AB ―→，CF ―→＝DF ―→－DC ―→＝19λDC ―→－DC ―→＝1－9λ9λDC ―→＝1－9λ18λAB ―→，AE ―→＝AB ―→＋BE ―→＝AB ―→＋λBC ―→，AF ―→＝AB ―→＋BC ―→＋CF ―→＝AB ―→＋BC ―→＋1－9λ18λAB ―→＝1＋9λ18λAB ―→＋BC ―→． 所以AE ―→·AF ―→＝(AB ―→＋λBC ―→)·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋9λ18λ AB ―→＋BC ―→＝1＋9λ18λAB ―→2＋λBC ―→2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋λ·1＋9λ18λAB ―→·BC ―→＝1＋9λ18λ×4＋λ＋19＋9λ18×2×1×cos 120° ＝29λ＋12λ＋1718≥2 29λ·12λ＋1718＝2918， 当且仅当29λ＝12λ，即λ＝23时，AE ―→·AF ―→的最小值为2918．法二：(坐标法)以线段AB 的中点为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，如图所示，则A (－1,0)，B (1,0)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，所以AE ―→＝AB ―→＋BE ―→＝AB ―→＋λBC ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12λ，32λ，AF ―→＝AD ―→＋DF ―→＝AD ―→＋19λDC ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋19λ，32，所以AE ―→·AF ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12λ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋19λ＋32×32λ ＝1718＋λ2＋29λ≥1718＋2 λ2·29λ＝2918， 当且仅当29λ＝12λ，即λ＝23时，AE ―→·AF ―→的最小值为2918．答案：29181．(2017·宜春中学与新余一中联考)已知等腰△OAB 中，|OA |＝|OB |＝2，且|OA ―→＋OB ―→|≥33|AB ―→|，那么OA ―→·OB ―→的取值范围是( ) A ．解析：选A 依题意，(OA ―→＋OB ―→)2≥13(OB ―→－OA ―→)2，化简得OA ―→·OB ―→≥－2，又根据三角形中，两边之差小于第三边， 可得|OA ―→|－|OB ―→|＜|AB ―→|＝|OB ―→－OA ―→|， 两边平方可得(|OA ―→|－|OB ―→|)2＜(OB ―→－OA ―→)2， 化简可得OA ―→·OB ―→＜4，∴－2≤OA ―→·OB ―→＜4．2．(2017·江西赣南五校二模)△ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为1,2AO ―→＝AB ―→＋AC ―→且|OA ―→|＝|AB ―→|，则向量BA ―→在BC ―→方向上的投影为( )A ．12B ．32 C ．－12D ．－32解析：选A 由2AO ―→＝AB ―→＋AC ―→可知O 是BC 的中点， 即BC 为△ABC 外接圆的直径，所以|OA ―→|＝|OB ―→|＝|OC ―→|，由题意知|OA ―→|＝|AB ―→|＝1， 故△OAB 为等边三角形，所以∠ABC ＝60°．所以向量BA ―→在BC ―→方向上的投影为|BA ―→|·cos∠ABC ＝1×cos 60°＝12．故选A ．3．(2017·石家庄质检)设α，β∈，且满足sin αcos β－cos αsin β＝1，则sin(2α－β)＋sin(α－2β)的取值范围为( )A ．B ．C ．D ．解析：选C ∵sin αcos β－cos αsin β＝1， 即sin(α－β)＝1，α，β∈， ∴α－β＝π2，又⎩⎪⎨⎪⎧0≤α≤π，0≤β＝α－π2≤π，则π2≤α≤π， ∴sin(2α－β)＋sin (α－2β) ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－α＋π2＋sin(α－2α＋π) ＝cos α＋sin α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4，∵π2≤α≤π，∴3π4≤α＋π4≤5π4， ∴－1≤2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4≤1，即所求取值范围为．故选C ．4．(2016·湖南岳阳一中4月月考)设a ，b 为单位向量，若向量c 满足|c －(a ＋b )|＝|a －b |，则|c |的最大值是( )A ．1B ． 2C ．2D ．2 2解析：选D ∵向量c 满足|c －(a ＋b )|＝|a －b |， ∴|c －(a ＋b )|＝|a －b |≥|c |－|a ＋b |， ∴|c |≤|a ＋b |＋|a －b |≤a ＋b |2＋|a －b |2＝a 2＋2b 2＝22．当且仅当|a ＋b |＝|a －b |，即a ⊥b 时，(|a ＋b |＋|a －b |)max ＝22． ∴|c |≤22．∴|c |的最大值为22． 5．(2016·天津高考)已知函数f (x )＝sin2ωx 2＋12sin ωx －12(ω＞0)，x ∈R ．若f (x )在区间(π，2π)内没有零点，则ω的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，18B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫58，1C ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，58 D ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，18∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，58 解析：选D f (x )＝1－cos ωx 2＋12sin ωx －12＝12(sin ωx －cos ωx )＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π4．因为函数f (x )在区间(π，2π)内没有零点， 所以T2＞2π－π，即πω＞π，所以0＜ω＜1． 当x ∈(π，2π)时，ωx －π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫ωπ－π4，2ωπ－π4，若函数f (x )在区间(π，2π)内有零点， 则ωπ－π4＜k π＜2ωπ－π4(k ∈Z)，即k 2＋18＜ω＜k ＋14(k ∈Z)． 当k ＝0时，18＜ω＜14；当k ＝1时，58＜ω＜54．所以函数f (x )在区间(π，2π)内没有零点时，0＜ω≤18或14≤ω≤58．6．(2016·全国乙卷)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|≤π2，x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为y ＝f (x )图象的对称轴，且f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，5π36上单调，则ω的最大值为( )A ．11B ．9C ．7D ．5解析：选B 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－π4ω＋φ＝k 1π，k 1∈Z ，π4ω＋φ＝k 2π＋π2，k 2∈Z ，则ω＝2k ＋1，k ∈Z ，φ＝π4或φ＝－π4． 若ω＝11，则φ＝－π4，此时f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫11x －π4，f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，3π44上单调递增， 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫3π44，5π36上单调递减，不满足f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，5π36上单调；若ω＝9，则φ＝π4， 此时f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫9x ＋π4，满足f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，5π36上单调递减，故选B ． 7．(2016·贵州适应性考试)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，已知a 2＋c 2＝ac ＋b 2，b ＝3，且a ≥c ，则2a －c 的最小值是________．解析：由a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B ＝ac ， 所以cos B ＝12，则B ＝60°，又a ≥c ，则A ≥C ＝120°－A ， 所以60°≤A ＜120°，asin A ＝c sin C ＝b sin B ＝332＝2， 则2a －c ＝4sin A －2sin C ＝4sin A －2sin(120°－A )＝23sin(A －30°)，当A ＝60°时，2a －c 取得最小值3． 答案： 38．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a cos B －b cos A ＝12c ，当tan(A－B )取最大值时，角B 的值为______．解析：由a cos B －b cos A ＝12c 及正弦定理，得sin A cos B －sin B cos A ＝12sin C＝12sin(A ＋B )＝12(sin A cos B ＋cos A sin B )， 整理得sin A cos B ＝3cos A sin B ， 即tan A ＝3tan B ， 易得tan A ＞0，tan B ＞0， ∴tan(A －B )＝tan A －tan B 1＋tan A tan B ＝2tan B1＋3tan 2B ＝21tan B＋3tan B ≤223＝33， 当且仅当1tan B ＝3tan B ，即tan B ＝33时，tan(A －B )取得最大值， 此时B ＝π6．答案：π69．(2016·浙江高考)已知向量a ，b ，|a|＝1，|b |＝2．若对任意单位向量e ，均有|a ·e |＋|b ·e |≤6，则a ·b 的最大值是________．解析：由于e 是任意单位向量，可设e ＝a ＋b |a ＋b |，则|a ·e |＋|b ·e |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪aa ＋b |a ＋b |＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪b a ＋b |a ＋b |≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪a a ＋b |a ＋b |＋b a ＋b |a ＋b |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋ba ＋b |a ＋b |＝|a ＋b |．∵|a ·e |＋|b ·e |≤6，∴|a ＋b |≤6， ∴(a ＋b )2≤6，∴|a |2＋|b |2＋2a ·b ≤6． ∵|a |＝1，|b |＝2，∴1＋4＋2a ·b ≤6， ∴a ·b ≤12，∴a ·b 的最大值为12．答案：1210．(2017·湖北省七市(州)协作体联考)已知函数f (x )＝2sin x ＋6cos x (x ∈R)． (1)若α∈且f (α)＝2，求α；(2)先将y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，再将得到的图象上所有点向右平行移动θ(θ＞0)个单位长度，得到的图象关于直线x ＝3π4对称，求θ的最小值．解：(1)f (x )＝2sin x ＋6cos x ＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x ＋32cos x＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3． 由f (α)＝2，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝22，即α＋π3＝2k π＋π4或α＋π3＝2k π＋3π4，k ∈Z ．于是α＝2k π－π12或α＝2k π＋5π12，k ∈Z ．又α∈， 故α＝5π12．(2)将y ＝f (x )图象上所有点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到y ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象， 再将y ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3图象上所有点的横坐标向右平行移动θ个单位长度， 得到y ＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －2θ＋π3的图象．由于y ＝sin x 的图象关于直线x ＝k π＋π2(k ∈Z)对称，令2x －2θ＋π3＝k π＋π2， 解得x ＝k π2＋θ＋π12，k ∈Z ． 由于y ＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －2θ＋π3的图象关于直线x ＝3π4对称， 令k π2＋θ＋π12＝3π4， 解得θ＝－k π2＋2π3，k ∈Z ． 由θ＞0可得，当k ＝1时，θ取得最小值π6． 11．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C －sinB sinC ．(1)求角A ；(2)若a ＝23，求b ＋c 的取值范围．解：(1)由正弦定理及sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C －sin B sin C ，知a 2＝b 2＋c 2－bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12．又0＜A ＜π2，所以A ＝π3． (2)由(1)知A ＝π3， 所以B ＋C ＝2π3，所以B ＝2π3－C ．因为a ＝23，所以23sinπ3＝b sin B ＝c sin C ，所以b ＝4sin B ，c ＝4sin C ，所以b ＋c ＝4sin B ＋4sin C ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－C ＋4sin C＝23(cos C ＋3sin C )＝43sin ⎝⎛⎭⎪⎫C ＋π6．因为△ABC 是锐角三角形， 所以0＜B ＝2π3－C ＜π2，所以π6＜C ＜π2，所以π3＜C ＋π6＜2π3，所以32＜sin ⎝⎛⎭⎪⎫C ＋π6≤1，所以6＜43sin ⎝⎛⎭⎪⎫C ＋π6≤43． 故b ＋c 的取值范围为(6,43]．12．在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2a cos B ＝2c －b ． (1)若cos(A ＋C )＝－5314，求cos C 的值；(2)若b ＝5，AC ―→·CB ―→＝－5，求△ABC 的面积；(3)若O 是△ABC 外接圆的圆心，且cos B sin C ·AB ―→＋cos C sin B ·AC ―→＝m AO ―→，求m 的值．解：(1)由2a cos B ＝2c －b ， 得2sin A cos B ＝2sin C －sin B ， 即2sin A cos B ＝2sin(A ＋B )－sin B ， 整理得2cos A sin B ＝sin B ．∵sin B ≠0， 故cos A ＝12，则A ＝60°．由cos(A ＋C )＝－cos B ＝－5314， 知cos B ＝5314， 所以sin B ＝1114． 所以cos C ＝cos(120°－B )＝－12cos B ＋32sin B ＝3314．(2)AC ―→·CB ―→＝AC ―→·(AB ―→－AC ―→) ＝AC ―→·AB ―→－AC ―→2＝|AC ―→|·|AB ―→|·cos A －|AC ―→|2 ＝12bc －b 2＝－5， 又b ＝5，解得c ＝8， 所以△ABC 的面积为12bc sin A ＝12×5×8×32＝103． (3)由cos B sin C ·AB ―→＋cos C sin B·AC ―→＝m AO ―→， 可得cos B sin C ·AB ―→·AO ―→＋cos C sin B ·AC ―→·AO ―→＝m AO ―→2，(*)因为O 是△ABC 外接圆的圆心，所以AB ―→·AO ―→＝12AB ―→2，AC ―→·AO ―→＝12AC ―→2，又|AO ―→|＝a2sin A，所以(*)可化为cos B sin C ·c 2＋cos C sin B ·b 2＝12m ·a 2sin 2A ，所以m ＝2(cos B sin C ＋sin B cos C )＝2sin(B ＋C ) ＝2sin A ＝3．。
高三总复习数学章节测试题(三角函数)
高三总复习数学章节测试题——三角函数班级： 姓名： 总分： 命题人：邓少奎一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．）1.在△ABC 中，若60A ∠=，45B ∠=，BC =AC =（ ）A. B. C. D.2.函数f(x)=sin(x-4π)的图像的一条对称轴是 （ ）A.x=4πB.x=2πC.x=-4πD.x=-2π3.在ABC ∆中，若C B A 222sin sin sin <+，则ABC ∆的形状是（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不能确定.3。
4. 函数f （x ）=sinx-cos(x+6π)的值域为 ( )A ．] 5.已知0ω>，函数()s i n()4f x x πω=+在(,)2ππ上单调递减.则ω的取值范围是（ ）A .15[,]24 .B 13[,]24C. 1(0,]2 D.(0,2]6.设则“0=ϕ”是“))(cos()(R x x x f ∈+=ϕ为偶函数”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分与不必要条件7.已知sin cos αα-=，α∈(0，π)，则tan α= ( )A. -1B. 2-C. 2D. 1 8.若tan θ+1tan θ =4,则sin2θ= ( ) A ．15 B. 14 C. 13 D. 129. 在△ABC 中，，BC=2，B =60°，则BC 边上的高等于( )A 10.已知2()sin ()4f x x π=+若a =f （lg5），1(lg )5b f =则 ( ) A.a+b=0 B.a-b=0 C.a+b=1 D.a-b=111.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别是c b a ,,，已知8b=5c ，C=2B ，则cosC= ( ) A.257 B.257- C.257± D.252412. 把函数y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），然后向左平移1个单位长度，再向下平移 1个单位长度，得到的图像是 ( )二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13.函数f （x ）=sin(x ωϕ+)的导函数'()y f x =的部分图像如图4所示，其中，P 为图像与y 轴的交点，A,C 为图像与x 轴的两个交点，B 为图像的最低点.若6πϕ=，点P 的坐标为（0，则ω= ; 14.设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 若()()a b c a b c ab +-++=，则角C = ．15.当函数sin (02)y x x x π=≤<取得最大值时，x=___________.16.设α为锐角，若4cos 65απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则)122sin(π+a 的值为 ．三、解答题（本大题共6小题，共74分）17.（本小题满分12分）已知,,a b c 分别为ABC ∆三个内角,,A B C 的对边，c o s s i n 0a C a Cbc --= （1）求A （2）若2a =，ABC ∆的面积为3；求,b c .18.（本小题满分12分）已知函数)6cos(2)(πω+=x x f ，（其中ω＞0，x ∈R ）的最小正周期为10π．（1）求ω的值； （2）设]2,0[,πβα∈，56)355(-=+παf ，1716)655(=-πβf ，求cos （α＋β）的值．19.（本小题满分12分）已知向量(sin ,1),(3cos ,cos 2)(0)2Am x n A x x A ==>，函数()f x m n =⋅的最大值为6.（Ⅰ）求A ；（Ⅱ）将函数()y f x =的图象向左平移12π个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象.求()g x 在5[0,]24π上的值域.20.（本小题共13分）已知函数xxx x x f sin 2sin )cos (sin )(-=。
(新课标)高考数学一轮总复习 第三章 三角函数、解三角形 3-2 同角三角函数的基本关系及诱导公式课
3-2 同角三角函数的基本关系及诱导公式课时规X 练(授课提示：对应学生用书第247页)A 组 基础对点练1．(2017·某某某某模拟)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝35，则cos(π－2α)＝( A )A.725 B ．－725C.925D ．－9252．(2018·某某期末)已知sin α＝23，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝( B ) A ．－53B ．－23C.53D ．233．已知sin α－cos α＝2，α∈(0，π)，则sin 2α＝( A ) A ．－1 B ．－22C.22D ．14．设a ＝sin 33°，b ＝cos 55°，c ＝tan 35°，则( C ) A ．a >b >c B ．b >c >a C ．c >b >aD ．c >a >b5．若sin π－θ＋cos θ－2πsin θ＋cos π＋θ＝12，则tan θ＝( D )A ．1B ．－1C ．3D ．－36．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0)图象的两条相邻的对称轴的距离为π3.若角φ的终边经过点P (1，－2)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π3等于( A )A.255B ．55C ．－255D ．－557．(2017·某某赣中南五校联考)已知倾斜角为α的直线l 与直线x ＋2y －3＝0垂直，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫2 015π2－2α的值为( B )A.45 B ．－45C ．2D ．－128．(2017·某某实验中学二诊)已知sin θ＋cos θ＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜θ＜π4，则sin θ－cos θ的值为( B ) A.23B ．－23C.13 D ．－139．(2018·某某一模)已知tan θ＝2，则sin θ＋cos θsin θ＋sin 2θ的值为( C )A.195 B ．165C.2310D ．1710解析：∵tan θ＝2，则sin θ＋cos θsin θ＋sin 2θ＝1＋1tan θ＋sin 2θsin 2θ＋cos 2θ＝1＋12＋tan 2θtan 2θ＋1＝32＋44＋1＝2310. 10．(2016·高考某某卷)sin 750°＝12.解析：sin 750°＝sin(720°＋30°)＝sin 30°＝12.11．(2018·某某期末)若点P (3cos θ，sin θ)在直线x ＋y ＝0上，则tan θ＝ －3 . 解析：由题意知3cos θ＋sin θ＝0，∴sin θ＝－3cos θ， ∴tan θ＝sin θcos θ＝－3.12．设θ为第二象限角，若tan ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝12，则sin θ＋cos θ＝－105.解析：法一 由tan ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝12，得1＋tan θ1－tan θ＝12，解得tan θ＝－13，则cos θ＝－3sin θ.由sin 2θ＋cos 2θ＝1，得10sin 2θ＝1.∵θ为第二象限角，∴sin θ＝1010，cos θ＝－31010，∴sin θ＋cos θ＝－105.法二 由于θ在第二象限，且tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝12，因而sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－55，因而sin θ＋cos θ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－105.13．(2016·高考全国卷Ⅰ)已知θ是第四象限角，且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝35，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝－43. 解析：法一 ∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22×(sin θ＋cos θ)＝35， ∴sin θ＋cos θ＝325，①∴2sin θcos θ＝－725.∵θ是第四象限角，∴sin θ＜0，cos θ＞0， ∴sin θ－cos θ＝－1－2sin θcos θ＝－425，② 由①②得sin θ＝－210，cos θ＝7210， ∴tan θ＝－17，∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝tan θ－11＋tan θ＝－43. 法二 ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝π2，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝35，又2k π－π2＜θ＜2k π，k ∈Z ，∴2k π－π4＜θ＋π4＜2k π＋π4，k ∈Z ，∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝45， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝45，∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝43， ∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝－43.B 组 能力提升练1．“sin α＝cos α”是“cos 2α＝0 ”的( A ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件2．设函数f (x )(x ∈R )满足f (x ＋π)＝f (x )＋sin x ．当0≤x ＜π时，f (x )＝0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π6＝( A ) A.12 B ．32C ．0D ．－12解析：f (x ＋2π)＝f (x ＋π)＋sin(x ＋π)＝f (x )，可得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫236π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π－π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝12. 3．若θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，sin 2θ＝378，则sin θ＝( D )A.35 B ．45 C.74D ．344．已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x 轴正半轴重合，终边在直线3x －y ＝0上，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π2＋θ＋2cos π－θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ－sin π－θ等于( B )A ．－32B ．32 C ．0D ．235．(2018·某某某某一中月考)设0≤x ＜2π，且1－sin 2x ＝sin x －cos x ，则( B ) A ．0≤x ≤π B ．π4≤x ≤5π4C.π4≤x ≤7π4D ．π2≤x ≤3π26．已知函数f (sin x )＝cos 15x ，则f (cos x )＝( C ) A ．sin 15x B ．cos 15x C ．－sin 15xD ．－cos 15x解析：f (cos x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫15×⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫152π－15x＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫8π－π2－15x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋15x ＝－sin 15x .故选C.7．(2018·海珠区期末)若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且sin 2α＋cos2α＝14，则tan α的值等于( D )A.22B ．33C ．1D ． 3解析：由cos 2α＝1－2sin 2α，得到sin 2α＋cos 2α＝1－sin 2α＝14，则sin 2α＝34，又α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以sin α＝32，则α＝π3，所以tan α＝tan π3＝ 3. 8．(2017·某某某某模拟)已知θ为第二象限角，sin θ，cos θ是关于x 的方程2x 2＋(3－1)x ＋m ＝0(m ∈R )的两根，则sin θ－cos θ等于( A ) A.1＋32B ．1－32C. 3 D ．－ 39．(2017·某某日照一中测试)角α的终边经过点P (sin 10°，－cos 10°)，则α的可能取值为( D ) A ．10° B ．80° C ．－10°D ．－80°10．(2017·某某某某模拟)已知θ是三角形的一个内角，且sin θ，cos θ是关于x 的方程4x 2＋px －2＝0的两根，则θ等于 3π4. 解析：由题意得sin θcos θ＝－12.结合sin 2θ＋cos 2θ＝1，解得sin θ＝±22，因为θ为三角形的一个内角，所以sin θ＝22，所以cos θ＝－22，故θ＝34π. 11．(2017·某某皖南八校联考)已知sin α＝13，α是第二象限角，则tan(π－α)＝ 24 .解析：∵sin α＝13，α是第二象限角，∴cos α＝－223，∴tan α＝－24，故tan(π－α)＝－tan α＝24. 12．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝12.(1)求tan α的值；(2)求sin 2α＋2π－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α1－cos π－2α＋sin 2α的值． 解析：(1)tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝tan π4＋tan α1－tan π4tan α＝1＋tan α1－tan α＝12，解得tan α＝－13. (2)sin 2α＋2π－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α1－cos π－2α＋sin 2α＝sin 2α－cos 2α1＋cos 2α＋sin 2α＝2sin αcos α－cos 2α2cos 2α＋sin 2α ＝2tan α－12＋tan 2α＝－1519.。
2023年高中学业水平考试数学总复习：第六章 三角函数
赢 在 考 情 精 析赢 在 考 点 训 练章 末 综 合 测 试赢 在 考 情 精 析赢 在 考 点 训 练考点1三角函数的有关概念、同角三角函数关系及诱导公式1.任意角(1)象限角的集合:第一象限角:___________________________________.第二象限角:___________________________________.第三象限角:___________________________________.第四象限角:___________________________________.(2)终边相同的角所有与角α终边相同的角,连同角α在内,构成的角的集合是α+2kπ,k∈Z{β|β=____________}.2.弧度制(1)弧度制的定义:长度等于半径长的弧所对的圆心角叫1弧度角.180°=____________ rad;1°=____________ rad;1 rad=____________≈57.3°. (2)弧长公式:l =____________(α是圆心角的弧度数).π|α|r3.任意角的三角函数(1)三角函数的定义设P(x,y)是角α终边上任一点,且|OP|=r(r>0),则sin α=__________;cos α=__________;tan α=_________.(2)三角函数的符号:一全正,二正弦,三正切,四余弦.4.同角三角函数的基本关系sin2α+cos2α=1(1)平方关系:_______________.5.诱导公式－sin α－cos αtan αsin α－cos α－tan α－sin αcos α－tan αcos α－sin αcos αsin α考向1 三角函数的定义及应用【答案】D【名师点拨】利用三角函数的定义,求一个角的三角函数值,需确定三个量:①角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x;②纵坐标y;③该点到原点的距离r.若题目中已知角的终边在一条直线上,此时注意在终边上任取一点有两种情况(点所在象限不同).1.已知角α的终边经过点(－4,3),则cos α=( )D【解析】∵角α的终边经过点(－4,3),即x=－4,y=3,2.已知点P (cos α,tan α)在第三象限,则角α的终边在( )A.第一象限 B.第二象限C.第三象限D.第四象限B 所以角α的终边在第二象限,故选B .3.已知角α的终边上一点P与点A(－3,2)关于y轴对称,角β的终边上一点Q与点A关于原点对称,求sin α+sin β的值.【解】由题意,得P(3,2),Q(3,－2),考向2 同角三角函数关系式的应用(1)已知tan θ=2,则sin2θ+sin θcos θ－2cos2θ=( )【答案】(1)D (2)A【名师点拨】(1)利用sin2α+cos2α=1可以实现角α的正弦、余弦的互化,利用 =tan α可以实现角α的弦切互化.(2)应用公式时注意方程思想的应用:对于sin α+cos α,sin αcos α,sin α－cos α这三个式子,利用(sin α±cos α)2=1±2sin αcos α,可以知一求二.1.若sin x +sin 2x =1,则cos 2x +cos 4x 的值是( )A.0B.1C.2D.3B 【解析】由已知sin x =1－sin 2x =cos 2x ,所以cos 2x +cos 4x =cos 2x +(cos 2x )2=cos 2x +sin 2x =1.B考向3 诱导公式及其应用【名师点拨】用诱导公式化简三角函数的步骤(1)将负角的三角函数化为正角的三角函数.(2)将正角的三角函数化为0~2π的角的三角函数.(3)最后化为锐角的三角函数.D 1.(2020·广东东莞校级学业考试)sin 240°的值为( )C1.若sin α>0且cos α<0,则α是( )A.第一象限角 B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角B 【解析】设α终边上一点为(x ,y ),由sin α>0且cos α<0,则y >0且x <0,则点(x ,y )在第二象限,从而α是第二象限角.DA 【解析】因为sin (2π+α)=sin α,C5.(2017·1月广东学业水平测试)已知角α的顶点为左边原点,始边为x轴的正半轴,终边过点P( ,－2),则下列等式不正确的一项是( )D6.(2019·1月广东学业水平测试)已知角α的顶点与坐标原点重合,终边经过点P(4,－3),则cos α=____________.8.已知sin(π+α)= ,且α是第四象限角,则cos(α－2π)的值是____________.考点2三角函数的性质及其应用1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(1)正弦函数y=sin x,x∈[0,2π]的图象中,五个关键点是:(π,－1)2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)[－1,1][－1,1]2ππ奇函数偶函数[2kπ－π,2kπ][2kπ,2kπ+π](kπ,0)x=kπ考向1 三角函数的单调性求下列函数的单调递增区间:(2)由sin x>0,得2kπ<x<2kπ+π,k∈Z.【名师点拨】求与正弦、余弦函数有关的单调区间的策略(1)结合正弦、余弦函数的图象,熟记它们的单调区间.(2)求y=A sin(ωx+φ)(ω>0)的单调区间时,利用整体代换,把ωx+φ代入相应不等式中,求解相应的变量x的取值范围. (3)求复合函数的单调区间时,要先求定义域,同时还要遵循“同增异减”法则.A【解析】对于函数f(x)=sin x,>考向2 三角函数的值域及最值(1)求f(x)的定义域;(2)求f(x)的值域及取最大值时x的值.。
高中数学专题讲义：三角函数公式的正用、逆用与变用
高中数学专题讲义：三角函数公式的正用、逆用与变用考纲要求：sinx1.理解同角三角函数的基本关系式：s折He技r=l,cosx=tanx.n2.能利用单位圆中的三角函数线推导出云土a,jr±a的正弦、余弦、正切的诱导公式.3.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.能利用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式.能利用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式，推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆).基础知识回顾：1.同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin:<z+cos:a=l,(2)商数关系：tan a=.cosa2.三角函数的诱导公式公式一:sin(tz+2^)=sina,cos(Q+2k/r)=cosq,tan(<z+2k^r)=tantz,其中k.Z.公式二："+。
)=-sin。
,cos(刀+a)=—cos。
,tan(^+a)=tana.公式三：sin(.—a)=-sinct t cos(—a)=cosa,tan(—a)=—tana.公式四：sin(rr—a)=sina ,cos(—a)=-cos a»tan{n—a)=—tana.注、(i)三角函数诱导公式”m+a)(sz)的本质是“奇变偶不变，符号看象限”(2)诱导公式的应用之一是求任意角的三角函数值，其一般步骤：①负角变正角，再写成2kNa(0W八21);②转化为锐角.3.两角和与差的正弦、余弦和正切公式sin(a土fi)=sin a cos B士cos a sin；cqs(a干8) =cqs a cos B土sin.c,/»c、tan a±tan Fa sin P；tan{a±B)=----------•ITtan a tan p4.二倍角的正弦、余弦、正切公式sin2a=2sin a cos a；cos2a=cos a—sin a=2cos a—l=l~2sin a；tan2a _ 2tan tz1-tan2 a1+sin2a=(sin a+cos a)21~siri2a=(sin a—cos tz)2 >sin a土cos asin(a5.辅助角公式asinx-bcosx=sin(x+S),其中sin S=/二+财，。
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2017-2018学年高三总复习测试：三角函数（3）---解三角形
一．选择题：
1.在△ABC 中，若AB ＝13，BC ＝3，C ＝120°，则AC 等于
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
2．(教材改编)在△ABC 中，A ＝60°，B ＝75°，a ＝10，则c 等于
A ．5 2
B ．10 2 C.106
3
D ．5 6
3.在△ABC 中，已知b ＝40，c ＝20，C ＝60°，则此三角形的解的情况是
A ．有一解
B ．有两解
C ．无解
D ．有解但解的个数不确定
4.(教材改编)海面上有A ，B ，C 三个灯塔，AB ＝10 n mile ，从A 望C 和B 成60°视角，从B 望C 和A 成75°视角，则BC 等于
A ．10 3 n mile B.106
3 n mile C ．5 2 n mile D ．5 6 n mile
5．在△ABC 中，若sin B ·sin C ＝cos 2A
2
，且sin 2B ＋sin 2C ＝sin 2A ，则△ABC 是
A ．等边三角形
B ．直角三角形
C ．等腰三角形
D ．等腰直角三角形
6.如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75°，30°，此时气球的高AD 是
60 m ，则河流的宽度BC 等于
A ．240(3－1) m
B ．180(2－1) m
C ．120(3－1) m
D ．30(3＋1) m
7.在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，已知a 2－c 2＝b ，且sin(A －C )＝2cos A sin C ，则b 等于
A ．6
B ．4
C ．2
D ．1
8.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π
3，则△ABC 的面
积是
A ．3 B.932 C.33
2
D ．3 3
9.若点A 在点C 的北偏东30°，点B 在点C 的南偏东60°，且AC ＝BC ，则点A 在点B 的
A ．北偏东15°
B ．北偏西15°
C ．北偏东10°
D ．北偏西10°
二．填空题：
10.设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝3，sin B ＝12，C ＝π
6，则b ＝ .
11．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，若b ＋c ＝2a,3sin A ＝5sin B ，则角C ＝ .
12．在△ABC 中，a ＝32，b ＝23，cos C ＝1
3
，则△ABC 的面积为 ．
13.如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB ，C 是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO 的小路CD .已知某人从O 沿OD 走到D 用了2分钟，从D 沿DC 走到C 用了3分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径为________米．
14.在一次抗洪抢险中，某救生艇发动机突然发生故障停止转动，失去动力的救生艇在洪水中漂行，此时，风向是北偏东30°，风速是20 km/h ；水的流向是正东，流速是20 km/h ，若不考虑其他因素，救生艇在洪水中漂行的速度的方向为北偏东________，速度的大小为________ km/h.
三．解答题：
15.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且cos A a ＋cos B b ＝sin C c .
①证明：sin A sin B ＝sin C ； ②若b 2＋c 2－a 2＝6
5bc ，求tan B .
16.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a －c ＝6
6
b ，sin B ＝6sin C . (1)求cos A 的值； (2)求cos ⎝⎛⎭⎫2A －π
6的值．
17.△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .向量m ＝(a ，3b )与n ＝(cos A ，sin B )平行． (1)求A ；
(2)若a ＝7，b ＝2，求△ABC 的面积．
18. 设f (x )＝sin x cos x －cos 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4. (1)求f (x )的单调区间；
(2)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若f ⎝⎛⎭⎫
A 2＝0，a ＝1，求△ABC 面积的最大值．。