1.3 全称量词与存在量词2
高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.3 全称量词与存在量词 1.3.1 全称量词与全称命题 1.3.
2.特称命题 “有些”“至少有一个”“有一个”“存在”等都有表示个别或一部分 的含义,这样的词叫作存在量词,含有存在量词的命题,叫作特称命 题. 【做一做2】 下列命题不是特称命题的是( ) A.有些实数没有平方根 B.能被5整除的数也能被2整除 C.存在x∈{x|x>3},使x2-5x+6<0 D.有一个m,使2-m与|m|-3异号 答案:B
题型一 题型二 题型三 题型四
解:(1)不等式m+f(x)>0可化为m>-f(x),即m>-x2+2x-5=-(x-1)2-4. 要使m>-(x-1)2-4对于任意x∈R恒成立,只需m>-4即可. 故存在实数m,使不等式m+f(x)>0对于任意x∈R恒成立,此时,只 需m>-4. (2)不等式m-f(x)>0可化为m>f(x),若存在一个实数x,使不等式 m>f(x)成立,只需m>f(x)min.
【做一做 3】 给出下列命题:
①任意 x∈R, ������是无理数; ②任意������, ������∈R,若 xy≠0,则 x,y 中至少
有一个不为 0;③存在实数既能被 3 整除又能被 19 整除.
其中真命题为
.(填序号)
解析:①是假命题,例如 4是有理数;②是假命题,若 xy≠0,则 x,y
题型一 题型二 题型三 题型四
题型三 利用全称命题、特称命题求参数范围
【例3】 已知函数f(x)=x2-2x+5. (1)是否存在实数m,使不等式m+f(x)>0对于任意x∈R恒成立?并 说明理由. (2)若存在一个实数x,使不等式m-f(x)>0成立,求实数m的取值范围. 分析:可考虑用分离参数法,转化为m>-f(x)对任意x∈R恒成立和 存在一个实数x,使m>f(x)成立.
全称量词与存在量词(2)
例2、判定下列命题的真假：
2
(1) ∃x ∈ R, x > x 2 ( 2 ) ∀x ∈ R, x > x 2 ( 3) ∃x ∈ Q, x − 8 = 0 2 ( 4 ) ∀x ∈ R, x + 2 > 0 2 ( 5) ∃x ∈ R, x − x + 1 > 0 2 ( 6 ) ∀x ∈ R, x + x + 1 > 0
1.3.1 全称量词与存在量词
南昌市湾里一中 徐周钰
• 德国的著名的数学家哥德巴赫提出这样一个问题 任意取一个奇数，可以把它写成三个质数之和， “任意取一个奇数，可以把它写成三个质数之和， 比如77， 比如 ，77=53+17+7，同年欧拉首先肯定了哥德 ， 巴赫猜想的正确，并且认为： 巴赫猜想的正确，并且认为：每一个偶数都是两个 质数之和，虽然通过大量检验这个命题是正确的， 质数之和，虽然通过大量检验这个命题是正确的， 但是还需要证明。 但是还需要证明。这就是当今人们称之为哥德巴赫 猜想，并誉为数学皇冠上的明珠。 猜想，并誉为数学皇冠上的明珠。200多年来我国 多年来我国 著名数学家陈景润才证明了“ 著名数学家陈景润才证明了“1+2”即：凡是比某一 即 个正整数大的任何偶数， 个正整数大的任何偶数，都能表示成一个质数加上 两个质数相乘，或者表示成一个加上一个质数， 两个质数相乘，或者表示成一个加上一个质数，从 陈景润的“ 似乎仅一步之遥。 陈景润的“1+2”到“1+1”似乎仅一步之遥。它是一 到 似乎仅一步之遥 个迄今为止仍然是一个没有得到正面证明也没有被 被推翻的命题” 被推翻的命题”
∀x
读作：对任意x 读作：对任意
短语“存在一个”“至少有一个”“有 短语“存在一个”“至少有一个”“有 ”“至少有一个”“ 些”“有一个”“对某个”“有的”“存在着” ”“有一个”“对某个”“有的”“存在着” 有一个”“对某个”“有的”“存在着 在逻辑中通常叫做存在量词 等，在逻辑中通常叫做存在量词 符号表示： 符号表示：
13简单的逻辑联结词全称量词与存在量词
p
或
q
为真命题，p
且
q
为假命题．求
c
的取值范围．
解：由命题 p 知：0＜c＜1.由命题 q 知：2≤x＋1x≤52
要使此式恒成立，则 2＞1c，即 c＞12.
又由 p 或 q 为真，p 且 q 为假知，p、q 必有一真一假，
当 p 为真，q 为假时，c 的取值范围为 0＜c≤12. 当 p 为假，q 为真时，c≥1.
A．不存在 x0∈R,2x0>0
B．存在 x0∈R,2x0≥0
C．对任意的 x0∈R,2x≤0
D．对任意的 x∈R,2x>0
解析:特称命题:“存在 x0∈R,2x0≤0”的否定是全称命题“对任意的 x∈R,2x>0”．
答案：D
反思感悟：善于总结，养成习惯 对一个命题的否定是全部否定，而不是部分否定：(1)全(特)称命题的否定与一般命 题的否定有着一定的区别，全(特)称命题的否定是将其全称量词改为存在量词(或存 在量词改为全称量词)，并把结论否定；而命题的否定，则直接否定结论即可．(2)
形；④2x＋1(x∈R)是整数；⑤对所有的 x∈R，x>3；⑥对任意一个 x∈Z,2x2＋1 为
奇数．
其中假命题的个数为
()
A．1 B．2 C．3 D．5
答案：B 4．下列命题的否定错误的是
()
A．p：能被 3 整除的数是奇数；綈 p：存在一个能被 3 整除的数不是奇数
B．p：任意四边形的四个顶点共圆；綈 p：存在一个四边形的四个顶点不共圆
§1.3 简单的逻辑联结词、全称量词 与存在量词
了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义/理解全称量词与存在量词的意义/能正 确地对含有一个量词的命题进行否定
1.3简单的逻辑连接词,全称量词与存在量词
解析:命题 p:存在 x∈R,使 tan x=1 是真命题,命题 q:x -3x+2<0 的解集 是{x|1<x<2}也是真命题,∴ ①命题“p 且 q”是真命题;②命题“p 且(������ q)”是假 命题;③命题“(������ p)或 q”是真命题;④命题“(������ p)或(������ q)”是假命题,故应选 D.
1 2 2
5 2
2
解析:由 sin x= >1,可得命题 p 为假;由 x +x+1= ������ +
2
5
2
+ ≥ ,可得
4 4
3
3
命题 q 为真,则命题“p 且 q”是假命题;命题“p 且(������ q)”是假命题;命题“(������ p)且 q”是真命题;命题“(������ p)或(������ q)”是真命题.
1.命题 p:x2+y2<0;q:x2+y2≥0.下列命题为假命题的是( B ). A.p 或 q C.q B.p 且 q D.������ p
1.3全称量词与存在量词
怎样判断存在性命题的真假？ 要判断一个存在性命题为真，只要在给定 的集合中找到一个元素x，使命题p (x)为真；
要判断一个存在性命题为假，必须对在给定
集合的每一个元素x，使命题p (x)为假. 存在同或, 全假为假, 一真即真.
怎样判断全称命题的真假？ 要判断一个全称命题为真，必须对在给定 集合的每一个元素x，使命题p (x)为真；
练习
3. 命题“存在一个三角形，内角和不等于 B 180o”的否定为（ ） A. 存在一个三角形，内角和等于180o ； B. 所有三角形，内角和都等于180o ； C. 所有三角形，内角和都不等于180o ； D. 很多三角形，内角和不等于180o . 4. 命题“乌鸦都是黑色的”的否定 至少有一个乌鸦不是黑色的 为:______________________________.
否定 x M , P( x).
否定 x M , P( x).
x M , P( x).
x M , P( x).
பைடு நூலகம்
例题解析
例3. 写出下列命题的否定: (1)所有人都晨练. (2)x∈R , x2+x+1>0 . (3) 平行四边形的对边相等 . (4) x∈R , x2－x+1=0
例题解析 例2.判断下列命题的真假. 真 (1) x∈R , x2>x ; 假 (2) x∈R , x2>x ; 假 (3) x∈Q , x2- 8=0; 真 (4) x∈R , x2+2>0 ;
假 (5)存在两个相交平面垂直于同一条直线; 真 (6)末位是0的整数, 可以被5整除.
练习
5. 命题“有的实数没有立方根”的否定 真 命题.（填“真”、“假”） 为:_____
§1.3全称量词与存在量词
都是平行四边形．
(4)特称命题，且为假命题．否定：对于所有实 数x，都满足3x≥0.
课堂练习：一、选择题 1．(2012· 安徽文，4)命题“存在实数 x，使 x>1”的否定 是( ．． A．对任意实数 x，都有 x>1 B．不存在实数 x，使 x≤1 C．对任意实数 x，都有 x≤1 D．存在实数 x，使 x≤1
＋2x＋3>0 是真命题， 这是因为 x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2≥ 2>0 恒成立．
(4)p 是特称命题， 是假命题． 对于任一等差数列{an}(首项 a1， 公差 d)， 1 d d 其前 n 项和为：Sn＝na1＋ n( n－1)d＝ n2＋(a1－ )n.因此不可能是 Sn 2 2 2 ＝n2＋2n－1 这种形式(含常数式)．
例 4 （ 1 ） (2011· 辽宁卷 ) 已知命题 p ： ∃ n∈N,2n ＞1 000，则¬p为( ) B．∀n∈N,2n＞1 000 D．∃n∈N,2n＜1 000
A．∀n∈N,2n≤1 000 C．∃n∈N,2n≤1 000
答案：A
解：由于特称命题的否定是全称命题，因而¬p为∀n∈N,2n≤1
(4)p ：存在等差数列 {an} ，其前 n 项和 Sn ＝ n2 ＋
2n－1.
解：(1)p 是全称命题，是假命题．若两个单位向量 e1，e2 方向不相同 时，虽然有|e1 |＝ |e2|＝1，但 e1≠ e2. (2)p 是全称命题，是真命题．根据等比数列的定义知，任一等比数列 an＋1 中，其每一项 an≠ 0，所以其公比 q＝ ≠ 0(n＝1,2,3，„ )． an (3)p 是特称命题，是假命题．因为对于 p 的否定：任意的 x∈R，x2
1.3逻辑联结词、全称量词与存在量词
科 目 数学 年级 高三 备课人 高三数学组第 课时1.3简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词 考纲定位 了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义；理解全称量词与存在量词的意义；能正确对含有一个量词的命题进行否定. 疑难提示 1、逻辑联结词的特性；2、命题的否定；3、区分命题的否定与否命题；4、注意全称命题与特称命题的其他不同表述方法. 【考点整合】1、简单的逻辑联结词：(1) 叫做逻辑联结词.(2)复合命题：由简单命题和 构成的命题. (3)复合命题的三种形式及其真假性：p q p q ∧ p q ∨ p ⌝ 真 真 真 假 假 真 假假2、全称量词与存在量词(1) 等短语在逻辑中通常叫全称量词，含有全称量词的命题叫做 . (2) 等短语在逻辑中通常叫存在量词，含有存在量词的命题叫做 . 3、命题的否定： 对命题的全盘否定 ；否命题：(1)命题的否定与否命题之间的区别： (2)一些常用正面叙述的词语及它的否定词语列表如下： 正面词语 等于 大于 小于 是 都是 至少有一个 至多有一个 任意的 否定词语(3)全称命题与特称命题的否定：全称命题:,()p x M p x ∀∈，则:p ⌝ ； 特称命题00:,()p x M p x ∃∈，则:p ⌝ .【真题演练】1、(2008 广东)已知命题p:所有的有理数都是实数，命题q:正数的对数都是负数，则下列命题是真命题的是（ ）A.()p q ⌝∨B.p q ∧C.()()p q ⌝∧⌝D.()()p q ⌝∨⌝ 2、(2010 湖南)下列命题中是假命题的是（ ） A.1,20x x R -∀∈> B.*2,(1)0x N x ∀∈-> C.,lg 1x R x ∃∈< D.,tan 2x R x ∃∈=3、(2009 天津)命题“00,20xx R ∃∈≤”的否定是（ ） A.不存在00,20x x R ∈> B.00,20x x R ∃∈≥ C.,20x x R ∀∈≤ D.,20x x R ∀∈>4、(2012 湖北)命题“300,R x C Q x Q ∃∈∈”的否定是（ ）A.300,R x C Q x Q ∃∉∈ B.300,R x C Q x Q ∃∈∉ C.3,R x C Q x Q ∀∉∈ D.3,R x C Q x Q ∀∈∉【经典例题】一、含有逻辑联结词的命题真假的判断 例1、判断下列命题的真假 （1）命题()A AB ⊄；（2）下列两组命题构成的“p 且q ”形式的命题的真假：①:0{0},:{0}p q φ⊂≠∈ ②:2p 是自然数，:q π是有理数（3）下列两组命题构成的“p 或q ”形式的命题的真假： ①p:3是7的约数，q:3是9的约数 ②p:3不是7的约数，q:3不是9的约数变式训练：1、已知命题p 2:,tan 1;:,10p x R x q x R x x ∃∈=∀∈++<，给出下列结论： （1）命题“p q ∧”是真命题；（2）命题“()p q ∧⌝”是假命题；（3）命题“()p q ⌝∨”是真命题；（4）命题“()()p q ⌝∨⌝”是真命题；其中正确的是 （只需填写所有正确的序号） 2、已知命题p 和q 满足p q ∨为真命题，q ⌝为真命题，则（ ）A.p 为假命题B.p 为真命题C.p q ∧为真命题D.()p q ⌝∨为真命题 二、含有量词的否定及真假判断例2、试判断下列命题的真假并写出该命题的否定（1）2,10x R x ∀∈+>； （2）2,1x N x ∀∈≥； （3）3,1x Z x ∃∈<； （4）2,3x Q x ∃∈=变式训练：1、命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是 .2、下列命题中(1)[0,],sin cos 22x x x π∃∈+≥;(2)2(3,),21x x x ∀∈+∞>+; (3)2,1x R x x ∃∈+=-（4）(,),tan sin 2x x x ππ∀∈>,其中真命题是（ ）A.(1)B.(1)(2)C.(2)D.(3)(4) 三、根据命题真假求参数的取值范围例3、已知0c >，设p:函数xy c =在R 上单调递减，q:不等式|2|1x x c +->的解集为R ，如果p 和q 有且仅有一个正确，求c 的取值范围.变式训练：已知命题p:2[1,2],0x x a ∀∈-≥；命题q ：2000,220x R x ax a ∃∈++-=.(1)若命题p q ∧为真命题，求实数a 的取值范围 (2).若命题p q ∨为真命题且p q ∧为假命题，求a 的取值范围.【作业】《胜券在握》P119页 第1、2、3题；【上本作业】《胜券在握》P119页 第4、5题.。
1.3全称量词与存在量词2
1.3．1 全称量词与存在量词班级 姓名学习目标：1. 掌握全称量词与存在量词的的意义；2. 掌握含有量词的命题：全称命题和存在性命题真假的判断.学习重难点：含逻辑词的复合命题真假性的判断．正确使用逻辑词表述相关数学内容．一．引入新课复习1：写出下列命题的否定,并判断他们的真假：（1（2）5不是15的约数（3）8715+≠ （4）空集是任何集合的真子集复习2：判断下列命题的真假，并说明理由：（1）p q ∨，这里p ：π是无理数，q ：π是实数； （2）p q ∧，这里p ：π是无理数，q ：π是实数； (3) p q ∨，这里p ：23>，q ：8715+≠； (4) p q ∧，这里p ：23>，q ：8715+≠. 探究问题：1.下列语名是命题吗？（1）与（3），（2）与（4）之间有什么关系？ （1）3x >； （2）21x +是整数；（3）对所有的,3x R x ∈>； （4）对任意一个x Z ∈，21x +是整数.2. 下列语名是命题吗？（1）与（3），（2）与（4）之间有什么关系？ (1)213x +=； (2)x 能被2和3整除；（3）存在一个0x R ∈，使0213x +=； （4）至少有一个0x Z ∈，0x 能被2和3整除.新知：1.短语“ ”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“ ”表示，含有 的命题，叫做全称命题. 其基本形式为： ，读作：2. 短语“ ”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“ ”表示，含有 的命题，叫做存在性命题. 其基本形式为： ，读作： 如：“对任意实数x ，都有02≥x ”可表示为 ； “存在有理数x ，使022=-x ” 可表示为 .二．例题讲解例1 判断下列命题是全称命题还是存在性命题，并找出其中的量词. （1）任意实数的平方都是正数_____________\____ ____； （2）0乘以任何数都等于0______________\____________；（3）任何一个实数都有相反数___________\______________；（4）⊿ABC 的内角中有小于600的角___________\___________； （5）有人既能写小说，也能搞发明创造____________\__________； 例2 判断下列全称命题的真假：（1）所有的素数都是奇数； （2）2,11x R x ∀∈+≥；（3）对每一个无理数x ，2x 也是无理数. 变式：判断下列命题的真假：（1）2(5,8),()420x f x x x ∀∈=--> （2）2(3,),()420x f x x x ∀∈+∞=--> 小结：要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M 中每一个元素x 验证()p x 成立； 但要判定全称命题是假命题，却只要能举出集合M 中的一个0x x =，使得0()p x 不成立即可. 例2 判断下列存在性命题的真假：（1） 有一个实数0x ，使200230x x ++=； （2） 存在两个相交平面垂直于同一条直线； （3） 有些整数只有两个正因数. 变式：判断下列命题的真假：(1)2,32a Z a a ∃∈=- (2)23,32a a a ∃≥=-小结：要判定存在性命题是真命题只要在集合M 中找一个元素0x ，使0()p x 成立即可；如果集合M 中，使()P x 成立的元素x 不存在，那么这个存在性命题是假命题.三．强化练习1. 下列命题为存在性命题的是（ ）.A.偶函数的图像关于y 轴对称B.正四棱柱都是平行六面体C.不相交的两条直线都是平行线D.存在实数大于等于3 2.下列存在性命题中真命题的个数是 .(1),0x R x ∃∈≤；(2)至少有一个整数它既不是合数也不是素数； ⑶{|x x x ∃∈是无理数}，2x 是无理数. 3.下列命题中假命题的个数(1)2,11x R x ∀∈+≥； ⑵,213x R x ∃∈+=；⑶,x Z ∃∈x 能被2和3整除； ⑷2,230x R x x ∃∈++=4.下列命题中其中全称命题是 ； 存在性命题是 （1）有的质数是偶数；（2）与同一个平面所成的角相等的两条直线平行； （3）有的三角形三个内角成等差数列；（4）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线，5. 用符号“∀”与“∃”表示下列含有量词的命题. (1)实数的平方大于等于0： （2）存在一对实数使2330x y ++<成立：6. 判断下列全称命题的真假：（1）末位是0的整数可以被子5整除；（2）线段的垂直平分线上的点到这条线段两端点距离相等； （3）负数的平方是正数； （4）梯形的对角线相等.7. 判断下列全称命题的真假： (1)有些实数是无限不循环小数； （2）有些三角形不是等腰三角形； （3）有的菱形是正方形.1.3.2 含有一个量词的命题的否定 学习目标： 1. 掌握对含有一个量词的命题进行否定的方法，正确掌握量词否定的各种形式；2. 明确全称命题的否定是存在性命题，存在性命题的否定是全称命题.学习重难点：含逻辑词的复合命题真假性的判断．正确使用逻辑词表述相关数学内容．一．引入新课复习1：判断下列命题是否为全称命题：（1）有一个实数α，tan α无意义； （2）任何一条直线都有斜率；复习2：判断以下命题的真假：（1）21,04x R x x ∀∈-+≥ （2）2,3x Q x ∃∈= 探究：含有一个量词的命题的否定问题：1.写出下列命题的否定：（1）所有的矩形都是平行四边形；（2）每一个素数都是奇数；（3）2,210x R x x ∀∈-+≥.这些命题和它们的否定在形式上有什么变化?2.写出下列命题的否定：（1）有些实数的绝对值是正数；（2）某些平行四边形是菱形；（3）200,10x R x ∃∈+<.这些命题和它们的否定在形式上有什么变化?新知：1.一般地，对于一个含有一个量词的全称命题的否定有下面的结论： 全称命题p ：,()x p p x ∀∈， 它的否定p ⌝： 2. 一般地，对于一个含有一个量词的特称命题的否定有下面的结论： 特称命题p ：00,()x M p x ∃∈，它的否定p ⌝： .试试：1.写出下列命题的否定：（1）,n Z n Q ∀∈∈；（2）任意素数都是奇数；（3）每个指数函数都是奇数.2. 写出下列命题的否定：(1) 有些三角形是直角三角形； （2）有些梯形是等腰梯形；（3）存在一个实数，它的绝对值不是正数.二．例题讲解例1 写出下列全称命题的否定：（1）p ：所有能被3整除的数都是奇数；（2）p ：每一个平行四边形的四个顶点共圆； （3）p ：对任意x Z ∈，2x 的个位数字不等于3.变式：写出下列全称命题的否定，并判断真假.(1) p ：21,04x R x x ∀∈-+≥ (2) p ：所有的正方形都是矩形.例2 写出下列存在性命题的否定：(1) p ：2000,220x R x x ∃∈++≤；(2) p ：有的三角形是等边三角形； (3) p ：有一个素数含有三个正因数.变式：写出下列存在性命题的否定，并判断真假. (1) p ：2,220x R x x ∃∈++≤； (2) p ：至少有一个实数x ，使310x +=.三．强化练习1. 命题“原函数与反函数的图象关于y x =对称”的否定是（ ）.A. 原函数与反函数的图象关于y x =-对称B. 原函数不与反函数的图象关于y x =对称C.存在一个原函数与反函数的图象不关于y x = 对称D. 存在原函数与反函数的图象关于y x =对称 2.对下列命题的否定说法错误的是（ ）. A. p ：能被3整除的数是奇数；p ⌝：存在一个能被3整除的数不是奇数 B. p ：每个四边形的四个顶点共圆；p ⌝：存在一个四边形的四个顶点不共圆 C. p ：有的三角形为正三角形；p ⌝：所有的三角形不都是正三角形 D. p ：2,220x R x x ∃∈++≤； p ⌝：2,220x R x x ∀∈++> 3.命题“对任意的32,10x R x x ∈-+≤”的否定是4. 平行四边形对边相等的否定是5. 命题“存在一个三角形没有外接圆”的否定是 .6. 写出下列命题的否定：(1) 32,x N x x ∀∈>； (2) 所有可以被5整除的整数，末位数字都是0；(3) 2000,10x R x x ∃∈-+≤； (4) 存在一个四边形，它的对角线是否垂直. 7. 判断下列命题的真假，写出下列命题的否定：（1）每条直线在y 轴上都有截矩； （2）每个二次函数都与x 轴相交；（3）存在一个三角形，它的内角和小于180︒； （4）存在一个四边形没有外接圆.。
全称量词与存在量词(二)量词否定
S11-1.3 全称量词与存在量词（二）量词否定
课型
新授
教学目标：利用日常生活中的例子和数学的命题介绍对量词命题的否定，使学生进一步理解全称量词、存 在量词的作用. 教学重点：全称量词与存在量词命题间的转化； 教学难点：隐蔽性否定命题的确定； 课 型：新授课 教学手段：多媒体
教学过程
一、创设情境 数学命题中出现“全部”、 “所有”、 “一切”、 “任何”、 “任意”、 “每一个”等与“存在着”、 “有”、 “有些”、“某个”、“至少有一个”等的词语，在逻辑中分别称为全称量词与存在性量词 （用符号分别记为“ ”与“ ”来表示） ；由这样的量词构成的命题分别称为全称命 题与存在性命题。在全称命题与存在性命题的逻辑关系中， p q, p q 都容易判 断，但它们的否定形式是我们困惑的症结所在。 二、活动尝试 问题 1：指出下列命题的形式，写出下列命题的否定。 （1）所有的矩形都是平行四边形； （2）每一个素数都是奇数； （3）xR，x2-2x+1≥0 分析： （1） x M,p(x)，否定：存在一个矩形不是平行四边形； x M,p(x) （2） x M,p(x)，否定：存在一个素数不是奇数； x M,p(x) （3） x M,p(x)，否定：xR，x2-2x+1<0； x M,p(x) 这些命题和它们的否定在形式上有什么变化？ 结论：从命题形式上看，这三个全称命题的否定都变成了存在性命题. 三、师生探究 问题 2：写出命题的否定 2 （1）p： x∈R，x ＋2x+2≤0； （2）p：有的三角形是等边三角形； （3）p：存在一个四边形，它的对角线互相垂直且平分； 分析： （1） xR，x2＋2x+2>0； （2）任何三角形都不是等边三角形； （3）对于所有的四边形，它的对角线不可能互相垂直或平分； 从集合的运算观点剖析： 痧( A B) U
1.3全称量词与存在量词
1.3全称量词与存在量词（1）教学目标：1.通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量词的意义；2.利用日常生活中的例子和数学的命题介绍对量词命题的否定教学重点：理解全称量词与存在量词的意义，并判断全称命题和特称命题的真假，全称量词与存在量词命题间的转化教学过程：问题1：请你给下列划横线的地方填上适当的词①一 纸；②一 牛；③一 狗；④一 马；⑤一 人家；⑥一 小船什么是量词？这些表示人、事物或动作的单位的词称为量词。
问题2：下列命题中含有哪些量词？（1）对所有的实数x ，都有x 2≥0；（2）存在实数x ，满足x 2≥0；（3）存在有理数x ，使得x 2－2＝0成立；（4）对于任何自然数n ，有一个自然数s 使得s n n =⨯；（5）有一个自然数s 使得对于所有自然数n ，有s n n =⨯数学构建：1.短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“∀”表示2.短语“存在一个”、“至少一个”在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“∃”表示3.全称命题“对M 中任意一个x ，有()p x 成立”.简记为：___________________4.存在性称命题“存在M 中的一个x ，使()p x 成立”.简记为：___________________5.“,()x M p x ∀∈”否定为__________________________6.“,()x M p x ∃∈”否定为__________________________7.关键量词的否定例1判断以下命题的真假：（1）2,x R x x ∃∈> （2）2,x R x x ∀∈>（3）2,80x Q x ∃∈-= （4）2,20x R x ∀∈+>练习：判断下列命题的真假：（1）所有的素数都是奇数； （2）x ∀∈R ，211x +≥；（3）对每一个无理数x ，2x 也是无理数；（4）有一个实数x ，使2230x x ++=成立；（5）存在两个相交平面垂直同一条直线；（6）有些整数只有两个正因数例2.写出下面命题的否定：（1）所有的矩形都是平行四边形；（2）每一个素数都是奇数；（3）x ∀∈R ，2210x x -+≥；（4）x R ∃∈，210x x -+=例3.若命题P ：“x R ∀∈，210x ax -+>”是真命题，求实数a 的取值范围.变式练习1：若命题P ：“x R ∃∈，210x ax -+>”是假命题，求实数a 的取值范围.变式练习2：已知命题P ：“x R ∀∈，210x ax -+>”，若P ⌝是真命题，求实数a 的取值范围.变式练习3：若命题P ：“[1,2]x ∃∈，210x ax -+>”是真命题，求实数a 的取值范围.课堂练习： 1.命题“3,sin cos 2x R x x ∃∈+=”的否定是__________________________ 2.命题“三角形的内角和是180︒”的否定是__________________________1.3全称量词与存在量词（2）教学目标：理解全称量词与存在性量词在数学中的含义，并能求解含参数问题教学重点：理解全称量词与存在性量词在数学中的含义，并能求解含参数问题教学过程：例1.已知()f x 是定义在[2,2]-上的奇函数，当(0,2]x ∈时，()21x f x =-，函数2()2g x x x m =-+.若12,[2,2]x x ∀∈-，使得21()()g x f x <，求实数m 的取值范围.变式1：已知()f x 是定义在[2,2]-上的奇函数，当(0,2]x ∈时，()21x f x =-，函数2()2g x x x m =-+.若对于1[2,2]x ∀∈-，2[2,2]x ∃∈-，使得21()()g x f x <，求实数m 的取值范围.变式2: 已知()f x 是定义在[2,2]-上的奇函数，当(0,2]x ∈时，()21x f x =-，函数2()2g x x x m=-+.若12,[2,2]x x ∃∈-，使得21()()g x f x <，求实数m 的取值范围.变式3 已知()f x 是定义在[2,2]-上的奇函数，当(0,2]x ∈时，()21x f x =-，函数2()2g x x x m =-+.若对于[2,2]x ∀∈-，，使得()()g x f x <，求实数m 的取值范围.例2.已知()f x 是定义在[2,2]-上的奇函数，当(0,2]x ∈时，()21x f x =-，函数2()2g x x x m =-+.若对于1[2,2]x ∀∈-，2[2,2]x ∃∈-，使得21()()g x f x =，求实数m 的取值范围.变式1 已知()f x 是定义在[2,2]-上的奇函数，当(0,2]x ∈时，()21x f x =-，函数2()2g x x x m =-+.若12,[2,2]x x ∃∈-，使得21()()g x f x =，求实数m 的取值范围.。
专题1.3全称量词与存在量词(解析版)
则实数 m 的取值范围是 , 4 U 6, ，
故选：D.
14．下列结论中正确的个数是（
）
①命题“所有的四边形都是矩形”是存在量词命题；
②命题“ x R, x2 1 0 ”是全称量词命题；
③命题“ x R, x2 2x 1 0 ”的否定为“ x R, x2 2 x 1 0”；
B． x0 0, x0 1 x0 2 0 D． x 0, x 1 x 2 0
【答案】D
【解析】命题“ x0 0, x0 1 x0 2 0 ”的否定是“ x 0, x 1 x 2 0 ”.
故选；D. 6．对于方程根的存在性问题，有一个著名的定理——“代数基本定理”，其内容为：任意一
个一元复系数方程，在复数域中至少有一个根．则“代数基本定理”的否定为（
）
A．任意一个一元复系数方程，在复数域中至多有一个根 B．任意一个一元复系数方程，在复数域中没有根 C．存在一个一元复系数方程，在复数域中至少有一个根 D．存在一个一元复系数方程，在复数域中没有根 【答案】D 【解析】“任意一个一元复系数方程，在复数域中至少有一个根”的否定为“存在一个一元复 系数方程，使得在复数域中没有根”. 故选：D.
18．下列命题的否定是假命题的是（
）
A． p :能被 3 整除的整数是奇数; p : 存在一个能被 3 整除的整数不是奇数
B． p :每一个四边形的四个顶点共圆; p : 存在一个四边形的四个顶点不共圆 C． p :有的三角形为正三角形; p : 所有的三角形不都是正三角形 D． p : x R, x2 2x 2 0 ; p : x R ，都有 x2 2x 2 0
몸३ 含有存在量词的命题称为特称命题．
高中数学选修2-1 1.3全称量词与存在量词
需要证明集合M中,使p(x)成立的元素x不存在.
练习：
1.指出下列命题使用了那种量词，并用符号表示出来
①对任意正实数 a, a2 a 2 0 ；a 0, a2 a 2 0 ②对某个大于10的正整数 n,( 2)n 1024 ；
C. x R,lg x 1 D. x R, tan x 2
4.已知a
0 ，函数
f
(x)
ax2
bx
c
.若
x 0
满足关于x
的方程2ax b 0，则下列选项中为假命题的是(C )
A. x R,
f
(x)
f
(x ) 0
B. x R, f (x) f (x ) 0
C. x R,
f
(x)
f
需要对集合M中每个元素x，证明p(x)成立
判断全称命题“x∈M, p(x) ”是假命题 的方法
只需在集合M中找到一个元素x0，使得p(x0) 不成立即可（举反例）
总 结：
判断特称命题“x0∈M, p(x0) ”是真命题 的方法
只需在集合M中找到一个元素x0,使得p(x0) 成立即 可 (举例说明).
常见的存在量词还有 “有些”“有一个” “对某个”“有的”等 。
特称命题“存在M中的一个x0，使p(x0)成立 ” 可用符号简记为：
x0 M，p(x0 ),
读作“存在一个x0属于M，使p(x0)成立”。
全称命题、特称命题的表述方法：
命题 全称命题 x M , p(x) 特称命题 x0 M , p(x)
全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立 ”可用符号简记为：
x M，p(x),
1.3 全称量词与存在量词
（1）三个数 ）三个数-3,2.5,√2中，至少有一个 中 数不是自然数； 数不是自然数； 对任意一个实数x,都有 都有2x+4≥0。 （2）对任意一个实数x,都有2x+4≥0。 三个数-3,2.5,√2 √2中 （1）三个数-3,2.5,√2中，任意一个数 都是自然数。 都是自然数。 （2）存在一个实数x,使得2x+4<0。 存在一个实数x,使得2x+4<0 x,使得2x+4<0。
3
例1：判断下列命题哪那些是全称命题， 判断下列命题哪那些是全称命题， 哪些是特称命题： 哪些是特称命题：
（1）奇数是整数； 奇数是整数； （全称命题）
（2）偶数能被2整除； （全称命题） 偶数能被2整除； （3）至少有一个素数不是奇数。（特称命题） 至少有一个素数不是奇数。
4
练习1 判断下列命题哪些是全称命题， 练习1： 判断下列命题哪些是全称命题，哪些 是特称命题： 是特称命题： 方程x +x-1=0的两个解都是实数解 全称命题 的两个解都是实数解； （1）方程x2+x-1=0的两个解都是实数解； 每一个关于x的一元一次方程ax+b=0 ax+b=0都有 （2）每一个关于x的一元一次方程ax+b=0都有 全称命题 解； 特称命题 有一个实数，不能作除数； （3）有一个实数，不能作除数； 全称命题 末位数字是0 的整数，能被5整除； （4）末位数字是0或5的整数，能被5整除； 全称命题 棱柱是多面体； （5）棱柱是多面体； 对于所有的自然数n 代数式n 2n+2的值 （6）对于所有的自然数n，代数式n2-2n+2的值 全称命题 都是正数。 都是正数。
1.3全称量词与存在性量词
授课主题：全称量词与存在性量词教学目标1．了解全称量词、全称命题及存在量词、特称命题的含义，会判断含有一个量词的全称命题、特称命题的真假．2．能正确写出含有一个量词的命题的否定并能判断真假．教学内容1.全称量词与存在量词(1)全称量词有“所有的”、“任意一个”等，用∀表示；(2)存在量词有“存在一个”、“至少有一个”等，用∃表示．2.全称命题含有全称量词的命题，叫全称命题．全称命题p：∀x∈M，p(x)．3.特称命题含有存在量词的命题，叫特称命题．特称命题p：∃x0∈M，p(x0)．4.全称命题的否定全称命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定﹁p：∃x0∈M，﹁p(x0)．5.特称命题的否定特称命题p：∃x0∈M，p(x0)，它的否定﹁p：∀x∈M，﹁p(x)题型一全称命题与特称命题的判断例1判断下列语句是全称命题还是特称命题，并判断真假．(1)所有圆的圆心到其切线的距离都等于半径；(2)圆内接四边形，其对角互补；解析(1)含有全称量词，所以该命题是全称命题．又任何一个圆的圆心到切线的距离都等于半径，所以，全称命题“所有圆的圆心到其切线的距离都等于半径”是真命题．(2)“圆内接四边形，其对角互补”的实质是“所有的圆内接四边形，其对角都互补”，所以该命题是全称命题且为真命题．巩固下列命题中，不是全称命题的是() A．任何一个实数乘以0都等于0B．自然数都是正整数C．任何一个数都是实数D．一定存在没有最大值的二次函数．解析：选项D中的命题是特称命题．故选D.答案：D巩 固 以下四个命题既是特称命题又是真命题的是 ( )A ．锐角三角形的内角是锐角或钝角B ．至少有一个实数x ，使x 2≤0C ．两个无理数的和必是无理数D ．存在一个负数x ，使1x>2 解析：选项A 中锐角三角形的内角都是锐角，所以是假命题；选项B 中x ＝0时，x 2＝0，所以B 既是特称命题又是真命题；选项C 中因为3＋(－3)＝0，所以C 是假命题；选项D 中对于任一个负数x ，都有1x<0，所以D 是假命题．答案：B题型二 用“∀”或“∃”表示全称命题或特称命题例2 用符号“∀”与“∃”表示含有量词的命题：(1)实数的平方大于等于0；(2)存在一对实数(x ，y )，使2x ＋3y ＋3>0成立解析：(1)∀x ∈R ，x 2≥0；(2)∃(x 0，y 0)，x 0∈R ，y 0∈R ，使2x 0＋3y 0＋3>0成立．点评：注意全称命题和特称命题的规范表示形式：全称命题表示为“∀x ∈M ，p (x )”的形式；特称命题表示为“∃x 0∈M ，p (x 0)”的形式．巩 固 将下列命题用量词符号“∀”或“∃”表示，并判断真假．(1)整数中1最小；(2)方程ax 2＋2x ＋1＝0(a ＜1)至少存在一个负根；(3)对于某些实数x ，有2x ＋1＞0；解析：(1)∀x ∈Z ，x ≥1，假．(2)∃x 0＜0，有ax 20＋2x 0＋1＝0(a ＜1)，真．(3)∃x0∈R，有2x0＋1＞0，真．题型三全称命题和特称命题真假的判断例3判断下列命题的真假：(1)∀x∈R，x2＋1＞0；(2)∀x∈{3,5,7},3x＋1是偶数；(3)∃x0∈R，x20－x0＋1＝0.解析：(1)由于∀x∈R，都有x2≥0，所以有x2＋1≥1＞0，所以“∀x∈R，x2＋1＞0”是真命题．(2)因为对集合{3,5,7}中的每一个值，都有3x＋1是偶数，所以“∀x∈{3,5,7},3x＋1是偶数”是真命题．(3)因为对于x2－x＋1＝0，Δ＜0，所以方程x2－x＋1＝0无实数根，所以“∃x0∈R，x20－x0＋1＝0”是假命题．点评：(1)全称命题的真假判断：要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立；但要判定全称命题是假命题，却只要能举出集合M中的一个x＝x0，使得p(x0)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”)．(2)特称命题的真假判断：要判定一个特称命题是真命题，只要在限定集合M中，找到一个x＝x0，使p(x0)成立即可；否则，这一特称命题就是假命题．题型四全称命题的否定例4判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定：(1)三角形的内角和为180°；(2)每个二次函数的图象都开口向下；(3)任何一个平行四边形的对边都平行；(4)负数的平方是正数．解析：(1)是全称命题且为真命题．命题的否定：三角形的内角和不全为180°，即存在一个三角形，且它的内角和不等于180°.(2)是全称命题且为假命题．命题的否定：存在一个二次函数的图象开口不向下．(3)是全称命题且为真命题．命题的否定：存在一个平行四边形的对边不都平行．(4)是全称命题且为真命题．命题的否定：某个负数的平方不是正数．点评：(1)全称命题的否定是特称命题．因为要否定全称命题“∀x∈M，p(x)成立”，只需在M中找到一个x，使得p(x)不成立，也即“∃x0∈M，﹁p(x0)成立”．(2)要证明一个全称命题是假命题，只需举一个反例．(3)有些全称命题省略了量词，在这种情况下，千万不要将否定写成“是”或“不是”，如例1第(4)小题，将否定写成“负数的平方不是正数”就错误了，因为这个命题也是全称命题，是假命题．巩固写出下列命题的否定：(1)三个给定产品都是次品；(2)数列{1,2,3,4,5}中的每一项都是偶数；(3)∀a，b∈R，方程ax＝b都有唯一解；(4)可以被5整除的整数，末位是0.解析：(1)三个给定产品中至少有一个是正品．(2)数列{1,2,3,4,5}中至少有一项不是偶数．(3)∃a，b∈R，使方程ax＝b的解不唯一．(4)存在被5整除的整数，末位不是0.题型五特称命题的否定例5写出下列特称命题的否定，并判断其否定的真假：(1)有些实数的绝对值是正数；(2)某些平行四边形是菱形；(3)∃x0∈R，x20＋1＜0；(4)∃x0，y∈Z，使得2x0＋y＝3.解析：(1)命题的否定是：“不存在一个实数，它的绝对值是正数”．也即“所有实数的绝对值都不是正数”．由于|－2|＝2.因此命题的否定为假命题．(2)命题的否定是：“没有一个平行四边形是菱形”，也即“每一个平行四边形都不是菱形”．由于菱形是平行四边形，因此命题的否定是假命题．(3)命题的否定是：“不存在x∈R，x2＋1＜0”，也即“∀x∈R，x2＋1≥0”．由于x2＋1≥1＞0，因此命题的否定是真命题．(4)命题的否定是：“∀x，y∈Z，2x＋y≠3”．∵当x＝0，y＝3时，2x＋y＝3，因此命题的否定是假命题．点评：(1)特称命题的否定是全称命题，要否定特称命题“∃x0∈M，p(x0)成立”，需要验证对M中的每一个x，均有p(x)不成立，也就是说“∀x∈M，﹁p(x)成立”．(2)要证明特称命题是真命题，只需要找到一个使p(x)成立的条件即可．(3)只有“存在”一词是量词时，它的否定才是“任意”，当“存在”一词不是量词时，它的否定是“不存在”．例如：三角形存在外接圆．这个命题是全称命题，量词“所有的”被省略了，所以，这个命题的否定是：有些三角形不存在外接圆．巩固写出下列特称命题的否定，并判断其真假．(1)p：∃x0＞1，使x20－2x0－3＝0；(2)p：若a n＝－2n＋1，则∃n∈N，使S n＜0；(3)p：有些偶数是质数；(4)p：∃x0∈R，x0＞2；(5)p：∃x0∈R，x20＜0.解析：(1) ﹁p：∀x＞1，x2－2x－3≠0.(假)(2) ﹁p：若a n＝－2n＋1，则∀n∈N，S n≥0.(假)(3) ﹁p：所有偶数都不是质数．(假)(4) ﹁p：∀x∈R，有x≤2.(假)(5) ﹁p：∀x∈R，x2≥0.(真)题型六全称命题、特称命题的综合应用例6若命题“ ∀x∈R，x2＋(a－1)x＋1≥0”是假命题，则实数a的取值范围是()A．[－1,3]B．(－1,3)C．(－∞，1]∪[3，＋∞)D．(－∞，－1)∪(3，＋∞)解析：依题意命题“ ∃x∈R, x2＋(a－1)x＋1＜0”是真命题，所以二次不等式有解，所以Δ＞0，即(a－1)2－4＞0，解得a＜－1或a＞3 .故选D．点评：全称命题为真，意味着对限定集合中的每一个元素都具有某些性质，因此属于恒成立问题，因而可以根据题设条件列出方程或不等式解决问题．巩固已知p：∃x 0∈R, mx20＋2≤0，q：∀x∈R, x2－2mx＋1>0，若p∨q为假命题，则实数m的取值范围是______.解析：因为p∨q为假命题，所以p和q都是假命题．由p：∃x0∈R，mx20＋2≤0为假，得∀x∈R，mx2＋2＞0，所以m≥0①.由q：∀x∈R, x2－2mx＋1＞0为假，得∃x0∈R, x20－2mx0＋1≤0，所以Δ＝(－2m)2－4≥0，得m≤－1或m≥1②.由①和②得m≥1.答案：[1，＋∞)一、选择题1．下列命题中全称命题的个数为()①平行四边形的对角线互相平分；②梯形有两边平行；③存在一个菱形，它的四条边不相等．A．0个B．1个C．2个D．3个解析：①②是全称命题，③是特称命题．故选C.答案：C2．下列特称命题中真命题的个数是()①存在x0∈R，x0≤0；②至少有一个整数，它既是质数，又是偶数；③∃x0∈R，使x20－9x0＋8＝0成立．A．0个B．1个C．2个D．3个解析：①②③都是真命题．答案：D3．将“x2＋y2≥2xy”改写成全称命题，下列说法正确的是()A．∀x，y∈R，都有x2＋y2≥2xyB．∃x0，y0∈R，使x20＋y20≥2x0y0C．∀x＞0，y＞0，都有x2＋y2≥2xyD．∃x0＜0，y0＜0，使x20＋y20≤2x0y0解析：这是一个全称命题，且x，y∈R.故选A.答案：A4．给出3个命题：①∃k∈[0，＋∞)，使方程x2＋kx＋1＝0有实根；②∀k∈(－∞，－2]，使方程x2＋kx＋1＝0有实根；③∀k∈[－2,2]，使方程x2＋kx＋1＝0有实根．其中正确命题的个数是()A．0个B．1个C．2个D．3个解析：方程x2＋kx＋1＝0有实根的充要条件是Δ＝k2－4×1×1≥0，得k≤－2或k≥2，所以命题①②正确，命题③错误．故选C.答案：C5．有下列四个命题：①∀x∈R,2x2－3x＋4＞0；②∀x∈{1，－1,0},2x＋1＞0；③∃x0∈N*，x20≤x0；④∃x0∈N*，x0为31的约数．其中真命题的个数为()A．1个B．2个C．3个D．4个解析：对于①，这是全称命题，因为Δ＝(－3)2－4×2×4<0，所以2x2－3x＋4>0恒成立，故①为真命题；对于②，这是全称命题，因为当x＝－1时，2x＋1>0不成立，故②为假命题；对于③，这是特称命题，当x0＝0或x0＝1时，有x20＝x0成立，故③为真命题；对于④，这是特称命题，当x0＝1时，x0为31的约数成立，所以④为真命题．故选C.答案：C6．已知命题p：∀x∈R，x>sin x，则()A．﹁p：∃x0∈R，x<sin x0B．﹁p：∀x∈R，x≤sin xC．﹁p：∃x0∈R，x≤sin x0D．﹁p：∀x∈R，x<sin x答案：C7．(2013·湖北黄冈上学期期末)命题“所有实数的平方都是正数”的否定为()A．所有实数的平方都不是正数B．有的实数的平方是正数C．至少有一个实数的平方是正数D ．至少有一个实数的平方不是正数解析：否定为“至少有一个实数的平方不是正数”．故选D.答案：D8．命题“存在实数x ，使x >1”的否定是( )A ．对任意实数x ，都有x >1B ．不存在实数x ，都有x ≤1C ．对任意实数x ，都有x ≤1D ．存在实数x ，使x ≤1答案：C9．已知命题“∃x ∈R ，使2x 2＋(a －1)x ＋12≤0”是假命题，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1) B ．(－1,3)C ．(－3，＋∞)D ．(－3,1)解析：原命题的否定为∀x ∈R,2x 2＋(a －1)x ＋12>0，由题意知，其为真命题，则Δ＝(a －1)2－4×2×12<0. 则－2<a －1<2，则－1<a <3.故选B.答案：B10．(2013·四川卷)设x ∈Z ，集合A 是奇数集，集合 B 是偶数集．若命题p ：∀x ∈A,2x ∈B ，则( )A ．﹁p ：∃x ∈A,2x ∈BB. ﹁p ：∃x ∉A,2x ∈BC ．﹁p ：∃x ∈A,2x ∉BD ．﹁p ：∀x ∉A,2x ∉B解析：命题p: ∀x ∈A,2x ∈B 是一个全称命题，其命题的否定﹁p 应为∃x ∈A,2x ∉B ，故选C.答案：C二、填空题11．下列命题，是全称命题的是__________，是特称命题的是________(填序号)．①正方形的四条边相等②有两个角是45°的三角形是等腰直角三角形③正数的平方根不等于0④至少有一个正整数是偶数解析：①②③是全称命题，④是特称命题．答案：①②③ ④12．对任意x >3，x >a 恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析：对任意x >3，x >a 恒成立，即大于3的数恒大于a ，所以a ≤3.答案：(－∞，3]13.(2018·石家庄模拟)已知命题p ：∀n ∈N ，n 2<2n ，则 p 为________．解析：本题考查全称命题的否定．由全称命题的否定为特称命题，得⌝p 为∃n 0∈N ，n 20≥2n 0.答案：∃n 0∈N ，n 20≥2n 014.命题：“有的三角形是直角三角形”的否定是：____________________________________.解析：命题：“有的三角形是直角三角形”是特称命题，其否定是全称命题，按照特称命题改为全称命题的规则，即可得到该命题的否定．答案：所有的三角形都不是直角三角形15．(2013·湖北襄阳市3月调研)若命题“存在实数x ，使x 2＋ax ＋1＜0”的否定是假命题，则实数a 的取值范围为_________________．解析：依题意“存在实数x ，使 x 2＋ax ＋1＜0”是真命题，所以方程x 2＋ax ＋1＝0有不等的实根，所以 Δ＝a 2－4＞0，得a <－2或 a ＞2.答案：a ＜－2或 a ＞216．已知命题“∀x ∈R ，x 2－5x ＋152a >0”的否定为假命题，则实数a 的取值范围是________． 解析：由“∀x ∈R ，x 2－5x ＋152a >0”的否定为假命题，可知原命题必为真命题，即不等式x 2－5x ＋152a >0对任意实数x 恒成立．设f (x )＝x 2－5x ＋152a ，则其图象恒在x 轴的上方．故Δ＝25－4×152a <0， 解得a >56，即实数a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫56，＋∞. 答案：⎝⎛⎭⎫56，＋∞三、解答题17. 用量词符号“∀”“∃”表述下列命题，并判断真假．(1)所有实数x 都能使x 2＋x ＋1>0成立；(2)对所有实数a ，b ，方程ax ＋b ＝0恰有一个解；(3)一定有整数x 0，y 0，使得3x 0－2y 0＝10成立；(4)所有的有理数x 都能使13x 2＋12x ＋1是有理数． 解析：(1)∀x ∈R ，x 2＋x ＋1>0；真命题．(2) ∀a ，b ∈R ，ax ＋b ＝0恰有一解；假命题．(3) ∃x 0、y 0∈Z ,3x 0－2y 0＝10；真命题．(4) ∀x ∈Q ，13x 2＋12x ＋1是有理数；真命题． 18．写出下列命题的否定．(1)p ：∀x ∈R ，x 2－x ＋14≥0； (2)q ：所有的正方形都是矩形；(3)r: ∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋2≤0；(4)s ：至少有一个实数x ，使x 3＋1＝0.解析：(1)全称命题，它的否定是存在性命题，﹁p ∶∃x 0∈R ，x 20－x 0＋14＜0，假命题， 因为∀x ∈R ，x 2－x ＋14＝⎝⎛⎭⎫x －122≥0恒成立，所以﹁p 是假命题． (2)全称命题，它的否定是存在性命题，﹁q ：至少存在一个正方形不是矩形，假命题．(3)存在性命题，它的否定是全称命题，﹁r ：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2＞0，真命题．(4)存在性命题，它的否定是全称命题，﹁s ：∀x ∈R ，x 3＋1≠0，假命题，由于x ＝－1，x 3＋1＝0.点评：说明一个命题为假命题，只需举出一个反例即可，不必证明．1．下列命题不是全称命题的是( )A ．每一个三角形都存在外接圆B ．所有的实数都有算术平方根C ．对任意无理数x, 2x ＋3都是无理数D ．有的一元二次方程没有实数根答案：D2．下列命题不是“∃x 0∈R ，x 20＞3”的表述方法是( ) A ．有一个x ∈R ，使得x 2＞3B ．对有些x ∈R ，使得x 2＞3C ．任选一个x ∈R ，使得x 2＞3D ．至少有一个x ∈R ，使得x 2＞3答案：C3．命题p 的否定是“对所有正数x ，x ＞x ＋1”，则命题p 可写为________________________．解析：因为p 是綈p 的否定，所以只需将全称命题变为特称命题，再对结论否定即可． 答案：∃x 0∈(0，＋∞)，x 0≤x 0＋14．命题p ：∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋2≤0的否定是__________________________．答案：﹁p ：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2>0。
全称量词与存在量词(二)否定
§1.3.2 全称量词与存在量词（二）否定教学目标:能正确地对含有一个量词命题进行否定;进一步提高利用全称量词与存在量词准确、简洁地叙述数学内容的能力;培养对立统一的辩证思维。
教学重点:全称量词与存在量词命题间的转化；教学难点: 隐蔽性否定命题的确定；教学过程一．问题情境数学命题中出现“全部”、“所有”、“一切”、“任何”、“任意”、“每一个”等与“存在着”、“有”、“有些”、“某个”、“至少有一个”等的词语，在逻辑中分别称为全称量词与存在性量词（用符号分别记为“ ∀”与“∃”来表示）；由这样的量词构成的命题分别称为全称命题与存在性命题。
在全称命题与存在性命题的逻辑关系中，,p q p q ∨∧都容易判断，但它们的否定形式是我们困惑的症结所在。
问题1：指出下列命题的形式，写出下列命题的否定。
（1）所有的矩形都是平行四边形；（2）每一个素数都是奇数；（3）∀x ∈R ，x 2-2x +1≥0问题2：写出命题的否定（1）p ：∃ x ∈R ，x 2＋2x +2≤0；（2）p ：有的三角形是等边三角形；（3）p ：有些函数没有反函数；（4）p ：存在一个四边形，它的对角线互相垂直且平分；二．学生活动问题1：（1）∀x ∈M ,p (x )，否定：存在一个矩形不是平行四边形；（2）∀x ∈M ,p (x )，否定：存在一个素数不是奇数；（3）∀x ∈M ,p (x )，否定：∃x ∈R ，x 2-2x +1<0；这些命题和它们的否定在形式上有什么变化？结论：从命题形式上看，这三个全称命题的否定都变成了存在性命题.问题2：（1）∀ x ∈R ，x 2＋2x +2>0；（2）任何三角形都不是等边三角形；（3）任何函数都有反函数；（4）对于所有的四边形，它的对角线不可能互相垂直或平分；从集合的运算观点剖析：()B A B A u u =,()B A B A u u =三．建构数学1.全称命题、存在性命题的否定一般地，全称命题p ：∀ x ∈M ,有p (x )成立；其否定命题┓p 为：∃x ∈M ,使p (x )不成立。
1.3全称量词与存在量词教案(北师大版选修2-1)
§3全称量词与存在量词
3．1全称量词与全称命题
3．2存在量词与特称命题
3．3全称命题与特称命题的否定
●三维目标
1．知识与技能
(1)通过生活和数学中的丰富实例，让学生理解全称量词与存在量词的意义．
(2)能正确地对含有一个量词的命题进行否定．
2．过程与方法
在使用量词的过程中，加深对以往所学知识的理解，并通过对所学数学知识的梳理，构建新的理解．
3．情感、态度与价值观
通过量词的学习，体会运用量词表述数学内容的准确性、简洁性，并能运用数学语言进行讨论和交流．
●重点难点
重点：理解全称量词和存在量词．
难点：1.含有一个量词的命题的否定．
2．含有一个量词的命题的真假判断．
教学时，要从学生的认知水平入手，通过几组例子，引导学生观察、比较、分析，来理
解量词的含义；并通过讨论、探索、发现归纳出含有一个量的命题的否定方法及真假判断方
法，从而突出重点，化解难点．
(教师用书独具)
●教学建议
本节课宜采用探究式教学模式，即在教学过程中，在教师的启发引导下，以含有一个量。
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x R, x 0
2
情景创设 （6）存在实数x，使x2+2x≤0
（7）存在 x Z , 使x 能被3和5都整除； (8)至少有一个实数x，使得x2－2＝0成立；
构建数学：
2.存在量词： 一个”、“存在一个”、“有 “有
表示部分的量词在逻辑中称为~。 记作： x 读作：“存在x”
（6）存在实数x，使x2+2x≤0
5.判断下列命题的真假：
（1） x Q ,
x Q 2 （2）x R, 4 x 12 x 9 0
2
（3）x
N , xx 2 （4）x N , x 3 x 2 0
由例1你有何发现？
1.要判断一个存在性命题为真， 只要在给定的集合中，找到一个元素 x，使p(x)为真，否则命题为假； 2.要判断一个全称命题为真，必 须对给定的集合中的每一个元素x， 使p(x)为真；要判断一个全称命题为 假，只要在给定的集合中找到一个元 素x，使p(x)为假。
例2：用量词符号表示下列命题：
（1）任意一个实数的绝对值都 是非负数；
（2）存在一个自然数x，使
x 6 x 8是负数.
2
巩固练习：
1.下列命题中为全称命题的是（ A.今天有人请假； ）
B.矩形的对角线相等；
C.存在一个实数与它的相反数的和为0；
D.过直线外一点有一条直线和已知直线平行。
2.下列命题中真命题的是（ ）
情景创设
观察下列命题： （1）全校所有的学生都参加了校运会； （2）所有的中国公民的合法权利都受 到中国宪法的保护； （3）每一个中国公民都有遵守宪法的义务； （4）任何中国公民都不能违背中华人 民共和国宪法；
（5）对任意的实数x，都有x2≥0；
构建数学：
1.全称量词： “所有”、 “任意” 、“每一个 等 表示全体的量词在逻辑中称为~。 记作： x 读作：“任意x” （5）对任意的实数x，都有x2≥0；
（1）x R, （2） x R,
（3） x Q, （4） x R,
x x
2
x x
2
x 8 0
2
x 2 x 2
2
由例1你有何发现？
1.要判断一个存在性命题为真， 只要在给定的集合中，找到一个元素 x，使p(x)为真，否则命题为假； 2.要判断一个全称命题为真，必 须对给定的集合中的每一个元素x， 使p(x)为真；要判断一个全称命题为 假，只要在给定的集合中找到一个元 素x，使p(x)为假。
课堂练习： 教材P15 /1、2
补充:判断下列命题的真假：
所有的素数都是奇数；
任何无理数的平方仍然是无理数； 有些实数不存在平方根．
A. 任何一个一元二次方程都有不相等的实根； B.一切实数都有平方根C. 存在直线没有倾斜角；
D. 存在正方体的表面积和体积相等；
3.“任何一个奇数都是质数”是一个_____ 性命题（填“全称”、“存在”）它是一 个_____命题。 （填“真”、“假”）
4.“有些三角形的三个内角相等”是一个 _____性命题（填“全称”、“存在”） 它是一个_____命题。（填“真”、 “假”）
x R, x 2 x 0
2
构建数学： 3全称命题：含有全称量词的命题称为~。 其一般形式为： x M , p( x)
4.存在性命题：含有存在量词的命题称为 ~。其一般形式为：x M , p( x) M为给定的集合，p(x)是ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ个含有x的语句。
数学应用： 例1.判断下列命题的真假：