上海市普陀区2016届高三12月教学质量调研数学(理)试题

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上海市普陀区2016届高三地理12月教学质量调研试题综述

2015学年度第一学期普陀区高三质量调研考试地理试卷本试卷共11页，满分150分，考试时间120分钟。

全卷包括两大题，第一大题为选择题，第二大题为综合分析题。

考生注意：1．答卷前，务必在答题纸上用钢笔或圆珠笔清楚填写姓名、考号等。

2．答案必须全部涂或写在答题纸上。

一、选择题（共60分，每小题2分。

每小题只有一个正确答案）（一）我国计划继“天宫一号”、“天宫二号”成功发射之后，在2018年前后，发射空间站的核心舱，逐步建立自己的空间站。

1．我国的四大航天发射中心各自相对的优势条件是A．海南文昌，地球自转线速度小，可节省燃料B．四川西昌，无人区面积广，发射后残骸不危及人们安全C．山西太原，交通方便，便于运输大型发射载体D．甘肃酒泉，降水少，晴天多，适合卫星发射的时间多2．太阳活动对空间站可能产生的影响是A．太阳活动会在空间站引发极光现象B．太阳黑子比耀斑对空间站的影响大C．太阳活动可能会影响空间站的安全及地空联系D．太阳活动对空间站的影响基本可以忽略（二）目前中国城市化的最大问题就是外来人口的市民化问题。

下表反映的是我国近年来城市化进程中的部分相关数据。

注：(1)城镇化率是城镇常住人口在总人口中的比重，包括了在城镇生活的农业户籍人口。

(2)户籍人口比率即户籍人口城镇化率，是拥有城镇户籍(市民)的人口占总人口的比重。

(3)举家迁移比率＝农村举家迁移到城镇的家庭数÷农村拥有城镇化迁移人口的家庭总数×100%，它反映了家庭城镇化水平。

3．据表分析，2002～2012年间我国城镇化的特点是A．2002年以来我国城市化进程较慢 B．个体城镇化快于家庭城镇化C．城市化水平已处于较高阶段 D．农民工大多举家在城镇生活4．据表分析， 2002～2012年间我国城镇化比较突出的现象是A．城市人口增长较快 B．交通拥堵日益加重C．城镇土地扩张较快 D．环境污染逐步加大（三）秋末，南方某学校组织学生在下图所示地区野外活动。

高考数学二模试题2016年普陀高三二模(文理)

2015学年第二学期普陀区高三数学质量调研卷（理）2016.4 一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题及纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1.若集合{}R x x y x A ∈-==,1|，{}R x x x B ∈≤=,1|||，则=B A I .2.若函数xx f 11)(+=()0>x 的反函数为)(1x f -，则不等式2)(1>-x f 的解集为 . 3.若53sin =α且α是第二象限角，则=⎪⎭⎫⎝⎛-42cot πα .4.若函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，且满足)()2(x f x f -=+，则=)2016(f .5.在831⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 的展开式中，其常数项的值为 .6.若函数x x f 2sin )(=，⎪⎭⎫ ⎝⎛+=6)(πx f x g ，则函数)(x g 的单调递增区间为 .7.设P 是曲线⎪⎩⎪⎨⎧==θθtan sec 22y x （θ为参数）上的一动点，O 为坐标原点，M 为线段OP 的中点，则点M 的轨迹的普通方程为 .8.在极坐标系中，O 为极点，若⎪⎭⎫ ⎝⎛6,1πA ，⎪⎭⎫⎝⎛32,2πB ，则△AOB 的面积为 .9.袋中装有5只大小相同的球，编号分别为5,4,3,2,1，现从该袋中随机地取出3只，被取出的球中最大的号码为ξ，则=ξE .10.若函数x x f 5log )(=（0>x ），则方程1)3()1(=-++x f x f 的解=x .11.某同学用球形模具自制棒棒糖.现熬制的糖浆恰好装满一圆柱形容器（底面半径为3cm ，高为10cm ），共做了20颗完全相同的棒棒糖，则每个棒棒糖的表面积为 2cm （损耗忽略不计）. 12.如图所示，三个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，边33C B 上有10个不同的点1021,,,P P P Λ，记ii AP AB M ⋅=2（10,,2,1Λ=i ），则=+++1021M M M Λ .13.设函数⎩⎨⎧>-≤+=-0),1(0,2)(x x f x a x f x ，记x x f x g -=)()(，若函数)(x g 有且仅有两个零点，则实数a 的取值范围是 .14.已知*N n ∈，从集合{}n ,,3,2,1Λ中选出k （N k ∈,2≥k ）个数k j j j ,,,21Λ，使之同时满足下面两个条件：①n j j j k ≤<<≤Λ211； ②m j j i i ≥-+1（1,,2,1-=k i Λ），则称数组()k j j j Λ,,21为从n个元素中选出k 个元素且限距为m 的组合，其组合数记为()m k nC ,. 例如根据集合{}3,2,1可得()31,23=C .给定集合{}7,6,5,4,3,2,1，可得()=2,37C .二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15.若a 、b 表示两条直线，α表示平面，下列命题中的真命题为（）（A ）若α⊥a ，b a ⊥，则α//b （B ）若α//a ，b a ⊥，则α⊥b （C ）若α⊥a ，α⊆b ，则b a ⊥ （D ）若α//a ，α//b ，则b a //16.过抛物线x y 82=的焦点作一条直线与抛物线相交于A 、B 两点，且这两点的横坐标之和为9，则满足条件的直线（）（A）有且只有一条（B ）有两条（C ）有无穷多条（D ）必不存在 17.若z C ∈，则“1Im ,1Re ≤≤z z ”是“1||≤z ”成立的条件.（）（A ）充分非必要（B ）必要非充分（C ）充要（D ）既非充分又非必要 18.对于正实数α，记αM 是满足下列条件的函数)(x f 构成的集合：对于任意的实数R x x ∈21,且21x x <，都有()()121212)()(x x x f x f x x -<-<--αα成立.下列结论中正确的是（）（A ）若21)(,)(ααM x g M x f ∈∈，则21)()(αα⋅∈⋅M x g x f（B ）若21)(,)(ααM x g M x f ∈∈且0)(≠x g ，则21)()(ααM x g x f ∈ （C ）若21)(,)(ααM x g M x f ∈∈，则21)()(αα+∈+M x g x f（D ）若21)(,)(ααM x g M x f ∈∈且21αα>，则21)()(αα-∈-M x g x f三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19.（本题满分12分）在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面边长为1，1C B 与底面ABCD 所成的角的大小为arctan 2，如果平面11BD C 与底面ABCD 所成的二面角是锐角，求出此二面角的大小（结果用反三角函数值）已知函数x x x f cos 3sin 2)(⋅⎪⎭⎫⎝⎛+=π （1）若20π≤≤x ，求函数)(x f 的值域；（2）设ABC ∆的三个内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，若A 为锐角且23)(=A f ，2=b ，3=c ，求)cos(B A -的值.某企业参加A 项目生产的工人为1000人，平均每人每年创造利润10万元.根据现实的需要，从A 项目中调出x 人参与B 项目的售后服务工作，每人每年可以创造利润⎪⎭⎫⎝⎛-500310x a 万元（0>a ），A 项目余下的工人每人每年创造利润需要提高%2.0x（1）若要保证A 项目余下的工人创造的年总利润不低于原来1000名工人创造的年总利润，则最多调出多少人参加B 项目从事售后服务工作？（2）在（1）的条件下，当从A 项目调出的人数不能超过总人数的%40时，才能使得A 项目中留岗工人创造的年总利润始终不低于调出的工人所创造的年总利润，求实数a 的取值范围.已知椭圆Γ：14522=+y x 的中心为O ，一个方向向量为),1(k =的直线l 与Γ只有一个公共点M （1）若1=k 且点M 在第二象限，求点M 的坐标；（2）若经过O 的直线1l 与l 垂直，求证：点M 到直线1l 的距离25-≤d ；（3）若点N 、P 在椭圆上，记直线ON 的斜率为1k ，且d 为直线OP 的一个法向量，且541=k k ，求22OP ON +的值.已知各项不为零的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11=a ，121+⋅=n n n a a S （*N n ∈）（1）求证：数列{}n a 是等差数列；（2）设数列{}n b 满足：122+-=n n a a n b ，且()3841lim 1211=+++++++∞→n n k k k k n b b b b b b Λ，求正整数k 的值；（3）若m 、k 均为正整数，且2≥m ，m k <，在数列{}k c 中，11=c ，11++-=k k k a mk c c ，求m c c c +++Λ21.2015学年第二学期普陀区高三数学质量调研卷（文）2016.4 一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题及纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1.若集合{}R x x y x A ∈-==,1|，{}R x x x B ∈≤=,1|||，则=B A I .2.若函数xx f 11)(+=()0>x 的反函数为)(1x f -，则不等式2)(1>-x f 的解集为 . 3.若53sin =α且α是第二象限角，则=⎪⎭⎫ ⎝⎛-4tan πα .4.若函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，且满足)()2(x f x f -=+，则=)2016(f .5.在831⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 的展开式中，其常数项的值为 .6.若函数x x f 2sin )(=，⎪⎭⎫ ⎝⎛+=6)(πx f x g ，则函数)(x g 的单调递增区间为 .7.设P 是曲线1222=-y x 上的一动点，O 为坐标原点，M 为线段OP 的中点，则点M 的轨迹方程为 .8.不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥+≤0203y x y x x 所表示的区域的面积为 .9.袋中装有5只大小相同的球，编号分别为5,4,3,2,1，若从该袋中随机地取出3只，则被取出的球的编号之和为奇数的概率是（结果用最简分数表示）. 10.若函数x x f 5log )(=（0>x ），则方程1)3()1(=-++x f x f 的解=x . 11.某同学用球形模具自制棒棒糖.现熬制的糖浆恰好装满一圆柱形容器（底面半径为3cm ，高为10cm ），共做了20颗完全相同的棒棒糖，则每个棒棒糖的表面积为 2cm （损耗忽略不计）. 12.如图所示，三个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，边33C B 上有10个不同的点1021,,,P P P Λ，记i i AP AB M ⋅=2（10,,2,1Λ=i ），则=+++1021M M M Λ .13.设函数⎩⎨⎧>-≤+=-0),1(0,2)(x x f x a x f x ，记x x f x g -=)()(，若函数)(x g 有且仅有两个零点，则实数a 的取值范围是 .14.已知*N n ∈，从集合{}n ,,3,2,1Λ中选出k （N k ∈,2≥k ）个数k j j j ,,,21Λ，使之同时满足下面两个条件：①n j j j k ≤<<≤Λ211； ②m j j i i ≥-+1（1,,2,1-=k i Λ），则称数组()k j j j Λ,,21为从n个元素中选出k 个元素且限距为m 的组合，其组合数记为()m k nC ,. 例如根据集合{}3,2,1可得()31,23=C .给定集合{}7,6,5,4,3,2,1，可得()=2,37C .二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15.若a 、b 表示两条直线，α表示平面，下列命题中的真命题为（）（A ）若α⊥a ，b a ⊥，则α//b （B ）若α//a ，b a ⊥，则α⊥b （C ）若α⊥a ，α⊆b ，则b a ⊥ （D ）若α//a ，α//b ，则b a //16.过抛物线x y 82=的焦点作一条直线与抛物线相交于A 、B 两点，且这两点的横坐标之和为9，则满足条件的直线（）（A ）有且只有一条（B ）有两条（C）有无穷多条（D ）必不存在 17.若z C ∈，则“1Im ,1Re ≤≤z z ”是“1||≤z ”成立的条件.（）（A ）充分非必要（B ）必要非充分（C ）充要（D ）既非充分又非必要 18.对于正实数α，记αM 是满足下列条件的函数)(x f 构成的集合：对于任意的实数R x x ∈21,且21x x <，都有()()121212)()(x x x f x f x x -<-<--αα成立.下列结论中正确的是（）（A ）若21)(,)(ααM x g M x f ∈∈，则21)()(αα⋅∈⋅M x g x f（B ）若21)(,)(ααM x g M x f ∈∈且0)(≠x g ，则21)()(ααM x g x f ∈ （C ）若21)(,)(ααM x g M x f ∈∈，则21)()(αα+∈+M x g x f（D ）若21)(,)(ααM x g M x f ∈∈且21αα>，则21)()(αα-∈-M x g x f三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19.（本题满分12分）在正四棱柱1111D C B A ABCD -中，底面边长为1，体积为2，E 为AB 的中点，证明：E A 1与B C 1是异面直线，并求出它们所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）.已知函数)(x f x x x 2cos 3cos sin += （1）若20π≤≤x ，求函数)(x f 的值域；（2）设ABC ∆的三个内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，若A 为锐角且23)(=A f ，2=b ，3=c ，求)cos(B A -的值.某企业参加A 项目生产的工人为1000人，平均每人每年创造利润10万元.根据现实的需要，从A 项目中调出x 人参与B 项目的售后服务工作，每人每年可以创造利润⎪⎭⎫⎝⎛-500310x a 万元（0>a ），A 项目余下的工人每人每年创造利润需要提高%2.0x（1）若要保证A 项目余下的工人创造的年总利润不低于原来1000名工人创造的年总利润，则最多调出多少人参加B 项目从事售后服务工作？（2）在（1）的条件下，当从A 项目调出的人数不能超过总人数的%40时，才能使得A 项目中留岗工人创造的年总利润始终不低于调出的工人所创造的年总利润，求实数a 的取值范围.已知椭圆Γ：14522=+y x 的中心为O ，一个方向向量为),1(k =的直线l 与Γ只有一个公共点M （1）若1=k 且点M 在第二象限，求点M 的坐标；（2）若经过O 的直线1l 与l 垂直，求证：点M 到直线1l 的距离25-≤d ；（3）若点N 、P 在椭圆上，记直线ON 的斜率为1k ，且d 为直线OP 的一个法向量，且541=k k ，求22OP ON +的值.已知各项不为零的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11=a ，121+⋅=n n n a a S （*N n ∈）（1）求证：数列{}n a 是等差数列；（2）设数列{}n b 满足：122+-=n n a a n b ，且()3841lim 1211=+++++++∞→n n k k k k n b b b b b b Λ，求正整数k 的值；（3）若m 、k 均为正整数，且2≥m ，m k <，在数列{}k c 中，11=c ，11++-=k k k a mk c c ，求m c c c +++Λ21.2015学年第二学期普陀区高三数学质量调研评分细则一填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题及纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1.{}12. ⎪⎭⎫⎝⎛231，3.【理科】2 【文科】7- 4. 0 5. 28 6.⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-12,125ππππk k ，z k ∈7.14822=-y x . 8.【理科】1.【文科】16 9.【理科】29【文科】5210．4. 11.π9. 12. 180 13．2->a 14. 10二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.题号 15 16 17 18 答案CBBC三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19.（本题满分12分）【文科】【解】根据已知条件,C C 1为正四棱柱1111D C B A ABCD -的高底面四边形11ABB A 是正方形，且面积为1, 故由sh V =2=，可得21=C C .……2分假设E A 1与B C 1不是异面直线，则它们在同一平面内由于点1A 、E 、B 在平面11ABB A 内，则点1C 也在平面11ABB A 内，这是不可能的，故E A 1与B C 1是异面直线.…………5分取11B A 的中点为E ，连接BE ,1EC ,所以E A BE 1//,1EBC ∠或其补角，即为异面直线E A 1与B C 1所成的角.……7分在1BEC ∆，51=BC ,217=BE ,251=EC ,……9分由余弦定理得，8585821752454175cos1=⨯-+=∠EBC0>,即85858arccos1=∠EBC，…11分所以异面直线EA1与BC1所成的角的大小为85858arccos.……12分【理科】【解】根据题意，可得⊥CC1底面ABCD，所以BC是BC1在平面ABCD上的射影，故BCC1∠即为直线BC1与底面ABCD所成的角，即BCC1∠=2arctan.……2分在BCCRT1∆中，2tan11=∠⋅=BCBBCCC……3分以D为坐标原点，以射线1,,DDDCDA所在的直线分别为zyx,,轴，建立空间直角坐标系，如图所示：由于DD1⊥平面ABCD，故1DD是平面的一个法向量，且1DD()2,0,0=……5分()0,1,1B,()1,0,01D,()2,1,01C,故()2,1,11--=BD,()2,0,11-=BC……7分设()z yxn,,=是平面11CBD的一个法向量,所以⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅11BCnBDn,即⎩⎨⎧=-=-+22zxzyx,不妨取1=z,则⎩⎨⎧==2yx,即()1,0,2=n……9分设平面11CBD与底面ABCD所成的二面角为θ,则5552122cos11=⨯⨯+⨯+⨯=⋅⋅=DDnDDnθ,即55arccos=θ……11分所以平面11CBD与底面ABCD所成的二面角大小为55arccos.……12分20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 20.【解】（1）()x x x x f cos cos 3sin )(+=x x x 2cos 3cos sin +=232cos 232sin 21++=x x 2332sin +⎪⎭⎫ ⎝⎛+=πx …………2分由20π≤≤x 得，34323πππ≤+≤x ，132sin 23≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤-πx …………4分 2312332sin 0+≤+⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤πx ，所以函数)(x f 的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+231,0………6分（2）由232332sin )(=+⎪⎭⎫⎝⎛+=πA A f 得，032sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛+πA 又由20π<<A 得，34323πππ<+<A ，只有ππ=+32A ，故3π=A .…………8分在ABC ∆中，由余弦定理得，A bc c b a cos 2222-+=73cos 32294=⨯⨯⨯-+=π,故7=a …………10分由正弦定理得，BbA a sin sin =，所以721sin sin ==a A b B 由于a b <，所以772cos =B …………12分 ()B A B A B A sin sin cos cos cos +=-14757212377221=⨯+⨯=……14分 21.（本题满分14分）本题共有3个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分，【解】（1）根据题意可得，()()≥⨯+-%2.010101000x x 101000⨯……3分展开并整理得，05002≤-x x ……5分解得5000≤≤x ，最多调出的人数为500人……6分（2）⎩⎨⎧⨯≤≤≤%4010005000x x ，解得4000≤≤x ……7分()()%2.010101000500310x x x x a ⨯+⋅-≤⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-，对于任意的[]400,0∈x 恒成立……9分即%210201010005031022x x x x ax --+⨯≤-即10002502++≤x x ax 对于任意的[]400,0∈x 恒成立……10分当0=x 时，不等式显然成立；当4000≤<x 时，1250000250111000250+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++≤x x x x a ……11分令函数xx x f 250000)(+=，可知函数)(x f 在区间[]400,0上是单调递减函数……12分故()1025400)(min==f x f ，故1.511000250≥++xx ……13分故1.50≤<a ，所以实数a 的取值范围是1.50≤<a ……14分22.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分. 第3小题满分6分. 【解】（1）设直线l ：m x y +=，根据题意可得：……1分⎪⎩⎪⎨⎧=++=14522y x mx y ，消去y 并整理得()04510922=-++m bx x ……①…………2分 ()()045941022=-⨯⨯-=∆b b ，解得92=m ，因为M 在第二象限，故3=m ，……3分代入①得0253092=++x x ，解得35-=x ，进而34=y ，故⎪⎭⎫⎝⎛-34,35M .……4分（2）根据题意可得，直线1l ：0=+ky x ……5分设直线l ：m kx y +=（0≠m ），则⎪⎩⎪⎨⎧=++=14522y x mkx y ……5分消去y 得()()0451054222=-+++m kmx xk……6分()()()0454*******=-⋅+-=∆m k km ，解得04522=+-m k ，即4522+=k m ……7分且4552+-=k km x ，4542+=k m y ，故⎪⎭⎫ ⎝⎛++-454,45522k m k kmM ……8分点M 到直线1l 的距离222221451454455kk km kk kmk km d ++=++++-=()()22541k k k++=① 当0=k 时，0=d ；……9分② 当0≠k 时，=d 25945122-≤++kk ，当且仅当454±=k 时等号成立. 综上①②可得，点M 到直线1l 距离25-≤d .……10分（3）根据条件可得直线OP 的斜率kk 12-=，……11分由于541=k k ，则直线ON 的斜率的k k 541=……12分于是直线ON 的方程为kx y 54=，由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+kxy y x 5414522，可得224525k x +=……13分设点),(11y x P ，则222122121245162525161k kx k y x OP ++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=……14分同理2ON ()22222245120kk y x ++=+=……15分 22ON OP +=22451625k k +++()2245120k k ++945364522=++=k k ……16分 23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分. 【解】（1）当1=n 时，121211==a a S ，11=a ，故22=a ；……1分当2≥n 时，=-=-1n n n S S a -⋅+121n n a a n n a a ⋅-121变形得()112-+-⋅=n n n n a a a a ，由于0≠n a ，所以211=--+n n a a ……2分所以1212-=-n a n ，n a n 22=，*N n ∈，于是n a n =，*N n ∈.……3分由于11=-+n n a a ，所以数列{}n a 是以1首项，1为公差的等差数列.…………4分（2）由（1）得n a n =，所以122+-=n n a a n b nn n ⎪⎭⎫⎝⎛⋅==+-21412)1(2……5分 52121++⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅n n n b b ，且128121=b b ，当2≥n 时，4111=-+nn n n b b b b …………7分故数列{}1+n n b b 是以1281为首项，41为公比的等比数列.……8分于是()=+++++++∞→1211lim n n k k k k n b b b b b b Λ=-+4111k k b b 3841，即912-+=⋅k k b b ……9分 k kk k b b 251241321--+=⎪⎭⎫⎝⎛=⋅，故92522---=k ，解得2=k .…………10分（3）则由（1）得k a k =，11++-=k k k a m k c c 1+-=k m k ，12211c c c c c c c k k k k k ⋅⋅⋅=---Λ……12分 ()()km k k k C mk k k m k m c 1112)1()2)(1(111⋅-=⋅⋅-⋅+-+-⋅-=--Λ…………14分m c c c +++Λ21()[]m mm m m m C C C C m 132111--+-+-=Λ…………16分 ()()[]m C C C C m m m m m m m 1111210=-+-+--=Λ 故m c c c +++Λ21m 1=.……18分。

上海市普陀区2016届高三数学下学期质量调研试题

2015学年第二学期普陀区高三数学质量调研卷2016.4 考生注意:1. 答卷前,考生务必在答题纸上将姓名、考试号填写清楚，并在规定的区域贴上条形码.2. 本试卷共有23题，满分150分，考试时间120分钟.3. 本试卷另附答题纸，每道题的解答必须写在答题纸相应位置，本卷上的任何解答都不作评分依据. 一填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题及纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1. 若集合{}R x x y x A ∈-==,1|，{}R x x x B ∈≤=,1|||，则=B A .2. 若函数xx f 11)(+=()0>x 的反函数为)(1x f -，则不等式2)(1>-x f 的解集为 . 3.【理科】若53sin =α且α是第二象限角，则=⎪⎭⎫⎝⎛-42cot πα . 【文科】【理科】若53sin =α且α是第二象限角，则=⎪⎭⎫ ⎝⎛-4tan πα .4. 若函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，且满足)()2(x f x f -=+，则=)2016(f .5. 在831⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 的展开式中，其常数项的值为 .6.若函数x x f 2sin )(=，⎪⎭⎫⎝⎛+=6)(πx f x g ，则函数)(x g 的单调递增区间为 . 7.【理科】设P 是曲线⎪⎩⎪⎨⎧==θθtan sec 22y x （θ为参数）上的一动点，O 为坐标原点，M 为线段OP 的中点，则点M 的轨迹的普通方程为 .【文科】设P 是曲线1222=-y x 上的一动点，O 为坐标原点，M 为线段OP 的中点，则点M 的轨迹方程为 .8.【理科】在极坐标系中，O 为极点，若⎪⎭⎫ ⎝⎛6,1πA ，⎪⎭⎫⎝⎛32,2πB ，则△AOB 的面积为 . 【文科】不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥+≤0203y x y x x 所表示的区域的面积为 .9.【理科】袋中装有5只大小相同的球，编号分别为5,4,3,2,1，现从该袋中随机地取出3只，被取出的球中最大的号码为ξ，则=ξE .【文科】袋中装有5只大小相同的球，编号分别为5,4,3,2,1，若从该袋中随机地取出3只，则被取出的球的编号之和为奇数的概率是（结果用最简分数表示）.10．若函数x x f 5log )(=（0>x ），则方程1)3()1(=-++x f x f 的解=x .11.某同学用球形模具自制棒棒糖.现熬制的糖浆恰好装满一圆柱形容器（底面半径为3cm ，高为10cm ），共做了20颗完全相同的棒棒糖，则每个棒棒糖的表面积为 2cm （损耗忽略不计）. 12. 如图所示，三个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，边33C B 上有10个不同的点1021,,,P P P ，记i i AP AB M ⋅=2 （10,,2,1 =i ），则=+++1021M M M .13．设函数⎩⎨⎧>-≤+=-0),1(0,2)(x x f x a x f x ，记x x f x g -=)()(，若函数)(x g 有且仅有两个零点，则实数a 的取值范围是 .14. 已知*N n ∈，从集合{}n ,,3,2,1 中选出k （N k ∈,2≥k ）个数k j j j ,,,21 ，使之同时满足下面两个条件：①n j j j k ≤<<≤ 211； ②m j j i i ≥-+1（1,,2,1-=k i ），则称数组()k j j j ,,21为从n 个元素中选出k 个元素且限距为m 的组合，其组合数记为()m k nC ,. 例如根据集合{}3,2,1可得()31,23=C .给定集合{}7,6,5,4,3,2,1，可得()=2,37C .二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15. 若a 、b 表示两条直线，α表示平面，下列命题中的真命题为（）（A ）若α⊥a ，b a ⊥，则α//b （B ）若α//a ，b a ⊥，则α⊥b （C ）若α⊥a ，α⊆b ，则b a ⊥ （D ）若α//a ，α//b ，则b a //16.过抛物线x y 82=的焦点作一条直线与抛物线相交于A 、B 两点，且这两点的横坐标之和为9，则满足条件的直线（）（A ）有且只有一条（B ）有两条（C ）有无穷多条（D ）必不存在 17.若z C ∈，则“1Im ,1Re ≤≤z z ”是“1||≤z ”成立的条件.（）（A ）充分非必要（B ）必要非充分（C ）充要（D ）既非充分又非必要18. 对于正实数α，记αM 是满足下列条件的函数)(x f 构成的集合：对于任意的实数R x x ∈21,且21x x <，都有()()121212)()(x x x f x f x x -<-<--αα成立.下列结论中正确的是（）（A ）若21)(,)(ααM x g M x f ∈∈，则21)()(αα⋅∈⋅M x g x f （B ）若21)(,)(ααM x g M x f ∈∈且0)(≠x g ，则21)()(ααM x g x f ∈ （C ）若21)(,)(ααM x g M x f ∈∈，则21)()(αα+∈+M x g x f（D ）若21)(,)(ααM x g M x f ∈∈且21αα>，则21)()(αα-∈-M x g x f三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19.（本题满分12分）【文科】在正四棱柱1111D C B A ABCD -中，底面边长为1，体积为2，E 为AB 的中点，证明：E A 1与B C 1是异面直线，并求出它们所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）.【理科】在正四棱柱1111D C B A ABCD -中，底面边长为1，B C 1与底面ABCD 所成的角的大小为2arctan ，如果平面11C BD 与底面ABCD所成的二面角是锐角，求出此二面角的大小（结果用反三角函数值）20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 【理科】已知函数x x x f cos 3sin 2)(⋅⎪⎭⎫⎝⎛+=π 【文科】已知函数)(x f x x x 2cos 3cos sin += （1）若20π≤≤x ，求函数)(x f 的值域；（2）设ABC ∆的三个内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，若A 为锐角且23)(=A f ，2=b ，3=c ，求)cos(B A -的值.1 AA1A21.（本题满分14分）本题共有3个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分，某企业参加A 项目生产的工人为1000人，平均每人每年创造利润10万元.根据现实的需要，从A 项目中调出x 人参与B 项目的售后服务工作，每人每年可以创造利润⎪⎭⎫⎝⎛-500310x a 万元（0>a ），A 项目余下的工人每人每年创造利润需要提高%2.0x（1）若要保证A 项目余下的工人创造的年总利润不低于原来1000名工人创造的年总利润，则最多调出多少人参加B 项目从事售后服务工作？（2）在（1）的条件下，当从A 项目调出的人数不能超过总人数的%40时，才能使得A 项目中留岗工人创造的年总利润始终不低于调出的工人所创造的年总利润，求实数a 的取值范围.22.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分. 第3小题满分6分.已知椭圆Γ：14522=+y x 的中心为O ，一个方向向量为),1(k =的直线l 与Γ只有一个公共点M （1）若1=k 且点M 在第二象限，求点M 的坐标；（2）若经过O 的直线1l 与l 垂直，求证：点M 到直线1l 的距离25-≤d ；（3）若点N 、P 在椭圆上，记直线ON 的斜率为1k ，且为直线OP 的一个法向量，且541=k k 求22OP ON +的值.23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.已知各项不为零的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11=a ，121+⋅=n n n a a S （*N n ∈）（1）求证：数列{}n a 是等差数列；（2）设数列{}n b 满足：122+-=n n a a n b ，且()3841lim 1211=+++++++∞→n n k k k k n b b b b b b ，求正整数k 的值；（3）若m 、k 均为正整数，且2≥m ，m k <，在数列{}k c 中，11=c ，11++-=k k k a mk c c ，求m c c c +++ 21.2015学年第二学期普陀区高三数学质量调研评分细则二填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题及纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1.{}1 2. ⎪⎭⎫ ⎝⎛231， 3.【理科】2 【文科】7- 4. 0 5. 286.⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-12,125ππππk k ，z k ∈7.14822=-y x .8.【理科】1.【文科】16 9.【理科】29【文科】5210．4. 11.π9. 12. 180 13． 2->a 14. 10二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19.（本题满分12分）【文科】【解】根据已知条件,C C 1为正四棱柱1111D C B A ABCD -的高底面四边形11ABB A 是正方形，且面积为1, 故由sh V =2=，可得21=C C .……2分假设E A 1与B C 1不是异面直线，则它们在同一平面内由于点1A 、E 、B 在平面11ABB A 内，则点1C 也在平面11ABB A 内，这是不可能的，故E A 1与B C 1是异面直线.…………5分取11B A 的中点为E ，连接BE ,1EC ,所以E A BE 1//,1EBC ∠或其补角，即为异面直线E A 1与B C 1所成的角.……7分在1BEC ∆，51=BC ,217=BE ,251=EC ,……9分由余弦定理得，8585821752454175cos 1=⨯-+=∠EBC 0>,即85858arccos 1=∠EBC ，…11分1 A所以异面直线E A 1与B C 1所成的角的大小为85858arccos.……12分【理科】【解】根据题意，可得⊥C C 1底面ABCD ，所以BC 是B C 1在平面ABCD 上的射影，故BC C 1∠即为直线B C 1与底面ABCD 所成的角，即BC C 1∠=2arctan .……2分在BC C RT 1∆中，2tan 11=∠⋅=BC B BC C C ……3分以D 为坐标原点，以射线1,,DD DC DA 所在的直线分别为z y x ,,轴，建立空间直角坐标系，如图所示：由于D D 1⊥平面ABCD ，故1DD 是平面的一个法向量，且1DD ()2,0,0=……5分()0,1,1B ,()1,0,01D ,()2,1,01C ,故()2,1,11--=BD ,()2,0,11-=BC ……7分设()z y x ,,=是平面11C BD 的一个法向量,所以⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0011BC n BD ,即⎩⎨⎧=-=-+0202z x z y x ,不妨取1=z ,则⎩⎨⎧==02y x ,即()1,0,2=……9分设平面11C BD 与底面ABCD 所成的二面角为θ,则5552120002cos =⨯⨯+⨯+⨯==θ, 即55arccos=θ……11分所以平面11C BD 与底面ABCD 所成的二面角大小为55arccos.……12分20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 20.【解】（1）()x x x x f cos cos 3sin )(+=x x x 2cos 3cos sin +=232cos 232sin 21++=x x 2332sin +⎪⎭⎫ ⎝⎛+=πx …………2分A1A由20π≤≤x 得，34323πππ≤+≤x ，132sin 23≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤-πx …………4分 2312332sin 0+≤+⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤πx ，所以函数)(x f 的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+231,0………6分（2）由232332sin )(=+⎪⎭⎫⎝⎛+=πA A f 得，032sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛+πA 又由20π<<A 得，34323πππ<+<A ，只有ππ=+32A ，故3π=A .…………8分在ABC ∆中，由余弦定理得，A bc c b a cos 2222-+=73cos 32294=⨯⨯⨯-+=π,故7=a …………10分由正弦定理得，BbA a sin sin =，所以721sin sin ==a A b B 由于a b <，所以772cos =B …………12分 ()B A B A B A sin sin cos cos cos +=-14757212377221=⨯+⨯=……14分21.（本题满分14分）本题共有3个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分，【解】（1）根据题意可得，()()≥⨯+-%2.010101000x x 101000⨯……3分展开并整理得，05002≤-x x ……5分解得5000≤≤x ，最多调出的人数为500人……6分（2）⎩⎨⎧⨯≤≤≤%4010005000x x ，解得4000≤≤x ……7分()()%2.010101000500310x x x x a ⨯+⋅-≤⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-，对于任意的[]400,0∈x 恒成立……9分即%210201010005031022x x x x ax --+⨯≤- 即10002502++≤x x ax 对于任意的[]400,0∈x 恒成立……10分当0=x 时，不等式显然成立；当4000≤<x 时，1250000250111000250+⎪⎭⎫⎝⎛+=++≤x x x x a ……11分令函数xx x f 250000)(+=，可知函数)(x f 在区间[]400,0上是单调递减函数……12分故()1025400)(min ==f x f ，故1.511000250≥++xx ……13分故1.50≤<a ，所以实数a 的取值范围是1.50≤<a ……14分22.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分. 第3小题满分6分. 【解】（1）设直线l ：m x y +=，根据题意可得：……1分⎪⎩⎪⎨⎧=++=14522yx mx y ，消去y 并整理得()04510922=-++m bx x ……①…………2分 ()()045941022=-⨯⨯-=∆b b ，解得92=m ，因为M 在第二象限，故3=m ，……3分代入①得0253092=++x x ，解得35-=x ，进而34=y ，故⎪⎭⎫⎝⎛-34,35M .……4分（2）根据题意可得，直线1l ：0=+ky x ……5分设直线l ：m kx y +=（0≠m ），则⎪⎩⎪⎨⎧=++=14522y x mkx y ……5分消去y 得()()0451054222=-+++m kmx xk……6分()()()0454*******=-⋅+-=∆m k km ，解得04522=+-m k ，即4522+=k m ……7分且4552+-=k km x ，4542+=k m y ，故⎪⎭⎫ ⎝⎛++-454,45522k m k kmM ……8分点M 到直线1l 的距离222221451454455kk km kk km k km d ++=++++-=()()22541k k k++=① 当0=k 时，0=d ；……9分 ② 当0≠k 时，=d 25945122-≤++kk ，当且仅当454±=k 时等号成立. 综上①②可得，点M 到直线1l 距离25-≤d .……10分（3）根据条件可得直线OP 的斜率kk 12-=，……11分由于541=k k ，则直线ON 的斜率的k k 541=……12分于是直线ON 的方程为kx y 54=，由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+kxy y x 5414522，可得224525k x +=……13分设点),(11y x P ，则222122121245162525161k kx k y x OP ++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=……14分同理2ON ()22222245120kk y x ++=+=……15分 22ON OP +=22451625k k +++()2245120k k ++945364522=++=k k ……16分23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分. 【解】（1）当1=n 时，121211==a a S ，11=a ，故22=a ；……1分当2≥n 时，=-=-1n n n S S a -⋅+121n n a a n n a a ⋅-121变形得()112-+-⋅=n n n n a a a a ，由于0≠n a ，所以211=--+n n a a ……2分所以1212-=-n a n ，n a n 22=，*N n ∈，于是n a n =，*N n ∈.……3分由于11=-+n n a a ，所以数列{}n a 是以1首项，1为公差的等差数列.…………4分（2）由（1）得n a n =，所以122+-=n n a a n b nn n ⎪⎭⎫⎝⎛⋅==+-21412)1(2……5分 52121++⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅n n n b b ，且128121=b b ，当2≥n 时，4111=-+n n n n b b b b …………7分故数列{}1+n n b b 是以1281为首项，41为公比的等比数列.……8分于是()=+++++++∞→1211lim n n k k k k n b b b b b b =-+4111k k b b 3841，即912-+=⋅k k b b ……9分k kk k b b 251241321--+=⎪⎭⎫⎝⎛=⋅，故92522---=k ，解得2=k .…………10分（3）则由（1）得k a k =，11++-=k k k a m k c c 1+-=k m k ，12211c cc c c c c k k k k k ⋅⋅⋅=--- ……12分 ()()km k k k C mk k k m k m c 1112)1()2)(1(111⋅-=⋅⋅-⋅+-+-⋅-=-- …………14分m c c c +++ 21()[]m mm m m m C C C C m 132111--+-+-=…………16分 ()()[]m C C C C m m m m m m m 1111210=-+-+--= 故m c c c +++ 21m1=.……18分。

上海市普陀区高三数学12月质量调研(一模)试题理

数学1.答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、考试号填写清楚，并在规定的区域贴上条形码.2.本试卷共有23道题，满分150分.考试时间120分钟.3.本试卷另附答题纸，每道题的解答必须写在答题纸的相．．．．．．．．．应位置，本卷上任何解答都不作评分依据．．．．．．．．．．．．．．．．．．. 一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14小题，要求直接将结果填写在答题纸对应的空格中.每个空格填对得4分，填错或不填在正确的位置一律得零分.1. 若集合}1lg |{<=x x A ，∈==x x y y B ,sin |{R }，则=B A Y .2. 若1lim=+∞→an ann ，则常数=a .3. 若1>x ，则函数112-+-=x x x y 的最小值为 .4. 函数⎪⎭⎫⎝⎛-π=x y 4tan 的单调递减区间是 . 5. 方程1)7lg(lg =-+x x 的解集为 .6. 如图，正三棱柱的底面边长为2，体积为3，则直线C B 1与底面ABC 所成的角的大小为（结果用反三角函数值表示）.ABC1C1B1A第6题7. 若方程132||22=-+-ky k x 表示双曲线，则实数k 的取值范围是 . 8. 函数22)(2+-=x x x f （0≤x ）的反函数是 .9. 在二项式81⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 的展开式中，含2x 项的系数为（结果用数值表示）. 10. 若抛物线mx y 42=（0>m ）的焦点在圆122=+y x 内，则实数m 的取值范围是 .11. 在ABC ∆中，三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若32=a ，2=c ，ο120=A ，则=∆ABC S .12. 若无穷等比数列}{n a 的各项和等于公比q ，则首项1a 的最大值是 .13. 设a 为大于1的常数，函数⎩⎨⎧≤>=+00log )(1x a x x x f x a ，若关于x 的方程0)()(2=⋅-x f b x f恰有三个不同的实数解，则实数b 的取值范围是 .14. 如图，点1P ,2P ,… ,10P 分别是四面体的顶点或其棱的中点，则在同一平面内的四点组()k j i P P P P ,,,1 （101≤<<<k j i ）共有个.二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在答题纸相应的空格中. 每题选对得5分，不选、选错或选出的代号超过一个（不论是否都写在空格内），或者没有填写在题号对应的空格内，一律得零分. 15．设a 、∈b R ，且0<ab ，则…………………………………………………………………………（）)(A ||||b a b a -<+ )(B ||||b a b a ->+ )(C ||||||b a b a -<- )(D ||||||b a b a +<-16.“点M 在曲线x y 42=上”是“点M 的坐标满足方程02=+y x ”的…………………………（）)(A 充分非必要条件 )(B 必要非充分条件 )(C 充要条件 )(D 既非充分也非必要条件3 498第14题17.要得到函数x y 2sin =的图像，只需将函数⎪⎫⎝⎛-=42cos πx y 的图像………………………………（）)(A 向左平移8π个单位 )(B 向右平移8π个单位 )(C 向左平移4π个单位 )(D 向右平移4π个单位18. 若在边长为1的正三角形ABC 的边BC 上有n (∈n N *，2≥n )等分点，沿向量的方向依次为121,,,-n P P P Λ，记AP AP T n n ⋅++⋅+⋅=-1211Λ，若给出四个数值:①429 ②1091③18197 ④33232，则n T 的值不可能的共有…………………（）)(A 1个 )(B 2个 )(C 3个 )(D 4个三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸规定的方框内写出必要的步骤. 19. (本题满分12分)已知P 是椭圆12422=+y x 上的一点，求P 到)0,(m M （0>m ）的距离的最小值.20. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．已知函数x x b x a x f cos sin sin )(2+=满足2)23()6(==ππf f（1）求实数b a ,的值以及函数)(x f 的最小正周期；（2）记)()(t x f x g +=，若函数)(x g 是偶函数，求实数t 的值.21. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．如图，在两块钢板上打孔，用钉帽呈半球形、钉身为圆柱形的铆钉（图1）穿在一起，在131-n 2k 第18题没有帽的一端锤打出一个帽，使得与钉帽的大小相等，铆合的两块钢板，成为某种钢结构的配件，其截面图如图2.（单位：mm ）.（加工中不计损失）. （1）若钉身长度是钉帽高度的2倍，求铆钉的表面积；（2）若每块钢板的厚度为12mm ，求钉身的长度（结果精确到1mm ）.22. （本题满分16分）本题共有3个小题，第（1）小题5分，第（2）小题6分，第（3）小题5分已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且4=+n n a S ，∈n N *（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）已知32+=n c n （∈n N *），记=n d n C n a c log +(0>C 且1≠C )，是否存在这样的常数C ，使得数列}{n d 是常数列，若存在，求出C 的值；若不存在，请说明理由. （3）若数列}{n b ，对于任意的正整数n ，均有2221123121+-⎪⎭⎫ ⎝⎛=++++--n a b a b a b a b nn n n n Λ成立，求证：数列}{n b 是等差数列；23. （本题满分18分）本题共有3个小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分图2已知函数)(x f y =，若在定义域内存在0x ，使得)()(00x f x f -=-成立，则称0x 为函数)(x f 的局部对称点.（1）若a 、∈b R 且0≠a ，证明：函数a bx ax x f -+=2)(必有局部对称点；（2）若函数c x f x+=2)(在区间]2,1[-内有局部对称点，求实数c 的取值范围；（3）若函数324)(21-+⋅-=+m m x f x x在R 上有局部对称点，求实数m 的取值范围.2014学年第一学期普陀区高三理科数学质量调研卷参考答案一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14小题，要求直接将结果填写在答题纸对应的空格中.每个空格填对得4分，填错或不填在正确的位置一律得零分.1. )10,1[-2.13.34.⎪⎭⎫⎝⎛+-43.4ππππk k （Z k ∈） 5.}5,2{6.21arctan 7.),3()2,2(+∞-Y 8.)2(11)(1≥--=-x x x f9.70 10.1>m 11.3 12.4113. a b ≤<0 14. 33 二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在答题纸相应的空格中. 每题选对得5分，不选、选错或选出的代号超过一个（不论是否都写在空格内），或者没有填写在题号对应的空格内，一律得零分.三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸规定的方框内写出必要的步骤. 19. (本题满分12分)【解】设),(y x P ，其中22≤≤-x ……………………2分则222)(||y m x PM +-==2221212)(2222++-=-+-m mx x x m x ……5分 222)2(21m m x -+-=，对称轴m x 2=0>……7分（1）若220<<m ，即10<<m ，此时当m x 2=时，2min 2||m PM -=；……9分（2）若22≥m ，即1≥m ，此时当2=x 时，|2|44||2min -=+-=m m m PM ；……11分综上所述，⎪⎩⎪⎨⎧≥-<<-=1|,2|10,2||2min m m m m PM …………12分20. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．【解】（1）由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==2)23(2)6(ππf f 得，⎩⎨⎧==+283a b a ……2分，解得⎩⎨⎧==322b a ……3分将2=a ，34=b 代入xx b x a x f cos sin sin )(2+=得x x x x f cos sin 32sin 2)(2+=所以)(x f x x 2sin 32cos 1+-=……4分)62sin(21π-+=x …………5分所以函数)(x f 的最小正周期ππ==22T …………6分（2）由（1）得，1]6)(2sin[2)(+-+=+πt x t x f ，所以1622sin 2)(+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=πt x x g ……8分函数)(x g 是偶函数，则对于任意的实数x ，均有)()(x g x g =-成立。

上海市普陀区高三12月教学质量调研物理试卷(无答案).pdf

物体从静止开始移动，平均功率为
A）4P
（B）16P
（C）32P
（D）64P
16．将小球A从地面以初速度vA0=8m/s竖直上抛，同时将小球B从一高为h=2m的平台上以初速vB0=6m/s竖直上抛，忽
略空气阻力。当两球同时到达同一高度时，小球B离地高度为
（A）1m
（B）2m
（C）3m
（D）4m
m/s。
24．如图，水平圆的半径为R，两直径AB和CD垂直，O为圆心，OP是过圆心的竖直线。圆上A、B、C、D四点处各分布
着四个带电量均为q的正电荷，把一个带电量也为q的带正电的小球（看作点电荷）放在OP上的Q点，小球刚好能静止
，Q点到圆心O的距离也为R。现把此小球从Q点上方的E点静止释放，小球能运动到Q点下方的最低点F（E、F点未画出
9．双人滑运动员在光滑的水平冰面上做表演，甲运动员给乙运动员一个水平恒力F，乙运动员在冰面上完成了一段
优美的弧线MN。vM与vN正好成90°角，则此过程中，乙运动员受到的恒力可能是图中的
A）F1
（B）F2
（C）F3
（D）F4
10．如图，杠杆OA的B点挂着重物G，A端用细绳竖直挂在
圆弧形架且A点与EF的圆心重合A）逐渐变大
b a B d O′ O A B O′ O A B A B C D 丙位移传感器（A）小车位移传感器（B）钩码轨道小车位移传感器（B）钩码轨道位移传感器（A）力传感器 F/N 3.0 a/m·s-2 1.0 2.0 4.0 2.0 6.0 4.0 0 5.0 ① ② ③ ④ 丙乙甲
gB）四颗地球卫星b的最C）c在4小时内转过的圆心角是D）d的运动周期有可能是20小时
1．某一导体的伏安特性曲线如图中AB段所示，关于导体的电阻，说法正确的是

上海普陀区2016届高三数学调研测试(理科word版含答案)

普陀区2016届高三数学调研测试卷（理科） 2015.11命题高福如（同济大学第二附属中学）说明：本试卷满分150分，考试时间120分钟。

本套试卷另附答题纸，．．．．．．．．．．填空题和选择题直接填．．．．．．．．．．在相应的位置．．．．．．，．每道．．解答．．题的解答必须写在的相．．．．．．．．．．应．区域内．．．。

．一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14小题，要求直接将结果填写在答题纸对应的空格中.每个空格填对得4分，填错或不填在正确的位置一律得零分.1、集合{3,2}aA =，{,}B a b =，若 2 B A ，则 B A .2、函数2()1(1)f x x x =-≤-的反函数=-)(1x f.3、函数22sin y x ω=-的最小正周期为π，则实数ω的值为 .4、已知数列{}n a 的前n 项的和2nn S a =-（a R ∈）.则8a =________.5、若1sin 4α=，且α是第二象限的角.则3sin()2πα+=__________. 6、不等式a x <-1成立的充分条件是40<<x ，则实数a 的取值范围是____________． 7、已知圆锥的侧面展开图是圆心角为23π、半径为6的扇形.则该圆锥的体积为． 8、函数23()(1)(N )3n n n f x x n n n *+⎛⎫=++∈ ⎪+⎝⎭，当1 2 3 n =，，，时，()n f x 的零点依次记作123 x x x ，，，，则lim n n x →∞= ． 9、设22()23,()(1)f x ax x g x x a x a =+-=+--，{}{}()0,()0M x f x P x g x =≤=≥. 若MP R =，则实数a 的取值集合为 . 10、不等式12sin x a y x+≥-+对一切非零实数,x y 均成立，则实数a 的范围为．11、如果用反证法证明“数列{}n a 的各项均小于2”，有下列四种不同的假设： ① 数列{}n a 的各项均大于2 ； ② 数列{}n a 的各项均大于或等于2 ； ③ 数列{}n a 中存在一项k a ，2k a ≥ ； ④ 数列{}n a 中存在一项,2k k a a >．其中正确的序号为．（填写出所有假设正确的序号）12、在ABC ∆中,角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ,若2015120a BC b CA c AB ⋅+⋅+⋅=，则ABC∆•••()n n a Sn78O0.4- 0.8-0.7的最小角等于．13、如果定义在R 上的函数()f x 对任意两个不等的实数12,x x 都有11221221()()()()x f x x f x x f x x f x +>+，则称函数()f x 为“Z 函数”．给出函数：①31y x =-+；②2xy = ；③ln ||,00,0x x y x ≠⎧=⎨=⎩ ；④224,0,0x x x y x x x ⎧+≥=⎨-+<⎩.以上函数为“Z 函数”的序号为． 14、已知等比数列{}n a 的首项为43，公比为13-，其前n 项和记为S ，又设13521,,,,2482n nn B -⎧⎫=⎨⎬⎩⎭(),2n N n *∈≥，n B 的所有非空子集中的最小元素的和为T ，则22015S T +≥的最小正整数n 为．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号涂在答题纸相应的位置上. 每题选对得5分，不选、选错或选出的代号超过一个一律得零分.15、在自然界中存在着大量的周期函数，比如声波．若两个声波随时间的变化规律分别为：()1232sin 100,3cos 100+4y t y t π⎛⎫=π=π ⎪⎝⎭，则这两个声波合成后(即21y y y +=)的声波的振幅为（）A ． 62B ．6C ． 23D ．3 16、若a 、b 为两条异面直线，且分别在两个平面α、β内，若l αβ=，则直线l （）A. 分别与a 、b 相交B. 与a 、b 都不相交C. 至少与a 、b 中的一条相交D. 至多与a 、b 中的一条相交17、设等差数列{}n a 的前n 项和为n S .在同一个坐标系中，()n a f n =及()n S g n =的部分图像如图所示（图中的三个点）.根据图中所提供的信息，下列结论正确的是（）A.当3n =时，n S 取得最大值B.当4n =时，n S 取得最大值C.当3n =时，n S 取得最小值D.当4n =时，n S 取得最小值ABCE 1A 1B 1C DxyOP R18、已知函数2|log |,02(),210sin()4x x f x x x π⎧<<⎪=⎨≤≤⎪⎩ ，若存在实数1x 、2x 、3x 、4x ( 1234x x x x <<< ) 满足1234()()()()f x f x f x f x ===．则3412(2)(2)x x x x --⋅的取值范围是（）A ．(0，12)B ．(4，16)C ．(9，21)D ．(15，25)三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸规定的方框内写出必要的步骤.19、 (本题满分12分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．在直三棱柱111A B C ABC -中，AC BC ⊥， D 、E 分别为AB 、AC 中点．（1）求证：11//DE BCC B 面；（2）若1CB =，3AC =，13AA =．求异面直线1A E 和CD 所成角的大小．20、(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．已知函数()3sin f x x ω=(0,0)A ω>>的部分图像如图所示．P 、Q 分别是图像上相邻的一个最高点和最低点，R 为图像与x 轴的交点，且四边形OQRP 为矩形．（1）求()f x 的解析式；（2）将()y f x =的图像向右平移12个单位长度后，得到函数()y g x =的图像．已知：3()3g α=，35(,)22α∈，求()f α的值．21、(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．某中学为了落实 “阳光运动一小时”活动，计划在一块直角三角形ABC 的空地上修建一个占地面积为S 的矩形AMPN 健身场地．如图，点M 在AC 上，点N 在AB 上，且P 点在斜边BC 上，已知60=∠ACB 且30||=AC 米，=AM x 米，]20,10[∈x ．（1）试用x 表示S ，并求S 的取值范围；（2）若在矩形AMPN 以外（阴影部分）铺上草坪.已知：矩形AMPN 健身场地每平方米的造价为S k 37，草坪的每平方米的造价为Sk12（k 为正常数）.设总造价T 关于S 的函数为)(S f T =，试问：如何选取||AM 的长，才能使总造价T 最低．22、（本题满分16分）第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题6分.已知函数()2f x x b =+，2()g x x bx c =++，其中b 、c R ∈，设()()()g x h x f x =. （1）如果()h x 为奇函数，求实数b 、c 满足的条件；（2）在（1）的条件下，若函数()h x 在区间[2,)+∞上为增函数，求c 的取值范围；（3）若对任意的R x ∈恒有()()x g x f ≤成立.证明：当0≥x 时，()()2c x x g +≤成立.23、（本题满分18分）第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分.定义：对于数列}{n x ，如果存在常数p ，使对任意正整数n ，总有1()()0n n x p x p +--<成立，那么我们称数列}{n x 为“-p 摆动数列”．（1）设12-=n a n ，n n q b =（01<<-q ），*∈N n ，判断数列}{n a 、}{n b 是否为“-p 摆动数列”，并说明理由；（2）已知“-p 摆动数列”}{n c 满足：111+=+n n c c ，11=c ．求常数p 的值；（3）设(1)(21)n n d n =-⋅-，*∈N n ，且数列}{n d 的前n 项和为n S ．求证：数列}{n S 是“-p 摆动数列”，并求出常数p 的取值范围．NABCE1A 1B 1C DF普陀区2016届高三数学调研测试卷（理）参考答案 2015.11一、填空题1、{}1,2,3；2、0)x ≥；3、1±；4、128；5、4；6、[3,)+∞；7、3； 8、2-；9、{}1-；10、[]1,3；11、③；12、4arccos 5， 13、②④，；14、45，二、选择题15、D 16、C 17、B 18、A三、解答题19、（1）证明： D 、E 分别为AB 、AC 中点//DE BC ∴ ………………………1分11BC BCC B ⊆面 ………………………………3分11DE BCC B ⊄面 ………………………………5分 ∴11//DE BCC B 面 ………………………………6分（注：如用空间向量证明，参照评分）（2）（方法1）取AD 的中点F ，连EF ，1A F//EF CD1A EF ∴∠为异面直线1A E 和CD 所成角（或其补角）……8分在1A EF ∆中，1AE =，12EF =，1A F = 1cos A EF ∴∠= (101)A EF ∴∠为异面直线1A E 和CD 所成角为cos10arc 12分（方法2）建立如图坐标系：1(A E ∴=- 31(,0)2CD = ………………8分设异面直线1A E 和CD 所成角为θ1115cos A E CD A E CDθ⋅∴==⋅………………10分 1A EF ∴∠为异面直线1A E 和CD 所成角为cos10arc ………12分20、解：（1）设函数()f x 的最小正周期为T ， (1)分则(4T P 、3(,4TQ ……………2分四边形OQRP 为矩形，OP OQ ∴⊥， …………4分233016OP OQ T ∴⋅=-= ……………5分 4T ∴=， 2πω∴= (6)分()2f x x π∴=……………7分（2）()sin()24g x x ππ=-……………9分1()sin()243g ππαα=∴-= ……………11分35(,),cos()2224ππαα∈∴-= ……………12分()sin[()]244f πππαα∴=-+=……………14分 21、解：（1）在PMC Rt ∆中，显然x MC -=30||， 60=∠PCM ，∴)30(3tan ||||x PCM MC PM -=∠⋅=， …………2分矩形AMPN 的面积)30(3||||x x MC PM S -=⋅=，[10,20]x ∈ ………4分于是32253200≤≤S 为所求. ………………6分（2）矩形AMPN 健身场地造价=1T S k 37 …………………………………7分又ABC ∆的面积为3450，即草坪造价=2T )3450(12S Sk-，………8分由总造价21T T T +=，∴)3216(25SS k T +=，32253200≤≤S .…10分 36123216≥+SS ，………………………………………………11分当且仅当SS 3216=即3216=S 时等号成立，………………………12分此时3216)30(3=-x x ，解得12=x 或18=x ，所以选取||AM 的长为12米或18米时总造价T 最低.……………………14分22、解：（1）2()2x bx ch x x b++=+，设的定义域为为奇函数，∴ 对于任意，成立．…1分即：2222x bx c x bx cx b x b-+++=--++ 化简得：20bx bc -= ……3分因对于任意x D ∈都成立 ∴ 0b bc =⎧⎨=⎩ 即0,b c R =∈ …………4分（2）由（1）知，1()22ch x x x∴=+…………5分在上为增函数，∴任取，时，2121121()()()(1)02cf x f x x x x x -=-->恒成立. …………6分即任取，，成立，也就是成立． …………8分∴，即的取值范围是(,4]-∞． …………10分（3）因为任意的恒有成立，所以对任意的，即恒成立． ……………11分所以，从而，∴，且， ……………13分因此 (1)0c c -≥ 且 . ……………14分故当时，有. ………15分即当时，. ……………16分23、解：（1）假设数列}{n a 是“-p 摆动数列”，即存在常数p ，总有1212+<<-n p n 对任意n 成立，不妨取1=n 时则31<<p ，取2=n 时则53<<p ，显然常数p 不存在，所以数列}{n a 不是“-p 摆动数列”； ………………………………………2分由n n q b =，于是0121<=++n n n qb b 对任意n 成立，其中0=p . 所以数列}{n b 是“-p 摆动数列”. ……………………………………………4分（2）由数列}{nc 为“-p 摆动数列”， 11=c 212=⇒c ，即存在常数121<<p ，使对任意正整数n ，总有0))((1<--+p c p c n n 成立；即有0))((12<--++p c p c n n 成立.则0))((2>--+p c p c n n ，………………………………………………………6分所以p c p c p c n >⇒⇒>>⇒>-1231 . …………………………………7分同理p c p c p c n <⇒⇒<⇒<242 . ………………………………………8分所以122-<<n n c p c ⇒121211--<+n n c c ，解得21512->-n c 即215-≤p .…9分同理n n c c 2211>+，解得2152-<n c ；即215-≥p . 综上215-=p .………………………………………………………………10分（3）证明：由)12()1(-⋅-=n d n n n S nn ⋅-=⇒)1(，……………………………12分显然存在0=p ，使对任意正整数n ，总有0)1()1(121<+⋅-=++n n S S n n n 成立，所以数列}{n S 是“-p 摆动数列”； ………………………………………14分当n 为奇数时n S n -=递减，所以11-=≤S S n ，只要1->p 即可当n 为偶数时n S n =递增，22=≥S S n ，只要2<p 即可 ………17分综上21<<-p ，p 的取值范围是)2,1(-.……………………………………18分。

上海市普陀区2016届高三上学期12月调研数学试卷(理科) 含解析

2015-2016学年上海市普陀区高三（上）12月调研数学试卷(理科）一、填空题(本大题56分）本大题共有14小题，要求直接将结果填写在答题纸对应的空格中，每小空格填对得4分,填错或不正确的位置一律得零分)1．若全集U=R,集合M=｛x｜x(x﹣2）≤0｝，N=｛1，2,3，4｝，则N∩∁U M= ．2．若函数,，则f（x）+g（x）= ．3．在（2x﹣1）7的二项展开式中，第四项的系数为．4．在，则函数y=tanx的值域为．5．在数列｛a n}中，a1=1,，则数列的各项和为．6．若函数f(x）=(x≥0)的反函数是f﹣1(x），则不等式f﹣1（x）＞f(x）的解集为．7．设O为坐标原点，若直线与曲线相交于A、B点,则扇形AOB的面积为．8．若正六棱柱的底面边长为10，侧面积为180,则这个棱柱的体积为．9．若在北纬45°的纬度圈上有A、B两地，经度差为90°，则A、B两地的球面距离与地球半径的比值为．10．方程的解x= ．11．设P是双曲线上的动点，若P到两条渐近线的距离分别为d1,d2，则d1•d2= ．12．如图,已知正方体ABCD﹣A1B1C1D,若在其12条棱中随机地取3条，则这三条棱两两是异面直线的概率是（结果用最简分数表示）13．若F是抛物线y2=4x的焦点,点P i（i=1，2，3，…，10）在抛物线上，且,则= ．14．若函数最大值记为g（t），则函数g（t）的最小值为．二、选择题（本大题20分，共4小题，每小题5分)15．下列命题中的假命题是（）A．若a＜b＜0，则 B．若，则0＜a＜1 C．若a＞b＞0，则a4＞b4D．若a＜1，则16．若集合，则“x ∈A”是“x∈B”成立的( ）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件17．如图,在四面体ABCD,AB=CD，M，N分别是BC，AD的中点，若AB与CD所成的角的大小为60°,则MN和CD所成的角的大小为（）A．30°B．60°C．30°或60° D．15°或60°18．若函数,关于x的方程f2(x）﹣（a+1）f（x)+a=0,给出下列结论：①存在这样的实数a，使得方程由3个不同的实根；②不存在这样的实数a，使得方程由4个不同的实根；③存在这样的实数a，使得方程由5个不同的实数根；④不存在这样的实数a，使得方程由6个不同的实数根．其中正确的个数是( ）A．1个B．2个 C．3个 D．4个三、解答题：（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸规定的方框内写出必要的步骤.19．如图，椭圆+=1的左、右两个焦点分别为F1、F2，A为椭圆的右顶点，点P在椭圆上且∠PF1F2=arccos（1）计算|PF1｜的值x（2)求△PF1A的面积．20．某种“笼具”由内，外两层组成，无下底面，内层和外层分别是一个圆锥和圆柱,其中圆柱与圆锥的底面周长相等,圆柱有上底面，制作时需要将圆锥的顶端剪去,剪去部分和接头忽略不计，已知圆柱的底面周长为24πcm,高为30cm，圆锥的母线长为20cm．（1)求这种“笼具”的体积（结果精确到0.1cm3）；（2)现要使用一种纱网材料制作50个“笼具”，该材料的造价为每平方米8元，共需多少元？21．已知函数f（x)=2sin2x+sin2x﹣1．(1）求函数f(x)的单调递增区间；（2）设，其中0＜x0＜π，求tanx0的值．22．已知n∈N*，数列{a n}的前n项和为S n,且2a n﹣S n=1．（1）求证：数列{a n}是等比数列，并求出通项公式；(2）对于任意a i、a j∈{a1，a2，…，a n}（其中1≤i≤n，1≤j≤n，i、j均为正整数）,若a i和a j的所有乘积a i•a j 的和记为T n，试求的值；（3)设，若数列{c n｝的前n 项和为C n，是否存在这样的实数t，使得对于所有的n 都有成立,若存在，求出t的取值范围；若不存在，请说明理由．23．已知集合M是满足下列性质的函数f（x）的全体,存在实数a、k（k≠0），对于定义域内的任意x均有f（a+x）=kf（a﹣x）成立,称数对（a，k）为函数f（x）的“伴随数对”（1)判断f（x）=x2是否属于集合M，并说明理由；(2）若函数f（x）=sinx∈M，求满足条件的函数f（x）的所有“伴随数对”;（3）若（1,1）,（2，﹣1)都是函数f（x）的“伴随数对”,当1≤x＜2时，；当x=2时,f（x）=0．求当2014≤x≤2016时，函数y=f（x）的零点．2015—2016学年上海市普陀区高三(上）12月调研数学试卷（理科)参考答案与试题解析一、填空题（本大题56分）本大题共有14小题，要求直接将结果填写在答题纸对应的空格中，每小空格填对得4分,填错或不正确的位置一律得零分）1．若全集U=R,集合M=｛x|x（x﹣2）≤0},N=｛1，2，3，4｝，则N∩∁U M= {3，4｝．【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】求解一元二次不等式化简M，求出其补集，再由交集运算得答案．【解答】解：∵M={x|x（x﹣2）≤0｝={x｜0≤x≤2}，∴∁U M={x｜x＜0或x＞2｝，又N=｛1，2，3，4｝，∴N∩∁U M=｛3，4｝．故答案为：{3,4｝．2．若函数,，则f（x）+g（x）= 1（0≤x≤1)．【考点】函数解析式的求解及常用方法．【分析】容易求出f（x），g（x）的定义域，求交集便可得出f（x）+g(x)的定义域，并可求得f（x）+g（x）=．【解答】解：；解得,0≤x≤1;∴（0≤x≤1）．故答案为:．3．在(2x﹣1)7的二项展开式中，第四项的系数为﹣560 ．【考点】二项式系数的性质．【分析】直接利用二项式定理写出结果即可即可．【解答】解:在（2x﹣1）7的二项展开式中，第四项的系数为:=﹣560．故答案为：﹣560．4．在，则函数y=tanx的值域为[﹣1，1] ．【考点】正切函数的图象．【分析】根据正切函数的图象与性质，求出x∈［﹣，]时函数y=tanx的值域即可．【解答】解：∵，∴﹣1≤tanx≤1，∴函数y=tanx的值域为［﹣1，1]．故答案为：[﹣1，1]．5．在数列{a n}中,a1=1，,则数列的各项和为2n﹣1 ．【考点】数列的求和．【分析】由，变形a n+1+1=2（a n+1)，利用等比数列的通项公式即可得出．【解答】解：∵,∴a n+1+1=2(a n+1）,∴数列{a n+1｝是等比数列,首项为2，公比为2．∴a n+1=2n，∴a n=2n﹣1．故答案为：2n﹣1．6．若函数f（x)=（x≥0）的反函数是f﹣1（x），则不等式f﹣1（x）＞f（x)的解集为｛x|x＞1｝．【考点】反函数．【分析】由y=f(x）=（x≥0)，求出f﹣1（x)=x3，x ≥0,由此能求出不等式f﹣1(x）＞f（x）的解集．【解答】解：设y=f（x）=(x≥0），则x=y3，x,y互换，得f﹣1（x)=x3，x≥0,∵f﹣1（x）＞f（x),∴，∴x9＞x，∴x8＞1，解得x＞1．∴不等式f﹣1(x）＞f（x）的解集为｛x｜x＞1}．故答案为:｛x|x＞1}．7．设O为坐标原点，若直线与曲线相交于A、B点,则扇形AOB的面积为．【考点】直线与圆的位置关系；扇形面积公式．【分析】通过曲线方程确定曲线表示单位圆在x轴上方的部分（含于x轴的交点),y=时，∠AOB=π，即可求出扇形AOB的面积．【解答】解：由曲线，得x2+y2=1（y≥0)∴曲线表示単位圆在x轴上方的部分（含于x轴的交点)y=时，∠AOB=π,扇形AOB的面积为=．故答案为：．8．若正六棱柱的底面边长为10，侧面积为180，则这个棱柱的体积为450．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】根据侧面积公式求出棱柱的高，根据底面边长求出底面积,代入体积公式得出体积．【解答】解：设棱柱的底面边长为a，高为h，则S侧=6ah=60h=180，解得h=3．S 底==150．∴正六棱柱的体积V=S 底h=450．故答案为:450．9．若在北纬45°的纬度圈上有A、B两地，经度差为90°，则A、B两地的球面距离与地球半径的比值为．【考点】球面距离及相关计算．【分析】求出球心角，然后A、B两点的距离，求出两点间的球面距离，即可求出A、B两地的球面距离与地球半径的比值．【解答】解:地球的半径为R，在北纬45°，而AB=R，所以A、B的球心角为：,所以两点间的球面距离是：，所以A、B两地的球面距离与地球半径的比值为；故答案为：．10．方程的解x= log 23 ．【考点】对数的运算性质．【分析】化简可得4x﹣5=4（2x﹣2)，从而可得(2x)2﹣4•2x+3=0，从而解得．【解答】解：∵，∴4x﹣5=4(2x﹣2)，即（2x）2﹣4•2x+3=0，∴2x=1（舍去)或2x=3;∴x=log23，故答案为：log23．11．设P是双曲线上的动点，若P到两条渐近线的距离分别为d1，d2，则d1•d2= ．【考点】双曲线的简单性质．【分析】先确定两条渐近线方程,设双曲线C上的点P （x，y）,求出点P到两条渐近线的距离，结合P在双曲线C上，即可求d1•d2的值．【解答】解：由条件可知：两条渐近线分别为x±y=0设双曲线C上的点P(x，y)，则点P到两条渐近线的距离分别为d1=，d2=所以d1•d2=•==．故答案为：．12．如图,已知正方体ABCD﹣A1B1C1D,若在其12条棱中随机地取3条,则这三条棱两两是异面直线的概率是（结果用最简分数表示)【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】正方体ABCD﹣A1B1C1D，在其12条棱中随机地取3条，先求出基本事件总数，再求出这三条棱两两是异面直线包含的基本事件个数,由此能求出这三条棱两两是异面直线的概率．【解答】解：正方体ABCD﹣A1B1C1D，在其12条棱中随机地取3条，基本事件总数n==220,这三条棱两两是异面直线包含的基本事件个数m=8,∴这三条棱两两是异面直线的概率是p===．故答案为：．13．若F是抛物线y2=4x的焦点，点P i（i=1，2，3，…，10)在抛物线上,且,则= 200 ．【考点】抛物线的简单性质．【分析】根据抛物线的定义得抛物线上的点到焦点的距离等于该点到准线的距离，因此求出抛物线的准线方程，结合题中数据加以计算，即可得到本题答案．【解答】解：∵抛物线y2=4x的焦点为F（1，0),准线为x=﹣1，∴根据抛物线的定义，P i（i=1，2，3，…,2015)到焦点的距离等于P i到准线的距离，即|P i F|=x i+1，,可得1﹣x 1+1﹣x2+…+1﹣x100=0，∴x1+x2+…+x100=100∴｜P1F|+|P2F|+…|P100F｜=（x1+1)+（x2+1）+…+（x100+1）=(x1+x2+…+x100）+100=100+100=200．故答案为:200．14．若函数最大值记为g（t)，则函数g（t)的最小值为．【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】化简sinx+=sinx+3+﹣3，从而可得0≤sinx+3+﹣3≤，从而求得g（t）=f max（x）=，从而求值．【解答】解：∵sinx+=sinx+3+﹣3,∵﹣1≤sinx≤1，∴2≤sinx+3≤4,∴3≤sinx+3+≤，∴0≤sinx+3+﹣3≤,∴g(t)=f max（x）=,∴当t=时，函数g（t）有最小值为；故答案为；．二、选择题（本大题20分，共4小题，每小题5分) 15．下列命题中的假命题是( )A．若a＜b＜0,则B．若，则0＜a＜1 C．若a＞b＞0，则a4＞b4D．若a＜1，则【考点】命题的真假判断与应用．【分析】正确选项进行证明，不正确选项，举出反例即可．【解答】解：对于A,a＜b＜0,则•a＜•b，∴，正确对于B,，则＞0，∴0＜a＜1，正确对于C，a＞b＞0，a4＞b4，正确;对于D，a=，=2＞1，不正确,故选:D．16．若集合，则“x ∈A”是“x∈B”成立的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】先分别求出集合A，B，然后根据必要条件、充分条件和充要条件的定义进行判断．【解答】解：∵≥0，∴0≤x＜3，∴A=（0，3]，∵lg｜2x﹣3｜＜0=lg1，∴|2x﹣3｜＜1，且2x﹣3≠0，∴1＜x＜2，且x≠∴B=(1，）∪（，2)，∴“x∈A”是“x∈B”成立的必要非充分条件，故选:B．17．如图，在四面体ABCD，AB=CD，M，N分别是BC，AD的中点，若AB与CD所成的角的大小为60°，则MN和CD所成的角的大小为（）A．30°B．60°C．30°或60° D．15°或60°【考点】异面直线及其所成的角．【分析】取BD中点O，连结MO、NO,由已知得∠ONM是MN和CD所成的角（或补角），且∠MON=60°，OM=ON，由此能求出MN和CD所成的角的大小．【解答】解:取BD中点O，连结MO、NO，∵在四面体ABCD，AB=CD，M，N分别是BC，AD 的中点，AB与CD所成的角的大小为60°，∴MO，NO，∴∠ONM是MN和CD所成的角（或所成角的补角），且∠MON=60°,OM=ON,∴∠ONM=60°，或∠ONM=30°，∴MN和CD所成的角为60°或30°．故选:C．18．若函数,关于x的方程f2(x）﹣（a+1）f（x)+a=0，给出下列结论：①存在这样的实数a，使得方程由3个不同的实根；②不存在这样的实数a，使得方程由4个不同的实根;③存在这样的实数a,使得方程由5个不同的实数根；④不存在这样的实数a，使得方程由6个不同的实数根．其中正确的个数是（）A．1个B．2个 C．3个 D．4个【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】由f2（x）﹣（a+1）f(x）+a=0可解得f（x）=1或f（x）=a，作函数的图象，从而讨论求解．【解答】解：∵f2（x）﹣(a+1)f（x)+a=0,∴f（x)=1或f（x）=a，作函数的图象如下，，当a=1时,方程有3个不同的实根,故①正确；当a＞1或a≤﹣1时,方程有6个不同的实根，故④不正确；当﹣1＜a＜1时,方程有5个不同的实根，故③正确;综上可知，不存在这样的实数a,使得方程由4个不同的实根；故②正确；故选：C．三、解答题：（本大题满分74分）本大题共有5题,解答下列各题必须在答题纸规定的方框内写出必要的步骤。

普陀区2016学年第一学期高三数学质量调研2016

普陀区2016学年第一学期高三数学质量调研2016、12一、填空题（本大题共12小题，满分54分，前6题每题4分，后6题每题5分） 1、若集合{}{}2,,sin ,A x y x y R B y y x x R ==∈==∈，则A B = 。

2、若3,sin 225ππαα-<<=，则cot 2α= 。

3、函数()()21log 1f x x x =+≥的反函数()1f x -= 。

4、若()52501251x a a x a x a x +=++++ ，则125a a a +++= 。

5、设k R ∈，若2212y x k k -=-表示焦点在y 轴上的双曲线，则半焦距的取值范围是。

6、设m R ∈，若函数()()2311f x m x mx =+++是偶函数，则()f x 的单调区间是 7、方程()()22log 952log 32xx-=+-的解x = 。

8、已知圆()222:220C x y kx y k k R ++++=∈和定点()1,1P -，若果P 可以作两条直线与圆C 相切，则k 的取值范围是。

9、如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90,A B C A BB C ∠=== ，若1AC 与平面11B BCC 所成的角为6π，则三棱锥1A ABC -的体积为。

10、掷两颗骰子得两个数，若两数的差为d ，则{}2,1,0,1,2d ∈--出现的概率最大值为。

（结果用最简分数表示）11、设地球半径为R ，若A 、B 两地均位于北纬45，R ，则A 、B 之间的球面距离是。

（结果用含有R 的代数式表示） 12、已知定义域为R 的函数()y f x =满足()()2fx f x +=，且11x -≤<时，()21f x x=-，函数()lg ,01,0x x g x x ⎧≠=⎨=⎩，若()()()F x f x g x =-，则[]5,10x ∈-，函数()F x 零点的个数是。

上海市普陀区2016学年第二次高考模拟高三数学试卷--含答案

2016学年第二学期普陀区高三数学质量调研2017.4考生注意:1. 本试卷共4页，21道试题，满分150分. 考试时间120分钟.2. 本考试分试卷和答题纸. 试卷包括试题与答题要求. 作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分.3. 答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号，并将核对后的条码贴在指定位置上，在答题纸反面清楚地填写姓名.一、填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对前6题得4分、后6题得5分，否则一律得零分.1. 计算：=⎪⎭⎫⎝⎛+∞→311lim n n .2. 函数⎪⎭⎫⎝⎛-=x y 11log 2的定义域为 . 3. 若παπ<<2，53sin =α，则=2tan α. 4. 若复数()21i i z ⋅+=（i 表示虚数单位），则=z . 5. 曲线C ：⎩⎨⎧==θθtan sec y x （θ为参数）的两个顶点之间的距离为 .6. 若从一副52张的扑克牌中随机抽取2张，则在放回抽取的情形下，两张牌都是K 的概率为（结果用最简分数表示）.7. 若关于x 的方程0cos sin =-+m x x 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上有解，则实数m 的取值范围是 . 8. 若一个圆锥的母线与底面所成的角为6π,体积为π125,则此圆锥的高为 . 9. 若函数1log log )(222+-=x x x f （2≥x ）的反函数为)(1x f-，则)3(1-f= .10. 若三棱锥ABC S -的所有的顶点都在球O 的球面上，⊥SA 平面ABC ，2==AB SA ，4=AC ，3π=∠BAC ，则球O 的表面积为 .11.设0<a ，若不等式01cos )1(sin 22≥-+-+a x a x 对于任意的R ∈x 恒成立，则a 的取值范围是 .12.在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，M 是直线DE 上的动点.若△ABC 的面积为1，则2BC MC MB +⋅的最小值为 .二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.13. 动点P 在抛物线122+=x y 上移动，若P 与点()1,0-Q 连线的中点为M ，则动点M 的轨迹方程为……………………………………………………………………………………………………………（）)A ( 22x y = ()B 24x y = ()C 26x y = ()D 28x y =14. 若α、β∈R ，则“βα≠”是“βαtan tan ≠”成立的……………………………………（）)A (充分非必要条件 ()B 必要非充分条件()C 充要条件 ()D 既非充分也非必要条件15. 设l 、m 是不同的直线，α、β是不同的平面，下列命题中的真命题为…………………………（）)A ( 若α//l ，β⊥m ，m l ⊥，则βα⊥ ()B 若α//l ，β⊥m ，m l ⊥，则 βα//()C 若α//l ，β⊥m ，m l //，则βα⊥ ()D 若α//l ，β⊥m ，m l //，则βα//16. 关于函数x y 2sin =的判断，正确的是……………………………………………………………（）)A (最小正周期为π2，值域为[]1,1-，在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππ上是单调减函数()B 最小正周期为π，值域为[]1,1-，在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上是单调减函数()C 最小正周期为π，值域为[]1,0，在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上是单调增函数()D 最小正周期为π2，值域为[]1,0，在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππ上是单调增函数三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤17. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分在正方体1111D C B A ABCD -中，E 、F 分别是BC 、11D A 的中点. （1）求证：四边形EDF B 1是菱形；（2）求异面直线C A 1与DE 所成角的大小 (结果用反三角函数值表示) .18.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分已知函数x b x a x f cos sin )(+=（a 、b 为常数且0≠a ，R ∈x ）.当4π=x 时，)(x f 取得最大值.（1）计算⎪⎭⎫⎝⎛411πf 的值；（2）设⎪⎭⎫⎝⎛-=x f x g 4)(π，判断函数)(x g 的奇偶性，并说明理由.19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分某人上午7时乘船出发，以匀速v 海里/小时（54≤≤v ）从A 港前往相距50海里的B 港，然后乘汽车以匀速ω千米/小时（10030≤≤ω）自B 港前往相距300千米的C 市，计划当天下午4到9时到达C 市.设乘船和汽车的所要的时间分别为x 、y 小时，如果所需要的经费()()y x P -+-+=853100（单位：元）（1）试用含有v 、ω的代数式表示P ；（2）要使得所需经费P 最少，求x 和y 的值，并求出此时的费用.20. （本题满分16分）本题共有3小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分.1A 1B 1C 1D B D A C EF xyo已知曲线Γ：13422=+y x ，直线l 经过点()0,m P 与Γ相交于A 、B 两点. （1）若()3,0-C 且2=PC ，求证：P 必为Γ的焦点；（2）设0>m ，若点D 在Γ上，且PD 的最大值为3，求m 的值；（3）设O 为坐标原点，若3=m ，直线l 的一个法向量为()k n ,1=，求∆AOB 面积的最大值.21.（本题满分18分）本题共有3小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分.已知数列{}n a （*N ∈n ），若{}1++n n a a 为等比数列，则称{}n a 具有性质P .（1）若数列{}n a 具有性质P ，且3,1321===a a a ，求4a 、5a 的值；（2）若()nn n b 12-+=，求证：数列{}n b 具有性质P ；（3）设=+++n c c c 21n n +2，数列{}n d 具有性质P ，其中11=d ，123c d d =-，232c d d =+，若310>m d ，求正整数m 的取值范围.2016学年第二学期普陀区高三数学质量调研一、填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对前6题得4分、后6题得5分，否则一律得零分.1.12. ()()+∞∞-,10,3.34. i +-15.26.1691 7. 21≤≤m . 8. 5 9. 4 10.π20 11. 2-≤a 12. 3二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤17. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分【解】设正方体的棱长为1，建立空间直角坐标系，如图所示：则()1,0,11B ,⎪⎭⎫ ⎝⎛0,21,1E ,()0,1,0D ,⎪⎭⎫⎝⎛1,21,0F ……1分⎪⎭⎫⎝⎛-=0,21,1,⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0,21,11FB ……2分所以1FB =,即1//FB DE 且1FB DE =,故四边形EDF B 1是平行四边形……3分又因为⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1,21,01E B ,25==……5分故平行四边形EDF B 1是菱形……6分（2）因为()0,1,11=A ()()1,1,101,0--=-,⎪⎭⎫⎝⎛-=0,21,1……8分设异面直线C A 1与DE 所成的角的大小为θ……9分cos =θ……10分()()15152111110121)1(11222222=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⋅+-+-⨯+⎪⎭⎫⎝⎛-⨯-+⨯-=……12分所以1515arccos=θ……13分, 故异面直线C A 1与DE 所成的角的大小为1515arccos ……14分 18.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分【解】（1）x b x a x f cos sin )(+=()ϕ++=x b a sin 22，其中abarctan =ϕ……2分根据题设条件可得，224b a f +=⎪⎭⎫⎝⎛π 即()2222b a b a +=+ ……4分化简得()()2222b a b a +=+，所以0222=+-b ab a即()02=-b a ，故0=-b a ……………5分所以()022411cos 411sin411=-=+=⎪⎭⎫⎝⎛b a b a f πππ……………6分（2）由（1）可得，b a =，即()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=4sin 2cos sin )(πx a x x a x f ……8分故x a x a x a x f x g cos 22sin 244sin 24)(=⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫⎝⎛-=ππππ所以x a x g cos 2)(=（R ∈x ）…………10分对于任意的R ∈x ，x a x a x g cos 2)cos(2)(=-=-（0≠a ）……12分即)()(x g x g =-，所以)(x g 是偶函数.…………14分19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分【解】（1）v x 50=，204≤≤v ，得22510≤≤x ……2分 ω300=y ，10030≤≤ω，得103≤≤y ……4分()()y x P -+-+=853100⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=ω30085053100v所以ω300150123--=v P （其中204≤≤v ，10030≤≤ω）……6分（2）()()y x P -+-+=853100)3(123y x +-=其中⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤≤≤≤+≤10322510149y x y x ，……9分x令目标函数y x k +=3, 可行域的端点分别为()3,11，)10,4(，⎪⎭⎫ ⎝⎛10,25，⎪⎭⎫⎝⎛213,25，()3,6 …12分则当3,11==y x 时，36333max =+=k 所以8736123min =-=P （元）,此时115050==x v ，1003300==ω答：当3,11==y x 时，所需要的费用最少，为87元。

上海市普陀区高三数学下学期质量调研试题

2015学年第二学期普陀区高三数学质量调研卷2016.4 考生注意:1. 答卷前,考生务必在答题纸上将姓名、考试号填写清楚，并在规定的区域贴上条形码.2. 本试卷共有23题，满分150分，考试时间120分钟.3. 本试卷另附答题纸，每道题的解答必须写在答题纸相应位置，本卷上的任何解答都不作评分依据. 一填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题及纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1. 若集合{}R x x y x A ∈-==,1|，{}R x x x B ∈≤=,1|||，则=B A .2. 若函数xx f 11)(+=()0>x 的反函数为)(1x f -，则不等式2)(1>-x f 的解集为 . 3.【理科】若53sin =α且α是第二象限角，则=⎪⎭⎫⎝⎛-42cot πα . 【文科】【理科】若53sin =α且α是第二象限角，则=⎪⎭⎫ ⎝⎛-4tan πα . 4. 若函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，且满足)()2(x f x f -=+，则=)2016(f . 5. 在831⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 的展开式中，其常数项的值为 .6.若函数x x f 2sin )(=，⎪⎭⎫⎝⎛+=6)(πx f x g ，则函数)(x g 的单调递增区间为 . 7.【理科】设P 是曲线⎪⎩⎪⎨⎧==θθtan sec 22y x （θ为参数）上的一动点，O 为坐标原点，M 为线段OP 的中点，则点M 的轨迹的普通方程为 .【文科】设P 是曲线1222=-y x 上的一动点，O 为坐标原点，M 为线段OP 的中点，则点M 的轨迹方程为 .8.【理科】在极坐标系中，O 为极点，若⎪⎭⎫ ⎝⎛6,1πA ，⎪⎭⎫⎝⎛32,2πB ，则△AOB 的面积为 . 【文科】不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥+≤0203y x y x x 所表示的区域的面积为 .9.【理科】袋中装有5只大小相同的球，编号分别为5,4,3,2,1，现从该袋中随机地取出3只，被取出的球中最大的号码为ξ，则=ξE .【文科】袋中装有5只大小相同的球，编号分别为5,4,3,2,1，若从该袋中随机地取出3只，则被取出的球的编号之和为奇数的概率是（结果用最简分数表示）.10．若函数x x f 5log )(=（0>x ），则方程1)3()1(=-++x f x f 的解=x .11.某同学用球形模具自制棒棒糖.现熬制的糖浆恰好装满一圆柱形容器（底面半径为3cm ，高为10cm ），共做了20颗完全相同的棒棒糖，则每个棒棒糖的表面积为 2cm （损耗忽略不计）. 12. 如图所示，三个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，边33C B 上有10个不同的点1021,,,P P P ，记i i AP AB M ⋅=2 （10,,2,1 =i ），则=+++1021M M M .13．设函数⎩⎨⎧>-≤+=-0),1(0,2)(x x f x a x f x ，记x x f x g -=)()(，若函数)(x g 有且仅有两个零点，则实数a 的取值范围是 .14. 已知*N n ∈，从集合{}n ,,3,2,1 中选出k （N k ∈,2≥k ）个数k j j j ,,,21 ，使之同时满足下面两个条件：①n j j j k ≤<<≤ 211； ②m j j i i ≥-+1（1,,2,1-=k i ），则称数组()k j j j ,,21为从n个元素中选出k 个元素且限距为m 的组合，其组合数记为()m k n C ,. 例如根据集合{}3,2,1可得()31,23=C .给定集合{}7,6,5,4,3,2,1，可得()=2,37C .二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15. 若a 、b 表示两条直线，α表示平面，下列命题中的真命题为（）（A ）若α⊥a ，b a ⊥，则α//b （B ）若α//a ，b a ⊥，则α⊥b （C ）若α⊥a ，α⊆b ，则b a ⊥ （D ）若α//a ，α//b ，则b a //16.过抛物线x y 82=的焦点作一条直线与抛物线相交于A 、B 两点，且这两点的横坐标之和为9，则满足条件的直线（）（A ）有且只有一条（B ）有两条（C ）有无穷多条（D ）必不存在 17.若z C ∈，则“1Im ,1Re ≤≤z z ”是“1||≤z ”成立的条件.（）（A ）充分非必要（B ）必要非充分（C ）充要（D ）既非充分又非必要18. 对于正实数α，记αM 是满足下列条件的函数)(x f 构成的集合：对于任意的实数R x x ∈21,且21x x <，都有()()121212)()(x x x f x f x x -<-<--αα成立.下列结论中正确的是（）（A ）若21)(,)(ααM x g M x f ∈∈，则21)()(αα⋅∈⋅M x g x f （B ）若21)(,)(ααM x g M x f ∈∈且0)(≠x g ，则21)()(ααM x g x f ∈ （C ）若21)(,)(ααM x g M x f ∈∈，则21)()(αα+∈+M x g x f（D ）若21)(,)(ααM x g M x f ∈∈且21αα>，则21)()(αα-∈-M x g x f三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19.（本题满分12分）【文科】在正四棱柱1111D C B A ABCD -中，底面边长为1，体积为2，E 为AB 的中点，证明：E A 1与B C 1是异面直线，并求出它们所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）.【理科】在正四棱柱1111D C B A ABCD -中，底面边长为1，B C 1与底面ABCD 所成的角的大小为2arctan ，如果平面11C BD 与底面ABCD所成的二面角是锐角，求出此二面角的大小（结果用反三角函数值）20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 【理科】已知函数x x x f cos 3sin 2)(⋅⎪⎭⎫⎝⎛+=π 【文科】已知函数)(x f x x x 2cos 3cos sin += （1）若20π≤≤x ，求函数)(x f 的值域；（2）设ABC ∆的三个内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，若A 为锐角且23)(=A f ，2=b ，3=c ，求)cos(B A -的值.1 1AA 1A21.（本题满分14分）本题共有3个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分，某企业参加A 项目生产的工人为1000人，平均每人每年创造利润10万元.根据现实的需要，从A 项目中调出x 人参与B 项目的售后服务工作，每人每年可以创造利润⎪⎭⎫⎝⎛-500310x a 万元（0>a ），A 项目余下的工人每人每年创造利润需要提高%2.0x（1）若要保证A 项目余下的工人创造的年总利润不低于原来1000名工人创造的年总利润，则最多调出多少人参加B 项目从事售后服务工作？（2）在（1）的条件下，当从A 项目调出的人数不能超过总人数的%40时，才能使得A 项目中留岗工人创造的年总利润始终不低于调出的工人所创造的年总利润，求实数a 的取值范围.22.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分. 第3小题满分6分.已知椭圆Γ：14522=+y x 的中心为O ，一个方向向量为),1(k =的直线l 与Γ只有一个公共点M （1）若1=k 且点M 在第二象限，求点M 的坐标；（2）若经过O 的直线1l 与l 垂直，求证：点M 到直线1l 的距离25-≤d ；（3）若点N 、P 在椭圆上，记直线ON 的斜率为1k ，且为直线OP 的一个法向量，且541=k k 求22OP ON +的值.23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.已知各项不为零的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11=a ，121+⋅=n n n a a S （*N n ∈）（1）求证：数列{}n a 是等差数列；（2）设数列{}n b 满足：122+-=n n a a n b ，且()3841lim 1211=+++++++∞→n n k k k k n b b b b b b ，求正整数k 的值；（3）若m 、k 均为正整数，且2≥m ，m k <，在数列{}k c 中，11=c ，11++-=k k k a mk c c ，求m c c c +++ 21.2015学年第二学期普陀区高三数学质量调研评分细则二填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题及纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1.{}1 2. ⎪⎭⎫⎝⎛231， 3.【理科】2 【文科】7- 4. 0 5. 286.⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-12,125ππππk k ，z k ∈7.14822=-y x .8.【理科】1.【文科】16 9.【理科】29【文科】5210．4. 11.π9. 12. 180 13． 2->a 14. 10二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19.（本题满分12分）【文科】【解】根据已知条件,C C 1为正四棱柱1111D C B A ABCD -的高底面四边形11ABB A 是正方形，且面积为1, 故由sh V =2=，可得21=C C .……2分假设E A 1与B C 1不是异面直线，则它们在同一平面内由于点1A 、E 、B 在平面11ABB A 内，则点1C 也在平面11ABB A 内，这是不可能的，故E A 1与B C 1是异面直线.…………5分取11B A 的中点为E ，连接BE ,1EC ,所以E A BE 1//,1EBC ∠或其补角，即为异面直线E A 1与B C 1所成的角.……7分在1BEC ∆，51=BC ,217=BE ,251=EC ,……9分由余弦定理得，8585821752454175cos 1=⨯-+=∠EBC 0>,即85858arccos 1=∠EBC ，…11分1 1A所以异面直线E A 1与B C 1所成的角的大小为85858arccos.……12分【理科】【解】根据题意，可得⊥C C 1底面ABCD ，所以BC 是B C 1在平面ABCD 上的射影，故BC C 1∠即为直线B C 1与底面ABCD 所成的角，即BC C 1∠=2arctan .……2分在BC C RT 1∆中，2tan 11=∠⋅=BC B BC C C ……3分以D 为坐标原点，以射线1,,DD DC DA 所在的直线分别为z y x ,,轴，建立空间直角坐标系，如图所示：由于D D 1⊥平面ABCD ，故1DD 是平面的一个法向量，且1DD ()2,0,0=……5分()0,1,1B ,()1,0,01D ,()2,1,01C ,故()2,1,11--=,()2,0,11-=……7分设()z y x ,,=是平面11C BD 的一个法向量,所以⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0011BC n BD ,即⎩⎨⎧=-=-+0202z x z y x ,不妨取1=z ,则⎩⎨⎧==02y x ,即()1,0,2=……9分设平面11C BD 与底面ABCD 所成的二面角为θ,则5552120002cos =⨯⨯+⨯+⨯==θ, 即55arccos=θ……11分所以平面11C BD 与底面ABCD 所成的二面角大小为55arccos.……12分20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 20.【解】（1）()x x x x f cos cos 3sin )(+=x x x 2cos 3cos sin +=232cos 232sin 21++=x x 2332sin +⎪⎭⎫ ⎝⎛+=πx …………2分A1A由20π≤≤x 得，34323πππ≤+≤x ，132sin 23≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤-πx …………4分 2312332sin 0+≤+⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤πx ，所以函数)(x f 的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+231,0………6分（2）由232332sin )(=+⎪⎭⎫⎝⎛+=πA A f 得，032sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛+πA 又由20π<<A 得，34323πππ<+<A ，只有ππ=+32A ，故3π=A .…………8分在ABC ∆中，由余弦定理得，A bc c b a cos 2222-+=73cos 32294=⨯⨯⨯-+=π,故7=a …………10分由正弦定理得，B b A a sin sin =，所以721sin sin ==a A b B 由于a b <，所以772cos =B …………12分 ()B A B A B A sin sin cos cos cos +=-14757212377221=⨯+⨯=……14分21.（本题满分14分）本题共有3个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分，【解】（1）根据题意可得，()()≥⨯+-%2.010101000x x 101000⨯……3分展开并整理得，05002≤-x x ……5分解得5000≤≤x ，最多调出的人数为500人……6分（2）⎩⎨⎧⨯≤≤≤%4010005000x x ，解得4000≤≤x ……7分()()%2.010101000500310x x x x a ⨯+⋅-≤⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-，对于任意的[]400,0∈x 恒成立……9分即%210201010005031022x x x x ax --+⨯≤- 即10002502++≤x x ax 对于任意的[]400,0∈x 恒成立……10分当0=x 时，不等式显然成立；当4000≤<x 时，1250000250111000250+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++≤x x x x a ……11分令函数xx x f 250000)(+=，可知函数)(x f 在区间[]400,0上是单调递减函数……12分故()1025400)(min ==f x f ，故1.511000250≥++xx ……13分故1.50≤<a ，所以实数a 的取值范围是1.50≤<a ……14分22.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分. 第3小题满分6分. 【解】（1）设直线l ：m x y +=，根据题意可得：……1分⎪⎩⎪⎨⎧=++=14522y x mx y ，消去y 并整理得()04510922=-++m bx x ……①…………2分 ()()045941022=-⨯⨯-=∆b b ，解得92=m ，因为M 在第二象限，故3=m ，……3分代入①得0253092=++x x ，解得35-=x ，进而34=y ，故⎪⎭⎫⎝⎛-34,35M .……4分（2）根据题意可得，直线1l ：0=+ky x ……5分设直线l ：m kx y +=（0≠m ），则⎪⎩⎪⎨⎧=++=14522y x mkx y ……5分消去y 得()()0451054222=-+++m kmx xk……6分()()()0454*******=-⋅+-=∆m k km ，解得04522=+-m k ，即4522+=k m ……7分且4552+-=k km x ，4542+=k m y ，故⎪⎭⎫ ⎝⎛++-454,45522k m k kmM ……8分点M 到直线1l 的距离222221451454455kk km kk kmk km d ++=++++-=()()22541k k k++=① 当0=k 时，0=d ；……9分 ② 当0≠k 时，=d 25945122-≤++kk ，当且仅当454±=k 时等号成立. 综上①②可得，点M 到直线1l 距离25-≤d .……10分（3）根据条件可得直线OP 的斜率kk 12-=，……11分由于541=k k ，则直线ON 的斜率的k k 541=……12分于是直线ON 的方程为kx y 54=，由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+kxy y x 5414522，可得224525k x +=……13分设点),(11y x P ，则222122121245162525161k kx k y x OP ++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=……14分同理2ON()22222245120kk y x ++=+=……15分 22ONOP +=22451625k k +++()2245120k k ++945364522=++=k k ……16分23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分. 【解】（1）当1=n 时，121211==a a S ，11=a ，故22=a ；……1分当2≥n 时，=-=-1n n n S S a -⋅+121n n a a n n a a ⋅-121变形得()112-+-⋅=n n n n a a a a ，由于0≠n a ，所以211=--+n n a a ……2分所以1212-=-n a n ，n a n 22=，*N n ∈，于是n a n =，*N n ∈.……3分由于11=-+n n a a ，所以数列{}n a 是以1首项，1为公差的等差数列.…………4分（2）由（1）得n a n =，所以122+-=n n a a n b nn n ⎪⎭⎫⎝⎛⋅==+-21412)1(2……5分 52121++⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅n n n b b ，且128121=b b ，当2≥n 时，4111=-+n n n n b b b b …………7分故数列{}1+n n b b 是以1281为首项，41为公比的等比数列.……8分于是()=+++++++∞→1211lim n n k k k k n b b b b b b =-+4111k k b b 3841，即912-+=⋅k k b b ……9分k kk k b b 251241321--+=⎪⎭⎫⎝⎛=⋅，故92522---=k ，解得2=k .…………10分（3）则由（1）得k a k =，11++-=k k k a m k c c 1+-=k m k ，12211c cc c c c c k k k k k ⋅⋅⋅=--- ……12分 ()()kmk k k C mk k k m k m c 1112)1()2)(1(111⋅-=⋅⋅-⋅+-+-⋅-=-- …………14分 m c c c +++ 21()[]m m m m m m C C C C m 132111--+-+-=…………16分 ()()[]m C C C C m m m m m m m 1111210=-+-+--= 故m c c c +++ 21m1=.……18分。

上海市普陀区高三数学下学期质量调研试题

2015学年第二学期普陀区高三数学质量调研卷2016.4 考生注意:1. 答卷前,考生务必在答题纸上将姓名、考试号填写清楚，并在规定的区域贴上条形码.2. 本试卷共有23题，满分150分，考试时间120分钟.3. 本试卷另附答题纸，每道题的解答必须写在答题纸相应位置，本卷上的任何解答都不作评分依据. 一填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题及纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1. 若集合{}R x x y x A ∈-==,1|，{}R x x x B ∈≤=,1|||，则=B A I .2. 若函数xx f 11)(+=()0>x 的反函数为)(1x f -，则不等式2)(1>-x f 的解集为 . 3.【理科】若53sin =α且α是第二象限角，则=⎪⎭⎫⎝⎛-42cot πα . 【文科】【理科】若53sin =α且α是第二象限角，则=⎪⎭⎫ ⎝⎛-4tan πα .4. 若函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，且满足)()2(x f x f -=+，则=)2016(f .5. 在831⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 的展开式中，其常数项的值为 .6.若函数x x f 2sin )(=，⎪⎭⎫⎝⎛+=6)(πx f x g ，则函数)(x g 的单调递增区间为 . 7.【理科】设P 是曲线⎪⎩⎪⎨⎧==θθtan sec 22y x （θ为参数）上的一动点，O 为坐标原点，M 为线段OP 的中点，则点M 的轨迹的普通方程为 .【文科】设P 是曲线1222=-y x 上的一动点，O 为坐标原点，M 为线段OP 的中点，则点M 的轨迹方程为 .8.【理科】在极坐标系中，O 为极点，若⎪⎭⎫ ⎝⎛6,1πA ，⎪⎭⎫⎝⎛32,2πB ，则△AOB 的面积为 . 【文科】不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥+≤0203y x y x x 所表示的区域的面积为 .9.【理科】袋中装有5只大小相同的球，编号分别为5,4,3,2,1，现从该袋中随机地取出3只，被取出的球中最大的号码为ξ，则=ξE .【文科】袋中装有5只大小相同的球，编号分别为5,4,3,2,1，若从该袋中随机地取出3只，则被取出的球的编号之和为奇数的概率是（结果用最简分数表示）.10．若函数x x f 5log )(=（0>x ），则方程1)3()1(=-++x f x f 的解=x .11.某同学用球形模具自制棒棒糖.现熬制的糖浆恰好装满一圆柱形容器（底面半径为3cm ，高为10cm ），共做了20颗完全相同的棒棒糖，则每个棒棒糖的表面积为 2cm （损耗忽略不计）. 12. 如图所示，三个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，边33C B 上有10个不同的点1021,,,P P P Λ，记i i AP AB M ⋅=2 （10,,2,1Λ=i ），则=+++1021M M M Λ .13．设函数⎩⎨⎧>-≤+=-0),1(0,2)(x x f x a x f x ，记x x f x g -=)()(，若函数)(x g 有且仅有两个零点，则实数a 的取值范围是 .14. 已知*N n ∈，从集合{}n ,,3,2,1Λ中选出k （N k ∈,2≥k ）个数k j j j ,,,21Λ，使之同时满足下面两个条件：①n j j j k ≤<<≤Λ211； ②m j j i i ≥-+1（1,,2,1-=k i Λ），则称数组()k j j j Λ,,21为从n 个元素中选出k 个元素且限距为m 的组合，其组合数记为()m k nC ,. 例如根据集合{}3,2,1可得()31,23=C .给定集合{}7,6,5,4,3,2,1，可得()=2,37C .二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15. 若a 、b 表示两条直线，α表示平面，下列命题中的真命题为（）（A ）若α⊥a ，b a ⊥，则α//b （B ）若α//a ，b a ⊥，则α⊥b （C ）若α⊥a ，α⊆b ，则b a ⊥ （D ）若α//a ，α//b ，则b a //16.过抛物线x y 82=的焦点作一条直线与抛物线相交于A 、B 两点，且这两点的横坐标之和为9，则满足条件的直线（）（A ）有且只有一条（B ）有两条（C ）有无穷多条（D ）必不存在 17.若z C ∈，则“1Im ,1Re ≤≤z z ”是“1||≤z ”成立的条件.（）（A ）充分非必要（B ）必要非充分（C ）充要（D ）既非充分又非必要18. 对于正实数α，记αM 是满足下列条件的函数)(x f 构成的集合：对于任意的实数R x x ∈21,且21x x <，都有()()121212)()(x x x f x f x x -<-<--αα成立.下列结论中正确的是（）（A ）若21)(,)(ααM x g M x f ∈∈，则21)()(αα⋅∈⋅M x g x f （B ）若21)(,)(ααM x g M x f ∈∈且0)(≠x g ，则21)()(ααM x g x f ∈ （C ）若21)(,)(ααM x g M x f ∈∈，则21)()(αα+∈+M x g x f（D ）若21)(,)(ααM x g M x f ∈∈且21αα>，则21)()(αα-∈-M x g x f三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19.（本题满分12分）【文科】在正四棱柱1111D C B A ABCD -中，底面边长为1，体积为2，E 为AB 的中点，证明：E A 1与B C 1是异面直线，并求出它们所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）.【理科】在正四棱柱1111D C B A ABCD -中，底面边长为1，B C 1与底面ABCD 所成的角的大小为2arctan ，如果平面11C BD 与底面ABCD所成的二面角是锐角，求出此二面角的大小（结果用反三角函数值）20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 【理科】已知函数x x x f cos 3sin 2)(⋅⎪⎭⎫⎝⎛+=π 【文科】已知函数)(x f x x x 2cos 3cos sin += （1）若20π≤≤x ，求函数)(x f 的值域；（2）设ABC ∆的三个内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，若A 为锐角且23)(=A f ，2=b ，3=c ，求)cos(B A -的值.BCD E 1B1C A1D A BC1B1C 1A 1DD21.（本题满分14分）本题共有3个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分，某企业参加A 项目生产的工人为1000人，平均每人每年创造利润10万元.根据现实的需要，从A 项目中调出x 人参与B 项目的售后服务工作，每人每年可以创造利润⎪⎭⎫⎝⎛-500310x a 万元（0>a ），A 项目余下的工人每人每年创造利润需要提高%2.0x（1）若要保证A 项目余下的工人创造的年总利润不低于原来1000名工人创造的年总利润，则最多调出多少人参加B 项目从事售后服务工作？（2）在（1）的条件下，当从A 项目调出的人数不能超过总人数的%40时，才能使得A 项目中留岗工人创造的年总利润始终不低于调出的工人所创造的年总利润，求实数a 的取值范围.22.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分. 第3小题满分6分.已知椭圆Γ：14522=+y x 的中心为O ，一个方向向量为),1(k d =的直线l 与Γ只有一个公共点M （1）若1=k 且点M 在第二象限，求点M 的坐标；（2）若经过O 的直线1l 与l 垂直，求证：点M 到直线1l 的距离25-≤d ；（3）若点N 、P 在椭圆上，记直线ON 的斜率为1k ，且为直线OP 的一个法向量，且541=k k 求22OP ON +的值.23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.已知各项不为零的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11=a ，121+⋅=n n n a a S （*N n ∈）（1）求证：数列{}n a 是等差数列；（2）设数列{}n b 满足：122+-=n n a a n b ，且()3841lim 1211=+++++++∞→n n k k k k n b b b b b b Λ，求正整数k 的值；（3）若m 、k 均为正整数，且2≥m ，m k <，在数列{}k c 中，11=c ，11++-=k k k a mk c c ，求m c c c +++Λ21.2015学年第二学期普陀区高三数学质量调研评分细则二填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题及纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1.{}1 2. ⎪⎭⎫ ⎝⎛231， 3.【理科】2 【文科】7- 4. 0 5. 286.⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-12,125ππππk k ，z k ∈7.14822=-y x .8.【理科】1.【文科】16 9.【理科】29【文科】5210．4. 11.π9. 12. 180 13． 2->a 14. 10二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.题号 15 16 17 18 答案CBBC三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19.（本题满分12分）【文科】【解】根据已知条件,C C 1为正四棱柱1111D C B A ABCD -的高底面四边形11ABB A 是正方形，且面积为1, 故由sh V =2=，可得21=C C .……2分假设E A 1与B C 1不是异面直线，则它们在同一平面内由于点1A 、E 、B 在平面11ABB A 内，则点1C 也在平面11ABB A 内，这是不可能的，故E A 1与B C 1是异面直线.…………5分取11B A 的中点为E ，连接BE ,1EC ,所以E A BE 1//,1EBC ∠或其补角，即为异面直线E A 1与B C 1所成的角.……7分在1BEC ∆，51=BC ,217=BE ,251=EC ,……9分由余弦定理得，8585821752454175cos 1=⨯-+=∠EBC 0>,即85858arccos 1=∠EBC ，…11分BCD E1B1C A1D所以异面直线E A 1与B C 1所成的角的大小为85858arccos.……12分【理科】【解】根据题意，可得⊥C C 1底面ABCD ，所以BC 是B C 1在平面ABCD 上的射影，故BC C 1∠即为直线B C 1与底面ABCD 所成的角，即BC C 1∠=2arctan .……2分在BC C RT 1∆中，2tan 11=∠⋅=BC B BC C C ……3分以D 为坐标原点，以射线1,,DD DC DA 所在的直线分别为z y x ,,轴，建立空间直角坐标系，如图所示：由于D D 1⊥平面ABCD ，故1DD 是平面的一个法向量，且1DD ()2,0,0=……5分()0,1,1B ,()1,0,01D ,()2,1,01C ,故()2,1,11--=BD ,()2,0,11-=BC ……7分设()z y x n ,,=是平面11C BD 的一个法向量,所以⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0011BC n BD ,即⎩⎨⎧=-=-+0202z x z y x ,不妨取1=z ,则⎩⎨⎧==02y x ,即()1,0,2=……9分设平面11C BD 与底面ABCD 所成的二面角为θ,则5552120002cos =⨯⨯+⨯+⨯==θ, 即55arccos=θ……11分所以平面11C BD 与底面ABCD 所成的二面角大小为55arccos.……12分20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 20.【解】（1）()x x x x f cos cos 3sin )(+=x x x 2cos 3cos sin +=232cos 232sin 21++=x x 2332sin +⎪⎭⎫ ⎝⎛+=πx …………2分A1A由20π≤≤x 得，34323πππ≤+≤x ，132sin 23≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤-πx …………4分 2312332sin 0+≤+⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤πx ，所以函数)(x f 的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+231,0………6分（2）由232332sin )(=+⎪⎭⎫⎝⎛+=πA A f 得，032sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛+πA 又由20π<<A 得，34323πππ<+<A ，只有ππ=+32A ，故3π=A .…………8分在ABC ∆中，由余弦定理得，A bc c b a cos 2222-+=73cos 32294=⨯⨯⨯-+=π,故7=a …………10分由正弦定理得，BbA a sin sin =，所以721sin sin ==a A b B 由于a b <，所以772cos =B …………12分 ()B A B A B A sin sin cos cos cos +=-14757212377221=⨯+⨯=……14分21.（本题满分14分）本题共有3个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分，【解】（1）根据题意可得，()()≥⨯+-%2.010101000x x 101000⨯……3分展开并整理得，05002≤-x x ……5分解得5000≤≤x ，最多调出的人数为500人……6分（2）⎩⎨⎧⨯≤≤≤%4010005000x x ，解得4000≤≤x ……7分()()%2.010101000500310x x x x a ⨯+⋅-≤⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-，对于任意的[]400,0∈x 恒成立……9分即%210201010005031022x x x x ax --+⨯≤- 即10002502++≤x x ax 对于任意的[]400,0∈x 恒成立……10分当0=x 时，不等式显然成立；当4000≤<x 时，1250000250111000250+⎪⎭⎫⎝⎛+=++≤x x x x a ……11分令函数xx x f 250000)(+=，可知函数)(x f 在区间[]400,0上是单调递减函数……12分故()1025400)(min ==f x f ，故1.511000250≥++xx ……13分故1.50≤<a ，所以实数a 的取值范围是1.50≤<a ……14分22.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分. 第3小题满分6分. 【解】（1）设直线l ：m x y +=，根据题意可得：……1分⎪⎩⎪⎨⎧=++=14522y x mx y ，消去y 并整理得()04510922=-++m bx x ……①…………2分 ()()045941022=-⨯⨯-=∆b b ，解得92=m ，因为M 在第二象限，故3=m ，……3分代入①得0253092=++x x ，解得35-=x ，进而34=y ，故⎪⎭⎫⎝⎛-34,35M .……4分（2）根据题意可得，直线1l ：0=+ky x ……5分设直线l ：m kx y +=（0≠m ），则⎪⎩⎪⎨⎧=++=14522y x mkx y ……5分消去y 得()()0451054222=-+++m kmx xk……6分()()()0454*******=-⋅+-=∆m k km ，解得04522=+-m k ，即4522+=k m ……7分且4552+-=k km x ，4542+=k m y ，故⎪⎭⎫ ⎝⎛++-454,45522k m k km M ……8分点M 到直线1l 的距离222221451454455kk km kk km k km d ++=++++-=()()22541k k k++=① 当0=k 时，0=d ；……9分 ② 当0≠k 时，=d 25945122-≤++kk ，当且仅当454±=k 时等号成立. 综上①②可得，点M 到直线1l 距离25-≤d .……10分（3）根据条件可得直线OP 的斜率kk 12-=，……11分由于541=k k ，则直线ON 的斜率的k k 541=……12分于是直线ON 的方程为kx y 54=，由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+kxy y x 5414522，可得224525k x +=……13分设点),(11y x P ，则222122121245162525161k kx k y x OP ++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=……14分同理2ON ()22222245120kk y x ++=+=……15分 22ON OP +=22451625k k +++()2245120k k ++945364522=++=k k ……16分23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分. 【解】（1）当1=n 时，121211==a a S ，11=a ，故22=a ；……1分当2≥n 时，=-=-1n n n S S a -⋅+121n n a a n n a a ⋅-121变形得()112-+-⋅=n n n n a a a a ，由于0≠n a ，所以211=--+n n a a ……2分所以1212-=-n a n ，n a n 22=，*N n ∈，于是n a n =，*N n ∈.……3分由于11=-+n n a a ，所以数列{}n a 是以1首项，1为公差的等差数列.…………4分（2）由（1）得n a n =，所以122+-=n n a a n b nn n ⎪⎭⎫⎝⎛⋅==+-21412)1(2……5分 52121++⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅n n n b b ，且128121=b b ，当2≥n 时，4111=-+n n n n b b b b …………7分故数列{}1+n n b b 是以1281为首项，41为公比的等比数列.……8分于是()=+++++++∞→1211lim n n k k k k n b b b b b b Λ=-+4111k k b b 3841，即912-+=⋅k k b b ……9分k kk k b b 251241321--+=⎪⎭⎫⎝⎛=⋅，故92522---=k ，解得2=k .…………10分（3）则由（1）得k a k =，11++-=k k k a m k c c 1+-=k m k ，12211c cc c c c c k k k k k ⋅⋅⋅=---Λ……12分 ()()km k k k C mk k k m k m c 1112)1()2)(1(111⋅-=⋅⋅-⋅+-+-⋅-=--Λ…………14分m c c c +++Λ21()[]m mm m m m C C C C m 132111--+-+-=Λ…………16分 ()()[]m C C C C m m m m m m m 1111210=-+-+--=Λ 故m c c c +++Λ21m1=.……18分。

普陀区2016学年高三数学期中调研

普陀区2016学年高三数学期中调研一，填空题（每题4分，共48分）1.已知集合{}022>-+=x x x A ，{}x y y B 2log ==，则()______=B A C R2.若,51cos =α且α是第四象限的角，则_______2cos =⎪⎭⎫ ⎝⎛+πα 3.函数()()21212-<+=x x x f 的反函数是()x f 1-，则()____51=-f 4.在81⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 的二项展开式中，常数项是_________________5.若圆锥的侧面展开图是一个半径是cm 2的半圆，则该圆锥的体积是_________6.方程()13lg lg =-+x x 的解是_____=x7.已知k 是与n 无关的正整数，则lim∞→n _____1 (2)1112=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+-+-k n n n n kn8.若()x f 是定义在R 上的奇函数，且在()+∞,0上是增函数，又().03=-f 则()0≤x xf 的解是_______9在数列=++++=23211,.......S a a a a S n n n n n n n a a a S a a a 322123221......,........++=+++++++，关于321,,S S S 有下列四个命题（1）若数列{}n a 等差，则321,,S S S 也等差（2）若数列{}n a 等比，则321,,S S S 也等比（3）若321,,S S S 等差，则数列{}n a 也等差（4）若321,,S S S 等比，则数列{}n a 也等比其中正确命题的序号是___________10,已知集合{}R x a x x x A ∈-<-++=,213212，若φ≠R A ，则实数a 的取值范围是__________________11,已知向量c b a ,,满足b a ⊥，且{}3,2,1=b +___________ 12.设函数()()⎪⎩⎪⎨⎧>++≤-=0,1,2x a x x x a x x f ，若函数()()3-=x f x g 有且只有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是________________二，选择题（每题4分，共24分） 13，已知R b R a ∈∈,则“a>b ”是“ba 11<”成立的（） A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 即不充分也不必要条件14.已知函数()()⎪⎭⎫⎝⎛<>+=2,0sin πϕωϕωx x f 的最小正周期是π，其图像向右平移6π个单位后得到函数()()x x g ωsin =的图像，则函数()x f 的图像（） A 关于直线12π=x 对称 B 关于直线125π=x 对称 C 关于点⎪⎭⎫ ⎝⎛0,12π对称 D 关于点⎪⎭⎫⎝⎛0,125π15.对于函数()x f ，若存在常数,0≠a 使得x 取定义域内的每一个值，都有()()x a f x f -=2成立，则称函数()x f 为“准偶函数”，下列函数中是“准偶函数”的是（）A ()21x x f = B ()2x x f = C ()()1cos +=x x f D ()()x x f 2log =（注：累计里程是指汽车从出厂开始累计行驶的路程）在这段时间里，该车每行驶100千米平均油耗量是（） A 6升 B 8升 C 10升 D 12升17.设数列{}n a 的前n 项和是n S ，若{}n a 和{}n Sn+都是公差为d ()0≠d 的等差数列，则1a 的值是（） A 2 B -43 C 21- D 3418.已知正方形1111D C B A ABCD -，记过点A 且与三直线.AB AD. AA 1所成角相等的直线的条数为m,过点A 与三个平面11,,AD AC AB 所成角都相等的直线的条数是 n,则（） A ，m=1,n=1 B m=4,n=1 C m=3,n=4 D m=4,n=4三．解答题（本大题满分78分） 19.（本题满分14分）在ABC ∆中，角C B A ..对应的边分别是a,b,c 已知()1cos 32cos =+-C B A （1）求角A 的大小（2）若ABC ∆的面积5,35==b S ，求C B sin sin 的值20.（本题满分14分，7+7=14）如图，在四棱锥ABCD P -中，⊥PA 平面ABCD ,底面ABCD 是棱形，060,2=∠=BAD AB （1）求证；⊥BD 平面PAC（2）若AB PA =，求异面直线PB 与AC 所成角21.（本题16分，8+8=16）某玩具厂在一段时间内生产x 套某电子玩具产品所需要成本费用是P 元，每套电子玩具售出的价格为Q 元，期中N x xQ x x P ∈+=++=,2045,10155002。

普陀区2016学年高三数学期中调研

[推荐学习]高三数学上学期调研试卷理(含解析)

2015-2016学年上海市普陀区高三（上）调研数学试卷（理科）一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14小题，要求直接将结果填写在答题纸对应的空格中.每个空格填对得4分，填错或不填在正确的位置一律得零分.1．集合A={3，2a}，B={a，b}，若A∩B={2}，则A∪B=．2．函数f（x）=x2﹣1（x≤﹣1）的反函数f﹣1（x）= ．3．函数y=2﹣sin2ωx的最小正周期为π，则实数ω的值为．4．已知数列{a n}的前n项的和（a∈R）．则a8= ．5．若，且α是第二象限的角．则= ．6．若不等式|x﹣1|＜a成立的充分条件是0＜x＜4，则实数a的取值范围是．7．已知圆锥的侧面展开图是圆心角为、半径为6的扇形．则该圆锥的体积为．8．函数，当n=1，2，3，…时，f n（x）的零点依次记作x1，x2，x3，…，则= ．9．设f（x）=ax2+2x﹣3，g（x）=x2+（1﹣a）x﹣a，M={x|f（x）≤0}，P={x|g（x）≥0}．若M∩P=R，则实数a的取值集合为．10．不等式对一切非零实数x，y均成立，则实数a的范围为．11．如果用反证法证明“数列{a n}的各项均小于2”，有下列四种不同的假设：①数列{a n}的各项均大于2；②数列{a n}的各项均大于或等于2；③数列{a n}中存在一项a k，a k≥2；④数列{a n}中存在一项a k，a k＞2．其中正确的序号为．（填写出所有假设正确的序号）12．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，则△ABC 的最小角等于．13．如果定义在R上的函数f（x）对任意两个不等的实数x1，x2都有x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1），则称函数f（x）为“Z函数”．给出函数：①y=﹣x3+1；②y=2x；③；④．以上函数为“Z函数”的序号为．14．已知等比数列{a n}的首项为，公比为﹣，其前n项和记为S，又设B n={，，，…， }（n∈N*，n≥2），B n的所有非空子集中的最小元素的和为T，则S+2T≥2014的最小正整数为．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号涂在答题纸相应的位置上.每题选对得5分，不选、选错或选出的代号超过一个一律得零分. 15．在自然界中存在着大量的周期函数，比如声波．若两个声波随时间的变化规律分别为：，则这两个声波合成后（即y=y1+y2）的声波的振幅为（）A． B．6 C． D．316．异面直线a、b分别在平面α、β内，若α∩β=ℓ，则直线ℓ必定是（）A．分别与a、b相交B．与a、b都不相交C．至少与a、b中之一相交D．至多与a、b中之一相交17．设等差数列{a n}的前n项和为S n，在同一个坐标系中，a n=f（n）及S n=g（n）的部分图象如图所示，则（）A．当n=4时，S n取得最大值B．当n=3时，S n取得最大值C．当n=4时，S n取得最小值D．当n=3时，S n取得最大值18．已知函数f（x）=，若存在实数x1，x2，x3，x4，满足x1＜x2＜x3＜x4，且f（x1）=f（x2）=f（x3）=f（x4），则的取值范围是（）A．（0，12）B．（4，16）C．（9，21）D．（15，25）三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸规定的方框内写出必要的步骤.19．在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AC⊥BC，D、E分别为AB、AC中点．（1）求证：DE∥面BCC1B1；（2）若CB=1，，．求异面直线A1E和CD所成角的大小．20．已知函数f（x）=sinωx（A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示．P、Q分别是图象上的一个最高点和最低点，R为图象与x轴的交点，且四边形OQRP为矩形．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）将y=f（x）的图象向右平移个单位长度后，得到函数y=g（x）的图象．已知，g（α）=，求f（α）的值．21．某中学为了落实“阳光运动一小时”活动，计划在一块直角三角形ABC的空地上修建一个占地面积为S的矩形AMPN健身场地．如图，点M在AC上，点N在AB上，且P点在斜边BC上，已知∠ACB=60°且|AC|=30米，|AM|=x米，x∈[10，20]．（1）试用x表示S，并求S的取值范围；（2）若在矩形AMPN以外（阴影部分）铺上草坪．已知：矩形AMPN健身场地每平方米的造价为，草坪的每平方米的造价为（k为正常数）．设总造价T关于S的函数为T=f（S），试问：如何选取|AM|的长，才能使总造价T最低．22．已知函数f（x）=2x+b，g（x）=x2+bx+c，其中b、c∈R，设．（1）如果h（x）为奇函数，求实数b、c满足的条件；（2）在（1）的条件下，若函数h（x）在区间[2，+∞）上为增函数，求c的取值范围；（3）若对任意的x∈R恒有f（x）≤g（x）成立．证明：当x≥0时，g（x）≤（x+c）2成立．23．定义：对于数列{x n}，如果存在常数p，使对任意正整数n，总有（x n+1﹣p）（x n﹣p）＜0成立，那么我们称数列{x n}为“p﹣摆动数列”．（1）设a n=2n﹣1，（﹣1＜q＜0），n∈N*，判断数列{a n}、{b n}是否为“p﹣摆动数列”，并说明理由；（2）已知“p﹣摆动数列”{c n}满足：，c1=1．求常数p的值；（3）设，n∈N*，且数列{d n}的前n项和为S n．求证：数列{S n}是“p ﹣摆动数列”，并求出常数p的取值范围．2015-2016学年上海市普陀区高三（上）调研数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14小题，要求直接将结果填写在答题纸对应的空格中.每个空格填对得4分，填错或不填在正确的位置一律得零分.1．集合A={3，2a}，B={a，b}，若A∩B={2}，则A∪B={1，2，3} ．【考点】并集及其运算；交集及其运算．【分析】根据题意，若A∩B={2}，则2∈A，则可得2a=2，可得a的值，进而可得b的值，再由并集的意义，可得答案．【解答】解：根据题意，若A∩B={2}，则2∈A，2∈B，而已知A={3，2a}，则必有2a=2，故a=1，又由2∈B，且a=1则b=2，故A∪B={1，2，3}，故答案为{1，2，3}．【点评】本题综合考查并集、交集的意义与运算，要求学生有一定的逻辑分析能力．2．函数f（x）=x2﹣1（x≤﹣1）的反函数f﹣1（x）= ．【考点】反函数．【专题】方程思想；数学模型法；函数的性质及应用．【分析】由函数y=x2﹣1（x≤﹣1），可得x=，（y≥0）．即可得出反函数．【解答】解：由函数y=x2﹣1（x≤﹣1），可得x=，（y≥0）．∴函数f（x）的反函数f﹣1（x）=﹣（x≥0）．故答案为：﹣（x≥0）．【点评】本题考查了反函数的求法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．函数y=2﹣sin2ωx的最小正周期为π，则实数ω的值为±1．【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．【专题】计算题；函数思想；三角函数的求值．【分析】利用二倍角的余弦函数，化简求解函数的周期即可．【解答】解：函数y=2﹣sin2ωx=2﹣=cos2ωx+，函数y=2﹣sin2ωx的最小正周期为π，可得：，解得实数ω=±1．故答案为：±1．【点评】本题考查二倍角公式的应用，函数的周期的求法，考查计算能力．4．已知数列{a n}的前n项的和（a∈R）．则a8= 128 ．【考点】数列的函数特性．【专题】方程思想；数学模型法；等差数列与等比数列．【分析】由（a∈R）．可得当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，即可得出．【解答】解：∵（a∈R）．∴当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=2n﹣a﹣（2n﹣1﹣a）=2n﹣1，∴a8=27=128．故答案为：128．【点评】本题考查了递推关系的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5．若，且α是第二象限的角．则= ．【考点】运用诱导公式化简求值．【专题】计算题；转化思想；三角函数的求值．【分析】由sinα的值及α是第二象限角，利用同角三角函数间的基本关系求出cosα的值，原式利用诱导公式化简，将cosα的值代入计算即可求出值．【解答】解：∵sinα=，且α是第二象限的角，∴cosα=﹣=﹣，则原式=﹣cosα=，故答案为：【点评】此题考查了运用诱导公式化简求值，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．6．若不等式|x﹣1|＜a成立的充分条件是0＜x＜4，则实数a的取值范围是[3，+∞）．【考点】绝对值不等式的解法．【专题】计算题．【分析】先求出不等式|x﹣1|＜a的解集为集合B，再根据条件可知{x|0＜x＜4}⊂B，建立关于a的不等式组，解之从而确定 a的取值范围．【解答】解：|x﹣1|＜a⇒1﹣a＜x＜a+1由题意可知﹣≤x＜0 0＜x＜4是1﹣a＜x＜a+1成立的充分不必要条件∴解得a≥3∴实数a的取值范围是[3，+∞）故答案为：[3，+∞）【点评】本题考查充分不必要条件的应用，解题时要注意含绝对值不等式的解法和应用，属于基础题．7．已知圆锥的侧面展开图是圆心角为、半径为6的扇形．则该圆锥的体积为．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【专题】计算题；转化思想；空间位置关系与距离．【分析】首先求出底面圆的半径，再利用勾股定理求出圆锥的高，代入圆锥体积公式，可得答案．【解答】解：∵圆锥的侧面展开图是圆心角为、半径为6的扇形．，圆锥的母线l满足： =，解得：r=2，∴这个圆锥的高是：h==4．故圆锥的体积：V=πr2h=，故答案为：【点评】本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键．8．函数，当n=1，2，3，…时，f n（x）的零点依次记作x1，x2，x3，…，则= ﹣2 ．【考点】极限及其运算；函数的零点．【专题】计算题；极限思想；转化法；导数的概念及应用．【分析】先求出函数的零点，x n=﹣﹣1，再求极限．【解答】解：令f n（x）=0得，+（x+1）=0，解得x n=﹣﹣1，其中，=1，所以， x n=﹣﹣1=﹣1﹣1=﹣2，故填：﹣2．【点评】本题主要考查了极限及其运算，以及函数零点的求解，属于基础题．9．设f（x）=ax2+2x﹣3，g（x）=x2+（1﹣a）x﹣a，M={x|f（x）≤0}，P={x|g（x）≥0}．若M∩P=R，则实数a的取值集合为{﹣1} ．【考点】集合的包含关系判断及应用．【专题】计算题；转化思想；综合法；集合．【分析】M∩P=R，M=P=R，利用判别式，即可得出结论．【解答】解：∵M∩P=R，∴M=P=R，∴，且（1﹣a）2+4a≤0，∴a=﹣1，故答案为：{﹣1}．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．10．不等式对一切非零实数x，y均成立，则实数a的范围为[1，3] ．【考点】绝对值三角不等式．【专题】计算题．【分析】由对勾函数的性质，我们可以求出不等式左边的最小值，再由三角函数的性质，我们可以求出siny的最大值，若不等式恒成立，则|a﹣2|≤1，解这个绝对值不等式，即可得到答案．【解答】解：∵∈（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）∴||∈[2，+∞），其最小值为2又∵siny的最大值为1故不等式恒成立时，有|a﹣2|≤1解得a∈[1，3]故答案为[1，3]【点评】本题考查的知识点是绝对值三角不等式的解法，其中根据对勾函数及三角函数的性质，将不等式恒成立转化为|a﹣2|≤1，是解答本题的关键．11．如果用反证法证明“数列{a n}的各项均小于2”，有下列四种不同的假设：①数列{a n}的各项均大于2；②数列{a n}的各项均大于或等于2；③数列{a n}中存在一项a k，a k≥2；④数列{a n}中存在一项a k，a k＞2．其中正确的序号为③．（填写出所有假设正确的序号）【考点】反证法与放缩法．【专题】证明题；转化思想；综合法；推理和证明．【分析】由于用反证法证明命题时，应先假设命题的否定成立，而“数列{a n}的各项均小于2”的否定为：“数列{a n}中存在一项a k，a k≥2”，由此得出选项．【解答】解：用反证法证明命题时，应先假设命题的否定成立，“数列{a n}的各项均小于2”的否定为：“数列{a n}中存在一项a k，a k≥2”，故答案为：③．【点评】本题主要考查用命题的否定，反证法证明数学命题的方法和步骤，把要证的结论进行否定，得到要证的结论的反面，是解题的突破口．12．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，则△ABC的最小角等于．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】方程思想；转化思想；平面向量及应用．【分析】，化为（20a﹣15b）+（12c﹣20a）=，根据，不共线，可得20a﹣15b=12c﹣20a=0，再利用余弦定理即可得出．【解答】解：∵，∴20a+15b+12c=0，化为（20a﹣15b）+（12c﹣20a）=，∵，不共线，∴20a﹣15b=12c﹣20a=0，化为b=a，c=a．∴边a最小，因此角A最小，由余弦定理可得：cosA===．∴A=arccos．故答案为：arccos．【点评】本题考查了向量三角形法则、向量共线共面定理、余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13．如果定义在R上的函数f（x）对任意两个不等的实数x1，x2都有x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1），则称函数f（x）为“Z函数”．给出函数：①y=﹣x3+1；②y=2x；③；④．以上函数为“Z函数”的序号为②④，．【考点】函数与方程的综合运用；函数的值．【专题】计算题；新定义；函数思想；转化思想；函数的性质及应用．【分析】利用已知条件推出函数的单调性，然后判断即可．【解答】解：定义在R上的函数f（x）对任意两个不等的实数x1，x2都有x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f （x2）+x2f（x1），可得：x1[f（x1）﹣f（x2）]＞x2[f（x1）﹣f（x2）]，即（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0，∴函数f（x）为“Z函数”．就是增函数．①y=﹣x3+1；是减函数，不是“Z函数”．②y=2x；是增函数，是“Z函数”．③；表示增函数，不是“Z函数”．④．函数是增函数，是“Z函数”．故答案为：②④．【点评】本题考查函数的新定义，函数的单调性的应用，考查分析问题解决问题的能力，转化思想的应用．14．已知等比数列{a n}的首项为，公比为﹣，其前n项和记为S，又设B n={，，，…， }（n∈N*，n≥2），B n的所有非空子集中的最小元素的和为T，则S+2T≥2014的最小正整数为45 ．【考点】等比数列的性质．【专题】综合题；等差数列与等比数列．【分析】求出等比数列{a n}的前n项和S，B n的所有非空子集中的最小元素的和为T，利用S+2T≥2014，即可求出最小正整数．【解答】解：∵等比数列{a n }的首项为，公比为﹣，其前n 项和记为S ，∴S=1﹣，当n=2时，B n 的所有非空子集为：{， }，{}，{}，∴S==；当n=3时，∴S=×4+×1+×2=4；当n≥4时，当最小值为时，每个元素都有或无两种情况，共有n ﹣1个元素，共有2n ﹣1﹣1个非空子集，S 1=；当最小值为，不含，含，共n ﹣2个元素，有2n ﹣2﹣1个非空子集，，…∴T=S 1+S 2+S 3+…+S n =++…++2++=∵S+2T≥2014，∴1﹣+n 2﹣1≥2014∴n≥45．故答案为：45．【点评】本题考查数列的前n 项和的求法，是中档题，解题时要熟练掌握集合的子集的概念，注意分类讨论思想的灵活运用．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号涂在答题纸相应的位置上.每题选对得5分，不选、选错或选出的代号超过一个一律得零分. 15．在自然界中存在着大量的周期函数，比如声波．若两个声波随时间的变化规律分别为：，则这两个声波合成后（即y=y 1+y 2）的声波的振幅为（）A ．B ．6C ．D ．3【考点】y=Asin （ωx+φ）中参数的物理意义．【专题】整体思想；定义法；三角函数的图像与性质．【分析】根据三角函数的辅助角公式，结合两角和差的正弦公式将函数进行化简即可得到结论．【解答】解：∵，∴y=y1+y2=3sin（100πt）+3cos（100πt+）=3sin（100πt）+3cos100πtcos﹣3sin（100πt）sin=3sin（100πt）+cos100πt﹣sin（100πt）=sin（100πt）+cos100πt=3sin（100πt+），则函数的振幅为3，故选：D．【点评】本题主要考查三角函数的化简，利用辅助角公式是解决本题的关键．16．异面直线a、b分别在平面α、β内，若α∩β=ℓ，则直线ℓ必定是（）A．分别与a、b相交B．与a、b都不相交C．至少与a、b中之一相交D．至多与a、b中之一相交【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】证明题．【分析】由题意直线ℓ与a、b可都相交，也可只与一条相交，故A、B、D错误；但直线ℓ不会与两条都不相交，可由反证法进行证明．【解答】解：由题意直线ℓ与a、b可都相交，也可只与一条相交，故A、B、错误；但直线ℓ不会与两条都不相交，若l与a、b都不相交，因为l与a都在α内，所以l∥a，同理l∥b，所以a∥b，这与a、b异面直线矛盾，故直线ℓ至少与a、b中之一相交．C正确．故选C【点评】本题考查直线与直线、直线与平面的位置关系，考查推理能力和空间想象能力．17．设等差数列{a n}的前n项和为S n，在同一个坐标系中，a n=f（n）及S n=g（n）的部分图象如图所示，则（）A．当n=4时，S n取得最大值B．当n=3时，S n取得最大值C．当n=4时，S n取得最小值D．当n=3时，S n取得最大值【考点】数列的函数特性．【专题】等差数列与等比数列．【分析】由图象可知可能：①a7=0.7，S7=﹣0.8，a8=﹣0.4．②a7=0.7，S7=﹣0.8，S8=﹣0.4．③a7=﹣0.8，S7=0.7，a8=﹣0.4．④a7=﹣0.8，S7=0.7，S8=﹣0.4．分别利用等差数列的通项公式及其前n 项和公式即可判断出．【解答】解：由图象可知可能：①a7=0.7，S7=﹣0.8，a8=﹣0.4，由a7=0.7，a8=﹣0.4，可得d=﹣1.1，a1=7.3．∴S7=＞0，与S7=﹣0.8，矛盾，舍去．②a7=0.7，S7=﹣0.8，S8=﹣0.4．由S7=﹣0.8，S8=﹣0.4，可得a8=0.4，∴ =﹣0.4，解得a1=﹣0.5，∴a8=﹣0.5+7d，解得d=≠0.4﹣0.7=﹣0.3，矛盾，舍去．③a7=﹣0.8，S7=0.7，a8=﹣0.4．由a7=﹣0.8，S7=0.7，可得=0.7，解得a1=1，∴﹣0.8=1+6d，解得d=﹣0.3，而﹣0.4﹣（﹣0.8）=0.4，矛盾，舍去．④a7=﹣0.8，S7=0.7，S8=﹣0.4．由a7=﹣0.8，S7=0.7，可得，解得a1=1．∴﹣0.8=1+6d，解得d=﹣0.3，∴a8=﹣0.8﹣0.3=﹣1.1，∴S8=0.7﹣1.1=﹣0.4，满足条件．∴a n=a1+（n﹣1）d=1﹣0.3（n﹣1）=1.3﹣0.3n≥0，解得=4+，因此当n=4时，S n取得最大值．故选：A．【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式，考查了数形结合的思想方法、分类讨论的方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．18．已知函数f（x）=，若存在实数x1，x2，x3，x4，满足x1＜x2＜x3＜x4，且f（x1）=f（x2）=f（x3）=f（x4），则的取值范围是（）A．（0，12）B．（4，16）C．（9，21）D．（15，25）【考点】分段函数的应用．【专题】计算题；数形结合；函数的性质及应用．【分析】画出函数f（x）的图象，确定x1x2=1，x3+x4=12，2＜x3＜4，8＜x4＜10，由此可得的取值范围．【解答】解：函数的图象如图所示，∵f（x1）=f（x2），∴﹣log2x1=log2x2，∴log2x1x2=0，∴x1x2=1，∵f（x3）=f（x4），∴x3+x4=12，2＜x3＜x4＜10∴=x3x4﹣2（x3+x4）+4=x3x4﹣20，∵2＜x3＜4，8＜x4＜10∴的取值范围是（0，12）．故选：A．【点评】本小题主要考查分段函数的解析式求法及其图象的作法、函数的值域的应用、函数与方程的综合运用等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于中档题．三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸规定的方框内写出必要的步骤.19．在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AC⊥BC，D、E分别为AB、AC中点．（1）求证：DE∥面BCC1B1；（2）若CB=1，，．求异面直线A1E和CD所成角的大小．【考点】异面直线及其所成的角；直线与平面平行的判定．【专题】证明题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离；空间角．【分析】（1）由三角形中位线定理得DE∥BC，由此能证明DE∥面BCC1B1．（2）取AD的中点F，连EF，A1F，则EF∥CD，∠A1EF为异面直线A1E和CD所成角（或其补角），由此能求出∠A1EF为异面直线A1E和CD所成角．【解答】（1）证明：∵D、E分别为AB、AC中点，∴DE∥BC，…∵BC⊆面BCC1B1…DE⊄面BCC1B1…∴DE∥面BCC1B1…（2）解：取AD的中点F，连EF，A1F，∵EF∥CD，∴∠A1EF为异面直线A1E和CD所成角（或其补角）…在△A1EF中，，，，∴…∴∠A1EF为异面直线A1E和CD所成角为…【点评】本题考查线面平行的证明，考查异面直线所成角的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．20．已知函数f（x）=sinωx（A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示．P、Q分别是图象上的一个最高点和最低点，R为图象与x轴的交点，且四边形OQRP为矩形．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）将y=f（x）的图象向右平移个单位长度后，得到函数y=g（x）的图象．已知，g（α）=，求f（α）的值．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】计算题；三角函数的图像与性质．【分析】（Ⅰ）设函数f（x）的最小正周期为T，则P（，）、Q （，），由四边形为矩形得=T2﹣3=0，故T=4，ω=，即可得f（x）=sin x．（Ⅱ）y=g（x）=f（x﹣）=sin（x﹣）可得sin（α﹣）=，又，可求得cos（α﹣）=﹣，从而可求f（α）的值．【解答】解：（Ⅰ）设函数f（x）的最小正周期为T，则P（，）、Q （，），∵四边形OQRP为矩形．∴OP⊥OQ，∴ =T2﹣3=0，∴T=4．∴ω===，∴f（x）=sin x．（Ⅱ）y=g（x）=f（x﹣）=sin（x﹣），∵g（α）=sin（α﹣）=，∴sin（α﹣）=．又，∴α﹣∈（，π），∴cos（α﹣）=﹣．∴f（α）=sinα=sin[（α﹣）+]= [sin（α﹣）cos+cos（α﹣）sin]= []=．【点评】本题主要考察了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，属于基本知识的考查．21．某中学为了落实“阳光运动一小时”活动，计划在一块直角三角形ABC的空地上修建一个占地面积为S的矩形AMPN健身场地．如图，点M在AC上，点N在AB上，且P点在斜边BC上，已知∠ACB=60°且|AC|=30米，|AM|=x米，x∈[10，20]．（1）试用x表示S，并求S的取值范围；（2）若在矩形AMPN以外（阴影部分）铺上草坪．已知：矩形AMPN健身场地每平方米的造价为，草坪的每平方米的造价为（k为正常数）．设总造价T关于S的函数为T=f（S），试问：如何选取|AM|的长，才能使总造价T最低．【考点】不等式的实际应用．【专题】应用题；函数思想；综合法；函数的性质及应用；不等式．【分析】（1）根据题意，分析可得，欲求健身场地占地面积，只须求出图中矩形的面积即可，再结合矩形的面积计算公式求出它们的面积即得，最后再根据二次函数的性质得出其范围；（2）对于（1）所列不等式，考虑到其中两项之积为定值，可利用基本不等式求它的最大值，从而解决问题．【解答】解：（1）在Rt△PMC中，显然|MC|=30﹣x，∠PCM=60°，∴，…矩形AMPN的面积，x∈[10，20]…于是为所求．…（2）矩形AMPN健身场地造价T1=…又△ABC的面积为，即草坪造价T2=，…由总造价T=T1+T2，∴，．…∵，…当且仅当即时等号成立，…此时，解得x=12或x=18，所以选取|AM|的长为12米或18米时总造价T最低．…【点评】本小题主要考查函数模型的选择与应用、基本不等式的应用、矩形的面积等基础知识，属于中档题．22．已知函数f（x）=2x+b，g（x）=x2+bx+c，其中b、c∈R，设．（1）如果h（x）为奇函数，求实数b、c满足的条件；（2）在（1）的条件下，若函数h（x）在区间[2，+∞）上为增函数，求c的取值范围；（3）若对任意的x∈R恒有f（x）≤g（x）成立．证明：当x≥0时，g（x）≤（x+c）2成立．【考点】函数奇偶性的性质；函数单调性的判断与证明．【专题】综合题；转化思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】（1）根据函数奇偶性的定义建立方程关系进行求解即可．（2）根据好是单调性的定义和性质建立不等式关系即可得到结论．（3）根据条件求出c的取值范围，即可得到结论．【解答】解：（1），设的定义域为D，∵h（x）为奇函数，∴对于任意x∈D，h（﹣x）=﹣h（x）成立．…即：化简得：bx2﹣bc=0…因对于任意x∈D都成立，∴，即b=0，c∈R…（2）由（1）知b=0，∴…∵h（x）在[2，+∞）上为增函数，∴任取2≤x1＜x2时，恒成立．…即任取2≤x1＜x2时，1﹣＞0成立，也就是c＜x1x2成立．…∴c≤4，即c的取值范围是（﹣∞，4]．…（3）因为任意的x∈R恒有f（x）≤g（x）成立，所以对任意的x∈R，2x+b≤x2+bx+c，即x2+（b﹣2）x+c﹣b≥0恒成立．…所以判别式△=（b﹣2）2﹣4（c﹣b）≤0，从而c≥+c，∴c≥1，且c=|b|，…因此 c（c﹣1）≥0且2c﹣b=c+（c﹣b）＞0．…故当x≥0时，有（x+c）2﹣g（x）=（2c﹣b）x+c（c﹣1）≥0．…即当x≥0时，g（x）≤（x+c）2成立．…【点评】本题主要考查函数奇偶性的定义和单调性的应用，利用定义法是解决本题的关键．23．定义：对于数列{x n}，如果存在常数p，使对任意正整数n，总有（x n+1﹣p）（x n﹣p）＜0成立，那么我们称数列{x n}为“p﹣摆动数列”．（1）设a n=2n﹣1，（﹣1＜q＜0），n∈N*，判断数列{a n}、{b n}是否为“p﹣摆动数列”，并说明理由；（2）已知“p﹣摆动数列”{c n}满足：，c1=1．求常数p的值；（3）设，n∈N*，且数列{d n}的前n项和为S n．求证：数列{S n}是“p ﹣摆动数列”，并求出常数p的取值范围．【考点】数列的求和；数列的应用；数列递推式．【专题】综合题；转化思想；数学模型法；等差数列与等比数列．【分析】（1）假设数列{a n}是“p﹣摆动数列”，即存在常数p，总有2n﹣1＜p＜2n+1对任意n成立，对n取值即可判断出．由，于是（﹣1＜q＜0）对任意n成立，即可判断出．（2）由数列{c n}为“p﹣摆动数列”，c1=1，即存在常数，使对任意正整数n，总有（c n+1﹣p）（c n﹣p）＜0成立；即有（c n+2﹣p）（c n+1﹣p）＜0成立．则（c n+2﹣p）（c n﹣p）＞0，分别利用奇数项与偶数项的单调性即可得出．（3）由，显然存在p=0，使对任意正整数n，总有成立，即可证明数列{S n}是“p﹣摆动数列”；分别利用奇数项与偶数项的单调性即可得出p的取值范围．【解答】解：（1）假设数列{a n}是“p﹣摆动数列”，即存在常数p，总有2n﹣1＜p＜2n+1对任意n成立，不妨取n=1时则1＜p＜3，取n=2时则3＜p＜5，显然常数p不存在，∴数列{a n}不是“p﹣摆动数列”；由，于是对任意n成立，其中p=0．∴数列{b n}是“p﹣摆动数列”．（2）由数列{c n}为“p﹣摆动数列”，c1=1，即存在常数，使对任意正整数n，总有（c n+1﹣p）（c n﹣p）＜0成立；即有（c n+2﹣p）（c n+1﹣p）＜0成立．则（c n+2﹣p）（c n﹣p）＞0，∴c1＞p＞⇒c3＞p⇒…⇒c2n﹣1＞p．同理c2＜p⇒c4＜p⇒…⇒c2n＜p．∴c2n＜p＜c2n﹣1⇒，解得即．同理，解得；即．综上．（3）证明：由，显然存在p=0，使对任意正整数n，总有成立，∴数列{S n}是“p﹣摆动数列”；当n为奇数时S n=﹣n递减，∴S n≤S1=﹣1，只要p＞﹣1即可，当n为偶数时S n=n递增，S n≥S2=2，只要p＜2即可，综上﹣1＜p＜2，p的取值范围是（﹣1，2）．【点评】本题考查了数列的单调性、新定义“p﹣摆动数列”、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。

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