24第七章第3讲 与圆有关的计算
第二十四章《圆》复习课件
．r
O
S = nπr2
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或
S
=
1
2
lr
4.圆柱的展开图:
A
D
h Br C
S侧 =2πr h S全=2πr h+2 π r2
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5.圆锥的展开图:
a h
r S侧 =πr a S全=πr a+ π r2
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a 侧面
底面
常见的基本图形及结论:
AC
本 第1部分 圆的基本性质
章 第2部分 与圆有关的位置关系
安
排 第3部分 正多边形和圆
复 习
第4部分
弧长和面积的计算
内 容
第5部分
有关作图
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一.圆的基本概念: 1.圆的定义:到定点的距离等于定长的点的 集合叫做圆. 2.有关概念: (1)弦、直径(圆中最长的弦)
(2)弧、优弧、劣弧、等弧
∴ OA⊥ l l
切线长定理：
从圆外一点引圆的两条切线，它们 的切线长相等；这点与圆心的连线平分 这两条切线的夹角。
．A
． O ． B
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∵PA、PB为⊙O的切线 ∴PA=PB, P ∠APO= ∠BPO
三角形的外接圆与内切圆:
A．
A
B． O．
．
C
B
．
O C
三角形的外心就是三角形各边垂直平分线的交点.
三角形的内心就是三角形各角平分线的交点.
不在同一直线上的三点确定一个圆.
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特别的:
等边三角形的外心与内心重合. 内切圆半径与外接圆半径的比是1:2.
第24章 圆知识点
第24章圆知识点1、圆的有关性质：（1）圆既是轴对称图形，又是中心对称图形。
（2）垂径定理：如果过圆心的线垂直弦，那么平分弦和平分弦所对的两条弧。
推论：如果过圆心的线平分弦（这里的弦不能是直径），那么线垂直弦，并且平分弦所对的两条弧。
（注意：在求弦长、半径、弦心距的长度时，垂径定理经常要结合勾股定理。
）（3）两条弦相等⇔两条弧相等⇔两个圆心角相等⇔两个圆周角相等（4）圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
推论：①同弧或等弧所对的圆周角相等。
②半圆或直径所对的圆周角是直角。
③90°的圆周角所对的弦是直径。
④圆内接四边形的对角互补。
（注意：运用圆周角定理及其推论的关键是找到这些角所对的弧）2、点和圆的位置关系：①点在圆内⇔d<r；②点在圆上⇔d=r；③点在圆外⇔d>r。
3、三角形的外心是三条边的垂直平分线的交点；内心是三条角平分线的交点。
4、直线和圆的位置关系：①相交⇔d<r；②相切⇔d=r；③相离⇔d>r。
5、证明一条直线是圆的切线的方法：有两种情况（1）直线和圆有公共点：先连接公共点和圆心，再证明直线垂直半径。
（2）直线和圆没有公共点：先过圆心作直线的垂线，再证明垂线段等于半径。
6、圆的切线的性质：先连接圆心和切点，然后得到切线垂直半径。
7、切线长定理：。
8、与圆有关的计算公式：（1）正多边形的中心角= ；（2）正多边形的每一个内角= ；（3）正多边形的周长= ；（4）正多边形的面积= ；（5）弧长= ；（6）扇形的面积= = ；（7）圆锥的侧面积= （8）圆锥的全面积= ；（9）圆锥的侧面展开图是扇形，此扇形的圆心角= ；（10）圆柱的侧面积= 。
9、圆中常用的辅助线：（1）有弦：一般都作弦心距，再结合垂径定理和勾股定理；（2）遇直径想直角，遇直角想直径；（3）连接圆心和切点。
10、圆中有“三多”：（1）直角多（直径所对的圆周角、切线引出的直角）；（2）等腰三角形多（可得等边对等角（即两条半径所对的两个底角相等））；（3）相等的角多（同弧或等弧所对的圆心角相等、圆周角相等，等边对等角）。
第3讲 圆的方程
30
聚焦必备知识 突破核心命题 限时规范训练
反思感悟 建立函数关系式求最值：列出关于所求目标式子的函数关系式，然 后根据关系式的特征选用配方法、判别式法、基本不等式法等求最值．
31
聚焦必备知识 突破核心命题 限时规范训练
训练2 (1)设P(x，y)是圆(x－2)2＋y2＝1上的任意一点，则(x－5)2＋(y
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聚焦必备知识 突破核心命题 限时规范训练
反思感悟
求解形如|PM|＋|PN|(其中M，N均为动点)且与圆C有关的折线段的最 值问题的基本思路
(1)动化定：把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离． (2)曲化直：将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要 通过对称性解决．
28
聚焦必备知识 突破核心命题 限时规范训练
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聚焦必备知识 突破核心命题 限时规范训练
法三：设 A(3，0)，B(0，1)，⊙M 的半径为 r， 则 kAB＝10－－03＝－13，AB 的中点坐标为(32，12)， ∴AB 的垂直平分线方程为 y－12＝3(x－32)， 即 3x－y－4＝0. 联立23xx＋－yy－－14＝＝00，，解得xy＝ ＝－ 1，1，
17
聚焦必备知识 突破核心命题 限时规范训练
训练1 在平面直角坐标系xOy中，已知过点M(－2，－1)的圆C和直 线x－y＋1＝0相切，且圆心在直线y＝2x上，则圆C的标准方程为_______ _____________．
根据题意，圆心在直线y＝2x上， 则设圆心为(n，2n)，圆的半径为r， 又圆C过点M(－2，－1)且与直线x－y＋1＝0相切，
答案：(－1，3) x2＋y2－4x＋2y＋1＝0
9
聚焦必备知识 突破核心命题 限时规范训练
《与圆有关的计算》课件
2
例子 2
已知面积A = 50π，计算圆的直径和半径。
3
例子 3
已知半径r = 8cm，计算圆的直径和周长。
圆的弧长和扇形面积的计算
弧长公式
弧长 = θ × r
扇形面积公式
面积 = 0.5 × θ × r^2
例子
已知圆上某段弧长为10cm， 计算对应扇形的面积。
圆心角和弧度的概念
圆心角
圆心角是由圆心引出的两条半径所夹的角。
弧度
弧度是圆心角所对应的弧长与圆的半径的比值。
圆的弧长和圆心角的关系
弧长公式
弧长 = θ × r
角度制转弧度制
1弧度 ≈ 57.3°
例子
已知圆心角θ = 45°，计算对 应弧长。
计算圆心角的例子
1 例子 1
2 例子 2
已知弧长s = 10cm，计算对应圆心角。
已知扇形面积A = 20π，计算对应圆心角。
《与圆有关的计算》PPT 课件
本次课程将讲解与圆相关的计算，包括圆的定义和性质、周长与面积的计算 公式、圆心角与弧度的概念以及三角函数与圆的关系。
圆的定义和性质
圆定义
圆是由一条长度相等的弧上的所有点构成的几何图形。
圆性质
圆的半径是弧的长度除以2π。
圆性质
圆的直径是半径的两倍。
推导圆的周长公式
圆周长公式
圆
面积公式：πr^2
圆和矩形的面积比较
图形 圆 矩形 对比
面积公式 πr^ 2 长×宽 圆的面积大于等于矩形的面积
圆的半径、直径和周长的关系
1
半径和直径
直径是半径的两倍。
2
周长和直径
周长等于π乘以直径。
3
高考数学复习第7章解析几何第3讲圆的方程
答案：(x－2)2＋y2＝9
(3)(2018 年天津) 在平面直角坐标系中,经过三点(0,0) , (1,1),(2,0)的圆的方程为______________.
解析：设圆的方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，圆经过三点
F＝0， (0,0)，(1,1)，(2,0)，则1＋1＋D＋E＋F＝0，
解析：抛物线 y2＝4x 中,2p＝4,p＝2,焦点 F(1,0),准线 l 的方程为 x ＝－1 ,以 F 为圆心,且与 l 相切的圆的方程为 (x－1)2＋y2＝22,即为(x－1)2＋y2＝4.
考点 1 求圆的方程 例 1：(1)圆心在直线 x－2y＝0 上的圆 C 与 y 轴的正半轴相 切，圆 C 截 x 轴所得弦的长为 2 3，则圆 C 的标准方程为 ________. 解析：∵圆心在直线 x－2y＝0 上，∴设圆心为(2a，a)， ∵圆 C 与 y 轴的正半轴相切，∴a>0，r＝2a，又∵圆 C 截 x 轴 所得弦的长为 2 3，∴a2＋( 3)2＝(2a)2，a2＝1，a＝1.则圆 C 的标准方程为(x－2)2＋(x－1)2＝4.
(2)研究圆的问题,既要理解代数方法,熟练运用解方程思 想,又要重视几何性质及定义的运用,以降低运算量.总之,要 数形结合,拓宽解题思路.与弦长有关的问题经常需要用到点到 直线的距离公式、勾股定理、垂径定理等.
考点 2 与圆有关的最值问题 考向 1 斜率型最值问题 例 2：已知实数 x，y 满足方程 x2＋y2－4x＋1＝0，求yx的最 大值和最小值.
的学习过程中,体会用 与圆的位置关系；二是重在知识的交
代数方法处理几何问题 汇处命题,把解析几何初步与集合、
的思想
向量、函数等知识结合命题,注重考
人教版九年级数学上册第二十四章圆《24.1圆的有关性质》第3课时说课稿
人教版九年级数学上册第二十四章圆《24.1圆的有关性质》第3课时说课稿一. 教材分析人教版九年级数学上册第二十四章《圆的有关性质》是整个初中数学的重要内容，也是九年级数学的重点和难点。
这一章节主要介绍了圆的基本性质，包括圆的定义、圆的方程、圆的半径和直径、圆的周长和面积等。
这些内容不仅是进一步学习圆的计算和应用的基础，而且对于培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力具有重要意义。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的几何基础，对图形的认识和理解有了基本的掌握。
但是，对于圆的性质和概念的理解还需要进一步的引导和培养。
此外，由于圆的概念较为抽象，学生可能存在一定的理解难度，因此需要教师在教学中注重启发和引导，帮助学生建立清晰的概念。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：通过本节课的学习，学生能够理解和掌握圆的基本性质，包括圆的定义、圆的方程、圆的半径和直径、圆的周长和面积等。
2.过程与方法目标：通过观察、思考和交流，学生能够培养空间想象能力和逻辑思维能力，能够运用圆的性质解决实际问题。
3.情感态度与价值观目标：学生能够积极参与课堂活动，对数学产生浓厚的兴趣，培养自主学习和合作学习的能力。
四. 说教学重难点1.教学重点：圆的定义、圆的方程、圆的半径和直径、圆的周长和面积等基本性质的理解和掌握。
2.教学难点：圆的性质的推导和证明，以及运用圆的性质解决实际问题。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、合作学习法和引导发现法进行教学。
通过提出问题，引导学生思考和探索，激发学生的学习兴趣和动力。
2.教学手段：利用多媒体课件和教具进行教学，通过展示图形和动画，帮助学生直观地理解和掌握圆的性质。
六. 说教学过程1.导入：通过展示一些与圆相关的实际问题，引起学生的兴趣和思考，从而引入圆的基本性质的学习。
2.知识讲解：引导学生通过观察和思考，发现圆的性质，并进行证明和推导。
通过示例和练习，帮助学生理解和掌握圆的性质。
第24章圆章节知识点及习题及答案
第24章圆章节知识点及习题及答案第⼆⼗四章圆章节知识点思维导图：⼀、圆的有关性质（⼀）与圆有关的概念1、定义：在⼀个平⾯内线段OA绕它固定的⼀个端点O旋转⼀周，另⼀个端点A所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆⼼，线段OA叫做半径。
2、弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆⼼的弦，叫做直径。
3、弧：圆上任意两点间的部分（曲线）叫做圆弧，简称弧。
能够互相重合的弧叫等弧。
圆的任意⼀条直径的两个端点把圆分成两条弧，每⼀条弧都叫做半圆，⼤于半圆的弧叫优弧；⼩于半圆的弧叫劣弧，由弦及其所对的弧组成的圆形叫⼸形。
4、圆⼼⾓：我们把顶点在圆⼼的⾓叫做圆⼼⾓。
5、圆周⾓：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的⾓叫做圆周⾓。
注意：在圆中，同⼀条弦所对的圆周⾓有⽆数个。
6、弦⼼距：从圆⼼到弦的距离叫弦⼼距。
7、同⼼圆、等圆：圆⼼相同，半径不相等的两个圆叫同⼼圆；能够重合的两个圆叫等圆。
8、点的轨迹：1）圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆⼼，定长为半径的圆；2）垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）； 3）⾓的平分线：到⾓两边距离相等的点的轨迹是这个⾓的平分线；4）到直线的距离相等的点的轨迹是：平⾏于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5）到两条平⾏线距离相等的点的轨迹是：平⾏于这两条平⾏线且到两条直线距离都相等的⼀条直线。
（⼆）圆的性质1、对称性：圆是轴对称图形，任何⼀条直径所在直线都是它的对称轴；圆也是以圆点为对称中⼼的中⼼对称图形。
2、性质：①垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧；推论1 ：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；垂径定理及推论1 可理解为⼀个圆和⼀条直线具备下⾯五个条件中的任意两个，就可推出另外三个：①过圆⼼；②垂直于弦；③平分弦（不是直径）；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧。
推论2：圆两条平⾏弦所夹的弧相等。
2024年中考数学复习课件---第24讲 与圆有关的计算
D.12
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第24讲
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与圆有关的计算— 真题试做
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7.(2020·黔东南州10题4分)如图,正方形ABCD的边长为2,O为对角线的
交点,点E,F分别为BC,AD的中点.以C为圆心、2为半径作圆弧,再分
,则图中阴影部分的面积为(
B )
别以E,F为圆心、1为半径作圆弧,
于其侧面展开图（扇形）
π
的弧长，即2πr=
（4）圆锥的母线长l 等于
其侧面展开图（扇形）的
半径
第24讲
劣弧对应的弓形
阴 影
部 分
面 积
的 计
算
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与圆有关的计算— 考点梳理
优弧对应的弓形
A
面积
求法
O
A
半圆对应的弓形
B
O
弓形
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B
C
C
S△
S弓形=S扇形—________
A.
B.
C.
D.
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第24讲
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9.(2022·安顺9题3分)如图,边长为 的正方形ABCD内接于☉O,PA,PD
分别与☉O相切于点A和点D,PD的延长线与BC的延长线交于点E,则图中
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人教版九年级数学第24章 圆的有关计算 知识点精讲精练(含答案)
第二十四章圆的有关计算【导航篇】知识点一：点和圆、直线和圆的位置关系1.点和圆的位置关系点和圆的位置关系分三种（设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d）:注意：符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以推出右端，从右端也可以推出左端.2. 确定一个圆的条件（1）已知圆心、半径，可以确定一个圆；（2）不在同一条直线上的三个点确定一个圆.注意：“确定”是“有且只有”的意思，（2）中不能忽略“不在同一条直线上”这个前提条件，过在同一条直线上的三个点不能作圆.3. 三角形的外接圆（1）三角形的外接圆：经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，这个三角形叫做这个圆的内接三角形.注意：一个圆可以有无数个内接三角形，但是一个三角形只有一个外接圆.（2）三角形的外心：三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心.（3）三角形外心的性质：三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，等于其外接圆的半径.（4）三角形外心的位置：锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心是斜边的中点，钝角三角形的外心在三角形的外部.4. 反证法：假设命题的结论不成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立. 这种方法叫做反证法. 反证法是一种间接证明命题的方法.5. 直线和圆的位置关系【例1】如图，已知正方形ABCD 中，AB ＝2，以点A 为圆心画圆，半径为r . 当点D 在⊙A 内且点C 在⊙A 外时，r 的取值范围是____________.【例1】【解析】连接AC ，∵正方形ABCD 中，AB ＝2，∴AC＝，AD ＝2，以点A为圆心画圆，要使点D 在⊙A 内，则r ＞AD ，即r ＞2，要使点C 在⊙A 外，则r ＜AC ，即r ＜A 的半径r 的取值范围是2＜r ＜.【答案】2＜r ＜ 【巩固】1. 圆的直径为10 cm ，若点P 到圆心O 的距离是d ，则（ ） A. 当d ＝8 cm 时，点P 在⊙O 内 B. 当d ＝10 cm 时，点P 在⊙O 上 C. 当d ＝5 cm 时，点P 在⊙O 上 D. 当d ＝6 cm 时，点P 在⊙O 内2. 已知⊙O 的直径为12 cm ，圆心到直线l 的距离5 cm ，则直线l 与⊙O 的公共点的个数为（ ）A. 2B. 1C. 0D. 不确定3. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ＝5，D 是AB 的中点，则它的外接圆的直径DCBAABCD为_____________.【巩固答案】 1. C 2. A 3. 10知识点二：切线的判定和性质1. 切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.注意：应用该定理时，两个条件缺一不可：一是经过半径的外端；二是垂直于这条半径. 2. 切线的判定方法（1）定义法：与圆有唯一公共点的直线是圆的切线； （2）数量法：到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；（3）判定定理法：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 3. 切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径.【例2】如图，AB 是⊙O 的直径，点C 为⊙O 上一点，过点B 作BD ⊥CD ，垂足为点D ，连接BC ，BC 平分∠ABD . 求证：CD 为⊙O 的切线.【例2】【解析】证明切线的方法：①当已知直线与圆有公共点时，连接圆心和这个公共点，即连半径，然后证明直线垂直于这条半径，简称“连半径，证垂直”；②当直线与圆的公共点没有明确时，可过圆心作直线的垂线，再证圆心到直线的距离等于半径，简称“作垂直，CDAB本题利用方法①证明即可，因为半径OC已连接，所以只要证明OC⊥CD，利用等腰三角形的性质、平行线的性质和判定即可得证.【答案】证明：∵BC平分∠ABD，∴∠OBC＝∠DBC.∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∴∠DBC＝∠OCB，∴OC∥BD，∴∠OCD＋∠CDB＝180°，∵BD⊥CD，∴∠CDB＝90°，∴∠OCD＝180°－∠CDB＝180°－90°＝90°.即OC⊥CD，又∵OC为半径，∴CD为⊙O的切线.【巩固】1.下列说法中，不正确的是（）A. 与圆只有一个交点的直线是圆的切线B. 经过半径的外端，且垂直于这条半径的直线是圆的切线C. 与圆心的距离等于半径的直线是圆的切线D. 垂直于半径的直线是圆的切线2. 如图，AB是⊙O的直径，MN是⊙O的切线，切点为N，如果∠MNB＝52°，则∠NOA 的度数为（）A. 76°B. 56°C. 54°D. 52°A1.D2.A知识点三：切线长定理和三角形的内切圆1.切线长：经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长.2.切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.3.三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，这个三角形叫做这个圆的外切三角形.4.三角形的内心：三角形的内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心.5.三角形内心的性质：三角形的内心到三角形三条边的距离相等，且等于其内切圆的半径.【例3】如图，P A、PB为⊙O的切线，切点分别为A、B，PO交AB于点C，PO的延长线交⊙O于点D，下列结论不一定成立的是（）A.P A＝PBB. ∠BPD＝∠APDC. AB⊥PDD. AB平分PD【例3】【解析】因为P A、PB为⊙O的切线，由切线长定理可知P A＝PB，∠BPD＝∠APD，所以A、B选项成立；在等腰三角形ABP中，根据等腰三角形的性质得到AB⊥PD，所以C选项成立，只有当AD∥PB，BD∥P A时，AB平分PD，所以D选项不一定成立. 故选D.【答案】D【巩固】1.如图，P A，PB分别切⊙O于点A，B，如果∠P＝60°，P A＝2，那么AB的长为（）A. 1B. 2C. 3D. 42.如图，点I是△ABC的内心，∠BIC＝130°，则∠BAC的度数为（）A. 60°B. 65°C. 70°D. 80°AIB C 【巩固答案】1.B2.D知识点四：正多边形和圆1.正多边形及有关概念（1）正多边形：各边相等、各角也相等的多边形是正多边形.（2）圆内接正多边形：把圆分成n（n≥3）等份，依次连接各分点得到的多边形就是这个圆的内接正n边形，这个圆就是这个正n边形的外接圆.（3）与正多边形有关的概念（4）正多边形的对称性所有的正多边形都是轴对称图形，一个正n 边形共有n 条对称轴，每条对称轴都通过正n 边形的中心，n 为偶数时，它还是中心对称图形，它的中心就是对称中心. 2. 正多边形的有关计算（1）正n 边形的每个内角都等于()nn ︒⋅-1802.（2）正n 边形的每个中心角都等于n ︒360.（3）正n 边形的每个外角都等于n︒360.（4）设正n 边形的半径为R ，边长为a ，边心距为r ，则：①半径、边长、边心距的关系为2222⎪⎭⎫⎝⎛+=a r R ；②周长l ＝na ； ③面积lr n ar S 2121=⋅=. 【例4】如图，边长为12 cm 的圆内接正三角形的边心距是_________cm.【例4】【解析】如图，作OH ⊥BC 于H ，连接OB ，在正三角形ABC 中，AB ＝BC ＝AC ＝12 cm ，∴BH ＝CH ＝6 cm ，∵∠ABC ＝60°，∴∠OBH ＝30°. 设OH ＝x cm ，∴OB ＝2x cm ，在Rt △OBH 中，由勾股定理得x 2＋62＝(2x )2，解得x＝即OH＝cm.【答案】 【巩固】1. 如图，正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，连接OC 、OD ，则∠COD 的大小是（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°2. 如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，若⊙O 的半径是2，则正方形的边长是__________.【巩固答案】 1. C 2. 2知识点五：弧长和扇形面积1. 弧长公式： 在半径为R 的圆中，n °的圆心角所对的弧长l 的计算公式为180Rn l π=. 2. 扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形. 3. 扇形面积公式（1）已知半径R 和n °的圆心角，则3602R n S π=扇形. （2）已知弧长l 和半径R ，则lR S 21=扇形. 4. 与圆锥有关的概念（1）圆锥：圆锥是由一个底面和一个侧面围成的几何体. 圆锥可以看作是一个直角三角形绕它的一条直角边所在的直线旋转一周形成的图形.（2）圆锥的母线：连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线. （3）圆锥的高：连接圆锥顶点与底面圆心的线段叫做圆锥的高. 5. 圆锥的侧面积和全面积如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，容易得到，圆锥的侧面展开图是一个扇形. 设圆锥的母线长为l ，底面圆的半径为r ，那么这个扇形的半径为l ，扇形的弧长为2πr ， 因此rl l r S S ππ=⨯⨯==221扇形侧，()r l r r rl S S S +=+=+=πππ2底侧全.【例5】如图，已知⊙O 的半径是2，点A ，B ，C 在⊙O 上，若四边形OABC 是菱形，则图中阴影部分的面积为（ ） A.3232-π B. 332-π C. 3234-π D. 334-π【例5】【解析】由题意可知，阴影部分的面积是由两个面积相等的弓形面积组成，弓形面积可以看成是扇形OBC 的面积和三角形OBC 的面积的差，因为四边形OABC 是菱形，所以OC ＝BC ，又OB ＝OC ，所以△OBC 是等边三角形，所以S =阴影()2=OBC OBC S S ∆-扇形2602142236023ππ⎛⋅-⨯=- ⎝故选C.【答案】C 【巩固】r1. 如图，AB 是⊙O 的直径，点D 为⊙O 上一点，且∠ABD ＝30°，BO ＝4，则BD 的长为（ ） A. π32 B. π34 C. π2 D. π382. 如图，ABCDEF 为⊙O 的内接正六边形，AB ＝a ，则图中阴影部分的面积是（ ）A.26a π B. 2436a ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-π C . 243a D . 2433a ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-π【巩固答案】1. D2. B。
第3讲-圆的方程及直线与圆、圆与圆的位置关系
圆的方程以及直线与圆、圆与圆的位置关系学习提纲1、了解圆的方程2、了解直线和圆、圆与圆的位置关系及其判断标准3、了解圆的切线方程，相交弦方程1．圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆．这个定点叫做圆的圆心，定长称为该圆的半径。
2．圆的标准方程在平面直角坐标系中，设动点(,)P x y ，圆心(,)C a b ，半径为r ，由圆的定义有22()()x a y b r -+-=，即222()()x a y b r -+-=此即为：以(,)C a b 为圆心，r 为半径的圆的标准方程．特别地，以原点为圆心，半径为(0)r r >的圆的标准方程为222x y r +=3．圆的一般方程有时，我们也把圆的方程写成如下形式220x y Dx Ey F ++++= （*）由于22222240()()224D E D E F x y Dx Ey F x y +-++++=⇔+++= 因此，（*）表示圆的方程，前提是2240D E F +-> 事实上，如2240D E F +-=，方程（*）表示一个点(,)22D E -- 如2240D E F +-<，则方程（*）不表示任何图形．4、点00(,)P x y 与圆222()()(0)x a y b r r -+-=>的位置关系(1)若22200()()x a y b r -+->，则点P 在圆外；(2)若22200()()x a y b r -+-=则点P 在圆上；(3)若22200()()x a y b r -+-<，则点P 在圆内． 5．直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系有三种：相离、相切、相交．判断直线与圆的位置关系常见的有两种方法：(1)代数法：直线方程与圆的方程联立，化简得一元二次方程，令其判别式为∆，则0∆<⇔相离； 0∆=⇔相切； 0∆>⇔相交；(2)几何法：利用圆心到直线的距离d 和圆半径r 的大小关系：d r <⇔相交； d r =⇔相切； d r >⇔相离．6．圆与圆的位置关系的判定设⊙1C ：2221111()()(0)x a y b r r -+-=>， ⊙2C ：2222222()()(0)x a y b r r -+-=>，则有： 1212||C C r r >+⇔⊙1C 与⊙2C 相离；1212||=C C r r +⇔⊙1C 与⊙2C 外切；121212||||r r C C r r -<<+⇔⊙1C 与⊙2C 相交；121212||||()C C r r r r =-≠⇔⊙1C 与⊙2C 内切；1212||||C C r r <-⇔⊙1C 与⊙2C 内含；一条规律过圆外一点M 可作两条直线与圆相切，求切线方程时，可先设出方程，再用圆心到切线的距离等于半径列出方程求出切线的斜率．求直线被圆所截得弦长的两种常用方法(1)几何方法圆心到弦所在直线的距离、半弦长、半径构成直角三角形，用勾股定理．(2)代数方法运用根与系数关系及弦长公式 222||1||1()4A B A B A B AB k x x k x x x x =+-=++-说明：圆的弦长、弦心距的计算常用几何方法． CA B D7、切线方程，切点弦方程，相交弦方程（1）点00(,)P x y 在圆222()()(0)x a y b r r -+-=>上，则过P 的切线之方程为 200()()()()x a x a y b y b r --+--=（2）点00(,)P x y 在圆222()()(0)x a y b r r -+-=>外，则过P 可作两条切线，设切点为,A B ，则切点弦AB 所在直线的方程为 200()()()()x a x a y b y b r --+--=（3）如果圆22211:()()C x a y b r-+-=与22222:()()C x c y d r -+-=交于,A B 两点，则相交弦AB 所在直线的方程为 22222212()()[()()]x a y b x c y d r r -+---+-=-例1（1）若点(1,1)在圆22()()4x a y a -++=的内部，则实数a 的取值范围是( )．A ．11a -<<B ．01a <<C ．1a >或1a <-D ．1a =±（2）方程(1)(7)(2)(10)0x x y y --+--=表示什么曲线？【解】（1）因为点(1,1)在圆的内部，∴22(1)(1)4a a -++<∴11a -<< （2）(1)(7)(2)(10)0x x y y --+--=22812270x y x y ⇒+--+=22(4)(6)25x y ⇒-+-=故，原方程表示的曲线为以点(4,6)为圆心，5为半径的圆。
第三节 与圆有关的计算-学而思培优
第三节 与圆有关的计算一、课标导航二、核心纲要1.正多边形与圆(1)正多边形的定义：各条边相等，并且各个内角也都相等的多边形叫做正多边形． (2)正多边形的相关概念①正多边形的中心：正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心． ②正多边形的半径：正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径．③正多边形的中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角． ④正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距． (3)正多边形的性质①正n 边形的半径和边心距把正n 边形分成2n 个全等的直角三角形，②正多边形都是轴对称图形，正n 边形共有，n 条通过正n 边形中心的对称轴．③偶数条边的正多边形既是轴对称图形，也是中心对称图形，其中心就是对称中心． (4)正多边形的有关计算①正n 边形的每个内角都等于⋅⋅-n n180)2( ②正n 边形的每一个外角与中心角相等，等于⋅n360③设正n 边形的边长为,n a 半径为R ，边心距为,n r 周长为,n P 面积为,n S则⋅⋅=⋅====n n n n n n n n n p r a r n S na P n R r n R a 21.21,,180cos ,180sin 22．圆中计算的相关公式设⊙O 的半径为0,n R 圆心角所对的弧长为L ， (1)弧长公式：⋅=180Rn l π (2)扇形面积公式：.213602lR R n S ==π扇形 (3)圆柱体表面积公式：.222Rh R S ππ+= (4)圆锥体表面积公式：l Rl R S (2ππ+=为母线）．3.常见组合图形的周长、面积的几种常见方法①公式法；②割补法；③拼凑法；④等积变换法．本节重点讲解：一个方法，两个计算（正多边形的有关计算，图中的相关计算），五个概念．三、全能突破基 础 演 练1．(1)在半径为18的圆中，120的圆心角所对的弧长是( )．π12.A π10.B π6.C π3.D(2)一段圆弧的半径是12，弧长是47c ，则这段圆弧所对的圆心角是( )．60.A 90.B 120.C o D 150.2．圆锥的母线长是3，底面半径是1，则这个圆锥侧面展开图圆心角的度数为( )．90.A 120.B 150.C 180.D3．现有一扇形纸片，圆心角∠AOB 为,120 半径R 为,3cm 用它围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则该圆锥的侧面积为( )．12.πA 3.πB 32.πC π.D4．将边长为3cm 的正三角形各边三等分，以这六个分点为顶点构成一个正六边形，则这个正六边形的面 积为( )．2233.cm A 2433.cm B 2833.cm C 233.cm D5．一个正多边形的一个内角为,120则这个正多边形的边数为( )．9.A 8.B 7.C 6.D6．如图24—3—1所示，两个正六边形的边长均为1，其中一个正六边形的一边恰在另一个正六边形的对角线上，则这个图形（阴影部分）外轮廓线的周长是( )． 7-A 8.B 9.C 10.D7．如图24-3-2所示，⊙O 的半径为AB OA ,4,2=切⊙O 于点B ，弦,//OA BC 连接AC ，图中阴影部分的面积为8．如图24-3-3所示，⊙O 的半径为1,2C 是函数221x y =的图像，2C 是函数221x y -=的图像，3C 是函数x y =的图像，则阴影部分的面积是9．李红同学为了在新年晚会上表演节目，她利用半径为40cm 的扇形纸片制作成一个圆锥形纸帽（如图24-3-4所示，接缝处不重叠），若圆锥底面半径为10cm ，那么这个圆锥的侧面积是 cm.能 力 提 升10.如图24-3-5所示，AB 是⊙O 的直径，弦,32,30,==∠⊥CD CDB AB CD 则阴影部分图形的面积为( )．π4.A π2.B π.C 32.πD11．如图24-3-6所示，在△ABC 中，,12,8,===BC AB AC AB 分别以AB 、AC 为直径作半圆，则图中阴影部分的面积是( )．71264.-πA 3216.-πB 72416.-πC 71216.-πD12．如图24-3-7所示，△ABC 是一个圆锥的左视图，其中,8,5===BC AC AB 则这个圆锥的侧面积是 ( )．π12.A π16.B π20.C π36.D13.如图24-3-8所示，正方形ABCD 内接于⊙O ，直径MN∥AD，则阴影面积占圆面积( )．21.A 41.B 61.C 81.D14．如图24-3-9所示，从一个直径为2的圆形铁皮中剪下一个圆心角为060的扇形ABC ，将剪下来的扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面圆半径为( )．31.A 63.B 33.C 43.D15.如图24-3-10所示，在梯形ABCD 中，,6,4,90,//====∠BC AD AB C BC AD以点A 为圆心在这 个梯形内画出一个最大的扇形（图中阴影部分），则这个扇形的面积是16.如图24-3 -11所示，正方形111C B OA 的边长为1，以0为圆心、1OA 为半径作扇形,11C OA弧11C A 与 1OB 相交于点,2B 设正方形111C B OA 与扇形11C OA 之间的阴影部分的面积为;1s 然后以2OB 为对角线作正方形,222C B OA 又以0为圆心，2OA 为半径作扇形22C OA 弧22C A 与1OB 相交于点,3B 设正方形222C B OA 与扇形22C OA 之间的阴影部分面积为;2S 按此规律继续作下去，设正方形n n n C B OA 与扇形n n C OA 之间的阴影部分面积为⋅n S=1)1(s =2)2(;s ；(3)试猜想=n s （用含n 的代数式表示，n 为正整数）．17．用两个全等的含30角的直角三角形制作图24-3-12(a)所示的两种卡片，两种卡片中扇形的半径均为1，且扇形所在圆的圆心分别为长直角边的中点和030角的顶点，按先A 后B 的顺序交替摆放A 、B 两种卡片得到图24-3-12(b)所示的图案，若摆放这个图案共用两种卡片8张，则这个图案中阴影部分的面积之和为 ；若摆放这个图案共用两种卡片（2n+l ）张（n 为正整数），则这个图案中阴影部分的面积之和为 （结果保留丌）．18.如图24-3-13所示，正方形ABCD 边长为4，以BC 为直径的半圆0交对角线BD 于点E.则直线CD 与⊙O 的位置关系是 ，阴影部分面积为（结果保留π）19．如图24 -3 -14所示，矩形ABCD 中，.2,1==AD AB 以AD 的长为半径的OA 交BC 边于点E ，则图中阴影部分的面积为20.图24-3 -15 (a)所示是以AB 为直径的半圆形纸片，,6cm AB =沿着垂直于AB 的半径OC 剪开，将扇形OAC 沿AB 方向平移至扇形,///C A O 如图24-3-15(b)所示，其中/O 是OB 的中点，//C O 交BC 于点F ，则BF 的长为 cm.21．（2013．宜宾）如图24 -3 -16所示，△ABC 是正三角形，曲线CDEF 叫做正三角形的渐开线，其中、CDEF DE 、的圆心依次是A 、B 、C ，如果AB=1，那么曲线CDEF 的长是 .22．（2013．天津）正六边形的边心距与边长之比为( )． 3:3.A 2:3.B 2:1.C 2:2.D23.（2013．泰安）如图24-3 -17所示，AB ，CD 是⊙O 的两条互相垂直的直径，点4321,,,O O O O 分别是OD OC OB OA 、、、的中点，若⊙O 的半径为2，则阴影部分的面积为( )． 8.A 4.B 44.+πC 44.-πD24.（2013．浙江温州）在△ABC 中，∠C 为锐角，分别以AB ，AC 为直径作半圆，过点B 、A 、C 作,BAC 如图24 -3 -18所示，若,4,2,421π=-==S S AC AB 则43s S -的值是( )．429.πA 423.πB 411.πC 45.πD巅 峰 突 破25.如图24-3-19所示，在Rt△ABC 中，,4,90==∠CA ACB点P 是半圆弧AC 的中点，连接BP ，线段BP 把图形APCB （指半圆和△ABC 组成的图形）分成两部分，则这两部分面积之差的绝对值是26.如图24-3-20所示，等腰Rt△ABC 的直角边长为4，以A 为圆心，直角边AB 为半径作,1BC 交斜边AC 于点AB B C C ⊥111,于点,1B 设B B BC BC 1111、、围成的阴影部分的面积为,1S 然后以A 为圆心，1AB 为半径作,C 21B 交斜边AC 于点AB B C C ⊥222,于点,2B 设122221C B B B C B 、、围成的阴影部分的面积为,2s 按此规律继续作下去，得到的阴影部分的面积=3s。
24、与圆有关的计算PPT课件
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【注意】(1)在弧长公式 l＝n18π0r中有三个量，已知其中的任意两个量，可求出第 三个；(2)题目中没有明确给出精确度，可用含“π”的数表示弧长；(3)应区分弧，弧 长这两个概念，长相等的弧不一定是等弧．
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►知识点二 不规则图形面积的计算
求与圆有关的不规则图形的面积时，最基本的思想就是转化思想，即把所求的 不规则的图形的面积转化为规则图形的面积．常用的方法有：
对应劣弧的弓形
对应优弧的弓形
对应半圆的弓形
【考查内容】扇形面积计算，三角形的全等判定．
第 2 题图
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【解析】如答图，连接 OC，作 OM⊥BC，ON⊥AC．设 OF 交 CB 于 G，
∵CA＝CB＝2，∠ACB＝90°，∴AB＝2 2，
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∴△BEC≌△OED(SAS)，∴OD＝BC＝1， 在 Rt△OED 中，OE＝12OB＝12OD， ∴∠ODE＝30°，∴∠BOD＝60°， 则扇形 BOD 的面积 S＝603π6×0 12＝π6.
图4
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图5
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课时24 与圆有关的计算
图5
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数学(江西)
第1部分 第六单元 圆
江西中考
命题点 扇形面积的计算(6年1考) 1．(2018，21)如图6，一辆汽车的背面，有一种特
殊形状的刮雨器，忽略刮雨器的宽度可抽象为一条折 线OAB，如图7所示，量得连杆OA长为10 cm，雨刮杆 AB长为 48 cm，∠OAB＝120°.若启动一次刮雨器， 雨刮杆AB正好扫到水平线CD的位置，如图8所示．
2019 全新版
第六单元 圆
课时24 与圆有关的计算
CONTENTS
目 录
知识梳理 考点精练 江西中考 教材变式
第1部分 第六单元 圆
知识梳理
一、弧长与扇形面积(6年2考)
圆的周长
圆的弧长
圆的面 积
扇形面积
C＝①
l＝② S＝③
___π_R_____ nπR
__π_R_2__
___1_8_0____
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数学(江西)
第1部分 第六单元 圆
答：雨刮杆AB旋转的最大角度为180°，O，B两 点之间的距离约为53.70 cm.
(2)如图2，雨刮杆AB旋转180°得到CD， 即△OCD与△OAB关于点O中心对称， ∴△BAO≌△DCO. ∴S△BAO＝S△DCO. ∴雨刮杆AB扫过的最大面积为： S＝S扇形DOB＋S△BAO－S△DCO－S扇形COA 图2
答：雨刮杆AB扫过的最大面积为1 392π cm2.
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数学(江西)
第1部分 第六单元 圆
教材变式
教材母题 1．如图9，草坪上的自动喷水装置能 旋转220°，它的喷灌区域是一个扇形，这个扇形的半 径是20 m，则它能喷灌的草坪的面积为__2_2_90_0_π__m2．
名师ppt课件与圆有关的计算
【尝试解答】(1)∵CD为☉O的直径，CD⊥AB，
【知识归纳】学习圆锥的侧面积与全面积需注意的两个问题 1.弄清圆锥的底面半径、高、母线之间的关系：圆锥的轴截面 是等腰三角形. 2.与圆锥侧面积有关的几何体的表面积的计算：一是分析清楚 几何体表面的构成，二是弄清圆锥与其侧面展开扇形各元素之 间的对应关系.
热点考向五 与圆有关的阴影面积的计算 【例5】如图，CD为☉O的直径，CD⊥AB，垂 足为F，AO⊥BC，垂足为点E，AO=1. (1)求∠C的大小. (2)求阴影部分的面积.
∵BC∥OA，∴∠OBC=∠AOB=60°，
又OB=OC，∴△BOC为等边三角形，
∴∠BOC=60°，则劣弧 BC长为
答案：
3
60 1 ． 180 3
3.(2013·西宁中考)如图，网格图中每个小正方形的边长为1，
则弧AB的长l=
.
【解析】由题干图可得∠AOB＝90°，OA＝OB＝33 32＝3 ，2
∴l＝ 90 3 2 ＝3 2 .
180
2
答案：3 2
2
热点考向三 扇形面积公式的应用
【例3】如图，将一块三角板和半圆形量角器按图中方式叠
放，三角板一边与量角器的零刻度线所
在直线重合，重叠部分的量角器弧AB对
应的圆心角(∠AOB)为120°，OC的长为
2cm，则三角板和量角器重叠部分的面积为
.
【思路点拨】重叠部分由扇形AOB和Rt△BOC组成，求出它们 各自的面积再求和.
2018年人教版中考数学复习《第24讲：与圆有关的计算》课件
解得 n=40,再根据圆周角定理得∠ACB=12∠AOB=20°.
考法1
考法2
考法1弧长的计算
例1(2011·安徽)如图,☉O半径是1,A,B,C是圆周上的三
点,∠BAC=36°,则劣弧 ������的������ 长是 ( )
答案 B
解析 如图,连接OB,OC,
∵∠BAC=36°,∴∠BOC=2∠BAC=72°,
2.(2016·安徽,13,5分)如图,已知☉O的半径为2,A为☉O外一点.过点
A作☉O的一条切线AB,切点为B,AO的延长线交☉O于点C.若
∠BAC=30°,则劣弧 ������������的长为
4π 3
.
解析 如图,连接OB,
∵AB是☉O的切线,
∴∠ABO=90°,
∵∠BAC=30°,
∴∠AOB=60°,∴∠BOC=120°,
解析 ∵扇形OAB的圆心角为120°,半径为3,
∴该扇形的弧长为
120π × 3
180 =2π.
考法1
考法2
3.(2016·广东广州)如图,以点O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB
是小圆的切线,点P为切点,AB=12 3,OP=6,则劣弧������������ 的长为
8π .(结果保留π)
解析 连接OA,OB,由AB是小圆的切线,可得OP⊥AB,由垂径定理知 AP=BP=1AB=6 3,在 Rt△OAP 中,根据勾股定理可求得
考点三
考点二正多边形与圆
1.相关概念
(1)正多边 正多边形和圆的关系非常密切,只要把一个圆分成相
形和圆的关 等的一些弧,就可以作出这个圆的内接正多边形,这个
系
圆叫做这个正多边形的外接圆
一个正多边形外接圆的圆心叫做这个正多边形的中 心
中考数学总复习 第七章 圆 第3节 与圆有关的计算数学课件
12/14/2021 ◆教材回顾 ◆突破考点（ 考点一 考点二 ）
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第3讲 与圆有关的计算
备 考 指 南
一、考试要求 会计算弧长及扇形的面积，会计算圆锥 的侧面积和全面积．
二、广东省省卷近五年中考统计
考试内容 2010 2011 渗透 第14 题 2012 2013 2014 题型
阴影部分 的面积
第10 渗透第 题4分 16题
填空 解答
课 前 小 练
A.3
3
B.3 6
3 C. 3 2
D.
课 前 小 练
4.(2014•舟山)一个圆锥的侧面展开图是 半径为6的半圆，则这个圆锥的底面半径 为（ ） A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 5.(2014•佛山)如图，AC⊥BC，AC=BC=4， 以BC为直径作半圆，圆心为O．以点C为圆 心，BC为半径作弧AB，过点O作AC的平行 线交两弧于点D、E，则阴影部分的面积是
1.(2014•云南)已知扇形的圆心角为45°, 半径长为12，则该扇形的弧长为（ ） A． B．2π C．3π D．12 2.(2014•年东营)如图,已知扇形的圆心角 为60°,半径为,则图中弓形的面积为( ) A.
4 3 B. 4
C.
D.
3.(2014•呼和浩特)已知⊙O的面积为2π， 则其内接正三角形的面积为( )
课 堂 精 讲
【变式】 3.（2013•梅州）如图，在矩形ABCD中，
AB=2DA，以点A为圆心，AB为半径的圆弧 交DC于点E，交AD的延长线于点F，设 DA=2． （1）求线段EC的长； （2）求图中阴影部分的面积．
解：
课 堂 精 讲
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考点3：求与圆有关的阴影部分的面积
课 堂 精 讲
【例3】(2013· 广东) 如图，三个小正方形的 3 边长都为1，则图中阴影部分面积的和是___ 8 (结果保留π)．
【方法点拨】求不规则图形面积通常利用 平移、旋转变换将图形重新组合，利用整 体等于部分之和列式计算.
2 2 本例 S= + 360 Байду номын сангаас60
答案：30°
C O B
【方法点拨】设圆锥底面半径与母线长分 别为r、l，利用圆锥的底面周长等于侧面展 开图的弧长得l=2r，∴sin∠BOD= r 1 ， l 2 ∠BAO=30°
课 堂 精 讲
【变式】 2.（2014•泉州）如图，有一直径是 米的 圆形铁皮，现从中剪出一个圆周角是90° 的最大扇形ABC，则： 1 米； （1）AB的长为____ （2）用该扇形铁皮围成一个圆锥，所得 1 圆锥的底面圆的半径为____米． 4
3
观察弧长公式 l
课 堂 精 讲
【变式】 1.（2014•河北）如图，将长为8cm的铁丝
尾相接围成半径为2cm的扇形． 4 则S扇形=_____ cm2．
考点2：圆锥与圆锥的侧面展开图
课 堂 精 讲
【例2】(2013· 佛山) 如图，圆锥的侧面展开 图是一个半圆，求母线AB与高AO的夹角．
A
5 2 3 3 _________ ．
考点1：求弧长、扇形面积
课 堂 精 讲
【例1】（ 2014•贺州）如图，以AB为直径的 ⊙O与弦CD相交于点E，且AC=2，AE= 3 ， CE=1．则弧BD的长是（ ） A. B.
C.
D.
2 r n 360
【方法点拨】 ，求的关 键是确定半径和圆心角.由AC=2,AE= 3 ，CE=1 可得∠AEC=90°,连结OD,依据垂直于弦的直径 性质求得半径r= 2 3 ,∠BOD=2∠A=60°.