7-7-5 容斥原理之最值问题.教师版
小学奥数7-7-4 容斥原理之数论问题.专项练习及答案解析
1. 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容；
2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用．
一、两量重叠问题 在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个
数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：A B A B A B =+-(其中符号“”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“”读作“交”，相当于中文“且”的意思．)则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积．
包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A B 、的并集A B 的元素的个数，可分以下两步进行：
第一步：分别计算集合A B 、的元素个数，然后加起来，即先求A B +(意思是把A B 、的一
切元素都“包含”进来，加在一起)；
第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C A B =(意思是“排除”了重复计算的元素个数)．
二、三量重叠问题
A 类、
B 类与
C 类元素个数的总和A =类元素的个数B +类元素个数C +类元素个数-
知识要点
教学目标
1．先包含——A B +
重叠部分A B 计算了2次，多加了1次；
2．再排除——A B A B +-
把多加了1次的重叠部分A B 减去．
7-7-4 容斥原理之数论问题
小学奥数：容斥原理之数论问题.专项练习及答案解析
1. 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容；
2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用．
一、两量重叠问题 在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，
不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：A B A B A B =+-U I (其中符号“U ”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“I ”读作“交”，相当于中文“且”的意思．)则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B I ，即阴影面积．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B I ，即阴影面积．
包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A B 、的并集A B U 的元素的个数，可分以下两步进行：
第一步：分别计算集合A B 、的元素个数，然后加起来，即先求A B +(意思是把A B 、的一
切元素都“包含”进来，加在一起)；
第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C A B =I (意思是“排除”了重复计算的元素个数)．
二、三量重叠问题
A 类、
B 类与
C 类元素个数的总和A =类元素的个数B +类元素个数C +类元素个数-
既是A 类又是B 类的元素个数-既是B 类又是C 类的元素个数-既是A 类又是C 类的元素
教学目标
知识要点
1．先包含——A B +
重叠部分A B I 计算了2次，多加了1次；
容斥问题 极值
容斥问题极值
容斥原理是一种用于解决计数问题的方法，在解决极值问题时常常与容斥原理结合使用。容斥原理可以帮助我们计算两个集合的并集的大小，而在极值问题中，我们需要找到使得某个目标函数取得最大或最小值的变量取值。
在使用容斥原理解决极值问题时，一般需要以下步骤：
1. 确定问题的目标函数。在极值问题中，我们需要明确要优化的目标函数，即要找到最大化或最小化的函数。
2. 确定变量的范围。确定问题中涉及的变量的取值范围。
3. 确定变量的取值情况。通过观察题目条件，确定变量可以取的不同取值情况。这些取值情况可以通过容斥原理的互不相交的集合来表示。
4. 使用容斥原理计算目标函数的值。根据容斥原理，我们可以根据不同的变量取值情况得到目标函数的值，然后通过求和或求最值的方式得到最终的结果。
5. 比较不同变量取值情况下的目标函数的值，找到使得目标函数取得最大或最小值的变量取值。
需要注意的是，在使用容斥原理解决极值问题时，要清晰明确每个集合的大小和变量的取值情况，以及对应的目标函数的计算方式。这样才能正确地运用容斥原理，得到问题的最优解。
五年级奥数容斥原理之数论问题教师版
1. 五年级奥数容斥原理之数论问题
教师版
2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用．
一、两量重叠问题
在一些计数问题中,经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数,
不能简单地把两个集合的元素个数相加,而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数,即减去交集的元素个数,用式子可表示成：A B A B A B =+-[其中符号“”读作“并”,相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“”读作“交”,相当于中文“且”的意思．]则称这一公式为包含与排除原理,简称容斥原理．图示如下:A 表示小圆部分,B 表示大圆部分,C 表示大圆与小圆的公共部分,记为：A B ,即阴影面积．图示如下:A 表示小圆部分,B 表示大圆部分,C 表示大圆与小圆的公共部分,记为：A B ,即阴影面积．
包含与排除原理告诉我们,要计算两个集合A B 、的并集A B 的元素的个数,可分以下两步进行：
第一步：分别计算集合A B 、的元素个数,然后加起来,即先求A B +[意思是把A B 、的一切元
素都“包含”进来,加在一起]；
第二步：从上面的和中减去交集的元素个数,即减去C A B =[意思是“排除”了重复计算的元素个数]．
二、三量重叠问题
教学目标
知识要点 1．先包含——A B +
重叠部分A B 计算了2次,多加了1次；
2．再排除——A B A B +-
把多加了1次的重叠部分A B 减去．
7-7-4 容斥原理之数论问题
A 类、
B 类与
C 类元素个数的总和A =类元素的个数B +类元素个数C +类元素个数-
既是A 类又是B 类的元素个数-既是B 类又是C 类的元素个数-既是A 类又是C 类的元素个数+同时是A 类、B 类、C 类的元素个数．用符号表示为：A B C A B C A B B C A C A B C =++---+．图示如下：
部编版数学五年级暑假第13讲.容斥原理.超常体系
第13
讲
四年级春季排列组合初步五年级暑假
枚举法进阶
五年级暑假
容斥原理
五年级秋季
排列组合进阶
五年级秋季
几何计数进阶
两量容斥原理，三量容斥原理，容斥原理中的最值问题
漫画释义
知识站牌
容斥，从字面上理解就是“包容”与“排斥”。
为了计算几种物体的总个数，首先计算所有包容了的物体个数，但包含多了（出现重叠对象），又要排斥某些物体，当排斥多了，又要包容若干物体……，如此继续下去，最终就可以得到我们所要求的物体个数。
容斥原理所体现的这种数学思想就是一种“多退少补，逐步淘汰”的取舍思想。也许这样说比较枯燥，如果用图形和符号来研究这些问题就比较直观了，那么我们就用图形和符号这两个“拐杖”来学习容斥原理，借用教育家苏荷姆林斯基的一句名言来说：“用直观来照亮我们认识的路途！”
1.熟练掌握两量容斥原理并处理两量最值问题；
2.会利用容斥原理处理三量重叠及最值问题；
3.会利用方程解决较复杂的容斥问题．
容斥原理
容斥原理I ：两量重叠问题
A B A B A B =+- (其中符号“ ”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“ ”读作“交”，相当于中文“且"的意思．)
图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即
容斥原理II ：三量重叠问题
A B C A B C A B B C A C A B C
=++---+ 图示如下：
经典精讲
课堂引入
教学目标
第13讲
C A B A
C B B
A C 模块1：两量的容斥例1-3
例1：两量容斥
例2：容斥最值(利用线段图)
例3：容斥最值(需要判断)
容斥原理题库教师版
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7-7容斥原理
教学目标
1.了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容；
2.掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用.
冷知识精讲
知识点说明
一、两量重叠问题
在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算. 求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：AUB=A，B-AriB（其中符号“.”读作“并”，相当于中文
“和”或者“或”的意思；符号“ •”读作“交”，相当于中文“且”的意思.）则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理•图示如下：A表示小圆部分，B表示大圆部分，C表示大圆与小圆的公共部分，记为：Ap|B，即阴影面积•图示如下：A表示小圆部分，B表示大圆部分，C表示大圆与小圆的公共部分，记为：AP1B，即阴影面积.
包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A、B的并集AUB的元素的个数，可分以下两步进行：第一步：分别计算集合 A B的元素个数，然后加起来，即先求 A Af意意思是把A B的一切元素都“包含”进来，加在一起）；
第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C二AP1B（意思是“排除”了重复计算的元素
个数）.
二、三量重叠问题
A类、B类与C类元素个数的总和二A类元素的个数B类元素个数C类元素个数-既是A类又是B类的元素个数-既是B类又是C类的元素个数-既是A类又是C类的元素个数•同时是A类、B 类、C类的元素个数.用符号表示为： A U B Uc =A • B • c-A D B-B FI C - A D C価Bn C .图示如下：
小学数学 容斥原理之重叠问题(一).教师版
【考点】两量重叠问题 【难度】1 星 【题型】解答 【解析】如图所示， A 圆表示参加语文兴趣小组的人， B 圆表示参加数学兴趣小组的人， A 与 B 重合的部分
C (阴影部分)表示同时参加两个小组的人．图中 A 圆不含阴影的部分表示只参加语文兴趣小组未参 加数学兴趣小组的人，有 28 12 16 (人)；图中 B 圆不含阴影的部分表示只参加数学兴趣小组未参 加语文兴趣小组的人，有 29 12 17 (人)． 方法一：由此得到参加语文或数学兴趣小组的有：16 12 17 45 (人)． 方法二：根据包含排除法，直接可得：
30 20 42 8 (人)． ⑵ 只写完语文作业的人数 写完语文作业的人数-语文数学都写完的人数，即 30 8 22 (人)．
【答案】 22 人
【巩固】四（1）班有 46 人，其中会弹钢琴的有 30 人，会拉小提琴的有 28 人，则这个班既会弹钢琴又会拉
小提琴的至少有
人。
【考点】两量重叠问题 【难度】1 星 【题型】填空
【答案】 42 人
小学数学 容斥原理之重叠问题(二).教师版
7-7-2.容斥原理之重叠问题（二）
教学目标
1.了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容；
2.掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用．
知识要点
一、两量重叠问题
在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：A B A B A B =+- (其中符号“ ”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“ ”读作“交”，相当于中文“且”的意思．)则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A
B ，即阴影面积．
包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A B 、的并集A B 的元素的个数，可分以下两步进行：第一步：分别计算集合A B 、的元素个数，然后加起来，即先求A B +(意思是把A B 、的一切元素都“包含”进
来，加在一起)；
第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C A B = (意思是“排除”了重复计算的元素个数)．
二、三量重叠问题
A 类、
B 类与
C 类元素个数的总和A =类元素的个数B +类元素个数C +类元素个数-既是A 类又是B 类的元素个数-既是B 类又是C 类的元素个数-既是A 类又是C 类的元素个数+同时是A 类、B 类、C 类的元素个数．用符号表示为：A B C A B C A B B C A C A B C =++---+ ．图示如下：在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考．
7-7-1 容斥原理之重叠问题(一).教师版
A
B
【考点】两量重叠问题 【难度】1 星 【题型】填空 【关键词】希望杯，四年级，二试，第 3 题 【解析】 阴影部分是两人都爱好的：数学、音乐 【答案】数学、音乐
【例 2】 四（1）班全体同学站成一排，当从左向右报数时，小华报：18；当从右向左报数时，小华报： 13.那么该班有学生______________名。
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加数学兴趣小组的人，有 28 12 16 (人)；图中 B 圆不含阴影的部分表示只参加数学兴趣小组未参 加语文兴趣小组的人，有 29 12 17 (人)． 方法一：由此得到参加语文或数学兴趣小组的有：16 12 17 45 (人)． 方法二：根据包含排除法，直接可得：
与不同的区域对应清楚．建议教师帮助学生画图分析，清楚的分析每一部分的含义． 如图， A 圆表示学画画的人， B 圆表示学钢琴的人， C 表示既学钢琴又学画画的人，图中 A 圆不含 阴影的部分表示只学画画的人，有： 43 37 6 (人)，图中 B 圆不含阴影的部分表示只学钢琴的人， 有： 58 37 21(人)．
【例 5】 学校为了丰富学生的课余生活，组建了乒乓球俱乐部和篮球俱乐部，同学们踊跃报名参加，其中 有 321 人报名参加乒乓球俱乐部，429 人报名参加了篮球俱乐部，但学校最后发现有 50 人既报名 参加了乒乓球俱乐部，又报名参加了篮球俱乐部，还有 23 人什么俱乐部都没报名，问该学校共有 名学生．
(精品)小学奥数7-7-5 容斥原理之最值问题.专项练习及答案解析
1. 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容；
2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用．
一、两量重叠问题 在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：A B A B A B =+-(其中符号“”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“”读作“交”，相当于中文“且”的意思．)则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积．
包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A B 、的并集A B 的元素的个数，可分以下两步进行：
第一步：分别计算集合A B 、的元素个数，然后加起来，即先求A B +(意思是把A B 、的一
切元素都“包含”进来，加在一起)；
第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C A B =(意思是“排除”了重复计算的元素个数)．
二、三量重叠问题
A 类、
B 类与
C 类元素个数的总和A =类元素的个数B +类元素个数C +类元素个数-既是A 类又是B 类的元素个数-既是B 类又是C 类的元素个数-既是A 类又是C 类的元素个数+同时是A 类、B 类、C 类的元素个数．用符号表示为：A B C A B C A B B C A C A B C =++---+．图示如下：
奥数精编训练-容斥原理之数论问题
:
7-7-4 容斥原理之数论问题
教学目标
1. 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容；
2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用．
知识要点
一、两量重叠问题
在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不 能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即 减去交集的元素个数，用式子可表示成： A B = A + B - A B (其中符号“ ”读作“并”，相 当于中文“和”或者“或”的意思；符号“ ”读作“交”，相当于中文“且”的意思．)则称这 一公式为包含与排除原理，简称容斥原理．图示如下 A 表示小圆部分， B 表示大圆部分，C 表示 大圆与小圆的公共部分，记为： A B ，即阴影面积．图示如下: A 表示小圆部分， B 表示大圆部 分， C 表示大圆与小圆的公共部分，记为： A B ，即阴影面积．
1．先包含—— A + B
重叠部分 A B 计算了 2 次，多加了1 次； 2．再排除—— A + B - A B
把多加了1 次的重叠部分 A B 减去．
包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合 A 、B 的并集 A B 的元素的个数，可分以下两步进行：
第一步：分别计算集合 A 、B 的元素个数，然后加起来，即先求 A + B (意思是把 A 、B 的一切元素
都“包含”进来，加在一起)；
第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去 C = A B (意思是“排除”了重复计算的元 素个数)．
二、三量重叠问题
A 类、
B 类与
(完整版)小学奥数-容斥原理(教师版)(可编辑修改word版)
容斥原理
森林中住着很多动物，据说狮子大王派仙鹤去统计鸟类的种数，蝙蝠跑过去对仙鹤说；“我有翅膀，我应该是属于鸟类的。”于是仙鹤就把蝙蝠统计到鸟类的种类里去了，结果得出森林中一共有 80 种鸟类。狮子大王又派大象去统计野兽的种类数，蝙蝠听说又来统计兽类了，急忙跑过去对大象说；“我没有羽毛，我应该是属于兽类的。”于是大象就把蝙蝠统计到兽类的种类里去了，结果统计出森林中一共有 60 种兽类。最后狮子大王问：“森林中共有鸟类和兽类多少种？”狡猾的狐狸听见了仙鹤和大象的统计结果，高兴地向狮子大王汇报：“这还不简单！森林中共有鸟类和兽类 140 种。”这个统计正确吗？
同学们肯定会说：“不对！蝙蝠被算了两次，应该再减去一，是 139 种。”这个故事说明了一个数学问题，那就是被称为“容斥原理”的包含与排除问题。当需要计数的两类事物互相包含（有部分重复交叉）时，应把重复计数的部分排除掉。由此我们得到逐步排除法（容斥原理）：当两个计数部分有重复时，为了不重复计数，应从它们的和中减去重复部分。
容斥原理 1
如果被计数的事物有 A、B 两类，那么， A 类 B 类元素个数总和= 属于 A 类元素个数+ 属于 B 类元素个数—既是 A 类又是 B 类的元素个数。
即A∪B = A+B - A∩B
容斥原理 2
如果被计数的事物有 A、B、C 三类，那么， A 类和 B 类和 C 类元素个数总和= A 类元素个数+ B 类元素个数+C 类元素个数—既是 A 类又是 B 类的元素个数—既是 A 类又是 C 类的元素个数—既是 B 类又是 C 类的元素个数+既是 A 类又是 B 类而且是 C 类的元素个数。
容斥原理_教师版
1. 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容；
2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用．
知识点说明 一、两量重叠问题
在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：A B A B A B =+-(其中符号“”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的
意思；符号“
”读作“交”，相当于中文“且”的意思．)则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原
理．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴
影面积．
包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A B 、的并集A B 的元素的个数，可分以下两步进行：
第一步：分别计算集合A B 、的元素个数，然后加起来，即先求A B +(意思是把A B 、的一切元素都“包含”
进来，加在一起)；
第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C A B =(意思是“排除”了重复计算的元素个数)．
知识精讲
教学目标
7-7 容斥原理
1．先包含——A B + 重叠部分A
B 计算了2次，多加了1次；
二、三量重叠问题
A 类、
B 类与
C 类元素个数的总和A =类元素的个数B +类元素个数C +类元素个数-既是A 类又是B
类的元素个数-既是B 类又是C 类的元素个数-既是A 类又是C 类的元素个数+同时是A 类、B 类、C 类的元素个数．用符号表示为：A B C A B C A B B C A C A B C =++---+．图示如下：
小学奥数：7-7-5 容斥原理之最值问题.教师版
7-7-5.容斥原理之最值问题
教学目标
1.了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容；
2.
掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用．
知识要点
一、两量重叠问题
在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：A B A B A B =+- (其中符号“ ”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“ ”读作“交”，相当于中文“且”的意思．)则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，
即阴影面积．
包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A B 、的并集A B 的元素的个数，可分以下两步进行：第一步：分别计算集合A B 、的元素个数，然后加起来，即先求A B +(意思是把A B 、的一切元素都“包含”进
来，加在一起)；
第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C A B = (意思是“排除”了重复计算的元素个数)．
二、三量重叠问题
A 类、
B 类与
C 类元素个数的总和A =类元素的个数B +类元素个数C +类元素个数-既是A 类又是B 类的元素个数-既是B 类又是C 类的元素个数-既是A 类又是C 类的元素个数+同时是A 类、B 类、C 类的元素个数．用符号表示为：A B C A B C A B B C A C A B C =++---+
小学思维数学讲义：容斥原理之数论问题-带详解
容斥原理之数论问题
1. 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容；
2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用．
一、两量重叠问题
在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：A B A B A B =+-(其中符号“”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“”读作“交”，相当于中文“且”的意思．)则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积．
包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A B 、的并集A B 的元素的个数，可分以下两步进行： 第一步：分别计算集合A B 、的元素个数，然后加起来，即先求A B +(意思是把A B 、的一切元素都“包含”进
来，加在一起)；
第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C A B =(意思是“排除”了重复计算的元素个数)． 二、三量重叠问题
A 类、
B 类与
C 类元素个数的总和A =类元素的个数B +类元素个数C +类元素个数-既是A 类又是B 类的元素个数-既是B 类又是C 类的元素个数-既是A 类又是C 类的元素个数+同时是A 类、B 类、C 类的元素个数．用符号表示为：A B C A B C A B B C A C A B C =++---+．图示如下：
容斥原理_教师版
1. 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容；
2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用．
知识点说明 一、两量重叠问题
在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：A B A B A B =+-(其中符号“”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的
意思；符号“
”读作“交”，相当于中文“且”的意思．)则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原
理．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴
影面积．
包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A B 、的并集A B 的元素的个数，可分以下两步进行：
第一步：分别计算集合A B 、的元素个数，然后加起来，即先求A B +(意思是把A B 、的一切元素都“包含”
进来，加在一起)；
第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C A B =(意思是“排除”了重复计算的元素个数)．
知识精讲
教学目标
7-7 容斥原理
1．先包含——A B + 重叠部分A
B 计算了2次，多加了1次；
二、三量重叠问题
A 类、
B 类与
C 类元素个数的总和A =类元素的个数B +类元素个数C +类元素个数-既是A 类又是B
类的元素个数-既是B 类又是C 类的元素个数-既是A 类又是C 类的元素个数+同时是A 类、B 类、C 类的元素个数．用符号表示为：A B C A B C A B B C A C A B C =++---+．图示如下：
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1. 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容；
2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用．
一、两量重叠问题 在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：A B A B A B =+-(其中符号“”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“”读作“交”，相当于中文“且”的意思．)则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A
B ，即阴影面积．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，
C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积．
包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A B 、的并集A
B 的元素的个数，可分以下两步进行： 第一步：分别计算集合A B 、的元素个数，然后加起来，即先求A B +(意思是把A B 、的一切元素都“包含”进
来，加在一起)；
第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C A B =(意思是“排除”了重复计算的元素个数)． 二、三量重叠问题
A 类、
B 类与
C 类元素个数的总和A =类元素的个数B +类元素个数C +类元素个数-既是A 类又是B 类的元素个数-既是B 类又是C 类的元素个数-既是A 类又是C 类的元素个数+同时是A 类、B 类、C 类的元素个数．用符号表示为：A B C A B C A B B C A C A B C =++---+．图示如下：
教学目标
知识要点
7-7-5.容斥原理之最值问题
1．先包含——A B +
重叠部分A
B 计算了2次，多加了1次； 图中小圆表示A 的元素的个数，中圆表示B 的元素的个数，
1．先包含：A B C ++
重叠部分A B 、B C 、C A 重叠了2次，
多加了1次． 2．再排除：A B C A B B C A C ++---
在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考．
【例 1】“走美”主试委员会为三～八年级准备决赛试题。每个年级12道题，并且至少有8道题与其他各年级都不同。如果每道题出现在不同年级，最多只能出现3次。本届活动至少要准备道决赛
试题。
【考点】容斥原理之最值问题【难度】4星【题型】填空
【关键词】走美杯，4年级，决赛，第9题
【解析】每个年级都有自己8道题目，然后可以三至五年级共用4道题目，六到八年级共用4道题目，总共有864256
⨯+⨯=（道）题目。
【答案】56题
【例 2】将1～13这13个数字分别填入如图所示的由四个大小相同的圆分割成的13个区域中，然后把每个圆内的7个数相加，最后把四个圆的和相加，问：和最大是多少？
【考点】容斥原理之最值问题【难度】4星【题型】填空
【解析】越是中间，被重复计算的越多，最中心的区域被重复计算四次，将数字按从大到小依次填写于被重复计算多的区格中，最大和为：
13×4+（12+11+10+9）×3+（8+7+6+5）×2+（4+3+2+1）=240.
【答案】240
【例 3】如图，5条同样长的线段拼成了一个五角星．如果每条线段上恰有1994个点被染成红色，那么在这个五角星上红色点最少有多少个?
【考点】容斥原理之最值问题【难度】4星【题型】填空
【解析】如下图，下图中“”位置均有两条线段通过，也就是交点，如果这些交点所对应的线段都在“”位置恰有红色点，那么在五角星上重叠的红色点最多，所以此时显现的红色点最少，有1994×5-(2-1)×10=9960个．
【答案】9960
【例 4】某班共有学生48人，其中27人会游泳，33人会骑自行车，40人会打乒乓球．那么，这个班至少有多少学生这三项运动都会？
【考点】容斥原理之最值问题【难度】4星【题型】填空
【解析】（法1）首先看至少有多少人会游泳、自行车两项，由于会游泳的有27人，会骑自行车的有33人，而总人数为48人，在会游泳人数和会骑自行车人数确定的情况下，两项都会的学生至少有27334812
+-=人，再看会游泳、自行车以及乒乓球三项的学生人数，至少有1240484
+-=人.
例题精讲
该情况可以用线段图来构造和示意：
40人33人
游泳自行车
总人数
48人游泳
（法2）设三项运动都会的人有x 人，只会两项的有y 人，只会一项的有z 人，
那么根据在统计中会n 项运动的学生被统计n 次的规律有以下等式：
3227334048,,0x y z x y z x y z ++=++⎧⎪++≤⎨⎪≥⎩
由第一条方程可得到10032z x y =--，将其代入第二条式子得到：
100248x y --≤，即252x y +≥①
而第二条式子还能得到式子48x y +≤，即248x y x
+≤+② 联立①和②得到4852x +≥，即4x ≥．可行情况构造同上．
【答案】4
【巩固】某班有50名学生，参加语文竞赛的有28人，参加数学竞赛的有23人，参加英语竞赛的有20人，每
人最多参加两科，那么参加两科的最多有 人． 【考点】容斥原理之最值问题 【难度】4星 【题型】填空
【解析】 根据题意可知，该班参加竞赛的共有28232071++=人次．由于每人最多参加两科，也就是说有参
加2科的，有参加1科的，也有不参加的，共是71人次．要求参加两科的人数最多，则让这71人
次尽可能多地重复，而712351÷=，所以至多有35人参加两科，此时还有1人参加1科．
那么是否存在35人参加两科的情况呢？由于此时还有1人是只参加一科的，假设这个人只参加数学
一科，那么可知此时参加语文、数学两科的共有(282220)215+-÷=人，参加语文、英语两科的共
有281513-=人，参加数学、英语两科的共有20137-=人．也就是说，此时全班有15人参加语文、
数学两科，13人参加语文、英语两科，7人参加数学、英语两科，1人只参加数学1科，还有14人
不参加．检验可知符合题设条件．所以35人是可以达到的，则参加两科的最多有35人．（当然本题
中也可以假设只参加一科的参加的是语文或英语）
【答案】35
【巩固】60人中有23的人会打乒乓球，34的人会打羽毛球，45
的人会打排球，这三项运动都会的人有22人，问：这三项运动都不会的最多有多少人？
【考点】容斥原理之最值问题 【难度】4星 【题型】填空
【解析】 设只会打乒乓球和羽毛球两项的人有x 人，只会打乒乓球和排球两项的有y 人，只会打羽毛球和排
球两项的有z 人．由于只会三项运动中的一项的不可能小于0，所以x 、y 、z 有如下关系：
()()()402204522048220
x y x z y z ⎧-++≥⎪⎪-++≥⎨⎪-++≥⎪⎩
将三条关系式相加，得到33x y z ++≤，而60人当中会至少一项运动的人数有
()40454822256x y z ++-++-⨯≥人，所以60人当中三项都不会的人数最多4人（当x 、y 、z 分