八年级数学因式分解1

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北师大版八年级数学下册第四章 因式分解1 因式分解

北师大版八年级数学下册第四章 因式分解1 因式分解
求 mn 的值. 解:∵ x4 + mx3 + nx - 16 的最高次数是 4, ∴可设 x4 + mx3 + nx -16 = (x - 1)(x - 2)(x2 + ax + b), 则 x4+mx3+nx-16 = x4 +(a-3)x3+(b-3a+2)x2+(2a-3b)x+2b 比较系数得 2b= -16,b- 3a+2 = 0,a - 3=m,2a-3b=n,
其分解结果为 x2 + ax + b = (x + 2)(x + 4) = x2 + 6x + 8, ∴ a = 6. 同理,乙看错了 a,但 b 是正确的, 分解结果为 x2 + ax + b = (x + 1)(x + 9) = x2 + 10x + 9, ∴b = 9. ∴a + b = 15.
(4)(y-3)2 = y2-_6_y_+_9_
(4) y2-6y+9 = ( y-3 )( y-3 )
或 (y-3)2
2 因式分解与整式乘法的关系
想一想:由 a(a + 1)(a - 1) 得到 a3 - a 的变形是什么运算? 由 a3 - a 得到 a(a + 1)(a - 1) 的变形与它有什么不同?
项式化成了几个整式的积,他们的运算是相反的. 问题2:右边一栏表示的正是多项式的“因式分解”, 你能根据我们的分析说出什么是因式分解吗?
归纳总结 把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种
变形叫做因式分解,也可称为分解因式.
其中,每个整式都叫做这个多项式的因式.

人教版八年级上册数学第十四章因式分解第一课时省公开课获奖课件市赛课比赛一等奖课件

人教版八年级上册数学第十四章因式分解第一课时省公开课获奖课件市赛课比赛一等奖课件
经过对例2旳解答,你有什么收获?
公因式能够是单项式,也能够是多项式.
初步应用提公因式法
练习2 把下列各式分解因式:
(1)ax+ay;
(2)3mx-6my; (3)8m2n+2mn; (4)12xyz-9x2 y2; (5)2(a y-z)-3(b z-y); (6)(p a2+b2)-(q a2+b2).
• 学习要点: 利用提公因式法分解因式.
了解因式分解旳概念
上一节我们已经学习了整式旳乘法,懂得能够将几 个整式旳乘积化为一种多项式旳形式.反过来,在式旳 变形中,有时需要将一种多项式写成几种整式旳乘积旳 形式.
请把下列多项式写成整式旳乘积旳形式:
x2+x= ______(_x_x_+_1_)____ ; x 2 - 1= ____(__x_+1_)_(_x_-_1_)___.
了解因式分解旳概念
在多项式旳变形中,有时需要将一种多项式化成几 个整式旳积旳形式,这种式子变形叫做这个多项式旳因 式分解,也叫做把这个多项式分解因式.
你以为因式分解与整式乘法有什么关系? 因式分解与整式乘法是互逆变形关系.
了解因式分解旳概念
练习1 下列变形中,属于因式分解旳是: (1)(a b+c)=ab+ac; (2) x3 +2x2 -3=x(2 x+2)-3; (3) a2 -b2 =(a+b)(a-b).
教科书习题14.3第1、4(1)题.
形式,其中一种因式是各项旳公因式,另一种因 式是由多项式除以公因式得到旳; (3)用提公因式分解因式后,应确保具有多项式旳因 式中再无公因式.
初步应用提公因式法
例2 把 2(a b+c)-(3 b+c)分解因式. 解: 2(a b+c)-(3 b+c)

1八年级因式分解-人教版数学八年级第一课时课件

1八年级因式分解-人教版数学八年级第一课时课件

方法:逆用乘法分配律,先提出公因数,化成 两项积的形式。
动脑想一想
找出下列多项式的公因式
ma−mb
4kx+8ky 5xy2+20y2 a2b−2ab2+4ab
怎样才能又 快又准地找 出公因式?
提公因式法分解因式的关键是什么?
找出公因式 试找出下列式子的公因式:(并由此总结找公 因式的方法)
(1) x 2 xy (2)8m 2 n 2m n (3)12xyz 9 x 2 y 2 (4)2a( y z ) 3b( y z ) (5) p(a 2 b 2 ) q(a 2 b 2 )
3xy2(x2-4yz)
例1、把下列个式分解因式:
(1)8a 3b 2 12ab2 c (3)8m n 2m n
2
(2)2a(b c) 3(b c) (4) 3x3 6 x 2 3x
注:1 公因式可以是单项式也可以是多项式。
2 若多项式中其中一项与公因式相同,提取公因式 后余下的是1而不是0 。
动笔练一练
分解下列因式
12xyz−9x2y2=
2a(y−z)−3b(z−y)= −16x4+32x3−56x2= p(a2+b2)−q(a2+b2)
3xy(4z−3xy)
(2a+3b)(y−z)
−8x2(2x2−4x+7) (p−q)(a2+b2)
=
把下列各式分解因式
(1)am bm cm
1、判断哪些是因式分解?并说明理由。
(1)a( x y ) ax ay (2)3a bc 3 a a b c
2
(3) x 2 2 x 1 x( x 2) 1 (4) x 2 2 xy y 2 1 x( x 2 y ) ( y 1)( y 1) (5)ax 9a a( x 3)(x 3)

鲁教版八年级数学上册第一章因式分解1因式分解课件

鲁教版八年级数学上册第一章因式分解1因式分解课件

解析 根据题图可得大长方形是由2个边长为b的正方形,3 个长为b、宽为a的长方形和1个边长为a的正方形组成的, ∴大长方形的面积为a2+3ab+2b2, ∵大长方形的长为a+2b,宽为a+b, ∴大长方形的面积也可表示为(a+2b)(a+b), ∴可以得到一个因式分解的等式为a2+3ab+2b2=(a+2b)(a+b), 故选B.
A.20
B.30
C.35
D.40
解析 ∵259+517=518+517=517×(5+1)=517×6=516×30,∴n的值可 能是30.故选B.
6.(新考向·代数推理)将图中的一个正方形和三个长方形拼
成一个大长方形,根据此图写出一个多项式的因式分解: x2+3x+2=(x+2)(x+1) .
解析 拼成的大长方形如图所示:
方形,直接写出相应的等式:
;
(2)尝试借助拼图的方法,把二次三项式2a2+3ab+b2分解因式,
并把所拼得的图形画在如图④所示的虚线方框内;
(3)分解因式:2b2-3ab+a2=
.
(直接写出结果,不需要画图)
图①
图②
图③
图④
解析 (1)3b2+4ab+a2=(a+b)(3b+a). (2)2a2+3ab+b2=(2a+b)(a+b). 如图所示:
12.(2024河北张家口宣化期末,6,★☆☆)小颖利用两种不同 的方法计算下面图形的面积,并据此写出了一个因式分解的 等式,此等式是 ( B )
A.a2+2ab+b2=(a+b)(a+b) B.a2+3ab+2b2=(a+2b)(a+b) C.a2-b2=(a+b)(a-b) D.2a2+3ab+b2=(2a+b)(a+b)

14.3因式分解(1)——提公因式法+课件+2023-2024学年人教版数学八年级上册

14.3因式分解(1)——提公因式法+课件+2023-2024学年人教版数学八年级上册

知识点 2 提公因式法分解因式 (1)公因式:多项式中每项都有的__因__式__; (2)一般地,如果多项式的各项有_公__因__式___,可以把这个公因式提取出 来,将多项式写成公因式与另一个因式的__乘__积__的形式,这种分解因 式的方法叫做提公因式法.
多项式2a2b3+4ab2c的公因式是_2_a_b_2__. 多项式m(a-x)-mn(a-x)的公因式是_m__(_a_-__x_) _.
计算: 3×24+6×24+4×22. 解:原式=3×24+6×24+24
=(3+6+1)×24 =160.
计算: 42×20.23+72×20.23-20.23×14. 解:原式=(42+72-14)×20.23
=100×20.23 =2 023.
如图,长方形的长、宽分别为a,b,周长为10,面积为6, 则a2b+ab2的值为( B ) A.60 B.30 C.15 D.16
5.确定下列多项式的公因式,并分解因式. (1)ax+ay; 解:ax,ay的公因式为a, 原式=a(x+y). (2)3mx-6nx2; 解:3mx,-6nx2的公因式为3x, 原式=3x(m-2nx).
(3)4a2b+10ab-2ab2. 解:4a2b,10ab,-2ab2的公因式为2ab, 原式=2ab(2a+5-b).
八年级上册 人教版数学
第十四章 整式的乘法与因式分解 因式分解(1)——提公因式法
复习导入
计算: (1)2(x+y)=__2_x_+__2_y_; (2)(x+1)(x-1)=__x_2_-__1_; (3)(a+b)2=__a_2_+__2_a_b_+__b_2_.
新知探究
知识点 1 因式分解的概念 把一个多项式化成了几个整式的_积___的形式,像这样的式子变形叫做 这个多项式的因式分解,也叫做把这个多项式分解因式.

人教版数学八年级上册《因式分解公式法》(一)课件

人教版数学八年级上册《因式分解公式法》(一)课件

(3)0.16x2-0.09y2z2 (4)16(x-1)2-9(x+2)2
(5)–16x4+81y4 (6)3x3y–12xy
(a+b)(a-b)=a2-b2 (整式乘法)
a2-b2 =(a+b)(a-b)ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ因式分解)
想一想
(1)下列多项式中,他们有什么共同特征?
①x2-25 ②9x2-y2
□2 -△2
(2)尝试将它们分别写成两个因式的乘积,并与同伴交流.
①x2-25=(x+5)(x-5)
②9x2-y2=(3x+y)(3x-y)
□2-△2=(□+△)(□-△)
议一议
平方差公式有哪些特点?
a2−b2= (a+b)(a−b)
左边:有两项;每一项都是平方项;两项符号相反 右边:两数的和与差的积
关键:确定公式中的a和b
火眼金睛
下列多项式可不可以用平方差公式因式分解?
①x2+y2
②-x2+y2
③-x2-y2
④x2-(-y)2
例题讲解
公式法因式分解(1)
回顾与思考
1、把下列各式分解因式:
(1)3a3b2-12ab3 关键:确定公因式 =3ab2(a2-4b)
(2)a(m-2)+b(2-m) =(m-2)(a-b)
一 看系数 二 看字母 三 看指数
最大公约数 相同字母最低次幂
回顾与思考
2、填空: ①25x2=(__5_x__)2
名言警句
严谨性之于数学 犹如道德之于人
自我检测
1、判断正误:
(1)x2+y2=(x+y)(x–y) (2)–x2+y2=–(x+y)(x–y) (3)x2–y2=(x+y)(x–y) (4)–x2–y2=–(x+y)(x–y)

人教版八年级数学上册1因式分解复习课件

人教版八年级数学上册1因式分解复习课件

例2:分解因式
(1) 8m2n+2mn= 2mn(4m 1) (2)-5a2+25a= 5a(a 5) (3)p(a+b)-q(a+b)= (a+b)(p-q) (4)2a(y-z)-3b(z-y)=( y z)(2a 3b)
例3:分解因式
(1) y2-1 = y2-12=(y+1)(y-1)
因式分解复习
一、因式分解 把一个多项式化成几个整式的积的形式
例1:以下从左到右的变形中,哪些是分解因式?
(1) a(a+1)=a2+a
√(3) a2-b2=(a+b)(a-b) √(5) a2-a-2=(a+1)(a-2)
√(2)ax–bx =x(a–b) √(4) x2+2xy+y2=(x+y)2
解:(1)原式=(2a+6b)-(3am+9bm)=2(a+3b)-3m(a+3b)=(a+ 3b)(2-3m); 或原式=(2a-3am)+(6b-9bm)=a(2-3m)+3b(2-3m)=(2-3m)(a +3b); (2) ∵a2-ac-ab+bc=0, ∴(a2-ac)-(ab-bc)=0, ∴a(a-c)-b(a-c)=0, ∴(a-c)(a-b)=0, ∴a-c=0 或 a-b=0, ∴a=c 或 a=b, ∴△ABC 是等腰三角形.
例6.分解因式:
(1)4x3-16x2+16x =4x(x2-4x+4) =4x(x-2)2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ(2)2ab2-2a =2a(b2-1) =2a(b+1)(b-1)
(3)x4-2x2+1 =(x2-1)2 =[(x+1)(x-1)]2 =(x+1)2(x-1)2

八年级数学下册第四章因式分解1因式分解讲义(新版)北师大版

八年级数学下册第四章因式分解1因式分解讲义(新版)北师大版

因式分解因式分解在整个初中学习中占有很重要的地位,它是解方程与不等式的基础,更是很多综合题目的重点,因此,今天和大家分享如何啃下因式分解这个骨头。

【基础知识查漏补缺】首先我们关于因式分解的基础知识一定要了然于胸,否则一切都是空谈。

基础知识有:1. 因式分解的定义:把一个多项式化成几个整式积的形式。

因式分解与整式乘法是互逆的恒等变形;因式分解的结果必须是几个整式乘积的形式。

2. 整式乘法的特点:单项式乘以多项式:m(a+b+c)=ma+mb+mc;多项式乘以多项式:(m+n)(a+b)=ma+mb+na+na,特殊情况(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab 【因式分解的基础方法】1.提取公因式法顾名思义,就是将多项式中各项相同的因式(公因式)提取出来,例如(x+1)a+(x+1)b-(x+1)c=(x+1)(a+b-c);判据(多项式具备什么特征选取这个方法):多项式的每一项有相同的因式;2.公式法说白了,就是套公式;平方差公式:a2-b2=(a+b)(a-b),完全平方公式:(a±b)2=a2±2ab+b2,主要就是这两个公判据:多项式的项数为2或3项3.十字相乘法就是类似形式x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b);判据:a)多项式的项数为3项;b)看常数项分解成两个数乘积后,这两个数相加是否等于x项前面的系数;举例如下图:4.分组分解法简而言之,就是将多项式分成二或三组,分别分解,在提取公因式,如xy-x-y+1=(xy-x)-(y-1)=x(y-1)-(y-1)=(y-1)(x-1);判据:多项式项数在4项或以上注意:一定要理解并记住每一种方法的判据,它是我们确定解题方法的关键!【解题思路】当我们拿到一道因式分解题目的时候,有这么多方法,我们到底选哪一种呢?注意,这里我们千万不能碰运气式的随机尝试方法,我们选取方法是有先后顺序的,如下图:切记,解题时一定要按照这个顺序选取方法,尤其是对初学者而言,形成这样的解题思路非常重要,平时家长或老师可以给予适当引导。

八年级数学上册第一章因式分解1因式分解教学课件鲁教版五四制

八年级数学上册第一章因式分解1因式分解教学课件鲁教版五四制

拓展应用
2. 20042+2004能被2005整除吗? 解: ∵20042+2004 =2004(2004+1) =2004×2005
∴ 20042+2004能被2005整除
拓展应用
假如用一根比地球赤道长 10米的铁丝将地球赤道围起来, 那么铁丝与赤道之间均匀的间 隙能有多大(赤道看成圆形, 设地球的半径为r,铁丝围成 圆形的半径为R)?
(3) (m+4)(m-4)= m2-16 ;
(4) ( y-3)2= y2-6y+9 . (5)a(a+1)(a-1)= a3-a .
m2-16 =( m+4 )( m-4 )
y2-6y+9 =( y-3 )2
a3-a =( a )(a+1 )(a-1 )Fra bibliotek议一议
由a(a+1)(a-1)得到a3-a的变形是什么运算? 由a3-a得到a(a+1)(a-1)的变形与它有什么不同?
解:根据题意可得,
2 R 2r 10
2 (R r) 10 R r 10
2
R–r
所以,铁丝与赤道之间均匀的间隙为 10 米.
2
本节小结
1. 把一个多项式化成几个整式乘积的形式,这种 变形叫做把这个多项式分解因式;
2. 分解因式与整式乘法是互逆过程; 3. 分解因式的结果要以积的形式表示; 4. 分解后的每个因式必须是整式,次数都低于原
善于辨析:因式分解与整式乘法有 什么联系?
因式分解
二者是互逆的恒等变形
巩固概念
判断下列各式哪些是整式乘法?
哪些是因式分解? (1) x2-4y2=(x+2y)(x-2y) (2) 2x(x-3y)=2x2-6xy (3) (5a-1)2=25a2-10a+1 (4) x2+4x+4=(x+2)2 (5) (a-3)(a+3)=a2-9

人教版数学八年级上册14.3.因式分解(第1课时)优秀教学案例

人教版数学八年级上册14.3.因式分解(第1课时)优秀教学案例
二、教学目标
(一)知识与技能
1.让学生掌握因式分解的基本概念,理解因式分解的意义和作用。
2.使学生掌握提公因式法和公式法这两种基本的因式分解方法,并能够运用这两种方法进行简单的因式分解。
3.培养学生运用因式分解解决一些实际问题的能力,提高学生的数学应用意识。
4.培养学生运用数学知识分析和解决问题的能力,提高学生的数学思维水平。
2.问题导向的教学策略:本节课通过设计具有层次性和挑战性的问题,引导学生进行思考和探究,使学生在解决问题的过程中掌握因式分解的方法。这种问题导向的教学策略不仅培养了学生的逻辑思维能力,还提高了学生的创新解题能力。
3.小组合作的实践:通过组织学生进行小组合作,让学生在合作中探究和解决问题,提高了学生的实践能力。同时,小组合作也培养了学生的团队协作意识和交流沟通能力,使学生在合作中得到成长。
三、教学策略
(一)情景创设
1.生活情境:通过引入生活中的实际问题,让学生感受因式分解在实际生活中的应用,激发学生的学习兴趣。
2.故事情境:讲述与因式分解相关的历史故事,让学生了解因式分解的发展历程,增强学生的文化素养。
3.问题情境:创设具有挑战性和启发性的问题,引发学生的思考,引导学生进入学习状态。
2.利用故事情境:讲述与因式分解相关的历史故事,如“笛卡尔和因式分解”,激发学生的学习兴趣。
3.提出问题:创设具有挑战性和启发性的问题,如“你能将一个多项式分解成几个整式的乘积吗?”,引发学生的思考,引导学生进入学习状态。
(二)讲授新知
1.提公因式法:引导学生观察和分析多项式,找出公因式,并进行提取,让学生理解并掌握提公因式法。
2.组织讨论:引导学生积极参与讨论,鼓励学生提出自己的观点和思路,培养学生的团队协作能力。

八年级上册分解因式

八年级上册分解因式

八年级上册分解因式
在八年级上册,分解因式是一个重要的数学概念。

在这个阶段,你将开始学习如何将多项式进行因式分解。

下面是一些常见的分解因式的方法和示例:
1.公因式提取法:
当一个多项式中的每一项都有一个公共因子时,可以使用公因式提取法来分解因式。

例如:
将多项式2x+4分解为公因式2和多项式x+2:2(x+2)。

将多项式3x^2+6x分解为公因式3x和多项式x+2:3x(x+2)。

2.二次因式分解法:
当一个二次多项式可以被分解为两个一次因式的乘积时,可以使用二次因式分解法来分解因式。

例如:
将多项式x^2+5x+6分解为两个一次因式的乘积:(x+2)(x+3)。

将多项式x^24x5分解为两个一次因式的乘积:(x5)(x+1)。

3.特殊因式分解法:
在特定情况下,我们可以使用特殊因式分解法来分解因式。

例如:
将差平方公式应用于多项式x^24:(x2)(x+2)。

将平方差公式应用于多项式x^2y^2:(xy)(x+y)。

这些是分解因式的一些常见方法。

在八年级上册,你将继续学习更多的分解因式的技巧和方法。

记住,在处理多项式时要仔细观察其中的模式和规律,以便找到
正确的分解因式的方法。

2022秋八年级数学上册第一章因式分解1.2提公因式法第2课时变形后提公因式分解因式课件鲁教版五四制

2022秋八年级数学上册第一章因式分解1.2提公因式法第2课时变形后提公因式分解因式课件鲁教版五四制
第一章 因式分解
1.2 提公因式法 第2课时 变形后提公因式分解因式
提示:点击 进入习题
1D 2B 3A 4 (x-2)(x-1)
5C 6B 7A 8B
答案显示
提示:点击 进入习题
9 见习题 10 见习题
答案显示
1.多项式4a2b(a-b)-6ab2(b-a)中,各项的公因式是
(D) A.4ab
(3)分解因式:1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+x(x+ 1)n.(n为正整数)
解:原式=(1+x)n+1.
整合方法 1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年3月12日星期六2022/3/122022/3/122022/3/12
2、科学的灵感,决不是坐等可以等来的。如果说,科学上的发现有什么偶然的机遇的话,那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人,给那些善于 独立思考的人,给那些具有锲而不舍的人。2022年3月2022/3/122022/3/122022/3/123/12/2022 3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/3/122022/3/12March 12, 2022
B.2ab
C.ab(a-b) D.2ab(a-b)
2.观察下列各组式子: ①2a+b和a+b; ②5m(a-b)和-a+b; ③3(a+b)和-a-b; ④x2-y2和x2+y2. 其中有公因式的是( B ) A.①② B.②③ C.③④ D.①④
Байду номын сангаас
3.(x+y-z)(x-y+z)与(y+z-x)(z-x-y)的 公因式是( A ) A.x+y-z B.x-y+z C.y+z-x D.不存在
根据上述分解因式的过程,回答下列问题: (1)分解因式:m2x-3m+mnx-3n;

北师大版八年级数学下册第四章《4.1 因式分解(1)》公开课课件

北师大版八年级数学下册第四章《4.1 因式分解(1)》公开课课件

练习三 拓展应用
1. 计算: 7652×17-2352 ×17 解: 7652×17-2352 ×17 =17(7652 -2352)=17(765+235)(765 -235) =17 ×1000 ×530=9010000
2. 20042 +2004 能被2005 整除吗?
解: ∵20042+2004=2004(2004+1)
• 15、一年之计,莫如树谷;十年之计,莫如树木;终身之计,莫如树人。2021年7月2021/7/292021/7/292021/7/297/29/2021
• 16、提出一个问题往往比解决一个更重要。因为解决问题也许仅是一个数学上或实验上的技能而已,而提出新的问题,却需要有创造性的想像力,而且标志着科学的真正进步。2021/7/292021/7/29July 29, 2021
• 17、儿童是中心,教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/7/292021/7/292021/7/292021/7/29
• 2、Our destiny offers not only the cup of despair, but the chalice of opportunity. (Richard Nixon, American President )命运给予我们的不是失望之酒,而是机会之杯。二〇二一年六月十七日2021年6月17日星期四 • 3、Patience is bitter, but its fruit is sweet. (Jean Jacques Rousseau , French thinker)忍耐是痛苦的,但它的果实是甜蜜的。10:516.17.202110:516.17.202110:5110:51:196.17.202110:516.17.2021 • 4、All that you do, do with your might; things done by halves are never done right. ----R.H. Stoddard, American poet做一切事都应尽力而为,半途而废永远不行6.17.20216.17.202110:5110:5110:51:1910:51:19 • 5、You have to believe in yourself. That's the secret of success. ----Charles Chaplin人必须相信自己,这是成功的秘诀。-Thursday, June 17, 2021June 21Thursday, June 17, 20216/17/2021

八年级数学知识点分类讲解1因式分解(一)

八年级数学知识点分类讲解1因式分解(一)

八年级数学知识点分类讲解第一讲因式分解(一)多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一,它被广泛地应用于初等数学之中,是我们解决许多数学问题的有力工具.因式分解方法灵活,技巧性强,学习这些方法与技巧,不仅是掌握因式分解内容所必需的,而且对于培养学生的解题技能,发展学生的思维能力,都有着十分独特的作用.初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法.本讲及下一讲在中学数学教材基础上,对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍.1.运用公式法在整式的乘、除中,我们学过若干个乘法公式,现将其反向使用,即为因式分解中常用的公式,例如:(1)a2-b2=(a+b)(a-b);(2)a2±2ab+b2=(a±b)2;(3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2);(4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2).下面再补充几个常用的公式:(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2;(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca);(7)a n-b n=(a-b)(a n-1+a n-2b+a n-3b2+…+ab n-2+b n-1)其中n为正整数;(8)a n-b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…+ab n-2-b n-1),其中n为偶数;(9)a n+b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…-ab n-2+b n-1),其中n为奇数.运用公式法分解因式时,要根据多项式的特点,根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式.例1 分解因式:(1)-2x5n-1y n+4x3n-1y n+2-2x n-1y n+4;(2)x3-8y3-z3-6xyz;(3)a2+b2+c2-2bc+2ca-2ab;(4)a7-a5b2+a2b5-b7.解 (1)原式=-2x n-1y n(x4n-2x2ny2+y4)=-2x n-1y n[(x2n)2-2x2ny2+(y2)2]=-2x n-1y n(x2n-y2)2=-2x n-1y n(x n-y)2(x n+y)2.(2)原式=x3+(-2y)3+(-z)3-3x(-2y)(-Z)=(x-2y-z)(x2+4y2+z2+2xy+xz-2yz).(3)原式=(a2-2ab+b2)+(-2bc+2ca)+c2=(a-b)2+2c(a-b)+c2=(a-b+c)2.本小题可以稍加变形,直接使用公式(5),解法如下:原式=a2+(-b)2+c2+2(-b)c+2ca+2a(-b)=(a-b+c)2(4)原式=(a7-a5b2)+(a2b5-b7)=a5(a2-b2)+b5(a2-b2)=(a2-b2)(a5+b5)=(a+b)(a-b)(a+b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4)=(a+b)2(a-b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4)例2 分解因式:a3+b3+c3-3abc.本题实际上就是用因式分解的方法证明前面给出的公式(6).分析我们已经知道公式(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3的正确性,现将此公式变形为a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b).这个式也是一个常用的公式,本题就借助于它来推导.解原式=(a+b)3-3ab(a+b)+c3-3abc=[(a+b)3+c3]-3ab(a+b+c)=(a+b+c)[(a+b)2-c(a+b)+c2]-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca).说明公式(6)是一个应用极广的公式,用它可以推出很多有用的结论,例如:我们将公式(6)变形为a3+b3+c3-3abc显然,当a+b+c=0时,则a3+b3+c3=3abc;当a+b+c>0时,则a3+b3+c3-3abc≥0,即a3+b3+c3≥3abc,而且,当且仅当a=b=c时,等号成立.如果令x=a3≥0,y=b3≥0,z=c3≥0,则有等号成立的充要条件是x=y=z.这也是一个常用的结论.例3 分解因式:x15+x14+x13+…+x2+x+1.分析这个多项式的特点是:有16项,从最高次项x15开始,x的次数顺次递减至0,由此想到应用公式a n-b n来分解.解因为x16-1=(x-1)(x15+x14+x13+…x2+x+1),所以说明在本题的分解过程中,用到先乘以(x-1),再除以(x-1)的技巧,这一技巧在等式变形中很常用.2.拆项、添项法因式分解是多项式乘法的逆运算.在多项式乘法运算时,整理、化简常将几个同类项合并为一项,或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零.在对某些多项式分解因式时,需要恢复那些被合并或相互抵消的项,即把多项式中的某一项拆成两项或多项,或者在多项式中添上两个仅符合相反的项,前者称为拆项,后者称为添项.拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解.例4 分解因式:x3-9x+8.分析本题解法很多,这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法,注意一下拆项、添项的目的与技巧.解法1 将常数项8拆成-1+9.原式=x3-9x-1+9=(x3-1)-9x+9=(x-1)(x2+x+1)-9(x-1)=(x-1)(x2+x-8).解法2 将一次项-9x拆成-x-8x.原式=x3-x-8x+8=(x3-x)+(-8x+8)=x(x+1)(x-1)-8(x-1)=(x-1)(x2+x-8).解法3 将三次项x3拆成9x3-8x3.原式=9x3-8x3-9x+8=(9x3-9x)+(-8x3+8)=9x(x+1)(x-1)-8(x-1)(x2+x+1)=(x-1)(x2+x-8).解法4 添加两项-x2+x2.原式=x3-9x+8=x3-x2+x2-9x+8=x2(x-1)+(x-8)(x-1)=(x-1)(x2+x-8).说明由此题可以看出,用拆项、添项的方法分解因式时,要拆哪些项,添什么项并无一定之规,主要的是要依靠对题目特点的观察,灵活变换,因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种.例5 分解因式:(1)x9+x6+x3-3;(2)(m2-1)(n2-1)+4mn;(3)(x+1)4+(x2-1)2+(x-1)4;(4)a3b-ab3+a2+b2+1.解 (1)将-3拆成-1-1-1.原式=x9+x6+x3-1-1-1=(x9-1)+(x6-1)+(x3-1)=(x3-1)(x6+x3+1)+(x3-1)(x3+1)+(x3-1)=(x3-1)(x6+2x3+3)=(x-1)(x2+x+1)(x6+2x3+3).(2)将4mn拆成2mn+2mn.原式=(m2-1)(n2-1)+2mn+2mn=m2n2-m2-n2+1+2mn+2mn=(m2n2+2mn+1)-(m2-2mn+n2)=(mn+1)2-(m-n)2=(mn+m-n+1)(mn-m+n+1).(3)将(x2-1)2拆成2(x2-1)2-(x2-1)2.原式=(x+1)4+2(x2-1)2-(x2-1)2+(x-1)4=[(x+1)4+2(x+1)2(x-1)2+(x-1)4]-(x2-1)2=[(x+1)2+(x-1)2]2-(x2-1)2=(2x2+2)2-(x2-1)2=(3x2+1)(x2+3).(4)添加两项+ab-ab.原式=a3b-ab3+a2+b2+1+ab-ab=(a3b-ab3)+(a2-ab)+(ab+b2+1)=ab(a+b)(a-b)+a(a-b)+(ab+b2+1)=a(a-b)[b(a+b)+1]+(ab+b2+1)=[a(a-b)+1](ab+b2+1)=(a2-ab+1)(b2+ab+1).说明 (4)是一道较难的题目,由于分解后的因式结构较复杂,所以不易想到添加+ab-ab,而且添加项后分成的三项组又无公因式,而是先将前两组分解,再与第三组结合,找到公因式.这道题目使我们体会到拆项、添项法的极强技巧所在,同学们需多做练习,积累经验.3.换元法换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体,并用一个新的字母替代这个整体来运算,从而使运算过程简明清晰.例6 分解因式:(x2+x+1)(x2+x+2)-12.分析将原式展开,是关于x的四次多项式,分解因式较困难.我们不妨将x2+x看作一个整体,并用字母y来替代,于是原题转化为关于y的二次三项式的因式分解问题了.解设x2+x=y,则原式=(y+1)(y+2)-12=y2+3y-10=(y-2)(y+5)=(x2+x-2)(x2+x+5)=(x-1)(x+2)(x2+x+5).说明本题也可将x2+x+1看作一个整体,比如今x2+x+1=u,一样可以得到同样的结果,有兴趣的同学不妨试一试.例7 分解因式:(x2+3x+2)(4x2+8x+3)-90.分析先将两个括号内的多项式分解因式,然后再重新组合.解原式=(x+1)(x+2)(2x+1)(2x+3)-90=[(x+1)(2x+3)][(x+2)(2x+1)]-90=(2x2+5x+3)(2x2+5x+2)-90.令y=2x2+5x+2,则原式=y(y+1)-90=y2+y-90=(y+10)(y-9)=(2x2+5x+12)(2x2+5x-7)=(2x2+5x+12)(2x+7)(x-1).说明对多项式适当的恒等变形是我们找到新元(y)的基础.例8 分解因式:(x2+4x+8)2+3x(x2+4x+8)+2x2.解设x2+4x+8=y,则原式=y2+3xy+2x2=(y+2x)(y+x)=(x2+6x+8)(x2+5x+8)=(x+2)(x+4)(x2+5x+8).说明由本题可知,用换元法分解因式时,不必将原式中的元都用新元代换,根据题目需要,引入必要的新元,原式中的变元和新变元可以一起变形,换元法的本质是简化多项式.例9分解因式:6x4+7x3-36x2-7x+6.解法1 原式=6(x4+1)+7x(x2-1)-36x2=6[(x4-2x2+1)+2x2]+7x(x2-1)-36x2=6[(x2-1)2+2x2]+7x(x2-1)-36x2=6(x2-1)2+7x(x2-1)-24x2=[2(x2-1)-3x][3(x2-1)+8x]=(2x2-3x-2)(3x2+8x-3)=(2x+1)(x-2)(3x-1)(x+3).说明本解法实际上是将x2-1看作一个整体,但并没有设立新元来代替它,即熟练使用换元法后,并非每题都要设置新元来代替整体.解法2原式=x2[6(t2+2)+7t-36]=x2(6t2+7t-24)=x2(2t-3)(3t+8)=x2[2(x-1/x)-3][3(x-1/x)+8]=(2x2-3x-2)(3x2+8x-3)=(2x+1)(x-2)(3x-1)(x+3).例10 分解因式:(x2+xy+y2)-4xy(x2+y2).分析本题含有两个字母,且当互换这两个字母的位置时,多项式保持不变,这样的多项式叫作二元对称式.对于较难分解的二元对称式,经常令u=x+y,v=xy,用换元法分解因式.解原式=[(x+y)2-xy]2-4xy[(x+y)2-2xy].令x+y=u,xy=v,则原式=(u2-v)2-4v(u2-2v)=u4-6u2v+9v2=(u2-3v)2=(x2+2xy+y2-3xy)2=(x2-xy+y2)2.练习一1.分解因式:(2)x10+x5-2;(4)(x5+x4+x3+x2+x+1)2-x5.2.分解因式:(1)x3+3x2-4;(2)x4-11x2y2+y2;(3)x3+9x2+26x+24;(4)x4-12x+323.3.分解因式:(1)(2x2-3x+1)2-22x2+33x-1;(2)x4+7x3+14x2+7x+1;(3)(x+y)3+2xy(1-x-y)-1;(4)(x+3)(x2-1)(x+5)-20.。

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