函数值域专题最新

函数值域求法专题

高考要求 ：

函数的值域及其求法是近几年高考考查的重点内容之一 本节主要帮助考生灵活掌握求值域的各种方法，并会用函数的值域解决实际应用问题 1.重难点归纳 (1)求函数的值域

此类问题主要利用求函数值域的常用方法 配方法、分离变量法、单调性法、图像法、换元法、不等式法等 无论用什么方法求函数的值域，都必须考虑函数的定义域 (2)函数的综合性题目

此类问题主要考查函数值域、单调性、奇偶性、反函数等一些基本知识相结合的题目 此类问题要求考生具备较高的数学思维能力和综合分析能力以及较强的运算能力 在今后的命题趋势中综合性题型仍会成为热点和重点，并可以逐渐加强 (3)运用函数的值域解决实际问题

此类问题关键是把实际问题转化为函数问题，从而利用所学知识去解决此类题要求考生具有较强的分析能力和数学建模能力

在函数的三要素中，定义域和值域起决定作用，而值域是由定义域和对应法则共同确定。研究函数的值域，不但要重视对应法则的作用，而且还要特别重视定义域对值域的制约作用。确定函数的值域是研究函数不可缺少的重要一环。对于如何求函数的值域，是学生感到头痛的问题，它所涉及到的知识面广，方法灵活多样，在高考中经常出现，占有一定的地位，若方法运用适当，就能起到简化运算过程，避繁就简，事半功倍的作用。

1. 直接观察法

对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。 例1. 求函数x

1

y =的值域。 解：∵0x ≠ ∴

0x

1

≠ 显然函数的值域是：),0()0,(+∞-∞

变式1. 求函数x 3y -=的值域。 解：∵0x ≥

3x 3,0x ≤-≤-∴

故函数的值域是：]3,[-∞

2. 配方法

配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。

例2. 求函数]2,1[x ,5x 2x y 2-∈+-=的值域。 解：将函数配方得：4)1x (y 2+-= ∵]2,1[x -∈

由二次函数的性质可知：当x=1时，4y min =，当1x -=时，8y max = 故函数的值域是：[4，8]

3. 判别式法

例3. 求函数2

2

x

1x x 1y +++=的值域。 解：原函数化为关于x 的一元二次方程

0x )1y (x )1y (2=-+-

（1）当1y ≠时，R x ∈

0)1y )(1y (4)1(2≥----=∆

解得：

2

3y 21≤≤ （2）当y=1时，0x =，而⎥⎦⎤

⎢⎣⎡∈23,211

故函数的值域为⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡23,21

变式3. 求函数)x 2(x x y -+=的值域。 解：两边平方整理得：0y x )1y (2x 222=++-（1） ∵R x ∈

∴0y 8)1y (42≥-+=∆ 解得：21y 21+≤≤-

但此时的函数的定义域由0)x 2(x ≥-，得2x 0≤≤

由0≥∆，仅保证关于x 的方程：0y x )1y (2x 222=++-在实数集R 有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由 0≥∆求出的范围可能比y 的实

际范围大，故不能确定此函数的值域为⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡23,21。

可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。 ∵2x 0≤≤

0)x 2(x x y ≥-+=∴

21y ,0y min +==∴代入方程（1）

解得：]2,0[2

2

222x 41∈-+=

即当2

2

222x 41-+=时，

原函数的值域为：]21,0[+

注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。

4. 反函数法

直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。 例4. 求函数

6

x 54

x 3++值域。 解：由原函数式可得：3

y 5y

64x --=

则其反函数为：3x 5y 64y --=

，其定义域为：5

3

x ≠ 故所求函数的值域为：⎪⎭⎫ ⎝

⎛

∞-53,

变式4.求函数1

x 2x

31y +-=

的值域。 解：由1

x 2x 31y +-=得3y 2y

1x +-=

故函数的值域为⎪⎭

⎫

⎝⎛+∞-⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-,2323,

5. 函数有界性法

直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。

例5. 求函数1

e 1

e y x x +-=的值域。

解：由原函数式可得：1

y 1

y e x

-+=

∵0e x >

∴

01

y 1

y >-+ 解得：1y 1<<-

故所求函数的值域为)1,1(-

变式5. 求函数3

x sin x

cos y -=

的值域。

解：由原函数式可得：y 3x cos x sin y =-，可化为：

y 3)x (x sin 1y 2=β++

即1

y y 3)x (x sin 2+=

β+

∵R x ∈

∴]1,1[)x (x sin -∈β+ 即11

y y 312

≤+≤

-

解得：4

2

y 42≤

≤-

故函数的值域为⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣⎡-42,42

6. 函数单调性法

例6. 求函数)10x 2(1x log 2y 35x ≤≤-+=-的值域。 解：令1x log y ,2y 325x 1-==- 则21y ,y 在[2，10]上都是增函数 所以21y y y +=在[2，10]上是增函数 当x=2时，8

112log 2y 33min =

-+=- 当x=10时，339log 2y 35max =+=