2013-2014学年高一上学期期中考试数学试题

高一上学期期中考试数学试题
1．函数)3
2sin(π
-
=x y 的最小正周期为 ▲ ．
2．已知集合{}7,6,4,2,1=A ，{}7,5,4,3=B ，则A B = ▲ ．
3．已知向量()21,3a m =+ ，()2,b m = ，且//a b
，则实数m 的值是 ▲ ．
4．幂函数()f x
的图象经过点(，则()f x 的解析式是 ▲ ．
5．在平行四边形ABCD 中，E 、F 分别是CD 和BC 的中点，若AC →
＝λAE →
＋μAF →
，其中λ，μ
∈R ，则λ＋μ＝ ▲ ．
6.已知tan 2α=，则
sin 2cos cos sin αα
αα
+-= ▲
7．已知扇形的半径为8cm ，圆心角为0
45，则扇形的面积是 ▲ 2cm ． 8．()2
lg 5lg 2lg 50+⨯； ▲ ．
9． 已知定义在R 上的函数()21,0
1,0
x x f x mx m x ⎧+≥=⎨+-<⎩，若()x f 在()+∞∞-,上单调递增，
则实数m 的取值范围是 ▲ ．
13．设()f x 是定义域为R ，最小正周期为32π的函数，若()()
cos ,02=sin ,0x x f x x x ππ⎧⎛⎫-≤<⎪ ⎪
⎝⎭⎨⎪≤<⎩
，
则154f π⎛⎫
-
= ⎪⎝⎭
▲ ．
14. 设定义在区间[],m m -上的函数()21log 12nx f x x
+=-是奇函数，且()()
1144f f -≠，则
m n 的范围为 ▲ .
二、解答题：本大题共六小题，共计90分。

请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题14分）已知角α终边经过点P (x ，－2) (x ≠0)，且cos α＝3
6
x .求sin α＋
1
tan α
的值．
16. （本小题14分）（本题14分）设函数x x x f 2)(2
-=()x R ∈.
（1）在区间[2,3]-上画出函数)(x f 的图像；
（2）根据图像写出该函数在[2,3]-上的单调区间；
(3)方程a x f =)(有两个不同的实数根，求a 的取值范围.（只写答案即可）
17. （本小题14分）已知()2sin 216f x x a π⎛⎫
=+
++ ⎪⎝
⎭
（a 为常数）
． （1）求()f x 的递增区间； （2）若0,
2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时，()f x 的最大值为4，求a 的值 （3）求出使()f x 取最大值时x 的集合．
18. （本小题16分） 已知海湾内海浪的高度y (米)是时间t (0≤t ≤24，单位：小时)的函数，记作y ＝f (t )．下表是某日各时刻记录的浪高数据：
(1)根据以上数据，求函数y ＝A cos ωt ＋b 的最小正周期T ，振幅A 及函数表达式； (2)依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的上午8∶00至晚上20∶00之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？
19．（本小题16分）已知二次函数()f x 的最小值为1，且(0)(2)3f f ==． （1）求()f x 的解析式；
（2）若()f x 在区间[3,1]a a +上不单调．．．
，求实数a 的取值范围； （3）在区间[1,1]-上，()y f x =的图象恒在221y x m =++的图象上方，试确定实数m 的取值范围．
20．（本小题满分16分）已知函数2
()231f x x x =-+，()sin()6
g x A x π
=-
（0A ≠）
．
（1）当 0≤x ≤
2
π
时，求(sin )y f x =的最大值； （2）问a 取何值时，方程(sin )sin f x a x =-在[)π2,0上有两解?
2012—2013学年第一学期期末考试
高一数学参考答案
2013、12
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．
二、解答题：本大题共六小题，共计90分。

15．（本小题14分）
15．解 ∵P (x ，－2) (x ≠0)，
∴点P 到原点的距离r ＝x 2＋2.………………………………………………(2分)
又cos α＝3
6x ，
∴cos α＝x x 2＋2＝3
6
x .
∵x ≠0，∴x ＝±10，
∴r ＝2 3.………………………………………………………………………(6分) 当x ＝10时，P 点坐标为(10，－2)， 由三角函数的定义，
有sin α＝－66，1
tan α
＝－5，
∴sin α＋1tan α＝－6
6－5＝－65＋66
；…………………………………(10分)
当x ＝－10时，
同样可求得sin α＋1
tan α＝65－66
.……………………………(14分)
16. 16.（1）图略 ……………7分 （2）函数的单调增区间为[][)+∞,2,1,0
函数的单调减区间为(][]2,1,0,∞-………………………………11分 （3）由图像可知当0=a 或1a >时方程有两个实数根。

……………14分
17．解：（1）由2222
6
2
k x k π
π
π
ππ-
≤+
≤+
，所以,3
6
k x k k Z π
π
ππ-
≤≤+
∈
所以，递增区间为(),3
6k k k Z π
πππ⎡⎤
-
+
∈⎢⎥⎣
⎦
． （2）在0,
2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
的最大值为3a +，34a +=，所以1a =． （3）由226
2
x k π
π
π+=+
，得,6x k k Z π
π=+
∈，所以|,6x x k k Z ππ⎧⎫
=+∈⎨⎬⎩⎭
．
19答案：解（1）由已知，设2
()(1)1f x a x =-+，由(0)3f =，得2a =，
故2
()243f x x x =-+. …………5分
（2）要使函数不单调， 则3
1
0,113<
<+<<a a a 则， ………10分 （3）由已知，即2
243221x x x m -+>++，
化简得2
310x x m -+->.
设2
()31g x x x m =-+-，则只要min ()0g x >， 而min ()(1)1g x g m ==--，得1m <-.…………16分
20．答案：（1）2
(sin )2sin 3sin 1y f x x x ==-+ 设sin ,[0,
]2
t x x π
=∈，则01t ≤≤
∴22331
2()12()248
y t t t =-
+=-- ∴当0t =时，max 1y =………………………………………6分
（2）2
2sin 3sin 1sin x x a x -+=-化为2
2sin 2sin 1x x a -+=在[0,2]π上有两解，
设sin t x = 则2
221t t a -+=在[1,1]-上解的情况如下：
①当在(1,1)-上只有一个解或相等解，x 有两解(5)(1)0a a --<或0∆= ∴(1,5)a ∈或1
2
a =
②当1t =-时，x 有惟一解32
x π= ③当1t =时，x 有惟一解2
x π
=
故 (1,5)a ∈或1
2
a =。

…………………………………………………16分。