最优化DFP算法报告

最优化DFP算法姓名：施政学号：1010010125 班级：1 班专业：通信与信息系统

目录

1 算法流程图 (1)

1.1DFP算法的流程图 (1)

1.2 黄金分割法流程图 (1)

1.3 回退法计算初始区间的算法 (2)

2 测试函数 (3)

2.1 二维、二次函数 (3)

2.2 二维、高次函数 (3)

2.3 高维、二次函数 (4)

2.4 高维、高次函数 (4)

3 运行结果及分析 (5)

4 Matlab源程序 (6)

4.1 主函数 (6)

4.2 DFP算法函数 (8)

4.3 黄金分割法函数 (9)

4.4 回退法求解初始区间 (10)

4.5 计算测试函数的值 (11)

4.6 计算测试函数的梯度 (12)

5 参考文献 (12)

1 算法流程图

对于DFP算法主要涉及到3个主要的算法，分别是：利用回退法计算初始区间、利用黄金分割法进行一维搜索、然后利用DFP算法计算最小点对应的自变量的值。

下面分别画出了这三个算法流程图。

1.1DFP算法的流程图

设定控制误差为ε；输入的初始点坐标是0x；0E是与0x同维的单位阵。

图 1

1.2 黄金分割法流程图

给定精确度ε>0;当区间长度小于等于ε时，即停止运行，同时取x=(a+b)/2作为最小点坐标。

在给定初始区间[a,b]内，求最小点时对应的α值，要保证α是大于等于零的，否则函数值就不是朝下降方向递降的了。在本算法中保证初始区间的端点是大于等于零的，就可以满足这一条件了。

算法如下图所示：

图 2

1.3 回退法计算初始区间的算法

针对这个算法,参考文献[1]上面利用的回退法不能保证a ，b 两个端点的值大于零，因为利用黄金分割法求α时，α肯定是大于等于零的，所以可以对书上的算法适当的改进。初始的点是0x ；步长是x Δ；算法如下：

图 3

注意：上面的算法是针对一维的情况，所以在计算0x ；1x ；2x 时，应该注意使

用0000*x a t p =+；0a 代表的是对应DFP 算法上次迭代的自变量的坐标值，0p 代表的是0a 点的梯度，0t 开始的值是0；同样有1010*x a t p =+；2020*x a t p =+；10t t t =+Δ；

21t t t =+Δ。注意t Δ的变化，算法中已显示其变化规律。

2 测试函数

2.1 二维、二次函数

对于二维、二次的测试函数，算法中应用的是First De Jong function(sphere) [3]。

221212(,)f x x x x =+…………………………………………..（式2.1）

下面就是函数对应的3维图形，从图4可以看出其最小点，在(x 1,x 2)=(0,0),该点对应的函数值是0。也是该函数全局极小点。

图 4

2.2 二维、高次函数

对于二维、高次的测试函数，算法中应用的是Goldstein-Price's function [3]。

2222121211212(,)(1(1))(191431463))Gold f x x x x x x x x x x =+++•−+−++•

2

2

12112122(30(23)2)(1832483627))x x x x x x x x +−•−++−+………..（式2.2）

其中，22,1,2i x i −≤≤=

下面就是该函数对应的三维图形，该函数的全局极小点是(x1,x2)=(0,-1)，f(x 1,x 2)=3。

图 5

2.3 高维、二次函数

对于高维、二次的测试函数，算法中应用的是Axis parallel hyper-ellipsoid function [3]。

2121

(,,,)n

n i i f x x x i x ==∗∑"…………………………………………....（式2.3）

其中， 5.12 5.12,1,2,,i x i n −≤≤="

显然，可以看出，其极小点对应的i x =0，且12(,,,)n f x x x "极小点的值是0。

2.4 高维、高次函数

在这里，算法中利用到了两个测试函数，分别是Rosenbrock's valley (De Jong's function

2)[2]和Sum of different power function [3]。 1.Rosenbrock's valley (De Jong's function 2)

1

2221211

(,,,)100()(1)n n i i i i f x x x x x x −+==−+−∑"……………………….………....（式2.4）

2.048 2.048,1,2,,i x i n −≤≤="

对应的极小点坐标是12(,,,)(1,1,,1)n x x x =""，且此时对应的极小点的函数值是0。 2. Sum of different power function

1121

(,,,)||n

i n i i f x x x x +==∑"…..............................................…………….………....（式2.5）

11,1,2,,i x i n −≤≤="

对应的极小点坐标是12(,,,)(0,0,,0)n x x x =""，且此时对应的极小点的函数值是0。